\documentclass[xcolor=dvipsnames, professionalfont ]{beamer} 
\usepackage {eulervm} 
\usecolortheme[named=violet]{structure}
\usetheme{Malmoe}
\useoutertheme{smoothbars}
\setbeamertemplate{blocks}[rounded][shadow=true]
\usepackage{fancyvrb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{pgf,pgfarrows,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps,pgfshade}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\tikzstyle{block}=[draw opacity=0.7,line width=1.4cm]
\usepackage{xkeyval}
\usepackage{luapersian}
\setsansfont[Script=Parsi,Language=Parsi,Numbers=Parsi]{XB Zar}
\settextfont{XB Zar}
\newtheorem{Def}{ تعریف}
\newtheorem{exmp}{مثال}
\newtheorem{thm}{قضیه}
\newcommand{\zz}{ { \mathfrak{z}} }
\newcommand{\dd}{ { \mathrm{d}} }
\newcommand{\ee}{ { \mathrm{e}} }
\newcommand{\bx}{ { \mathbf{x}} }
\newcommand{\bn}{ { \mathrm{n}} }
\newcommand{\bb}{ { \mathbf{b}} }
\newcommand{\bA}{ { \mathbf{A}} }
\newcommand{\bu}{ { \mathbf{u}} }
\newcommand{\bxi}{ { \mathbf{\xi}} }
\newcommand{\ii}{ { \mathrm{i}} }
\newcommand{\pt}{{ \partial}}
\newcommand{\cG}{{ \mathcal G}}
\newcommand{\cT}{{ \mathcal T}}
\newcommand{\cZ}{{ \mathcal Z}}
\newcommand{\cK}{{ \mathcal K}}
\newcommand{\cA}{{ \mathcal A}}
\newcommand{\cP}{{ \mathcal P}}
\newcommand{\cC}{{ \mathcal C}}
\newcommand{\cH}{{ \mathcal H}}
\newcommand{\cE}{{ \mathcal E}}
\newcommand{\cB}{{ \mathcal B}}
\newcommand{\cR}{{ \mathcal R}}
\newcommand{\cF}{{ \mathcal F}}
\newcommand{\cD}{{ \mathcal D}}
\newcommand{\cN}{{ \mathcal N}}
\newcommand{\cM}{{ \mathcal M}}
\newcommand{\IR}{{\mathbf R}}
\newcommand{\IC}{{ \mathbf C}}
\newcommand{\IQ}{{ \mathbf Q}}
\newcommand{\IN}{{\mathbf N}}
\newcommand{\IE}{{ \mathbf E}}
\newcommand{\IInt}{{ \textrm Int}}
\newcommand{\HS}{\mathrm{HS}}

\newcommand{\apre}{{ \textrm a priori}}
\newcommand{\apos}{{ \textrm a posteriori}}
\newcommand{\sti}{{ \textrm stiffness}}
\newcommand{\load}{{ \textrm load vector}}

\newcommand{\TR}{{ \mathbb R}}
\newcommand{\TC}{{ \mathbb C}}
\newcommand{\TF}{{ \mathbb F}}
\newcommand{\TN}{{ \mathbb N}}

\newcommand{\norm}[2][]{\|#2\|_{#1}}
\newcommand{\snorm}[2][]{|#2|_{#1}}
\newcommand{\Norm}[2][]{\Big\|#2\Big\|_{#1}}
\newcommand{\abs}[1]{|#1|}
\newcommand{\Abs}[1]{\Big|#1\Big|}
\newcommand{\inner}[3][]{\langle#2,#3\rangle_{#1}}
\newcommand{\Inner}[3][]{\Big\langle#2,#3\Big\rangle_{#1}}

\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr}
\DeclareMathOperator{\re}{Re}
\title{انتگرال‌گیری عددی}
\author{....}

\begin{document}
\frame{
\titlepage
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{فهرست}
\begin{itemize}
\item{\color{orange}
ضرایب نامعین}
\item{\color{orange}
دستورات تکراری}
\item{\color{orange}
دستورات گاوس}
\item{\color{orange}
گاوس لژاندر}
\item{\color{orange}
گاوس چبیشف}
\item{\color{orange}
برآورد خطا‌های انتگرال‌گیری}
\end{itemize}
\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} 
\frametitle{مقدمه}
قانون انتگرال‌گيری نامی است كه به هر روش عددی جهت ارزيابی ، تخمين و حل انتگرال
{\color{orange}$If $} با یک تابع {\color{orange}$ f(s) $} اتلاق می‌شود:\pause
{\color{blue}
\begin{equation*}
If = \int_a^b\ w(s)f(s) \dd s
\end{equation*}\pause
}
كه در آن {\color{orange}$ w(s) $} يك تابع وزن است.\pause
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
ما تنها حالتی را که مجموعه نقاط برای تابع {\color{orange}$ f(s) $} درنقاط{\color{orange}${ \{\xi_i,i=1,\ldots,N\}} $} محدود شده، در نظر می‌گیریم و تخمین {\color{orange}$ Q $} به فرم زیر است:
{\color{blue}
\[Qf =\sum_{i = 1}^N\ w_if(\xi_i) = If-Ef\]\pause
}
كه {\color{orange}$ Ef $}
ميزان خطا است.
\\
نقاط {\color{green}$\{\xi_i,i=1,\ldots,N\} $} را پايه و{\color{green}$\{ w_i,i=1,\ldots,N\} $} را وزن انتگرال می‌نامند.\pause
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

\begin{itemize}
\item <+-| alert@+>
ضوابط زیادی برای انتخاب دستورهای انتگرال‌گیری مناسب وجود دارد از جمله:
\item <+-| alert@+>
\vspace*{0.5cm}
دستور انتگرال‌گیری بهینه باشد.یعنی $ \sup|If-Qf| $ )خطا( مینیمم شود. 
\item <+-| alert@+>
\vspace*{0.5cm}
ملاک دیگر نابودی یا صفر کردن خطا است.
\item <+-| alert@+>
\vspace*{0.5cm}
معمولا دستور‌های استفاده شده از نوع دوم می‌باشند.
\item <+-| alert@+>
\end{itemize}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame} 
\frametitle{ ضرایب نامعین}
فرض کنید{\color{orange}$ f(s)=\sum_{i=1}^{P}\alpha_ih_i(s) $} باشد. مجموعه {\color{orange}$ \{\xi_j,w_j,j=1,\ldots,N\} $} را به‌گونه‌ای انتخاب می‌کنیم که
{\color{blue}
\[Ef = 0,\quad\forall\alpha_j\]\pause
}
چون $ I $ یک عملگر خطی است ، پس این رابطه برای تمامی {\color{orange}$ \alpha_j $} ها برقرار است و در این صورت {\color{orange}${ f(s)=h_k(s),k=1,\ldots,P}$} ، پس این رابطه معادل با{\color{red} $ P $} شرط زیر است. 
\pause
{\color{blue}
\[
\begin{split}
\sum_{j = 1}^{N}\ w_jh_1&(\xi_j) = m_1 = \int_a^bw(s)h_1(s)\dd s\notag\\
&\vdots\notag\\
\sum_{j = 1}^{N}\ w_jh_p&(\xi_j) = m_p = \int_a^bw(s)h_p(s)\dd s
\end{split}
\]
}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\begin{itemize}
\item <+-| alert@+>

دستگاه معادلات اخیر همان معادلات ضرایب نامعین هستند و {\color{violet} $ m_j $} نشان‌گر گشتاور تعمیم یافته تابع وزن {\color{violet}$ w(s) $} نسبت به مجموعه {\color{violet}$ \{h_i\} $} می‌باشد.
\item <+-| alert@+>
\vspace*{0.5cm}
این معادلات مجموعه‌ای است از {\color{violet}$ P $}معادله خطی در نقطه نامعلوم {\color{violet}$ w_1,\ldots,w_N $} .
\item <+-| alert@+>
\vspace*{0.5cm}
اگر قرار دهیم {\color{violet}$ P=N $} دستگاه معادلات دارای جواب یکتا خواهد بود.
\item <+-| alert@+>
\end{itemize}

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{تعریف)شرط هار(}
فرض کنید{\color{violet}$ \{h_i(s),i=1\ldots,N\}$} دنباله‌ای از توابع که دارای {\color{violet}$ N $} نقطه مجزای
\vspace*{0.25cm}
{\color{violet}$ \xi_j,j=1,\ldots,N$} باشد به‌طوری‌که{\color{violet}$ \xi_L\leq\xi_j\leq\xi_U $} ،اگر ماتریس
\vspace*{0.25cm}
{\color{violet}$M \times M $، $\{h_i(\xi_j),i,j=1,\ldots,M\} $ }برای {\color{violet}$ M \leq N$} نامنفرد باشد
\vspace*{0.25cm}
در این صورت مجموعه {\color{violet}$ h_i(s) $} که در شرط هار گفته می‌شود در بازه{\color{violet}$ [\xi_L,\xi_U] $} صدق می‌کند.
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{قضیه)هار(}

فرض کنید {\color{purple}$ \{\xi_i\}_{i=1,\ldots,N}$} مجموعه‌ای از نقطه {\color{purple}$ N $} مجزا باشد که {\color{purple}$a \leq \xi_i \leq b$} ونیز
\vspace*{0.5cm}

فرض کنید{\color{purple}$\{h_i(s),i=1,\ldots,N\}$} در شرط هار روی {\color{purple}$ [a,b] $} صدق کند پس
\vspace*{0.5cm} دستگاه ضرایب نامعین به ازای {\color{purple}$ P=N $}دارای جواب یکتاست.
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{مثال}

فرض کنید {\color{gray}$ h_i(s)=s^{i-1}$} و {\color{gray}$ {[a,b]=[0,h],w(s)=1,N=2},{\xi_1=0,\xi_2=h} $}معادلات ضرایب نامعین را به‌دست می‌آوریم.
\vspace*{0.25cm}
\pause\\ابتدا نشان می‌دهیم {\color{gray}$ h_i(s)=s^{i-1} $}در شرط هار صدق می‌کند .
\[h_1(s)=1\]
\[h_2(s)=s\]\pause
ماتریس ضرایب این دستگاه عبارت است از:\pause

\[
\begin{bmatrix}
h_1(\xi_1)&h_1(\xi_2)\\
h_2(\xi_1)& h_2(\xi_2)\\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1&1\\
0&h\\
\end{bmatrix}
\]
دترمینان ماتریس ضرایب این دستگاه $ h\neq 0 $ است.پس ماتریس فوق نامنفرد است و درشرط هار صدق می‌کند.
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{ادامه مثال}
\[w_1+w_2=\int_0^h 1.\dd s=h,\]
\[ 0+w_2h = \int_0^hs\dd s = \frac{h^2}{2},\]
\pause
بنابراین{\color{gray}$ w_1=w_2=h/2 $} 
و انتگرال ذوزنقه‌ای زیر به‌دست می‌آید:\pause
{\color{red}
\[\int_0^hf(s)\dd s\approx\frac{h}{2}[f(0)+f(h)]\]
}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
فرض کنیم دو پایه {\color{orange}$ \{h_1,\ldots,h_N\}$} و {\color{orange}$ \{ \bar{h}_1,\ldots,\bar{h}_N\} $} داریم که فضا را تشکیل می‌دهند در این‌صورت تابع {\color{green}$ f(s)$} را می‌توان نسبت به هر دو پایه بسط داد یعنی:\pause
\[ f(s) = \sum_{j = 1}^N\alpha_j h_j(s) = \sum_{j=1}^N\bar{\alpha}_j\bar{h}_j(s).\]
\[\int_a^bw(s)f(s)\dd s = \sum_{i = 1}^Nw_if(\xi_i)\]
\[ \sum_{j = 1}^N\bar{\alpha}_j\int_a^bw(s)\bar{h}_j(s)\dd s = \sum_{j = 1}^N\bar{\alpha}_j\sum_{j = 1}^Nw_i\bar{h}_j(\xi_i),\]\pause
\[\int_a^bw(s)\bar{h}_j(s)\dd s = \sum_{i = 1}^Nw_i\bar{h}_j(\xi_i),\quad \ j = 1,2,\ldots,p. \]\pause

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{دستورات تکراری}

در این روش هدف به‌دست آوردن دستور انتگرال‌گیری {\color{purple}$N $} نقطه‌ای برای تقریب انتگرال{\color{purple}$ \int_a^bf(s)\dd s$} است، اگر بازه انتگرال‌گیری بزرگ باشد در این صورت بازه را به{\color{purple}$ M $} قسمت تقسیم می‌کنیم داریم:\pause
{\color{purple}
\[h = \frac{(b-a)}{M}; \]\pause
}
{\color{blue}
\[
\begin{split}
If &= \int_a^bf(s)ds = \sum_{j = 1}^M\int_{a+(j-1)h}^{a+jh}f(s)\dd s\\
&=\sum_{j = 1}^MQ_N(a+(j-1)h,a+jh)f+E_{N,M}(f).
\end{split}
\]
}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\textbf{\alert{قضیه :}}
با توجه به رابطه اخیر برای هر {\color{purple}$ N $} ثابت، و به ازای هر انتگرال ریمان تابع {\color{purple}$ f $} روی بازه {\color{purple}$ (a,b) $} خواهيم داشت:
{\color{red}

\[\lim_{M\to\infty}E_{N,M}(f) = 0 \]\pause
}
\vspace*{0.5cm}
یعنی هرچه تعداد تقسیمات بیشتر باشد خطا به سمت صفر میل می‌کند.



\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{دستور گاوس}
در این روش اگر علاوه بر {\color{green}$ w_i $}ها {\color{green}$ \xi_i $} هم متغیر هستند در نتیجه {\color{green} $ 2N $} متغیر داریم\pause.
چند‌جمله‌ای‌های متعامد یکه را به‌ صورت زیر تعریف می‌کنیم:\pause
{\color{blue}
\[ \ h_i(s) = q_{i-1}(s),\]\pause}


حال نقاط {\color{purple}$ \xi_i,i=1,\ldots,N $ }را به عنوان صفرهای {\color{purple}$ q_N(s) $} انتخاب می‌كنيم :\pause
{\color{blue}
\[q_N(\xi_i) = 0,\quad \ i = 1,2,\ldots,N \]\pause}
ازطرفی وزن‌های {\color{green}$ w_j,j=1,\ldots,N$} در{\color{green}$ N $} معادله اول دستگاه ضرایب نامعین صدق می‌کنند بنابراین داریم:\pause
{\color{blue}
\[ \sum_{j = 1}^Nw_jq_k(\xi_j) = \int_a^bw(s)q_k(s)\dd s,\quad \ k = 0,1,\ldots,N-1. \]
}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{گاوس-لژاندر}
این روش ساده‌ترین و احتمالا معروف‌ترین دستور گاوس با تابع وزن {\color{purple}$w(s)=1$} روی بازه{\color{purple} $[-1,1]$} می‌باشد.
\vspace*{0.25cm}
چندجمله‌ای‌های لژاندر)نرمال شده( از رابطه زیر محاسبه می‌شوند.
{\color{red}
\[ q_i(s) =\left( \frac{2i+1}{2}\right)^{ \tfrac{1}{2}} p_i(s),\quad\ i = 0,1,\ldots,N-1\]\pause}
دستور گاوس-لژاندر {\color{purple}$ N $ }نقطه‌ای برای تمام چند‌جمله‌ای‌های از درجه {\color{purple}$ 2N-1 $} دقیق است.

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{مثال}

برای {\color{orange}$ h_i(s)=s^{i-1} $ ;} به دنبال یک قاعده دو نقطه‌ای از درجه 3 با وزن {\color{orange}$ w(s)=1 $} روی بازه {\color{orange}$ [-1,1] $} هستیم. {\color{gray}$ 2N $} معادلات ضرایب نامعین به‌صورت زیر هستند:\pause
\[ \int_{-1}^{1}h_i(s)\dd s = \sum_{j=1}^2w_jh_i(\xi_j),\quad\ i=1,\ldots,4\]
{\color{gray}
\[ w_1+w_2 = 2,\]
\[ w_1\xi_1+w_2\xi_2= 0,\]
\[ w_1\xi_1^2+w_2\xi_2^2 = \frac{2}{3},\]
\[ w_1\xi_1^3+w_2\xi_2^3 = 0.\]
}

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}

این دستگاه دارای جواب یکتاست.
{\color{gray}
\[w_1 = 1 =w_2;\quad \xi_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}},\quad\xi_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}\]\pause}
و فرمول گاوس دونقطه‌ای زیر به‌دست می‌آید.
{\color{red}
\[\int_{-1}^{1}f(s)\dd s \approx f(\frac{-1}{\sqrt{3}})+f(\frac{1}{\sqrt{3}})\]}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}
\frametitle{گاوس-چبیشف باز وبسته}
در این روش تابع وزن و بازه انتگرال‌گیری را به‌صورت زیر تعریف می‌کنیم:\pause
{\color{purple}
\[w(s) = (1-s^2)^{-\frac{1}{2}};(a,b) = (-1,1)\]\pause}
چندجمله‌ای‌های نرمال شده چبیشف یعنی $ q_i(s) $ به‌ صورت زیر تعریف می‌شوند:\pause
{\color{purple}
\[
q_i(s) =\begin{cases}
\left(\frac{2}{\pi}\right)^{\frac{1}{2}}T_i(s)\,&\ i ={ 1,2,\ldots,N-1},\\
\left(\frac{1}{\pi}\right)^{\frac{1}{2}}T_0(s)\,&\ i = 0.
\end{cases}\]\pause}
ریشه‌های چند‌جمله‌ای چبیشف و توابع وزن به‌ترتیب از روابط زیر به‌‌دست می‌آیند:\pause
{\color{purple}
\[\xi_i = cos\left(\frac{(2i-1)\pi}{2N}\right),\quad\ i = 1,2,\ldots,N.\]
\[w_i = \frac{\pi}{N},\quad\ i = 1,2,\ldots,N\]
}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
دستور انتگرال‌گیری چبیشف باز تعمیمی از قاعده نقطه میانی است. به این‌صورت‌که:
{\color{blue}
\[\int_a^bf(s)\dd s \approx h\sum_{i = 1}^{N}f\left( a+(2i-1)\frac{h}{2}\right),\quad\ h = \frac{b-a}{N}\]
\pause}
اگر قرار دهیم{\color{green}$ (a,b)=(0,\pi) $} و متغیر {\color{orange}$ s $} را به {\color{green}$ s=cos\theta $} تغییر متغیر دهیم، خواهیم داشت
{\color{blue}
\[\int_{-1}^1\frac{f(cos^{-1}s)}{(1-s^2)\frac{1}{2}} \dd s\approx \frac{\pi}{N}\sum_{i = 1}^Nf\left(\frac{(2i-1)\pi}{2N}\right).\]
\pause}

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
اگر براي تابع وزن {\color{orange}$w(s)=\frac{1}{\sqrt{1-s^2}}$} و بازه‌ {\color{orange}$(a,b)=(-1,1)$} نقاط انتهائی را به‌صورت{\color{orange}$ \xi_0=1,\xi_N=-1 $} در نظر بگیریم، برای هر مقدار{\color{orange}$ N $} می‌توانیم یک رابطه {\color{red}$ N+1 $} نقطه‌ای از درجه{\color{red}$ 2N-1 $} که به دستور گاوس -چبیشف بسته معروف است ایجاد کنیم.\pause
\vspace*{0.5cm}
با نقاط
{\color{blue}
\[ \xi_i = cos(\frac{i\pi}{N}),\quad\ i=0,1,\ldots,N\]\pause}
با وزن‌های
{\color{blue}
\[w_i = \pi/N,\quad \ i=1,2,\ldots,N-1,\]
\[w_0=w_N=\frac{\pi}{2N},\]\pause}


\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
در نتیجه خواهیم داشت:
{\color{red}
\[\int_{-1}^1\frac{f(s)\dd s}{(1-s^2)^{\frac{1}{2}}} \approx \frac{\pi}{N}\sideset{}{_{}^{''}}\sum_{i =0} ^{N} f\left(cos\left(\frac{i\pi}{2N}\right)\right),\]\pause}
\quad
كه {\color{red}علامت دابل پرايم} بر علامت جمع نشان دهنده‌ اين است كه عبارت‌های اول و آخر نصف شده‌اند.
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{frame}
\begin{itemize}
\item <+-| alert@+>
\vspace*{0.5cm}
تفاوت بین عملکرد دستورات باز وبسته چبیشف:\pause
\vspace*{0.5cm}
\item <+-| alert@+>
گاهی اوقات محاسبه مقادیر در نقاط پایانی یعنی$ f(-1),f(1) $،نامناسب یا غیرممکن است، اما دستورات باز استفاده از این نقاط را فراهم می‌کند.\pause
\vspace*{0.5cm}
\item <+-| alert@+>
با انجام يك سری محاسبات، با دو برابر نمودن $ N $، قانون بسته اين ويژگی را دارند که نقاط$ \xi_i^N $ زیرمجموعه‌ای از نقاط $ \xi_i^{2N} $ هستند، بنابراین توابع محاسبه شده را می‌توان دوباره مورد استفاده قرار داد،در صورتی‌که این مطلب برای دستور باز برقرار نیست.
\item <+-| alert@+>
\end{itemize}



\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{مثال}
مقدار دقیق انتگرال زیر را با به‌کاربردن قاعده چبیشف باز و بسته برای {\color{purple}$ N=2 $} پیدا می‌کنیم\pause
{\color{gray}
\[\int_{-1}^1\frac{s^2\dd s}{(1-s^2)^\frac{1}{2}}\]\pause}
۱({\color{orange}گاوس-چبیشف باز} برای$ T_2(s)=2s^2-1 $ و صفرهای $ T_2(s) $،$ \xi_1=-(1/\sqrt{2}),\xi_2=(1/\sqrt{2}) $ هستند
\pause
و
{\color{gray}
\[\frac{\pi}{2}[(-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+\frac{1}{(\sqrt{2})^2}]= \frac{\pi}{2}.\]
}


\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{ادامه مثال}
2({\color{orange}گاوس-چبیشف بسته} ،نقاط انتگرال‌گیری به صورت زیر هستند\pause
{\color{brown}
\[\xi_0=cos \frac{0\pi}{2},\quad \xi_1=cos \frac{\pi}{2},\quad \xi_2=cos \frac{2\pi}{2},\]\pause}
که: 
\[\xi_0=1,\quad \xi_1=0,\quad \xi_2=-1.\]\pause
انتگرال دقیق آن به‌صورت زیر خواهد بود:
{\color{brown}
\[\frac{\pi}{2}[\frac{1}{2}(1)^2+(0)^2+\frac{1}{2}(-1)^2]=\frac{\pi}{2}\]
}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{کلنشاو-کورتس}
اگر {\color{green}$ f(s) $} در نزدیکی‌های {\color{green}$ s=\pm1 $} هموار باشد، {\color{green}$ \bar{f}(s)$} هموار نیست، در این صورت استفاده‌ مستقيم قاعده گاوس -چبیشف برای 

\[If=\int_{-1}^1f(s)\dd s= \int_{-1}^1\frac{\bar{f}(s)\dd s}{(1-s^2)^\frac{1}{2}},\]
که{\color{blue}$ \bar{f}(s)=(1-s^2)^{\frac{1}{2}}f(s) $} 
نتایجی را حاصل می‌كند كه با افزايش {\color{orange}$ N $} همگرایی بسیار کندی دارد . با استفاده از دستور کلنشاو-کورتس می‌توان از اين همگرايی بسیار کند جلوگيری كنيم.
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
فرض كنيد كه بسط چبیشف تابع {\color{orange}$ f(s) $} به‌صورت زير است :
{\color{gray}
\[ f(s)=\sideset{}{_{}^{'}} \sum_{i=0}^{\infty}b_iT_i(s),\]\pause}
حال ضرايب {\color{orange}$ b_i $} به‌صورت زير به‌دست می‌آيند:\pause
{\color{gray}
\[ b_i=\frac{2}{\pi}\int_{-1}^1\frac{f(s)T_i(s)}{(1-s^2)^\frac{1}{2}}\dd s.\]\pause}


\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
با ارزيابی عددی رابطه اخیر با قاعده گاوس -چبیشف بسته، تقریب زیر را به‌دست می‌آوریم:\pause
{\color{blue}
\[b_i \approx a_i^{(N)}=\frac{2}{N}\sideset{}{_{}^{''}}\sum_{k=0}^N f(cos\frac{k\pi}{N})cos\frac{ik\pi}{N},\quad\ i=0,1,\ldots,N,\]\pause}
رابطه‌ کلنشاو-کورتس دارای مراحل زير می‌باشد\pause:

{\color{purple}1(محاسبه$ a_i^{(N)},i=0,\ldots,N $} \pause
\\
{\color{purple}2($\int_{-1}^1f(s)\dd s =\sideset{}{_{}^{''}}\sum_{\substack{n=0\\ n even}}^N\ 2a_n^{(N)}/(1-n^2)$}

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{برآورد خطا در روش‌های انتگرال‌گیری عددی}

حال به برآورد خطاهای یک دستور انتگرال‌گیری مانند {\color{orange}$ Q $ }می‌پردازیم.فرض کنیم {\color{orange}$ \{h_i(s)\}_{i=1}^{\infty} $} یک پایه برای تابع {\color{orange}$ f(s) $}باشد داریم:\pause
\[f(s)=\sum_{i=1}^{\infty}b_ih_i(s).\]
\[
\begin{split}\pause
Ef&=(I-Q)f=\sum_{i=1}^\infty b_iEh_i\notag\\
&=\sum_{i=P+1}^{\infty}b_iEh_i,
\end{split}
\]

آخرین نتیجه حاصل از {\color{orange}$ Eh_i=0,i=1,\ldots,P $} می‌باشد. بنابراین داریم؛ 

\[|Ef|=\left|\sum_{i=P+1}^{\infty}b_iEh_i\right|\leq\sum_{i=P+1}^{\infty}|b_i||Eh_i|\]

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{قضیه)پئانو(}
در نظر بگیرید:\pause
\[If=\int_a^bw(s)f(s)\dd s\]\pause
و دستور انتگرال‌گیری {\color{purple}$ N $} نقطه‌ای زیر
\[Qf=\sum_{i=1}^Nw_if(\xi_i)\]\pause
فرض کنید که{\color{purple} $ Qf $} برای چندجمله‌ای‌های {\color{purple}$ P_n $} از درجه کوچکتر یا مساوی {\color{purple} $ p $} دقیق باشد یعنی:\pause

\[Ef=(I-Q)P_n=0,\quad\ n=0,1,\ldots,p\]\pause




\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{ادامه قضیه}
علاوه برآن فرض می‌کنیم که {\color{red}$ f(s) $} تا مرتبه {\color{red}$ q $} دارای مشتقات پیوسته باشد،و یک مشتق قطعه به قطعه پیوسته از مرتبه {\color{red}$ q+1 $} داشته باشد، {\color{red}$ r=\min(p,q) $} سپس\pause
\[|Ef|\leq \frac{M^{(r+1)}}{r!}K_r\]

\[K_r=\int_a^b|E_s[(s-t)_+^{r}]|\dd t\]
\[
\begin{split}
M^{(i)}=&\sup|f^i(s)|\\
&a\leq s\leq b
\end{split}
\]\pause
\[
\begin{split}
(s)_+^m&=s^m,\quad s\geq0\\
&=0,\quad s<0
\end{split}
\]\pause
انتگرال {\color{green}$ k_r $} را هسته پئانو و عملگر {\color{green}$ E_s $} به خطا در انتگرال‌گیری روی {\color{green}$ s $} اشاره دارد. 

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{اثبات}

طبق بسط تیلور داریم :
{\color{gray}

\[
\begin{split}
f(s)=&f(a)+f'(a)(s-a)+\ldots+\frac{f^r(a)}{r!}(s-a)^r\notag\\
& +\frac{1}{r!}\int_a^sf^{(r+1)}(t)(s-t)^r\dd t
\end{split}
\]
}
جمله آخر{\color{orange}$ R $} را به‌صورت زیر می‌نویسیم 
{\color{gray}
\[R=\frac{1}{r!}\int_a^bf^{(r+1)}(t)(s-t)_+^r\dd t\]
}

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{ادامه اثبات}
حال اگر اپراتور خطی {\color{red}$ I-Q=E $} را به هر دو سمت معادله اعمال کنیم. سپس داریم
\[ Ef=\frac{1}{r!}E\int_a^bf^{(r+1)}(t)(s-t)_+^r\dd t\]\pause

\[ Ef=\frac{1}{r!}\int_a^bf^{(r+1)}(t)E_{s}(s-t)_+^r\dd t\]\pause

چون ${ E_s(s-t)_+^r} $ علامت ثابت دارد طبق قضیه مقدار میانگین انتگرال‌ها داریم :
\[Ef=\frac{f^{(r+1)}(\xi)}{r!}\int_a^bE_s(s-t)_+^r\dd t\]\pause
سپس
\[|Ef|\leq\frac{M^{(r+1)}}{r!}\int_a^b|E_s(s-t)_+^r|\dd t\]\pause
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{مثال}
خطای قاعده ذوزنقه‌ای را با قراردادن {\color{orange}$ a=0,b=h $}محاسبه می‌کنیم. خطای {\color{orange}$ E_{Trap}(f) $} است.
\[E_{Trap}(f)=\int_0^hf(s)\dd s-\frac{h}{2}[f(0)+f(h)].\]\pause

که
\[[E_{Trap}(s-t)_+|=\int_0^h(s-t)_+\dd s-\frac{h}{2}[(0-t)_++(h-t)_+]\]\pause
بنابراین 
\[
\begin{split}
E_{Trap}(f)&=f^{(2)}(\xi)\int_0^h(\frac{-t}{2}(h-t))\dd t\\
&=\frac{-f^{(2)}(\xi)}{12}h^3
\end{split}
\]\pause
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{مثال}
با استفاده از قضیه پئانو می‌خواهیم یک کران خطا برای دستور {\color{orange}$ N $} نقطه‌ای گاوس-لژاندر بیابیم با فرض {\color{orange}$ (a,b)=(-1,1) $}
داریم:

\[\left|Ef(Gauss)\right|\leq \frac{M^{(2N)}}{(2N-1)!}\int_{-1}^1\left|E_s(s-t)_+^{2N-1}\right|\dd t.\]\pause
\[
\begin{split}
\left|E_s(s-t)_+^{2N-1}\right|&=\left|\int_{-1}^1E_s(s-t)_+^{2N-1}\dd s-\sum_{i=1}^Nw_i(\xi_i-t)_+^{2N-1}\right|\\
&\leq\left|\int_{-1}^1E_s(s-t)_+^{2N-1}\dd s\right|+\left|\sum_{i=1}^Nw_i(\xi_i-t)_+^{2N-1}\right|
\end{split}
\]\pause
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{ادامه مثال}
اما داریم:
\[(s-t)_+\leq2,\quad \forall s,t\in[-1,1],\quad\sum_{i=1}^Nw_i=2,\]
\[\left|E_s(s-t)_+^{2N-1}\right|\leq2^{2N+1}\]\pause
بنابراین
\[\left|\int_{-1}^1E_s(s-t)_+^{2N-1}\right|\dd t\leq2^{2N+2}\]\pause
لذا
{\color{blue}
\[|Ef(Gauss)|\leq \frac{M^{(2N)}}{(2N-1)!}2^{2N+2}\sim4M^{(2N)}(\frac{N}{\pi})^\frac{1}{2}(\frac{e}{N})^{2N}\]\pause}

که از قانون استرلینگ برای $ (2N)! $ استفاده نموده‌ایم.

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\frametitle{قضیه)برآوردکشی(}
فرض کنیم {\color{orange}$ f(z) $} در دایره‌ای به شعاع {\color{orange}$ R $} تحلیلی باشد و {\color{gray}$ M^{(i)}(r)=\sup|f^{(i)}(z)|,\quad |z|\leq r $}.قرار می‌دهیم {\color{orange}$ \rho=r/R $}. در این صورت برای هر {\color{green}$ \epsilon>0 $} داریم:
\[M^i(r)\leq i!(\rho+\epsilon)^iM^{(0)}\]

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
اگر کران به‌دست آمده در قضیه فوق را در رابطه خطای گاوس قرار دهیم برای تابع تحلیلی در یک دایره به شعاع {\color{red} $ R $} خواهیم داشت:
\quad
{\color{gray}
\[|Ef(Gauss)|\leq\frac{2N!(\rho+\epsilon)^{2N}M^{(0)}}{(2N-1)!}2^{2N+1}\sim4NM^{(0)}(2\rho+2\epsilon)^{2N},\]\pause
}
که به ازای {\color{red}$ p>2 $} سرعت همگرایی بالایی دارد.

\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}
\begin{center} 
\begin{LARGE}

\qquad{\color{Green}
با تشکر از توجه شما}
\end{LARGE}

\end{center}
\end{frame}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}