\documentclass[12pt , a4paper]{article}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,graphicx,tikz,fancyhdr,hyperref,fancybox} 
\usepackage{xepersian}
\pagestyle{fancy} 
\fancyhead{} 
\fancyhead[L]{\slshape \rightmark}
\fancyhead[R]{\slshape \leftmark}
\fancyfoot{} 
\fancyfoot[C]{\thepage}
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\setdigitfont{XB Zar}
\settextfont[Scale=1]{XB Zar}
\setlatintextfont{Times New Roman}
\linespread{1.5}
\newtheorem{de}{تعریف}[section]
\renewcommand\proofname{{اثبات}.}
\newtheorem{thh}[de]{قضیه}
\newtheorem{pro}[de]{گزاره}
\newtheorem{re}[de]{تذکر}
\newtheorem{no}[de]{نکته}
\newtheorem{lee}[de]{لم}
\newtheorem{cor}[de]{نتیجه}
\newtheorem{exa}[de]{مثال}
\newcommand{\ep}{\end{proof}} 
\newcommand{\bp}{\begin{proof}}
\DeclareMathOperator*{\lim2}{\underrightarrow{lim}}
\begin{document}
\title{\vspace{-.5cm}\Large\textbf{بررسی گراف‌های به طور قوی منظم جهت‌دار }}
\author{‌ 
\vspace{.25cm}
 \\ {\large \textbf{الهام اذان گویان فرد}} 
\\
 \lr{\small tavakoli elena@yahoo.com  }}  
  
\date{}
\maketitle
\vspace{2cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{abstract}
\thispagestyle{empty}
 در این  مقاله، گراف‌های به طور قوی منظم را معرفی می‌کنیم و گراف‌های به طور قوی منظم جهت‌دار را به عنوان تعمیمی از گراف‌های به طور قوی منظم بیان می‌کنیم.\\

  \textbf{واژگان کلیدی:}
گراف به طور قوی منظم, گراف به طور قوی منظم جهت‌دار, یال ورودی, یال خروجی, مسیر جهت‌دار 
\end{abstract} 
\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

\section{مقدمه}
مفهوم گراف‌های  به طور قوی  منظم یکی از موضوعات اصلی در نظریه جبری گراف‌ به شمار می‌آید. این مفهوم به وسیله‌ی \textsl{بوس} \LTRfootnote{Bose} در مقاله‌ی \cite{2} معرفی شده است. در سال $ 1967 $,  \textsl{سایدل} \LTRfootnote{Sidel}اولین مقاله‌ی خود \cite{16}, را روی گراف‌های به طور قوی منظم منتشر کرد. در سال $ 1966$, \textsl{هیگمن} \LTRfootnote{Higman}گراف‌های به طور قوی منظم را به کمک گروهای جایگشتی از مرتبه $ 3 $ مورد  بررسی قرار داده است.  پس از پایان دسته‌بندی گراف‌های  به طور قوی  منظم, مطالعه روی تعمیم‌های این نوع گراف‌ها قوت گرفت. در سال $ 1988 $,  \textsl{داول} \LTRfootnote{Daval}در مقاله‌ی \cite{5} مفهوم گراف‌های به طور قوی منظم جهت‌دار را به عنوان تعمیمی از گراف‌های به طور قوی منظم معرفی کرد و خواص این نوع گراف‌ها را مورد بررسی قرار داد.
\section{متن اصلی}
\subsection{گراف‌های به طور قوی منظم} 
یک عدد صحیح مثبت $ n $ را در نظر می‌گیریم و قرار می‌دهیم: $$ \Omega=\Omega_{n}:=\lbrace1,2,\cdots,n\rbrace. $$ فرض کنید $ R\subseteq\Omega\times\Omega $ یک رابطه‌ی غیر بازتابی از $ \Omega $ باشد; یعنی, برای هر $ i $, $ (i,i)\notin R $.  گراف جهت‌دار $ \Gamma=(\Omega,R) $ را با مجموعه رئوس $ \Omega $ و مجموعه یال‌های $ R $ در نظر می‌گیریم. اگر   $R=R^{t} $, آن‌گاه $ \Gamma $  گرافی غیر جهت‌دار است که در آن $$ R^{t}:= \lbrace (b,a): (a,b)\in R\rbrace.$$ گراف متمم یک گراف جهت‌دار $ \Gamma=(\Omega,R) $, گرافی است بدون طوقه با مجموعه رئوس $ \Omega $ و یال‌های $ \overline{R} $ که آن را با $\overline{\Gamma}=(\Omega,\overline{R} )$ نمایش می‌دهیم, که در آن $$ \overline{R}:= 
\lbrace \Omega\times\Omega \setminus R\rbrace \setminus \lbrace(i,i) |~i\in (1,2,\cdots,n)\rbrace.$$ به هر گراف $ \Gamma=(\Omega,R) $, یک ماتریس مجاورت $ A(\Gamma)=(a_{ij}) $ نسبت داده می‌شود به طوری‌که $ 1\leq i,j\leq n $  و 
$$
a_{ij}=\left\lbrace \begin{array}{ll}
1& ~~ \textsl{اگر}~~(i,j) \in R,\\ 
0& ~~ \textsl{صورت این غیر در}
\end{array}\right. $$
در این مقاله $ I=I_{n} $, ماتریس همانی از مرتبه‌ی $ n $,  $ J=J_{n}$, ماتریسی از مرتبه‌ی $ n $, که همه‌ی درایه‌‌های آن $ 1 $  و هم‌چنین $ j $, بردار ستونی همه جا $ 1 $ است.
\begin{de} {\rm
گراف $ \Gamma $ را $-k$منظم گوییم هرگاه درجه‌ی هر رأس آن برابر $ k $ باشد.
}\end{de}
\begin{de}{\rm
در یک گراف $ \Gamma $, اگر از رأس $ a $ به رأس $ b $, یالی وجود داشته باشد, آن‌را \textbf{یال جهت‌دار} گوییم و با $ a\longrightarrow b $ نمایش می‌دهیم. به علاوه اگر از $ b $ به $ a $ نیز یال جهت‌دار وجود داشته باشد, آن‌را \textsl{ یال غیرجهت‌دار} گوییم و با $a \longleftrightarrow b $ نمایش می‌دهیم.
}\end{de}
\begin{de}{\rm
گراف $ n $ رأسی $ \Gamma $ را یک\textsl{ گراف به طور قوی منظم غیرجهت‌دار یا گراف به طور قوی منظم} گوییم هرگاه $-k $منظم بوده و هر دو رأس مجاور, $ \lambda $ تا همسایگی مشترک و هر دو رأس غیرمجاور, $ \mu $ تا همسایگی مشترک داشته باشند. همه‌ی یال‌ها در گراف $ \Gamma $ به صورت غیر جهت‌دار می‌باشند.
گراف به طور قوی منظم غیرجهت‌دار با پارامتر‌های $ (n,k,\mu,\lambda) $ را به اختصار به صورت $ s.r.g $  نمایش می‌دهیم.
}\end{de}
\begin{flushright} 
در ادامه دیده می‌شود که گراف به طور قوی منظم غیر جهت‌دار با پارامترهای $ (n,k,\mu,\lambda) $ و ماتریس مجاورت $ A=A(\Gamma)$ در معادلات زیر صدق می‌کند.
\begin{align}
 &A^{2}=kI+\lambda A+\mu(J-I-A), \label{g}\\
 &AJ=JA=kJ,\label{t}\\
 &A^{2}+A(\mu-\lambda)-I(k-\mu)=\mu J. \label{m}
\end{align}
\end{flushright}
  \begin{thh} 
یک گراف به طور قوی منظم غیر جهت‌دار با پارا مترهای $ (n,k,\mu,\lambda) $ و ماتریس مجاورت $ A=A(\Gamma) $ وجود دارد اگر و تنها اگر ماتریس مجاورت گراف در معادلات زیر صدق کند. 

 $$ A^{2}+A(\mu-\lambda)-I(k-\mu)=\mu J, \qquad AJ=JA=kJ.$$
\bp
فرض کنید $ \Gamma $ یک گراف به طور قوی منظم با پارامترهای $ (n,k,\mu,\lambda) $ با ماتریس مجاورت $ A $ باشد. درایه‌ی $ (a,b) $ از$ A^{2} $,  تعداد راه‌های به طول $ 2 $ از $ a $ به $ b $ است, لذا تعداد راه‌های به طول $ 2 $ که شروع و پایانش به یک رأس می‌باشد, درجه‌ی آن رأس است. بنابراین از این‌که $ \Gamma $ منظم است, نتیجه می‌شود که $( A^{2})_{a,a}=k $. حال تعداد راه‌های به طول $ 2 $ که از رأس $ a $ شروع و به رأس $ b $ ختم می شوند, برابر تعداد مثلث‌ها در $ \Gamma $ می‌باشند که شامل یال $ (a,b) $ است, پس داریم $( A^{2})_{a,b}=\lambda$. هم‌چنین اگر یال $ (a,b)\notin \Gamma $, آن‌گاه یال $ (a,b)\in\overline{\Gamma} $;   یعنی, اگر $ a $ و $ b $ دو رأس غیر مجاور در $ \Gamma$ باشند, آن‌گاه $ a $ و $ b $ دو رأس مجاور در متمم $ \Gamma $ هستند. در نتیجه $ (A^{'2})_{a,b}=\lambda^{'}$, که $ \lambda^{'} $ برابر تعداد مثلث ها در $\overline{\Gamma} $ است. که در آن  $ A^{'}=A(\overline{\Gamma})=J-I-A $. بنابراین برآورد می‌کنیم که: 
\begin{align}
 A^{2}=kI+\lambda A+\lambda^{'}(J-I-A).\label{fg}
\end{align}
با توجه به تعریف گراف به طور قوی منظم و متمم آن داریم, $ \lambda^{'}=\mu $ در نتیجه با جای‌گذاری در (\ref{fg})داریم:

 $$A^{2}=kI+\lambda A+\mu(J-I-A).$$

به‌علاوه از تساوی بالا نتیجه می‌گیریم که:
\begin{align*}  
 &A^{2}=kI+\lambda A+\mu J-\mu I-\mu J,\\
\Rightarrow &A^{2}-\lambda A-kI+\mu I+\mu A=\mu J,\\
 \Rightarrow &A^{2}+A(\mu-\lambda)-I(k-\mu)=\mu J.
\end{align*}
برعکس:
فرض کنید $ A $ ماتریس مجاورت گراف $ \Gamma $ باشد به طوری‌که در معادله‌ی (\ref{g})
صدق ‌کند. چون در معادله‌ی (\ref{g}), $ k $ تا ماتریس همانی وجود دارد, پس در $ A^{2} $ راه‌های به طول $ 2 $ که از رأس $ a $  شروع و پایان آن به رأس $ a $ می‌باشد, برابر با $ k $ است. در نتیجه درجه‌ی هر رأس برابر $ k $ می‌باشد. بنابراین گراف $-k$منظم است. هم‌چنین چون $ \lambda $ تا ماتریس $ A $ وجود دارد, پس راه‌های به طول $ 2 $ در $ \Gamma $, $ \lambda $ برابر درایه‌ی $ (a,b) $ در $ A $ است, لذا دو رأس مجاور $ a $ و $ b $ در گراف $ \Gamma $ شامل $ \lambda $ تا همسایگی مشترک می‌باشند و چون $ \mu $ تا ماتریس $J-I-A $ داریم, پس برای دو رأس غیر مجاور در $ \Gamma $, تعداد راه‌های به طول $ 2 $ برابر $ \mu $ تا رئوس غیر مجاور در $ A $ است. بنابراین نتیجه می‌گیریم $ \Gamma$ یک گراف به طور قوی منظم با پارامترهای $ (n,k,\mu,\lambda) $ است. 
\ep
\end{thh}
\subsection{گراف های  به طور قوی  منظم جهت‌دار}
\begin{de} {\rm
یالی که به هر رأس وارد می‌شود, \textsl{یال ورودی}  و یالی که از هر رأس خارج می‌شود, \textsl{یال خروجی}  گوییم.
}\end{de}
\begin{de}{\rm
یک \textsl{مسیر جهت‌دار }از $ b_{0} $ به $b _{t} $ در گراف $ \Gamma $, دنباله‌ی $ b_{0} \longrightarrow b_{1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow b _{t} $ از یال‌های جهت‌دار می‌باشد. به $ t $ طول مسیر گفته می‌شود. 
}\end{de}
\begin{de}{\rm
گراف جهت‌دار $ n $ رأسی $ \Gamma $ را یک \textsl{گراف به طور قوی منظم جهت‌دار }با پارامترهای $ (n,k,\mu,\lambda,t) $ گوییم, هرگاه هر رأس آن $ k $ یال ورودی و $ k $ یال خروجی داشته باشد و برای هر دو رأس مجاور $(a,b) \in R $, تعداد مسیرهای جهت‌دار به طول $ 2 $ از $ a $ به $ b $ برابر $ \lambda $ و برای هر دو رأس غیرمجاور $(a_{1},b_{1})\in R$, تعداد مسیرهای جهت‌دار به طول $ 2 $ از $a_{1} $ به $b_{1} $ برابر $ \mu $ است. هم‌چنین تعداد یال‌های غیرجهت‌دار هر رأس برابر $ t $ می‌باشد. به عبارت دیگر فقط هر رأس $ k-t $ یال ورودی و فقط $ k-t $ یال خروجی داشته باشد.
گراف به طور قوی منظم جهت‌دار را به اختصار به صورت $ d.s.r.g $ نمایش می‌دهیم.
}\end{de}
\begin{flushright} 
در قضیه‌ی زیر دیده می‌شود که گراف به طور قوی منظم جهت‌دار با پارامترهای $ (n,k,\mu,\lambda,t) $ با ماتریس مجاورت $ A=A(\Gamma)$ در معادلات زیر صدق می‌کند.
\begin{align}
&A^{2}=tI+\lambda A+\mu(J-I-A) \label{h}, \\
&A^{2} +A(\mu-\lambda) -I(t-\mu)=\mu J.\label{n}
\end{align}

\end{flushright}
\begin{thh} 
یک گراف به طور قوی منظم جهت‌دار $ \Gamma $ با پارامترهای $ (n,k,\mu,\lambda,t) $ و ماتریس مجاورت $ A=A(\Gamma) $ وجود دارد اگر و تنها اگر ماتریس مجاورت گراف در معادلات زیر صدق کند.
$$
A^{2}+A(\mu-\lambda)-I(t-\mu)=\mu J, \quad AJ=JA=kJ.\\
$$
\bp
فرض کنید $ \Gamma=(\Omega,R) $, گراف به طور قوی منظم جهت‌داری با پارامترهای $ (n,k,\mu,\lambda,t) $ و ماتریس مجاورت $ A $ باشد. درایه‌ی‌ $ (a,b) $ در $ A^{2} $ تعداد مسیرهای به طول $ 2 $ از $ a $ به $ b $ می‌باشد, لذا تعداد مسیرهای به طول $ 2 $ که از رأس $ a $ شروع و پایان آن به رأس $ a $ می‌باشد, برابر تعداد یال‌های غیرجهت‌دار است, پس $ (A^{2})_{a,a}=t $. حال اگر دو رأس مجاور $ a $ و $ b $ را در نظر بگیریم, تعداد مسیرهای به طول $ 2 $ که از رأس $ a $ شروع و پایانش به رأس $ b $ می‌باشد, برابر $ \lambda $ است. بنابراین نتیجه می‌گیریم $( A^{2})_{a,b}=\lambda $. هم‌چنین اگر یال $ (a,b)\notin R $, آن‌گاه یال $ (a,b)\in \overline{R}$;  یعنی, اگر $ a $ و $ b $ دو رأس غیرمجاور در گراف $ \Gamma $ باشند, آن‌گاه $ a $ و $ b $ دو رأس مجاور در گراف $ \overline{\Gamma} $ هستند. بنابراین $( A^{'2})_{a,b}=\lambda^{'}$, که $ \lambda^{'} $ برابر تعداد مثلث‌ها در گراف $ \overline{\Gamma} $ است. حال برآورد می‌کنیم که: 
\begin{align}
A^{2}=tI+ \lambda A +\lambda^{'}(J-I-A). \label{as}
\end{align}
با توجه به تعریف گراف به طور قوی منظم جهت‌دار و متمم آن داریم:
$$ \lambda^{'}=\mu, $$ 
پس با جای‌گذاری در (\ref{as}) داریم:
$$ A^{2}=tI+\lambda A+\mu(J-I-A).$$
از تساوی فوق نتیجه می‌گیریم که: 
\begin{align*}
&A^{2}=tI+\lambda A+\mu J-\mu I-\mu A\\
\Rightarrow &A^{2}-tI-\lambda A-\mu I-\mu A=\mu J\\
\Rightarrow &A^{2}+A(\mu-\lambda)-I(t-\mu)=\mu J. 
\end{align*}
به وضوح تساوی $ AJ=JA=kJ $ برقرار است.\\
برعکس:
فرض کنید $ A $ ماتریس مجاورت گراف $ \Gamma $ باشد, که در تساوی (\ref{h}) صدق ‌کند. چون در این تساوی $ t $ تا ماتریس همانی وجود دارد, لذا در $ A^{2} $ مسیرهای به طول $ 2 $ که از رأس $ a $ شروع و پایانش به رأس $ a $ می‌باشد, برابر با $ t $ است, پس تعداد یال‌های غیرجهت‌دار برابر $ t $ می‌باشد. هم‌چنین $ \lambda $ تا ماتریس $ A $ وجود دارد, پس مسیرهای به طول $ 2 $ که از رأس $ a $ شروع و پایانش به رأس $ b $ است, $ \lambda $ برابر درایه‌ی $ (a,b) $ در ماتریس $ A $ می‌باشد, در نتیجه هر دو رأس مجاور $ a $ و $ b $ در گراف $ \Gamma $, $ \lambda $ تا همسایگی مشترک دارند. چون $ \mu $ تا ماتریس $ A^{'} $ داریم. بنابراین تعداد مسیرهای به طول $ 2 $ برای هر دو رأس غیرمجاور در گراف $ \Gamma $, برابر $ \mu $ می‌باشد. با توجه به فرض قضیه, ماتریس مجاورت گراف در معادله (\ref{t}) صدق می‌کند, لذا گراف $-k $منظم است. در نتیجه گراف $ \Gamma $ یک گراف به طور قوی منظم جهت‌دار با پارامترهای $ (n,k,\mu,\lambda,t) $ است. 
\ep
\end{thh}
\begin{lee}\label{dsv}
اگر $ \Gamma $ یک گراف به طور قوی منظم جهت‌دار با پارامترهای $ (n,k,\mu,\lambda,t) $ و ماتریس مجاورت $ A $ باشد, آن‌گاه گراف متمم $ \overline{\Gamma} $, یک گراف به طور قوی منظم جهت‌دار با پارامترهای $ (n,k',\mu ',\lambda ',t' )$ و ماتریس مجاورت $ A'=J-I-A $  می‌باشد. به طوری‌که:
\begin{center}
\begin{aquation}
$k'=(n-2k)+k-1,$\\ 
$\mu '=(n-2k)+\lambda,~~~~~~$\\
$\lambda '=(n-2k)+\mu -2,~$\\
$t'=(n-2k)+t-1.~~$
\end{aquation}
\end{center}
\bp
چون ماتریس مجاورت گراف در (\ref{t}) صدق می‌کند, داریم:
\begin{align}
A'J=JA^{'}=k'J. \label{re}
\end{align}
اگر در (\ref{re}), $ A^{'}$ را جای‌گذاری کنیم, نتیجه می‌شود که: 
\begin{align*}
(J-I-A)J&=J(J-I-A)=k'J, \\
J^{2}-IJ-AJ&=J^{2}-JI-JA=k'J, \\
nJ-J-kJ&=k'J \Rightarrow J(n-1-k)=k'J\Rightarrow k'=n-k-1.
\end{align*}
در تساوی بالا $ (2k) $ را کم و زیاد می‌کنیم, پس دیده می‌شود که:
\begin{align*}
k' &=n-k-1-2k+2k, \\
\Rightarrow k' &=(n-2k)+k-1.
\end{align*} 
حال $ A' $ را به توان $ 2 $ می رسانیم. بنابراین داریم:
\begin{align*}
A^{'2}&=(J-I-A)^{2}=J^{2}-JI-JA-IJ+I^{2}+IA-AJ+AI+A^{2}\\
&=nJ-J-kJ-J+I+A-kJ+A+A^{2}\\
&=nJ-2J-2kJ+I+2A+A^{2}.
\end{align*}
از تساوی فوق و از (\ref{h}) داریم:
\begin{flushleft}
\begin{aquation*}
$A^{'2}&=(n-2k-2)J+I+2A+(\lambda A+tI+\mu(J-I-A))$\\
$&=(n-2k-2)J+I+2A+\lambda A+tI+\mu J-\mu I-\mu A$\\
$&=(n-2k-2+\mu)J-I(\mu -t-1)-A(\mu -\lambda -2)$\\
$&=(n-2k-2+\mu)J-((n-2k-1)+(\mu -t-1)-(n-2k-1))I$\\
$&~~-A((n-2k)+(\mu -\lambda -2)-(n-2k))$\\
$&=(n-2k+\mu -2)J-(n-2k+\mu -2)I-(2k-n-t+1)I$\\$&~~-(n-2k+\mu -2)A
-A(2k-n-\lambda)$\\
$&=(n-2k+\mu -2)(J-I-A)+(n-2k+t-1)I+(n-2k+\lambda)A,$
\end{aquation*}\\
\end{flushleft}
بنابراین داریم:
\begin{align*}
A'^{2}=\lambda 'A'+t^{'}I+\mu '(J-I-A').
\end{align*}
که در آن $ \mu'=(n-2k)+\lambda $ , $ \lambda '=(n-2k)+\mu -2 $ و $ t'=(n-2k)+t-1 $ می‌باشد.
\ep
\end{lee}
در زیر اثبات دیگری برای لم فوق از نظریه گراف ارائه می‌دهیم: 
\bp
فرض کنید دو رأس $ a $ و $ b $ در گراف $ \Gamma $ مجاور باشند, آن‌گاه $ \lambda $ تا همسایگی مشترک وجود دارد; از طرف دیگر چون گراف $-k $منظم است, پس $ 2k-\lambda $ تا رأس به رئوس $ a $ و $ b $ وصل هستند. حال این  دو رأس در گراف $ \overline{\Gamma} $ غیرمجاور می‌باشند, لذا رئوس $ a $ و $ b $, $ n-(2k-\lambda) $ تا همسایگی مشترک دارند, پس $ \mu^{'}=n-2k+\lambda $. اکنون فرض کنید دو رأس $ a  $ و  $ b $ در گراف $ \Gamma $ غیر مجاور باشند, پس $ \mu $ تا همسایگی مشترک دارند. بنابراین $ 2k- \mu $ تا رأس به این  رئوس وصل هستند. از  طرفی  این دو رأس در گراف $ \overline{\Gamma} $ مجاور می‌باشند, در نتیجه $ n-(2k-\mu)-2$ تا همسایگی مشترک دارند, لذا $ \lambda '=n-(2k- \mu)-2 $. حال یک رأس $ a $ در گراف $ \Gamma $, $ t $ یال غیرجهت‌دار دارد. بنابراین $ 2k-t $ تا رأس دیگر به رأس $ a $ وصل می‌باشند. در نتیجه رأس $ a $ در گراف $ \overline{\Gamma} $, $ n-(2k-t)-1 $ یال غیرجهت‌دار دارد. به عبارت دیگر $ t'=n-(2k-t)-1 $ است. به آسانی دیده می‌شود که $ k'=n-k-1 $.
\ep
\begin{de}{\rm
مقادیر ویژه ماتریس را به همراه تکرار آن‌ها, \textsl{طیف یک ماتریس }می‌گوییم. طیف یک ماتریس را به صورت زیر نشان می‌دهیم:

$$\left[ \begin{array}{l}
m_{1},\ldots, m_{n}\\
\lambda_{1},~ \ldots ~, \lambda_{n}
\end{array}\right]. 
$$
$\lambda_{1},\cdots, \lambda_{n}$, 
مقادیر ویژه ماتریس به ترتیب با تکرار $ m_{1},\cdots,m_{n} $ می‌باشند.
}\end{de}
\begin{thh}(داول)
فرض کنید $ \Gamma $ یک گراف به طور قوی منظم جهت‌دار با پارامترهای\\ $ (n,k,\mu,\lambda,t) $ و ماتریس مجاورت $ A $ باشد, که $ \Gamma $  در یکی از شرایط زیر صدق نمی‌کند:
\begin{enumerate}
\item یک گراف به طور قوی منظم $ (t=k) $,
\item یک گراف کامل $ (A=J-I) $. 
\end{enumerate}
در این‌صورت $ A $ با یک ماتریس هادامارد معادل است, به طوری‌که \\ $ A+A^{t}=J-I ,AA^{t}=(\mu-1)J+\mu I$; یا عدد صحیح مثبت $ d $ وجود دارد که در شرایط زیر صدق می‌کند: 
\begin{align}
k(k+(\mu -\lambda))=t+(n-1)\mu ,\label{d}\\
(\mu -\lambda)^{2}+4(t-\mu)=d^{2},\label{fd}\\
d\vert 2k-(\mu -\lambda)(n-1),\label{fdd}\\
\dfrac{2k-(\mu -\lambda)(n-1)}{d}\equiv n-1(mod 2)\label{fddd},\\
\vert \dfrac{2k-(\mu -\lambda)(n-1)}{d}\vert \leq n-1\label{fdddd}.
\end{align}
\bp
برای اثبات به مرجع \cite{5} مراجعه کنید.
\ep
\end{thh}
\begin{cor}
در این مقاله به طور مختصر گراف‌های به طور قوی منظم جهت‌دار را به عنوان تعمیمی از گراف‌های به طور قوی منظم مورد بررسی قرار دادیم.
\end{cor}
\lhead{}
%\renewcommand{\bibname}{مراجع}
\begin{thebibliography}{99}

\addcontentsline{toc}{chapter}{مراجع}
 \latin
\bibitem{2} 
R. Bose, \textsl{Strongly regular graphs, partial geometries and partially balanced designs}, Pacific J. Math, \textbf{13}(1963) 389-419.
  \latin
  \bibitem{5} 
A. Duval, \textsl{A directed version of strongly regular graphs}, J. Combin. Theory Ser, A \textbf{47} (1988) 71-100.
 \latin
\bibitem{16} 
J. Siedel,\textsl{ Strongly regular graphs of $L_{2}$-type and of triangular type}, Indag. Math. \textbf{29} (1967) 188-196.
\bibitem{16} 
J. J. Siedel, Strongly regular graphs of $L_{2}$-type and of triangular type, Indag. Math. 29 (1967)
\end{thebibliography}
{}\end{document}