\chapter{مروری بر آنچه در مورد فاکتور کیفیت و میرایی باید دانست}
هنگام انتشار موج در لایه$ {} $های زمین، جذب و پاشش باعث میرایی دامنه و تغییر شکل موجک لرزه$ {} $ای خواهد شد. روش فیلتر وارون روشی معکوس برای حذف این آثار از روی داده$ {} $های لرزه$ {} $ای است. پس از اعمال فیلتر وارون  داده$ {} $ی لرزه$ {} $ای دارای کیفیت بالاتر دامنه$ {} $ی تصحیح شده خواهد بود که با اده$ {} $های چاه تطابق بیشتری دارد و تفسیر لایه$ {} $ی نازک بهتر انجام خواهد گرفت و وارون$ {} $سازی برای تعیین خواص مخزنی بهتر انجام می$ {} $گیرد.

ناهمگونی و غیر کشسان بودن لایه$ {} $های زیر سطحی فرکانس$ {} $های بالا را پراکنده \lr{dissipating} می$ {} $کند.
این دو عامل باعث پاشش سرعت نیز می$ {} $شوند که نتیجه$ {} $ی آن تغییر شکل و کشیدگی موجک لرزه$ {} $ای است. به دو اثر کاهش انرژی و پاشش اثر میرایی می$ {} $گویند. اثر میرایی با فاکتور کیفیت زمین رابطه$ {} $ی معکوس دارد. از لحاظ کمی ضریب جذب تقریبا $27.3~Q^-1$ در هر طول موج است یه همین دلیل میرایی تابع فرکانس است. 

به دلیل اثر افت انرژی و یا همون پراکندگی \lr{Dissipation}  دامنه$ {} $ی امواج با فرکانس بالا بیشتر از امواج با فرکانس پایین افت پیا می$ {} $کند و بر اثر پدیده$ {} $پاشش \lr{Dispersion} مولفه$ {} $های فرکانسی بالاتر با سرعت بیشتری نسبت به مولفه$ {} $های فرکانسی پایین$ {} $تر حرکت می$ {} $کنند بنابراین داده$ {} $ی لرزه$ {} $ای با دامنه$ {} $ی ضعیف$ {} $تر و موجک$ {} $های عریض$ {} $تر رکورد می$ {} $شوند. این دو اثر زمین یا اثر فیلتر $Q$  نیاز مند تصحیح مناسب است مه از آن با فیلتر وارون یاد می$ {} $کنندکه باعث جبران دامنه$ {} $های از دست رفته و یا تصحیح فاز به صورت جداگانه و یا همزمان خواهد شد. هدف نهایی $IQF$ افزایش رزولوشن و نسبت سیگنال به نوفه است. 

\section{اثر فیلتر $Q$ بر موج لرزه$ {} $ای}
معادله$ {} $ی موج به صورت زیر است:
\begin{equation}
\nabla^2 \Phi = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2\Phi}{\partial t^2}
\label{eq1}
\end{equation}
در این معادله، $c$ سرعت موج، $\Phi$ فشار و $t$ زمان سیر موج است. اگر بخواهیم عملکرد موج همراه با پراکندگی انرژی را توضیخ دهیم $Dissipation$ از معادله$ {} $ی استوک\footnote{Stock's equation} استفاده می$ {} $کنیم: 
\begin{equation}
\nabla^2[\Phi+\frac{1}{\omega_0}\frac{\partial \Phi}{\partial t}]=\frac{1}{c^2}\frac{\nabla^2\Phi}{\nabla t^2}
\label{eq2}
\end{equation}

در این رابطه $\omega_0$ از رابطه$ {} $ی زیر محاسبه می$ {} $شود: 
\begin{equation*}
\frac{1}{\omega_0}=\frac{\eta_1 + \frac{4}{3} \eta_2}{\rho c^2}
\end{equation*}

در این رابطه $\rho$ و $c$ به ترتیب چگالی و سرعت و $\eta_1$ و $\eta_2$  ضرایب الاستیک هستند. رابطه$ {} $ی (\ref{eq1}) معادله$ {} $ی ویسکو اکوستیک\footnote{Viscoacoustic} موج است.  با مقایسه$ {} $ی روابط (\ref{eq1}) و (\ref{eq2}) عبارت $\omega_0^{-1} \frac{\partial}{\partial t}$ در شکل گیری موجک و همچنین قوانین حاکم بر انتشار آن مشارکت می$ {} $کند و نمی$ {} $توان آن را نادیده گرفت. حل معادله$ {} $ی استوک به صورت یک سری معادلات موجک نوشته می$ {} $شود مانند جابجایی، سرعت و شتاب. این معادلات رفتار لرزه$ {} $ای زمین را نشان می$ {} $دهد وقتی که جابجایی در نقطه$ {} $س شوت به صورت یک پالس باشد و نشان دهنده$ {} $ی چگونگی تغییر دامنه، پهنا و در کل رفتار آشفتگی بر حسب فاصله از چشمه است. 

\section{ضریب میرایی}
برای یک موج تخت سینوسی که از یک محیط ویسکوالاستیک عبور می$ {} $کند فرآسند اتلاف  انرژی با معکوس فاکتور کیفیت رابطه دارد. تعریف فاکتور کیفیت به این صورت است: 

نسبت افت انرژی $\Delta W$ در هر چرخه از حرکت هارمونیک استرین  (در هر طول موج) به بیشترین انرژی ذخیره شده در جسم در ابتدای چرخه $W$.
\begin{equation}
\frac{1}{Q}=\frac{\Delta W}{2\pi W}
\label{eq3}
\end{equation}

میرایی ($Q^{-1}$) را می$ {} $توان بر حسب تانژانت تاخیر فازی بین تنش و کرنش که با مدول الاستیک به هم مرتبطند تعریف کرد.

ضریب میرایی $(\alpha)$ کمیتی است که میزان جذب انرژی را اندازه$ {} $گیری می$ {} $کند و با معکوس فاکتور کیفیت رابطه دار به صورت زیر:
\begin{equation}
\alpha=\frac{\omega}{2cQ}
\label{eq4}
\end{equation}

اگر $Q$ را مستقل از فرکانس فرض کنیم رابطه$ {} $ی (\ref{eq4}) بستگی خطی ضریب میرایی به فرکانس ($\omega$) را نشان می$ {} $دهد که در بسیاری از آزمایشات مشاهده شده است. اگر رابطه$ {} $ی اخیر را بر حسب طول موج بنویسیم داریم:
\begin{align}
\alpha &=\frac{\pi}{\lambda Q}\qquad
(\text{\lr{nepers/unit length}})\\
\alpha &=\frac{20\pi}{\ln{10} Q}\qquad
(\frac{db}{\lambda})
%\label{eq6}
\end{align}

\section{رابطه$ {} $ی میرایی و پاشش}
به دلیل اصل علیت حضور میرایی حضور پاشش را الزامی می$ {} $کند. برای یک سیستم خطی فوترمن\footnote{Futterman} (اینجا رفرنس بده) نشان داد که پاشش و جذب همواره باید با هم باشند و با هم در ارتباط اند.

معادله$ {} $ی موج تخت در فاصله$ {} $ی $x$ از چشمه در زمان $t$ به صورت زیر است:
\begin{equation}
U(x,t)=U_0 [\exp(i(\omega t-kx)]
\label{eq7}
\end{equation}
 
به هنگام انتشار موج تخت در یک محیط غیر همگن عدد موج $k$ باید عبارتی مختلط باشد که قسمت موهومی آن $\alpha$ و قست حقیقی آن عدد موج پاششی است، به عبارت دیگر:
\begin{equation}
k=\kappa-i\alpha
\label{eq8}
\end{equation}

بنابراین شکل موج معادله$ {} $ی (\ref{eq7}) به صورت زیر بازنویسی می$ {} $شود:

\begin{equation}
U(x,t)=U_0 \exp[-\alpha x][\exp(i(\omega t- \kappa x))]
\label{eq9}
\end{equation}

طبق این رابطه، قسمت حقیقی عدد موج ($\kappa$) با فاز موج تخت در ارتباط است. اگر فاز را پایا\footnote{stationary}  در نظر بگیریم، سرعت فازِ وابسته به فرکانس (سرعت فاز پاششی) به صورت زیر خواهد بود: 
\begin{equation}
v(\omega)=\frac{\omega}{\kappa}
\label{eq10}
\end{equation}

برای یک موج تخت، حضور جذب شرط لازم و کافی برای حضور پاشش است. فوترمن گفت که رابطه$ {} $ی بین میرایی و پاشش رابطه$ {} $ی است از نوع روابط کرامرز-کرونیگ\footnote{Kramers-Kr\"onig} است (اینجا میتونی یه توضیح در مورد این روابط بنویسی).

بر اساس این رابطه (کرامرز-کرونیگ) حرکت$ {} $های خطی موج قسمت حقیقی عدد موج از قسمت موهومی آن که بر روی کل بازه$ {} $ی فرکانسی جمع شده است بدست می$ {} $آید.

رابطه$ {} $ی پاشش کرامرز-کرونیگ پاشش را مستقیما از ضریب جذب بدست می$ {} $دهد ولی اطلاعاتی در مورد مکانیسم فیزیکی جذب و پاشش بدست نیمی$ {} $دهد اما این رابطه$ {} $ی تئوری با مشاهدات آزمایشگاهی هم تطابق داره (چند تا رفرنس بده).

\section{فیلتر وارون $Q$}
در پروسه$ {} $ی فیلتر وارون فاکتور $Q$، دو فرض در نظر گرفته شده است:
\begin{enumerate}


\item
ضریب میرایی به صورت ذاتی تابعی خطی از فرکانس در بازه$ {} $ی اندازه گیری است
\item
حرکت موج خطی است یعنی اصل برهم نهی\footnote{Superposition} برقرار است و طبق این فرض از جمع تمام جبهه موج$ {} $های تخت که فیلتر وارون بر آنها اعمال شده است ردلرزه را در حوزه$ {} $ی زمان بدست آورد.
\end{enumerate}
\section{فیلتر وارون برای پاشش}
در واقع اینجا اومده روش های مخالف جبران فاز رو مختصر معرفی کرده و رفرنش داده. 
وقتی یک پالس مکانیکی در یک جامد ویسکوالاستیک منتشر می$ {} $شود دچار پاشیدگی می$ {} $شود یعنی فرکانس$ {} $های بالاتر با سررعت بیشتری حرکت کرده و بیشتر تحت تاثیر میرایی قرار می$ {} $گیرند. بازتابنده$ {} $های عمیق$ {} $تر بیشتر تحتتاثیر پاشش قرار می$ {} $گیرند. وقتی یک ردلرزه$ {} $ی مصنوعی بدست آمده از داده$ {} $های چاه را با یک ردلرزه$ {} $ی واقعی مقایسه کنیم، عدم تطابق این دو به دلیل پاشش مشهود است. 

روبینسون 1979 رابطه$ {} $ی زیر را در ارتباط با پاشش و فاکتور کیفیت بیان کرد: 
\begin{equation}
\mu=\frac{1000\ln2}{\pi Q}
\label{eq11}
\end{equation}

در این رابطه $\mu$ واحدش موس\footnote{mose} ($\frac{ms}{\frac{oct}{s}}$) است. در هر نرخ پاشش که موس است برای هر مولفه$ {} $ی فرکانسی از جبهه$ {} $ی موج در حال انتشار، 1میلی ثانیه نسبت به مولفه$ {} $ی فرکانسی که یک اکتو کمتر از اونه تجمع زمانی داریم. ینی میگه برای یک فرکانس فرضی مثلا 20 هرتز، در ممقایسه با نصفش که 10 هرتزه در یک میلی ثانیه از حرکت موج به هندازه 1میلی ثانیه عقب می$ {} $افته.







\section{فیلتر وارون برای جذب و پاشش به طور همزمان}
روش فیلتر وارون که فقط تصحیح فاز را انجام می$ {} $دهد یه صورت غیر مشروط ناپایدار است اما اگر جبرات دامنه را هم در نظر بگیریم پایداری مسآله$ {} $ای مهم خواهد بود. ونگ روشی برای فیلتر وارون ارائه کرد که همزمان اثر میرایی و پاشش را جبران کند.  در روش پیشنهادی او از برونیابی موج بر اساس قضیه$ {} $ی پیوستگی به سمت پاسسن استفاده کرد. 


\section{چند مثال از کارامدی فیلتر وارون}
شکل اول این کتاب یک مقطع امپدانس صوتی لرزه$ {} $ای و یک مقطع امپدانس مصنوعی بدستآمده از داده$ {} $های چاه را نشان می$ {} $دهد. شکل $a$ مقطع وارون شده از داده$ {} $ی لرزه$ {} $ای بدون اعمال فیلتر $Q$ رو نشون می$ {} $دهد ولی شکل $b$ مقطع وارون شده پس از اعمال فیلتر $Q$ را نشان می$ {} $دهد.  همانطور که مشاهده می$ {} $شود فیلتر وارون $Q$  اثر پاشش رو تصحیح می$ {} $کنه و تطابق بهتری بین داده$ {} $های واقعی و مصنوعی بوجود خواهد آمد.  در شکل بعدی نشون داده شده کهئفیلتر وارون باعث افزایش باند فرکانیس میشه و موجک رو فشرده میکندو باعث افزایش رزولوشن می$ {} $شود (شکل ها رو میتونی بیاری)


فیلتر وارون همچنین باعث افزایش نسبت سسگنال به نوفه می$ {} $شود و مقطع سرعت حاصل از وارون سازی رزولوشن بیشتری دارد چون دامنه و فاز تصحیح شده است و به عنوان مثال ناهمگونی$ {} $های مخزنی را بهتر به تصویر می$ {} $کشد. 


\section{مدل$ {} $های ریاضی مختلف برای فاکتور کیفیت}
میرایی دامنه که وابسته به فرکانس است به همراه پاشش معمولا به عنوان فاکور کیفیت تعریف می$ {} $شود. مدل \lr{Kolsky} به دلیل سادگی، در پردازش داده$ {} $ها استفاده می$ {} $شود ولی این مدل اصل تاخیر فاز را در نظر نیم$ {} $گیرد \lr{minimum delay}.
هدف تغییر مدل کولسکی برای بدست آوردن یک مدل مناسب برای بیان پاشش سرعت در رنج فرکانسی لرزه$ {} $ای است:
\begin{enumerate}
\item
 تصحیح دقیق اثر فاز در فیلتر وارون
\item
تطبیق با سایر مدل$ {} $های فاکتور کیفیت. یعنی اینکه وقتی مدل$ {} $های مختلف فاکتور کیفیت را برای طراحی فیلتر وارون بکار می$ {} $بریم، پروفیل$ {} $های  فیلتر شده از این مدل$ {} $ها و فیلترهای مربوط قابل مقایسه باشند.
\end{enumerate}


دو ویژگی اساسی مربوط به انتشار موج در مواد زیر سطح زمین عبارتند از:

\begin{enumerate}
\item
اتلاف انرژی امواج تخت با انرژی بالا
\item
پاشش سزعت که باعث می$ {} $شود امواح تخت با فرکانس$ {} $های بالاتر یا سرعت بیشتری نسبت به فرکانس$ {} $های پایین حرکت کنند.
\end{enumerate}
این دو فاکتور بزای محیط ویسکو الاستیک با رابطه$ {} $ی زیر به هم مربوط می$ {} $شوند
\begin{equation}
Q(\omega)=\frac{|\omega|}{2\alpha v(\omega)}
\label{eq12}
\end{equation}

در این رابطه ($v(\omega)$) سرعت فاز است. این رابطه را فوترمن ارائه کرد.  رابطه$ {} $ی (\ref{eq12}) یک رابطه$ {} $ی کلیدی برای مدل $Q$ زمین است و برای $Q \gg 1$ برقرار است. این رابطه برای اکثر شرایط حاکم در ژئوفیزیک برقرار است. در ژئوفیزیک مدل$ {} $های مختلف $Q$ برای زمین بر اساس تعاریف مختلف برای میرایی ($\alpha(\omega)$) و همچنین سرعت فاز بیان شده است. مدل (\lr{\textbf{Kolsky}}) به عنوان مدل مرجع و پایه در طراحی فیلتر وارون $Q$ مورد استفاده قرار می$ {} $گیرد به دلیل اینکه پارامترهای این مدل به سادگی قابل محاسبه اند. اگر مدل اولیه$ {} $ی (\lr{\textbf{Kolsky}}) با سایر مدل$ {} $ها مقایسه شود، شباهتی بین آنها دیده نخواهد شد اما در مدل بهبود یافته$ {} $ی (\lr{\textbf{Kolsky}})\footnote{Modifide Kolsky Model} می$ {} $توان مجموعه$ {} $ای از پارامترها را به صورت تحلیلی بدست آورد که با هرکی از مدل$ {} $های معرفی شده منطبق باشد. این ایجاد تغییر در اصل با این هدف انجام شد که مدل (\lr{\textbf{Kolsky}}) را به مدلی تبدیل کند که با مدلی که شرایط پاشش در آن صدق می$ {} $کند قابل مقایسه باشد. وجود پاشش برای حفظ علیت موجک منتشر شونده ضروری است.  به این شرایط پاشش رابطه$ {} $ی پاششِ \textbf{کزامرز-کرونیگ}\footnote{Kramers-Kr\"onig}} (رفرنس بده به این دونفر) گویند و علاوه بر مدل (\lr{\textbf{Kolsky}}) در سایر مدل$ {} $ها نیز صدق می$ {} $کند و تایید می$ {} $شود.

بکارگیری روش بهبور یافته$ {} $ی (\lr{\textbf{Kolsky}}) دو مزیت دارد:
\begin{enumerate}
\item
تصحیح دقیق فاز در فیلتر وارون $Q$
\item
تطابق خوب با سایر مدل$ {} $ها
\end{enumerate}


\section{مدل میرایی-پاشش کولسکی}

مدل (\lr{\textbf{Kolsky}}) فرض می$ {} $کند که ضریب جذب ($\alpha(\omega)$) تابعی خطی از فرکانس است بر روی بازه$ {} $ی فرکانس لرزه$ {} $ای یعنی:

\begin{equation}
\alpha(\omega)=\frac{|\omega|}{2v_r Q_r}
\label{eq13}
\end{equation}

سرعت فاز نیز به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:
\begin{equation}
\frac{1}{v(\omega)}=\frac{1}{v_r} \bigg(1-\frac{1}{\pi Q_r} \ln \bigg| \frac{\omega}{\omega_r} \bigg |\bigg)
\label{eq14}
\end{equation}

در این رابطه ($Q_r$) و ($v_r$) سرعت فاز و فاکتور کیفیت در یک فرکانس مبدا یعنی $\omega_r$ است. برای $Q\gg 1$
 رابطه$ {} $ی (\ref{eq14}) به صورت زیر نوشته می$ {} $شود:
\begin{equation}
\frac{1}{v(\omega)}\approx \frac{1}{v_r} \bigg(\frac{\omega}{\omega_r}\bigg)^{-\frac{1}{\pi Q_r}}
\label{eq15}
\end{equation}
در این رابطه تعریف می$ {} $کنیم:
\begin{equation*}
\gamma = \frac{1}{\pi Q_r}
\end{equation*}

برای موادی که از فرض خطی بودن میرایی پیروی می$ {} $کنند (یا خطی بودن میرایی برای آنها صادق است) لازم است که فرکانس مرجع ($\omega_r4$) یک مقدار دلخواه کوچک باشد. مطابق با کولسکی و فوترمن در انتخاب این فرکانس آزاد هستیم با پیروی از این قاعده \lr{phenomenological criterion}  که این فرکانس باید در مقایسه با کوچکترین فرکانس موجود در باند اندازه گیری کوچک باشد. مدل اولیه$ {} $ی (\lr{\textbf{Kolsky}}) در واقع از اصل کمینه فاز بودن در مدل زمین پاششی پیروی نمی$ {} $کند بنابراین باید تغییراتی در آن ایجاد شود. ( اومده گفته اصل کمینه تاخیر رو رابطه$ {} $ی کرامرز-کرونیگ میاد با قدرت توضیح می$ {} $دهد در موردش). درواقع تغییر در این معادله و مدل بهبود می$ {} $دهد طراحی فیلتر وارون رو و پاشش سرعت جبران خواهد شد.

\section{تغییر در مدل کولسکی}
اگر در رابطه$ {} $ای که برای سرعت فاز در مدل کولسکی اولیه بیان شد یک فرکانس مرجع مناسب قرار دهیم این رابطه تغییر می$ {} $یابد و با این کار خطای مربوط به فاز در فیلتر وارون در مراحل پردازش داده$ {} $های لرزه$ {} $ای کاهش می$ {} $یابد. روابط میرایی و سرعت فاز که برای مدل کولسکی بیان شد درواقع فرمول مجانبی \lr{asymptotic} بود برای شرط $\omega \gg \omega_r$ (طبق فوترمن 1962) امابرای داده$ {} $های لرزه$ {} $ای اکتشافی  که دارای فرکانس$ {} $های پایین $\leq 500$ هستیم معادله$ {} $ی بیان شده برای سرعت فاز به صورت زیر تغییر می$ {} $یابد:
\begin{equation}
\frac{1}{v(\omega)}=\frac{1}{v_r} \Big(1-\frac{1}{\pi Q_r} \ln \bigg|h \frac{\omega}{\omega_r}\bigg| \Big) \approx
\frac{1}{v_r} \bigg|h\frac{\omega}{\omega_r}\bigg|^{-\gamma}
\label{eq16}
\end{equation}

در این رابطه $h$ ضریبی مستقل از فرکانس است و اگر با $\omega_r$ ترکیب شود رابطه$ {} $ی اخیر به صورت زیر خواهد بود:
\begin{equation}
\frac{1}{v(\omega)}=\frac{1}{v_r} \Big( 1-\frac{1}{\pi Q_r} \ln  \bigg| \frac{\omega}{\omega_h} \bigg|\Big) \approx \frac{1}{v_r} \bigg|\frac{\omega}{\omega_h}\bigg|^{-\gamma}
\label{eq17}
\end{equation}

در این رابطه $\omega_h$ مقداری حدی است و دیگر کمترین فرکانس موجود در باند لرزه$ {} $ای نیست بلکه بالاترین فرکانس یا فرکانس نایکویست است. 



یه نکته تو حاشیه بگم در مورد سیستم های کمینه فاز. ما اومدیم گفتیم که مدل اولیه$ {} $ی کولسکی شرط مینیمم فاز بودن رو برقرار نمیکنه!! حالا میدونیم که سیستم های کمینه فاز سیستم هایی هستند که خودشون و وارونشون علی و پایدار باشن!!. یه ویژگی مهم دیگه که این سیستم ها دارن اینه که طیف دامنه با طیف فاز با هم در ارتباط اند. یعنی لگاریتم دامنه با فاز ازطریق تبدیل هیلبرت به هم مرتبط اند اما چطوری؟؟


اگر پاسخ فرکانسی سیستم $H(s)$ را به صورت  $H(j\omega) \overset{def}{=}H(s)|_{s=j\omega}$ در نظر بگیریم، رابطه$ {} $ی فاز و دامنه به صورت زیر خواهد بود:

\begin{equation}
\arg[H(j\omega)]&=-\mathcal{H}(\log{|H(j\omega)|})\\
\label{eq18}
\end{equation}

معکوس این رابطه به صورت زیر است
\begin{equation}
\log{|H(j\omega)|}=log{|H(j\infty)|}+\mathcal{H}\arg{|H(j\omega)|}
\label{eq19}
\end{equation}
 
به صورت دیگر می$ {} $توان گفت:
\begin{equation}
H(j\omega)=|H(j\omega)| e^{j \arg{|H(j\omega)|}}=e^{\alpha(\omega)} e^{j\phi(\omega)}=
e^{j((\alpha{\omega})+\phi(\omega))}
\label{eq20}
\end{equation}
در این روابط $\alpha(\omega)$  و $\phi(\omega)$ توابعی حقیقی هستند. بنابراین خئاهیم داست:
\begin{equation}
\phi(\omega)=-\mathcal{H}\{\alpha(\omega)\}
\label{eq21}
\end{equation}
در این روابط $\mathcal{H}$  نماد تبدیل هیلبرت است که به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:
\begin{equation*}
\mathcal{H} \{x(t)\}=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}  \frac{x(\tau)}{t-\tau} \mathrm{d} \tau
\end{equation*}

\section{رابطه$ {} $ی کرامرز-کرونیگ}
این رابطه در واقع یک رابطه$ {} $ی دو طرفه$ {} $ی ریاضی است که قسمت حقیقی و موهومی یک تابع مختلط تحلیلی در نیم دایره$ {} $ی بالایی را به هم مرتبط می$ {} $سازد. منظور از نیم صفحه$ {} $ی بالایی مجموعه اعداد مختط است که قسمت موهومی آنها مثبت است. یعنی به این صورت تعریف می$ {} $شوند:
\begin{align*}
\mathcal{A}=\{x+iy |y>0 ;x,y \in \mathcal{R}\}
\end{align*}
این رابطه در واقع برای محاسبه$ {} $ی قسمت حقیقی از قسمت موهومیِ پاسخ یک سیستم فیزیکی و برعکس استفاده می$ {} $شود. برای سیستم$ {} $های پایا، شرط علیت حاکی از تحلیلی بودن پاسخ سیستم دارد و به طور برعکس شرط تحلیلی بودن حاکی از علی بودن سیستم فیزیکی پایدار است. فرض کنیم $\chi(\omega)=\chi_1(\omega)+i\chi_2(\omega)$ یک تاببع مختلط از متغیر مختلط $\omega$ باشد که در آن $\chi_1(\omega)$ و $\chi_2(\omega)$ هر دو توابعی حقیقی هستند. اگر این تابع در نیم فضای بالایی صفحه$ {} $ی $\omega$ تحلیلی باشد (منظور از تابع تحلیلی تابعی است که در دامنه$ {} $ی $D$ تعریف شده و مشتق پذیر باشد. برای تعاریف دیگر به کتاب کریزیگ مراجعه شود) رابطه$ {} $ی کرامرز-کرونیگ به صورت زیر خواهد بود:

\begin{align*}
\chi_1(\omega)=\frac{1}{\pi}\mathcal{P} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\chi_2(\omega')}{\omega' - \omega} \mathrm{d} \omega \\
\chi_2(\omega)=-\frac{1}{\pi}\mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\chi_1(\omega')}{\omega'-\omega} \mathrm{d} \omega
\end{align*}

در این روابط $\mathcal{P}$ به عدد کوشی معروف است و برای انتگرال$ {} $های بد وضع متفاوت مقادیر متفاوتی اختیار می$ {} $کند.

حالا برگردیم سر بحث خودمون:

مکانیسم دقیق پاشش زمین مشخص نیست. برای طراحی یک فیلتر وارون باید یک مدلی در نظر بگیریم که شرط کمینه فاز بودن را در نظر بگیرد. این شرط توسط رابطه$ {} $ی پاشش کرامز-کرونیگ به این صورت بیان می$ {} $شود:
از رابطه$ {} $ی (\ref{eq8}) داریم
\begin{equation*}
k=\kappa-i\alpha
\end{equation*}

و همچنین رابطه$ {} $ی سرعت فاز با قسمت حقیقی عدد موج مختلط به صورت زیر است:
\begin{equation*}
{\kappa}=\frac{\omega}{v(\omega)}
\end{equation*}

حال طبق رابطه$ {} $ی کرامرز-کرونیگ که در بالا توضیح داده شد و با توجه به شرط کمینه فاز بودن پاسخ زمین، خواهیم داشت:

\begin{equation}
\frac{\omega}{v(\omega)}-\frac{\omega}{v_{\infty}}=\mathcal{H\{\alpha(\omega)\}}
\label{eq22}
\end{equation}




حال سرعت فاز از رابطه$ {} $ی کولسکی بهبود یافته (\ref{eq17}) و سرعت فاز از رابطه$ {} $ی کرامر کرونیگ (\ref{eq21}) را می$ {} $توان مقایسه کرد (\textbf{شکل بیار}(

طبق رابطه$ {} $ی بهبود یافته$ {} $ی کولسکی:
\begin{equation}
\text{\lr{Real(k)}}=\kappa=\frac{\omega}{v(\omega)}
\label{eq23}
\end{equation}

ور بر طبق رابطه$ {} $ی کرامرز-کرونیگ 
\begin{equation}
\kappa\approx\mathcal{H\{{\alpha(\omega)}\}}
\label{eq24}
\end{equation}

در اینجا تقریب به این صورت بوده که عبارت $\frac{\omega}{v_\infty}$ حذف شده است. حتما مقایسه کن با شکل این دو رابطه را مثل خود کتاب


بعدشم اومده اثر فیلتر وارون رو در 3 شکل با مقادیر مختلف $f_h$ مقایسه کرده و در نهایت به این نتیجه رسیده که این کمیت باید بالاترین فرکانس موجود در باند باشه.
\section{مدل$ {} $های مختلف برای فاکتور کیفیت}

گرچه مدل اولیه$ {} $ی ویسکوالاستیک کولسکی در پردازش داده$ {} $]ای لرزه$ {} $ای بکار می$ {} $رود به دلیل سادگی ااما رابطه$ {} $ی کرامرز-کرونیگ در آن صدق نمی$ {} $کند چندین مدل دیگر هست که این روابط در آن$ {} $ها صادق باشد. هر کدام از این مدل$ {} $ها با مدل بهبود یافته$ {} $ی کولسکی مقایسه می$ {} $شوند و می$ {} $توان پی برد که چگونه هر کدام از این مدل$ {} $ها می$ {} $توانند در طراحی فیلتر وارون $Q$ بکار روند. این مدل$ {} $ها عبارتند از:

}
\begin{enumerate}
\item
مدل بهبود یافته$ {} $ی کولسکی (میرایی خطی)\footnote{Modified Kolsky model}
\item
مدل اِستریک-عظیمی\footnote{Strick-Azimi or power-law model}
\item
مدل جارتانسون (مدل $Q$ ثابت)\footnote{Kjartanson model}
\item
مدل دوم و سوم عظیمی (میرایی غیر خطی)\footnote{Azimi's second and third model}
\item
مدل مولر\footnote{M\"uler model}
\item
مدل زِنر(جامد خطی استاندارد)\footnote{General linear solid}
\item
مدل کول-کول (جامد خطی کلی)\footnote{Cole-Cole model, general linear solid}
\item
مدل خطی کلی جدید\footnote{New general linear model}

\end{enumerate}

در پنج مدل اول وقتی فرکانس به صفر میل می$ {} $کند سرعت فاز صفر می$ {} $شود و لی در سه مدل آخر سرعت فاز غیر صفر خواهد بود که این مهمترین اختلاف بین این سه مدل است. در مدل کول-کول ممکن است مقدار سرعت فاز در فرکانس صفر الزاما صفر نشود و بستگی به توان در آن معادله دارد.

یک ویژگی مدل استاندارد خطی محدود بودن سرعت فاز و ضریب جذب در فرکانس$ {} $های نامحدود است اما در مدل جارتانسون و کولسکی $v_\infty=\infty$ و $\alpha_\infty=\infty$ می$ {} $باشند. در ادامه به معروی روابط هرکدام از این مدل$ {} $ها خواهیم پرداخت.


\section{مدل کولسکی و عدد موج مختلط}
در بخش (1.9) در مورد مدل کولسکی مختصری توضیح دادیم. ضریب میرایی و سرعت فاز برای این مدل طبق روابط (\ref{eq13}) و (\ref{eq14}) معرفی شدند. در ادامه رابطه$ {} $ای داریم به صورت زیر که اثبات هم می$ {} $شود:

 \begin{equation*}
 Q(\omega)=\frac{1}{2}\bigg(\frac{|\omega|}{\alpha(\omega) v(\omega)}-\frac{\alpha(\omega) v(\omega)}{|\omega|}\bigg)
 \end{equation*}
با جایگذاری روابط مربوط به سرعت فاز و ضریب میرایی، رابطه$ {} $ی فاکتور کیفیت برای مدل کولسکی به صورت زیر بدست می$ {} $آید:

\begin{equation*}
Q(\omega)=Q_r-\frac{1}{4Q_r}-\frac{1}{\pi}\bigg(1+\frac{1}{4Q_r}\bigg)\ln\bigg|\frac{\omega}{\omega_r}\bigg|
\end{equation*}

با ساده سازی این رابطه می$ {} $توان به صورت تقریبی معادله$ {} $ی زیر را بدست آورد:
\begin{equation*}
Q(\omega)\approx Q_r\bigg(1-\frac{1}{\pi Q_r}\ln\bigg|\frac{\omega}{\omega_r}\bigg|\bigg)\approx Q_r\bigg|\frac{\omega}{\omega_r}\bigg|^{-\gamma} \qquad , \qquad \gamma=\frac{1}{\pi Q_r}
\end{equation}

برای بیان صحیح اثر پاشش لازم است که تغییراتی در مدل کولسکی ایجاد شود. در رابطه$ {} $ی (\ref{eq17}) سرعت فاز در مدل تغییر یافته$ {} $ی کولسکی تعریف شده است بنابراین می$ {} $توان رابطه$ {} $ی $Q$ را برای مدل بهبود یافته$ {} $ی کولسکی به صورت زیر نوشت:
\begin{equation*}
Q(\omega)=Q_r\bigg(1-\frac{1}{Q_r}\ln\bigg|\frac{\omega}{\omega_h}\bigg|\bigg)\approxQ_r\bigg|\frac{\omega}{\omega_h}\bigg|^{-\gamma}
\end{equation*}

ضریب میرایی را نیز که قبلا در رابطه$ {} $ی (\ref{eq13}) تعریف کردیم می$ {} $توان دوباره بازنویسی کرد:
\begin{equation*}
\alpha(\omega)=\frac{|\omega|}{2v_rQ_r}\approx\frac{|\omega|}{2v_rQ_r}\bigg|\frac{\omega}{\omega_h}\bigg|^{-\gamma}
\end{equation*}

طبق رابطه$ {} $ی (\ref{eq8}) می$ {} $دانیم که عدد موج مختلط ثابت انتشار موج در محیط ویسکو الاستیک است و قسمت حقیقی آن سرعت فاز و قسمت موهومی آن ضریب جذب است. باجایگذاری سرعت فاز و ضریب جذب که در بالا بدست آمده است عدد موج مختلط به صورت زیر خواهد بود:

\begin{equation*}
k(\omega)\approx\bigg(1-\frac{i}{2Q(\omega}\bigg)\frac{|\omega|}{v_r}\bigg|\frac{\omega}{\omega_h}\bigg|^{-\gamma}
\end{equation*}

همانطور که مشاهده می$ {} $شود قسمت حقیقی این رابطه بیانگر سرعت فاز پاششی و قسمت موهومی آن معرف ضریب جذب است.






\section{مدل اِستریک-عظیمی}
در مدل ارائه شده توسط اِستریک (رفرنس) و عظیمی (رفرنس) میرایی به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:
\begin{equation}
\alpha(\omega)=a_1 \big|\omega\big|^{1-\gamma}\qquad ,\qquad \gamma=\frac{1}{\pi Q_r}
\label{eq25}
\end{equation}

رابطه$ {} $ی ارائه شده برای سرعت فاز نیز به صورت زیر است:
\begin{equation}
\frac{1}{v(\omega)}=\frac{1}{v_\infty}+\alpha_1 \big|\omega\big| \cot(\frac{\pi}{2}) \gamma
\label{eq26}
\end{equation}

حال برای مقایسه بین این مدل و مدل کولسکی سه رابطه$ {} $ی زیر راخواهیم داشت:

\begin{align*}
%\begin{cases}
\gamma &=-\frac{1}{\ln|\frac{\omega}{\omega_h}|}  \sim \frac{1}{\ln|\omega_h|}
\qquad \text{\lr{for}} \qquad \omega < \omega_h \\
\\
a_1&=\frac{|\omega|^\gamma}{2v_r Q_r}\\
\\
\frac{1}{v_\infty	} &=\frac{1}{v_r}\bigg[1-\frac{1}{2 Q_r} \cot\bigg(\frac{\pi}{2}\gamma \bigg) \bigg]
%\label{eq26}
%\end{cases}
\end{align*}

حال روابط مربوط به ضریب جذب و سرعت فاز را در رابطه$ {} $ی زیر جایگزین می$ {} $کنیم:

 \begin{equation*}
 Q(\omega)=\frac{1}{2}\bigg(\frac{|\omega|}{\alpha(\omega) v(\omega)}-\frac{\alpha(\omega) v(\omega)}{|\omega|}\bigg)
 \end{equation*}
 (در مدل$ {} $های دیگر هم از همین رابطه استفاده می$ {} $کنیم و برای $Q$ رابطه را بدست می$ {} $آوریم)
 بنابراین داریم:
 
 \begin{equation*}
 Q(\omega)=\frac{1}{2}\Bigg\{\Bigg[\frac{|\omega|^\gamma}{a_1v_\infty}+\cot\bigg(\frac{\pi}{2}\gamma\bigg)\Bigg]-\Bigg[\frac{|\omega|^\gamma}{a_1v_\infty}+\cot\bigg(\frac{\pi}{2}\gamma\bigg)\Bigg]^{-1}\Bigg\}
 \end{equation*}
 
باید به این نکته نیز اشاره کرد که رابطه$ {} $ی کرامرز-کرونیگ درمدل عظیمی بر خلاف مدل کولسکی صدق می$ {} $کند یعنی فرض کمینه$ {} $فاز بودن در آن صادق است.همچنین مدل استریک عظیمی با ضرایب ارائه شده در بالا به طور قابل قبولی با مدل بهبود یافته$ {} $ی کولسکی تطابق دارد و می$ {} $توان از آن برای طراحی فیلتر وارون استفاده کرد.

شکل بیاااااااار


\section{مدل جارتانسون}
رابطه$ {} $ی میرایی در مدل جانسون همان رابطه$ {} $ی (\ref{eq24}) است اما اگر در رابطه$ {} $ی (\ref{eq25}) قرار دهیم $\frac{1}{v_\infty}=0$ آنگاه رابطه$ {} $ی سرعت فاز به صورت زیر خواهد بود:
\begin{equation}
\frac{1}{v(\omega)}=a_1 \big|\omega\big| \cot(\frac{\pi}{2}) \gamma
\label{eq27}
\end{equation}

برای بدست آوردن رابطه$ {} $ی فاکتور کیفیت برای این مدل، در رابطه$ {} $ی فاکتور کیفیت مدل عظیمی قرای می$ {} $دهیم: $\frac{1}{v_\infty}=0$ بنابراین خواهیم داشت:

\begin{equation*}
Q\approx\Big[\cot\bigg(\frac{\pi}{2}\gamma\bigg)-\tan(\frac{\pi}{2}\gamma\bigg)\bigg]
\end{equation*}
برای مقایسه$ {} $ی مدل جارتانسون و کولسکی، پارامتر ثابت در رابطه$ {} $ی (\ref{eq26}) را به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:
\begin{equation*}
a_1=\frac{\big|\omega_h \big|^{\gamma}}{2v_r Q_r}
\end{equation*}

با توجه به شکل می$ {} $توان دید که مدل جارتانسون و مدل کولسکی (در این بخش منظور مدل بهبود یافته است) با هم به ازای روابط (\ref{eq25}) و (\ref{eq26}) کاملا منطبق اند.
شکللل بیااااااااااار


\section{مدل دوم و سوم عظیمی}
عظیمی و همکاران علاوه بر مدل اول که در بالا با آن اساره شد دو مدل دیگر نیز معرفی کردند که شرط کمینه فاز بودن در آن$ {} $ها صادق است. در مدل دوم ضریب جذب به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:
\begin{equation}
\alpha(\omega)=\frac{a_2 |\omega|}{1+a_3 |\omega|}
\label{eq28}
\end{equation}

رابطه$ {} $ی ارائه شده برای سرعت فاز با استفاده از رابطه$ {} $ی کرامرز-کرونیگ (\ref{eq22}) به صورت زیر است:
\begin{equation}
\frac{1}{v(\omga)}=\frac{1}{v_\infty}-\frac{2a_2 \ln(a_3 \omega)}{\pi (1-a_3^{2} \omega^2)}
\label{eq29}
\end{equation}

در باند فرکانسی لرزه$ {} $ای (10-120 هرتز) فرض بر این است که $a_3 \omega\ll 1$ می$ {} $باشد و بنابراین رابطه$ {} $ی (\ref{eq29}) به صورت زیر بازنویسی می$ {} $شود:

\begin{equation}
\frac{1}{v(\omga)}=\frac{1}{v_\infty}-\frac{2a_2 \ln(a_3 \omega)}{\pi}
\label{eq30}
\end{equation}
در این روابط $a_1$ و $a_2$ اعداد ثابت هستند و برای مقایسه$ {} $ی این مدل با مدل کولسکی این اعداد ثابت به همراه سرعت در فرکانس بینهایت یعنی ($v_\infty$) مقادیر زیر را اختیار خواهند کرد:


\begin{equation*}
a_2 &=\frac{1}{2v_rQ_r}\bigg(1+\frac{1}{2}\bigg|\frac{\omega}{\omega_h}\bigg|\bigg)\sim\frac{3}{4v_rQ_r}\qquad
a_3 &=\frac{1}{|\omega_h|}\qquad
v_\infty &=v_r
\end{equation*}

رابطه$ {} $ی بدست آمده برای فاکتور کیفیت به صورت زیر است:
\begin{equation*}
Q(\omega)\approx\frac{1}{2a_2v_\infty}-\frac{1}{\pi}\ln(a_3\omega)
\end{equation*}
شکل بیاااااااااااررررر

در مدل سوم معرفی شده توسط عظیمی ضریب جذب به صورت زیر معرفی شده است:
\begin{equation}
\alpha(\omega)=\frac{a_4 |\omega |}{1+a_5 \sqrt{|\omega |}}
\label{eq31}
\end{equation}

 همچنین با استفاده از رابطه$ {} $ی پاشش کرامرز-کرونیگ سرعت فاز برای این مدل به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:
\begin{equation}
\frac{1}{v(\omega)}=\frac{1}{v_\infty	}+\frac{a_4 a_5 \sqrt{|\omega |}}{1+a_5^{2}~|\omega |}-\frac{2a_4\ln(a_5^{2}~|\omega|)}{\pi(1-a_5^{4}~\omega^{2})}
\label{eq32}
\end{equation}

فاکتور کیفیت برای این مدل به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:

\begin{equation*}
Q(\omega)=\frac{1}{2}(1+a_5\sqrt{|\omega|})\Big(\frac{1}{a_4v_\infty}+a_5\sqrt{|\omega|}-\frac{2}{\pi}\ln(a_5^2|\omega|)\Big)
\end{equation*}
حال برای تطابق بین این مدل و مدل کولسکی ضرایب $a_3$, $a_4$ و $v_\infty$ به صورت زیر تعریف می$ {} $شوند:

\begin{equation*}
\frac{1}{v_\infty}=\frac{1}{v_r}\Big(1-\frac{1+\big|\frac{\omega}{\omega_h}\big|}{2Q_r}\Big)\sim\frac{1}{v_r}
\Big(1-\frac{1}{Q_r}\Big)
\qquad
a_4=\frac{1+\sqrt{|\frac{\omega}{\omega_h}|}}{2v_rQ_r}
\qquad
a_5=\frac{1}{\sqrt{|\omega_h |}}
\end{equation*}

شکل آورده شودددددد.

\section{مدل مولر}


رابطه$ {} $ی جذب برای مدل مولر به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:
\begin{equation}
\alpha(\omega)=\frac{\omega}{2 v_r Q_r} \bigg|\frac{\omega}{\omega_r}\bigg|^{-\gamma}
\label{eq33}
\end{equation}

سرعت فاز نیز به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:
\begin{equation}
\frac{1}{v(\omega)}=\frac{1}{v_r}\Bigg[1+\frac{1}{2Q_r}\Bigg(\bigg|\frac{\omega}{\omega_r}\bigg|^{-\gamma}-1\Bigg) \cot\big(\frac{\pi}{2}\gamma\big)\Bigg]
\label{eq34}
\end{equation}

رابطه$ {} $ی تعریف شده برای فاکتور کیفیت در این مدل به صورت زیر است:
\begin{equation}
Q(\omega)=\Big(\frac{\omega}{\omega_0}\Big)^\gamma=Q(\omega_r) \Big(\frac{\omega}{\omega_r}\Big)^\gamma\qquad,\qquad -1\leq \gamma \leq 1
\end{equation}


\textbf{\Large اثبات}

در این رابطه $\omega_r$ فرکانس مرجع و $\omega_0$ فرکانسی است که به ازای آن $Q(\omega_0)=1$ می$ {} $باشد. اگر در این رابطه قرار دهیم $\omega=0$ رابطه$ {} $ی فاکتور کیفیت برای مدل جارتانسون بدست می$ {} $آید. دو حالت را بررسی می$ {} $کنیم:

در حالت اول فرض می$ {} $کنیم $0<\gamma\leq1$ و برای مقدیر بزرگ $Q(\omega)$ یعنی $\omega \gg\omega_0$ سرعت مختلط یه صورت زیر تقریب زده می$ {} $شود:
\begin{equation*}
\frac{1}{c(\omega)}=\frac{1}{c_\infty}\exp\Bigg\{\frac{1}{2}\bigg|\frac{\omega}{\omega_0}\bigg|^\gamma
\bigg[\cot\big(\frac{\pi}{2}\gamma\big)-i\bigg]\Bigg\}
\end{equation*}

حال اگر بسط تیلور تابع $\exp(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ را برای این رابطه بنویسیم و با توجه با رابطه$ {} $ی زیر که در واقع ثابت انتشار را معرفی می$ {} $کند:
\begin{equation*}
k(\omega)=\frac{\omega}{c(\omega)}=\frac{\omega}{v(\omega)}-i\alpha(\omega)
\end{equation*}

ضریب جذب و سرعت فاز به صورت زیر تعریف می$ {} $شوند:

\begin{align*}
\alpha(\omega) &=\frac{|\omega|}{2c_\infty}\bigg|\frac{\omega}{\omega_0}\bigg|^{-\gamma}\\
\frac{1}{v(\omega)} &=\frac{1}{c_\infty}\Bigg[1+\frac{1}{2}\bigg|\frac{\omega}{\omega_0}\bigg|^{-\gamma} \cot\bigg(\frac{\pi}{2}\gamma\bigg)\Bigg]
\end{align*}

درحالت دوم $-1\leq\gamma<0$ است و باز فرض بر بزرگ بودن $Q(\omega)$ است یعنی $\omega\ll\omega_0$. سرعت مختلط این بار به صورت زیر خواهد بود:

\begin{equation*}
\frac{1}{c(\omega)}=\frac{1}{c_0}\exp\Bigg\{\frac{1}{2}\bigg|\frac{\omega}{\omega_0}\bigg|^\gamma
\bigg[\cot\big(\frac{\pi}{2}\gamma\big)-i\bigg]\Bigg\}
\end{equation*}

با استفاده از بسط تیلور ضریب جذب و سرعت فاز به صورت زیر تعریف می$ {} $شوند:
\begin{align*}
\alpha(\omega) &=\frac{|\omega|}{2c_0}\bigg|\frac{\omega}{\omega_0}\bigg|^{|\gamma|}\\
\frac{1}{v(\omega)} &=\frac{1}{c_0}\Bigg[1+\frac{1}{2}\bigg|\frac{\omega}{\omega_0}\bigg|^{|\gamma|} \cot\bigg(\frac{\pi}{2}|\gamma|\bigg)\Bigg]
\end{align*}

حال اگر دو رابطه$ {} $ای که برای سرعت مختلط در بالا بدست آمد با هم ترکیب شوند یک رابطه$ {} $ی کلی برای مقادیر $-1\leq\gamma\leq 1$ به صورت زیر بدست خواهد آمد:

\begin{equation*}
\frac{1}{c(\omega)}=\frac{1}{v_r}\Bigg[\frac{1}{2Q_r}\Bigg(\bigg|\frac{\omega}{\omega_r}\bigg|^{-\gamma}-1\Bigg)\cot\big(\frac{\pi}{2}\gamma\big)-i\frac{1}{2Q_r}\bigg|\frac{\omega}{\omega_r}\bigg|^{-\gamma}\Bigg]
\end{equation*}

حال اگر به این رابطه توجه کنیم و آن را با رابطه$ {} $ی ثابت موج مخالط که در بالا آورده شده است مقایسه کنیم خواهیم داشت:

\begin{equation*}
\alpha(\omega)=-Im\Big\{\frac{\omega}{c(\omega)}\Big\}\qquad \frac{1}{v(\omega)}=Re\Big\{\frac{1}{c(\omega)}\Big\}
\end{equation*}

این روابط در واقع همان روابط ضریب میرایی و سرعت فاز بدست آمده در ابتدای معرفی این مدل می$ {} $باشد.



برای مقایسه$ {} $ی این مدل با مدل کولسکی در این روابط مقادیر زیر را جاگیزین می$ {} $کنیم:
\begin{equation*}
\omega_r=\omega_h \qquad,\qquad \gamma=\frac{1}{\pi Q_r}\quad, \quad  -1\leq\gamma \leq 1
\end{equation*}

شکککککککککللللللللللللللللل

\section{مدل جامد خطی استاندارد زِنر}
مدل زِنر یک معادله$ {} $ی خطی است که اغلب برای برقراری ارتباط بین تنش و کرنش بکار می$ {} $رود (رفرننننس) این مدل رو جموتر مکانیسم کارشو توضیح میدیم.
این مدل ضریب میرایی را به صورت زیر معرفی می$ {} $کند:
\begin{equation}
\alpha(\omega)\approx\frac{\omega^2 \tau_c }{v_0Q_c(1+\omega^2~\tau_c^2)}
\label{eq35}
\end{equation}

سرعت فاز نیز طبق رابطه$ {} $ی زیر معرفی شد:

\begin{equation}
\frac{1}{v(\omega)}\approx\frac{1}{v_0}\Bigg(1-\frac{\omega^2\tau_c^2}{Q_c(1+\omega^2\tau_c^2)}\Bigg)
\label{eq36}
\end{equation}
در این روابط $v_0$ سرعت فاز وقتی $v(\omega)\longrightarrow 0$ و $\tau_c$ و  $Q_c$ دو پارامتر ثابت اند که ویژگی$ {} $های میرایی در مدل جامد استاندارد خطی بیان می$ {} $کند. میرایی نسبت به فرکانس در قله$ {} $ی تابع میرایی مقداری  برابر با $Q_c^-1$ دارد. اگر بخواهیم این مدل را با مدل کولسکی مقایسه کنیم باید در روابط (\ref{eq35}) و (\ref{eq36}) مقادیر زیر را جایگزین کنیم:
\begin{align*}
\tau_c & =\frac{1}{\omega_h}\\
\frac{1}{v_0} &=\frac{1}{v_r}\Bigg(\frac{1}{2Q_r}\Bigg|\frac{\omega}{\omega_h}\Bigg|+\Bigg |\frac{\omega}{\omega_h}\Bigg |^{-\frac{1}{\pi Q_r}}\Bigg) \sim \frac{1}{v_r}\Big(1+\frac{1}{2Q_r}\Big)\\
Q_c &=\frac{1+2Q_c\big |\frac{\omega}{\omega_h}\big|^{-\big(1+\frac{1}{\pi Q_r}\big)}} {1+\big |\frac{\omega}{\omega_h}\big|^{-2}} \sim \frac{1}{2}+Q_r
\end{align*}

شککککککللللللللللل

\textbf{\Large اثبات}

مدل زنر یک رابطه$ {} $ی بین تنش و کرنش و مشتقات زمانی اول آنها را بیان می$ {} $کند. در ادامه خواهیم دید که تنش و کرنش توسط مدول الاستیک مختلط به هم مربوط می$ {} $شوند:
\begin{equation*}
\Sigma(\omega)=M(\omega) E(\omega)
\end{equation*}
این مدول الاستیک به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:

\begin{equation*}
M(\omega)=M_R \frac{1+i\omega\tau_\varepsilon}{1+i\omega\tau_\sigma}
\end{equation*}
در این رابطه $\tau_\varepsilon$ و $\tau_\sigma$ و $M_R$ به ترتیب زمان آسایش تنش ، زمان آسایش کرنش و مدول آسایش یا مدول تغییر شکل است. تعریف مکانیکی آسایش\footnote{Relaxation} در اینجا به این صورت است که کرنشی که بر اثر اعمال یک تنش ثابت بر روی یک جسم بوجود می$ {} $آید افزایش یابد با زمان و در یک زمان خاصی ثابت شود. همچنین تنشی که بر اثر اعمال کرنش بر جسم وارد می$ {} $شود پس از افزایش با زمان، در یک زمان خاص به یک مقدار مجانبی برسد و با زمان ثابت بماند. ثابت شده است که امواج تنشی که دوره تناوب آنها برابر با زمان آسایش محیط گذرنده از آن می$ {} $باشد به شدت تحت تاثیر میرایی در آن محیط قرار می$ {} $گیرند. از لحاظ فیزیکی $M_R$ که \lr{Relaxed Modulus} نام دارد مقدار نهایی نسبت تنش به کرنش پس از رسیدن محیط به حالت آسایش است اما کمیت $M_U$ که از آن با نام \lr{Unrelaxed Modulus} یاد می$ {} $کنند مقدار اولیه$ {} $ی این نسبت است قبل از اینکه محیط به حالت آسایش برسد. این دو کمیت به صورت زیر محاسبه می$ {} $شوند:
\begin{equation*}
M_r\equiv\lim_{\omega \to \infty} M(\omega) \qquad M_U\equiv \lim_{\omega \to \infty} M(\omega)= M_R\frac{\tau_\varepsilon}{\tau_\sigma}
\end{equation*}

به کمیت  $M_R$ مدول فرکانس پایین و به کمیت $M_U$ مدول فرکانس بالا می$ {} $گویند. یک حالت خاص از مدل جامد استانارد خطی، مدل کلوین وویگت\footnote{\Kelvin-Voigt} در محیط ویسکو الاستیک  است که در آن مدول الاستیک مختلط به صورت زیر بیان می$ {} $شود:
\begin{equation*}
M(\omega)=M_R (1+i\omega\tau_\varepsilon)
\end{equation*}
قسمت حقیقی مدول مختلط به صورت زیر است:
\begin{equation*}
\M_Re(\omega)=M_R\frac{1+\omega^2\tau_\varepsilon\tau_\sigma}{1+\omega^2\tau^2_{\sigma}}
\end{equation*}

جلوتر یک فاکتوری به نام فاکتور میرایی معرفی می$ {} $کنیم که در واقع عکس فاکتور کیفیت است و نسبت قسمت حقیقی و موهومی مدول مختلط است. حال در اینجا این فاکتور کاهندگی را به صورت زیر تعریف می$ {} $کنیم:

\begin{equation*}
\xi(\omega)=\frac{|\omega|(\tau_\varepsilon-\tau_\sigma)}{1+\omega^2\tau_\varepsilon \tau_\sigma}
\end{equation*}

حال با جایگذاری دو معادله$ {} $ی اخیر در معادلات 56 و 57 ضریب میرایی و سرعت فاز بر حسب زمان$ {} $های آسایش بدست می$ {} $آیند:
\begin{equation*}
\alpha(\omega)\approx \frac{\omega^2\tau_\varepsilon-\tau_\sigma}{2v_0(1+\omega^2\tau^2_{\sigma})}\qquad
\frac{1}{v(\omega)}\approx\frac{1}{v_0}\bigg(1-\frac{\omega^2\tau_\sigma (\tau_\varepsilon-\tau_\sigma)}{2(1+\omega^2\tau_\varepsilon \tau_\sigma)}\bigg)
\end{equation*}

در این رابطه $v_0$ سرعت فاز وقتی که فرکانس به صفر میل می$ {} $کند می$ {} $باشد:
\begin{equation*}
v_0=\sqrt{\frac{M_R}{\rho}}=\lim_{\omega \to 0} \sqrt{\frac{M_Re(\omega)}{\rho}}
\end{equation*}

حال برای روابط را با یک زمان آسایش باز نویسی می$ {} $کنیم. قبا از آن نیاز است که دو پارامنر زیر تعریف شوند:

\begin{equation*}
\frac{1}{Q_c}=\frac{\tau_\varepsilon-\tau_\sigma}{2\sqrt(\tau_\varepsilon\tau_\sigma)}\qquad , \qquad
\tau_c=\sqrt{\tau_\varepsilon \tau_\sigma}
\end{equation*}

اختلاف نرمال شده بین دو مدول $M_U$ و $M_R$  به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:
\begin{equation*}
\Delta M= \frac{M_U-M_R}{\sqrt{M_UM_R}}
\end{equation*}

برای این مدل، تابع میرایی بر حسب فرکانس یک مقدار بیشینه در $\frac{1}{2}\Delta M$ دارد و فرکانس در این نقطه$ {} $ی بیشینه برابر $\frac{1}{\tau_c}$ است. حال اگر زمان آسایش تنش و کرنش را بر حسب دو پارامتر جدید معرفی شده بازنویسی کنیم خواهیم داشت:

\begin{equation*}
\tau_\varepsilon=\tau_c\bigg(\sqrt{(1+\frac{1}{Q_c^2})}+\frac{1}{Q_c}\bigg)\qquad
\tau_\sigma=\tau_c\bigg(\sqrt{1+\frac{1}{Q_c^2}}-\frac{1}{Q_c}\bigg)
\end{equation*}
 
بنابراین می$ {} $توان با بازنویسی روابط مربوط به میرایی و سرعت فاز، روابطی را که برای این دو کمیت در ابتدای مرفی این مدل آورده شد بدست آورد. در نهاست رابطه$ {} $ی $Q$ معرفی شده برای این مدل به صورت زیر خواهد بود:

\begin{equation*}
\frac{1}{Q(\omega)}\approx\frac{2|\omega|\tau_c}{Q_c(1+\omega^2\tau_c^2)}
\end{equation*}














\section{مدل کول-کول}
این مدل درواقع تعمیم مدل زِنر می$ {} $باشد. رابطه$ {} $ی میرایی برای این مدل به صورت زیر معرفی شده است:

\begin{equation}
\alpha(\omega)\approx \frac{\gamma |\omega \tau_c |^{1+\gamma} \sin(\frac{\pi}{2}\gamma)}{v_0 \tau_c Q_c [1+2|\gamma\tau_c |^{\gamma}  \cos(\frac{\pi}{2}\gamma)+|\gamma\tau_c |^{2\gamma} ]}
\label{eq37}
\end{equation}

سرعت فاز برای این مدل به صورت زیر معرفی شده است:

\begin{equation}
\frac{1}{v(\omega)}=\frac{1}{v_0}\Bigg(1-\frac{\gamma |\omega \tau_c |^{\gamma} [cos(\frac{\pi}{2}\gamma           )+ |\gamma \tau_c |^{\omega}]} {Q_c[1+2|\omega\tau_c|^\gamma \cos(\frac{\pi}{2}\gamma)+|\omega \tau_c|^{2\gamma}]}\Bigg)
\label{eq38}
\end{equation}

پارامترهای $\v_0$، $\tau_c$ و $\Q_c$ همانند روابط معرفی شده برای این پارامترها در مدل زِنر تعریف می$ {} $شوند. برای مقایسه بین این مدل و مدل کولسکی باید این سه پارامتر به صورت زیر تغییر یابند:

\begin{equation*}
\tau_c =\frac{1}{\omega_h} \qquad Q_c =\frac{\gamma^2}{4}\pi Q_r \qquad \frac{1}{v_r} = \frac{1}{v_r}\bigg(1+\frac{2}{\gamma \pi Q_r}\bigg)
\end{equation*}

شکل زیر مقایسه$ {} $ای بین مدل کولسکی و کول کول به ازای مقادیر مختلف $\gamma$  نشان می$ {} $دهد.


\textbf{\Large اثبات}

مدول مختلط معرفی شده در این مدل به صورت زیر است:
\begin{equation*}
M(\omega)=M_R\frac{1+(\i\omega\tau_\varepsilon)^\gamma}{1+(\i\omega\tau_\sigma)^\gamma}
\end{equation*}

اگر در این رابطه قرار دهیم $\gamma=1$ رابطه$ {} $ی مربوط به مدول مختلط در مدل خطی استاندارد بدست می$ {} $آید.
مدول $M_U$ نیز طبق رابطه$ {} $ی زیر بدست می$ {} $آید: رفرنس بده به کول-کول


\begin{equation*}
M_U\equiv \lim_{\omega \to \infty} M(\omega)= M_R\bigg(\frac{\tau_\varepsilon}{\tau_\sigma}\bigg)^\gamma
\end{equation*}

قسمت حقیقی مدول مختلط به صورت زیر است:

\begin{equation*}
M_{Re}(\omega)=M_R \frac{1+(\omega^2\tau_\varepsilon\tau_\sigma)^\gamma+(|\omega\tau_\varepsilon|^\gamma+|\omega\tau_\sigma|^\gamma)\cos(\frac{\pi}{2}\gamma)}{1+|\omega\tau_\sigma|^{2\gamma}+2|\omega\tau_\sigma|^\gamma \cos(\frac{\pi}{2}\gamma)}
\end{equation*}

وارون تابع فاکتور کیفیت نیز یه صورت زیر است:

\begin{equation*}
\frac{1}{Q(\omega)}=\frac{(|\omega\tau_\varepsilon|^\gamma-|\omega\tau_\sigma|^\gamma)\sin(\frac{\pi}{2}\gamma)}{1+(\omega^2\tau_\varepsilon\tau_\sigma)^\gamma+(|\omega\tau_\varepsilon|^\gamma+|\omega\tau_\sigma|^\gamma)\cos(\frac{\pi}{2}\gamma)}
\end{equation*}

حال با استفاده از روابط 56 و 57 فاکتور کیفیت و سرعت فاز را به صورت زیر تعریف می$ {} $کنیم:

\begin{align*}
\alpha(\omega)& \approx \frac{\omega(|\omega\tau_\varepsilon|^\gamma-|\omega\tau_\sigma|^\gamma)\sin(\frac{\pi}{2}\gamma)}{2v_0 [1+(\omega^2\tau_\varepsilon\tau_\sigma)^\gamma+(|\omega\tau_\varepsilon|^\gamma+|\omega\tau_\sigma|^\gamma)\cos(\frac{\pi}{2}\gamma)]}\\
\nonumber \\
\frac{1}{v(\omega)} &\approx \frac{1}{v_0} \Bigg(1-\frac{(|\omega\tau_\varepsilon|^\gamma-|\omega\tau_\sigma|^\gamma)[|\omega\tau_\sigma|^\gamma+\cos(\frac{\pi}{2}\gamma)]}{2[1+|\omega\tau_\sigma|^{2\gamma}+2|\omega\tau_\sigma|^\gamma \cos(\frac{\pi}{2}\gamma)]}\Bigg)
\end{align*}

مانند مدل زِنر در اینجا نیز دو پارامتر زیر تعریف می$ {} $شوند:

\begin{equation*}
\frac{1}{Q_c}=\frac{\tau_\varepsilon-\tau_\sigma}{2\sqrt(\tau_\varepsilon\tau_\sigma)}\qquad , \qquad
\tau_c=\sqrt{\tau_\varepsilon \tau_\sigma}
\end{equation*}

بنابراین خواهیم داشت:

\begin{equation}
\tau_\varepsilon^\gamma\approx\tau_c^\gamma\Big(1+\frac{\gamma}{Q_c}+\frac{\gamma^2}{2Q_c^2}\Big)\qquad
\tau_\sigma^\gamma\approx\tau_c^\gamma\Big(1-\frac{\gamma}{Q_c}+\frac{\gamma^2}{2Q_c^2}\Big)
\end{equation}

با جایگذاری این روابط در معادلات مربوط به سرعت فاز و میرایی بدست آمده، معادلات بیان شده برای این دو کمیت در ابتدای معرفی این مدل بدست خواهند آمد. در پایان رابطه$ {} $ی مربوط به فاکتور کیفیت به صورت زیر خواهد بود:

\begin{equation}
\frac{1}{Q(\omega)}\approx \frac{2\gamma |\omega\tau_c|^\gamma|\sin(\frac{\pi}{2}\gamma)}{Q_c[1+|\omega\tau_\sigma|^{2\gamma}+2|\omega\tau_\sigma|^\gamma \cos(\frac{\pi}{2}\gamma)]}
\end{equation}






\section{مدل خطی کلی}
این مدل توسط ونگ و گوو به عنوان جایگزین مدل کول-کول معرفی شد. در این رابطه ضریب جذب به صورت زیر معرفی شده است:
\begin{equation}
\alpha(\omega)\approx \frac{1}{v_\infty}\bigg[\frac{a}{2}\bigg(1+\frac{1}{2}\omega^2 \tau^2\bigg)+b\bigg] \frac{\omega^2 \tau}{1+\omega^2\tau^2}
\label{eq39}
\end{equation}

سرعت فاز در این مدل به صورت زیر است:
\begin{equation}
\frac{1}{v(\omega)} \approx\frac{1}{v_\infty}\Bigg\{1+\Bigg[a\Bigg(1+\frac{5}{8}\omega^2\tau^2\Bigg)+b\Bigg]\frac{1}{1+\omega^2\tau^2}\Bigg\}
\label{eq40}
\end{equation}

در این رابطه $\tau$ زمان آسایش و $a$ و $b$ دو کمیت ثابت در این مدل هستند که برای مقایسه$ {} $ی این مدل با مدل کولسکی به جای آنها وهمچنین $v_\infty$ باید مقادیر زیر را جایگزین کرد:

\begin{equation*}
v_\infty = v_r \qquad a=-\frac{8}{7Q_r} \qquad b=\frac{13}{7Q_r} \qquad \tau=\frac{1}{\omega_h}
\end{equation*}

رابطه$ {} $ی فاکتور کیفیت در این مدل که به صورت زیر تعریف شده است:

\begin{equation*}
\frac{1}{Q(\omega)}\approx \frac{|\omega\tau|(a+2b+\frac{1}{2}a\omega^2\tau^2)}{1+a+b+(1+\frac{5}{8}a\omega^2\tau^2)}
\end{equation*}

شکککککککللللللللل بیار واسه مقایسه.

با توجه به مدل$ {} $های معرفی شده و مقایسه$ {} $ی آنها با مدل بهبود یافته$ {} $ی کولسکی می$ {} $توان نتیجه گرفت که شباهت زیادی بین آنها وجود دارد. مدل اولیه$ {} $ی کولسکی فقط برای فرکانس$ {} $های بالا مناسب است و می$ {} $توان با تعیین یک کمیت جدید که همان فرکانس نایکویست در باند لرزه$ {} $ای است و تغییر و بهبود آن رابطه$ {} $ای جدید بدست آورد که به خوبی معرف پدیده$ {} $ی پاشش سرعت در باند فرکانسی لرزه$ {} $ای باشد. بررسی$ {} $ها نشان می$ {} $دهد که با قرار دادن یک سری پارامترها در مدل$ {} $های جدید معرفی شده، می$ {} $توان مطابقت این مدل$ {} $ها با مدل تغییر یافته$ {} $ی کولسی را مشاهده کرد. اهمیت این شباهت در این هست که وقتی فیلتر وارون $Q$ با مدل کولسکی طراحی می$ {} $شود نتایج آن با سایر فیلترها که با مدل$ {} $های دیگر طزاحی شده اند قابل مقایسه باشد.


\section{تعاریف ریاضی مدل$ {} $های مختلف فاکتور کیفیت}
همانطور که در بالا گفته شد مدل$ {} $های مختلفی برای فاکتور کیفیت زمین تعریف شده است که هر کدام روابط متفاوتی برای ضریب جذب و سرعت فاز دارند. باید توجه کرد که هر کدام از این روابط باید در رابطه$ {} $ی کرامرز-کرونیگ برفرار باشند تا از علی بودن پاسخ زمین مطمئن بود. ضریب جذب و سرعت فاز در واقع قسمت موهومی و حقیقی عدد موج مختلط را تشکیل می$ {} $دهند که اساس طراحی فیلتر وارون فاکتور کیفیت برای امواج لرزه$ {} $ای گذرنده از محیط ویسکو الاستیک می$ {} $باشد. این عدد موج مختلط به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:
\begin{equation*}
k=\frac{\omega}{v(\omega)}+i\alpha
\end{equation*} 

در پردازش داده$ {} $های لرزه$ {} $ای فیلتر وارون فاکتور کیفیت سعی بر جبران اثر میرایی و پاشش ایجاد شده بر داده$ {} $های لرزه$ {} $ای بر اثر عبور از لایه$ {} $های زیرسطحی دارد. در واقع این فیلتر یک فرآیند وارون از مدل مستقیم انتشار امواج در زمین است. درک کامل از مدل ریاضی فاکتور کیفیت برای طراحی فیلتر وارون لازم است. در قسمت قبل برای هفت مدل مختلف یک سری پارامتر به صورت تحلیلی معرفی شد که این پارامترها برای تطبیق هر کدام از مدل$ {} $ها با مدل کولسکی بدست آمده اند که بست آوردن هرکدام از این پارامترها نیازمند درک صحیح از پس زمینه$ {} $ی ریاضیاتی این مدل$ {} $ها است.
 به هنگام انتشار امواج لرزه$ {} $ای از یک محیط ویسکو الاستیک و همگن اثر میرایی و پاشش سرعت با یکدیگر در یک کمیت بدون بعد به نام فاکتور کیفیت ظاهر می$ {} $شوند:
 \begin{equation}
 Q(\omega)=\frac{1}{2}\bigg(\frac{|\omega|}{\alpha(\omega) v(\omega)}-\frac{\alpha(\omega) v(\omega)}{|\omega|}\bigg)
\label{eq41}
 \end{equation}
چون $Q$ کمیتی مثبت است بنابراین باید ($\frac{\alpha(\omega) v(\omega)}{|\omega|} <1$).  با فرض $\frac{\alpha(\omega) v(\omega)}{|\omega|} \ll 1  $ که معادل $\frac{1}{Q(\omega)}$ می$ {} $باشد، رابطه$ {} $ی بالا به صورت زیر بازنویسی می$ {} $شود:
\begin{equation}
Q(\omega)\approx \frac{|\omega|}{2\alpha(\omega) v(\omega)}
\label{eq42}
\end{equation}

روابط (\ref{eq40}) و (\ref{eq41}) را اثبات می$ {} $کنیم و با جایگذاری روابط سرعت فاز و میرایی که در بالا بدست آوردیم رابطه$ {} $ی $Q$ برای هرکدام از مدل$ {} $ها را بدست می$ {} $آوریم.

برای اثبات از رابطه$ {} $ی تنش و کرنش استفاده می$ {} $کنیم به شکل زیر:
\begin{equation}
\Sigma(\omega)=M(\omega) E(\omega)
\label{eq43}
\end{equation}
در این رابطه $\Sigma$ و $E$ به ترتیب تنش و کرنش در فرکانس $\omega$ هشتند که با مدئل الاستیک $M$ به هم مرتبط می$ {} $شوند. وایت\footnote{White} با فرض اینکه تنش و کرنش به صورت سینوسی متغیر هستند، تاخیر فازی بین آنها را به عنوان عامل کاهش انرژِی بیان کرد (رفرنس):
\begin{equation}
\xi(\omega)\equiv\frac{1}{Q(\omega)}=\frac{M_{Im}(\omega)}{M_{Re}(\omega)}
\label{eq44}
\end{equation}
در این رابطه $M_{Im}(\omega)$ و ${M_{Re}(\omega)$ قسمت موهومی و حقیقی مدول مختط $M(\omega)$ می$ {} $باشند.
معادله$ {} $ی موج تخت به صورت زیر است:
\begin{equation}
U(x,\omega)=U_0(\omega) \exp[i(\omega t-kx)]
\label{eq45}
\end{equation}
در این معادله $U_0$ تبدیل فوریه$ {} $ی پالس منتشر شونده است و چون فرض بر این است که موج در محیط ویسکوالاستیک منتشر می$ {} $شود بنابراین عدد موج $k$ کمیتی مختلط به صورت زیر است:
\begin{equation}
k(\omega)=\frac{\omega}{c(\omega)}=\frac{\omega}{v(\omega)}-i\alpha(\omega)
\label{eq46}
\end{equation}


در این رابطه $c(\omega)$ سرعت مختلط است و با مدول الاستیک مختلط ($M(\omega)$) به به صورت زیر در ارتباط است:
\begin{equation}
c(\omega)=\sqrt{\frac{M(\omega)}{\rho}}
\label{eq47}
\end{equation}

 با جایگذاری رابطه$ {} $ی (\ref{eq46}) در معادله$ {} $ی موج (\ref{eq45}) خواهیم داشت:
 \begin{equation}
 U(x,\omega)=U_0(\omega) \exp[-\alpha(\omega)x] \exp\bigg[i\omega\bigg(t-\frac{x}{v(\omega)}\bigg)\bigg]
 \label{eq48}
 \end{equation}
 
با توجه به این معادله می$ {} $توان به این نکته پی برد که $\alpha(\omega)$ عامل افت دامنه و $\frac{\omega}{v(\omega)} $ عامل تغییر فاز و در نتیجه تغییر شکل پالس در طول مسیر انتشار است. این دو، توابعی حقیقی و زوج از فرکانس می$ {} $باشند.حال با جایگذاری رابطه$ {} $ی (\ref{eq46}) در رابطه$ {} $ی (\ref{eq47}) خواهیم داشت:
\begin{equation}
\Bigg(\frac{1}{v(\omega)}-i\frac{\alpha(\omega)}{\omega}\Bigg)^2 = \frac{\rho}{|M(\omega)|^2}[M_{Re}(\omega)-iM_{Im}(\omega)]
\label{eq49}
\end{equation}

بنابراین قسمت حقیقی و موهومی مدول الاستیک یه صورت زیر بدست می$ {} $آید:
\begin{align}
M_{Re}(\omega)&=\Big(\frac{1}{v^2(\omega)}-\frac{\alpha^2(\omega)}{\omega^2}\Big)\frac{|M(\omega)|^2}{\rho}\label{eq50}\\ 
\nonumber \\ 
M_{Im}&=\frac{2\alpha(\omega)}{\omegav(\omega)}\frac{|M(\omega )|^2}{\rho}\label{eq51}
\end{align}
با جایگذاری روابط (\ref{eq50}) و (\ref{eq51}) در رابطه$ {} $ی (\ref{eq44}) به راحتی تعریفی که از $Q$ در رابطه$ {} $ی (\ref{eq41}) آورده شده است بدست خواهد آمد.

همانطور که گفته شد فرض این است که فاکتور کیفیت کمیتی مثبت است. با توجه به این فرض $M_{Re}(\omega)$  تابعی زوج و مثبت از $\omega$ و $M_{Im}(\omega)$ تابعی فرد است و برای فرکانس$ {} $هیا مثبت مقداری مثبت خواهد بود.
از روابط (\ref{eq50}) و (\ref{eq51}) می$ {} $توان به روابط مربوط به فاکتور جذب و سرعت فاز که توسط اکی و ریچاردز معرفی شد رسید:
\begin{equation}
\alpha(\omega)=\frac{|\omega| M_{Im}(\omega)}{|M(\omega)|}\sqrt{\frac{\rho}{2[M_{Re}(\omega)+|M(\omega)|]}}
\label{eq52}
\end{equation}

این رابطه را می$ {} $توان بر حسب $\xi(\omega)$، رابطه$ {} $ی (\ref{eq44})، به صورت زیر نوشت:
\begin{equation}
\alpha(\omega)=|\omega| \sqrt{\frac{\rho}{M_{Re}(\omega)}}\frac{\xi}{\sqrt{2(1+\xi^2)\big(1+\sqrt{1+\xi^2\big)}}}
\label{eq53}
\end{equation}
برای سرعت فاز خواهیم داشت:
\begin{equation}
\frac{1}{v(\omega)}=\frac{1}{|M(\omega)|}\sqrt{\frac{\rho[M_{Re}(\omega)+|M(\omega)|]}{2}}=\sqrt{\frac{\rho}{M_{Re}(\omega)}} \sqrt{\frac{1+\sqrt{1+\xi^2}}{2(1+\xi^2)}}
\label{eq54}
\end{equation}

فرض بر این است که $\xi\equiv Q\gg 1$، بنابراین روابط (\ref{eq53}) و (\ref{eq54}) را می$ {} $توان به صورت تقریبی زیر نوشت:
\begin{align}
\alpha(\omega)\approx\sqrt{\frac{\rho}{M_{Re}(\omega)}}\frac{\xi}{2}\label{eq55}\\
\frac{1}{v(\omega)}\approx\sqrt{\frac{\rho}{M_{Re}(\omega)}}\label{eq56}
\end{align}

با ترکیب روابط (\ref{eq55}) و (\ref{eq56}) به رابطه$ {} $ی (\ref{eq42}) رسید.



برای اینکه پاسخ زمین یک پالس علی باشد، ضریب جذب و سرعت فاز باید در روابط کرامرز-کرونیگ صدق کنند. روابط پاشش کرامرز-کرونیگ از روابط معروف در تئوری جریان اللکتریکی است. طبق این روابط اگر ثابت انتشار حرکت موج که این حرکت خطی نیز می$ {} $باشد در نظر بگیریم، قسمت حقیقی ثابت انتشار موج از جمع مقادیر قسمت موهومی آن در کل بازه$ {} $ی فرکانسی بدست می$ {} $آید. روابط پاشش کرامرز-کرونیگ برای میرایی و سرعت فاز به صورت زیر بیان می$ {} $شود:

\begin{align}
\frac{\omega}{v(\omega)}-\frac{\omega}{v_\infty}&=\mathcal{H}\{\alpha(\omega)\}\label{eq57}\\
\nonumber \\ 
\frac{\alpha(\omega)-\alpha(0)}{\omega}&=-\mathcal{H}\bigg\{\frac{1}{v(\omega)}-\frac{1}{v_\infty}\bigg\}\label{eq58}
\end{align}

در این روابط $\mathcal{H}\{.\}$ تبدیل هیلبرت است و $v_\infty$ و $\alpha(0)$ به صورت زیر تعریف می$ {} $شوند:
\begin{align*}
v_\infty &=\lim_{\omega\rightarrow\infty}v(\omega)=\lim_{\omega\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{M_{Re}}{\rho}}\\
\alpha(0) &=\lim_{\omega\rightarrow\infty}=0
\end{align*}

اگر روابط (\ref{eq57}) و (\ref{eq58}) برقرار باشند بنابراین پالس عبوری از داخل زمین نسبت به بالس اولیه مینیمم فاز خواهد بود (اکی و ریچاردز)




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\textbf{پایان نامه ژنگ}
به طورمعمول در اکتشافات لرزه$ {} $ای زمین به صورت یک محیط چندلایه$ {} $ی الاستیک در نظر گرفته می$ {} $شود و انتشار امواج لرزه$ {} $ای به وسیله$ {} $ی معادله$ {} $ی الاستیک یا اکوستیک موج بیان می$ {} $شود اما در عمل انتشار امواج لرزه$ {} $ای با انتشار موج در یک محیط ایده آل الاستیک متفاوت است زیرا مواد سازنده$ {} $ی زمین غیر کشسان، ناهمگون، متخلخل و دارای خواص پتروفیزیکی متفاوت اند و معادله$ {} $ی موج برای تفسیر و توضیح رفتار موج در چنین محیط$ {} $های پیچیده$ {} $ای مناسب نیست. به طور کلی به دلیل ویسکوالاستیک بودن مواد زمیین انرژی امواج لرزه$ {} $ای به هنگام انتشار کاسته شد و این امر باعث کاهش دامنه و تغییر در محتوای فرکانسی موج خواهد شد که به این پدیده میرایی گویند. میرایی امواج لرزه$ {} $ای معمولا یه دو گروه تقسیم می$ {} $شوند. میرایی براثر پراکندگی انرژی موج در جهت$ {} $های گوناگون\footnote{scattering attenuation} و میرایی به واسطه$ {} $ی اصطکاک داخلی بین اجزای سنگ و حرکت نسبی سیال موجود در محیط متخلخل سنگ\footnote{intrinsic attenuation}. درواقع اثر اصطکاک داخلی مربوط به خواص پتروفیزیکی سنگ و سیال آن است.

هنگام بکارگیری مفهوم فاکتور کیفیت برای توصیف میرایی لرزه$ {} $ای معمولا فرض بر این است که در بازه$ {} $ی فرکانسی لرزه$ {} $ای  $Q$ مستقل از فرکانس است، با این وجود مدل$ {} $های مختلفی بمعرفی شده اند که $Q$ راوابسته به فرکانس در نظر می$ {} $گیرند. این مدل$ {} $ها از لحاظ تئوری برای بدست آوردن معادله$ {} $ی موج در محیط ویسکوالاستیک بهتر هستند و با نتایج آزمایشگاهی تطابق بیشتری دارند اما از کارآمدی این مدل$ {} $های پیچیده به دلیل وابستگی آنها به یکسری پارامترهای غیر قابل محاسبه کاسته است. 

همانطور که گفته شد انتشار موج در محیط زمین با آنچه محیط کشسان و ایده$ {} $آل نامیده می$ {} $شود متفاوت است و برای توصیف انتشار موج در چنین محیطی لازن است علاوه بر سرعت و چگالی، میرایی نیز به عنوان عامل کنترل کننده$ {} $ی انرژی و محتوای فرکانسی و شکل موج در نظر گرفته شود. تاکنون پارامترهای سنگ وسیال که در فرآیند کاهش انرژی موج موثر هستند در شرایط مختلف فیزیکی و در رنج مهتلف فرکانسی اندازه گیری شده است و مکانیسم$ {} $های فیزیکی برای فرآسند میرایی به صورت روابط ریاضی پیشنهاد و توصیف شده اند. در واقع اثر جذب یک کمیت ترکیبی است از شرایط گوناگون مثر بر انتشار موج نظیز سنگ شناسی، ناهمگونی$ {} $های مسیر انتشار و سایر پارامترهای پتروفیزیکی. مکانیسم مشخص و مورد تاییدی برای فرآیند جذب وجود ندارد و نمی$ {} $توان با قاطعیت در مورد مکانیسم جذب صحبت کرد. در هر محیط مکانیسم خاصی برقرار است.  همانطور که اشاره شد، میرایی ترکیبی از دو سری فرآسند است، فرآیندهای وابسته به ناهمگونی$ {} $های مسیر انتشار که باعث پراکندگی موج شده ولی انرژی کل میدان موج را تحت تاثیر قرار نمی$ {} $دهد، همچنین فرآیندهای ذاتی مربوط به ویژگی$ {} $های سنگ وسیال نظیر اصطکاک داخلی ذرات سنگ و جریان نسبی سیال در محیط متخلخب است که باعث از بین رفتن بخشی از انرژی و تبدیل آن به صورت$ {} $های مختلف انرژی نظیر گرما می$ {} $شوند که این عامل در فرآیند جذلب عاملی موثرتر است. 

برخی نظیر اکی و ریچاردز از مدل \lr{Thermoelasticity} برای توصیف میرایی به عنوان کارامدترین مدل یاد کرده اند و طبق مشاهدات آنها به دلیل خلل و فرج و شکاف$ {} $های سنگ ، این مدل پیشنهادی با مشاهدات آزمایشگاهی تطابق دارد. طبق نظر بیوت\footnote{Biot1956a} شکاف$ {} $ها و خلل و فرج سنگ و سیال آنها تاثیر زیادی بر سرعت امواج $P$ و $S$ دارند و طبق مشاهدات خویش روابطی را بزرای میرایی بر اثر جریان سیال در محیط متخلخل بدست آورد. سایر محققین رابط دیگری را بر اساس مشاهدات خود از انتشار موج در محیط متخلخل در ارتباط با خواص سنگ وسیال ارائه کردند \lr{White 1993} و \lr{Pride etal}. هرکدام از مدل$ {} $های ارائه شده برای توصیف مکانیسم میرایی یستگی به محیط موررد مطالعه دارد و بنابراین هیچ کدام از روایط نمی$ {} $توانند به طور دقیق پدیده$ {} $ی جذب و کاهش انرژی را در تمام سنگ$ {} $ها و در تمام شرایط توصیف کنند.

\section{مدل وویگت\footnote{Voigt}}
\textbf{برای پیوست}

یکی از مدل$ {} $های معرفی شده برای محیط جاذب مدل وویگت است. معادله$ {} $ی معرفی شده در این مدل با نام معادله$ {} $ی استوکس\footnote{Stokes} شناخته می$ {} $شود. طبق قانون هوک برای محیط کشسان داریم:
\begin{equation}
\sigma_{ij}=\lambda \theta \delta_{ij}+2\mu \varepsilon_{ij}
\label{eq62}
\end{equation}

با بکار گیری قانون دوم نیتون معادله$ {} $ی حرکت بر حسب جابجایی به صورت زیر بیان خواهد شد:
\begin{equation}
(\lambda+\mu)\nabla\cdot\theta+\mu\nabla^2 = \rho\frac{\partial^2 u }{\partial t^2}
\label{eq63}
\end{equation}

در این رابطه $\vec{u}$ بردار جابجایی است و برای موج تخت منتشر شونده در عمق فقط جابجایی در جهت $x$ و $y$ داریم بنابراین خواهیم داشت:
\begin{equation}
(\lambda+2\mu)\frac{\partial^2 _z}{\partial z}=\rho \frac{\partial^2 _z}{\partial t^2}
\label{eq64}
\end{equation}

باید به این نکته توجه داشت که در محیط جاذب تنش علاوه بر کرنش تابعی از مشتق زمانی کرنش نیز می$ {} $باشد و در این محیط قانون هوک به شکل زیر یسان می$ {} $شود:

\begin{equation}
\sigma_{ij}=(\lambda+\lambda' \frac{\partial}{\partial t})\theta \delta_{ij}+2(\mu+\mu' \frac{\partial}{\partial t})\varepsilon_{ij}
\label{eq65}
\end{equation}

در این رابطه $\lambda'$ و $\mu'$ ضرایب آشفتگی در محیط جاذب شناخته می$ {} $شوند بنابراین معادله$ {} $ی حرکت موج در این محیط به صورت زیر خواهد بود:
\begin{equation}
(\lambda+2\mu)\frac{\partial^2 _z}{\partial z}+(\lambda'+2\mu')\frac{\partial^3 _z}{\partial^2 z \partial t}
\label{eq66}
\end{equation}
 
این معادله به معادله$ {} $ی استوک معروف است. حال با جایگذاری ضرایب لامه و آشفتگی در مدول کشسان به صورت $M=\lambda+\mu$ و $M'=\lambda'+\mu'$، معادله$ {} $ی (\ref{eq66}) در حوزه$ {} $ی فوریه به شکل زیر خواهد بود:

\begin{equation}
(M+i\omega M')\frac{\partial^2 U_z}{\partial z^2}-\rho\omega^2 U(z,\omega)
\label{eq67}
\end{equation}
در این رابطه $U(z,\omega)$ معرف میدان موج در عمق $z$ است. میدان موجی که در این معادله صدق کند به صورت زیر است:
\begin{equation}
U(z,\omega)=U_0 \exp\Bigg(\pm\bigg[-\frac{\rho\omega^2}{M+i\omega M'}\bigg]^{\frac{1}{2}}\Bigg)
\label{eq68}
\end{equation}
در این رابطه عبارتی که داخل تابع نمایی قرار گرفته است پارامتر مختلط انتشار است که قسمت حقیقی آن میرایی و قسمت موهومی آن سرعت فاز است (برخلاف سایر مدل$ {} $ها که جای این دو عبارت  عوض می$ {} $شود):

\begin{equation}
G(\omega)=\alpha+i\frac{\omega}{v}
\label{eq69}
\end{equation}

اگر فرض شود که $\omega_0=\frac{M}{M'}$ ریکر نشان داد که با فرض $\omega\ll\omega_0$  میرایی با مجذور فرکانس افزایش می$ {} $یابد و دو رابطه$ {} $ی زیر برای میرایی و سرعت فاز بیان شد:

\begin{align}
\alpha &=\frac{1}{2\sqrt{\frac{M}{\rho}}} \frac{\omega^2}{\omega_0}\label{eq70}\\
v &=\sqrt{\frac{M}{\rho}}\label{eq70}
\end{align}

طبق این روابط میرایی با مجذور فرکانس در ارتباط است اما اغلب مشاهدات حاکی از خطی بودن رابطه$ {} $ی میرایی با فرکانس دارد. همچنین این مدل فرض علی بودن پالس منتشر شونده در زمین را نقض می$ {} $کند از این رو مدلی مناسب برای توصیف میرایی در زمین نیست. 

ویژگی جذب اغلب بوسیبه$ {} $ی فاکتور کیفیت بیان می$ {} $شود که کمیتی است بی بعد به صورت زیر بیان می$ {} $شود:

\begin{equation}
\frac{1}{Q}=-\frac{\Delta E}{2 \pi E}
\label{eq71}
\end{equation}
در این رابطه $E$ انرژی ذخیره شده در بیشترین کرنش در داخل جسم است و $-\delta E$ کاهش انرژی در هر چرخه از نوسان موج به دلیل ناکشسانی محیط است. در واقع $\frac{1}{Q}$ انرژی از دست رفته در هر طول موج است. برای یک محیط که رابطه$ {} $ی تنش و کرنش خطی است دامنه$ {} $ی $A$ از یک فرکانس خاص موج با مجذور انرژِِِِی متناسب است. بنابراین داریم:
\begin{equation}
\frac{1}{Q}=-\frac{\Delta A}{\pi A_0}
\label{eq72}
\end{equation}

در این رابطه $A_0$ دامنه در آغاز چرخه و $\Delta A$ کاهش دامنه در هر چرخه از انتشار موج است. مشاهدات نشان داده است که دامنه با فاصله کاهش می$ {} $یابد بنابراین می$ {} $توان میرایی دامنه از سک مولفه$ {} $ی فرکانسی بر حسب فاصله را به صورت زیر نشان داد:

\begin{equation}
A(z)=A_0 \exp \Big[-\frac{\omega z}{2v(\omega)Q}\Big]
\label{eq73}
\end{equation}

\textbf{رابطه$ {} $ی میرایی و پاشش}
با در نظر گرفتن یک اسپایک به عنوان پالس ورودی به زمین در عمق $z=0$ مولفه$ {} $های فرکانسی این پالس یه صورت زیر است:
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t-\frac{z}{v(\omega)}) \mathrm{d}t = e^{\big(-i\omega \frac{z}{v(\omega)}\big)}
\label{eq74}
\end{equation}

هر مولفه$ {} $ی فرکانسی با ضریب $e^{-\alpha(\omega)z$ میرا می$ {} $شود که در این رابطه $\alpha(\omega)=\frac{\omega}{2v(\omega) Q}$ است. تبدیل فوریه$ {} $ی پالس میرا شده به شکل $e^{ikz}$ است که در آن $k$ ثابت انتشار و به صورت زیر است:
\begin{equation}
k=\frac{\omega}{v(\omega)}+i\alpha(\omega)
\label{eq75}
\end{equation}

با فرض علی بودن پالس منتشر شونده در زمین خواهیم داشت:
\begin{equation}
\frac{\omega}{v(\omega)}=\frac{\omega}{v(\infty)}+\mathcal{H}\{\alpha(\omega)\}
\label{eq76}
\end{equation}

این رابطه$ {} $ی کرامرز-کرونیگ در الکترومغناطیس است. از دیدگاه ریاضی با فرض ثابت بودن $Q$ نمی$ {} $تواان تبدیل هیلبرتی یافت که در این رابطه صدق است بنابراین باید فرض وابستگی فاکتور کیفیت به فرکانس را باید پذیرفت با این فرض که در بازه$ {} $ی فرکانسی لرزه$ {} $ای این کمیت ثابت است. بنابراین با در نظرگرفتن $Q$ ثابت ، رابطه$ {} $ی پاشش برای سرعت بر اثر میرایی به صورت زیر بدست می$ {} $آید:
\begin{equation}
\frac{v(\omega_0)}{v(\omega)}=1+\frac{1}{\pi Q} \ln(\frac{\omega_0}{\omega})
\label{eq77}
\end{equation}
از این معادله و معادله$ {} $ی (\ref{eq74}) می$ {} $توان به این نتیجه رسید که انتشار موج در یک محیط جاذب توسط دو پارامتر فاکتور کیفیت و سرعت فاز در یک فرکانس پایه $(\omeg _0)$ که فرکانس نایکویست در نظر می$ {} $گیرند بیان می$ {} $شود. رابطه$ {} $ی اخیر به مدل کولسکی-فوترمن معروف است و به مدل وویگت ترجیح داده می$ {} $شود زیرا همانطور که گفتیم مدل وویگ با مشاهدات تناقض دارد. همچنین در مدل جامد استاندارد خطی نیاز به تغییر پارامتر برای محیط$ {} $های گوناگون می$ {} $باشد.

هنگامی که فاکتور کیفیت برای توصیف و بررسی میرایی لرزه$ {} $ای بکار می$ {} $رود فرض بر این است که $Q$ در رنج فرکانسی 10-200 هرتز ثابت است که فرضی قابل قبول و قابل استناد است. برای یک موج لرزه$ {} $ای که در محیط ویسکوالاستیک منتشر می$ {} $شود، عدد موج عبارتی مختلط خواهد بود که قسمت حقیقی آن مربوط به انتشار جبهه$ {} $ی موج و تغییرایت فاز و در نتیجه تغییر در شکل موجک است و قسمت حقیقی آن مربوط به کاهش دامنه است.

برای انتشار یک بعدی موج، اگر میدان موج $U(z,\omega)$ در عمق $z$ به عمق $z+\Delta z$ منتشر شود، میدان موج در این عمق در محیط جاذب به صورت زیر خواهد بود:

\begin{equation}
U(z+\Delta z, \omega)=U(z,\omega) A(\Delta z, \omega) \exp\bigg(-i \frac{\omega}{v(\omega_0)}\Delta z\bigg)
\label{eq78}
\end{equation}

در این رابطه $A(\Delta z,\omega)$ به صورت زیر تعریف می$ {} $شود که ترکیبی از عامل کاهش دامنه و سرعت فاز است که باعث تاخیر فازی و تغییر شکل موج می$ {} $شود:

\begin{equation}
A(\Delta z, \omega)= \exp\bigg(-\frac{\omega \Delta z}{2Qv(\omega)}-\frac{i\omega\Delta z}{\pi Q v(\omega_0)}\ln(\frac{\omega}{\omega_0})\bigg)
\label{eq79}
\end{equation}
\textbf{حتما اینجا یه شکل از پالس میرا شده بیار}


\section{تخمین فاکتور کیفیت لرزه$ {} $ای با استفاده از تغییرات قله$ {} $ی فرکانس}

ایده$ {} $ی این روش بررسی تغییرات طیفی و بدست آوردن یک رابطه$ {} $ی تحلیلی برای محاسبه$ {} $ی فاکتور کیفیت است. در این روش فرض بر این است که طیف دامنه$ {} $ی موجک لرزه$ {} $ای شبیه موجک ریکر است. یعنی برای ارتباط بین $Q$ و قله$ {} $ی فرکانسی طیف دامنه موجک چشممه را معادل طیف دامنه$ {} $ی موجک ریکر در نظر می$ {} $گیرند:

\begin{equation}
\mathcal{B}(f)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{f^2}{f_m^2}e^{-\frac{f^2}{f_m^2}}
\label{eq80}
\end{equation}

در این رابطه فرکانسی که بیشترین دامنه را داراست یه عنوان فرکانس قله ($f_p$) در نظر گرفته می$ {} $شود. هنگامی که موج در حالت ابتدایی خود قبل از انتشار در محیط قرار دارد قله$ {} $ی فرکانسی همان فرکانس غالب است.این روش فقط به تغییرات دامنه$ {} $ی موج توجه می$ {} $کند و روابط بکار رفته در این روش تغییرات فازی را در نظر نمی$ {} $گیرد. پس از انتشار موج، طیف دامنه با زمان به صورت زیر خواهد بود:
\begin{equation}
\mathcal{B}(f,t)=\mathcal{B}(f) H(f,t)
\label{eq81}
\end{equation}
در این رابطه فیلتر جذب زمین با $H(f,t)$ مشخص شده است که در حوزه$ {} $ی فرکانس پاسخ آن به صورت زیر است:
\begin{equation}
H(f)=-\int_{ray} \alpha(f,l) \mathrm{d}l
\label{eq81}
\end{equation}
در این رابطه ($\alpha(f,l)=-\frac{\pi f}{Q(l) v(l)}$) است و انتگرال بر روی مسیر انتشار گرفته می$ {} $شود. در این رابطه $Q(l)$ فاکتور کیفیت و مستقل از فرکانس می$ {} $باشد (ریکر 1953، جارتانسون1979،وایت1983)

با در نظر گرفتن انتشار یک میدان موج در یک نیم فضا با فاکتور $Q$ برای زمان $t$ ثانیه، دامنه$ {} $ی سیگنال دریافتی به صورت زیر خواهد بود:
\begin{equation}
\mathcal{B}(f,t)=\mathcal{B}e^{-\frac{\pi f t}{Q}}
\label{eq82}
\end{equation}

با افزایش زمان، جذ با فرکانس افزایش می$ {} $یابد و نتیجه$ {} $ی آن انتقال قله$ {} $ی فرکانسی به فرکانس$ {} $های پایین$ {} $تر است، همچنین بر اثر جذب عرض موجک چشمه زیاد شده و باند فرکانسی کاهش می$ {} $یابد. با داشتن زمان رسیدها، فاکتور کیفیت با استفاد از تغییرات طیفی در رابطه$ {} $ی (\ref{eq82}) محاسبه می$ {} $شود.


\section{تخمین فاکتور کیفیت با استفاده از روش نسبت طیفی}
این روش معمولترین روش تخمین فاکتور کیفیت است. در این روش طیف دامنه در دو زمان $t_1$ و $t_2$ به صورت زیر محاسبه می$ {} $شود:
\begin{equation}
\frac{\mathcal{B}(f,t_2)}{\mathcal{B}(f,t_1)}=\frac{\mathcal{B}(f) e^{-\frac{\pi f t_2}{Q}}}{\mathcal{B}(f) e^{-\frac{\pi f t_1}{Q}}}
\label{eq83}
\end{equation}

با محاسبه$ {} $ی لگاریتم طبیعیِ دو طرف این معادله خواهیم داشت:

\begin{equation}
\ln\Bigg(\frac{\math{B}(f,t_2)}{\math{B}(f,t_1)}\Bigg)=-\frac{\pi (t_2-t_1)f}{Q}
\label{eq84}
\end{equation}

حال با رسم طرف چپ معادله بر حسب فرکانس $f$ یک روند خطی حاصل می$ {} $شود که معکوس شیب خط حاصل
($m$) معرف فاکتور کیفیت است:
\begin{equation}
Q=-\frac{\pi(t_2-t_1)}{m}
\label{eq85}
\end{equation}

این روش از لحاظ بکارگیری روشی ساده است اما متایج آن قابل اعتماد نیست. این روش در حضور نوفه و تداخل لایه$ {} $ها نتاسج قابل قبولی بدست نمی$ {} $دهد همچنین انتخاب باند فرکانسی مناسب از دیگر نواقص این روش است.

\textbf{ادامه ی روش تغییر قله فرکانسی}
دامنه$ {} $ی امواج لرزه$ {} $ای به جز عامل جذب تحت تاثیر عوامل دیگری نظیر گسترش هندسی، تبدیل موج به امواج شکستی و بازتابی در مرز لایه$ {} $ها و عوامل دیگر قرار می$ {} $گیرد. در پردازش داده$ {} $های لرزه$ {} $ای روش$ {} $های زیادی برای جبران اثر این عوامل وجود دارد ولی بیشترین تاثیر را جذب بر دامنه$ {} $ی موج لرزه$ {} $ای خواهد داشت. طیف دامنه$ {} $ی موجک عبوری از محیط با فاکتور کیفیت $Q$ و پس از گذشت زمان $t$ به صورت زیر نوشت:
\begin{equation}
\mathcal{B}(f,t)=M(t)\mathcal{B}(f) e^{-\frac{\pi f t}{Q}}
\label{eq86}
\end{equation}
در این رابطه $M(t)$ دامنه$ {} $ی مستقل از فرکانس و جذب است. مشتق گیری از این معادله  برای پیدا کردن بیشینه$ {} $ی فرکانسی این تابع خواهیم داشت:

\begin{equation}
\frac{\partial\mathcal{B}(f,t)}{\partial f}=M(t)\frac{\partial\mathcal{B}(f)}{\partial f}e^{-\frac{\pi f t}{Q}}+ M(t)\mathcal{B}(f)e^{-\frac{\pi f t}{Q}} \big(-\frac{\pi t}{Q}\big)=0
\label{eq87}
\end{equation}

در این رابطه $\frac{\partial\mathcal{B}(f)}{\partial f}$ که مشتق طیف دامنه$ {} $ی موجک ریکر است به صورت زیر محاسبه می$ {} $شود:
\begin{equation}
\frac{\partial\mathcal{B}(f)}{\partial f}=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\big(\frac{2f}{f_m^2}\big) e^{\frac{f^2}{f_m^2}}+
\frac{2}{f^2}\big(\frac{f^2}{f_m^2}\big) e^{-\frac{f^2}{f_m^2}}\big(\frac{-2f}{f_m^2}\big)
\label{eq88}
\end{equation}
با جابگذاری معادله$ {} $ی (\ref{eq88}) در معادله$ {} $ی (\ref{eq87}) قله$ {} $ی فرکانسی در زمان $t$ به صورت زیر خواهد بود:
\begin{equation}
f_p=f_m^2\Big[\sqrt{(\frac{\pi t}{4Q})^2+(\frac{1}{f_m})^2}-\frac{\pi t}{4Q}\Big]
\label{eq89}
\end{equation}

رابطه$ {} $ی بین تغییرات قله$ {} $ی فرکانسی و فاکتور کیفیت به صورت زیر خواهد بود:

\begin{equation}
Q=\frac{\pi t f_p f_m^2}{2(f_m^2-f_p^2)}
\label{eq90}
\end{equation}

با توجه به این معادله می$ {} $توان با معلوم بودن فرکانس غالب $f_m$ و با استفاده از قله$ {} $ی فرکانسی فاکتور کیفیت را در زمان $t$ محاسبه کرد. اما در عمل فرکانس غالب کمیتی مجهول است و باید آن$ {} $را به صورت تقریبی بدست آورد. اگر طیف دامنه$ {} $ی موجک چشمه با استفاده از طیف دامنه$ {} $ی موجک ریکر قابل محاسبه باشد با محاسبه$ {} $ی فرکانس قله در دو زمان $t_1$ , $t_2$  و با فرض ثابت بودن فاکتور کیفیت در بین این دو زمان رابطه$ {} $ی زیر را خواهیم داشت:
\begin{equation}
Q=\frac{\pi t_1 f_p_1 f_m^2}{2(f_m^2- f_p_1^2)}=\frac{\pi t_2 f_p_2 f_m^2}{2(f_m^2-f_p_2^2)}
\label{eq91}
\end{equation}
با ساده سازی این معادله، فرکانس غالب موجک چشمه با استفاده از فرکانس قله در دو زمان متفاوت به صورت زیر تخمین زده می$ {} $شود:

\begin{equation}
f_m=\sqrt{\frac{f_p_1 f_p_2 (t_2f_p_1-t_1f_p_2)}{t_2f_p_2-t_1f_p_1}}
\label{eq92}
\end{equation}

با جایگذاری این معادله در رابطه$ {} $ی (\ref{eq90}) رابطه$ {} $ی تخمین فاکتور کیفیت با استفاده از قله$ {} $ی فرکانسی برای حالت یک لایه به صورت زیر خواهد بود:

\begin{equation}
Q=\frac{\pi(t_2-t_1)f_p_2f_p_1^2}{2(f_p_1^2-f_p_2^2)}
\label{eq93}
\end{equation}

با تعمیم روابط این روش می$ {} $توان روابطی را برای حالت چند لایه نیز بدست آورد(اینجا رفرنس بده)

همانطور که پیشتر گفته شد این روش فقط تغییرات طیف دامنه را در نظر می$ {} $گیرد ولی موج گذرنده از زمین تحت تاثیر فرآیند پاشش و در نتیجه تغییر فاز نیز خواهد شد. به عنوان مثال در حضور لایه$ {} $ی نازک تداخل فله$ {} $ی فرکانسی داریم که این امر دقت محاسبات این روش را کاهش می$ {} $دهد.


\textbf{مقاله ی مقایسه 8 روش}
برای باند فرکانسی لرزه$ {} $ای معمولا از یک معادله$ {} $ی تجربی برای مدل سازی میرایی استفاده می$ {} $شود. معمولا ضریب میرایی با مدل خطی وابسته به فرکانس بیان می$ {} $شو که از آن با رابطه$ {} $ی کولسکی فوترمن نام برده می$ {} $شود. مدل معروف و غالب بکار برده شده برای میرایی و پاشش مدل کولسکی-فوترمن است که در آن ضریب میرایی تابعی خطس از فرکانس ولی سرعت فاز عبارتی است لگاریتمی بر حسب فرکانس. پاشش انرژی سیگنال را به ابتدای سیگنال منتقل می$ {} $کند که حاکی از کمینه فاز بودن رابطه$ {} $ی پاشش و میرایی است. هنگام انتشار موج در محیط ناهمگن تغییرات زیائی بر دامنه و فاز موج اعمال می$ {} $شود و در این حالت معادلات زویپریتز حالت پیچیده تر به خود می$ {} $گیرند.


\textbf{گسترش هندسی}

از میان فاکتورهای موثر بر دامنه$ {} $ی امواج بازتابی، گسترش هندسی کمر مورد توجه مفسران قرار می$ {} $گیرد با این وجود جبران اثر آن امری حیاتی است. برای یک مدل زمین  که شامل لایه$ {} $های افقی و همسانگرد هستند و با فرض نقطه$ {} $ای بودن چچشمه عبارتی برای تصحیح دامنه بر حسب برخورد اولیه، دورافت و عمق بازتابنده قابل محاسبه است. برای حالت خاص برخورد عمودی عبارتی برحسب زمان سیر دوطرفه، سرعت لایه$ {} $ی اول و سرعت میانگین مربعات ریشه بدست می$ {} $آید. اطلاعات لازم برای جبران اثر واگرایی را می$ {} $توان از تحلیل اطلاعات برونراند نرمال بدست آورد. برونراند نرمال و واگرایی به طور ذاتی به هم مرتبط اند. یک چشمه$ {} $ی کروی از یک موج اکوستیک واگرا شونده در نظر می$ {} $گیریم (شکل بیار).  انرژی که در ابتدا از یک سطح کوچک بر روی سطح جبهه$ {} $ی موج نزدیک به چشمه شروع به حرکت می$ {} $کند به صورت پی در پی بر روی یک سطح بزرگتر بر روی سطح یک جبهه$ {} $ی موج بازتاب شده منتشر می$ {} $شود. اگر فرض کنیم که انتشار موج بدون از دست رفتن انرژی انجام شود می$ {} $توان اثر واگرایی را با استفاده از نسبت مساحت $ {} $ها بدست آورد.

کاهش دامنه بر اثر واگرایی به تنهایی ناشی از اثرات هندسی است. در یک محیط اکوستیک همگن جبهه$ {} $ی موج منتشر شونده از یک چشمه$ {} $ی نقطه$ {} $ای کروی اند و فشار دامنه در موج به طور معکوس با شعاع جبهه$ {} $ی موج متناسب است. در هر محیط حقیقی زمین باید به تغییرات سرعت با عمق توجه کرد. سطوح جبهه$ {} $ی موج تحت تاثیر اثرات شکست مرزی قرار رفته و مفهوم یک گسترش هندسی ساده نادرست است. می$ {} $توان با بکارگیری پرتوها چگونگی عبور یک قسمت از جبهه$ {} $ی موج از یک محیط شکننا را ردگیری کرد (شکل مهم) با توجه به این شکل، با افزایش سرعت با عمق اثر شکنا باعث افزایش اثر واگرایی می$ {} $شود.

در حالت برخورد عمودی پرتو به سطح جدایش لایه، روابطی وجود دارند که با اعمال آن به هر ردلرزه می$ {} $توان دامنه$ {} $ی از دست رفته بر اثر واگرایی را بازیابی کرد. برای برخورد عمود روابط به صورت زیر است:

\begin{equation}
\D_0=\frac{t\bar{V}}{V_1}
\label{eq94}
\end{equation}
در این رابطه $\bar{V}^2$ سرعت ریشه میانگین مربعات، $t$ زمان سیر دوطرفه و $V_1$ سرعت لایه$ {} $ی اول است:
\begin{equation*}
t=\sum_{i=1}^n t_i \qquad \bar{V}^2=\frac{\sum\limits_{i=1}^n V_i^2 }{t}
\end{equation*}

با توجه به این روابط می$ {} $توان با داشتن سرعت لایه$ {} $ی اول و سرعت ریشه میانگین مربعات فاکتور لازم برای جبران کاهش دامنه بر اثر گسترش هندسی را بدست آورد (رفرنس).


ناهمگونی زمین به دو صورت برروی موج گذرنده از زمین تاثیرگذار است، یکی کاهش دامنه و دیگری تغییر فاز. این دو تغییر که از آن با  میرایی یاد می$ {} $شود به دلیل وابستگی اثر جذب و سرعت فاز به فرکانس است به این صورت که فرکانس$ {} $های بالا با سرعت بیشتری حرکت کرده  سریعتر میرا می$ {} $شوند.


موج گذرند از عمق $z$ به عمق $\Delta z$ را به صورت زیر مدل می$ {} $کنیم:
\begin{equation}
\mathcal{P}(\+\Delta z,\omega)=\mathcal{P}(z,\omega) \exp([ik_z \Delta z])
\label{eq95}
\end{equation}
در این رابطه $\mathcal{P}$ تبدیل فوریه$ {} $ی جبهه موج و $k_z$ عدد موج در جهت محور $z$ است:

\begin{equation*}
\k_z=-(\frac{\omega}{v}+i\alpha) \qquad \alpha=\frac{\omega}{2Qv}
\end{equation*}

معمولترین رابطه برای سرعت فاز وابسته به فرکانس که برای مقادیر بزرگ و ثابت $Q$ برقرار است رابطه$ {} $ی کولسکی-فوترمن به شکل زیر است:

\begin{equation*}
\frac{v_r}{v}\approx 1-\frac{1}{\pi Q}\ln(\frac{\omega}{\omega_r})
\end{equation*}
با جایگذاری این روابط در معادله$ {} $ی انتشار موج خواهیم داشت:

\begin{equation*}
\mathcal{P}(t+\Delta t,\omega)=\mathcal{P}(t,\omega) U(\Delta t ,\omega) \exp(-i\omega \Delta t)
\end{equation*}

در این رابطه عامل میرایی $U(\Delta t, \omega)$ به صورت زیر بیان می$ {} $شود:

\begin{equation}
U(\Delta t, \omega)=\exp\bigg(\frac{\pi f \Delta t}{Q}+\frac{i2f \Delta t}{Q}\ln(\frac{\omega}{\omega_r})\bigg)
\label{eq96}
\end{equation}

قسمت حقیقی این معادله بیانگر عملگر پاشش و تغییر فاز و قسمت موهومی آن عملگر جذب و تغییر دامنه است. علت اینکه در اینجا علامت$ {} $ها مثبت اند این است که در مدل فوروار زمان را منفی در نظر گرفته است.

\textbf{مقاله جارتانسون}
میرایی لرزه$ {} $ای معمولا توسط پارامتر کیفیت بیان می$ {} $شود و تعریف غالب برای آن عبارت است از:
بیشترین انرژی ذخیره شده در هر چرخه از انتشار موج تقسیم بر انرژی هدر رفته در هر چرخه. 

رفتار تنش و کرنش در یک جسم در تنش های کمتر از 10^-8 به صورت خطی است و با مدول الاستیک در ارتباط اند. دو رخداد وقتی به صورت خطی در ارتباط باشند می$ {} $توان رابطه$ {} $ی بین آنها را به صورت همامیخت در زمان و ضرب در حوزه$ {} $ی فرکانس نوشت:

\begin{equation}
\sigma(t)=m(t) \ast \varepsilon(t) \quad,\quad \varepsilon(t)=\s(t) \ast\sigma(t) \Longrightarrow \delta(t)=m(t)\ast s(t)
\label{eq97}
\end{equation}

در این روابط $m(t)$ و $s(t)$ به ترتیب مشتق اول توابع آسایش و خزش هستند. تنش و کرنش در حوزه$ {} $ی فرکانس با مدول الاستیک به هم مرایط می$ {} $شوند که می$ {} $تواند مختلط و تابع فرکانس باشد:
\begin{equation}
\Sigma (\omega)= M(\omega) E(\omega) \quad,\quad E(\omega)=S(\omega) \Sigma(\omega) \Longrightarrow M(\omega) S(\omega)=1
\label{eq98}
\end{equation}

معادلات موج را می$ {} $توان بر حسب روابط تنش و کرنش به صورت زیر نوشت:

\begin{equation*}
U(t,x)=e^{i(\omega t- kx)}\qquad,\qquad k=\omega (\frac{\rho}{M(\omega)})^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}

مفهوم $Q$ مستقل از فرکانس یعنی کاهش انرژی در هر چرخه مستقل از زمان نوسان است بنابر این با این فرض می$ {} $توان تابع خزش را به گونه$ {} $ای تعریف کرد که بر روی مقیاس لگاریتمی تابعی خطی از زمان باشد یعنی:
\begin{equation*}
\Psi \propto t^b
\end{equation*}

تابع خزش به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:

\begin{align}
\begin{cases}
\Psi(t)=\frac{1}{M_0 \Gamma(1+2\gamma)}(\frac{t}{t_0})^{2\gamma}& t>0\\
\Psi(t)=0 & t<0
\end{cases}
\end{align}

در این معادله $t_0$ زمان مرجع دلخواه و $M_0$ مدول الاستیک و $\gamma=\frac{1}{\pi}\arctan(\frac{1}{Q})$ می$ {} $باشد.
 همانطور که گفته شد با مشتق گیری از تابع خزش تابع $s(t)$ بدست می$ {} $آید:
\begin{align}
\begin{cases}
s(t)=\frac{2\gamma}{M_0\Gamma(1+2\gamma)}(\frac{t}{t_0})^{2\gamma}\frac{1}{t} & t>0\\	
s(t)=0 &t<0
\end{cases}
\end{align}


تبدیل فوریه$ {} $ی این رابطه به صورت زیر است:

\begin{equation}
S(\omega)=\frac{1}{M_0}(\frac{i\omega}{\omega_0})^{-2\gamma}\qquad,\qquad \omega_0=\frac{1}{t_0}
\label{eq99}
\end{equation}

با استفاده از معادله$ {} $ی (\ref{eq97}) مدول $M(\omega)$ به صورت زیر بدست می$ {} $آید:

\begin{equation}
M(\omega)=M_0(\frac{i\omega}{\omega_0})^{2\gamma}=M_0|\frac{\omega}{\omega_0}|^{2\gamma}e^{i\pi\pmega sgn(\omega)} \quad,\quad
\begin{align}
\begin{cases}
sgn(\omega)=1&\omega>0\\
sgn(\omega)=-1& \omega<0
\end{cases}
\end{align}
\label{eq104}
\end{equation}
همانطور که گفته شد مشتق اول تابع آسایش معادل مدول $M_0$ است بنابراین با محاسبه$ {} $ی عکس تبدیل فوریه و انتگرال گیری از رابطه$ {} $ی اخیر تابع آسایش به صورت زیر محاسبه می$ {} $شود:
\begin{align}
\begin{cases}
\bar{\Psi}(t) =\frac{M_0}{\Gamma(1-2\gamma)}(\frac{t}{t_0})^{-2\gamma}& t>0\\
\bar{\Psi}(t) =0&t<0
\end{cases}
\end{align}

با توجه به معادله$ {} $ی (\ref{eq100}) می$ {} $توان نتیجه گرفت که آرگومان مدول الاستیک و زاویه$ {} $ی فاز بین تنش وکرنش مستقل از فرکانس است و بنالراین فاکتور $Q$ مستقل از فرکانس می$ {} $باشد:

\begin{equation}
\frac{1}{Q}=\tan(\pi \gamma)= \frac{1}{2}(\cot(\frac{\pi}{2}\gamma)-\tan(\frac{\pi}{2}))
\label{eq106}
\end{equation}

طبق اکی و ریچاردز، اثر ناهمگونی زمین از طریق همامیخت فیلتر زمین با ردلرزه$ {} $ی رکورد شده بر روی داده$ {} $ی لرزه$ {} $ای اعمال می$ {} $شود. این فیلتر کمینه فاز، علی و وابسته به فاکتور کیفیت است.


به هنگام عبور پالس لرزه$ {} $ای از زمین ، این پالس علاوه بر گسترش هندسی تحت تاثیر میرایی که شامل جذب و پاشش است قرار می$ {} $گیرد. میرایی رابطه$ {} $ی خطی با فرکانس دارد و بنابراین فرکانس$ {} $های بالاتر با سرعت بیشتری نسبت به فرکانس$ {} $های پایین$ {} $تر تحت اثر میرایی قرار می$ {} $گیرند و به دلیل این رابطه$ {} $ی خطی، برای توصسف میرایی از مدل $Q$ ثابت استفاده می$ {} $کنند(مدل جارتانسون و کولسکی)

\textbf{واسه توضیح روش فیلتر تطابقی}
وقتی پالس $i$ ام دریافت می$ {} $شود، اثر میرایی به صورت تجمعی از لایه$ {} $ی $i$ تا $i-1$ بر آن اثر گذاشته است. بنابراین اگر پالس عبوری از لایه$ {} $ی اول را به صورت مرجع در نظر بگیریم می$ {} $توان فاکتور کیفیت از لایه$ {} $ی دوم تا $i-1$ را به صورت تجمعی تخمین زد.

\textbf{روش نسبت طیفی}

می$ {} $دانیم که عامل جذب زمین تابعی از زمان و فرکانس است. فرض کنیم موجک چشمه در زمان $t_0$ به صورت $\mathcal{W}(t_0,f)$ باشد که $f$ بازه$ {} $ی فرکانسی است. موجک دریافت شده در زمان$ {} $های $t_1$ , $t_2$ به صورت زیر تعریف می$ {} $شوند:

\begin{align}
\mathcal{W}(t_1,f)&=r(t1) \mathcal{W}(t_0,f) \alpha(t_1,f)\\
\mathcal{W}(t_2,f)&=r(t1) \mathcal{W}(t_0,f) \alpha(t_2,f)
\end{align}

نسبت طیفی این دو موجک به صورت زیر خواهد بود:
\begin{equation}
\frac{\mathcal{W}(t_1,f)}{\mathcal{W}(t_2,f)}=\frac{r(t1)  \alpha(t_1,f)}{r(t1)  \alpha(t_2,f)}
\end{equation}


در این رابطه $\alpha$ فیلتر ذب زمین است که می$ {} $دانیم کمینه فاز می$ {} $باشد. می$ {} $دانیم اگر تابعی علی و کمینه فاز باشد طیف دامنه و فاز آن با تبدیل هیلبرت در ارتباط اند (قبلا توضیح دادم روابطشو) بنابرای فیلتر جذب زمین را به صورت زیر در حوزه$ {} $ی فوریه تعریف می$ {} $شود:

\begin{equation}
\alpha(t,f)=e^{\frac{-\pi |f| t}{Q} e^{i\phi(f,t)}
\end{equation}

بنابراین نسبت طیفی در رابطه$ {} $ی بالا به صورت زیر خواهد بود:
\begin{equation}
\mathcal{A}=\frac{r(t_1)}{r(t_2)}e^{\frac{-\pi |f| \Delta t}{Q}} e^{i\Delta \phi}
\end{equation}

حال اگر از دو طرف لگاریتم طبیعی بگیریم یک رابطه$ {} $ی خطی بدست خواهد آمد که معکوس شیب این خط با $Q$ متناسب است. در استفاده از این روش برای تخمین فاکتور کیفیت با موانعی نظیر انتخاب باند فرکانسی مناسب برای بدست آوردن یک روند خطی، نا پایدار بودن روابط کسری بالا، حضور نوفه و تداخل لایه ها است که دقت نتایج این روش را کاهش می$ {} $دهد.

\begin{equation}
\ln(\mathcal{A})=\ln(\frac{r_1}{r_2})+\frac{-\pi |f| t}{Q}+i\Delta \phi
\end{equation}


\textbf{انرژِی امواج لرزه$ {} $ای}

چگالی انرژی امواج ارزه$ {} $ای را می$ {} $توان مجموع انرژی جنبشی $\tilde{E}_K$و پانرژی تانسیل $\tilde{E}_W$ دانست:
\begin{equation}
\tilda{E}=\tilde{E}_K + \tilde{E}_W
\end{equation}

در این رابطه انرژی جنبشی به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:

\begin{equation}
\tilde{E}_K=\frac{1}{2} \rho \dot{u}^2
\end{equation}

در این رابطه $\rho$ چگالی و $\dot{u}$ است. به انرژی پتانسیل انرژی کرنش نیز می$ {} $گویند که معادل کار انجام شده توسط تنش وارد شده به جسم برای تغییر شکل و ایجاد کرنش در جسم است. با توجه به تعاریف ترمودینامیکی(اکی و ریچاردز) می$ {} $توان این تعریف را به صورت حاصل ضرب تانسور تنش و کرنش به صورت زیر نوشت:
\begin{equation}
E_W=\frac{1}{2} \tau_{ij} \varepsilon_{ij}
\end{equation}

اگر موج منتشر شونده در جهت $x$ که در راستای $y$ جابجا می$ {} $شود در نظر بگیریم داریم:
\begin{equation}
u_y=A\sin(\omega t-kx) \qquad,\qquad \dot{u}_y= A\omega \cos(\omegat-kx)
\end{equation}
در این رابطه $k$ عدد موج، $\omega$ فرکانس زاویه$ {} $ای و $A$ دامنه$ {} $ی موج است. بنابراین چگالی انرژی جنبشی به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:
\begin{equation}
\tilde{E}_k=\frac{1}{2}\rho A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t-kx)
\end{equation}

مقدار میانگین تابع $cos^2(x)$ برابر 1/2 است بنابراین مقدار متوسط انرژی جنبش برابر است با:
\begin{equation}
\tilde{E}_k=\frac{1}{4}\rho A^2 \omega^2 \cos^2(\omega t-kx)
\end{equation}


می$ {} $دانیم که کرنش را می$ {} $توان برحسب توابع جابجایی به شکل زیر نوشت:
\begin{equation}
e_{ij}=\frac{1}{2}(\partial_i u_j + \partial_j u_i)
\end{equation}
برای یک موج تخت تنها مولفه$ {} $های $e_{12}=e_{21}$ غیر صفر هستند، بنابراین خواهیم داشت:
\begin{equation}
e_{12}=e_{21}=\frac{1}{2}\frac{\partial u_y}{\partial x}=-\frac{1}{2} Ak \cos(\omega t- kx)
\end{equation}

حال اگر رابطه$ {} $ی تنش و کرنش را همسانگرد فرض کنیم، تنها ولفه$ {} $های غیر صفر تنش نیز $\tau_{12}=\tau_{21}$ هستند بنابراین خواهیم داشت:
\begin{equation}
\tau_{12}=\tau_{21}=2\mu e_{12}=-Ak\my \cos(\omega t- kx)
\end{equation}

بنابراین انرژی پتانسیل و مقدار میانگین آن به صورت زیر تعریف می$ {} $شوند:
\begin{align}
\tilde{E}_W &=\frac{1}{2}A^2 k^2 \mu \cos^2(\omega t -kx)\\
\bar{E_W} &=\frac{1}{4}A^2 k^2 \mu \qquad,\qquad \mu=\beta^2 \rho
\end{align}

در این رابطه $\beta$  سرعت موج برشی است. در نهایت  با جایگذاری $k=\frac{\omega}{\beta}$ خواهیم داشت:

\begin{equation}
\bar{E_K}=\bar{E_W}=\frac{1}{4}\rho A^2 \omega^2 \Longrightarrow \bar{E}=\frac{1}{2}\rho A^2 \omega^2
\end{equation}

با توجه به این معادله می$ {} $توان به این نکته پی برد که فرکانس$ {} $های بالاتر انرژی بیشتری حمل می$ {} $کنند. 

مقدار انرژی منتقل شده از واحد سطح در واحد زمان را چگالی شار انرژی گویند که به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:

\begin{equation}
\tilde{E}^{flux} =\frac{1}{2} c \rho A^2 \omega^2
\end{equation}

در این رابطه $c$ سرعت موج $S$ یا $P$ است. حال اگر مقطعی مانند شکل زیر درنظر بگیریم که شامنل دو سطح $dS_1$ و $dS_2$ می$ {} $باشد.شار انرژی کل عبوری از این مقطع تغییر نمی$ {} $کند و در دو زمان $t_1$ , $t_2$ ثابت است بنابراین خواهیم داشت:
 \begin{equation}
 \tilde{E}^{flux}(t_1)=\tilde{E}^{flux}(t_2)\Longrightarrow \frac{1}{2}c \rho A_1^2 \omega^2 dS_1=\frac{1}{2}c \rho A_2^2 \omega^2 dS_2
 \end{equation}
 
 
 \draw [xshift=4cm,-latex] plot [smooth] coordinates { (0,0) (1,1) (3,1.1) (4.5,2.6)};

\draw[rotate=40] (4.8,-2.3) ellipse (.1cm and .3cm)node[above=10pt,xshift=-3mm]{$dS_{1}$};



از این رابطه می$ {} $توان نتیجه گرفت که برای موج تخت، نسبت دامنه$ {} $ها با جذر معکوس نسبت مساحت$ {} $ها متناسب است:
\begin{equation}
\frac{A_1}{A_2}=\sqrt{\frac{dS_1}{dS_2}}
\end{equation}

اگر خیچگونه کاهش دامنه بر اثر گسترش هندسی وجود نداشته باشد یعنی $dS_1=dS_2$ در این صورت نسبت دامنه ها با جدر معکوس امپدانس صوتی به صورت زیر رابطه دارد:
\begin{equation}
\frac{A_2}{A_1}=\sqrt{\frac{\rho_1 c_1}{\rho_2 c_2}}
\end{equation}

با توجه به این رابطه می$ {} $توان دلیل افزایش ناگهانی دامنه به هنگام عبور از لایه$ {} $های پایین$ {} $تر را توضیح داد. هنگامی که موج از محیط سخت (امپدانس بالا) به محیط نرم (امپدانس کم) می$ {} $رود دامنه افزایش می$ {} $یابد، پس نباید همیشه انتظار داشت با عبور موج به اعماق زمین دامنه لزوما کاهش یابد.

علاوه بر گسترش هندسی و ضرایب بازتاب و عبوردر مرز لایه$ {} $ا عامل دیگری به نام میرایی وجود دارد که بر روی دامنه$ {} $ی بازتاب$ {} $ها اثرگذار است. میرای کاهش انرژی بر اثر فرآیندهای ناکشسان یا اصطکاک داخلی بر اثر انتشار موج است. این میرایی ذاتی را می$ {} $توان از پراکندگی که باعث کاهش دامنه شده ولی انرژی کل در میدان موج تغییری نمی|$ {} $کند متمایز کرد. در واقع گسترش هندسی برای توصیف کاهش دامنه با فاصله از چشمه بکار می$ {} $رود اما میرایی ذاتی با ععث تبدیل انرژی موج به صورت دیگری از انرژی و گرما می$ {} $شود. شدت میرایی ذاتی به وسیله$ {} $ی کمیتی بی بعد به نام فاکتور کیفیت که در علوم مهندسی بسیار کاربرد دارد تعریف می$ {} $شود: مقدار انرژی از بین رفته در هر چرخه به کل انرژی ذخیره شده در کل جسم:
\begin{equation}
\frac{1}{Q(\omega)}=-\frac{\Delta E}{2\pi E}
\end{equation}
برای امواج لرزه$ {} $ای کاهش انرژی در هرچرخه ناچیز است و بهتر است به جای این رابطه از رابطه$ {} $ی زیر استفاده کرد:
\begin{equation}
A(x)=A_0 e^{-\frac{\omega x}{2cQ}}
\end{equation}
در این رابطه $x$ مسافت ط شده توسط موج و $c$ سرعت موج $P$ یا $S$ است. بنابراین دامنه$ {} $ی یک موج هارمونیک به صورت حاصل ضرب یک تابع نمایی حقیقی که کاهش دامنه بر اثر میرایی را نشان می$ {} $دهد و یک تابع نمایی مختلط که نوسان موج را نشان می$ {} $دهد نوشت:

\begin{equation}
A(x,t)=A_0 e^{-\frac{\omega x}{2cQ}} e^{-i\omega (t- \frac{x}{c})}
\end{equation}

در روش$ {} $های تئوری پرتو میرایی را اغلب با بکارگیری پارامتر $t^{\ast}$ به صورت زیر تعریف می$ {} $کنند:
\begin{equation}
t^{\ast}=\int_{path} \frac{\mathrm{d}t}{Q(r)}
\end{equation}

بنابراین در معادله$ {} $ی قبل میتوان با جایگذاری این رابطه نوشت:
\begin{equation}
A(\omega)=A_0 e^{-\frac{\omega t^{\ast}}{2}}
\end{equation}
بنابراین کاهش دامنه در هر فرکانس را می$ {} $توان با ضرب آن فرکانس در ($e^{-\frac{\omega t^{\ast}}{2}}$) محاسبه خواهد شد. حضور $\omega$ در این رابطه نشان می$ {} $دهد که فرکانس$ {} $های بالاتر بیشتر تحت تاثیر میرایی قرار می$ {} $گیرند . موج لرزه$ {} $ای با عبور از زمین فرکانس$ {} $های بالای خود را از دست می$ {} $دهد. درحوزه$ {} $ی زمان میرایی را می$ {} $توان از طریق همامیخت پالس اصلی با اپراتور $t^{\ast}$ مدل سازی کرد. این اپراتور درواقع از تبدیل فوریه$ {} $ی معکوس $A(\omega)$  که در رابطه$ {} $ بالا آمده است بدست می$ {} $آید. (حتماااا شکل پالس رو بدون پاشش بیار)

در واقع طیف $A(\omega)$ دارای یک سری زمانی مختلط شامل طیف دامنه و یک طیف فاز ایت که در اپراتور بالا لحاظ نشده است. میرایی طبق معادله$ {} $ای که در بالا آورده شد باعث کاهش دامنه می$ {} $شود. اگر فرض کنیم که سرعت با فرکانس تغییر نمی$ {} $کند بنابراین اپراتور میرایی یک حالت متقارن خواهد داشت.
اگر پالس منتشر شونده از چشمه را یک تابع دلتای دیراک در نظر بگیریم، اسن شکل پالس مورد انتظار بر اثر انتشار در یک محسط میرا کننده را نشان می$ {} $دهد زیرا بر اثر جذب فرکانس$ {} $های بالا این پالس عریض$ {} $تر شده است. اما این شکل متقارن اصل علی بودن را نقض می$ {} $کند زیرا یک سری از فرکانس$ {} $های زودتر از زمان صفر رسیده$ {} $اند و در زمان منفی مقدار خواهیم داشت. به عبارت دیگر اگر یک اسپایک به زمین بفرستیم، سیگنال دریافتی ما به صورت زیر خواهد بود:

\begin{equation}
A(x,\omega,t)=e^{-\frac{\omega x}{2c(\omega) Q}} e^{-i\omega(t-\frac{x}{c(\omega)})}
\end{equation}

حال اگر بخواهیم شکل این پالس را در زمان ببینیم باید از این رابطه تبدیل فوئریه$ {} $ی معکوس بگیریم و چون پالس چشمه بازش صفر هست و ما فقط دامنه رو در نظر گرفته$ {} $ایم پس از تبدیل فوریه$ {} $ی معکوس شکل پالس متقارن می$ {} $شود حول صفر که با فرض علیت تناقض دارد زیرا پالس ابتدایی ورودی به زمین یک اسپایک است ولی شکل حاصل در زمان$ {} $های صفر مقدار دارد. در واقع اپراتور میرایی فازش صفر نیست یعنی فاز دارد یعنی هر فرکانس فاز مربوط به خود را دارد یعنی در حوزه$ {} $ی زمان مولفه$ {} $های فرکانسی نسبت به هم شیفت زمانی دارند و هرکدام ب نسبت دیگری دیرتر یا زودتر می$ {} $رسند و این یعنی پاشش. بنابراین حضور میرایی لزوما حضور پاشش یعنی تغییر فاز و یا تغییر سرعت با فرکانس وجود خواهد داشت حتی اگر $Q$ تابع فرکانس نباشد. یک از نتایج مهم این است که بر روی باند فرکانسی که $Q$ ثابت است سرعت را می$ {} $توان به صورت زیر بیان کرد (رابطه$ {} $ی کولسکی-فوترمن):
\begin{equation}
c(\omega)=c(\omega_0)(1+\frac{1}{\pi Q}) \ln(\frac{\omega}{\omega_0})
\end{equation}

به طور کلی میزان پاشش سرعت در زمین در مقادیر $Q$ مشاهده شده ناچیز است. حال می$ {} $خواهیم اثر این پاشش سرعت را بر روی طیف بررسی کنیم. بافرض ثابت بودن $Q$ برای یک پالس عبوری از زمین داریم:
\begin{equation}
A(x,t,\omega)=A_0 e^{-\frac{\omega x}{2cQ}} e^{-i\omega(t-\frac{x}{t})}
\end{equation}

حال اگر سرعت تابع فرکانس باشد یعنی پاشش وجود داشته باشد:
\begin{equation}
A(x,t,\omega)=A_0\exp(-\frac{\omega x}{2c(\omega) Q}) \exp({-i\omega(t-\frac{x}{c(\omega)})
\end{equation}
می$ {} $دانیم:

\begin{equation}
\frac{1}{\epsilon}=1-\epsilon \qquad \text{\lr{if}} \qquad \epsilon \ll 1
\end{equation}
رابطه$ {} $ی کولسکی فوترمن که در بالا گفته شد را طبق بسط بالا بازنویسی می$ {} $کنیم:
\begin{equation}
\frac{1}{c(\omega)}=\frac{1}{c(\omega_0)}[1-\frac{1}{\pi Q}\ln(\frac{\omega}{\omega_0})]
\end{equation}

حال با جایگذاری خواهیم داشت:
\begin{equation}
A(x,t,\omega)=A_0 e^{-\frac{\omega x}{2c_0 Q}} e^{-i\omega(t-\frac{x}{c_0})} e^{-i\omega x \frac{\ln(\frac{\omega}{\omega_0})}{\pi c_0 Q}}
\end{equation}

حال اگر این رابطه را بر حسب اپراتور میرایی $(t_0^{\ast}=\frac{x}{cQ})$ بازنویسی کنیم داریم:

\begin{equation}
A(x,t,\omega)=
\tikz[baseline]{
            \node[fill=blue!20,anchor=base] (t1)
            {$A_0 e^{-\frac{\omega t^{\ast}_0}{2}}$};
        } +
\tikz[baseline]{
            \node[fill=red!20, ellipse,anchor=base] (t2)
            {$e^{-i\omega(t-\frac{x}{c_0})}$};
        } +
\tikz[baseline]{
            \node[fill=green!20,anchor=base] (t3)
            {$e^{-i\omega t^{\ast}_0 \frac{ln(\frac{\omega}{\omega_0})}{\pi}}$};
        }
\end{equation}

اولین عبارت سمت راست این معادله بیانگر عامل کاهش دامنه، دومین عبارت تغییر فاز به دلیل انتشار در جهت $x$ با سرعت $c_0$ و عبارت نمایی سوم تاخیر یا تقدم فازی فرکانس$ {} $ها نسبت به فرکانس مرجع $\omega_0$. (حتما چندتا ششکل از این اپراتور بیار به ازای مقادیر مختلفش. در واقع این اپراتورها تابع دلتا رو پس از میرا شدن نشون میده.این اپراتور نشان داده شدهعلی بودن سیگنال را حفظ می$ {} $کند زیرا هیچ انرژی قبل از زمان صفر نمی$ {} $رسد. باید توجه داشت که فرض ثابت بودن $Q$ برای رنج بکار رفته در لرزه شناسی صادق است و برای فرکانس$ {} $های خیلی زیاد و خیلی کم این فرض صادق نخواهد بود یعنی در رابطه$ {} $ی کولسکی-فوترمن خواهیم داشت:

\begin{align*}
\begin{cases}
\omega \ll 1& \Longrightarrow c(\omega)<0 \\
\omega \to \infty &\Longrightarrow  c(\omega) \to \infty
\end{cases}
\end{align*}

چون همچین شرایطی در زمین وجود ندارد بنابراین بنابراین باید $Q$ در فرکانس$ {} $های خیلی بالا و خیلی پایین با فرکانس کاهش یابد. این شرایط با نام اپراتور باندِ جذب مدل سازی شده است (رفرنس بده به شییرر).


سرعت امواج $P$ و $S$ که بر حسب ضرایب لامه به ترتیب به صورت $\alpha=\sqrt{\frac{\lambda+2\mu}{\rho}}$ ,  و  $\beta=\frac{\mu}{\rho}$ می$ {} $شوند در واقع سرعت این امواج در محیط همگن و همسانگرد و کشسان است. هر موج در واقع از برهم نهی امواج تک فرکانس بوجودمی$ {} $آید و به سرعت پیشروی سطوح همفاز سرعت فاز و به سرعت پوش یک موج سرعت گروه گویند. اگر سرعت فاز وابسته به فرکانس باشد این دو سرعت متفاوت اند و به محیط با این خاصیت محیط پاششی گویند. اگر سرعت فاز با فرکانس افزایش یابد پاشش معکوس و اگر سرعت فاز با افزایش فرکانس کاهش یابد پاشش نرمال است. در یک محیط کشسان و همسانگرد پاشش ممکن است به دلیل اثرات هندسی مسیر انتشار اتفاق افتد اما در محیط ویسکوالاستیک و همگن پاشش از نوع معکوس است و علت آن افت انرژی به دلیل فرآیندهای ذاتی است.
روابط بین سرعت فاز و گروه به صورت زیر بیان می$ {} $شود:

\begin{equation}
v_g=c-\lambda \frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}\lambda}=c+\omega  \frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}\omega} = c+k\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}k}
\end{equation}

اگر مواد رفتاری کشسان داشته باشند و روابط تنش و کرنش به صورت خطی باشد قانون هوک بیانگر رابطه$ {} $ی تنش و کرنش است اما اگر مواد خاصیت ویسکوالاستیک داشته یاشند آنگاه مشتقات زمانی تنش و کرنش نیز وارد روابط می$ {} $شوند و تنش و کرنش طبق یکی از روابط وویگت، ماکسول و یا جامد خطی استاندارد به هم مرتبط می$ {} $شوند.
اگر یک موج تخت منتشر شونده در یک محیط ویسکوالاستیک را درنظر بگیریم در هرنقطه تنش و کرنش طبق روابط زیر بیان می$ {} $شوند و غیر همفاز خواهند بود:
\begin{equation}
\sigma=\sigma_0 \exp[i(\omega t - kx)]\qquad,\qquad \varepsilon=\varepsilon_0 \exp[i(\omega t-kx-\phi)]
\end{equation}

نسبت تنش به کرنش در هر نقطه کمیتی را به نام مدول مختلط $M(\omega)$ معرفی می$ {} $کند. تعاریف زیادی برای فاکتور کیفیت بیان شده است که از میان آنها هیچ کدام به طور قطع این کمیت را معرفی نمی$ {} $کند. به عنوان مثال از نسبت قسمت حقیقی و موهومی مدول مختلط و یا مقدار انرژی تلف شده در هر چرخه از نوسان موج به کل انرژی پتانسیل جسم. همچنین بر حسب نسبت دامنه$ {} $های یک سیگنال نوسانی $x(t)$ با دوره تناوب $T$. آخرین تعریف نیز بر حسب اختلاف فاز بین تنش و کرنش است که در رابطه$ {} $ی بالا یسان شد:
\begin{align}
\frac{1}{Q}&=\frac{M_I}{M_R}\\
\frac{1}{Q}&=\frac{\Delta W}{2 \pi W}\\
\frac{1}{Q}&\approx\frac{1}{\pi}\ln\big[\frac{x(t)}{x(t+T)})\big]\\
\frac{1}{Q}&\approx \tan(\phi)\\
\end{align}

به دلیل اینکه $\frac{1}{Q}$ مقدار کاهش انرژی در هر چرخه ار نوسان را بسان می$ {} $کند، بعد از انتشار موج برای یک مسافت ثابت تمایل امواج با طول موج بلندتر بیشتر از امواج با طول موج کوتاهتر برای میرا شدن است.


در مدل جامد خطی استاندارد برای فرکانس$ {} $های خیلی بالا و خیلی پایین مدول الاستیگ دیگر مختلط نخواهد بود و حقیقی است و مستقل از فرکانس و در این حالت جسم رفتاری الاستیک خواهد داشت (میتونی شکل معروفشو از شیرر بیاری)


هشت مدلی که میرایی و پاشش را مدل سازی می$ {} $کنند سه فرض را درنظر می$ {} $گیرند: اول خطی بودن رفتار محیط، دوم کاهنده بودن و سوم علی بودن پالس منتشر شونده در آنها.

\textbf{روابط کرامرز-کرونیگ}
این روابط یک سری روابط ریاضی هستند که قسمت حقیقی و موهومی یک تابع مختلط تحلیلی را به هم مربوط می$ {} $کنند. این روابط برای محاسبه$ {} $ی قیمت حقیقی بک تابع از قسمت موهومی آن و بالعکس بکار می$ {} $روند. در سیستم$ {} $های فیزیکی پایا، علی بودن حاکی از تحلیلی بودن سیستم و تحلیلی بودن سیستم حاکی از علی بودن پاسخ آن است.

\textbf{توضیح در مورد مکانیسم جامد استاندارد خطی}

اغلب مکانیسم$ {} $های میرایی ذاتی نظیر اصطکاک را می$ {} $توان توسط مدل جامد خطی استاندارد که یک مدل ارائه شده برای توصیف رفتار ویسکوالاستیک هست پارامتری نمود. با توجه به شکل، به دلیل حضور \lr{dashpot} جابجایی جرم متناسب با نیروی وارد شده نسیت. در فرکانس بالت به دلیل ساکن بودن \lr{dashpot} پاسخ کشسان خواهد بود و از جمع پاسخ دو فنر ایجاد می$ {} $شود. در فرکانس$ {} $های پایین \lr{dashpot} حرکت کندی دارد ولی پاسخ همچنان کشسان است. اما در فرکانس$ {} $های بینابین به واسطه$ {} $ی حرکت \lr{dashpot} کاهش انرژی خواهیم داشت و پاسخ سیستم پاسخی ویسکوالاستیک خواهد بود.

در زمین کاملا کشسان، گسترش هندسی و بازتاب و عبور انرژی در مرزلایه$ {} $]ا دامنه$ {} $ی امواج لرزه$ {} $ای را کنترل می$ {} $کند. اما زمین واقعی کاملا کشسان نیست و موج منتشر شونده به دلیل مکانیسم$ {} $های متفاوت کاهش انرژی میرا می$ {} $شود. تبدیل انرژی پتانسیل موج به انرژی جنبشی برگشت پذیر نیست و یه دلیل یک سری از فرآیندها در سنگ وسیال انرژی موج تلف می$ {} $شود.

برای دامنه بر حسب فاصله می$ {} $توان رابطه$ {} $ی زیر را نوشت:
\begin{equation}
A(x)=A_0 e^{(\frac{|f|\pi x}{Qv}}
\end{equation}
از این رابطه می$ {} $توان به این نتیجه رسید که برای یک مقدار ثابت $Q$ امواج با فرکانس بالتر سرعتر از موج با فرکانس پایین$ {} $تر میرا می$ {} $شوند زیرا برای یک فاصله$ {} $ی دلخواه موج با فرکانس بالاتر نوسان بیشتری نسبت به موج با فرکانس پایین$ {} $تر خواهد داشت. فاکتور کیفیت در رنج فرکانسی بکار برده شده در لرزه$ {} $شناسی کمیتی مستقل از فرکانس است ولی برای فرکانس$ {} $های بالتر وابسته به فرکانس است که برای نشان دادن این وابستگی از مدل جامد استاندارد خطی (مدل وزنه و فنر) استفاده می$ {} $کنندو در این مدل فنرها رفتار کشسان از خود نشان می$ {} $دهند ولی \lr{dashpot}رفتاری ویسکوالاستیک خواهد داشت بنابراین قانون هوک برای این مدل صادق نیست و از روابط دیگر جهت تفسیر این مدل استفاده می$ {} $شود.


مدل سازی خاصیت ویسکوالایتیک بودن یک محیط توسط ترکیب خطی از یک فنر و $dashpoT$ انجام می$ {} $گیرد. در واقع این ترکسب خطی برای نشان دادن رفتار الاستیک و ویسکوز یک محیط است. در واقع $dashpot$ از یک ماده$ {} $ی با ویسکوزیتی مشخص نظیر نفت برای ایجاد مقاومت و میرا کردن حرکت جسم استفاده می$ {} $کند.


گسترش هندسی باعث می$ {} $شود که شدت و چگالی انرژی امواج کروی با معکوس مجذور فاصله از چشمه کاهش یابد که به این فرآیند واگرایی کروی گویند. برای موج تخت پرتوها واگرا نیم$ {} $شوند و شدت موج نیز ثابت است. به طور کلی داریم:

\begin{equation}
\frac{I_2}{I_1}=\frac{E_2}{E_1}=(\frac{r_2}{r_2})^m\longrightarrow \begin{cases}
m=2\quad\text{موج کروی}\\
m=1\quad\text{موج استوانه$ {} $ای}\\
m=0\quad\text{موج تخت}\\
\end{cases}
\end{equation}

در بحث گسترش هندسی تغییرات و توزیع انرژی فقط تابع هندسه$ {} $ی جبه$ {} $ی موج است اما در حقیقت در اثر حرکت موج و عبور از محیط غیر کشسان انرژی موج به گرما تبدیل می$ {} $شود که به فرآیند جذب معروف است. کاهس دامنه بر اثر جذب برحسب فاصله برای امواج الاستیک در سنگ$ {} $ها به صورت نمایی است. اگر محیط میرا کننده باشد ضرایب الاستیک در آن محیط مختلط اند و سرعت موج نیز مختلط خواهد بود.

\textbf{اهمیت نسبی جذب و گسترش هندسی}
آزمایشات نشان داده است که کاهش انرژی بر اثر گسترش هندسی در فرکانس$ {} $های پایین و فواصل کم از چشمه از اهمیت بالاتری نسبت به کاهش انرژی در اثر جذب دارد اما برای فواصل دور از چشمه و فرکانس$ {} $های بالا، جذب فرآیندی غالب خواهد بود و بیشتر تاثیر گذار است. 

\textbf{عوامل کاهش انرژی موج}

\begin{enumerate}
\item
تقسیم انرژی موج فرودی در سطح جدایش دو محیط با خواص پتروفیزیکی متفاوت\\
 هر سطح جدایش دو لایه، مقداری از انرژی موج بازتاب شده و مابقی به اعماق پایین$ {} $تر می$ {} $روند و امواج پایین رونده نیز تحت تاثیر این فرآیند به صورت پی در پی قرار می$ {} $گیرند. تغییر در امپدانس صوتی چگونگی تقسیم این انرژی را تعیین می$ {} $کند. چگونگی تقسیم انرژی در مرز جدایش لایه$ {} $ها توسط روابط زوئپریتز\footnote{Zoepritz} بیان می$ {} $شود. در واقع این معادلات چگونگی تقسیم انرژی برحسب جابجایی را بیان می$ {} $کنند.  در حالت فرود عمودی موج، دامنه$ {} $ی موج بازتاب $A_1$ و عبوری $A_2$ برحسب دامنه$ {} $ی موج فرودی $A_0$ و انرژی موج بازتاب $E_R$ و موج عبوری $E_T$ به صورت زیر می$ {} $باشد:
 \begin{align}
 \mathcal{RC}&=\frac{A_1}{A_0}=\frac{\rho_2 V_2- \rho_1 V_1}{\rho_2 V_2+\rho_1 V_1}\qquad E_R=\mathcal{RC}^2\\
 \nonumber \\
\mathcal{TC}&=\frac{A_2}{A_0}=\frac{2\rho_1 V_1}{\rho_2 V_2+\rho_1 V_1}\qquad \mathcal{TC}=\frac{\rho_2 V_2}{\rho_1 V_1}\mathcal{TC}^2
 \end{align}
 
 اما اگر موج $P$ با زاویه$ {} $ی کمتر از 90 درجه با سطح جدایش تابش کند در این صورت بخشی از انرژی موج به صورت موج $p$ بازتابی و عبوری و بخشی از انرژی آن به صورت موج بازتایبی و عبوری $S$ تبدیل خواهد شد. میزان این تبدیل مد بستگی به نسبت پواسون ($\nu$) دارد که با نسبت موج $S$ و $P$ متناسب است:
 \begin{equation}
 \frac{V_P}{V_S}=[\frac{2(1-\nu}{1-2\nu}]^\frac{1}{2}
 \end{equation}
 دامنه$ {} $ی موج $P$ تابعی از دورافت است که این تابعیت وابسته به نسبت پواسون در آن لایه می$ {} $باشد. در کل با حالت$ {} $های زیر برای ضرایب بازتاب و نسبت پواسون مختلف روبرو هستیم:
 \begin{itemize}
 \item
اگر نسبت پواسون ثابت باشد تغییر دامنه$ {} $ی موج بازتابی به ضرایب بازتاب وابسته نیست و با افزایش زاویه$ {} $ی تابش دامنه$ {} $ی بازتاب کاهش می$ {} $یابد.
\item
اگر $\mathcal{RC}>0$ و نسبت پواسون افزایش یابد و یا اگر $\mathcal{RC}<0$ و نسبت پواسون کاهش یابد دامنه$ {} $ی بازتاب با افزایش زاوی$ {} $ی فرود افزایش می$ {} $یابد.

\item
اگر $\mathcal{RC}>0$ و نسبت پواسون کاهش یابد و یا اگر $\mathcal{RC}<0$ و نسبت پواسون افزایش یابد دامنه$ {}$ ی بازتاب ابتدا با افزایش زاوی$ {} $ی تابش کم می$ {} $شود و سپس دامنه با قطبش معکوس با افزایش زاویه$ {} $ی تابش افزایش می$ {} $یابد.
\end{itemize}

\item
با انتشار موج کروی انرژی در واحد سطح جبه$ {} $ی موج با معکوس مربع فاصله از چشمه کاهش می$ {} $یابد(توضیحات گسترش هندسی را  که در بالا وشتی اینجا بیار)

\item
مواد زمین تمایل ذاتی به جذب فرکانس$ {} $های بالا دارند و این تمایل ذاتی نتیجه$ {} $ی اصطکاک داخلی به واسطه$ {} $ی حرکت سیال در بین خلل و فرج و یا حرکت نسبس ذرات سنگ است. در واقع در هر نوسان حرکت جسم باعث اتلاف انرژی موج م$ {} $ی$ {} $شود.

عوامل متعددی در کاهش دامنه$ {} $ی موج موثر اند نظیر واگرایی کروی، ضرایب بازتاب و عبور، تداخل رخدادها،حساسیت ژئوفون، تغییرات ضرایب بازتاب با زاوی$ {} $ی برخورد، انحنای بازتابنده، بازتاب$ {} $های چندگانه از لایه$ {} $های نازک و پدیده$ {} $ی جذب. یک سری از این عوامل قابل کنترل هیتند ولی یک سری از آنها را باید تخمین زد و در نهایت اثر آنرا جبران کرد. اما برای پدیده$ {} $ی جذب مکانیسم مشخصی وجود ندارد ولی اصطکاک داخلی و جرکت سیال از مهمترین عوامل ایجاد کننده$ {} $ی پدیده$ {} $ی جذب هستند. به طور کلی مکانیسم کاهش انرژی در سنگ$ {} $ها به عنوان مسئله$ {} $ای پیچیده مورد بررسی و مطالعه قرار دارد.

\textbf{کتاب اکی}

موج بر اثر گسترش از چشمه و حرکت در یک محیط کشسان دچار افت انرژی خواهد شد اما انرژی کل آن ثابت خواهد ماند. برخلاف این حالت ایده$ {} $آل به هنگام انتشار موج در زمین واقعی دامنه$ {} $ی موج بر اثر فرآیند$ {} $ای مختلف کاهش پیدا می$ {} $کند که به آن اصطکاک داخلی گویند. اثر اصطکاک داخلی توسط کمیتی بی یعد به ناف فاکتور کیفیت معرفی می$ {} $شود که تعاریف مختلفی برای آن ارائه شده است. اگر حجمی از جسم بر اثر تنش شروع به چرخش با فرکانس زاویه$ {} $ای $\omega$ کند اندازه$ {} $گیری اصطکاک داخلی یا همان غیرکشسان بودن با رابطه$ {} $ی زیر بیان می$ {} $شود:

\begin{equation}
\frac{1}{Q(\omega)}=-\frac{\Delta E}{2\pi E}
\end{equation}
در این رابطه $E$ بیشینه انرژی ذخیره شده در جسم و $-\DeltaE$ کاهش انرژس در هر چرخه به دلیل ناهمگونی محیط است. این تعریف به ندرت به صورت مستقیم استفاده می$ {} $شود زیرا در موارد و آزمایشات خاص ممکن است جسمی را پیدا کرد که موج عبوری از آن دامنه و دوره تناوب متغیر نداشته باشد. معمولا دو حالت زیر وجود دارد:
\begin{itemize}
\item
کاهش زمانی دامنه در یک موج ایستاده در یک عدد موج ثابت.
\item
کاهش دامنه بر اثر یک موج منتشر شونده در یک فرکانس ثابت.

\end{itemize}

معمولترین حالتی که در لرزه$ {} $شناسی اکتشافی اتفاق می$ {} $افتد میرایی یک سیگنال شامل رنجی از فرکانس$ {} $ها است. فرضی که وجود دارد این است که میرایی با فرکانس ارتباط خطی دارد و با تجزیه$ {} $ی یک موج به مولفه$ {} $های فرکانسی آن و بررسی هر یک از حالت$ {} $های بالن و با استفاده از تبدیل فوریه$ {} $ی وارون می$ {} $توان اثر میرایی را بر روی سیگنال$ {} $های لرزه$ {} $ای بررسی کرد. برای هر دوخالت بالا برای محیطی که رابطه$ {} $ تنش و کرنش خطی است دامنه با ریشه$ {} $ی دوم انرژی متناسب است بنابراین داریم:
\begin{equation}
\frac{1}{Q(\omega)}=\frac{1}{\pi} \frac{\Delta A}{A}
\end{equation}
 با این رابطه می$ {} $توان نوسانات دامنه بر اثر میرایی را بدست آورد.
برای حالت اول می$ {} $خواهیم تغییرات دامنه با زمان را یررسی کنیم. اگر دامنه$ {} $ی اولیه $A_0$ این دامنه در زمان$ {} $های متوالی $\frac{2\pi}{\omega}, \frac{4\pi}{\omega}, \cdots, \frac{2n\pi}{\omega}$ با نسبت $\frac{\pi}{Q}$ کاهش می$ {} $یابد:
\begin{equation}
A(t)=A_0 (1-\frac{\pi}{Q})^n\qquad,\qquad t=\frac{2\pi n}{\omega}
\end{equation}

با تقریب $exp(x)=\lim_{n\to\infty} (1+\frac{x}{n})^n$ داریم:
\begin{equation}
A(t)=A_0 [1-\frac{\omega t}{2Qn}]^n \longrightarrow A_0 \exp(-\frac{\omega t}{2Q})
\end{equation}
این رابطه تغییر دامنه با زمان را بیان می$ {} $کند. 

در حالت دوم با دنبال کردن قله$ {} $ی موج در طول فاصله$ {} $ی $\mathrm{d}x$ کاهش دامنه بر حسب مسافت طی شده توسط موج قابل بررسی است:
\begin{equation}
\Delta A=\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}x}\lambda\quad,\quad \lambda=\frac{2\pi c}{\omega}\Longrightarrow \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}x}=-\frac{A \omega}{2cQ}\Longrightarrow A(x)=A_0 \exp(-\frac{\omega x}{2cQ})
\end{equation}
در این رابطه $c$ سرعت فاز است. حال برای اعمال میرایی بر حل معادله$ {} $ی موج به صورت $\exp[i((kx-\omega t)]$ از عدد موج مختلط برای معادله$ {} $ی دوم استفاده می$ {} $کنیم.

\textbf{لزوم پاشش در حضور میرایی}
اگر موج تخت به صورت اسپایک $\delta(t-\frac{x}{c})$ در نظر بگیریم که با سرعت $c$ در جهت محور $x$ حرکت می$ {} $کند. اگر محیط کاملا کشسان باشد شکل این اسپایک حفظ شده و تمام مولفه$ {} $های فرکانسی با سرعت $c$ حرکت می$ {} $کنند. حال اگر این موج وارد محیط میرا کننده شود. اندازه گیری$ {} $های آزمایشگاهی نشان داده است که $Q$ برای مایعات با فرکانس متناسب است ولی در جامدات در رنج فرکانسی که در لرزه$ {} $شناسی استفاده می$ {} $شود مستقل از فرکانس است. حال اگر از پالس مشاهده شده تدیل فوریه بگیریم داریم:
\begin{equation}
\delta(t-\frac{x}{c}) e^{i\omega t} \mathrm{d}t = \exp(i\omega \frac{x}{c})
\end{equation}
می$ {} $خواهیم ببینیم اگر این پالس با فاکتور $\exp(-\alpha(\omega) x$ که در آن $\alpha=\frac{\omega}{2cQ}$ می$ {} $باشد شکل پالس میرا شده چگونه خواهد بود؟ اگر فرض کنیم که تمام مولفه$ {} $های فرکانسی با سرعت $c$ حرکت کنند (پاشش وجود ندارد، بنابراین می$ {} $توان با محاسیه$ {} $ی معکوس تبدیل فوریه شکل پالس میرا شده را بدست آورد:
\begin{equation}
\mathcal{P}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}
\tikz[baseline]{
            \node[fill=blue!20,anchor=base] (t1)
            {$\exp\big(-\frac{\omega x}{2cQ}\big)$};
        }
         \exp\big(i\omega(\frac{x}{c}-t)\big) \mathrm{d}\omega
\end{equation}

در این رابطه عبارت مشخص شده عامل جذب است. برای فرکانس$ {} $های مثبت جواب انتگرال بالا به صورت زیر خواهد بود:
\begin{equation}
\mathcal{P}(x,t)=\frac{1}{\pi}\Bigg[\frac{\frac{x}{2cQ}}{(\frac{x}{2cQ})^2+(\frac{x}{c}-t)^2}\Bigg]
\end{equation}

شکل این پالس به صورت زیر نشان داده شدن است. همانطور که مشاهده می$ {} $شود تقارن این پالس شرط علیت را نقض می$ {} $کند یعنی در زمان$ {} $ای منفی مقدار داریم که در واقع اینطور نیست و پالس اولیه$ {} $ی ورودی علی بوده است. بنابراین حتما باید تغییر فاز را در نظر گرفت و لزوما پاشش باید وجود داشته باشد تا شرط علیت نقض نشود. همچنین در زمان ($\tau=\frac{4x}{3\sqrt{3}cQ}$) این تابع بیشینه مقدار خود را دارد که با نتایج آزمایشگاهی که مقداری کمتر از این را نشان می$ {} $دهند تناقض دارد.


اولین گام برای کمی کردن پاشش یک محیط بررسی مفهوم شکل موج برای بک محیط غیر الاستیک است. اگر یک موج تخت $u(x,t)$ در نظر بگیریم که از زمان و مکان صفر در جهت $x$ حرکت می$ {} $کند داریم:
\begin{equation}
u(0,t)=0 \qquad \text{\lr{for}}~ t<0
\end{equation}

تبدیل فوریه$ {} $ی این پالس به صورت زیر است:
\begin{equation}
u(x,\omega)=u(0,\omega) \exp(ikx)
\end{equation}

در این رابطه عدد موج مختلط به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:
\begin{equation}
k=\frac{\omega}{c(\omega)}+i\alpha(\omega)
\end{equation}
 بنابراین شکل موج به صورت زیر خواهد بود:
\begin{equation}
u(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} u(0, \omega) \exp(i(kx-\omega t)) \mathrm{d}\omega
\end{equation}

در واقع این رابطه معادل همامیخت $u(0,t)$ و $p(x,t)$ است که در رابطه$ {} $ی بالا به عنوان پالس میرا شده معرفی شد یعنی:
\begin{equation}
u(0,t) \ast \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \exp[i(kx-\omega t)] \mathrm{d}\omega
\end{equation}

اگر فرض ما این باشد که برای زمان$ {} $های کمتر از $\frac{x}{c_\infty}$ مقدار ($P(x,t)$) صفر باشد بنابراین باید رابطه$ {} $ی زیر بین سرعت فاز و ضریب جذب برقرار باشد (جلوتر اثبات میشه):
\begin{equation}
\frac{\omega}{c(\omega)}=\frac{\omega}{c_\infty}+\mathcal{H}\{\alpha(\omega)\}
\end{equation}

داریم:
\begin{equation}
\alpha(\omega)=\frac{\omega}{2cQ}\Longrightarrow\frac{\omega}{c(\omega)}=2Q\alpha(\omega)\Longrightarrow
\tikz[baseline]{
            \node[fill=blue!20,anchor=base] (t1)
            {$\frac{\omega}{c_\infty}+\mathcal{H}\{\alpha(\omega)\}=2Q\alpha(\omega)$};
        }
\end{equation}

اگر فرض بر ثابت بودن $Q$ باشد هیچ تبدیل هیلبرتی وجود ندارد که به ازای آن رابطه$ {} $ی بالا برقرار باشد. بنابراین باید وابسته بودن $Q$ به فرکانس را پذیرفت اما مقادیر $\alpha(\omega)$ در باند لرزه$ {} $ای به گونه$ {} $ای باید انتخاب شود که  فاکتور کیفیت مستقل از فرکانس باشد. این روش توسط عظیمی و همکاران انجام شد و بزای ضریب جدب مقداری معرفی شد که با این مقدار رابطه$ {} $ی بالا کاملا برقرار است:
\begin{equation}
\tikz[baseline]{
            \node[fill=red!20,anchor=base] (t1)
            {$\alpha(\omega)=\frac{a_0 \omega}{1+a_1 \omega} \qquad,\qquad \mathcal{H}\{\alpha(\omega)\}=\frac{2a_0 \omega}{\pi (1-a_1^2 \omega^2)} \log(\frac{1}{a_1 \omega}))$};
        }
\end{equation}
رابطه$ {} $ی پاشش و میرایی بیان شده در این رابطه یک تقریب خوب برای ارتباط میرایی و پاشش سرعت در لرزه$ {} $شناسی اکتشافی است. شکل زیر شکل پالس $P(x,t)$ را با این فرض که رابطه$ {} $ی میرایی و پاشش عظیمی در آن صادق است رسم شده است. به خوبی می$ {} $توان دید که این رابطه شرط علیت پالس را برقرار می$ {} $کند. رابطه$ {} $ی بالا با فرض $a_1\omega \ll 1$ بدست آمده است و اگر از $a_1^2 \omega^2$ صرف نظر کنیم  برای سرعت فاز خواهیم داشت:
\begin{equation}
\frac{1}{c(\omega)}=\frac{1}{c_\infty}+\frac{2a_0}{\pi}\log(\frac{1}{a_1 \omega})
\end{equation}

یه راحتی از معادلات قرمز و آبی بالا می$ {} $توان ثابت کرد که $Q=\frac{1}{2c_\inftya_0}$ و با ایتفاده از این رابطه وبکار گیری بسط $\frac{1}{1-x}=\sum_{m=0}x^m$ به یک رابطه$ {} $ی مهم خواهیم رسید:
\begin{equation}
\frac{c(\omega_1)}{c(\omega_2)}=1+\frac{1}{\pi Q}\log(\frac{\omega_1}{\omega_2})
\end{equation}

با استفاده از این رابطه می$ {} $توان نسبت سرعت فاز را در دو فرکانس مختلف بدست آورد. این رابطه فقط برای مدل$ {} $هایی از میرایی کاربرد دارد که در آنها $Q$ ثابت است.
\begin{figure}
\centering
\begin{tikzpicture}
\draw [xshift=4cm,-latex] plot [smooth] coordinates { (0,0) (1,1) (3,.8) (4.5,2.6)};
\draw [xshift=4cm,-latex] plot [smooth] coordinates { (0,1.15) (1.9,1.9) (3,1.4) (4,3)};
\draw[rotate=40] (4.6,-2.2) ellipse (.1cm and .27cm)node[above=10pt,xshift=-3mm]{$dS_{1}$};
\draw[rotate=40] (6,-3.5) ellipse (.1cm and .38cm)node[above=12pt,xshift=-3mm]{$dS_{2}$};
\end{tikzpicture}
\end{figure}




دامنه$ {} $ی امواج لرزه$ {} $ای دو نوع میرایی را تجربه می$ {} $کنند، میرایی ظاهری و میرایی ذاتی.  میرایی ظاهری شامل فرآیندهایی نظیر گسترش هندسی، پراکندگی پرتو، فرآیندهای مربوط به سطح جدایش لایه$ {} $]ا نظیر بازتاب، عبور و چندگانه$ {} $ها و تبدیل مد می$ {} $باشند. این فرآیندها برگشت پذیر اند و قابل جبران می$ {} $باشند و انرژی را حفظ می$ {} $کنند(منبع N1). این نوع میرایی پاششی نیست. بر خلاف این میرایی، نوع دوم میرایی ذاتی است که حاصل تبدیل انرژی کشسانی به گرما براثر اصطکاک داخلی است. این میرایی از نوع پاششی است . شناختی از مکانسیم آن به طور دقیق وجود ندارد و کمیت بخشی به آن دشوار است. بنابراین میرایی کل را می$ {} $توان به صورت زیر تعریف کرد:
\begin{equation}
\frac{1}{Q_{total}}=\frac{1}{Q_{app}}+\frac{1}{Q_{int}}
\end{equation}

از میرایی به عنوان یک کمیت غیرکشسان می$ {} $توان به همراه سایر کمیت$ {} $های فیزیکی برای تعیین و تشخیص پارامتر$ {} $های سنگ استفاده کرد.

اکی و ریچاردز بیان کردند که مدل $Q$ ثابت صحیح نیست از لحاظ فیزیکی زیرا یک پالس در زمان$ {} $های مثبت و $Q\neq 0$ قبل از رسیدن به استرس پاسخ می$ {} $دهد و علیت را نقض می$ {} $کنند. بنابراین $Q$ باید تابع فرکانس باشد. 

اگر یک پالس منتشر شونده در محسط میرا کننده را در نظر بگیریم، عدد موج این پالس منتشر شونده کمیتی مختلط است و اکی و ریچاردز رابطه$ {} $ای بدست آوردند که شرط علیت را تضمین می$ {} $کند یعنی اینکه پالس میرا شونده قبل از زودترین زمان رسید ممکن یعنی $t=\frac{z}{v_\infty}$ برابر صفر است:

\begin{equation}
\frac{\omega}{v(\omega)}=\frac{\omega}{v_\infty}=\mathcal{H}\{\alpha(\omega)\}
\end{equation}

اگر خواستی شکل رسم کنی باید $v_\infty$رو عدد بدی و نشون بدی قبل زمان $t=\frac{z}{v_\infty}$ صفر هست.

تمام مدل$ {} $های معرفی شده برای میرایی در باند 10-100 هرتز معادل هم هستند. هرکدام از این مدل$ {} $ها دارای یک سرعت مبنا و یک فرکانس مبنا می$ {} $باشند. به عنوان مثال در مدل فوترمن اگر رابطه$ {} $ی مربوط به سرعت فاز را در رابطه$ {} $ی مربوط به عدد موج مختلط جایگزین کنیم خواهیم داشت:
\begin{equation}
k=\frac{\omega}{v_0}[1-\frac{1}{\pi Q}\ln(\frac{\omega}{\omega_0}]
\end{equation}
در واقع در هر مدل با قرار دادن روابط مربوط به سرعت فاز در رابطه$ {} $ی پارامتر انتشار (عدد موج مختلط) می$ {} $توان شکل پالس میرا شده را بدست آورد.


\textbf{اثر میرایی بر داده$ {} $های لرزه$ {} $ای}
زمین مانند یک فیلتر پایین گذر عمل می$ {} $کند که باعث میرایی فرکانس$ {} $های بالا می$ {} $شود. این امر باعث کم شدن کیفیت داده$ {} $ها خواهد شد مخصوصا اگر دامنه$ {} $ی مولفه$ {} $های فرکانسی پایین$ {} $تر از سطح نوفه قرار گیرند. (حتمااااااااااا شکل از کتاب وننگ)

جارتانسون یک مدل خطی بزای میرایی با $Q$ دقیقا مستقل از فرکانس بیان کرد که کاملا توسط دو پارامتر معین $Q$ و سرعت فاز در یک فرکانس دلخواه مشخص می$ {} $شد. این مدل می$ {} $تواند میرایی را برای هر $Q$ مثبت توصیف کند. 

\textbf{میرایی هم بر دامنه و هم بر فاز موج لرزه$ {} $ای اثرگذار است و نادیده گرفتن آن در مدلسازی مستقیم، تصویربرداری زیرسطحی و وارون سازی ایجاد خطا خواهد کرد. بنابراین برای بدست آوردن نتایج درست و منطقی باید میرایی در الگوریت$ {} $های مدل سازی انتشار امواج آورده شود.}

مکانیسم$ {} $های بدست آمده برای میرایی که در آزمایشگاه بدست می$ {} $آیند قابل استناد نیستند زیرا در آزمایشگاه از امواج فراصوتی و باند فرکانسی مربوط به آنها استفاده می$ {} $شود که متفاوت از باند فرکانسی امواج لرزه$ {} $ای خواهد بود. بنابراین یک رابطه$ {} $ی مستقیم و قابل قبول بین نتایج آزمایشگاهی و داده$ {} $های میرایی وجود نخواهد داشت. این موارد خصوصا برای سنگ$ {} $های اشباع از سیال ویسکو الاستیک شدیدا اثر گذار است بنابراین ویژگی$ {} $های سنگ در باند لرزه$ {} $ای متفاوت از باند فرکانسی داده$ {} $های چاه است.

میرایی با اشباع افزایش می$ {} $یابد.مطالعات اولیه$ {} $ی \lr{Knopoff} نشان داد که میرایی در سنگ خشک مستقل از فرکانس است اما در سنگ اشباع از سیال وابسته به فرکانس است.

شکل موج تخت کشسان که در محیط همگن، همسانگرد و کشسان حرکت می$ {} $کند با فاصله$ {} $ی طی شده تغییر نمی$ {} $کند. اگر محیط همگن، همسانگرد ولی غیرکشسان باشد شکل پالس تغییر می$ {} $کند که این تغییر یا به واسطه$ {} $ی تغییر در طیف دامنه و یا تغییر در طیف فاز و یا هر دو است. تغییر در دامنه به واسطه$ {} $ی ضریب میرایی وابسته به فرکانس است اا تغییر در فاز به دلیل پاشش است. یک تغییر اندک در سرعت فاز می$ {} $تواند یک تغییر قابل توجه در شکل موج برای فواصل انتشار زیاد ایجاد کند.

اگر محیطی رفتار خطی داشته باشد حضور میرایی الزاما نیازمند حضور پاشش است و با دانستن قسمت موهومی ثابت انتشار که ضریب میرایی است می$ {} $توان قسمت حقیقی را بدست  آورد.
\textbf{ویکی پدیا}
به هنگام انتشار موج داخل یک جسم هم انرژی موج کاهش پیدا می$ {} $کند و هم پاشش سرعت داریم. کاهش انرژی که تابعی از فرکانس است باعث کاهش رزولوشن می$ {} $شود و پاشش که پدیده$ {} $ای است که الزاما در کنار میرایی وجود دارد باعث می$ {} $شود که فرکانس$ {} $های بالاتر با سرعت بیشتری نسبت به فرکانس$ {} $های پایین$ {} $تر حرکت کند که نتیجه$ {} $ی آن یک شیفت زمانی وابسته به فرکانس است. اگر میرایی برای ما معلوم باشد به دلیل ارتباطی که با پاشش دارد می$ {} $توان شیفت زمانی که به وابسته به پاشش است محاسبه کنیم. معادلات پاشش با بکارگیری یک تبدیل انتگرالی در حوزه$ {} $ی فرکانس بدست می$ {} $آید که این معادلات از نوع کرامرز-کرونیگ می$ {} $باشند.

برای برقراری رابطه$ {} $ی ثابت انتشار $k=\kappa+i\alpha(\omega)$ دو فرض را باید درنظر بگیریم:
فرض اول اینکه ضریب میرایی در باند فرکانسی لرزه$ {} $ای وابسته$ {} $ی خطی به فرکانس است.

فرض دوم این است که حرکت موج خطی است یعنی اصل برهم نهی موج برقرار است یعنی هر پالس حاصل برهم نهی امواج تخت است. 



\textbf{دو تا شکل بیار که پاشش رو نشون بده و نبود پاشش رو...اونی که پاشش داره یه شیفت زمانی نسبت به اون یکی داره}

در واقع فاکتور کیفیت فاکتور میرایی غیرکشسان است که اثر میرایی ناکشسان رو بر روی موجک کمیت می$ {} $دهد. در واقع این پارامتر ترکیبی از میرایی دامنه و پاشش سرعت است.

\textbf{اثبات رابطه$ {} $ی $Q(\omega)=\frac{\omega}{2\alpha(\omega)\v}$}

یک موج ایستاده را در نظر می$ {} $گیریم:
\begin{equation}
u=A_0 e^{-\eta t} \cos(\omega t+\beta)
\end{equation}
در یک پریود از حرکت موج دامنه با فاکتور $\exp(\frac{-2\pi \eta}{\omega})$ کاهش می$ {} $یابد. در این رابطه عبارت داخل پرانتز $\Delta=\frac{-2\pi \eta}{\omega}$ را کاهش لگاریتمی (کاهش دامنه در یک دوره تناوب) گویند. نسبت انرژی کاهش یافته در هر چرخه به کل انرژی برای یک ماده$ {} $ی خطی که با مجذور دامنه نیز متناسب است به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:

\begin{equation}
\frac{\Delta W}{W}=1-e^{-2\Delta} \overset{e^{x} expansion} {\approx} 2\Delta
\end{equation}

در روابط مربوط به جریان الکتریکی کاهش انرژی در هر چرخه با فاکتور کیفیت طبق رابطه$ {} $ی زیر تعریف می$ {} $شود:
\begin{equation}
\frac{2\pi}{Q}=\frac{\Delta W}{W}=\frac{1}{2\pi}(1-e^{-2\Delta}) \approx \frac{\Delta}{\pi}\quad
\text{\lr{if}}~\Delta\ll \frac{1}{2}
\end{equation}
حال اگر یک موج منتشر شونده را در نظر بگیریم:
\begin{align*}
u(x,t)&=A e^{\alpha x} cos(\phi)\\
\phi&=(\frac{\omega x}{v}-\omega t)
\end{align*}
بیشترین جابجایی موج وقتی اتفاق می$ {} $افتد که $\cos(\phi)=1$ یعنی ($\phi=2n\pi$) اتفاق می$ {} $افتد.
برای $\phi=0$ داریم $x=vt$ و برای $\phi=2\pi$ و زمان ثابت موج به اندازه$ {} $ی یک طول موج پیشروی می$ {} $کند یعنی:
\begin{align*}
\begin{cases}
u_0(x,t)&=e^{-\alpha vt}\\
u_{2\pi}(x+\deltax,t)&=e^{\alpha v(t+\frac{2\pi}{\omega})} \qquad \phi(x+\delta x)=\omega(\frac{x+\delta x}{v}-t)
\end{cases}
\end{align*}

با توجه به این معادله $\Delta=\frac{2\pi\alpha v}{\omega}$ و در نتیجه داریم:
\begin{equation}
\frac{2\pi}{Q}=\frac{\Delta W}{W}=1-e^{-2\Delta}\Longrightarrow \frac{1}{Q}=\frac{1}{2\pi}(1-e^{-\frac{4\pi\alpha v}{\omega}})
\end{equation}
حال با فرض $\frac{4\pi\alpha v}{\omega} \ll 1$ خواهیم داشت:
\begin{equation}
Q(\omega)=\frac{\omega}{2\alpha(\omega) v}
\end{equation}


\section{تخمین فاکتور کیفیت با استفاده از روش فیلتر تطابق\footnote{Matched filter}}
فرض کنیم موجک $w_1(t)$ و $w_2(t)$ دو موجک در زمان$ {} $های $t_1$ و $t_2$ باشند. موجک اول پس از طی زمان $\Delta t= t_2-t_1$ و عبور از لایه به موجک دوم تبدیل می$ {} $شود. اگر طیف دامنه$ {} $ی این دو موجک را $A_1(f)$ و $A_2(f)$ بنامیم ابتدا این با داشتن طیف دامنه$ {} $ی آنها و با فرض اینکه بین طیف دامنه و طیف فاز موجک کمینه فاز به واسطه$ {} $ی تبدیل هیلبرت ارتباط وجود دارد می$ {} $توان دو موجک کمینه فاز $w_1(t)$ و $w_2(t)$ را به صورت زیر محاسبه کرد:
\begin{align}
w_1(t)& =F^{-1}(|A_1(f)|) e^{i\mathcal{H}\{\ln(A_1(f))\}}\\
w_2(t)& =F^{-1}(|A_2(f)|) e^{i\mathcal{H}\{\ln(A_2(f))\}}
\end{align}
در این رابطه $F^{-1}$ تبدیل فوریه معکوس است. اگر موجک $w_1(t)$ از لایه$ {} $ای با فاکتور کیفیت $Q$ و با طی زمان $\Delta t=t_2-t_1$ به موجک $w_2(t)$ تبدیل شود، در این حین فیلتر زمین که بر موجک $w_1(t)$ اعمال شده است $I(Q,t)$ می$ {} $باشد که به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:
\begin{equation}
I(Q,t)=F^{-1}\bigg[\exp\Big(-\frac{\pi f \Delta t}{Q}+i\mathcal{H}\big(\frac{\pi f \Delta t}{Q}\big)\bigg)\bigg]
\end{equation}

در این روش مقدار فاکتور کیفیت از طریق کمینه کردن اختلاف بین موجک اول و دوم مطابق با رابطه$ {} $ی زیر محاسبه می$ {} $شود:
\begin{equation}
Q_{est}=arg\min_Q \lVert{w_1(t)\ast I(Q,t)-\mu w_2(t)}\rVert ^2 
\end{equation}
در ابن رابطه $\mu$ به عنوان یک ضریب برای وزن دهی بکار رفته است و به صورت زیر تعریف می$ {} $شود:
\begin{equation}
\mu=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty}(w_1(t) \ast I(Q,t) )w_2(t) \mathrm{d}t}{\int_{-\infty}^{+\infty} w_2^2(t) \mathrm{d}t}
\end{equation}