% !TEX TS-program = XeLaTeX
% Commands for running this example:
% 	 xelatex Vahid-Proposal
% End of Commands





%%%  نمونه یک پروپوزال کارشناسی ارشد، دانشگاه تبریز،  وحید دامن ‌افشان،     vdamanafshan@yahoo.com 


% توجه داشته باشید برای دیدن خروجی کامل شامل نمایه و فهرست مطالب در ویرایشگر Texmaker، ابتدا دو بار 
% کلید F1 و بعد کلید F12 و دوباره کلید F1 و در آخر کلید F7 را فشار دهید.
%توضیحات مربوط به هر بسته یا دستور را می‌توانید در خط بالای آن ببینید.

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%در ورژن جدید زی‌پرشین برای تایپ متن‌های ریاضی، این سه بسته، حتماً باید فراخوانی شود
\usepackage{amsthm,amssymb,amsmath,dsfont}
%دستوری برای وارد کردن واژه‌نامه انگلیسی به فارسی
\newcommand\persiangloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\}
%بسته‌ای برای تنطیم حاشیه‌های بالا، پایین، چپ و راست صفحه
%\usepackage[top=50mm, bottom=50mm, left=50mm, right=50mm]{geometry}
%بسته‌ای برای نمایش تصاویر قرار داده شده در متن
\usepackage{graphicx}
% بسته‌ و دستوراتی برای ایجاد لینک‌های رنگی با امکان جهش
\usepackage[pagebackref=true,colorlinks,linkcolor=blue,citecolor=magenta]{hyperref}
% چنانچه قصد پرینت گرفتن نوشته خود را دارید، خط بالا را غیرفعال و  از دستور زیر استفاده کنید چون در صورت استفاده از دستور زیر‌‌، 
% لینک‌ها به رنگ سیاه ظاهر خواهند شد و برای پرینت گرفتن، مناسب‌تر خواهد بود
%\usepackage[pagebackref=false]{hyperref}
%بسته‌ای برای ظاهر شدن «مراجع» و «نمایه» در فهرست مطالب
\usepackage{tocbibind}
%فراخوانی بسته زی‌پرشین و دستورات مربوط به نوع فونت‌ها
\usepackage{xepersian}
\settextfont{XB Niloofar}
% از revision 118 زی‌پرشین به بعد، وارد کردن دستور زیر لازم نیست. توجه داشته باشید که در صورت  غیرفعال کردن این دستور،
% از فونت پیش‌فرض لاتک برای کلمات انگلیسی استفاده خواهد شد.
%\setlatintextfont[ExternalLocation,BoldFont={lmroman10-bold},BoldItalicFont={lmroman10-bolditalic},ItalicFont={lmroman10-italic}]{lmroman10-regular}
% چنانچه می‌خواهید که اعداد در فرمول‌ها، فارسی باشد، دستور زیر را فعال کنید
%\setdigitfont{XB Zar}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% تعریف قلم‌های فارسی و انگلیسی برای استفاده در بعضی از قسمت‌های متن
\defpersianfont\titr[Scale=1]{XB Titre}
\defpersianfont\nastaliq[Scale=1.5]{IranNastaliq}
%\defpersianfont\traffic[Scale=1]{B Traffic}
%\defpersianfont\yekan[Scale=1]{B Yekan}
%اگر فونت‌های بالا را ندارید، دو خط بالا را غیر فعال و دو خط زیر را فعال کنید
\defpersianfont\traffic[Scale=1]{XB Roya}
\defpersianfont\yekan[Scale=1]{XB Kayhan}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% تعریف و نحوه ظاهر شدن قضایا، لم‌ها، تعریف‌ها و ...
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{تعریف}[section]
\theoremstyle{theorem}
\newtheorem{theorem}[definition]{قضیه}
\newtheorem{lemma}[definition]{لم}
\newtheorem{proposition}[definition]{گزاره}
\newtheorem{corollary}[definition]{نتیجه}
\newtheorem{remark}[definition]{ملاحظه}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}[definition]{مثال}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
% دستوری جهت ظاهر نشدن شماره صفحه و سربرگ، در صورت وجود (فقط در صفحه جاری)
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-28mm}
% نحوه درج کردن لوگوی دانشگاه
\centerline{\includegraphics[height=4cm]{logo.jpg}}
\begin{center}
%دستوری برای کم کردن فاصله بین لوگو و خط پایین آن
\vspace{-2mm}

دانشکده علوم ریاضی
%دستوری برای تعیین فاصله بین دو خط
\\[.1cm]

گروه ریاضی محض
\\[.7cm]


{\large
پیشنهاد موضوع تحقیقاتی برای پایان‌نامه دکتری
\\[.2cm]
ریاضی محض، گرایش آنالیز
\\[.7cm]
عنوان
\\[.4cm]
}


{\Huge \yekan
آنالیز عملگرهای شبه دیفرانسیل و\\
 هندسه دیفرانسیل ناجابجایی
\\[.7cm]
% اگر عنوان پروپوزال شما طولانی است می‌توانید بخشی از آن را در زیر این توضیح وارد کنید. در این صورت فاصله بین دو خط زیادتر     
% شده و باعث خوانایی و زیبایی عنوان پروپوزال می‌شود. در غیر این صورت، خطوط  ۸۴ تا ۸۸ را پاک کنید.



}



{\traffic \large
استاد راهنما
}
\\[.4cm]
\textbf{\large {\nastaliq دکتر سید مسعود امینی}}
\\[.8cm]



{\traffic \large
استاد راهنمای دوم
}
\\[.4cm]
\textbf{\large {\nastaliq دکتر مسعود خلخالی}}
\\[.7cm]




{\traffic \large
پژوهشگر
}
\\[.5cm]
\textbf{\large {\nastaliq خشایار شمس الکتابی}}
\\[.7cm]




{\large
آبان ماه سال یک هزار و سیصد و نود و دو
\vspace{.5cm}
}


\end{center}

%دستوری برای رفتن به صفحه جدید
\newpage
%دستوری برای تعیین فاصله بین خطوط (نه دو خط) و تا وقتی که مقدار آن تغییر نکند، فاصله بین خطوط، همین مقدار است
\baselineskip=1cm
%دستوری برای ظاهر شدن فهرست مطالب
\tableofcontents

\baselineskip=.75cm
\newpage 
\section{پیش گفتار }
هندسه طیفی\LTRfootnote{spectral geometry} یک بخش از ریاضیات است که به رابطه بین ساختار هندسی خمینه ها\LTRfootnote{manifolds} و طیف\LTRfootnote{spectrum} عملگرهای شبه دیفرانسیلی\LTRfootnote{pseudodifferential operators} که روی آن ها تعریف می شوند می پردازد. یک دسته از عملگرهای دیفرانسیلی که روی خمینه های ریمانی بسته\LTRfootnote{closed Riemannian manifolds}  بسیار مورد مطالعه قرار گرفته اند عملگرهای لاپلاس\LTRfootnote{Laplace}، بویژه عملگر لاپلاس-بلترامی\LTRfootnote{Laplace-Beltrami} می باشد. اگر $(M,g)$ یک خمینه ریمانی بسته $n$ بعدی باشد و $g$ متریک\LTRfootnote{metric} ریمانی روی $M$ باشد $\Delta$ عملگر لاپلاس روی $M$ بصورت زیر تعریف می شود
$$\Delta=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ng_{ij}\frac{\partial^2}{\partial x_i\partial x_j}$$
 در اینصورت عملگر لاپلاس $\Delta$ روی توابع هموار\LTRfootnote{smooth functions} عمل می کند. عملگر لاپلاس $\Delta$ خودالحاق\LTRfootnote{self-adjoint}، مثبت\LTRfootnote{positive} و یک عملگر دیفرانسیل بیضوی\LTRfootnote{elliptic differential operator} است که مقادیر ویژه\LTRfootnote{eigenvalues} آن
$$0\leq\lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\rightarrow\infty$$

همچنین یک پایه متعامد یکه\LTRfootnote{orthonormal base}
 $\{\varphi_i\}_{ i=1,2,\cdots}$ 
برای $L^2(M)$ تشکیل شده از توابع ویژه\LTRfootnote{eigenfunctions} (بردارهای ویژه\LTRfootnote{eigenvectors}) $\Delta$ وجود دارد. طیف $\Delta$ یک ناوردای طولپایی\LTRfootnote{isometry} است. خمینه های ریمانی ای که با احتساب چندگانگی ها، طیف یکسانی داشته باشند ایزواسپکترال\LTRfootnote{isospectral} نامیده می شوند. خمینه هایی ایزومتریک\LTRfootnote{isometric} ایزواسپکترال می باشند. نخستین هدف هندسه طیفی پاسخ دادن به سوال زیر بوده.\\
\begin{center}{\nastaliq چه میزان از هندسه و توپولوژی $M$ را می توان از روی طیف عملگر لاپلاس بدست آورد؟}\end{center}
برای نمونه، آیا این مطلب درست است که خمینه ها ریمانی ایزواسپکترال، ایزومتریک هستند؟ این سوال نخست به عنوان تیتر مقاله معروفی ار مارک کاک
\LTRfootnote{Marc Kac}
 در سال 1966
 \cite{Kac}
 مطرح شد.\\
\begin{center} {\nastaliq آیا می توان شکل یک طبل را شنید؟}\end{center}
اولین گام بلند در این راه توسط هرمان ویل
\LTRfootnote{Hermann Weyl} 
 در سال 1911 \cite{weyl} برداشته شد. زمانی که پیشرفتی در پاسخ به حدس فیزیکدان لورنتز\LTRfootnote{Lorentz} و سامرفلد
\LTRfootnote{Sommerfeld} در حدود سال 1910 \cite{lor,somm} انجام شد.
او نشان داد که بعد و اندازه\LTRfootnote{volume} (حجم یا سطح) یک ناحیه\LTRfootnote{domain} $M$ در $\mathds{R}^n$ برای $n=2,3$ و مرز\LTRfootnote{boundary} به اندازه کافی هموار، بوسیله طیف نیومن\LTRfootnote{Neumann} یا دیریکله\LTRfootnote{Dirichlet} مشخص می شود. در حقیقت او نشان داد که اگر $N(\lambda)=\#\{\lambda_i\leq \lambda\}$ تابع شمارش مقادیر ویژه\LTRfootnote{eigenvalue counting function} باشد فرمول مجانبی\LTRfootnote{asymptotic formula} زیر برقرار است
$$N(\lambda)\sim\frac{\omega_n Vol(M)}{(2\pi)^n}\lambda^{\frac{n}{2}},\hspace{.7cm}\lambda\rightarrow\infty$$
جایی که $\omega_n$ اندازه گوی واحد\LTRfootnote{unit ball} در $\mathds{R}^n$ است. این نتیجه را امروزه به نام قانون ویل\LTRfootnote{Weyl's Law} می شناسند و برای خمینه های ریمانی بسته تعمیم داده شده که از آن می توان چنین برداشت کرد
\begin{center}{\nastaliq می توان بعد و اندازه یک خمینه ریمانی بسته را شنید}\end{center}
در این جا این سوال پیش می آید که چرا و به چه منظور از شنیدن صحبت می شود یا به عبارتی رابطه عملگر لاپلاس با فیزیک صوت\LTRfootnote{acoustic physic} چیست؟ که در بخش های آینده به آن اشاره خواهد شد.

همچنین ما می دانیم که می توان انحنای اسکالر\LTRfootnote{total scalar curvature} یک خمینه ریمانی بسته را از روی طیف لاپلاسین محاسبه کرد یا به عبارتی
\begin{center}{\nastaliq می توان انحنای اسکالر یک خمینه ریمانی را شنید}\end{center}
یکی از کارهای بسیار مهمی که در ارتباط با مقادیر ویژه لاپلاسین توسط دویت\LTRfootnote{DeWitt}-گیلکی\LTRfootnote{Gilkey}-سیلی\LTRfootnote{Seeley} انجام شده، بدست آوردن یک دنباله نامتناهی از ناورداهای طیفی است که به نام  ضرایب دویت-گیلکی-سیلی شناخته می شود و اطلاعاتی را در مورد هندسه خمینه به ما می دهد که تنها وابسته به طیف لاپلاسین است\cite{d-g-s}. اما در نهایت مشخص شده که طیف لاپلاسین به تنهایی نمی تواند تمام هندسه روی خمینه ریمانی را مشخص کند بطور مثال ما می دانیم که میدان های عددی\LTRfootnote{number fields} نایکریخت وجود دارند که توابع زتای\LTRfootnote{zeta functions} یکسانی دارند یا جان میلنور
\LTRfootnote{John Milnor} مثال نقضی در سال 1966 ارایه داد \cite{milnor}. در حقیقت او نشان داد که خمینه های ریمانی ایزواسپکترالی هستند که ایزومتریک نیستند. همچنین سونادا\LTRfootnote{Sunada} یک روش کلی برای ساختن خمینه های با بعد بیشتر از 2 که ایزواسپکترال هستند ولی ایزومتریک نیستند ارایه داد \cite{sunada} و گوردون-وب-والپرت\LTRfootnote{Gordon-Web-Wolpert}ناحیه هایی با مرزهای قطعه قطعه خطی\LTRfootnote{piecewise linear boundaries} در صفحه معرفی کردند که ایزواسپکترال هستند ولی ایزومتریک نیستند \cite{g-w-w}. بنابراین لزوم آنالیز دیگر عملگر های شبه دیفرانسیل تعریف شده روی خمینه های ریمانی حایز اهمیت خواهد بود. از جمله مهمترین این عملگر ها، عملگر دیراک\LTRfootnote{Dirac operator} است که در بخش های آینده به آن اشاره خواهد شد. خوشبختانه آلن کونز\LTRfootnote{Alain Connes} نشان داده که عملگر دیراک تعریف شده روی خمینه های ریمانی بسته اسپین\LTRfootnote{spin} می تواند تمام ساختار هندسی از جمله متریک ریمانی را بازسازی کند که این خود سندی محکم در تایید قدرت و کارآیی ابزار آنالیز و آنالیز طیفی در مطالعه هندسه می باشد \cite{spch-connes}. همین امر باعث می شود که به جای آنکه نیاز به ساختارهای کلاسیک هندسی باشد با یک سه تایی طیفی\LTRfootnote{spectral triple} شامل یک جبر\LTRfootnote{algebra} و یک عملگر و یک فضای هیلبرت\LTRfootnote{Hilbert space} به هندسه نگاه کرد و بدین ترتیب راه برای بهره برداری فیزیک کوانتوم از هندسه ناجابجایی باز می شود. یکی دسته دیگر از ایده ها در هندسه طیفی توجه به رده های مختلف از فرمول های اثرگونه\LTRfootnote{trace formulae} و بکاربردن آن ها در نظریه اعداد\LTRfootnote{number theory}، فیزیک کوانتوم، و آشوب کوانتومی\LTRfootnote{quantum chaos} است. از یک نظر این ایده ها به قانون وایل در مکانیک کوانتومی و نتایج ناشی از فرمول تابش\LTRfootnote{radiation formula} پلانک\LTRfootnote{Planck} برمی گردد.

 در زمینه هندسه طیفی دو نوع از سوالات مطرح می شود: اولی سوالات مستقیمی است که رفتار مقادیر ویژه\LTRfootnote{eigenvalues} یک خمینه ریمانی را با توجه به اطلاعاتی که از هندسه این خمینه در اختیار داریم بررسی می کند. دومی سوالات معکوسی است که با دانسته فرض کردن مقادیر ویژه عملگر لاپلاس یا عملگرهای شبه دیفرانسیل دیگر، هندسه خمینه را مورد مطالعه قرار می دهد. دسته دوم سوالات از اهمیت بسیار زیادی برخوردار است زیرا در فیزیک و بویژه فیزیک کوانتومی هندسه و یا ساختار هندسی کلاسیک مانند خمینه ها وجود ندارد و همین امر موجب پیچیدگی مدل های مکانیک کوانتومی می شود ولی خوشبختانه عملگرها نقش کلیدی در این بخش دارند همچنین بیشترین مشاهدات فیزیک دانان در آزمایشگاه ها تنها به وسیله طیف گسیل شده بدست می آید که خود نشان می دهد که در فیزیک کوانتومی به جای ساختارهای کلاسیک هندسی می بایست به طیف و مقادیر ویژه مشاهده پذیرها توجه کرد و این همان هندسه طیفی است. اصل عدم قطعیت\LTRfootnote{uncertainty principle} هایزنبرگ\LTRfootnote{Werner Heisenberg} بطور قطع نشان می دهد که مشاهده پذیرهای کوانتومی با همدیگر جابجا نمی شوند ولذا 
\begin{center}{\nastaliq ذات هندسه کوانتومی ناجابجایی است}\end{center}
 که خود اهمیت و جایگاه هندسه ناجابجایی\LTRfootnote{noncommutative geometry} (\lr{NCG}) را در ریاضیات مدرن و فیزیک نشان می دهد. 

\section{آنالیز عملگرهای شبه دیفرانسیل}

در آنالیز ریاضی عملگر شبه دیفرانسیل تعمیم عملگرهای دیفرانسیل است. عملگرهای شبه دیفرانسیل کاربرد فراوانی در معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزیی و نظریه میدان های کوانتومی دارد.

یک عملگر دیفرانسیل خطی با ضرایب ثابت مانند
$$P(D):=\sum_{\alpha}a_{\alpha}D^{\alpha}$$
که بر روی توابع هموار $u$ با محمل فشرده در $\mathds{R}^n$ عمل می کند. این عملگر را می توان با کمک تبدیل فوریه\LTRfootnote{Fourier transform} و اعمال آن بر روی سمبل این عملگر که به صورت زیر تعریف می شود
$$P(\xi)=\sum_{\alpha}a_{\alpha}\xi^{\alpha},$$
و با دوباره بکاربردن معکوس تبدیل فوریه می توان عمل این عملگر دیفرانسیل را روی $u$ محاسبه کرد
$$P(D)u(x)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathds{R}^n}\int_{\mathds{R}^n}e^{i(x-y)\xi}P(\xi)u(y)dyd\xi$$
که در آن $\alpha=(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ یک اندیس چندگانه است و $a_{\alpha}$ اعداد مختلط و 
$$D^{\alpha}=(-i\partial_1)^{\alpha_1}\cdots(-i\partial_n)^{\alpha_n}$$
مشتقات جزیی می باشند. حال اگر $P$ را با یک تابع از یک کلاس مناسب عوض کنیم به تعمیمی از عملگر های دیفرانسیل یعنی کلاس عملگرهای شبه دیفرانسیل می رسیم.

عملگرهای دیراک و لاپلاس از جمله مهمترین عملگرهای شبه دیفرانسیل است که روی یک خمینه ریمانی تعریف می شود. محاسبه عملگر دیراک برای یک خمینه ریمانی از جمله سوالاتی است که مورد نظر قرار می گیرد. کریستنسن عملگر دیراک را برای $AF$-جبرها محاسبه کرد\cite{chris1}.
\begin{itemize}
\item 
تعریف عملگرهای شبه دیفرانسیل روی سه تایی طیفی از جمله سوالات این پایان نامه است.
\item 
تعریف عملگرهای شبه دیفرانسیل برای سه تایی های طیفی روی $AF$-جبرها یکی دیگر از اهداف این پایان نامه است.
\end{itemize}

\section{کاربردهای عملگر های دیراک و لاپلاسین در فیزیک و ریاضی}

\subsection{لاپلاسین و فیزیک صوت}

صوت با فرستادن فشار در راستای گاز\LTRfootnote{gas}، مایع\LTRfootnote{liquid}، یا جامد\LTRfootnote{solid} به شکل انتقال موج\LTRfootnote{wave} نوسان\LTRfootnote{oscillation} می کند. معادله انتشار صوت به وسیله لاپلاسین به صورت زیر بیان می شود
$$\Delta\phi-\frac{1}{c_0^2}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}=0$$
که در آن $\phi$ میدان پتانسیل صوت
\LTRfootnote{acoustic potential} و $c_0$ به کمک چگالی\LTRfootnote{density} $\rho_0$ و ضریب فشردگی
\LTRfootnote{compressibility coefficient} جسم $\chi_s$ با رابطه زیر محاسبه می شود
$$c_0=\frac{1}{\sqrt{\rho_0\chi_s}}$$
با بکار بردن تبدیل فوریه، ما به معادله پرکاربرد هلموتز\LTRfootnote{Helmoltz} می رسیم
$$\Delta\hat{\phi}=c\hat{\phi}$$
که در آن $c$ با عدد موج \LTRfootnote{wave number} $\phi$
ارتباط دارد. این معادله معمولا ساده ترین راه برای حل مسایل فیزیک صوت است. معادله اخیر ارتباط لاپلاسین بویژه مقادیر ویژه این عملگر را با فیزیک صوت نشان می دهد.

\begin{itemize}
\item
استفاده از معادله صوت برای اثبات دوباره قضیه اندیس آتیه-سینگر از اهداف این پایان نامه است.
\end{itemize}

\subsection{ترمودینامیک خمینه های ریمانی و حرکت براونی}
 معادله حرارت\LTRfootnote{heat equation} که در نظریه ترمودینامیک\LTRfootnote{thermodynamic} مطرح می شود یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزیی هذلولوی\LTRfootnote{parabolic partial differential equation} است که توزیع حرارت\LTRfootnote{distribution of heat} را در گذر زمان توضیح می دهد. یعنی با داشتن اطلاعات کافی از شرایط مرزی دقیقا مشخص می کند که توزیع حرارت بر روی سطح (خمینه ریمانی) مورد نظر چگونه خواهد بود که در اینجا منظور از توزیع حرارت تابعی است که معمولا تابع دمای نقاط فضای مورد نظر در طول زمان است. بطور مثال در فضای سه بعدی با متریک اقلیدسی معادله به صورت زیر است (متذکر می شویم که معادله همگن و $t$ متغیر مربوط به زمان است.)
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2})$$
که در آن $\alpha$ یک ثابت مثبت است و ضریب انتشار حرارت\LTRfootnote{thermal diffusivity} را مشخص می کند. طرف راست معادله بالا همان لاپلاسین برای متر اقلیدسی است و لذا می توان معادله را به صورت زیر برای یک خمینه ریمانی باز نویسی کرد
$$\frac{\partial u}{\partial t}-D\Delta u=0$$
که در آن $D$ ماتریسی است که ضریب انتشار حرارت در جهت $i$ام را متناسب با میزان و میل توزیع حرارت در جهت $j$ام مشخص می کند.
معادله حرارت را می توان در نظریه احتمالات\LTRfootnote{probability theory} و برای توضیح حرکت تصادفی\LTRfootnote{random walk} بکار برد. همچنین این معادله در هندسه ریمانی و در نتیجه در توپولوژی از اهمیت برخوردار است. ریچارد هامیلتون\LTRfootnote{Richard Hamilton} برای تعریف شار ریچی\LTRfootnote{Ricci flow} این معادله را بکار گرفت که بعدها گریگوری پرلمان\LTRfootnote{Grigori Perelman} برای اثبات حدس پوانکاره\LTRfootnote{Poincare conjecture} از آن استفاده کرد. همچنین می توان با استفاده از معادله حرارت یک فرمول موضعی\LTRfootnote{local formula} برای اندیس یک رشته بیضوی\LTRfootnote{elliptic complex} تعریف کرد که به کمک آن قضیه آتیه-سینگر در کلی ترین حالت آن اثبات می شود .\cite{d-g-s} 

همچنین در مکانیک آماری می توان حرکت براونی\LTRfootnote{Brownian motion} یعنی رفتار تصادفی یک جرم تنها را با کمک معادله انتشار\LTRfootnote{diffusion equation} (معادله حرارت) توضیح داد. 
توضیح حرکت براونی ابتدا در سال 1905 توسط انیشتین برای توضیح قانون گازها آورده شده است \cite{ein}. این معادله به خوبی ارتباط آنالیز با نظریه احتمالات و هندسه و فیزیک را نشان می دهد و یکی از روش های مرسوم برای تعبیر ناورداهای طیفی بدست آمده از عملگر لاپلاسین را در اختیار ما می گزارد.

ایده اصلی در ارتباط دادن توزیع حرارت با ساختار متریک ریمانی یک خمینه را به راحتی می توان در فرمول زیر دید
$$\lim_{t\rightarrow 0}-4t\log k(t,x,y)=d(x,y)^2$$
که در آن $k(t,x,y)$ هسته حرارتی\LTRfootnote{heat kernel} و $d(x,y)$ متریک القایی روی خمینه توسط متریک ریمانی است. این معادله که به فرمول وارادهان\LTRfootnote{Varadhan's formula} معروف است بوضوح نشان می دهد که ساختار متریک ریمانی را به میزان زیادی می توان توسط هسته حرارتی محاسبه کرد\cite{vardhan}. در نهایت برای هسته حرارتی میناکشیساندرام-پلجل\LTRfootnote{Minakshisundaram-Pleijel} یک عبارت مجانبی بصورت زیر معرفی می کنند
$$k(t,x,x)\sim\frac{q}{(4\pi t)^{n/2}}(a_0(x)+a_1(x)t+a_2(x)t^2+\cdots),\hspace{.5cm}t\rightarrow 0^+.$$
که در آن $n$ بعد منیفلد را به ما می دهد و هر یک از این ضرایب اطلاعاتی راجع به توپولوژی و هندسه خمینه ریمانی مورد نظر به ما می دهند.
\begin{itemize}
\item
استفاده از معادله حرارت برای بررسی قضیه اندیس آتیه-سینگر مربوط به چنبره های ناجابجایی یکی از سوالات مورد نظر این پایان نامه خواهد بود.
\item بررسی قضیه اندیس آتیه-سینگر برای سه تایی های طیفی روی $AF$-جبرها.
\item
 و بررسی قضیه اندیس آتیه-سینگر برای حد دنباله ای از جبرهای متناهی بعد تانسور $C(\mathds{T})$ از اهداف دیگر پایان نامه است.
\end{itemize}

\subsection{لاپلاسین و معادله شرودینگر برای توضیح حرکت یک جسم  آزاد}

در مکانیک کوانتومی معادله شرودینگر \LTRfootnote{Schrodinger equation} یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزیی است که چگونگی تغییرات یک حالت کوانتومی\LTRfootnote{quantum state} یک سیستم فیزیکی را در گذر زمان نشان می دهد. این معادله اول بار در اواخر سال 1925 فرمول بندی شد و در سال 1926 توسط فیزیکدان اتریشی اروین شرودینگر\LTRfootnote{Ervin Schrodinger} منتشر شد.

در مکانیک کلاسیک\LTRfootnote{classical mechanic}، معادله حرکت\LTRfootnote{equation of motion} همان قانون دوم نیوتون\LTRfootnote{Newton's second law} و بطور معادل با معادلات اویلر-لاگرانژ\LTRfootnote{Euler-Lagrange equations} و معادلات همیلتون\LTRfootnote{Hamilton's equation} توضیح داده می شود. تمام این فرمولبندی ها برای شناختن حرکت یک سیستم مکانیکی بکار می رود و بصورت ریاضی پیشبینی می کند که سیستم در هر زمان در چه وضعیتی به سر می برد.

در مکانیک کوانتومی، مترادف قانون نیوتون معادله شرودینگر برای سیستم های کوانتومی است (بطور معمول اتم ها، مولکول ها، و ذرات زیر اتمی). این یک معادله ساده جبری نیست ولی معمولا یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزیی خطی است. این معادله دیفرانسیل تابع موج\LTRfootnote{wave function} یک سیستم را مشخص می کند که به آن حالت کوانتومی و یا حالت برداری\LTRfootnote{vector state} گفته می شود. مانند قانون دوم نیوتون، معادله شرودینگر هم می توان بصورت ریاضی تبدیل به دیگر فرمولبندی های مکانیک کوانتومی مانند مکانیک ماتریسی\LTRfootnote{matrix mechanic} ورنر هایزنبرگ\LTRfootnote{Werner Heisenberg} و فرمول انتگرال مسیر\LTRfootnote{path integral} ریچارد فاینمن\LTRfootnote{Richard Feynman} شود.

کلی ترین فرم، معادله شرودینگر وابسته به زمان\LTRfootnote{time-dependent} است که وابستگی سیستم به زمان را توضیح می دهد و به فرم زیر است.
$$ih\frac{\partial}{\partial t}\Psi=\hat{H}\Psi$$
که در آن $i$ واحد موهومی و $h$ ثابت پلانک تقسیم بر $2\pi$ است و $\Psi$ تابع موج سیستم کوانتومی و $\hat{H}$ عملگر همیلتونی است که انرژی کل سیستم را مشخص می کند و فرم های مختلفی متناسب با موقعیت های متفاوت به خود می گیرد.

مشهورترین مثال از معادله شرودینگر غیر نسبیتی برای یک ذره که در یک میدان الکتریکی حرکت می کند بصورت زیر است 
$$ih\frac{\partial}{\partial t}\Psi(r,t)=[\frac{-h^2}{2m}\Delta +V(r,t)]\Psi(r,t)$$
که در آن $m$ جرم این ذره و $V$ انرژی پتانسیل و انرژی کل در اینجا مجموع انرژی جنبش و پتانسیل است. این معادله نمی تواند با نسبیت هماهنگ شود و برای رفع این مشکل باید با عملگر دیراک به جای لاپلاسین کار کنیم.

\begin{itemize}
\item
استفاده از معادله موج برای بدست آوردن ناورداهای هندسی چنبره ناجابجایی یکی از رویکردهای این پایان نامه است
\item
بکاربردن این معادله برای اثبات دوباره قضیه اندیس آتیه-سینگر نیز می تواند از اهداف این پایان نامه باشد.
\end{itemize}

\subsection{عملگر دیراک، معادله موج و معادله حرکت الکترون در نسبیت خاص}

در فیزیک ذرات بنیادی\LTRfootnote{particle physics}، عملگر دیراک یک معادله موج نسبیتی\LTRfootnote{relativistic wave equation} است که توسط فیزیکدان انگلیسی پول دیراک\LTRfootnote{Paul Dirac} در سال 1928 فرمولبندی شد. این معادله میدان های متناظر ذرات با اسپین\LTRfootnote{spin} $-\frac{1}{2}$ (مانند الکترون) را توضیح می دهد. معادله دیراک هم اصول مکانیک کوانتومی و هم نسبیت خاص\LTRfootnote{special relativity} را همزمان ارضا می کند و این برتری این معادله نسبت به معادله شرودینگر را نشان می دهد و برای اولین بار نسبیت را با مکانیک کوانتومی هماهنگ ساخت. همچنین این معادله وجود ذرات جدیدی مانند پاد ماده\LTRfootnote{antimatter} را پیش بینی کرد.

به زبان ریاضی یک عملگر دیراک یک عملگر دیفرانسیل است که ریشه دوم یک عملگر دیفرانسیل مرتبه دوم مانند لاپلاسین است. دیراک علاقه مند بود یک عملگر برای فضای مینکوفسکی\LTRfootnote{Minkowski space} تعریف کند که فرم سازگاری از نظریه کوانتوم را با نسبیت خاص ارایه دهد. برای آنکه لاپلاسین را با حاصلضرب عملگرهای دیفرانسیل مرتبه اول نشان دهد نظریه اسپینورها\LTRfootnote{spinors} را معرفی کرد.

اگر $M$ یک خمینه ریمانی باشد آنگاه کلاف مماسی\LTRfootnote{tangent bundle} $TM$ یک کلاف از فضاهای ضرب داخلی حقیقی\LTRfootnote{real inner product space} است و ما می توانیم کلاف کلیفورد
\LTRfootnote{Clifford bundle} متناظر $Cliff(TM)$ را تعریف کنیم. بنابر تعریف کلاف $Cliff(TM)$ یک کلاف برداری\LTRfootnote{vector bundle} از
 $\frac{\mathds{Z}}{2\mathds{Z}}$-مدرج\LTRfootnote{graded} $\mathds{R}$-جبرها است که هر تار\LTRfootnote{fiber} $Cliff(TM)_x$ همان جبر کلیفورد ساخته شده از روی ساختار ضرب داخلی است. یک مدول کلیفورد\LTRfootnote{Clifford module} (نمایش جبر کلیفورد) روی $M$ یک کلاف برداری $V$ روی $M$ به همراه یک عمل 
$$Cliff(TM)\otimes V\rightarrow V$$
که هر تار $V_x$ را به یک مدول روی جبر کلیفورد $Cliff(T_xM)$ تبدیل می کند.

حال اگر $V$ یک همبندی\LTRfootnote{connection} داشته باشد می توان عملگر دیراک $D$ را روی $V$ در یک مختصات موضعی\LTRfootnote{local frame} با نگاشتن یک برش\LTRfootnote{section} $s$ از $V$ به
$$Ds=\sum e_i.\nabla_{e_i}s,$$
که در آن $\{e_i\}$ یک مختصات متعامد یکه موضعی برای $TM$ است و این ضرب یک ضرب کلیفورد به ما می دهد که این عملگر دیراک یک عملگر دیفرانسیل مرتبه اول بیضوی می باشد.

\begin{itemize}
\item
محاسبه عملگر دیراک برای چنبره های ناجابجایی در این پایان نامه مورد بررسی خواهد گرفت.

\item 
محاسبه عملگر دیراک برای حد دنباله ای از جبرهای متناهی بعد تانسور $C(\mathbb{T})$ از دیگر اهداف این پایان نامه خواهد بود.  
\end{itemize}

\subsection{قضیه اندیس آتیا-سینگر}

در هندسه دیفرانسیل، قضیه اندیس آتیه-سینگر\LTRfootnote{Atiyah-Singer index theorem}، که توسط مایکل آتیه\LTRfootnote{Michael Atiyah} و ایسادور سینگر\LTRfootnote{Isadore Singer} در سال 1963 اثبات شد، بیان می کند که برای یک عملگر دیفرانسیل بیضوی روی یک خمینه فشرده، اندیس تحلیلی\LTRfootnote{analytic index} (که مرتبط با بعد فضای جوابهای معادله دیفرانسیل است) با اندیس توپولوژیک\LTRfootnote{topological index} (که با استفاده از کاراکتر چرن\LTRfootnote{Chern character} و کلاس تاد\LTRfootnote{Todd class} تعریف می شود) برابر است. عملگرهای دیفرانسیل بیضوی همان عملگرهای فردهولم\LTRfootnote{Fredholm operator} هستند و اندیس تحلیلی در اینجا همان اندیس عملگر فردهولم است. این قضیه تا به حال به روش های مختلفی اثبات شده است و روش هسته حرارتی یکی از این روش ها است.

عملگر دیراک در هندسه ریمانی که در مقالاتی از آتیه و سیگر در \cite{a-s} و لیخنرویچ \cite{lich} معرفی شده از اهمیت فراوانی در هندسه دیفرانسیل برخوردار است و در موقعیت هایی همچون نظریه هاج\LTRfootnote{Hodge theory}، نظریه گیج\LTRfootnote{gauge theory}، و کوانتیزه سازی هندسی\LTRfootnote{geometric quantization} بکار می رود. مهمترین عملگر دیفرانسیل خطی مرتبه اول هندسی عملگر دیراک است. بعد از کار اساسی آتیه و سینگر در رابطه با اندیس عملگرهای بیضوی، روش های مبتنی بر هسته حرارتی برای اثبات قضیه اندیس آتیه-سینگر در حالت خاص عملگر دیراک توسط پاتودی\LTRfootnote{Patodi}\cite{pat}، گیلکی \cite{gilkey2} و آتیه-بات-پاتودی \cite{a-b-p} بکار گرفته شد.

به گفته کویلن\LTRfootnote{Quillen}: "عملگر دیراک یک کوانتیزه سازی\LTRfootnote{quantization} نظریه همبندی های است و ابراثر\LTRfootnote{supertrace} هسته حرارتی مربع عملگر دیراک کوانتیزه سازی کاراکتر چرن همبندی متناظر است." بنابر این نقطه نظر قضیه اندیس برای عملگر دیراک گزاره ای در رابطه بین هسته حراتی مربع عملگر دیراک و کاراکتر چرن همبندی متناظر است. این ارتباط در سطح فرم های دیفرانسیل\LTRfootnote{differential forms} هم برقرار است و نه تنها در سطح همانستگی\LTRfootnote{cohomology} و به ما کمک می کند تا به قضیه اندیس و هسته حرارتی به عنوان کوانتیزه سازی نظریه چرن-ویل\LTRfootnote{Chern-Weil theory} نگاه کنیم\cite{berlin}. 

\begin{itemize}
\item
بررسی قضیه اندیس آتیه-سینگر برای سه تایی های طیفی ناجابجایی یک از چالشهای این پایان نامه است.
\end{itemize}

\section{تابع زتای ریمان}

تابع زتای ریمان یا تابع زتای اویلر-ریمان، $\zeta(s)$ یک تابع با متغیر مختلط $s$ است که برای اعداد مختلط $s$ با قسمت حقیقی بزرگتر از 1 به صورت مجموع سری زیر تعریف می شود
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$$
تابع زتای ریمان نقش مهمی در نظریه اعداد تحلیلی و کاربردهایی در فیزیک، نظریه احتمال و آمار کاربردی دارد. این تابع را اویلر برای اولین بار تعریف کرد و ریمان برای محاسبه تابعی که تعداد اعداد اول کمتر از یک مقدار را مشخص می کند بکار برد. حدس ریمان در مورد صفرهای این تابع توسط کونز به فرمول اثر در هندسه ناجابجایی تعمیم داده شد. تابع زتای ریمان برای عملگرهای دیراک و لاپلاسین هم قابل تعریف است اگر $\{\lambda_i\}_{i=1}^{\infty}$ مقادیر ویژه عملگر دیراک یا  لاپلاسین باشد تابع زتای ریمان را می توان چنین تعریف کرد
$$\zeta_D(s):=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{\lambda_i^s}=Tr(|D|^{-s})=Tr(\Delta^{-\frac{s}{2}})$$
ناورداهای طیفی $a_i$ ضرایب بسط مجانبی حرارت\LTRfootnote{heat asymptotic expansion}   
که اطلاعاتی راجع به انحنای خمینه دارد با مانده های\LTRfootnote{residues} تابع زتای طیفی به صورت زیر ارتباط دارد
$$Res_{s=\alpha}\zeta_{\Delta}(s)=(4\pi)^{-\frac{m}{2}}\frac{a_{\frac{m}{2}}-\alpha}{\Gamma(\alpha)},\hspace{1cm}\alpha=\frac{m}{2}-j>0$$
حال اگر این فرمول را روی قطب $s=\frac{m}{2}-1$ محاسبه کنیم و فرمول
$$a_1=\frac{1}{6}\int_{M}S(x)dvol_x$$
را بکار بگیریم به عبارت زیر برای انحنای اسکالر می رسیم
\begin{eqnarray*}
Res\zeta_f(s)|_{s=\frac{m}{2}-1}&=&\frac{(4\pi)^{-m/2}}{\Gamma(m/2-1)}\int_{M}fS(x)dvol_x,\hspace{1.2cm} m\geq 3\\
\zeta_f(s)|_{s=0}&=&\frac{1}{4\pi}\int_M fS(x)dvol_x-Tr(fP),\hspace{1cm} m=2
\end{eqnarray*}
که در آن $\zeta_f(s):=Tr(f\Delta^{-s})$ و $f\in C^{\infty}(M)$. این مطلب نشان می دهد که تابع زتای ریمان را می توان برای محاسبه انحنای یک خمینه محاسبه کرد و این راهی برای ارایه انحنای ناجابجایی به ما می دهد و لذا یک سوال مهم در مورد تابع زتای ریمان محاسبه آن در مورد عملگرهای شبه دیفرانسیل مانند عملگر لاپلاس و عملگر دیراک است.



\begin{itemize}
\item
 عملگر دیراک برای $AF$-جبرها توسط کریستنسن محاسبه شده و لذا محاسبه تابع زتای ریمان عملگر دیراک برای مجموعه کانتور و یا دیگر $AF$-جبرها از جمله مسایلی است که در این پایان نامه به آن پرداخته می شود. 
\item
استفاده از تابع زتای ریمان برای محاسبه انحنای ناجابجایی $AF$-جبرها و مجموعه کانتور یک سوال مورد نظر برای این پایان نامه است. 
\end{itemize}

\section{هندسه دیفرانسیل ناجابجایی}

\subsection{سه تایی های طیفی و مشخصه سازی طیفی خمینه ها}
توانایی ابزاری عملگر های شبه دیفرانسیل و هندسه طیفی در تحلیل ساختار هندسی و نبود فضاهای کلاسیک هندسی در نظریه کوانتوم ما را وادار می کند تا بجای فضا به جبر مشاهده پذیرها توجه کنیم و ساختار هندسی را در عملگر مرتبط با آن ساختار لحاظ کنیم. با این روش می توان یک قالب یکدست برای مطالعه هندسه کلاسیک و هندسه ناجابجایی فراهم می شود و این قالب سه تایی های طیفی\LTRfootnote{spectral triples} است که تشکیل شده از یک جبر و یک فضای هیلبرت که این جبر روی آن نمایش داده می شود و یک عملگر بی کران روی این فضای هیلبرت که معمولا متناسب با موقعیت های مختلف شرایطی هم روی این سه تایی گذاشته می شود.

برای اولین بار آلن کونز حدسی را در مقاله خود در سال 1995 مطرح کرد که با لحاظ تعدادی شرط می توان یک خمینه ریمانی بسته اسپین را از روی سه تایی طیفی مرتبط با آن باز سازی کرد \cite{connes1} و بعدها خود کونز در یک مقاله این مطلب را ثابت کرد \cite{spch-connes}. کریستنسن سه تایی های طیفی را برای $AF$-جبرها و مجموعه کانتور مورد بررسی قرار داد.
\begin{itemize}
\item
بررسی سه تایی هایی طیفی مربوط به چنبره های ناجابجایی مورد مطالعه این پایان نامه خواهد بود.
\end{itemize}

\subsection{هندسه دیفرانسیل روی چنبره ناجابجایی}

		به کمک هندسه طیفی و آنالیز عملگرهای شبه دیفرانسیل امکان مطالعه هندسه دیفرانسیل چنبره ناجابجایی\LTRfootnote{noncommutative torus} فراهم شده. مسعود خلخالی\LTRfootnote{Masoud Khalkhali} و فتحی زاده در مقاله ای قضیه گوس-بونه\LTRfootnote{Gauss-Bonnet Theorem} را برای چنبره ناجابجایی دو بعدی مطالعه کردند \cite{m1} همچنین ایندو انحنای اسکالر یک چنبره ناجابجایی دو بعدی و چهار بعدی را هم مطالعه کردند \cite{m2,m3}. آلن کونز در مقاله ای انحنای مدولار\LTRfootnote{modular curvature} چنبره ناجابجایی دو بعدی را مطالعه کرد \cite{connes3}. همچنین قضیه ریمان-رخ\LTRfootnote{Riemann-Roch theorem} برای چنبره ناجابجایی هم توسط مسعود خلخالی و علی معتدلرو مطالعه شده \cite{m4}. مطالعه هندسه دیفرانسیل چنبره های ناجابجایی مبحث نوظهوری است و سوالات بسیاری در این حوزه بی پاسخ مانده است. 
\begin{itemize}
\item
مطالعه متریک های ریمانی مختلف روی چنبره ناجابجایی و طبقه بندی کلاس های کانفورمال\LTRfootnote{conformal} متریک های ریمانی تعریف شده روی چنبره های ناجابجایی مورد نظر خواهد بود.
\end{itemize}

\subsection{هندسه دیفرانسیل روی مجموعه کانتور و $AF$-جبرها}

یک $AF$-جبر یک دنباله طبیعی از جبرهای متناهی بعد را دارا می باشد و بدین ترتیب اریک کریستنسن\LTRfootnote{Erik Christensen} برای این جبرها با دانستن آنکه عملگر ترانهاده\LTRfootnote{transpose} روی ماتریس ها نقش عملگر دیراک را بازی می کند محاسبه عملگر دیراک برای این جبرها را مطالعه کرد و برای مجموعه کانتور\LTRfootnote{Cantor set} به عنوان یک حالت خاصی از $AF$-جبرها بعد آنرا محاسبه کرد \cite{chris1}. کریستنسن  در مقاله ای دیگر به کمک روش بالا فراکتال های دیگری را هم مطالعه کرد و اینبار اشکال ناشی از محاسبه بعد فراکتال ها را برطرف کرد و بعد مناسب برخی از فراکتال ها را نیز با کمک عملگر دیراک محاسبه کرد و بدین ترتیب هندسه دیفرانسیل روی مجموعه های فراکتالی\LTRfootnote{fractal sets} را ادامه داد \cite{chris2}.
\begin{itemize}
\item
محاسبه تابع زتای ریمان عملگر دیراک $AF$-جبرها و مجموعه کانتور و استفاده از آن برای محاسبه انحنای ناجابجایی این فضاها مورد مطالعه این پایان نامه خواهد بود.
\item
مطالعه سه تایی های طیفی جبرهایی که حدی از جبرهای متناهی بعد تانسور $C(\mathds{T})$ است با استفاده از ایده های کار کریستنسن روی $AF$-جبرها یکی از سوالات این پایان نامه خواهد بود.
\item
محاسبه تابع زتای ریمان عملگر دیراک جبرهایی که حدی از جبرهای متناهی بعد تانسور $C(\mathds{T})$ هستند و استفاده از آن برای محاسبه انحنای ناجابجایی این فضاها مورد مطالعه این پایان نامه خواهد بود.
\end{itemize}

%نحوه وارد کردن واژه‌نامه انگلیسی به فارسی
\section{ واژه‌نامه}

\persiangloss{هندسه طیفی}{spectral geometry}
\persiangloss{خمینه}{manifold}
\persiangloss{طیف}{spectrum}
\persiangloss{شبه دیفرانسیل}{pseudodifferential}
\persiangloss{عملگر}{operator}
\persiangloss{خمینه ریمانی بسته}{closed Riemannian manifold}
\persiangloss{لاپلاس}{Laplace}
\persiangloss{هموار}{smooth}
\persiangloss{خودالحاق}{self-adjoint}
\persiangloss{مثبت}{positive}
\persiangloss{عملگر دیفرانسیل بیضوی}{elliptic differential operator}
\persiangloss{مقدار ویژه}{eigenvalue}
\persiangloss{پایه متعامد یکه}{orthonormal base}
\persiangloss{تابع ویژه}{eigenfunction}
\persiangloss{بردار ویژه}{eigenvector}
\persiangloss{ناوردا}{invariant}
\persiangloss{طولپایی}{isometry}
\persiangloss{ایزواسپکترال}{isospectral}
\persiangloss{ایزومتریک}{isometric}
\persiangloss{ناحیه}{domain}
\persiangloss{فیزیک کوانتومی}{quantum physic}
\persiangloss{مکانیک کوانتومی}{quantum mechanic}
\persiangloss{مشاهده پذیر}{observable}
\persiangloss{ناجابجایی}{noncommutative}
\persiangloss{هندسه ناجابجایی}{noncommutative geometry}
\persiangloss{اندازه}{volume}
\persiangloss{اصل عدم قطعیت}{uncertainty principle}
\persiangloss{لاپلاس-بلترامی}{Laplace-Beltrami}
\persiangloss{مارک کاک}{Marc Kac}
\persiangloss{هرمان ویل}{Hermann Weyl}
\persiangloss{لورنتز}{Lorentz}
\persiangloss{سامرفلد}{Sommerfeld}
\persiangloss{نیومن}{Neumann}
\persiangloss{دیریکله}{Dirichlet}
\persiangloss{ورنر هایزنبرگ}{Werner Heisenberg}
\persiangloss{فیزیک صوت}{acoustic physic}
\persiangloss{موج}{wave}
\persiangloss{نوسان}{oscillation}
\persiangloss{چگالی}{density}
\persiangloss{ضریب فشردگی}{compressibility coefficient}
\persiangloss{میدان پتانسیل صوت}{acoustic potential field}
\persiangloss{معادله هلموتز}{Helmoltz equation}
\persiangloss{عدد موج}{wave number}
\persiangloss{انحنای اسکالر}{total scalar curvature}
\persiangloss{متریک ریمانی}{Riemann metric}
\persiangloss{دویت}{DeWitt}
\persiangloss{پتر گیلکی}{Peter Gilkey}
\persiangloss{سیلی}{Seeley}
\persiangloss{جان میلنور}{John Milnor}
\persiangloss{سونادا}{Sunada}
\persiangloss{گوردون}{Gordon}
\persiangloss{وب}{Web}
\persiangloss{والپرت}{Wolpert}
\persiangloss{مرز قطعه قطعه خطی}{piecewise linear boundary}
\persiangloss{عملگر دیراک}{Dirac operator}
\persiangloss{آلن کونز}{Alain Connes}
\persiangloss{جبر}{algebra}
\persiangloss{فضای هیلبرت}{Hilbert space}
\persiangloss{سه تایی های طیفی}{spectral triple}
\persiangloss{میدان عددی}{number field}
\persiangloss{تابع زتا}{zeta function}
\persiangloss{نظریه اعداد}{number theory}
\persiangloss{آشوب کوانتومی}{quantum chaos}
\persiangloss{فرمول های اثرگونه}{trace formulae}
\persiangloss{ماکس پلانک}{Max Planck}
\persiangloss{تابش}{radiation}
\persiangloss{قضیه اندیس آتیه-سینگر}{Atiyah-Singer index theorem}
\persiangloss{ترمودینامیک}{thermodynamic}
\persiangloss{معادله حرارت}{heat equation}
\persiangloss{معادله دیفرانسیل با مشتقات جزیی هذلولوی}{parabolic partial differential equation}
\persiangloss{توزیع حرارت}{distribution of heat}
\persiangloss{ضریب انتشار حرارت}{thermal diffusivity}
\persiangloss{نظریه احتمال}{probability theory}
\persiangloss{حرکت تصادفی}{random walk}
\persiangloss{ریچارد هامیلتون}{Richard Hamilton}
\persiangloss{شار ریچی}{Ricci flow}
\persiangloss{گریگوری پرلمان}{Grigori Perelman}
\persiangloss{حدس پوانکاره}{Poincare conjecture}
\persiangloss{فرمول موضعی}{local formula}
\persiangloss{رشته بیضوی}{elliptic complex}
\persiangloss{هسته حرارتی}{heat kernel}
\persiangloss{فرمول وارادهان}{Varadhan's formula}
\persiangloss{حرکت براونی}{Brownian motion}
\persiangloss{معادله انتشار}{diffusion equation}
\persiangloss{معادله شرودینگر}{Schrodinger equation}
\persiangloss{حالت کوانتومی}{quantum state}
\persiangloss{اروین شرودینگر}{Ervin Schrodinger}
\persiangloss{مکانیک کلاسیک}{classical mechanic}
\persiangloss{معادله حرکت}{equation of motion}
\persiangloss{قانون دوم نیوتون}{Newton's second law}
\persiangloss{معادلات اویلر-لاگرانژ}{Euler-Lagrange equations}
\persiangloss{معادلات همیلتون}{Hamilton equations}
\persiangloss{تابع موج}{wave function}
\persiangloss{بردار حالت}{vector state}
\persiangloss{مکانیک ماتریسی}{matrix mechanic}
\persiangloss{ورنر هایزنبرگ}{Werner Heisenberg}
\persiangloss{انتگرال مسیر}{path integral}
\persiangloss{ریچارد فاینمن}{Richard Feynman}
\persiangloss{وابسته به زمان}{time-dependent}
\persiangloss{فیزیک ذرات بنیادی}{particle physic}
\persiangloss{معادله موج نسبیتی}{relativistic wave equation}
\persiangloss{پول دیراک}{Paul Dirac}
\persiangloss{اسپین}{spin}
\persiangloss{نسبیت خاص}{special relativity}
\persiangloss{پاد ماده}{antimatter}
\persiangloss{فضای مینکوسکی}{Minkowski space}
\persiangloss{نظریه اسپینور}{Theory of spinor}
\persiangloss{کلاف مماسی}{tangent bundle}
\persiangloss{فضای ضرب داخلی حقیقی}{real inner product space}
\persiangloss{کلاف کلیفورد}{Clifford bundle}
\persiangloss{کلاف برداری}{vector bundle}
\persiangloss{مدرج}{graded}
\persiangloss{تار}{fiber}
\persiangloss{مدول کلیفورد}{Clifford module}
\persiangloss{همبندی}{connection}
\persiangloss{مختصات موضعی}{local frame}
\persiangloss{برش}{section}
\persiangloss{قضیه اندیس آتیه-سینگر}{Atiyah-Singer index theorem}
\persiangloss{مایکل آتیه}{Michael Atiyah}
\persiangloss{ایسادور سینگر}{Isadore Singer}
\persiangloss{اندیس تحلیلی}{analytic index}
\persiangloss{اندیس توپولوژیک}{topological index}
\persiangloss{کاراکتر چرن}{Chern character}
\persiangloss{کلاس تاد}{Todd class}
\persiangloss{عملگر فردهولم}{Fredholm operator}
\persiangloss{نظریه هاج}{Hodge theory}
\persiangloss{نظریه گیج}{gauge theory}
\persiangloss{کوانتیزه سازی هندسی}{geometric quantization}
\persiangloss{پاتودی}{Patodi}
\persiangloss{کویلن}{Quillen}
\persiangloss{کوانتیزه سازی}{quantization}
\persiangloss{ابراثر}{supertrace}
\persiangloss{فرم های دیفرانسیل}{differential form}
\persiangloss{همانستگی}{cohomology}
\persiangloss{نظریه چرن-ویل}{Chern-Weil theory}
\persiangloss{سه تایی طیفی}{spectral triple}
\persiangloss{چنبره ناجابجایی}{noncommutative torus}
\persiangloss{مسعود خلخالی}{Masoud Khalkhali}
\persiangloss{مجموعه کانتور}{Cantor set}
\persiangloss{انحنای مدولار}{modular curvature}
\persiangloss{قضیه ریمان-رخ}{Riemann-Roch theorem}
\persiangloss{$AF$-جبر}{AF-algebra}
\persiangloss{قضیه گوس-بونه}{Gauss-Bonnet Theorem}
\persiangloss{مجموعه فراکتالی}{fractal set}
\persiangloss{اریک کریستنسن}{Erik Christensen}

%دستوراتی برای به حالت عادی در آمدن اندازه فونت‌ها و فاصله بین خطوط
\normalsize
\small
%ایجاد «مراجع»
\setLTRbibitems
\begin{thebibliography}{99}
\resetlatinfont
% چنانچه مرجع فارسی هم دارید باید یا از بسته Persian-bib استفاده کنید و یا راهنمای bidi را ملاحظه فرمایید. 

\bibitem{Kac}
M. Kac, {\em Can one hear the shape of a drum?}, The American Mathematical
 Monthly, 73(4), 1-23, 1966.
\bibitem{weyl}
H. Weyl, {\em Uber die asymptotische verteilung der eigenwerte.} Nachrichtender Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen. Mathem. physikal. Klasse, 110-117, 1911.
\bibitem{lor}
H. A. Lorentz, {\em Alte und neue Fragen der physik.} Physikal. Zeitschr., 11, 1234-1257, 1910.
\bibitem{somm}
A. Sommerfeld, {\em Die Greensche funktion der Schwingungsgleichung furein beliebiges Gebiet.} Physikal. Zeitschr., 11, 1057-1066, 1910.
\bibitem{d-g-s}
P. Gilkey, {\em Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah-Singer index theorem.} Electronic reprint, copyright 1996.
\bibitem{milnor}
J. Milnor, {\em Eigenvalues of the Laplace operator on certain manifolds.} Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 51(4),1964.
\bibitem{sunada}
T. Sunada, {\em Riemannian coverings and isospectral manifolds,} Ann. Of Math. 121 (1): 169-186, 1985.
\bibitem{g-w-w}
 C. Gordon, D. Webb, and S. Wolpert, {\em Isospectral plane domains and surfaces via Riemannian orbifolds}, Inventiones mathematicae 110 (1): 1-22, 1992.
\bibitem{spch-connes}
Alain Connes, {\em On the spectral characterization of manifolds}, Arxiv, 2008.
\bibitem{a-n-p-s}
W. Arendt, R. Nittka, W. Peter, and F. Steiner, {\em Weyls Law: Spectral properties of the Laplacian in mathematics and physics}, in Mathematical Analysis of Evolution, Information, and Complexity. Edited by Wolfgang Arendt and Wolfgang P. Schleich, 2009.
\bibitem{vardhan}
S. R. S. Vardhan, {\em On the behaviour of the fundamental solution of the heat equation with variable coefficients,} Comm. Pure Appl. Math., 20 (1967), 431-455.
\bibitem{ein}
A. Einstein, {\em Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen}. Annalen der Physik 17 (8), 549–560.
\bibitem{pat}
V. K. Patodi. {\em An analytic proof of the Riemann-Roch-Hirzebruch theorem}. J. Diff. Geom. 5 (1971), 251-283.
\bibitem{lich}
A. Lichnerowicz. {\em Spineurs harmoniques}. C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. A 257 (1963), 7-9.
\bibitem{gilkey2}
P. B. Gilkey. {\em Curvature and the eigenvalues of the Dolbeault complex for kaehler manifolds}. Adv. in Math. 11 (1973), 311-325.
\bibitem{a-s}
M. F. Atiyah, I. M. Singer. {\em The index of elliptic operators on compact manifolds}. Bull. Amer. Math. Soc. 69 (1963), 422-433.
\bibitem{a-b-p}
M. F. Atiyah, R. Bott, V. K. Patodi. {\em On the heat equation and the index theorem}. Invent. Math. 19 (1973), 279-330. Errata, Invent. Math. 28 (1975), 277-280.
\bibitem{berlin}
N. Berline, E. Getzler, M. Vergne. {\em Heat kernels and Dirac operators.} Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1992.
\bibitem{connes1}
A. Connes, {\em Gravity coupled with matter and the foundation of noncommutative geometry},
Comm. Math. Phys. (1995).

\bibitem{m1}
Farzad Fathi Zadeh and Masoud Khalkhali. {\em The Gauss-Bonnet Theorem for Noncommutative Two Tori With a General Conformal Structure}. arxiv e-print 2010.

\bibitem{m2}
Farzad Fathi Zadeh and Masoud Khalkhali. {\em Scalar Curvature for the Noncommutative Two Torus}. arxiv e-print 2011.

\bibitem{m3}
Farzad Fathi Zadeh and Masoud Khalkhali. {\em Scalar curvature for noncommutative four-tori}. arxiv e-print 2013.

\bibitem{connes3}
A. Connes, H. Moscovici. {\em Modular curvature for noncommutative two-tori}. arxiv e-print 2013.

\bibitem{m4}
Masoud Khalkhali, Ali Moatadelro. {\em A Riemann-Roch theorem for the noncommutative two torus}. arxiv e-print 2013.

\bibitem{chris1}
Cristina Antonescu, Erik Christensen. {\em Spectral triples for $AF$ $C^*$-algebras and metrics on the Cantor set}, arxiv e-print, 2004.

\bibitem{chris2}
Erik Christensena, Cristina Ivanb, Michel L. Lapidus. {\em Dirac operators and spectral triples for some fractal sets built on curves}. Advances in Mathematics, Volume 217, Issue 1, 15 January 2008, Pages 42–78.

\bibitem{connes4}
A. Connes, P. Tretkov, {\em The Gauss-Bonnet Theorem for the
noncommutative two torus}, arxiv e-print 2009.

\end{thebibliography}
\end{document}