\documentclass[fleqn, 12pt,a4paper]{report} \usepackage{graphicx} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} \usepackage[top=3.7cm,right=3.7cm,bottom=3.7cm,left=2.8cm]{geometry} \usepackage{xepersian} \settextfont[Scale=1.1]{XB Niloofar} \setlatintextfont[Scale=1.1]{Times New Roman} \setdigitfont[Scale=1.1]{XB Zar} \defpersianfont\nastaliq[scale=2.2]{Times New Roman} \defpersianfont\nazanin[scale=.55]{XB Zar} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\d{\delta} \def\e{{\epsilon}} \def\norm#1{\|#1\|_2} \def\normm#1{\|#1\|} \def\R{\mathbb{R}} \def\set#1{\left\{#1\right\}} \def\pr#1{\left(#1\right)} \def\t{\theta} \def\l{\lambda} \def\ss{\sum\limits} \def\co#1{\left|#1\right.} \def\p{\partial} \def\ov{\overline} \def\abs#1{|#1|} \def\v{\varepsilon} \def\su{\subseteq} \def\g{\gamma} \def\supp{\mathsf{supp}} \newcommand{\pa}{\partial} \def\co{\mathsf{con}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newtheorem{definition}[theorem]{ تعریف } \newtheorem{example}[theorem]{ مثال} \newtheorem{lemma}[theorem]{ لم} \newtheorem{proposition}[theorem]{گزاره} \newtheorem{es}{ اثبات} \newtheorem{remark}[theorem]{ نکته} \newtheorem{reminding}[theorem]{تذکر} \newtheorem{theorem}{قضیه}[section] \def\listtablename{فهرست جداول} \def\listfigurename{فهرست تصاویر} \newcommand{\D}{\mathcal{D}} \newcommand{\To}{\longrightarrow} \numberwithin{figure}{chapter} \numberwithin{equation}{section} \numberwithin{table}{chapter} \numberwithin{exm}{chapter} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \oddsidemargin = 0pt \marginparsep = 0pt \marginparsep = 0pt %%%%%%%%%%%%%%%%###@@@@@@@@@@@@@@@@@ %\documentclass{report} %%%%%%%%%%@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ \renewcommand{\bibname}{مراجع} \newcommand\persiangloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\} \newcommand\englishgloss[2]{#2\dotfill\lr{#1}\\} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\makeatletter \newcommand\mycustomraggedright{% %نوشته "فصل 1و مقدمه" را راست چین و با خذف ان چپ چین میکند \if@RTL\raggedleft \else\raggedright% \fi} \def\@part[#1]#2{% \ifnum \c@secnumdepth >-2\relax \refstepcounter{part}% \addcontentsline{toc}{part}{\thepart\hspace{1em}#1}% \else \addcontentsline{toc}{part}{#1}% \fi \markboth{}{}% {\centering \interlinepenalty \@M \ifnum \c@secnumdepth >-2\relax \huge\bfseries \partname\nobreakspace\thepart \par \vskip 20\p@ \fi \Huge\bfseries #2\par}% \@endpart} \def\@makechapterhead#1{% \vspace*{-30\p@}% {\parindent \z@ \mycustomraggedright %\@mycustomfont \ifnum \c@secnumdepth >\m@ne \if@mainmatter \huge\bfseries \@chapapp\space {\chapternumber\thechapter} \par\nobreak \vskip 20\p@ \fi \fi \interlinepenalty\@M \Huge \bfseries #1\par\nobreak \vskip 120\p@ }} \makeatother \begin{document} \newpage \thispagestyle{empty} \begin{center} \includegraphics[width=3cm]{arm}\\ \text{دانشکده علوم ریاضی}\\ \vspace*{.3cm} \text{گروه ریاضی محض}\\ \vspace*{1.5cm} \text {پایان نامه }\\ \vspace*{0.5cm} \text {برای دریافت درجه کارشناسی ارشد در رشته }\\ \vspace*{0.5cm} \text {ریاضی محض گرایش آنالیز ریاضی }\\ \vspace*{1cm} \textbf{عنوان}\\ \vspace*{0.3cm} \begin{Large} \textbf {تعادل نش و کاربرد آن در ریاضیات} \vspace*{1.5cm} \text{استاد راهنما}\\ \vspace*{.5cm} \textbf{دکتر محسن علیمحمدی}\\ \vspace*{1cm} \text{استاد مشاور}\\ \vspace*{.5cm} \textbf{ دکتر ندیمی}\\ \vspace*{1cm} \text{نگارش}\\ \vspace*{.5cm} \textbf {سیما سورسوری}\\ \vspace*{2cm} \textbf{شهریور ۱۳93} \end{Large} \end{center} \newpage \thispagestyle{empty} %\begin{Nastaligh} %\begin{acknowledgementpage} %\end{acknowledgementpage} \newpage \vspace*{2cm} \begin{Large} \vspace*{1cm} \end{Large} \ \begin{Large} \\و\\ \end{Large} \begin{Large} \hspace*{0.5cm} \vspace*{1cm} \end{Large} %\end{Nastaliq} %\end{Huge} \begin{Large} سپاس خدای را که از روی کرم پدر و مادری فداکار نصیبم ساخته تا در سایه درخت پر بار وجودشان بیاسایم و از اندیشه آنها شاخ و برگ گیرم و از سایه وجودشان در راه کسب علم و دانش تلاش نمایم. \vspace*{.5cm} \\ \hspace*{2cm} که بودنشان تاج افتخاری است برسرم \\ \hspace*{2cm} و که نام شان دلیلی است بر بودنم\\ چرا که \\ این دو وجود پس از پروردگار مایه هستی ام بوده اند؛ دستم را گرفتند و راه رفتن را در این وادی زندگی پر از فراز و نشیب آموختند. \vspace*{.5cm} \\ \hspace*{2cm} که برایم زندگی؛ بودن و انسان بودن را معنا کردند \\حال این برگ سبزی است تحفه درویش تقدیم آنان... \end{Large} \newpage \thispagestyle{empty} {\setlength{\baselineskip}% {1cm} %{\Nastaligh} \vspace*{2cm} \begin{Large} به مصداق «من لم یشکر المخلوق لم یشکر الخالق » بسی شایسته است از اساتید فرهیخته، آقای \end{Large} \begin{center} \begin{Large} دکتر \end{Large} \begin{Large} و دکتر \end{Large} \end{normalsize} \end{center} \begin{Large} \vspace*{.5cm} که با نکته های دلاویز و گفته های بلند، صحیفه های سخن را علم پرور نمودند و همواره راهنما و راه گشای نگارنده در اتمام و اکمال پایان نامه بودند; تقدیر و تشکر نمایم. \\ -و با تشکر خالصانه خدمت همه کسانی که به نوعی مرا در به انجام رساندن این مهم یاری نموده اند. \end{Large} \\ \begin{normalsize} \hspace*{11cm} {\nastali} روجاحسین زاده \\ \hspace*{14cm} 1390 }\\ \end{normalsize} \newpage \thispagestyle{empty} \pagenumbering{harfi} \hspace{4cm} \begin{center} \textbf{چکیده} \end{center} در این پایان نامه نرم فازی را بررسی می کنیم. \newpage \tableofcontents \chapter{\textbf{تعاریف}} \addcontentsline{toc}{chapter}{تعاریف} \newpage \begin{flushright} در این فصل برخی از مفاهیم مهم و پایه ای در آنالیز ریاضی و همچنین نظریه بازیها را مورد بررسی قرار می دهیم و به تعریف این مفاهیم می پردازیم. \newline \section{\textbf{مفاهیم پایه ای آنالیز}} \newline \textbf{تعریف}\textbf{ $ \textit{1}. \textit{1}.\textit{1} $}(\textbf{فضای توپولوژیک}) \newline فرض کنید $ X $ یک مجموعه و $ \tau $ گردایه ای از زیر مجموعه های باشد و $ \tau \subseteq P(X)$. اگر $ \tau $ دارای سه ویژگی زیر باشد: \newline \textbf{الف )} $$X , \emptyset \in \tau .$$ \newline \textbf{ب}) $$A_{\textit{1}}, A_{\textit{2}}, ... , A_{n} \in \tau \Longrightarrow \bigcap_{i=\textit{1}}^{n}A_{i} \in \tau.$$ \newline یعنی $ \tau $ نسبت به اشتراک متناهی بسته باشد. \newline \textbf{ج)} $$A_{\alpha} \in \tau \Longrightarrow \bigcup_{\alpha}A_{\alpha} \in \tau.$$ \newline یعنی $ \tau $ نسبت به اجتماع هر تعداد از اعضای خود بسته باشد. \newline در این صورت $ \tau $ را یک توپولوژی گوییم و $ (X, \tau) $ را یک فضای توپولوژیک نامیم. (به وضوح هر عضو $ \tau $ یک زیرمجموعه از $ X $ است.) \newline در فضای توپولوژی $(X, \tau) $ زیرمجموعه $A \subseteq X $ را یک مجموعه باز نامیم اگر و تنها اگر $A \in \tau $ . \newline $ X $یک مجموعه دلخواه و $ (X, \tau=P(X)) $ یک فضای توپولوژیک است. در این فضا همه ی زیر مجموعه های باز است. \newline و یا $ (X, \tau=\lbrace \emptyset , X \rbrace) $ یک فضای توپولوژیک است. \vspace*{4mm} \newline \textbf{تعریف}\textbf{$ \textit{2}.\textit{1}.\textit{1} $} \textbf{{(فضای برداری)}}: \newline $ R $ , $ C $ همواره یعنی میدان اعداد حقیقی و میدان اعداد مختلط. فعلا فرض می کنیم $ \Phi $ یعنی $ R $ یا $ C $. یک اسکالر عضوی است از میدان اسکالر $ \Phi $. فضای برداری روی $ \Phi $ مجموعه ای است مانند $ X $ که عنصرهایش را بردار نامیده و در آن دو عمل به نامهای جمع و ضرب اسکالر تعریف شده اند که از خواص جبری زیر برخوردارند: \newline \textbf{الف) }به هر جفت از بردارهای $ x $ و $ y $ برداری مانند $ x+y $ چنان نظیر است که: \newline $$x+ (y + z) = (x + y) +z , x + y= y + x$$ \newline $ X $ بردار منحصر به فردی مانند $ \textit{0} $(بردار صفر یا مبدا $ X $) دارد به طوری که به ازای هر $ x \in X $، $ x +\textit{0} = x $. و به ازای هر $ x \in X $ بردار منحصر به فردی مانند $ -x $ چنان نظیر است که $ x + (-x) = \textit{0} $ . \newline ب)به هر جفت $ (\alpha , x) $ با $ \alpha \in \Phi $ و $ x \in X $ یک بردار مانند $ \alpha x $ چنان نظیر است که : $$\alpha (\beta x) = (\alpha \beta)x \quad , \textit{1}x = x$$ و دو قانون بخشپذیری $$(\alpha + \beta)x = \alpha x + \beta x \quad , \alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y$$ برقرار می باشند. \newline علامت $ \textit{0} $ برای عنصر صفر میدان اسکالر نیز به کار خواهد رفت. \newline یک فضای برداری حقیقی فضایی است که در آن $ \Phi = R $. یک فضای برداری مختلط فضایی است که در آن $ \Phi = C $. \newline اگر $ X $ یک فضای برداری باشد، $A \subset X $ ، $ B \subset X $، $ x \in X $، و $ \lambda \in \Phi $، از نمادهای زیر استفاده خواهیم کرد: \newline $$x + A = \lbrace x + a : a \in A \rbrace$$ $$x - A =\lbrace x - a : a \in A \rbrace$$ $$A + B = \lbrace a + b : b \in B , a \in A \rbrace$$ $$\lambda A =\lbrace \lambda a : a \in A \rbrace$$ \newline \newline \textbf{تعریف}\textbf{ $\textit{3}. \textit{1}.\textit{1} $}\textbf{(مجموعه محدب}): \newline فرض کنیم $ X $ یک فضای برداری در میدان $ F $ باشد. مجموعه ی $ C \subset X $ محدب است هرگاه: $$tC + (\textit{1}-t)C \subset C \quad (\textit{0} \leq t \leq \textit{1})$$ به عبارتی دیگر، اگر $ x \in C $، $ y \in C $، و $ \textit{0} \leq t \leq \textit{1} $، $ C $باید شامل $ tx + (\textit{1}-t)y$ باشد. \newline فرض کنیم $ X $ یک فضای برداری باشد. اگر $ A \subseteq X $،\textbf{غلاف محدب} $ A $ که با \textbf{$ Co(A) $ }نشان داده می شود عبارت است از اشتراک همه ی مجموعه های محدب شامل $ A $. \vspace*{2mm} \newline \textbf{تعریف}\textbf{$\textit{4}.\textit{1}.\textit{1} $} {\textbf{(فضای برداری توپولوژیکی)}}: \vspace*{1mm} \newline \\ یک فضای برداری توپولوژیک عبارت است از : \newline $ X $ یک فضای برداری روی میدان $ F $ ($ R $ یا $ C $) همراه با یک توپولوژی $ \tau $ با خواص زیر است: \newline الف) مجموعه های تک نقطه ای بسته باشند. \newline ب) تابع مجموع $X \times X \longrightarrow X $ با ضابطه ی $ (x, y) \longrightarrow x + y $ پیوسته باشد. \newline ج) تابع ضرب اسکالر $ F \times X \longrightarrow X $ با ضابطه ی $ (\lambda, x) \longrightarrow \lambda x $ پیوسته باشد. \newline \textbf{تعریف}\textbf{$\textit{5}.\textit{1}.\textit{1}$}: \newline فضای برداری توپولوژیکی $ X $، موضعا محدب، یا فضای موضعا محدب نامیده می شود، هرگاه هر همسایگی از صفر، شامل یک همسایگی محدب از صفر باشد. \vspace*{2mm} \newline \textbf{تعریف}\textbf{$ \textit{6}.\textit{1}.\textit{1} $}(\textbf{فضای متریک}): \newline زوج مرتب $ (X, d) $ را که در آن $ X $ مجموعه ای از نقاط و $ d $ یک تابع حقیقی $ d:X \times X \longrightarrow R $ می باشد یک فضای متریک نامیم هرگاه: \newline \textbf{الف}) $$ d(p, q) \geq \textit{0}$$ (فاصله هیچ گاه نمی توان منفی باشد.) \newline \textbf{ب)} $$d(p, q) = \textit{0} \quad \Longleftrightarrow p = q$$ (فاصله صفر است اگر و تنها اگر دو شئ یکسان باشند.) \newline \textbf{ج) } $$d(p, q) = d(q, p)$$ (بدون بستگی داشتن به مقادیر $ p $ و $ q $، دارای خاصیت تقارنی است.) \newline \textbf{د)} $$d(p, q) + d(q, r) \geq d(p, r)$$ (نامساوی مثلث) \newline \newline \textbf{تعریف} \textbf{$ \textit{7}.\textit{1}.\textit{1} $}\textbf{(فضای هاسدورف)}: \newline فرض کنیم $ X $ یک فضای توپولوژی باشد. همچنین فرض کنیم $ x $ و $ y $ دو نقطه دلخواه متعلق به $ X $ باشد. گوییم $ X $ یک فضای هاسدورف است اگر همسایگی مانند $ u $ از $ x $ و همسایگی مانند $ v $ از $ y $ موجود باشد به طوریکه این دو همسایگی هیچ اشتراکی نداشته باشند. در واقع فضای $ X $ هاسدورف است هرگاه بتوان هر دو نقطه در $ X $ را توسط همسایگی هایی از هم جدا کرد. \newline \newline \textbf{تعریف }\textbf{$\textit{8}.\textit{1}.\textit{1} $}\textbf{(فضای نرم دار}): \newline تابع حقیقی $ \Vert . \Vert $ تعریف شده بر فضای برداری $ X $ را نرم نامیم اگر در سه خاصیت زیر صدق کند: \newline \textbf{الف)} به ازای هر $ x \in X $، $ \Vert x \Vert \geq \textit{0} $و \newline $$\Vert x \Vert = \textit{0} \quad \Longleftrightarrow \quad x = \textit{0}$$ \newline \textbf{ب)} به ازای هر $ x \in X $ و $ \alpha \in R $: \newline $$\Vert \alpha x \Vert = \vert \alpha \vert \Vert x \Vert$$ \newline \textbf{ج)} به ازای هر $ x , y \in X $ : \newline $$\Vert x + y \Vert \leq \Vert x \Vert + \Vert y \Vert$$ (نابرابری مثلثی) \newline اگر خاصیت اول را از تعریف نرم، حذف کنیم تابع جدیدی به دست می آید که به آن نیم نرم می گوییم. \newline فضای برداری مجهز به نرم $ \Vert . \Vert $ را یک فضای برداری نرم دار نامیم. \newline از آنجایی که دامنهٔ تعریف نرم، فضایی برداری است، بسته به اینکه اعضای فضای برداری چه باشند، نرم ممکن است برای بردار، ماتریس، یا تابع، تعریف شود. ورودی نرم، عضوهای فضای برداری و خروجی آن عدد حقیقی مثبتی است پس برد هر نرم، مجموعه اعداد حقیقی مثبت می‌باشد. هر نرم در فضای برداری تعریف شده بر آن، متری القا می‌کند. بنابراین هر فضای نرم‌دار، یک فضای برداری متری است. \newline \textbf{تعریف}\textbf{$ \textit{9}.\textit{1}.\textit{1} $}(\textbf{فضای ضرب داخلی}): \newline فضای برداری حقیقی $ V $ را یک فضای ضرب داخلی می نامیم هرگاه به هر جفت از بردارهای $ u, v$، یک عدد حقیقی به نام حاصل ضرب داخلی $ u $ و $ v $ چنان مربوط شده باشد که قواعد زیر برقرار باشد: \newline \textbf{الف)} برای هر $ u, v \in V $: \newline $$\langle u, v \rangle = \langle v, u \rangle$$ \newline \textbf{ب)} برای هر $ u, v, w \in V $: \newline $$\langle u, v + w \rangle = \langle u, v \rangle + \langle u, w \rangle$$ \newline \textbf{ج)} برای هر $ u \in V $، $ \langle u, u \rangle \geq \textit{0} $ و \newline $$\langle u, u \rangle = \textit{0} \quad u = \textit{0}$$ \newline \newline \textbf{قضیه}\textbf{$ \textit{10}.\textit{1}.\textit{1} $}(\textbf{تیخونوف}): \newline حاصل ضرب گردایه ای از فضاهای توپولوژیک فشرده در توپولوژی حاصل ضربی فشرده است. \newline \textbf{تعریف}\textbf{$ \textit{11}.\textit{1}.\textit{1} $} : \newline فرض کنید $ X $ یک فضای توپولوژی و $ f: X \longrightarrow C $ یک تابع باشد. بستار مجموعه $ \lbrace x \in X ; f(x) \neq \textit{0} \rbrace $ را محمل (تکیه گاه یا $ support $) تابع $ f $ می نامیم. \vspace*{2mm} \newline \textbf{تعریف}\textbf{$ \textit{12}.\textit{1}.\textit{1} $}: \newline فرض کنیم $ A $ گردایه ای زیر مجموعه های فضای توپولوژیک $ X $ باشد. گردایه $ B $ از زیرمجموعه های $ X $ را یک تظریف $ A $ می نامیم (یا گوییم $ A $ را تظریف می کند) در صورتی که به ازای هر عضو $ B $ مانند $ \beta $ ، عضوی مانند $ \alpha $ از $ A $ موجود باشد، به طوری که حاوی $ \beta $ باشد. اگر اعضای $ B $ مجموعه های بازی باشند، $ B $ را یک تظریف باز $ A $ می نامیم و اگر اعضای $ B $ بسته باشند، $ B $ را یک تظریف بسته می نامیم. \vspace*{2mm} \newline \textbf{تعریف}\textbf{$ \textit{13}.\textit{1}.\textit{1} $}: \newline فرض کنیم $ X $ یک فضای توپولوژیک باشد. گردایه $ A $ از زیرمجموعه های $ X $ را موضعا متناهی نامیم، هرگاه هر نقطه ی $ X $ همسایگی داشته باشد، به طوری که فقط تعداد متناهی از اعضای $ A $ را قطع کند. \newline \textbf{تعریف}\textbf{$ \textit{14}.\textit{1}.\textit{1} $}\textbf{(فضای پیرافشرده}): \newline فضای $ X $ را پیرا فشرده نامیم، هرگاه هاسدورف باشد و هر پوشش باز آن مانند $ A $ دارای یک تظریف باز موضعا متناهی مانند $ B $ باشد، که $ X $ را بپوشاند. \vspace*{2mm} \newline \textbf{تعریف} \textbf{$ \textit{15}.\textit{1}.\textit{1} $}(\textbf{افراز واحد مغلوب}): \newline فرض کنیم $ \lbrace U_\textit{1}, ... , U_{n}\rbrace $ یک پوشش باز اندیسدار متناهی فضای $ X $ باشد. خانواده ی اندیسداری از توابع پیوسته مانند $ \phi_{i}: X \rightarrow [\textit{0}, \textit{1}] $ به ازای $ i = \textit{1}, \textit{2}, ... , n $ را یک افراز واحد مغلوب به وسیله ی $ \lbrace U_{i} \rbrace $ نامیم هرگاه: \newline \textbf{الف)} به ازای هر $ i $، $ U_{i} $ شامل محمل $ \phi_{i} $ باشد. \newline \textbf{ب)} به ازای هر $ x $ داشته باشیم: \newline $$\sum_{i=\textit{1}}^{n}\phi_{i}(x) = \textit{1}$$ \newline \newline \textbf{تعریف }\textbf{$ \textit{16}.\textit{1}.\textit{1} $}(\textbf{عملگر خطی}): \newline فرض کنیم $ X $ و $ Y $ فضاهایی برداری روی میدان اسکالر واحدی باشند. گوییم نگاشت $ \Lambda: X \longrightarrow Y $ خطی است اگر به ازای هر $ x $ و $ y $ در $ X $ و جمیع اسکالرهای $ \alpha $ و $ \beta $ : \newline $$\Lambda(\alpha x + \beta y) = \alpha \Lambda x + \beta \Lambda y.$$ \newline توجه کنید که وقتی $ \Lambda $ خطی است، اغلب به جای $ \Lambda(x) $ می نویسند $ \Lambda x $. \newline نگاشتهای خطی از $ X $ به توی میدان اسکالر آن را تابعیهای خطی می نامیم. \vspace*{2mm} \newline \textbf{تعریف} \textbf{$ \textit{17}.\textit{1}.\textit{1} $}(\textbf{توابع نیمه پیوسته بالایی و پایینی}): \newline فرض کنیم $ X $ یک فضای توپولوژیک و $ f: X \longrightarrow [-\infty, +\infty] $ یک تابع باشد. \newline \textbf{الف)} تابع $ f $ را نیمه پیوسته پایینی گوییم اگر برای هر عددحقیقی $ \alpha $ مجموعه \newline $$\lbrace x \in X :f(x) > \alpha \rbrace = f^{-\textit{1}}(\alpha, +\infty]$$ \newline یک مجموعه باز در $ X $ باشد. \newline \textbf{ب) }تابع $ f $ را نیمه پیوسته بالایی گوییم اگر برای هر عدد حقیقی $ \alpha $ مجموعه \newline $$\lbrace x \in X :f(x) < \alpha \rbrace = f^{-\textit{1}}[-\infty, \alpha)$$ \newline یک مجموعه باز در $ X $ باشد. \newline \section{\textbf{مفاهیم نظریه بازیها}} اگر بخواهیم به طور خلاصه بگوییم که نظریه بازیها چیست، باید بگوییم: \newline نظریه بازیها به مطالعه ی وضعیت هایی می پردازد که در آنها چند تصمیم گیرنده وجود دارد و قصد این تصمیم گیرنده ها از اتخاذ تصمیم شان رسیدن به بیشترین سود است. در ضمن سودی که در پایان نصیب هر کدان از بازیکنان می شود نه تنها به تصمیم خودش، بلکه به تصمیماتی که دیگران اتخاذ کرده اند نیز بستگی دارد. همچنین آنان کاملا منطقی عمل می کنند و به عقلایی بودن یکدیگر کاملا واقف اند. \newline به این وضعیت ها \textbf{بازی} می گوییم و به این تصمیم گیرنده ها \textbf{بازیکن} اطلاق می شود. \newline به انتخاب ها یا تصمیماتی که هر بازیکن می تواند اتخاذ کند، استراتژی آن بازیکن کی گوییم. \newline قصد ما در این پایان نامه بررسی نوعی از بازی در نظریه بازیهاست که دارای ویژگی های زیر می باشد: \vspace*{2mm} \newline \textbf{الف) بازی ایستا است.} به این معنی که بازی در یک مرحله انجام می گیرد و تصمیمات بازیکنان به طور همزمان اتخاذ می شود. \vspace*{2mm} \newline \textbf{ب) بازی غیر مشارکتی است.} به این معنی که بازیکنان به هیچ وجه نمی توانند با هم تبادل نظر یا مذاکره ای داشته باشند و به توافقی برسند و یا به اءتلافی دست بزنند. \newline فرض کنید $ I=\lbrace \textit{1}, \textit{2}, ... , n \rbrace $ مجموعه ای از بازیکنان یک بازی باشد (بازیکنان با شماره مشخص شده اند) و مجموعه ی استراتژی های بازیکن $ i $ام را با $ X_{i} $ نشان می دهیم. هر بازیکن در جریان بازی باید یک استراتژی را از مجموعه ی استراتژی هایش انتخاب کند و سود یا بازدهی او به استراتژی ای که خودش و دیگران انتخاب می کنند بستگی دارد، پس تابعی از $ n $ متغیر است. \vspace*{2mm} \newline \textbf{ج)} سود هر بازیکن در یک بازی با یک عدد حقیقی نشان داده می شود. \newline بنابراین تابع بازدهی هر بازیکن مثلا بازیکن $ i $ام به صورت $ f_{i}:\prod_{i=\textit{1}}^{n}X_{i} \longrightarrow R $ است. \vspace*{2mm} \newline \textbf{د) }بازی با اطلاعات کامل است. به این معنی که هر بازیکن از تعداد بازیکنان، مجموعه ی استراتژی ها و توابع بازدهی آنان با خبر است. \vspace*{2mm} \newline \textbf{مثال}\textbf{$ \textit{1}.\textit{2}.\textit{1} $ }(\textbf{معمای زندانی}): \newline معمای زندانی یکی از بازیهای معروفی است که کاربرد و مباحث زیادی را در نظریه بازیها مطرح کرده است. این بازی حالتی را مورد توجه قرار می دهد که در آن دو زندانی که در یک جرم شریک هستند در اتاقهای جداگانه مورد سؤال قرار می گیرند. هر زندانی می تواند اقرار به جرم نماید و از این رو دیگری را نیز درگیر نماید. همچنین می تواند جرم را انکار نماید. اگر هر دو انکار کنند به مدت یک ماه زندانی می شوند و اگر هر دو اقرار کنند برای سه ماه زندانی خواهند شد. همچنین اگر یکی اقرار و دیگری انکار کند، بازیکنی که اقرار کرده آزاد و دیگری که انکار کرده است برای شش ماه زندانی می شود. پیامدهای این بازی در جدول زیر نشان داده شده است. \newline خود را جای بازیکن $ A $ قرار دهید. اگر بازیکن $ B $ تصمیم بگیرد ارتکاب جرم را تکذیب کند، شما وضعیت بهتری دارید زیرا در این صورت آزاد می شوید. به طور مشابه، اگر بازیکن $ B $ اقرار کند، شما وضعیت بهتری خواهید داشت چون شما به جای $ \textit{6} $ ماه زندانی $ \textit{3} $ ماه زندانی خواهید شد. از این رو، بازیکن $ B $ هر سیاستی را پیش بگیرد، بازیکن $ A $ در صورتی که اقرار کند، وضعیت بهتری پیدا می کند. \newline همین جریان برای بازیکن $ B $ نیز اتفاق می افتد. او هم از اقرار وضعیت بهتری پیدا می کند. در این بازی برای هر دو بازیکن بهتر است که اقرار کند. اگر هر دو می توانستند توافق کنند، هر کدام وضعیت بهتری پیدا می کرد. اگر هر دو مطمءن باشند که انکار به نفع آنهاست و بتوانند راجع به انکار، توافق نمایند، مدت زندانی شدن هر یک فقط یک ماه خواهد شد. \\ \vspace{3mm} \vspace*{3mm} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline انکار $ B $ &اقرار $ B $ & وضعیت \\ \hline زندانی $ A $ آزاد و زندانی $ B $ شش ماه حبس & هر دو سه ماه حبس & اقرار $ A $ \\ \hline هر دو یک ماه حبس & زندانی $ B $ آزاد و زندانی $ A $ شش ماه حبس & انکار $ A $ \\ \hline \end{tabular} \newline \vspace{3mm} \vspace*{3mm} \textbf{مثال} \textbf{$ \textit{2}.\textit{2}.\textit{1} $ }: \newline یک بازی دو نفره زیر را در نظر بگیرید که: \newline مجموعه ی استراتژی های بازیکن شماره ی $ \textit{1} $، $ X_{\textit{1}}=\lbrace x_{\textit{1}}, x_{\textit{2}} \rbrace $، مجموعه ی استراتژی های بازیکن شماره ی $ \textit{2} $، $Y_{\textit{1}}=\lbrace y_{\textit{1}}, y_{\textit{2}} \rbrace $، باشد. میزان سود هر بازیکن را با توجه به استراتژی ای که خودش و دیگری انتخاب می کند را در جدول زیر نشان می دهیم: \vspace*{3mm} \newline \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline $ y_{\textit{2}} $&$ y_{\textit{1}} $ & استراتژی \\ \hline $ (\textit{0}, \textit{400}) $ &$ (\textit{300}, \textit{300}) $ & $ x_{\textit{1}} $ \\ \hline $ (\textit{100}, \textit{100}) $& $ (\textit{400}, \textit{0}) $ & $ x_{\textit{2}} $ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \newline \vspace*{3mm} روشن است که هر بازیکن سعی دارد به بیشترین سود دست پیدا کند. حال اگر شما جای بازیکن $ \textit{1} $ بودید چه می کردید؟ کدام استراتژی را انتخاب می کردید؟ $x_{\textit{1}} $ را یا $ x_{\textit{2}} $ ؟ \newline شاید بگویید که من استراتژی $ x_{\textit{2}} $ را انتخاب می کنم، چون در هر صورت (بازیکن $ \textit{2} $ هر استراتژی را انتخاب کند) سود من در انتخاب $ x_{\textit{2}} $ بیشتر از انتخاب $ x_{\textit{1}} $ است. این انتخاب به خاطر " عقلانیت فردی " شماست. شما استراتژی $ x_{\textit{1}} $ را به عنوان " استراتژی مغلوب " کنار گذاشتید. \newline اما سود شما در انتخاب این استراتزی واقعا چیست؟ شما به سود $ \textit{400} $ دست پیدا خواهید کرد یا $ \textit{100} $؟ \newline روشن است که بازیکن $ \textit{2} $ نیز از همین میزان عقلانیت فردی برخوردار است (در نظریه بازیها فرض بر این است که تمام بازیکنان کاملا منطقی و عقلایی هستند)، پس بازیکن $ \textit{2} $ نیز باید استراتژی $ y_\textit{2} $ را انتخاب کند! این یعنی سود شما $ \textit{100} $ خواهد بود نه $ \textit{400} $! \newline شما تمام این نتیجه گیری ها را پیش خودتان انجام دادید، چون هم شما عاقل هستید و هم نفر مقابلتان را عاقل می دانید. (این همان فرضی است که نظریه بازیها بر آن استوار است). \newline شاید پیش خودتان بگویید که ایکاش هر دو استراتژی اولمان را انتخاب می کردیم! اما این فقط در حد ایکاش باقی خواهد ماند، چون در این بازی شما نمی توانید با هم گفتگویی داشته باشید و یا به توافقی برسید (بازی غیر مشارکتی است). در این شرایط چطور می توانید به هم اعتماد کنید؟ \newline اگر شما استراتژی $ x_\textit{1} $ را انتخاب کنید باید انتظار صفر را نیز داشته باشید که این دور از عقل است. \newline البته در شرایطی بنا را بر اعتماد می گزارند که آن هم اصول خاص خودش را دارد و در بازیهایی که در دفعات زیاد تکرار می شود صورت می گیرد که در اینجا بررسی نمی گردد. \vspace*{2mm} \newline \textbf{مثال}\textbf{$ \textit{3}.\textit{2}.\textit{1} $ }: \newline فرض کنید یک بازی دو نفره داشته باشیم که مجموعه ی استراتژی های هر بازیکن، مجموعه ی اعداد حقیقی و تابع بازدهی بازیکنان به صورت زیر باشد: \newline $$f_\textit{1}(x_\textit{1}, x_\textit{2}) = \textbf{10}x_\textit{1} - x_\textit{1}^{\textit{2}} - x_\textit{1}x_\textit{2} - \textit{3}x_\textit{1}$$ \newline $$f_\textit{2}(x_\textit{1}, x_\textit{2})= \textbf{10}x_\textit{2} - x_\textit{2}^{\textit{2}} - x_\textit{1}x_\textit{2} - \textit{2}x_\textit{2}$$ \newline حال اگر شما جای بازیکن $ \textit{1} $ باشید، چه استراتژی را انتخاب می کنید؟ \newline شمامی دانید که مقدار $ x_\textit{2} $ را نخواهید فهمید تا اینکه خودتان استراتژی تان را انتخاب کنید! پس با دلخواه در نظر گرفتن استراتژی نفر دوم، باید استراتژی خودتان را طوری انتخاب کنید که بازدهی شما حداکثر شود. بنابراین نسبت به متغیر $ x_\textit{1} $ از تابع بازدهی خودتان مشتق می گیرید و برابر صفر قرار می دهید: \newline $$ \dfrac{\partial f_\textit{1}}{ x_\textit{1}} = \textit{10} - \textit{2} x_\textit{1} - x_\textit{2} - \textit{3} = \textit{0}$$ \newline $$\Longrightarrow \textit{7} - \textit{2} x_\textit{1} - x_\textit{2} = \textbf{0}$$ \newline $$ x_\textit{1} = \frac{\textit{1}}{\textit{2}}(\textit{7} - x_\textit{2})$$ \newline پس اگر نفر دوم استراتژی $ x_\textit{2} $ را انتخاب کند، بهترین انتخاب برای شما $ \frac{\textit{1}}{\textit{2}}(\textit{7} - x_\textit{2}) $ خواهد بود. \newline همچنین اگر شما استراتژی $ x_\textit{1} $ را انتخاب کنید، بهترین واکنش نفر دوم انتخاب استراتژی $ \frac{\textit{1}}{\textit{2}}(\textit{8} - x_\textit{1}) $ خواهد بود (چون نفر دوم هم به اندازه ی خود شما منطقی است، همین نتیجه گیری را پیش خودش خواهد کرد و شما هم که از عاقل بودن او مطمـءن هستید این نتیجه گیری او را می دانید!). \newline پس شما استراتژی $ x_\textit{1} $ را به این صورت انتخاب می کنید: \newline $$x_\textit{1} = \frac{\textit{1}}{\textit{2}}(\textit{7} - x_\textit{2}) = \frac{\textit{1}}{\textit{2}}(\textit{7} - \frac{\textit{1}}{\textit{2}}(\textit{8} - x_\textit{1})) = \frac{\textit{1}}{\textit{2}}(\textit{3} - \frac{\textit{1}}{\textit{2}}x_\textit{1})$$ \newline $$\Longrightarrow \textit{2}x_\textit{1} = \textit{3} - \frac{\textit{1}}{\textit{2}}x_\textit{2}$$ \newline $$\Longrightarrow \frac{\textit{3}}{\textit{2}}x_\textit{1} = \textit{3}$$ \newline $$\Longrightarrow x_\textit{1} = \textit{2}$$ \newline همچنین نفر دوم هم به همین صورت عمل خواهد کرد و او نیز $ x_\textit{2} = \textit{3} $ را انتخاب می کند. \newline نکته ی مهم در این است که اگر شما استراتژی $ x_\textit{1} = \textit{2} $ را انتخاب کنید، بهترین واکنش نفر دوم این بوده است که استراتژی $ x_\textit{2} $ را طوری انتخاب کنید که تابع \newline $$ f_\textit{2}(x_\textit{1}, x_\textit{2})= \textbf{10}x_\textit{2} - x_\textit{2}^{\textit{2}} - \textit{2}x_\textit{2} - \textit{2}x_\textit{2} $$ حداکثر شود. یعنی : \newline $$\textit{10} - \textit{2}x_\textit{2} - \textit{4} = \textit{0}$$ \newline $$\Longrightarrow \textit{6} - \textit{2}x_\textit{2} = \textit{0}$$ \newline $$\Longrightarrow x_\textit{2} = \textit{3}$$ \newline پس انتخاب $ x_\textit{2} = \textit{3} $ بهترین واکنش نفر دوم نسبت به انتخاب استراتژی $ x_\textit{1} = \textit{2} $ از طرف شماست و همچنین می توانید ببینید که در برابر انتخاب استراتژی $ x_\textit{2} = \textit{3} $ از طرف بازیکن دوم، بهترین واکنش شما هم انتخاب استراتژی $x_\textit{1} = \textit{2} $ خواهد بود. \newliine به نقطه ی $ (\textit{2}, \textit{3}) $ یک \textbf{تعادل نش} در این بازی می گویند. \vspace*{2mm} \newline \textbf{مثال $ \textit{4}.\textit{2}.\textit{1} $}: \newline دو فرد تمایل دارند با یکدیگر به کنسرت موسیقی بروند که می تواند با اجرای آثار $ S $ و $ B $ باشد. مسأله اصلی آنها همراه یکدیگر بودن در کنسرت است. اما یکی $ B $ و دیگری $ S $ را ترجیح می دهد. اولویت های انها با استفاده از تابع بازدهی شان در جدول زیر نشان داده شده است. \newline این وضعیت شرایطی را مدلسازی می نماید که بازیگران متمایل به همکاری در رفتارشان هستند، اما هر یک دارای منافع متضادی می باشند. این بازی دو تعادل نش دارد: $$(B, B) , (S, S)$$ از اینرو، این بازی دو فضای حالت دارد: اول آنکه هر دو بازیگر همیشه $ B $ را انتخاب می نمایند و دیگر آنکه هر دو همیشه $ S $ را انتخاب می نمایند. \newline \vspace*{3mm} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline $ S $& $ B $ & آثار \\ \hline $ \textit{0}, \textit{0} $ & $ \textit{2}, \textit{1} $ & $ B $ \\ \hline $ \textit{1}, \textit{2} $&$ \textit{0}, \textit{0} $ & $ S $ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace*{3mm} \textbf{تعریف}\textbf{$ \textit{5}.\textit{2}.\textit{1} $}(\textbf{ بازی غیر مشارکتی تعمیم یافته}): \newline فرض کنید $ I = \lbrace \textit{1}, ... , n, ... \rbrace $ یک مجموعه ی شمارش پذیر از بازیکنان باشد. یک بازی غیر مشارکتی تعمیم یافته ی $ \Gamma $ در شکل استاندارد، یک چندتایی مرتب : \newline $$ (X_\textit{1}, ... , X_{n}, ... ; f_\textit{1}, ... , f_{n}, ... ) $$ \newline است که برای هر بازیکن $ i \in I $، مجموعه ی ناتهی $ X_{i} $ فضای استراتژی محض بازیکن و $ f_{i}: X = \prod_{i \in I}X_{i} \longrightarrow R $ تابع بازدهی بازیکن است. مجموعه ی $ X $، فضای استراتژی توأم است که حاصلضرب دکارتی فضای استراتژی انفرادی است. هر عضو مجموعه ی $ X_{i} $، یک استراتژی بازیکن $ i $ام است. \vspace*{2mm} \newline \textbf{تعریف }\textbf{$ \textit{6}.\textit{2}.\textit{1} $}(\textbf{تعادل نش}): \newline فرض کنید که $ (\bar{x_\textit{1}}, \bar{x_\textit{2}}, ... , \bar{x_{n}}) $ مجموعه ی خاصی از استراتژی ها باشد که توسط $ n $ بازیکن اتخاذ می شود. این نقطه را یک تعادل نش برای بازی می نامند هرگاه به ازای هر $ i \in \lbrace \textit{1}, \textit{2}, ... , n \rbrace $ بهترین واکنش بازیکن $ i $ام در برابر انتخاب استراتژی $ (j \neq i) \bar{x_{j}} $ توسط سایر بازیکنان، انتخاب استراتژی $ \bar{x_{i}} $ باشد. به عبارت دیگر به ازای هر $ i $ و هر استراتژی $ x_{i} \in X_{i} $، داشته باشیم: \newline $$f_{i}(\bar{x_\textit{1}}, ... , \bar{x_{i -\textit{1}}}, x_{i}, \bar{x_{i +\textit{1}}}, ... , \bar{x_{n}}) \leq f_{i}(\bar{x_\textit{1}}, \bar{x_\textit{2}}, ... , \bar{x_{i}}, ... , \bar{x_{n}})$$ \newline در این صورت $ (\bar{x_\textit{1}}, \bar{x_\textit{2}}, ... , \bar{x_{n}}) $ را یک تعادل نش برای بازی می گوییم. \newline \section{\textbf{مفروضات}} فرض کنید $ I $ یک مجموعه ی اندیسگذار شمارش پذیر باشد. برای هر $ i \in I $ای، $ X_{i} $ را یک فضای توپولوژیک نا تهی در نظر می گیریم و قرار می دهیم: \newline $$X := \prod_{i \in I}X_{i}$$ \newline و \newline $$X_{\hat{i}} := \prod_{j \in I \setminus i}X_{j}.$$ \newline (روشن است که $ \prod_{i \in I}X_{i} = \lbrace f \vert f: I \longrightarrow \bigcup_{i \in I}X_{i} ; f(i) \in X_{i} \rbrace $) \newline اگر $ x = (x_\textit{1}, x_\textit{2}, ... , x_{n}, ... )$،آنگاه $ f(i) = x_{i} $ قرار می دهیم و در این صورت $ f $ را با مقادیرش یعنی $ \lbrace f(i) = x_{i}\rbrace_{i \in I} $ نشان می دهیم که در حالت شمارا بودن $ I $، به صورت $(x_\textit{1}, x_\textit{2}, ... , x_{n}, ... ) $ قابل نمایش می باشد و می نویسیم: \newline $$x_{\hat{i}} = (x_\textit{1}, x_\textit{2}, ... , x_{i - \textit{1}}, x_{i + \textit{1}}, ... , x_{n}, ...) \in X_{\hat{i}}$$ \newline اگر $ x_{i} \in X_{i} $ و $ x_{\hat{i}} \in X_{\hat{i}}$، قرار می دهیم: \newline $$(x_{i}, x_{\hat{i}}) = (x_\textit{1}, x_\textit{2}, ... , x_{n}, ... ) = x \in X$$ \newline $[\textit{0}, \textit{1}]^{n} $را حاصل ضرب دکارتی $ n $ فاصله ی یکه ی $[\textit{0}, \textit{1}] \times [\textit{0}, \textit{1}] \times ... \times [\textit{0}, \textit{1}] $ در نظر بگیرید. همچنین قرار دهید: \newline $$\Delta_{n} = \lbrace (\lambda_\textit{1}, ... , \lambda_{n}) \in [\textit{0}, \textit{1}]^{n}\quad ;\quad \sum_{i=\textit{1}}^{n}\lambda_{i} = \textit{1} \rbrace$$ \newline \end{flushright} \newpage \chapter { \textbf{وجود تعادل نش از روش تقعر} } } \newpage \begin{flushright} \section{\textbf{مقدمه}} در این فصل ابتدا به تعریف چند مفهوم مهم می پردازیم که خاصیت تقعر را عمومیت می بخشد و سپس با استفاده از این خاصیت ها وجود نقطه یا نقاط تعادل نش را مورد بررسی قرار می دهیم. \\ \section {\textbf{حالت های تقعر} } \textbf{تعریف} \textbf{$ \textit{1}.\textit{2}.\textit{2} $}(مقعر\LTRfootnote{concave}): \newline فرض کنید $X$ یک فضای توپولوژیکی ناتهی و $Y$ یک مجموعه دلخواه ناتهی باشد.تابع $f$ روی $X$ نسبت به $Y$ مقعر است ،هرگاه برای هر $n$ نقطه ی $x_{\textit{1}} ,x_{\textit{2}},......x_{n}$داشته باشیم $$\forall y \in Y; f(\lambda_{\textit{1}} x_\textit{1}+\lambda_\textit{2}x_{\textit{2}}+.....\lambda_\textit{n}x_{\textit{n}} ) \geq \lambda_\textit{1}f(x_\textit{1},y)+........+\lambda_\textit{n}f(x_\textit{n},y)$$\\ توابع زیر را به عنوان مثال می توان مطرح کرد:\\ $$x^{\alpha} \quad on \quad R_{++} \quad ,\for \quad\textit{0}\leq \alpha \leq \textit{1}$$ $$\log x \quad on \quad R_{++}$$ \newline \textbf{تعریف }\textbf{$ \textit{2}.\textit{2}.\textit{2} $}(مقعر مانند \LTRfootnote{concavelike}): \newline هرگاه $X$ و $Y$ دو مجموعه ی ناتهی دلخواه باشند،تابع $f:X \times Y\longrightarrow R$ را شبه مقعر روی $X$ نسبت به $Y$ می نامند،هرگاه برای هر $x_\textit{1} , x_\textit{2}$ متعلق به $X$ و هر $\lambda\in[\textit{0},\textit{1}]$ ای ، $x_\textit{0}\inX$ ای وجود داشته باشد،به طوری که داشته باشیم: $$ \forall y \in Y ; f(x_\textit{0},y) \geqslant \lambda f(x_\textit{1},y) + ( \textit{1}- \lambda ) f(x_\textit{2},y)$$ \\ \textbf{تعریف $ \textit{3}.\textit{2}.\textit{2} $}(شبه مقعر\LTRfootnote{quasiconcave}): \newline \begin{flushright} فرض کنید$X$ یک زیر مجموعه ناتهی محدب از فضای برداری $E$ باشد.همچنین فرض کنید که $f:X\longrightarrow R$ باشد.گوییم تابع $f$ ، شبه مقعر است هرگاه برای هر $t\in R$ مجموعه ی $\lbrace x\in X;f(x) \geq t\rbrace $ محدب باشد.در واقع اگر $f$ ، شبه مقعر باشد داریم:\\ $$ \forall x_\textit{1}, x_\textit{2}\in X; \forall \lambda\in [\textit{0}, \textit{1}]$$\\ $$f(\lambda x_\textit{1}+ (\textit{1}-\lambda) x_\textit{2}) \geq min \lbrace f( x_\textit{1}) , f( x_\textit{2}) \rbrace $$\\ همچنین $f$ را شبه محدب\LTRfootnote{quasiconvex} نامند هرگاه $-f$ ،شبه مقعر باشد.\\ تابع $f$ را شبه خطی \LTRfootnote{Quasilinear} گویند، هرگاه $f$ هم شبه مقعر و هم شبه محدب باشد.\\ به مثال های زیر دقت کنید:\\ تابع$ \sqrt{\vert x\vert} $ روی $R$ یک تابع شبه محدب است.\\ تابع $f(x_\textit{1}, x_\textit{2})=x_\textit{1}x_\textit{2}$ روی$R^\textit{2}_{++}$ یک تابع شبه مقعر است.\\ تابع $\log x $ روی$ R_{++} $ یک تابع شبه خطی است. \end{flushright}\\ \begin{flushright} \textbf{گزاره $ \textit{4}.\textit{2}.\textit{2} $}: \newline هر تابع مقعر(محدب) ، شبه مقعر(شبه محدب) است.\\ \textbf{اثبات}:\\ تابع $f$ را روی مجموعه محدب $S$ در نظر می گیریم.فرض کنیم $a$ یک عدد حقیقی باشد مجموعه ی $p_{a}$ را به صورت زیر تعریف می کنیم:\\ $$p_{a}=\lbrace x\in X; f(x)\geq t\rbrace $$\\ اگر: \newline $$x, y \in p_{a}$$\\ باید ثابت کنیم $ p_{a }$محدب است.در واقع باید نشان دهیم:\\ $$\forall \lambda \in [\textit{0}, \textit{1}]; (\textit{1}-\lambda)x+\lambda y \in p_{a}.$$\\ توجه داریم که مجموعه $ S $ که تابع $ f $ روی آن تعریف شده بود، محدب است.یعنی داریم: \\ $$(\textit{1}-\lambda)x+\lambda y \in s ; \forall \lambda \in [\textit{0}, \textit{1}] , \forall x , y \in S$$\\ پس تابع $ f $ روی نقطه $ (\textit{1}-\lambda)x+\lambda y $ تعریف شده است.از طرفی ، تقعر تابع $ f $ نشان می دهد که:\\ $$ f((\textit{1}-\lambda)x+\lambda y) \geq (\textit{1}- \lambda)f(x)+ \lambda f(y)$$\\ با توجه به اینکه$ f(x)\geq a; f(y)\geq a $ ، پس داریم:\\ $$ (\textit{1}- \lambda)f(x)+ \lambda f(y) \geq (\textit{1}-\lambda)a + \lambda a=a$$\\ پس در نتیجه داریم:\\ $$ f((\textit{1}-\lambda)x+\lambda y) \geq a$$\\ در نتیجه با توجه به نامساوی بدست آمده داریم:\\ $$(\textit{1}-\lambda)x+\lambda y \in p_{a}$$\\ لذا اثبات کامل است.\\ \NEWPAGE \end{flushright} \textbf{تعریف}\textbf{$ \textit{5}.\textit{2}.\textit{2} $}($CF$-مقعر\LTRfootnote{CF-concave}): $ forgo $ با افزودن خاصیت پیوستگی به توابع مقعر مانند، توابع $-CF $ مقعر را به صورت زیر تعریف کرد: \\ فرض کنید $X$ یک قضای توپولوژیکی ناتهی و $Y$ یک مجموعه دلخواه ناتهی باشد.آنگاه تابع $f:X \times Y\longrightarrow R$ را $-CF$مقعر روی $ X $ نسبت به $ Y $ می نامند،هرگاه یک تابع پیوسته ی $\psi:X \times Y \times R\longrightarrow X $ وجود داشته باشد،به طوری که برای هر $ x_\textit{1},x_\textit{2} $ متعلق به $ X $و هر$\lambda\in[\textit{0},\textit{1}]$ ای داشته باشیم: $$ \forall y \in Y ; f(\psi (x_\textit{1}, x_\textit{2}, \lambda ), y ) \geq \lambda f(x_\textit{1}, y) +(\textit{1}-\lambda)f(x_\textit{2}, y)$$ خاصیت $-CF$مقعر را می توان به صورت زیر تعمیم داد: تابع $f:X \times Y\longrightarrow R$ را$-CF$مقعر روی $X$ نسبت به $ Y $ می نامند، هرگاه یک تابع پیوسته $\psi:\underbrace{X\times X\times .......\times}_{n} R^{n}\longrightarrow R$ وجود داشته باشد به طوری ک برای هر $n$ نقطه ی $x_{\textit{1}} ,x_{\textit{2}},......x_{n}$ای متعلق به $X$ $ (n\geq \textit{2}) $ و $$ \forall (\lambda_\textit{1},........ \lambda_\textit{n}) \in \Delta_{n}$$ داشته باشیم: \\ $$ \forall y\in Y ;f(\psi (x_{\textit{1}} ,x_{\textit{2}},......x_{n}; \lambda_\textit{1},........ \lambda_\textit{n} ), y)\geq \lambda_\textit{1}f(x_\textit{1}, y)+.........\lambda_{n}f(x_\textit{n}, y)$$ \newline \textbf{تعریف $ \textit{6}.\textit{2}.\textit{2} $ }(\textbf{$C$-مقعر}\LTRfootnote{C-concave} ): \newline فرض کنید $X$ یک فضای توپولوژیکی باشد،$Y$ یک مجموعه دلخواه و $D$ یک زیرمجموعه ی ناتهی از $X$ باشد.در این صورت تابع $f:X \times Y\longrightarrow R$ را $-C$ مقعر روی $D$ می نامیم ،هرگاه برای هر $ n\geq \textit{2} $ وقتی $x_{\textit{1}} ,x_{\textit{2}},......x_{n}$ نقاطی دلخواه از$X$ باشند،یک تابع پیوسته $\phi _\textit{n}:\Delta_{n}\longrightarrow D $ وجود داشته باشد،به طوری که داشته باشیم $$ \forall (\lambda_\textit{1},........ \lambda_\textit{n}) \in \Delta_{n}, \forall y\in Y ;f(\phi_{n}(\lambda_\textit{1},........ \lambda_\textit{n}), y)\geq \lambda_\textit{1}f(x_\textit{1}, y)+.........\lambda_{n}f(x_\textit{n}, y)$$\\ در ادامه می خواهیم مقایسه ای بین این تعاریف انجام دهیم. \\ \textbf{گزاره $ \textit{7}.\textit{2}.\textit{2} $}: \newline \\ هرگاه تابع $f$ روی $X$ نسبت به $Y$ ، مقعر باشد، در این صورت $f$ روی $X$ نسبت به $Y$ ، $-CF$مقعر خواهد بود. \\ \textbf{اثبات:} \\ تابع $\psi:\underbrace{ X\times X\times ....... \timesX \timesX }_\textit{ بار n } \times R^{n}\longrightarrow X $ را به صورت زیر تعریف می کنیم: \\ $$ \psi(x_\textit{1},,,,,,,,x_{n}; \lambda_\textit{1},........ \lambda_\textit{n}):=\lambda_\textit{1} x_\textit{1}+\lambda_\textit{2}x_\textit{2}+.....\lambda_\textit{n}x_\textit{n}$$\\ در این صورت تابع $f$ روی $X$ نسبت به $Y$ ، $-CF$مقعر خواهد بود. \\. \newline \textbf{گزاره $ \textit{8}.\textit{2}.\textit{2} $}: \newline اگر $f$ روی $X$ نسبت به $Y$ ، $-CF$مقعر باشد،$-C$ مقعر نیز خواهد بود. \\ \begin{flushright} \textbf{اثبات:} \\ اگر $ x_\textit{1},,,,,,,,x_{n}$ نقاطی دلخواه از $X$ باشند$ (n\geq \textit{2} )$ ، با توجه به اینکه $f$ روی $X$ نسبت به $Y$ ، $-CF$مقعر است ،تابع $\phi _\textit{n}:\Delta_{n}\longrightarrow Y $ را به صورت زیر تعریف می کنیم: \\ $$\forall (\lambda_\textit{1},........ \lambda_\textit{n}) \in \Delta_{n} $$ \\ $$\phi_{n}(\lambda_\textit{1},........ \lambda_\textit{n}) := \psi(x_\textit{1},,,,,,,,x_{n}; \lambda_\textit{1},........ \lambda_\textit{n} )$$ \\ در این صورت با توجه به این که $f$ روی $X$ نسبت به $Y$ ، $-CF$مقعر است ، داریم: \\ $$ \forall y\in Y ;f(\underbrace{\psi(x_\textit{1},,,,,,,,x_{n}; \lambda_\textit{1},........ \lambda_\textit{n})}_{\phi_{n}(\lambda_\textit{1}, ... ,\lambda _{n})}, y)\geq \lambda_\textit{1}f(x_\textit{1}, y)+.........\lambda_{n}f(x_\textit{n}), y)$$ \end{flushright} \\ \begin{flushright} \textbf{گزاره $ \textit{9}.\textit{2}.\textit{2} $}: \newline اگر $f$ روی $X$ نسبت به $Y$ ، $-C$مقعر باشد، در این صورت $f$ روی $X$ نسبت به $Y$ مقعر مانند است.\\ \textbf{اثبات:} \\ برای هر دو نقطه ی دلخواه $x_\textit{1}, x_\textit{2} \in X $ و هر $ \lambda \in [\textit{0}, \textit{1}]$ ، با قرار دادن: \\ $x_\textit{0}:=\phi_\textit{2}(\lambda , \textit{1}-\lambda)$ خواهیم داشت: \\ $$ \forall y \in Y ; f(\underbrace{\phi_\textit{2}(\lambda , \textit{1}-\lambda)}_{x_\textit{0}}, y) \geqslant \lambda f(x_\textit{1},y) + ( \textit{1}- \lambda ) f(x_\textit{2},y)$$ \end{flushright} \\ \\ \textbf{تعریف}\textbf{$ \textit{10}.\textit{2}.\textit{2} $}( $- C $مقعر قطری \LTRfootnote{diagonally C-concave}): \newline \begin{flushright} فرض کنید $X$ یک فضای توپولوژیکی غیر تهی باشد و $K$ یک زیرمجموعه غیر تهی از $X$ باشد.در این صورت تابع $f: X\times X\longrightarrow R $ را روی $X$ ، $- C $مقعر قطری نامیم، اگر برای $(x_\textit{1},..........., x_\textit{n})\in K$، $(کn \geq \textit{2})$ تابع پیوسته $\phi _\textit{n}:\Delta_{n}\longrightarrow x $ وجود داشته باشدبه طوریکه : \newline $$ \forall \lambda=(\lambda_\textit{1},........ \lambda_\textit{n}) \in \Delta_{n}, \forall y\in Y;$$ \newline $$f(\phi_{n}(\lambda), \phi_{n}(\lambda))\geq \lambda_\textit{1}f(x_\textit{1}, \phi_{n}(\lambda) )+......+\lambda_\textit{n}f(x_\textit{n}, \phi_{n}(\lambda) )$$ \newline \textbf{گزاره $ \textit{11}.\textit{2}.\textit{2} $}: \newline هرگاه تابع $f$ روی $X$ ،$-C$مقعر باشد،آنگاه $- C $مقعر قطری خواهد بود.\\ \textbf{اثبات}:\\ در این قسمت به راحتی با در نظر گرفتن $y= \phi_{n}(\lambda) $ (اما فقط در شرایطی که $X=Y$ است)،با توجه به تعاریف هر دو مفهوم این گزاره به راحتی اثبات می شود\\.\square \textbf{تعریف}\textbf{$ \textit{12}.\textit{2}.\textit{2} $}( $-C$شبه مقعر\LTRfootnote{C-quasiconcave}): \begin{flushright} \newline فرض کنید $X$ یک فضای توپولوژیک باشد و $A,Y \subseteq X $. تابع $f:X \times Y\longrightarrow R$ ،$-C$شبه مقعر روی $A$ نامیده می شود هرگاه برای هر زیرمجموعه متناهی $\lbrace x_{\textit{0}} ,x_{\textit{1}},......x_{n} \rbrace $ از$A$ یک تابع پیوسته $\phi _\textit{n}:\Delta_{n}\longrightarrow Y $ وجود داشته باشد به طوریکه داشته باشیم: $$f(\phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n}), \phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n}))\geq min \lbrace f(x_{i}, \phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n}); i \in J)\rbrace $$ \\ $$\forall (\lambda_\textit{1},........ \lambda_\textit{n}) \in \Delta_{n} & \quad ,J=\lbrace i\in \lbrace\textit{0},\textit{1}....,n\rbrace ; \lambda_{i}\neq \textit{0}\rbrace$$ \end{flushright} \\ \textbf{تعریف}\textbf{$ \textit{13}.\textit{2}.\textit{2} $}( $- C $ شبه مقعر قطری\LTRfootnote{C-quasiconcave diagonally}): \newline \begin{flushright} فرض کنید$Y$ یک زیرمجموعه غیر تهی از یک فضای توپولوژیکی $X$ باشد.آنگاه تابع $f$ را $- C $ شبه مقعر قطری روی $Y$ ، ،یا به اختصار $DCQCV$ نامیم هرگاه،برای هر $n$ نقطه ی $x_\textit{1},.......x_{n}\in Y$ و برای $n\geq \textit{2}$ ،یک تابع پیوسته $\phi _\textit{n}:\Delta_{n}\longrightarrow Y $ وجود داشته باشد به طوریکه:\\ $$f(\phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n}), \phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n}))\geq minf(\phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n}), x^{i}) ; i\in J$$\\ همچنین تابع $f$ برای$ \lambda \in \phi_{n} $ روی $Y$ ، $- C $ شبه مقعر $ -\gamma $قطری یا به اختصار $\gamma-DCQCV$ نامیده میشودهرگاه برای $(n\geq \textit{2} )$ و $n$ نقطه ی $x_\textit{1},.......x_{n}\in Y$ یک تابع پیوسته ی $\phi _\textit{n}:\Delta_{n}\longrightarrow Y $ وجود داشته باشد به طوریکه:\\ $$\gamma\geq min\lbrace f(\phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n}), x_{i}); i\in J$$\\ \end{flushright} \textbf{تعریف}\textbf{$ \textit{14}.\textit{2}.\textit{2} $}(شبه مقعر انتقال \LTRfootnote{diagonal transfer quasiconcave}): \\ \\ برای هر زیرمجموعه متناهی $\lbrace x_{\textit{0}} ,x_{\textit{1}},......x_{n} \rbrace\subseteq A $ یک زیرمجموعه ی متناهی $\lbrace y_{\textit{0}} ,y_{\textit{1}},......y_{n} \rbrace \subseteq C $ وجود دارد به طوریکه برای هر زیرمجموعه \\ $$\lbrace y_{k_{\textit{0}}} ,y_{k_{\textit{1}}},......y_{k_{s}} \rbrace \subseteq \lbrace y_{\textit{0}} ,y_{\textit{1}},......y_{n} \rbrace $$\\ و\\ برای هر\\ $$ y^{\ast} \in co \lbrace y_{k\textit{0}} ,y_{k\textit{1}},......y_{ks} \rbrace , $$ داشته باشیم:\\ $$ min f(x_{k_{i}}, y^{\ast}) \leq f( y^{\ast}, y^{\ast}) \quad ; (\textit{0}\leq i \leq \textit{s})$$\\ \begin{flushright} \textbf{گزاره $ \textit{15}.\textit{2}.\textit{2} $}: \newline فرض کنید $X$ یک زیرمجموعه محدب از یک فضای برداری توپولوژیکی باشد.فرض کنید که $ A \subseteq X $ و مخالف تهی باشد و $C$ یک زیرمجموعه ناتهی محدب از $X$ باشد و تابع $f$ به صورت $f:X\times C \longrightarrow R$ باشد.در این صورت اگر تابع $f$ روی $A$ ، شبه مقعر انتقال قطری باشد، آنگاه $f$ ، $- C $شبه مقعر خواهد بود. \end{flushright}\\ \textbf{اثبات:}\\ فرض کنید که $\lbrace x_{\textit{0}} ,x_{\textit{1}},......x_{n} \rbrace\subseteq A $ یک زیرمجموعه متناهی باشد. در این صورت $f$ روی $A$ ، شبه مقعر انتقال قطری است هرگاه:\\ یک زیرمجموعه ی متناهی $\lbrace y_{\textit{0}} ,y_{\textit{1}},......y_{n} \rbrace \subseteq C $ وجود داشته باشد به طوریکه برای هر زیرمجموعه \\ $$\lbrace y_{k_{\textit{0}}} ,y_{k_{\textit{1}}},......y_{k_{s}} \rbrace \subseteq \lbrace y_{\textit{0}} ,y_{\textit{1}},......y_{n} \rbrace $$\\ و\\ برای هر\\ $$ y^{\ast} \in co \lbrace y_{k\textit{0}} ,y_{k\textit{1}},......y_{ks} \rbrace $$ داشته باشیم:\\ $$ min f(x_{k_{i}}, y^{\ast}) \leq f( y^{\ast}, y^{\ast}) \quad ; (\textit{0}\leq i \leq \textit{s})$$\\ اکنون تابع $ \phi_{n}:\Delta_{n} \longrightarrow C $ را به صورت زیر تعریف می کنیم:\\ $$\phi_{n} (\lambda_\textit{0}, \lambda_\textit{1},.....,\lambda _\textit{n})=\lambda_\textit{0}y_\textit{0}+\lambda_\textit{1}y_\textit{1}+......\lambda_\textit{n}y_{n}$$\\ $$\forall (\lambda_\textit{0}, \lambda_\textit{1},.....,\lambda _\textit{n}) \in\Delta _{n_\textit{0}}$$\\ واضح است که $ \phi_{n} $پیوسته است. فرض کنید که: $$\forall (\lambda_\textit{1},........ \lambda_\textit{n}) \in \Delta_{n}$$ \newline $$ J=\lbrace i\in \lbrace\textit{0},\textit{1}....,n\rbrace ; \lambda_{i}\neq \textit{0}\rbrace$$ آنگاه:\\ $$ \sum_{j \in J} \lambda _{j} y^{j} \in co \lbrace y^{j}; j \in J \rbrace $$\\ &\\ $$\phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n})=\sum_{i=\textit{0}}^{n} \lambda_{i}y^{i}}= \sum_{j \in J} \lambda _{j} y^{j}$$\\ در نتیجه:\\ $$f(\phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n}), \phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n}))=f(\sum_{j \in J} \lambda _{j} y^{j}, \sum_{j \in J} \lambda _{j} y^{j})$$\\ $$ \geq min \lbrace f(x^{j}, \sum_{j \in J} \lambda _{j} y^{j}) ;j\in J\rbrace$$\\ $$=min f \lbrace (x^{j}, \phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n})); j\in J \rbrace.$$\square\\ \end{flushright}\\ \begin{flushright} \textbf{گزاره $ \textit{16}.\textit{2}.\textit{2} $}: \newline فرض کنید $X$ یک فضای توپولوژیکی باشد.$ f:X \times X \longrightarrow R$ یک تابع باشد.اگر $f$ روی $X$ ،$-C$مقعر باشد،آنگاه $f$ ،$-C$شبه مقعر خواهد بود.\\ \textbf{اثبات:}\\ فرض کنید $\lbrace x_{\textit{0}} ,x_{\textit{1}},......x_{n} \rbrace\subseteq A $ یک زیرمجموعه متناهی از $ X $ باشد.اگر $f$ ،$-C$مقعر باشد،طبق تعریف یک تابع پیوسته $\phi _\textit{n}:\Delta_{n}\longrightarrow D $ وجود دارد،به طوری که : $$ \forall (\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n}) \in \Delta_{n}, \forall y\in Y ;f(\phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n}), y)\geq \lambda_\textit{0}f(x_\textit{0}, y)+.........\lambda_{n}f(x_\textit{n}, y)$$\\ بخصوص داریم:\\ $$f(\phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n}), \phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n}))\geq \sum_{i=\textit{0}}^{n}\lambda_{i}f( x^{i}, \phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n})); j\in J )$$\\ فرض کنید $J=\lbrace i\in \lbrace\textit{0},\textit{1}....,n\rbrace ; \lambda_{i}\neq \textit{0}\rbrace$ ،آنگاه:\\ $$f(\phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n}), \phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n}))\geq \sum_{i=\textit{0}}^{n}\lambda_{i}f (x^{i}, \phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n}))$$\\ $$=\sum_{j\in J}\lambda_{j}f( x^{j}, \phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n}))$$\\ $$ \geq min f \lbrace (x^{j}, \phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n})); j\in J \rbrace \sum_{j\in J}\lambda_{j}$$\\ $$= min f \lbrace (x^{j}, \phi_{n}(\lambda_\textit{0},........ \lambda_\textit{n})); j\in J \rbrace $$\\ و اثبات کامل است.\square\\ \end{flushright}\\ \section{\textbf{بررسی تعادل نش با استفاده از شرایط}تقعر }\\ \begin{flushright} قبل از پرداختن به قضیه ی نقطه تعادل کیم لازم است که قضیه نقطه ثابت هیملبرگ\LTRfootnote{Himmelberg} را مطرح نماییم، و پس از آن به کاربرد این قضیه در بررسی نقطه تعادل بپردازیم. \vspace*{2mm} \newline \textbf{قضیه $ \textit{1}.\textit{3}.\textit{2} $}(\textbf{نقطه ثابت هیملبرگ}): \\ \newline فرض کنید$ X $ یک زیرمجموعه ی محدب از یک فضای برداری توپولوژیکی هاسدورف موضعا محدب و $ D $یک زیرمجموعه ی ناتهی فشرده از $ X $باشد.اگر $ f:X\longrightarrow D $یک تابع پیوسته باشد، $ \overline{x} \in D $ای وجود دارد که: \newline $ f( \overline{x})= \overline{x}.$ \newline \\ نکته ی جالب توجه در قضیه نقطه تعادل کیم این است که، به بررسی تعادل نش در بازیهایی می پردازد که فضای استراتژی توام $ X:=\prod_ {i \in I} X_{i} $یک زیرمجموعه ناتهی از یک فضای برداری توپولوژیکی هاسدورف موضعا محدب است.\\ حال اجازه دهید که جمع کل توابع بازدهی، $ H:X \times X \longrightarrow R \bigcup \lbrace {\underline{+} \infty}\rbrace $، وابسته به بازی غیرمشارکتی تعمیم یافته را به صورت زیر تعریف کنیم: \newline برای هر$ y=(y_\textit{1},...y_\textit{n},...)\in X $ ، و\\ $ x=(x_\textit{1},..., x_\textit{n},...)\in X $: \newline $$ H(x, y):= \sum_{i \in I} f_{i} (y_\textit{1},..., y_\textit{i-\textit{1}}, x_\textit{i}, y_\textit{i+\textit{1}},..., y_\textit{n},...)$$ \newline \begin{flushright} \textbf{لم $ \textit{2}.\textit{3}.\textit{2} $}: \newline فرض کنید که $ \Gamma $یک بازی تعمیم یافته ی غیر مشارکتی باشد که $ I $ مجموعه ای شمارا از بازیکنان است.اگر نقطه ی $ \overline{x} \in D $وجود داشته باشد،آنگاه $ \overline{x} $ یک تعادل نش برای بازی $ \Gamma $خواهد بود اگر و تنها اگر برای هر $ x \in X $ ای داشته باشیم: \newline $$ H(\overline{x}, \overline{x}) \geq H(x, \overline{x}) $$ \newline {\textbf{اثبات:}} \newline در ابتدا فرض کنیم برای هر $ x \in X $ ای داشته باشیم: \newline $$ H(\overline{x}, \overline{x}) \geq H(x, \overline{x}) .$$ \newline فرض کنید $ i \in I $ دلخواه باشد، $ x_{i} \in X_{i} $ را در نیز در نظر بگیرید. قرار دهید: \newline $$ x:=(\overline{x}_\textit{1},..., \overline{x}_ {i - \textit{1}}, x_{i}, \overline{x}_ {i+ \textit{1}},..., \overline{x}_{n},...)$$ \newline در این صورت داریم: \newline $$H(x, \overline{x})=\sum_{j \in I \setminus i} f_{j}(\overline{x}_\textit{1},.....,\overline{x}_ {i - \textit{1}},\overline{x}_{i}, \overline{x}_ {i+ \textit{1}},...\overline{x}_{n},...)+f_{i}(\overline{x}_\textit{1},...,\overline{x}_ {i - \textit{1}}, x_{i}, \overline{x}_ {i+ \textit{1}},...\overline{x}_{n},...) \leq H(\overline{x}, \overline{x}) $$ \\ $$=\sum_{j \in I \setminus i} f_{j}(\overline{x}_\textit{1},...,\overline{x}_ {i - \textit{1}},\overline{x}_{i}, \overline{x}_{i+ \textit{1}},..., \overline{x}_{n},...)+f_{i}(\overline{x}_\textit{1},...,\overline{x}_ {i - \textit{1}},\overline{x}_{i},\overline{x}_{i}, \overline{x}_ {i+ \textit{1}},..., \overline{x}_{n},...)$$\\ در این صورت برای هر $ i \in I $ و هر $ x_{i} \in X_{i} $داریم : \newline $$f_{i}(\overline{x}_\textit{1},...,\overline{x}_ {i - \textit{1}}, x_{i}, \overline{x}_ {i+ \textit{1}},..., \overline{x}_{n},...) \leq f_{i}(\overline{x}_\textit{1},...,\overline{x}_ {i - \textit{1}},\overline{x}_{i},\overline{x}_{i}, \overline{x}_ {i+ \textit{1}},..., \overline{x}_{n},...)$$\\ یا به عبارت دیگر برای هر $ i \in I $ و هر $ x_{i} \in X_{i} $خواهیم داشت: \newline $$f_{i}(\overline{x}_{i}, \overline{x}_{\hat{i}}) \geq f_{i}(x_{i}, \overline{x}_{\hat{i}}) $$ \newline بنابراین$ \overline{x} $ یک تعادل نش برای بازی $ \Gamma $خواهد بود. \newline حال فرض کنیم $ \overline{x} $ یک تعادل نش برای بازی $ \Gamma $ باشد، می خواهیم ثابت کنیم: \newline $$ H(\overline{x}, \overline{x}) \geq H(x, \overline{x}) $$ \newline اگر $ x=(x_\textit{1},..., x_\textit{n},...)\in X $ دلخواه باشد، از آنجایی که $ \overline{x} $ یک تعادل نش برای بازی $ \Gamma $ است، برای هر$ i \in I $ خواهیم داشت: \newline $$f_{i}(\overline{x}_\textit{1},...,\overline{x}_ {i - \textit{1}}, x_{i}, \overline{x}_ {i+ \textit{1}},..., \overline{x}_{n},...) \leq f_{i}(\overline{x}_\textit{1},...,\overline{x}_ {i - \textit{1}},\overline{x}_{i},\overline{x}_{i}, \overline{x}_ {i+ \textit{1}},..., \overline{x}_{n},...)$$ \newline در این صورت داریم: \newline $$\sum_{i \in I}f_{i}(\overline{x}_\textit{1},...,\overline{x}_ {i - \textit{1}}, x_{i}, \overline{x}_ {i+ \textit{1}},..., \overline{x}_{n},...) \leq \sum_{i \in I} f_{i}(\overline{x}_\textit{1},...,\overline{x}_ {i - \textit{1}},\overline{x}_{i},\overline{x}_{i}, \overline{x}_ {i+ \textit{1}},..., \overline{x}_{n},...)$$ \newline پس داریم: \newline $$ H(\overline{x}, \overline{x}) \geq H(x, \overline{x}) .$$ \newline \newline \begin{flushright} \textbf{گزاره$ \textit{3}.\textit{3}.\textit{2} $}: \newline اگر $ X $فضای توپولوژیکی پیرافشرده باشد، آنگاه به ازای هر پوشش باز اندیسدار فضای پیرافشرده ی $ X $، مانند$ \lbrace U_{\alpha} \rbrace $ ، یک افراز واحد مغلوب به وسیله ی $ \lbrace U_{\alpha} \rbrace $وجود دارد. \newline اکنون به بیان قضیه اصلی کیم می پردازیم: \vspace*{2mm} \newline \textbf{قضیه $ \textit{4}.\textit{3}.\textit{2} $}: \newline فرض کنید $ I $یک مجموعه اندیس گذار شمارش پذیر باشد، همچنین فرض کنید$ \Gamma $ یک بازی غیرمشارکتی تعمیم یافته باشد که در شرایط زیر صدق می کند: \newline \textbf{الف)}فضای استراتژی $ X:=\prod_ {i \in I} X_{i} $ یک زیرمجموعه ی محدب و پیرافشرده از یک فضای برداری توپولوژیکی هاسدورف موضعا محدب و $ D $یک زیرمجموعه ی فشرده و ناتهی از$ X $ باشد. \newline \textbf{ب)}تابع $ (x, y) \longrightarrow H(x, y) $یک تابع پیوسته روی $ X\times X $باشد. \newline \textbf{ج)}تابع $ x \longrightarrow H(x, y) $روی$ D $ ، $ -C $ مقعر باشد. \vspace*{2mm} \newline \textbf{د)}برای هر $ x \in D $، داشته باشیم: \newline $$(\forall y \in X\setminus D) H(x, x) \geq H(y, x)$$ \newline آنگاه $ \Gamma $دارای یک تعادل نش در $ D $است. یعنی $ \overline{x}\in D $موجود است به طوری که برای هر$ i\in I $ داریم: \newline $$ ( \forall x _{i} \in X_{i}) ; f_{i}(\overline{x}_{i}, \overline{x}_{\hat{i}}) \geq f_{i}(x_{i}, \overline{x}_{\hat{i}}) $$ \newline \textbf{اثبات: } \newline به برهان خلف فرض می کنیم $ \Gamma $ دارای هیچ نقطه ی تعادلی نباشد. در این صورت برای هر $ x\in X $، $ y \in X $ای وجوددارد به طوری که: \newline $$H(x, x) < H(y, x)$$ \newline برای $ z \in X $دلخواه ،قرار می دهیم: \newline $$ U(z):=\lbrace x \in X; H(x, x) \leq H(z, x) \rbrace$$ \newline ثابت می کنیم: \newline $\textbf{\textit{1} } $ . $$X=\bigcup_{z \in X}U(z)$$ \newline زیرا: \newline طبق تعریف $ U(z) $، بدیهی است که همواره $ \bigcup_{z\in X} U(z) \subseteq X $. فرض کنید $ x \in X $دلخواه باشد، بنابر فرض خلف ، $ z \in X $ای وجود دارد به طوری که : \newline $$H(x, x) < H(z, x)$$ \newline در این صورت داریم: $ x \in U(z) $ \newline و این یعنی : \newline $$X \subseteq \bigcup_{z\in X} U(z)$$ \newline لذا قسمت( $\textit{1} $)ثابت گردید. \vspace*{1mm} \newline طبق فرض قضیه تابع $ H:X \times X \longrightarrow R \bigcup \lbrace {\underline{+} \infty}\rbrace $ با ضابطه ی : \newline برای هر$ y=(y_\textit{1},...y_\textit{n},...)\in X $ ، و\\ $ x=(x_\textit{1},..., x_\textit{n},...)\in X $: \newline $$ H(x, y):= \sum_{i \in I} f_{i} (y_\textit{1},..., y_\textit{i-\textit{1}}, x_\textit{i}, y_\textit{i+\textit{1}},..., y_\textit{n},...)$$ \newline یک تابع پیوسته است.می خواهیم از این پیوستگی نتیجه بگیریم: \vspace*{2mm} \newline $\textbf{\textit{2} } $ . برای هر $ z \in X $، $ U(z) $ یک مجموعه باز است \newline برای اینکه ثابت کنیم $ U(z) $یک مجموعه ی باز است، در واقع باید نشان دهیم: \newline $$\exists x_\textsc{0} \in V \subseteq U(z)$$ \newline طبق تعریف $ U(z) $، اگر $ x_\textsc{0} \in U(z) $ آنگاه داریم: \newline $$H(x_\textsc{0}, x_\textsc{0}) < H(z, x_\textsc{0}) $$ \newline $$ \Longrightarrow H(z, x_\textsc{0}) - H(x_\textsc{0}, x_\textsc{0}) > \textit{0}$$ \newline $$g:= H(z, x_\textsc{0}) - H(x_\textsc{0}, x_\textsc{0})$$ \newline $$ \Longrightarrow g > \textit{0} $$ \newline با توجه به اینکه $ H $تابعی پیوسته بود، لذا چون $ g $تفاضل دو تابع پیوسته است ، پس پیوسته است.از طرفی با توجه به پیوسته بودن $ g $و اینکه نقش وارون تابع پیوسته ، پیوسته است، داریم: \newline $$g^{-\textit{1}} (\textit{0}, \epsilon)=V$$ \newline پس $ V $ نیز باز است .در واقع همسایگی مورد نظر را یافتیم.یعنی اگر : \newline $$x_{\textit{0}} \in V \Longrightarrow \textit{0} < g(x_{\textit{0}}) < \epsilon$$ \newline $$\Longrightarrow H(z, x_{\textit{0}} )-H(x_{\textit{0}}, x_{\textit{0}}) > \textit{0}$$ \newline بدون ار دست دادن کلیت فرض می کنیم،$ X \setminus D $ یک مجموه ناتهی است.حال ثابت می کنیم: \vspace*{2mm} \newline $\textbf{\textit{3} } $ .برای هر $ z \in X \setminus D $، $ U(z) \subseteq X \setminus D $ \newline اگر $ x \in X $ و $ x \in U(z) $ داریم: \newline $$H(x, x) < H(z, x)$$ \newline و با توجه به قسمت ( د) قضیه داریم: \newline $$ x \in X \setminus D$$ \newline در نتیجه $ U(z) \subseteq X \setminus D $ . \newline و لذا قسمت ( $\textbf{\textit{3} } $) نیز اثبات می گردد. \newline از انجایی که $ X= \bigcup_{z \in D}U(z) \cup \bigcup_{z \in X \setminus D}U(z) $، داریم: \newline $$D=D \cap ( \bigcup_{z \in D}U(z) \cup \bigcup_{z \in X \setminus D}U(z) )=(D \cap \bigcup_{z \in D}U(z) ) \cup (D \cap \bigcup_{z \in X \setminus D}U(z) )$$ \newline و چون: \newline $$ \bigcup_{z \in X \setminus D}U(z) \subseteq X \setminus D$$ \newline پس داریم: \newline $$D=D \cap (\bigcup_{z \in D}U(z))$$ \newline یعنی: \newline $$D \subseteq (\bigcup_{z \in D}U(z))$$ \newline از آنجایی که $ D $ یک زیرمجموعه ی فشرده و ناتهی از $ X $است و $ \lbrace U(z) \vert z \in D\rbrace $ یک پوشش باز برای $ D $است، پس یک زیر پوشش باز متناهی مانند $ \lbrace U(z_{i}) \vert \textit{1} \leq i \leq \textit{n} \rbrace $برای $ D $وجود دارد. یعنی: \newlin $$D \subseteq \bigcup_{i=\textit{1}}^{n}U(z_{i})$$ \newline اگر $ X \nsubseteq \bigcup_{i=\textit{1}}^{n}U(z_{i}) $، در این صورت می توان$ z_{n+\textit{1}} \in X\setminus D $ را یافت که برای هر$ \textit{1} \leq i \leq n $ ، $ z_{n+\textit{1}} \notin U(z_{i}) $. \newline اکنون ثابت می کنیم:\\ \vspace*{2mm} \newline $\textbf{\textit{4} } $ .$$X \setminus D=U(z_{n+\textit{1}})$$ \newline فرض کنیم $ x \in U(z_{n+\textit{1}}) $، در این صورت طبق تعریف داریم: $$H(x, x) < H(z_{n+\textit{1}}, x)$$. \newline با توجه به فرض قضیه، $ x \notin D $. پس داریم: \newline $$U(z_{n+\textit{1}}) \subseteq X\setminusD$$ \newline (سمت دیگر را گیج شدم) اکنون قسمت ($\textbf{\textit{4} } $) را نیز ثابت کردیم. \vspace*{2mm} \newline در این صورت $ \lbrace U(z_{\textit{1}}),..., U(z_{n+\textit{1}})\rbrace $یک پوشش باز متناهی برای $ X $است. \newline طبق فرض قضیه$ X $ پیرافشرده است.اکنون با توجه به گزاره$ \textit{3}.\textit{3}.\textit{2} $ که قبل از قضیه مطرح شد می توان نتیجه گرفت: \newline توابع پیوسته ی $ \alpha_{i}:X \longrightarrow [\textit{0}, \textit{1}] $وجود دارند، به طوری که برای هر $ x \in X $، $ \sum_{i=\textit{1}}^{n+\textit{1}}\alpha_{i}(x)=\textit{1} $و اگر $ x \notin U_{j} $نباشد، $ \alpha_{j}(x)=\textit{1} $. \newline در فرض قضیه داشتیم، $ H $روی $ D $،$ -C $ مقعر است، در این صورت برای$\lbrace z_{\textit{1}},..., z_{n+\textit{1}}\rbrace \subseteq X $ ، تابع پیوسته ی $ \phi _{n+\textit{1}}: \Delta_{n+\textit{1}} \longrightarrow D $ وجود دارد به طوری که برای هر$ x\in X $ و هر $ (\lambda_{\textit{1}},..., \lambda_{n+\textit{1}}) \in \Delta_{n+\textit{1}} $داریم: \newline $$H( \phi _{n+\textit{1}}(\lambda_{\textit{1}},..., \lambda_{n+\textit{1}}), x) \geq \lambda_{\textit{1}}H(z_{{\textit{1}}}, x)+\lambda_{\textit{2}}H(z_{{\textit{2}}}, x)+...\lambda_{n+\textit{1}}H( z_{n+\textit{1}}, x)$$ \vspace*{2mm} \newline اکنون تابع $ \psi:X \longrightarrow D $را به این صورت تعریف می کنیم: \newline برای هر $ z \in X $، \newline $$\psi(z):=\phi_{n+\textit{1}}(\alpha_{\textit{1}}(z),...,\alpha _{n+\textit{1}}(z))$$ \vspace*{1mm} ار آنجایی که توابع $ \phi_{n+\textit{1}} $ و$ \alpha_{i} $ پیوسته اند، لذا $ \psi $یک تابع پیوسته می باشد. \newline توجه داریم که$ \psi $ یک تابع پیوسته از زیر مجموعه ی محدب ناتهی$ X $ از یک فضای برداری توپولوژیکی هاسدورف موضعاً محدب به زیر مجموعه ی فشرده ی ناتهی $ D $ از $ X $ است،پس طبق قضیه نقطه ثابت هیملبرگ ، $ \overline{x} \in D $ای وجود دارد به طوری که $ \psi(\overline{x})=\overline{x} $. \newline دراین صورت $ \lbrace \alpha_{\textit{1}}(\overline{x}),..., \alpha_{n+\textit{1}}(\overline{x}) \rbrace \subseteq \Delta_{n+\textit{1}} $و طبق فرض ،چون $ H $روی $ D $،$ -C $ مقعر است، داریم: \newline $$H(\phi_{n+\textit{1}}(\alpha_{\textit{1}}(\overline{x}),..., \alpha_{n+\textit{1}}(\overline{x})), \overline{x}) \geq \alpha_{\textit{1}}(\overline{x})H(z_{\textit{1}}, \overline{x})+...+\alpha_{n+\textit{1}}(\overline{x})H(z_{n+\textit{1}}, \overline{x})$$ \newline از آنجایی که$ \overline{x} \in D $ ، پس $ \overline{x} \notin X \setminus D $ .در نتیجه : \newline $$\overline{x} \notin X \setminus D=U(z_{n+\textit{1}})$$ \newline بنابراین: \newline $$\alpha_{n+\textit{1}}(\overline{x}) =\textit{0} $$ \newline همچنین از آنجایی که برای هر $ x \in X $، $ \sum_{i=\textit{1}}^{n+\textit{1}}\alpha_{i}(x)=\textit{1} $، لذا برای حداقل یک $ \textit{1} \leq j \leq n$ : \newline $$\alpha_{j}(x) > \textit{0}$$ \newline و چون $ U(z_{j}) $شامل محمل $ \alpha_{j} $می باشد، پس شامل $ \overline{x} $است. در نتیجه: \newline $$H(\overline{x}, \overline{x}) < H(z_{j}, \overline{x}) $$ \newline و اگر برای $ \textit{1} \leq k \leq n $، $ \overline{x} \notin U(z_{k}) $، $ \alpha_{k}(\overline{x})=\textit{0} $ .بنابراین داریم: \newline $$ \alpha_{\textit{1}}(\overline{x})H(z_{\textit{1}}, \overline{x})+...+\alpha_{n+\textit{1}}(\overline{x})H(z_{n+\textit{1}}, \overline{x}) > \alpha_{\textit{1}}(\overline{x})H(\overline{x}, \overline{x})+...+\alpha_{n+\textit{1}}(\overline{x})H(\overline{x}, \overline{x})$$ \newline $$=H(\overline{x}, \overline{x})(\sum_{i=\textit{1}}^{n}\alpha_{i}(\overline{x}))=H(\overline{x}, \overline{x})$$ \newline اکنون به تناقض رسیدیم.لذا فرض خلف باطل و حکم ثابت است. \square \newline \textbf{گزاره$ \textit{5}.\textit{3}.\textit{2} $}: \newline هر فضای هاسدورف فشرده،فضایی پیرافشرده است. \newline زمانی که فضای استراتژی$ X=D $ در قضیه قبل فشرده باشد،شرط چهارم قضیه قبل به خودی خود برقرار بوده و قضیه زیر حاصل می شود: \vspace*{2mm} \newline \textbf{قضیه$ \textit{6}.\textit{3}.\textit{2} $}: \newline فرض کنید $ I $یک مجموعه اندیس گذار شمارش پذیر باشد، همچنین فرض کنید $ \Gamma $یک بازی غیرمشارکتی تعمیم یافته باشد که در شرایط زیر صدق می کند: \vspace*{2mm} \newline \textbf{الف)}فضای استراتژی $ X=\prod_{i \in I}X_{i} $یک زیر مجموعه ی ناتهی محدب و فشرده از یک فضای برداری توپولوژیکی هاسدورف موضعاً محدب باشد. \vspace*{2mm} \newline \textbf{ب)}تابع $ (x, y) \longrightarrow H(x, y) $روی $ X \times X $یک تابع پیوسته باشد. \vspace*{1mm} \textbf{ج)}تابع $ x \longrightarrow H(x, y) $روی X $ $،$ -C$ مقعر باشد. \vspace*{2mm} آنگاه $ \Gamma $دارای حداقل یک نقطه ی تعادل می باشد. \vspace*{1mm} \newline \textbf{ اثبات:} \newline تمام شرایط مفروض در قضیه قبل بجز شرط چهارم برقرار است.برای شرط چهارم چون: \newline $$X=D \Longrightarrow X \setminus D=\emptyset$$ \newline و لذا شرط چهارم نیز برقرار و قضیه ثابت می شود. \square\\ \vspace*{3mm} \newline \textbf{قضیه$ \textit{7}.\textit{3}.\textit{2} $}\textbf{(نقطه ثابت کاکوتانی)}: \newline اگر: \newline \textbf{الف}) $ X $یک فضای حاصلضرب داخلی متناهی بعد باشد. \newline \textbf{ب}) $ \Gamma \in P(X)^{x} $محدب مقدار و داری گراف بسته باشد به طوری که: \newline $ \textit{1}$. $ {X}^\prime=\Gamma^{-\textit{1}}(P(X) \setminus \lbrace \emptyset \rbrace) $غیر تهی، فشرده و محدب باشد. \newline $\textit{2}$. $$ \forall x \in {X}^\prime, \Gamma(x) \subset {X}^\prime$$ \newline آنگاه : \newline $$ \exists x \in X ; \Gamma(x)=x.$$ \newline اکنون می خواهیم به قضیه ی مشهور جان نش بپردازیم(در اثبات این قضیه، از قضیه ی نقطه ثابت کاکوتانی استفاده می کنیم و $ {X}^\prime$را همان $ X $در نظر می گیریم). \vspace*{2mm} \newline \textbf{قضیه$ \textit{8}.\textit{3}.\textit{2} $}\textbf{(قضیه تعادل نش)}: \newline اگر برای هر$ i=\textit{1},..., m $ ، فضای استراتژی$ X_{i} $ یک فضای حاصلضرب داخلی متناهی بعد باشد و $ S_{i} \subset X_{i} $غیرتهی، فشرده و محدب باشد.همچنین تابع $ f_{i}:\prod_{i=\textit{1}}^{m}X_{i} \longrightarrow R $روی$X_{i} $ یک تابع پیوسته و شبه مقعر باشد و $f _{i}^{-\textit{1}}(R)=\prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i} $.انگاه برای $i=\textit{1},..., m $ نقطه ی $ x_{i} \in S_{i} $وجود دارد به طوری که برای هر $ i=\textit{1},...,m $ داریم: \newline $$x_{i} \in \arg \max_{y_{i} \in S_{i}} f_{i} (y_{i}, x_{-i})$$ \newline \textbf{ اثبات: } \newline فرض کنیم برای $ i=\textit{1},..., m $ ، $ X_{i} $ فضای حاصلضرب داخلی متناهی بعد باشد و $ S_{i} \subset X_{i} $غیرتهی، فشرده و محدب باشد.همچنین $ f_{i}:\prod_{i=\textit{1}}^{m}X_{i} \longrightarrow S_{i} $ تابعی پیوسته و شبه مقعر روی$ X_{i} $ باشد و $f_{i}^{-\textit{1}}(R)=\prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i} $. فرض کنید که: \newline $$\Gamma \in P(\prod_{i=\textit{1}}^{m}X_{i})^{\prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i}}$$ \newline به طوریکه: \newline $$\Gamma^{-\textit{1}}(P(\prod_{i=\textit{1}}^{m}X_{i}) \setminus \lbrace \textit{0} \rbrace)=\prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i}$$ \newline وهمچنین برای $ x \in \prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i} $داشته باشیم: \newline $$\Gamma(x)=\prod_{i=\textit{1}}^{m} \arg \max_{y_{i} \in S_{i}} f_{i} (y_{i}, x_{-i})$$ \newline داریم: \newline ($\textit{1}$). $\prod_{i=\textit{1}}^{m}X_{i}$ یک فضای حاصلضرب داخلی متناهی بعد است.زیرا تک تک $ X_{i} $ ها فضای حاصلضرب داخلی متناهی بعد هستند. \vspace*{1mm} \newline ($\textit{2}$).$\Gamma$ محدب مقدار است.زیرا: \newline فرض کنید که $ x \in \prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i} $ و $ {x}^\prime , {x}^\prime ^\prime \in \Gamma(x) $.از آنجایی که $ {x}^\prime , {x}^\prime ^\prime \in \Gamma(x) $ آنگاه برای $ i=\textit{1},..., m $ داریم: \newline $${x}^\prime_{i} ,{x}^\prime^\prime_{i} \in \arg \max_{y_{i} \in S_{i}} f_{i} (y_{i}, x_{-i}).$$ \newline فرض کنید که $ i=\textit{1},..., m $ .از آنجایی که ${x}^\prime_{i} ,{x}^\prime^\prime_{i} \in \arg \max_{x_{i} \in S_{i}} f_{i} (x_{i}, x_{-i})$، \newline $$ \Longrightarrow {x}^\prime_{i} ,{x}^\prime^\prime_{i} \in S_{i}$$ \newline $$, f_{i} ({x}^\prime_{i}, x_{{-i}})= f_{i}({x}^\prime^\prime_{i}, x_{{-i}}). $$ \newline زیرا: \newline $$ if \quad {x}^\prime_{i}\in \arg \max_{x_{i} \in S_{i}} f_{i} (x_{i}, x_{-i})$$ \newline $$\Longrightarrow f_{i} ({x}^\prime_{i}, x_{{-i}}) \geq f_{i} (y_{i}, x_{{-i}})$$ \newline یعنی $ f_{i} ({x}^\prime_{i}, x_{{-i}}) $ از هر عنصری از جمله $ {x}^\prime^\prime_{i} $بیشتر است.پس: \newline $$ \bigstar f_{i} ({x}^\prime_{i}, x_{{-i}}) \geq f_{i} ({x}^\prime^\prime_{i}, x_{{-i}})$$ \newline از طرفی $ {{x}^\prime^\prime}_{i} \in \arg \max_{x_{i} \in S_{i}} f_{i} (x_{i}, x_{-i})$پس داریم: \newline $$ f_{i} ({x}^\prime^\prime_{i}, x_{{-i}}) \geq f_{i} (y_{i}, x_{{-i}})$$ \newline یعنی $ f_{i} ({x}^\prime^\prime_{i}, x_{{-i}}) $ از هر عنصری از جمله $ {x}^\prime_{i} $بیشتر است: \newline $$ \bigstar \bigstar f_{i} ({x}^\prime^\prime_{i}, x_{{-i}}) \geq f_{i} ({x}^\prime_{i}, x_{{-i}})$$ \newline پس در نتیجه از $ \bigstar $ و $ \bigstar \bigstar $ داریم: \newline $$ f_{i} ({x}^\prime_{i}, x_{{-i}})= f_{i}({x}^\prime^\prime_{i}, x_{{-i}}). $$ \newline فرض کنید که$ \alpha \in [\textit{0}, \textit{1}] $ .از آنجایی که $ S_{i} $ها محدب هستندو${x}^\prime_{i}, {x}^\prime^\prime_{i}\in S_{i} $ ، پس داریم: \newline $$\alpha {x}^\prime_{i}+(\textit{1}-\alpha) {x}^\prime^\prime_{i} \in S_{i} $$ \newline از طرفی چون $ \alpha {x}^\prime_{i}+(\textit{1}-\alpha) {x}^\prime^\prime_{i} \in S_{i} $و $ {{x}^\prime^\prime}_{i} \in \arg \max_{x_{i} \in S_{i}} f_{i} (x_{i}, x_{-i}) $پس داریم: \newline $$ \Longrightarrow f_{i} ({x}^\prime_{i}, x_{{-i}}) \geq f_{i}(\alpha {x}^\prime_{i}+(\textit{1}-\alpha) {x}^\prime^\prime_{i}, x_{{-i}})$$ \newline و از آنجایی که $ f_{i} $، روی $ X_{i} $شبه مقعر است،پس برای همه ی $ \alpha \in [\textit{0}, \textit{1}] $داریم: \newline $$ f_{i}(\alpha {x}^\prime_{i}+(\textit{1}-\alpha) {x}^\prime^\prime_{i}, x_{{-i}}) \geq \min \lbrace f_{i} ({x}^\prime_{i}, x_{{-i}}), f_{i}({x}^\prime^\prime_{i}, x_{{-i}}) \rbrace$$ \newline $$= f_{i} ({x}^\prime_{i}, x_{{-i}})$$ \newline $$= f_{i}({x}^\prime^\prime_{i}, x_{{-i}})$$ \newline از طرفی داریم: \newline $$ f_{i}(\alpha {x}^\prime_{i}+(\textit{1}-\alpha) {x}^\prime^\prime_{i}, x_{{-i}}) \leq f_{i} ({x}^\prime_{i}, x_{{-i}})$$ \newline $$& f_{i}(\alpha {x}^\prime_{i}+(\textit{1}-\alpha) {x}^\prime^\prime_{i}, x_{{-i}}) \geq f_{i} ({x}^\prime_{i}, x_{{-i}})$$ \newline $$\Longrightarrow f_{i}(\alpha {x}^\prime_{i}+(\textit{1}-\alpha) {x}^\prime^\prime_{i}, x_{{-i}})= f_{i} ({x}^\prime_{i}, x_{{-i}})$$ \newline از این برابری نتیجه می گیریم که : \newline $$\alpha {x}^\prime_{i}+(\textit{1}-\alpha) {x}^\prime^\prime_{i} \in \arg \max_{y_{i} \in S_{i}}f_{i}(y_{i}, x_{-i})$$ \newline پس برای همه ی $ i=\textit{1},..., m $، : \newline $$ \alpha {x}^\prime_{i}+(\textit{1}-\alpha) {x}^\prime^\prime_{i} \in \arg \max_{y_{i} \in S_{i}}f_{i}(y_{i}, x_{-i})$$ \newline $$\Longrightarrow \alpha {x}^\prime+(\textit{1}-\alpha) {x}^\prime^\prime \in \Gamma(x)$$ \newline ($\textit{3}$).$ \Gamma$ دارای گراف بسته است: \newline زیرا، برای اثبات بسته بودن گراف کافی است ثابت کنیم $CL Gr\Gamma=Gr\Gamma $.بدیهی است که$Gr\Gamma \subseteq CL Gr\Gamma $ .لذا کافی است فقط ثابت کنیم$CL Gr\Gamma \subseteq Gr\Gamma $. \newline فرض کنیم که$ (x, \tilde{x})\in CL Gr\Gamma $ .پس طبق تعریف بستار، $ \lbrace (x_{n},\tilde{x} _{n})\rbrace_{n \in N} $ وجود دارد به طوری که: \newline $$\forall n\in N ; (x_{n},\tilde{x} _{n}) \in Gr\Gamma$$ \newline و \newline $$\lim_{n \rightarrow \infty}( (x_{n},\tilde{x} _{n}))=(x, \tilde{x})$$ \newline از آنجاییکه $ (x_{n},\tilde{x} _{n}) \in Gr_\Gamma $،: \newline $$ \tilde{x}_{n} \in \Gamma(x_{n}) ; i=\textit{1},..., m$$ \newline $$\tilde{x}_{n_{i} } \in \arg \max_{y_{i} \in S_{i}}f_{i}(y_{i}, {x}_{n_{-i}})$$ \newline $$=\Gamma_{i}({x}_{n_{-i}})$$ \newline $$i.e.$$ \newline $$({x}_{n_{-i}}, \tilde{x}_{n_{i} }) \in Gr_{\Gamma_{i}}$$ \newline گراف ${\Gamma_{i}} $با استفاده ازاین قضیه که هر تابع پیوسته روی مجموعه فشرده در یک نقطه به $ \max $ می رسد، دارای گراف بسته است. و داریم: \newline $$(x, \tilde{x})=\lim_{n \rightarrow \infty}(x_{n},\tilde{x}_{n} ) $$ \newline $$\Longrightarrow \forall \epsilon> \textit{0} ; \exists n^{\ast}\in N ; \forall n> n^{\ast};$$ \newline $$\sum_{i=\textit{1}}^{m}\|x_{n_{i}} - x_{i} \|_{X_{i}}+\sum_{i=\textit{1}}^{m}\|\tilde{x}_{n_{i}}-\tilde{x}_{i}\|_{X_{i}}=$$ \newline $$\|x_{n}-x\|_{\prod_{i=\textit{1}}^{m}X_{i}}+\|\tilde{x}_{n}-\tilde{x}\|_{\prod_{i=\textit{1}}^{m}X_{i}}=$$ \newline $$\|(x_{n}, \tilde{x}_{n}) - (x, \tilde{x}) \|_{(\prod_{i=\textit{1}}^{m}{X_{i}})\times (\prod_{i=\textit{1}}^{m}X_{i})}$$ \newline $$< \frac{\epsilon}{m}$$ \newline و از اینجا برای $ i=\textit{1},..., m $ داریم: \newline $$\|x_{n_{i}}-x_{i} \|_{X_{i}} < \frac{\epsilon}{m}$$ \newline $$\|\tilde{x}_{n_{i}}-\tilde{x_{i}}\|_{X_{i}}< \frac{\epsilon}{m}$$ \newline و در نتیجه برای $ i=\textit{1},..., m $و همه ی $ n > n^{\ast} $داریم: \newline $$\|(\tilde{x}_{n_{i}}, x_{n_{-i}}) - (\tilde{x}_{i}, x_{-i})\|_{\prod_{i=\textit{1}}^{m}{X_{i}}}}=$$ \newline $$\|\tilde{x}_{n_{i}}, \tilde{x}_{i}\|_{X_{i}}+\sum_{j\neq i}\|x_{n_{j}}- x_{j}\|_{X_{j}}$$ \newline $$ < m\frac{\epsilon}{m}$$ \newline $$=\epsilon,$$ \newline و در نتیجه داریم: \newline $$(x_{-i}, \tilde{x}_{i})\in CL Gr{\Gamma_{i}}$$ \newline $$=Gr{\Gamma_{i}},$$ \newline یعنی: \newline $$ \tilde{x}_{i} \in \Gamma_{i}(x_{-i})$$ \newline $$=\arg \max_{y_{i} \in S_{i}}f_{i}(y_{i}, x_{-i}),$$ این مطلب نشان می دهد : \newline $$(x, \tilde{x})\in Gr{\Gamma}.$$ \newline بنابراین $Gr_{\Gamma} $ بسته است. \vspace*{2mm} \newline ($\textit{4}$).$ \prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i} $غیر تهی، فشرده و محدب است. \vspace*{2mm} \newline غیر تهی است.زیرا: \newline برای $ i=\textit{1},..., m $، $ S_{i} $غیرتهی است.پس در نتیجه $ \prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i} $نیز غیرتهی است. \vspace*{2mm} \newline فشرده است.زیرا بنا بر قضیه ی تیخونوف، حاصل ضرب فضاهای فشرده، فشرده است.( $ S_{i} $ها فشرده اند، لذا حاصل ضرب آنها نیز فشرده است.) \vspace*{2mm} \newline $ \prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i} $محدب است.زیرا: \newline $$ if \quad {x}^\prime , {x}^\prime^\prime \in \prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i}$$ \newline $$\Longrightarrow \forall i=\textit{1},..., m ; {x}^\prime_{i}, {x}^\prime^\prime_{i} \in S_{i}$$ \newline $$\Longrightarrow \forall i=\textit{1},..., m ; {x}^\prime_{i}, {x}^\prime^\prime_{i} \in S_{i}$$ \newline $$&$$ \newline محدب است. \newline \newline $$\Longrightarrow \forall \alpha \in [\textit{0}, \textit{1}] & \forall i=\textit{1},..., m$$ \newline $$\alpha {x}^\prime_{i}+(\textit{1}-\alpha) {x}^\prime^\prime_{i} \in S_{i}$$ \newline $$\Longrightarrow \forall \alpha \in [\textit{0}, \textit{1}] & \forall i=\textit{1},..., m$$ $$\forall \alpha \in [\textit{0}, \textit{1}] & \forall i=\textit{1},..., m$$ \newline داریم: \newline $$\alpha {x}^\prime_{i}+(\textit{1}-\alpha) {x}^\prime^\prime_{i} \in S_{i}$$ \newline $$\alpha {x}^\prime_{i}+(\textit{1}-\alpha) {x}^\prime^\prime_{i} \in \prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i} $$ \newline چون برای هر دو عضو متعلق به $ \prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i} $: \newline $$ \alpha {x}^\prime_{i}+(\textit{1}-\alpha) {x}^\prime^\prime_{i} \in \prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i} $$ \newline پس $ \prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i} $محدب است. \vspace*{2mm} \newline ($\textit{5}$).ثابت می کنیم: \newline $$\forall x \in \prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i} ; \quad\Gamma(x) \subset \prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i} :$$ \newline فرض کنیم$ x \in \prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i} $ . : \newline $$\Gamma(x)=\prod_{i=\textit{1}}^{m}\arg \max_{y_{i} \in S_{i}}f_{i}(y_{i}, x_{-i}),$$ \newline $$\forall i=\textit{1},..., m$$ \newline چون $ y_{i} \in S_{i} $، پس: \newline $$\arg \max_{y_{i} \in S_{i}}f_{i}(y_{i}, x_{-i}) \subset S_{i}$$ \newline $$\Longrightarrow \forallx \in \prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i}$$ \newline داریم: \newline $$\Gamma(x) \subset \prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i}.$$ \newline اکنون چون شرایط قضیه ی نقطه ثابت کاکوتانی برقرار است ، از قضیه ی نقطه ثابت کاکوتانی استفاده می کنیم: \newline $\prod_{i=\textit{1}}^{m}X_{i} $یک فضای حاصل ضرب داخلی متناهی بعد است. $ \Gamma $دارای گراف بسته و محدب مقدار است و $ \prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i} $غیرتهی، فشرده و محدب است، و برای $ \forall x \in \times_{i=\textit{1}}^{m}S_{i} $ داریم: \newline $$\Gamma(x) \subset \prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i}.$$ \newline پس طبق قضیه ی نقطه ثابت کاکوتانی $ x \in \prod_{i=\textit{1}}^{m}S_{i} $ وجود دارد به طوری که: \newline $$x \in \Gamma(x).$$ \newline یا \newline $$x \in \prod_{i=\textit{1}}^{m}\arg \max_{y_{i} \in S_{i}}f_{i}(y_{i}, x_{-i})$$ \newline که معادل با این است که بگوییم: \newline $$\forall i=\textit{1},..., m$$ \newline $$x_{i} \in \arg \max_{y_{i} \in S_{i}}f_{i}(y_{i}, x_{-i})$$ \newline \section{\textbf{بازی محدب}} \textbf{تعریف} \textbf{$ \textit{1}.\textit{4}.\textit{2} $}: یک بازی $ -n $نفره غیر مشارکتی را یک بازی محدب می نامیم، هرگاه: \newline ( $\textit{1}$).فضای استراتژی$ X_{i} $ بازیکن $ i $ ام، یک مجموعه ی محدب فشرده از فضای توپولوژیکی خطی مانند $ E_{i} $باشد. \newline ( $\textit{2}$).تابع بازدهی بازیکن $ i $ ام، یعنی$ K_{i}(x_{\textit{1}},..., x_{i},..., x_{n}) $ ، نسبت به متغیر $ x_{i} \in X_{i} $، مقعر باشد. \newline ( $\textit{3}$).مجموع توابع بازدهی $ \sum_{i=\textit{1}}^{n} K_{i}(x_{\textit{1}},..., x_{i},..., x_{n}) $، روی فضای حاصل ضرب دکارتی $ X_{\textit{1}}\otimes X_{\textit{2}}\otimes ...\otimes X_{n} $پیوسته باشد. \newline ( $\textit{4}$).$ K_{i}(x_{\textit{1}},..., x_{i},..., x_{n}) $ برای هر$x _{i} $ مشخص، یک تابع پیوسته باشد از $ (n-\textit{1}) $تایی: \newline $$(x_{\textit{1}},..., x_{i-\textit{1}}, x_{i+\textit{1}}, ..., x_{n}) \in X_{\textit{1}}\otimes X_{\textit{2}}\otimes ...\otimes X_{i-\textit{1}}\otimes X_{i+\textit{1}}\otimes...\otimes X_{n}$$ \newline برای بررسی وجود نقطه ی تعادل، یک تابع کمکی معرفی می کنیم. در ابتدا دو بردار مستقل خطی: \newline $$x=[x_{\textit{1}},..., x_{n}] , y=[y_{\textit{1}},..., y_{n}]$$ \newline که فشرده و محدب و با دامنه ی مشابه$X=X_{\textit{1}}\otimes...\otimes X_{n} $ ، هستند را معرفی می کنیم. \newline و سپس قرار می دهیم: \newline $$\phi(x, y)=\sum_{i=\textit{1}}^{n}K_{i}(y_{\textit{1}},..., y_{i-\textit{1}}, x_{i}, y_{i+\textit{1}}, ..., y_{n} )$$ \newline توجه می کنیم که $ \phi(x, y) $نسبت به متغیر $ x \in X $، مقعر است. \vspace*{2mm} \newline \textbf{گزاره} \textbf{$ \textit{2}.\textit{4}.\textit{2} $}: \newline نقطه ی $ \hat{y}=[\hat{y}_{\textit{1}},..., \hat{y}_{n}] $یک نقطه ی تعادل برای بازی تعریف شده با شرایط بالاست اگر و تنها اگر $ \phi(\hat{y}, \hat{y}) \geq \phi(x, \hat{y}) $. \newline \textbf{اثبات:} \newline اگر $ \phi(\hat{y}, \hat{y}) \geq \phi(x, \hat{y}) $ ، آنگاه: \newline $$\sum_{i=\textit{1}}^{n}K_{i}(\hat{y}_{\textit{1}}, ..., \hat{y}_{i-\textit{1}}, x_{i}, ..., \hat{y}_{n})\leq \sum_{i=\textit{1}}^{n}K_{i}(\hat{y}_{\textit{1}}, ..., \hat{y}_{i}, ..., \hat{y}_{n})$$ \newline لذا طبق تعریف نقطه ی تعادل، $ \hat{y} $نقطه ی تعادل است. \newline حال عکس آن را اثبات می کنیم: \newline فرض کنیم $\hat{y}=[\hat{y}_{\textit{1}},..., \hat{y}_{n}] $نقطه ی تعادل باشد.تعریف می کنیم$ x=[\hat{y}_{\textit{1}}, ..., \hat{y}_{i-\textit{1}}, x_{i}, ..., \hat{y}_{n}] $ . \newline طبق تعریف نقطه ی تعادل داریم: \newline $$K_{i}(\hat{y}_{\textit{1}}, ...,\hat{y}_{i},..., \hat{y}_{n})\geq K_{i}(\hat{y}_{\textit{1}},..., x_{i},..., \hat{y}_{n})$$ \newline $$\Longrightarrow \sum_{i=\textit{1}}^{n}K_{i}(\hat{y}_{\textit{1}}, ...,\hat{y}_{i},..., \hat{y}_{n})\geq \sum_{i=\textit{1}}^{n}(\hat{y}_{\textit{1}},..., x_{i},..., \hat{y}_{n})$$ \newline $$\Longrightarrow \phi(\hat{y}, \hat{y}) \geq \phi(x, \hat{y})$$ \newline واثبات کامل است. \vspace*{2mm} \newline \textbf{قضیه} \textbf{$ \textit{3}.\textit{4}.\textit{2} $}(\textbf{قضیه نقطه ثابت برائر}): \newline فرض کنید$ S \subseteq R^{n} $ یک مجموعه ی ناتهی ، فشرده و محدب باشد.اگر $ f:S \longrightarrow S $یک تابع پیوسته باشد، آنگاه حداقل یک نقطه ی ثابت در$ S $ وجود دارد .($ f $ دارای یک نقطه ی ثابت است). یعنی: \newline $$\exists x^{\ast} \in S ; f( x^{\ast})= x^{\ast}$$ \newline \textbf{قضیه} \textbf{$ \textit{4}.\textit{4}.\textit{2} $}: \newline یک بازی محدب، همیشه حداقل یک نقطه ی تعادل دارد. \newline \textbf{اثبات:} \newline برای اثبات قضیه، با استفاده از گزاره قبل، باید ثابت کنیم که نقطه ی $ \hat{y} \in X $وجود دارد به طوری که: \newline $$\phi(\hat{y}, \hat{y}) \geq \phi(x, \hat{y}) ; \forall x \in X$$ \newline به برهان خلف، فرض می کنیم که درست نباشد.یعنی: \newline $$\phi(y, y) < \phi(x, y)$$ \newline تعریف می کنیم: \newline $$G_{x}=\lbrace y; \phi(y, y) < \phi(x, y)\rbrace$$ \newline آنگاه $ G_{x} $ باز است.زیرا: \newline کافی است ثابت کنیم که: \newline $$\exists V \subset G_{x} ;\qquad x_{\textit{0}} \in V \subset G_{x}.$$ \newline که در آن $ v $ مجموعه ای باز است. حال \newline $$ \qquad x_{\textit{0}} \in G_{x} \Longrightarrow \phi( x_{\textit{0}}, x_{\textit{0}}) < \phi(x, x_{\textit{0}})$$ \newline $$\Longrightarrow \phi(x, x_{\textit{0}})- \phi( x_{\textit{0}}, x_{\textit{0}})> \textit{0}$$ \newline $$g(x_{\textit{0}})= \phi(x, x_{\textit{0}})- \phi( x_{\textit{0}}, x_{\textit{0}})$$ \newline $$\Longrightarrow g(x_{\textit{0}}) > \textit{0}$$ \newline چون $ \Phi $ها پیوسته اند، (طبق شرایط قضیه $ K_{i} $ها پیوسته اند.) لذا،$ g $ نیز پیوسته است.بنابراین، چون پیوسته است، طبق خاصیت پیوستگی، نقش وارون باز، باز می شود. یعنی: \newline $$g^{-\textit{1}}(\textit{0}, \epsilon)=V $$ \newline که $ V $ باز است. \newline پس یک همسایگی باز مانند$ V $ یافتیم که: \newline $$x_{\textit{0}} \in V $$ \newline از طرفی بنابر شرایط قضیه، $ X $ فشرده است.لذا داریم: \newline $$X \subset \bigcup_{x \in X}G_{x}$$ \newline $ X $ دارای پوشش باز متناهی است. پس مجموعه ی $ A=\lbrace \alpha_{\textit{1}}, \alpha_{\textit{1}}, ..., \alpha_{s}\rbrace \subset X $ وجود دارد به طوری که: \newline $$X \subseteq \bigcup_{j=\textit{1}}^{s}G_{\alpha_{j}}$$ \newline از این مطلب نتیجه می گیریم که: \newline $$\phi(y, y) < \max_{j} \phi(\alpha_{j}, y) \quad for \quad y\in X; $$ \newline اکنون قرار دهید: \newline $$f_{j}(y)=\max \lbrace\phi(\alpha_{j}, y) - \phi(y, y), \textit{0}\rbrace \quad j=(\textit{1}, \textit{2}, ..., s)$$ \newline توابع بالا و $ f_{j}(y) $ طبق شرایط قضیه، پیوسته اند، زیرا: \newline $$\max \phi(\alpha_{j}, y) - \phi(y, y)> \textit{0}$$ \newline چون ماکزیمم یک عبارت مثبت و صفر، همواره مثبت است. داریم: \newline $$\sum_{\textit{1}}^{s} f_{j}(y)> \textit{0}$$ \newline تابع پیوسته ی زیر را تعریف می کنیم: \newline $$y \longrightarrow \dfrac{\sum_{\textit{1}}^{s} f_{j}(y)\alpha_{j}}{\sum_{\textit{1}}^{s} f_{j}(y)} $$ \newline در واقع تابع بالا، از $ C(A) $به $ C(A) $تعریف شده است(این پاراگراف را متوجه نشدم). همچنین $ C(A) $یک همومورفیسم از یک فضای اقلیدسی به یک مجموعه ی فشرده است. پس در واقع $ C(A) \subset R^{n} $محدب، ناتهی و فشرده است و $ f: C(A) \longrightarrow C(A) $پیوسته است. لذا طبق قضیه ی نقطه ثابت برائر نقطه ی ثابت وجود دارد. \newline فرض کنیم $ \hat{y} $نقطه ی ثابت باشد. داریم: \newline $$ \hat{y}=\dfrac{\sum_{\textit{1}}^{s} f_{j}(\hat{y})\alpha_{j}}{\sum_{\textit{1}}^{s} f_{j}(\hat{y})} \quad \in C(A)$$ \newline چون $ \hat{y} $را نقطه ی ثابت در نظر گرفتیم، پس داریم: \newline $$ \hat{y}=f(\hat{y})=\dfrac{\sum_{\textit{1}}^{s} f_{j}(\hat{y})\alpha_{j}}{\sum_{\textit{1}}^{s} f_{j}(\hat{y})}$$ \newline از طرفی برای یک $ j $، که $ f_{j}(y) > \textit{0} $، با توجه به تعریف داریم: \newline $$ \phi(\alpha_{j}, \hat{y})> \phi(\hat{y}, \hat{y})$$ \newline از طرفی چون $ K_{i} $ها مقعر هستند، لذا $ \phi(x, y) $ نیزمقعر است. \newline $$\phi(\hat{y}, \hat{y}) > \phi(\hat{y}, \hat{y})$$ \newline و این یک تناقض است. لذا فرض خلف باطل و $ \hat{y} $یک نقطه ی تعادل برای بازی محدب است.(در به تناقض رسیدن گیج شدم) \vspace*{2mm} \newline \textbf{تعریف} \textbf{$ \textit{5}.\textit{4}.\textit{2} $}(انتقال قطری پیوسته\LTRfootnote{diagonal transfer continiuos}): \newline $ u $را انتقال قطری پیوسته یا به اختصار($ DTC $) گویند، هرگاه: \newline $$ \forall (x, y) \in X\times C , u(x, y) > u(y, y),$$ \newline $ x^\prime $ و همسایگی $ N(y) $ از $ y $ در $ C$ وجود د دارند به طوریکه: \newline $$u(x^{\prime}, z) > u(z, z) ;\quad \forall z \in N(y)$$ \newline \textbf{قضیه} \textbf{$ \textit{6}.\textit{4}.\textit{2} $}: \newline فرض کنید$ \Gamma $ یک بازی غیر مشارکتی باشد و $ u:X \times X \longrightarrow R $تابع مجموع باشد.آنگاه $ \Gamma $یک تعادل نش با استراتژی محض دارد اگر و تنها اگر یک زیر مجموعه ی ناتهی فشرده $ C $ از $ X $ وجود داشته باشد به طوری که شرایط زیر برقرار شود: \vspace*{2mm} \newline \textbf{الف})$ C $دارای خاصیت نقطه ثابت باشد. \vspace*{1mm} \newline \textbf{ب})$ u \mid_{X \times C}:X \times C \rightarrow R $یک$ DTC $، روی$ C $ و $ -C$شبه مقعر روی $ X $باشد. \vspace*{1mm} \newline \textbf{اثبات:} \newline ابتدا فرض کنید که$ \Gamma $ یک تعادل نش با استراتژی محض به نام $ x^{\ast} \in X $ دارد. فرض کنیم $ C=\lbrace x^{\ast} \rbrace $.واضح است که $ C $فشرده است و شرط اول را داراست.تابع تحدید $ u \mid_{X \times C} $روی$ C $ ،$ DTC $ است.)استاد نمی دانم چرا؟)می خواهیم نشان دهیم که $ u \mid_{X \times C} $ ، $ C-quasiconcave $است. \newline فرض کنید $ \lbrace x_{\textit{0}}, ..., x_{\textit{n}}\rbrace $یک زیر مجموعه ی متناهی از$ X $ باشد. تابع $ \phi_{n} $را با ضابطه ی زیر تعریف می کنیم: \newline $$ \phi_{n}:\Delta_{n} \longrightarrow C;\quad \phi_{n}( \lambda_{\textit{0}}, ..., \lambda_{\textit{n}})=x^{\ast}$$ \newline $$\forall (\lambda_{\textit{0}}, ..., \lambda_{\textit{n}}) \in \Delta_{n} $$ \newline چون $ x^{\ast} $نقطه ی تعادل نش است لذا داریم: \newline $$u(\phi_{n}( \lambda_{\textit{0}}, ..., \lambda_{\textit{n}}), \phi_{n}( \lambda_{\textit{0}}, ..., \lambda_{\textit{n}}))=u(x^{\ast}, x^{\ast}) \geq u(x, x^{\ast})$$ \newline به خصوص اگر قرار دهیم$ j=\lbrace i \in \lbrace \textit{0},..., n \rbrace ;\lambda_{i}\neq \textit{0}\rbrace $ : \newline آنگاه داریم: \newline $$u(\phi_{n}( \lambda_{\textit{0}}, ..., \lambda_{\textit{n}}), \phi_{n}( \lambda_{\textit{0}}, ..., \lambda_{\textit{n}}))=u(x^{\ast}, x^{\ast}) \geq u(x^{i}, x^{\ast})$$ \newline $$(\forall i \in j)$$ \newline پس داریم: \newline $$u(\phi_{n}( \lambda_{\textit{0}}, ..., \lambda_{\textit{n}}), \phi_{n}( \lambda_{\textit{0}}, ..., \lambda_{\textit{n}})) \geq \min \lbrace u(x^{i}, \phi_{n}( \lambda_{\textit{0}}, ..., \lambda_{\textit{n}}) ; i \in j \rbrace$$ \newline لذا اثبات این بخش کامل است.اکنون عکس قضیه را ثابت می کنیم. \newline فرض کنیم که$ C $ ، یک زیرمجموعه ی فشرده از $ X $باشد که شرط اول و دوم را حفظ می کند.می خواهیم اثبات کنیم که $ \Gamma $دارای تعادل نش است. \newline تابع $ u\mid_{X \times C} $را با استفاده از تابع $ H $نشان می دهیم.برای هر $ x \in X $ فرض می کنیم: \newline $$G(x)=\lbrace y \in C ; H(x, y)\leq H(y, y)$$ \newline در ابتدا ثابت می کنیم که: \newline $$\bigcap_{x \in X}Cl_{C}G(x)=\bigcap_{x \in X}G(x)$$ \newline واضح است که$\bigcap G(x)\subset \bigcap cl G(x) $ . کافی است که عکس آنرا ثابت کنیم.(در واقع می خواهیم ثابت کنیم که اگر$ y \notin G(x) \Longrightarrow y \notin Cl_{C}G(x) $) فرض کنیم $ y \in (C\setminus \bigcap G(x)) $ . انگاه $ x \in X $ وجود دارد به طوری که $ y \notin G(x) $ . یعنی: $ H(x, y)> H(y, y) $. \newline با استفاده از خاصیت $ DTC $از $ H $ ، پس: \newline $ x^\prime $ و همسایگی $ N(y) $ از $ y $ در $ C$ وجود د دارند به طوریکه: \newline $$H(x^{\prime}, z)>H(z, z) \quad ; \forall z \in N(y)$$ \newline پس در نتیجه: \newline $$ y \notin Cl_{C}G(x^{\prime}) $$ \newline (متوجه نشدم چگونه نتیجه گرفت این مطلب را؟آیا تعریف دیگری از کلوژر است؟) \newline اکنون نشان می دهیم که خانواده ی $\lbrace ClG(x) ; x \in X\rbrace $خاصیت اشتراک متناهی دارند. \newline به برهان خلف فرض می کنیم که $\lbrace ClG(x) ; x \in X\rbrace $خاصیت اشتراک متناهی ندارد. در این صورت زیرمجموعه ی متناهی$\lbrace x_{\textit{0}}, ..., x_{n}\rbrace $ از $ X $وجود دارد به طوری که $ \bigcap_{i=\textit{0}}^{n} ClG(x_{i})=\emptyset $. آنگاه داریم: \newline $$\bigcup_{i=\textit{0}}^{n}(C\setminus Cl G(x_{i}))=C$$ \newline از آنجایی که $ C $ ، فشرده است، پس یک افراز واحد$ \lbrace\alpha_{i} ; i=\textit{0}, ..., n\rbrace $ وجود دارد که به$ \lbrace C \setminus Cl G(x_{i})\rbrace $ وابسته است، به طوری که برای هر $ (i=\textit{0}, ..., n) $یک تابع پیوسته ی $\alpha_{i}:C \longrightarrow [\textit{0}, \textit{1}] $وجود دارد که: \newline $$\alpha_{i}^{-\textit{1}}(\textit{0}, \textit{1}]\subseteq C \setminus ClG(x_{i})$$ \newline و \newline $$\sum_{i=\textit{0}}^{n}\alpha_{i}(x)=\textit{1} ;\quad \forall x \in C.$$ \newline از آنجایی که $ H $، روی $ X$ ،شبه مقعر $ C- $است، پس یک تابع پیوسته ی$ \phi_{n}:\Delta_{n}\longrightarrow C $ وجود دارد که: \newline $$H(\phi_{n}(\lambda_{\textit{0}}, ..., \lambda_{\textit{n}}), \phi_{n}(\lambda_{\textit{0}}, ..., \lambda_{\textit{n}}))\geq \min \lbrace H(x^{j}, \phi_{n}(\lambda_{\textit{0}}, ..., \lambda_{\textit{n}}))\rbrace$$ \newline اکنون فرض کنیم که تابع$ \psi:C\longrightarrow C $ به صورت زیر تعریف شود: \newline $$ \psi(x)= \phi_{n}(\alpha_{\textit{0}}(x), \alpha_{\textit{1}}(x), ..., \alpha_{n}(x)) ; \quad \forall x \in C.$$ \newline از آنجایی که $ \phi_{n} $و همه ی$ \alpha_{i} $ ها پیوسته اند، لذا تابع $ \psi $نیز پیوسته است. پس با استفاده از شرط اول قضیه، عنصر $ \overline{x} \in C $وجود دارد به طوری که $\psi(\overline{x})=\overline{x} $. پس داریم: \newline $$\phi_{n}(\alpha_{\textit{0}}(\overline{x}), \alpha_{\textit{1}}(\overline{x}), ..., \alpha_{n}(\overline{x})) = (\overline{x})$$ \newline فرض کنید که $ J=\lbrace i \in \lbrace \textit{0}, ..., n\rbrace ;\alpha_{i}(\overline{x})\neq \textit{0}\rbrace $. آنگاه $ J \neq \emptyset $.اکنون با استفاده از شرط اول قضیه برای هر$j \in J $ داریم: \newline $$\overline{x} \in \alpha_{j}^{-\textit{1}}(\textit{0}, \textit{1}]\subseteq C \setminus ClG(x^{j})$$ \newline پس در واقع$\overline{x} \notin G(x^{j}) $. و طبق تعریف داریم: \newline $$H(x^{j}, \overline{x})>H(\overline{x}, \overline{x})$$ پس \newline $$\min \lbrace H(x^{j}, \overline{x});\quad j \in J\rbrace > H(\overline{x}, \overline{x})$$ \newline در نتیجه داریم: \newline $$H(\overline{x}, \overline{x})=H(\psi(\overline{x}), \psi(\overline{x}))=H(\alpha_{\textit{0}}(\overline{x}), \alpha_{\textit{1}}(\overline{x}), ..., \alpha_{n}(\overline{x}), \alpha_{\textit{0}}(\overline{x}), \alpha_{\textit{1}}(\overline{x}), ..., \alpha_{n}(\overline{x}))$$ \newline $$\geq \min \lbrace H(x^{j}, \alpha_{\textit{0}}(\overline{x}), \alpha_{\textit{1}}(\overline{x}),..., \alpha_{n}(\overline{x})) ; j \in J\rbrace$$ \newline $$=\min \lbrace H(x^{j}, \overline{x});\quad j \in J\rbrace >H(\overline{x}, \overline{x})$$ \newline و این یک تناقض است. پس خانواده ی $\lbrace ClG(x) ; x \in X\rbrace $اشتراک متناهی دارد. \newline از آنجایی که $ C $ فشرده است و $ \bigcap \lbrace Cl_{C}G(x) ; x \in X\rbrace \neq\emptyset $، عنصر $ x^{\ast} \in \bigcap \lbrace Cl_{C}G(x) ; x \in X\rbrace $را جدا می کنیم. اکنون داریم: \newline چون $\bigcap_{x \in X}Cl_{C}G(x)=\bigcap_{x \in X}G(x)$، پس داریم: \newline $$ x^{\ast} \in \bigcap \lbrace G(x); x \in X \rbrace.$$ \newline لذا با استفاده از تعریف $ G(x)$داریم: \newline $$H(y, y)\geq H(x^{\ast}, y)$$ \newline و این نشان می دهد که $ x^{\ast}$یک نقطه ی تعادل نش با استراتژی محض برای بازی$ \Gamma $ است و اثبات قضیه کامل است. \end{flushright} \newline \newpage \begin{center} \chapter{\textbf{کاربرد تعادل نش در ریاضیات}} \end{center} \newpage \newline \begin{flushright} \section{\textbf{مقدمه}} در این فصل به بررسی قضیه ی مینیماکس می پردازیم، که در واقع یکی از زیباترین و مهمترین قضیه های ریاضی است. در واقع در این فصل، کاربرد نقطه ی تعادل نش در ریاضیات که به نوعی قضیه ی مینیماکس است را مورد بررسی قرار می دهیم. \newline به عنوان کاربردی از قضیه ی کیم، قضیه ی مینیماکس را در حالت زیر مورد بررسی قرار می دهیم. \vspace*{2mm} \newline \textbf{قضیه}\textbf{ $ \textit{1}.\textit{1}.\textit{3} $}: \newline \newline فرض کنید $ X $ و $ Y $دو مجموعه ی ناتهی باشند، به طوری که $ X \times Y $یک زیرمجموعه ی محدب پیرافشرده از یک فضای برداری توپولوژیکی هاسدورف موضعا محدب باشد، $ D $ یک زیرمجموعه ی ناتهی فشرده از $ X $و $ E $یک زیر مجموعه ی ناتهی فشرده از$ Y $ باشند. فرض کنید: \vspace*{1mm} \newline \textbf{الف}) تاب $f: X \times Y \longrightarrow R $روی $ X \times Y $، پیوسته باشد. \newline \textbf{ب}) برای هر $ y \in Y $ ، تابع $ x \longrightarrow -f(x, y) $روی $ D $، $ -C $مقعر باشد. \newline \textbf{ج}) برای هر $ x \in X $، تابع $y \longrightarrow f(x, y) $روی $ E$، $- C $ مقعر باشد. \newline \textbf{د}) برای هر $ (x, y) \in D\times E $، داشته باشیم: \newline $$\forall (u, v) \in (X \times Y) \setminus (D \times E) ; f(x, v)-f(u, y)\leq \textit{0}$$ \newline آنگاه خواهیم داشت: \newline $$\sup_{y \in Y}\inf_{x \in X}f(x, y)=\inf_{x \in X}\sup_{y \in Y}f(x, y)$$ \newline \textbf{اثبات:} \newline قرار می دهیم: \newline $$f_{\textit{1}}(x, y):=-f(x, y) , \quad f_{\textit{2}}(x, y):=f(x, y)$$ \newline (که $ f_{\textit{1}}:X \times Y \longrightarrow R $ و $ f_{\textit{2}}:X \times Y \longrightarrow R $ توابع بازدهی اند، به عبارت دیگر ما در اینجا دو بازیکن $ \textit{1} $و $ \textit{2} $داریم و $ X $ فضای استراتژی بازیکن $ \textit{1} $و $ Y $فضای استراتژی بازیکن $ \textit{2} $ است.) \newline ضابطه ی تابع $ H:(X \times Y) \times (X \times Y) \longrightarrow R $ (جمع کل توابع بازدهی) به این صورت است: \newline $$H((x_{\textit{1}}, y_{\textit{1}}), (x_{\textit{2}}, y_{\textit{2}}))=f_{\textit{1}}(x_{\textit{1}}, y_{\textit{2}}) + f_{\textit{2}}(x_{\textit{2}}, y_{\textit{1}})$$ \newline زیرا: \newline برای هر$ x=(x_{\textit{1}}, ..., x_{n}, ... ) , y=(y_{\textit{1}}, ..., y_{n}, ... ) \in X $ داشتیم: \newline $$H(x, y):=\sum_{i \in I}f_{i}(y_{\textit{1}}, ..., y_{i-\textit{1}}, x_{i}, y_{i+\textit{1}}, ..., y_{n}, ... )$$ \newline اکنون می خواهیم ببینیم آیا شرایط قضیه ی کیم برقرار است یا خیر؟ \newline شرط اول برقرار است. یعنی $ D \times E $ یک زیرمجموعه ی فشرده و ناتهی از $ X \times Y $است. زیرا: \newline طبق قضیه ی تیخونوف حاصل ضرب هر تعداد متناهی فضای فشرده، فضایی فشرده است. \newline شرط دوم قضیه نیز برقرار است. یعنی تابع $ H $ یک تابع پیوسته روی $(X \times Y) \times (X \times Y) $است. زیرا: \newline توابع $ f_{\textit{1}} $ و $ f_{\textit{1}} $ روی $ X \times Y $ توابعی پیوسته اند و \newline $$H((x_{\textit{1}}, y_{\textit{1}}), (x_{\textit{2}}, y_{\textit{2}}))=f_{\textit{1}}(x_{\textit{1}}, y_{\textit{2}}) + f_{\textit{2}}(x_{\textit{2}}, y_{\textit{1}})$$ \newline پس تابع $ H $یک تابع پیوسته است. \newline شرط سوم قضیه نیز برقرار است. یعنی تابع $ H $روی $ D $ ، $ -C $مقعر است. زیرا: \newline فرض کنیم $(x_{\textit{1}}, y_{\textit{1}}) $و$(x_{\textit{2}}, y_{\textit{2}}) $دو نقطه ی دلخواه از$ X \times Y $ باشند. از آنجایی که تابع $f_{\textit{1}}:X \times Y \longrightarrow R $روی$ D $ ، $ -C $مقعر است، برای $ \lbrace x_{\textit{1}}, x_{\textit{2}}\rbrace \subseteq X$، تابع پیوسته ی $\phi_{\textit{1}}:\Delta_{\textit{2}} \longrightarrow D $وجود دارد به طوری که برای هر $ \lambda \in [\textit{0}, \textit{1}] $و $ v \in Y $، داریم: \newline $$f_{\textit{1}}(\phi_{\textit{1}}(\lambda, \textit{1}-\lambda), v)\geq \lambda f_{\textit{1}}(x_{\textit{1}}, v)+(\textit{1}-\lambda)f_{\textit{1}}(x_{\textit{2}}, v)$$ \newline همچنین از آنجایی که $f_{\textit{2}}:X \times Y \longrightarrow R $، روی $ E $، $ -C $مقعر است، برای $ \lbrace y_{\textit{1}}, y_{\textit{2}} \rbrace \subseteq Y$، تابع پیوسته ی $\phi_{\textit{2}}:\Delta_{\textit{2}} \longrightarrow E $وجود دارد به طوری که برای هر $ u \in X $و هر $ \lambda \in [\textit{0}, \textit{1}] $داریم: \newline $$f_\textit{2}(u, \phi_{\textit{2}}(\lambda, \textit{1}-\lambda))\geq \lambda f_{\textit{2}}(u, y_{\textit{1}})+(\textit{1}-\lambda)f_{\textit{2}}(u, y_{\textit{2}}) $$ \newline تابع $ \phi:\Delta_{\textit{2}}\longrightarrow D \times E $را به این صورت تعریف می کنیم: \newline $$\phi(\lambda, \textit{1}-\lambda):=(\phi_{\textit{1}}(\lambda, \textit{1}-\lambda), \phi_{\textit{2}}(\lambda, \textit{1}-\lambda))$$ \newline از آنجایی که $\phi_{\textit{1}} $ و$ \phi_{\textit{2}} $ توابعی پیوسته اند، روشن است که $ \phi $ نیز پیوسته می باشد. در این صورت برای هر$ (u, v) \in X \times Y $ خواهیم داشت: \newline $$ H(\phi(\lambda, \textit{1}-\lambda), (u, v))= f_\textit{1} (\phi_\textit{1}(\lambda, \textit{1}-\lambda), v)+ f_\textit{2} (u,\phi_\textit{2}(\lambda, \textit{1}-\lambda)) \geq$$ \newline $$\lambda f_\textit{1} (x_\textit{1}, v)+(\textit{1}-\lambda) f_\textit{1} (x_\textit{2}, v)+ \lambda f_\textit{2} (u, y_\textit{1}) + (\textit{1}- \lambda) f_\textit{2 }(u, y_\textit{2}) =$$ \newline $$(\textit{1}-\lambda) ( f_\textit{1} (x_\textit{2}, v)+ f_\textit{2} (u,y_\textit{2})) + \lambda ( f_\textit{1} (x_\textit{1}, v)+ f_\textit{2} (u,y_\textit{1})) =$$ \newline $$(\textit{1}-\lambda) H ((x_\textit{2}, y_\textit{2}), (u, v)) + \lambda H ((x_\textit{1}, y_\textit{1}), (u, v))$$ \newline حال برای $ n $ نقطه از$ X \times Y $ : \newline فرض کنیم $ \lbrace (x_\textit{1}, y_\textit{1}), ... , (x_{n}, y_{n}) \rbrace $ یک زیرمجموعه ی دلخواه از$ X \times Y $ باشد. به طور مشابه، از آنجایی که $f_\textit{2}: X \times Y \longrightarrow R $ ، روی $ E $ و $f_\textit{1}: X \times Y \longrightarrow R $ روی $ D $، $ -C $مقعر است، برای $ \lbrace x_\textit{1}, ... , x_{n} \rbrace \subseteq X $و $ \lbrace y_\textit{1}, ... , y_{n} \rbrace \subseteq Y $ توابع پیوسته ی $\phi_\textit{2}:\Delta_{n} \longrightarrow E $و $ \phi_\textit{1}:\Delta_{n} \longrightarrow D $ وجود دارند به طوری که برای هر $ (u, v) \in X \times Y $ و هر $ ( y_\textit{1}, ... , y_{n}) \in \Delta_{n} $ خواهیم داشت: \newline $$ f_\textit{1} (\phi_\textit{1}(\lambda _\textit{1}, ... ,\lambda _{n}), v) \geq \lambda_\textit{1} f_\textit{1} (x_\textit{1}, v) + ... + \lambda_{n} f_\textit{1}(x_{n}, v)$$ \newline $$ f_\textit{2}(u, \phi_\textit{2}(\lambda_\textit{1}, ... , \lambda_{n})) \geq \lambda_\textit{1} f_\textit{2}(u, y_\textit{1})+ ... +\lambda_{n} f_\textit{2}(u, y_{n})$$ \newline تابع $\phi:\Delta_{n}\longrightarrow D \times E $ را به این صورت تعریف می کنیم: \newline $$\phi(\lambda _\textit{1}, ... ,\lambda _{n}):=(\phi_\textit{1}(\lambda _\textit{1}, ... ,\lambda _{n}), \phi_\textit{2}(\lambda_\textit{1}, ... , \lambda_{n}))$$ \newline از آنجایی که $ \phi_\textit{1} $و $ \phi_\textit{2} $ توابعی پیوسته اند، روشن است که $ \phi $نیز پیوسته می باشد. \newline $$H(\phi(\lambda _\textit{1}, ... ,\lambda _{n}), (u, v))=f_\textit{1}(\phi_\textit{1}(\lambda _\textit{1}, ... ,\lambda _{n}), v)+f_\textit{2}(u, \phi_\textit{2}(\lambda_\textit{1}, ... , \lambda_{n}))\geq$$ \newline $$\lambda_\textit{1}f_\textit{1}(x_\textit{1}, v)+ ... + \lambda_{n}f_\textit{1}(x_{n}, v)+\lambda_\textit{1}f_\textit{2}(u, y_\textit{1})+ ... + \lambda_{n}f_\textit{2}(u, y_\textit{n})=$$ \newline $$\lambda_\textit{1}(f_\textit{1}(x_\textit{1}, v) + f_\textit{2}(u, y_\textit{1})) + ... + \lambda_{n}(f_\textit{1}(x_\textit{n}, v)+f_\textit{2}(u, y_\textit{n}))=$$ \newline $$\lambda_\textit{1}H((x_\textit{1},y_\textit{1}), (u, v)) + ... +\lambda_{n}H((x_\textit{2},y_\textit{2}), (u, v))$$ \newline پس تابع $ H $ روی $ D $ ، $ -C $مقعر است. \newline شرط چهارم قضیه برقرار است. یعنی برای هر $ (x, y) \in D \times E$ داریم: \newline $$\forall (u, v) \in X \times Y \setminus D \times E ; H((x, y), (x, y)) \geq H( (u, v), (x, y))$$ \newline زیرا: \newline داریم: \newline $$ H((x, y), (x, y))=f_\textit{1}(x, y)+f_\textit{2}(x, y)=f(x, y) - f(x, y)=\textit{0}$$ \newline همچنین: \newline $$H((u, v), (x, y))=f_\textit{1}(u, y)+f_\textit{2}(x, v)=-f(u, y)+f(x, v)$$ \newline $$\Longrightarrow$$ \newline $$H((u, v), (x, y))=-f(u, y)+f(x, v)$$ \newline با توجه به فرض قضیه که برای هر $ (x, y) \in D\times E $: \newline $$\forall (u, v) \in (X \times Y) \setminus (D \times E) ; f(x, v)-f(u, y)\leq \textit{0}$$ \newline خواهیم داشت: \newline $$ H((x, y), (x, y)) \geq H((u, v), (x, y))$$ \newline در نتیجه شرایط قضیه ی کیم برقرار است و یک نقطه ی تعادل نش $ (x_{\textit{0}}, y_{\textit{0}}) \in D \times E $ وجود دارد به طوری که : \newline $$\sup_{x \in X}f_{\textit{1}}(x, y_{\textit{0}})=f_{\textit{1}}(x_{\textit{0}}, y_{\textit{0}})$$ $$\sup_{y \in Y}f_{\textit{2}}(x_{\textit{0}}, y)=f_{\textit{2}}(x_{\textit{0}}, y_{\textit{0}})$$ \newline (رابطه ی بالا را با توجه به تعریف نقطه ی تعادل نوشتیم.) \newline بنابراین داریم: \newline $$-f(x_{\textit{0}}, y_{\textit{0}})=f_{\textit{1}}(x_{\textit{0}}, y_{\textit{0}}) \geq f_{\textit{1}}(x, y_{\textit{0}})=-f(x, y_{\textit{0}}) \quad (\forall x \in X)$$ \newline بنابراین: \newline $$(\forall x \in X) \quad f(x, y_{\textit{0}}) \geq f(x_{\textit{0}}, y_{\textit{0}})$$ \newline در نتیجه: \newline $$f(x_{\textit{0}}, y_{\textit{0}}) \leq \inf_{x \in X}f(x, y_{\textit{0}})$$ \newline به همین شکل: \newline $$(\forall y \in Y)$$ \newline $$f(x_{\textit{0}}, y_{\textit{0}})=f_{\textit{2}}(x_{\textit{0}}, y_{\textit{0}}) \geq f_{\textit{2}}(x_{\textit{0}}, y)=f(x_{\textit{0}}, y)$$ \newline پس: \newline $$\sup_{y \in Y}f(x_{\textit{0}}, y) \leq f(x_{\textit{0}}, y_{\textit{0}}) $$ \newline در نتیجه: \newline $$\sup_{y \in Y}f(x_{\textit{0}}, y) \leq f(x_{\textit{0}}, y_{\textit{0}}) \leq \inf_{x \in X }f(x, y_{\textit{0}})$$ \newline از آنجایی که: \newline $$\inf_{x \in X } \sup_{y \in Y}f(x, y) \leq \sup_{y \in Y}f(x_{\textit{0}}, y)$$ \newline و \newline $$\inf_{x \in X }f(x, y_{\textit{0}}) \leq \sup_{y \in Y} \inf_{x \in X }f(x, y)$$ \newline پس داریم: \newline $$\inf_{x \in X }\sup_{y \in Y}f(x, y) \leq f(x_{\textit{0}},y_{\textit{0}}) \leq \sup_{y \in Y}\inf_{x \in X }f(x, y)$$ \newline و از آنجایی که برای هر $ (x, y) \in X \times Y $، $ f(x, y)\geq \inf_{x \in X } f(x, y) $، پس: \newline $$\sup_{y \in Y} f(x, y) \geq \sup_{y \in Y}\inf_{x \in X }f(x, y)$$ \newline و به این نتیجه می رسیم که: \newline $$\inf_{x \in X }\sup_{y \in Y}f(x, y)\geq \sup_{y \in Y}\inf_{x \in X }f(x, y)$$ \newline و قضیه اثبات می شود.$\square$ \vspace*{2mm} \newline \textbf{قضیه} \textbf{$ \textit{2}.\textit{1}.\textit{3} $ }: \newline فرض کنید$ X $ یک مجموعه ی ناتهی محدب و فشرده از یک فضای برداری توپولوژیکی هاسدورف موضعا محدب باشد و تابع $ f:X \times X \longrightarrow R $یک تابع حقیقی مقدار روی $ X \times X $باشد، به طوری که: \newline \textbf{الف})برای هر $ y \in X $ ، تابع $ x \longrightarrow f(x, y) $ روی $ X $نیمه پیوسته پایینی باشد. \newline \textbf{ب})برای هر $ x \in X $ ، تابع $ y \longrightarrow f(x, y) $روی $ X $ ، $ -C $مقعر باشد. \newline آنگاه داریم: \newline $$\min_{x \in X}\sup_{y \in X}f(x, y) \leq \sup_{x \in X}f(x, x)$$ \newline \textbf{اثبات:} \newline قرار دهید $\sup_{x \in X}f(x, x)=\mu $. \newline به برهان خلف فرض کنیم که: \newline $$\min_{x \in X}\sup_{y \in X}f(x, y)>\sup_{x \in X}f(x, x).$$ \newline در این صورت داریم: \newline $$\sup_{y \in X}f(x, y) \geq \min_{x \in X}\sup_{y \in X}f(x, y) >\sup_{x \in X}f(x, x)=\mu$$ \newline پس برای هر $ x \in X $ ، $\sup_{y \in X}f(x, y) >\mu $. \newline یعنی برای هر $ x \in X $ دلخواه، $ y \in X $ای وجود دارد به طوری که $ f(x, y) >\mu $ . \newline برای هر $y \in X $، تعریف می کنیم: \newline $$U(y):=\lbrace x \in X \vert f(x, y)>\mu \rbrace $$ \newline به ازای هر $y \in X $، $ U(y) $ یک مجموعه ی باز یا تهی است. \newline زیرا: \newline از آنجایی که برای هر $y \in X $، تابع $ x \longrightarrow f(x, y) $ روی $ X $ نیمه پیوسته ی پایینی است، به عبارت دیگر برای هر $y \in X $ دلخواه، تابع $ f:X \times \lbrace y \rbrace \longrightarrow R $نیمه پیوسته ی پایینی است، یعنی برای هر $ \alpha $ی حقیقی مجموعه ی $ \lbrace x \vert f(x, y) > \alpha \rbrace $ یک مجموعه ی باز است.( $ \alpha $را $ \mu $ در نظر بگیرید.) \newline داریم: \newline $$X=\bigcup_{y \in X}U(y).$$ \newline زیرا: \newline فرض کنید $ x \in X $دلخواه باشد، پس $ y \in X $ای وجود دراد به طوری که $ f(x, y) > \mu $ . در نتیجه $ x \in U(y) $. \newline (پس $ X \subseteq U(y) $). \newline واضح است که $ .U(y) \subseteq X $ \newline از آنجایی که $ X $ فشرده است و $ \lbrace U(y) \vert y \in Y \rbrace $ یک پوشش باز برای $ X $ است، یک زیر پوشش متناهی $ \lbrace U(y_{i}) \vert i \in \lbrace \textit{1}, ... , n\rbrace\rbrace $وجود دارد به طوری که$ X=\bigcup_{i=\textit{1}}^{n}U(y_{i}) $ . با توجه به اینکه $ X $ یک فضای هاسدورف فشرده است، پیرا فشرده می باشد و یکی از مفیدترین خواص فضاهای پیرافشرده آن است که به ازای هر پوشش باز اندیس دار فضای پیرا فشرده ی $ X $، مانند $ \lbrace U_{\alpha} \rbrace $ ، یک افراز واحد مغلوب به وسیله ی $ \lbrace U_{\alpha} \rbrace $وجود دارد. پس بنابر این توابع پیوسته ی $ \alpha_{i}:X \longrightarrow [\textit{0}, \textit{1}] $ وجود دارند، به طوری که برای هر $ x \in X $ ، $ \sum_{i=\textit{1}}^{n+ \textit{1}}\alpha_{i}(x)=\textit{1} $ و اگر $ x \notin U(y_{j}) $ نباشد، $\alpha_{j}(x)=\textit{0} $ . \newline از آنجایی که $ f $ روی $ X $، $ -C $مقعر است، برای $ \lbrace y_{\textit{1}}, ... , y_{n} \rbrace \subseteq X $ تابع پیوسته ای مانند $\phi_{n}:\Delta_{n} \longrightarrow X $ وجود دارد به طوری که برای هر $ (y_{\textit{1}}, ... , y_{n}) \in \Delta_{n} $ و هر $ x \in X $، داریم: \newline $$f(x, \phi_{n}(\lambda_{\textit{1}}, ... , \lambda_{n})) \geq \lambda_{\textit{1}}f(x, y_{\textit{1}})+ ... + \lambda_{n}f(x,y_{n})$$ \newline حال تابع $ \psi:X \longrightarrow X $ را به این صورت تعریف می کنیم: \newline $$\psi(x):=\phi_{n}(\alpha_{\textit{1}}(x), ... , \alpha_{n}(x))$$ \newline از آنجایی که $ \alpha_{j} $ ها و $ \phi_{n} $ توابعی پیوسته اند، $ \psi $ نیز پیوسته می باشد. از آنجایی که $ X $ یک زیر مجموعه ی محدب فشرده از یک فضای برداری توپولوژیکی است، با توجه به قضیه ی نقطه ی ثابت هیملبرگ، $ \bar{x} \in X $ ای وجود دارد به طوری که $ \psi(\bar{x})=\bar{x} $ . در این صورت برای هر$ x \in X $ داریم: \newline $$f(x, \psi(\bar{x})) = f(\bar{x},\phi_{n}(\alpha_{\textit{1}}(\bar{x}), ... , \alpha_{n}(\bar{x}))$$ \newline که با توجه به اینکه $ f $ روی $ X $، $ -C $مقعر است، داریم: \newline $$f(x, \psi(\bar{x})) = f(\bar{x},\phi_{n}(\alpha_{\textit{1}}(\bar{x}), ... , \alpha_{n}(\bar{x})) \geq \alpha_{\textit{1}}(\bar{x})f(x, y_{\textit{1}}) + ... + \alpha_{n}(\bar{x})f(x, y_{n})$$ \newline در نتیجه برای $ x=\bar{x} $ داریم: \newline $$f(\bar{x}, \psi(\bar{x})) \geq \alpha_{\textit{1}}(\bar{x})f(\bar{x}, y_{\textit{1}}) + ... + \alpha_{n}(\bar{x})f(\bar{x}, y_{n})$$ \newline یعنی : \newline $$f(\bar{x}, \bar{x}) \geq \sum_{i=\textit{1}}^{n}\alpha_{i}(\bar{x}) f(\bar{x}, y_{i})$$ \newline همچنین از آنجایی که برای هر $ x \in X $ ، $ \sum_{i=\textit{1}}^{n}\alpha_{i}(x) = \textit{1} $ . برای $ \textit{1} \leq j \leq n $ای داریم: \newline $$\alpha_{j}(\bar{x}) > \textit{0}$$ \newline و چون $ U(y_{j}) $ شامل محمل $ \alpha_{j} $ می باشد، پس شامل $ \bar{x} $ است، در نتیجه : \newline $$\mu < f(\bar{x}, y_{i})$$ \newline و اگر برای $ \textit{1} \leq k \leq n $ ای $ \bar{x} \notin U(y_{k}) $ ، $ \alpha_{k}(\bar{x}) = \textit{0} $. بنابراین داریم: \newline $$f(\bar{x}, \bar{x}) \geq \alpha_{\textit{1}}(\bar{x})f(\bar{x}, y_{\textit{1}}) + ... + \alpha_{n}(\bar{x})f(\bar{x}, y_\textit{1}) > \alpha_{\textit{1}}(\bar{x}) \mu + ... +\alpha_{n}(\bar{x}) \mu$$ $$= \mu (\sum_{i=\textit{1}}^{n} \alpha_{i}(\bar{x})) = \mu = \sup_{x \in X}f(x, x) \geq f(\bar{x}, \bar{x})$$ \newline و به تناقض می رسیم. پس فرض خلف باطل و حکم ثابت می شود.$ \square $ \newline اکنون در این قسمت به بیان یک مثال می پردازیم. \vspace*{2mm} \newline \textbf{مثال} \textbf{$ \textit{3}.\textit{1}.\textit{3} $}: \newline فرض کنیم $ \Gamma $ بازی دو نفره ی غیر مشارکتی تعمیم یافته باشد که به صورت زیر نشان داده می شود. \newline $$\Gamma=\lbrace X_{\textit{1}}, X_{\textit{2}}; f_{\textit{1}}, f_{\textit{2}} \rbrace$$ \newline و همچنین $X_{\textit{1}}=(-\textit{1}, \textit{1}] $، $X_{\textit{2}}=[\textit{0}, \textit{1}] $ ، $ D=[\textit{0}, \textit{1}] \subset X_{\textit{1}} $، $E=[\textit{0}, \textit{1}] = X_{\textit{2}} $، و توابع بازدهی بازیکنان به صورت زیر باشد: \newline $$f_{\textit{1}}(x_{\textit{1}}, x_{\textit{2}}):=x_\textit{1}^\textit{2}x_\textit{2} \quad \forall(x_{\textit{1}}, x_{\textit{2}}) \in X=X_{\textit{1}} \times X_{\textit{2}},$$ $$f_{\textit{2}}(y_{\textit{1}}, y_{\textit{2}}):=y_\textit{1}\sqrt{y_\textit{2}} \quad \forall(y_{\textit{1}}, y_{\textit{2}}) \in X=X_{\textit{1}} \times X_{\textit{2}}.$$ \newline در این صورت واضح است که برای هر $x_{\textit{2}} \in [\textit{0}, \textit{1}] $، $ f_{\textit{1}}(., x_{\textit{2}}) $ شبه مقعر نیست. برای این بازی، مجموع توابع بازدهی $ H:X \times X \longrightarrow R $را به صورت زیر تعریف می کنیم: \newline $$\forall ((x_{\textit{1}}, x_{\textit{2}}), (y_{\textit{1}}, y_{\textit{2}})) \in X \times X;$$ \newline $$H((x_{\textit{1}}, x_{\textit{2}}), (y_{\textit{1}}, y_{\textit{2}})) = f_{\textit{1}}(x_{\textit{1}}, y_{\textit{2}}) + f_{\textit{2}}(y_{\textit{1}}, x_{\textit{2}})=x_\textit{1}^\textit{2}y_\textit{2} + y_\textit{1}\sqrt{x_\textit{2}}.$$ \newline تابع $H(x, y) $ روی $ X \times X $ پیوسته است. برای دو نقطه ی دلخواه $ ((x_{\textit{1}}, x_{\textit{2}}), (y_{\textit{1}}, y_{\textit{2}})) \in X \times X $ ، تابع پیوسته ی $\phi_\textit{2}:\Delta_\textit{2} \longrightarrow D \times E $ را با ضابطه ی زیر تعریف می کنیم: \newline $$\phi_\textit{2}(\lambda, \textit{1}-\lambda) := (\sqrt{\lambda x_\textit{1}^\textit{2} + (\textit{1}-\lambda)x_\textit{3}^\textit{2}}, [\lambda \sqrt{ x_\textit{2}} + (\textit{1}-\lambda)\sqrt{x_\textit{4}} ]^\textit{2}) \quad \forall \lambda \in [\textit{0}, \textit{1}].$$ \newline تابع $ \phi_\textit{2} $ روی $ \Delta_\textit{2} $ یک تابع پیوسته است. همچنین برای $ \lambda \in [\textit{0}, \textit{1}] $ و $ (y_\textit{1}}, y_\textit{2}}) \in X $، داریم: \newline $$H(\phi_\textit{2}(\lambda, \textit{1}-\lambda), (y_\textit{1}}, y_\textit{2}}))$$ $$=H((\sqrt{\lambda x_\textit{1}^\textit{2} + (\textit{1}-\lambda)x_\textit{3}^\textit{2}}, [\lambda \sqrt{ x_\textit{2}} + (\textit{1}-\lambda)\sqrt{x_\textit{4}} ]^\textit{2}), (y_\textit{1}}, y_\textit{2}}))$$ \newline $$=(\lambda x_\textit{1}^\textit{2} + (\textit{1}-\lambda)x_\textit{3}^\textit{2}) y_\textit{2} + (\lambda \sqrt{ x_\textit{2}} + (\textit{1}-\lambda)\sqrt{x_\textit{4}}) y_\textit{1}}$$ \newline $$\geq \lambda(x_\textit{1}^\textit{2}y_\textit{2}} + y_\textit{1}}\sqrt{x_\textit{2}}) + (\textit{1}-\lambda)(x_\textit{3}^\textit{2}y_\textit{2}} + y_\textit{1}}\sqrt{ x_\textit{4}})$$ \newline $$= \lambda H((x_{\textit{1}}, x_{\textit{2}}), (y_{\textit{1}}, y_{\textit{2}})) + (\textit{1}-\lambda) H((x_{\textit{3}}, x_{\textit{4}}), (y_{\textit{1}}, y_{\textit{2}})).$$ \newline اکنون برای $ n $ نقطه ی دلخواه $ (x_{\textit{1}}, x_{\textit{2}}), ... , (z_{\textit{1}}, z_{\textit{2}}) \in X $،به طور مشابه می توانیم تابع پیوسته ی $ \phi_\textit{n}:\Delta_\textit{n} \longrightarrow D \times E $ را با ضابطه ی زیر تعریف کنیم: \newline $$\phi_\textit{n}(\lambda_{\textit{1}}, ... , \lambda_{n}):=(\sqrt{\lambda_\textit{1} x_\textit{1}^\textit{2} + ... + \lambda_{n} z_\textit{1}^\textit{2}}, [\lambda_\textit{1}\sqrt{x_\textit{2}} + ... +\lambda_{n}\sqrt{z_\textit{2}} ]^{\textit{2}})$$ $$\forall (\lambda_{\textit{1}}, ... , \lambda_{n}) \in \Delta_\textit{n}$$ \newline می توان نشات داد که این تابع نیز $ -C $مقعر است. از این مطلب نتیجه می شود که، $ H $ روی $ D \times E $، $ -C $مقعر است. اکنون، می توانیم از قضیه ی کیم برای بازی $ \Gamma $ استفاده نماییم. به طور واضح نقطه ی $ (\textit{1}, \textit{1}) $ یک نقطه ی تعادل نش برای بازی $ \Gamma $ است. در واقع : \newline $$\textit{1}=f_\textit{1}(\textit{1}, \textit{1}) \geq f_\textit{1}(x_\textit{1}, \textit{1}) = x_\textit{1}^\textit{2} \quad \forall x_\textit{1} \in X_\textit{1},$$ $$\textit{1}=f_\textit{2}(\textit{1}, \textit{1}) \geq f_\textit{2}(\textit{1}, y_\textit{2}) = \sqrt{y_\textit{2}} \quad y_\textit{2} \in X_\textit{2}.$$ \newline \textbf{قضیه $ \textit{4}.\textit{1}.\textit{3} $}: \newline فرض کنیم $ D $ یک زیر مجموعه ی ناتهی فشرده از فضای توپولوژیکی $ X $ باشد، همچنین فرض کنیم $ f, g :X \times X \longrightarrow R $ دو تابع باشند که در شرایط زیر صدق می کنند: \newline $ (\textit{1}) $ برای هر $ (x, y) \in X \times X $، $ f(x, y) \leq g(x, y) $. \newline $ (\textit{2}) $ برای هر $ x \in X $، $ y \longrightarrow g(x, y) $، روی $ D $ ، برای $ \gamma := \sup_{x \in X}g(x, y) $ ، $ \gamma-DCQCV $ باشد. \newline $ (\textit{3}) $ برای هر $ y \in X $، $ x \longrightarrow f(x, y) $ روی $ D $، نیمه پیوسته ی پایینی باشد. \newline آنگاه نامساوی مینیماکس زیر را داریم: \newline $$\min_{x \in D}\sup_{y \in X} f(x, y) \leq \sup_{x \in X} g(x, y)$$ \newline \textbf{اثبات }: \NEWLINE فرض کنیم $ \gamma := \sup_{x \in X} g(x, x) $ . اگر $ \gamma = \infty $، نتیجه برقرار است. بنابراین فرض کنیم که $ \gamma < \infty $. به برهان خلف فرض کنیم که : \NEWLINE $$\min_{x \in D} \sup_{y \in X} f(x, y) > \sup_{x \in X} g(x, x)$$ \newline در این صورت برای هر $ x \in D $، $ g \in X $ای وجود دارد به طوری که $ f(x, y)>\gamma $. برای هر $ y \in X $، فرض می کنیم: \newline $$U(y):=\lbrace x \in D \vert f(x, y)>\gamma \rbrace.$$ \newline اکنون با در نظر گرفتن فرض $ (\textit{3}) $، با توجه به اینکه $ f(x, y) $ روی $ D $ ، نیمه پیوسته پایینی است، لذا $ U(y) $ برای $ y \in X $ ، در $ D $، باز است. \newline و همچنین داریم: \NEWLINE $$\bigcup_{y \in X}U(y) = D.$$ \NEWLINE $ D $ فشرده است، لذا مجموعه های باز ناتهی متناهی $ \lbrace U(y_\textit{1}), ... , U(y_{n}) \rbrace $ وجود دارند به طوری که $ \bigcup_{i=\textit{1}}^{n}U(y_{i}) = D $. فرض کنیم $ \lbrace \alpha_{i} \vert i=\textit{1}, ... , n \rbrace $ یک افراز یکه ی وابسته به پوشش باز $\lbrace U(y_{i}) \vert i=\textit{1}, ... , n\rbrace $ از $ D $ باشد به طوری که: \NEWLINE $$ \textit{0}\leq \alpha_{i} \leq \textit{1} , \sum_{i=\textit{1}}^{n} \alpha_{i}(n)=\textit{1} \quad \forall x \in D ; \quad i=\textit{1}, ... , n$$ \newline و \newline $$ if \quad x \notin U(y_{i}) , \quad for \quad some \quad j \Longrightarrow \alpha_{j}(n)= \textit{0}$$ \newline برای مجموعه ی متناهی $ \lbrace y_\textit{1}, ... , y_{n}\rbrace \subset X $، $ g $ روی $ D $ برای $ \gamma $، $ \gamma-DCQCV $ است، لذا تابع پیوسته ی $ \phi_{n}:\Delta_{n} \longrightarrow D $ وجود دارد که در شرایط زیر صدق می کند: \NEWLINE $$\star \quad \gamma \geq \min \lbrace g(\phi_{n}(\lambda_\textit{1}, ... , \lambda_{n}), y_{i}) \vert j \in J(\lambda)\rbrace \quad \forall \lambda \in \Delta_{n}.$$ \newline اکنون تابع پیوسته ی $ \alpha :D \longrightarrow \Delta_{n} $ را با ضابطه ی $ \alpha(n):= (\alpha_\textit{1}(n), ... , \alpha_{n}(x)) $ برای $ x \in D $ تعریف می کنیم و تابع پیوسته ی $ \Psi:\Delta_{n} \longrightarrow \Delta_{n} $ که با ضابطه ی زیر تعریف می شود را در نظر می گیریم: \newline $$\Psi(\lambda):= \alpha o \phi_{n}(\lambda) = (\alpha_\textit{1}(\phi_{n}(\lambda)), ... , \alpha_{n}(\phi_{n}(\lambda))) \quad \forall \lambda \in \Delta_{n}.$$ \newline با توجه به اینکه $ \phi_{n} $ و هر $ \alpha_{i} $ پیوسته هستند، لذا تابع $ \Psi:\Delta_{n} \longrightarrow \Delta_{n} $ روی مجموعه ی محدب فشرده ی $ \Delta_{n} $، پیوسته است. بنابراین با استفاده از قضیه ی نقطه ثابت برائر، نقطه ی ثابت $ \bar{\lambda} \in \Delta_{n} $ وجود دارد به طوری که : \newline $$\Psi(\bar{\lambda}) = \alpha o \phi_{n}(\bar{\lambda})$$ $$=(\alpha_\textit{1}(\phi_{n}(\bar{\lambda})), ... , \alpha_{n}(\phi_{n}(\bar{\lambda}))) = (\bar{\lambda_\textit{1}}, ... , \bar{\lambda_n}) = \bar{\lambda}$$ \newline در اینجا فرض می کنیم که $ \bar{x}=\phi_{n}(\bar{\lambda}) $ و سپس $ \bar{\lambda}=\alpha( \bar{x}) $. \newline از طرف دیگر، با استفاده از نامساوی ($ \star $) و همچنین با استفاده از فرض ($ \textit{1} $) قضیه داریم: \newline $$\gamma \geq \min \lbrace g(\bar{x}, y_{j}) \vert j \in J(\bar{\lambda})\rbrace \geq \min \lbrace f(\bar{x}, y_{j}) \vert j \in J(\bar{\lambda}) \rbrace$$ \newline در جاهایی که $ (\bar{\lambda_\textit{1}}, ... , \bar{\lambda_n}) = \bar{\lambda} \in \Delta_{n} $ است. اکنون توجه داریم که برای $ j \in J(\bar{\lambda}) $، $ \bar{\lambda}_{j} \neq \textit{0} $. به عبارتی داریم که $ \alpha_{j}(\bar{x}) \neq \textit{0} $. این در واقع این معنی را می دهد که برای $ j \in J(\bar{\lambda}) $ ، $ \bar{x} \in U(y_{j}) $. بنابراین به این نتیجه می رسیم که: \newline $$f(\bar{x}, y_{j}) > \alpha .$$ \newline بنابراین با توجه به نامساوی بالا به تناقض می رسیم. یعنی : \newline $$\gamma \geq \min \lbrace g(\bar{x}, y_{j}) \vert j \in J(\bar{\lambda})\rbrace \geq \min \lbrace f(\bar{x}, y_{j}) \vert j \in J(\bar{\lambda}) \rbrace > \gamma$$ \newline لذا فرض خلف باطل و قضیه برقرار است.$\square$ \newline \newpage \chapter{\textbf{ شرایط $kkm$} } \newpage \begin{flushright} \section{شرایط $kkm$} فرض کنید $ E $ یک فضای برداری توپولوژیکی هاسدورف و $ X $ یک زیرمجموعه ی ناتهی از $ E $ باشد. تابع چند مقداری $ G:X \longrightarrow \textit{2}^{E} $ یک تابع $ KKM $ نامیده می شود اگر: \newline $$Co \lbrace x_\textit{1}, ... , x_{n}\rbrace \subset \bigcup_{i=\textit{1}}^{n}G(x_{i}) ,$$ \newline برای هر زیر مجموعه متناهی $\lbrace x_\textit{1}, ... , x_{n}\rbrace \subset X $ در جاهایی که $ Co \lbrace x_\textit{1}, ... , x_{n}\rbrace $، غلاف محدب مجموعه $\lbrace x_\textit{1}, ... , x_{n}\rbrace $ تعریف شوند.(منبع دوازده مقاله) \vspace*{2mm} \newline \textbf{قضیه $ \textit{1}.\textit{1}.\textit{4} $}: \newline فرض کنید $ E $ یک فضای برداری توپولوژیکی هاسدورف باشد، $ X $ یک زیرمجموعه ی ناتهی از $ E $ باشد و $ G:X \longrightarrow \textit{2}^{E} $ یک تابع $ KKM $ با مقادیر بسته ناتهی باشد. اگر $ x_\textit{0} \in X $ای وجود داشته باشد به طوری که $ G(x_\textit{0}) $ یک مجموعه ی فشرده از $ E $ باشد، آنگاه $ \bigcap_{x \in X}G(x) \neq \emptyset $.(لم یک در منبع نه)\end{theorem} \newline \textbf{قضیه} \textbf{$ \textit{2}.\textit{1}.\textit{4} $ }: \newline فرض کنیم $ E $ یک فضای برداری توپولوژیکی هاسدورف باشد و $ X $ یک زیرمجموعه ناتهی محدب فشرده از $ E $ باشد. اگر یک تابع $ \varphi:X \times X \longrightarrow (-\infty, \infty) $ وجود داشته باشد که در شرایط زیر صدق کند: \newline \textbf{الف}) $ \varphi:(., y):X \longrightarrow (-\infty, \infty) $ برای هر $ y \in X $، نیمه پیوسته بالایی باشد. \newline \textbf{ب}) $\varphi(x, .):X \longrightarrow \longrightarrow (-\infty, \infty) $ برای $ x \in X $، شبه محدب باشد، \newline آنگاه یک نقطه ی $ {x}^\prime \in X $ وجود دارد به طوری که : $$ \inf_{y \in X}\varphi({x}^\prime, y)\geq \inf_{x \in X}\varphi(x, x)$$ قضیه یک در منبع ده \end{theorem} \newline \textbf{تعریف}\textbf{$\textit{3} .\textit{1}.\textit{4} $} : \newline فرض کنیم $ E $ یک زیر مجموعه ناتهی از یک فضای برداری توپولوژیکی $ E $ باشد. یک تابع چند مقداری $ F:X\longrightarrow \textit{2}^{E} $ یک تابع تعمیم یافته ی $ KKM $ نامیده می شود، اگر برای هر مجموعه متناهی $ \lbrace x_\textit{1}, ... , x_{n}\rbrace \subset X $، یک زیر مجموعه ی متناهی $ \lbrace y_\textit{1}, ... , y_{n}\rbrace \subset E$ وجود داشته باشد به طوری که برای هر زیر مجموعه $\lbrace{ y_{i}}_\textit{1}, ... , {y_i}_k\rbrace \subset \lbrace y_\textit{1}, ... , y_{n}\rbrace $ و $ \textit{1} \leq k \leq n $، داشته باشیم: \newline $$Co\lbrace{ y_{i}}_\textit{1}, ... , {y_i}_k\rbrace \subset \bigcup_{j=\textit{1}}^{k}F({x_{i}}_{j}).$$ \end{definition} \newline \begin{lem} \newline فرض کنیم $ E $ یک زیر مجموعه ناتهی محدب از فضای برداری توپولوژیکی هاسدورف باشد. فرض کنید $ F:X\longrightarrow \textit{2}^{E} $، یک تابع چند مقداری باشد به طوری که برای هر $ x \in X $، $ F(x) $ به طور متناهی بسته باشد. در واقع، برای هر زیر فضای متناهی البعد $ L $ از $ E $، $ F(x) \cap L $در توپولوژی اقلیدسی در $ L $، بسته باشد. آنگاه خانواده مجموعه $ \lbrace F(x) : x \in X \rbrace$ دارای خاصیت اشتراک متناهی است اگر و تنها اگر $ F:X\longrightarrow \textit{2}^{E} $ ، یک تابع تعمیم یافته $ KKM $ باشد.قضیه سه یک در منبع پنج \newline \end{lem} \newline \begin{definition} فرض کنید $ Z $ و $ Y $ دو فضای توپولوژیکی باشند. یک تابع چند مقداری $ F:Y \longrightarrow \textit{2}^Z $، انتقال مقدار بسته روی $ Y $ نامیده می شود، اگر برای هر $ x \in Y $ و $ y \notin F(x) $، یک عنصر $x^\prime \in Y $ وجود داشته باشد به طوری که $ y \notin \overline{F(x^\prime)} $، در جاهایی که $ \bar{A} $ توسط بستار یک زیر مجموعه $ A $ از فضای توپولوژیکی تعریف شود. \newline نشان داده شده است که $ F $، تابع انتقال مقدار بسته است اگر وتنها اگر : \newline $$\bigcap_{x \in Y }F(x) = \bigcap_{x \in Y }\overline{{F(x)}}.$$ (منبع هفده و شش) \end{definition} \newline \textbf{قضیه}\textbf{ $ \textit{4}.\textit{1}.\textit{4} $}: \newline فرض کنیم $ X $ یک زیر مجموعه ناتهی از فضای برداری توپولوژیکی هاسدورف $ E $ باشد. فرض کنیم $ F:X \longrightarrow \textit{2}^E $ یک تابع انتقال مقدار بسته باشد به طوری که $ \bar{F}:X \longrightarrow \textit{2}^E$ یک تابع تعمیم یافته $ KKM $ نسبت به $ K $ باشد. اگر $ \overline{Co}(K) $ فشرده باشد، در جاهایی که $ \overline{Co}(K) $ توسط بستار غلاف محدب $ K $ تعریف می شود، آنگاه داریم: \newline $$ \bigcap_{x \in X}F(x) \neq \emptyset.$$ \end{theorem} \newline \textbf{ اثبات:} \newline از آنجایی که $\bar{F}:X \longrightarrow \textit{2}^E $ برای هر $ x \in X $، با $ \bar{F}(x) = \overline{F(x)} $ تعریف شده است، می دانیم که $ \bar{F} $ ، یک تابع تعمیم یافته $KKM $ با مقادیر بسته است. برای هر $ x \in X $، تعریف می کنیم: \newline $$G(x) =\overline{Co}(K) \bigcap \overline{F(x)}.$$ \newline هر زیر مجموعه متناهی $ \lbrace x_\textit{1}, ... , x_{n} \rbrace $ از $ X $ را در نظر می گیریم. تعریف $ \textit{1} $ ، نشان می دهد که یک زیر مجموعه متناهی $ \lbrace y_\textit{1}, ... , y_{n} \rbrace \subset K $ وجود دارد به طوری که برای هر زیر مجموعه $ \lbrace{ y_{i}}_\textit{1}, ... , {y_i}_k\rbrace \subset \lbrace y_\textit{1}, ... , y_{n}\rbrace $ و $ \textit{1} \leq k \leq n $ داریم: \newline $$Co\lbrace{ y_{i}}_\textit{1}, ... , {y_i}_k\rbrace \subset \bigcup_{j=\textit{1}}^{k}\overline{F({x_i}_j)}.$$ \newline مشاهده می کنیم که: \newline $$Co\lbrace{ y_{i}}_\textit{1}, ... , {y_i}_k\rbrace \subset \overline{Co}(K).$$ \newline و از اینجا نشان داده می شود که : \newline $$Co\lbrace{ y_{i}}_\textit{1}, ... , {y_i}_k\rbrace \subset \overline{Co}(K) \bigcap \bigcup_{j=\textit{1}}^{k}\overline{F({x_i}_j)}.$$ \newline که نتیجه می دهد: \newline $$Co\lbrace{ y_{i}}_\textit{1}, ... , {y_i}_k\rbrace \subset \overline{Co}(K) \bigcap \bigcup_{j=\textit{1}}^{k}\overline{F({x_i}_j)}= \bigcup_{j=\textit{1}}^{k}G({x_i}_j).$$ \newline این نشان می دهد که $ G:X \longrightarrow \textit{2}^{E} $ یک تابع تعمیم یافته $ KKM $ نسبت به $ k $ است و بنابراین آن یک تابع تعمیم یافته $ KKM $ است. از اینجا، $ G(x) $ برای هر $ x \in X $ بسته است. از لم $ \textit{1} $ نتیجه می گیریم که خانواده مجموعه های $ \lbrace G(x) : x \in X$ خاصیت اشتراک متناهی دارد. توجه می کنیم که $ G(x) $، نیز برای هر $ x \in X $ ، فشرده است. بنابر این داریم: \newline $$\overline{Co}(K) \bigcap (\bigcap_{x \in X}\overline{F(x)}) = \bigcap_{x \in X}\overline{Co}(K) \bigcap \overline{F(x)} = \bigcap_{x \in X}G(x) \neq \emptyset$$ \newline که نتیجه می دهد: \newline $$\bigcap_{x \in X}\overline{F(x)} \neq \emptyset$$ \newline از اینجا تابع انتقال مقدار بسته است. داریم: \newline $$\bigcap_{x \in X}F(x) = \bigcap_{x \in X}\overline{F(x)} \neq \emptyset.$$ \newline \newline \textbf{تعریف}\textbf{$ \textit{5}.\textit{1}.\textit{4} $} : \newline فرض کنیم $ E $ یک فضای توپولوژیکی برداری باشد. همچنین فرض کنیم $ X $ یک زیر مجموعه ناتهی از $ E $ باشد. یک تابع $ \phi:X \longrightarrow (-\infty, +\infty) $، شبه محدب نامیده می شود اگر، برای هر $ \lambda \in (-\infty, +\infty) $، مجموعه ی $ \lbrace x \in X : \phi(x) \leq \lambda \rbrace$ محدب باشد. $ \phi $، شبه مقعر نامیده می شود اگر $ -\phi $ شبه محدب باشد. \vspace*{2mm} \newline \textbf{تعریف}\textbf{$ \textit{6}.\textit{1}.\textit{4} $}: \newline فرض کنیم $ E $ یک فضای برداری توپولوژیکی باشد. فرض کنیم $ Y $ و $ X $ دو زیر مجموعه ناتهی محدب از $ E $ باشند. یک تابع $ \phi:X \times Y \longrightarrow (-\infty, +\infty) $، $ \gamma $-تعمیم یافته شبه محدب روی $Y $ نامیده می شود اگر برای هر زیر محموعه متناهی $ \lbrace y_\textit{1}, ... , y_n \rbrace \subset Y $، یک زیر مجموعه متناهی $\lbrace x_\textit{1}, ... , x_n \rbrace \subset X $ وجود داشته باشد به طوری که برای هر زیر مجموعه ی \newline $$\lbrace {x_i}_\textit{1}, ... ,{ x_i}_k \rbrace \subset \lbrace x_\textit{1}, ... , x_n \rbrace$$ \newline و هر $ x_\textit{0} \in Co\lbrace {x_i}_{\textit{1}}, ... ,{ x_i}_{k} \rbrace $ داشته باشیم: \newline $$\gamma \leq \max_{\textit{1} \leq j \leq k} \phi (x_\textit{0}, y_i_j)$$ \newline همچنین $ \phi(x, y) $ برای $ \gamma \in (-\infty, +\infty) $، $ \gamma $-تعمیم یافته شبه مقعر روی $ Y $ نامیده می شود، \newline هرگاه $- \phi(x, y) $ ، $ \gamma $-تعمیم یافته شبه محدب روی $ Y $ باشد. \vspace*{2mm} \newline \newline \textbf{تعریف} \textbf{$ \textit{7}.\textit{1}.\textit{4} $}: \newline یک تابع $ \phi $، $ \gamma $-تعمیم یافته شبه محدب روی $ Y $ نسبت به $ K $ برای $ \gamma \in (-\infty, +\infty) $ و زیر مجموعه ی محدب $ K \subset X $ نامیده می شود اگر برای هر زیر مجموعه متناهی $ \lbrace y_\textit{1}, ... , y_n \rbrace \subset Y $ یک زیر مجموعه متناهی $ \lbrace x_\textit{1}, ... , x_n \rbrace \subset K$ وجود داشته باشد به طوری که برای هر زیر مجموعه $ \lbrace {x_i}_\textit{1}, ... ,{ x_i}_k \rbrace \subset \lbrace x_\textit{1}, ... , x_n \rbrace $ و هر $ x_\textit{0} \in Co\lbrace {x_i}_{\textit{1}}, ... ,{ x_i}_{k} \rbrace $ داشته باشیم: \newline $$\gamma \leq \max_{\textit{1} \leq j \leq k} \phi(x_\textit{0}, y_i_j).$$ \newline \textbf{لم}\textbf{$ \textit{8}.\textit{1}.\textit{4} $}: \newline فرض کنیم $ X $ و $ Y $ دو زیر مجموعه ناتهی از فضای برداری توپولوژیکی $ E $ باشند. فرض کنیم $ K $ یک زیر مجموعه ناتهی محدب از $ X $ باشد و $ \phi(x, y ): X \times Y \longrightarrow (-\infty, +\infty) $ و $ \gamma \in (-\infty, +\infty)$ . آنگاه عبارات زیر با هم معادلند: \newline \textbf{الف) }تابع $ G:Y \longrightarrow \textit{2}^X $ که به صورت زیر تعریف می شود : \newline $$G(y) = \lbrace x \in X : \phi(x, y) \leq \gamma \rbrace$$ \newline یک تابع تعمیم یافته $ KKM $ نسبت به $ K $است. \newline \textbf{ب) } $ \phi(x, y) $، $ \gamma $-تعمیم یافته شبه مقعر روی $ Y $ نسبت به $ K $ است. \newline \textbf{اثبات:} \newline گزاره دو یک در منبع پنج. \vspace*{2mm} \newline \textbf{قضیه }\textbf{$ \textit{9}.\textit{1}.\textit{4} $}: \newline فرض کنیم $ X $ و $ Y $ دو زیر مجموعه ناتهی از یک فضای برداری توپولوژیکی هاسدورف $ E $ باشد. فرض کنید $ K \subset X $، یک زیر مجموعه ناتهی محدب باشد به طوری که $ \bar{K} $ ، فشرده است. فرض کنید عددی مانند $ \gamma \in (-\infty, +\infty) $ داده شده باشد. فرض کنید $ \phi , \psi :X \times Y \longrightarrow (-\infty, +\infty)$ در شرایط زیر صدق کنند: \newline \textbf{الف}) برای هر $ y \in Y $ ثابت، $ \phi(x, y) $ ، روی $ X $، تابع $ \gamma $-ترانسفر نیمه پیوسته پایینی باشد. \NEWLINE \textbf{ب}) برای هر $ x \in X $ ثابت، $ \psi(x, y) $ روی $ Y $ نسبت به $ K $ ، $ \gamma $-تعمیم یافته شبه مقعر باشد. \NEWLINE \textbf{ج} ) برای همه ی $ (x, y) \in X \times Y $ داشته باشیم : \newline $$\phi(x, y) \leq \psi(x, y)$$ \newline آنگاه $ \bar{x} \in X $ وجود دارد به طوری که: \newline $$\phi(\bar{x}, y) \leq \gamma \quad \forall y \in Y.$$ \newline به عبارت دیگر داریم: \NEWLINE $$ \inf_{x \in X} \sup_{y \in Y} \phi(x, y) \leq \gamma.$$ \textbf{ اثبات:} \newline دو تابع چند مقداری $ T , G :Y \longrightarrow \textit{2}^E $ را با ضابطه های زیر تعریف می کنیم : \newline $$T(y) = \lbrace x \in X : \psi(x, y) \leq \gamma \rbrace$$ \newline و \newline $$ G(y) = \lbrace x \in X : \phi(x, y) \rbrace \leq \gamma$$ \newline $$\forall y \in Y$$ \NEWLINE شرط اول قضیه، نشان می دهد که $ G $ روی $ Y $ ، یک تابع انتقال مقدار بسته است. واضح است که اگر، $ x \notin G(y) $ آنگاه $ \phi(x, y) > \gamma $. از آنجایی که $ \phi(x, y) $ ، روی $ X $، تابع $ \gamma $-انتقال نیمه پیوسته پایینی است، یک $ y^\prime \in Y $ و یک همسایگی $ N(x) $ از $ x $ وجود دارد به طوری که : \NEWLINE $$\phi(z, y^\prime) > \gamma , \quad z \in N(x).$$ \newline آنگاه $ G(y^\prime) \subset X \setminus N(x) $ . از اینجا داریم که $ x \notin \overline{G(y^\prime)} $. بنابراین $ G $ با توجه به شرط دوم، تابع انتقال چند مقداری است، $ T $ تابع تعمیم یافته $ KKM $ نسبت به $ K $ است. از شرط سوم داریم که : \newline $$T(y) \subset G(y) , \quad y \in Y.$$ \NEWLINE و از اینجا $ G $ نیز نسبت به $ K $ یک تابع تعمیم یافته ی $ KKM $ است. بنابراین، $ \overline{G} $ نیز نسبت به $ K $، تابع $ KKM $ تعمیم یافته است. از آنجایی که $ K \subset X $ یک زیر مجموعه ناتهی محدب است به طوری که $ \overline{K} $، فشرده است و $ \overline{Co}(k) = \overline{k} $ نیز فشرده است. از قضیه $ \textit{3}.\textit{1}.\textit{4} $ بدست می آوریم که : \newline $$\bigcap_{y \in Y}G(y) \neq \emptyset.$$ \newline در نتیجه $ \bar{x} \in X $ وجود دارد که : \newline $$\phi(\bar{x}, y) \leq \gamma , \quad \forall y \in Y.$$ \NEWLINE به عبارت دیگر داریم: \NEWLINE $$\inf_{x \in X} \sup_{y \in Y} \phi(x, y) \leq \gamma.$$ \newline \textbf{قضیه $ \textit{10}.\textit{1}.\textit{4} $}: \newline فرض کنیم $ Y $ و $ X $ دو زیر مجموعه ناتهی از فضای برداری توپولوژیکی هاسدورف $ E $ باشد. فرض کنیم عددی مانند $ \gamma \in (-\infty, +\infty) $ داده شده باشد و فرض کنیم $ \phi:X \times Y \longrightarrow (-\infty, +\infty) $ در شرایط زیر صدق کند: \newline \textbf{ الف) } $ \phi(x, y) $، روی $ X$، $ \gamma $-انتقال نیمه پیوسته پایینی باشد و روی $ y $، $ \gamma $-تعمیم یافته شبه مقعر نسبت به $ K $ باشد، در جاهایی که $ K \subset X $، یک زیر مجموعه ناتهی محدب باشد به طوری که $ \overline{K} $، فشرده است. \NEWLINE \textbf{ب)} $ \phi(x, y) $، روی $ Y $، $ \gamma $-انتقال نیمه پیوسته بالایی باشد و $ \gamma $-تعمیم یافته ی شبه محدب روی $ X $، نسبت به $ M $ باشد، در جاهایی که $ M \subset Y $، یک زیر مجموعه ی ناتهی محدب باشد به طوری که $ \overline{M} $، فشرده است. \NEWLINE آنگاه یک نقطه زینی از $ \phi(x, y) $ وجود دارد. در واقع، $ (\bar{x}, \bar{y}) \in X \times Y $ وجود دارد به طوری که : \NEWLINE $$\phi(\bar{x}, y) \leq \phi(\bar{x}, \bar{y}) \leq \phi(x, \bar{y}) , \quad \forall (x, y) \in X \times Y.$$ \newline علاوه بر آن داریم: \newline $$\inf_{x \in X} \sup_{y \in Y} \phi(x, y) = \sup_{y \in Y}\inf_{x \in X}\phi(x, y) = \gamma.$$ \NEWLINE \textbf{اثبات:} \NEWLINE با استفاده از قضیه قبل با $ \phi = \psi $ ، $ \bar{x} \in X $ وجود دارد به طوری که: \newline $$(\textit{1}) \quad \phi(\bar{x}, y) \leq \gamma , \quad \forall y \in Y.$$ \NEWLINE فرض کنید $ f: Y \times X \longrightarrow (-\infty, +\infty) $ تعریف شده باشد به طوری که $ f(y, x) = - \phi(x, y) $. با استفاده از فرض $( \textit{2}) $ قضیه، $ f(y, x) $، روی $ y $ ، $ \gamma $-انتقال نیمه پیوسته پایینی است و نسبت به $ M $، $ (-\gamma )$-تعمیم یافته شبه مقعر روی $ X $ است، در جاهایی که $ M \subset Y $ یک زیر مجموعه ی ناتهی محدب است به طوری که $ \bar{M} $، فشرده است. بنابراین با استفاده از قضیه قبل بدست می آید که $ \bar{y} \in Y $ وجود دارد به طوری که : \NEWLINE $$f(\bar{y}, x) = -\phi(x, \bar{y}) \leq -\gamma , \quad \forall x \in X.$$ \NEWLINE که نتیجه می دهد : \NEWLINE $$(\textit{2}) \quad \phi(x, \bar{y}) \geq \gamma , \quad \forall x \in X.$$ \NEWLINE با ترکیب $ (\textit{1}) $ و $(\textit{2})$ داریم: \NEWLINE $$\phi(\bar{x}, \bar{y}) = \gamma$$ \newline و \newline $$(\textit{3}) \quad \phi(\bar{x}, y) \leq \phi(\bar{x}, \bar{y}) \leq \phi(x, \bar{y}) , \quad \forall (x, y) \in X \times Y.$$ \NEWLINE در نهایت با استفاده از $ (\textit{1}) - (\textit{3}) $ به دست می آوریم که : \NEWLINE $$\sup_{y \in Y}\inf_{x \in X} \phi(x, y) \leq \inf_{x \in X}\sup_{y \in Y}\phi(x, y) $$ \newline $$\leq \sup_{y \in Y}\phi(\bar{x}, y) \leq \phi(\bar{x}, \bar{y}) $$ \newline $$\leq \inf_{x \in X} \phi(x, \bar{y}) \leq \sup_{y \in Y}\inf_{x \in X} \phi(x, y).$$ \newline در نتیجه : \newline $$\inf_{x \in X}\sup_{y \in Y}\phi(x, y) = \sup_{y \in Y}\inf_{x \in X} \phi(x, y) = \gamma.$$ \newline و اثبات کامل است.$ \square $ \newpage \chapter*{واژه‌نامه فارسی به انگلیسی}\markboth{واژه‌نامه فارسی به انگلیسی}{واژه‌نامه فارسی به انگلیسی} \addcontentsline{toc}{chapter}{واژه‌نامه فارسی به انگلیسی} \vspace*{6mm} \textbf{الف} \newline \vspace*{5mm} \englishgloss{strict}{اکید} \vspace*{5mm} \englishgloss{via}{از طریق} \vspace*{5mm} \englishgloss{sterategy}{استراتژی} \vspace*{7mm} \textbf{ب} \newline \vspace*{5mm} \englishgloss{in order}{بدین ترتیب} \vspace*{5mm} \englishgloss{hold}{برقرار بودن} \vspace*{5mm} \englishgloss{in particular}{به خصوص} \vspace*{5mm} \englishgloss{similary}{به طور مشابه} \vspace*{5mm} \englishgloss{clearly}{به وضوح} \vspace*{5mm} \englishgloss{uniformly}{به طور یکنواخت} \vspace*{5mm} \englishgloss{infinity}{بی نهایت} \vspace*{5mm} \englishgloss{open}{باز} \vspace*{5mm} \englishgloss{close}{بسته} \vspace*{5mm} \englishgloss{closure}{بستار} \vspace*{5mm} \englishgloss{pay off}{بازدهی} \vspace*{5mm} \englishgloss{contrary}{برهان خلف} \vspace*{7mm} \textbf{پ} \newline \vspace*{5mm} \englishgloss{continuity}{پیوستگی} \vspace*{5mm} \englishgloss{compact}{پیرافشرده} \vspace*{7mm} \textbf{ت} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{function}{تابع} \vspace*{5mm} \englishgloss{functional}{تابعک} \vspace*{5mm} \englishgloss{contradiction}{تناقض} \vspace*{5mm} \englishgloss{describ}{توصیف} \vspace*{5mm} \englishgloss{definition}{تعریف} \vspace*{5mm} \englishgloss{concavity}{تقعر} \vspace*{5mm} \englishgloss{convexity}{تحدب} \vspace*{5mm} \englishgloss{equilibrium}{تعادل} \vspace*{5mm} \englishgloss{nash equilibrium}{تعادل نش} \vspace*{5mm} \englishgloss{generalized}{تعمیم یافته} \vspace*{5mm} \englishgloss{topology}{توپولوژی} \vspace*{7mm} \textbf{ث} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{establish}{ثابت کردن} \vspace*{7mm} \textbf{ج} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{solution}{جواب} \vspace*{7mm} \textbf{ح} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{limit}{حد} \vspace*{5mm} \englishgloss{at least}{حداقل} \vspace*{5mm} \englishgloss{product}{حاصلضرب} \vspace*{7mm} \textbf{خ} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{linear}{خطی} \vspace*{7mm} \textbf{د} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{domain}{دامنه} \vspace*{5mm} \englishgloss{consequently}{در نتیجه} \vspace*{5mm} \englishgloss{sequence}{دنباله} \vspace*{7mm} \textbf{س} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{construct}{ساختن} \vspace*{7mm} \textbf{ش} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{condition}{شرط} \vspace*{5mm} \englishgloss{quasiconcave}{شبه مقعر} \vspace*{5mm} \englishgloss{quasiconvex}{شبه محدب} \vspace*{5mm} \englishgloss{countable}{شمارا} \vspace*{7mm} \textbf{ص} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{satisfy}{صدق کردن} \vspace*{7mm} \textbf{ض} \vspace*{5mm} \newline \vspace*{5mm} \englishgloss{multiplying}{ضرب} \vspace*{7mm} \textbf{ع} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{operator}{عملگر} \vspace*{7mm} \textbf{غ} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{non-cooprative}{غیرمشارکتی} \vspace*{7mm} \textbf{ف} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{assume}{فرض کردن} \vspace*{5mm} \englishgloss{suppose}{فرض کردن} \vspace*{5mm} \englishgloss{space}{فضا} \vspace*{5mm} \englishgloss{compact}{فشرده} \vspace*{7mm} \textbf{گ} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{ball}{گوی} \vspace*{5mm} \englishgloss{gragh}{گراف} \vspace*{7mm} \textbf{ل} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{lemma}{لم} \vspace*{7mm} \textbf{م} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{corresponding}{متناظر} \vspace*{5mm} \englishgloss{example}{مثال} \vspace*{5mm} \englishgloss{positive}{مثبت} \vspace*{5mm} \englishgloss{independent}{مستقل} \vspace*{5mm} \englishgloss{problem}{مساله} \vspace*{5mm} \englishgloss{derivative}{مشتق} \vspace*{5mm} \englishgloss{equal}{معادل} \vspace*{5mm} \englishgloss{equation}{معادله} \vspace*{5mm} \englishgloss{value}{مقدار} \vspace*{5mm} \englishgloss{introduction}{مقدمه} \vspace*{5mm} \englishgloss{unique}{منحصربه فرد} \vspace*{5mm} \englishgloss{negative}{منفی} \vspace*{5mm} \englishgloss{convex}{محدب} \vspace*{5mm} \englishgloss{concave}{مقعر} \vspace*{5mm} \englishgloss{locally}{موضعا} \vspace*{7mm} \textbf{ن} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{inequality}{نامساوی} \vspace*{5mm} \englishgloss{result}{نتیجه} \vspace*{5mm} \englishgloss{norm}{نرم} \vspace*{5mm} \englishgloss{point}{نقطه} \vspace*{5mm} \englishgloss{lower semicontinuos}{نیم پیوسته پایینی} \vspace*{5mm} \englishgloss{upper semicontinuos}{نیم پیوسته بالایی} \vspace*{5mm} \englishgloss{fixed point}{نقطه ثابت} \vspace*{7mm} \textbf{و} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{existence}{وجود} \vspace*{7mm} \textbf{ه} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{neighbourhood}{همسایگی} \vspace*{5mm} \englishgloss{hausdorff}{هاسدورف} \vspace*{7mm} \textbf{ی} \vspace*{5mm} \newline \englishgloss{uniqueness}{یکتایی} \newpage ب