\documentclass[a4paper,12pt]{xepersian-thesis}
\usepackage{natbib}
\usepackage{amsthm,amssymb,amsmath}
\usepackage[top=35mm, bottom=20mm, left=20mm, right=28mm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[all]{xy}
%\usepackage[colorlinks,linkcolor=blue,citecolor=magenta]{hyperref}
\usepackage[pagebackref=false]{hyperref}
%\usepackage{amsmath,amssymb,bm}
\usepackage{fancybox}
%\setlength{\extrarowheight}{0}
\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
%======================================================
\usepackage{perpage}
\MakePerPage{footnote}
%======================================================
\setcounter{page}{1}
\pagenumbering{alph}
%======================================================
\usepackage{tikz,times}
\usepackage[paperwidth=25cm,paperheight=22cm,left=1cm,top=1cm]{geometry}
\usetikzlibrary{mindmap,backgrounds}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{matrix}
%%%<
\usepackage{verbatim}
%\usepackage[active,tightpage]{preview}
\usepackage{subfig}
%\PreviewEnvironment{tikzpicture}
%\setlength\PreviewBorder{5pt}
\tikzset{node distance=2cm, auto}
%======================================================
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\chaptermark}[1]%
{\markboth{\MakeUppercase{\thechapter.\ #1}}{}}
\renewcommand{\sectionmark}[1]%
{\markright{\MakeUppercase{\thesection.\ #1}}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
\newcommand{\bfseries}{%
\fontfamily{phv}\fontseries{b}\fontsize{9}{11}\selectfont}
\fancyhf{}
\fancyhead[LE,RO]{}
\fancyhead[LO]{\bfseries \leftmark}
\fancyhead[RE]{\bfseries \rightmark}
\cfoot{\thepage}
%\usepackage[pagebackref=false]{hyperref}
\usepackage{tocbibind}
%\usepackage{makeidx}
%\makeindex
\usepackage{xepersian}
\settextfont[Scale=1.2]{B Lotus}
%\setlatintextfont[Scale=2]{Linux Libertine}
\setlatintextfont[Scale=1]{Times New Roman}
\setlatintextfont[ExternalLocation,BoldFont={lmroman10-bold},BoldItalicFont={lmroman10-bolditalic},ItalicFont={lmroman10-italic}]{lmroman10-regular}
\setdigitfont[Scale=1.1]{PGaramond}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\defpersianfont\titr[Scale=1]{XB Titre}
\defpersianfont\nastaliq[Scale=2]{IranNastaliq}
%\defpersianfont\traffic[Scale=1]{B Traffic}
\defpersianfont\traffic[Scale=1]{XB Zar}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{تعریف}[section]
\theoremstyle{theorem}
\newtheorem{theorem}[definition]{قضیه}
\newtheorem{example}[definition]{مثال}
\newtheorem{lemma}[definition]{لم}
\newtheorem{pro}[definition]{گزاره}
\newtheorem{result}[definition]{نتیجه}
\newtheorem{axiom}[definition]{نمادگذاری}
\newtheorem{cor}[definition]{تبصره}
\newtheorem{remark}[definition]{تذکر}
\newtheorem{kazem}[definition]{قرارداد}
\newtheorem{diagram}[definition]
\newcommand\gloss[2]{#2\dotfill\lr{#1}\\}
\renewcommand\proofname{\textbf{برهان}}
\renewcommand{\bibname}{منابع}
\newcommand\persiangloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\}
\newcommand\englishgloss[2]{#2\dotfill\lr{#1}\\}
\newenvironment{fminipage}%
{\begin{Sbox}\begin{minipage}}%
{\end{minipage}\end{Sbox}\fbox{\TheSbox}}
\begin{titlepage}
\begin{LARGE}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.75]{besm}
\end{center}
\end{LARGE}
\vspace{7cm}
\end{titlepage}
\begin{document}

\include{pishgoftar/pishgoftar}
\newpage
\setcounter{page}{1}
\tableofcontents
%\listoftables
%\listoffigures
\newpage
\include{moghd/moghd}
\newpage
\pagenumbering{arabic}
%\pagestyle{fancy}
%\cfoot{}
%\lhead{\thepage}
%\include{chapter1/chapter1}
%\include{chapter2/chapter2}
%\include{chapter3/chapter3}
%\include{chapter4/chapter4}
\include{chapter5/chapter5}
%\include{appendix1/appendix1}
%\include{appendix2/appendix2}
%\include{appendix3/appendix3}
%\normalsize

%\small
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\addcontentsline{toc}{chapter}

\normalsize
\small
\thispagestyle{empty}
\baselineskip=.9cm
\setLTRbibitems
\begin{thebibliography}{99}
\resetlatinfont

\bibitem{1}
Ameri, R., Hedayati, H. 2007. On fuzzy closed, invertible and reflexive subsets of hypergroups. Ital. J. Pure Appl. Math, 22: 95-114. 

\bibitem{2}
Corsini, P. 1993. Prolegomena of Hypergroup Theory. Aviani Editore, Italy. 


\end{thebibliography}

%\latin
\include{vajenameh/vajenameh}
\include{vajenameh1/vajenameh1}
\include{namnameh/namnameh}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\chapter{کاربردها}
\thispagestyle{empty}
\newpage
\thispagestyle{plain}
\vspace*{0.8cm}

\section{مقدمه}

همانطور که قبلا اشاره شد در کتاب "کاربردهای ابرساختارها" نمونه‌هایی از کاربرد نظریه ابرساختارها در 50 سال اخیر معرفی شده است. که می‌توان به کاربرد آن در ابرگراف‌ها، هندسه، روابط دودویی، مشبکه‌ها، کدگذاری، آمار و غیره اشاره کرد. در این فصل قصد داریم تعدادی از کاربردهای ابرساختارها را در شیمی، فیزیک و زیست که اخیرا بدست آمده‌اند را بیان کنیم. قبل از اینکه وارد مبحث اصلی شویم ابتدا یک نوع از ابرگروه‌های خاص به نام $H_{\upsilon}$-گروه‌ها را معرفی می‌کنیم.\\
در فصل اول با مفهوم ابرگروه‌ها آشنا شدیم. درواقع ابرگروه‌واره‌ای که نیم‌ابرگروه و شبه‌ابرگروه باشد را ابرگروه می‌نامیم یا به عبارت دیگر دارای خاصیت شرکت‌پذیری و تکثیرپذیری باشد. 
\begin{definition}
ابرگروه‌واره $(H,\circ)$ را یک $H_{\upsilon}$-گروه می‌نامیم هرگاه به‌ازای اعضای $x,y,z \in H$ دو شرط زیر برقرار باشند:\\
1. (شرکت‌پذیری ضعیف) 
$ x \circ (y \circ z)\cap (x \circ y) \circ z \neq \emptyset $،\\
2.(تکثیرپذیری) 
$ x \circ H=H \circ x=H $.
\end{definition}

\begin{definition}
فرض کنید $(H,\circ)$ را یک $H_{\upsilon}$-گروه باشد. زیرمجموعه غیرتهی $K$ را یک  $H_{\upsilon}$-زیرگروه  $(H,\circ)$ می‌نامیم هرگاه به‌ازای هر 
$a\in K$، $ a \circ K=K \circ a=K $. 
\end{definition}

\begin{definition}
عضو دلخواه $x$ از ابرگروه‌واره‌ $(H,\circ)$  را پوچتوان می‌نامیم هرگاه داشته باشیم، $ x \circ x=x $.
\end{definition}

%=========================================================================




\vspace*{1cm}
\section{ابرساختارهای شیمیایی}
در این بخش چند نمونه از ابرگروه‌ها که با شیمی در ارتباطند را معرفی می‌کنیم. این نمونه‌های شیمیایی که در نظر گرفته شده‌اند به واکنش‌های زنجیره‌ای مربوط می‌شوند.

\subsection{واکنش‌های زنجیره‌ای}
\begin{definition}
به اتم یا گروهی از اتم‌ها که دارای تک الکترون (جفت نشده) می‌باشند، رادیکال آزاد می‌گویند. چند نمونه از این نوع اتم‌ها عبارتند از:
$$Cl, CH_{_{3}}, C_{_{2}}H_{_{5}}$$
\end{definition}
\begin{definition}
واکنشی را که دارای چندین مرحله است و در هر مرحله آن یک جسم واکنش پذیر بوجود می‌آید که موجب اجرا شدن مرحله بعدی می‌شود، واکنش زنجیری می‌نامند. گرچه ممکن است واکنش‌های زنجیری در جزئیات با یکدیگر تفاوت‌های زیادی داشته باشند ولی همگی در بعضی ویژگی‌های اساسی وجه مشترک دارند. که این ویژگی‌ها را می‌توان به مراحل انجام این نوع از واکنش‌ها مربوط دانست که عبارتند از: مرحله آغاز، انتشار و پایانی.
\end{definition}
\begin{example}
کلراسیون متان مثالی از یک واکنش زنجیری است. در زیر مراحل انجام این واکنش را به تفصیل بیان می‌کنیم.\\
{\bfseries مرحله آغاز زنجیر:}
نخستین مرحله در واکنش‌های زنجیری، مرحله آغاز زنجیر است که در آن انرژی جذب می‌شود و یک ذره واکنش‌پذیر بوجود می‌آید. این مرحله، در واکنش کلراسیون متان، گسستن مولکول کلر به اتم‌های کلر است.
$$
Cl_{_{2}} \mathop  \longrightarrow \limits 2Cl^ \circ  
$$
{\bfseries مرحله انتشار زنجیر:}
چند مرحله انتشار زنجیر وجود دارد در هر یک از این مراحل، یک ذره واکنش‌پذیر مصرف می‌شود و ذره‌ای دیگر بوجود می‌آید. در واکنش کلراسیون متان، این مراحل عبارتند از واکنش رادیکال‌های کلر با متان:
$$Cl^{\circ} + CH_{_{4}} \longrightarrow HCl + {CH}\nolimits_{_{3}}^ \circ $$
و واکنش رادیکال‌های متیل با مولکول کلر:
$${CH}\nolimits_{_{3}}^ \circ +Cl_{_{2}} \longrightarrow CH_{_{3}}Cl+Cl^{\circ}  $$
{\bfseries مرحله پایان زنجیر:}
 در این مرحله، ذرات واکنش‌پذیر مصرف می‌شوند، ولی بوجود نمی‌آیند. در کلراسیون متان، این مراحل شامل اتحاد دو ذره واکنش‌پذیر یا جذب یکی از آنها بوسیله دیواره‌های ظرف واکنش است.
$$ Cl^ \circ+Cl^ \circ \longrightarrow Cl_{_{2} $$
$$ {CH}\nolimits_{_{3}}^ \circ+Cl^{\circ} \longrightarrow CH_{_{3}}Cl$$
\end{example}

در شرایط معین به‌ازای هر کوانتوم نور (فوتون) جذب شده، در حدود 10000 مولکول متیل کلرید تشکیل می‌شود. هر فوتون موجب گسستن یک مولکول کلر به دو اتم کلر می‌شود و هر اتم کلر یک زنجیر آغاز می‌کند، بطور میانگین هر زنجیر پیش از آنکه در نهایت پایان پذیرد، در چرخه انتشار زنجیر 5000 بار تکرار می‌شود. 

\begin{example}
مثالی دیگر از واکنش‌های زنجیری را می‌توان به واکنش بین گاز $H_{_{2}}$   و $Br_{_{2}}$ اشاره کرد که مراحل آن به صورت زیر است:\\
{\bfseries مرحله آغاز زنجیر:}
برخی از مولکول‌های $Br_{_{2}}$ به اتم‌های آن تفکیک می‌شود:
$$Br_{_{2}} \longrightarrow 2Br^{\circ} $$
{\bfseries مرحله انتشار زنجیر:}
رادیکال‌های $Br$ واسط‌های فعالی هستند که  پیشبرنده‌های زنجیر نامیده می‌شوند. یک رادیکال $Br$ با یک مولکول $H_{_{2}}$ ترکیب می‌شود:
$$ Br^{\circ}+H_{_{2}}\longrightarrow HBr + H^{\circ} $$
در این واکنش یک مولکول محصول، $HBr$  و یک پیشبرنده دیگر، یک اتم $H^{\circ}$ (رادیکال) تولید می‌شود. رادیکال $H^{\circ}$ با مولکول $Br_{_{2}}$  ترکیب می‌شود: 
$$H^{\circ}+ Br_{_{2}} \longrightarrow HBr +Br^{\circ}$$
در این واکنش یک مولکول دیگر $HBr$ و یک رادیکال  $Br^{\circ}$ که پیشبرنده اصلی زنجیر است، تولید می‌شود.  اتم $Br$ با یک مولکول دیگر  $H_{_{2}}$ ترکیب می‌شود و این چرخه مجدداً آغاز می‌گردد. این دو مرحله، چندین بار تکرار می‌شود. \\
{\bfseries مرحله پایان زنجیر:}
وقتی دو پیشبرنده بهم می‌رسند، انتهای دو زنجیر بسته می‌شود:
$$2Br^{\circ}\longrightarrow Br_{_{2}}$$
$$2H^{\circ}\longrightarrow H_{_{2}}$$
$$H^{\circ}+ Br^{\circ} \longrightarrow HBr$$


\end{example}
\vspace*{1cm}
\subsection{هالوژن‌ها ($F,Cl,Br,I$)}

هالوژن‌ها غیرفلزاتی هستند که دارای شکل‌های فیزیکی مختلفی هستند. مثلا کلر و فلوئور به صورت گاز، برم مایع و ید جامد است. آنها در شرایط معمولی به‌صورت مولکول‌های دو اتمی‌اند یعنی به صورت 
$F_{_{2}}, Cl_{_{2}}, Br_{_{2}}, I_{_{2}}$ 
 و اتم‌های این مولکول‌ها بوسیله یک پیوند کووالانسی ساده به یکدیگر متصل می‌شوند. مدل الکترون نقطه‌ای این نوع مولکول‌ها به صورت زیر است:
 \begin{center}
$:\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot\cdot}$}} {\ddot I}-\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot\cdot}$}} {\ddot I}: $ \,\,\  
 $:\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot\cdot}$}} {\ddot Br}-\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot\cdot}$}} {\ddot Br}: $ \,\,\
 $:\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot\cdot}$}} {\ddot Cl}-\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot\cdot}$}} {\ddot Cl}: $ \,\,\
 $:\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot\cdot}$}} {\ddot F}-\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot\cdot}$}} {\ddot F}: $ \,\,\
 \end{center}
  هالوژن‌ها با هیدروژن واکنش داده و ترکیبات گازی به فرم 
 $HF, HCl, HBr$ و $HI$ 
 را تشکیل می‌دهند که همگی آنها در آب حل می‌شوند.
 
 حال با توجه به مقدماتی که بیان شد به مبحث اصلی می‌پرازیم. یک واکنش زنجیری به صورت زیر را در نظر بگیرید:
 $$A_{_{2}}+B_{_{2}}\longrightarrow 2AB$$ 
 در طول این روند مولکول‌های $A_{_{2}}$، $B_{_{2}}$ و $AB$ از اجزاء کوچکتر $A^{\circ}$ و $B^{\circ}$ بوجود می‌آیند که همگی آنها با هم ترکیب می‌شوند.\\
 تمام ترکیبات احتمالی مجموعه
   $\mathcal{H}=\left\lbrace A^{\circ},B^{\circ},A_{_{2}},B_{_{2}},AB \right\rbrace $، 
  که می‌توانند بدون صرف انرژی بدست آیند را می‌توان به صورت زیر نشان داد:
\vspace*{0.5cm}
\begin{center}
\footnotesize{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$AB$&$B_{_{2}}$&$A_{_{2}}$&$B^{\circ}$&$A^{\circ}$&$+$ \\
\hline
$A^{\circ},AB,A_{_{2}},B^{\circ}$&$A^{\circ},B_{_{2}},B^{\circ},AB$&$A^{\circ},A_{_{2}}$&$A^{\circ},B^{\circ},AB$&$A^{\circ},A_{_{2}}$&$A^{\circ}$ \\
\hline
$A^{\circ},B^{\circ},AB,B_{_{2}}$&$B^{\circ},B_{_{2}}$&$A^{\circ},B^{\circ},AB,A_{_{2}}$&$B^{\circ},B_{_{2}}$&$A^{\circ},B^{\circ},AB$&$B^{\circ$ \\
\hline
$A^{\circ},B^{\circ},A_{_{2}},AB$&$\mathcal{H}$&$A^{\circ},A_{_{2}}$&$A^{\circ},B^{\circ},AB,A_{_{2}}}$&$A^{\circ},A_{_{2}}$&$A_{_{2}}$ \\
\hline
$A^{\circ},B^{\circ},B_{_{2}},AB$&$B^{\circ},B_{_{2}}$&$\mathcal{H}$&$B^{\circ},B_{_{2}}$&$A^{\circ},B^{\circ},B_{_{2}},AB$&$B_{_{2}}$ \\
\hline
$\mathcal{H}$&$A^{\circ},B^{\circ},B_{_{2}},AB$&$A^{\circ},B^{\circ},A_{_{2}},AB$&$A^{\circ},B^{\circ},AB,B_{_{2}}$&$A^{\circ},AB,A_{_{2}},B^{\circ}$&$AB$ \\
\hline
\end{tabular}
}
\end{center}
\vspace*{1cm}

\begin{theorem}
$(\mathcal{H},+)$ 
یک $H_{\upsilon}$-گروه است.
\end{theorem}
\begin{proof}

خاصیت‌های تکثیرپذیری و پخش‌پذیری ضعیف به وضوح برقرارند. به عنوان نمونه نحوه محاسبه چند مورد از خاصیت پخش‌پذیری ضعیف را در زیر نشان می‌دهیم.
\begin{align*}
(AB+A_{_{2}})+B_{_{2}}&=\left\lbrace AB,A_{_{2}},A^{\circ},B^{\circ} \right\rbrace +B_{_{2}}\\
&=AB+B_{_{2}}\cup A_{_{_{2}}}+B_{_{2}}\cup A^{\circ}+B_{_{2}}\cup B^{\circ}+B_{_{2}}\\
&=\left\lbrace A^{\circ},B^{\circ},B_{_{2}},AB \right\rbrace  \cup \mathcal{H} \cup \left\lbrace A^{\circ},B_{_{2}},B^{\circ},AB \right\rbrace \cup \left\lbrace B^{\circ},B_{_{2}} \right\rbrace \\
&=\mathcal{H}
\end{align*}
واز طرف دیگر 
\begin{align*}
AB+(A_{_{2}}+B_{_{2}})&=AB+\mathcal{H}\\
&=AB+A^{\circ} \cup AB+B^{\circ}\cup AB+A_{_{2}}\cup AB+B_{_{2}}\cup AB+AB\\
&=\left\lbrace A^{\circ},AB,A_{_{2}},B^{\circ} \right\rbrace \cup \left\lbrace A^{\circ},B^{\circ},AB,B_{_{2}} \right\rbrace \cup \left\lbrace A^{\circ},B^{\circ},A_{_{2}},AB \right\rbrace\\
& \cup  \left\lbrace A^{\circ},B^{\circ},B_{_{2}},AB \right\rbrace \cup \mathcal{H}\\
&=\mathcal{H}
\end{align*}
بنابراین $(AB+A_{_{2}})+B_{_{2}}\cap AB+(A_{_{2}}+B_{_{2}})\neq \emptyset$.\\
به عنوان نمونه‌ای دیگر داریم:
\begin{align*}
(AB+A^{\circ})+A^{\circ}&=\left\lbrace AB,A^{\circ},A_{_{2}},B^{\circ} \right\rbrace +A^{\circ}\\
&=\left\lbrace A_{_{2}},A^{\circ},AB,B^{\circ}  \right\rbrace 
\end{align*}
و از طرف دیگر 
\begin{align*}
AB+(A^{\circ}+A^{\circ})&=AB+\left\lbrace A_{_{2}},A^{\circ} \right\rbrace \\
&=\left\lbrace  A_{_{2}},AB,A^{\circ},B^{\circ} \right\rbrace 
\end{align*}
بنابراین $(AB+A^{\circ})+A^{\circ}\cap AB+(A^{\circ}+A^{\circ})\neq \emptyset$.\\
و همچنین
\begin{align*}
(A_{_{2}}+A_{_{2}})+B^{\circ}&=\left\lbrace A^{\circ}+A_{_{2}}\right\rbrace +B^{\circ}\\
&=A^{\circ}+B^{\circ}\cup A_{_{2}}+B^{\circ}\\
&=\left\lbrace A^{\circ},B^{\circ},AB\right\rbrace \cup \left\lbrace A^{\circ},B^{\circ},AB,A_{_{2}}\right\rbrace \\
&=\left\lbrace A^{\circ},B^{\circ},AB,A_{_{2}}\right\rbrace
\end{align*}
و از طرف دیگر 
\begin{align*}
A_{_{2}}+(A_{_{2}}+B^{\circ})&=A_{_{2}}+\left\lbrace A^{\circ},B^{\circ},AB,A_{_{2}}\right\rbrace\\
&=\mathcal{H}
\end{align*}
بنابراین $(A_{_{2}}+A_{_{2}})+B^{\circ} \cap A_{_{2}}+(A_{_{2}}+B^{\circ})\neq \emptyset$.\\
بقیه موارد نیز به همین صورت اثبات می‌شود.
\end{proof}
\begin{cor}
 $\mathcal{H}_{_{1}}=\left\lbrace A^{\circ},A_{_{2}} \right\rbrace $ و 
 $\mathcal{H}_{_{2}}=\left\lbrace B^{\circ},B_{_{2}} \right\rbrace $ 
 تنها $H_{\upsilon}$-زیرگروه‌های $(\mathcal{H},+)$ هستند.
\end{cor}
\begin{proof}
با توجه به تعریف $H_{\upsilon}$-زیرگروه اثبات بدیهی است.
\end{proof}
حال فرض کنید $A=H$ و $B$ را یکی از اعضای  مجموعه 
 $ \left\lbrace F, Cl, Br, I \right\rbrace  $ 
 (به عنوان مثال $B=I$) در نظر بگیریم، در این صورت جدول واکنش آن به صورت زیر خواهد بود: 
 
 \vspace*{0.2cm}

\begin{center}
\footnotesize{
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|cc}

$HI$&$I_{_{2}}$&$H_{_{2}}$&$I^{\circ}$&$H^{\circ}$&$+$&& 
\hline
$H^{\circ},HI,H_{_{2}},I^{\circ}$&$H^{\circ},I_{_{2}},I^{\circ},HI$&$H^{\circ},H_{_{2}}$&$H^{\circ},I^{\circ},HI$&$H^{\circ},H_{_{2}}$&$H^{\circ}$ \\
\hline
$H^{\circ},I^{\circ},HI,I_{_{2}}$&$I^{\circ},I_{_{2}}$&$H^{\circ},I^{\circ},HI,H_{_{2}}$&$I^{\circ},I_{_{2}}$&$H^{\circ},I^{\circ},HI$&$I^{\circ$ \\
\hline
$H^{\circ},I^{\circ},H_{_{2}},HI$&$H^{\circ},I^{\circ},H_{_{2}},I_{_{2}},HI$&$H^{\circ},H_{_{2}}$&$H^{\circ},I^{\circ},HI,H_{_{2}}}$&$H^{\circ},H_{_{2}}$&$H_{_{2}}$ \\
\hline
$H^{\circ},I^{\circ},I_{_{2}},HI$&$I^{\circ},I_{_{2}}$&$H^{\circ},I^{\circ},H_{_{2}},I_{_{2}},HI$&$I^{\circ},I_{_{2}}$&$H^{\circ},I^{\circ},I_{_{2}},HI$&$I_{_{2}}$ \\
\hline
$H^{\circ},I^{\circ},H_{_{2}},I_{_{2}},HI$&$H^{\circ},I^{\circ},I_{_{2}},HI$&$H^{\circ},I^{\circ},H_{_{2}},HI$&$H^{\circ},I^{\circ},HI,I_{_{2}}$&$H^{\circ},HI,H_{_{2}},I^{\circ}$&$HI$ \\
\hline
\end{tabular}
}
\end{center}

\vspace*{1cm}




%===================================================
 
 
 
 
 
\section{ابرساختارهای فیزیکی}

 هدف اين بخش، تعميم اين نظريه جديد رياضي به علم فيزيك با تمركز روي دو بخش فيزيك هسته‌اي و فيزيك ذرات بنيادي است.  به همین منظور، ابتدا به اختصار به معرفي  ذرات بنيادي، مفهوم همجوشي در فيزيك هسته‌اي و نحوه‌ی  انجام فرآيندهای همجوشي در ستارگان جهت توليد انرژي  مي‌پردازيم. در انتها  نیز نشان خواهيم داد كه ابركنش (يا ابرعمل) تعريف شده در مجموعه‌هاي خاص، همراه با اعضاي آن مجموعه يك ابرساختار جبري را تشكيل مي‌دهند.
 \subsection{لپتون‌ها\LTRfootnote{Leptons} در فیزیک ذرات بنیادی}
 
 
در علم فيزيك ذرات بنيادي، يك ذرة بنيادي به ذره‌اي گفته مي شود كه هيچ ساختار داخلي ندارد. لذا اين ذره يكي از بلوك‌هاي ساختماني جهان اطراف ما را تشكيل مي‌دهد. عملا از سال ۱۸۹۷ كه الكترون به عنوان بنيادي‌ترين عنصر جهان، توسط تامسون كشف شد فيزيك ذرات بنيادي متولد گرديد. از آن پس ذرات بنيادي بتدريج كشف و معرفي گرديدند. در جهت ايجاد نظم در اين مجموعه بزرگ از ذرات و ارائه‌ی الگويي مناسب براي توجيه سازوكار برهم كنش ذرات، مد ل‌هاي متفاوتي ارائه گرديد كه مهمترين آنها مدل استاندارد ناميده مي‌شود كه تاكنون پيشگویی‌هاي اين مدل توافق خوبي با نتايج تجربي داشته است.
 
در اين تئوري، شش كوارك\LTRfootnote{Quark} و شش لپتون به همراه پادذراتشان و بوزون‌هاي برداري مياني، كه نقش حامل نيرو را ايفا مي‌كنند، مجموعاً ۶۱ ذره بنيادي جهان ما را تشكيل مي‌دهند . مطابق با مدل كوارك در نظريه مدل استاندارد، كوارك‌ها آزادانه در طبيعت يافت نمي‌شوند بلكه در تركيب‌هاي قابل مشاهده  هادرونی\LTRfootnote{Hadron} همچون باريون‌ها\LTRfootnote{Baryons} و مزون‌ها\LTRfootnote{Mesons} وجود دارند. برخلاف كوارك‌ها، لپتون‌ها مي‌توانند آزادانه در طبيعت يافت شوند لذا آنها يك گروه مهم از ذرات بنيادي هستند مخصوصاً الكترون‌ها كه يكي از اجزاي اتم هستند. در اين بخش ابرساختار بودن اين گروه از ذرات را بررسي خواهيم كرد.

در مدل استاندارد، شش لپتون و شش پادلپتون در سه نسل ظاهر مي‌شوند. نسل اول شامل الكترون، پوزيترون، نوترينوي الكترون و پادنوترينوي الكترون، نسل دوم شامل ميون، پادميون، نوترينوي ميون و پادنوترينوي ميون و نسل سوم شامل تائون، پادتائون، نوترينوي تائون و پاد نوترينوي تائون مي‌باشد. بنابراين گروه لپتون‌ها شامل دوازده عضو به صورت $\left\lbrace e^{-}, \upsilon_{_{e}}, e^{+}, \bar \upsilon_{_{e}}, \mu^{-}, \upsilon_{_{\mu}}, \mu^{+}, \bar \upsilon_{_{\mu}}, \tau^{-}, \upsilon_{_{\tau}}, \tau^{+}, \bar \upsilon_{_{\tau}} \right\rbrace $
  است.
  
تفاوت اصلي بين نوترينوها و پادنوترينوها در عدد كوانتومي به نام عدد لپتوني است. در مدل استاندارد به اعضاي هر نسل از لپتون‌ها عدد لپتوني يكساني نسبت داده مي‌شود. به نسل اول عدد الکترونی  $L_{e}$، به نسل دوم عدد ميوني $L_{\mu}$ و به نسل سوم عدد تائوني $L_{\tau}$ نسبت مي‌دهند. اين اعداد لپتوني به همراه بار لپتون‌ها در جدول زیر دسته‌بندي شده‌اند.
\begin{table}[h]
{
\hspace{2cm}\caption{دسته بندی لپتون‌هابراساس بارالکتریکی واعداد لپتونی}\label{c1}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$L_{\tau}$&$L_{\mu}$&$L_{e}$&$Q$&$\textsc{نماد}$\\ 
\hline
$0$&$0$&$+1/-1$&$-1/+1$&$e^{-}/e^{+}$ \\
\hline
$0$&$0$&$+1/-1$&$0$&$\upsilon_{e}/\bar \upsilon_{e}$ \\
\hline
$0$&$+1/-1$&$0$&$-1/+1$&$\mu^{-}/\mu^{+}$ \\
\hline
$0$&$+1/-1$&$0$&$0$&$\upsilon_{\mu}/\bar \nu_{\mu}$ \\
\hline
$+1/-1$&$0$&$0$&$-1/+1$&$\tau^{-}/\tau^{+}$ \\
\hline
$+1/-1$&$0$&$0$&$0$&$\upsilon_{\tau}/\bar \upsilon_{\tau}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
}
\end{table}




لپتون‌ها فاقد عدد كوانتومي باررنگ مي‌باشند لذا در برهم‌كنش‌هاي قوي شركت نمي‌كنند و تنها از طريق برهم‌كنش‌هاي الكتروضعيف بر يكديگر تأثير مي‌گذارند. به خصوص نوترينوها كه بدون بار الكتريكي هستند و تنها در برهم‌كنش‌هاي ضعيف شركت مي‌كنند. در هر برهم‌كنش
الكتروضعيف علاوه بر پايستگي بارالكتريكي، پايستگي عدد لپتوني نيز همواره برقرار است. اين پايستگي جديد بدين معني است كه لپتون‌ها و پاد لپتون‌ها همواره به صورت زوج از يك نسل در برهم‌كنش شركت مي‌كنند. براي مثال فرآيندهاي زير تحت پايستگي عدد تائوني و الكتروني مجاز هستند:
$$e^{-} + \upsilon_{\tau} \longrightarrow e^{-} + \upsilon_{\tau}, \tau^{-}+\upsilon_{e}$$
برای راحتی کار از نمادگذاري جديدي براي نشان دادن محصولات برهم‌كنش استفاده مي‌كنيم. براي مثال:
$$e^{-} + \upsilon_{\tau} \longrightarrow \left\lbrace e^{-} , \upsilon_{\tau}, \tau^{-},\upsilon_{e}\right\rbrace $$

محصولات خروجي ممكن است بسيار متنوع باشند لذا لازم است كه پايستگي تمام اعداد لپتوني در فرآيند بررسي شود. براي مثال در برهم‌كنش $\mu^{-}+\mu^{+}$، شش جفت ذره خروجي مي‌توانند به عنوان محصولات نهايي مشاهده شوند: 
$$\mu^{-}+\mu^{+} \longrightarrow  e^{-}+e^{+}, \mu^{-}+ \mu^{+}, \tau^{-}+\tau^{+}, \upsilon_{_{e}}+\bar \upsilon_{_{e}}, \upsilon_{_{\mu}}+\bar \upsilon_{_{\mu}}, \upsilon_{_{\tau}}+\bar \upsilon_{_{\tau}}$$
كه مطابق با نمادگذاري جديد داريم:
$$\mu^{-}+\mu^{+} \longrightarrow \left\lbrace  e^{-}, e^{+}, \mu^{-}, \mu^{+}, \tau^{-}, \tau^{+}, \upsilon_{_{e}}, \bar \upsilon_{_{e}}, \upsilon_{_{\mu}}, \bar \upsilon_{_{\mu}}, \upsilon_{_{\tau}}, \bar \upsilon_{_{\tau}}\right\rbrace =L  $$
در رابطه‌ی فوق، $ L$ بيانگر مجموعه لپتون‌ها است. ساير برهم‌كنش‌هاي ممكن بين مجموعه عناصر گروه لپتون‌ها ، در جدول \ref{c3} مرتب شده است. در مرتب‌سازي اين جدول از نوشتن عناصر تكراري اجتناب كرده‌ايم. همه‌ی برهم‌كنش‌هاي نشان داده شده در جدول \ref{c3}، در مرتبه‌ی اول اختلال\LTRfootnote{Leading Order}  هستند. 
\subsection{فرآیند همجوشی در فیزیک هسته‌ای}

از موارد كاربرد ابرساختارها در فيزيك هسته‌اي، در فرآيندهاي همجوشي هسته‌اي است. علم سنتز هسته‌اي فرآيند همجوشي در ستارگان را توضيح مي‌دهد. چگونگي توليد انرژي در ستارگان يكي از جالب‌ترين مباحث مطرح در اختر فيزيك مي‌باشد. وظيفه توليد انرژي در ستارگان به عهده واكنش همجوشي است . در چنين واكنشي دو يا چند عنصر سبك با هم تركيب شده و عنصري سنگين‌تر به همراه مقداري انرژي توليد مي‌كنند. از آنجايي كه ماده اصلي تشكيل دهنده‌ی ستارگان، عنصر هيدروژن مي‌باشد لذا همجوشي چهار عنصر هيدروژن جهت تشكيل هليوم، آغاز توليد انرژي در ستارگان مي‌باشد. تركيب اين عناصر سبك و تشكيل عنصر سنگين‌تر به چرخه سوخت معروف است. فرآيند هيدروژن سوزي با چهار چرخه پروتون-پروتون$I$، پروتون-پروتون$II$، پروتون-پروتون$III$ و چرخه كربن-نيتروژن-اكسيژن انجام مي‌گيرد. در اينجا فقط چرخه پروتون-پروتون$I$ را مورد بررسي قرار مي‌دهیم. در اين چرخه، واكنش‌ها عبارتند از:
$${}_1^1H + {}_1^1H \longrightarrow {}_1^2H +e^{+}+\upsilon_{e}+0/42 MeV.$$
اين واكنش به برهم‌كنش ضعيف تبديل يك پروتون به يك نوترون معروف است. پوزيترون توليد شده از اين واكنش سریعاً با يك الكترون جفت شده و طي فرآيند نابودي زوج، مقدار $1/02 MeV$ انرژی اضافی آزاد می‌شود. دوتریم $({}_1^2H)$ ایجاد شده، در تركيب با يك هيدروژن به هليوم-3  تبديل مي‌شود:
$${}_1^1H + {}_1^2H \longrightarrow {}_2^3He +\gamma+5/49 MeV.$$
در واكنش فوق $5/49 MeV$ انرژي به شكل گرمايي ساطع می‌گردد. در ادامه، هليوم توليد شده نيز مي‌تواند با همتاي خود كه در همجوشي مشابه دو مرحله فوق ايجاد شده است، برهم‌كنش كرده و واكنشي به صورت 
$${}_2^3He + {}_2^3He \longrightarrow {}_2^4He +{}_1^1H+{}_1^1H+12/86 MeV.$$
 داشته باشند. بنابراين مي‌توان نتيجه چرخه سوخت پروتون-پروتون$I$ را تبديل هيدروژن به هليوم و آزاد شدن  $26/72 MeV$ انرژي به‌ازاي تشكيل هر هليوم دانست. مطابق با نمادگذاري تعريف شده در بخش قبل، فرآيند فوق به صورت
 ${}_2^3He + {}_2^3He \longrightarrow \left\lbrace {}_2^4He ,{}_1^1H\right\rbrace $
   نشان داده مي‌شود. كليه عناصر مؤثر در چرخه فوق شامل 
  $S=\left\lbrace {}_1^1H, {}_1^2H, {}_2^3He, {}_2^4He \right\rbrace $
  به همراه ابرعمل "همجوشي" در جدول زیر نشان داده شده‌اند.
  
  
\vspace*{0.5cm}
\begin{table}[h]
{
\hspace{2cm}\caption{برهم‌کنش‌بین‌عناصردرچرخه‌سوخت‌پروتون-پروتون$I$}\label{c2}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
${}_2^4He$&${}_2^3He$&${}_1^2H$&${}_1^1H$&$\oplus$\\ 
\hline
${}_2^4He,{}_1^1H$&${}_2^3H,{}_1^1H$&${}_2^3H$&${}_1^2H$&${}_1^1H}$ \\
\hline
${}_2^4He ,{}_1^2H$&${}_2^3He,{}_1^2H$&${}_1^2H$&${}_2^3He$&${}_1^2H$ \\
\hline
${}_2^3He,{}_2^4He$&${}_1^1H,{}_2^4H$&${}_2^3He,{}_1^2H$&${}_2^3He,{}_1^1H$&${}_2^3He$ \\
\hline
${}_2^4He$&${}_2^3H,{}_2^4He$&${}_2^4He,{}_1^2H$&${}_2^4He,{}_1^1H$&${}_2^4He$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
}
\end{table}




\vspace*{0.5cm}
  


\subsection{ابرساختارهای جبری لپتون‌ها و عناصر دخیل در چرخه ‌سوخت ستارگان}

در این قسمت نشان خواهيم داد كه مجموعه لپتون‌ها به همراه ابرعمل خاص خود، همچنين مجموعه عناصر دخيل در فرآيند همجوشي در توليد انرژي ستارگان همراه با ابرعمل مختص خود تشكيل يك ابرساختار را مي‌دهند.

\begin{pro}
فرض کنید $L$ مجموعه لپتون‌ها و $\otimes$ ابرعمل تعريف شده در جدول \ref{c3} باشد، در این صورت زوج $(L,\otimes)$ یک $H_{\upsilon}$-گروه آبلی که هر عضو آن  خودتوان است.
\end{pro}
\begin{proof}

براي بررسي خاصيت شركت پذيري ضعيف اين $H_{\upsilon}$-گروه، مثال زير را در نظر بگيريد:
$$\upsilon_{_{\mu}}\otimes (\bar \upsilon_{_{e}}\otimes e^{+}) =\left\lbrace e^{+},\mu,\bar \upsilon_{_{e}},\upsilon_{_{\mu}} \right\rbrace \,\,\ , \,\,\
 (\upsilon_{_{\mu}}\otimes \bar \upsilon_{_{e}})\otimes e^{+} =\left\lbrace e^{+},\mu,\bar \upsilon_{_{e}},\upsilon_{_{\mu}}\right\rbrace $$
بنابراین $\upsilon_{_{\mu}}\otimes (\bar \upsilon_{_{e}}\otimes e^{+})\cap (\upsilon_{_{\mu}}\otimes \bar \upsilon_{_{e}})\otimes e^{+}\neq \emptyset$. \\
از آنجاييكه براي هر ذره در مجموعه لپتون‌ها همواره یک پادذره وجود دارد و برهم‌كنش يك ذره با پادذره خود، تمام اعضاي مجموعه را نتيجه مي‌دهد، بنابراين در ابرساختار لپتوني شرط تكثيرپذیري همواره برقرار است. به عبارتي:
$$e^{-}\otimes L=\mu^{-}\otimes L=\upsilon_{_{\tau}}\otimes L=... =L$$
در ادامه به اختصار، به ذكر چند نمونه از $H_{\upsilon}$-زیرگروه‌های، $(L,\otimes)$ می‌پردازیم:\\
1.  $H_{\upsilon}$-زیرگروه لپتوني مرتبه‌ی ۲ به صورت $(\lbrace \mu, \bar \upsilon_{_{e}}\rbrace, \otimes)$ است.\\
2.  $H_{\upsilon}$-زیرگروه لپتوني مرتبه‌ی 4 به صورت $(\lbrace e, \tau , \nu_{_{e}},\nu_{_{\tau}}\rbrace, \otimes)$ است.\\
3.  $H_{\upsilon}$-زیرگروه لپتوني مرتبه‌ی 6 به صورت $(\lbrace e^{+},\mu^{+} ,\tau^{+} , \nu_{_{e}},\upsilon_{_{\mu}},\nu_{_{\tau}}\rbrace, \otimes)$ است.\\
\end{proof}
\begin{pro}
فرض كنيد مجموعه  $S=\left\lbrace {}_1^1H, {}_1^2H, {}_2^3He, {}_2^4He \right\rbrace $ شامل تمام عناصر دخيل در فرآيند توليد انرژي در ستارگان بوده و $\oplus$ ابرعمل همجوشي تعريف شده در جدول انتهای بخش باشد در این صورت زوج $(S,\oplus)$ یک $H_{\upsilon}$-گروه آبلی است که در آن  $ {}_1^2H $  و $ {}_2^4He $  اعضاي خودتوان اين ابرساختار هستند.
\end{pro}
\begin{proof}

خاصیت‌های تکثیرپذیری و پخش‌پذیری ضعیف به وضوح برقرارند. به عنوان نمونه موارد زیر را در نظر بگیرید.\\
به ازای عناصر دلخواه ${}_1^1H,{}_1^2H, {}_2^3He  \in S$ داریم:
\begin{align*}
{}_1^1H\oplus ({}_2^3He \oplus {}_1^2H)&={}_1^1H \oplus \left\lbrace  {}_2^3He , {}_1^2H \right\rbrace \\
&={}_1^1H \oplus {}_2^3He \cup {}_1^1H\oplus{}_1^2H\\
&=\left\lbrace  {}_1^1H , {}_2^3He \right\rbrace  \cup \left\lbrace {}_2^3He \right\rbrace \\
&=\left\lbrace  {}_1^1H , {}_2^3He \right\rbrace
\end{align*}
و از طرف دیگر
\begin{align*}
({}_1^1H\oplus {}_2^3He) \oplus {}_1^2H&=\left\lbrace  {}_2^3He , {}_1^1H \right\rbrace  \oplus {}_1^2H\\
&={}_2^3He \oplus {}_1^2H \cup {}_1^1H\oplus {}_1^2H\\
&=\left\lbrace  {}_2^3He , {}_1^2H \right\rbrace \cup \left\lbrace {}_2^3He \right\rbrace \\
&=\left\lbrace  {}_2^3He , {}_1^2H \right\rbrace
\end{align*}
بنابراین ${}_1^1H\oplus ({}_2^3He \oplus {}_1^2H) \cap ({}_1^1H\oplus {}_2^3He) \oplus {}_1^2H \neq \emptyset$.\\
همچنین به‌ازای عنصر دلخواه   ${}_1^1H \in S$ داریم:
\begin{align*}
{}_1^1H \oplus S &={}_1^1H \oplus \left\lbrace {}_1^1H, {}_1^2H, {}_2^3He, {}_2^4He \right\rbrace\\
&={}_1^1H \oplus {}_1^1H  \cup {}_1^1H \oplus {}_1^2H \cup {}_1^1H \oplus {}_2^3He \cup {}_1^1H \oplus  {}_2^4He\\
&={}_1^2H \cup {}_2^3He \cup \left\lbrace {}_2^3He , {}_1^1H \right\rbrace \cup \left\lbrace {}_2^4He , {}_1^1H \right\rbrace\\
&=\left\lbrace {}_1^1H, {}_1^2H, {}_2^3He, {}_2^4He \right\rbrace\\
&=S
\end{align*}
و به همین ترتیب می‌توان نشان داد $S \oplus {}_1^1H=S$. بنابراین
 ${}_1^1H \oplus S=S \oplus {}_1^1H=S$.
\end{proof}
در این بخش نشان داديم كه مجموعه لپتون‌ها در فيزيك ذرات بنيادي و مجموعه عناصر دخيل در فرآيند توليد انرژي ستارگان، تحت ابرعمل خاص خود تشكيل يك ابرساختار را مي‌دهند. اين ديدگاه جديد از برهم‌كنش ذرات، علاوه بر آنكه منجر به يك نظم نوين در انجام فرآيندها مي‌گردد، اين امكان را مي‌دهد تا از خاصيت ابرساختار بودن مجموعه تحت مطالعه، جهت پيش‌گويي‌هاي آتي از برهم‌كنش عناصر مجموعه بهره بريم. اين تغيير نگرش در برهم‌كنش دو پديده، مي تواند منشاء بسياري از تحولات در علوم كاربردي باشد.
\newpage

\begin{table}[h]
{
\caption{برهم‌کنش بین لپتون‌ها با در نظر گرفتن پایستگی اعداد لپتونی}\label{c3}
\begin{center}
\scriptsize{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$\bar \upsilon_{\tau}$&$\tau^{+}$&$\upsilon_{\tau}$&$\tau$&$\bar \upsilon_{\mu}$&$\mu^{+}$&$\upsilon_{\mu}$&$\mu$&$\bar \upsilon_{e}$&$e^{+}$&$\upsilon_{e}$&$e$&$\otimes$\\ \hline
$$&$e,\upsilon_{e}$&$e,\upsilon_{e}$&$$&$$&$e,\upsilon_{e}$&$e,\upsilon_{e}$&$$&$e,\bar \upsilon_{e}$&$$&$$&$$&$$\\ 
$e,\bar \upsilon_{\tau}$&$\tau^{+},\bar \upsilon_{\tau}$&$\tau,\upsilon_{\tau}$&$e,\tau$&$e,\bar \upsilon_{\tau}$&$\mu^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$\mu,\upsilon_{\mu}$&$e,\mu$&$\mu,\bar \upsilon_{\mu}$&$L$&$e,\upsilon_{e}$&$e$&$e$\\ 
$$&$$&$$&$e,\upsilon_{e}$&$$&$$&$$&$$&$\tau,\bar \upsilon_{\tau}$&$$&$$&$$&$$\\ \hline

$e,\upsilon_{e}$&$$&$$&$e,\upsilon_{e}$&$e,\upsilon_{e}$&$$&$$&$e,\upsilon_{e}$&$$&$e^{+},\upsilon_{e}$&$$&$$&$$\\ 
$$&$\upsilon_{e},\tau^{+}$&$\upsilon_{\tau},\upsilon_{e}$&$$&$$&$\mu^{+},\upsilon_{e}$&$\upsilon_{e},\upsilon_{\mu}$&$$&$L$&$\mu^{+},\upsilon_{\mu}$&$\upsilon_{e}$&$e,\upsilon_{e}$&$\upsilon_{e}$\\ 
$\tau^{+},\bar \upsilon_{\tau}$&$$&$$&$\tau,\upsilon_{\tau}$&$\mu^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$$&$$&$\mu,\upsilon_{\mu}$&$$&$\tau^{+},\upsilon_{\tau}$&$$&$$&$$\\ \hline

$e^{+},\bar \upsilon_{e}$&$$&$$&$e^{+},\bar \upsilon_{e}$&$\mu^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$$&$$&$\mu,\upsilon_{\mu}$&$$&$$&$e^{+},\upsilon_{e}$&$$&$$\\ 
$$&$e^{+},\tau^{+}$&$e^{+},\upsilon_{\tau}$&$$&$$&$e^{+},\mu^{+}$&$e^{+},\upsilon_{\mu}$&$$&$e^{+},\bar \upsilon_{e}$&$e^{+}$&$\mu^{+},\upsilon_{\mu}$&$L$&$e^{+}$\\ 
$\tau^{+},\bar \upsilon_{\tau}$&$$&$$&$\tau,\upsilon_{\tau}$&$e^{+},\bar \upsilon_{e}$&$$&$$&$e^{+},\bar \upsilon_{e}$&$$&$$&$\tau^{+},\upsilon_{\tau}$&$$&$$\\ \hline

$$&$e^{+},\bar \upsilon_{e}$&$e^{+},\bar \upsilon_{e}$&$$&$$&$\mu^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$\mu,\upsilon_{\mu}$&$$&$$&$$&$$&$e,\bar \upsilon_{e}$&$$\\  
$\bar \upsilon_{e},\bar \upsilon_{\tau}$&$$&$$&$\tau,\bar \upsilon_{e}$&$\bar \upsilon_{e},\bar \upsilon_{\mu}$&$$&$$&$\mu,\bar \upsilon_{e}$&$\bar \upsilon_{e}$&$e^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$L$&$\mu,\bar \upsilon_{\mu}$&$\bar \upsilon_{e}$\\  
$$&$\tau^{+},\bar \upsilon_{\tau}$&$\tau,\upsilon_{\tau}$&$$&$$&$e^{+},\bar \upsilon_{e}$&$e^{+},\bar \upsilon_{e}$&$$&$$&$$&$$&$\tau,\bar \upsilon_{\tau}$&$$\\  \hline

$$&$\tau^{+},\bar \upsilon_{\tau}$&$\tau,\upsilon_{\tau}$&$$&$e,\bar \upsilon_{e}$&$$&$$&$$&$$&$\mu,\upsilon_{\mu}$&$e,\upsilon_{e}$&$$&$$\\  
$\mu,\bar \upsilon_{\tau}$&$$&$$&$\mu,\tau$&$\mu,\bar \upsilon_{\mu}$&$L$&$\mu,\upsilon_{\mu}$&$\mu$&$\mu,\bar \upsilon_{e}$&$$&$$&$e,\mu$&$\mu$\\ 
$$&$\mu,\upsilon_{\mu}$&$\mu,\upsilon_{\mu}$&$$&$\tau,\bar \upsilon_{\tau}$&$$&$$&$$&$$&$e^{+},\bar \upsilon_{e}$&$\mu,\upsilon_{\mu}$&$$&$$\\  \hline

$\tau^{+},\bar \upsilon_{\tau}$&$$&$$&$\tau,\upsilon_{\tau}$&$$&$e^{+},\upsilon_{e}$&$$&$$&$\mu,\upsilon_{\mu}$&$$&$$&$e,\upsilon_{e}$&$$\\ 
$$&$\tau^{+},\upsilon_{\mu}$&$\upsilon_{\mu},\upsilon_{\tau}$&$$&$L$&$\mu^{+},\upsilon_{\mu}$&$\upsilon_{\mu}$&$\mu,\upsilon_{\mu}$&$$&$e^{+},\upsilon_{\mu}$&$\upsilon_{e},\upsilon_{\mu}$&$$&$\upsilon_{\mu}$\\ 
$\mu,\upsilon_{\mu}$&$$&$$&$\mu,\upsilon_{\mu}$&$$&$\tau^{+},\upsilon_{\tau}$&$$&$$&$e^{+},\bar \upsilon_{e}$&$$&$$&$\mu,\upsilon_{\mu}$&$$\\  \hline

$\mu^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$$&$$&$\mu^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$$&$$&$e^{+},\upsilon_{e}$&$$&$\mu^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$$&$$&$e,\upsilon_{e}$&$$\\  
$$&$\mu^{+},\tau^{+}$&$\mu^{+},\upsilon_{\tau}$&$$&$\mu^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$\mu^{+}$&$\mu^{+},\upsilon_{\mu}$&$L$&$$&$e^{+},\mu^{+}$&$\mu^{+},\upsilon_{e}$&$$&$\mu^{+}$\\  
$\tau^{+},\bar \upsilon_{\tau}$&$$&$$&$\tau,\upsilon_{\tau}$&$$&$$&$\tau^{+},\upsilon_{\tau}$&$$&$e^{+},\bar \upsilon_{e}$&$$&$$&$\mu^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$$\\  \hline

$$&$\mu^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$\mu^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$$&$$&$$&$$&$e,\bar \upsilon_{e}$&$$&$\mu^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$e,\upsilon_{e}$&$$&$$\\  
$\bar \upsilon_{\tau},\bar \upsilon_{\mu}$&$$&$$&$\tau,\bar \upsilon_{\mu}$&$\bar \upsilon_{\mu}$&$\mu^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$L$&$\mu,\bar \upsilon_{\mu}$&$\bar \upsilon_{e},\bar \upsilon_{\mu}$&$$&$$&$e,\bar \upsilon_{\mu}$&$\bar \upsilon_{\mu}$\\ 
$$&$\tau^{+},\bar \upsilon_{\tau}$&$\tau,\upsilon_{\tau}$&$$&$$&$$&$$&$\tau,\bar \upsilon_{\tau}$&$$&$e^{+},\bar \upsilon_{e}$&$\mu^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$$&$$\\  \hline

$e,\bar \upsilon_{e}$&$$&$$&$$&$$&$\mu^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$\tau,\upsilon_{\tau}$&$$&$$&$e^{+},\bar \upsilon_{e}$&$e,\upsilon_{e}$&$$&$$\\  
$\mu,\bar \upsilon_{\mu}$&$L$&$\tau,\upsilon_{\tau}$&$\tau$&$\tau,\bar \upsilon_{\mu}$&$$&$$&$\mu,\tau$&$\tau,\bar \upsilon_{e}$&$$&$$&$e,\tau$&$\tau$\\ 
$\tau,\bar \upsilon_{\tau}$&$$&$$&$$&$$&$\tau,\upsilon_{\tau}$&$\mu,\upsilon_{\mu}$&$$&$$&$\tau,\upsilon_{\tau}$&$\tau,\upsilon_{\tau}$&$$&$$\\  \hline

$$&$e^{+},\upsilon_{e}$&$$&$$&$\mu^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$$&$$&$\tau,\upsilon_{\tau}$&$e^{+},\bar \upsilon_{e}$&$$&$$&$e,\upsilon_{e}$&$$\\  
$L$&$\mu^{+},\upsilon_{\mu}$&$\upsilon_{\tau}$&$\tau,\upsilon_{\tau}$&$$&$\mu^{+},\upsilon_{\tau}$&$\upsilon_{\mu},\upsilon_{\tau}$&$$&$$&$e^{+},\upsilon_{\tau}$&$\upsilon_{\tau},\upsilon_{e}$&$$&$\upsilon_{\tau}$\\  
$$&$\tau^{+},\upsilon_{\tau}$&$$&$$&$\tau,\upsilon_{\tau}$&$$&$$&$\mu,\upsilon_{\mu}$&$\tau,\upsilon_{\tau}$&$$&$$&$\tau,\upsilon_{\tau}$&$$\\  \hline

$$&$$&$e^{+},\upsilon_{e}$&$$&$\mu^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$$&$$&$\tau^{+},\bar \upsilon_{\tau}$&$e^{+},\bar \upsilon_{e}$&$$&$$&$e,\upsilon_{e}$&$$\\  
$\tau^{+},\bar \upsilon_{\tau}$&$\tau^{+}$&$\mu^{+},\upsilon_{\mu}$&$L$&$$&$\mu^{+},\tau^{+}$&$\tau^{+},\upsilon_{\mu}$&$$&$$&$e^{+},\tau^{+}$&$\upsilon_{e},\tau^{+}$&$$&$\tau^{+}$\\  
$$&$$&$\tau^{+},\upsilon_{\tau}$&$$&$\tau^{+},\bar \upsilon_{\tau}$&$$&$$&$\mu,\upsilon_{\mu}$&$\tau^{+},\bar \upsilon_{\tau}$&$$&$$&$\tau^{+},\bar \upsilon_{\tau}$&$$\\  \hline

$$&$$&$$&$e,\bar \upsilon_{e}$&$$&$\mu^{+},\bar \upsilon_{\mu}$&$\tau^{+},\bar \upsilon_{\tau}$&$$&$$&$e^{+},\bar \upsilon_{e}$&$e,\upsilon_{e}$&$$&$$\\  
$\bar \upsilon_{\tau}$&$\tau^{+},\bar \upsilon_{\tau}$&$L$&$\mu,\bar \upsilon_{\mu}$&$\bar \upsilon_{\tau},\bar \upsilon_{\mu}$&$$&$$&$\mu,\bar \upsilon_{\tau}$&$\bar \upsilon_{e},\bar \upsilon_{\tau}$&$$&$$&$e,\bar \upsilon_{\tau}$&$\bar \upsilon_{\tau}$\\  
$$&$$&$$&$\tau,\bar \upsilon_{\tau}$&$$&$\tau^{+},\bar \upsilon_{\tau}$&$\mu,\upsilon_{\mu}$&$$&$$&$\tau^{+},\bar \upsilon_{\tau}$&$\tau^{+},\bar \upsilon_{\tau}$&$$&$ $\\  \hline
\end{tabular}
}
\end{center}
}
\end{table}




%===================================================


\section{ابرساختارها و وراثت}

هدف اصلی ما در این بخش این است که به ارائه نمونه‌هایی از ابرساختارهای جبری که با وراثت در ارتباطند بپردازیم.  مباحث ریاضی آن دسته از ابرساختارهای جبری که در ژنتیک بوجود می‌آیند، بسیار جالب است. علاوه بر این بسیاری از خواص جبری این ابرساختارها دارای اهمیت زیادی در ژنتیک است. در واقع یک عملکرد کاملا متقابل بین ابرساختارهای جبری و خواص ژنتیکی مربوطه وجود دارد که باعث جذابیت این موضوع می‌شود. لازم به ذکر است عموماً این نوع از ابرساختارها جابجایی و شرکت‌پذیر ضعیف هستند. 

علم ژنتیک با آزمایشات فردی به نام یوهان گروگر مندل\LTRfootnote{Johann Gregor Mendel} در سال 1866 شروع شد. او کشیشی اتریشی بود که توانست از ترکیب ریاضیات و زیست شناسی، قوانین حاکم بر انتقال صفات وراثتی را که حاصل آزمایش‌هایش روی گیاه نخود فرنگی بود، شناسایی کند. ولی از آنجایی که در جامعه علمی آن زمان بسیاری از افراد با نفوذ همچنان نظریات داروین و لامارک را صحیح می‌پنداشتند به دیدگاه‌ها و کشفیات او اهمیت چندانی ندادند و نتایج کارهای مندل به دست فراموشی سپرده شد. به نظر می‌رسید، پرونده این دانش رو به بسته شدن است. در سال ۱۹۰۰ میلادی کشف مجدد قوانین ارائه شده از سوی مندل، توسط درویس، شرماک و کورنز باعث شد که نظریات او مورد توجه و قبول قرار گرفته و مندل به عنوان پدر علم ژنتیک شناخته شود.
بعد از کشف مجدد کارهای مندل در ابتدای این قرن، خیلی سریع به این موضوع پی برده شد که اصول اساسی وراثت که وی در نخود فرنگی کشف کرده بود در گونه‌های گیاهی و جانوری دیگر نیز می‌تواند مورد استفاده قرار گیرد.

اکنون برای پی بردن به نحوه ارتباط بین ابرساختارها و علم وراثت مثال‌هایی را بیان می‌کنیم. البته قبل از پرداختن به کارهای مندل بهتر است با بعضی از اصطلاحات اولیه ژنتیک آشنا شوییم.\\
{\bfseries  فنوتیپ\LTRfootnote{ Phenotype}:}
 هر صفت یا مشخصه‌ای که بتواند در نسل‌های مختلف خود را نشان داده 
و یک الگوی وارثتی از خود نشان دهد را فنوتیپ می‌نامیم. برای مثال رنگ چشم یا شکل برگ فنوتیپ محسوب می‌شوند.\\
{\bfseries  ژنوتیپ\LTRfootnote{Genotype}:}
عبارت است از ساختار ژنی برای یک فنوتیپ خاص که می‌تواند آن فنوتیپ را ایجاد کند. برای مثال ژنوتیپ $RR$ در گیاه نخود فرنگی باعث بوجود آمدن فنوتیپ صافی دانه‌ها در این گیاه می‌شود.\\
{\bfseries غالبیت\LTRfootnote{Dominance}:} 
ممکن است برای یک صفت چندین فنوتیپ وجود داشته باشد. وقتی که دو فرد دارای فنوتیپ مختلف برای یک صفت، که کاملا خالص\LTRfootnote{Pure-bred}  هستند با یکدیگر آمیزش کنند و در فرزندان تنها یک فنوتیپ مشاهده شود گفته می‌شود که فنوتیپ ظاهر شده در فرزندان غالب\LTRfootnote{Dominant}  و فنوتیپ ظاهر نشده مغلوب\LTRfootnote{Recessive} است. در اینجا فرزند از نظر فنوتیپی شبیه یکی از والدین است اما به لحاظ ژنوتیپی دورگه\LTRfootnote{Hybrid}  است چون از هر دو والد ژن دریافت کرده است.\\
{\bfseries آلل\LTRfootnote{Allele}:} 
به اشکال مختلف یک ژن که در محل‌های یکسان بر روی کروموزوم‌های مشابه قرار می‌گیرند آلل گفته می‌شود.\\
{\bfseries منوهیبرید\LTRfootnote{Mono-hybrid}:} 
هرگاه که آمیزش مربوط به فنوتیپ‌های مختلف یک صفت نباشد و تنها یک صفت خاص در آمیزش مورد مطالعه قرار گیرد آنرا اصطلاحاً منوهیبرید می‌نامند.\\
{\bfseries دی‌هیبرید\LTRfootnote{Di-hybrid}:}  
زمانی که توارث دو صفت، در آمیزش‌ها مدنظر باشد این آمیزش را دی‌هیبرید می‌گویند.
\begin{kazem}

در مثال‌های آتی والدین را با حرف "$P$"، نسل‌ها را با "$F$" و عمل لقاح یا آمیزش را با "$\otimes$" نشان می‌دهیم.
\end{kazem}

در ادامه به نحوه‌ی انجام آزمایش‌های مندل پرداخته و با خلاصه کردن روش کارهای او در جدول‌هایی، خاصیت ابرساختار بودن آنها را مورد تجزیه و تحلیل قرار می‌دهیم.
\begin{example}
مندل در آزمایشات خود چندین صفت مربوط به گیاه نخود فرنگی را مورد مطالعه قرار داد. برای مثال یکی از صفاتی که مندل مورد مطالعه قرار داد شکل دانه‌ها بود. او دو گیاه کاملاً خالص برای شکل دانه‌ها را با یکدیگر آمیزش داد که یکی از آنها دارای دانه‌های صاف و دیگری دارای دانه‌های چروکیده بود. زاده‌های بوجود آمده از آمیزش والدین خالص را نسل اول\LTRfootnote{First filial} یا "$F_{_{1}}$" می‌نامند. در نسل اول تمام دانه‌ها صاف بودند بنابراین صفت صافی نسبت به صفت چروکیدگی غالب بود. سپس او به گیاهان نسل اول اجازه داد تا بین خودشان خود لقاحی انجام دهند تا نسل دوم\LTRfootnote{Second filial}  یا "$F_{_{2}}$" بوجود آید. در نسل دوم بعضی از گیاهان دارای دانه‌های چروکیده و بقیه دارای دانه‌های صاف بودند. او دانه‌های صاف و چروکیده را شمارش کرد و مشاهده کرد که نسبت دانه‌های صاف به چروکیده 3 به 1 $(3:1)$ است. نتایج حاصل از این آزمایش را می‌توان به صورت زیر خلاصه کرد:
\begin{flushleft}
$ P:\textsc{صاف}(RR \,\ \textsc{ژنوتیپ}) \otimes \textsc{چروکیده}(rr \,\ \textsc{ژنوتیپ})$\\
$\downarrow$\\
$F_{_1 } :\textsc{صاف همگی}(Rr\,\ \textsc{ژنوتیپ})$
\end{flushleft}
و 
\begin{flushleft}
$ F_{_{1}}\otimes F_{_{1}}:\textsc{صاف}(Rr \,\ \textsc{ژنوتیپ}) \otimes \textsc{صاف}(Rr \,\ \textsc{ژنوتیپ})$\\
$\downarrow$\\
$F_{_2 } :\textsc{صاف}(RR \,\ \textsc{ژنوتیپ}), \textsc{صاف}(Rr \,\ \textsc{ژنوتیپ}), \textsc{چروکیده}(rr \,\ \textsc{ژنوتیپ})$
\end{flushleft}
برای سادگی صافی را  "$R$" و چروکیدگی را  "$W$" درنظر می‌گیریم. روند فوق را می‌توان در جدول زیر مشاهده کرد:
\begin{center}
\begin{tabular}{cc|c}
$W$&$R$&$\otimes$ \\
\hline
$R$ &$R,W$&$R$ \\

%$ $&$ $&$ $ \\

$W$ &$R$&$W$ \\
 
\end{tabular}
\end{center}
حال اگر قرار دهیم $H=\left\lbrace R,W \right\rbrace $ آنگاه به راحتی ملاحظه می‌شود که $(H,\otimes)$ یک ابرگروه است.
\end{example}
با روشی مشابه با آزمایش فوق برای صفت‌های زرد رنگی و سبز رنگی دانه‌های نخود فرنگی نیز نتیجه به همان صورت است که در زیر مشاهده می‌کنید. (در این آزمایش فرض بر این است که زردی صفت غالب است).
\begin{flushleft}
$ P:\textsc{زرد}(TT) \otimes \textsc{سبز}(tt)$\\
$\downarrow$\\
$F_{_1 } :\textsc{زرد همگی}(Tt)$
\end{flushleft}
و 
\begin{flushleft}
$ F_{_{1}}\otimes F_{_{1}}:\textsc{زرد}(Tt) \otimes \textsc{زرد}(Tt)$\\
$\downarrow$\\
$F_{_2 } :\textsc{زرد}(TT), \textsc{زرد}(Tt), \textsc{سبز}(tt)$
\end{flushleft}
در اینجا نیز برای سادگی زرد رنگ بودن را "$T$" و سبز رنگ بودن را  "$D$" درنظر می‌گیریم. برای آزمایش فوق نیز جدول زیر را داریم:
\begin{center}
\begin{tabular}{cc|c}
$D$&$T$&$\otimes$ \\
\hline
$T$ &$T,D$&$T$ \\

%$ $&$ $&$ $ \\

$D$ &$T$&$D$ \\
 
\end{tabular}
\end{center}
فرض کنید  $H=\left\lbrace T,D \right\rbrace $ در این صورت به راحتی ملاحظه می‌شود که $(H,\otimes)$ یک ابرگروه است.

در ادامه مثالی از آمیزش دی‌هیبریدها را ارائه می‌کنیم. در اینجا کار کمی با مثال‌های قبل متفاوت است، در واقع در این مرحله عمل آمیزش بین دو گونه نخود فرنگی که دارای دو صفت هستند انجام می‌گیرد. مطلبی که باید به آن اشاره کرد این است که  تعداد صفات مورد مطالعه مهم نیستند و پایه و اساس آنالیزها، منوهیبرید است یعنی اگر آمیزش منوهیبرید را کاملا فهمیده باشیم آنالیز دی‌هیبریدها بسیار سهل و آسان است. اولین آزمایش‌های دی‌هیبرید را مندل انجام داد که نمونه‌ای از آن را در زیر بیان می‌کنیم.
\begin{example}
فرض کنید شکل دانه نخود بوسیله دو آلل "$R$" و "$r$" کنترل می‌شود. آلل "$R$" باعث ایجاد دانه‌های صاف و آلل "$r$" باعث ایجاد دانه‌های چروکیده می‌شود. آلل  "$T$" باعث ایجاد رنگ زرد در دانه نخود می‌شود و نسبت به آلل "$t$" که باعث ایجاد رنگ سبز در دانه ‌ها می‌شود غالب است. از آمیزش بین والدین خالص دانه زرد و صاف $(RRTT)$ و دانه سبز و چروکیده $(ttrr)$ گیاهانی با فنوتیپ دانه زرد و صاف $(RrTt)$ در $F_{_{1}}$ بوجود می‌آید. پس از آن مندل به نسل اول  اجازه داد که با هم خودلقاحی انجام دهند و نسل دوم بوجود آید. از 556 دانه بدست آمده او مشاهده کرد که 315 عدد دانه زرد و  صاف، 108 عدد صاف و سبز، 101 عدد چروکیده و زرد و 32 عدد آنها چروکیده و زرد هستند. این اعداد بسیار نزدیک به نسبت‌های 9:3:3:1 هستند که  نسبت‌های دی‌هیبریدی نامیده می‌شوند. نحوه انجام این آزمایش را در زیر مشاهده می‌کنید:
\begin{flushleft}
$ P:\textsc{صاف و زرد}(RRTT) \otimes \textsc{چروکیده و سبز}(rrtt)$\\
$\downarrow$\\
$F_{_1 } :\textsc{صاف و زرد همگی}(RrTt)$
\end{flushleft}
و 
\begin{flushleft}
$ F_{_{1}}\otimes F_{_{1}}:\textsc{صاف و زرد}(RrTt) \otimes \textsc{صاف و زرد}(RrTt)$\\
$\downarrow$\\
$F_{_2 } :\textsc{صاف و زرد}(RRTT), \textsc{صاف و سبز}(RRtt), \textsc{چروکیده و زرد}(rrTT, rrTt), \textsc{چروکیده و سبز}(rrtt)$
\end{flushleft}
برای سادگی زرد و صاف را با $A$، سبز و صاف را با $B$، زرد و چروکیده را با $C$ و سبز و چروکیده را با $D$ نشان می‌دهیم بنابراین جدول زیر را خواهیم داشت:
%\begin{center}
%\begin{tabular}{cccc|c}
%$D$&$C$&$B$&$A$&$\otimes$ \\
%\hline
%$AB$&$AB$&$AB$&$AB$&$A$ \\
%$CD$&$CD$&$CD$&$CD$&$ $\\
%$ $&$ $&$ $&$ $&$ $ \\

%$BD$&$AB$&$BD$&$AB$&$ B$ \\
%$ $&$ CD$&$ $&$ CD$&$ $\\
%$ $&$ $&$ $&$ $&$ $ \\

%$CD$&$CD$&$AB$&$AB$&$C$ \\
%$ $&$ $&$ CD$&$CD $&$ $\\
%$ $&$ $&$ $&$ $&$ $ \\

%$D$&$CD$&$BD$&$AB$&$D$ \\
%$ $&$ $&$ $&$ CD$&$ $\\

%\end{tabular}
%\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{cccc|c}
$D$&$C$&$B$&$A$&$\otimes$ \\
\hline
$ABCD$&$ABCD$&$ABCD$&$ABCD$&$A$ \\

$BD$&$ABCD$&$BD$&$ABCD$&$ B$ \\

$CD$&$CD$&$ABCD$&$ABCD$&$C$ \\

$D$&$CD$&$BD$&$ABCD$&$D$ \\

\end{tabular}
\end{center}


فرض کنید $H=\left\lbrace A,B,C,D \right\rbrace  $، در این صورت واضح است که $(H,\otimes)$ یک ابرگروه است. از طرفی $H_{_{0}}=\left\lbrace C,D\right\rbrace $ نیز یک زیرابرگروه $H$ است.
\end{example}
 
 در طبیعت گل‌های لاله عباسی با رنگ‌های متفاوتی وجود دارد. در اینجا نحوه‌ی آمیزش این نوع از گل‌ها را در مثالی مورد بررسی قرار می‌دهیم. لازم به ذکر است که تفاوتی که این مثال با مثال‌های قبلی دارد این است که صفت غالب و مغلوب بودن به غالبیت ناکامل یا جزئی\LTRfootnote{Patial or Incomplete dominance} تغییر می‌کند. به عبارت دیگر نسل بوجود آمده از آمیزش والدین با صفت خالص، دارای صفت غالب نیستند بلکه دارای صفتی مابین دو صفت موجود در والدین خود هستند. این تفاوت نیز باعث بوجود آمدن ابرساختارهای متفاوتی خواهد شد.
 \begin{example}
 
 یک گل لاله عباسی را با گلبرگ‌های قرمز (والد خالص) را با گل دیگری با گلبرگ‌های سفید (والد خالص) آمیزش می‌دهیم. در نسل اول تمام گل‌ها  صورتی رنگ خواهند شد. حال اگر گل‌های صورتی را دوباره با گل‌های صورتی آمیزش دهیم گل‌های حاصل در نسل دوم با سه فنوتیپ بوجود می‌آیند که این فنوتیپ‌ها عبارتند از: سفید، صورتی و قرمز با نسبت‌های 1:2:1 که متفاوت با نسبت 3:1 در مثال‌های قبل است. برای پی بردن به نحوه عملکرد این موضوع فرض کنید که $R_{_{1}}$  نشان دهنده رنگدانه قرمز و $R_{_{2}}$ نیز نشان‌ دهنده رنگدانه سفید باشد. نحوه‌ی آمیزش گل‌های قرمز و سفید را در زیر مشاهده می‌کنید:
 \begin{flushleft}
$ P:\textsc{قرمز}(R_{_{1}}R_{_{1}}) \otimes \textsc{سفید}(R_{_{2}}R_{_{2}})$\\
$\downarrow$\\
$F_{_1 } :\textsc{صورتی همگی}(R_{_{1}}R_{_{2}})$
\end{flushleft}
و 
\begin{flushleft}
$ F_{_{1}}\otimes F_{_{1}}:\textsc{صورتی}(R_{_{1}}R_{_{2}}) \otimes \textsc{صورتی}(R_{_{1}}R_{_{2}})$\\
$\downarrow$\\
$F_{_2 } :\textsc{قرمز}(R_{_{1}}R_{_{1}}), \textsc{صورتی}(R_{_{1}}R_{_{2}}), \textsc{سفید}(R_{_{2}}R_{_{2}})$
\end{flushleft}
حال اگر گل قرمز را با $R$، صورتی را با $P$ و سفید را با $W$ در نظر بگیریم جدول زیر را خواهیم داشت:
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc|c}
$W$&$P$&$R$&$\otimes$ \\
\hline
$P$&$R,P$&$R$&$R$ \\
%$ $&$ $&$ $&$ $ \\

$R,P$&$R,P,W$&$R,P$&$ P$ \\
%$ $&$ $&$ $&$ $ \\

$W$&$R,P$&$P$&$W$ \\

\end{tabular}
\end{center}
فرض کنید $H=\left\lbrace R,P,W\right\rbrace $ بنابراین$(H,\otimes)$ یک $H_{\nu}$-نیم‌گروه است. برای مثال: 
\begin{flushleft}
$R\otimes (R \otimes W)=R\otimes P=\left\lbrace R,P \right\rbrace $ 
\end{flushleft}
و 
\begin{flushleft}
$(R\otimes R) \otimes W=R\otimes W=\left\lbrace P\right\rbrace$
\end{flushleft}
لذا $R\otimes (R \otimes W) \cap (R\otimes R) \otimes W \neq\emptyset$. از طرفی 
$R\otimes H\neq H$،
 درنتیجه 
 $(H,\otimes)$
 یک $H_{\nu}$-نیم‌گروه است.



\end{example}











\end{document}