\chapter{نظریه پراکندگی کوانتومی}
\thispagestyle{empty}
\indent
\section{مقدمه}

در نظريه كوانتومی، فرض می‌كنيم كه ذره‌ی فرودی با بسته موجی توصيف می‌شود كه به هدف نزديك می‌شود. اين بسته‌ی موج در طی آزمايش نبايد پخش شود. پس از برخورد با هدف، دو بسته‌ی موج خواهيم داشت: يكي همچنان به جلو حركت می‌كند و قسمت نا پراكندگی باريكه را نشان می‌دهد و ديگری كه تحت زاويه $\theta $   دور می‌شود نشان گر ذرات پراكنده شده است. فرض می‌كنيم موج تخت فرودی $\psi \left( z \right)=A{{e}^{ikz}}$ در راستاي $z$ پيش می‌رود و پس از برخورد با پتانسيل پراكندگی، موج كروی خروجی را توليد می‌كند(شکل (\ref{fig:04})).
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[scale=0.56]{04}
\caption{پراکندگی کوانتومی- موج تابیده شده و موج پراکنده شده}\ 

\label{fig:04}
\end{figure}
 پس برای $r$‌ها‌ی بزرگ در پی يافتن جواب‌ها‌يی از معادله‌ی شرودينگر هستيم كه به شكل كلی زير هستند:
 \begin{eqnarray}\label{a6}
\psi \left( r,\theta  \right)\approx A\left\{ {{e}^{ikz}}+f(\theta )\frac{{{e}^{ikr}}}{r} \right\}\
\end{eqnarray}
(موج كروی دارای عامل $\frac{1}{r}$ است زيرا اين قسمت از ${{\left| \psi  \right|}^{2}}$ به دليل پايستگی احتمال بايد مانند $\frac{1}{{{r}^{2}}}$ رفتار کند.) عدد موج $k$ به شكل معمول به انرژی ذرات فرودی مربوط می‌شود و برابر است با: $k\equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar }$.
هم چون قبل فرض می‌كنيم هدف تقارن كروی دارد، در مورد كاملاً عمومی‌تر دامنه‌ی $f$ موج كروی خروجی می‌تواند علاوه بر $\theta $، به $\phi $ هم وابسته باشد\RTLfootnote{در بخش 8.3.1 شکل کلی دامنه پراکندگی استفاده خواهد شد.} . تمام مسئله موجود به تعيين دامنه‌ی پراكندگی\LTRfootnote{scattering amplitude} $f\left( \theta  \right)$ بر مي  گردد كه احتمال پراكندگي در راستاي معلوم $\theta $ را به دست می‌دهد و بنابراين به سطح مقطع ديفرانسيلی مربوط است. در واقع احتمال آن كه ذره‌ی فرودی كه با سرعت $v$ حركت می‌كند در مدت زمان $dt$ از سطح بی نهايت كوچك $d\sigma $ بگذرد(شکل (\ref{fig:05})). عبارت است از:
\begin{eqnarray}\label{a7}
dp={{\left| \psi {}_{in} \right|}^{2}}dv={{\left| A \right|}^{2}}\left( vdt \right)d\sigma 
\end{eqnarray}
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[scale=0.56]{05}
\caption{پرتو فرودی سطح $d\sigma $ را در مدت زمان $dt$ طی می‌کند. }\ 

\label{fig:05}
\end{figure}
اما اين عبارت معادل احتمال پراكندگی ذره در زاويه‌ی فضايی متناظر $d\Omega $ است.
\begin{eqnarray}\label{a8}
dp={{\left| \psi {}_{out} \right|}^{2}}dv=\frac{{{\left| A \right|}^{2}}{{\left| f \right|}^{2}}}{{{r}^{2}}}\left( vdt \right){{r}^{2}}d\Omega
\end{eqnarray}
از اين رابطه نتيجه می‌شود كه $d\sigma ={{\left| f \right|}^{2}}d\Omega $ و بنابراین:
\begin{eqnarray}\label{a9}
D\left( \theta  \right)=\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left| f\left( \theta  \right) \right|}^{2}}
\end{eqnarray}
روشن است كه سطح مقطع ديفرانسيلی برابر مربع قدرمطلق دامنه پراكندگی است. در بخش‌ها‌ی آتی روش‌ها‌ی يافتن و محاسبه‌ی دامنه پراكندگی به اختصار بيان می‌شوند.
%\subsection{تابع مشخصه سامانه‌های با متغیر پیوسته}
%\subsection{تابع شبه توزیع ویگنر سامانه‌های با متغیر پیوسته}

\section{تحليل پاره موجی\LTRfootnote{Partial wave analysis} }
 
معادله‌ی شرودينگر با پتانسيل متقارن كروی $V(r)$ جواب‌ها‌ی جدا شدنی زير را به دست می‌دهد:
\begin{eqnarray}\label{a10}
\psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)Y_{\ell }^{m}\left( \theta ,\phi  \right)
\end{eqnarray}
كه در آن $Y_{\ell }^{m}$ هماهنگ كروی است و $u(r)=r\,R(r)$ در معادله‌ی شعاعی صدق می‌كند:
\begin{eqnarray}\label{a11}
-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{d}^{2}}u}{d{{r}^{2}}}+\left[ V(r)+\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{\ell \left( \ell +1 \right)}{{{r}^{2}}} \right]u=Eu
\end{eqnarray}
كه در $r$‌ها‌ی بزرگ، پتانسيل و جمله‌ی گريز از مركز به سمت صفر می‌رود و خواهيم داشت:
\begin{equation}
\frac{{{d}^{2}}u}{d{{r}^{2}}}\simeq {{k}^{2}}u
\end{equation}
حل عمومی‌اين معادله عبارت است از:
\begin{equation}
u(r)=C{{e}^{ikr}}+D{{e}^{-ikr}}
\end{equation}
كه جملات اول و دوم به ترتيب نمايان گر موج‌ها‌ی كروی خروجی و ورودی هستند. برای موج پراكنده شده می‌خواهيم $D=0$.  پس در $r$‌ها‌ی خيلي بزرگ داريم:
\begin{equation}
R(r)\simeq \frac{{{e}^{ikr}}}{r}
\end{equation}
اما اين عبارت مختص $r$‌ها‌ی خيلی بزرگ است (به بيان دقيق تر $kr\gg 1$ كه در اپتيك منطقه تابشی\LTRfootnote{radiation zone} خوانده می‌شود). برای $r$‌ها‌یی كه زیاد بزرگ نیستند به این ترتیب عمل می‌كنیم:
فرض می‌كنیم پتانسیل جای گزیده است یعنی در خارج از یك ناحیه پراكندگی متناهی، صفر است. در ناحیه‌ای كه می‌توان پتانسیل را صفر در نظر گرفت ولی نمی‌توان از جمله‌ی گریز از مركز چشم پوشید معادله‌ی شرودینگر به صورت زیر در می‌آید:
\begin{equation}
\frac{{{d}^{2}}u}{d{{r}^{2}}}-\frac{\ell \left( \ell +1 \right)}{{{r}^{2}}}u=-{{k}^{2}}u
\end{equation}
كه جواب آن تركیب خطی از توابع بسل كروی است:
\begin{equation}
u(r)=A\,r\,{{j}_{\ell }}(kr)+B\,r\,{{n}_{\ell }}(kr)
\end{equation}
با این حال هیچ كدام از توابع ${{j}_{\ell }}$ یا ${{n}_{\ell }}$ موج خروجی یا ورودی را نمایش نمی‌دهند. بنابراین آنچه نیاز داریم تركیب‌ها‌ی خطی مشابه ${{e}^{ikr}}$ و ${{e}^{-ikr}}$ است. این توابع را با نام توابع هنكل كروی\LTRfootnote{spherical Henkel functions} می‌شناسیم:
\begin{equation}
h_{\ell }^{(1)}\left( x \right)={{j}_{\ell }}\left( x \right)+i{{n}_{\ell }}(x)\,,\,\,\,h_{\ell }^{(2)}\left( x \right)={{j}_{\ell }}\left( x \right)-i{{n}_{\ell }}(x)
\end{equation}
در $r$‌ها‌ی بزرگ $h_{\ell }^{(1)}\left( kr \right)$ (تابع هنكل نوع اول) شبیه $\frac{{{e}^{ikr}}}{r}$ رفتار می‌كند در حالی كه $h_{\ell }^{(2)}\left( kr \right)$ (تابع هنكل نوع دوم) شبیه $\frac{{{e}^{-ikr}}}{r}$ رفتار می‌كند. پس برای امواج كروی به توابع هنكل نوع اول نیاز داریم یعنی :
\begin{equation}
R(r)\sim h_{\ell }^{(1)}\left( kr \right)
\end{equation}
بنابراین تابع موج دقیق بیرون ناحیه پراكندگی كه در آن $V(r)=0$، چنین است:
\begin{equation}
\psi \left( r,\theta ,\phi  \right)=A\left\{ {{e}^{ikr}}+\sum\limits_{\ell ,m}{{{C}_{\ell ,m}}h_{\ell }^{(1)}\left( kr \right)Y_{\ell }^{m}\left( \theta ,\phi  \right)} \right\}
\end{equation} 
جمله‌ی نخست موج تخت فرودی است و جمله‌ی دوم با ضرایب بسط ${{C}_{\ell ,m}}$ موج پراكنده شده را نمایش می‌دهد. اما چون فرض كردیم پتانسیل تقارن كروی دارد تابع موج نمی‌تواند به $\phi $ وابسته باشد. پس فقط جملات با $m=0$ باقی می‌مانند یعنی به جای $Y_{\ell }^{m}\left( \theta ,\phi  \right)$ قرار می‌دهیم:
\begin{equation}
Y_{\ell }^{0}\left( \theta ,\phi  \right)=\sqrt{\frac{2\ell +1}{2\pi }}{{P}_{\ell }}\left( \cos \theta  \right)
\end{equation}
در رابطه اخیر ${{P}_{\ell }}$، $\ell $امین جمله‌ی لژاندر است. برای راحتی ضرایب بسط را دوباره به شكل ${{C}_{\ell ,0}}\equiv {{i}^{\ell +1}}k\sqrt{4\pi \left( 2\ell +1 \right)}{{a}_{\ell }}$ تعریف می‌كنیم و بنابراین:
\begin{equation}
\psi \left( r,\theta  \right)=A\left\{ {{e}^{ikz}}+k\sum\limits_{\ell =0}^{\infty }{{{i}^{\ell +1}}}\left( 2\ell +1 \right){{a}_{\ell }}h_{\ell }^{(1)}\left( kr \right){{P}_{\ell }}\left( \cos \theta  \right) \right\}
\end{equation}
در این رابطه ${{a}_{\ell }}$ را $\ell $ امین دامنه‌ی پاره موج می‌نامیم.
تابع هنكل در $r$‌ها‌ی بزرگ مانند ${{\left( -i \right)}^{\ell +1}}\frac{{{e}^{ikr}}}{r}$ رفتار می‌كند پس:
\begin{equation}
\psi \left( r,\theta  \right)\simeq A\left\{ {{e}^{ikz}}+f(\theta )\frac{{{e}^{ikr}}}{r} \right\}
\end{equation}
که در آن:
\begin{equation}
f(\theta )=\sum\limits_{\ell =0}^{\infty }{\left( 2\ell +1 \right)}{{a}_{\ell }}{{P}_{\ell }}\left( \cos \theta  \right)
\end{equation}
این رابطه چگونگی محاسبه‌ی $f(\theta )$ را بر حسب دامنه‌ها‌ی پاره موجی بیان می‌كند. سطح مقطع دیفرانسیلی برابر است با:
\begin{equation}
D(\theta )\equiv {{\left| f(\theta ) \right|}^{2}}=\sum\limits_{\ell }{\sum\limits_{{{\ell }'}}{\left( 2\ell +1 \right)}}\left( 2{\ell }'+1 \right)a_{\ell }^{*}a_{{{\ell }'}}^{*}{{P}_{\ell }}(\cos \theta ){{P}_{{{\ell }'}}}(\cos \theta )
\end{equation}
و سطح مقطع كل عبارت است از:
\begin{equation}
\sigma =4\pi \sum\limits_{\ell =0}^{\infty }{\left( 2\ell +1 \right)}{{\left| {{a}_{\ell }} \right|}^{2}}
\end{equation}
آنچه باقی می‌ماند تعیین دامنه‌ها‌ی پاره موجی برای پتانسیل مورد نظر است. این كار با حل معادله‌ی شرودینگر در ناحیه‌ای كه پتانسیل غیر صفر است و تطبیق آن با جواب‌ها‌ی بیرونی به وسیله‌ی شرایط مرزی مناسب صورت می‌گیرد.
می‌توان نشان داد كه با نوشتن موج تخت فرودی در دستگاه مختصات كروی (فرمول ریلی\LTRfootnote{Rayleigh's formula}) می‌توان تابع موج را در ناحیه‌ی تابشی بر حسب  به صورت زیر نوشت:
\begin{equation}
\psi \left( r,\theta  \right)=A\sum\limits_{\ell =0}^{\infty }{{{i}^{\ell }}}\left( 2\ell +1 \right)\left[ {{j}_{\ell }}\left( kr \right)+ik{{a}_{\ell }}h_{\ell }^{(1)} \right]{{P}_{\ell }}\left( \cos \theta  \right)
\end{equation}
به عنوان مثال اگر
\begin{equation}
 V(r)=\left\{ 
\begin{align}
  & \infty \,\,\,\,\,\,r\le a \\ 
 & 0\,\,\,\,\,\,\,\,r>a \\ 
\end{align} \right.
\end{equation}
آنگاه شرط مرزی عبارت است از $\psi \left( a,\theta  \right)=0$ بنابراین برای همه‌ی $\theta $‌ها‌:
 \begin{equation}
\sum\limits_{\ell =0}^{\infty }{{{i}^{\ell }}}\left( 2\ell +1 \right)\left[ {{j}_{\ell }}\left( ka \right)+ik{{a}_{\ell }}h_{\ell }^{(1)} \right]{{P}_{\ell }}\left( \cos \theta  \right)=0
\end{equation}
كه از آن نتیجه می‌شود:
\begin{equation}
{{a}_{\ell }}=i\frac{{{j}_{\ell }}(ka)}{kh_{\ell }^{(1)}(ka)}
\end{equation}
 
\subsection{انتقال فاز\LTRfootnote{phase shift}}
 
پراكندگی یك بعدی از پتانسیل جای گزیده $V(x)$ در نیم خط $x<0$ را در نظر بگیرید كه برهم كنش پتانسیل از $-a$ تا $0$ انجام می‌شود. بدین ترتیب موج فرودی ${{\psi }_{i}}\left( x \right)=A{{e}^{ikx}}(x<-a)$ كه از سمت چپ می‌آید كاملاً باز تابیده می‌شود: ${{\psi }_{r}}\left( x \right)=B{{e}^{-ikx}}(x<-a)$. بنا بر پایستگی احتمال، دامنه‌ی موج فرودی و موج بازتابیده، صرف نظر از اتفاقاتی كه در ناحیه برهم كنش می‌افتد باید با هم برابر باشند ولی لزوماً هم فاز نیستند. اگر پتانسیل صفر نباشد تابع موج كل برای $x<-a$ بصورت زیر است:
\begin{equation}
\psi \left( x \right)=A\left( {{e}^{ikx}}-{{e}^{i(2\delta -kx)}} \right)
\end{equation}
پس كل نظریه پراكندگی به مسأله‌ی محاسبه‌ی جابه جایی فاز $\delta $ به صورت تابعی از $k$ برای پتانسیل معینی محدود می-شود. این كار را با حل معادله شرودینگر و اعمال شرایط مرزی مناسب انجام می‌دهیم. مزیت این كار آن است كه فیزیك مسأله روشن تر است (به دلیل پایستگی احتمال پتانسیل تنها می‌تواند جابه جایی فاز در موج بازتابی ایجاد كند) و ریاضیات آن نیز ساده تر است (مبادله‌ی یك كمیت مختلط و دو عدد حقیقی با یك كمیت حقیقی). در مورد سه بُعدی موج تخت فرودی در راستای $z$ تكانه‌ی زاویه‌ای ندارد، اما حاوی كلیه مقادیر تكانه زاویه‌ای كل است. چون تكانه زاویه‌ای به دلیل تقارن كروی پتانسیل پایسته است، هر پاره موج به طور مستقل و بدون تغییر دامنه پراكنده می‌شود و تنها فاز آن تغییر می‌كند. اگر هیچ پتانسیلی وجود نمی‌داشت در آن صورت ${{\psi }_{0}}\left( x \right)=A{{e}^{ikz}}$ و پاره موج $\ell $ ام به صورت زیر در  می‌آمد:
\begin{equation}
\psi _{0}^{\left( \ell  \right)}=A\,{{i}^{\ell }}\left( 2\ell +1 \right){{j}_{\ell }}\left( kr \right){{P}_{\ell }}\left( \cos \theta  \right)\,\,
\end{equation}
اما بسط ${{j}_{\ell }}\left( kr \right)$ برحسب توابع هنكل كروی با شرط $x\gg 1$ به صورت زیر است:
\begin{equation}
{{j}_{\ell }}\left( x \right)=\frac{1}{2}\left[ h_{\ell }^{(1)}\left( x \right)+h_{\ell }^{(2)}\left( x \right) \right]\simeq \frac{1}{2}\left[ {{\left( -i \right)}^{\ell +1}}{{e}^{ix}}+{{i}^{\ell +1}}{{e}^{-ix}} \right]
\end{equation}
برای $r$‌ها‌ی بزرگ چون $V(r)=0$ داریم:
\begin{equation}
\psi _{\ell }^{\left( 0 \right)}\simeq A\frac{\left( 2\ell +1 \right)}{2ikr}\left[ {{e}^{ikr}}-{{(-1)}^{\ell }}{{e}^{-ikr}} \right]{{P}_{\ell }}(\cos \theta )
\end{equation}
جمله‌ی دوم كروشه نمایان گر موج كروی ورودی است و هنگامی‌كه پتانسیل پراكندگی حضور دارد بدون تغییر می-ماند. جمله‌ی اول موج خروجی است كه جابه جایی فاز ${{\delta }_{\ell }}$ را به خود می‌گیرد و اگر $V(r)\ne 0$ آنگاه:
\begin{equation}
{{\psi }_{\ell }}\simeq A\frac{\left( 2\ell +1 \right)}{2ikr}\left[ {{e}^{i\left( kr+2{{\delta }_{\ell }} \right)}}-{{(-1)}^{\ell }}{{e}^{-ikr}} \right]{{P}_{\ell }}(\cos \theta )
\end{equation}
این موج را به صورت موج كروی همگرایی كه ناشی از $h_{\ell }^{(2)}$ موجود در $h_{\ell }^{(2)}$ است تصور می‌كنیم كه فاز آن به اندازه‌ی $2{{\delta }_{\ell }}$ جابه جا شده است و به صورت موج كروی خروجی ظاهر می‌شود. حال می‌خواهیم رابطه‌ی میان دامنه‌ها‌ی پاره موجی ${{a}_{\ell }}$ را با جابه جایی فاز ${{\delta }_{\ell }}$ بیابیم. در واقع با مقایسه‌ی شكل مجانبی تابع موجی در پاره موج‌ها‌ در $r$‌ها‌ی بزرگ:
\begin{equation}
{{\psi }^{\ell }}\simeq A\left\{ \frac{\left( 2\ell +1 \right)}{2ikr}\left[ {{e}^{ikr}}-{{(-1)}^{\ell }}{{e}^{-ikr}} \right]+\frac{\left( 2\ell +1 \right)}{r}{{a}_{\ell }}{{e}^{ikr}} \right\}{{P}_{\ell }}(\cos \theta )
\end{equation}
با شكل عمومی‌تر آن بر حسب ${{\delta }_{\ell }}$ در می‌یابیم كه:
\begin{equation}
{{a}_{\ell }}\simeq \frac{1}{2ik}\left( {{e}^{2i{{\delta }_{\ell }}}}-1 \right)=\frac{1}{k}{{e}^{i{{\delta }_{\ell }}}}\sin {{\delta }_{\ell }}
\end{equation}
به خصوص در مورد دامنه‌ی پراكندگی نتیجه می‌گیریم كه:
\begin{equation}
f\left( \theta  \right)=\frac{1}{k}\sum\limits_{\ell =0}^{\infty }{\left( 2\ell +1 \right){{e}^{i{{\delta }_{\ell }}}}}\sin \left( {{\delta }_{\ell }} \right){{P}_{\ell }}(\cos \theta )
\end{equation}
و برای سطح مقطع پراكندگی خواهیم داشت:
\begin{equation}
\sigma =\frac{4\pi }{{{k}^{2}}}\sum\limits_{\ell =0}^{\infty }{\left( 2\ell +1 \right)}{{\sin }^{2}}\left( {{\delta }_{\ell }} \right)
\end{equation}
باز هم مزیت كار با جابه جایی فاز، در مقابل دامنه‌ها‌ی پاره موجی این است كه تعبیر فیزیكی آن‌ها آسان تر و ریاضیات آن‌ها ساده تر است، چون صورت بندی جابه جایی فاز پایستگی تكانه زاویه‌ای را به كار می‌گیرد و كمیت مختلط ${{a}_{\ell }}$  (دو عدد حقیقی) را به كمیت ${{\delta }_{\ell }}$ كاهش می‌دهد.

\subsection{قضیه اپتیکی}

هدف بررسی شار تابشی (ذرات فرودی) در راستای روبه جلو است$\left( \theta =0 \right)$. فرض می‌شود که روی ناحیه‌ای با مساحت ${{r}^{2}}\delta \,\Omega $متمرکز شده‌ایم که با زاویه‌ی $\delta \theta $ حول محور $z$ قرار دارد.
قضیه اپتیکی سطح مقطع کل را به قسمت موهومی دامنه‌ی پراکندگی روبه جلو مربوط می‌کند. در بخش تحلیل پاره موجی بیان شد که:
\begin{equation}
f\left( 0 \right)=\frac{1}{k}\sum\limits_{\ell =0}^{\infty }{\left( 2\ell +1 \right)}{{e}^{i{{\delta }_{\ell }}}}\sin \left( {{\delta }_{\ell }} \right){{p}_{\ell }}\left( \cos \theta  \right)
\end{equation}
و با تعریف سطح مقطع پراکندگی خواهیم داشت:
\begin{equation}
\sigma =\frac{4\pi }{{{k}^{2}}}\sum\limits_{\ell =0}^{\infty }{\left( 2\ell +1 \right)}{{\sin }^{2}}\left( {{\delta }_{\ell }} \right)
\end{equation}
اگر $\theta =0$ آنگاه $\cos \theta =0$ و در نتیجه ${{p}_{\ell }}\left( 1 \right)=1$ بنابراین:
\begin{equation}
f\left( 0 \right)=\frac{1}{k}\sum\limits_{\ell =0}^{\infty }{\left( 2\ell +1 \right)}{{e}^{i{{\delta }_{\ell }}}}\sin \left( {{\delta }_{\ell }} \right)
\end{equation}
بنابراین:
\begin{equation}
\operatorname{Im}\left[ f\left( 0 \right) \right]=\frac{1}{k}\sum\limits_{\ell =0}^{\infty }{\left( 2\ell +1 \right)}{{\sin }^{2}}\left( {{\delta }_{\ell }} \right)
\end{equation}
که این رابطه، همان رابطه‌ی سطح مقطع پراکندگی را بصورت زیر بدست می‌دهد.
\begin{equation}
\sigma =\frac{4\pi }{k}\operatorname{Im}\left[ f\left( 0 \right) \right]
\end{equation}

%\subsection*{فرم نرمال ویلیامسون\LTRfootnote{Williamson normal form}:}

%\subsection{حالت‌های گاوسی تک مدی}
\section{چارچوب آزمایشگاه و چارچوب مرکز جرم}

با توجه به اینکه علاقه مندیم مسائل چندجسمی را در چارچوب مرکز جرم حل کنیم، برای آن که بتوانیم درک درستی از میزان همخوانی نتایج به دست آمده با نتایج تجربی داشته باشیم باید نتایج محاسبات را در چارچوب آزمایشگاه بدانیم. کمیت فیزیکی که به آن علاقه داریم سطح مقطع پراکندگی است. برای آن که ارتباط سطح مقطع‌ها‌ی پراکندگی را در چارچوب‌های آزمایشگاه و مرکز جرم به هم ارتباط دهیم، ابتدا باید ارتباط زوایا را در این دو چارچوب بیابیم.
 %در این بخش، ابتدا مختصری به تعریف درهم‌تنیدگی و چگونگی بررسی آن در سامانه‌های کوانتومی پرداخته 
 
\subsection{ارتباط زوایا در دو چارچوب}

فرض می‌کنیم پرتابه با جرم ${{m}_{1}}$ به هدفی با جرم ${{m}_{1}}$ که در ابتدا ساکن است برخورد می‌کند. فرض دیگر آن است که زاویه‌ی پراکندگی ${{m}_{1}}$، در چارچوب آزمایشگاه ${{\theta }_{1}}$ و در چارچوب مرکز جرم $\theta $ باشد. هدف نهایی یافتن رابطه بین این دو زاویه است. اگر مکان پرتابه را در چارچوب آزمایشگاه با ${{\vec{r}}_{1L}}$ و در چارچوب مرکز جرم با ${{\vec{r}}_{1C}}$ نشان دهیم و $\vec{R}$ مکان مرکز جرم در چارچوب آزمایشگاه باشد، خواهیم داشت:
\begin{equation}
{{\overrightarrow{r}}_{1L}}={{\overrightarrow{r}}_{1C}}+\vec{R}
\end{equation}
با مشتق گیری زمانی از این رابطه خواهیم داشت:
\begin{equation}
{{\overrightarrow{V}}_{1L}}={{\overrightarrow{V}}_{1C}}+{{\vec{V}}_{CM}}
\end{equation}
${{\overrightarrow{V}}_{1L}},{{\overrightarrow{V}}_{1C}}$ سرعت ذره‌ی اول در چارچوب‌ها‌ی آزمایشگاه و مرکز جرم، قبل از برخورد هستند و ${{\vec{V}}_{CM}}$ سرعت مرکز جرم در چارچوب آزمایشگاه است. به طریق مشابه می‌توان نشان داد که سرعت پرتابه پس از برخورد برابر است با:
\begin{equation}
{{\vec{{V}'}}_{1L}}={{\vec{{V}'}}_{1C}}+{{\vec{V}}_{CM}}
\end{equation}
اگر این سرعت‌ها را در راستای $x$ و $y$ تجزیه کنیم داریم:
\begin{equation}
\begin{align}
  & {{{{V}'}}_{1L}}\sin {{\theta }_{1}}={{{{V}'}}_{1C}}\sin \theta  \\ 
 & {{{{V}'}}_{1L}}\cos {{\theta }_{1}}={{{{V}'}}_{1C}}\cos \theta +{{V}_{CM}} \\ 
\end{align}
\end{equation}
با تقسیم این دو رابطه بر هم خواهیم داشت:
\begin{equation}
\tan {{\theta }_{1}}=\frac{\sin \theta }{\cos \theta +\frac{{{V}_{cm}}}{{{{{V}'}}_{1c}}}}
\end{equation}
چون ${{\overrightarrow{V}}_{{{2}_{L}}}}=0$ خواهیم داشت:
\begin{equation}
{{\overrightarrow{V}}_{CM}}=\frac{{{m}_{1}}{{\overrightarrow{V}}_{{{1}_{L}}}}+{{m}_{2}}{{\overrightarrow{V}}_{{{2}_{L}}}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}=\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}{{\overrightarrow{V}}_{{{1}_{L}}}}
\end{equation}
با جایگذاری این رابطه در رابطه (156.1) خواهیم داشت ${{\overrightarrow{V}}_{{{1}_{L}}}}={{\overrightarrow{V}}_{{{1}_{C}}}}+{{m}_{1}}\frac{{{\overrightarrow{V}}_{{{1}_{L}}}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}$ و بنابراین:
\begin{equation}
{{\overrightarrow{V}}_{{{1}_{C}}}}=\left( 1-\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}} \right){{\overrightarrow{V}}_{{{1}_{L}}}}=\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}{{\overrightarrow{V}}_{{{1}_{L}}}}
\end{equation}
از سوی دیگر تا زمانی که نقطه مرکز جرم در چارچوب مرکز جرم ساکن باشد، تکانه کل سامانه قبل و بعد از برخورد جداگانه صفر خواهد بود یعنی:
\begin{equation}
{{p}_{C}}={{m}_{1}}{{V}_{{{1}_{C}}}}-{{m}_{2}}{{V}_{{{2}_{C}}}}=0\Rightarrow {{V}_{{{2}_{C}}}}=\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}{{V}_{{{1}_{C}}}}
\end{equation}
و
\begin{equation}
{{{p}'}_{{{C}_{x}}}}={{m}_{1}}{{{V}'}_{{{1}_{C}}}}\cos \theta -{{m}_{2}}{{{V}'}_{{{2}_{C}}}}\cos \theta =0\Rightarrow {{{V}'}_{{{2}_{C}}}}=\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}{{{V}'}_{{{1}_{C}}}}
\end{equation}
در برخوردهای کشسان، از آنجا که مجموع انرژی جنبشی قبل و بعد از برخورد ثابت است سرعت ذرات نیز قبل و بعد از برخورد در چارچوب مرکز جرم ثابت خواهد بود یعنی ${{{V}'}_{{{1}_{C}}}}={{V}_{{{1}_{C}}}}$ و ${{{V}'}_{{{2}_{C}}}}={{V}_{{{2}_{C}}}}$. بنابراین می‌توان رابطه (161.1) را به شکل زیر بازنویسی کرد:
\begin{equation}
{{\overrightarrow{{{V}'}}}_{{{1}_{C}}}}={{\overrightarrow{V}}_{{{1}_{C}}}}=\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}{{\overrightarrow{V}}_{{{1}_{L}}}}
\end{equation}
با تقسیم رابطه (160.1) بر رابطه (164.1) خواهیم داشت:
\begin{equation}
\frac{{{V}_{cm}}}{{{{{V}'}}_{1c}}}=\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}
\end{equation}
پس از آن، داریم
\begin{equation}
\tan {{\theta }_{1}}=\frac{\sin \theta }{\cos \theta +\frac{{{V}_{cm}}}{{{{{V}'}}_{1c}}}}                                                                      
\end{equation}
اگر همه‌ی نسبت‌ها‌ را بر حسب یک نسبت بنویسیم، خواهیم داشت 
\begin{equation}
\cos {{\theta }_{1}}=\frac{\cos \theta +\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}}{\sqrt{1+\frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}}+2\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}\cos \theta }}
\end{equation}
%\subsection*{تجزیه اشمیت}    

\subsection{سطح مقطع پراکندگی در دو چارچوب}

حال رابطه بین سطح مقطع پراکندگی در چارچوب آزمایشگاه و مرکز جرم را بررسی می‌کنیم. باید توجه داشت که تعداد ذرات پراکنده که شمرده می‌شوند در هر دو چارچوب یکسان هستند یعنی $d\sigma \left( {{\theta }_{1}},{{\phi }_{1}} \right)=d\sigma \left( \theta ,\phi  \right)$ و آنچه موجب تفاوت و اختلاف در سطح مقطع پراکندگی می‌شود زاویه فضایی $d\Omega $ است چون:
\begin{equation}
d{{\Omega }_{1}}=\sin {{\theta }_{1}}d{{\theta }_{1}}d\phi {}_{1}\,\,\,,\,\,\,\,d\Omega =\sin \theta d\theta d\phi 
\end{equation}
بنابراین 
\begin{equation}
{{\left( \frac{d\sigma }{d{{\Omega }_{1}}} \right)}_{lab}}d{{\Omega }_{1}}={{\left( \frac{d\sigma }{d\Omega } \right)}_{CM}}d\Omega \Rightarrow {{\left( \frac{d\sigma }{d{{\Omega }_{1}}} \right)}_{lab}}={{\left( \frac{d\sigma }{d\Omega } \right)}_{CM}}\frac{\sin \theta }{\sin \theta {}_{1}}\frac{d\theta }{d\theta {}_{1}}\frac{d\phi }{d\phi {}_{1}}
\end{equation}
به خاطر وجود تقارن استوانه‌ای، ${{\phi }_{1}}=\phi $ و بنابراین:
\begin{equation}
{{\left( \frac{d\sigma }{d{{\Omega }_{1}}} \right)}_{lab}}={{\left( \frac{d\sigma }{d\Omega } \right)}_{CM}}\frac{d(\cos \theta )}{d(\cos {{\theta }_{1}})}
\end{equation}
با توجه به رایطه‌ی (167.1) می‌توان نوشت:
\begin{equation}
\frac{d\cos {{\theta }_{1}}}{d\cos \theta }=\frac{1+\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}\cos \theta }{{{\left( 1+{{\left( \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}} \right)}^{2}}+2\left( \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}} \right)\cos \theta  \right)}^{{}^{3}/{}_{2}}}}
\end{equation}
اگر رابطه‌ی اخیر را در رابطه‌ی (170.1) قرار دهیم:
\begin{equation}
{{\left( \frac{d\sigma }{d{{\Omega }_{1}}} \right)}_{lab}}=\frac{{{\left( 1+{{\left( \frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}} \right)}^{2}}+2\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}\cos \theta  \right)}^{{}^{3}/{}_{2}}}}{1+\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}\cos \theta }{{\left( \frac{d\sigma }{d{{\Omega }_{2}}} \right)}_{CM}}
\end{equation}
به همین صورت برای زاویه ${{\theta }_{2}}$ مربوط به ذره‌ی هدف نیز می‌توان گفت که چون:
\begin{equation}
\tan {{\theta }_{2}}=\frac{\sin \theta }{-\cos \theta +\frac{{{V}_{cm}}}{{{{{V}'}}_{2c}}}}=\frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }=\cot \left( \frac{\theta }{2} \right)\Rightarrow {{\theta }_{2}}=\frac{\pi -\theta }{2}
\end{equation}
آنگاه سطح مقطع پراکندگی برای هدف در چارچوب آزمایشگاه از طریق رابطه‌ی زیر به سطح مقطع در چارچوب مرکز جرم مرتبط می‌شود:
\begin{equation}
{{\left( \frac{d\sigma }{d{{\Omega }_{2}}} \right)}_{lab}}=4{{\cos }^{2}}\theta {{\left( \frac{d\sigma }{d{{\Omega }_{2}}} \right)}_{CM}}=4\sin \left( \frac{\theta }{2} \right){{\left( \frac{d\sigma }{d{{\Omega }_{2}}} \right)}_{CM}}
\end{equation}
 

 \section{تقریب بورن\LTRfootnote{Born Approximation}} 
 
در تحلیل پاره موجی گفته شد كه فرض می‌كنیم پتانسیل $V(r)$ جایگزیده است. یعنی تنها محدود به نواحی متناهی از فضا است. اما برای پتانسیل‌ها‌یی مانند پتانسیل كولنی نمی‌توان از این روش استفاده كرد، چون وقتی $r\to \infty $ آنگاه $\frac{1}{r}$ بسیار  آهسته تر از $\frac{1}{{{r}^{2}}}$ به صفر می‌رسد و در این ناحیه‌ها‌، جمله‌ی گریز از مركز غالب نیست. از این دیدگاه پتانسیل كولنی جایگزیده نیست. در این صورت از روش دیگری با نام تقریب بورن استفاده می‌كنیم.
معادله شرودینگر مستقل از زمان
\begin{equation}
-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}{{\nabla }^{2}}\psi +V\psi =E\psi 
\end{equation}
را می‌توان به صورت مختصرتر زیر نوشت:
\begin{equation}
\left( {{\nabla }^{2}}+{{k}^{2}} \right)\psi =Q
\end{equation}
که در آن
\begin{equation}
k\equiv \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar }\,\,,\,\,\,Q\equiv \frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}V\psi 
\end{equation}
این معادله از لحاظ ظاهری مانند معادله‌ی هلمهولتز\LTRfootnote{Helmholtz equation} است و جمله‌ی ناهمگنی $Q$ خود به $\psi $ وابسته است.
فرض كنید بتوانیم تابع $G(r)$ بیابیم كه معادله‌ی هلمهولتز را با چشمه‌ی دلتا حل كنیم یعنی
\begin{equation}
\left( {{\nabla }^{2}}+{{k}^{2}} \right)G(\vec{r})={{\delta }^{3}}(\vec{r})
\end{equation}
در آن صورت می‌توان $\psi $ را به شكل یك انتگرال نوشت:
\begin{equation}
\psi (\vec{r})=\int{G(\vec{r}-{{{\vec{r}}}_{0}})}Q({{\vec{r}}_{0}}){{d}^{3}}{{\vec{r}}_{0}}
\end{equation}
زیرا به سادگی می‌توان نشان داد كه این عبارت در معادله‌ی شرودینگر كه شبیه معادله هلمولتز است صدق می‌كند.
\begin{equation}
\begin{align}
  & \left( {{\nabla }^{2}}+{{k}^{2}} \right)\psi (\vec{r})=\int{\left[ \left( {{\nabla }^{2}}+{{k}^{2}} \right)G(\vec{r}-{{{\vec{r}}}_{0}}) \right]}\,Q({{{\vec{r}}}_{0}}){{d}^{3}}{{{\vec{r}}}_{0}} \\ 
 & =\int{{{\delta }^{3}}}(\vec{r}-{{{\vec{r}}}_{0}})Q({{{\vec{r}}}_{0}}){{d}^{3}}{{{\vec{r}}}_{0}}=Q(\vec{r}) \\ 
\end{align}
\end{equation}
هدف ما یافتن $G(\vec{r})$ است. برای انجام این كار از تبدیل فوریه استفاده می‌كنیم كه معادله دیفرانسیل را به معادله جبری تبدیل می‌كند. قرار می‌دهیم:
\begin{equation}
G(\vec{r})=\frac{1}{{{(2\pi )}^{{}^{3}/{}_{2}}}}\int{{{e}^{i\vec{s}.\vec{r}}}}g(\vec{s}){{d}^{3}}s
\end{equation}
در این صورت 
\begin{equation}
\left( {{\nabla }^{2}}+{{k}^{2}} \right)G(\vec{r})=\frac{1}{{{(2\pi )}^{{}^{3}/{}_{2}}}}\int{\left[ \left( {{\nabla }^{2}}+{{k}^{2}} \right){{e}^{i\vec{s}.\vec{r}}} \right]}\,g(\vec{s}){{d}^{3}}\vec{s}
\end{equation}
اما
\begin{equation}
{{\nabla }^{2}}{{e}^{i\vec{s}.\vec{r}}}=-{{s}^{2}}{{e}^{i\vec{s}.\vec{r}}}
\end{equation}
و بنابر تعریف می‌توانیم بنویسیم:
\begin{equation}
{{\delta }^{3}}\left( {\vec{r}} \right)=\frac{1}{{{(2\pi )}^{3}}}\int{{{e}^{i\vec{s}.\vec{r}}}}{{d}^{3}}\vec{s}
\end{equation}
پس بنابر معادله‌ی هلمولتز با چشمه تابع دلتا، داریم:
\begin{equation}
\frac{1}{{{(2\pi )}^{{}^{3}/{}_{2}}}}\int{\left( -{{s}^{2}}+{{k}^{2}} \right){{e}^{i\vec{s}.\vec{r}}}}\,g(\vec{s}){{d}^{3}}\vec{s}=\frac{1}{{{(2\pi )}^{3}}}\int{{{e}^{i\vec{s}\cdot \vec{r}}}}\,{{d}^{3}}\vec{s}
\end{equation}
از رابطه اخیر نتیجه می‌شود:
\begin{equation}
g\left( {\vec{s}} \right)=\frac{1}{{{(2\pi )}^{{}^{3}/{}_{2}}}\left( {{k}^{2}}-{{s}^{2}} \right)}
\end{equation}
با جای گذاری این رابطه در تعریف $G(\vec{r})$ خواهیم داشت:
\begin{equation}
G(\vec{r})=\frac{1}{{{(2\pi )}^{3}}}\int{{{e}^{i\vec{s}.\vec{r}}}}\frac{1}{\left( {{k}^{2}}-{{s}^{2}} \right)}{{d}^{3}}\overrightarrow{s}
\end{equation}
چون انتگرال گیری روی $\overrightarrow{s}$ انجام می‌شود، $\overrightarrow{r}$ ثابت است و می‌توان مختصات كروی $(s,\theta ,\phi )$ را چنان اختیار كرد كه محور قطبی در راستای $\overrightarrow{r}$ قرار گیرد(شکل (\ref{fig:06}))  
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[scale=0.56]{06}
\caption{مختصات مناسب برای حل انتگرال (52.1) }\

\label{fig:06}
\end{figure}
بنابراین $\vec{s}.\vec{r}=sr\,\cos \theta $ انتگرال روی $\phi $ برابر با $2\pi $ است و انتگرال روی $\theta $ چنین است:
\begin{equation}
\int\limits_{0}^{\pi }{{{e}^{isr\,\cos \theta }}}\sin \theta \,d\theta =-\frac{{{e}^{isr\,\cos \theta }}}{isr}\left| {} \right._{0}^{\pi }=\frac{2\sin (sr)}{sr}
\end{equation}
بنابراین 
\begin{equation}
G(\vec{r})=\frac{1}{4{{\pi }^{2}}r}\int_{-\infty }^{+\infty }{s}\frac{sin(sr)}{{{k}^{2}}-{{s}^{2}}}ds
\end{equation}
اگر این انتگرال را به صورت نمایی تبدیل کنیم و مخرج را تجزیه كنیم خواهیم داشت:
\begin{equation}
G(\vec{r})=\frac{i}{8{{\pi }^{2}}r}\left\{ \int_{-\infty }^{+\infty }{\frac{s{{e}^{isr}}}{\left( s-k \right)\left( s+k \right)}ds-\int_{-\infty }^{+\infty }{\frac{s{{e}^{-isr}}}{\left( s-k \right)\left( s+k \right)}ds}} \right\}=\frac{i}{8{{\pi }^{2}}r}\left( {{I}_{1}}-{{I}_{2}} \right)
\end{equation}
این دو انتگرال را می‌توان با استفاده از رابطه‌ی كوشی محاسبه كرد:
\begin{equation}
\oint{\frac{f(z)}{(z-{{z}_{0}})}}dz=2\pi if({{z}_{0}})
\end{equation}
اگر ${{z}_{0}}$ درون پربند باشد (که اگر نباشد انتگرال صفر است).
در این مورد انتگرال گیری روی محور حقیقی انجام می‌شود و مسیر از روی قطب‌ها‌ی تکینگی در $\pm k$ می‌گذرد. پس باید قطب‌ها‌ را دور بزنیم. قطب $-k$ را از بالا و قطب $+k$ را از پایین دور می‌زنیم. برای هریک از انتگرال‌ها‌ی ${I}_{1}$ و ${I}_{2}$ باید پربند را چنان ببندیم که نیم دایره در بی نهایت سهمی‌در انتگرال نداشته باشد.
چگونگی انتگرال گیری در شکل(\ref{fig:07}) نشان  داده شده است.
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[scale=0.56]{07}
\caption{بستن پربند برای حل انتگرال‌ها‌ی ${I}_{1}$ و ${I}_{2}$ }\

\label{fig:07}
\end{figure}
در مورد ${I}_{1}$ هرگاه قسمت موهومی $s$، عدد مثبت بزرگی باشد عامل ${{e}^{isr}}$ به سمت صفر میل می‌كند. برای این مورد پربند را از بالا می‌بندیم. این پربند فقط تكینگی در  $s=+k$ را دربر می‌گیرد پس:
\begin{equation}
{{I}_{1}}=\oint{\left[ \frac{s{{e}^{isr}}}{s+k} \right]}\frac{1}{s-k}ds=i\pi {{e}^{ikr}}
\end{equation}
در مورد ${I}_{2}$ وقتی عامل ${{e}^{isr-}}$ به سمت صفر می‌رود كه قسمت موهومی $س$ عدد منفی بزرگی  باشد. پس پربند را از پایین می‌بندیم. این بار پربند فقط تكینگی $s=+k$ را دربر دارد و به خاطر ساعتگرد بودن علامت منفی می‌گیرد: 
\begin{equation}
{{I}_{2}}=-\oint{\left[ \frac{s{{e}^{-isr}}}{s-k} \right]}\frac{1}{s+k}ds=-i\pi {{e}^{ikr}}
\end{equation}
در نتیجه:
\begin{equation}
G(\vec{r})=\frac{i}{8{{\pi }^{2}}r}\left[ (i\pi {{e}^{ikr}})-(-i\pi {{e}^{ikr}}) \right]=\frac{-{{e}^{ikr}}}{4\pi r}
\end{equation}
بنابراین حل معادله‌ی شرودینگر به صورت عمومی به صورت زیر درخواهد آمد:
\begin{equation}
\psi (\vec{r})={{\psi }_{0}}(\vec{r})-\frac{m}{2\pi {{\hbar }^{2}}}\int{\frac{{{e}^{ik\left| \vec{r}-{{{\vec{r}}}_{0}} \right|}}}{\left| \vec{r}-{{{\vec{r}}}_{0}} \right|}}V({{\vec{r}}_{0}})\psi ({{\vec{r}}_{0}}){{d}^{3}}{{\vec{r}}_{0}}
\end{equation}
كه در آن ${{\psi }_{0}}$ در معادله‌ی شرودینگر ذره‌ی آزاد صدق می‌كند یعنی:
\begin{equation}
\left( {{\nabla }^{2}}+{{k}^{2}} \right){{\psi }_{0}}=0
\end{equation}
معادله‌ی (1-59) صورت انتگرالی معادله‌ی شرودینگر است که به معادله لیپمن-شوینگر\LTRfootnote{Lippmann–Schwinger equation} نیز معروف است. در نگاه اول این عبارت شبیه حل صریحی از معادله‌ی شرودینگر برای هر پتانسیلی به نظر می‌رسد، اما این طور نیست چون زیر انتگرال سمت راست یك  وجود دارد پس تا وقتی كه حل را از قبل ندانیم نمی‌توانیم انتگرال گیری كنیم. با این وجود شكل انتگرالی بسیار توانمند است و بخصوص برای مسائل پراكندگی بسیار مناسب است.
اگر بخواهیم حالت کلی را که در آن مبدا $ {r}'$ است را بررسی کنیم می توان نشان داد که  تابع گرین در این حالت به صورت
\begin{equation}
G_{0}^{+}\left( k,\overrightarrow{r},\overrightarrow{{{r}'}} \right)=-\frac{1}{4\pi }\frac{{{e}^{ik\left| \overrightarrow{r}-\overrightarrow{{{r}'}} \right|}}}{\left| \overrightarrow{r}-\overrightarrow{{{r}'}} \right|}
\end{equation}
خواهد بود. علامت $+$  نشان دهنده آن است که از موج خروجی حرف می زنیم. با طی همان مراحل که در بالا گفته شد می توان نشان داد که شکل مجانبی تابع موج خروجی به صورت
\begin{equation}
\psi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+}\left( \overrightarrow{r} \right)\to \frac{{{e}^{i\overrightarrow{k}.\overrightarrow{r}}}}{{{\left( 2\pi  \right)}^{{}^{3}/{}_{2}}}}-\frac{1}{4\pi }\frac{{{e}^{ikr}}}{r}\int{{{e}^{-i{{\overrightarrow{k}}_{f}}.\overrightarrow{{{r}'}}}}U\left( {{r}'} \right)}\psi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+}\left( \overrightarrow{{{r}'}} \right){{d}^{3}}{r}'
\end{equation}
است. در اینجا با مقایسه رابطه اخیر با رابطه مربوط به سطح مقطع پراکندگی، شکل کلی سطح مقطع به صورت 
\begin{equation}
\begin{align}
  & f\left( k,\theta ,\varphi  \right)=-\frac{{{\left( 2\pi  \right)}^{{}^{3}/{}_{2}}}}{4\pi }\int{{{e}^{-i{{\overrightarrow{k}}_{f}}.\overrightarrow{{{r}'}}}}U\left( {{r}'} \right)}\psi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+}\left( \overrightarrow{{{r}'}} \right){{d}^{3}}{r}' \\ 
 & =-4{{\pi }^{2}}m\left\langle {{\beta }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}}\left| V\left| \psi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+} \right\rangle  \right. \right.  
\end{align}
\end{equation}
به دست خواهد آمد که نشان دهنده گذار از حالت $\psi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+}$ به حالت ${{\beta }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}}$  تحت تاثیر پتانسیل $V$ است. در ادامه از دیدگاه دیگری سطح مقطع پراکندگی را به دست می آوریم و ارتباط آن را با رابط اخیر بیان می کنیم.
این بار برای به دست آوردن سطح مقطع، معادله لیپمن-شوینگر را به شکل زیر می نویسیم:
\begin{equation}
\psi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+}={{\beta }_{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}}\left( \overrightarrow{r} \right)+\psi _{sc}^{+}\left( \overrightarrow{r} \right)
\end{equation}
که در آن ${{\beta }_{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}}\left( \overrightarrow{r} \right)$ همان موج تخت فرودی به صورت ${\left( 2\pi  \right)}^{{}^{3}/{}_{2}}}}-\frac{1}{4\pi }\frac{{{e}^{ikr}}}{r}$ است و $\psi _{sc}^{+}\left( \overrightarrow{r} \right)$ جواب معادله ناهمگن است:
\begin{equation}
\left[ \nabla _{r}^{2}+{{k}^{2}}-U\left( r \right) \right]\psi _{sc}^{+}\left( \overrightarrow{r} \right)=U\left( r \right){{\beta }_{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}}\left( \overrightarrow{r} \right)
\end{equation}
فرض کنید ${{G}^{+}}\left( k,\overrightarrow{r},\overrightarrow{{{r}'}} \right)$ تابع گرین است که معادله زیر را برآورده می کند
\begin{equation}
\left[ \nabla _{r}^{2}+{{k}^{2}}-U\left( r \right) \right]{{G}^{+}}\left( k,\overrightarrow{r},\overrightarrow{{{r}'}} \right)=\delta \left( \overrightarrow{r}-\overrightarrow{{{r}'}} \right)
\end{equation}
بنابراین موج کروی خروجی به صورت زیر است:
\begin{equation}
\psi _{sc}^{+}\left( \overrightarrow{r} \right)=\int{{{G}^{+}}\left( k,\overrightarrow{r},\overrightarrow{{{r}'}} \right)U\left( \overrightarrow{{{r}'}} \right){{\beta }_{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}}\left( \overrightarrow{{{r}'}} \right)}{{d}^{3}}{r}'
\end{equation}
با استفاده از فرمول بندی دیراک، می توان معادله لیپمن-شوینگر را به صورت زیر نوشت:
\begin{equation}
\left| \psi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+} \right\rangle =\left| {{\beta }_{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}} \right\rangle +G_{0}^{+}U\left| \psi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+} \right\rangle 
\end{equation}
که در آن ${{G}^{+}}$ و $G_{0}^{+}$ طبق رابطه زیر به هم مربوط‌ هستند:
\begin{equation}
{{G}^{+}}=G_{0}^{+}\left( 1+U{{G}^{+}} \right)
\end{equation}
همچنین با توجه به روابط (67.1) و (64.1) می توان نوشت:
\begin{equation}
\left| \psi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+} \right\rangle =\left| {{\beta }_{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}} \right\rangle +{{G}^{+}}U\left| {{\beta }_{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}} \right\rangle 
\end{equation}
در واقع این تابع موج نشانگر یک موج تخت فرودی به همراه موج کروی خروجی مربوط به پرتابه با بردار موج ${{\overrightarrow{k}}_{i}}$ است. با جایگذاری رابطه  اخیر در رابطه (63.1) خواهیم داشت:
\begin{equation}
f\left( k,\theta ,\varphi  \right)=-2{{\pi }^{2}}\left\langle {{\beta }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}}\left| \left[ U+U{{G}^{+}}U \right]\left| {{\beta }_{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}} \right\rangle  \right. \right.
\end{equation} 
ویژه تابع $H$ که مربوط به موج تخت فرودی به همراه موج کروی فرودی با بردار موج ${{\overrightarrow{k}}_{f}}$ که مربوط به پرتابه پراکنده شده است، با رابطه زیر داده می شود:
\begin{equation}
\left| \psi _{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}^{-} \right\rangle =\left| {{\beta }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}} \right\rangle +{{G}^{+-}}U\left| {{\beta }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}} \right\rangle 
\end{equation}
که 
\begin{equation}
{{G}^{-}}={{G}^{{{+}^{\dagger }}}}
\end{equation}
با نوشتن رابطه (71.1) به صورت دو بخش مجزا و استفاده از رابطه (73.1) برای قسمت دوم، داریم:
\begin{equation}
\begin{align}
  & f\left( k,\theta ,\varphi  \right)=-2{{\pi }^{2}}\left\langle \psi _{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}^{-}\left| U\left| {{\beta }_{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}} \right\rangle  \right. \right. \\ 
 & =-4{{\pi }^{2}}m\left\langle \psi _{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}^{-}\left| V\left| {{\beta }_{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}} \right\rangle  \right. \right.  
\end{align}
\end{equation}
در واقع روابط (63.1) و (74.1) صورت های متفاوتی از یک واقعیت هستند. رابطه (63.1) شامل یک موج تخت برای پرتابه پراکنده شده و یک موج کروی \emph{خروجی}\LTRfootnote{outgoing} برای پرتابه پراکنده نشده است که تحت تاثیر پتانسیل $V$ برهم کنش دارند، در حالی که رابطه (74.1) شامل یک موج تخت برای پرتابه پراکنده نشده و یک موج کروی \emph{ورودی}\LTRfootnote{incoming} برای پرتابه پراکنده شده است که بازهم تحت تاثیر همان پتانسیل $V$ برهم کنش دارند.
 
 \subsection{تقریب اول بورن}
 
فرض می‌کنیم $V({{\vec{r}}_{0}})$ حول ${{\vec{r}}_{0}}=0$ جایگزیده است. می‌خواهیم $\psi (\vec{r})$ را در نقاط دور از مرکز پراکندگی بیابیم. در این صورت برای تمام نقاط سهیم در انتگرال معادله‌ی شرودینگر داریم $\left| {\vec{r}} \right|\gg \left| {{{\vec{r}}}_{0}} \right|$ بنابراین:
\begin{equation}
{{\left| \vec{r}-{{{\vec{r}}}_{0}} \right|}^{2}}={{r}^{2}}+r_{0}^{2}-2\vec{r}\cdot {{\vec{r}}_{0}}\simeq {{r}^{2}}\left( 1-\frac{2\vec{r}\cdot {{{\vec{r}}}_{0}}}{{{r}^{2}}} \right)
\end{equation}
و از این رو
\begin{equation}
\left| \vec{r}-{{{\vec{r}}}_{0}} \right|\simeq r-\hat{r}.{{\vec{r}}_{0}}
\end{equation}
قرار می‌دهیم $\vec{k}\equiv k\hat{r}$ پس:
\begin{equation}
{{e}^{ik\left| \vec{r}-{{{\vec{r}}}_{0}} \right|}}\simeq {{e}^{ikr}}{{e}^{-i\vec{k}.{{{\vec{r}}}_{0}}}}
\end{equation}
و بنابراین:
\begin{equation}
\frac{{{e}^{ik\left| \vec{r}-{{{\vec{r}}}_{0}} \right|}}}{\left| \vec{r}-{{{\vec{r}}}_{0}} \right|}\simeq \frac{{{e}^{ikr}}}{r}{{e}^{-i\vec{k}.{{{\vec{r}}}_{0}}}}
\end{equation}
در مورد پراکندگی می‌خواهیم تابع موج فرودی بصورت ${{\psi }_{0}}\left( {\vec{r}} \right)=A{{e}^{ikz}}$ باشد، پس برای $r$‌ها‌ی بزرگ داریم:
\begin{equation}
\psi \left( {\vec{r}} \right)=A{{e}^{ikz}}-\frac{m}{2\pi {{\hbar }^{2}}}\frac{{{e}^{ikr}}}{r}\int{{{e}^{-i\vec{k}.{{{\vec{r}}}_{0}}}}}V({{\vec{r}}_{0}})\psi \left( {{{\vec{r}}}_{0}} \right){{d}^{3}}{{\vec{r}}_{0}}
\end{equation}
با توجه به تعریف اولیه برای دامنه‌ی پراکندگی ( رابطه‌ی 23.1 ) می‌توان گفت:
\begin{equation}
f\left( \theta ,\phi  \right)=\frac{-m}{2\pi {{\hbar }^{2}}A}\int{{{e}^{-i\vec{k}.{{{\vec{r}}}_{0}}}}}V({{\vec{r}}_{0}})\psi \left( {{{\vec{r}}}_{0}} \right){{d}^{3}}{{\vec{r}}_{0}}
\end{equation}
تا این جا نتیجه دقیق است. اکنون تقریب بورن را به کار می‌بریم. فرض می‌کنیم پتانسیل تغییر محسوسی در موج تخت فرودی ایجاد نکند، پس با این دید می‌توان در داخل انتگرال نوشت:
\begin{equation}
\psi \left( {{{\vec{r}}}_{0}} \right)\simeq {{\psi }_{0}}\left( {{{\vec{r}}}_{0}} \right)=A{{e}^{ik{{z}_{0}}}}=A{{e}^{i{\vec{k}}'.{{{\vec{r}}}_{0}}}}
\end{equation}
که در آن $\vec{{k}'}\equiv k\hat{z}$. در واقع تقریب بورن وقتی به کار می‌رود که پتانسیل در مقایسه با انرژی فرودی ضعیف باشد و از این رو آن را تقریب پتانسیل ضعیف\LTRfootnote{weak potential approximation} می‌نامند. بنابراین در تقریب بورن داریم:
\begin{equation}
f\left( \theta ,\phi  \right)\simeq \frac{-m}{2\pi {{\hbar }^{2}}}\int{{{e}^{i\left( {\vec{k}}'-\vec{k} \right).{{{\vec{r}}}_{0}}}}}V({{\vec{r}}_{0}}){{d}^{3}}{{\vec{r}}_{0}}
\end{equation}
در حالت خاص در پراکندگی انرژی پایین (طول موج بلند) عامل نمایی اساساً در ناحیه پراکندگی ثابت است و تقریب بورن به شکل زیر ساده می‌شود.
\begin{equation}
f\left( \theta ,\phi  \right)\simeq \frac{-m}{2\pi {{\hbar }^{2}}}\int{V(\vec{r}){{d}^{3}}\vec{r}}
\end{equation}
معمولاً عبارت $\vec{{k}'}-\vec{k}$ را با $\vec{q}$ یا $\overrightarrow{\kappa }$ نشان می دهیم و آن را تکانه‌ی انتقال یافته می‌خوانیم. در برخوردهای کشسان\LTRfootnote{elastic scattering}، خواهیم داشت:
\begin{equation}
\kappa =\left| \vec{{k}'}-\vec{k} \right|=\sqrt{{{{\vec{{k}'}}}^{2}}+{{k}^{2}}-2{k}'k\cos \theta }=k\sqrt{2(1-{{\cos }^{2}}\theta )}=2k\,\sin \left( \frac{\theta }{2} \right)
\end{equation} 
اگر پتانسیل تقارن کروی داشته باشد آنگاه $V({{\vec{r}}_{0}})=V({{r}_{0}})$ و می‌توان محور $z$ را در جهت بردار $\vec{q}$ در نظر گرفت بنابراین $\vec{q}.\vec{r}=q{{r}_{0}}\cos {{\theta }_{0}}$ پس:
\begin{equation}
\begin{align}
  & \int{{{e}^{i\vec{q}.{{{\vec{r}}}_{0}}}}}V({{{\vec{r}}}_{0}}){{d}^{3}}{{{\vec{r}}}_{0}}=\int_{0}^{\infty }{r_{0}^{2}}V({{r}_{0}})d{{r}_{0}}\int_{0}^{\pi }{{}}{{e}^{iq{{r}_{0}}\cos {{\theta }_{0}}}}\sin {{\theta }_{0}}d{{\theta }_{0}}\int_{0}^{2\pi }{{}}d{{\phi }_{0}} \\ 
 & =2\pi \int_{0}^{\infty }{r_{0}^{2}}V({{r}_{0}})d{{r}_{0}}\int_{-1}^{1}{{}}{{e}^{iq{{r}_{0}}x}}dx \\ 
 & =\,\frac{4\pi }{q}\int_{0}^{\infty }{{{r}_{0}}}V({{r}_{0}})\sin \left( q\,{{r}_{0}} \right)d{{r}_{0}} \\ 
\end{align}
\end{equation}
و بنابراین با توجه به مستقل بودن دامنه پراکندگی از زاویه سمتی $\phi $ می‌توان گفت:
\begin{equation}
f\left( \theta  \right)\simeq \frac{-2m}{{{\hbar }^{2}}q}\int_{0}^{\infty }{{{r}_{0}}V({{r}_{0}})}\sin \left( q{{r}_{0}} \right)d{{r}_{0}}
\end{equation}
و بنابراین در این حالت خواهیم داشت:
\begin{equation}
\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left| f\left( \theta  \right) \right|}^{2}}=\frac{4{{m}^{2}}}{{{\hbar }^{4}}{{q}^{2}}}{{\left| \int_{0}^{\infty }{{{r}_{0}}V({{r}_{0}})}\sin \left( q{{r}_{0}} \right)d{{r}_{0}} \right|}^{2}}
\end{equation} 

\subsection*{اعتبار تقریب اول بورن}

همان طور که گفته شد در تقریب بورن فرض بر آن است که تابع موج خروجی و تابع موج فردی تفاوت محسوسی نداشته باشند. یعنی در عبارت $\psi \left( {\vec{r}} \right)$ جمله‌ی دوم از جمله‌ی اول بسیار کوچک تر باشد یعنی:
\begin{equation}
\left| \frac{m}{2\pi {{\hbar }^{2}}}\int{\frac{{{e}^{i{k}'\left| \vec{r}-{{{\vec{r}}}_{0}} \right|}}}{\left| \vec{r}-{{{\vec{r}}}_{0}} \right|}}V({{r}_{0}}){{e}^{i\vec{k}.{{{\vec{r}}}_{0}}}}{{d}^{3}}{{{\vec{r}}}_{0}}{{\left| \ll \left| {{\psi }_{0}}\left( {\vec{r}} \right) \right| \right.}^{2}} \right.
\end{equation}
با فرض ${{\psi }_{0}}\left( {\vec{r}} \right)={{e}^{ikz}}$ داریم:
\begin{equation}
\left| \frac{m}{2\pi {{\hbar }^{2}}}\int{\frac{{{e}^{i{k}'\left| \vec{r}-{{{\vec{r}}}_{0}} \right|}}}{\left| \vec{r}-{{{\vec{r}}}_{0}} \right|}}V({{r}_{0}}){{e}^{i\vec{k}.{{{\vec{r}}}_{0}}}}{{d}^{3}}{{{\vec{r}}}_{0}}\left| \ll 1 \right. \right.
\end{equation}
دربرخوردهای کشسان، ${k}'=k$ و همین طور با فرض جایگزیدگی پتانسیل حول ${{r}_{0}}=0$ خواهیم داشت:
\begin{equation}
\left| \frac{m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{0}^{\infty }{{}}{{r}_{0}}{{e}^{i\vec{k}.{{{\vec{r}}}_{0}}}}V({{r}_{0}})d{{r}_{0}}\int_{0}^{\pi }{{{e}^{ik{{r}_{0}}\cos {{\theta }_{0}}}}}\sin  \right.{{\theta }_{0}}d{{\theta }_{0}}\left| \ll 1 \right.
\end{equation} 
یا
\begin{equation}
\left| \frac{m}{{{\hbar }^{2}}k}\int_{0}^{\infty }{V({{r}_{0}})\left( {{e}^{2ik{{r}_{0}}}}-1 \right)d{{r}_{0}}}\left| \ll 1 \right. \right.
\end{equation}
به بیان دیگر زمانی که انرژی میانگین برهم کنش میان ذره فرودی و پتانسیل پراکندگی از انرژی ذره فرودی بسیار کم تر باشد. موج پراکنده شده می‌تواند به عنوان یک موج تخت در نظر گرفته شود.

\subsection{سری بورن}

شالوده‌ی تقریب بورن شبیه تقریب ضربه‌ای در نظر پراکندگی کلاسیک است. در تقریب ضربه‌ای با این فرض شروع می‌کنیم که ذره می‌خواهد به مسیر مستقیم برود و ضربه‌ی عرضی را که به آن اعمال می‌شود محاسبه می‌کنیم.
\begin{equation}
\operatorname{I}=\int{{{F}_{\bot }}}dt
\end{equation}
اگر انحراف نسبتاً کوچک باشد این رابطه تقریب خوبی برای تکانه‌ی عرضی منتقل شده به ذره است و از این رو زاویه پراکندگی چنین است:
\begin{equation}
\theta \simeq {{\tan }^{-1}}\left( \frac{I}{P} \right)
\end{equation}
که در آن $P$ تکانه‌ی فرودی است. می‌توان این را تقریب مرتبه‌ی اول نامید. به همین صورت در مرتبه‌ی صفرم تقریب بورن موج تخت فرودی بدون هیچ تغییری عبور می‌کند و آن چه در بخش پیشین آمد واقعاً تصحیح مرتبه‌ی اول است. اما همین فکر را می‌توان برای تولید رشته‌ای از تصحیحات مرتبه‌ی بالاتر تکرار کرد که چه بسا به جواب دقیق همگرا شود.
گفتیم که صورت انتگرالی معادله‌ی شرودینگر به صورت زیر است:
\begin{equation}
\psi \left( {\vec{r}} \right)\simeq {{\psi }_{0}}\left( {\vec{r}} \right)+\int{g\left( \vec{r}-{{{\vec{r}}}_{0}} \right)}V({{\vec{r}}_{0}})\psi ({{\vec{r}}_{0}}){{d}^{3}}{{\vec{r}}_{0}}
\end{equation}
که در آن ${{\psi }_{0}}$ موج فرودی و $g\left( {\vec{r}} \right)\equiv \frac{-m}{2\pi {{\hbar }^{2}}}\frac{{{e}^{ikr}}}{r}$ تابع گرین و V پتانسیل پراکندگی است($\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}$ به صورت قراردادی وارد شده است). به صورت نمادین :
\begin{equation}
\psi ={{\psi }_{0}}+\int{g}V\psi 
\end{equation}
فرض کنید‌این عبارت را برای $\psi $ بیابیم و آن را زیر انتگرال قرار دهیم:
\begin{equation}
\psi ={{\psi }_{0}}+\int{g}V{{\psi }_{0}}+\iint{gVgV\psi }
\end{equation}
با تکرار این فرایند فرمولی به شکل یک سری برای $\psi $ به دست می‌آوریم:
\begin{equation}
\psi ={{\psi }_{0}}+\int{g}V{{\psi }_{0}}+{{\iint{gVgV{\psi }_{0}}+\iiint{gVgVgV{{\psi }_{0}}+...}
\end{equation}
در هر انتگرال تنها تابع موج فرودی به همراه توان‌ها‌یی از $gV$ ظاهر شده است. در تقریب اول بورن این رشته پس از جمله‌ی دوم قطع می‌شود، اما روشن است که چگونه باید تصحیحات مراتب بالاتر را ایجاد کرد. سری بورن را می‌توان به صورت شکل(\ref{fig:08}) نشان داد.
\begin{figure}[!h]
\centering
\includegraphics[scale=0.56]{08}
\caption{تفسیر نموداری سری بورن }\

\label{fig:08}
\end{figure}
در مرتبه صفرم پتانسیل $\psi $ را دست کاری نمی‌کند در مرتبه اول یک بار «لگد» می‌خورد و سپس در راستای جدیدی به بیرون انتشار می‌یابد. در مرتبه‌ی دوم لگدی می‌خورد به موقعیت جدیدی می‌رود و به بیرون منتشر می‌شود. با این مضمون گاهی تابع گرین را انتشارگر می‌گویند. سری بورن الهام بخش فرمول بندی مکانیک کوانتومی نسبیتی فاینمن و نمودارهای فاینمن بود.

\section{پراکندگی کولن}

همان طور که قبلاً گفته شد نمی‌توان روش تحلیل پاره موجی و فرمول ریلی را برای پراکندگی با پتانسیل کولنی به کار برد چرا که پتانسیل کولنی یک پتانسیل با برد بی نهایت است و نمی‌توان آن را یک پتانسیل جایگزیده در نظر گرفت. 
برای مواجهه و حل این مشکل دو راه وجود دارد. راه اول آن است که فرض کنیم اثر قابل توجه پتانسیل کولنی تنها تا فاصله‌ای مانند ${{r}_{0}}$ وجود دارد و سپس از تحلیل پاره موجی استفاده کنیم؛ اما این راه حل در نهایت منجربه شکست خواهد شد چرا که وقتی تکانه‌ها‌ی زاویه‌ای بسیار بزرگ باشند، جابه جایی‌ها‌ی فاز برای جملاتی که از آن‌ها صرف نظر کرده‌ایم قابل توجه می‌شوند و به نتایج نادرستی می‌رسیم. راه بهتر برای حل این مسأله راه حلی است که در آن پاره موج‌ها‌ را بسط ندهیم؛ اما فرض کنیم که تابع موج کل بهنجار به واحد باشد. برای استفاده از این روش، بهتر است که تابع موج را در مختصات سهموی بنویسیم.
در ابتدا به این نکته توجه می‌کنیم که اگر فرض کنیم ذره‌ی فرودی در راستای $z$ فرود می‌آید آنگاه سیستم در کانال اولیه تقارن استوانه‌ای دارد و تابع موج فرودی از مختصه $\phi $ مستقل است و تنها به مختصات $r$ و $z$ بستگی دارد. بنابراین $\psi =\psi \left( r,z \right)$. 
تبدیل مختصات استوانه‌ای به مختصات سهموی به شکل زیر است : 
\begin{equation}
\begin{align}
  & \xi =r-z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,r=\frac{\eta +\xi }{2} \\ 
 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow  \\ 
 & \eta =r+z\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,z=\frac{\eta -\xi }{2} \\ 
\end{align}
\end{equation}
همین طور می‌توان نشان داد که عملگر لاپلاسی در مختصات سهموی عبارتست از:
\begin{equation}
{{\nabla }^{2}}\psi =\frac{4}{\eta +\xi }\left[ \frac{\partial }{\partial \xi }\left( \xi \frac{\partial \psi }{\partial \xi } \right)+\frac{\partial }{\partial \eta }\left( \eta \frac{\partial \psi }{\partial \eta } \right)+\frac{1}{\xi \eta }\frac{{{\partial }^{2}}\psi }{\partial {{\phi }^{2}}} \right]
\end{equation}
با توجه به فرض ما که وابستگی به $\phi $ را در نظر نمی‌گیریم؛ معادله‌ی شرودینگر در مختصات سهموی برای پتانسیل کولنی به شکل زیر خواهد بود:
\begin{equation}
-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( \frac{4}{\eta +\xi } \right)\left[ \frac{\partial }{\partial \xi }\left( \xi \frac{\partial \psi }{\partial \xi } \right)+\frac{\partial }{\partial \eta }\left( \eta \frac{\partial \psi }{\partial \xi } \right) \right]+\frac{2{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{\eta +\xi }\psi =E\psi 
\end{equation}
در این رابطه ${Z}_{1}$ عدد اتمی هسته‌ی هدف است و ${Z}_{2}$ عدد اتمی پرتابه را نشان می‌دهد و $m$ جرم کاهیده‌ی سیستم دو جسمی است و $E$ انرژی کاهیده‌ی ذره‌ی پراکنده شده است.
حال ادعا می‌کنیم که جواب معادله‌ای که به دنبالش هستیم را می‌توان به صورت زیر نوشت:
\begin{equation}
\psi ={{e}^{ikz}}f\left( \xi  \right)={{e}^{ik\frac{\left( \eta -\xi  \right)}{2}}}f\left( \xi  \right)
\end{equation}
که در آن $E=\frac{{{\hbar }^{2}}{{k}^{2}}}{2\m}$.
حال باید اثبات کنیم که این پاسخ، پاسخ درستی است. برای این اثبات باید نشان دهیم $f\left( \xi  \right)$، معادله‌ی (1-85) را برآورده می‌کند و شرایط مرزی مناسب را نیز ارضا می‌کند. ابتدا $\psi$ (معادله1-87) را در رابطه (1-86) قرار می‌دهیم.
\begin{equation}
\xi \frac{{{d}^{2}}f}{d{{\xi }^{2}}}+\left( 1-ik\xi  \right)\frac{df}{d\xi }-nkf=0
\end{equation}
که $n$ به صورت $n=\frac{{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{e}^{2}}\m}{{{\hbar }^{2}}k}=\frac{{{z}_{1}}{{z}_{2}}{{e}^{2}}}{\hbar v}$ تعریف می‌شود.
در این رابطه $v$ سرعت ذره‌ی فرودی است. این معادله دیفرانسیل، شبیه به معادله‌ی دیفرانسیلی است که پاسخ آن توابع همشار فوق هندسی است. 
\begin{equation}
z\frac{{{d}^{2}}F}{d{{z}^{2}}}+\left( b-z \right)\frac{dF}{dZ}-aF=0
\end{equation}
که تابع همشار فوق هندسی که پاسخ این معادله است به صورت زیر تعریف می‌شود.
\begin{equation}
F=F(a,b,z)=\sum\limits_{s=0}^{\infty }{\frac{\Gamma \left( a+s \right)\Gamma \left( b \right)}{\Gamma \left( b+s \right)\Gamma \left( a \right)}}\frac{{{Z}^{s}}}{s!}
\end{equation}
بنابراین نتیجه می‌گیریم که :
\begin{equation}
f\left( \xi  \right)=CF\left( -in,1,ik\xi  \right)
\end{equation}
که $c$ یک ثابت است که باید محاسبه شود.
برای آن که شرایط مرزی را بررسی کنیم، باید رفتار $\psi \left( \xi  \right)$ را بدانیم. دو جمله‌ی اول این بسط عبارتند از:
\begin{equation}
\underset{r\to \infty }{\mathop{\psi }}\,\to \frac{C{{e}^{{}^{1}/{}_{2n\pi }}}}{\Gamma (1+in)}\left\{ {{e}^{-i\left[ kz-n\ln k\left( r-z \right) \right]}}\left[ 1-\frac{{{n}^{2}}}{2k\left( r-z \right)} \right]+\frac{{{f}_{c}}\left( \theta  \right)}{r}{{e}^{i\left( kr-n\ln 2kr \right)}} \right\}
\end{equation}
در این عبارت، ${{f}_{c}}\left( \theta  \right)$ به صورت زیر تعریف می‌شود:
\begin{equation}
{{f}_{c}}\left( \theta  \right)=\frac{\Gamma \left( 1+in \right)}{i\Gamma \left( 1-in \right)}\frac{{{e}^{-in\ln \sin {}^{\theta }/{}_{2}}}}{2k{{\sin }^{2}}\left( \frac{\theta }{2} \right)}=\frac{n}{2k{{\sin }^{2}}\left( \frac{\theta }{2} \right)}{{e}^{-inln\left[ {{\sin }^{2}}\left( \frac{\theta }{2} \right) \right]+i\pi +2i{{\alpha }_{0}}}}
\end{equation}
که در آن ${{\alpha }_{0}}=\arg \Gamma \left( 1+in \right)$.
اما تعبیر فیزیکی این عبارت چیست؟ در ابتدا باید توجه کنیم که به خاطر ویژگی‌ها‌ی تابع پتانسیل کولنی که قبلاً از آن‌ها صحبت کردیم، نمی‌توانیم تابع موج کولنی را به صورت مجانبی $\psi ={{e}^{ikz}}+f\left( \theta  \right)\frac{{{e}^{ikr}}}{r}$ بنویسیم. جمله‌ی اول تابع موج رابطه‌ی (1-92) شامل ${{e}^{ikz}}$ است اما این جمله به تنهایی وجود ندارد بلکه عامل دیگری نیز به شکل $\left( {{e}^{-inlnk(r-z)}}\left[ 1-\frac{{{n}^{2}}}{ik\left( r-z \right)} \right] \right)$ در کنار این جمله وجود دارد  . این عامل نشان می‌دهد که موج تخت فرودی اندکی واپیچیده شده است که این واپیچیدگی به فاصله از مبدأ که انتخاب می‌کنیم وابسته نیست و همواره وجود دارد! واضح است که این واپیچدگی یکی از نتایج دور برد بودن نیروی کولنی است. همین طور دیده می‌شود که موج خروجی نیز شامل فاکتور ${{e}^{-in\ln (2kr)}}$ است یعنی یک فاز معین ندارد. با وجود این ویژگی‌ها‌ که از بلند بردبودن نیروی کولنی ناشی می‌شود همچنان می‌توانیم برای این نیرو سطح مقطع پراکندگی تعریف کنیم چرا که عوامل واپیچیدگی مقادیر مشاهده پذیرهای فیزیکی را تغییر می‌دهند مانند شار متوسط که با میل $r$ به سمت بی نهایت نهایت به سمت صفر می‌رود. برای اثبات این مطلب شار فرودی را با استفاده از جمله‌ی اول رابطه (1-91) به دست می‌آوریم. با استفاده از این رابطه:
\begin{equation}
J=\frac{\hbar }{2m i}\left( {{\psi }^{*}}\nabla \psi -\psi \nabla {{\psi }^{*}} \right)
\end{equation}
باید توجه کنیم که وقتی از جمله‌ی لگاریتمی دیفرانسیل می‌گیریم جمله ای بدست می‌آید که با $\frac{1}{r}$ متناسب است. برای $r$‌ها‌ی بسیار بزرگ این جمله در مقایسه با جمله ای که از مشتق گیری از ${{e}^{ikz}}$ بدست آمده است بسیار ناچیز است و قابل صرف نظر کردن. بنابراین برای $r$‌ها‌ی بزرگ شار ورودی بسیار نزدیک به محور $z$ خواهد بود و به طور تقریبی برابر است با :
\begin{equation}
{{J}_{in}}=\frac{\hbar k}{m}\frac{{{\left| C \right|}^{2}}}{{{\left| \Gamma \left( 1+in \right) \right|}^{2}}}
\end{equation}
به طور مشابه شار خروجی در واحد زاویه‌ی فضایی نیز مقدار تقریبی
\begin{equation}
{{J}_{out}}=\frac{\hbar k}{m}\frac{{{\left| C \right|}^{2}}{{\left| {{f}_{c}}\left( \theta  \right) \right|}^{2}}}{{{\left| \Gamma \left( 1+in \right) \right|}^{2}}}
\end{equation}
را می‌گیرد. با توجه به رابطه‌ی ( 1-8 ) ، $\sigma $ برابر خواهد بود با:
\begin{equation}
\sigma ={{\left| {{f}_{c}}\left( \theta  \right) \right|}^{2}}=\frac{{{n}^{2}}}{{{\left( 2k{{\sin }^{2}}\left( \frac{\theta }{2} \right) \right)}^{2}}}={{\left( \frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{2m {{v}^{2}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{\sin }^{4}}\frac{\theta }{2}}
\end{equation}
که همان سطح مقطع پراکندگی را در فورد است که در پراکندگی کلاسیک نیز با روش‌ها‌ی کلاسیکی به دست  می‌آید.

\section{ماتریس پراکندگی}

اگر $H$‌ها‌میلتونی یک سامانه باشد و برای یک کانال خاص مانند $c$ از این سامانه داشته باشیم
\begin{equation}
H={{H}_{c}}+{{V}_{c}}
\end{equation}
و ${{\Phi }_{c\gamma }}$ ویژه حالت آن با ویژه مقدار ${{E}_{c\gamma }}$ باشد یعنی:
\begin{equation}
{{H}_{c}}{{\Phi }_{c\gamma }}={{E}_{c\gamma }}{{\Phi }_{c\gamma }}
\end{equation}
در این رابطه $\gamma$ کلیه اطلاعات مربوط به ذرات را در ناحیه متقارنی از کانال $c$ در بر دارد. برای بررسی مساله پراکندگی معمولا‌ها‌میلتونی را برای کانال‌ها‌ی اولیه و نهایی می‌توان به صورت دو بخش نوشت. برای کانال اولیه به صورت:
\begin{equation}
H={{H}_{i}}+{{V}_{i}}
\end{equation}
و برای کانال نهایی به شکل:
\begin{equation}
H={{H}_{f}}+{{V}_{f}}.
\end{equation}
ویژه حالت مربوط به ${H}_{i}$ که با ${{\Phi }_{i\alpha }}$ نشان داده می‌شود در معادله زیر صدق می‌کند
\begin{equation}
{{H}_{i}}{{\Phi }_{i\alpha }}={{E}_{i}}{{\Phi }_{i\alpha }}
\end{equation}
که زیروند $\alpha$ بیانگر حالت سامانه در کانال $i$ است. هم چنین ویژه حالت ${{\Phi }_{f\beta }}$ که مربوط به ${H}_{f}$ است معادله زیر را برآورده می‌کند
\begin{equation}
{{H}_{f}}{{\Phi }_{f\beta }}={{E}_{f}}{{\Phi }_{f\beta }}
\end{equation}
در این رابطه نیز زیروند $\beta$ حالت ذرات سامانه را در کانال $f$ نشان می‌دهد. برای یافتن ماتریس پراکندگی به سراغ هامیلتونی سامانه می‌رویم که تنها اطلاعات مربوط به ‌یک کانال را در بر دارد.
\begin{equation}
H={{H}_{0}}+V
\end{equation}
در این رابطه ${H}_{0}$ هامیلتونی مجموعه ذرات است وقتی فاصله زیادی از هم دارند و بنابراین هامیلتونی مختل نشده است. $V$ نیز برهم کنش میان ذرات را بیان می‌کند. ویژه حالت‌ها‌ی مربوط به هامیلتونی کل را با ${{\Psi }_{\alpha }}$ و ویژه مقادیر مربوط به هر کدام را با ${{E}_{\alpha }}$ نشان می‌دهیم. بنابراین خواهیم داشت
\begin{equation}
H{{\Psi }_{\alpha }}={{E}_{\alpha }}{{\Psi }_{\alpha }}
\end{equation}
همین طور ویژه حالت‌ها‌ی مربوط به ${H}_{0}$ را با ${{\Phi }_{\alpha }}$، ${{\Phi }_{\beta }}$،... نشان می‌دهیم. این ویژه حالت‌ها‌ بر هم عمودند:
\begin{equation}
\left\langle  {{\Phi }_{\beta }} | {{\Phi }_{\alpha }} \right\rangle ={{\delta }_{\beta \alpha }}
\end{equation}
و یک مجموعه کامل را تشکیل می‌دهند:
\begin{equation}
\sum\limits_{\alpha }{\left| {{\Phi }_{\alpha }} \right\rangle \left\langle  {{\Phi }_{\beta }} \right|=1}
\end{equation}
برای این هامیلتونی می‌توان عملگر تحول زمانی در تصویر برهم کنش را به شکل زیر تعریف کرد:
\begin{equation}
U\left( t,{t}' \right)={{e}^{i{{H}_{0}}t}}{{e}^{-i{{H}_{0}}\left( t-{t}' \right)}}{{e}^{-i{{H}_{0}}{t}'}}
\end{equation}
عملگرهای مولر\LTRfootnote{Møller operator} که ویژه حالت‌ها‌ی مربوط به ${H}_{0}$ را در $t=0$ به ویژه حالت‌ها‌ی مربوط به $H$ تبدیل می‌کند عبارت است از:
\begin{equation}
{{\Omega }^{\left( \pm  \right)}}=U\left( 0,\mp \infty  \right)
\end{equation}
و
\begin{equation}
{{\Omega }^{\left( \pm  \right)}}^{\dagger }=U\left( \mp \infty ,0 \right)
\end{equation}
حالا می‌توان ویژه حالت‌ها‌ی مربوط به هامیلتونی کل را به کمک عملگرهای مولر و ویژه حالت‌ها‌ی مربوط به هامیلتونی مختل نشده بازنویسی کرد:
\begin{equation}
\left| \Psi _{\alpha }^{\left( \pm  \right)} \right\rangle ={{\Omega }^{\left( \pm  \right)}}\left| {{\Phi }_{\alpha }} \right\rangle 
\end{equation}
و در نتیجه
\begin{equation}
\left\langle {{\Phi }_{\beta }} \right.\left| {{\Omega }^{\pm }}\left| {{\Phi }_{\alpha }} \right\rangle  \right.=\left\langle  {{\Phi }_{\beta }} | {{\Phi }_{\alpha }} \right\rangle 
\end{equation}
عملگرهای مولر را می‌توان به شکل زیر نیز نوشت:
\begin{equation}
\begin{align}
   {{\Omega }^{\pm }}&=\underset{t\to \mp \infty }{\mathop{\lim }}\,U\left( 0,t \right) \\ 
 & =\underset{t\to \mp \infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{iHt}}{{e}^{-i{{H}_{0}}t}} \\ 
 & =\underset{t\to \mp \infty }{\mathop{\lim }}\,\mp \varepsilon \int_{0}^{\mp \infty }{{{e}^{\pm \varepsilon t}}{{e}^{iHt}}{{e}^{-i{{H}_{0}}t}}dt}  
\end{align}
\end{equation}
و با استفاده از خاصیت کامل بودن ویژه حالت‌ها‌ داریم:
\begin{equation}
\begin{align}
   {{\Omega }^{\pm }}&=\underset{\varepsilon \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\mp \varepsilon \sum\limits_{\alpha }{\int_{0}^{\mp \infty }{{{e}^{\pm \varepsilon }}}}{{e}^{iHt}}\left| {{\Phi }_{\alpha }} \right\rangle \left\langle  {{\Phi }_{\alpha }} \right|{{e}^{-i{{H}_{0}}t}}dt \\ 
 & =\underset{\varepsilon \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\mp \varepsilon \sum\limits_{\alpha }{\int_{0}^{\mp \infty }{{{e}^{\pm \varepsilon }}}}{{e}^{iHt}}\left| {{\Phi }_{\alpha }} \right\rangle \left\langle  {{\Phi }_{\alpha }} \right|{{e}^{-i{{E}_{\alpha }}t}}dt \\ 
 & =\underset{\varepsilon \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\mp \varepsilon \sum\limits_{\alpha }{\int_{0}^{\mp \infty }{{{e}^{i(H-{{E}_{\alpha }}\mp i\varepsilon )t}}}}\left| {{\Phi }_{\alpha }} \right\rangle \left\langle  {{\Phi }_{\alpha }} \right|dt \\ 
 & =\underset{\varepsilon \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{\alpha }{\frac{\pm i\varepsilon }{{{E}_{\alpha }}-H\pm i\varepsilon }}\left| {{\Phi }_{\alpha }} \right\rangle \left\langle  {{\Phi }_{\alpha }} \right|  
\end{align}
\end{equation} 
شناسه جمع را به ${\alpha }'$ تغییر می‌دهیم و دو طرف رابطه بالا را در $\left| {{\Phi }_{\alpha }} \right\rangle $ ضرب می‌کنیم:
\begin{equation}
{{\Omega }^{\pm }}\left| {{\Phi }_{\alpha }} \right\rangle =\underset{\varepsilon \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{{{\alpha }'}}{\frac{\pm i\varepsilon }{{{E}_{\alpha }}-H\pm i\varepsilon }}\left| {{\Phi }_{\alpha }} \right\rangle {{\delta }_{\alpha ,{\alpha }'}}
\end{equation}
و در نهایت
\begin{equation}
\begin{equation}
\left| \Psi _{\alpha }^{\pm } \right\rangle =\underset{\varepsilon \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\pm i\varepsilon }{{{E}_{\alpha }}-H\pm i\varepsilon }\left| {{\Phi }_{\alpha }} \right\rangle 
\end{equation}
به طور کلی عملگرهای مولر خاصیت‌ها‌ی زیر را دارند:
\begin{equation}
{{\Omega }^{{{\pm }^{\dagger }}}}{{\Omega }^{\pm }}=1=\sum\limits_{\alpha }{\left| {{\Phi }_{\alpha }} \right\rangle \left\langle  {{\Phi }_{\alpha }} \right|}
\end{equation}
\begin{equation}
{{\Omega }^{\pm }}{{\Omega }^{{{\pm }^{\dagger }}}}=\sum\limits_{\alpha }{\left| \Psi _{\alpha }^{\pm } \right\rangle }\left\langle  \Psi _{\alpha }^{\pm } \right|\ne 1
\end{equation}
باید به خاطر داشت که ویژه حالت‌ها‌ی $\left| \Psi _{\alpha }^{\pm } \right\rangle $ شامل حالت‌ها‌ی پایه نمی‌شوند و بنابراین یک مجموعه کامل تشکیل نمی‌دهند. پس اگر ویژه حالت‌ها‌ی $\left| {{\Psi }^{B}} \right\rangle $ که نشانگر حالت‌ها‌ی پایه هستند را به آن‌ها‌ اضافه کنیم خواهیم داشت:
\begin{equation}
\sum\limits_{\alpha }{\left| \Psi _{\alpha }^{\pm } \right\rangle }\left\langle  \Psi _{\alpha }^{\pm } \right|+\sum\limits_{B}{\left| {{\Psi }^{B}} \right\rangle }\left\langle  {{\Psi }^{B}} \right|=1
\end{equation}
بنابراین
\begin{equation}
{{\Omega }^{\pm }}{{\Omega }^{{{\pm }^{\dagger }}}}=1-\sum\limits_{B}{\left| {{\Psi }^{B}} \right\rangle \left\langle  {{\Psi }^{B}} \right|}
\end{equation}
اگر عملگر $\Lambda $ را به صورت $\Lambda =\sum\limits_{B}{\left| {{\Psi }^{B}} \right\rangle }\left\langle  {{\Psi }^{B}} \right|$ تعریف کنیم آنگاه
\begin{equation}
{{\Omega }^{\pm }}{{\Omega }^{{{\pm }^{\dagger }}}}=1-\Lambda 
\end{equation}
این عبارت بیانگر آن است که اگر $H$ و ${H}_{0}$ شامل حالت‌ها‌ی پایه نباشند، عملگرهای مولر یکانی هستند. همین طور:
\begin{equation}
H{{\Omega }^{\pm }}={{\Omega }^{\pm }}{{H}_{0}}
\end{equation}
\begin{equation}
{{\Omega }^{{{\pm }^{\dagger }}}}H={{H}_{0}}{{\Omega }^{{{\pm }^{\dagger }}}}
\end{equation}
\begin{equation}
{{\Omega }^{{{\pm }^{\dagger }}}}\Lambda =0
\end{equation}
عملگر ${{\Lambda }_{c}}$ را برای کانال $c$ به صورت زیر تعریف می‌کنیم.
\begin{equation}
{{\Lambda }_{c}}=\sum\limits_{\gamma }{\left| {{\Phi }_{c\gamma }} \right\rangle }\left\langle  {{\Phi }_{c\gamma }} \right|
\end{equation}
که جمع زنی روی $\gamma $ جمع زنی رو تمام حالت‌ها‌ی کانال $c$ است. بنابراین عملگرهای مولر برای کانال $c$ به صورت زیر تعریف می‌شوند:
\begin{equation}
\Omega _{c}^{\pm }={{U}_{c}}\left( 0,\mp \infty  \right){{\Lambda }_{c}}
\end{equation}
و
\begin{equation}
\Omega _{c}^{{{\pm }^{\dagger }}}={{\Lambda }_{c}}{{U}_{c}}\left( \mp \infty ,0 \right)
\end{equation}
یعنی ویژه حالت‌ها‌ی $H$ در $t=0$ به شکل
\begin{equation}
\left| \Psi _{c\gamma }^{\pm } \right\rangle =\Omega _{c}^{\pm }\left| {{\Phi }_{c\gamma }} \right\rangle 
\end{equation}
هستند. پس برای کانال‌ها‌ی اولیه و نهایی داریم:
\begin{equation}
\left| \Psi _{i\alpha }^{\pm } \right\rangle =\Omega _{i}^{\pm }\left| {{\Phi }_{i\alpha }} \right\rangle 
\end{equation}
\begin{equation}
\left| \Psi _{f\beta }^{\pm } \right\rangle =\Omega _{f}^{\pm }\left| {{\Phi }_{f\beta }} \right\rangle 
\end{equation}
و با توجه به تعریف عملگر ${{\Lambda }_{c}}$ خواهیم داشت:
\begin{equation}
\Omega _{c}^{{{\pm }^{\dagger }}}\Omega _{c}^{\pm }={{\Lambda }_{c}}
\end{equation}
اگر حالت کلی شرط عمود بودن ویژه حالت‌ها‌ی ${H}_{i}$ و ${H}_{f}$ برقرار نباشد: 
\begin{equation}
\left\langle  {{\Phi }_{c\gamma }} | {{\Phi }_{{c}'{\gamma }'}} \right\rangle \ne 0
\end{equation}
و به طور خاص برای کانال‌ها‌ی $i$ و $f$ 
\begin{equation}
\left\langle  {{\Phi }_{f\beta }} | {{\Phi }_{i\alpha }} \right\rangle \ne 0
\end{equation}
می‌توان نتیجه گرفت که چون ویژه حالت‌ها‌ی هامیلتونی کل عمود هستند، همواره
\begin{equation}
\left\langle  \Psi _{b}^{\pm } | \Psi _{a}^{\pm } \right\rangle ={{\delta }_{ba}}
\end{equation}
علاوه بر آن از بهنجارش نتیجه می‌گیریم که:
\begin{equation}
{{\Lambda }_{c}}{{\Lambda }_{{{c}'}}}\ne 0
\end{equation}
\begin{equation}
\Omega _{{{c}'}}^{{{\pm }^{\dagger }}}\Omega _{c}^{\pm }={{\Lambda }_{c}}{{\delta }_{c{c}'}}
\end{equation}
\begin{equation}
\sum\limits_{c}{\Omega _{c}^{{{\pm }^{\dagger }}}\Omega _{c}^{\pm }}=1-\Lambda 
\end{equation}
\begin{equation}
H\Omega _{c}^{\pm }=\Omega _{c}^{\pm }{{H}_{c}}
\end{equation}
\begin{equation}
\Omega _{{{c}'}}^{{{\pm }^{\dagger }}}\Lambda =0.
\end{equation}
همین طور در حالت کلی
\begin{equation}
\left| \Psi _{c\gamma }^{\pm } \right\rangle =\underset{\varepsilon \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\pm i\varepsilon }{{{E}_{c\gamma }}-H\pm i\varepsilon }\left| {{\Phi }_{c\gamma }} \right\rangle 
\end{equation}
که با توجه به اینکه ${{H}_{c}}\left| {{\Phi }_{c\gamma }} \right\rangle ={{E}_{c\gamma }}\left| {{\Phi }_{c\gamma }} \right\rangle $ و $H={{H}_{c}}+{{V}_{c}}$ و انجام محاسبات خواهیم داشت:
\begin{equation}
\left| \Psi _{c\gamma }^{\pm } \right\rangle =\left| {{\Phi }_{c\gamma }} \right\rangle +\underset{\varepsilon \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{V}_{c}}}{{{E}_{c\gamma }}-H\pm i\varepsilon }\left| {{\Phi }_{c\gamma }} \right\rangle 
\end{equation}
با توجه به رابطه سطح مقطع پراکندگی، اگر جرم کاهش یافته را با $\mu $ نشان دهیم خواهیم داشت:
\begin{equation}
\begin{align}
   f\left( k,\theta ,\varphi  \right)&=-\frac{\mu }{2\pi }\left\langle {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}}\left| V\left| \psi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+} \right\rangle  \right. \right. \\ 
 & =-\frac{\mu }{2\pi }\left\langle {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}}\left| V{{\Omega }^{+}}\left| \Phi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+} \right\rangle  \right. \right.  
\end{align}
\end{equation}
در نهایت ماتریس گذار به شکل زیر تعریف می‌شود:
\begin{equation}
T=V{{\Omega }^{\pm }}
\end{equation}
که عناصر این ماتریس به صورت 
\begin{equation}
{{T}_{fi}}=\left\langle {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}}\left| V{{\Omega }^{\pm }}\left| {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}} \right\rangle  \right. \right.
\end{equation}
هستند. حال با نوشتن معادله (141.1) برای کانال نهایی داریم:
\begin{equation}
\left| \Psi _{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}^{\pm } \right\rangle =\left| {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}} \right\rangle +\underset{\varepsilon \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{V}_{f}}}{{{E}_{f}}-H\pm i\varepsilon }\left| {{\Phi }_{{{}_{f}}}} \right\rangle 
\end{equation}
با ضرب کردن دو طرف رابطه در $\left\langle  {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}} \right|$ خواهیم داشت:
\begin{equation}
\Omega _{f}^{\pm }=1+\underset{\varepsilon \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{E}_{f}}-H\pm i\varepsilon }{{V}_{f}}
\end{equation}
و بنابراین
\begin{equation}
T={{V}_{i}}+\underset{\varepsilon \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,{{V}_{f}}\frac{1}{{{E}_{f}}-H\pm i\varepsilon }{{V}_{i}}
\end{equation}
عناصر ماتریسی نیز به شکل زیر به دست می‌آیند:
\begin{equation}
\begin{align}
 {{T}_{fi}} &=\left\langle {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}} \right.\left| {{V}_{i}}\left| {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}} \right\rangle + \right.\left\langle {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}} \right.\left| {{V}_{f}}\frac{1}{{{E}_{f}}-H\pm i\varepsilon }{{V}_{i}}\left| {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}} \right\rangle  \right. \\ 
 & =\left\langle {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}} \right.\left| \left( 1+{{V}_{f}}\frac{1}{{{E}_{f}}-H\pm i\varepsilon } \right){{V}_{i}}\left| {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}} \right\rangle  \right. \\ 
 & =\left\langle \Psi _{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}^{-}\left| {{V}_{i}}\left| {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}} \right\rangle  \right. \right.  
\end{align}
\end{equation}
این شکل، شکل پیشین ماتریس پراکندگی است. شکل پسین نیز با طی همین مراحل به صورت زیر به دست می‌آید:
\begin{equation}
{{T}_{fi}}=\left\langle {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}}\left| {{V}_{f}}\left| \Psi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+} \right\rangle  \right. \right.
\end{equation}
واضح است که اگر از شکل اصلی توابع موج و بدون در نظر گرفتن اختلال استفاده کنیم شکل پیشین و پسین یکسان خواهند بود.

\subsection{فرمول بندی دوپتانسیلی}
با توجه به روابط ( ) و () می توان ماتریس پراکندگی را به یکی از دو فرم پسین یا پیشین نوشت:
\begin{equation}
{{T}_{fi}}=\left\langle \Psi _{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}^{-}\left| {{V}_{i}} \right.\left| {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}} \right\rangle = \right.\left\langle {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}}\left| {{V}_{f}} \right.\left| \Psi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+} \right\rangle  \right.
\end{equation}
در فرمول بندی دو پتانسیلی می توان پتانسیل کانال اولیه یا نهایی را به صورت جمع دو پتانسیل دیگر نوشت:
\begin{equation}
{{V}_{i}}={{U}_{i}}+{{W}_{i}}
\end{equation}
و 
\begin{equation}
{{V}_{f}}={{U}_{f}}+{{W}_{f}}
\end{equation}
بنابراین خواهیم داشت:
\begin{equation}
{{T}_{fi}}=\left\langle \Psi _{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}^{-}\left| {{U}_{i}}+{{W}_{i}} \right.\left| {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}} \right\rangle = \right.\left\langle {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}}\left| {{U}_{f}}+{{W}_{f}} \right.\left| \Psi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+} \right\rangle  \right.
\end{equation}
حال سعی می کنیم این عبارت را ساده تر کنیم. این کار را برای فرم پسین انجام می دهیم. برای فرم پیشین نیز به همین شکل عمل خواهد شد. می توان $\left\langle  {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}} \right|$ را بر بر حسب توابع موج واپیچیده $\left\langle  \chi _{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}^{-} \right|$ به شکل زیر نوشت:
\begin{equation}
\left\langle  {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}} \right|=\left\langle  \chi _{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}^{-} \right|-\left\langle  {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}} \right|{{U}_{f}}\frac{1}{{{E}_{f}}-{{\overline{H}}_{f}}+i\varepsilon }
\end{equation}
که در این رابطه ${{\overline{H}}_{f}}={{H}_{f}}+{{U}_{f}}$. موج های واپیچیده امواجی هستند که توسط پتانسیل ${{U}_{f}}$ واپیچیده شده اند و جواب های معادله لیپمن-شوینگر هستند:
\begin{equation}
\left| \chi _{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}^{-} \right\rangle =\left| {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}} \right\rangle +\frac{1}{{{E}_{f}}-{{\overline{H}}_{f}}-i\varepsilon }{{U}_{f}}\left| {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}} \right\rangle 
\end{equation}
با ترکیب روابط ( ) و ( ) برای فرم پسین ماتریس پراکندگی خواهیم داشت:
\begin{equation}
\begin{align}
  & T_{fi}^{post}=\left\langle \chi _{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}^{-}\left| {{U}_{f}}+{{W}_{f}} \right.\left| \Psi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+} \right\rangle  \right.-\left\langle  {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}} \right|{{U}_{f}}\frac{1}{{{E}_{f}}-{{\overline{H}}_{f}}+i\varepsilon }\left( {{U}_{f}}+{{W}_{f}} \right)\left| \Psi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+} \right\rangle  \\ 
 & =\left\langle \chi _{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}^{-}\left| {{V}_{i}}-{{W}_{f}} \right.\left| {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}} \right\rangle  \right.+\left\langle \chi _{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}^{-}\left| {{W}_{f}} \right.\left| \Psi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+} \right\rangle  \right.  
\end{align}
\end{equation}
به همین ترتیب برای فرم پیشین نیز می توان گفت:
\begin{equation}
T_{fi}^{prior}=\left\langle {{\Phi }_{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}}\left| {{V}_{f}}-{{W}_{i}} \right.\left| \chi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+} \right\rangle  \right.+\left\langle \Psi _{{{\overrightarrow{k}}_{f}}}^{-}\left| {{W}_{i}} \right.\left| \chi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+} \right\rangle  \right.
\end{equation}
که در اینجا $\left| \chi _{{{\overrightarrow{k}}_{i}}}^{+} \right\rangle $ امواج واپیچیده مربوط به پتانسیل ${{U}_{i}}$ هستند. باید توجه داشت که اگر ${{U}_{f}}$ و ${{U}_{i}}$ از یک برخورد کشسان منتج شده باشند جمله اول هرکدام از روابط () و () صفر خواهد بود.

\subsection{سطح مقطع پراکندگی در یونش تک الکترونی}
طبق قاعده طلایی فرمی\LTRfootnote{Fermi's golden rule} سطح مقطع پراکندگی با مربع دامنه گذار ارتباط دارد. بنابراین با داشتن دامنه گذار $T_{fi}$ می توان سطح مقطع پراکندگی را به دست آورد. برای یافتن رابطه فرض می کنیم پرتابه با انرژی ${{E}_{f}}$ و در زاویه فضایی $d{{\Omega }_{f}}$ از هسته هدف پراکنده شده باشد. بنابراین طبق قاعده فرمی آهنگ گذار برابر است با:
\begin{equation}
d{{\omega }_{fi}}=2\pi {{\left| {{T}_{fi}} \right|}^{2}}\rho \left( {{E}_{f}} \right)
\end{equation}
که در آن $\rho \left( {{E}_{f}} \right)$ چگالی حالت ها در کانال نهایی است. اما می دانیم
\begin{equation}
d{{\sigma }_{fi}}=\frac{d{{\omega }_{fi}}}{\Phi }
\end{equation}
که در آن $\Phi $ شار ذرات فرودی است که می توان آن را به صورت حاصل ضرب سرعت ذرات در تعداد ذرات فرودی در واحد حجم نوشت، یعنی:
\begin{equation}
\Phi ={{v}_{i}}n
\end{equation}
چگالی ذرات به سادگی با رابطه زیر بیان می شود:
\begin{equation}
n={{\left| {{\beta }_{i}}\left( {{\overrightarrow{r}}_{1}} \right) \right|}^{2}}
\end{equation}
که در واقع مربع موج تخت فرودی است. بنابراین شار ذرات فرودی عبارت است از:
\begin{equation}
\Phi =\frac{{{v}_{i}}}{{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}}
\end{equation}
با ترکیب معادلات () و () خواهیم داشت:
\begin{equation}
d{{\sigma }_{fi}}=\frac{d{{\omega }_{fi}}{{\left( 2\pi  \right)}^{3}}}{{{v}_{i}}}
\end{equation}
سرعت ذرات فرودی را می توان به شکل زیر نوشت:
\begin{equation}
{{v}_{i}}=\frac{{{K}_{i}}}{{{\mu }_{PT}}}
\end{equation}
که در این رابطه تکانه ذرات فرودی بر جرم کاهش یافته زیرسیستم پرتابه-هدف تقسیم شده است. لذا داریم:
\begin{equation}
d{{\sigma }_{fi}}={{\left( 2\pi  \right)}^{4}}\frac{{{\mu }_{PT}}}{{{K}_{i}}}{{\left| {{T}_{fi}} \right|}^{2}}\rho \left( {{E}_{f}} \right)
\end{equation}
چگالی حالت های نهایی با رابطه زیر داده می شود:
\begin{equation}
\rho \left( {{E}_{f}} \right)d{{E}_{f}}=K_{f}^{2}d{{K}_{f}}d{{\Omega }_{f}}
\end{equation}
اما انرژی نهایی ذره پراکنده شده طبق رابطه زیر با تکانه ذره و جرم کاهیده ارتباط دارد:
\begin{equation}
{{E}_{f}}=\frac{K_{f}^{2}}{2{{\mu }_{PT}}}
\end{equation}
و بنابراین:
\begin{equation}
d{{E}_{f}}=\frac{{{K}_{f}}}{{{\mu }_{PT}}}d{{K}_{f}}
\end{equation}
از روابط () و () نتیجه می شود که:
\begin{equation}
\rho \left( {{E}_{f}} \right)={{\mu }_{PT}}{{K}_{f}}
\end{equation}
در نهایت سطح مقطع پراکندگی با رابطه زیر داده می شود:
\begin{equation}
\frac{{{d}^{3}}\sigma }{d{{\Omega }_{f}}d{{\Omega }_{e}}d{{E}_{e}}}={{N}_{e}}{{\left( 2\pi  \right)}^{4}}\mu _{PT}^{2}{{\mu }_{Te}}k\frac{{{K}_{f}}}{{{K}_{i}}}{{\left| {{T}_{fi}} \right|}^{2}}
\end{equation}
در این رابطه $d{{\Omega }_{e}}$ زاویه فضایی است که الکترون یونیزه شده در آن پراکنده شده است، ${E}_{e}$ انرژی الکترون یونیزه شده است، $k$ تکانه آن الکترون است و ${N}_{e}$ تعداد الکترون های هدف است.