\documentclass{article}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[tbtags]{amsmath}
\usepackage{amsfonts,amssymb,mathrsfs,amscd}
%для подключения графики используются стандартные команды, но кроме файла *.eps
%необходимо наличие в текущей директории соответствующего файла *.pdf
%-------------------------------------------------
\usepackage[hyper]{msb-a}
\JournalName{МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК}
%\JournalName{}
%Пустой аргумент приводит к исчезновению всех атрибутов журнала "Математический
%сборник", файл можно представить в любой другой журнал
%-------------------------------------------------
\numberwithin{equation}{section}
%-------------------------------------------------
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{lemma}{Лемма}[section]
\newtheorem{propos}{Предложение}
%-------------------------------------------------
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem{proof}{Доказательство}\def\theproof{}
\newtheorem{remark}{Замечание}
%-------------------------------------------------
\def\Re{\operatorname{Re}}
\def\Im{\operatorname{Im}}
\def\const{\mathrm{const}}
\def\RR{\mathbb R}
\def\CC{\mathbb C}
\def\NN{\mathbb N}
\def\RS{\mathfrak R}
\def\bz{\mathbf z}
\def\sH{\mathscr H}
\def\HH{\mathscr H}
\def\mro{\widehat\rho}
%-------------------------------------------------
\begin{document}

\title{О сильной асимптотике многочленов, ??????????? ???????  ??????? ортогональных относительно комплексного
веса}
\author[S.\,P.~Suetin]{С.\,П.~Суетин}
\address{Математический институт им.~В.\,А.~Стеклова РАН}
\email{suetin@mi.ras.ru}
%второй автор
%\author[I.\,I.~Ivanov]{И.\,И.~Иванов}
%\address{}
%\email{}

\date{19.03.2008}
\udk{517.538}

\maketitle

\begin{fulltext}

\begin{abstract}
Для многочленов, ортогональных на отрезке $\Delta=[-1,1]$ относительно
комплексного веса, получена формула сильной асимптотики, справедливая в некоторой
окрестности $\Delta$. В частности, для ``тригонометрического'' веса
$\rho_0(x)=e^{ix}$, $x\in\Delta$, из этой формулы вытекает индивидуальное
описание асимптотического поведения каждого из $n$ нулей $n$-го ортогонального
многочлена при $n\to\infty$.
Вывод этой формулы сильной асимптотики основан на изучении сингулярного
интегрального уравнения Наттолла.

Библиография: 9 названий.
\end{abstract}

\begin{keywords}
аппроксимации Паде, ортогональные многочлены, сильная
асимптотика.
\end{keywords}

\markright{Сильная асимптотика ортогональных многочленов}

\footnotetext[0]{Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант \No~08-01-00317) и
Программы поддержки ведущих научных школ РФ (грант \No~НШ-3906.2008.1).}

\section{Введение}\label{s1}

\subsection{}\label{s1.1}
Хорошо известно (см.~\cite[гл.~III, п.~3.5]{Sze1},~\cite[раздел~2]{Akh1}), что
исторически общие ортогональные многочлены впервые рассматривались
П.\,Л.~Чебышёвым~\cite{Che1} в теории непрерывных дробей и естественным образом
возникли как знаменатели~$Q_n$ соответствующих подходящих дробей. Такая связь
с непрерывными дробями считалась одним из возможных подходов к
изучению свойств общих ортогональных многочленов. В частности, уже
А.\,А.~Марков~\cite{Mar1} рассмотрел случай ортогональности на двух
(непересекающихся) отрезках вещественной прямой, а в работе
Дюма~\cite{Dum1} в связи исследованием сходимости чебышевской непрерывной дроби
для конкретной эллиптической функции возникли полиномы, ортогональные
на дугах в комплексной плоскости.
Однако со временем от такого подхода к теории ортогональных многочленов
практически полностью отказались и в основу было положено само свойство
ортогональности (см., например,~\cite[предисловие]{Sze1}).

Классические результаты Г.~Сегё~\cite[гл.~XII]{Sze1} и
С.\,Н.~Бернштейна~\cite{Ber1} (см. также~\cite[гл.~XII]{Sze1}) об
асимптотике ортогональных многочленов формулировались и доказывались для
случая одного отрезка $\Delta=[-1,1]$ и веса вида
\begin{equation}
\label{eq1.1}
\rho(x):=\frac1\pi\frac{\rho_0(x)}{\sqrt{1-x^2}},
\end{equation}
где $\rho_0$~-- суммируемая вещественная
функция, $\rho_0>0$ п.в. на~$\Delta$. Функцию~$\rho_0$ Бернштейн~\cite{Ber1}
предложил называть {\it тригонометрическим весом}: хорошо
известно (см., например,~\cite{Sze1},~\cite{Ger1}), что многочлены,
ортогональные на отрезке~$\Delta$ с весом~\eqref{eq1.1}, тесно связаны с
многочленами, ортогональными на единичной окружности с весом
$\rho_0(\cos\varphi)$, $0\leq\varphi\leq2\pi$.

Если $\rho_0$~-- непрерывная положительная на $\Delta$ функция, удовлетворяющая условию
Дини--Липшица
\begin{equation}
\label{eq1.2}
|\rho_0(x)-\rho_0(y)|\leq{M}\bigl|\log|x-y|\bigr|^\gamma,
\qquad x,y\in\Delta,
\end{equation}
с некоторыми постоянными $M>0$ и $\gamma>1$, то для полиномов~$Q_n$,
ортогональных на $\Delta$ с весом~\eqref{eq1.1} и нормированных условием
$\displaystyle\int Q^2_n(x)\rho(x)\,dx=2$
(такая нормировка связана с представлением~\eqref{eq2.1})
при $n\to\infty$ справедливы следующие асимптотические формулы Бернштейна
(см.~\cite{Ber1},~\cite[гл.~XII]{Sze1}):
\begin{align}
Q_n(z)&=\Phi(z)^nD(z;\rho_0)(1+o(1)),\qquad z\in\overline{\CC}\setminus\Delta,
\label{eq1.3}
\\
Q_n(x)&=2(\rho_0(x))^{-1/2}\cos(n\arccos{x}+\theta(x;\rho_0))+o(1),\qquad x\in\Delta.
\label{eq1.4}
\end{align}

\subsection{}\label{s1.2}
В связи с изучением сходимости чебышёвских непрерывных дробей~\cite{Che1} (или,
иначе говоря, диагональных аппроксимаций Паде) возникает
задача об асимптотических свойствах многочленов, ортогональных на
отрезке~$\Delta$ относительно
{\it комплексного} (тригонометрического) веса $\rho_0\colon \Delta\to\CC$. К такой задаче естественным
образом приводит разложение в чебышёвскую непрерывную дробь простейших
алгебраических функций вида
$$
f(z)=r_1(z)+\frac{r_2(z)}{\sqrt{z^2-1}},\qquad f\in\sH(\infty),
$$
где $r_1,r_2$~-- комплексные рациональные функции
Отметим, что разложение в чебышёвскую непрерывную дробь гиперэллиптических
функций естественным образом приводит к многочленам, ортогональным на
нескольких отрезках или дугах в комплексной плоскости
(см.~\cite{Dum1}).

\section{Формулировка основных результатов}\label{s2}

\subsection{}\label{s2.1}
Пусть $\RS$~-- риманова поверхность, заданная уравнением $w^2=z^2-1$, \dots~\dots
(подробнее см. пп.~\ref{s3.2} и~\ref{s4.2}).
\begin{theorem}\label{t1}
Если $\rho_0\in\sH(\Delta)$, $\rho_0(x)\neq0$ на $\Delta$, то при некотором
$\varepsilon=\varepsilon(\rho_0)>0$ равномерно по $\bz$ таким, что
$e^{-\varepsilon}\leq|\Phi(\bz)|\leq e^\varepsilon$, имеет место равенство
\begin{equation}
\label{eq2.1}
Q_n(z)=\Psi_n(\bz)+\Psi_n(\bz^{*})+O(\delta^{2n}),\qquad n\to\infty,
\end{equation}
где величина $\delta=e^{-\varepsilon}\in(0,1)$.
\end{theorem}

Доказательство теоремы~\ref{t1} основанно на использовании сингулярного
интегрального уравнения Наттолла (см.~\cite{Nut1}, \cite{GoSu1}). Очевидно, что
соотношения~\eqref{eq1.3}--\eqref{eq1.4} являются
следствиями соотношения~\eqref{eq2.1}.

\subsection{Можно дать заглавие}\label{s2.2}

\begin{definition}\label{de1}
Функцию вида~\eqref{eq1.1} будем называть~\dots.
\end{definition}

\begin{propos}[(см.~\cite{GoSu1})]\label{p1}
Для функции~\dots.
\end{propos}

\begin{proof}
В силу определения~\ref{de1}~\dots.
\end{proof}

\begin{remark}\label{r1}
Нетрудно привести пример сходящегося {\it ряда}~\dots.
\end{remark}

\section{Интегральное уравнение Наттолла}\label{s3}

\subsection{}\label{s3.1}

\subsection{Можно дать заглавие}\label{s3.2}

\begin{lemma}\label{l1}
Пусть функция~\dots.
\end{lemma}

\subsection{}\label{s3.3}

\begin{lemma}\label{l2}
Предположим, что~\dots.
\end{lemma}

\section{Доказательство теоремы~\ref{t1}}\label{s4}

\subsection{}\label{s4.1}

\begin{lemma}\label{l3}
Пусть функция~\dots.
\end{lemma}

\subsection{}\label{s4.2}

\subsection{}\label{s4.3}

\end{fulltext}
\begin{thebibliography}{99}

\RBibitem{Sze1}
\by Г.~Сегё
\book Ортогональные многочлены
\publaddr М.
\publ Физматгиз
\yr 1962

\RBibitem{Akh1}
\by Н.\,И.~Ахиезер
\paper Чебышёвское направление в теории функций
\inbook Математика XIX века
\eds А.\,Н.~Колмогоров и А.\,П.~Юшкевич
\yr 1987
\pages 9--79
\publaddr М.
\publ Наука

\RBibitem{Che1}
\by П.\,Л.~Чебышёв
\paper О непрерывных дробях
\jour Ученые записки Имп. Академии Наук
\yr 1855
\vol III
\pages 636--664
\morerref
\by P.~Tch\'ebycheff
\paper Sur les fractions continues
\jour Journ. de Math. Pures et Appl. S\'er.~2
\yr 1858
\vol 3
\pages 289--323
\morerref
\paper
\inbook Полное собрание сочинений
\bookinfo Т.~II
\publaddr М.--Л.
\publ Изд-во АН СССР
\yr 1948
\pages 103--126

\RBibitem{Mar1}
\by А.\,А.~Марков
\paper О распределении корней некоторых уравнений
\inbook Сообщ. и протоколы засед. матем. о-ва при Харьковском ун-те, сер.~2
\yr 1886\issue 2\pages 89--98
\morerref
\paper
\inbook Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций, наименее
уклоняющихся от нуля
\publaddr М.--Л.
\publ Гостехиздат
\yr 1948
\pages 33--43

\Bibitem{Dum1}
\by S.~Dumas
\thesis Sur le d\'eveloppement des fonctions elliptiques en
fractions continues
\thesisinfo These
\publaddr Z\"urich
\yr 1908

\RBibitem{Ber1}
\by С.\,Н.~Бернштейн
\book О многочленах, ортогональных в конечном интервале
\yr 1937
\publ ОНТИ
\publaddr Харьков

\RBibitem{Ger1}
\by Я.\,Л.~Геронимус
\book Теория ортогональных многочленов
\bookinfo Обзор достижений отечественной математики
\publ Государственное издательство технико-теоретической литературы
\publaddr М.--Л.
\yr 1950

\Bibitem{Nut1}
\by J.~Nuttall
\paper Pad\'e polynomial asymptotics from a singular integral equation
\jour Constr. Approx.
\vol 6
\issue 2
\pages 157--166
\yr 1990

\RBibitem{GoSu1}
\by А.\,А.~Гончар, С.\,П.~Суетин
\paper Об аппроксимациях Паде мероморфных функций марковского типа
\serial Современные проблемы математики
\publ Математический ин-т им.В.А.Стеклова РАН
\publaddr Москва
\yr 2004
\vol 5

\end{thebibliography}
\end{document}