\chapter{}
\thispagestyle{empty}
\section{اعداد باس}
در سراسر این بخش، فرض کنید $(R,m)$ یک حلقه موضعی، $\underline{a}$ ایده آلی از $R$ و $M$ یک $-R$ مدول (نه لزوما متناهی مولد) باشد. در ادامه، ارتباط ما بین اعداد باس $M$ و $H_{\underline{a}}^i(M)$ ، $i=0,1,\cdots $ ، را بررسی می‌کنیم. برای راحتی قرار دهید $\mu ^i(M):= \mu ^i({\underline{m}},M)$ .
\begin{lemma}\label{203}
فرض کنید $\underline{a} \subseteq \underline{b}$ ایده آل دیگری از $R$ باشد. در این صورت 
\begin{itemize}
\item[(a)] $ Hom_{R}(R/\underline{b}, M)= Hom_{R}(R/\underline{b}, \Gamma_{\underline{a}}(M)) $.
\item[(b)] اگر $ \Gamma_{\underline{a}}(M)=0 $، آنگاه $ Hom_R(R/\underline{b},M)=0 $.
\end{itemize}
\begin{bor}
به منظور اثبات $(a)$ ابتدا فرض کنید $ f \in Hom_R(R/ \underline{b}, \Gamma_ {\underline{a}} (M)) $ ،
یعنی، $f: {R/\underline{b}} \longrightarrow  \Gamma_{\underline{a}} (M)$ یک $-R$مدول همومورفیسم است. حال، چون $\Gamma_{\underline{a}}(M) $ یک زیر مدول $M$ است، پس   $f:{R/\underline{b}}\longrightarrow M$ نیز یک $-R$مدول همومورفیسم است. در نتیجه  $ f \in Hom_R(R/\underline{b}, M) $. این نشان می دهد که $Hom_{R}(R/\underline{b}, \Gamma_{\underline{a}}(M)) \subseteq Hom_{R}(R/\underline{b}, M) $. به منظور اثبات شمول عکس ، فرض کنید  $ f \in Hom_R(R/\underline{b}, M) $ . در این صورت ، روشن است که به ازای هر $r \in R $ ، ${\underline{a}} f(r+{\underline{b}})=0$  . این نشان می دهد که، به ازای هر $r\in R$ ، $ f(r+{\underline{b}}) \in\Gamma_ {\underline{a}}(M)) $  . در نتیجه $ Im f \subseteq \Gamma_{\underline{a}}(M) $ ، یعنی $ f \in Hom_{R}(R/\underline{b}, \Gamma_{\underline{a}}(M)) $ . لذا نشان داده ایم که $ Hom_{R}(R/\underline{b}, M)\subseteq Hom_{R}(R/\underline{b}, \Gamma_{\underline{a}}(M)) $ . بنابراین $ Hom_{R}(R/\underline{b}, M)= Hom_{R}(R/\underline{b}, \Gamma_{\underline{a}}(M)) $. این $ (a) $ را اثبات می کند. اکنون روشن است که $ (b) $ نتیجه ساده ای از  $ (a) $است. 
\end{bor} 
\end{lemma}

\begin{theorem}\label{205}
به ازای هر  $ r \geq 0 $، نامساوی زیر برقرار است:
$$ \mu ^{r}(m) \leq \sum_{i=0}^{r} \mu ^{r-i}(H_{\underline{a}}^{i}(M)) $$.
\begin{bor}
با استقراء روی $ r$ حکم را اثبات می‌کنیم. ابتدا، فرض کنید $ r=0 $. در این صورت بنا بر لم ......... داریم : 
\begin{equation}\label{206}
\mu ^0(M)= dim_{R/m} Hom_R(R/m,m)= dim_{R/\underline{m}} Hom_R(R/\underline{m}, \Gamma_{a}(M)) = \mu^0(\Gamma_{\underline{a}}(M)). \nonumber
\end{equation}
اکنون فرض کنید که $ r>0 $  و  این که حکم برای $ r-1$ اثبات شده باشد . و قرار دهید $N= E/(M/ \Gamma_a(M))$. در نتیجه رشته دقیق کوتاه  $ 0\longrightarrow M/\Gamma_{\underline{a}(m)}\longrightarrow E \longrightarrow N\longrightarrow 0 $ به دست می‌آید. لذا به ازای هر $ i\geq 0 $، رشته‌های دقیق طولانی زیر حاصل می‌شود:
\begin{equation}\label{207}
Ext_R^{i-1}(R/{\underline{m}},E) \longrightarrow Ext_R^{i-1}(R/{\underline{m}},N) \longrightarrow Ext_R^{i}(R/{\underline{m}},M/\Gamma_{\underline{a}}(M))  \longrightarrow Ext^{i}(R/{\underline{m}},E)  \nonumber
\end{equation}
و
\begin{equation}\label{208}
H_{\underline{a}}^i(E) \longrightarrow H_{\underline{a}}^i(N) \longrightarrow H_{\underline{a}}^{i+1}(M/\Gamma_{\underline{a}}(M))  \longrightarrow H_{\underline{a}}^{i+1}(E).  \nonumber
\end{equation}

\end{bor}
\end{theorem}