\documentclass[18pt,a4paper]{article}
\usepackage{graphicx,amsmath}
\usepackage{perpage}
\usepackage[localise]{xepersian}
\settextfont[Scale=1.2]{XB Yas}
%\setdigitfont[Scale=1.6]{Scheherazade}
\graphicspath{{Images/}}
\MakePerPage{footnote}
\DeclareMathSizes{14}{20}{11}{9}

\begin{document}
\tableofcontents
\صفحه‌نو
\listoffigures
\صفحه‌نو
%\listoftables
\section{فصل اول: مقدمه}
\vspace{.5cm}
\baselineskip=.3cm
\begin{quote}
رفتار سیستم‌های بزرگ و پیچیده از ذرات بنیادی را نمی‌توان برحسب برهمکنش‌های ساده‌ی بین چند ذره‌ی محدود تحلیل کرد. در سطوح پیچیده، خواص جدیدی ظاهر میشود که فهم این رفتارها نیازمند تحقیقات جدیدی است که به نظر من ذاتا بنیادی قلمداد می‌شوند.
\LTRfootnote{P. W. Anderson, from \textbf{More is Different}. 1972}
\end{quote}
\baselineskip=.7cm
فیزیک انرژی‌های بالا حوزه‌ای است که همچنان با تحقیقات خود در "بنیادی‌ترین سطح" علم مردم را در داخل و خارج دنیای علم به شگفتی وامی‌دارد. مردم به این باور دارند که هرچه عمیق‌تر بدر درون ماده  کنکاش می‌کنیم به حقیقت نزدیک‌تر می‌شویم. در نتیجه حقیقت در نزدیکی‌های انرژی‌های بالا و فاصله‌های کوچک است. برای همین است که نظریه غایی یا نظریه همه چیز\LTRfootnote{Theory of Everything} باید در کوتاه‌ترین فاصله‌های مکانی و زمانی حکمفرما باشد، جایی که هیچ تفاوتی بین نیروی گرانش با بقیه نیروها وجود ندارد. همه اینها عجیب و غریب به نظر می‌رسد، اما هنگامی که یک فیزیکدان ماده چگال فرصت می‌کند تا نگاهی به این ایده‌ها و نظریه‌ها بیندازد،  اینها به نظرش تازه و ناآشنا نمی‌رسند. علاوه بر این، با وجود اینکه حیطه‌های مورد بررسی این دو شاخه از فیزیک کاملا متفاوت به نظر می‌رسند اما با یک نگاه دقیق‌تر به جزئیات به نقاط مشترک زیادی بین مفاهیم این دو شاخه برمی‌خوریم. در بسیاری از موارد دو مدل یکسان فقط با اسم‌های متفاوت داریم؛ در برخی هم موارد تفاوت‌های جدی وجود دارد اما شباهت‌های زیادی هم وجود دارد. به عنوان مثال، پدیده اندرسن-هیگز\LTRfootnote{Anderson-Higgs phenomenon} در فیزیک ذرات بسیار شبیه اثر مِیسنر\LTRfootnote{Meissner effect} در ابررسانایی است؛ مفهوم "تورم\LTRfootnote{Inflation}" در کیهانشناسی از فیزیک گذار فاز مرتبه اول گرفته شده است؛ فرضیه "ریسمان‌های کیهانی"\LTRfootnote{Cosmic strings} بسیار مشابه خطوط گردابی میدان مغناطیسی در ابرساناهای نوع {II} است؛ نظریه گیزبورگ-لاندائو\LTRfootnote{Gizburg-Landau} در زمینه ابرشارگی {$^3$He} خصوصیات مشترک زیادی با نظریه برهمکنش هادرون-مزون دارد. وقتی با این همه تشابهات زیاد روبرو می‌شویم، مشکل بتوان در مورد این نکته فکر نکرد که شاید یک ارتباط عمیق بین این دو حوزه برقرار باشد.؛ یعنی طبیعت دارای یکسری اصول بنیادی یکسان در مقیاس‌های فضا-زمانی مختلف داشته باشد. این دیدگاه جدید، این پیامد را دارد که حقیقت فقط در اعماق دل ماده و در دنیای ذرات بنیادی نیست؛ شاید بتوان آن را در بین \متن‌ایتالیک{دانه‌های شن} هم  پیدا کرد.\خط‌نو
مسئله سیستم‌های بشدت همبسته\LTRfootnote{Strongly correlated systems} که بوزونی کردن\LTRfootnote{Bosonization} یکی از حالت‌های خاص ان می‌باشد، یکی از دشوارترین موضوعاتی است که تاکنون فیزیک با آن روبرو شده است. سیستم‌های بشدت همبسته به سیستم‌هایی گفته می‌شوند که نمی‌توان آنها را بوسیله مجموع برهمکنش ضعیف بین اجزای آن توصیف کرد. در نتیجه ما با وضعیتی روبرو هستیم که کل مهم‌تر از اجزا هست و این به شدت کار را دشوار می‌کند. مثال شناخته شده چنین مسئله‌یی در فیزیک ذرات مسئله برهمکنش‌های قوی -مسئله‌یی که در موضوع آن شکل‌گیری و ساختار ذرات سنگین مانند پروتون، نوترون و مزونها هستند. است. در کتاب‌های عامه‌پسند که مخاطب آنها مردم خارج از فیزیک هستند، عموما گفته می‌شود که این ذرات از اجزا ریزتر و بنیادی‌تری به اسم\متن‌ایتالیک{کوارکها} ساخته شده‌اند که این کوارکها بوسیله میدان‌های گلوئونی\پانوشت‌چبر{Gloun fields} بهم چسبیده‌اند. در این‌جا\متن‌ایتالیک{ساخته شدن} معنای معمول خود را ندارد، یعنی شبیه اینکه می‌گوییم اتم هیدروژن از یک پروتون و الکترون ساخته شده است، نمی‌باشد. زیرا اتم هیدروژن بوسیله نیروهای الکترومغناطیسی ساخته شده است و انرژی جفتیدگی الکترون و پروتون نسبت به جرم آنها ناچیز است:$E\sim -\alpha^2m_ec^2$ که $\alpha=e^2/hc\approx1/137$ ثابت ساختار ریز\پانوشت‌چبر{Fine constant structure} و $m_e$ جرم الکترون می‌باشد. کوچک بودن ثابت جفتیدگی  $\alpha$ تاحدود زیادی باعث می‌شود تا سرشت کوانتومی نیروهای الکترومغناطیسی آشکار نشود و مقدار سطح مقطع فرآیند تبدیل فوتون به یک جفت الکترون-پوزیترون بسیار کوچک بدست می‌آید. در نتیجه $\alpha$ که یک مقدار بسیار کوچک دارد باعث می‌شود تا بتوان در تقریب مرتبه اول، اتم هیدروژن را به عنوان سیستمی که فقط شامل دو ذره است، در نظر گرفت. اگر مقدار $\alpha$ کوچک نمی‌بود، نظریه کوانتوم فقط در حد یک روش کاملا دانشگاهی و غیرکاربردی باقی می‌ماند. اما چون ثابت ساخار ریز برای برهمکنش‌های قوی عدد کوچکی نیست، $\alpha_G\sim1$، نمی‌توان هادرون‌ها را به عنوان یک حالت مقید کوانتومی کوارک‌ها در نظر گرفت. در نتیجه نیروهای گلوئونی لزوما طبیعت کوانتومی دارند، بدین معنی که از خلا بوجود آمده و از بین می‌روند. بنابراین مسئله شامل بینهایت ذره می‌شود و بنابراین کاملا غیر کوانتومی است. در نتیجه فقط چون پروتون و نوترون حالت مقید کوانتومی سه ذره یکسان (کوارک‌ها) هستند، می‌توان نتیجه گرفت که اعداد کوانتومی یکسانی دارند. با این تفاسیر فقط می‌توان گفت که \متن‌ایتالیک{پروتون شامل سه کوارک است}. ولی همانطور که دیدیم این همه داستان در مورد ساختار پروتون نیست. پروتون همانند یک موج روی سطح دریا، محتوای \متن‌ایتالیک{ثابتی} ندارد. \خط‌نو
مشخص شده است که کاهش ابعاد فضا کمک بزرگی به حل مدل‌های سیستم‌های بشدت همبسته می‌کند. بیشتر جواب‌های غیراختلالی که می‌شناسیم ( فقط حل‌های غیراختلالی در فیزیک سیستم‌های بشدت همبسته مورد نیاز است.) مربوط به مدل‌های کوانتومی یا کلاسیک 1+1 بعدی  هستند. دو راه برای مرتبط ساختن این‌گونه جواب‌ها با واقعیت وجود دارد. یک راه این است که واقعیت در بعضی سطوح دو بعدی است. اگر این راه قبول داشته باشید شما یک نظریه‌پرداز ریسمان هستید! راه دیگر این است که به مطالعه سیستم‌هایی بپردازید که به طور مجازی ابعاد آن کاهش یافته است. چنین سیستم‌هایی در فیزیک ماده چگال کاملا شناخته شده هستند. چنین موادی غالباً شامل زنجیره‌های کاملا مجزا هستند و یا مسائلی شبیه ناخالصی‌های مغناطیسی جدا شده\پانوشت‌چبر{Solitary magnetic impurities} (اثر کاندو\پانوشت‌چبر{Kondo effect}) و حالت‌های مرزی در اثر کوانتومی هال\پانوشت‌چبر{Quantum Hall effect} می‌باشند. پس اگر یک نظریه‌پرداز بخواهد نتایج ملموس کارهای خود را در زمان حیات ببیند، فیزیک ماده چگال این شانس را به او می‌دهد.\خط‌نو
در حال حاضر دو رویکرد به سیستم‌های بشدت همبسته وجود دارد. رویکرد اول با حل‌های دقیق نظریه‌های بس‌ذرهای سروکار دارد.نیاز به گفتن نیست که همه مدل‌ها را نمی‌توان به صورت دقیق حل کرد، اما خوشبختانه برای بسیاری از مدل‌های مورد علاقه مردم را میتوان حل دقیق بدست آورد. در نتیجه این روش اطلاعات بسیار ارزشمندی را به ما میدهد.
روش دیگرکه محبوبیت بیشتری هم دارد، تلاش میکند تا  مدل‌های برهمکنشی پیچیده را به صورتی بازفرمولبندی کند که به صورت مدل‌های با برهمکنش‌های ضعیف\پانوشت‌چبر{Weakly interacting systems} رفتار کنند. این همان ایده بوزونی کردن است که توسط جردن\پانوشت‌چبر{Jordan}و وینگر\پانوشت‌چبر{Wigner} در سال 1928 پایه‌‌گذاری شد.آنها توانستند بین زنجیره ناهمسانگرد هایزنبرگ با اسپین {S=1/2} \پانوشت‌چبر{spin S=1/2 anisotropic Heisenberg chain} و مدل فرمیون‌های برهمکنش‌کننده یک هم‌ارزی برقرار کنند. در نتیجه درست بعد از دو سال از معرفی اصل طرد توسط پائولی\پانوشت‌چبر{Pauli} نشان داده شده که در سیستم‌های بس‌ذره‌ای ممکن است این دیوار حائل بین فرمیون‌ها و بوزون‌ها نفوذپذیر شود.\خط‌نو
طبق نظریه جردن و ویگنر، اگر ناهمسانگردی به‌گونه‌ای باشد که جفتیدگی بین مولفه‌های {z} اسپین‌ها حدف شوند، مدل فرمیونی غیربرهمکنشی می‌شود. بنابراین، حداقل می‌توان طیف برانگیختگی (و در نتیجه ترمودینامیک) را به‌ راحتی توصیف کرد. اما از جایی که عملگرهای فرمیونی به صورت غیرخطی و غیرموضعی هستند، مسئله توابع همبستگی هنوز حل نشده باقی می‌ماند. این بخش نظریه، برای حل شدن به 50 سال زمان نیاز داشت!\خط‌نو
تبدیل از اسپینها به فرمیون‌ها فقط در برخی موارد خاص، جواب ناهمسانگردی را به ما می‌دهد و در بقیه موارد هنوز این فرمیون‌ها هستند که برهمنکنش می‌کنند. فرمیون‌های برهمکنش کننده در 1+1 بعد رفتار بسیار متفاوتی نسبت به فرمیون‌‌های غیربرهمکنشی دارند. با این حال مشخص شده است که در بسیاری از موارد می‌توان با دومین تبدیل از برهمنکش‌ها نیز صرفنظر کرد-یعنی تبدیل فرمیو‌ها به میدان بوزونی عددی بدون جرم. به این تبدیل بوزونی کردن گفته می‌شود که البته در حالت‌های حدی برقرار است؛ حالت‌هایی که انرژی‌ها کوچک‌تر از پهنای باند باشند. بنابراین در چنین انرژی‌هایی زنجیره‌ی {S=1/2} هایزنبرگ به توده‌ای از نوسانگرها تقلیل می‌یابد.\خط‌نو
زنجیره‌ی {S=1/2} هایزنبرگ نخستین مثال از "تبدیل ماهیت ذرات"\پانوشت‌چبر{Particles transmutation} بود. ما از این اصطلاح هنگامی استفاده می‌کنیم که برانگیختگی‌های انرژی پایین یک سیستم بس‌ذره‌ای به‌اندازه قابل ملاحظه‌ای از ذرات سازنده آن متفاوت باشد. البته، حالت‌های ساده‌ای نیز وجود دارند که در حد انرژی‌های پایین اصلا ذرات سازنده نمود ندارند؛ برای مثال در اجسام بلوری، اتم‌ها منتشر نمی‌شوند، اما در حد انرژی‌های پایین ما امواج صوتی منتشر شونده-فونون- داریم؛ یا در اجسام مغناطیسی مرتب ما مگنون‌ها را به جای اسین‌های مجزا می‌بینیم. این مثال‌ها مربوط به حالت‌هایی هستند که تقارن خودبه‌خود شکسته شده است و طیف ذرات سازنده بوسیله یک نوار انرژی از حالت پایه جدا شده‌اند.با وجود اینکه تقارن پیوسته در 1+1بعد بطور خودبه‌خود شکسته نمی‌شود و بنابراین حتی در {T=0} هم پارامتر مرتبه محدود وجود ندارد، اما ممکن است نوارهای انرژی طیفی شکل بگیرند\پانوشت‌چبر{Spectral gaps} .این پدیده که به تولید دینامیکی جرم شناخته شده است در سال 1961 توسط وکس\پانوشت‌چبر{Vaks} و لارکین\پانوشت‌چبر{Larkin} کشف شد. \خط‌نو
با این حال، برای حدف برانگیختگی‌های یک الکترون منفرد نیازی به نوارهای انرژی طیفی نیست. زیرا در {T=0} که یک نقطه بحرانی است، این برانگیختگی‌ها خنثی می‌شوند. در این حالت، انتشار یک ذره منفرد باعث تابش عظیمی از افت و خیزهای بحرانی نرم\پانوشت‌چبر{Soft critical fluctuations} می‌شود.\\
به زودی معلوم شد که افت و خیزهای بحرانی نرم ممکن است یک نقش مهم را در سیستم‌های 1+1 بعدی  ایفا کنند. همچنین مشخص شد که روش‌های مرسوم در این زمینه موثر نیستند. بیچکوف\پانوشت‌چبر{Bychkov}، گورکف\پانوشت‌چبر{Gor'kov} و زیالوشینسکی\پانوشت‌چبر{Dzyaloshinski} اولین کسانی بودند که نشان دادند که نمی‌توان ناپایداری‌های فلزات یک بعدی را بوسیله تقریب شبه میدان متوسط\پانوشت‌چبر{Mean-field like approximation} تحلیل کرد.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{larkin}
\caption{لارکین و زیالوشینسکی}
\label{fig:larkin}
\end{figure}
آنها برای تحلیل این سیستم‌ها روش بهبود یافته مجموع سری‌های اختلال\پانوشت‌چبر{Improved pertubration series summation} را که "پارکوئت"\پانوشت‌چبر{Parquet} نام دارد را به کار بردند. این روش اولین بار برای برای توصیف پراکندگی مزون‌ها ابداع شده بود.\\
مشخص شد که این ناپایداری‌ها به خاطر تداخل کوانتومی  دو کانال مختلف برهمکنش- کوپر\پانوشت‌چبر{Cooper} و پیرل\پانوشت‌چبر{Peierls} به وجود می‌آیند. زیالوشینسکی و لارکین با جمع بستن روی تمام تکینگی‌های اصلی در دو کانال به یک دسته از معادلات دیفرانسیل برای ثابت‌های جفتیدگی رسیدند. این دسته معادلات بعدها به معادلات گروه بازبهنجارش معروف شدند. با محاسبه این ثابت‌های جفتیدگی می‌توان ناپایداری‌های اصلی سیستم را محاسبه کرد و در نتیجه تقارن حالت پایه را بدست آورد. معلوم شد که حتی در غیاب نوار طیفی، امکان بلوکه شدن یک انتشار همدوس الکترون‌های منفرد وجود دارد.\\
مشکلی که وجود داشت این بود که نمی‌توانستند بوسیله نظریه اختلال هندسی به بررسی حالت‌های حدی جفتیدگی قوی بپردازند. زیرا گذار فاز در 1+1 بعد اتفاق نمی‌افتد. در نتیجه هنوز مبهم بود که هنگامی که برهمکنش‌های بازبهنجار شده قدرتمند می‌شوند چه اتفاقی می‌افتد (این مسئله در مسئله کاندو و مدل‌های ناخالصی‌های کوانتومی نیز وجود دارد؛ در این مسائل تکینگی‌های مشابهی بوسیله آبریکسوف\پانوشت‌چبر{Abrekosov} کشف شده بود). نارسایی نظریه متداول اختلال بوسیله اندرسن\پانوشت‌چبر{Anderson} نشان داده شد. اندرسن نشان داد که منشاء این نارسایی چیزی به نام "فاجعه عمود بودن"\پانوشت‌چبر{Orthogonality catastrophy} است. وقتی تعداد ذرات بسیار زیاد می‌شود، حالت پایه تابع موج یک گاز الکترون مختل شده بوسیله یک پتانسیل موضعی به حالت پایه غیرمختل شده عمود می‌شود. این نشانی بود که مسئله را نمی‌توان بوسیله جمع بستن جزئی روی سری‌های اختلالی بدست آورد. در این هنگام لارکین و زیالوشینسکی برای رسیدن به جواب صحیح، جمع بستن را روی تمام سری‌های اختلالی انجام دادند. تحولاتی که بعد از ابداع این روش آغاز شد قابل مقایسه با تحولات بین سیستم‌های بطلمیوسی و کپرنیکی در نجوم است.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{abrikosov}
\caption{آبریکسوف}
\label{fig:abrikosov}
\end{figure}
همان‌گونه که کپرنیک با قرار دادن خورشید در وسط منظومه شمسی باعث یک ساده‌سازی فوق‌العاده در نجوم شد، تبدیل از فرمیون‌ها به بوزون‌ها، باعث ایجاد یک ساده‌سازی زیاد در نظریه برهمنکش‌های قوی در 1+1بعد شد. \\
روش بوزونی‌کردن در سال 1975 مستقلاً توسط دو فیزیکدان ذرات و دو فیزیکدان ماده چگال ابداع ابداع شد-    سیدنی کلمن\پانوشت‌چبر{S. Coleman} و سیدنی ماندستام\پانوشت‌چبر{S. Mandelstam}، و دانیل ماتیس\پانوشت‌چبر{D. Mattis} و آلن لوتر\پانوشت‌چبر{A. Luther}. نقطه اصلی روش آنها خصوصیت فرمیون‌های دیراک در 1+1بعد بود. آنها نشان دادند که می‌توان توابع همبستگی چنین فرمیون‌هایی را برحسب توابع همبستگی میدان‌های بوزونی آزاد بیان کرد.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.32]{luther}
\caption{آلن لوتر}
\label{fig:luther}
\end{figure}
روش جدید به سرعت در مورد مسائل غیرقابل حل قدیمی به کار گرفته شد. نتایج کارهای لارکین و زیالوشینسکی برای بردهای کوتاه دوباره استخراج شدند و آنها را تعمیم دادند تا اثرات اسپین را هم دربرگیرند. همچنین متوجه شدند که می‌توان بخش انرژی پایین در سیستم‌های فلزی یک بعدی را بوسیله نظریه موثر جهانی\پانوشت‌چبر{Universal effective theory} که بعداً "مایع توموناگا-لوتینگر"\پانوشت‌چبر{Tomonoga-Luttinger liquid} نام گرفت، توصیف کرد. توصیف حالت میکروسکوپیک چنین حالتی توسط هالدان\پانوشت‌چبر{Haldane} انجام شد. در دهه 1970 بسیاری از کاربردهای جالب بوزونی‌کردن در مورد فلزات شبه یک بعدی مورد بررسی قرار گرفت.\\
کشف بزرگ دیگری که در دهه 1970 انجام گرفت، کشف ذراتی با اعداد کوانتومی کسری بود. چنین ذراتی به عنوان برانگیختگی‌های بنیادی در یک سری سیستم‌های یک بعدی به وجود می‌آیند. به عنوان مثال، اسپینون‌ها در زنجیره آنتی‌فرومغناطیس هایزنبرگ با اسپین نیم‌صحیح.\\
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.31]{anderson}
\caption{اندرسن}
\label{fig:anderson}
\end{figure}
بوزونی‌کردن غیرآبلی در سال‌های 1983-4 توسط پولیاکف\پانوشت‌چبر{Haldane} و ویگمن\پانوشت‌چبر{Wiegmann} و ویتن\پانوشت‌چبر{Witten} و نیزنیک\پانوشت‌چبر{Knizhnik} کشف شد. اهمیت روش غیرآبلی هنگامی معلوم می‌شود که مسئله شامل درجات آزادی اسپینی باشد. در سال 1984 فیزیک ابعاد پایین شاهد یک انقلاب دیگر بود. در این سال بلاوین\پانوشت‌چبر{Belavin}، زامولوچیکف\پانوشت‌چبر{Zamolodchikov} و پولیاکف مقاله بنیادی‌شان را در باب نظریه میدان همدیس\پانوشت‌چبر{Conformal field theory}({CFT}) چاپ کردند. {CFT} یک روش جامع برای بررسی مدل‌های دارای طیف خطی بدون نوار\پانوشت‌چبر{Gapless linear spectrum} در 1+1 بعد به دست می‌دهد. آنها نشان دادند که اگر کنش یک نظریه 1+1 بعدی کوانتش‌پذیر باشد، کنش آن شامل مشتقات مرتبه بالاتر زمانی نخواهد بود. همچنین نشان دادند که خطی بودن طیف آن، نشان از تقارن بینهایت بعدی است (تقارن همدیس). رابطه بین {CFT} و روش‌های مرسوم بوزونی‌کردن توسط داتسنکو\پانوشت‌چبر{Dotsenko} و فتیو\پانوشت‌چبر{Fateev} نشان داده شد. آنها توانستند توابع همبستگی {CFT} را برحسب جملات تصحیح‌کننده توان‌های بوزونی\پانوشت‌چبر{Correlators of bosonic exponnts} بنویسند. 
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.31]{polyakov}
\caption{پولیاکف}
\label{fig:polyakov}
\end{figure}
بوزونی‌کردن غیرآبلی و {CFT} نظریه‌هایی هستند که از ساده‌سازی اولیه روش بوزونی‌کردن وجود آمده‌اند و باعث شد که دنیای پیچیده نظریه سیستم‌های انتگرال‌پذیر\پانوشت‌چبر{Integrable systems} سادگی زیادی پیدا کند. اگرچه می‌توان توابع همبستگی را برحسب جملات تصحیح کننده توان‌های بوزونی نمایش داد، اما فضای هیلبرت چنین نظریه‌هایی با فضای هیلبرت بوزون‌های آزاد هم‌ارز نیست. در نتیجه اگر بخواهیم از نمایش بوزونی استفاده کنیم، باید بعضی از حالت‌ها را از فضای هیلبرت بوزونی حذف کنیم؛ که این‌کار همیشه کار آسانی نیست. می‌توان به جای این‌کار، توابع همبستگی را با استفاده از اتحادهای وارد\پانوشت‌چبر{Ward identitties} انجام داد. مهم‌ترین نتیجه {CFT} این است که توابع همبستگی سیستم‌های بحرانی از  بینهایت اتحاد وارد پیروی می‌کنند که به فرم معادلات دیفرانسیل هستند. با حل این معادلات می‌توان تمام توابع همبستگی را بطور یکتا تعیین کرد. این روش می‌تواند یک جایگزین مناسب برای فرمول‌بندی هامیلتونی باشد. زیرا هامیلتونی بطور موثری با اتحادهای وارد برای توابع همبستگی جایگزین می‌شود. سیستم‌های ناوردای همدیس، سیستم‌هایی با بینهایت قوانین بقاء هستند که یک زیرکلاس از مدل‌های حل‌پذیر (انتگرال‌پذیر) را تشکیل می‌دهند.\\
بعد از سال‌ها تلاش زیاد در توسعه نظریه سیستم‌های بشدت همبسته، این حوزه تبدیل به یک عرصه گسترده و پیچیده شده است که دانشمندان بزرگی در آن مشغول به تحقیق‌اند. دانشمندان مختلف، روش‌های مختلف و علاقه‌های مختلفی دارند- برخی به کاربردهای آن علاقمند هستند و برخی دیگر به فرمول‌بندی آن. مسلماً فاصله زیادی بین کسانی که به توسعه روش‌های جدید مشغول‌اند و کسانی که به کاربرد آنها علاقمندند وجود دارد. برای مثال کارهای زیادی در مورد مدل آیزینگ\پانوشت‌چبر{Ising model} انجام شده است، در حالی‌که بندرت کابردهای آن مورد توجه قرار گرفته است.
\section{نظریه‌های مختلف بوزون‌های کایرال}
\subsection{معرفی مدل‌های مختلف}
به نظریه‌های دوبعدی اسکالری که در آنها میدان اسکالر $\phi$  در شرط کایرال $\dot{\phi}={\phi}'$  صدق کنند، نظریه‌ بوزون‌های کایرال گفته می‌شود.\\ بوزونی کردن یک روش مرسوم در فیزیک نظری است که در بسیاری از شاخه¬ها مانند نظریه ریسمان[1] و فیزیک ماده چگال[2] و نظریه میدان¬های همدیس[3] کاربرد دارد. از یک دیدگاه کاملا فیزیکی، بوزونی کردن یک رابطه دوگانگی بین دو حد جفت¬شدگی ضعیف و قوی است. بنابراین می¬تواند اطلاعاتی در مورد بخش غیراختلالی نظریه¬های میدان کوانتومی به دست دهد.\\
مدل بوزونهای کایرال در فضای دوبعدی اساساٌ یک سیستم مقید است. اگرچه این سیستم ساده می باشد اما مطالعه ساختار آن به ما کمک می¬کند تا درک درستی از مدل¬های دیگری که در آنها ساختارهای کایرال وجود دارند، به دست آوریم؛ مدل‌هایی مانند ساختارهای خود-دوگان که در نظریه ابرریسمان ظاهر می شوند.\\
چهار فرمولبندی شناخته شده برای بوزونهای کایرال وجود دارد. معروفترین این مدلها بوسیله یک لاگرانژی غیرهموردا توصیف میشود که بوسیله فلورینینی \پانوشت‌چبر{Floreanini}و جکیو\پانوشت‌چبر{Jackiw}{(FJ)}پیشنهاد شده است
\begin{equation}
\mathcal{L}_1=\dot{\phi}\phi'-\phi'\phi' \label{فج}
\end{equation}
این مدل یک مدل مقید است که دارای یک قید میباشد که این قید در تمام نقاط فضای تکانه، نوع دوم است. بجز در یک نقطه که آنجا نوع اول میباشد. در نظر داشتن این نکته در هنگام محاسبه طیف این مدل بسیار مهم است، زیرا عملگرهای بالا و پایین‌برنده باید در تمام نقاط فضا تعریف شوند.\\
مدل دیگر توسط سریواستاوا\پانوشت‌چبر{Srivastava} پیشنهاد شده است که شرط کایرال بطور خطی و بوسیله یک ضریب نامعین لاگرانژ به لاگرانژی اعمال شده است
\begin{equation}
\mathcal{L}_2=-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\partial^\mu\phi\partial^\nu\phi+\lambda\left(\dot{\phi}-\phi' \right).\label{سری}
\end{equation}
نکته ای که در مورد این مدل وجود دارد این است که این مدل منجر به یک هامیلتونی مثبت معین نمیشود و طیف فیزیکی آن بعد از اضافه کردن درجات آزادی مجازی\پانوشت‌چبر{ghost degree of freedom} فقط حالت خلا را بدست میدهد. در حقیقت  مدل توصیف شده بوسیله لاگرانژی  (\رجوع{سری}) با مدل  (\رجوع{فج}) یکسان نیستند؛ هرچند هر دو آنها شامل شرط کایرال  $\dot{\phi}={\phi}'$ در معادلات حرکت کلاسیکی خود هستند. 
جدیدا لاگرانژی دیگری برای بوزونهای کایرال پیشنهاد شده است که شرط کایرال به صورتی به لاگرانژی اعمال میشود که نتایج آن با لاگرانژی (\رجوع{فج}) تطابق پیدا میکند. این دو مدل نه تنها هیچ ناسازگاری با یکدیگر ندارند، بلکه حتی مقادیر عددی یکسانی را پیش بینی میکنند.\\ 
\begin{equation}
\mathcal{L}_3=-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\partial^\mu\phi\partial^\nu\phi+\gamma\left(\dot{\phi}-\phi' \right)+\frac{1}{2}\lambda^2.\label{جدید}
\end{equation}
مدل دیگری نیز توسط سیگل\پانوشت‌چبر{Seigel} ارائه شده است که شرط کایرال در آن با تصویر کردن مولفه های تانسور انرژی-تکانه بدست آمده است.
\begin{equation}
\mathcal{L}_4=-\frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\partial^\mu\phi\partial^\nu\phi+\lambda\left(\dot{\phi}-\phi' \right)^2.\label{سیگل}
\end{equation}
این مدل نابهنجار\پانوشت‌چبر{anomalous} است و کوانتش آن تنها بوسیله اضافه کردن جملات وس-زومینو\پانوشت‌چبر{Wess-Zunimo} امکان پذیر است و نتجه نهایی آن مدلی است که بوزونهای کایرال با گرانش جفت شده اند.
\subsection{طیف نظریه‌های بوزون های کایرال {FJ} و سریواستاوا}
لاگرانژی مدل {FJ} دارای یک قید به صورت
\begin{equation}
\Omega_1(x,t)=\pi(x,t)-\phi'(x,t)
\end{equation}
است که در آن  $\pi$  تکانه کانونیک همیوغ با $\phi$ میباشد. در حقیقت کمیت $\Omega_1$ نشان دهنده بنهایت قید است ، یک قید برای هر نقطه از مختصات فضایی $x$. \\
کمیت دیگری که باید برای این مدل محاسبه کنیم ماتریس قیود
%\begin{equation}
\begin{align}
C(x,y)=\{\Omega_1(x,t),\Omega_1(y,t)\},\\
=-2\delta'(x-y)
\end{align}
%\end{equation}
و معکوس آن
\begin{equation}
C^{-1}(x,y)=-\frac{1}{2}\epsilon(x-y)+f(t) \label{معکوس}
\end{equation}
 است. که $\epsilon(x-y)$ تابع پله و $f(t)$ یک تابع اختیاری از زمان است. همانطور که میبینیم ماتریس معکوس یکتا نیست. این عدم یکتایی مربوط به وجود یک قید نوع اول در میان بینهایت قید مشخص شده بوسیلع $\Omega_1$ است[]. این را میتوان به راحتی با تبدیل فوریه میدانها و قیود دید. این تبدیل به صورت زیر نوشته میشوند
\begin{align}
\phi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{dk{} e^{ikx}\tilde{\phi}(k,t)}, \\
\pi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{dk{} e^{ikx}\tilde{\pi}(k,t)}, \\
\Omega_1(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int{dk{} e^{ikx}\tilde{\Omega_1}(k,t)}. \label{فوریه}
\end{align}
با استفاده از  روابط بالا میبینیم که
\begin{equation}
\tilde{\Omega_1}(k,t)=\tilde{\pi}(k,t)-ik\tilde{\phi}(k,t).
\end{equation}
علاوه بر اینها، کروشه پواسون آنها در فضای تکانه بدین صورت نوشته میشود
\begin{equation}
\{\tilde{\phi}(k,t),\tilde{\pi}(p,t)\}=\delta(k+p)
\end{equation}
با توجه به رابطه بالا ماتریس قیود به صورت 
\begin{equation}
\tilde{C}(k,p)=-2ik\delta(k+p)
\end{equation}
بازنویسی میشود. یادآوری میکنیم که
\begin{equation}
\tilde{\Omega}_1(0,t)\equiv\tilde{\Omega}_2=\tilde{\pi}(0,t)
\end{equation}
یک قید مرتبه اول است. در نتیجه مشخص شد که چرا $C^{-1}(x,y)$  در رابطه (\رجوع{معکوس}) یکتا نیست.\\
در هنگان بررسی طیف {FJ} باید دقت داشته باشیم که باید کوانتش را روی تمام $k$ها انجام دهیم. در نتیجه باید اول آن یک قید نوع اول مدل $\tilde{\pi}(0,t)\approx0$  تثبیت پیمانه  شود. طبیعیترین انتخاب به شکل
\begin{equation}
\tilde{\Omega}_3=\tilde{\phi}(0,t)\approx0
\end{equation}
است. برای شروع کوانتش باید کروشه دیراک را  برای قیود نوع دوم سیستم محاسبه کرد. ماتریس کروشه پواسون قیود به صورت زیر است
\begin{equation}
\tilde{C}(\bar{k},\bar{p})=\left(
\begin{matrix}
-2i\bar{k}\delta(\bar{k}+\bar{p}) &0  & 0 \\ 
0 & 0 &-\delta(0)  \\ 
0 &  \delta(0)& 0
\end{matrix}
\right)
\end{equation}
در اینجا منظور از $\bar{k}$ هر $k\neq0$  میباشد. با معکوس کردن این ماتریس میتوان  مستقیما کروشه های دیراک را محاسبه کرد
\begin{equation}
\begin{gathered}
\{\tilde{\phi}(\bar{k},t),\tilde{\phi}(\bar{p},t)\}_D=\frac{i}{2k}\delta(\bar{k},\bar{p}),\hfill \\ 
\{\tilde{\phi}(0,t),\tilde{\phi}(\bar{p},t)\}_D=0,\hfill  \\ 
\{\tilde{\phi}(0,t),\tilde{\phi}(0,t)\}_D=0. \hfill
\end{gathered}
\end{equation}
قبل از اینکه کروشه های دیراک بالا را با جابجاگرهای کوانتومی جایگزین کنیم، بهتر است درک بهتری از $\tilde{\phi}(k,t)$ داشته باشیم. معادله حرکت لاگرانژی (\رجوع{فج}) به صورت
\begin{equation}
\dot{\phi}'-\phi''=0
\end{equation}
است. با استفاده از تبدیل فوریه (\رجوع{فوریه}) داریم
\begin{equation}
k(i \dot{ \tilde{\phi}}+k\tilde{\phi})=0.
\end{equation}
که برای $k\neq0$  جواب به شکل
\begin{equation}
\tilde{\phi}(\bar{k},t)=A(\bar{k})e^i\bar{k}t
\end{equation}
است که  $A$ تایعی از $\bar{k}$ میباشد. 
\end{document}