\documentclass{beamer} \usepackage[font=Times,timeinterval=10,timeduration=2.0, timewarningfirst=50,timewarningsecond=70, fillcolorwarningsecond=white!60!yellow, timedeath=0]{tdclock} %\usetheme{Warsaw} \mode { \usetheme{Warsaw} \setbeamercovered{transparent} \setbeamertemplate{headline} {% \begin{beamercolorbox}{section in head} \vskip2pt%\insertnavigation{\paperwidth} \textbf{\thepage-\pageref{endpage}} \lr{\tdclock} \vskip2pt \end{beamercolorbox}% } } \usepackage{xepersian} \settextfont[Scale=1]{XB Zar} \setromantextfont[Scale=1]{Linux Libertine} \defpersianfont\nas[Scale=1]{IranNastaliq} \AtBeginDocument{\setdigitfont[Scale=1]{XB Zar}} %\subtitle{\lr{ Geometric properties of convex sets in complex Banach spaces}} \title{} \author[ ] { {\large\textbf{استاد راهنما} } \\ \vspace*{.15cm} \\\vspace*{.5cm} {\large\textbf{استاد مشاور} } \\ \vspace*{.15cm} \\\vspace*{.5cm} {\large\textbf{پژوهشگر} } \\ \vspace*{.15cm} } %\institute{دانشگاه تبریز} %\date{} \usepackage{color} \def\blue{\color{blue}} \def\red{\color{red}} \def\black{\color{black}} \def\green{\color{green}} \def\magenta{\color{magenta}} \def\surati{\color{magenta}} \def\cyan{\color{purple}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \theoremstyle{plain} \newtheorem{teorem}{Theorem} %\newtheorem{theorem}{Theoremm} \newtheorem{pro}{Proposition} \newtheorem{cor}{Corollary} %\newtheorem{lemma}{Lemma} \theoremstyle{definition} \newtheorem{defi}{Definition} \newtheorem{conjetura}{Conjetura} \theoremstyle{example} \newtheorem{exemple}{Exemple} %\newtheorem{defi}{Definition}[section] %\newtheorem{pro}[defi]{Proposition} %\newtheorem{cor}[defi]{Corollary} \newtheorem{rem}[defi]{Remark} \newtheorem{case}{Case:} \newtheorem{exam}[defi]{Example} %######################################## \newcommand{\pa}{$\square$} \newcommand{\A}{\mathcal{A}} \newcommand{\J}{\mathcal{J}} \newcommand{\V}{\mathcal{V}} \newcommand{\pp}{\square} \newcommand{\ka}{\kappa_a} \newcommand{\bdm}{\begin{displaymath}} \newcommand{\edm}{\end{displaymath}} \newcommand{\be}{\begin{equation}} \newcommand{\ee}{\end{equation}} \newcommand{\bea}{\begin{eqnarray}} \newcommand{\eea}{\end{eqnarray}} \newcommand{\f}[2]{\frac{#1}{#2}} \newcommand{\si}{\sigma} \newcommand{\co}{\nabla} \newcommand{\rd}{$\mathds{R}^2$} \newcommand{\rc}{$\mathds{R}^3$} \newcommand{\rn}{$\mathds{R}^n$} \newcommand{\rr}{\mathds{R}} \newcommand{\ba}{\bar{M}} \newcommand{\all}{\forall} \newcommand{\no}{\nonumber} \newcommand{\ben}{\begin{enumerate}} \newcommand{\een}{\end{enumerate}} \newcommand{\cu}[4]{R_{#1#2#3}^{#4}} \newcommand{\g}[3]{\Gamma_{#1#2}^{#3}} \newcommand{\tr}{\mbox{trac\,}} \newcommand{\D}{\partial} \newcommand{\non}{nondegenerate } \newcommand{\ed}{equi-affine } \newcommand{\til}[1]{\widetilde{#1}} \newcommand{\af}{\Omega} \newcommand{\ve}{\overrightarrow} \def\normalbaselines{\baselineskip20pt\lineskip3pt\lineskiplimit3pt} \def\amapright#1{\smash{\mathop{\mathord-\mkern-9mu-\mkern-9mu\longrightarrow}\limits^{#1}}} \def\amapdown#1{\Big\downarrow\scriptstyle{#1}} %\def\mapright#1{\smash{\mathop{\mathord-\mkern-9mu-\mkern-9mu-\mkern-9mu\longrightarrow}\limits^{#1}}} \newcommand{\bla}{Blaschke } \newcommand{\Det}{\mbox{det}} \newcommand{\x}{{\frak X}(M)} \newcommand{\K}{{\frak K}} \newcommand{\trace}{\mbox{tr}} \newcommand{\ric}{\mbox{Ric}} \newcommand{\trans}{\epsfxsize=.01mm \epsfysize=0mm \epsfbox{s.1}} \newcommand{\p}{\zeta} \newcommand{\q}{\eta} \newcommand{\h}{h^\xi} \newcommand{\s}{S^{\xi}} \newcommand{\te}{\theta^{\xi}} %####################################### \newcommand{\cl}{\operatorname{cl}} \newcommand{\traza}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\vol}{\operatorname{vol}} %\institute[University of Tabriz]{\lr{Department of pure mathematics, \\ %University of Tabriz }} %\date{24 شهریور} %\date[Tabriz]{\lr{2010}} \pgfdeclareimage[height=7mm]{university-logo}{tabriz.eps} \logo{\pgfuseimage{university-logo}} \AtBeginSubsection[] { \begin{frame} \frametitle{Index} \tableofcontents[currentsection] \end{frame} } \begin{document} %\begin{frame}\begin{figure}\includegraphics[width=7cm]{besmelah.eps}\end{figure}\end{frame} \begin{frame} \begin{figure} \includegraphics[width=4cm]{shekl1} \end{figure} \end{frame} \begin{frame} \titlepage \end{frame} \begin{frame}{فهرست مطالب} %\framesubtitlاین زیرعنوان است} %\section{فهرست مطالب} 1. مقدمه \\ 2. توزیع نمایی تعمیم‌یافته \\ 3. برآورد $R$ در توزیع نمایی تعمیم‌یافته \\ 4. برآورد $R$ در توزیع نمایی تعمیم‌یافته با حضور نقاط پرت \\ 5. نمونه‌گیری مجموعه‌ای رتبه‌ای \\ \end{frame} %\section{پیشینه پژوهش و مفاهیم مقدماتی} \begin{frame} \begin{center} \large{فصل اول} \\[2cm] پیشینه پژوهش و مفاهیم مقدماتی \end{center} \end{frame} \begin{frame}{فصل اول} \framesubtitle{پیشینه پژوهش و مفاهیم مقدماتی} \only<1>{ \begin{بلوک} <1->{\rl{قضیه ماكزیمم-مینیمم}} هر تابع پیوسته روی یك مجموعه فشرده، ماكزیمم و مینیمم خود را اختیار می كند. \end{بلوک} در سال 1958 klee V. [34] این پرسش را مطرح کرد که آیا عضوی از یک زیرمجموعه محدب بسته کراندار از یک فضای باناخ می تواند نقطه وقوع سوپریمم (نقطه ساپورت) یک تابعک غیر صفر (تابعک ساپورت) باشد. } \only<2-3>{ \begin{بلوک} <2>{\rl{تعریف}} فرض کنید $C$ یك زیرمجموعه فضای باناخ $X$ باشد و $x\in C$. اگر تابعک \underline{غیر صفر} $f\in X^*$ موجود باشد به طوری که $$\mathfrak{R} f(x)=\sup_{y\in C}\mathfrak{R} f(y)،$$ آنگاه $x$ را نقطه ساپورت و $f$ را تابعک ساپورت گوییم. \end{بلوک} \begin{بلوک} <3>{\rl{قضیه جداسازی}} [22] فرض کنید $A$ و $B$ زیر مجموعه های محدب از فضای برداری توپولوژیک هاسدورف حقیقی $E$ باشند و $B^\circ\neq\emptyset$ و $B^\circ\cap A=\emptyset$ آنگاه می توان $A$ و $B$ را به وسیله یک ابر صفحه از هم جدا کرد، یعنی یک تابعک خطی پیوسته $f\neq0$ روی $E$ وجود دارد به طوری که $.\sup f(A)\leq\inf f(B)$ \end{بلوک} } \only<4>{ \begin{بلوک} <4>{\rl{قضیه ساپورت}} [22] اگر $C$ زیر مجموعه محدب از فضای برداری توپولوژیک هاسدورف حقیقی $E$ باشد و $C^\circ\neq\emptyset$ و $x\in\partial C$، آنگاه ابر صفحه ای موجود است که $C$ را در $x$ ساپورت \\می کند، یعنی یک تابعک خطی پیوسته $f\neq 0$ روی $E$ وجود دارد به طوری که $$\sup f(C)=f(x).$$ \end{بلوک} Bishop E. و Phelps R. R. [9] با استفاده از قضیه فوق و مفهوم مخروط محدب، در سال 1963 به سئوال Klee پاسخ مثبت دادند و حتی نشان دادند شرط کرانداری لازم نیست. } \only<5-7>{ \begin{بلوک} <5->{\rl{قسمت اول قضیه بیشاپ-فلپس}} [9] اگر $C$ یک مجموعه محدب بسته از فضای باناخ $X$ باشد آنگاه نقاط ساپورت $C$ در مرز $C$ چگالند. \end{بلوک} همچنین آنها با اثبات چند لم و قضیه دیگر، ثابت كردند: \begin{بلوک} <6->{\rl{قسمت دوم قضیه بیشاپ-فلپس}} [9] اگر $C$ زیرمجموعه ای محدب، بسته و کراندار از فضای باناخ $E$ باشد، آنگاه مجموعه تابعکهای ساپورت $C$ در $E^*$ چگال است. \end{بلوک} \begin{بلوک} <7>{\rl{نتیجه مهم}} اگر $E$ یک فضای باناخ باشد، آنگاه مجموعه تابعکهای $f\in E^*$ که به نرم خود \\ می رسند در $E^*$ چگال است. \end{بلوک} } \only<8>{ فرض کنید $X\neq\{0\}$ یک فضای باناخ حقیقی یا مختلط باشد و $x\in S_X$. آنگاه تعاریف زیر را روی گوی واحد داریم: \begin{بلوک} <8>{\rl{نقطه اكستریم}} $x$ را نقطه اکستریم $B_X$ گوییم اگر $x$ نقطه درونی هیچ پاره خطی در گوی واحد نباشد. یعنی اگر $a,b\in B_X$ و $$x=ta+(1-t)b \in B_X$$ که $0\leq t\leq1$، آنگاه فقط $x=a=b$. \end{بلوک} اگر هر نقطه کره واحد $X$، نقطه اکستریم گوی واحد آن باشد، یعنی $S_X$ پاره خط غیر بدیهی نداشته باشد، $X$ را اکیداً محدب گوییم. } \only<9-11>{ \begin{بلوک} <9->{\rl{تابعک ساپورت}} $f\in S_{X^*}$ را که $f(x)=1$، تابعک سـاپورت $x$ گویند. \end{بلوک} بنا به قضیه هان-باناخ مجموعه تابعکهای ساپورت $x$، غیر خالی است. \begin{بلوک} <10->{\rl{نقطه و تابعک اكسپوزد}} اگر $x$ تابعک ساپورتی مانند $f$ داشته باشد به طوری که به ازای هر $y\neq x$، $\mathfrak{R}f(y)<1$ آنگاه $x$ را نقطه اکسپوزد و $f$ را تابعک اکسپوزد آن گویند. \end{بلوک} \begin{بلوک} <11>{\rl{نقطه و تابعک اكسپوزد قوی}} اگر $x$ نقطه اکسپوزد باشد و بازای دنباله $ \{x_n\}$ در گوی واحد، $f(x_n)\longrightarrow 1$، نتیجه دهد $x_n\longrightarrow x$، آنگاه $x$ را نقطه اکسپوزد قوی و $f$ را تابعک اکسپوزد قوی گوییم. \end{بلوک} } \only<12>{ \begin{بلوک} <12->{\rl{انتگرال Bochner }} فرض کنید $(X,\Sigma,\mu)$ یک فضای اندازه و $B$ یک فضای باناخ و $S_n: X\rightarrow B$ دنباله ای از توابع ساده باشد. انتگرال Bochner تابع اندازه پذیر $f: X\rightarrow B$، را به این صورت تعریف می کنیم: $$\int_{X}fd\mu=\lim_{n\rightarrow \infty}\limits\int_{X}s_n d\mu.$$ \end{بلوک} } \only<13>{ حال می توان تعمیم قضیه رادون-نیکودیم را در یک فضای باناخ (در صورت برقرار بودن) بیان کرد: \begin{بلوک} <13>{\rl{خاصیت رادون-نیکودیم (RNP)}} فضای باناخ $B$ در خاصیت رادون-نیکودیم صدق می کند، هرگاه به ازای هر $(X,\Sigma,\mu)$ با شرط $\mu(X)<\infty$ و هر اندازه $\mu$-پیوسته $\nu : \Sigma \rightarrow B$ با تغییر متناهی، تابع انتگرال پذیر Bochner ای مانند $f : \Sigma \rightarrow B$ موجود باشد به طوری که برای هر $E\in \Sigma$، $$\nu(E)=\int_{E}fd\mu.$$ \end{بلوک} تمام فضاهای بازتابی و $l^1$ (فضای دنباله های عددی $\{a_n\}$ که $\Sigma_{n=1}^{\infty}|a_n|<\infty$.) دارای «RNP» هستند. } \only<14>{ [13] یکی از معادلهای خاصیت رادون-نیکودیم، خاصیت بیشاپ-فلپس (تعمیم قضیه بیشاپ-فلپس) است: \begin{بلوک} <14>{\rl{خاصیت بیشاپ-فلپس (BPP)}} زیرمجموعه غیر خالی، بسته و کراندار $B$ از $X$ را دارای خاصیت بیشاپ-فلپس گوییم هرگاه به ازای فضای باناخ دلخواه $Y$ و هر عملگر $T\in L(X,Y)$، دنباله ای از عملگرهای تقریب کننده $T$ که ماکزیمم نرم خود را روی $B$ می گیرند، موجود باشد. فضای $X$ را دارای «BPP» گوییم هرگاه هر زیرمجموعه مطلقاً محدب، بسته و کراندار آن دارای آن خاصیت باشد. \end{بلوک} } \only<15-16>{ Phelps در سال 1991، تعریف جدیدی از نقطه و تابعک ساپورت ارائه داد: \begin{بلوک} <15->{\rl{تعریف مختلط نقطه و تابعک ساپورت}} اگر $S$ یک زیرمجموعه از فضای باناخ $X$ باشد، آنگاه تابعک غیر صفر $f\in X^*$ را تابعک ساپورت $S$ و $x\in S$ را نقطه ساپورت $S$ گوییم، هرگاه $$|f(x)|=\sup_{y\in S}|f(y)|.$$ \end{بلوک} \begin{بلوک} <16>{\rl{صورت مختلط قضیه بیشاپ-فلپس}} [40] آیا با تعریف جدید، مجموعه نقاط ساپورت یک مجموعه محدب، بسته و کراندار، در مرز آن و مجموعه تابعکهای ساپورت آن در فضای دوگان چگال است؟ \end{بلوک} } \only<17>{ اولین بار Bishop و Phelps [8] ثابت کردند مجموعه تابعکهای ساپورت گوی واحد بستۀ هر فضای باناخ مختلط، در فضای دوگان چگال است. Bourgain J. [13] هم در سال 1977 ثابت کرد قضیه بیشاپ-فلپس برای فضاهای مختلطی که «RNP» دارند، صحیح است. } \only<18>{ \begin{بلوک} <18>{\rl{یك مثال نقض تاریخی}} در سال 1998 ، Lomonosov V. [36] با ساختن یک فضای باناخ مختلط و یک مجمـوعه محـدب بستۀ کرانـدار از آن که فاقد نقطه ساپورت بود، نشان داد قضیه بیشاپ-فلپس نمی تواند به فضاهای باناخ مختلط تعمیم یابد. \end{بلوک} } \end{frame} \begin{frame} \begin{center} \large{فصل دوم} \\[2cm] نتایج و کاربردهایی از قضیه بیشاپ-فلپس \end{center} \end{frame} \begin{frame}{فصل دوم} \framesubtitle{نتایج و کاربردهایی از قضیه بیشاپ-فلپس} \only<1-2>{ \begin{بلوک} <1->{\rl{پروکسیمینالی}} فرض کنید $Y$ زیر فضای بسته از فضای باناخ $X$ باشد. $Y$ را در $X$ پروکسیمینال گوییم هرگاه به ازای هر $x \in X$ ،حداقل یک عضو $y \in Y$ موجود باشد به طوری که $$\| x - y\| = inf\{\| x- z\| : z \in Y \}.$$ \end{بلوک} \begin{بلوک} <2>{\rl{قضیه 10.1.2}} [37] فرض کنید $X$ یک فضای باناخ و $T\in X^*$ ، آنگاه پوچی $T$ یک مجموعه پروکسیمینال است اگر و تنها اگر $T$ برخی نقاط گوی واحد بسته را ساپورت کند. \end{بلوک} } \only<3-4>{ \begin{بلوک} <3->{\rl{ مجموعه تجزیه شدنی}} $A\subseteq L_{P}(X)$ را تجزیه شدنی گوییم هرگاه به ازای دو عضو $f$ و $g$ از $A$ و $E\in \Sigma$ ، ${\chi}_E{f}+{\chi}_{X\setminus E}g$ عضوی از $A$ باشد. \end{بلوک} \begin{بلوک} <4>{\rl{ قضیه 11.1.2}} اگر $G$ یک مجموعه ساپورت در فضای باناخ $X$ و $L^{1}(\Omega,G)$ یک مجموعه تجزیه شدنی باشد آنگاه هر تابع ثابت $L^{1}(\Omega,G)$ یک نقطه ساپورت آن است. \end{بلوک} } \only<5-6>{ \begin{بلوک} <5->{\rl{ $L$-تصویر}} تصویر خطی $P:X\longrightarrow X$ را $L$-تصویر می نامیم اگر به ازای هر $x \in X$، $$\|x\|={\|Px\|+ \|x-Px\|}; $$ \end{بلوک} \begin{بلوک} <6->{\rl{ $M$-ایده آل}} اگر $Y^{\bot}$ (پوچساز زیر فضای بسته $Y$ از فضای باناخ $X$ )، برد یک $L$-تصویر روی $X^*$ باشد، آنگاه $Y$ را یک $M$-ایده آل در $X$ گویند. یعنی زیرفضای $Z^*$ از $X^*$ موجود است به طوری که \be \label{dirs} X^*=Y^{\bot}\oplus Z^*. \ee \end{بلوک} } \only<7-8>{ \begin{بلوک} <7->{\rl{ قضیه 12.1.2}} [24] اگر زیر فضای $G$ یک $M$-ایده آل در فضای باناخ $X$ باشد آنگاه $G$ در $X$ پروکسیمینال است. \end{بلوک} در راستای پاسخ به سئوال Khalil R. و Said F. \cite{ks99}، [32] که به ازای زیر فضای پروکسیمینال $G$ در $X$، آیا $L^1{(\Omega,G)}$ در $L^1{(\Omega ,X)}$ پروکسیمینال است یا نه، با استفاده از نتایج بالا ثابت می کنیم: \begin{بلوک} <8>{\rl{ قضیه 13.1.2}} فرض کنید زیر فضای ماکزیمال $G$ یک $M$-ایده آل در فضای باناخ $X$ باشد آنگاه $L^{1}(\Omega,G)$ در یک زیر فضای ماکزیمال پروکسیمینال $L^{1}(\Omega,X)$ قرار دارد. \end{بلوک} } \only<9-10>{Sadeqi [43]، با الهام از تعریف جدید Phelps از نقطه ساپورت و با استفاده از قدر مطلق مقادیر تابعکها به جای قسمت حقیقی آنها در تعاریف قبلی، مفاهیم زیر را تعریف کرد: \begin{بلوک} <9->{\rl{ نقطه و تابعک $F$-اکسپوزد }} نقطه $x_0 \in C$ را نقطه $F$ -اکسپوزد مجموعه $C$ گویند هرگاه نقطه $F$ -ساپورت آن باشد و تابعک $F$ -ساپورت نظیر آن در شرط زیر صدق کند: $$|f(x)|< |f(x_0)|; \quad \forall x\in C-\{\alpha x_0:|\alpha|=1\}.$$ \end{بلوک} \begin{بلوک} <10>{\rl{ نقطه و تابعک $F$-اکسپوزد قوی}} فرض کنید نقطه $x_0 \in C$ نقطه $F$-اکسپوزد مجموعه $C$ باشد. اگر برای هر دنباله $\{x_{n}\}\subseteq C$ ، $|f(x_{n})|\rightarrow |f(x_{0})|$ نتیجه دهد $x_{n}\rightarrow \alpha x_0$ ، که $\alpha\in \mathbb{C}$، $|\alpha|=1$ و $ x_0 \in C$ ، آنگاه $x_0$ را نقطه $F$ -اکسپوزد قوی و $f$ را تابعک $F$-اکسپوزد قوی گوییم. \end{بلوک} } \only<11>{ \begin{بلوک} <11>{\rl{ لم 5.2.2}} فرض کنید $X$ یک فضای باناخ مختلط و $C$ زیرمجموعه ای بسته از گوی واحد آن و $V$ مجموعه تابعکهای $F$- اکسپوزد قوی برای نقاط $C$ باشد. اگر هر زیرمجموعه ناتهی $C$ گودپذیر باشد آنگاه $V$ یک $G_{\delta}$-زیرمجموعه چگال است. همچنین قضیه بیشاپ-فلپس در حالت مختلط برای زیرمجموعه $C$ برقرار است. بعلاوه اگر $T\in L(X,Y)$ و $0<\delta$ آنگاه $Q\in V$ موجود است به طوری که $\|Q-T\|\leq \delta$ و $Q-T$ فشرده است. \end{بلوک} } \only<12-14>{فرض کنید $H(D)$ مجموعه توابع تحلیلی روی قرص واحد $D=\{z\in \mathbb{C}:|z|<1\}$ و $T: H(D)\rightarrow \mathbb{C}$ یک تابعک خطی پیوسته باشد. تعریف می کنیم: \begin{بلوک} <12->{\rl{$K$:}} $$K=\{f\in H(D):\sup_{z\in D}|f(z)|(1-|z|^2)\leq 1\}.$$ \end{بلوک} \begin{بلوک} <13->{\rl{$M^{\mathfrak{R}}_T$:}} $$M^{\mathfrak{R}}_T=\{g\in K: \sup_{f\in K}\mathfrak{R}T(f)=\mathfrak{R}T(g)\}.$$ \end{بلوک} \begin{بلوک} <14>{\rl{$M_T$:}} $$M_T=\{g\in K: \sup_{f\in K}|T(f)|=|T(g)|\}.$$ \end{بلوک} } \only<15>{ \begin{بلوک} <15>{\rl{تابعک از نوع مطلقاً ویژه و ویژه}} تابعک خطی پیوسته $T:H(D)\rightarrow \mathbb{C}$ را از نوع مطلقاً ویژه گوییم هرگاه عدد طبیعی $n$ و نقاط متمایز $z_1, z_2, ..., z_n\in D$ و $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n\in \mathbb{C}-\{0\}$ موجود باشند به طوری که به ازای هر $f\in H(D)$ \begin{equation}\label{f-sp} T(f)=\sum_{i=1}^{n}\lambda_if(z_i) ,\qquad \sup_{f\in K}|T(f)|=\sum_{i=1}^{n}\frac{|\lambda_{i}|}{1-|z_{i}|^2}. \end{equation}\\اگر در تعریف، به جای قدرمطلق از قسمت حقیقی تابعکها استفاده کنیم، آنگاه $T$ را از نوع ویژه خواهیم گفت. \end{بلوک} } \only<16-18>{ \begin{بلوک} <16>{\rl{نتیجه 9.2.2}} اگر $T$ از نوع ویژه نباشد و $G \in M^{\mathfrak{R}}_T$ ، آنگاه $G$ یک نقطه اکستریم $K$ است. \end{بلوک} \begin{بلوک} <17>{\rl{نتیجه 10.2.2}} اگر $T$ از نوع ویژه نباشد، آنگاه $M^{\mathfrak{R}}_T$ فقط از یک نقطه تشکیل یافته است. \end{بلوک} \begin{بلوک} <18>{\rl{لم 11.2.2}} اگر $T\in L(H(D),\mathbb{C})$ از نوع مطلقاً ویژه نباشد و $g \in M_T$ ، آنگاه $g$ یک نقطه اکستریم $K$ است. \end{بلوک} } \only<19-20>{ \begin{بلوک} <19->{\rl{فضای «Bloch»}} مجموعه تمام توابع تحلیلی که نرم «Bloch» آنها با تعریف $$\|F\|_{\mathfrak{B}}=|F(0)|+\sup_{z\in D}(|F^\prime(z)||1-|z|^2|)$$ متناهی است، به فضای «Bloch» معروف است. فرض می کنیم $\mathfrak{B}$ نماد نمایش فضای «Bloch» و $\mathfrak{B}_{1}$ گوی واحد آن و $${\mathfrak{\tilde{B}}}_{1}=\{f\in \mathfrak{B}_{1}:f(0)=0\}.$$ \end{بلوک} \begin{بلوک} <20>{\rl{قضیه 13.2.2}} نقطه $g\in \mathfrak{\tilde{B}}_{1}$ یک نقطه $F$ -ساپورت است اگر وتنها اگر $$\Lambda(g)=\{z\in D:|g^\prime(z)|=\frac{1}{1-|z|^2}\}\neq\emptyset.$$ \end{بلوک} } \only<21-22>{ \begin{بلوک} <21->{\rl{نمایش مجموعه ای فضای $L_p(\Omega, X)$}} Hiai F. و Umegaki H. [27]، ثابت کردند اگر $ (1\leq p<\infty) B\subseteq L_p(\Omega, X)$، یک زیر مجموعه بسته، کراندار و تجزیه پذیر باشد آنگاه نگاشت منحصر بفرد $F:\Omega\rightarrow 2_0^X$ وجود دارد به طوری که \begin{equation}\label{sup.2} B=\{f\in L_p(\Omega,X): f(t)\in F(t)\quad a.e.\}. \end{equation} \end{بلوک} \begin{بلوک} <22>{\rl{قضیه 2.3.2}} فرض کنید $X$ یک فضای باناخ و $G\subseteq X$ باشد به طوری که به ازای $1\leq p<\infty$، $L_p(\Omega, G)$ زیرمجموعه ای محدب، بسته، کراندار و تجزیه پذیر از $L_p(\Omega, X)$ و باشد $F:\Omega\rightarrow 2_0^X$ نمایش مجموعه ای آن باشد. اگر $f_0$ نقطه اکسپوزد قوی در $L_p(\Omega, G)$ باشد آنگاه به ازای هر $t\in \Omega$، $f_0(t)$ در $F(t)\subseteq G$ نقطه اکسپوزد قوی است. \end{بلوک} } \end{frame} \begin{frame} \begin{center} \large{فصل سوم} \\[2cm] نرم و شعاع عددی عملگرها و ارتباط آنها با قضیه بیشاپ-فلپس \end{center} \end{frame} \begin{frame}{فصل سوم} \framesubtitle{نرم و شعاع عددی عملگرها و...} \only<1-2>{مجموعه تمام عملگرهایی که به نرم خود می رسند را با $N_{0}(X,Y)$ نشان می دهیم و مجموعه های زیر را تعریف می کنیم: \begin{بلوک} <1->{\rl{$N_{1}(X,Y)$ و $N_{2}(X,Y)$}} $$N_{1}(X,Y)=\{T\in L(X,Y) ~:~ T^*\in N_{0}(Y^*,X^*)\}$$ $$N_{2}(X,Y)=\{T\in L(X,Y) ~:~ T^{**}\in N_{0}(X^{**},Y^{**})\}.$$ \end{بلوک} به عنوان یک نتیجه از قضیه هان-باناخ داریم: \begin{بلوک} <2>{} $$N_{0}(X,Y)\subseteq N_{1}(X,Y) \subseteq N_{2}(X,Y).$$ \end{بلوک} } \only<3-4>{ \begin{بلوک} <3->{\rl{قضیه 3.2.3}} [35] با هر فضای باناخ $X$ و $Y$, $N_{2}(X,Y)$ در $L(X,Y)$ نرم-چگال است. \end{بلوک} قضیه فوق توسط Zizler W. ، به نتیجه بهتری تبدیل شد. \begin{بلوک} <4>{\rl{قضیه 4.2.3}} [49] با هر فضای باناخ $X$ و $Y$, $N_{1}(X,Y)$ در $L(X,Y)$ نرم-چگال است. \end{بلوک} Bishop E. و Phelps R. R. [8] یک سئوال کلی مطرح کردند که برای چه فضاهای باناخ $X$ و $Y$ ای , $N_{0}(X,Y)$ در $L(X,Y)$ چگال است؟ [35] مثالهایی نشان می دهند که در حالت کلی، $N_{0}(X,Y)$ در $L(X,Y)$ چگال نیست. } \only<5-8>{\begin{بلوک} <5->{\rl{خاصیت «A»}} اگر به ازای هر فضای باناخ $Y$, $N_{0}(X,Y)$ در $L(X,Y)$ نرم-چگال باشد, گوییم $X$ دارای خاصیت «A» است. \end{بلوک} \begin{بلوک} <6->{\rl{خاصیت «B»}} اگر به ازای هر فضای باناخ $Y$, $N_{0}(Y,X)$ در $L(Y,X)$ نرم-چگال باشد, گوییم $X$ دارای خاصیت «B» است. \end{بلوک} \begin{بلوک} <7->{\rl{تبصره 2.2.3}} خاصیت «A» در واقع، خاصیت بیشاپ-فلپس برای گوی واحد است. \end{بلوک} \begin{بلوک} <8>{\rl{نتیجه 5.2.3}} فضاهای باز تابی دارای خاصیت «A» هستند. \end{بلوک} } \only<9>{ \begin{بلوک} <9->{\rl{گزاره 10.2.3 (خاصیت «$\beta$») }} اگر در فضای باناخ $X$ سیستمی از $\{x_i,x_i^*\}_{i\in I} \subset X\times X^*$ و عدد حقیقی $0\leq \rho <1$ باشرایط زیر موجود باشند \begin{eqnarray*} &1) &\quad \|x_i\|=\|x_i^*\|=x_i^*(x_i)=1,\quad \forall i \in I; \\ &2) & \quad |x_i^*(x_j)|\leq \rho, \quad \forall i,j\in I, i\neq j; \\& 3)& \quad \|x\|=\sup\{|x_i^*(x)| ; i\in I\},\quad \forall x\in X; \end{eqnarray*} آنگاه $X$ دارای خاصیت «B» است. \end{بلوک} این شرایط خاصیت «$\beta$» نام گرفت. $c_0$ و $l_{\infty}$ و فضاهای متناهی البعدی که گوی واحد آنها چند وجهی است، دارای خاصیت «$\beta$» هستند. } \only<10>{ \begin{بلوک} <10>{\rl{خاصیت «$Q$»}} اگر در تعریف خاصیت «$\beta$»، در شرط سوم ، سوپریمم را با ماکزیمم عوض کنیم ، گوییم فضا دارای خاصیت «$Q$» است. \end{بلوک} فضای $c_0$ دارای این خاصیت است. } \only<11-12>{ \begin{بلوک} <11->{\rl{برد و شعاع عددی}} فرض کنید $X$ یک فضای باناخ و $T\in L(X,X)=L(X)$. برد عددی و شعاع عددی $T$ را به ترتیب به صورت زیر تعریف می کنیم $$W(T)=\{x^*(T(x)) :~x\in X,~x^*\in X^*~,~\|x\|=\|x^*\|=x^*(x)=1\},$$ $$\nu(T)=\sup \{|\lambda| :~\lambda\in W(T)\}.$$ \end{بلوک} \begin{بلوک} <12>{\rl{عملگری كه به شعاع عددی خود می رسد}} فرض کنید $T\in L(X)$. گوییم $T$ به شعاع عددی خود می رسد هرگاه $x\in X$ و $x^* \in X^*$ چنان موجود باشند که: $$ \|x_{0}\|=\|x_{0}^*\|=x_{0}^*(x_{0})=1\quad \text{و} \quad \nu(T)=|x_{0}^*(T(x_{0}))|$$ یعنی در تعریف شعاع عددی، سوپریمم عملاً یک ماکزیمم باشد. \end{بلوک} } \only<13>{فرض می كنیم $NA(A_\infty(B_X,X))$ و $NRA(A_\infty(B_X,X))$، مجموعه اعضایی از $A_\infty(B_X;X)$ است که به ترتیب به نرم و شعاع عددی خود می رسند. \begin{بلوک} <13>{\rl{قضیه 3.4.3}} [6] فرض کنید $Y$ یک فضای باناخ مختلط، دارای خاصیت «$\beta$» با ثابت $\rho=0$ و دارای خاصیت «$Q$» باشد. آنگاه $$NRA(A_\infty(B_Y,Y))=NA(A_\infty(B_Y,Y)).$$ \end{بلوک} Acosta و Kim ، بعد از اثبات این قضیه، این سئوال رامطرح کردند که آیا می توان یکی از خاصیتهای «$Q$» یا $\rho=0$ را حذف کرد؟ } \only<14-16>{\begin{بلوک} <14->{\rl{لم 2.5.3}} فرض کنید $X$ یک فضای باناخ مختلط، دارای خاصیت «$\beta$» با ثابت $\rho=0$ باشد.\\ اگر $h \in A_\infty(B_X ;X)$ آنگاه $\nu(h) = \|h\|$. \end{بلوک} \begin{بلوک} <15->{\rl{قضیه 3.5.3}} فرض کنید $X$ یک فضای باناخ مختلط، دارای خاصیت «$\beta$» با ثابت $\rho=0$ باشد. آنگاه $$NRA(A_\infty(B_X ;X)) \subseteq NA(A_\infty(B_X ;X)).$$ \end{بلوک} \begin{بلوک} <16>{\rl{قضیه 4.5.3}} فرض کنید در فضای باناخ مختلط $X$، هر دنباله کراندار یک زیردنباله همگرای ضعیف داشته باشد و دارای خاصیت «$\beta$» با ثابت $\rho=0$ باشد. آنگاه $$NRA(A_\infty(B_X ;X)) =NA(A_\infty(B_X ;X)).$$ \end{بلوک} } \only<17>{ \begin{بلوک} <17>{\rl{تبصره 5.5.3(نتیجه كلی این فصل)}} با توجه به قضیه قبل، به نظر می رسد در فضاهای بازتابی و یا فشرده، می توان به سئوال Acosta و Kim در مورد حذف خاصیت «$Q$» در قضیه ،3.4.3 پاسخ مثبت داد اما فضاهای متناهی البعد تنها فضاهای بازتابی هستند که دارای خاصیت «$\beta$» با ثابت $\rho=0$ هستند كه خود به خود خاصیت «$\beta$» به خاصیت «$Q$» تبدیل می شود. همچنین تنها فضای باناخ فشرده، فضای $\{0\}$ است. لذا به سئوال Acosta و Kim پاسخ مشخصی نمی توان داد و شاید به دنبال اثبات این حدس بود که سئوال Acosta و Kim جواب مثبت ندارد. \end{بلوک} } \end{frame} \begin{frame}\frametitle{مسائل باز} \only<1>{علاوه بر مسائل بازی که در متن رساله آمده، به مسائل زیر هم پاسخ داده نشده است. \begin{بلوک} <1>{} 1) صورت مختلط قضیه بیشاپ-فلپس برای چه فضاهای باناخ کلاسیک برقرار است؟\\ 2) یک فضای باناخ مثال بزنید که قضیه بیشاپ-فلپس برای آن برقرار باشد اما دارای خاصیت بیشاپ-فلپس نباشد. \\ 3) خاصیت «A» را برای فضاهای باناخ مختلف، تجزیه و تحلیل نمایید.\\ 4) خاصیت «B» را برای فضاهای نرمدار متناهی البعد، تجزیه و تحلیل نمایید.\\ 5) آیا یک عملگر فشرده را می توان با یک عملگر فشرده ای که به نرم خود می رسد تقریب کرد؟ \\ \end{بلوک} } \end{frame} \begin{frame}\frametitle{\rl{برخی منابع مهم}} \begin{thebibliography}{99} \begin{roman} \only<1>{\beamertemplatearticlebibitems \bibitem{ap89} M. D. Acosta, R. Paya, \newblock{\em Numerical radius attaining operators and Radon-Nikodym property}, \newblock Bull. London Math. Soc., \newblock \textbf {25} (1993), 67--73. %---------------------------------------------------------------------------------------------% \bibitem {ak07} M. D. Acosta, S. G. kim, \newblock {\em Denseness of holomorphic functions attaining their numerical radii}, \newblock Israel Journal of Mathematics, \newblock \textbf {161} (2007), 373--386. %-------------------------------------------------------------------------------------------------% \bibitem{bp63} E.~Bishop, R. R.~Phelps, \newblock {\em The support functional of a convex set}, \newblock Proc. Symposia in Pure Math., \textbf {7} (1963), 27--35. } %------------------------------------------------------------------------------------------% \only<2>{\beamertemplatearticlebibitems \bibitem {bo94} M. Bonk, \newblock{\em The support points of the unit ball in Bloch space}, \newblock Journal of Functional Analysis, \newblock \textbf {123} (1994), no. 2, 318--335. %------------------------------------------------------------------------------------------% \bibitem{bo77}J. Bourgain, \newblock {\em On the dentability and the Bishop-Phelps property}, \newblock Israel Journal of Mathematics, \newblock \textbf {28} (1977), 263--271. %-------------------------------------------------------------------------------------------------% \beamertemplatebookbibitems \bibitem{di75} J.~Diestel, \newblock {\em Geometry of Banach spaces- selected topics}, \newblock springer-Verlag, Berlin, (1975). } %-----------------------------------------------------------------------------------------------------% \only<3>{ \bibitem{li63} J. Lindenstrauss, \newblock {\em On oprators which attain their norm}, \newblock Israel Journal of Mathematics, \newblock \textbf {1} (1963), 139--148. %---------------------------------------------------------------------------------------------------------% \bibitem{lo00} V. I. Lomonosov, \newblock {\em A conterexample to the Bishop-Phelps Theorem in complex spaces}, \newblock Israel Journal of Mathematics, \newblock \textbf {115} (2000), 25--28. %----------------------------------------------------------------------------------------------------% \bibitem{pa82}J. R.~Partington, \newblock {\em Norm attaining operators}, \newblock Israel Journal of Mathematics, \newblock \textbf {43} (1982), 273--276. } %--------------------------------------------------------------------------------------------------------% \only<4>{\beamertemplatearticlebibitems \bibitem{sa04} I. Sadeqi, \newblock {\em Support functionals and their relation to the RNP}, \newblock Int. Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, \newblock \textbf {16} (2004), 827--832. %-----------------------------------------------------------------------------------------% \bibitem{szd} I. Sadeqi, R. Zarghami, Y. N. Dehgan, \newblock {\em Remarks on Bishop-Phelps Theorem in some complex Banach spaces}, \newblock (Accepted in The J. Nonlinear Science and Applications) %-----------------------------------------------------------------------------------------------------% \bibitem{za10} R. Zarghami, \newblock {\em Application of Bishop-Phelps Theorem in the approximation theory}, \newblock The J. Nonlinear Science and Applications, \newblock \textbf{3} (2010), no. 2, 155--158. } %-------------------------------------------------------------------------------------------------% \only<5>{\beamertemplatebookbibitems \bibitem{zh05} K. Zhu, \newblock {\em Spaces of holomorphic functions in the unit ball}, \newblock Springer, (2005). } \end{roman} \end{thebibliography} \end{frame} \begin{frame}\frametitle{\rl{ساغ قالین \hspace{7cm} شاد یاشیین}} {\nas \textbf{خدایا چگونه فریادت نزنم در اوج تنهایی! } } \begin{figure} \includegraphics[width=7cm]{pic.eps} \end{figure} \begin{flushleft} {\nas \textbf{و چه خوش است فریاد زدنت در اوج تنهایی!} } \end{flushleft}\label{endpage} \end{frame} \end{document}