\documentclass[12pt,a4paper]{report}


\usepackage{MnSymbol}
\usepackage{tikz-cd}
\usetikzlibrary{arrows}
\DeclareMathOperator{\Tor}


\usepackage[top=3cm, bottom=3cm, left=2cm, right=3.5cm]{geometry}
\usepackage{amsthm,amssymb,amsmath}
\usepackage{graphicx}

\usepackage{makeidx}
\usepackage{fancyhdr}

\usepackage{xepersian}
\settextfont[Scale=1]{XB Zar}
\setlatintextfont[Scale=.9]{Eras Medium ITC}
\setdigitfont[Scale=1]{XB Zar}



 


% تعریف قلم‌های فارسی و انگلیسی برای استفاده در بعضی از قسمت‌های متن
\defpersianfont\XBShafigh[Scale=1.5]{XB Shafigh}
\makeatletter
\renewcommand\section{\@startsection {section}{1}{\z@}%
{-3.5ex \@plus -1ex \@minus -.2ex}%
{2.3ex \@plus.2ex}%
{\normalfont\Large\XBShafigh\bfseries}}
\makeatother


\defpersianfont\XBShafigh[Scale=1.5]{XB Shafigh}
\makeatletter
\renewcommand\subsection{\@startsection{subsection}{2}{\z@}%
{-3.25ex plus -1ex minus 
   -.2ex}%
   {1.5ex plus .2ex}%
  {\normalfont\Large\XBShafigh\bfseries}}
\makeatother





\makeatletter
\newcommand\mycustomfont[1]{\def\@mycustomfont{#1}}
\newcommand\mycustomraggedright{%
	\if@RTL\raggedleft%
		\else\raggedright%
							\fi}
\def\@part[#1]#2{%
    \ifnum \c@secnumdepth >-2\relax
      \refstepcounter{part}%
      \addcontentsline{toc}{part}{\thepart\hspace{1em}#1}%
    \else
      \addcontentsline{toc}{part}{#1}%
    \fi
    \markboth{}{}%
    {\centering
     \interlinepenalty \@M
     \@mycustomfont
     \ifnum \c@secnumdepth >-2\relax
       \huge\bfseries \partname\nobreakspace\thepart
       \par
       \vskip 20\p@
     \fi
     \Huge \bfseries #2\par}%
    \@endpart}
\def\@makechapterhead#1{%
  \vspace*{50\p@}%
  {\parindent \z@ \mycustomraggedright \@mycustomfont
    \ifnum \c@secnumdepth >\m@ne
      \if@mainmatter
        \huge\bfseries \@chapapp\space \thechapter
        \par\nobreak
        \vskip 20\p@
      \fi
    \fi
    \interlinepenalty\@M
    \Huge \bfseries #1\par\nobreak
    \vskip 40\p@
  }}


\renewcommand\subsubsection{\@startsection{subsubsection}{3}{\z@}%
                                     {-3.25ex\@plus -1ex \@minus -.2ex}%
                                     {1.5ex \@plus .2ex}%
                                     {\@mycustomfont\normalsize\bfseries}}
\makeatother
\mycustomfont{\XBShafigh}










\setlength{\parindent}{0pt}
\setlength{\parskip}{1ex plus 0.5ex minus 0.2ex}





\defpersianfont\Niloofar[Scale=1]{XB Niloofar}
\defpersianfont\Roya[Scale=1]{XB Roya}
\defpersianfont\Vahid[Scale=1]{XM Vahid}
\usepackage{mathrsfs}

\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{تعریف}[section]

\newtheorem{theorem}[definition]{قضیه}
\newtheorem{lemma}[definition]{لم}
\newtheorem{proposition}[definition]{گزاره}
\newtheorem{corollary}[definition]{نتیجه}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}[definition]{مثال}
\newenvironment{fminipage}


\pagestyle{headings}



\renewcommand\headrule{\hrule height 0.5pt width\headwidth
                       \vspace{1pt}%
                       \hrule height 0.5pt width\headwidth
                       \vspace{-4pt}}
                       
 \pagestyle{fancy}
\cfoot{}
\lhead{\thepage}

 






\begin{document}
\tableofcontents



\thispagestyle{empty}
\noindent

\newpage
\section*{\flushrightline{چکیده}}

\baselineskip=1.2cm
در این پایان نامه، به بررسی و مطالعه گروهها از دیدگاه احتمالات می پردازیم. یک احتمال جدید که به نوعی تعمیم مناسبی از درجه جابجایی گروه می باشد معرفی کرده و آن را مورد بررسی قرار می دهیم. در واقع احتمال اینکه جابجاگر دو عنصر انتخاب شده از یک گروه متناهی برابر یک عنصر معین از گروه باشد رابیان کرده و حالت خاص آن که این عنصر معین همانی باشد این احتمال همان درجه جابجایی گروه خواهد شد را بررسی می کنیم. در ادامه با بیان قضایایی کران بالا و کران پایین برای این احتمال را می یابیم. \\ 
همچنین احتمال وقوع یک عنصر در گروههایی که فقط دو افراز کلاس مزدوج دارند را بدست می آوریم. \\
واژه های کلیدی: گروه های متناهی ، درجه جابجایی 

\newpage
\section*{\centerline{پیشگفتار}}
در چند دهه اخیر نظریه احتمالی گروهها توسط ریاضیدانان مورد توجه خاص قرار گرفت. آنها سعی کردند با تعریف یک احتمال مناسب در یک موضوع خاص، نتایجی را بدست بیاورند که در اثبات قضایای مختلف موضوع مربوطه به آنها کمک نماید.
%%%%%%%%%
با آنکه قبل از دهه ششم قرن بیستم در مواردی برخی از ریاضیدانان احتمال را در نظریه گروهها به کار گرفته بودند اما از سال 1965 به بعد 
\textbf{اردوش}\LTRfootnote{اردوش} 
همراه با 
\textbf{رنی}\LTRfootnote{رنی} 
[ ] 
، 
\textbf{تران}\LTRfootnote{تران} 
[ ] 
و 
\textbf{هال}\LTRfootnote{هال} 
[ ]
به طور جدی بحث نظریه احتمال گروهها را پیگیری کردند و توانستند مسائل آماری و احتمالی را در ارتباط با نظریه گروهها مطرح کنند. \\
یکی از احتمالاتی که برای گروهها توسط 
\textbf{میلر}\LTRfootnote{میلر} 
[ ]
در سال 1944 معرفی شد احتمال جابجایی دو عنصر در یک گروه متناهی بود. او برای یک گروه متناهی مانند
$G$
،
تعداد جفتهای مرتبی را در 
$G \times G$
در نظر گرفت که باهم جابجا می شوند. سپس تعدد حاصل شده را بر توان دو مرتبه گروه 
$G$
تقسیم کرد و عدد حاصل را  
$ d(G) $
 درجه جابجایی گروه نامید. در سال 1973 
\textbf{گوستافسون}\LTRfootnote{گوستافسون} 
[ ]
با ارائه یک فرمول توانست ارتباطی بین احتمال معرفی شده و تعداد رده های مزدوجی گروه برقرار کند. او نشان داد که درجه جابجایی یک گروه برابر با حاصل تقسیم تعداد رده های مزدوجی آن گروه بر مرتبه گروه است. بنابراین هر اطلاعاتی که درباره رده مزدوجی بدست آمده است می تواند در اینجا به کار گرفته شود. درسال 1979 
\textbf{دیوید جی - رودین}\LTRfootnote{دیوید جی - رودین} 
[ ]
ضمن بدست آوردن نتایج جدیدی برای درجه جابجایی، توانست یک فرمول دقیق برای محاسبه این احتمال برای 
$P$
-گروههای پوچ توان حداکثر از رده 2 بدست آورد. \\
یکی از افرادی که بیشترین کار را روی درجه جابجایی انجام داده است،
\textbf{پائر لسکات}\LTRfootnote{پائر لسکات} 
[ ]
می باشد. او با استفاده از مفهوم ایزوکلیسینم گروهها و ارتباط آن با درجه جابجایی توانست گروههایی که درجه جابجایی آنها حداقل 
$ \dfrac{1}{2} $
 بود را رده بندی کند. او نشان داد که اگر گروهی، درجه جابجایی 
$ \dfrac{1}{2} $
را اختیار کند، باید با گروه متقارن 
$S_{3}$
ایزوکلینیک باشد و گروههای با درجه جابجایی بزرگتر از 
$ \dfrac{1}{2} $
، گروه های پوچ توان از رده حداکثر 2 هستند.

\newpage
در سال 2005 و 2007 به ترتیب توسط مقدم و عرفانیان احتمال به صورت های گوناگونی تعمیم داده شد و مورد توجه قرار گرفت از جمله معروفترین آن میتوان به 
$n$-افین 
درجه پوچتوانی و درجه جابجایی نسبی گروهها اشاره نمود. در سال 2008 نیز پورنکی و سبحانی احتمال جدیدی را معرفی کردند که به نوعی تعمیم مناسبی از درجه جابجایی گروه های متناهی می اشد و با معرفی این احتمال جدید خواص و ساختار جبری گروه های متناهی را از دیدگاه احتمالاتی مورد بررسی قرار داده اند و به دنبال آن مطالعه این احتمال توسط ناث و یاداو در سال 2010 و 2012 ادامه پیدا کرد. این احتمال بدین صورت معرفی میشود:%%%%%%%%%%%
احتمال اینکه جابجاگر در عنصر انتخاب شده از یک گروه متناهی برابر یک عنصر معین از گروه باشد. در حالت خاص اگر این عنصر معین همانی باشد این احتمال درجه جابجایی گروه خواهد شد.\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%5


\newpage
\pagestyle{fancy}
\cfoot{}
\lhead{\thepage}

\chapter{مقدمات و پیش نیازها}

در این فصل تعاریف و نتایج مقدماتی را که مورد نیاز فصلهای بعدی می باشد، بیان می کنیم. در بخش اول مفاهیم رده مزدوجی و مرکزساز و ارتباط میان آنها را بیان می کنیم.
در بخش دوم جابجاگرها را در یک گروه توصیف و بعضی از خواص آنرا در قالب لم می آوریم، در بخش سوم به معرفی 
$P$-
گروه ویژه و 
$P$-گروه 
بسیار ویژه می پردازیم و در بخش چهارم به معرفی گروه فروبنیوس پرداخته و در بخش پنجم تعریف کمیت گروه را آورده و قضایای مهمی از آن را بیان میکنیم در بخش چهارم گروه های حل پذیر و پوچ توان را معرفی می نمائیم، در بخش هفتم ایزوکلیسینم گروه ها را با مثال ارائه نموده و نهایت در بخش هشتم نایش و سرشت گروه ها را به همراه قضایا و لم های سهمی را بررسی میکنیم.
\section{رده مزدوجی و معادله رده ای  
} 

در این بخش مفاهیم رده مزدوجی و مرکز ساز و ارتباط  بین آنها را بیان و در ادامه به بیان معادله رده ای می پردازیم.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{definition}
فرض کنید 
$G$
یک گروه باشد و 
$ x\in G $.
در این صورت رده مزدوجی 
$x$ 
در $G$ را با 
$x^{G}$
نشان میدهیم و به صورت زیر تعریف میشود،
 \[ x^{G} = \lbrace x^{G}= g^{-1}x g  \ :\  g \in G \rbrace .\]
\end{definition}
 \begin{theorem}
 فرض کنید 
   $G$
  یک گروه باشد. در اینصورت رده های مزدوجی گروه
  $G$
  دارای خواص زیر می باشند.\\
$ (i) $
هر عنصر در دره مزدوجی خود قرار دارد.\\
 $ (ii) $
اگر 
$ y\in x^{G} $
، آنگاه 
$ x^{G} = y^{G} $. \\
$ (iii) $
$ x^{G} \cap y^{G} =\emptyset $
یا
$ x^{G} = y^{G} $.\\
$ (iv) $
مجموعه
$ \lbrace x^{G} \ : \ x\in G \rbrace $
یک افراز برای گروه 
$G$
می باشد.\\
 از آنجایی که رابطه تزویجی یک رابطه هم ارزی است به سادگی نتیجه می شود.
 
 \end{theorem}
 
 
\end{document}