\documentclass[12pt,a4paper]{book}
\input{Common-Solve-Analysis-Rudin}
\begin{document}

\baselineskip=1cm
\section{اندازه‌های بورل مثبت}
\begin{theorem}%1

\end{theorem}
\proof{

}
\begin{theorem}%2

\end{theorem}
\proof{

}
\begin{theorem}%3

\end{theorem}
\proof{

}
\begin{theorem}%4

\end{theorem}
\proof{

}
\begin{theorem}%5
فرض کنید $E$ یک ‌سوم‌های میانی کانتور باشـد. نشان دهید $m(E)=0$ حتی اگر $E$ و $\R$ عدد اصلی یکسانی داشته باشند.
\end{theorem}
\proof{
مجموعه $E_1=[0, 1]$ را تعریف می‌نماییم، مجموعه $E_2$ با حذف یک سوم میانی $E_1$ حاصل می شود، به عبارتی
 $E_2=[0, \dis\frac13]\cap[\dis\frac23, 1]$ می‌باشــد. لذا  $m(E_2)=\dis\paran{\frac23}^{2-1}$. بنابراین می‌توان با استقرای ریاضی ثابت نمود که 
 \[m(E_n)=\paran{\dis\frac23}^{n-1},\]
 با توجه به این که اگر مجموعه یک سوم میانی کانتور را $E$ فرض بگیریم،  لذا 
 \[E=\bigcap_{n=1}^{+\infty}E_n,\]
 را خواهیم داشت بنابراین 
 \[m(E)=\lim_{n\to\infty}m(E_n)=\lim_{n\to \infty}\paran{\dis\frac23}^{n-1}=0.\]
 از طرفی هر عدد در مجموعه $E_n$ را می توان به شکل 
\[E_n=\set{\frac{i_1}{3^1}+\frac{i_2}{3^2}+\frac{i_3}{3^3}+\cdots+\frac{i_n}{3^n}+\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{\alpha_k}{3^K} : i_j=0,2 , j=1,\cdots n, \alpha_k=0,1,2},\]
}
\begin{theorem}%6
مجموعه به طور کامل ناهمبند $K\subset\R$ را طوری بسازید که $m(K)>0$. ($K$ زیر‌مجموعه‌ی همبندی با بیش از یک نقطه نداشته باشد.)
\end{theorem}
\proof{

}
\begin{theorem}%7

\end{theorem}
\proof{

}
\begin{theorem}%8

\end{theorem}
\proof{
نزتنزلتن تن زذتن
}
\begin{theorem}%9

\end{theorem}
\proof{

}

\end{document}