\documentclass[12pt,oneside]{bidipresentation} %\pagestyle{pres} %\usepackage[pagebackref=true]{hyperref} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{shapes,snakes} \usepackage{pstricks} %\hypersetup{pdfborder={0 0 0}, colorlinks = false} \usepackage{eso-pic} \usepackage{amsthm,amssymb,amsmath} \usepackage{sidebarbidipres} \usepackage{xepersian} \def\mathfamilydefault{\rmdefault} \linespread{2} \pagestyle{pres} %%رنگ​ها \sidebartc{cmyk}{0,0,0,1} \linktc{cmyk}{1,0.94,0,0} \rtopbarc{cmyk}{0.7,0.3,0,0} \ltopbarc{cmyk}{0.15,0.15,0,0} \ltopbartc{cmyk}{0,0,0,1} \rbotbarc{cmyk}{0.15,0.15,0,0} \lbotbarc{cmyk}{0.7,0.3,0,0} \lbotbartc{cmyk}{0,0,0,0} %\settextfont{DejaVu Sans} \settextfont[Scale=1.37]{XB Niloofar}%{Nazanin 2} \setlatintextfont[Scale=1.0]{Times New Roman}%{XB Zar} \setdigitfont[Scale=1.2]{PGaramond}%{Nazanin 2} \defpersianfont\titr[Scale=1.1]{XB Zar}%{Titr Farsi} \defpersianfont\zar[Scale=1]{XB Zar} \defpersianfont\naz[Scale=1.37]{XB Zar}%{XB Niloofar} \defpersianfont\nazb[Scale=1.37]{XB Zar}%{XB Niloofar} \deflatinfont\time[Scale=1.1]{Times New Roman} %\newcounter{bptnhsa} %\setRTL %\def\bptnhsaadd{\stepcounter{bptnhsa}\thebptnhsa} %\renewcommand{\thebptnhsa}{\arabic{bptnhsa}\thesection} %\makeatletter %\@addtoreset{bptnhsa}{section} %\makeatother %%%%%%%%%%%%%%%%%% هادی صفی اقدم%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % #1 عنوان کادر %#2 متن اسلاید %#3 عکس پس زمینه اسلاید به صورت مثلا gra.png \tikzstyle{mybox} = [draw=blue!30, fill=none, very thick, rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt] \tikzstyle{fancytitle} =[fill=lightgray, text=blue] %%%%%%%%% \newcommand{\myslide}[3]{\begin{plainslide} \begin{tikzpicture}\node [mybox] (box){\setRTL\begin{minipage}{0.95\textwidth} {#2} \end{minipage}};\node[fancytitle, left=10pt] at (box.north east) {\hboxR{{ \Large{#1}}}};\end{tikzpicture} \AddToShipoutPicture*{\put(-512,0){\includegraphics[height=\paperheight, width=194mm]{#3}}} \end{plainslide} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % محیط قضیه %1 متن اسلاید \tikzstyle{myghazye} = [draw=blue!30, fill=none, very thick, rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt] \tikzstyle{fancytitleghazye} =[fill=yellow!20, text=red] %%%%%%% \newcommand{\myghazye}[1]{ \begin{tikzpicture}\node [myghazye] (box){\setRTL\begin{minipage}{0.95\textwidth} {#1} \end{minipage}};\node[fancytitleghazye, left=10pt] at (box.north east) {\hboxR{{\Large{قضیه }}}};\end{tikzpicture} \AddToShipoutPicture*{\put(-512,0){\includegraphics[height=\paperheight, width=194mm]{b.jpeg}}} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % محیط تعریف \tikzstyle{mytarif} = [draw=blue!20, fill=none, very thick, rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt] \tikzstyle{fancytitletarif} =[fill=blue!20, text=blue] %%%%%%% \newcommand{\mytarif}[1]{ \begin{tikzpicture}\node [mytarif] (box){\setRTL\begin{minipage}{0.95\textwidth} {#1} \end{minipage}};\node[fancytitletarif, left=10pt] at (box.north east) {\hboxR{{\Large{تعریف }}}};\end{tikzpicture} \AddToShipoutPicture*{\put(-512,0){\includegraphics[height=\paperheight, width=194mm]{b.jpeg}}} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % محیط مثال \tikzstyle{mymesal} = [draw=blue, fill=none, very thick, rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt] \tikzstyle{fancytitlemesal} =[fill=blue!20, text=blue] %%%%%%%%% \newcommand{\mymesal}[1]{ \begin{tikzpicture}\node [mymesal] (box){\setRTL\begin{minipage}{0.95\textwidth} {#1} \end{minipage}};\node[fancytitlemesal, left=10pt] at (box.north east) {\hboxR{{\Large{مثال }}}};\end{tikzpicture} \AddToShipoutPicture*{\put(-512,0){\includegraphics[height=\paperheight, width=194mm]{b.jpeg}}} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%% هادی صفی اقدم%%%%%%%%%%% %محیط نکته \tikzstyle{mynokte} = [draw=blue!20, fill=none, very thick, rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt] \tikzstyle{fancytitletarif} =[fill=blue!20, text=blue] %%%%%%% \newcommand{\mynokte}[1]{ \begin{tikzpicture}\node [mynokte] (box){\setRTL\begin{minipage}{0.95\textwidth} {#1} \end{minipage}};\node[fancytitletarif, left=10pt] at (box.north east) {\hboxR{{\Large{نکته }}}};\end{tikzpicture} \AddToShipoutPicture*{\put(-512,0){\includegraphics[height=\paperheight, width=194mm]{b.jpeg}}} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %محیط لم \tikzstyle{mylem} = [draw=blue!30, fill=none, very thick, rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt] \tikzstyle{fancytitleghazye} =[fill=yellow!20, text=red] %%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mylem}[1]{ \begin{tikzpicture}\node [mylem] (box){\setRTL\begin{minipage}{0.95\textwidth} {#1} \end{minipage}};\node[fancytitleghazye, left=10pt] at (box.north east) {\hboxR{{\Large{لم }}}};\end{tikzpicture} \AddToShipoutPicture*{\put(-512,0){\includegraphics[height=\paperheight, width=194mm]{b.jpeg}}} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5 % محیط پیشگفتار \tikzstyle{mypish} = [draw=blue!30, fill=none, very thick, rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt] \tikzstyle{fancytitleghazye} =[fill=yellow!20, text=red] %%%%%%% \newcommand{\mypish}[1]{ \begin{tikzpicture}\node [mypish] (box){\setRTL\begin{minipage}{0.95\textwidth} {#1} \end{minipage}};\node[fancytitleghazye, left=10pt] at (box.north east) {\hboxR{{\Large{پیشگفتار }}}};\end{tikzpicture} \AddToShipoutPicture*{\put(-512,0){\includegraphics[height=\paperheight, width=194mm]{b.jpeg}}} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \tikzstyle{myhads} = [draw=blue!30, fill=none, very thick, rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt] \tikzstyle{fancytitleghazye}=[fill=yellow!20, text=red] %%%%%%% \newcommand{\myhads}[1]{ \begin{tikzpicture}\node [myhads] (box){\setRTL\begin{minipage}{0.95\textwidth} {#1} \end{minipage}};\node[fancytitleghazye, left=10pt] at (box.north east) {\hboxR{{\Large{حدس $L^{p}$ }}}};\end{tikzpicture} \AddToShipoutPicture*{\put(-512,0){\includegraphics[height=\paperheight, width=194mm]{b.jpeg}}} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \tikzstyle{mycol} = [draw=blue!30, fill=none, very thick, rectangle, rounded corners, inner sep=10pt, inner ysep=20pt] \tikzstyle{fancytitleghazye} =[fill=yellow!20, text=red] %%%%%%% \newcommand{\mycol}[1]{ \begin{tikzpicture}\node [mycol] (box){\setRTL\begin{minipage}{0.95\textwidth} {#1} \end{minipage}};\node[fancytitleghazye, left=10pt] at (box.north east) {\hboxR{{\Large{نتیجه}}}};\end{tikzpicture} \AddToShipoutPicture*{\put(-512,0){\includegraphics[height=\paperheight, width=194mm]{b.jpeg}}} } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% حسن زکی%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \title{حدس $L^{P}$ در گروه های توپولوژیک موضعا فشرده} \author{حسن زکی} \begin{document} %%محتویات سایدبار \begin{staticcontents*}{sidebar} \hspace{5mm}\includegraphics[width=2cm]{logo.png}% \begin{center} \color{sidebar-text} \begin{footnotesize} \bfseries\makeatletter\@title\makeatother \vskip 5mm \rm\makeatletter\@author\makeatother \end{footnotesize} \end{center} \begin{center} {\tiny \vskip 6cm \makeatletter\@starttoc{sdb}\makeatother \hyperref[sec:1]{گروه های توپولوژیک و فضاهای همگن} \\ \hyperref[sec:b]{حدس $L^{p}$} \\ \hyperref[sec:3]{نتایجی پیرامون حدس $L^{p}$} \\ \vspace{1.5cm}} \end{center} \end{staticcontents*} \begin{titlepage} \begin{plainslide} \AddToShipoutPicture*{% \put(-512,0){{\includegraphics[keepaspectratio=false,height=\paperheight ,width=194mm]{a.jpg}}}%\reflectbox 512 } \end{plainslide} \end{titlepage} \begin{plainslide} \AddToShipoutPicture*{% \put(-512,0){{\includegraphics[keepaspectratio=false,height=\paperheight ,width=194mm]{c.jpg}}}%\reflectbox 512 } %\AddToShipoutPicture*{% %\put(120,0){\includegraphics[angle=180,keepaspectratio=false,height=\paperheight ,width=130mm]{side2.jpg}}% %} \distance{1} \centering% \LARGE \color{yellow!40}{\huge\titr{\makeatletter\@title\makeatother}} \distance{2} \color{white}\rm\large \makeatletter\@author\makeatother\\[1ex]دانشگاه حکیم سبزواری-دانشکده ریاضی و علوم کامپیوتر\\[1ex] زیر نظر دکتر عارفی جمال \distance{2} \end{plainslide} \begin{plainslide} \tableofcontents \end{plainslide} \section{گروه های توپولوژیک و فضاهای همگن}\label{sec:1} \subsection{گروه های توپولوژیک} \begin{plainslide} \mytarif{فرض کنید $G$ یک گروه باشد که یک فضای توپولوژیک نیز هست. $G$ را یک گروه توپولوژیک می نامیم هرگاه شرایط زیر برقرار باشند. \begin{enumerate} \item تابع $(x,y)\longrightarrow xy$ از $G\times G$ به $G$ پیوسته باشد. \item تابع$x\longrightarrow x^{-1}$ از $G$ به $G$ پیوسته باشد. \end{enumerate}}\label{def1} اگر $G$ یک فضای توپولوژیک موضعا فشرده باشد، آن را یک گروه توپولوژیک موضعا فشرده می نامیم. \end{plainslide} \begin{rawslide} \mytarif{اگر $f$ یک تابع روی $G$ باشد و $y\in G$، عملگر چپ (راست) $f$ نسبت به $y$ را به صورت زیر تعریف می کنیم \Large $$L_{y}f(x)=f(yx)\,\big(R_{y}f(x)=f(xy)\big)$$}\label{def2} \mytarif{فرض کنید $\lambda$ یک اندازه رادون غیر صفر روی $G$ باشد. $\lambda$ را یک اندازه هار چپ(راست) می نامیم هرگاه برای هر $x\in G$ و برای هر زیرمجموعه بورل $E$ از $G$, \Large $$\lambda (xE)=\lambda (E)\big (\lambda(Ex)=\lambda(E)\big )$$}\label{def3} اگر $\lambda$ هم اندازه هار چپ باشد و هم اندازه هار راست، $\lambda$ را یک اندازه هار می نامیم. برای نمونه اندازه لبگ یک اندازه هار روی مجموعه اعداد حقیقی است. اندازه هار اولین بار در سال 1933 توسط آلفرد هار معرفی گردید. این اندازه در بسیاری از شاخه های آنالیز و همین طور در نظریه اعداد، نظریه گروه ها و ... کاربرد دارد. \end{rawslide} \begin{plainslide} \mynokte{ \begin{itemize} \item هر گروه توپولوژیک موضعا فشرده یک اندازه هار چپ دارد \item اگر $\lambda$ و $\mu$ دو اندازه هار چپ روی $G$ باشند، آنگاه {\Large $$\exists c\in (0,\infty)\quad s.t\quad \mu =c\lambda$$} \item اگر $\lambda$ یک اندازه هار چپ برای $G$ باشد، $x\in G$و $E$ یک زیرمجموعه بورل دلخواه از $G$ باشد، آنگاه $\lambda_{x}$ نیز با تعریف زیر یک اندازه هار چپ برای $G$ است. {\Large $$\lambda_{x}(E)=\lambda(xE)$$} \end{itemize}} \end{plainslide} \begin{plainslide} \mytarif{با توجه به نکته قبل برای هر $x\in G$ عدد مثبت $c$ وجود دارد به طوری که $\lambda_{x}=c\lambda$. به این ترتیب می توان تابع زیر را روی $G$ تعریف کرد. {\Large$$\Delta:G\longrightarrow (0,\infty)$$} به طوری که {\Large$$\Delta(x)=\dfrac{\lambda_{x}}{\lambda}$$} تابع فوق را تابع مدولی $G$ می نامیم.}\label{def4} \end{plainslide} \begin{plainslide} خواص تابع مدولی:\begin{itemize} \item $\Delta(xy)=\Delta(x)\Delta(y)$ بنابراین تابع مدولی یک همریختی است. \item $\Delta$ یک تابع پیوسته است. \item $d\lambda(x^{-1})=\Delta(x^{-1})d\lambda(x)$ \item $d\lambda(xy)=\Delta(y^{-1})d\lambda(x)$ \end{itemize} اگر $\Delta$ برابر با تابع ثابت ۱ باشد، گروه $G$ را تک مدولی می نامیم. \end{plainslide} \begin{plainslide} \myghazye{اگر $G$ تک مدولی نباشد، $\Delta$ پوشاست.} \myghazye{اگر $G$ فشرده یا گسسته باشد، آنگاه $G$ تک مدولی است.} \end{plainslide} \begin{plainslide} \subsubsection*{گروه های لی و گروه های همبند} \mytarif{یک فضای توپولوژیک را همبند می نامیم هرگاه به صورت اجتماع دو مجموعه باز ناتهی و مجزای خود نباشد. گروه توپولوژیک $G$ را همبند گوییم هرگاه $G$ یک فضای توپولوژیک همبند باشد. زیرمجموعه $A$ از $G$ را همبند می گوییم هرگاه $A$ با توپولوژی زیرفضایی، یک فضای توپولوژیک همبند باشد. گروه $G$ را کلا ناهمبند می نامیم هرگاه تنها زیرمجموعه های همبند آن، تک عضوی ها باشند.} دقت کنید چون همبندی یک خاصیت توپولوژیکی است، در صورت همبند بودن $G$، هر فضای همسانریخت با $G$ نیز همبند خواهد بود. \end{plainslide} \begin{plainslide} حال رابطه $\sim$ را برای هر $x,y\in G$ به صورت زیر تعریف می کنیم$$x\sim y\Leftrightarrow\text{زیرمجموعه همبند $A$ از $G$ موجود است به طوری که $x,y\in A$}$$ به آسانی می توان نشان داد $\sim$ یک رابطه هم ارزی است. بنابراین این رابطه $G$ را به رده های هم ارزی افراز می کند. به هریک از این رده های هم ارزی یک مولفه همبندی $G$ می گوییم.ه این ترتیب هر $x\in G$ به یکی از مولفه های هم بندی $G$ تعلق دارد. همچنین واضح است که مولفه همبندی در $x\in G$، اجتماع تمام مجموعه های همبند حاوی $x$ است. بنابراین هر مجموعه همبند در $G$ که حاوی $x$ باشد، زیرمجموعه مولفه همبندی در $x$ خواهد بود. \myghazye{اگر $C$ مولفه همبندی $G$ در نقطه همانی آن باشد، آنگاه $C$ زیرگروه بسته و نرمال $G$ است.} \end{plainslide} \begin{plainslide} به عنوان آخرین مطلب این بخش می خواهیم گروهی را معرفی کنیم که در جبر و هندسه کاربردهای بسیار زیادی دارد. اگر $G$ گروهی باشد که یک منیفلد هموار نیز هست، آن را گروه لی\LTRfootnote{Lie} می نامیم. اگر $G$ یک گروه لی توپولوژیک باشد، آنگاه نگاشت های {\Large$(x,y)\longmapsto xy$} از {\Large$G\times G$} به {\Large$G$} و {\Large$x\longmapsto x^{-1}$} از {\Large$G$} به {\Large$G$}، هموار خواهند بود. {\Large$(\mathbb{R}^{n},+)$} و {\Large$(S^{1},\times)$} مثال هایی از گروه های لی هستند. \end{plainslide} \begin{rawslide} \subsection{فضاهای تابعی روی $G$} \mytarif{$G$ را به عنوان یک فضای توپولوژیک در نظر بگیرید. مجموعه تمام توابع مختلط پیوسته روی $G$ را با $C(G)$ نمایش می دهیم. مجموعه توابع مختلط پیوسته روی $G$ که در بی نهایت به صفر میل می کنند را با $C_{0}(G)$ نمایش می دهیم. به بیان دقیق تر $f$ متعلق به $C_{0}(G)$ است اگر و تنها اگر به ازای هر $\varepsilon>0$ زیر مجموعه فشرده $K$ از $G$ موجود باشد به طوری که $$\vert f(x)\vert <\varepsilon \quad \forall x\in G\setminus K.$$ $C_{c}(G)$ را مجموعه توابع عضو $C(G)$ تعریف می کنیم که تکیه گاه فشرده داشته باشند. $C_{c}(G)$ با $\Vert .\Vert_{\infty}$ در $C_{0}(G)$ چگال است. همچنین در حالت کلی $$C_{c}(G)\subseteq C_{0}(G)\subseteq C(G)$$ اگر $G$ فشرده باشد، رابطه جزئیت به تساوی تبدیل می شود.} \end{rawslide} \begin{plainslide} \mytarif{اگر $G$ گروه توپولوژیک موضعا فشرده و $\lambda$ اندازه هار چپ آن باشد، فضای $L^{p}(G)$ را به صورت زیر تعریف می کنیم. {\Large$$L^{p}(G)=\big\lbrace f:G\longrightarrow \mathbb C\quad s.t\quad \Vert f\Vert_{p}=\bigg (\int_{G} \vert f\vert^{p}d\lambda\bigg )^{1/p}<\infty\big\rbrace$$}} فضای $L^{p}(G)$ همراه با $\Vert .\Vert_{p}$ یک فضای باناخ است. همچنین $C_{c}(G)$ با $\Vert .\Vert_{p}$ در $L^{p}(G)$ چگال است.از این پس نماد $L^{p}$ را به جای $L^{p}(G)$ به کار خواهیم برد و $\lambda$ را به عنوان اندازه هار چپ $G$ در نظر خواهیم گرفت. \end{plainslide} \begin{rawslide} \subsection{فضاهای همگن} \mytarif{فرض کنید $S$ یک فضای توپولوژیک هاسدورف و $G$ یک گروه توپولوژیک موضعا فشرده باشد. یک عمل چپ از $G$ روی $S$، تابع پیوسته از $G\times S$ به $S$ با ضابطه $(x,s)\longrightarrow xs$ است به طوری که \begin{enumerate} \item برای هر {\Large$x\in G$} تابع {\Large$s\longrightarrow xs$} یک همسانریختی روی {\Large$S$} باشد. \item برای هر {\Large$x,y\in G$} و {\Large$s\in S$ ، $x(ys)=(xy)s$}. \end{enumerate} فضای $S$ همراه یک عمل از $G$ روی $S$ را یک $-G$فضا می نامیم. $-G$فضای $S$ را ترایایی می نامیم اگر به ازای هر $s,t\in S$ عضو $x$ از $G$ موجود باشد به طوری که $xs=t$.} \mymesal{اگر $H$ زیر گروه بسته $G$ باشد، فضای خارج قسمتی $G/H$ همراه با عمل {\Large$(x,yH)\rightarrow xyH$} از $G\times G/H$ به $G/H$ یک $-G$ فضای ترایایی است.} \end{rawslide} \begin{plainslide} مثال قبل تقریبا تنها مثال برای یک $-G$فضای ترایایی است. به بیان دقیق تر اگر $S$ یک $-G$فضای ترایایی باشد و $s_{0}\in S$ را ثابت در نظر بگیریم، با تعریف {\Large$H=\lbrace x\in G\quad s.t\quad xs_{0}=s_{0}\rbrace$} به آسانی می توان نشان داد که $H$ بسته است و $S$ با $G/H$ در تناظر دوسویی است. اما متاسفانه در حالت کلی $S$ با $G/H$ همسانریخت نیست. در واقع برای اینکه این مطلب برقرار باشد نیاز است که $G$ یک فضای $-\sigma$ فشرده باشد. \mytarif{فرض کنید $S$ یک $-G$فضای ترایایی و $H$ به صورتی باشد که در بالا تعریف کردیم. اگر شرایطی وجود داشته باشد که $S$ با $G/H$ همسانریخت باشد، $S$ را یک فضای همگن می نامیم. } از این پس فضای همگن $S$ را به صورت فضای خارج قسمتی $G/H$ در نظر می گیریم که $G$ یک گروه موضعا فشرده و $H$ یک زیرگروه بسته دلخواه از آن است. \end{plainslide} \begin{plainslide} در ادامه قصد داریم فضای تابعی $C_{c}(G/H)$ را با کمک $C_{c}(G)$ تعریف کنیم. به این منظور نگاشت $P_{H}:C_{c}(G)\longrightarrow C_{c}(G/H)$ را با ضابطه زیر در نظر می گیریم. {\Large \begin{equation}\label{eqPH} P_{H}(f)(xH)=\int_{H}f(xh)d\lambda_{H}(h) \end{equation}} در تساوی بالا، $\lambda_{H}$ اندازه هار $H$ است. با استفاده از پایا بودن اندازه هار به آسانی می توان نشان داد $P_{H}$ خوش تعریف است. از طرفی $P_{H}$ خطی و پیوسته است و $supp\big(p_{H}(f)\big)\subset\pi(suppf)$. بنابراین برای هر $f\in C_{c}(G)$، $P_{H}(f)$ متعلق به $C_{c}(G/H)$ است. قضیه زیر نشان می دهد که $C_{c}(G)$ در واقع مجموعه تمام $P_{H}(f)$ هایی است که $f$ متعلق به $C_{c}(G)$ باشد. \end{plainslide} \begin{plainslide} \myghazye{اگر $\varphi$ متعلق به $C_{c}(G/H)$ باشد، آنگاه $f\in C_{c}(G)$ موجود است به طوری که $P_{H}(f)=\varphi$ و $\pi(suppf)=supp\varphi$} \mynokte{بیان می کند که اگر $H$ زیرگروه دلخواهی از گروه موضعا فشرده‌ (فشرده) $G$ باشد، آنگاه $G/H$ موضعا فشرده (فشرده) است. همچنین ، اگر $H$ نرمال باشد، $G/H$ یک گروه توپولوژیک است. بنابراین در صورت نرمال بودن $H$، وجود یک اندازه هار چپ برای $G/H$ تضمین می شود.} حال این سوال پیش می آید که در صورت نرمال نبودن $H$، آیا اندازه ای با ویژگی های مشابه اندازه هار روی $G/H$ وجود دارد؟ \end{plainslide} \begin{plainslide} \mytarif{فرض کنید $\mu$ یک اندازه رادون روی $G/H$ باشد. برای هر $x\in G$، انتقال چپ $\mu$ را با $\mu_{x}$ نمایش داده و برای هر زیرمجموعه بورل $E$ از $G$، $\mu_{x}$ به صورت زیر تعریف می کنیم {\Large$$\mu_{x}(E)=\mu(xE)$$} اگر برای هر $x\in G$ داشته باشیم $\mu_{x}=\mu$، آنگاه $\mu$ را $-G$پایا می نامیم. $\mu$ را قویا شبه پایا می نامیم هرگاه تابع پیوسته $\theta :G\times G/H\longrightarrow(0,\infty)$ وجود داشته باشد به طوری که {\Large$$d\mu_{x}(yH)=\theta(x,yH)d\mu(yH)\quad(x,y\in G)$$} اگر $\theta$ ثابت باشد، $\mu$ را نسبتا پایا می نامیم.} \end{plainslide} \begin{plainslide} \mytarif{یک $-\rho$تابع برای دوتایی $(G,H)$، تابع پیوسته $\rho :G\longrightarrow (0,\infty)$ است به طوری که در تساوی زیر صدق کند{\Large$$\rho(xh)=\dfrac{\Delta_{H}(h)}{\Delta_{G}(h)}\rho(x)\quad\quad\forall x\in G\,,\,h\in H$$}}\label{defro} در تساوی بالا $H$ یک زیرگروه $G$ است و $\Delta_{G}$ و $\Delta_{H}$ به ترتیب توابع مدولی $G$ و $H$ هستند. \end{plainslide} \begin{rawslide} \mynokte{\begin{itemize} \item اگر $H$ زیرگروه بسته $G$ باشد، وجود $-\rho$تابع برای دوتایی $(G,H)$ تضمین می شود. \item اندازه قویا شبه پایای $\mu$ روی $G/H$ وجود دارد به طوری که برای هر $f\in C_{00}(G)$ {\Large \begin{equation}\label{eqP} \int_{G/H}P_{H}(f)(xH)d\mu(xH)=\int_{G}f(x)\rho(x)d\lambda(x) \end{equation}} و برای هر $x,y\in G$ {\Large$$\dfrac{d\mu_{x}}{d\mu}(yH)=\dfrac{\rho(xy)}{\rho(y)}$$} همچنین هر اندازه قویا شبه پایا روی $G/H$ از یک $-\rho$تابع به دست می آید که در شرایط بالا صدق می کند. \end{itemize}} دو قضیه بعد، به ترتیب شرط لازم و کافی برای وجود یک اندازه نسبتا پایا و $-G$پایا روی $G/H$ را بیان می کنند. \end{rawslide} \begin{plainslide} \vspace*{-2mm} \myghazye{$-\rho$تابع نظیر $(G,H)$ همریختی است اگر و تنها اگر $G/H$ حاوی یک اندازه نسبتا پایا باشد.} \myghazye{اندازه رادون و $-G$پایای $\mu$ روی $G/H$ وجود دارد اگر و تنها اگر $\Delta_{G}|_{H}=\Delta_{H}$. در این صورت $\mu$ در حد ضرایب ثابت منحصر به فرد است. اگر این ضریب ثابت به طور مناسب انتخاب شود، برای هر $f\in C_{c}(G)$ داریم \vspace*{-2mm} {\Large \begin{equation}\label{eq7.} \int_{G}f(x)d\lambda(x)=\int_{G/H}P_{H}(f)d\mu =\int_{G/H}\int_{H}f(xh)d\lambda_{H}(h)d\mu(xH) \end{equation}}}\label{th2.49} \vspace*{-2mm} تساوی (\ref{eq7.}) به فرمول ویل\LTRfootnote{Weil} معروف است. \end{plainslide} \begin{plainslide} شرط لازم و کافی برای وجود اندازه $-G$پایا روی $G/H$ این است که $\rho\equiv 1$. نتیجه زیر نیز از قضیه \ref{th2.49} به دست می آید. \mycol{اگر $H$ فشرده باشد، $G/H$ دارای یک اندازه رادون $-G$پایا است.} \end{plainslide} \begin{plainslide} \mytarif{فرض کنید $H$ یک زیرگروه بسته $G$، و $\rho$ مانند تعریف \ref{defro} باشد. فرض کنید $\lambda_{H}$ اندازه هار $H$ باشد. نگاشت $T_{H}:C_{c}(G)\longrightarrow C_{c}(G/H)$ را به صورت زیر تعریف می کنیم {\Large$$T_{H}(f)(xH)=\int_{H}\dfrac{f(xh)}{\rho(xh)}d\lambda_{H}(h)$$}}\label{defT} در تعریف قبل فرض کنید $\mu$ اندازه قویا شبه پایایی باشد که از $\rho$ به دست آمده است. آنگاه اگر در\eqref{eqP}، $\dfrac{f}{\rho}$ را به جای $f$ قرار دهیم داریم {\large \begin{equation}\label{eqT} \int_{G/H}T_{H}(f)(xH)d\mu(xH)=\int_{G}f(x)d\lambda(x) \end{equation}} تساوی \eqref{eqT} به فرمول مک کی-بروهت\LTRfootnote{Mackey-Bruhat} معروف است. \end{plainslide} \begin{plainslide} \myghazye{ فرض کنید $H$ یک زیرگروه فشرده $G$ و $\mu$ یک اندازه $-G$پایا روی $G/H$ باشد و $p\geq 1$. تابع خطی $T_{H}$ در تعریف \ref{defro} را می توان به یک تابع منحصر به فرد خطی و کران دار از $L^{p}(G)$ به روی $L^{p}(G/H)$ گسترش داد.}\label{th1.3.11} \end{plainslide} \subsection{پیچش روی فضای $L^{p}$} \begin{rawslide} \mytarif{فرض کنید $f$ و $g$ متعلق به $L^{p}$ باشند. ضرب پیچشی $f$ و $g$ را با $f*g$ نمایش داده و به صورت زیر تعریف می کنیم: {\Large \begin{equation} f*g(x)=\int_{G} f(y)g(y^{-1}x)d\lambda (x) \end{equation}}}\label{def6} \end{rawslide} \begin{plainslide} \myghazye{فرض کنید $y\in G$ و $R_{y}$ و $L_{y}$ مانند تعریف \ref{def1} باشند و $f$ تابعی روی $G$ باشد. آنگاه \begin{itemize} \item[(i)] {\Large$\Vert L_{y}f\Vert_{p}=\Vert f\Vert_{p}$} \item[(ii)] {\Large$\Vert R_{y}f\Vert_{p}=\Delta(y)^{-1/p}\Vert f\Vert_{p}$} \end{itemize}}\label{def7} \myghazye{ فرض کنید $1\leq p\leq\infty$، $f\in L^{1}$ و $g\in L^{p}$. \begin{itemize} \item[(i)] {\Large$f\ast g\in L^{p}$} و {{\Large$\Vert f\ast g\Vert_{p}\leq\Vert f\Vert_{1}\Vert g\Vert_{p}$}.} \item[(ii)] اگر $G$ تک مدولی باشد، آنگاه $(i)$ برای $g\ast f$ به جای $f\ast g$ نیز برقرار است . \item[(iii)] اگر $G$ تک مدولی نباشد، $g\ast f$ کماکان متعلق به $L^{p}$ است هرگاه $f$ تکیه گاه فشرده داشته باشد. \end{itemize}} \end{plainslide} \begin{plainslide} \myghazye{اگر $f,g\in C_{00}(G)$، آنگاه {\Large \begin{equation*} supp(f\ast g)\subseteq suppf.\,suppg \end{equation*}}} \myghazye{فرض کنید $G$ تک مدولی باشد، $11$. همچنین فرض کنید $r$ عدد حقیقی باشد که $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}-\dfrac{1}{r}=1$. آنگاه برای هر $f\in L^{p}$ و $g\in L^{q}$ داریم {\large$$\Vert f\ast g\Vert_{r}\leq\Vert f\Vert_{p}\,\Vert g\Vert_{q}\,.$$}}\label{thyang} \end{plainslide} \subsection{پیچش در فضای همگن} \begin{plainslide} برای تعریف یک پیچش مناسب روی $C_{c}(G/H)$ توجه خود را روی یک زیرجبر خاص از $L^{1}(G)$ متمرکز می کنیم. مطالب این بخش از مرجع \cite{Fara} است. \mytarif{فرض کنید {\Large$$C_{c}(G:H)=\lbrace g\in C_{c}(G)\,|\,g(xh)=g(x)\quad\forall x\in G\,,\,h\in H\rbrace$$} اگر $f\in C_{c}(G)$ و $g\in C_{c}(G:H)$، آنگاه $f\ast g\in C_{c}(G:H)$. بنابراین $C_{c}(G:H)$ یک ایده آل چپ وهمچنین یک زیرجبر برای $C_{c}(G)$ است.} \end{plainslide} \begin{plainslide} در این بخش $H$ را زیرگروه فشرده $G$، و $\lambda_{H}$ را اندازه هار آن در نظر می گیریم. فرض کنید $T_{H}$ مانند تعریف \ref{defT} باشد. در گزاره بعد نشان خواهیم داد تحدید $T_{H}$ به $C_{c}(G:H)$، یک به یک است. \myghazye{فرض کنید $H$ زیرگروه فشرده $G$ باشد. همچنین فرض کنید $\mu$ یک اندازه نسبتا پایا باشد که از یک $-\rho$تابع مانند $\rho$ به دست آمده است. احکام زیر برقرار هستند: \begin{itemize} \item[$(i)$] نگاشت $T_{H}$، مجموعه $C_{c}(G:H)$ را به روی $C_{c}(G/H)$ می نگارد. \item[$(ii)$] {\large$C_{c}(G:H)=\lbrace\varphi_{\pi}:=\rho\,.\,\varphi o\pi\,|\,\varphi\in C_{c}(G/H)\rbrace$}. \item[$(iii)$] {\large$T_{H}|_{C_{c}(G:H)}$} یک به یک است. \end{itemize}} \end{plainslide} \begin{plainslide} اکنون زمان آن فرا رسیده است تا با استفاده از نگاشت خطی $T_{H}$ یک پیچش خوش تعریف روی $C_{c}(G/H)$ تعریف کنیم. \mytarif{نگاشت $\ast:C_{c}(G/H)\times C_{c}(G/H)\longrightarrow C_{c}(G/H)$ با ضابطه زیر را در نظر بگیرید. {\large\begin{equation}\label{con} (\varphi ,\psi)\longmapsto\varphi\ast\psi=T_{H}(\varphi_{\pi}\ast\psi_{\pi}) \end{equation}} $\varphi_{\pi}\ast\psi_{\pi}$ ضرب پیچشی استاندارد $\varphi_{\pi} , \psi_{\pi}$، تعریف شده روی $L^{1}(G)$ است.به آسانی می توان نشان داد که نگاشت \eqref{con} خوش تعریف است، چون اولا با توجه به ایده آل بودن $C_{c}(G:H)$، $\varphi_{\pi}\ast\psi_{\pi}$ متعلق به $C_{c}(G:H)$ است و درنتیجه $T_{H}(\varphi_{\pi}\ast\psi_{\pi})\in C_{c}(G/H)$. ثانیا $T_{H}$ خوش تعریف و تحدید آن به $C_{c}(G:H)$ یک به یک است.}\label{defpich} با توجه به تعریف فوق و یک به یک بودن نگاشت {\large$T_{H}|_{C_{c}(G:H)}$}، به آسانی می توان نشان داد {\large$(\varphi\ast\psi)_{\pi}=\varphi_{\pi}\ast\psi_{\pi}$}. \end{plainslide} \begin{plainslide} در \cite{Fara} نشان داده شده است که $L^{1}(G/H)$ همراه با پیچش تعریف \ref{defpich}، یک جبر باناخ است. همچنین در آنجا ثابت شده که برای هر $p>1$، $L^{p}(G/H)$ یک $-L^{1}(G/H)$مدول است. اکنون این سوال پیش می آید که پیچش برای عناصر $L^{p}(G/H)$ و $p>1$ چگونه تعریف می شود؟ \mylem{فرض کنید $G$ یک گروه موضعا فشرده و $H$ زیرگروه فشرده آن باشد و $p\geq 1$. همچنین فرض کنید $G/H$ فضای همگن با اندازه $-G$پایای $\mu$ باشد. آنگاه برای هر $\varphi\in C_{c}(G/H)$ {\Large$$\Vert\varphi\Vert_{L^{p}(G/H)}=\Vert\varphi_{\pi}\Vert_{L^{p}(G)}.$$}}\label{leml} \end{plainslide} \begin{plainslide} \myghazye{ برای هر $p>1$ و هر $\varphi\in L^{p}(G/H)$، تابع $\varphi_{\pi}$ در $L^{p}(G)$ وجود دارد به طوری که {\large$T_{H}(\varphi_{\pi})=\varphi$} و {\large$\Vert\varphi\Vert_{L^{p}(G/H)}=\Vert\varphi_{\pi}\Vert_{L^{p}(G)}$}.}\label{thq} حال آماده هستیم تا پیچش را برای دو عنصر دلخواه از $L^{p}(G/H)$ و $p>1$ تعریف کنیم. \mytarif{برای عدد حقیقی دلخواه $p>1$، فرض کنید $\varphi,\psi$ متعلق به $L^{p}(G/H)$ و\\ $\varphi_{\pi},\psi_{\pi}\in L^{p}(G)$ مانند قضیه قبل باشند. آنگاه {\large$$\varphi\ast\psi=T_{H}(\varphi_{\pi}\ast\psi_{\pi}).$$} بدیهی است تعریف فوق وابسته به این است که $\varphi_{\pi}\ast\psi_{\pi}$ متعلق به $L^{p}(G)$ باشد.}\label{defLp} \end{plainslide} \begin{plainslide} با استفاده از تعریف قبل، قضایای \ref{thw}، \ref{thyang} و \ref{G} که در فصل گذشته برای $L^{p}(G)$ بیان کردیم، برای $L^{p}(G/H)$ نیز قابل اثبات اند. \myghazye{ فرض کنید $G$ یک گروه موضعا فشرده و $H$ زیرگروه فشرده آن باشد. همچنین $G/H$ را فضای همگن با اندازه $-G$پایای $\mu$ در نظر بگیرید. اگر اعداد حقیقی $p,q,r$ به گونه ای باشند که $11$ و $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}-\dfrac{1}{r}=1$، آنگاه برای هر $\varphi\in L^{p}(G/H)$ و $\psi\in L^{q}(G/H)$ داریم {\Large$$\Vert\varphi\ast\psi\Vert_{L^{r}(G/H)}\leq\Vert\varphi\Vert_{L^{p}(G/H)}\Vert\psi\Vert_{L^{q}(G/H)}.$$} } \end{plainslide} \begin{plainslide} \myghazye{فرض کنید $G$ یک گروه موضعا فشرده تک مدولی و $H$ زیرگروه فشرده آن باشد. همچنین فرض کنید $\mu$ اندازه $-G$پایا روی فضای همگن $G/H$ باشد. اگر $12$، توسط زلازکو (1963) و راجاگوپالان (1966) به طور مستقل منتشر شد. به علاوه راجاگوپالان طی سال های 1963 تا 1967 حدس $L^{p}$را برای حالات زیر ثابت کرد. \begin{itemize} \item $p\leq 2$ و $G$ یک گروه گسسته باشد. \item $p=2$ و $G$یک گروه های کلا ناهمبند باشد \item $p>1$ و $G$ پوچ توان باشد یا نیم ضرب مستقیم دو گروه موضعا فشرده \end{itemize}} \end{rawslide} \begin{plainslide} در یک کار مشترک در سال 1965، زلازکو و راجاگوپالان نشان دادند که این حکم برای $p>1$ و گروه های میانگین پذیر برقرار است. درستی حدس $L^{p}$ برای $p=2$ در حالت کلی در سال 1968 توسط ریکرت به اثبات رسید. سرانجام در سال 1990، ساداهیرو سائکی به این حدس در حالت کلی پاسخ مثبت داد. در این فصل ابتدا اثبات راجاگوپالان برای $p>2$ را بررسی می کنیم و پس از آن به اثبات کلی که سائکی ارائه داده است خواهیم پرداخت. \end{plainslide} \subsection{حدس $L^{p}$ برای $p>2$} \begin{plainslide} اگر برای هر $f,g\in L^{p}$، $f\ast g$ موجود و متعلق به $L^{p}$ باشد، می گوییم $L^{p}$ تحت پیچش بسته است. \myghazye{ اگر $L^{p}$ تحت پیچش بسته باشد، آنگاه یک جبر باناخ است.}\label{th2.2.2} \mylem{ فرض کنید $H$ زیرگروه باز $G$ باشد و برای $p>1$، $L^{p}(G)$ تحت پیچش بسته باشد. آنگاه $L^{p}(H)$ تحت پیچش بسته است. همچنین اگر $G$ ضرب مستقیم دو زیرگروه بسته خود مانند $G_{1} $ و $G_{2}$ باشد و $L^{p}(G)$ تحت پیچش بسته باشد، آنگاه $L^{p}(G_{1})$ و $L^{p}(G_{2})$ تحت پیچش بسته هستند.}\label{lem3.2.2} \end{plainslide} \begin{plainslide} در بخش \ref{hamgen} اشاره کردیم که برای هر زیرگروه دلخواه از گروه موضعا فشرده $G$ مانند $H$، نگاشت $P_{H}:C_{c}(G)\longrightarrow C_{c}(G/H)$، یک نگاشت خطی، پوشا، پیوسته و دارای تکیه گاه فشرده است. حال اگر $H$ نرمال باشد، $G/H$ مجهز به یک اندازه هار می شود. با استفاده از این مطلب می توان ویژگی های دیگری نیز برای نگاشت $P_{H}$ بیان نمود. \mylem{ فرض کنید $H$ زیرگروه نرمال $G$ و $\nu$ اندازه هار $G/H$ باشد. آنگاه برای هر $f,g\in C_{c}(G)$ داریم \begin{itemize} \item[$(i)$] {\large$P_{H}(f\ast g)=P_{H}(f)\ast P_{H}(g)$} \item[$(ii)$] {\large$\Vert P_{H}(f)\Vert_{L^{p}(G/H)}=\Vert f\Vert_{L^{p}(G)}$} \end{itemize}}\label{l1} \end{plainslide} \begin{plainslide} \mylem{ فرض کنید $12$، فضای $L^{p}$ تحت پیچش بسته نیست. \item[$(ii)$] اگر مجموعه $\lbrace\lambda(V^{2n})/\lambda(V^{n})|n\in\mathbb{N}\rbrace$ کران دار باشد، آنگاه برای هر $p>1$، فضای $L^{p}$ تحت پیچش بسته نیست. \end{itemize}}\label{lem6.2.2} \mylem{ فرض کنید $G$ یک گروه کلا ناهمبند باشد و $L^{p}$ برای یک $p$ خاص $(11$} \begin{plainslide} در این بخش حدس $L^{p}$ را در حالت کلی اثبات خواهیم کرد اما پیش از آن لازم است تعریف مهم زیر را بیان کنیم \mytarif{فرض کنید $M(G)$ مجموعه تمام اندازه های مختلط روی $G$ باشد. اگر $\mu\in M(G)$ و $f\in L^{p}$ آنگاه {\large$$\mu\ast f(x)=\int_{G}f(y^{-1}x)d\mu(y)\quad\quad\text{و}\quad\quad f\ast\mu(x)=\int_{G}\Delta(y^{-1})f(xy^{-1})d\mu(y)$$} این دو انتگرال، تقریبا همه جا روی $G$، نسبت به اندازه هار $\lambda$ تعریف شده اند.}\label{defmu} \end{plainslide} \begin{plainslide} \mylem{فرض کنید $A$ یک زیر مجموعه بسته و متقارن از $G$ باشد. آنگاه {\Large\begin{equation*} \big (\lambda(A)\big )^{2}\lambda(A^{m+n})\leq\lambda(A^{4})\lambda(A^{m})\lambda(A^{n})\quad\,\forall m,n\in\mathbb{N}. \end{equation*}}}\label{lemA} \mytarif{ برای هر $x\in G$، فرض کنید $f^{\star}(x)=f(x^{-1})$. تابع $f$ را متقارن می نامیم هرگاه $f^{\star}=f$. مجموعه تمام توابع متقارن در $L^{p}$ را با $L_{s}^{p}$ نمایش می دهیم.} در این بخش برای هر $p\in(0,\infty)$، $p^{\prime}$ را مزدوج نمایی $p$ در نظر می گیریم. \end{plainslide} \begin{plainslide} \mylem{ فرض کنید $p,q,r\in\left[1,\infty\right]$ و $p^{-1}+q^{-1}-r^{-1}\neq 1$. همچنین فرض کنید $L_{s}^{p}\ast L_{s}^{q}\subset L^{r}$. آنگاه $G$ تک مدولی است و عدد ثابت متناهی و مثبت $T_{0}$ وجود دارد به طوری که برای $f\in L^{p}$ و $g\in L^{q}$ {\large$$\Vert f\ast g\Vert_{r}\leq T_{0}\Vert f\Vert_{p}\Vert g\Vert_{q}$$} }\label{lem1.2sa} \mylem{فرض کنید $p,q,r\in\left[1,\infty\right]$ و $T_{0}$ مانند لم \ref{lem1.2sa} باشد. آنگاه برای هر دو زیرمجموعه فشرده $A,B$ از $G$ {\large$$\big (\lambda(A)\lambda(B)\big )^{1/p^{\prime}+1/q^{\prime}}\leq T_{0}^{2}\big (\lambda(AB)\big )^{2/r^{\prime}}$$}}\label{lem1.3sa} \end{plainslide} \begin{plainslide} حال آماده هستیم تا نتیجه اصلی این بخش را بیان کنیم. \myghazye{(حدس $L^{p}$) فرض کنید $p\in L^{p}$ وجود داشته باشد به طوری که برای هر $f,g$ متقارن در $L^{p}$، تابع $f\ast g$ متعلق به $L^{p}$ باشد. در این صورت $G$ فشرده است.}\label{conj} \end{plainslide} \section{نتایجی پیرامون حدس $L^{p}$}\label{sec:3} \begin{plainslide} پایان بخش این رساله، سه نتیجه مرتبط با حدس $L^{p}$ است. در بخش اول این فصل نشان خواهیم داد که برای $p$ های بزرگتر از 2، تنها اگر $f\ast g$ برای هر $f,g\in L^{p}$ وجود داشته باشد، فشردگی $G$ حاصل می شود. در فصل 2 ثابت می کنیم اگر $12$ بیان می کند. \myghazye{فرض کنید $G$ یک فضای توپولوژیک موضعا فشرده باشد و $p>2$. اگر $f\ast g$ برای هر $f,g\in L^{p}$ وجود داشته باشد، آنگاه $G$ فشرده است.} \mycol{اگر $G$ گسسته باشد، $p>2$ و $f\ast g$ برای هر $f,g\in L^{p}$ وجود داشته باشد، آنگاه $G$ متناهی است.} \end{plainslide} \subsection{پیچش در گروه های تک مدولی} \begin{plainslide} در این بخش قصد داریم به این سوال پاسخ دهیم که اگر $p\in\left(1,2\right]$، آیا رابطه ای بین تک مدولی بودن $G$ و وجود پیچش روی $L^{p}(G)$ وجود دارد؟ \myghazye{ فرض کنید $p\in (0,\infty)$. اگر $f\ast g$ برای هر $f\in\bigcap_{\substack{r\in \left[p,\infty\right]}}L^{r}$ و $g\in\bigcap_{\substack{s\in \left[1,\infty\right]}}L^{s}$، وجود داشته باشد، آنگاه $G$ تک مدولی است.}\label{th1-1-3} نتیجه زیر به سوالی که در ابتدای بخش مطرح کردیم پاسخ مثبت می دهد. \mycol{فرض کنید $G$ یک گروه توپولوژیک موضعا فشرده باشد و $p\in \left(1,2\right]$. آنگاه برای هر $f,g\in L^{p}$، $f\ast g$ وجود دارد اگر و تنها اگر $G$ تک مدولی باشد.} \end{plainslide} \subsection{حدس $L^{p}$ در فضای همگن} \begin{plainslide} در این بخش قصد داریم با توجه به عمل پیچشی که در فصل 2 روی فضای همگن تعریف کردیم حدس $L^{p}$ را برای فضای همگن بیان و اثبات کنیم. همان طور که در فصل 2 اشاره شد، برای تعریف پیچش روی $L^{p}(G/H)$ لازم است $H$ را فشرده در نظر بگیریم. بنابراین با فرض فشرده بودن $H$، حدس $L^{p}$ برای فضای همگن را به صورت زیر بیان می کنیم. \myghazye{ فضای همگن $G/H$ با اندازه $-G$پایای $\mu$ را در نظر بگیرید. برای $p>1$، $L^{p}(G/H)$ تحت پیچش بسته است اگر و تنها اگر $G/H$ فشرده باشد.} \end{plainslide} \begin{rawslide} \providecommand{\noopsort}[1]{} \begin{thebibliography}{1} \begin{LTRbibitems} \resetlatinfont \bibitem{Nasr} \textsc{Abtahi, F., Nasr-Isfahani, R. and Rejali, A.}, \newblock{\em On the $L^{p}-$conjecture for locally compact groups}. \newblock Arch. Math. 89 (2007), 237-242. \end{LTRbibitems} \begin{LTRbibitems} \resetlatinfont \bibitem{Answer} \textsc{Akbarbaglu, I. and Maghsoudi, S.}, \newblock{\em An answer to a question on the convolution of functions}. \newblock Arch. Math. 98 (2012), 545-553. \end{LTRbibitems} \begin{LTRbibitems} \resetlatinfont \bibitem{Fol} \textsc{Folland, G. B.}, \newblock {\em A course in abstract harmonic analysis}. \newblock CRC Press, Boka Raton Ann Arbor-London-Tokyo, 1995. \end{LTRbibitems} \begin{LTRbibitems} \resetlatinfont \bibitem{Fara} \textsc{Ghaani Farashahi, A.}, \newblock {\em Convolution and involution on function spaces of homogeneous spaces}. \newblock Bull. Malays. Math. Sci. Soc., preprint. \end{LTRbibitems} \begin{LTRbibitems} \resetlatinfont \bibitem{Hewit} \textsc{Hewitt, E., and Ross, K.}, \newblock {\em Abstract harmonic analysis I}, 2nd ed. . \newblock Springer-Verlag, New York, 1979. \end{LTRbibitems} \begin{LTRbibitems} \resetlatinfont \bibitem{Kam} \textsc{Kamyabi-Gol, R. A. and Tavallaei, N.}, \newblock{\em Convolution and homogeneous spaces}. \newblock Bull. Iranian Math. Soc, \newblock 35 (2009) no. 1, 129-146. \end{LTRbibitems} \begin{LTRbibitems} \resetlatinfont \bibitem{Kam2} \textsc{Kamyabi-Gol, R. A. and Tavallaei, N.}, \newblock{\em Wavelet transforms via generalized quasi-regular representations}. \newblock Applied and Computational Harmonic Analysis, \newblock 2009, 291-300. \end{LTRbibitems} \begin{LTRbibitems} \resetlatinfont \bibitem{Montgomery} \textsc{Montgomery, D. and Zippin, L.}, \newblock {\em Topological transformation groups}. \newblock Wiely, New York, 1995. \end{LTRbibitems} \begin{LTRbibitems} \resetlatinfont \bibitem{Raja1} \textsc{Rajagopalan, M.}, \newblock {\em $L^{p}$-conjecture for locally compact groups I}. \newblock Trans. Amer. Math. Soc. 125 (1966), 216-222. \end{LTRbibitems} \begin{LTRbibitems} \resetlatinfont \bibitem{Raja2} \textsc{Rajagopalan, M.}, \newblock {\em On the $l^{p}-$spaces of a discrete group}. \newblock Colloq. Math. 10 (1966), 49-52. \end{LTRbibitems} \begin{LTRbibitems} \resetlatinfont \bibitem{Saeki} \textsc{Saeki, S.}, \newblock {\em The $L^{p}-$conjecture and Young's inequality}. \newblock Illinois. J. Math. 34 (1990), 615-627. \end{LTRbibitems} \end{thebibliography} \end{rawslide} \end{document}