\chapter{تعاریف و قضایای مقدماتی}
این فصل شامل سه بخش از تعاریف و قضایای مقدماتی می‌باشد. در بخش اول مطالبی را از فضاهای متری مرتب جزئی  و در بخش دوم مطالبی را ا، بیان می‌کنیم . علاقه مندان می‌توانند برای مطالعه بیشتر به کتاب‌هایی مانند
 \cite{AgaMee, Nak, Zei}
مراجعه نمایند.
\section{فضای متری مرتب جزئی}

\begin{theorem}\label{th1.2}
فرض کنیم $ (X,\leq , d) $ یک فضای متری کامل مرتب جزئی  باشد 
 داشته باشیم
\begin{equation}\label{eq1.1}
d(F(x), F(y))
\end{equation}

 به علاوه اگر هر دو عضو 
\end{theorem}
\begin{proof}
به
\cite{RanReu}
مراجعه شود.
\end{proof}
\begin{theorem}\label{th1.21}

فرض کنیم $ (X,\leq , d) $ یک فضای متری کامل مرتب جزئی  باشد. به علاوه فرض کنیم $ X $ دارای  این خاصیت باشد که
اگر  دنباله‌ی نانزولی $ \{ x_n\}_{n=1}^\infty \longrightarrow x $، آنگاه برای هر $ n\in \N $ داشته باشیم.  آنگاه نقطه ثابت  $ F $  منحصر به فرد است.
\end{theorem}
\begin{proof}
به
\cite{NieRod}
مراجعه شود.
\end{proof}
\begin{theorem}\label{th1.22}
فرض کنیم $ (X,\leq, d ) $ یک فضای متری کامل مرتب جزئی  باشد و $ T:X \rightarrow X $  یک نگاشت به طور یکنوا نانزولی باشد.
\begin{equation}\label{eq1.222}
 d(Tx,Ty)\leq\varphi\Big(d(x,y)\Big).
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
به
\cite{CirCak}
مراجعه شود.
\end{proof}
 د
\begin{definition}\label{def1.2}
نگاشت $ F:X \times X\rightarrow X $ دارای خاصیت یکنوایی  آمیخته  است 
$ x,y\in X$ 
\end{definition}