\documentclass[a4paper,12pt,fleqn,oneside]{book}
\usepackage{amsmath}\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{geometry}\geometry{a4paper,top=4.5cm,bottom=4.5cm,left=2.5cm,right=4cm}
%\renewcommand{\baselinestretch}{2.4}
\usepackage{setspace}\usepackage{amssymb,enumerate}
\usepackage{setspace}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{verbatim}
\usepackage[colorlinks,linkcolor=blue,citecolor=blue]{hyperref}
\usepackage{amsthm}\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{graphicx}\usepackage{makeidx}\usepackage{pstricks}
\usepackage{xepersian}
\makeatletter
\def\@makechapterhead#1{%
  \vspace*{100\p@}%
  {\parindent \z@ \centering\normalfont\Nastaliq
    \ifnum \c@secnumdepth >\m@ne
      \if@mainmatter
        \huge\bfseries \@chapapp\space \tartibi{chapter} 
        \par\nobreak
        \vskip 50\p@
      \fi
    \fi
    \interlinepenalty\@M
    \Huge \bfseries #1\par\nobreak
    \vskip 40\p@
  }}
\def\@makeschapterhead#1{%
  \vspace*{50\p@}%
  {\parindent \z@ \centering
    \normalfont
    \interlinepenalty\@M
    \Huge \bfseries  #1\par\nobreak
    \vskip 40\p@
  }}
\makeatother

\settextfont[Scale=1]{XB Niloofar}
\setdigitfont[Scale=1]{XB Zar}
\setlatintextfont[Scale=1]{Times New Roman}
\defpersianfont\Nastaliq[Scale=1.8]{IranNastaliq}
\defpersianfont\nastaliq[Scale=1.2]{IranNastaliq}
\defpersianfont\Titre[Scale=1]{XB Titre}
\def\d{\displaystyle}
\newcommand{\mz}{_{\it\slash}}         % {   ممیز فارسی  }
\newcommand{\cx}{{\cal X}} 
%\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\kb}{{\mathbb K}} 
\newcommand{\z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\pa}{\partial}
\newcommand{\thh}{\theta}
\newcommand{\bo}{{\bf 0}}
\newcommand{\va}{\varphi} 
\renewcommand{\v}{\vec}
\renewcommand{\le}{\nearrow}
\newcommand{\up}{\uparrow}
\newcommand{\down}{\downarrow} 
\newcommand{\ri}{\searrow} 
\newcommand{\no}{\nonumber}
\newcommand{\cu}{\displaystyle{ \bigcup}}
\newcommand{\st}{\stackrel}
\newcommand{\al}{\alpha}
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\newcommand{\ca}{\displaystyle{ \bigcap}}
\newcommand{\sue}{\subseteq}
\newcommand{\su}{\subset}
\newcommand{\Om}{\Omega}
\newcommand{\ns}{\subset \hspace{-0.3cm} / \hspace{0.1cm} }
\newcommand{\Lr}{\Longleftrightarrow}
%\newcommand{\ncong}{\not\cong}
\newcommand{\De}{\Delta}
\newcommand{\de}{\delta}
\newcommand{\hs}{\hspace{1cm}}
\newcommand{\hd}{\hspace{0.5cm}}
\newcommand{\bee}{ \begin{eqnarray} }  %{  فرمول شماره‌دار  }
\newcommand{\eee}{ \end{eqnarray} }
\newcommand{\be}{ \begin{eqnarray*} }  %{  فرمول بدون شماره  }
\newcommand{\ee}{ \end{eqnarray*} }
\newcommand{\li}[1]{{\displaystyle \lim_{#1}} \hspace{0.2cm}}
\newcommand{\fr}[2]{{\displaystyle \frac{#1}{#2}}}
\newcommand{\ga}{\gamma}
\newcommand{\La}{\Lambda}
\newcommand{\la}{\lambda}
\newcommand{\ti}{\times}
\newcommand{\Lo}{\Longrightarrow}
\newcommand{\Loo}{\Longleftrightarrow}
\newcommand{\Ol}{\Longleftarrow}
\newcommand{\ol}{\longleftarrow} 
\newcommand{\lo}{\longrightarrow}
\newcommand{\lon}{\longleftrightarrow} 
\newcommand{\Ri}{\Rightarrow}
\newcommand{\bi}{{\displaystyle \oplus} }
\newcommand{\fo}{\forall}
\newcommand{\ov}{\overline}
\newcommand{\ds}[2]{{\displaystyle \sum_{#1}^{#2}}}
\newcommand{\pr}[2]{{\displaystyle \prod_{#1}^{#2}}}
\newcommand{\bc}[2]{{\displaystyle \bigcap_{#1}^{#2}}}
\newcommand{\co}[2]{{\displaystyle \coprod_{#1}^{#2}}}  
\newcommand{\bu}[2]{{\displaystyle \bigcup_{#1}^{#2}}}
\newcommand{\lu}[2]{{\displaystyle \cup_{#1}^{#2}}}
\newcommand{\opl}[2]{{\displaystyle \bigoplus_{#1}^{#2}}}  
\newcommand{\baa}{\begin{array}{ll}}
\newcommand{\ba}{\begin{array}{l}}
\newcommand{\ea}{\end{array}}
\newcommand{\si}{\sigma}
\newcommand{\un}[2]{\underbrace{#1}_{#2}}
\newcommand{\ob}[2]{\overbrace{#1}^{#2}}
\newcommand{\ph}{\varphi}
\newcommand{\edots}{.\!\cdot\!\raisebox{1.56mm}{.}} 
\newcommand{\Ga}{\Gamma}
\newcommand{\lb}{\label}
\renewcommand{\l}{\langle}
\newcommand{\ra}{\rangle}
\renewcommand{\c}{\cdots}
\renewcommand{\b}{\beta}
\newcommand{\rr}{I\!\!R}
\newcommand{\kk}{I\!\!K} 
\newcommand{\nn}{I\!\!N} 
\newcommand{\zz}{{\Bbb Z}}
%\newcommand{\nn}{{\Bbb N}}
%\renewcommand{\zz}{{\Bbb Z}}
\newcommand{\cc}{C \hspace{-0.26cm} / \hspace{0.1cm}} 
\newcommand{\w}{\widetilde}
\newcommand{ \epsffil    }[2]{\vspace{-6mm} 
\centerline{  \hspace{#1cm} \vspace{-2mm} \epsfbox{#2} } }   %{   epsاستفاده از تصاویر   }
\newcommand{\ben}{\vspace{-2cm}  \be  \ee } 
\def\f{\LTRfootnote}

\pagestyle{fancy}
\renewcommand{\sectionmark}[1]{%
\markright{\thesection\ #1}}
\fancyhf{} % delete current header and footer
\fancyhead[RO]{\slshape\leftmark}
\fancyhead[RE]{\slshape\rightmark}
\fancyhead[LO,RE]{\slshape \thepage}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{thm}{قضیه}%[chapter]
\numberwithin{thm}{chapter}
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}.\arabic{chapter}}
\renewcommand{\thefigure}{\arabic{figure}}
\renewcommand{\thesubsection}{\arabic{subsection}.\arabic{section}}
\renewcommand{\thethm}{\arabic{thm}.\arabic{section}.\arabic{chapter}}
\newtheorem{lem}[thm]{لم}
\newtheorem{prop}[thm]{گزاره}
\newtheorem{cor}[thm]{نتیجه}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{dfn}[thm]{تعریف}
\newtheorem{dfnthm}[thm]{تعریفو قضیه}
\newtheorem{exam}[thm]{مثال}
\newtheorem{rem}[thm]{ملاحظه}
\newtheorem{note}[thm]{تذکر}
\newtheorem{way}[thm]{روش}
\newtheorem{notee}[thm]{نکته}
\newtheorem{gha}[thm]{قرارداد}
\newcommand{\borhan}{\textbf{برهان. }}
\renewcommand\bibname{مراجع}
\pagestyle{fancy}
\setcounter{secnumdepth}{3}
\setcounter{tocdepth}{3}
\allowdisplaybreaks
\begin{document}
\baselineskip=1cm
\thispagestyle{empty} 
\vspace*{1cm}
\[\includegraphics[width=0.8\textwidth]{besm}\]
\newpage
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
\vspace*{-2cm}
\centering
$\includegraphics[height=4.5cm]{logo.jpg}$\\
%\*\vspace{-1.5cm}\\
%{\large \bf دانشگاه سیستان وبلوچستان}\\%[-2mm]
{\bf تحصیلات تکمیلی }\\[10mm]
%{\bf گروه ریاضی }\\[5mm]
{\Large \bf  پایان‌نامه کارشناسی ارشد ریاضی محض}\\
%\vspace{0.2cm}\\ 
%{\large \bf رشته ریاضی  }\\
\vspace{1cm}
{\large\textbf{ عنوان:}}\\
%\vspace{0.5cm}
{\Nastaliq  خواص نگاشت تام در گروه‌های توپولوژی و روابط بین این نگاشت برای گروه‌های توپولوژی ‍}\vspace{1cm}\\
{\large\textbf{ استاد راهنما:}}\\%[-2mm]
%\vspace{0.5cm}
{\Nastaliq دکتر غلامرضا رضایی }\\
\vspace{1cm}
% {\large\textbf{استاد مشاور:}}\\[-2mm]
%\vspace{0.5cm}
%{\large \bf دکتر کوروش نوروزی}\\[5mm]
{\large\textbf{تحقیق و نگارش:}}\\%[-2mm]
{\Nastaliq  مجتبی جهانبخش مهدی‌آبادی    }\\
\vspace{0.9cm}

\vfill
{\large \bf  شهریور  1392 }\\
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\thispagestyle{empty}
\vspace*{4cm}
{\Nastaliq هر کس به من کلمه ای بیاموزد من را بنده خویش ساخته است.} \\[1cm]
\hspace*{12cm} 
{\nastaliq  امام علی (ع)} \\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage
%\thispagestyle{empty} 
%\vspace*{4cm}
%\begin{center}
%\begin{minipage}{9cm}
%\textbf{\large کليه حقوق مادي مترتب بر نتايج مطالعات، ابتکارات و نوآوری‌های ناشی از تحقيق موضوع اين پايان‌نامه  متعلق به دانشگاه اصفهان است.}
%\end{minipage}
%\end{center}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
 \thispagestyle{empty} 
\*\vspace*{0.5cm}\\
\begin{center}
{\Large{\Nastaliq
\hspace*{-4cm}
تقدیم به
   }\\[2cm]
      {\nastaliq 
   پدر و  مادر مهربانم}}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\Nastaliq
تشکر و قدردانی
}
\end{center}
پس از حمد و ثنای خدوند متعال مراتب حق شناسی و امتنان خود را به حضور استاد محترم آقای دکتر غلامرضا رضایی و استاد محترم آقای دکتر جواد جمالزاده به خاطر راهنمایی‌های 
مفید ایشان در تهیه این تحقیق اعلام می‌دارم.\\
همچنین آرزوی توفیق و موفقیت  روز افزون برای کلیه مسئولین و اساتید گرانقدر دانشکده ریاضی به خاطر آنچه که در طول این دوره 
 به من آموختند، دارم.\\
از همه دوست‌های عزیزم و از هم‌اتاقی‌های مهربانم بسیار متشکرم از این که من را در طول این مدت با تمام مشکلات تحمل کردند. برای همه دوست های عزیزم آرزوی موفقیت و خوشبختی دارم.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
 \pagenumbering{harfi}
\renewcommand{\headrulewidth}{0mm}
 \pagestyle{fancy}
\cfoot{\thepage}
\lhead{ }
\rhead{ }
\vspace*{2cm}
\section*{چکیده}
%\thispagestyle{empty} 
\addcontentsline{toc}{section}{چکیده}
\noindent %
 در پی ‌آن هستیم تا شرایط و خواصی که در فضاهای مختلف توپولوژی تحت هومئومورفیسم و نگاشت‌های باز و بسته منتقل می‌شوند را بررسی کنیم. همچنین شرایطی را بررسی کنیم که تحت نگاشت‌های
باز و بسته منتقل نمی‌شوند. پس به طورخاص و جامع تر نگاشت‌های کامل را در فضاهای مختلف در گروه‌های توپولوژیک مورد بررسی قرار داده و نشان می‌دهیم که کدام خواص توپولوژی با چه شرایطی تحت این  
نگاشت در گروه‌های توپولوژی منتقل می‌شوند.   
\\[5mm]
%\textbf{کلمات کلیدی:} کدهای آرایه‌ای، فاصله‌ی متوقف کننده، مجموعه‌ی متوقف کننده، ماتریس بررسی توازن خلوت، افزونگی متوقف کننده.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 \newpage
\tableofcontents
\listoffigures
\newpage
  \pagenumbering{arabic}
 % \pagestyle{fancy}
%\cfoot{}
%\lhead{\thepage}
%\rhead{ }
\section*{مقدمه }
\addcontentsline{toc}{section}{مقـدمـه }
%\markboth{مقدمه}{مقدمه}
در اصل کلمه توپولوژی از ترکیب دو کلمه یونانی {\bf توپوس}\f{$\tau \circ \pi \circ\varsigma$}، به معنی جا و مکان و {\bf لوگوس}\f{$\lambda \circ\nu \circ\tau \alpha$}
به معنی مطالعه حاصل شده است. از جنبه تاریخی توپولوژی در سال ۱۸۴۷ توسط {\bf لیستینگ }\f{Listing. J. B} یکی از شاگردان گاوس معرفی شد.\\   
نام دیگری که در اوان بسط توپولوژی به این موضوع اطلاق شد آنالیز وضع بود.
توپولوژی در دو زمینه به کلی متمایز بسط و توسعه یافت: توپولوژی مجموعه ـ‍ نقطه‌ای یا توپولوژی عمومی، نظریه مجرد عام پیوستگی توابع 
تعریف شده 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  \chapter{تعاریف و مفاهیم اولیه}
  \newpage
%\pagestyle{}
\pagestyle{myheadings}
\markboth{ ~~\hrulefill~~عنوان فصل }
{فصل اول     \hrulefill تعاریف و مفاهیم اولیه }
\section{مقدمه}
در این فصل با تعاریف و مفاهیم اولیه از توپولوژی  که در طول پایان‌نامه لازم و در فصل‌های بعد مورد استفاده است، آشنا می‌شویم. همچنین اشاره‌ای به اصول جداسازی و شمارایی،$K$-فضاها از توپولوژی عمومی خواهیم داشت. \\
\section{فضاهای  توپولوژیک }
\begin{dfn}
یک توپولوژی در مجموعه $X$ گردایه‌ای از زیر مجموعه‌های $X$ مانند $\tau $ است که در شرایط زیر صدق کند:\\
(۱) $X$ و $\emptyset$ به $\tau$ متعلق‌اند($\emptyset  \in \tau ,X \in \tau $).\\
%(۲) اجتماع هر زیر گردایه $\tau$ به $\tau$ متعلق باشد. ($\begin{array}{*{20}{c}}
%\forall &{\gamma  \subseteq \tau }&,&{\bigcup\limits_{A \in \gamma } A }
%\end{array} \in \tau $)\\
(2) اجتماع هر زیرگردایه $ \tau $  به $ \tau $ متعلق باشد، یعنی($ \forall  \gamma\subseteq\tau, {\bigcup\limits_{A\in \gamma} A} \in \tau $).\\
%(۳) اشتراک هر زیرگردایه متناهی $\tau$ به $\tau$ متعلق باشد. ($\begin{array}{*{20}{c}}
%\forall &{\gamma  \subseteq \tau }&,&{\bigcap\limits_{B \in \gamma } B }
%\end{array} \in \tau $)($B$ متناهی است ).
%\end{dfn}
%\begin{dfn}\label{2.1.1}
(3) اشتراک هر زیرگردایه متناهی $ \tau $ به $ \tau $ متعلق باشد، یعنی($ \forall \gamma\subseteq\tau, {\bigcap\limits_{B  \in \gamma} B} \in \tau $)($ B $ متناهی است)
\end{dfn}
\begin{dfn}

اگر برای هر نقطه $x$ از فضای توپولوژی  $X$،  $ \beta(X) $  پایه توپولوژی در نقطه $x$ باشد، آنگاه خانواده  
$ \lbrace \beta(X) \rbrace_{x\epsilon X} $
یک مجموعه همسایگی برای فضای توپولوژیک $(X,\tau)$ نامیده می‌شود. هر گردایه همسایگی فضای توپولوژیک $(X,\tau)$ در شرایط زیر صدق می‌کند و برعکس\\ 
(۱)  برای هر $x\in X$، $ \beta(x)\neq \emptyset $ و برای هر $ U\in \beta(x) $، $x\in U$. %($BP(1)$)\\
\\
(۲)  اگر $ x\in U\in \beta(y) $، آنگاه $aV\in \beta(x)$ موجود است بطوریکه $V\subset U$. %($BP(2)$)\\
\\
(۳)  برای هر $U_1,U_2\in \beta(x)$، $aU\in \beta(x)$ چنان که $U\subset U_1\cap U_2$ موجود باشد. %($BP(3)$)
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{3.1.1}
 اگر $\tau_1$ و $\tau_2$ دو توپولوژی روی مجموعه $X$  و $\tau_2\subset \tau_1$ باشد، آنگاه توپولوژی $\tau_1$ را ظریف تر از توپولوژی 
$\tau_2$ می گوییم.\\
ظریف‌ترین توپولوژی روی مجموعه $X$ توپولوژی گسسته(شامل  تمام زیرمجموعه‌های مجموعه $X$) می‌باشد.
\end{dfn}
\begin{thm}\label{4.1.1} 
 فرض کنید $X$ و $Y$ دو فضای توپولوژی باشند. آنگاه در مورد نگاشت $f:X\longrightarrow Y$ گزاره‌های زیر با هم معادلند:\\
(۱) $f$ نگاشتی پیوسته است.\\  
(۲) تصویر معکوس هر مجموعه باز در $Y$، مجموعه‌ای باز در $X$ است.\\   
(۳) تصویر معکوس هر مجموعه بسته در $Y$، مجموعه‌ای بسته در $X$ است.\\
(۴) به ازای هر $A\subseteq X$ داشته باشیم:
\begin{center}
$f(\bar A) \subseteq (\overline {f(A)} ).$
\end{center}
(۵) به ازای هر $B\subseteq Y$ داشته باشیم:
\begin{center}
$\overline {{f^{ - 1}}(B)}  \subseteq {f^{ - 1}}(\bar B).$
\end{center}
\end{thm}
\begin{dfn}\label{5.1.1}
حاصل ضرب دکارتی 
$\prod\limits_{i = 1}^\infty  {{A_i}} $
از مجموعه همه دنباله‌هایی مانند
$({a_1},{a_2},{a_3},...)$
که به ازای هر$i$  طبیعی ، جمله $i$ام آن به $A_i$ متعلق است. اگر به جای 
$({a_1},{a_2},{a_3},...)$
این دنباله را با
${\{ {a_i}\} _{i \in N}}$
 نشان دهیم، آنگاه 
\begin{center}
$\prod\limits_{i = 1}^\infty  {{A_i}}  = \left\{ {{{\{ {a_i}\} }_{i \in 
N}}/{a_i} \in {A_i}\& \forall i} \right\}$
\end{center}
 اما می دانیم هر دنباله تابعی بر روی $\Bbb N$ است. پس اگر در تعریف فوق 
${\{ {a_i}\} _{i \in N}}$
را با $a$ نشان دهیم، آنگاه
\\
$.a:\Bbb N \to {A_i}$ 
 بنابراین می‌توان 
$\prod\limits_{i = 1}^\infty  {{A_i}} $
را به صورت مجموعه متشکل از همه توابعی مانند
\begin{center}
$a:\Bbb N \to \bigcup\limits_{i = }^\infty  {{A_i}}$
\end{center}
 تعریف کرد که در آن به ازای هر عدد طبیعی مانند$i$، ${a_i} \in {A_i}$(توجه داشته 
باشیم $a_i$ یعنی $a(i)$). پس واضح است که هر $n$تایی مانند$({x_1},{x_2},...)$ را می‌توان به عنوان تابعی که حوزه تعریف آن ${...,3,2,1}$ است، در نظر گرفت. بنابراین حاصل ضرب دکارتی 
تعدادی متناهی از مجموعه ها را می‌توان مانند تعریف فوق برحسب مجموعه‌ای از توابع که حوزه تعریف مشترک آنها مجموعه‌ای متناهی است تعریف کرد.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{6.1.1}
فرض کنید${\{ {A_\alpha }\} _{\alpha  \in I}}$ خانواده دلخواه از مجموعه هاباشد و $A = \bigcup\limits_{\alpha  \in I} {{A_\alpha }}$.  در این صورت یک $I$-تایی ازاعضای $A$، یعنی تابعی 
مانند$x:I \to A$ اگر $\alpha  \in I$. آنگاه مقدار تابع $x$ را در  $\alpha $ به جای $x(\alpha )$ با  ${x_\alpha }$ و خود تابع $x$ را با نماد  ${({x_\alpha })_{\alpha  \in I}}$ نشان می دهیم.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{7.1.1}
با مفروضات و علامات تعریف بالا، حاصل ضرب دکارتی ${A_\alpha }$ها،که با$\prod\limits_{\alpha  \in I} {{A_\alpha }} $ نمایش داده می‌شود، یعنی 
\begin{center}
$\left\{ {{{({x_\alpha })}_{\alpha  \in I}}|{x_\alpha } \in {A_\alpha 
},\forall \alpha  \in I} \right\}$
\end{center}
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{8.1.1}
 اگر$X$   یک فضای توپولوژی و $ \rho $  یک رابطه هم ارزی روی $X$ باشد، مجموعه تمام رده های هم ارزی $X$ را با  $X/\rho $   نمایش می‌دهیم و آن را مجموعه خارج قسمتی $X$ می‌نامیم.
هرگاه  مجموعه خارج قسمتی $X$ را با توپولوژی خارج قسمتی، یعنی توپولوژی که تحت آن توپولوژی نگاشت طبیعی 
$\begin{array}{l}
P:X \to X/\rho \\
\end{array}$
پیوسته باشد، مجهز کنیم، آنگاه $X/\rho $ را فضای خارج قسمتی می‌گوییم.\\
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{9.1.1}
مشخصه
 از نقطه $x$ در فضای توپولوژیک $(X,{\rm O})$ را کوچکترین عدد اصلی به شکل 
$\left| B(x)\right|$، نمایش می دهیم
 که $B(x)$ پایه برای $(X,{\rm O})$ درنقطه $x$ است.
این عدد اصلی را با $\chi \left( {} \right.x,(X,{\rm O})\left. {} \right)$ نمایش می دهیم. مشخصه فضای توپولوژی  $(X,{\rm O})$ را سوپریمم همه مشخصه ها در نقطه $x \in X$ از
 $\chi \left( {} \right.x,(X,{\rm O})\left. {} \right)$ نامیم که به شکل $\chi \left( {X,{\rm O}\left. {} \right)} \right.$  نمایش می دهیم.
 \end{dfn}
\begin{dfn}\label{10.1.1}
وزن در فضای توپولوژی $(X,{\rm O})$ پایه‌ای چون $B$ از این فضاست که دارای کمترین عضو است. این عدد اصلی را وزن فضای توپولوژی  $(X,{\rm O})$ می نامیم و با $w(X,{\rm O})$          
نشان می دهیم.\\
اگر $\chi \left( {} \right.(X,{\rm O})\left. {} \right) \leq {{\aleph_\circ}}$، فضای  $(X,{\rm O})$ در اولین اصل شمارایی صدق می کند به این معنی که برای هر نقطه $x$ از$X$ یک پایه شمارا وجود داشته باشد.\\
اگر $w\left( {} \right.(X,{\rm O})\left. {} \right) \leq {\aleph_\circ}$، فضای  $(X,{\rm O})$ در دومین اصل شمارایی صدق می‌کند به این معنی که $(X,{\rm O})$ دارای پایه‌ای شمارا باشد.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{11.1.1}
فرض کنید $(X,{\rm O})$ یک فضای توپولوژی و پایه $B(x)$ را برای هر$x \in X$ از فضای  $(X,{\rm O})$ در نظر بگیرید آنگاه برای هر $x$، ${\{ B(x)\} _{x \in X}}$ سیستم همسایگی برای فضای توپولوژی  $(X,{\rm O})$
نامیده می‌شود اگر دارای خواص زیر باشد:\\
(۱) برای هر $x \in X$، $B(x)\neq\emptyset $ و برای هر $U \in B(x)$، $x \in U$.\\
(۲) اگر $x \in U \in B(y)$، آنگاه $aV \in B(x)$ موجود است  به طوریکه $V \subset U$.\\
(۳) برای هر ${U_1},{U_2} \in B(x)$، $aU \in B(x)$ موجود است به طوریکه $U \subset {U_1} \cap {U_2}$.\\
دقت داشته باشیم در یک گروه با توجه به این سیستم همسایگی و عمل و وارون گروه پیوسته می توانیم توپولوژی منحصر به فردی روی گروه $ G $ ایجاد کنیم. 
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{12.1.1}
خانواده ${\{ {A_s}\} _{s \in S}}$ ازفضای توپولوژی $X$ را موضعأمتناهی گوییم، اگر هرنقطه از$x \in X$ همسایگی $U$ داشته باشد که اشتراکش با تعداد متناهی از اعضای همسایگی، ناتهی باشد
\linebreak
($\left\{ {s \in S:U \cap {A_s}} \right. \ne \emptyset \left. {} \right\}$ متناهی شود).\\
همچنین اگر هر نقطه $x \in X$ همسایگی داشته باشد که در نهایت با یک مجموعه از خانواده اشتراک داشته باشد این خانواده را گسسته نامیم.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{13.1.1}
چگالی از فضای $X$ را کوچکترین عدد اصلی به شکل $\left| A \right|$ نمایش می دهیم که زیر مجموعه چگال از $X$ است و این عدد اصلی را با $d(x)$ نشان می‌دهیم . اگر $d(x) \leq {\aleph_\circ}$، 
آنگاه فضای $X$ را تفکیک‌پذیر گوییم(فضای $X$ را تفکیک‌پذیر گوییم، هرگاه $X$ زیرمجموعه شمارش‌پذیر مانند $A$ داشته باشد به طوریکه $\bar A = X$).
\end{dfn}
\begin{note}\label{14.1.1}
 برای هر فضای توپولوژی $X$ داریم $d(x) \leq w(x)$. واضح هست که هر فضای شمارای نوع دوم تفکیک‌پذیر است.
 \end{note}
\begin{dfn}\label{15.1.1}
فرض کنید $(X,\tau )$ یک فضای توپولوژی و فرض کنید $Y$ زیرمجموعه‌ای از$X$   باشد. گردایه ${\tau _y}$ چنین تعریف می شود :
\begin{center}
.${\tau _y} = \left\{ {Y \cap U:U \in \tau } \right\}$
\end{center}
 $(Y,{\tau _y})$ یک فضای توپولوژی است و${\tau _y}$ را توپولوژی زیرفضایی(القایی) از $Y$ گوییم.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{16.1.1}
خانواده ${\left\{ {{X_s}} \right\}_{s \in S}}$ از فضاهای توپولوژی دوتایی مجزا، یعنی ${X_s} \cap {X_{s'}} = \emptyset $ برای $s \ne s'$، را در نظر می‌گیریم. فرض کنید $X = \bigcup\limits_{s \in S} {{X_s}} $ 
و خانواده ${\rm O}$ از همه مجموعه های $U \subset X$ به طوریکه $U \cap {X_s}$ در ${X_s}$ برای هر $s \in S$  باز است.  به آسانی می‌بینیم که خانواده ${\rm O}$
در روابط توپولوژی  صدق می کند. بنابراین ${\rm O}$ یک توپولوژی روی مجموعه $X$ است که مجموعه $X$ همراه این توپولوژی را مجموعی از فضای ${\left\{ {{X_s}} \right\}_{s \in S}}$ها گوییم و آن را به شکل $ \oplus {X_s}$
یا به شکل${X_1} \oplus {X_2} \oplus ... \oplus {X_k}$  نمایش می‌دهیم، اگر $S = \{ 1,2,3,...,k\} $ .
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{17.1.1}
فرض کنید $X$ یک فضای توپولوژی و $E$ یک رابطه هم‌ارزی روی $X$ باشد. مجموعه همه رده‌های هم‌ارزی روی $X$ را با $X/E$ نمایش می‌دهیم. نگاشت پیوسته $\pi :X \to X/E$ روی $X/E$ توپولوژی 
خارج قسمتی را القا می‌کند. به این ترتیب که $U$ زیرمجموعه‌ای باز در$X/E$ است اگروتنهااگر ${\pi ^{ - 1}}(U)$ زیرمجموعه‌ای باز در $X$ باشد و فضای $X/E$ همراه این توپولوژی را فضای خارج قسمتی می‌نامیم($\pi $ نگاشت خارج قسمتی نام دارد).
\end{dfn}


\section{ فضاهای هیچ جاچگال، فرشه و دنباله‌ای}
\setcounter{thm}{0}
\begin{dfn}\label{1.2.1}
 فرض کنید $X$ یک فضای توپولوژیک باشد.\\
(۱) مجموعه $Y\subseteq X$ را در $X$ چگال می‌گوییم، هرگاه $\bar Y = X$.\\
(۲) مجموعه $Y\subseteq X$ هم‌چگال در $X$ گفته می‌شود، اگر $X\setminus Y$ در $X$ چگال باشد.\\
(۳) مجموعه $Y\subseteq X$ را هیچ‌جاچگال در $X$ گوییم، در صورتی که$\bar Y$ در $X$ هم‌چگال باشد.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{2.2.1}
فرض کنید $A$ یک مجموعه ناتهی باشد بطوریکه یک رابطه دوتایی مانند $" \leq "$ تعریف شده برای عناصر $A$ وجود داشته باشد که در شرایط زیر صدق کند:\\
(۱) برای هر $a \in A$، $a \leq a$(انعکاسی).\\
(۲) برای هر $a,b,c \in A$ اگر $a \leq b$ و $b \leq c$، آنگاه $a \leq c$(متعدی).\\
(۳) اگر $a,b \in A$ آنگاه $c \in A$ وجود دارد بطوریکه  $c \leq a$ و  $c \leq b$.\\
آنگاه $(A, \leq )$ را یک مجموعه جهت دار شده می گویند.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{3.2.1}
یک تور در فضای توپولوژی $X$ یک تابع دلخواه از مجموعه جهت دار ناتهی $\Sigma $ به فضای $X$ است. عموما تور را با$S = \{ {x_\sigma }:\sigma  \in \Sigma \} $ نشان می دهیم  بطوریکه 
${x_\sigma }$ نقطه‌ای از $X$ است و $\sigma $ عنصری از مجموعه جهت دار $\Sigma $ می‌باشد.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{4.2.1}
فرض کنید $(E, \leq )$ و $(D, \leq )$  دو مجموعه جهت دار شده باشند تور ${\{ {y_i}\} _{i \in E}}$ را به ترتیب زیر توری از تور ${\{ {x_i}\} _{i \in D}}$  گوییم هرگاه  تابعی مانند $ k:E\longrightarrow D $  وجود داشته باشد به طوریکه،\\
1) برای هر $ i\in E $ جایی که $ k(i)=k_i $، $ y_i=x_{k_i} $
\\
2) برای هر $ m\in D $ و $ i\in E $  اگر $ i\leqslant p $ در $ E $ موجود باشد آنگاه $ m\leqslant {k_p} $ را در $ D $ داریم.
\end{dfn}
\begin{prop}\label{5.2.1}
فضای توپولوژی $X$ هاسدورف است اگر و فقط ‌اگر هر تور در $X$ حداکثر به یک نقطه از $X$ همگرا باشد.
\end{prop}
\begin{dfn}\label{6.2.1}
فرض کنید $X$ فضای توپولوژیک باشد. گزاره‌های زیر معادلند:\\
(۱) $X$ فشرده است.\\
(۲) هرتور در$X$ یک نقطه چسبندگی دارد.\\
(۳) هرتور در$X$، زیرتوری  همگرا دارد.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{7.2.1}
فرض $X$ یک مجموعه ناتهی و$F$   گردایه‌ای از زیرمجموعه‌های $X$ باشد.$F$ را یک فیلتر روی $X$ گوییم، هرگاه\\
(۱) $\emptyset  \notin F$.\\
(۲) اگر$A,B \in F$، آنگاه $A \cap B \in F$.\\
(۳) اگر $A \in F$ و $A \subseteq B \subseteq X$، آنگاه $B \in F$.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{8.2.1}
فرض کنید ${\{ {x_n}\} _{n \in N}}$ یک تور باشد و
${F_n} = \{ {x_n}:n \leq m\begin{array}{*{20}{c}} 
,&{n, m \in A\} }
\end{array}$. 
در این صورت $\{ {F_n}:n \in A\}$ یک فیلتر است، که آن را فیلتر تولید شده توسط  ${\{ {x_n}\} _{n \in N}}$ گویند.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{9.2.1}
برای فضای توپولوژی $X$ زیرمجموعه بسته $ A $ را در نظر می گیریم. فضای توپولوژی $ X $ را فضای دنباله ای گوییم هرگاه هر دنباله در $ A $ شامل حد خودش باشد.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{10.2.1}
فضای توپولوژی $X$ را فضای فرشه گوییم، اگر برای هر $A \subseteq X$ و هر $x \in \bar A$ دنباله‌ای مانند $\left\{ {{x_n}} \right\}_{n = 1}^\infty $ از نقاط $A$ موجود باشد که به $x$ همگرا است.
\end{dfn}
\begin{note}\label{11.2.1}
\begin{flushright}
هر فضای فرشه، فضای دنباله‌ای است ولی عکس برقرار نیست. مثلا مجموعه  $X = \{ \circ\}  \cup \bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {{X_i}} $ که در آن 
${X_i} = \{ 1/i\}  \cup \{ 1/i + 1/{i^2},1/i + 1/1 + {i^2},...\}$
و${X_i} \cap {X_k} = \emptyset , i \ne k$(که توپولوژی تولید شده توسط سیستم همسایگی ${\{ B(x)\} _{x \in X}}$ است)
\end{flushright}
\end{note}


\section{نگاشت‌های باز، بسته، پیوسته و نشاننده‌ها}
\setcounter{thm}{0}
\begin{dfn}\label{1.3.1}
 فرض کنید که $(X,\tau )$ و $(Y,{\tau ^*})$ دوفضای توپولوژی باشند. نگاشت $\lambda :X \to Y$ را پیوسته گوییم، اگر برای هر$u \in {\tau ^*}$ داشته باشیم  ${\lambda ^{ - 1}}(u) \in \tau $ .
 \end{dfn}
\begin{dfn}\label{2.3.1}
 نگاشت پیوسته  $\lambda:X\rightarrow Y$ را بسته(باز) نامیم، اگر برای هر مجموعه بسته(باز) $A\subset X$ تصویر $f(A)$ در $Y$ بسته(باز) باشد.
 \end{dfn}
\begin{dfn}\label{3.3.1}
هر نگاشت پیوسته $f:X \to Y$ باز است اگر و فقط اگر پایه $B$ برای $X$ وجود داشته باشد به طوریکه $f(u)$ در $Y$ برای هر $u \in B$ باز است.
 \end{dfn}
\begin{thm}[\cite{10}]\label{4.3.1}
 فرض کنیم تابع  $\lambda:X\rightarrow Y$ یک تناظر یک‌به‌یک است. در این صورت گزاره های زیر معادلند:\\
(۱) $f$ باز است.\\
(۲) $f$ بسته است. \\
(۳) $f^{-1}$ پیوسته است .
 \end{thm}
\begin{thm}\label{5.3.1}
 فرض کنید $f:X \to Y$ پیوسته باشد. آنگاه گزاره‌های زیر معادلند.\\
(۱) برای هر زیرمجموعه بسته $Y$ مانند $F$،  ${f^{ - 1}}(F)$ در $X$ بسته باشد.\\
(۲) برای هر زیرمجموعه $Y$ مانند $B$، $\overline {{f^{ - 1}}(B)}  \subseteq {f^{ - 1}}(\bar B)$.\\
(۳) برای هر زیرمجموعه $X$ مانند $A$، $f(\bar A) \subseteq \overline {f(A)} $.
 \end{thm}
\begin{thm}[\cite{6}]\label{6.3.1}
 فرض کنید$X$، $Y$  و $Z$ سه فضای توپولوژی باشند و $f:X \to Y$ و $f:Y \to Z$ توابعی پیوسته، باز(بسته) باشند. در اینصورت $g \circ f:X \to Z$ به ترتیب تابعی پیوسته،
باز(بسته) است.
 \end{thm}
\begin{thm}[\cite{12}]\label{.7.3.1}
 نگاشت پیوسته $f:X \to Y$ بسته است اگروفقط‌اگر برای هر نقطه $y \in Y$ و هر مجموعه باز $U \subset Y$ که شامل ${f^{ - 1}}(y)$ است همسایگی $V$ در $Y$ شامل نقطه 
$y$ وجود دارد به طوریکه ${f^{ - 1}}(V) \subset U$.
 \end{thm}
\begin{prop}[\cite{12}]\label{8.3.1}
 ترکیب $g \circ f$ از نگاشت‌های پیوسته $f:X \to Y$ و$g:Y \to Z$  بسته(باز) باشد آنگاه تحدید $g{|_{f(x)}}:f(x) \to Z$ بسته(باز) است.
 \end{prop}
\begin{dfn}\label{9.3.1}
 تابع  $\lambda:X\rightarrow Y$ را یک هموئومورفیسم گوییم در صورتی که $f$ یک‌به‌یک و پیوسته باشد یا در یکی از شرایط معادل  {\bf قضیه\ref{4.4.1}}
صدق کند. همچنین نگاشتی که همزمان باز و بسته باشد را نگاشت باز-بسته می گوییم .
 \end{dfn}
\begin{dfn}\label{10.3.1}
 نگاشت پیوسته $f:X \to Y$ را خارج قسمتی گوییم، اگر ترکیبی از نگاشت طبیعی و همئومورفیسم $f':X/E \to Y$ باشد. به عبارت دیگر رابطه هم ارزی $E$ روی $X$ وجود دارد
و یک همئومورفیسم  $f':X/E \to Y$، بطوریکه \lr{$f = f'q$ }($ q:X\longrightarrow X/E $).  
 \end{dfn}
\begin{dfn}\label{11.3.1}
 زیرفضای $M$ از هر فضای توپولوژی $X$ و نگاشت   $i_M:M\rightarrow X$ با ضابطه
\begin{center}
$i_M^{-1}(u)=M\cap U$
\end{center}
که این نگاشت پیوسته است آنگاه نگاشت  $i_M:M\rightarrow X$ را نشاننده 
از زیرفضای $M$در $X$ می‌نامیم. نشاننده $i_M$ بسته(باز) است اگروفقط‌اگر زیرفضای $M$ بسته(باز) باشد.
 \end{dfn}
\begin{dfn}\label{12.3.1}
 نگاشت  $f:X\rightarrow Y$ را همئومورفیسم‌نشاننده گوییم اگر ترکیبی از همئومورفیسم و نشاننده باشد، به این معنی که زیرفضای $L$ از$Y$ و هموئومورفیسم 
$f':X \to L$ وجود داشته باشد به طوریکه $f = {i_L}f'$. پس واضح است که $f(X) = L$ و
$f' = f{|_X}$.
\\
پس اگر برای فضای $X$ همئومورفیسم نشاننده $f:X\rightarrow Y$ در فضای$Y$   وجود داشته باشد، آنگاه $X$ نشانده شده در فضای \lr{$X$ } است.
 \end{dfn}
\begin{dfn}\label{13.3.1}
اگر $X$ یک فضای توپولوژی و $\{ {f_i}\}$ دنباله‌ای از توابع حقیقی مقدار یا توابعی به توی فاصله $I$ باشند، دنباله $\{ {f_i}\}$ همگرای یکنواخت به تابع حقیقی مقدار $f$ است 
اگروفقط‌اگر برای هر$\varepsilon  > 0$، $k$ وجود داشته باشد به طوری که برای هر $x \in X$ و $k \leq i$ داریم $\left| {f(x) - {f_i}(x)} \right| < \varepsilon $. اگر دنباله $\{ {f_i}\}$
از توابع حقیقی مقدار پیوسته همگرای یکنواخت به تابع $f$ باشند، آنگاه $f$ پیوسته است.
 \end{dfn}
\begin{dfn}\label{14.3.1}
اگر $X$ و$Y$ دو فضای توپولوژی و $f:X \to Y$ که $Y$ توپولوژی تولید شده توسط خانواده $\{ {f_i}\}$ از نگاشت‌ها باشد، نگاشت ${f_s}:Y \to {Y_s}$ پیوسته اگر و فقط ‌اگر برای هر$s \in S$ ترکیب ${f_{{s_{}}}}f$
پیوسته باشد .
 \end{dfn}
\begin{dfn}\label{15.3.1}
اگر نگاشت  $f:X \to Y$ پیوسته باشد، آنگاه $d(X) \geqslant d(Y)$.\\
پس روشن است که در نگاشت پیوسته تفکیک پذیری ثابت باقی می ماند.
 \end{dfn}
\begin{dfn}\label{16.3.1}
نگاشت پیوسته $f:X \to Y$ باز(بسته) است اگروفقط‌اگر برای هر $B \subset Y$ و هر مجموعه باز$A \subset X$   که شامل ${f^{ - 1}}(B)$ باشد، مجموعه باز(بسته) $C \subset Y$ شامل $B$ وجود دارد
به طوریکه ${f^{ - 1}}(C) \subset A$.
 \end{dfn}
\begin{dfn}\label{17.3.1}
 خاصیت توپولوژی $P$ را موروثی گوییم(موروثی در زیر مجموعه‌های باز و بسته)، اگر برای هر فضای $X$ که دارای خاصیت $P$ است هر زیرفضای(مثلا زیر
فضای بازوبسته) از$X$ همچنین دارای خاصیت $P$ باشد. حال اگر خاصیت $P$، خاصیت موروثی نباشد اما هر زیرفضای $X$ خاصیت موروثی  $P$ را داشته باشد، آنگاه می‌گوییم $X$ خاصیت به
 ارث رسیده دارد.
 \end{dfn}
\begin{exam}\label{18.3.1}
 به عنوان مثال خاصیت‌های شمارای نوع اول و دوم خواص موروثی هستند و همچنین فضاهای نرمال و جدایی‌پذیر خواص به ارث رسیده هستند.
 \end{exam}
\begin{dfn}\label{19.3.1}
 خاصیت $P$ ثابت است هرگاه تحت نگاشت پیوسته $f:X\rightarrow Y$، حفظ شود یا به عبارتی دیگر فضای $Y$ دارای خاصیت $P$ است به شرطی 
که $X$ داری خاصیت $P$ باشد و $f(X) = Y$. همچنین خاصیت $P$ را ثابت معکوس تحت نگاست پیوسته $f:X\rightarrow Y$، گوییم اگر $P$  تحت نگاشت 
معکوس حفظ شود یا به عبارتی دیگر فضای $X$ دارای خاصیت $P$ است به شرطی که $Y$ دارای خاصیت $P$ باشد و$f(X) = Y$.
 \end{dfn}
\begin{flushright}
اصول زیر به اصول شمارایی معروفند:
\end{flushright}
\begin{dfn}\label{20.3.1}
فضای $X$ را لیندلوف  \LTRfootnote{Lindeloff} گوییم، هرگاه هر پوشش باز $X$ دارای یک زیرپوشش شمارا باشد.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{21.3.1}
فضای توپولوژی  $X$ را شمارای نوع اول گوییم، هرگاه هر نقطه آن یک پایه شمارا داشته باشد.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{22.3.1}
فضای $X$ را شمارای نوع دوم گوییم، هرگاه دارای یک پایه شمارا باشد.
\end{dfn}
\begin{thm}[\cite{12}]\label{23.3.1}

زیرفضای یک فضای شمارای نوع اول، شمارای نوع اول و حاصل‌ضرب شمارا از فضاهای شمارای نوع اول، شمارای نوع اول است.
همچنین زیرفضای یک فضای شمارای نوع دوم، شمارای نوع دوم است و حاصل‌ضرب شمارا از فضاهای شمارای نوع دوم، شمارای نوع دوم است.
\end{thm}
\begin{flushright}
توجه کنید زیرفضای یک فضای لیندلوف و حاصل‌ضرب فضاهای لیندلوف، لزوماً لیندلوف نیست.
\end{flushright}
\section{ اصول جداسازی  } 
\setcounter{thm}{0}
\begin{dfn}\label{1.4.1}\begin{flushright}

 فضای توپولوژی $X$ را فضای $T_\circ$ گوییم، هرگاه برای هر جفت از نقاط مجزای $x_1,x_2\in X$، مجموعه‌ای باز شامل یکی از نقاط موجود باشد که شامل 
دیگری نیست.
\end{flushright}
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{2.4.1}
فضای توپولوژیک $X$ را یک فضای $T_1$ نامیم، هرگاه برای هر جفت از نقاط مجزای $x_1,x_2\in X$، برای هر نقطه مجموعه‌ای باز شامل آن نقطه موجود باشد که 
شامل دیگری نباشد. به عبارت دیگر برای هر $x\in X$ در فضای $T_1$، $\{x\}$ در $X$ بسته است.\\
به وضوح هر فضای $T_1$ یک فضای $T_\circ$ است.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{3.4.1}
 فضای توپولوژیک $X$ را یک فضای $T_2$ یا یک فضای هاسدورف نامیم، هرگاه برای هر جفت نقطه مجزا در $X$، چون $x_1,x_2$، مجموعه‌های باز مجزای 
$U_1,U_2$ به ترتیب از نقاط $x_1,x_2$ موجود باشند.
\end{dfn}
\begin{thm}[\cite{12}]\label{4.4.1}

 در فضاهای $T_2$، حد یکتا است.\\
به وضوح هر فضای $T_2$ یک فضای $T_1$ است.
\end{thm}
\begin{dfn}\label{5.4.1}
 فضای توپولوژیک $X$ را یک فضای $T_3$ یا یک فضای منظم  نامیم، هرگاه $X$ یک فضای $T_1$ باشد و برای هر $x\in X$ و هر مجموعه بسته $F\subset X$
که $x\not\in F$، مجموعه‌های باز مجزای  $x\in U_1$ و $F\subset U_2$ موجود باشند. لذا هر فضای منظم یک فضای هاسدورف است.
\end{dfn}
\begin{thm}\label{6.4.1}
فرض کنید $X$، فضای $T_1$ باشد. فضای $X$ را منظم نامیم اگر و تنها اگر برای هر $x\in X$ و هر همسایگی $V$ از $x$، همسایگی $x\in U$ بطوریکه $cl_X(U)\subset V$ موجود باشد. 
\end{thm}
\begin{dfn}\label{7.4.1}
 فضای  توپولوژیک $X$ را یک فضای $T_{3\frac{1}{2}}$ یا یک فضای تیخونوف یا یک فضای کاملاً منظم نامیم، هرگاه $X$ یک فضای $T_1$ باشد و برای هر $x\in X$ 
و هر مجموعه بسته $F\subset X$ که $x\not\in F$، تابع پیوسته $f:X\rightarrow I=[0,1]$ موجود باشد بطوریکه $f(x)=\circ$ و برای $y\in F$، $f(y)=1$.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{8.4.1}
 فضای $X$ را فضای تیخونوف گوییم، اگر کاملا منظم و $T_1$ باشد(هرفضای تیخونوف یک فضای $T_3$ است و همچنین شرط بین $T_3$ و$T_4$ شرط تیخونوف نامیده می‌شود).\\ 
با توجه به تعریف هر فضای کاملاً منظم یک فضای منظم است.
\end{dfn}
\begin{thm}[\cite{12}]\label{9.4.1}
 برای $i\leq 3\frac{1}{2}$ هر زیر فضای یک فضای $T_i$، یک فضای $T_i$ است($ i=1, 2, ..., 4 $).
\end{thm}
\begin{dfn}\label{10.4.1}
 فضای  توپولوژیک $X$ را یک فضای $T_4$ یا یک فضای نرمال گوییم، هرگاه  $X$ یک فضای $T_1$ باشد و برای هر جفت زیرمجموعه مجزای بسته $A,B\subset X$، 
مجموعه‌های باز مجزای $A\subset U$ و $B\subset V$ موجود باشند. با توجه به این تعریف هر فضای نرمال یک فضای تیخونوف است.
\end{dfn}
\begin{flushright}
اکنون یکی از قضایای اساسی را  بیان می‌کنیم:
\end{flushright}
\begin{thm}[\cite{12}]\label{11.4.1}
 ${T_i}$-فضاها برای 
$i = 1,2,3,4$
و طبقه فضاهای کاملأ نرمال تحت نگاشت بسته ثابت است.
\end{thm}
\begin{thm}
فضای توپولوژی $ X $ تیخونوف است اگر و فقط اگر در یک فضای فشرده نشانده شود.
\end{thm}
\begin{lem}[لم اوریسون]\label{12.4.1}
برای هر جفت زیرمجموعه بسته و مجزای $A,B$ از فضای نرمال $X$، تابع پیوسته $f:X\rightarrow I$ موجود است بطوریکه 
برای $x\in A$، $f(x)=\circ$ و برای $y\in B$، $f(y)=1$.
\end{lem}

\section{فضای فشرده، به‌طورموضعی‌فشرده، $K$-فضا و فشرده‌سازی}
\setcounter{thm}{0}
\begin{dfn}\label{1.5.1}
 فضای توپولوژی $X$ را شبه- فشرده گوییم، اگر هر پوشش باز از $X$ یک زیرپوشش متناهی داشته باشد.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{2.5.1}
 فضای توپولوژی $X$ را فشرده گوییم، اگر هاسدورف باشد و هر پوشش باز از $X$ زیرپوشش  متناهی داشته باشد.
 \end{dfn}
\begin{dfn}\label{3.5.1}
  پوشش ${\{ {B_t}\} _{t \in T}}$ ظریف تر از پوشش ${\{ {A_s}\} _{s \in S}}$ است، اگر برای هر $t \in T$  وجود داشته باشد $s \in S$ به طوریکه ${B_t} \subset {A_s}$.\\
پوشش $A' = {\{ {A_{s'}}\} _{s' \in S'}}$ را زیرپوششی از پوشش $A = {\{ {A_s}\} _{s \in S}}$ گوییم، اگر $S' \subset S$ و برای هر$s \in S'$، ${A'_s} = {A_s}$ .\\
پس واضح است که هر زیرپوشش، تظریف است ولی عکس آن برقرار نیست.
\end{dfn}
\begin{thm}[\cite{20}]\label{4.5.1}
 هر زیرفضای بسته از فضای فشرده، فشرده است.
 \end{thm}
\begin{thm}[\cite{20}]\label{5.5.1}
 هر نگاشت پیوسته از فضای فشرده به فضای هاسدورف بسته است.
 \end{thm}
\begin{dfn}\label{6.5.1}
  تصویر معکوس تمام مجموعه‌های تک نقطه‌ای در نگاشت  $f:X \to Y$ را تارهای(فیبرهای) $f$ می‌نامیم، هرگاه $\forall y \in Y:{f^{ - 1}}(y) \subseteq X$ فشرده باشد.
  \end{dfn}
\begin{dfn}\label{7.5.1}
 نگاشت پیوسته $f:X \to Y$ را تحویل پذیر گوییم، اگر برای هر$A \subset X$ ،$f(A) \ne Y$.\\
همچنین برای هر نگاشت بسته با تارهای فشرده از نگاشت  $f:X \to Y$ زیرفضای بسته ${X_\circ} \subset X$ وجود دارد به طوریکه $f({X_\circ}) = Y$. بنابراین 
$f{|_{{X_\circ}}}:{X_\circ} \to Y$
نگاشت تحویل پذیر است.
\end{dfn}
\begin{thm}[\cite{20}]\label{8.5.1}
 اگر تابع پیوسته $f:X \to Y$ از فضای فشرده $X$ به فضای هاسدورف $Y$ موجود باشد، آنگاه $Y$ هم فضایی فشرده است.
\end{thm}
\begin{thm}[\cite{20}]\label{9.5.1}
 اگر $A$ زیرفضای فشرده از فضای منظم $X$ باشد، آنگاه برای هر مجموعه بسته $B$ مجزا از $A$ مجموعه‌های باز $U,V \subset X$ وجود دارند بطوریکه $A \subset U,B \subset V,U \cap V \ne \emptyset $.
 \end{thm}
\begin{dfn}\label{10.5.1}
 گردایه $\eta $ از فضای توپولوژی $X$ را نقطه-متناهی(شمارا) گوییم، اگر هر نقطه از فضای $X$ تعداد متناهی(شمارا) از عناصر $\eta $ را شامل باشد.
 \end{dfn}
\begin{exam}\label{11.5.1}
 هر پوشش متناهی موضعی، متناهی نقطه است.
\end{exam}
\begin{dfn}\label{12.5.1}
 فضای توپولوژی $X$ را متافشرده گوییم، اگر هر پوشش باز دارای تظریف باز متناهی نقطه باشد.
 \end{dfn}
\begin{dfn}\label{13.5.1}
  فضای توپولوژی $X$ را شبه فشرده گوییم، اگر هر پوشش باز از $X$ زیرپوشش متناهی داشته باشد.
  \end{dfn}
\begin{dfn}\label{14.5.1}
   فضای توپولوژی $X$ را پارافشرده گوییم، اگر هر پوشش باز دارای تظریف باز متناهی موضعی باشد.
   \end{dfn}
\begin{thm}[\cite{12}]\label{15.5.1}
    اگر $f$ نگاشت یک‌به‌یک از فضای توپولوژی $X$ به فضای توپولوژی $Y$ باشد، آنگاه روابط زیر هم ارزند:\\
(۱) نگاشت $f$ همئومورفیسم است.\\
(۲) نگاشت $f$ بسته است.\\
(۳) نگاشت $f$ بازاست.\\
(۴) مجموعه $f(A)$ در$Y$ بسته است اگروفقط‌اگر $A$ در $X$ بسته باشد.\\
(۵) مجموعه ${f^{ - 1}}(B)$ در$X$ بسته است اگروفقط‌اگر $B$ در$Y$ بسته باشد.\\
(۶) مجموعه  $f(A)$ در$Y$ باز است اگروفقط‌اگر $A$ در $X$ باز باشد.\\
(۷) مجموعه ${f^{ - 1}}(B)$ در$X$ باز است اگروفقط‌اگر $B$ در$Y$ باز باشد.
\end{thm}
\begin{dfn}\label{16.5.1}
فرض کنید فضای توپولوژی $X$ و خاصیت $P$ داده شده باشند، اگر هر نقطه از $X$ دارای یک همسایگی باز چون ${\rm O}(x)$ باشد. بطوریکه بستار ${\rm O}(x)$ در $X$ دارای خاصیت $P$
است، آنگاه گوییم فضای $X$ دارای خاصیت $P$-موضعی است.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{17.5.1}
فضای توپولوژی $X$ را بطورموضعی‌فشرده گوییم، اگر برای هر $x \in X$ یک همسایگی $U$ از $X$ وجود داشته باشد به طوریکه $\bar U$ یک زیرفضای فشرده از$X$  است.
\end{dfn}
\begin{prop}[\cite{7}]\label{18.5.1}
 هر فضای بطورموضعیفشرده، فضای تیخونوف است.
 \end{prop}
\begin{thm}\label{19.5.1}
 اگر نگاشت باز و پیوسته $f:X \to Y$  باشد بطوری که $X$ فضایی بطورموضعی‌فشرده و $Y$ فضایی هاسدورف است، آنگاه $Y$ هم فضایی به‌طورموضعی‌فشرده است.
 \end{thm}
\begin{dfn}\label{20.5.1}
  فرض کنید $X$ یک مجموعه و نیز فرض کنید $\upsilon  = \{ {A_\alpha }:\alpha  \in \gamma \} $ خانواده‌ای از زیرمجموعه‌های $X$ و هر $A_\alpha$ دارای توپولوژی باشد،
برای هر $(\alpha ,\beta ) \in \gamma  \times \gamma $، داریم\\
(۱) توپولوژی‌های $A_\alpha$ و $A_\beta$ روی ${A_\alpha } \cap {A_\beta }$ مطابقت دارد.\\
(۲) ${A_\alpha } \cap {A_\beta } \subset {A_\alpha }$ و ${A_\alpha } \cap {A_\beta } \subset {A_\beta }$ زیرمجموعه‌های باز هستند.\\
بنابراین توپولوژی ضعیف روی $X$ را توسط
$\xi (U) = \left\{ {U \subset X:\forall \alpha ,U \cap {A_\alpha }\mathop  
\subset  {A_\alpha }} \right\}$
تعیین می‌کنیم ($ U\cap {A_\alpha} $زیرمجموعه بازی از $ A_\alpha $ است). پس روشن است که $\xi (U)$ یک توپولوژی معرفی می‌کند. بنابراین $B \subset X$ زیرمجموعه‌ای بسته(باز) اگر و تنها اگر اشتراک آن همراه هر $A_\alpha$ در $A_\alpha$ بسته(باز) باشد.
\end{dfn}
\begin{prop}\label{21.5.1}
 هر $A_\alpha$ زیرفضایی از $\left( {X,\xi (U)} \right)$،   توپولوژی اصلی را دربرمی‌گیرد($A_\alpha$باز یا بسته است).
 \end{prop}
\begin{dfn}\label{22.5.1}
  فضای توپولوژی $X$ را $K$-فضا گوییم اگر دارای توپولوژی ضعیف باشد که توسط خانواده‌ای از زیرفضاهای فشرده مشخص می‌شود.
  \end{dfn}
\begin{dfn}\label{23.5.1}
   اگر یک رابطه هم ارزی  روی فضاهای بطورموضعی‌فشرده تعریف کنیم و فضای خارج قسمتی آن را بدست آوریم، به فضای که بدست می‌آوریم $K$- فضا گوییم. یا بعبارتی طبقه $K$-فضاها بزرگتر از طبقه 
فضاهای به‌طورموضعی‌فشرده است.
\end{dfn}
\begin{prop}[\cite{7}]\label{24.5.1}
 فضای توپولوژی هاسدورف $X$ را $K$-فضاگوییم اگر و فقط ‌اگر برای هر $A \subset X$ که $A$ بسته(باز) است، آنگاه اشتراک $A$ با هر زیرفضای فشرده از $X$ زیرمجموعه بسته(باز) از فضای فشرده است(دقت داشته باشیم 
به جای شرط هاسدورف می‌توان از شرط قوی تری چون بطورموضعی‌فشرده استفاده کرد چرا که هر فضای بطورموضعی‌فشرده فضای تیخونوف است).
\end{prop}
\begin{dfn}\label{25.5.1}
\begin{flushright}
 فرض کنید $Y$ مجموعه دلخواه و$X$  یک فضای توپولوژی باشد و $P:X \to Y$، توپولوژی شناسایی تعریف شده روی $Y$ تعیین شده به وسیله $P$ را به شکل زیر تعریف می‌کنیم:
$\xi (P) = \left\{ {U \subset Y:{P^{ - 1}}(U) \subset X} \right\}$
(${P^{ - 1}}(U)$ زیرمجموعه باز از $X$ است).
\end{flushright}
\end{dfn}
\begin{prop}[\cite{18}]\label{26.5.1}
 $\xi (P)$ را بزرگترین توپولوژی روی $X$ می‌نامیم که $P:X \to Y$ پیوسته است(اگر$U \in \xi $، آنگاه ${P^{ - 1}}(U)$ زیرمجموعه باز از $X$ است
که با تعریف توپولوژی شناسایی واضح است).
\end{prop}
\begin{dfn}\label{27.5.1}
\begin{flushright}
اگر$X$  و $Y$ دو فضای توپولوژی باشند، نگاشت پیوسته و پوشای $P:X \to Y$ را نگاشت شناسایی(همسان ریختی) گوییم، اگر چه توپولوژی روی فضای $Y$ دقیقأ $\xi (P)$ باشد.\\
دقت داشته باشیم که هر نگاشت پیوسته و پوشا لزوما شناسایی نیست. همچنین نگاشت $i : \left( {X,{\xi _1}} \right) \to \left( {X,{\xi _2}} \right)$ شناسایی است اگر و فقط ‌اگر ${\xi _1} = {\xi _2}$.
پس دو نگاشت وقتی شناسایی هستند که دو فضای توپولوژی دارای توپولوژی یکسان و همچنین پوشا و پیوسته باشد.
\end{flushright}
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{28.5.1}
نگاشت  $P:X \to Y$ را همسان ریختی(همئومورفیسم نشاننده) گوییم، اگر $ P $،  $ X $ را بروی $Y$ بطور پیوسته و یک‌به‌یک بنگارد و معکوسش نیز پیوسته باشد.
\end{dfn}
\begin{prop}[\cite{12}]\label{29.5.1}
 اگر $P:X \to Y$ نگاشت باز و پیوسته(بسته) پوشا باشد، آنگاه $P$ نگاشت شناسایی است.
 \end{prop}
\begin{thm}\label{30.5.1}
  فرض کنید $P:X \to Y$ نگاشت شناسایی و $G:Y \to Z$ پوشا باشد. آنگاه $\xi (G \circ P) = \xi (G)$. به ویژه $G \circ P$ شناسایی است اگر و فقط ‌اگر $G$ شناسایی باشد.
  \end{thm}
\begin{thm}\label{31.5.1}
  اگر$X$، $K$-فضا و $P:X \to Y$ نگاشت شناسایی باشد، آنگاه $Y$ نیز $K$-فضا است.
  \end{thm}
\begin{dfn}\label{32.5.1}
   جفت $(Y,c)$ که $Y$ یک فضای توپولوژی فشرده و $c:X \to Y$ یک همسانریختی از $X$ به توی $Y$ نشانده شده باشد بطوریکه $\overline {c(X)}  = Y$ یک فشرده سازی فضای $X$ 
نامیده می‌شود.
\end{dfn}
\begin{prop}[\cite{20}]\label{33.5.1}
 اگر یک فضا قابل نشاندن در یک فضا باشد، آنگاه دارای فشرده‌سازی است.
 \end{prop}
\begin{thm}[\cite{20}]\label{34.5.1}
  فضای توپولوژی $X$ دارای فشرده‌سازی است  اگر و فقط ‌اگر $X$  یک فضای تیخونوف باشد.
  \end{thm}
\begin{thm}[\cite{7}]\label{35.5.1}
  برای هر فضای تیخونوف $X$ بزرگترین عنصر در$c(X) $(مجموع تمام فشرده‌سازی‌های $X$) نسبت به رابطه $ "\leq" $ وجود دارد.
   \end{thm}
\begin{dfn}\label{36.5.1}
   بزرگترین عنصر در  $c(X)$  فشرده‌سازی چخ-استون $X$ نامیده می‌شود و با$\beta X$  نشان می‌دهیم.
    \end{dfn}
\begin{thm}\label{37.5.1}
   فضای $\beta N$ دارای هیچ دنباله غیربدیهی همگرا نیست.
    \end{thm}
\begin{thm}\label{38.5.1}
    فضای توپولوژی $X$ فضای تیخونوف است اگروفقط‌اگر در یک فضای فشرده نشانده شود.
     \end{thm}
\begin{thm}\label{39.5.1}
     برای هر فضای تیخونوف $X$ شرایط زیر معادلند:\\
(۱) $X$ به طورموضعی فشرده است.\\
(۲) برای هرفشرده‌سازی $c(X)$ ازفضای $X$ باقیمانده $cX/c(X)$ در$cX$ بسته است.\\
(۳) یک فشرده سازی $cX$ از فضای $X$ وجود دارد بطوریکه باقیمانده $cX/c(X)$ در$cX$ بسته است.\\
 \end{thm}
\begin{thm}[فشرده‌سازی الکساندروف]\label{•}
هر فضای نافشرده و به طورموضعی فشرده دارای یک فشرده سازی $wX$ با باقیمانده تک نقطه‌ای است. این فشرده سازی کوچکترین عنصر در $c(X)$ نسبت به رابطه $ "\leq" $ است.
 \end{thm}
\begin{dfn}\label{40.5.1}
 فشرده سازی $wX$ از یک فضای نافشرده و به‌طور موضعی فشرده، فشرده‌سازی الکساندروف یا فشرده‌سازی  تک نقطه‌ای نام دارد.
  \end{dfn}
\begin{thm}[\cite{12}]\label{41.5.1}
 برای هر فضای تیخونوف $X$ شرایط زیر معادلند:\\
(۱) برای هر فشرده سازی $cX$ از فضای $X$ باقیمانده $cX/c(X)$ یک ${F_\sigma }$-مجموعه در$cX$ است.\\
(۲) باقیمانده $BX/B(X)$ یک  ${F_\sigma }$-مجموعه در$BX$ است.\\
(۳) یک فشرده سازی $cX$ از فضای $X$ وجود دارد بطوریکه باقیمانده $cX/c(X)$ یک ${F_\sigma }$-مجموعه در$cX$ است.
\end{thm}

\section{فضاهای فشرده شمارایی، فشرده نما، فشرده دنباله‌ای}
\setcounter{thm}{0}
\begin{dfn}\label{1.6.1}
 فضای توپولوژی $X$ اگر هاسدورف و هر پوشش باز شمارای آن زیرپوشش متناهی داشته باشد را فشرده شمارا گوییم.
 \end{dfn}
\begin{exam}\label{2.6.1}
هر فضای فشرده، فشرده شماراست.
\end{exam}
\begin{thm}\label{3.6.1}
 فضای توپولوژیک $X$ فشرده است اگر و فقط ‌اگر $X$ فضای فشرده شمارایی با خاصیت لیندلوف باشد.
 \end{thm}
\begin{thm}[\cite{6}]\label{4.6.1}
  اگر تابع پیوسته $f:X \to Y$ از فضای فشرده شمارایی $X$ به توی فضای هاسدروف $Y$ وجود داشته باشد، آنگاه $Y$ فضای فشرده شمارا است.
   \end{thm}
\begin{thm}[\cite{10}]\label{5.6.1}
   اگر $X$ فضای فشرده‌شمارایی و$Y$ فضای دنباله‌ای به خصوص شمارای نوع اول باشد، آنگاه تابع تصویری $P:X \times Y \to Y$ بسته است.
    \end{thm}
\begin{notee}\label{6.6.1}
   در قضیه قبل فضای دنباله‌ای $Y$ را نمی توان با $K$-فضا جابه‌جا کنیم، چرا که نگاشت بسته نخواهد بود، یعنی اگر $X$ فضای فشرده شمارا و$Y$ فضایی فشرده نگاشت 
تصویری  $P:X \times Y \to Y$ بسته نخواهد بود.
 \end{notee}
\begin{exam}\label{7.6.1}
 فضای ${W_\circ}$ از تمام اعداد ترتیبی شمارا، فشرده شماراست اما فشرده نیست. پس  ${W_\circ}$ فشرده نیست، زیرا وقتی در فضای $W = {W_\circ} \cup \{ {w_1}\} $ نشانده شود، زیرفضای بسته‌ای 
از آن نیست(بر طبق فشرده سازی).
 \end{exam}
\begin{thm}[\cite{12}]\label{8.6.1}
 اگر  $f:X \to Y$ نگاشت بسته تعریف شده روی فضای هاسدورف $X$ و علاوه بر این همه تارها${f^{ - 1}}(y)$  فشرده شمارایی  باشند، آنگاه برای هر زیرفضای فشرده شمارایی
$Z \subset Y$ نگاشت معکوس\lr{${f^{ - 1}}(Z)$ } فشرده شمارا است.
 \end{thm}
\begin{dfn}\label{9.6.1}
 فضای توپولوژیک $X$ را فشرده نما گوییم اگر و فقط اگر$X$  فضای تیخونوف و هر تابع حقیقی مقدار پیوسته تعریف شده روی $X$ کراندار باشد.
  \end{dfn}
\begin{exam}\label{10.6.1}
  هر فضای تیخونوف فشرده شمارا، فضایی فشرده نما است.
   \end{exam}
\begin{notee}\label{11.6.1}
   تمام فضاهای تیخونوف فشرده شمارا و تمام فضاهای تیخونوف فشرده‌نما با خانواده متناهی موضعی و خاصیت اشتراک متناهی قابل مقایسه‌اند.
    \end{notee}
\begin{notee}\label{12.6.1}
    در نگاشت پیوسته $f:X \to Y$  اگر از فضای فشرده نما$X$   باشد برای اینکه فضای $Y$ هم فشرده نما باشد برخلاف فضای فشرده و فشرده شمارا، باید شرط قوی تری چون تیخونوف 
بودن را بگذاریم.
    \end{notee}
\begin{notee}\label{13.6.1}
 فشرده نماها دارای  ضرب کارتزین متناهی نیستند و این مشکل وقتی برطرف می شود که یکی از فاکتورها $K$-فضا باشد.
     \end{notee}
\begin{dfn}\label{14.6.1}
 فضای توپولوژی $X$ را فشرده دنباله‌ای گوییم، اگر$X$  فضای هاسدورف و هر دنباله از نقاط $X$ زیردنباله همگرا داشته باشد.
     \end{dfn}
\begin{exam}\label{15.6.1}
  هر فضای فشرده دنباله‌ای، فشرده‌شماراست. عکس این رابطه برقرار نیست چرا که فضاهای فشرده‌ای وجود دارد که فشرده دنباله‌ای نیستند. چنین فضاهایی را با فشرده سازی چخ-استون معرفی می‌کنیم.
      \end{exam}
\begin{exam}\label{16.6.1}
   فضاهای فشرده شمارا و فشرده دنباله‌ای موروثی هستند اما در زیرفضاهای بسته اما فشرده‌نما اینطور نیست. فضاهای فشرده‌نما در زیرفضاهای باز-بسته موروثی هستند.
         \end{exam}
\begin{exam}\label{17.6.1}
   فضای ${W_\circ}$ از تمام اعداد ترتیبی شمارا، فشرده دنباله‌ای است، چرا که شمارای نوع اول و فشرده شمارا است.
         \end{exam}
\begin{thm}[\cite{12}]\label{18.6.1}
    اگر $f:X \to Y$ نگاشت پیوسته از فضای فشرده دنباله ای $X$ به توی فضای هاسدورف $Y$ باشد، آنگاه $Y$ فضای فشرده دنباله ای است.
    \end{thm}

\section{ فضاهای چخ-کامل و $P$-فضا }
\setcounter{thm}{0}
\begin{thm}[\cite{12}]\label{1.7.1}
 زیر فضای فشرده از فضای هاسدورف $X$، یک زیرفضای بسته از $X$ است.
\end{thm}
\begin{dfn}\label{2.7.1}
 فضای $X$ را فضای تیخونوف گوییم، اگر کاملا منظم و $T_1$ باشد(هر فضای تیخونوف یک فضای $T_3$ است و همچنین شرط بین $T_3$ و$T_4$ شرط تیخونوف نامیده می‌شود).
 \end{dfn}
\begin{thm}[\cite{12}]\label{3.7.1}
 هر فضای به‌طورموضعی‌فشرده فضای تیخونوف(کاملا منظم) است.
 \end{thm}
\begin{flushright}
میدانیم که  هر فضای به‌طورموضعی‌فشرده، فضای تیخونوف است اما عکس آن تحت شرایط زیر برقرار است\cite{12}:
\end{flushright}
\begin{thm}[\cite{12}]\label{4.7.1}
 برای هر فضای تیخونوف روابط زیر هم‌ارزند:\\
(۱) فضای $X$ فشرده موضعی است.\\
(۲) برای هر فشرده سازی $CX$ از فضای $X$ باقیمانده $CX/C(X)$ بسته است در$CX$.\\
(۳) وجود دارد یک فشرده سازی $CX$ از فضای $X$ به طوری که باقیمانده $CX/C(X)$ در $CX$ بسته است.
\end{thm}
\begin{thm}[\cite{12}]\label{5.7.1}
 برای هر فضای تیخونوف روابط زیر هم‌ارزند:\\
(۱) برای هر فشرده سازی $CX$ از فضای $X$ باقیمانده $CX/C(X)$، در $CX$ ${F_\sigma }$-مجموعه  است.\\
(۲) باقیمانده $BX/B(X)$، در $BX$، ${F_\sigma }$  است.\\
(۳)  یک فشرده سازی $CX$ از فضای $X$  وجود دارد بطوریکه باقیمانده $CX/C(X)$، ${F_\sigma }$ در$CX$ است.
\end{thm}
\begin{dfn}\label{6.7.1}
فضای توپولوژی $X$ را چخ-کامل می گوییم اگر $X$ فضای تیخونوف و همچنین در یکی از روابط {\bf قضیه \ref{5.7.1}}
 صدق کند.\\ 
به عبارت دیگر به فضای تیخونوف $X$ چخ-کامل گوییم هرگاه از فضای $ X $، همئومورفیسمی به توی فضایی فشرده شامل حداقل یک $ G_\delta $-مجموعه‌ موجود باشد.
\end{dfn}
\begin{exam}\label{7.7.1}
 هر فضای فشرده(با تعریف هاسدورف بودن) فضای چخ-کامل است. همچنین فضاهای به طورموضعی فشرده چخ-کامل هستند، زیرا فضاهای به‌طورموضعی‌فشرده که فشرده نباشند دارای فشرده سازی همراه باقیمانده تک
نقطه‌ای پس به روشنی چخ-کامل است. عکس این گفته در حالت کلی درست نیست. فضای همه اعداد اصم(گنگ) همراه با توپولوژی زیرفضایی از $\Bbb R$ فضای چخ-کامل است در صورتی که به طورموضعی فشرده نیست.
\end{exam}
\begin{thm}[\cite{12}]\label{8.7.1}
 اگر  $X$ و$Y$   فضاهای تیخونوف باشند از نگاشت کامل، از $X$ به توی $Y$ آنگاه $X$ یک فضای چخ-کامل اگر و فقط ‌اگر $Y$  یک فضای چخ-کامل باشد.
 \end{thm}
\begin{thm}[\cite{12}]\label{9.7.1}
 هر فضای متری پذیر با متری کامل را فضای چخ-کامل می‌گوییم.
\end{thm}
\begin{thm}[الکساندروف-هاسدورف][\cite{12}]\label{10.7.1}
فضای توپولوژی $X$ کاملا متری پذیر است اگر و فقط ‌اگر فضای متری پذیر چخ-کامل باشد.
\end{thm}
\begin{thm}[\cite{12}]\label{11.7.1}
فضای تیخونوف $X$ را چخ-کامل گوییم اگر و فقط ‌اگر وجود داشته باشد خانواده شمارا ${A^n}_{i = 1}$ از پوشش‌های باز از فضای $X$ همراه با این خاصیت که هر خانواده $\gamma$ از زیرمجموعه‌های بسته ‌از $X$ که خاصیت اشتراک متناهی دارد 
شامل مجموعه‌های با قطر کمتر از ${A^n}_{i = 1}$ برای هر $i$ اشتراک متناهی دارد.
\end{thm}
\begin{thm}[رسته بئر][\cite{20}]\label{12.7.1}
 در فضای چخ-کامل $X$، اجتماع $A = \bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {{A_i}} $ از دنباله  $A_1$و $  A_2$ و\lr{...} از مجموعه‌های هیچ جاچگال، $C$-چگال است به این معنی که ${\left( {X/A} \right)^c}$ 
در\lr{$X$ } چگال باشد.
\end{thm}
\begin{flushright}
قضیه بعدی یک جفت جدانشدنی از قضیه بالا می باشد.
\end{flushright}
\begin{thm}[\cite{12}]\label{13.7.1}
 در فضای چخ-کامل $X$، اشتراک\lr{$G = \bigcap\limits_{i = 1}^\infty  {{G_i}} $ } از دنباله $G_1$ و$G_2$ و...از مجموعه‌های باز چگال، مجموعه چگال است.
 \end{thm}
 \begin{notee}[\cite{20}]\label{14.7.1}
  قضیه رسته بئر در فضای توپولوژی$X$  صدق می‌کند، به این معنا که برای هر دنباله $A_1$ و $A_2$ و\lr{...}از زیرمجموعه‌های هیچ جاچگال از$X$  اجتماع $\bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {{A_i}} $ مجموعه‌ای $C$-چگال،
یا به طور هم‌ارز اگر برای هر دنباله $G_1$ و $G_2$ و...از زیر مجموعه‌های باز چگال از$X$،  اشتراک $\bigcap\limits_{i = 1}^\infty  {{G_i}} $، مجموعه‌ای چگال باشد، پس می‌گوییم که $X$ فضای بئر است.
\end{notee}
\begin{thm}[\cite{7}]\label{15.7.1}
هر فضای چخ-کامل، $K$-فضا است.
\end{thm}
\begin{dfn}\label{16.7.1}\begin{flushright}

 خانواده $\left\{ {{U_\alpha }:\alpha  \in A} \right\}$ را مجزا نامیم، اگر${U_{\alpha '}} \cap {U_{\alpha ''}} = \emptyset $
برای $\alpha ',\alpha '' \in A,\alpha ' \ne \alpha ''$.
\end{flushright}
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{17.7.1}
 $U$ و$V$ را همسایگی مجاور گوییم اگر اشتراک آنها غیرتهی باشد.
 \end{dfn}
\begin{dfn}\label{18.7.1}
  خانواده $\gamma$ از همسایگی‌های مجاور متناهی را ستاره متناهی گوییم و همچنین خانواده $\gamma$ از همسایگی‌های مجاورشمارا را ستاره شماراگوییم.\\ستاره 
$S{t_\gamma }(A)$ را بشکل زیر تعریف می‌کنیم\lr{:}\
\begin{center}
.$S{t_\gamma }(A) =  \cup \left\{ {U \in \gamma :U \cap A \ne \emptyset \left. 
{} \right\}} \right$
\end{center}
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{19.7.1}
 فرض کنید $X$ زیرفضایی از\lr{$Y$ } و $A$ یک مجموعه باشد بطوری که برای هر $\alpha  \in A$ خانواده ${\gamma _\alpha }$ از زیرمجموعه‌های باز از $Y$ وجود داشته باشد که شامل $X$ هم باشد: $X \subset  \cup {\gamma _\alpha } \subset Y$.    
خانواده $\left\{ {{\gamma _\alpha }} \right.:\alpha  \in A\left. {} \right\}$ را برای هر$x\in X$ پوشاننده از $X$ در $Y$ گوییم. همچنین $\bigcap\limits_{\alpha  \in A} {} S{t_{{\gamma _\alpha }}}(x) \subset X$
را ستاره نقطه $x$ از خانواده ${\gamma _\alpha }$ گوییم. پوشاننده  $\left\{ {{\gamma _\alpha }} \right.:\alpha  \in A\left. {} \right\}$ را شمارا گوییم، اگر $A$ شمارا باشد.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{20.7.1}
فضای تیخونوف $X$ را $P$-فضا یا پوشیده گوییم اگر در برخی از فشرده‌سازی‌ها از فضای $X$، پوشاننده شمارا داشته باشد.\\
یا به عبارت دیگر فضای توپولوژی $X$، $P$-فضاست، اگر شامل مجموعه فشرده غیرتهی $K$ از کاراکترهای شمارا در $X$ باشد.
\end{dfn}
\begin{thm}[\cite{7}]\label{21.7.1}
 هر فضای چخ-کامل، $P$-فضاست. عکس قضیه چطور؟
 \end{thm}
\begin{notee}\label{22.7.1}
  در توپولوژی اگر بخواهیم رابطه‌ای بین فضاهای پیرافشرده، چخ-کامل، $P$-فضاها، متریک پذیرو...ایجاد کنیم، باید شرایط زیادی را اعمال کنیم ولی در گروه‌های توپولوژی می‌بینیم که به راحتی برخی نتایج بدون آن شرایط اضافی  بدست می‌آید، که در فصل‌های 
 بعدی به آنها خواهیم پرداخت.
\end{notee}


\section{ فضاهای متری، متر پذیری و فضاهای یکنواخت }
\setcounter{thm}{0}
\begin{dfn}\label{1.8.1}
 $\left( {X,P} \right)$ را یک فضای متری گوییم، هرگاه تابع $P$ روی مجموعه $X \times X$ با مقادیر حقیقی نامنفی تعریف شده دارای شرایط زیر باشد:\\
(۱) $P(x,y) = 0$ اگر و تنها اگر $x=y$.\\
(۲) برای هر $x,y \in X$، $P(x,y) = P(y,x)$.\\
(۳) $P(x,z) \leq P(x,y) + P(y,z)$.\\
تابع متری $P$ روی فضای $X$ نامیده می شود.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{2.8.1}
 تابع $P$ روی مجموعه $X \times X$ با مقادیر حقیقی نامنفی تعریف شده است که در شرط (2) و (3) در بالا و همچنین در شرط زیر صدق کند:\\ 
$1'$) برای هر$x \in X$ داریم $P(x,x) = 0$ .\\
را شبه متریک روی مجموعه $X$ می‌نامیم.
\end{dfn}
\begin{prop}\label{3.8.1}
هر $P$ تعریف شده روی فضای متری $X$ یک توپولوژی روی فضای $X$ القا می‌کند که توپولوژی القا شده توسط متر $P$ نام دارد.
\end{prop}
\begin{dfn}\label{4.8.1}
 فضای متری $\left( {X,P} \right)$ را کامل گوییم، هرگاه هر دنباله کشی در آن همگرا باشد. یک متر روی فضای $X$ کامل است، هرگاه فضای $\left( {X,P} \right)$ کامل باشد.
 \end{dfn}
\begin{prop}\label{5.8.1}
توپولوژی القا شده توسط یک متر روی فضای $X$، هاسدورف است.
  \end{prop}
\begin{prop}\label{6.8.1}
توپولوژی القا شده توسط یک متر روی فضای $X$، شمارای نوع اول است.
   \end{prop}
\begin{prop}\label{7.8.1}
اگر توپولوژی روی $X$ توسط متر$P$ القاشده باشد، آنگاه $x \in \bar A$ اگروفقط‌اگر یک دنباله از نقاط $A$ به $x$ همگرا شود.
    \end{prop}
\begin{dfn}\label{8.8.1}
فضای توپولوژی $X$ را متر پذیر گوییم، اگر توپولوژی القا شده توسط متر $P$ بر توپولوژی اصلی $X$ منطبق باشد
     \end{dfn}
\begin{prop}\label{9.8.1}
هر فضای متر پذیر و لیندلوف، دارای پایه شمارا است.
     \end{prop}
\begin{thm}[متری سازی اوریسون]\label{10.8.1}
هر فضای منظم و شمارای نوع دوم، متر پذیراست.
\end{thm}
\begin{thm}\label{11.8.1}
 هر حاصل ضرب شمارا از فضای متری، متر پذیر است.
 \end{thm}
\begin{dfn}\label{12.8.1}
  در ضرب کارتزین $X \times X$ مجموعه $\Delta  = \left\{ {(x,x):x \in X} \right\}$ قطر مجموعه است.\\
هر مجموعه $v \subset X \times X$ که شامل $\Delta$ باشد و در $v =- v$ صدق کند را پیرامون قطر گوییم و خانواده‌ای از تمام پیرامون قطر $\Delta \subset X \times X$ را ${D_x}$ می نامیم.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{13.8.1}
یکنواختی روی مجموعه $X$، زیرخانواده $U$ از ${D_x}$ است که در روابط زیر صدق کند:\\
(۱) اگر $v \in X$ و $v \subset w \in {D_x}$، آنگاه $w \in U$.\\
\\(۲) اگر ${v_1},{v_2} \in U$، آنگاه ${v_1} \cap {v_2} \in U$.\\
\\(۳) برای هر $v \in U$، $w \in U$  وجود دارد بطوریکه $2w \subset v$.\\
\\(۴) $ \cap U = \Delta $.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{14.8.1}
 خانواده $\gamma  \subset U$ پایه‌ای برای یکنواختی $U$ نامیم، اگر برای هر $v \in U$، $w \in \gamma$ وجود دارد به طوریکه $w \subset v$(همانند قبل می‌توان وزنی 
ازیکنواختی را بدست آورد).
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{15.8.1}
 یک فضای یکنواخت جفت $\left( {X,U} \right)$ شامل شده از مجموعه‌های $X$ و یک یکنواختی $U$ روی مجموعه $X$ می‌باشد(همچنین یک توپولوژی روی آن القا می‌شود).
 \end{dfn}
\begin{dfn}\label{16.8.1}
  فرض کنید $\left( {X,U} \right)$ یک فضای یکنواخت و $v$ عضوی از یکنواختی $U$ و $A$ زیرمجموعه‌ای از $X$ باشد. $A$ را در $\left( {X,U} \right)$ $v$-چگال گوییم، 
اگر برای هر  $x \in X$، موجود باشد $x' \in A$  به طوریکه $\left| {x - x'} \right| < v$.
\end{dfn}
\begin{dfn}\label{17.8.1}
 فضای یکنواخت $\left( {X,U} \right)$ را کلأکراندار گوییم، اگر برای هر$v \in X$ مجموعه متناهی $A \subset X$ موجود باشد بطوری که در $\left( {X,U} \right)$  $v$-چگال است.\\
فضای یکنواخت $\left( {X,U} \right)$، کامل است، اگر هر خانواده $\gamma $ از زیرمجموعه‌های بسته(همراه‌توپولوژی القایی از$U$) از $X$، خاصیت اشتراک متناهی دارد و شامل مجموعه‌های کوچک دلخواه باشد
که دارای اشتراک ناتهی است.
\end{dfn}

\end{document}