\documentstyle[11pt,farsi]{reportfarsi}
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\textheight}{22cm}
\setlength{\oddsidemargin}{1mm}
\input{amssym}
\newtheorem{theo}{\siah\Large\InF{}��̉��� \EnF{}}[section]
\newtheorem{conseq}{\siah\Large\InF{}������ \EnF{}}[section]
\newtheorem{prop}{\siah\Large\InF{}��Ð�� \EnF{}}[section]
\newtheorem{defn}{\siah\Large\InF{}�������� \EnF{}}[section]
\newtheorem{lemm}{\siah\Large\InF{}��� \EnF{}}[section]
\newtheorem{exam}{\siah\Large\InF{}��� \EnF{}}[section]   
\newtheorem{rmark}{\siah\Large\InF{}����ʉ��  \EnF{}}[section]

\newcommand{\real}{I\!\!R}
\newcommand{\p}{I\!\!P}
\newcommand{\fel}{\longrightarrow}
\newcommand{\La}{\frak{L}}
\newcommand{\oo}{\circ}

\def\t{\textstyle}
\newcommand{\ron}{\frac{\rond}{\rond x^i}}
\newcommand{\z}{\times}
\newcommand{\fe}{\varphi}
\newcommand{\zir}{\subseteq}
\newcommand{\rond}{\partial}
\newcommand{\baar}{\overline}
\newcommand{\ro}{\rho}
\newcommand{\ba}{(E,\pi,M)}
\newcommand{\jj}{j^1_ps}
\renewcommand{\j}{J^1E}
\newcommand{\fa}{\InF{} ��­ ������� \EnF{}}
\newcounter{fnote}[section]
\newcommand{\fnote}[1]{\setcounter{footnote}{\value{fnote}}\footnote{#1}\addtocounter{fnote}{1}}
%\newcommand{\fnotemark}{\setcounter{footnote}{\value{fnote}}\footnotemark\addtocounter{fnote}{1}}
%\newcommand{\fnotetext}[1]{\setcounter{footnote}{\value{fnote}}\footnotetext{#1}}
%\setcounter{page}{1}
%\pagestyle{headings}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------
\newcommand{\graphicx}[2]{
\input{epsf}
\epsfxsize=#1
\begin{figure}[htb]
\centerline{\epsffile{#2}}
\end{figure}
}
%--------------------------------------------------------------------------------------------- 
%______________________________________________________________________________________________
%______________________________\InF{} ��Ɖމ� ����� ��� 䉀���� ꉑ���� ������� ������ \EnF{}_________________________


%\include{fcover}

\pagenumbering{adad} %T0 create page with roman numbe 

%\include{ackonowledge}

%\include{fabstract}



\thispagestyle{empty} 
\pagenumbering{farsifoo}
%\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\baselinestretch}{1.2} 

%\tableofcontents
%\newpage
%\farsi
\begin{document}
\vspace*{1cm}

\begin{center}
\vspace*{3cm}
{\bf \large ����ȉډ�� ����㉵�� �������}\\
{\bf \large ����ȉ؉�� ������� � ��܉�� �������}\\
\noindent \\

{\bf  ������� ���� �������)����󉃉�(}\\  
\noindent \\

\noindent \\

{\bf \Large  \InE{}$-\varphi$\EnE{} \InE{}$\hspace{-.1cm}$\EnE{} ���ډ���� ��� ��������� ���� ����� ������ � \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{} ���ډ���� ��� ����� ������󉁦���-��������� }\\ 
\noindent \\

\noindent \\

{\bf ����ȉ���: ����� ����� }\\ 
\noindent \\

{\bf ������� ������މ�: ���䉱��󉽉މ��� ������� }\\ 
\noindent \\

{\bf ������� ��ȉ���: ��� ��܉��®�� ������� ������ }\\ 
\noindent \\

{\bf ����މ� ���� 9831}

\end{center}

\newpage 
\thispagestyle{empty} 


\newpage
\centerline {\bf \huge ��؉���� }\ \\
\ \\
\ \\
�� ���� ������� ������ ��� ��Ή���㉂ ���ډ���� � ����� ���ډ���� ��� ��������� ���� � ��������� ������󉁦��� ��¢������ ���� ����. ��Ɖމ� �\tashdid �� ���� ������� ������, ���  ����މ���   ��ԉ����  ���ډ�����  
 ��������� ���� ��� ��ԉ���� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ���� ��� ��������� ����  �ꉑ��� � \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ���� ��� ����� ������󉁦���-����� ��� 
%��� �� �� ���� ������� ����މ��މ������  �� ��ԉ���� ���ډ���� ����� 䉀������  \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ���� ��� ��������� ���� ����� ������ � \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ���� ��� ����� ������󉁦���- ���������
%������ 
�  ��Ή���㉂ � ��¤���  ����\tashdid � ��̉����� \InE{}$M_{\varphi}(A)$\EnE{}  \InE{}$)$\EnE{} ��̉�� ������ ��މ� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ����� ��� ����� \InE{}$(A$\EnE{}  � \InE{}$M_{\varphi_{m}}(X,Y)$\EnE{} \InE{}$)$\EnE{} ��̉�� 
 ������ ��މ� \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ���� �� \InE{}$X$\EnE{} ���  \InE{}$(Y$\EnE{}  �����ʉ�� ���ꉵ�� ����.  
 �� ���� ������� ����� ���󉱉� �� ��މ܉�   �щ� ����� �����,  ����ډ��� ������� � �ꉑ����   �����  \InE{}$M_{\varphi}(A)$\EnE{}  �� ����� ��� ������.
 
�� ��Ɖމ� �\tashdid �� ��� ������ ��� ��ԉ���� ��܉� ��� �� ���ډ����, ����� 䉀���� ����� ���ډ���� ���  ������ ��� ����� ����  � ����� ���ډ���� ��� \InE{}$-F$\EnE{}�������� ��� ��¢�����. �� ������  ��������� ������ �� �� ��щ� ��� ����� 
 ������ �\tashdid �� ������ ������ ��� 䉀�ʉ� ��މ���� ���܉� �����   � �������   �� ��މ܉� �����؉� ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� �щ� ����� ������ ���ډ�� \InE{}$QM(A^{*})$\EnE{} )��̉�� ��މ� ����� ���ډ�����
 ������ \InE{}$A^{*}$\EnE{}( ���  \InE{}$A^{**}$\EnE{} ������� ������� ����, �� ����� ��� ������. 

%��މ������� ��㉀���� ���,   ����� ����� ����� �� �� �� ����� ���ډ����� ������ ����� ������� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{}  � \InE{}$-C^{*}$\EnE{} �������� ��؉�� ��� ������.
��މ�������  ��ԉ���� ����� ���ډ���� �� ��� \InE{}$-F$\EnE{}�������� � �� ������ ���� \InE{}$-k$\EnE{}�������� �� ��щ� ���ꉵ��, ��Ή� � ���������ډ� ����� ������ �� ����� ����� ���\tashdid ���  ��¤��� ��� ����. 
������󉁦������ ��� � ����� ��� �� ��� ��̉�� ����� ���ډ���� �������� ��¢� � ����� ������󉁦��؉� ������ �� ��  ��Ή���㉂  ��� ��� ������. \\
\\
\\
\\   
{\large\bf ��܉މ�� ��܉����:} 
 ����� ���ډ�, ���ډ�, ����� ����  �ꉑ���, ����� ���� �щ� �����, \InE{}$-F$\EnE{}�����, \InE{}$-k$\EnE{}�����, ������󉁦� ���.
\newpage
\thispagestyle{empty}
\centerline{\Huge ����¨�� ������}
\vspace{2cmm}
{\large\bf 1 }\ \ {\large\bf ����� ������}\dotfill 4 
\vspace{.4cm}
\par
\ \ \ \ \ \ \   { 1.1 \ ��㉑���� � ��̉����� ��։���� }\dotfill  4
\vspace{.4cm}
\par
\ \ \ \ \ \ \   { 1.2 \ ���ډ���� � ���ډ����� �������� ��� ��������� �ꉑ��� }\dotfill  01
\vspace{.4cm}
\par
\ \ \ \ \ \ \   { 1.3 \ ������󉁦� ��� ��� ��̉�� ���ډ���� }\dotfill 41
\vspace{.4cm}
\par
\ \ \ \ \ \ \   { 1.4 \ ���������  �щ� �����   }\dotfill 51
\vspace{.4cm}
\par
{\large\bf 2}\ \ {\large\bf  \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ���� ���  ���������  ����  �ꉑ���}\dotfill 81
\vspace{.4cm}
\par
\ \ \ \ \ \ \ { 2.1 ��։���� }\dotfill  81
\vspace{.4cm}
\par 
\ \ \ \ \ \ \ {2.2 �����  \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ���� � ����\tashdid � ��    }\dotfill 02
\vspace{.4cm}
\par 
\ \ \ \ \ \ \ {2.3 ����� ��։������ ��މ���� ������ �� ��¢ \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ����  }\dotfill 62
\vspace{.4cm}
\par 
\ \ \ \ \ \ \ {2.4 \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ����� �����  ������� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} }\dotfill 13
\vspace{.4cm}
\par 
{\large\bf 3}\ \ {\large \bf \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{} ���ډ���� ��� ����� ������󉁦���-���������  }\dotfill 63
\vspace{.4cm}
\par
\ \ \ \ \ \ \ {3.1 ��։���� }\dotfill 63 
\vspace{.4cm}
\par 
\ \ \ \ \ \ \ {3.2  ����\tashdid �  ��̉��  \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{} ���ډ���� }\dotfill 63
\vspace{.4cm}
\par 
\ \ \ \ \ \ \ {3.3 ������󉁦� ���� \InE{}$-\varphi$\EnE{}��މ܉ډ�� ��؉������� � \InE{}$-\varphi$\EnE{}��މ܉ډ�� 쉁� }\dotfill 04
\vspace{.4cm}
\par 
\ \ \ \ \ \ \ {3.4 \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ����� \InE{}$L_{p}(G)$\EnE{} }\dotfill 44
\vspace{.4cm}
\par
{\large\bf 4}\ \ {\large\bf  ����� ���ډ����� ������ ��� ����� ����  }\dotfill 54 
\vspace{.4cm}
\par 
\ \ \ \ \ \ \ {4.1 ��։���� }\dotfill 54 
\vspace{.4cm}
\par 
\ \ \ \ \ \ \ {4.2  ��������� ����  �щ�  ����� ��㉃�� � ����� ���ډ����   }\dotfill 74
\vspace{.4cm}
\par 
\ \ \ \ \ \ \ {4.3 ������󉁦������ ��� � ����� ��� ��� ��̉�� ����� ���ډ���� }\dotfill 75 
\vspace{.4cm}
\par 
\ \ \ \ \ \ \ { 4.4  ����� ���ډ����� ������ \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{}  }\dotfill 16
\vspace{.4cm}
\par
{\large \bf 5}\ \ {\large \bf ����� ���ډ���� ��� \InE{}$-F$\EnE{}��������  }\dotfill  36
\vspace{.4cm}
\par 
\ \ \ \ \ \ \ {5.1 ��։���� }\dotfill 36
\vspace{.4cm}
\par 
\ \ \ \ \ \ \ {5.2  ��̉�� ����� ���ډ���� � �������� �� ��� ��̉�� ���ډ���� }\dotfill  36
\vspace{.4cm}
\par 
\ \ \ \ \ \ \ {5.3 ����� ���ډ���� ��� \InE{}$-F$\EnE{}�������� � \InE{}$-k$\EnE{}��������   }\dotfill  37
\vspace{.4cm}
\par 
\ \ \ \ \ \ \ {5.4 ������󉁦� ����  ��� � ����� ��� ��� ��̉�� ����� ���ډ���� }\dotfill  68 
\vspace{.4cm}
\par 
{\large \bf ����� }\dotfill 49
\vspace{.4cm}
\par 
{\large\bf ���� ������}\dotfill 001
\vspace{.4cm}
\par 
{\large\bf ��؉����� ���ډ܉��Ɖ�}\dotfill 201
\thispagestyle{empty}
\newpage
\pagenumbering{farsifoo}
\centerline{\Huge ��։����   }
\vspace {2cm}
\par 
\noindent
����։��։�  ����� �� ���� ��� ��Ή���㉂ ���ډ���� � ����� ���ډ���� ��� ��������� ���� � ���������  ������󉁦��� �����ʉ�� ���ꉵ�� ����. ��� ������ ��� �������� � ����Ɖ��ډ� ���� ��ԉ���� ��� ������ ��ԉ������ ������� �� ��މ܉� ����ډ��� ������� �� ����󉃉� ���������, �����މ��,
 ������� ��������� �����, ��㉑��� ���ԉ��Ɖ���, ������� ����ډ��������, ����󉃉� ������ � �쉵�ʉ��,
 ���� ��ԉ���� �� ������ ��Ɖ����� �� ������� ������ ��� ���ꉵ�� ���� .
 
 ��щ���� ���ډ���� �\tashdid �󉃉� ���� ������ ����� \fnote {\InE{}Wendel\EnE{}} �� ���� \InE{}$1952$\EnE{} �� ��  ���ډ����� ����� ������� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{}  ��Ή � ����� �� ��  ������ ��܉ډ����� \fnote {\InE{}Helgason\EnE{}} �� ���� \InE{}$1956$\EnE{}, ��㉀���� ��� ������ ���������� � ������ \InE{}$g$\EnE{} ��� ��������  \InE{}$g\hat{A}\subset \hat{A}$\EnE{}, ��� ��̉��
 ����� �� ���� �����Ɖ��މ�� ����� ����  \InE{}$A$\EnE{}  �������� ���.  ����� ��\tashdid ܉�  ���ډ����  ��� ��������� ����  �ꉑ���
 ������ �����  \fnote {\InE{}Wang\EnE{} } �� ���� \InE{}$1961$\EnE{}   ����� ���� ����. 

�� ��ʉ� �Ɖ�, ��㉑���� � ��̉����� ������ �� �� ��� ��ʉ�� ������� �� ��Ή ��¢� � ��̉����� ������� ����,  ��։� ��� ���� ����  ����� ���� ����.

�� ���� 2002 ����މ��މ� �� ��ԉ���� ���ډ���� ����� 䉀����  \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ����,  ������ ���  ������� ������  � ��� ������� �� ���� \protected\cite{RB}  ��Ή ���.   

%��މ������� ������� ���ډ���� � ���ډ����� �������� ���  ��������� ������󉁦��� �������܉� �����Ɖ�� \fnote { \InE{}Johnson\EnE{}} � ��Ɖ��� \fnote {\InE{} Husain\EnE{}}  �����㉂ ����� ��¢.\\
��� �� �� �����\hamze � ���� �,  ��ʉ� �\tashdid �� ���� ������� ������ �� 
��� ��Ή���㉂ ��̉�� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ����� ����� \InE{}$A$\EnE{} \InE{}$(M_{\varphi}(A))$\EnE{} � �������� �� ��� ����� \InE{}$A$\EnE{}  �����ʉ�� ����  �   �� ���� ������� ����� �������  ���� �������� ����ډ��� �������, �щ� ����� �����  � �ꉑ����  ����� ���ډ���� �� ��� ����� \InE{}$A$\EnE{}  ������ ��� ����.
 ��މ������� ��� ��؉�� ��¢� ��މ��ꉃ�Ɖ� ���� ���\tashdid ��� �� ��މ܉� ��މ��ꉃ�Ɖ� ���� ��������� � ω��� ��ډ����, ��� ����� ���� ���� ����� �� ��� ����� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ���� ��։�� ���. 
    
%��� �� �� ���� ������� ����މ��މ������  �� ��ԉ���� ���ډ���� ����� 䉀������  \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ���� ��� ��������� ���� ����� ������ � \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ���� ��� ����� ������󉁦���- ���������
%������ � ��� ��Ή���㉂ ����� ��̉����� \InE{}$M_{\varphi}(A)$\EnE{} )��̉�� ������ ��މ� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ����� ��� ����� \InE{}$A$\EnE{} ( � \InE{}$M_{\varphi_{m}}(X,Y)$\EnE{} )��̉�� 
% ������ ��މ� \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ���� �� \InE{}$X$\EnE{} ���  \InE{}$Y$\EnE{}( � �������� ���� �� ��̉� �������� ��� ����� \InE{}$A$\EnE{} � ����� ��މ��ꉃ�Ɖ� \InE{}$\varphi$\EnE{}  ��������� ��¢����.
������� ���ډ���� � ���ډ����� �������� ���  ��������� ������󉁦��� �������܉� �����Ɖ�� \fnote { \InE{}Johnson\EnE{}} � ��Ɖ��� \fnote {\InE{} Husain\EnE{}}  �����㉂ ����� ��¢. ���� \fnote {\InE{}Khan\EnE{}} ω� �� ��։���� 
\protected \cite {KMT} � \protected \cite {K}, ��� ��Ή���㉂ �쉃��  ���ډ����� ��������  �  �����-��މ��ꉃ�Ɖ� ����  ��������� ������󉁦��� ��¢������ � ����� ���󉱉� �� ����� ����� ����.

���� ��� �� ��ʉ� ��\tashdid ��  ���� ������� ������ ����މ��� ��ԉ����   \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ����  ���  \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ���� ���  ����� ������󉁦���-���������  � �������� ���� ��̉�  ��� ����� ��މ��ꉃ�Ɖ� \InE{}$\varphi$\EnE{}  ��� ������.         

����� ���ډ���� �������� ���ډ�� �� ��ԉ���� ���ډ���� ����  �\tashdid �󉃉� ���� ������ ���މ�  \fnote {\InE{}Akemann\EnE{}}  � ������ \fnote {\InE{}Pedersen\EnE{}}�� ���� \InE{}$1973$\EnE{} ��� \InE{}$-C^{*}$\EnE{}�������� ��������  ���. 
 ��� ��� \fnote {\InE{}Mckennon\EnE{}}�� ���� \InE{}$1977$\EnE{}, ���� �������� �� �� ������ ��܉� ��������� ���� ������ ��� ��։������ ��މ���� ������  �������� ���. 
����� �� ��։���� ������� ��� ���, ������� ����� ���ډ���� ��� ��������� ���� ������  �������� � ���� \protected\cite{VG}, ҉� � ������\protected\cite{KR},  󉃉� \protected\cite{L}
,���¢��� \protected\cite{D}, ������ � ������\protected\cite{AR}, ����� \protected\cite{G} � ����܉މ�� � ������ \protected\cite{YR} �������� ����� ��¢.\\
������\nasb � ������� ����� ���ډ���� �� ��̉�� ��މ܉ډ���� ������ �� \protected\cite{Ka} � �� �  �����Ɖ� \protected\cite{KP} �� ��Ή���㉂ ��� ���ꉵ�� ����. 

�� ��ʉ� �������  ����  ������� ������, ��ԉ���� ����� ���ډ���� �� ��� ������  ��� ����� ����   ������ �\tashdid �� �� ����� ��� 䉀�ʉ� ��މ���� ���܉� ����, �������� ��� ������. ��������� �� ��щ� ���ꉵ�� 
���� �� ���� ����� �� ���������� ��㉃�ԉ��� �� �щ� ����� ����� ���� ��� ����. 
%�� ��� ���� ��� ���� �������� �� ��Ή���㉂ ��� ��� ������.  \\
��މ�������  ������󉁦������  ��� � ����� ��� �� ��� ��̉��  ����� ���ډ����� ������ ��� ����� ���� �������� ��¢� � ����� ������󉁦��؉� ������ �� ��¤��� ��� ����. �� ����, ����� ����� ����� �� �� �� ����� ���ډ����� ������ \InE{}$-C^{*}$\EnE{} �������� � ����� ������� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{}   ��؉�� ��� ������.
 
�� ��ʉ� ������� ����� ���ډ���� �� ��� \InE{}$-F$\EnE{}�������� � �� ������ ����, \InE{}$-k$\EnE{}��������  �������� � ����� ����Ή�,  ��Ή� ����� � ���������ډ� ������ �� �� ��Ή���㉂ ��� ��� ������. �������� ����� ��̉�� 
����� ���ډ���� �� ��� ��̉�� ���ډ���� � ����� \InE{}$A$\EnE{}  ����� ��ډ��������� ���\tashdid ���  ������ � ��� �������� ������󉁦� ���� ����� ��� ���� ��̉�, ����� ������󉁦��؉� ���󉱉� �� ����� ��� ������.

�� ω� ��� ����� ���� ������� ������ ������ ���܉ԉ� ��Ή ���  ��� ��¡�� �� ������ ������ ���� �� ���� �������� ���ꉵ����  � ��¬�� ��� ��� � ����� ��¡�� ���ډ� �� ��������� ���. ���� 
��� ��� ������ � � ������� ��̉�� ����ȉ���� �� ���� ����� ��މ������ ������ ����.  
 
    
\newpage
\pagestyle{headings}
%\InF{} ���  ��� ��¢� 䉀����  ��� ����� �� �����  ��� ��ԉ��� ���� .\EnF{}\pagestyle{headings}\InF{}  �������  \EnF{}
%\InF{} ���  ��� ��¢�  ����¨��  ������  ���� .\EnF{}tableofcontents\InF{}������� \\EnF{}
%\InF{}  ���  ��ԉ��\hamze � ���  ����� ��ȉ��ʉ��  ����ȉ���  �  䉀���� ������� ������ ���� . \EnF{}maketitle\InF{} ������� \\EnF{}




\newpage  
 \centerline {\bf \huge ����� ����� �����:  }\\
\\
\\
�� ����Ή� ��� ��Ή���㉑� ���� ����, ��։��� ���� ���ȉ� � ���  ������ ���� ����:
\vsp
\english
{\large \ph  M. Adib, A. Riazi and J. Bracic; {\em   Quasi-multipliers of the dual of a Banach algebra}, Banach j. Math. Anal,  
{$\bf $} (2010)}

{\large \ph  A. Riazi, M. Adib; {\em $\varphi-$Multipliers on Banach algebras without order       }, Int. Journal of Math. Analysis ,  
{$\bf 3$} (2009), 121-132}

{\large \ph  M. Adib, A. Riazi; {\em    Double $\varphi-$multipliers and some of their properties}, Int. Math. Forum,
  {$\bf 3$} (2010), 2497-2504}

{\large \ph  M. Adib, A. Riazi and L. A. Khan; {\em Quasi-multipliers on locally bounded F-algebrs }, Abstract and Applied Analysis, revised. 
% {$\bf 3$} (2009), 121-132}

{\large \ph  M. Adib and A. Riazi ; {\em $\varphi_{m}-$Multipliers on topological modules }, submitted.
%{$\bf 3$} (2009), 121-132}

{\large \ph  M. Adib, A. Riazi and J. Bracic; {\em Quasi-multipliers on weak Arens regular Banach algebras }, International Conference on Mathematical Analysis, Thailand,
{$\bf $} (2010)}

{\large \ph  M. Adib, A. Riazi; {\em Quasi-multipliers on F-algebras }, The  41st   Annual Iranian Mathematics Conference, Urmia, 
{$\bf $} (2010)}





\farsi<

% �� �� ���� 0691 ����� ��܉� ���ډ���� ��� ��������� ���� ����� ������ ������ �����  \fnote {\InE{}Wang\EnE{} }   � ������� \fnote{\InE{}Birtal\EnE{}} ��Ή ���.\\
%��މ������� ������� ���ډ���� � ���ډ����� �������� ���  ��������� ������󉁦��� �������܉� �����Ɖ�� \fnote { \InE{}Johnson\EnE{}} � ��Ɖ��� \fnote {\InE{} Husain\EnE{}}  �����㉂ ����� ��¢.\\
%��� ������ ��� �������� � ����Ɖ��ډ� ���� ��ԉ���� ��� ������ ��ԉ������ ������� �� ��މ܉� ����ډ��� ������� �� ����󉃉� ���������, �����މ��,
% ������� ��������� �����, ��㉑��� ���ԉ��Ɖ���, ������� ����ډ��������, ����󉃉� ������ � �쉵�ʉ��,
% ���� ��ԉ���� �� ������ ��Ɖ����� �� ������� ������ ��� ���ꉵ�� ���� .\\  
%��� �� ������ ������� ����މ��މ������  �� ��ԉ���� ���ډ���� ����� 䉀������  \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ����
% ��� ��������� ���� ����� ������ � \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ���� ��� ����� ������󉁦��� ���������
%������ ��������� ��¢.
%��܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉܉
\newpage 
% ��ʉ�1 :����� ������ ************************************************************************************************************
\chapter{����� ������ }
%��ԉ���� ���ډ� ��â��� ��� ��ʉ� ���� 쉱�� ������ \InE{}Helgason\EnE{} ��㉀���� ��� ������ ���������� � ������\InE{}$g$\EnE{} ��� ��̉��
% ����� ������� �����Ɖ��މ�� \InE{}$(\delta(A))$\EnE{} ��Ή����؉� \InE{}$g\hat{A}\subset \hat{A}$\EnE{} ��Ή ����  �� �� \InE{}$\hat{A}$\EnE{} ��މ���� ��܉ԉ���
% ����� ���� \InE{}$A$\EnE{} ����. ��� �� �� �� ���� 0691 ����� ��܉� ���ډ���� ��� ��������� ���� ����� ������ ������ \InE{}Wang\EnE{} � \InE{}Birtal\EnE{} �����㉂ ����� ��¢.\\
%��� ������ ��� �������� � ����Ɖ��ډ� ���� ��ԉ���� ��� ������ ��ԉ������ ������� �� ��މ܉� ����ډ��� ������� �� ����󉃉� ���������, �����މ��,
% ������� ��������� �����, ��㉑��� ���ԉ��Ɖ���, ������� ����ډ��������, ����󉃉� ������ � �쉵�ʉ��
% ���� ��ԉ���� �� ������ ��Ɖ����� �� ������� ������ ��� ���ꉵ�� ���� .\\  
%��މ������� ������� ���ډ���� � ���ډ����� �������� ��� ��������� ������󉁦��� �������܉� \InE{}Johnson\EnE{} � \InE{} Husain\EnE{} �����㉂ ����� ��¢� ����.
%��� �� �� ������� ����މ��މ� �� ��ԉ���� ���ډ���� ����� 䉀���� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ���� ��� ��������� ���� ����� ������ �
% ����މ��މ� �� ��ԉ���� ��މ��ꉃ�Ɖ� ��������� �� ����� 䉀���� \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ���� ��� ����� ������󉁦���-����� ��������� ��������� ��¢.
%�� �� ��¤��� ��� ���������. ��މ������� ��� ����� ��ȉ¢� � ���܉�  \InE{}$G$\EnE{}, ���� ��㉑���� �� ��  \InE{}$L^{1}(G)$\EnE{} ��¤��� �����މ������.\\ 
%\newpage
%pagestyle{headings}
%\InF{} ���  ��� ��¢� 䉀����  ��� ����� �� �����  ��� ��ԉ��� ���� .\EnF{}\pagestyle{headings}\InF{}  �������  \EnF{}
%\InF{} ���  ��� ��¢�  ����¨��  ������  ���� .\EnF{}tableofcontents\InF{}������� \\EnF{}
%\vsp
%\english
%{\large \ph Akbar-Zadeh, H.; {\em Generalized Einstein manifolds}, Journal of Geometry and Physics, Elsevier Science B.V., 
%{$\bf 17$} (1995), 342-380}
%\farsi
%[+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+]
%[][][][][][][][][][][][][][][][][][] ��ԉ��� ���� ��������� [][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][]
%[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][]
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
%[-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][+]
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
%[+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+]
%\chapter{������ �����}    %>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> ����� ��ʉ� <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
%[+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+]
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
%\english
%\pagestyle{headings}
%\farsi
%]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]
%\section{������������ ��󉃉�}     %>>>>>>>>>>>>>>>>>> ����� ����� <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<
%\markright{\Miav ������������ ��󉃉�}
%\InF{}  ���  ��ԉ��\hamze � ���  ����� ��ȉ��ʉ��  ����ȉ���  �  䉀���� ������� ������ ���� . \EnF{}maketitle\InF{} ������� \\EnF{}
% ��ʉ�1 :����� ������ ************************************************************************************************************
%\chapter{����� ������ }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
�� ���� ��ʉ� ��މ�����, ��㉑���� ������ �� � ��̉��� ������  ��  �� ���� ������� �����ԉ��� ��� ������, �������� ��� ��މ������.\\  
%\newpage
\pagestyle{headings}
\markright{\underline{1.1 ��㉑���� � ��̉����� ��։����    \InE{}\hspace*{10.5cm}\EnE{} }} 
\section{ ��㉑���� � ��̉����� ��։����   } 
\begin{defn} 
����� \InE{}$A$\EnE{} ����� �����\fnote {\InE{}Semisimple\EnE{}} ������ ��� ���� ������� ������ ������� ���� �����Ɖ��މ�� \InE{}$A$\EnE{}  ����� ��ԉ� ������.
\end{defn}  
% ���� ������ ��� \InE{}$x\in A$\EnE{} ��Ή����؉� 
%\InE{}$xA=0$%%\EnE{} ������� ������ ���ꉴ \InE{}$x=o$\EnE{} .\\
\begin{defn}
�����  \InE{}$A$\EnE{} ����� �\tashdid �� \fnote {\InE{}Semiprime\EnE{}} ������ ��� ���� ���� ������ ��� \InE{}$x\in A$\EnE{}, 䉱���� \InE{}$xAx=0$\EnE{} ������� ��   \InE{}$.x=o$\EnE{} 
\end{defn}
\begin{defn}
����� ���� \InE{}$A$\EnE{} ������ \fnote {\InE{}Nice\EnE{}} ������ ��� ���� ���� ������ ��� \InE{}$x\in A$\EnE{}, 䉱����  \InE{}$$(\forall a,b\in A\hspace{.5cm} xab=xaxb )$$\EnE{} ������� ��   \InE{}$xa=xax$\EnE{}.
\end{defn}
\begin{defn}    
 ����� ���� \InE{}$A$\EnE{} ��Ɖ����  ������ \fnote {\InE{}Very \hspace{.1cm}Nice\EnE{} } ������ ��� ���� ���� ������ ��� \InE{}$x\in A$\EnE{}, 䉱���� \\
 \InE{}$$(\forall a,b\in A\hspace{.5cm}xab=xaxb)$$\EnE{}  ������� ��   \InE{}$xa=xax)$\EnE{} � \InE{}$((a\in I(A))$\EnE{}.\\
) �� �� \InE{}$I(A)$\EnE{} � ��މ� 䉀����� ���� ����� \InE{}$A$\EnE{} ����.(
\end{defn}
\begin{defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� � \InE{}$X$\EnE{} ��� ���� \InE{}$-A$\EnE{}����� ������. ��� \InE{}$-X$\EnE{}��ȉ���  \fnote {\InE{}X-derivation\EnE{}} ������,  ��� ��ډ���� ������ \InE{}$D:A\rightarrow X$\EnE{} ���� 
 ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$a,b\in A$\EnE{} \InE{}$$.D(ab)=D(a)b+aD(b)$$\EnE{} 
�މ�䉂 ��މ� \InE{}$-X$\EnE{}��ȉ��։�� ������ �� ��� ��މ�� \InE{}$Z^{1}(A,X)$\EnE{} ��މ���� ��� ������. \\
��ډ���� \InE{}$\delta_{x}:A\rightarrow X$\EnE{} ��   ��� �����Ή� \InE{}$\delta_{x}(a)=ax-xa$\EnE{} �������� ��� ����,  \InE{}$-X$\EnE{}��ȉ��� ����܉� \fnote {\InE{}Inner\EnE{}} �����. �މ�䉂 ��މ� \InE{}$-X$\EnE{}��ȉ��։�� ����܉� �� ��� ��މ��
\InE{}$B^{1}(A,X)$\EnE{} ��މ���� ��� ������.\\ ��̉�� ����� ��Ɖމ��� \InE{}$H^{1}(A,X)=Z^{1}(A,X)/B^{1}(A,X)$\EnE{} �� ����� ������󉁦�\fnote{\InE{}cohomology\EnE{}} ��� ����� �� \InE{}$X$\EnE{} ��� �����.
\end {defn}
\begin{defn}
 ����� ���� \InE{}$A$\EnE{} ����ډ��� ������ \fnote {\InE{}Amenable\EnE{}} ���� ������� ������ ��� ����  \InE{}$-A$\EnE{}����� \InE{}$X$\EnE{}, \InE{}$$.H^{1}(A,X^{*})=\{0\}$$\EnE{}
\end{defn}
\begin{theo}
���� \InE{}$G$\EnE{} ��� ����� ������. ����� \InE{}$G$\EnE{} ����ډ��� ������ ���� ����� ������� ���� ����� �������  \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} ����ډ��� ������ ������.
\end{theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} \protected\cite{J}
%\begin{enumerate}
%\end{defn}
\begin{defn}
��­ ���� \InE{}$G$\EnE{} ��� ����� ��\nasb � ��ȉ¢� ������. ������ ��։�� ���܉� \InE{}$\gamma$\EnE{} ��� \InE{}$G$\EnE{}, ��ȉ��ʉ�  \fnote {\InE{}Character\EnE{}} ������ ��� ���� ������� ������ ��� \InE{}$x\in G$\EnE{}, \InE{}$|\gamma(x)|=1$\EnE{} � ������ ��� \InE{}$x,y\in G$\EnE{} ������� �������� 
  \InE{}$$.\gamma(x+y)=\gamma(x)+\gamma(y)$$\EnE{}
�މ�䉂 ��މ� ��ȉ��ʉ� ���� ���������� �� \InE{}$G$\EnE{} �� ��� ��މ�� \InE{}$\hat{G}$\EnE{} ��މ���� ���� � ��� ����� ������  \fnote {\InE{}dual\hspace{1mm}group\EnE{}} \InE{}$G$\EnE{} ��� �����.
\end{defn}
\begin{defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� � \InE{}$\Delta$\EnE{} ��̉�� ����� ������� �����Ɖ��މ�� \InE{}$A$\EnE{} ������. ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{}, ������ \InE{}$\hat{a}:\Delta \rightarrow C$\EnE{} �� ��ʉ��� ���� �������� ��� ����:
\InE{}$$\hat{a}(h)=h(a)\hspace{.3cm}(h\in \Delta)$$\EnE{}   
��މ���� ��܉ԉ��� \fnote {\InE{}Gelfand\hspace{1mm} representation\EnE{}}  �� ��� ����� ���� \InE{}$A$\EnE{} ���
 ��މ�� \InE{}$\hat{A}$\EnE{} ��މ����  ���� � ��ʉ��� ���� �������� ��� ����: \InE{}$$\hat{A}=\{\hat{a}:a\in A\}$$\EnE{}
\end{defn} 
\begin{defn}
��­ ���� \InE{}$G$\EnE{} ��� ����� ����\nasb � ��ȉ¢� ������. ������ ��� \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{} � \InE{}$\mu\in M(G)$\EnE{}, ��ډ���� ��܉ԉ��� \InE{}$f$\EnE{} � \InE{}$\mu$\EnE{} �� �������� ���
��މ������  \InE{}$\hat{f}:\hat{G}\rightarrow C$\EnE{} � \InE{}$\hat{\mu}:\hat{G}\rightarrow C$\EnE{} ��މ���� ���� �  ��ʉ��� ���� �������� ��� ����:
\InE{}$$\hat{\mu}(\gamma)=\int _{G}\gamma(-x)d\mu(x),\hspace{.5cm}\hat{f}(\gamma)=\int_{G}f(x)\gamma(-x)dx,\hspace{.2cm}\gamma\in \hat{G}$$\EnE{}
\end{defn}
\begin {defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ��� ������󉁦� \InE{}$\tau$\EnE{} ������. �������� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦���  \fnote {\InE{}Topological\hspace{.5mm} algebra\EnE{}} ���� 
�������  \InE{}$A$\EnE{} ��� ��̉�� ������󉁦��� ��Ή� ������ � ��މ������� ��މ� �� ��Ɖ��� ��� ������󉁦� \InE{}$\tau$\EnE{} ���������� ������.
\begin{defn}
���  ��̉�� ������󉁦��� ��Ή� ��� � �� ������ ��� \InE{}$-F$\EnE{}��̉�\fnote{\InE{}F-space\EnE{}}
 ������ ��� ����.\\
���  ����� ������󉁦��� ��� � �� ������ ��� \InE{}$-F$\EnE{}�����\fnote{\InE{}F-algebra\EnE{}} ������ ��� ����.\\
\end{defn}
%\end{defn}
�� ������  ����� ���� ��̉��� ������� ��؉������� ��� ��̉����� ������󉁦��� ��  �� ��ʉ�� ������ �� �����ԉ��� ��� ��� �����, ������ ��� ����.
\begin{theo}  \InE{}\label{1}\EnE{}
\InE{}$)$\EnE{}\protected\cite{AR} ��ԉ��� \InE{}$(142$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$X$\EnE{} ��� ��̉�� ��� ��� � \InE{}$\cal{H}=$$\{f_{\alpha}:\alpha\in J\}$\EnE{} ������ �� �� ������� ��։�� ��։��։� � ���������� 
��� \InE{}$X$\EnE{} ������. ���� \InE{}$\cal{H}$\EnE{}  ��։Ή� ���  ��։Ή� ������ ������, ���ډ�� ���� ��Ɖ��� \InE{}$B\subseteq X$\EnE{}  ����� ���� ��Ή����؉� \InE{}$\cal{H}$\EnE{} ��� �� ��Ή�� ��؉������� ������ ����. ��㉱���� ���ډ� 
\InE{}$C>0$\EnE{}  ����� ���� ��Ή����؉� \InE{}$$.f_{\alpha}(x)\leq C,\hspace{.3cm} (\alpha\in J, x\in B)$$\EnE{}
\end{theo} 
\begin{theo}\InE{}\label{2}\EnE{}
\InE{}$)$\EnE{}\protected\cite{ED} ��ԉ��� \InE{}$465$\EnE{} � \protected\cite{KO} ��ԉ��� \InE{}$(39$\EnE{}
��­ ���� \InE{}$E$\EnE{} ��� \InE{}$-F$\EnE{}��̉� � \InE{}$F$\EnE{} ��� ��̉�� ������󉁦���  ��Ή� ������. ��­ ���� ��¢����  \InE{}$\cal{H}\subseteq $$CL(E,F)$\EnE{}  ��� \InE{}$E$\EnE{} ��։Ή� ��� ��։Ή� ������ ������. ���ډ�� \InE{}$\cal{H}$\EnE{} 
��މ���������� ���� � �� ������ ������ ��� �މ�䉂 ������ \InE{}$D$\EnE{} �� \InE{}$E$\EnE{}, \InE{}$\cup\{T(D):T\in \cal{H}\}$\EnE{}  ��� �މ�䉂 ������ �� \InE{}$F$\EnE{} ����. 
\end{theo}
��̉��� ���� ������� �� ��̉��� ������� ��؉������� ��� ������� �� ��Ή� ����.
\begin{theo} \InE{}\label{3}\EnE{}
��­ ���� \InE{}$E,F$\EnE{} �� \InE{}$-F$\EnE{}��̉� � \InE{}$G$\EnE{}  ��� ��̉�� ������󉁦��� ��Ή� ������. 
\begin{enumerate}
\item{ \InE{}$)$\EnE{}\protected\cite{ED} ��ԉ��� \InE{}$489$\EnE{} � \protected\cite{KO} ��ԉ��� \InE{}$(172$\EnE{}  ��¢���� \InE{}$\cal{H}$\EnE{} ������ ��ډ��������� ����Ή� �� \InE{}$E\times F$\EnE{} ��� \InE{}$G$\EnE{} ��މ���������� ���� ���� � ������� ���� ��� \InE{}$f\in \cal{H}$\EnE{} ��Ή�� ��\hamze � ��ԉ� ��  ����������
 � \InE{}$\cal{H}$\EnE{} ��� \InE{}$E\times F$\EnE{} ��։Ή� ��� ��։Ή� ������ ������.  �� ������ ����, ��� ������ ����Ή� � ��Ή�� ��\hamze � ��ԉ� ��  ���������� \InE{}$f:E\times F\rightarrow G$\EnE{} ������\nasb � ���������� ����.       }
\item{ \InE{}$)$\EnE{}\protected\cite{SW} ��ԉ��� \InE{}$328$\EnE{} � \protected\cite{ED} ��ԉ��� \InE{}$(490$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$f_{n}:E\times F\rightarrow G$\EnE{} 
������ �� �� ������� ����Ή� � ��Ή�� ��\hamze � ��ԉ� ��  ���������� �������� ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$(x,y)\in E\times F$\EnE{}, \InE{}$\lim_{n\rightarrow \infty} f_{n}(x,y)=f(x,y)$\EnE{} ����� ������� ������. ���ډ�� 
 ������ \InE{}$\{f_{n}\}$\EnE{} ��މ���������� � \InE{}$f$\EnE{} ����Ή� � ������\nasb � ���������� ����.           }        
\end{enumerate}
\end{theo}
\begin{defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦��� � \InE{}$(X,\tau)$\EnE{} ��� ��̉�� ������󉁦��� ��Ή� ������. \InE{}$X$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ������󉁦��� \fnote {\InE{}Topological \hspace{.5mm}A-module\EnE{}} ��� ������ ��� ����
 ������� ��ډ���� \InE{}$(a,x)\mapsto ax$\EnE{} �� \InE{}$A\times X$\EnE{} ��� \InE{}$X$\EnE{} ���� ������ ��Ή����؉�:
\begin {enumerate}
\item{ \InE{}$X$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ��� ����. }
\item{\InE{}$\forall a\in A,\forall b\in A,\forall x\in X, \hspace{.5cm}(a+b)x=ax+bx$\EnE{} }
\item{ \InE{}$\forall a\in A,\forall x,y\in X,\hspace{.5cm}a(x+y)=ax+ay$\EnE{} }
\item{ \InE{}$\forall \alpha \in \mathbb {C},\forall a\in A,\forall x\in X,\hspace{.5cm}(\alpha a)x=\alpha(ax)=a(\alpha x)$\EnE{} }
\item{ \InE{}$\forall a,b\in A,\forall x\in X,\hspace{.5cm}(ab)x=a(bx)$\EnE{} }
\item ��ډ���� \InE{}$(a,x)\mapsto ax$\EnE{} �� \InE{}$A\times X$\EnE{} ��� \InE{}$X$\EnE{}  ��Ή�� ��\hamze � ��ԉ� �� ���������� ����.}
\end{enumerate}
\end {defn}
\begin{defn}\InE{}\label{H0}\EnE{}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦���,  \InE{}$X$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}�����  ������󉁦���  � \InE{}$(b(X))\hspace{.1cm}b(A)$\EnE{} ��¢���� �މ�䉂 ���� ������ �� \InE{}$(X)\hspace{.1cm}A$\EnE{} ������. ���ډ�� ��މ� ������� \InE{}$(a,x)\mapsto (a.x)$\EnE{}
, \InE{}$-b(A)$\EnE{}������� ���������� \fnote{\InE{}$b(A)-hypocontinuous $\EnE{}}\InE{}$-b(X))$\EnE{}������� ����������( ������ ��� ����, ���� ������ ��� ��މƉ���ډ� \InE{}$G$\EnE{} �� ��ԉ� �� \InE{}$X$\EnE{} � ��� \InE{}$(B\in b(X))\hspace{.1cm}D\in b(A)$\EnE{}, 
��މƉ���ډ� \InE{}$H$\EnE{} �� ��ԉ� �� \InE{}$X$\EnE{} \InE{}$V)$\EnE{} �� ��ԉ� �� \InE{}$(A$\EnE{}  ����� ������� ������ ��Ή����؉� \InE{}$$.(V\cdot B\subseteq G)\hspace{.5cm}D\cdot H\subseteq G$$\EnE{}
�������, ������\nasb � ���������ډ� \fnote{\InE{}jointly continuous\EnE{}} \InE{}$\Leftarrow$\EnE{} ������� ���������ډ� \InE{}$\Leftarrow$\EnE{}  ��Ή�� ��\hamze � ��ԉ� �� ���������� \fnote{\InE{}separately continuous\EnE{}}.
\begin{defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦��� � \InE{}$X,Y$\EnE{}, �� \InE{}$-A$\EnE{}����� ������󉁦��� ��� )�����( ��������. ��ډ���� \InE{}$\psi:X\rightarrow Y$ \EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ��މ��ꉃ�Ɖ� \fnote 
{\InE{}A-module \hspace{1mm}homomorphism\EnE{}} ������ ��� ���� ���� ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{} � \InE{}$x\in X$\EnE{},  ������� �������� 
\InE{}$$(\psi (x.a)=\psi(x).a)\hspace{.5cm}\psi(a.x)=a.\psi(x)$$\EnE{}.
\end{defn}
\begin{defn}
����� ������󉁦��� \InE{}$A$\EnE{}  쉁��\nasb � �������� ������\fnote{\InE{}strongly factorable\EnE{}} ������ ��� ���� ���� ������ ��� ������ \InE{}$\{a_{n}\}\subseteq A$\EnE{}   \InE{}$a_{n}\rightarrow 0$\EnE{}, ������ \InE{}$\{c_{n}\}\subseteq A$\EnE{}
� \InE{}$b\in A$\EnE{} ���� ������ ��Ή����؉� \InE{}$c_{n}\rightarrow 0$\EnE{} � ������ ��� \InE{}$n\geq 1$\EnE{}, \InE{}$.a_{n}=c_{n}b$\EnE{}
\end{defn}
%****************************************************************************************************************************************************************
%*********************************************************************************************************************************************************
\newpage
\pagestyle{headings}
\markright{\underline{1.1 ���ډ���� � ���ډ����� �������� ��� ��������� ����  �ꉑ���    }} 
\section{ ���ډ���� � ���ډ����� �������� ��� ��������� ����  �ꉑ���  } 
%�� ���� ��Ɖމ� ��� ������ ��㉑���� �� ��� ��� ������� ��� ��¢�����:\\
\begin{defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� \InE{}$)$\EnE{}����\InE{}$($\EnE{} ������. ��� ���ډ�  \fnote {\InE{}Multiplier\hspace{.1cm}or\hspace{.1cm}Centralizer\EnE{}} ��� )�����( ��� \InE{}$A$\EnE{} ��� ��ډ���� \InE{}$T:A\rightarrow A$\EnE{} ���� ��Ή����؉� ��� ��� \InE{}$x,y\in A$\EnE{} ������� ��������:
\InE{}$$ (\hspace{.1cm}T(xy)=xT(y))\hspace{.5cm}\hspace{.1cm}T(xy)=T(x)y$$\EnE{}
�������� \InE{}$T$\EnE{} ��� ���ډ� ���� ������� ���ډ� ��� � ����� ������.\\
�މ�䉂 ��މ� ���ډ����)���ډ����� ��� \InE{}$,$\EnE{} �����( ��� \InE{}$A$\EnE{}, �������� ��� ��މ������ \InE{}$M(A)$\EnE{} \InE{}$(M_{r}(A),M_{l}(A))$\EnE{} ��މ���� ���� ��� ������. 
\end{defn}
\begin{exam}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� �����\InE{}$)$\EnE{}����\InE{}$($\EnE{} ������. ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{}, ��މ܉ډ����� ��։�� ��� � �����  \InE{}$L_{a}:A\rightarrow A$\EnE{} � \InE{}$R_{a}:A\rightarrow A$\EnE{}
��ʉ��� ���� ��� \InE{}$A$\EnE{} �������� ��� ������: \InE{}$$R_{a}(x)=xa,\hspace{2cm} L_{a}(x)=ax\hspace{1cm}(x\in A)$$\EnE{} 
 ������� \InE{}$L_{a}$\EnE{} ��� ���ډ� ��� � \InE{}$R_{a}$\EnE{} ��� ���ډ� �����  ��� \InE{}$A$\EnE{} ���� .
\end {exam}
\begin{defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� \InE{}$)$\EnE{}����\InE{}$($\EnE{} ������. ��ԉ� \InE{}$(S,T)$\EnE{} �� ��ډ��������� \InE{}$S,T:A\rightarrow A$\EnE{}, ���
 ���ډ� �������� \fnote {\InE{}Double \hspace{1mm}multiplier\EnE{}} ��� \InE{}$A$\EnE{} ������ ��� ���� ���� ������ ��� \InE{}$x,y\in A$\EnE{} ������� ��������:
\InE{}$$.xS(y)=T(x)y$$\EnE{}
%�������� ���� ���� \InE{}$(S,T)$\EnE{} ��� ���ډ� �������� ������ ���ډ�� \InE{}$S$\EnE{} ��� ���ډ� ��� � \InE{}$T$\EnE{} ��� ���ډ� ����� ��� \InE{}$A$\EnE{} ���� .
\end{defn}
\begin{exam}
\InE{}$(L_{a},R_{a})$\EnE{} ��� ���ډ� �������� ���� .
\end {exam}
\begin {rmark}
�މ�䉂 ��މ�  ���ډ����� �������� ��� ����� ���� \InE{}$A$\EnE{} ��  ��މ�� \InE{}$M_{d}(A)$\EnE{} ��މ���� ��� ������.
 �� ���  ��މ܉ډ� ��މ���� \InE{}$I$\EnE{} ��� ���ډ� � \InE{}$(I,I)$\EnE{} ��� ���ډ� �������� ��� \InE{}$A$\EnE{} ����, \InE{}$M(A)\neq \{0\}$\EnE{} � \InE{}$M_{d}(A)\neq \{0\}$\EnE{}.
\end {rmark}
\begin{defn} ����� \InE{}$A$\EnE{} �ꉑ��� ��� )����� ( \fnote {\InE{} \hspace{.1cm}faithful(without order)\EnE{}} ������ ��� ���� ���� ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{}, 䉱����  \InE{}$aA=\{0\}$\EnE{} \InE{}$(Aa=\{0\})$\EnE{} ������� ��  \InE{}$.a=0$\EnE{}\\
����� \InE{}$A$\EnE{} �ꉑ��� ���� ���� �ꉑ��� ��� � ����� ������.
\end{defn}
\begin{exam} �� ��� ��� �� ����� ���� ����� \InE{}$A$\EnE{}, �ꉑ���  ���� :
\begin {enumerate}
\item{ \InE{}$A$\EnE{} ��� 䉀�ʉ� ��މ����  ������� ������.}
\item{ \InE{}$A$\EnE{} ��� ��މ���� ��։������  ������� ������.}
\item{ \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ����� ����� ������.}
\item{ \InE{}$A$\EnE{} ����� ��։Ɖ�� ��܉��� ��ԉ�� �������� ������.}
\end{enumerate}
\end{exam}
\begin{theo}\protected \cite {JO}\InE{}\label{3.2}\EnE{}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������. �� ���� ����� 
\begin {enumerate}
\item{ \InE{}$.M_{l}\cap M_{r}(A)\subseteq M(A)$\EnE{}         }
\item{ ���� \InE{}$A$\EnE{} �ꉑ��� ������. ���ډ�� \InE{}$M(A)\subseteq M_{l}(A)\cap M_{r}(A)$\EnE{} � �� ������   \InE{}$.M(A)= M_{l}(A)\cap M_{r}(A)$\EnE{}             }
\item{ ���� \InE{}$A$\EnE{} ����������� � �ꉑ��� ������. ���ډ��           \InE{}$.M_{l}(A)= M_{r}(A)= M(A)$\EnE{}                    }
\item{ \InE{}$M_{l}(A)$\EnE{} � \InE{}$M_{r}(A)$\EnE{} ��� ��މ� �����  \InE{}$(T_{1}T_{2})(x)=T_{1}(T_{2}(x))$\EnE{} ����� ��Ɖ�����.                              }
\item{ \InE{}$M(A)$\EnE{}  ��� ��̉�� ��Ή� ����. ��㉅�� ���� \InE{}$A$\EnE{}  �ꉑ��� ������. ���ډ�� \InE{}$M(A)$\EnE{} ��� ����� �����������  ��� 䉀�ʉ� ��މ���� \InE{}$I(x)=x$\EnE{} ����.                               }
\end{enumerate}
\end{theo}
\begin{theo}\InE{}\label{3.3}\EnE{}
\protected \cite {JO} ��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� �ꉑ��� ������. �� ���� �����:
\begin {enumerate}
\item{���� \InE{}$(S,T)\in M_{d}(A)$\EnE{} ���ډ�� \InE{}$(i)$\EnE{} \InE{}$S,T$\EnE{} ��Ή� ��Ɖ����� \InE{}$(ii)$\EnE{} \InE{}$S\in M_{l}(A)$\EnE{} � \InE{}$.T\in M_{r}(A)$\EnE{} ��� ��� \InE{}$T\in M(A)$\EnE{} ��Ή� ����. }
\item{\InE{}$M_{d}(A)$\EnE{} ����� ��މ܉ډ����� ����, ��� ����� ��� 䉀�ʉ�  ��މ���� \InE{}$(I,I)$\EnE{} ����.\InE{}$$(S_{1},T_{1})+(S_{2},T_{2})=(S_{1}+S_{2},T_{1}+T_{2}),\hspace{.2cm}\lambda(S_{1},T_{1})=(\lambda S_{1},\lambda T_{1})\hspace{.1cm}(\lambda\in \mathds{K})\vspace{-1cm}$$\EnE{}
\InE{}$$(S_{1},T_{1})(S_{2},T_{2})=(S_{1}S_{2},T_{2}T_{1})$$\EnE{}   }
\item{ ��­ ���� \InE{}$.(S_{1},T_{1}),(S_{2},T_{2})\in M_{d}(A)$\EnE{} ���� \InE{}$S_{1}=S_{2}$\EnE{} ���ډ�� \InE{}$T_{1}=T_{2}$\EnE{} � ���� \InE{}$T_{1}=T_{2}$\EnE{} ���ډ�� \InE{}$.S_{1}=S_{2}$\EnE{}}
\item{ ���� \InE{}$A$\EnE{} ����������� ������ ���ډ�� \InE{}$M_{d}(A)$\EnE{}  ����������� ���� � \InE{}$.M_{d}(A)=M(A)$\EnE{} �� ����� ���� \InE{}$(S,T)\in M_{d}(A)$\EnE{} ���ډ�� \InE{}$.S=T$\EnE{}}
\end{enumerate}
\end{theo}
\begin{defn}
��ډ��������� \InE{}$\mu_{l},\mu_{r}$\EnE{} � \InE{}$\mu_{d}$\EnE{} �� ��� �����Ή� ���� �������� ��� ����:
\InE{}$$\mu_{l}(a)=L_{a},\hspace{.3cm}\mu_{r}(a)=R_{a},\hspace{.3cm}\mu_{d}(a)=(L_{a},R_{a}),\hspace{.3cm}a\in A$$\EnE{} 
\end{defn}
\begin{theo}
\protected \cite {JO} ��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� �  \InE{}$\mu_{l},\mu_{r}$\EnE{} � \InE{}$\mu_{d}$\EnE{} ��ډ���� ����  �������� ���� �� ꉁ�  ��������. �� ���� ����� 
 \begin {enumerate}
\item{\InE{}$\mu_{l},\mu_{r},\mu_{d}$\EnE{} ��Ή� ��Ɖ�����. }
\item{ \InE{}$\mu_{l}$\EnE{}  � \InE{}$\mu_{d}$\EnE{} ��މ��ꉃ�Ɖ� ������ ��Ɖ����� �� ������  \InE{}$\mu_{r}$\EnE{}  ��� ���� ��މ��ꉃ�Ɖ�\fnote{\InE{}anti homomorphism\EnE{}} ����.   }
\item{ \InE{}$(\mu_{r})\hspace{.1cm}\mu_{l}$\EnE{}  ��� ��� ��� ����  ���� � ������� ���� \InE{}$A$\EnE{} �ꉑ��� ��� )�����( ������. \InE{}$\mu_{d}$\EnE{} ��� ��� ��� ���� ���� � ������� ���� \InE{}$A$\EnE{} �ꉑ��� ������.}
\item{\InE{}$(\mu_{r})\hspace{.1cm}\mu_{l}$\EnE{} ������ ���� ���� � ������� ���� \InE{}$A$\EnE{}  ��މ���� ��� )�����( ������� ������. \InE{}$\mu_{d}$\EnE{} ������ ���� ���� � ������� ���� \InE{}$A$\EnE{}  䉀�ʉ� ��މ���� ������� ������.}
\end{enumerate}
\end{theo}
\begin{theo}\protected \cite {JO}\InE{}\label{3.6}\EnE{}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������.
\begin {enumerate}
\item{ ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{}  � \InE{}$T\in M_{l}(A)$\EnE{},  \InE{}$.TL_{a}=L_{T(a)}\in \mu_{l}(A)$\EnE{} �� ������ \InE{}$\mu_{l}(A)$\EnE{} ��� ����� �� ��� �� \InE{}$M_{l}(A)$\EnE{} ����.} 
\item{ ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{} � \InE{}$T\in M_{r}(A)$\EnE{}, \InE{}$.TR_{a}=R_{T(a)}\in \mu_{r}(A)$\EnE{} �� ������ \InE{}$\mu_{r}(A)$\EnE{} ��� ����� �� ��� �� \InE{}$M_{r}(A)$\EnE{} ����.  }
\item{��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} �ꉑ��� ������. �� ���� ����� ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{} � \InE{}$(S,T)\in M_{d}(A)$\EnE{} \InE{}$$(L_{a},R_{a})(S,T)=(L_{T(a)},R_{T(a)})\in \mu_{d}(A),\hspace{.2cm}(S,T)(L_{a},R_{a})=(L_{S(a)},R_{S(a)})\in \mu_{d}(A)$$\EnE{} � �� ������ \InE{}$\mu_{d}(A)$\EnE{} 
��� ����� �� �� ω�ꉂ �� \InE{}$M_{d}(A)$\EnE{} ����.  }
\end{enumerate}
\end{theo}
\begin{theo}\protected \cite {KMT}\InE{}\label{3.7}\EnE{}
\begin {enumerate}
\item{ ��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦��� 쉁��\nasb � �������� ������ ������. ���� \InE{}$.(T\in M_{r}(A))\hspace{.1cm}T\in M_{l}(A)$\EnE{}  ���ډ�� \InE{}$T$\EnE{} ��Ή� � ���������� ����.  }
\item{ ��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� \InE{}$-F$\EnE{}����� �ꉑ��� ������. ���� \InE{}$.(S,T)\in M_{d}(A)$\EnE{} ���ډ�� \InE{}$S$\EnE{} � \InE{}$T$\EnE{} ��Ή� � ���������� ����. �� ������ ���� ��� \InE{}$T\in M(A)$\EnE{}  ��Ή� � ���������� ����. }
\end{enumerate}
\end{theo}
%***************************************************************************************************************************************************************
%***********************************************************************************************************************************************************
\newpage
\pagestyle{headings}
\markright{\underline{1.1 ������󉁦� ��� ��� ��̉�� ���ډ����   \InE{}\hspace*{10.5cm}\EnE{} }} 
\section{ ������󉁦� ��� ��� ��̉�� ���ډ����   } 
������󉁦� ��� \fnote {\InE{}Strict\hspace{.1cm} topology\EnE{}} ��󉃉� ���� �� ���� 7591 ������ ����  \fnote {\InE{}Buck\EnE{}} ��㉀���� ������󉁦� ����\nasb � �� ���󉃉� ���� �������܉� ����� ��������� 
 \InE{}$(\varphi\in C_{0}(S))$\EnE{}  \InE{}$f\longmapsto||\varphi f||,$\EnE{}  ��� ��̉�� \InE{}$C_{b}(S)$\EnE{} �������� ���. �� ���� 0691 ����� � ������� ��㉑���� ��ȉ������ �� ������󉁦� ��� �� ��� ��̉�� ���ډ����� 
��� ����� ���� ������ ��¢��� . ���� ������󉁦� �� ���� 8691 ������ ������܉��� � ����܉��, �� ���󉵉�  \InE{}$X$\EnE{} ��� ���� \InE{}$-A$\EnE{}����� ������ �������� ���� ���.
\begin {defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦��� ���������  ������. 
��� ��� ������: \InE{}$$N(D,V)=\{T\in M(A): T(D)\subset V\}=\{T\in M(A): \forall a\in D,\hspace{.1cm} T(a)\in V\}$$\EnE{}
% \InE{}$$N(D,V)=\{x\in X: D.x\subset V\}=\{x\in X: a.x\in V;\hspace{.1cm}\forall a\in D\}$$\EnE{} 
 �� �� \InE{}$V$\EnE{} ��� ��މƉ���ډ� �󉿉��� �� ��ԉ� � \InE{}$D$\EnE{} ��� ���� �މ�䉂 �������  )������( �� \InE{}$A$\EnE{} ����. 
������󉁦� ���\fnote {\InE{}Strict \hspace{.5mm}topolology\EnE{}}\InE{}$s$\EnE{} )��؉�������  \fnote {\InE{}Uniform \hspace{.5mm}topology\EnE{}}\InE{}$u$\EnE{}( ��� \InE{}$M(A)$\EnE{}, ������󉁦�
 ����   �މ�䉂 �ȉ؉� ��  ��މ�  �މ�䉂 ���� ��� ����  \InE{}$N(D,V)$\EnE{}, ��� ������  �� ��މƉ���ډ� ���� ��ԉ� �� ��  ������.
\end{defn}
%\begin {defn}
%��މ������� ��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦��� ��������� � \InE{}$(X,\tau)$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ������󉁦��� ��� ������. ��� ��� ������:
% \InE{}$$N(D,V)=\{T\in Hom_{A}(A,X): T(D)\subset V\}$$\EnE{}

% �� �� \InE{}$V$\EnE{} ��� ��މƉ���ډ� �󉿉��� �� ��ԉ� �� \InE{}$X$\EnE{} � \InE{}$D$\EnE{} ��� ���� �މ�䉂 �������  )������( �� \InE{}$A$\EnE{} ����. 
%������󉁦� ��މ܉ډ�� ��� 
%)��؉������� ( ��� \InE{}$ Hom_{A}(A,X)$\EnE{}, ������󉁦� ����   ��� ������ �� ��މƉ���ډ� ���� ��ԉ� �� ��  ������ ��މ� �މ�䉂 ����  ��� ���� \InE{}$N(D,V)$\EnE{} ������.
%\end{defn}
\begin{theo}\protected \cite {KMT}\InE{}\label{3.9}\EnE{}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� \InE{}$-F$\EnE{}����� �ꉑ��� ������.  ��މ�� \InE{}$M_{t}(A)$\EnE{} �� ��� ��� ��� �� ��̉����� ��Ή� \InE{}$M_{l}(A),M_{r}(A),M(A)$\EnE{} � \InE{}$M_{d}(A)$\EnE{} ��؉�� ��� ������. �� ���� �����:  
\begin {enumerate}
\item{ \InE{}$(M_{t}(A),u)$\EnE{}  � \InE{}$(M_{t}(A),s)$\EnE{}  ��������� ������󉁦���  ��Ɖ�����. }
\item{ \InE{}$(M_{t}(A),u)$\EnE{}  � \InE{}$(M_{t}(A),s)$\EnE{}  ��� ��Ɖ�����.}
\item{ \InE{}$s$\EnE{}  � \InE{}$u$\EnE{} �މ�䉂 ���� ������ ��؉Ɖ���� ������.}
\item{ ���� \InE{}$(M_{t}(A),s)$\EnE{} �� ������ ������. ���ډ�� ��� \InE{}$M_{t}(A)$\EnE{}, ��������� �����  \InE{}$.s=u$\EnE{}}
\item{���� \InE{}$A$\EnE{} ������ ��� ��։������ ��މ���� ������ ������. ���ډ�� \InE{}$A$\EnE{}  �� \InE{}$M_{t}(A)$\EnE{},  \InE{}$-s$\EnE{}��ډ�� ����. }
\end{enumerate}
\end{theo}
%*******************************************************************************************************************************************************************
%************************************************************************************************************************************************************
\newpage
\pagestyle{headings}
\markright{\underline{1.1 ��������� �щ� �����   \InE{}\hspace*{10.5cm}\EnE{} }} 
\section{ ��������� �щ� �����   }
\begin{defn} ��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� � \InE{}$A^{**}$\EnE{}  ������  �\tashdid �� ��  ������. ��ډ����  \InE{}$\pi:A\rightarrow A^{**}$\EnE{}  ��ʉ��� 
 \InE{}$<\pi(x),f>=<f,x>,f\in A^{*}$\EnE{} �������� ��� ���� � ��� ��ډ���� ������ \fnote{\InE{}natural embedding\EnE{}} �� \InE{}$A$\EnE{}  ��� \InE{}$A^{**}$\EnE{} ��� �����. 
\end{defn}
\begin{defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� ������. ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{}, \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{}  � \InE{}$F,G\in A^{**}$\EnE{} �������� ��� ����:  
%�� ����  ����� \fnote {\InE{}Arens \hspace{1mm}product\EnE{}} ��� � ��� �� ��� \InE{}$A^{**}$\EnE{} ��������  ��� ��މ������  \InE{}$\diamond',\diamond$\EnE{} ��މ���� ��� ������. ������ ��� \InE{}$F,E\in A^{**}$\EnE{}, \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{} � \InE{}$a,b\in A$\EnE{} ������:
\InE{}$$<f\cdot a,b>=<f, ab> \hspace{1.7cm}< a\cdot f,b> =< f, ba>$$\EnE{} \InE{}$\vspace{-1.2cm}$\EnE{}
\InE{}$$< G\cdot f,a>=< G,f\cdot a> \hspace{1cm}<f\cdot F,a>=< F,a\cdot f>$$\EnE{} \InE{}$\vspace{-1.2cm}$\EnE{}
\InE{}$$<F\circ G,f>=<F,G\cdot f>\hspace{.7cm}<F\circ' G,f>=<G,f\cdot F>$$\EnE{}
 ��މ������ \InE{}$\circ', \circ$\EnE{},  �������� �� ���� �\tashdid �� � �\tashdid �� ����� ������ ��� ������.\\
����� \InE{}$A$\EnE{} �щ� ����� ���� ������� �� ���� �\tashdid �� � �\tashdid �� �� ������ �Ή��� ��������. ��㉀��  ������ ��� \InE{}$F,G\in A^{**}$\EnE{}, \InE{}$$.F\circ G=F\circ' G$$\EnE{}\\
�������, ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{} � \InE{}$F\in A^{**}$\EnE{}, \InE{}$$.a\circ F=a\circ 'F,\hspace{.3cm}F\circ a=F\circ 'a$$\EnE{}
\end{defn}
\begin{exam} \InE{}\label{examf}\EnE{}
��� \InE{}$-C^{*}$\EnE{}�����, �щ� ����� ����.
\par \noindent {\siah \Large ������� :}  ����� ���� ���  \protected\cite{CY}  ��̉��� \InE{}$.7.1$\EnE{}
\begin{exam}\InE{}\label{exama}\EnE{}
����� ������� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} �щ� ����� ���� ���� � ������� ����  �����  \InE{}$G$\EnE{} ������� ������.
\end{exam}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}   \protected\cite{YO}. 
%\begin{rmark}
%\begin{exam}
\begin{defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ����  ������ ��� ��։������ ��މ���� ������ ������.  ���ډ�� \InE{}$A^{*}A=\{f\cdot a:f\in A^{*}, a\in A\}$\EnE{} � \InE{}$AA^{*}=\{a\cdot f:a\in A,f\in A^{*}\}$\EnE{}
���� ��̉����� ��Ɖ��� �� �� \InE{}$A^{*}$\EnE{} ��������� ����.\\
���� \InE{}$A^{*}A=A^{*}$\EnE{} \InE{}$(AA^{*}=A^{*})$\EnE{}  ���ډ�� �������� \InE{}$A^{*}$\EnE{} �� ��� )�����( �������� ������\fnote{\InE{}factor on the left\EnE{}} ����.\\
�������� \InE{}$A^{*}$\EnE{} ���������\fnote{\InE{}factor\EnE{}} ���� ���� �� ��� �� ω�� �������� ������  ������.
\end{defn}
\begin{theo} \InE{}\label{T}\EnE{}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� ������ ��� ��։������ ��މ���� ������ ������. ���� \InE{}$A$\EnE{} �щ� ����� ������, ���ډ�� \InE{}$A^{*}$\EnE{}  �������� ������  ����. 
\end{theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} ����� ���� ���  \protected\cite{UL} ������ \InE{}$.3.2$\EnE{}
\begin{defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� ������.  \InE{}$E\in A^{**}$\EnE{} �� ��� 䉀�ʉ� ��މ����  ���܉�\fnote{\InE{}mixed identity\EnE{}} ��  \InE{}$A^{**}$\EnE{} �����, ������� ��Ɖ��� ��� �� �\tashdid �� ����� ��މ���� 
 ����� � ��Ɖ��� ��� �� �\tashdid �� ����� 
��މ����  ��� ������. ��� 䉱���� ���ډ� ������ ��� \InE{}$F\in A^{**}$\EnE{} ������� ��������: \InE{}$$.E\circ 'F=F\circ E=F$$\EnE{} 
\end{defn}
\begin{prop}
\InE{}$E\in A^{**}$\EnE{} ��� 䉀�ʉ� ��މ����  ���܉� ���� ���� � ������� ���� ������ ��� \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{}, \InE{}$$.E\cdot f=f=f\cdot E$$\EnE{} 
\end{prop}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} ����� ���� ��� \protected\cite{DA} ��Ð�� \InE{}$.2.6.20$\EnE{}

\begin{prop}\InE{}\label{prop1}\EnE{}
����� ����  \InE{}$A^{**}$\EnE{} ������ 䉀�ʉ� ��މ����  ���܉� ���� ���� � ������� ���� \InE{}$A$\EnE{} ������ ��։������ ��މ���� ������ ������.
\end{prop}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} ����� ���� ��� \protected\cite{BD} ��Ð�� \InE{}$.7$\EnE{}\\
%\\   
%{\bf ��� :} ��� ����� ������ ��� 䉀�ʉ� ��މ���� ��� ��� ��։������ ��މ����, ��� ����� ��Ɖ���� ���������.
%{\bf ��������:} ��� ���� \InE{}$-*$\EnE{}����� \InE{}$A$\EnE{}, \InE{}$-H^{*}$\EnE{}����� ������ ��� ���� ������� ���� �� ���� ��� ��̉�� ����܉�� ������  ��Ή����؉� \InE{}$<x,yz^{*}>=<xz,y>=<z,x^{*}y>$\EnE{}.\\
%{\bf ��� :} ��� ��� ����������� �� ��� \InE{}$-H^{*}$\EnE{}�����, ����� \InE{}$L_{2}(G)$\EnE{} �� ��� ����� ��ȉ¢� \InE{}$G$\EnE{} ��� ��މ� ���󉁪�� ����.
\\
\\ 
%{\bf ��������:} ����� \InE{}$A$\EnE{} �� �������� \fnote {\InE{}Tauberian\EnE{}} ����� ������� �މ�䉂 \InE{}$I$\EnE{}  ������ ��މ� 䉀������ �� \InE{}$A$\EnE{} ����  �މ� ��ȉ¢� ������ �� \InE{}$A$\EnE{} ��ډ�� ������.\\
%  \InE{}$$I=\{a\in A:supp (\hat{a}) is compact\}$$\EnE{} 
%{\bf ��� :} ����� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} ��� ����� �������� ����.
%*************************************************************************************************************************************************************
%*************************************************************************************************************************************************************
%\newpage
%\pagestyle{headings}
%\markright{\underline{1.1 ��������� ������󉁦���    \InE{}\hspace*{10.5cm}\EnE{} }} 
%\section{ ��������� ������󉁦��� }
%********************************************************************************************************************************************************************
%*************************************************************************************************************************************************************
\newpage
%\end{rmark}
%\begin{theo}{\siah \InE{}[3, Theorem 11.10]\EnE{} �������� ���:} ��­ ����  \InE{}$\cal A$\EnE{} ����� ����  �  \InE{}$X$\EnE{} ���  \InE{}$-{\cal A}$\EnE{}����� ��� ���� ������. ����  \InE{}$\cal A$\EnE{} ����� ����� ��։������  ������  ���  \InE{}$X$\EnE{} 
 %������
%\chapter {��㉑���� � ��ԉ������ ��։���� }

%\section{���ډ���� ��� ��������� ���� ����� ������ }
%{\bf ��������:}
%��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ������ \fnote {\InE{}Algebra\hspace{1mm} homomorphism\EnE{}}  ����� �� ����� \InE{}$A,B$\EnE{} ) ��� ��� \InE{}$K$\EnE{} ( ��� ��ډ���� \InE{}$\varphi :A\rightarrow B$\EnE{} ���� ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$x,y\in A$\EnE{} � \InE{}$k \in K$\EnE{} ������ :
%\item[\InE{}$(i$\EnE{}] \InE{}$\varphi (kx)=k\varphi(x)$\EnE{}  \InE{}$\vspace{-.5cm}$\EnE{}
%\item[\InE{}$(i$\EnE{}]\InE{}$\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)$\EnE{} \InE{}$\vspace{-.5cm}$\EnE{}
%\item[\InE{}$(i$\EnE{}] \InE{}$\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)$\EnE{}\\
%{\bf ��������:}
%��� ��މ܉ډ� ��Ή� � ������ \InE{}$T$\EnE{} ��� ��� ��̉�� ���� \InE{}$A$\EnE{}, ��㉃�ԉ\nasb � ��Ή�� ��� ���������� \InE{}$(w.c.c)$\EnE{} \fnote {\InE{}Weakly \hspace{.1cm}completely\hspace{.1cm} continuous\EnE{}} ������ ��� ���� ������� ������ ��� ���� ������ \InE{}$\{a_{\alpha}\}$\EnE{} �� \InE{}$A$\EnE{}, \InE{}$a\in A$\EnE{}
% � ������ \InE{}$\{a_{\beta}\}\subset A$\EnE{} ���� �������� ��Ή����؉� \InE{}$\{T({a_{\beta}})\}$\EnE{} ��Ή�� ��㉃�� ��� \InE{}$T(a)$\EnE{} ��މډ ������.\\

%******************************************************************************************************************************************************************
%***************************************************************************************************************************************************************
%***************************************************************************************************************************************************************
% ��ʉ� 2 : ***************************************************************************************************************
\chapter{\InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ���� ��� ��������� ���� �ꉑ��� }
%����� ����� ��� *****************************************************************************************************************
\markright{\underline{2.1 ��։����  \InE{}\hspace*{4cm}\EnE{} }}
\section{��։����   }
��މ���Ή��  �� ������� ���� ��ȉ����� ��� ����, ��������� ���� �ꉑ��� �� ��\tashdid ܉�  ������ ��\hamze �  ��������� ���� ���������� ���� ��� 
������  �  ����� ����� ����� �� ��Ή���㉂ ���ډ���� ��� ���� ��\hamze � ����,  쉑��� ����މ��� ��� ������  �������� ����. \\
\english
\graphicx{14cm}{nahid2.eps}
\farsi
��� ��ԉ���� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ����  ��� ����� ����  ����  �ꉑ���  �� ��� ����� ��㉀���� �������� ������� ��  ���ډ����� ��������� ���� �� ��щ� ���ꉴ. ��މ������� ��� ��؉�� ��¢� ��މ��ꉃ�Ɖ� ���� ���\tashdid ��� �� ��މ܉� ��މ��ꉃ�Ɖ� ���� ���� ����� � 
ω��� ��ډ����, ��� ����� ���� ����� �� ��� ����� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ���� ��։�� ���.

���� ��ʉ� ��ȉ��މ� ��� 3 ����� ����. �� ����� �\tashdid �� ����\tashdid � \InE{}$M_{\varphi}(A)$\EnE{} \InE{}$)$\EnE{} ��̉��  \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ�����  ����� ���� \InE{}$(A$\EnE{}  ��  �� ��¤��� ��� ���� � ����� ����Ή� 
 ������ ��� ����  
 ��� ����� �����������, �ꉑ���, �щ� ����� � ����ډ��� ������ ����. ��މ������� ������ ��� ���� �� ���󉵉�  ��¢ \InE{}$\varphi$\EnE{} ��ډ�� ������, ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ��¢� ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� � �� ���󉵉�  \InE{}$\varphi$\EnE{}
��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ω��� ��ډ���� ��� ��¢ ��ډ�� ������, ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ�,  ω��� ��ډ���� ����.
 
�� ����� �\tashdid �� ����Ή� �� ��¤��� ��� ����  ��¢ ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ������ ��� ��։������ ��މ���� ������ ������.

�� ����� ��\tashdid ��, \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ����� ����� ������� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{}  �� �� ��Ή���㉂ ��� ���� � ������ ��� ���� ���� ��̉� ��� ��̉�� \InE{}$\varphi(M_{a}((G))$\EnE{}  ��؉������ ����. 
 \newpage
% ����� ����� ���  :��������� ���� �щ� ������󉁦��� � *******************************************************************************************************
\markright{\underline{2.2����� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ���� � ����\tashdid � ��   \InE{}\hspace*{4.5cm}\EnE{} }}
\section{ ����� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ���� � ����\tashdid � ��  }
%\newpage
%\section{ \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ���� ��� ��������� ���� ����� ������ }
%�� ���� ��ʉ� ��ԉ����  \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ���� �� ��� ��������� ���� ����� ������ �� ��Ή���㉂ ��� ���� � ����� ����� ������ ��¤��� ��� ����.\\
\begin{defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� � \InE{}$\varphi :A\rightarrow A$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� 艃�� ��ԉ� ������. ��ډ����  \InE{}$T:A\rightarrow A$\EnE{}
��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ��� )�����( ��� \InE{}$A$\EnE{} ���� ������� ������ ��� \InE{}$x,y\in A$\EnE{} 
 \InE{}$$(T(xy)=\varphi(x)T(y))\hspace{.3cm}T(xy)=T(x)\varphi(y)$$\EnE{}
\InE{}$T$\EnE{} ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ���� ������� \InE{}$-\varphi$\EnE{} ���ډ� ��� � ����� ������.
\end {defn}
\begin{rmark}
\begin{enumerate}
\item {���� \InE{}$\varphi$\EnE{} ��ډ���� ��މ���� �� ��щ� ���ꉵ�� ����, ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ��� ��� ���ډ� �������� ��� ����. ���
 ��ԉ���� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ���� ���������� �� ��ԉ���� ���ډ���� ����.}
\item {���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ����������� ������. ���ډ�� ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ��� )�����(, ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ����.   }
\end{enumerate}
\end{rmark}
\begin {exam}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ����  � \InE{}$\varphi$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ��� \InE{}$A$\EnE{} ������.  ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{}, ��މ܉ډ����� \InE{}$\varphi_{a}:A\rightarrow A$\EnE{} � \InE{}$_{a}{\varphi}:A\rightarrow A$\EnE{}
�� ��ʉ��� ���� ��� \InE{}$A$\EnE{} �������� ��� ����: \InE{}$$_{a}{\varphi}(x)=\varphi(ax),\hspace{1cm} \varphi_{a}(x)=\varphi(xa)\hspace{1cm}(x\in A)$$\EnE{} 
 �������,  \InE{}$_{a}{\varphi}$\EnE{}  ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ��� � \InE{}$\varphi_{a}$\EnE{}  ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ����� ��� \InE{}$A$\EnE{} ���� .
\end{exam}
\begin {rmark}
��̉��  ��މ� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ���� \InE{}$-\varphi)$\EnE{}���ډ����� ���, \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ����� �����\InE{}$($\EnE{} ��� ����� ���� \InE{}$A$\EnE{} ��, ��������  ��� ��މ�� ����  \InE{}$ (M_{\varphi r}(A),M_{\varphi l}(A))$$M_{\varphi}(A)$\EnE{}  ��މ���� ��� ������.\\
��މ��ꉃ�Ɖ� \InE{}$\varphi$\EnE{} ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ��� \InE{}$A$\EnE{} ����.  ���  \InE{}$M_{\varphi}(A)\neq \{0\}$\EnE{}.
\end {rmark}
\begin {theo}
��­ ���� \InE{} $A$\EnE{} ��� ����� ���� ����������� � �ꉑ��� � \InE{} $\varphi$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ���� �����  ��� \InE{}$A$\EnE{} ������.
 �� ���� �����  \InE{}$M_{\varphi}(A)$\EnE{} ��� ����� ���� ������� ����.\\  ��މ�������  ���� \InE{}$A^{2}=A$\EnE{} 
 � ������  ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{} ���ډ� \InE{}$T$\EnE{}, \InE{}$.\varphi \circ T=T\circ \varphi$\EnE{} ���ډ�� \InE{}$M_{\varphi}(A)$\EnE{}  ��� ����� ���� ����������� � �ꉑ��� ����. 
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
��� ������ ��� �������� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ�, \InE{}$M_{\varphi}(A)$\EnE{}  ��� ���� ��̉�� ��Ή� � ��Ɖ��� �� ��̉�� \InE{}$B(A)$\EnE{}
)����� ���� ������ ��މ� ��މ܉ډ����� ��Ή� � ���������� �� \InE{}$A$\EnE{} ��� \InE{}$A$\EnE{}( ����. ���    \InE{}$M_{\varphi}(A)$\EnE{}  ��� ��̉�� ���� ����. ��­ ����  \InE{}$.T_{1},T_{2}\in M_{\varphi}(A)$\EnE{} 
  ��  ��������� ����� \InE{}$\varphi$\EnE{} ������:  \InE{}$$.(T_{1}\circ T_{2})(xy)=\varphi^{2}(x)(T_{1}\circ T_{2})(y)=\varphi(x)(T_{1}\circ T_{2})(y)$$\EnE{} �
 �� ������ 
\InE{}  $M_{\varphi}(A)$\EnE{} ��� ����� ����.\\ 
���� ��­ ���� \InE{}$A^{2}=A$\EnE{} � ������ ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� \InE{}$T$\EnE{}, \InE{}$.T\circ \varphi=\varphi\circ T$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$.S,T\in M_{\varphi}(A)$\EnE{}  �� ���܉� ����� ����� \InE{}$A$\EnE{} ��������� �����: 
   

\begin{eqnarray*}
T\circ S(xy)&=&T(\varphi(x)S(y))=\varphi(S(y))T(\varphi(x))=S(\varphi(y))\varphi(T(x))\\
&=&S(\varphi(y)T(x))=S\circ T (yx)=S\circ T (xy)\\
\end{eqnarray*}
� �� ������ \InE{}$M_{\varphi}(A)$\EnE{} ����������� ����.\\
 �� ������  ��ȉ�� ��� ������ \InE{}$M_{\varphi}(A)$\EnE{}  �ꉑ��� ����. ��­ ����  \InE{}$T\in M_{\varphi}(A)$\EnE{}  ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$S\in M_{\varphi}(A)$\EnE{} ������� �������� \InE{}$.T\circ S=0$\EnE{} 
���  
\InE{}$$T(xy)=\varphi(x)T(y)=\varphi(\varphi(x))T(y)=T(\varphi(x))\varphi(y)=0.$$\EnE{} ���� \InE{}$AA=A$\EnE{}, ��� \InE{}$.T=0$\EnE{}
%\begin {theo} 
% ��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� � \InE{}$\varphi:A\rightarrow A$\EnE{} ��� ������ꉃ�Ɖ� ������. ���� \InE{}$T$\EnE{}  ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ��� \InE{}$A$\EnE{} ������. ���ډ�� 䉱����� ���� ��㉑�󉀉�.
% \begin{enumerate}
%\item{\InE{}$T$\EnE{} ��� ��ډ���� �� ������ ����. }
%\item{ ��ډ���� \InE{}$T^{-1}$\EnE{} ����� ���� � \InE{}$T^{-1}$\EnE{} ��� \InE{}$-\varphi^{-1}$\EnE{}���ډ� ��� \InE{}$A$\EnE{} ����.}
%\end{enumerate}
%\end {theo}
%\par \noindent {\siah \Large ������� :}
%������� \InE{}$.(2)\Rightarrow (1)$\EnE{} ���� ��­ ���� \InE{}$T$\EnE{} ��� ��ډ���� �� ������ ����.  ��� �����ԉ��� �� ��̉��� ��ډ���� ����؉��,  \InE{}$T^{-1}$\EnE{} ����
% � ��މ܉ډ�� ��Ή� � ���������� �� \InE{}$A$\EnE{} ��� \InE{}$A$\EnE{} ����. ��㉅�� ������ ��� \InE{}$x,y\in A$\EnE{} ������  


%\begin{eqnarray*}
%.T^{-1}(x)\varphi^{-1}(y)&=&(T^{-1} \circ T) [T^{-1}(x)\varphi^{-1}(y)]\\
%&=&T^{-1}[T\circ T^{-1}(x)\hspace{.2cm}\varphi\circ \varphi^{-1}(y)]\\
%&=&T^{-1}(xy)\\
%\end{eqnarray*}
%��� ��������� ��ȉ���� ������  \InE{}$.\varphi^{-1}(x)T^{-1}(y)=T^{-1}(xy)$\EnE{}   ��� \InE{}$.T^{-1}\in M_{\varphi^{-1}}(A)$\EnE{} 

��؉� �� ����މ������ ����� �� ���� ��Ɖމ�,  ��މ���� ��������� ��މ����  �� \InE{}$-\varphi$\EnE{} ���ډ����  ��� ��������� ���� ����   ��� ��� �� ��މ�� \InE{}$n=2$\EnE{}  ������� ��¢� ����.
\begin {defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ����  � \InE{}$\varphi$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ��� \InE{}$A$\EnE{} ������. ��ډ���� \InE{}$T:A\rightarrow A$\EnE{} ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ��� )�����( ��¢� \fnote{\InE{}jordan\EnE{}}���� ������� ������ ��� \InE{}$x\in A$\EnE{} ������� ��������:
\InE{}$$ (T(x^{2})=\varphi(x)T(x))\hspace{.5cm}T(x^{2})=T(x)\varphi(x)$$\EnE{} 
\InE{}$T$\EnE{} ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ��¢� ���� ������� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ��� � ����� ��¢� ������.
\end{defn }
\begin {theo}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� �����������  � �ꉑ��� � \InE{}$\varphi:A\rightarrow A$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ��� ��¢ ��ډ�� ������. �� ���� �����  \InE{}$T$\EnE{} ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ���� 
���� � ������� ���� ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ�  ��¢� ������. 
\end{theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}   
������� ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ�   ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ�  ��¢� ����.  ����  ��­ ���� \InE{}$T$\EnE{} ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ��¢� ������. ���ډ�� ������ ���
\InE{}$x,y\in A$\EnE{}  ������:
% �������� ����� ����������䉶 ��� ����  \InE{}$X^*$\EnE{} �������� ���¬��� ��:
%\english

\begin{equation}\label{el1} 
T(x+y)^{2}=\varphi(x+y)T(x+y)=\varphi(x)T(x)+\varphi(x)T(y)\vspace{-2cm}
\end{equation}

\InE{} $$+\varphi(y)T(x)+\varphi(y)T(y)$$\EnE{}
�� ω�� ���ډ� 
\begin{equation}\label{el2}
T(x+y)^{2}=T(x^{2}+2xy+y^{2})=\varphi(x)T(x)+2T(xy)+\varphi(y)T(y)
\end{equation}
%\farsi
�� ��։���Ɖ�  )\ref{el1}(  � )\ref{el2}( ������:  
\begin{equation}\label{el3}
.2T(xy)=\varphi(x)T(y)+\varphi(y)T(x)
\end{equation}
%\farsi

%\begin{equation}

���� �� ����������� ����� ����� \InE{}$A$\EnE{} � 䉱���� )\ref{el3}(   , ������ ��� ����  ������ ��� ������ \InE{}$\{z_{n}\}^{\nfty}_{n=1}^{\infty}\subset A$\EnE{}
\begin{equation}
\lim _{n\rightarrow \infty} 2T(xyz_{n})&=&\lim _{n\rightarrow \infty} \varphi(y)T(xz_{n})+\lim _{n\rightarrow \infty }\varphi(xz_{n})T(y)\vspace{-2cm}
\end{equation}
%

\begin{eqnarray*}
&=&\lim _{n\rightarrow \infty} \varphi(y)[\varphi(x)T(z_{n})+\varphi(z_{n})T(x)]/2\\
&+&\lim _{n\rightarrow \infty} \varphi(xz_{n})T(y).\\
\end{eqnarray*}
� �� ������ ��������� �����:

\begin{equation}\label{el5}
\lim _{n\rightarrow \infty} 2T(xyz_{n})&=&\lim _{n\rightarrow \infty} [\varphi(y)\varphi(x)T(z_{n})+\varphi(y)\varphi(z_{n})T(x)\vspace{-2cm}
\end{equation}
 
\InE{}$$+2\varphi(x)\varphi(z_{n})T(y)]/2$$\EnE{}
��� �����ԉ��� �� �� )\ref{el3}( , ������ 
 
\begin{equation}\label{el6}
\lim _{n\rightarrow \infty} 2T(xyz_{n})&=&\lim_{n\rightarrow \infty}[\varphi(x)\varphi(y)T(z_{n})+\varphi(x)\varphi(z_{n})T(y)\vspace{-2cm}
\end{equation}

\InE{}$$+2\varphi(y)\varphi(z_{n})T(x)]/2.$$\EnE{}
��� ��։���Ɖ� ������ )\ref{el5}( � )\ref{el6}( , ������ ��� \InE{}$x,y,z_{n}\in A$\EnE{}  ����� ��� ������   
\InE{}$$.\lim_{n\rightarrow \infty}\varphi(x)\varphi(z_{n})T(y)=\lim _{n\rightarrow \infty}\varphi(y)\varphi(z_{n})T(x)$$\EnE{}
���� �� �����؉� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ����������� � �ꉑ��� �  ��¢ \InE{}$\varphi$\EnE{}  �� \InE{}$A$ \EnE{}  ��ډ�� ���� , ������ ��� �����    \InE{}$\varphi(x)T(y)=T(x)\varphi(y)$\EnE{} � ��� \InE{}$T$\EnE{} ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ����. 
\begin {conseq}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� �����������  � �ꉑ��� � \InE{}$T:A\rightarrow A$\EnE{} ��� ��ډ���� ��Ή� ������. �� ���� �����  \InE{}$T$\EnE{} ��� ���ډ� ���� ���� � ������� ���� ������ ��� \InE{}$x\in A$\EnE{}, \InE{}$.T(x^{2})=xT(x)$\EnE{} 
\end {conseq}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} 
��� ������ \InE{}$.\varphi(x)=x$\EnE{}
\begin{lemm}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� ����ډ��� ������ � \InE{}$\psi$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ���������� �� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����  ��� ���� ����� ��ډ�� ��  ����� ����  \InE{}$B$\EnE{} ������. �� ���� �����  ����� ����  \InE{}$B$\EnE{} ����ډ��� ������ ����. 
\end{lemm}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} ����� ���� ���  \protected\cite{BD} ��Ð�� \InE{}$.11$\EnE{}
\begin{theo}
\begin{enumerate}
\item{��­ ���� \InE{}$A$\EnE{}  ��� ����� ����  �����������  � ��؉�� � \InE{}$\varphi$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ��������� ������ ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$S\in M_{\varphi}(A)$\EnE{},
 \InE{}$.\varphi\circ S=S\circ \varphi$\EnE{}  ���� \InE{}$A$\EnE{}  �щ� ����� ������ ���ډ��  \InE{}$M_{\varphi}(A)$\EnE{}  �� �щ� ����� ����.   }
\item{��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� ����ډ��� ������ � \InE{}$\varphi$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ��������� ������ ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$S\in M_{\varphi}(A)$\EnE{},
 \InE{}$.\varphi\circ S=S\circ \varphi$\EnE{}
  ������. ���ډ�� \InE{}$M_{\varphi}(A)$\EnE{}  ����ډ��� ������ ����.                           }
\end{enumerate}
\end{theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
\InE{}$(1)$\EnE{} �������� ��� ���� \InE{}$$\mu:A\rightarrow M_{\varphi}(A)\vspace{-1cm}$$\EnE{}  \InE{}$$\hspace{2.5cm}\mu(a)=\hspace{.1cm}_{a}\varphi,\hspace{.3cm}s.t \hspace{.3cm}_{a}\varphi(b)=\varphi(ab)$$\EnE{} 
���� \InE{}$A$\EnE{} ����������� ����,  \InE{}$.\mu(A)\subseteq M_{\varphi}(A)$\EnE{} ������� ����� �� ��ȉ�� ��� ����   ������ ��� \InE{}$S\in M_{\varphi}(A)$\EnE{},   \InE{}$S=\hspace{.1cm}_{S(e)}\varphi$\EnE{}
� �� ������  \InE{}$\mu$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ������ � ���������� ����. ��� ��ډ����  \InE{}$(\mu)^{**}:A^{**}\rightarrow (M_{\varphi}(A))^{**}$\EnE{}  �� ������ ����.
 ����  ��­ ���� \InE{}$.F',G'\in (M_{\varphi}(A))^{**}$\EnE{} �� ���� �����  
\InE{}$F,G\in A^{**}$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� \InE{}$\mu^{**}(F)=F'$\EnE{} � \InE{}$.\mu^{**}(G)=G'$\EnE{}  ��­ ���� \InE{}$\circ ,\circ'$\EnE{} �������� �� ���� �\tashdid �� � �\tashdid �� ����� ��������. �� ���� �����  

\begin{eqnarray*}
.F'\circ G'&=&\mu^{**}(F)\circ \mu^{**}(G)=\mu^{**}(F\circ G)=\mu^{**}(F\circ 'G)\\
&=&\mu^{**}(F)\circ ' \mu^{**}(G)=F'\circ 'G'\\
\end{eqnarray*}
� �� ������ \InE{}$M_{\varphi}(A)$\EnE{} �щ� ����� ����.\\
\InE{}$(2)$\EnE{} ��� ����� ���� ����ډ��� ������ ������ ��� ��։������ ��މ���� ������ ����  \protected\cite{RU}.  ��­ ����  \InE{}$T\in M_{\varphi}(A)$\EnE{},   \InE{}$\{e_{\alpha}:\alpha \in I\}$\EnE{} ���  ��։������ ��މ����
 �� \InE{}$A$\EnE{} � \InE{}$\mu$\EnE{} ��ډ���� �������� ���� �� ��Ɖމ� \InE{}$(1)$\EnE{} ������. ������� ������� ��ȉ�� ��� ����   \InE{}$T=\lim_{\alpha} _{T(e_{\alpha})}\varphi$\EnE{} � �� ������ \InE{}$.\overline{\mu(A)}=M_{\varphi}(A)$\EnE{} ��� ��� ������ ��� ��� 쉱��,
 \InE{}$M_{\varphi}(A)$\EnE{} ����ډ��� ������ ����.  
\begin{theo}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� ��؉�� � \InE{}$\varphi:A\rightarrow A$\EnE{}  ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ω��� ��ډ����\fnote{\InE{}spectrum preserving\EnE{}} ��� ��¢ ��ډ�� ������. �� ���� ����� 
 ��� \InE{}$T\in M_{\varphi}(A)$\EnE{} ω��� ��ډ���� ����. 
\end{theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
��­ ���� \InE{}$a\in A$\EnE{} � \InE{}$.\lambda \notin \sigma (T(a))$\EnE{} �� ����  ��¢  \InE{}$\varphi$\EnE{} ��ډ�� ����, ������ \InE{}$\{c_{n}\}_{n}\in A$\EnE{}  ����� ����
 ��Ή����؉� \InE{}$.(T(a)-\lambda)\lim_{n}\varphi(c_{n})=1$\EnE{} �� ���� ����� 
\begin{eqnarray*}
(\varphi(a)-\lambda)\lim_{n}T(c_{n})&=&\lim_{n}(  \varphi(a)-\lambda)T(c_{n})=\lim_{n}\varphi(a-\lambda)T(c_{n})\\
&=&\lim_{n} T(a-\lambda)\varphi(c_{n})=(T(a)-\lambda)\lim_{n} \varphi(c_{n})\\
&=&1\\
\end{eqnarray*}
������� ��ȉ������ ��ȉ�� ��� ����   \InE{}$\lim _{n}T(c_{n})(\varphi(a)-\lambda)$=1\EnE{} � �� ������ \InE{}$.\lambda\notin \sigma(\varphi(a))$\EnE{} ��� �� ����   \InE{}$\sigma(\varphi(a))=\sigma(a)$\EnE{}, ������  \InE{}$.\lambda\notin \sigma(a)$\EnE{}\\
���� ��­ ���� \InE{}$.\lambda\notin \sigma(a)$\EnE{} ��� \InE{}$b\in A$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� \InE{}$(a-\lambda)b=1$\EnE{} ����������  \InE{}$$.(T(a)-\lambda)\varphi(b)=T(a-\lambda)\varphi(b)=T((a-\lambda)b)=1$$\EnE{}
��ȉ�����\nasb � \InE{}$.\varphi(b)(T(a)-\lambda)=1$\EnE{}  ���������� \InE{}$.\lambda\notin \sigma(T(a))$\EnE{} ��� \InE{}$.\sigma(T(a))=\sigma(a)$\EnE{}
%*******************************************************************************************************************************************************************
%7777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777
%\section{����� ��� ��։������ ��މ���� ������  �� ��¢ ���  \InE{}$-\varphi$\EnE{} ���ډ�  }
\newpage
\markright{\underline{2.3 ����� ��։������ ��މ���� ������ �� ��¢ ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ�   \InE{}\hspace*{4.5cm}\EnE{} }}
\section{ ����� ��։������ ��މ���� ������ �� ��¢ ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ�  }
%\newpage
����  ��� �� ���� ����� ���ꉵ�� ����Ή� ����  ����� �� �����, ��¢ ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{} ���ډ� ������  ��� ��։������ ��މ���� ������ ������.  쉱�� �� ������ �����  ��� �� ��� �������    
�� ����ډ� ������ ��� ����.
\begin{lemm} \InE{}\label{lemm1}\EnE{} 
��­ ���� \InE{}$X$\EnE{} ��� ��̉�� ���� � \InE{}$T:X\rightarrow X$\EnE{}  ��� ��މ܉ډ� ��Ή�  � ����������  ��� ��¢ ��Ɖ��� ������. ����� ���� ��㉑�󉀉�:
\begin{enumerate}
\item{\InE{}$\overline {T^{2}(X)}=T(X)$\EnE{}  }
\item{   \InE{}$\overline {T^{**2}(X^{**})}=T^{**}(X^{**})$\EnE{}  }
\end{enumerate}
\end {lemm}
 \par \noindent {\siah \Large ������� :}
 ����� ���� ��� \protected\cite{ULW} ��Ð�� \InE{}$.3.1$\EnE{}
\begin{lemm}\InE{}\label{lemm2}\EnE{}
��­ ���� \InE{}$X$\EnE{} ��� ��̉�� ���� � \InE{}$T:X\rightarrow X$\EnE{}  ��� ��މ܉ډ� ��Ή� � ���������� ��� ��¢ ��Ɖ��� ������. ��މ������� ��­ ���� \InE{}$S_{n}:T(X)\rightarrow T(X)$\EnE{} ������ �� �� ��މ܉ډ����� ��Ή� 
 ���������� ������ ��Ή����؉� ���� \InE{}$n\rightarrow \infty$\EnE{}, ���ډ��  \InE{}$.\sup _{||x||\leq 1}||S_{n}(T(x))-T(x)||\rightarrow 0$\EnE{}  �� ���� �����   ������  ��� \InE{}$n\in \mathds{N}$\EnE{} ����� ������ �������,  
��މ܉ډ����� \InE{}$S_{n}$\EnE{} ����؉�� ���������.
\end {lemm}
 \par \noindent {\siah \Large ������� :} 
����� ���� ��� \protected\cite{ULW} ��� \InE{}$.3.2$\EnE{}
\begin{prop}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� �ꉑ��� � \InE{}$\varphi:A\rightarrow A$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ������ ������.
 ���� \InE{}$T$\EnE{} ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ��� \InE{}$A$\EnE{} ������. ���ډ�� \InE{}$T^{**}$\EnE{}   ��� \InE{}$-\varphi^{**}$\EnE{}���ډ� ��� \InE{}$A^{**}$\EnE{} ����.
\end{prop}
 \par \noindent {\siah \Large ������� :} 
��­ ����   \InE{}$x\in A$\EnE{}  ��Ή����؉�  \InE{}$.\varphi(x)=a\neq 0$\EnE{} ��� 䉀�ʉ� \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{}  ���� ���� ��Ή����؉�
\InE{}$||f||\leq 1$\EnE{} � \InE{}$.<f,a>\neq 0$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$\pi:A\rightarrow A^{**}$\EnE{} ��ډ���� ������ ������.  ������ 

\begin{eqnarray*}
<\varphi^{**}(\pi(x)),f>&=&<\pi(x),\varphi^{*}(f)>=<\varphi^{*}(f),x>\\
&=&<f,\varphi(x)>=<f,a>\neq 0\\
\end{eqnarray*}
� �� ������ \InE{}$.\varphi^{**}(\pi(x))\neq 0$\EnE{} ��� \InE{}$\varphi^{**}$\EnE{} ��� ��ډ���� 艃�� ��ԉ� ����.\\ 
��­ ���� \InE{}$.m,n\in A^{**}$\EnE{} ������ ��� \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{} � \InE{}$x,y\in A$\EnE{} ��ȉ�� ��� ������ \InE{}$$.<T^{**}(m)\circ \varphi^{**}(n),f>=<\varphi^{**}(m)\circ  T^{**}(n),f>$$\EnE{}
��� �����ԉ��� �� �������� �� ����� ������ 
\InE{}$$<T^{**}(m)\circ \varphi^{**}(n),f>=<T^{**}(m),\varphi^{**}(n)\cdot f>=<m, T^{*}(\varphi^{**}(n)\cdot f)>$$\EnE{} �

\begin{eqnarray*}
<T^{*}(\varphi^{**}(n)\cdot f),x>&=&<\varphi^{**}(n)\cdot f,T(x)>=<\varphi^{**}(n),f\cdot T(x)>\\
&=&<n,\varphi^{*}(f\cdot T(x))>\\
\end{eqnarray*}
��މ������� 

\begin{equation}\label{el7}
.<\varphi^{*}(f\cdot T(x)),y>=<f\cdot T(x),\varphi(y)>=<f,T(x)\varphi(y)>
\end{equation}
�� ω�� ���ډ� 
\InE{}$$<\varphi^{**}(m)\circ T^{**}(n),f>=<\varphi^{**}(m),T^{**}(n)\cdot f>=<m,\varphi^{*}(T^{**}(n)\cdot f)>$$\EnE{}
�

\begin{eqnarray*}
<\varphi^{*}(T^{**}(n)\cdot f),x>&=&<T^{**}(n)\cdot f,\varphi(x)>=<T^{**}(n),f\cdot \varphi(x)>\\
&=&<n,T^{*}(f\cdot \varphi(x))>\\
\end{eqnarray*}
��މ�������

\begin{equation}\label{el8}
<T^{*}(f\cdot \varphi(x)),y>=<f\cdot \varphi(x),T(y)>=<f,\varphi(x)T(y)>
\end{equation}

��� �� �����؉� \InE{}$T$\EnE{} ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ����,  ��� ��։���Ɖ� )\ref{el7}( � )\ref{el8}( ��������� ����� \InE{}$$.<T^{**}(m)\circ \varphi^{**}(n),f>=<\varphi^{**}(m)\circ T^{**}(n),f>$$\EnE{}
 ������� ��ȉ������ ��ȉ�� ��� ����  ���� \InE{}$\varphi$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ��� \InE{}$A$\EnE{} ������ ���ډ�� \InE{}$\varphi^{**}$\EnE{} �� ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ��� \InE{}$A^{**}$\EnE{} ���� � �� ������ \InE{}$T^{**}$\EnE{}  ��� \InE{}$-\varphi^{**}$\EnE{}���ډ�  ��� \InE{}$A^{**}$\EnE{} ����. 
 \begin{theo}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� �ꉑ���  ������ ��� ��։������ ��މ���� ������ \InE{}$\{e_{\alpha}:\alpha\in I\}_$\EnE{} � \InE{}$T:A\rightarrow A$\EnE{} ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ��� ��¢ ��Ɖ��� ������.
  ��­ ���� \InE{}$\varphi:A\rightarrow A$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ��������� ������ ��Ή����؉� \InE{}$.\varphi\circ T=T\circ \varphi$\EnE{} �� ���� �����  䉱����� ���� ��㉑�󉀉�:
 \begin{enumerate}
\item{\InE{}$T^{2}(A)$\EnE{} �� \InE{}$T(A)$\EnE{} ��ډ�� ����.}
\item {\InE{}$.T^{2}(A)=T(A)$\EnE{}}
\item {\InE{}$T(A)$\EnE{} ��� ��։������ ��މ���� ������ ����.}
\end{enumerate}
\end{theo}
  \par \noindent {\siah \Large ������� :} 
\InE{}$(1)\Rightarrow (2)$\EnE{}
��­ ���� \InE{}$T^{2}(A)$\EnE{} �� \InE{}$T(A)$\EnE{} ��ډ�� ������. ��� ������ ���  ��� \InE{}\ref{lemm1}\EnE{}, \InE{}$.\overline{T^{**2}(A^{**})}=T^{**}(A^{**})$\EnE{} ��މ�������  �� ��Ð�� \InE{}\ref{prop1}\EnE{}, \InE{}$A^{**}$\EnE{} ������ ��� 䉀�ʉ� ��މ���� 
���܉� \InE{}$e$\EnE{} ����. �� ����   \InE{}$T^{**}(\varphi^{**}(e))\in \overline {T^{**2}(A^{**})}$\EnE{},  
������ \InE{}$\{u_{n}\}_{n\in N}$\EnE{} �� \InE{}$A^{**}$\EnE{} ���� ���� ��Ή����؉�
\begin{equation}\label{el9}
.\lim_{n\rightarrow \infty}||T^{**}(T^{**}(u_{n}))-T^{**}(\varphi^{**}(e))||=0
\end{equation}
 
����  ����  \InE{}$\varphi^{**}$\EnE{} ���  ��މ��ꉃ�Ɖ� ��������� � \InE{}$T^{**}$\EnE{} ��� \InE{}$-\varphi^{**}$\EnE{}���ډ� ��� \InE{}$A^{**}$\EnE{} ����, ������ ��� \InE{}$m\in A^{**}$\EnE{}  ������:\\
\InE{}$(10)$\EnE{} 
\InE{}$$\varphi^{**}(m)\circ (T^{**}(T^{**}(u_{n}))-T^{**}(\varphi^{**}(e)))=\varphi^{**}(m)\circ T^{**}(T^{**}(u_{n}))-\varphi^{**}(m)\circ T^{**}(\varphi^{**}(e))\vspace{-1cm}$$\EnE{}

\begin{eqnarray*}
&=& T^{**}(m)\circ \varphi^{**}(T^{**}(u_{n}))-T^{**}(m)\circ \varphi^{**}(\varphi^{**}(e))\\
&=&T^{**}(m)\circ \varphi^{**}(T^{**}(u_{n}))-T^{**}(m)\circ \varphi^{**}(e)\\
\end{eqnarray*}
���� ��މ܉ډ����� \InE{}$S_{n}$\EnE{} ��  ��� �����Ή� ���� �������� ��� ���� :
\InE{}$$S_{n}:T^{**}(A^{**})\rightarrow T^{**}(A^{**})\vspace{-1cm}$$\EnE{}
\InE{}$$S_{n}(T^{**}(m))=T^{**}(m)\circ \varphi^{**}(T^{**}(u_{n})),\hspace*{.5cm}m\in A^{**}$$\EnE{}
������� ��� \InE{}$S_{n}$\EnE{} ��Ή� � ������ ����. ���� �� ���  \InE{}$e$\EnE{} ��� ��މ���� ����� �� \InE{}$A^{**}$\EnE{} ����,   \InE{}$T^{**}(m)\circ \varphi^{**}(e)=T^{**}(m\circ e)=T^{**}(m)$\EnE{} 
 � �� ������ ��� �����ԉ��� �� )\ref{el9}( � \InE{}$(10)$\EnE{},  ��������� �����: 

\begin{eqnarray*}
||S_{n}(T^{**}(m))-T^{**}(m)||&=&||T^{**}(m)\circ \varphi^{**}(T^{**}(u_{n}))-T^{**}(m)\circ \varphi^{**}(e)||\\
&=&||\varphi^{**}(m)\circ (T^{**}(T^{**}(u_{n}))-T^{**}(\varphi^{**}(e)))||\\
&\leq & ||\varphi^{**}(m)||\hspace{.1cm}||T^{**}(T^{**}(u_{n}))-T^{**}(\varphi^{**}(e))||\rightarrow 0\\
\end{eqnarray*}
���������� ���� \InE{}$.n\rightarrow \infty$\EnE{} ���ډ��  \InE{}$$.\sup _{||m||\leq 1}||S_{n}(T^{**}(m))-T^{**}(m)||\rightarrow 0$$\EnE{}
��� �����ԉ��� �� ��� \InE{}\ref{lemm2}\EnE{}, ������  ��މ� ��� ������ ������� \InE{}$n\in N$\EnE{}, ��މ܉ډ����� \InE{}$S_{n}$\EnE{} ����؉�� ������ �  �� ������  ������ ��Ɖ�����. ���� �� ���  \InE{}$\varphi^{**}$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� 
��������� ����  ��������� ����� 

\begin{eqnarray*}
T^{**}(A^{**})&=&S_{n}(T^{**}(A^{**}))=T^{**}(m)\circ \varphi^{**}(T^{**}(u_{n}))\\
&=&\varphi^{**}(m)\circ T^{**}(T^{**}(u_{n}))=T^{**}(\varphi^{**}(m)\circ T^{**}(u_{n}))\\
&=&T^{**2}(m\circ u_{n})\\
\end{eqnarray*}
� �� ������ \InE{}$.T^{**}(A^{**})\subseteq T^{**2}(A^{**})$\EnE{} ������� \InE{}$.T^{**2}(A^{**})\subseteq T^{**}(A^{**})$\EnE{} ��� \InE{}$.T^{**}(A^{**})=T^{**2}(A^{**})$\EnE{}
���� �� ����  ��¢ \InE{}$T$\EnE{} ��Ɖ��� ����, ��� �����ԉ��� �� ��Ɖ��� 쉱�� � ��̉��� \InE{}$1.10$\EnE{} �� ���� \protected\cite{CO}, ������ ��� �����   \InE{}$T^{**2}(A^{**})$\EnE{} ��Ɖ��� ����. ����  ����
   \InE{}$T^{**2}(A^{**})=(T^{2})^{**}(A^{**})$\EnE{}, ��� �����ԉ��� �� �� ��̉��� \InE{}$1.10$\EnE{}  ����\protected\cite{CO},  \InE{}$T^{2}(A)$\EnE{} �� \InE{}$A$\EnE{} ��Ɖ��� ����.  ����������  �� ��ډ�� ����� 
  \InE{}$T^{2}(A)$\EnE{} �� \InE{}$T(A)$\EnE{}  ��������� �����   \InE{}$.T^{2}(A)=T(A)$\EnE{}\\
\InE{}$(2)\Rightarrow (3)$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$.T^{2}(A)=T(A)$\EnE{}  ����������  ���� ������  \InE{}$\{v_{\alpha}\}_{\alpha \in I }$\EnE{} �� \InE{}$A$\EnE{} ���� ���� ��Ή����؉� 
 \InE{}$.T(e_{\alpha})=T^{2}(v_{\alpha})$\EnE{} ��䉑 ��� ���� ����
\InE{}$\{t_{\alpha}\}_{\alpha}=\{\varphi(T(v_{\alpha}))\}_{\alpha}$\EnE{} ��� ��։������ ��މ���� ������ �� \InE{}$T(A)$\EnE{} ����. ������ ���
 \InE{}$a\in A$\EnE{} ������:  \InE{}$$T(ae_{\alpha})=\varphi(a)T(e_{\alpha})=\varphi(a)T^{2}(v_{\alpha})=T(a)\varphi(T(v_{\alpha}))$$\EnE{}
� �� ������  \InE{}$$.T(a)=\lim _{\alpha}T(ae_{\alpha})=\lim _{\alpha}T(a)\varphi(T(v_{\alpha}))=\lim _{\alpha} T(a) t_{\alpha}$$\EnE{} 
��Ή�� ��ȉ���� \InE{}$.T(a)=\lim _{\alpha}t_{\alpha}T(a)$\EnE{}  ���� �� ����   \InE{}$\varphi$\EnE{} ��� \InE{}$T$\EnE{} �������� ��� ����  \InE{}$$.\{t_{\alpha}\}_{\alpha}=\{\varphi(T(v_{\alpha}))\}_{\alpha}=\{T(\varphi(v_{\alpha}))\}_{\alpha}\subseteq T(A)$$\EnE{}
��� \InE{}$\{t_{\alpha}\}$\EnE{} ��� ��։������ ��މ����  ������ ��  \InE{}$T(A)$\EnE{} ����.\\
\InE{}$(3)\Rightarrow (1)$\EnE{}  ��­ ���� \InE{}$T(A)$\EnE{} ��� ��։������ ��މ���� ������ ������� ������. �� ���� ����� ��� ������ ���  ��̉��� �������� ������� ��� \protected\cite{HR}, \InE{}$AA=A$\EnE{} � \InE{}$.T(A)T(A)=T(A)$\EnE{} 
 ���� �� ��������� \InE{}$\varphi$\EnE{}  ������ 


\begin{eqnarray*}
T^{2}(A)&=&T(T(AA))=T(T(A)\varphi(A))=\varphi(T(A))T(\varphi(A))\\
&=&\varphi(T(A))\varphi(T(A))=\varphi(T(A))\\
&=&T(\varphi(A))=T(A).\\
\end{eqnarray*}
%*************************************************************************************************************************************************************
%***********************************************************************************************************************************************************

%\begin{theo}

%��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� ������ ��� ��։������ ��މ���� � \InE{}$\varphi$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ���������� � ��������� ������. �� ���� �����  \InE{}$M_{\varphi}^{l}(A)$\EnE{} ��� ���� �������� ���� \InE{}$||S||_{\varphi}=||S\circ \varphi||$\EnE{} 
%��� ����� ���� ����.
%\end{theo}
%��­ ���� \InE{}$\{e_{\alpha}:\alpha\in I\}$\EnE{} ��։������ ��މ���� �� \InE{}$A$\EnE{} ������. ��­ ���� \InE{}$S\in M_{\varphi}^{l}(A)$\EnE{} ��Ή����؉� \InE{}$||S||_{\varphi}=0$\EnE{} ��� ������ \InE{}$.S\circ \varphi=0$\EnE{} �� �����؉� \InE{}$S$\EnE{} ��� 
%���ډ� ��� ���� ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{}

%\begin{eqnarray*}
%S(a)&=&S(\lim e_{\alpha}a)=\lim S(e_{i})\varphi(a)=\lim S(e_{\alpha})\varphi(\varphi(a))\\
%&=&\lim S(e_{\alpha}\varphi(a))=S(\lim e_{\alpha}\varphi(a))=S(\varphi(a))\\
%&=&(S\circ \varphi)(a)=0\\
%\end{eqnarray*}
%��� \InE{}$||.||_{\varphi}$\EnE{} ��� ���� ���  \InE{}$M_{\varphi}^{l}(A)$\EnE{} ����.  �������   \InE{}$M_{\varphi}^{l}(A)$\EnE{} ��� ����� ����. ���� ��ȉ�� ��� ������  \InE{}$M_{\varphi}^{l}(A)$\EnE{}  ��� ����.
%��­ ���� \InE{}$\{S_{n}\}_{n}$\EnE{}  ��� ������ ��� �� \InE{}$M_{\varphi}^{l}(A)$\EnE{} ������. ���ډ�� ������ ��� \InE{}$x\in A$\EnE{}, ������ \InE{}$\{(S_{n}\circ \varphi)(x)\}_{n}$\EnE{} ��� ������ ��� �� \InE{}$A$\EnE{} ����.
%��ډ����  \InE{}$S:A\rightarrow A$\EnE{} ��  ��� �����Ή� \InE{}$S(x)=\lim (S_{n}\circ \varphi)(x)$\EnE{}  �������� ��� ����.  �� ���� �����  \InE{}$||S_{n}-S||_{\varphi}\rightarrow 0$\EnE{} � ��މ������� ������: 

%\begin{eqnarray*}
%S(ab)&=&\lim (S_{n}\circ \varphi)(ab)=\lim S_{n}(\varphi(a)\varphi(b))\\
%&=&\lim S_{n}(\varphi(a))\varphi(\varphi(b))=S(a)\varphi(b).\\
%\end{eqnarray*}
%����������   \InE{}$.S\in M_{\varphi}^{l}(A)$\EnE{}
%*********************************************************************************************************************************************************************
%***************************************************************************************************************************************************************
\newpage
\markright{\underline{2.4 \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ����� ����� ������� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{}   \InE{}\hspace*{4.5cm}\EnE{} }}
\section{ \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ����� ����� ������� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{}  }
%\InE{}sectio\EnE{}{\InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ����� ����� �������  \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} }
%����މ������ ���������� \InE{}$-\varphi$\EnE{} �쉵�� ����� ��� ������  \InE{}$.A=L_{1}(G)$\EnE{}
�� ���� ����� ��� ��Ή���㉂ \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ���� ���  ����� ������� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} ��� ��¢�����.  \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ����� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} �� ��������  ��¢�
 � ����� ����� ���\tashdid ���  ������ ��� ����  ����� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ�����  \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} ��� ����� \InE{}$\varphi(M_{a}(G))$\EnE{} ������� ����. \\
%����� ������ ��� ����  ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ������ �� ��̉�� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} ��� \InE{}$\varphi(M_{a}(G))$\EnE{}
%����� ���� � ����� ����Ή� �� ������ ��� ����  ����� �� ����� �� ��̉�� ���� ��Ή�� ω�󉳉� ������� ������.\\
��­ ���� \InE{}$\mu\in M(G)$\EnE{} ������ �� �󉿉��� ������. ������� ��ډ���� \InE{}$f\rightarrow \mu*f$\EnE{} ��� ���ډ� ��� ��� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} �������� ��� ��. ����� \protected\cite{WE} �� ���� \InE{}$1951$\EnE{},  ��؉� ��Ή܉� ꉁ� ��
ω�  ��̉��� ���� ������� ��¢. 
%��� ���� ������  
%��� ���ډ� ��� ��� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} ��� ���� ��� \InE{}$\mu\in M(G)$\EnE{} ��ʉ��� ꉁ� ����. \\
\begin  {theo}
��­ ���� \InE{}$T:L_{1}(G)\rightarrow L_{1}(G)$\EnE{} ��� ���ډ� ���  ������. �� ���� ����� ������ ��؉���� \InE{}$\mu\in M(G)$\EnE{} ����� ����
 ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{},   \InE{}$.T(f)=\mu*f$\EnE{}\\
%��� �� �������� ��̉��� ����� �� �� �� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ���� �����  ��̉��� ���� ������  ��� ����. 
\end  {theo}
��̉��� ���� ����މ��މ� �� ��̉��� ����� ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ�����  ����� ������� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} ����. 
 \begin{theo}
��­ ���� \InE{}$G$\EnE{} ��� ����� ����\nasb � ��ȉ¢� ���܉� , \InE{}$T:L_{1}(G)\rightarrow L_{1}(G)$\EnE{} ��� ��ډ����  ��Ή� � ����������  � \InE{}$\varphi:L_{1}(G)\rightarrow L_{1}(G)$\EnE{} 
��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ��� ��¢ ��ډ�� ������. ����� ���� ��㉑�󉀉�:
\begin{enumerate}
\item { \InE{}$T$\EnE{} ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ��� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} ����  ��㉀�� ������ ��� \InE{}$f,g\in L_{1}(G)$\EnE{} \InE{}$$.T(f*g)=T(f)*\varphi(g)=\varphi(f)*T(g)$$\EnE{}}
\item { ������ ��؉���� \InE{}$\mu_{T}\in M(G)$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{}  \InE{}$$.Tf=\varphi(f)*\mu_{T}$$\EnE{}}
\item { ������ ��؉���� \InE{}$H_{T}$\EnE{} ��� \InE{}$\widehat{G}$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{} \InE{}$$.\widehat{(Tf)}=H_{T}\cdot \widehat{\varphi(f)}$$\EnE{}
%\item[\InE{}$(3$\EnE{}] ������ ��؉���� \InE{}$\mu_{T}\in M(G)$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{}, \InE{}$\hat{(Tf)}=\hat{\mu}\hat{f}$\EnE{}.\InE{}$\vspace{-.3cm}$\EnE{}

\end{enumerate}
 \end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
\InE{}$(1)\Rightarrow (2)$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$\{e_{\alpha}:\alpha\in I\}$\EnE{} ��� ��։������ ��މ���� ������ �� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} ������. �� ����     \InE{}$\{T(e_{\alpha})\}_{\alpha} \subset ball (C_{0}(G))^{*}$\EnE{}
 ��� ������ ��� ��̉��� ����܉�,  ������ \InE{}$\mu_{T}\in M(G)$\EnE{} � ���� ���� \InE{}$\{T(e_{\beta})\}_{\beta}\subset \{T(e_{\alpha})\}$_{\alpha }$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉�  ������ ��� \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{}
\InE{}$$.\varphi(f)*T(e_{\beta})\rightarrow^{weak^{*}}\varphi(f)*\mu_{T}$$\EnE{}
�� ω�� ���ډ� ���� \InE{}$T$\EnE{} ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{} ���ډ� ����, ������   \InE{}$$\varphi(f)*T(e_{\beta})=T(f*e_{\beta})\rightarrow ^{||.||}T(f)$$\EnE{} � �� ������ �� ��؉������ ���,  ������ ���
 \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{} \InE{}$$.T(f)=\varphi(f)*\mu_{T}$$\EnE{}\\
��ȉ��  ��� ������ \InE{}$\mu_{T}$\EnE{}  ��؉������. ��­ ���� \InE{}$\mu_{2},\mu_{1}\in M(G)$\EnE{} ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{}, \InE{}$. \varphi(f)*\mu_{1}=\varphi(f)*\mu_{2}$\EnE{} �� ��ډ�� ����� ��¢ \InE{}$\varphi$\EnE{}
������ ��� �����  ������ ��� \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{} , \InE{}$f*(\mu_{1}-\mu_{2})=0$\EnE{} � �� ������ 
\InE{}$$.\widehat{f}\cdot \widehat{(\mu_{1}-\mu_{2})}=0\hspace{2cm}(*)$$\EnE{}
��� ������ ��� �����؉� \InE{}$G $\EnE{}  ��� ����� ����\nasb � ��ȉ¢� ����,  ������ ��� \InE{}$\gamma\in \widehat{G}$\EnE{}, ������  \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{} ���� ���� ��Ή����؉� \InE{}$.\widehat{f}(\gamma)\neq 0$\EnE{}
 ��� ��� �����ԉ��� �� \InE{}$(*)$\EnE{},  ������ ��� \InE{}$\gamma\in \widehat{G}$\EnE{}, \InE{}$(\widehat{\mu_{1}-\mu_{2})}(\gamma)=0$\EnE{} 
 � �� ������  \InE{}$.\mu_{1}=\mu_{2}$\EnE{}\\
\InE{}$(2)\Rightarrow (3)$\EnE{} ��­ ���� ������ ��� \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{} , \InE{}$.T(f)=\varphi(f)*\mu_{T}$\EnE{} 
 ��­ ���� \InE{}$\gamma \in \hat{G}$\EnE{} �󉿉��� ������. �� ��ډ�� ����� ��¢ \InE{}$\varphi$\EnE{}, \InE{}$g\in L_{1}(G)$\EnE{} ���� ���� ��Ή����؉� \InE{}$.\widehat{\varphi(g)}(\gamma)\neq 0$\EnE{}
 �����܉� �����   \InE{}$M(G)$\EnE{}  ��������� ����� \InE{}$$T(f)*\varphi(g)=\varphi(f)*\mu_{T}*\varphi(g)=\varphi(f)*T(g)$$\EnE{}
� �� ������ \InE{}$$.\widehat{T(f)}\cdot \widehat{\varphi(g)}=\widehat{ \varphi(f)}\cdot \widehat{ T(g)}\hspace{2cm}(*)$$\EnE{} ������ ��� \InE{}$\gamma \in \hat{G}$\EnE{} �������� ��� ����
 \InE{}$$H_{T}(\gamma)=\frac {\widehat{T(f)}(\gamma)}{\widehat{\varphi(f)}(\gamma)}$$\EnE{}
��Ɖ��� \InE{}$(*)$\EnE{} ��ȉ�� ��� ����  �������� \InE{}$H_{T}$\EnE{} ��Ɖ��։� �� \InE{}$f$\EnE{}  � �� ������ \InE{}$H_{T}$\EnE{} ��� ������ ���� �������� ��� \InE{}$\hat{G}$\EnE{} ����.\\
���� ���� \InE{}$\widehat{\varphi(f)}(\gamma)=0$\EnE{}  � \InE{}$\widehat {\varphi(g)}(\gamma)\neq 0$\EnE{}  ��Ɖ���  \InE{}$$\widehat {T(f)}(\gamma)\widehat {\varphi(g)}(\gamma)=\widehat {\varphi(f)}(\gamma)\widehat{T(g)}(\gamma)=0$$\EnE{} 
������ ��� ����  \InE{}$\widehat{T(f)}(\gamma)=0$\EnE{}  � �� ������  ������ ��� \InE{}$\gamma \in \widehat{G }$\EnE{}  � \InE{}$f\in L_{1}(G )$\EnE{} ����Ή�
 \InE{}$\widehat{T(f)}(\gamma)=H_{T}(\gamma)\widehat{\varphi(f)}(\gamma)$\EnE{}  ������ ����. ���    \InE{}$.\widehat {T(f)}=H_{T}\cdot \widehat{\varphi(f)}$\EnE{}\\
������ ��� ����  ������ \InE{}$H_{T}$\EnE{} ��؉������. ��­ ���� \InE{}$\psi $\EnE{}  ��������  ��� \InE{}$\widehat{G}$\EnE{} ������ ��Ή����؉� \InE{}$.\widehat{T(f)}=\psi\cdot \widehat{\varphi(f)}$\EnE{} ���ډ�� ������ ��� \InE{}$\gamma \in \hat{G}$\EnE{} �  \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{}, \InE{}$.(H_{T}-\psi)(\gamma)\widehat{\varphi(f)}(\gamma)=0.$\EnE{}
�� ��ډ�� ����� ��¢ \InE{}$\varphi $\EnE{} ������ ��� �����  ������ ��� \InE{}$\gamma \in \hat{G}$\EnE{}, ������  \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉�  \InE{}$\widehat{\varphi(f)}(\gamma)\neq 0$\EnE{}  � �� ������ ������ ��� \InE{}$\gamma\in \widehat{G}$\EnE{}, \InE{}$.(H_{T}-\psi)(\gamma)=0$\EnE{}  ��� \InE{}$.H_{T}=\psi$\EnE{}
\\
\InE{}$(3)\Rightarrow (1)$\EnE{}  \InE{}$(L_{1}(G))^{*}$\EnE{} ��։�� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} �� �������� ��� ��. ��� ꉃ�Ɖ� ��ȉ�� ������ ������ ��� \InE{}$f,g\in L_{1}(G)$\EnE{} �  \InE{}$x^{*}\in (L_{1}(G))^{*}$\EnE{} \InE{}$$.<x^{*},T(f)*\varphi(g)>=<x^{*},\varphi(f)*T(g)>$$\EnE{}
��� �����ԉ��� ��  \protected\cite{DS} \InE{}$(IV.8.5)$\EnE{}, ������ ��� \InE{}$x^{*}\in (L_{1}(G))^{*}$\EnE{}, 䉀�ʉ� \InE{}$K\in L_{\infty}(G)$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� \InE{}$$.<x^{*},f>=\int _{G} f(t)K(t^{-1})d\lambda \hspace{.5cm}(f\in L_{1}(G))$$\EnE{} 
���������� 
\begin{eqnarray*}
<x^{*},T(f)*\varphi(g)>&=&\int _{G} (T(f)*\varphi(g))(t)\hspace{.1cm}K(t^{-1})d\lambda=\widehat{(T(f)*\varphi(g))}(K)\hspace{2cm}(*)\\
&=&[H_{T}\widehat{\varphi(f)}\widehat{\varphi(g)}](K)=[\widehat{\varphi(f)}\widehat{T(g)}](K)\\
\end{eqnarray*}
�� ω�� ���ډ� 

\begin{eqnarray*}
<x^{*},\varphi(f)*T(g)>&=&\int_{G}(\varphi(f)*T(g))(t)\hspace{.1cm}K(t^{-1})d\lambda =\widehat{(\varphi(f)*T(g))}(K)\hspace{2cm}(**)\\
&=&[\widehat{\varphi(f)}\widehat{T(g)}] (K)\\
\end{eqnarray*}

�� ��։���Ɖ� \InE{}$(**),(*)$\EnE{} ��������� ����� \InE{}$.\varphi(f)*T(g)=T(f)*\varphi(g)$\EnE{} 
\begin {theo}
��­ ���� \InE{}$G$\EnE{} ��� ����� ����\nasb � ��ȉ¢� ���܉�   � \InE{}$\varphi:L_{1}(G)\rightarrow L_{1}(G)$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ω�󉳉� ��� ��¢ ��ډ�� ������. �� ���� ����� ���  ��މ��ꉃ�Ɖ� \InE{}$\psi$\EnE{}
�� \InE{}$M_{\varphi}(L_{1}(G))$\EnE{} ��� ����  \InE{}$\varphi(M_{a}(G))$\EnE{} ����� ����. \InE{}$M_{a}(G))$\EnE{} ��̉�� ������ ���� ��Ή�� ��Ή܉� ����������\fnote {\InE{}absolutely continuous\EnE{}}��Ɖ��� ��� ������ ����\fnote{\InE{}Haar measure\EnE{}} ����\InE{}$(.$\EnE{} \\
��މ������� ���� ������  \InE{}$\mu_{T}$\EnE{} �������� ���� ��  ��Ɖމ� \InE{}$(2)$\EnE{} ��̉��� 쉱��, ��Ɖ��� ��� ������ ���� ��Ή�� ��Ή܉� ���������� ������. ���ډ�� \InE{}$\psi$\EnE{} ��� ������ꉃ�Ɖ� ω�󉳉� ��  \InE{}$M_{\varphi}(L_{1}(G))$\EnE{} ��� ����  \InE{}$\varphi(M_{a}(G))$\EnE{} ����.
\end{theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
�������� ��� ���� :
\InE{}$$\psi:M_{\varphi}(L_{1}(G))\rightarrow \varphi(M_{a}(G))\vspace{-1cm}$$\EnE{}
\InE{}$$\psi(T)=\varphi(\mu'_{T})\hspace{.2cm} s.t\vspace{-1cm}$$\EnE{}
\InE{}$$Tf=\varphi(f)*\mu_{T},\hspace{.3cm}\mu_{T}=\mu'_{T}+\mu''_{T},\hspace{.3cm}\mu'_{T}\ll \lambda,\hspace{.3cm}\mu''_{T}  \perp \lambda$$\EnE{}
 ��ԉ� \InE{}$(\mu'_{T},\mu''_{T})$\EnE{} �������� 󉱉� ������ \InE{}$\mu_{T}$\EnE{} ��Ɖ��� ��� ������ ����  \InE{}$\lambda$\EnE{} ����.\\
��ȉ�� ��� ������ \InE{}$\psi$\EnE{} ���� �������� ����. ��­ ���� \InE{}$T_{1},T_{2}\in M_{\varphi}(L_{1}(G))$\EnE{}  ������ ��Ή����؉� \InE{}$.T_{1}=T_{2}$\EnE{} �� ���� ����� ������ ��� \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{}, \InE{}$.\varphi(f)*(\mu_{T_{1}}-\mu_{T_{2}})=0$\EnE{} ��������� 
��ȉ���� \InE{}$((1)\Rightarrow (2))$\EnE{} �� ��̉��� 쉱�� ��ȉ�� ��� ���� \InE{}$.\mu_{T_{1}}=\mu_{T_{2}}$\EnE{} ��މ������� �� ����  �������� 󉱉� \InE{}$\mu_{T_{1}},\mu_{T_{2}}$\EnE{} ��؉��� ����, \InE{}$\mu'_{T_{1}}=\mu'_{T_{2}}$\EnE{} � �� ������ ��ډ����  \InE{}$\psi$\EnE{} ���� �������� ����.\\
������� \InE{}$\psi$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ����. ���� ��ȉ�� ��� ������ \InE{}$\psi$\EnE{}  ������ ����. ��­ ���� \InE{}$.\mu\in M_{a}(G)$\EnE{} ��ډ���� \InE{}$T:L_{1}(G)\rightarrow L_{1}(G)$\EnE{} �� ��� �����Ή� ���� �������� ��� ����:
 
\InE{}$$Tf=\varphi(f)*\mu\hspace{.5cm}(f\in L_{1}(G))$$\EnE{}  �� ��؉��� �����  �������� \InE{}$\mu$\EnE{}, \InE{}$\psi(T)=\varphi(\mu)$\EnE{} � ��� \InE{}$\psi$\EnE{} ������ ����.\\   
���� ������ ��� ����  ���� \InE{}$\mu_{T}\ll \lambda$\EnE{} ���ډ�� \InE{}$\psi$\EnE{} ��� ��ډ���� ω�󉳉� ����.\\
 ��­ ���� \InE{}$.T\in M_{\varphi}(L_{1}(G)),\mu_{T}\ll \lambda$\EnE{}  ��ȉ�� ��� ������  \InE{}$.||\psi(T)||=||T||$\EnE{}  �������
 \InE{}$$.||\psi(T)||=||\varphi(\mu'_{T})||=||\mu'_{T}||=||\mu_{T}||$$\EnE{} 
�� ������ ꉃ�Ɖ� ��ȉ�� ������ \InE{}$.||\mu_{T}||\leq ||T||$\EnE{} ��� �����ԉ��� �� ��̉��� \InE{}$2.6$\EnE{} �� ���� \protected\cite {LM},  ������ ��� \InE{}$\gamma_{1},...,\gamma_{n}\in \widehat{G}$\EnE{}, ����� ���܉� \InE{}$c_{1},...,c_{n}$\EnE{} � \InE{}$\epsilon>0$\EnE{}, ������  \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{} 
����� ���� ��Ή����؉� ������ \InE{}$1\leq i\leq n$\EnE{},  \InE{}$\widehat{f}(\gamma_{i})=1$\EnE{} � \InE{}$.||\widehat{f}||<1+\epsilon$\EnE{}  �� ��ډ�� ����� ��¢ \InE{}$\varphi$\EnE{},
 ������ \InE{}$\{f_{m}\}_{m}\subseteq  L_{1}(G)$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� \InE{}$.\lim_{m}\varphi(f_{m})=f$\EnE{} ���������� \InE{}$(\varphi(\lim_{m}f_{m}))^{\hat{}}(\gamma_{i})=1$\EnE{} �
 \InE{}$.\lim_{m}||\hat{\varphi(f_{m})}||<1+\epsilon$\EnE{} 
\begin{eqnarray*}
|\Sigma_{i=1}^{n}c_{i}\hat{\mu_{T}}(\gamma_{i})|&=&|\Sigma_{i=1}^{n}c_{i}(\varphi(\lim _{m}f_{m}))^{\hat{}}(\gamma_{i})\hat{\mu_{T}}(\gamma_{i})|=|\Sigma_{i=1}^{n}c_{i}(\varphi(\lim_{m} f_{m})*\mu_{T})^{\hat{}}(\gamma_{i})|\\
&=&|\Sigma_{i=1}^{n}c_{i}(T(\lim f_{m}))^{\hat{}}(\gamma_{i})|=\lim_{m}|\Sigma_{i=1}^{n} c_{i}(T(f_{m}))^{\hat{}}(\gamma_{i})|\\
&=&\lim _{m}|\int\Sigma_{i=1}^{n} c_{i}\gamma_{i}^{-1}(t)Tf_{m}(t)d\lambda|\leq \lim_{m}||Tf_{m}||_{1}||\Sigma_{1}^{n}c_{i}\gamma_{i}^{-1}||_{\infty}\\
&\leq & \lim _{m}||T||\hspace{.1cm}||\varphi(f_{m})||_{1}||\Sigma_{i=1}^{n}c_{i}\gamma_{i}^{-1}||_{\infty}\\
&=&\lim_{m}||T||\hspace{.1cm}||(\varphi(f_{m}))^{\hat{}}||\hspace{.1cm}||\Sigma_{i=1}^{n}c_{i}\gamma_{i}^{-1}||_{\infty}\\
&\leq &||T||(1+\epsilon)||\hspace{.1cm}||\Sigma_{i=1}^{n}c_{i}\gamma_{i}^{-1}||_{\infty}\\
\end{eqnarray*}
���������� \InE{}$|\Sigma_{i=1}^{n}c_{i}\hat{\mu_{T}}(\gamma_{i})|\leq |\Sigma_{i=1}^{n}c_{i}\gamma_{i}^{-1}||_{\infty}$\EnE{} � ��� �� ��̉��� \InE{}$4.2$\EnE{} ���� \protected\cite {GA}, ������ ��� �����  
\InE{}$.||\mu_{T}||\leq ||T||$\EnE{}  ���� ��� ������ ��� �����؉� ��މ����  \InE{}$||T||\leq ||\mu_{T}||$\EnE{}, ��؉� ������ ����. 
%
%***********************************************************************************************************************************************************
\chapter{\InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ���� ��� ����� ������󉁦���-����� ���   }
%����� ����� ��� *****************************************************************************************************************
\markright{\underline{3.1 ��։����  \InE{}\hspace*{4cm}\EnE{} }}
\section{��։����   }
�� ���� ��Ɖމ� ��ԉ���� ���ډ���� ��� ��������� ���� �� ��� \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ���� ��� ����� ������󉁦���-����� ��� �������� ��� ������. ������󉁦� ���� \InE{}$-\varphi$\EnE{}��މ܉ډ�� 쉁�   � \InE{}$-\varphi$\EnE{}��މ܉ډ�� ��؉������� 
 �� ��� ��̉�� \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ�����  ��� ����� ������󉁦���-����� \InE{}$X$\EnE{}, �� ��щ� ���ꉵ�� � ����� ������󉁦��؉� ������ �� �� ��Ή���㉂ ��� ��� ������. �� ���� ����� ����� ����� ��, �� �� \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ����� 
 \InE{}$L_{p}(G)$\EnE{} ��� 䉀���� ��� \InE{}$-L_{1}(G)$\EnE{}����� ��� � ��� ������.    
% ����� ����� ���  :��������� ���� �щ� ������󉁦��� � *******************************************************************************************************
\markright{\underline{2.2 ����\tashdid � ��̉�� \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ����    \InE{}\hspace*{4.5cm}\EnE{} }}
\section{ ����\tashdid � ��̉�� \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ����  }
%\newpage
%\newpage
%\section{\InE{}$\varphi$\EnE{} ���ډ���� ��� ��������� ������󉁦���  }
\begin {defn}
 ��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦��� � \InE{}$X,Y$\EnE{} �� \InE{}$-A$\EnE{}����� �� ω�ꉂ\fnote{\InE{}bimodule\EnE{}}  � \InE{}$\varphi$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ��މ��ꉃ�Ɖ�  ���������� � ��������� 艃�� ��ԉ�  ��� \InE{}$X$\EnE{} ������. ��� ��ډ���� ��Ή� � ���������� \InE{}$T:X\rightarrow Y$\EnE{}
��� \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ� ��� )�����( ������ ��� ����  �������  ������ ��� \InE{}$a\in A,x\in X$\EnE{} ������� �������� \InE{}$$(\hspace{.1cm}T(x\cdot a)=T(\varphi(x))\cdot a\hspace{.1cm}),\hspace{.5cm}T(a\cdot x)=a\cdot T(\varphi(x))$$\EnE{} 
\InE{}$T$\EnE{} ��� \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ� ���� ���� ��� \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ� ��� � ����� ������. �މ�䉂 ��މ� \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ����, \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ����� ��� � ����� ��
 �������� ��� ��މ������ \InE{}$M_{\varphi_{m}}(X,Y)$\EnE{}, \InE{}$M_{\varphi_{m}}^{l}(X,Y)$\EnE{} � \InE{}$M_{\varphi_{m}}^{r}(X,Y)$\EnE{} ��މ���� ��� ������. \\
���� \InE{}$\varphi$\EnE{} ��ډ����  ��މ����  � \InE{}$X=Y=A$\EnE{} �� ��щ� ���ꉵ�� ���� ��� \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ� ��� ��� ���ډ� �������� ��� ����. ���  ��ԉ���� \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ���� ���������� �� ��ԉ���� ���ډ���� ����. ��މ������� �� �����؉� 
\InE{}$\varphi\in $M_{\varphi_{m}}(X,X)$\EnE{},   \InE{}$.M_{\varphi_{m}}(X,Y)\neq \{0\}$\EnE{}
\end {defn}
\begin {exam} ��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦��� �����������, \InE{}$X$\EnE{}  ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� �� ω�ꉂ  � \InE{}$\varphi$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ��މ��ꉃ�Ɖ�  ���������� �
 ��������� ��� \InE{}$X$\EnE{} ������.  ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{}  ��ډ���� \InE{}$_{a}\varphi:X\rightarrow X$\EnE{} ��� �����Ή� \InE{}$$_{a}\varphi(x)=a\cdot \varphi(x),\hspace{.2cm}x\in X$$\EnE{} ���
 \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ� ��� \InE{}$X$\EnE{} ����.
\end {exam}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} 
��­ ���� \InE{}$.a,b,x\in A$\EnE{} �� ���� �����  \InE{}$$_{a}\varphi(b\cdot x)=a\cdot \varphi(b\cdot x)=a\cdot b\cdot \varphi(x)=b\cdot a\cdot \varphi(\varphi(x))=b\cdot _{a}\varphi(\varphi(x))\vspace{-1cm}$$\EnE{}
\InE{}$$_{a}\varphi(x\cdot b)=a\cdot\varphi(x\cdot b)=a\cdot\varphi(x)\cdot b=a\cdot \varphi(\varphi(x))\cdot b=\hspace{.1cm}_{a}\varphi(\varphi(x))\cdot b$$\EnE{}
� �� ������ \InE{}$._{a}\varphi\in M_{\varphi_{m}}(X,X)$\EnE{}

�� ������, \InE{}$A$\EnE{}  ��� ����� ������󉁦���,  \InE{}$X,Y$\EnE{} �� \InE{}$-A$\EnE{}����� ������󉁦���  �� ω�ꉂ � \InE{}$\varphi$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ��މ��ꉃ�Ɖ� 
 ��������� , ��Ή� � ���������� ��� \InE{}$X$\EnE{} � �� ����� ����� ��� \InE{}$A$\EnE{}  ��� ������. 
\begin {lemm}\InE{}\label{n}\EnE{}
\InE{}$M_{\varphi_{m}}^{l}(X,Y)$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ��� ����. 
\end {lemm}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
������� \InE{}$M_{\varphi_{m}}^{l}(X,Y)$\EnE{} ��� ��̉�� ��Ή� ����. �������� ��� ���� \InE{}$$\psi:A\times M_{\varphi_{m}}^{l}(X,Y)\rightarrow M_{\varphi_{m}}^{l}(X,Y)\vspace{-1cm}$$\EnE{} 
  \InE{}$$\psi(a,T)=a*T$$\EnE{}
 �� �� \InE{}$$.(a*T)(x):=T(x\cdot a),\hspace{.2cm}x\in X$$\EnE{} ��ȉ�� ��� ������  \InE{}$.a*T\in M_{\varphi_{m}}^{l}(X,Y)$\EnE{}  ��­ ���� \InE{}$b\in A,x\in X$\EnE{}
\begin{eqnarray*}
.(a*T)(b\cdot x)&=&T(b\cdot x\cdot a)=b\cdot T(\varphi(x\cdot a))=b\cdot T(\varphi(x)\cdot a)\\
&=&b\cdot (a*T)(\varphi(x))\\
\end{eqnarray*}
���� ����  \InE{}$X$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� �� ω�ꉂ  � \InE{}$T$\EnE{} ��Ή� ����, \InE{}$M_{\varphi_{m}}^{l}(X,Y)$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ��� ����. 
\begin {defn}
�������� \InE{}$X$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ����������� ���� ���� ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{} � \InE{}$x\in X$\EnE{}, \InE{}$$.a\cdot x=x\cdot a$$\EnE{}
\end {defn}
\begin {theo}
��­ ���� \InE{}$\varphi$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ��މ��ꉃ�Ɖ� ��� \InE{}$X$\EnE{} ������. ���� ������ ��� \InE{}$T\in M_{\varphi_{m}}^{l}(X,X)$\EnE{}, \InE{}$.T\circ \varphi=\varphi\circ T$\EnE{}  ���ډ�� \InE{}$M_{\varphi_{m}}^{l}(X,X)$\EnE{} 
��� ����� ����.
\end{theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
��­ ���� \InE{}$T_{1}, T_{2}\in M_{\varphi_{m}}^{l}(X,X)$\EnE{} ��� ω���   \InE{}$T_{1}\circ \varphi=\varphi\circ T_{1}$\EnE{}  � \InE{}$.T_{2}\circ \varphi=\varphi\circ T_{2}$\EnE{}
  ������ ��� \InE{}$x\in X$\EnE{} � \InE{}$a\in A$\EnE{} ������  
\begin{eqnarray*}
(T_{1}\circ T_{2})(a\cdot x)&=&T_{1}(T_{2}(a\cdot x))=T_{1}(a\cdot T_{2}(\varphi(x)))\\
&=&a\cdot T_{1}(\varphi(T_{2}(\varphi(x)))=a\cdot (T_{1}\circ T_{2})(\varphi(\varphi(x)))\\
&=&a\cdot (T_{1}\circ T_{2})(\varphi(x)).
\end{eqnarray*}
���������� \InE{}$T_{1}\circ T_{2}\in M_{\varphi_{m}}^{l}(X,X)$\EnE{} � ��� \InE{}$M_{\varphi_{m}}^{l}(X,X)$\EnE{} ��� ����� ����.
\begin {defn}
����� ������󉁦��� \InE{}$A$\EnE{} �� \InE{}$X $\EnE{} �ꉑ��� ��� \InE{}$)$\EnE{} ����� \InE{}$($\EnE{} ���� ���� ������ ��� \InE{}$x\in X$\EnE{}, \InE{}$(A\cdot x=0)\hspace{.1cm}x\cdot A=0$\EnE{} ������� ��
  \InE{}$.x=0$\EnE{} \\
����� \InE{}$A$\EnE{} �� \InE{}$X$\EnE{} �ꉑ��� ���� ������� 
�ꉑ��� ��� � ����� ������.
\end{defn}
��� �� ���� ��Ɖމ� ����މ��މ� �� ��ԉ���� �ꉑ���� �� ����� 䉀���� \InE{}$-\varphi$\EnE{}�ꉑ���� ������ ��� ����.
\begin{defn} 
��­ ���� \InE{}$\varphi$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ��މ��ꉃ�Ɖ�  ������. ����� ������󉁦��� \InE{}$A$\EnE{} �� \InE{}$X $\EnE{} \InE{}$-\varphi$\EnE{}�ꉑ��� ��� \InE{}$)$\EnE{} ����� \InE{}$($\EnE{} ���� ���� ������ ��� \InE{}$x\in X$\EnE{}, \InE{}$(\varphi(A)\cdot x=0)\hspace{.1cm}x\cdot \varphi(A)=0$\EnE{} ������� ��
  \InE{}$.x=0$\EnE{} \\��� \InE{}$A$\EnE{} �� \InE{}$X$\EnE{},  \InE{}$-\varphi$\EnE{}�ꉑ��� ���� ������� 
\InE{}$-\varphi$\EnE{}�ꉑ��� ��� � ����� ������.
\end {defn}
�������, ���� \InE{}$A$\EnE{} �� \InE{}$X$\EnE{}, \InE{}$-\varphi$\EnE{}�ꉑ��� ������ ���ډ�� �� \InE{}$X$\EnE{}  �ꉑ��� ����.
\begin {defn} \InE{}\label{q}\EnE{}
 ��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦���,  \InE{}$X$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ����������� � \InE{}$\varphi$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ��މ��ꉃ�Ɖ� ��������� ��� \InE{}$A$\EnE{} ������.
 ������ ��� \InE{}$x\in X$\EnE{}, ��ډ���� \InE{}$_{x}\varphi:A\rightarrow X$\EnE{}  �� ��� �����Ή� ���� �������� ��� ����. \InE{}$$_{x}\varphi(a)=x\cdot \varphi(a),\hspace{.2cm}a\in A$$\EnE{}  ������ ��� \InE{}$a,b\in A$\EnE{}
\InE{}$$a\cdot \hspace{.1cm}_{x}\varphi(\varphi(b))=a\cdot x\cdot \varphi(b)=x\cdot a\cdot\varphi(b)=x\cdot \varphi(a\cdot b)=\hspace{.1cm}_{x}\varphi(a\cdot b)$$\EnE{}  � �� ������ \InE{}$.\hspace{.1cm}_{x}\varphi\in M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X)$\EnE{}\\ 
���� ��ډ���� 
\InE{}$\psi:X\rightarrow M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X)$\EnE{} �� ��� �����Ή� \InE{}$\psi(x)=\hspace{.1cm}_{x}\varphi$\EnE{} �� ��щ� ��� �����. 
\end {defn}
\begin {lemm}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦��� ������ ��� ��։������ ��މ���� \InE{}$\{e_{\lambda}:\lambda\in I\}$\EnE{} � \InE{}$X$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ������󉁦��� ������. ���� \InE{}$A$\EnE{} �� \InE{}$X$\EnE{}, \InE{}$-\varphi$\EnE{}�ꉑ���  � ��ډ����  \InE{}$\psi$\EnE{} �������� ���� �� ꉁ�,  ������ ������.
���ډ�� \InE{}$A$\EnE{} �� \InE{}$M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X)$\EnE{} �ꉑ��� ����. 
\end {lemm}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} ��­ ���� \InE{}$T\in M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X)$\EnE{}  ������ ��Ή����؉�  ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{},  \InE{}$.a*T=0$\EnE{}
 �� ��������� \InE{}$\psi$\EnE{} 䉀�ʉ� \InE{}$x\in X$\EnE{}
����� ���� ��Ή����؉� \InE{}$.T=\hspace{.1cm}_{x}\varphi$\EnE{}  ���� ������ ��� \InE{}$b\in A$\EnE{} � \InE{}$\lambda\in I$\EnE{}, \InE{}$$(e_{\lambda}*\hspace{.1cm}_{x}\varphi)(b)=\hspace{.1cm}_{x}\varphi(b\cdot e_{\lambda})=x\cdot \varphi(b\cdot e_{\lambda})=0$$\EnE{}
�� ���������ډ� \InE{}$\varphi$\EnE{} ������ ��� ����   \InE{}$.x\cdot \varphi(b)=0$\EnE{} ����  \InE{}$-\varphi$\EnE{}�ꉑ���� \InE{}$A$\EnE{} �� \InE{}$X$\EnE{}, ������� ��� ��   \InE{}$x=0$\EnE{} � �� ������ \InE{}$.T=\hspace{.1cm}_{x}\varphi=0$\EnE{}
%**************************************************************************************************************************************************************
%**************************************************************************************************************************************************************
\newpage
\markright{\underline{ 3.3 ������󉁦� ���� \InE{}$-\varphi$\EnE{}��މ܉ډ�� 쉁� � \InE{}$-\varphi$\EnE{}��މ܉ډ�� ��؉�������     \InE{}\hspace*{4.5cm}\EnE{} }}
\section{   ������󉁦� ���� \InE{}$-\varphi$\EnE{}��މ܉ډ�� 쉁� � \InE{}$-\varphi$\EnE{}��މ܉ډ�� ��؉�������  }
�� ������ \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦���  ���������,  \InE{}$(X,\tau)$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ������󉁦��� ��ω�ꉂ ���������  � \InE{}$\varphi$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ��މ��ꉃ�Ɖ� ��� \InE{}$A$\EnE{} ��� ������.
\begin {defn}
������󉁦� \InE{}$-\varphi$\EnE{}��މ܉ډ�� 
��؉������� \fnote{\InE{}$\varphi-$uniform operator topology\EnE{}} \InE{}$u_{\varphi}$\EnE{} )\InE{}$-\varphi$\EnE{}��މ܉ډ�� 쉁� \fnote{\InE{}$\varphi-$strong operator topology\EnE{}} \InE{}$s_{\varphi}$\EnE{} (  ��� \InE{}$M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X)$\EnE{} ������󉁦� ��Ή� ����  ��� ������ �� ��މƉ���ډ� ���� ��ԉ� �� �� ������ 
��މ� �މ�䉂 ���� ��� ���� ���� ������
\InE{}$$N(\varphi(B),V)=\{T\in M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X):T(\varphi(B))\subseteq V\}$$\EnE{}  �� �� \InE{}$B$\EnE{} ��� ���� �މ�䉂 ������ )������� ( �� \InE{}$A$\EnE{} � \InE{}$V$\EnE{} ��� ��މƉ���ډ� �� ��ԉ� �� 
\InE{}$X$\EnE{} ����. ������� \InE{}$.s_{\varphi}\leq u_{\varphi}$\EnE{} 
\end {defn}
\begin{theo}
��­ ���� \InE{}$\varphi$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ��މ��ꉃ�Ɖ� ��� \InE{}$A$\EnE{} � \InE{}$(X,\tau)$\EnE{}   ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ������󉁦��� ��� �������� \InE{}$-b(A)$\EnE{}������� ���������ډ�  ��މ܉ډ� ������� ������. ���ډ�� \InE{}$(M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X),s_{\varphi})$\EnE{}  � \InE{}$(M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X),u_{\varphi})$\EnE{} �� \InE{}$-A$\EnE{}�����
 ��� ������󉁦��� ��Ɖ�����.  
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
�� ��� \InE{}\ref{n}\EnE{}, ��ȉ�� ������   \InE{}$M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X)$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ��� ����. �� ������  ������ ��� ����  ��މ܉ډ� ������� \InE{}$(a,T)\rightarrow a*T$\EnE{} 
 �� \InE{}$A\times M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X)$\EnE{}  
��� \InE{}$M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X)$\EnE{}, �� ������󉁦� \InE{}$u_{\varphi}$\EnE{} ��� ω�� ��\hamze � ��ԉ� ��  ���������� ����. ��­ ���� \InE{}$T\in M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X)$\EnE{}  � \InE{}$\{a_{\alpha}:\alpha\in I\}$\EnE{}
 ����� �� \InE{}$A$\EnE{}
������  \InE{}$.a_{\alpha}\rightarrow a\in A$\EnE{}  ��­ ����  \InE{}$D$\EnE{} ��� ���� �މ�䉂 ������ �� \InE{}$A$\EnE{} � \InE{}$V$\EnE{} ��� ��މƉ���ډ� �� ��ԉ� �� \InE{}$X$\EnE{} ������. ��� �����ԉ��� �� �������� \InE{}$-b(A)$\EnE{}������� ���������ډ� �� �������� \InE{}\ref{H0}\EnE{},  ��މƉ���ډ� ��� 
\InE{}$H$\EnE{} �� ��ԉ� �� \InE{}$X$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� \InE{}$.D\cdot H\subseteq V$\EnE{}  ��މ������� �� �����؉� \InE{}$T$\EnE{} � \InE{}$\varphi$\EnE{} ���������� ����, \InE{}$\alpha_{0}\in I$\EnE{} ����� ����
 ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$b\in B$\EnE{} � \InE{}$\alpha\geq \alpha_{0}$\EnE{}
\begin{eqnarray*}
(a_{\alpha}*T)(\varphi(b))-(a*T)(\varphi(b))&=&T(\varphi(b)\cdot a_{\alpha})-T(\varphi(b)\cdot a)\\
&=&\varphi(b)\cdot [T(\varphi(a_{\alpha}))-T(\varphi(a))]\\
&\in & D\cdot H\subset V\\
\end{eqnarray*}
 � �� ������ \InE{}$.a_{\alpha}*T\rightarrow^{u_{\varphi}} a*T$\EnE{}\\
���� ��­ ���� \InE{}$a\in A$\EnE{} � \InE{}$\{T_{\alpha}:\alpha\in I\}$\EnE{} ����� �� \InE{}$M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X)$\EnE{} ������ ��Ή����؉� \InE{}$.T_{\alpha}\rightarrow T\in M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X)$\EnE{}  ��­ ���� \InE{}$D$\EnE{} ��� ���� �މ�䉂 ������ �� \InE{}$A$\EnE{} �
\InE{}$V$\EnE{} ��� ��މƉ���ډ� �� ��ԉ� �� \InE{}$X$\EnE{} ������. �� ���������ډ� �����-��މ��ꉃ�Ɖ�   \InE{}$\varphi$\EnE{} � ��މ܉ډ� ��։��  \InE{}$R_{a}(x)=xa$\EnE{}, \InE{}$\varphi(D).a$\EnE{} ���� �މ�䉂 �� ������ �� \InE{}$A$\EnE{} ����.  ��� \InE{}$\alpha_{0}\in I$\EnE{}  ����� ����
��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$\alpha\geq \alpha_{0}$\EnE{} � \InE{}$b\in D$\EnE{}
\begin{eqnarray*}
(a*T_{\alpha}-a*T)(\varphi(b))&=&T_{\alpha}(\varphi(b)\cdot a)-T(\varphi(b)\cdot a)\\
&=&(T_{\alpha}-T)(\varphi(D)\cdot a)\in V\\
\end{eqnarray*}
� �� ������ \InE{}$.a*T_{\alpha}\rightarrow ^{u_{\varphi}}a*T$\EnE{} ��� \InE{}$(M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X),u_{\varphi})$\EnE{} ��� ����� ������󉁦��� ��� ����. ��� ��������� ��ȉ����  \InE{}$(M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X),s_{\varphi})$\EnE{}  �� ��� ����� ������󉁦��� ��� ����. 
\begin {lemm}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦��� ������ ��� ��։������ ��މ���� \InE{}$\{e_{\lambda}:\lambda\in I\}$\EnE{} � \InE{}$(X,\tau)$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ����������� �
 \InE{}$\varphi$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ��މ��ꉃ�Ɖ� ��������� ��� \InE{}$A$\EnE{} ������. ��­ ���� \InE{}$\psi$\EnE{} ��ډ���� �������� ���� �� �������� \InE{}\ref{q}\EnE{} ������.
�� ���� �����   \InE{}$.\overline{\psi(X)^{s_{\varphi}}}=M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X)$\EnE{}
\end {lemm}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
��­ ���� \InE{}$T\in M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X)$\EnE{},  \InE{}$B$\EnE{} ��� �����މ�䉂 ������� �� \InE{}$A$\EnE{} � \InE{}$V$\EnE{} ��� ��މƉ���ډ� �� ��ԉ� �� \InE{}$X$\EnE{} ������. 
��䉑 ��� ���� \InE{}.$_{\{T(\varphi(e_{\lambda}))\}_{\lambda} }\varphi\rightarrow^{s_{\varphi}} T$\EnE{}
��� ������ ��� ����   \InE{}$B$\EnE{} �������, \InE{}$T$\EnE{} ���������� �  \InE{}$e_{\lambda}\varphi(a)\rightarrow \varphi(a)$\EnE{}, �������  \InE{}$\lambda_{0}$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$a\in B$\EnE{}
� \InE{}$\lambda\geq \lambda_{0}$\EnE{}, \InE{}$.T(e_{\lambda}(\varphi(a)))-T(\varphi(a))\in V$\EnE{} ���� ������ ��� \InE{}$a\in B$\EnE{} � \InE{}$\lambda\geq \lambda_{0}$\EnE{}
\begin{eqnarray*}
_{\{T(\varphi(e_{\lambda}))\}_{\lambda}} \varphi(\varphi(a))-T(\varphi(a))&=&T(\varphi(e_{\lambda}))\cdot \varphi(\varphi(a))-T(\varphi(a))\\
&=&T(e_{\lambda}\varphi(a))-T(\varphi(a))\in V\\
\end{eqnarray*}
� ��� \InE{}$._{\{T(\varphi(e_{\lambda}))\}_{\lambda} }\varphi\rightarrow^{s_{\varphi}} T$\EnE{}
\begin {theo}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦��� ������ ��� ��։������ ��މ���� \InE{}$\{e_{\lambda}:\lambda\in I\}$\EnE{} � \InE{}$X$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ������󉁦��� ����������� ������ ��Ή����؉� \InE{}$(X,\tau)$\EnE{}  ��� ����.
��­ ���� \InE{}$\varphi$\EnE{}  ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ��މ��ꉃ�Ɖ� ��������� ��� \InE{}$A$\EnE{}  � \InE{}$A$\EnE{} �� \InE{}$X$\EnE{}, \InE{}$-\varphi$\EnE{}�ꉑ��� ������. �� ���� �����  \InE{}$(X,\tau)$\EnE{}  ��� \InE{}$(M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X),s_{\varphi})$\EnE{} ������� ����.
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} ������� \InE{}$\psi$\EnE{}  �������� ���� �� �������� \InE{}\ref{q}\EnE{}, ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ���������� ����. ��ȉ�� ��� ������ \InE{}$\psi$\EnE{} ������ ����. ��� ������ ��� ���  쉱��, ꉃ�Ɖ� 
������ ����  \InE{}$\psi(X)$\EnE{}  �� ������󉁦� \InE{}$s_{\varphi}$\EnE{} ��Ɖ��� ����. ��­ ���� \InE{}$.T\in {\overline{\psi(X)}}^{s_{\varphi}}$\EnE{}  ���ډ�� ���� \InE{}$\{x_{\alpha}\}\in X$\EnE{}
����� ���� ��Ή����؉� \InE{}$_{x_{\alpha}}\varphi\rightarrow^{s_{\varphi}} T$\EnE{} � �� ������ ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{},  ���� \InE{}$\{x_{\alpha}\cdot \varphi(a)\}_{\alpha}=\{_{x_{\alpha}}\varphi(\varphi(a))\}_{\alpha}$\EnE{}
�� \InE{}$X$\EnE{}, \InE{}$\tau$\EnE{} ��� ����. ���� �� \InE{}$-\varphi$\EnE{}�ꉑ����   \InE{}$A$\EnE{} �� \InE{}$X$\EnE{}, ���� \InE{}$\{x_{\alpha}\}_{\alpha}$\EnE{} �� \InE{}$X$\EnE{} \InE{}$-\tau$\EnE{}��� ����. ����  \InE{}$(X,\tau)$\EnE{}  ��� ���� ,\InE{}$x\in X$\EnE{} 
����� ���� ��Ή����؉� \InE{}$x_{\alpha}\rightarrow x$\EnE{} � ��� \InE{}$_{x_{\alpha}}\varphi\rightarrow _{x}\varphi$\EnE{}. ���� �� ��؉������ ��� �� ��̉�� ��������� ������ ��� ����   \InE{}$T=_{x}\varphi$\EnE{} � ���������� \InE{}$\psi(X)$\EnE{},  \InE{}$-s_{\varphi}$\EnE{}��Ɖ��� ����. \\
�� ������  ��ȉ�� ��� ������  \InE{}$\psi$\EnE{}  ��� ��� ��� ����. ��­ ���� \InE{}$x,y\in X$\EnE{}  ��Ή����؉� \InE{}$_{x}\varphi=\hspace{.1cm}_{y}\varphi$\EnE{}. ���ډ�� ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{}, 
\InE{}$.(x-y)\cdot \varphi(a)=0$\EnE{} ��� �����ԉ��� �� �� �������� \InE{}$-\varphi$\EnE{}�ꉑ���� \InE{}$A$\EnE{} �� \InE{}$X$\EnE{} ����  ��������� �����  \InE{}$.x=y$\EnE{} 
\begin {defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦��� � \InE{}$X$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ������󉁦��� ������. ������󉁦� ��؉�������\fnote{\InE{}uniform topology\EnE{}} \InE{}$\gamma_{\varphi}$\EnE{}  ) ������󉁦� ���\fnote{\InE{}strict topology\EnE{}} \InE{}$\beta_{\varphi}$\EnE{}( ��� \InE{}$M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X)$\EnE{},
 ������󉁦� ��Ή� ����  ��� ������ �� ��މƉ���ډ� ���� ��ԉ� �� �� ������ �މ�䉂 ���� ��� ���� ���� ������. \InE{}$$N'(\varphi(D),G)=\{T\in M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X) :\varphi(D)*T\subset G\}$$\EnE{}
 �� �� \InE{}$D$\EnE{} ��� �����މ�䉂 ������ )������� ( �� \InE{}$A$\EnE{} � \InE{}$G$\EnE{} ��� ��މƉ���ډ� �� ��ԉ� �� \InE{}$(M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X),u_{\varphi})$\EnE{} \InE{}$[(M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X),s_{\varphi})]$\EnE{} ����. 
\end {defn}
\begin {lemm}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦��� ������ ��� ��։������  ��މ���� ������ \InE{}$\{e_{\lambda}:\lambda\in I\}$\EnE{} � \InE{}$X$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ������󉁦��� ������. ���ډ�� \InE{}$u_{\varphi}=\gamma_{\varphi}$\EnE{} � \InE{}$.s_{\varphi}=\beta_{\varphi}$\EnE{}
\end {lemm}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
��­ ���� \InE{}$T_{\alpha}$\EnE{} ����� �� \InE{}$M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X)$\EnE{}  ������ ��Ή����؉� \InE{}$.T_{\alpha}\rightarrow^{u_{\varphi}} T$\EnE{}  ��­ ����  \InE{}$G=N(\varphi(C),V)$\EnE{}
��� ��މƉ���ډ� �� ��ԉ� �� \InE{}$-u_{\varphi}$\EnE{}������󉁦� ������. �� ���������ډ�  \InE{}$\varphi$\EnE{},  ������ ��� �މ�䉂 ������ \InE{}$D$\EnE{} �� \InE{}$A$\EnE{}, \InE{}$\varphi(C)\varphi(D)$\EnE{}
�����މ�䉂 ������� �� \InE{}$A$\EnE{} ����. �� �������� \InE{}$-u_{\varphi}$\EnE{}������󉁦�,  ������� \InE{}$\alpha_{0}$\EnE{}  ����� ���� 
��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$\alpha\geq \alpha_{0}$\EnE{} \InE{}$$(\varphi(D)*(T_{\alpha}-T))(\varphi(C))=(T_{\alpha}-T)(\varphi(C)\varphi(D))\in V$$\EnE{}
���  \InE{}$\varphi(D)*(T_{\alpha}-T)\in G$\EnE{} � �� ������ \InE{}$.T_{\alpha}\rightarrow^{\gamma_{\varphi}} T$\EnE{}\\
��� �����؉�,  ��­ ���� \InE{}$\{T_{\alpha}\}_{\alpha}$\EnE{} ����� �� \InE{}$M_{\varphi_{m}}^{l}(A,X)$\EnE{} ������ ��Ή����؉� \InE{}$.T_{\alpha}\rightarrow^{\gamma_{\varphi}} T$\EnE{}  ��­ ����  \InE{}$D$\EnE{} ��� �����މ�䉂 ������ �� \InE{}$A$\EnE{} � \InE{}$V$\EnE{}
��� ��މƉ���ډ� ��Ɖ��� �� ��ԉ� �� \InE{}$X$\EnE{} ������. ��� ������ \InE{}$.C=\{e_{\lambda}\}_{\lambda}$\EnE{} ��� ������ ��� �������� \InE{}$-\gamma_{\varphi}$\EnE{}������󉁦�,  
  \InE{}$\alpha_{0}$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$\alpha\geq \alpha_{0}$\EnE{} \InE{}$$.(T_{\alpha}-T)(\varphi(D))=(T_{\alpha}-T)(\varphi(C)\varphi(D))=(\varphi(D)*(T_{\alpha}-T))(\varphi(C))\in V$$\EnE{}
��� \InE{}$T_{\alpha}-T\in N(\varphi(D),V)$\EnE{} � �� ������ \InE{}$.T_{\alpha}\rightarrow ^{u_{\varphi}}T$\EnE{}
%********************************************************************************************************************************************************************
%******************************************************************************************************************************************************************
\newpage
\markright{\underline{ 3.4 \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ���� ��� \InE{}$L_{p}(G)$\EnE{}   \InE{}\hspace*{4.5cm}\EnE{} }}
\section{ \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ���� ��� \InE{}$L_{p}(G)$\EnE{}  }
��­ ���� \InE{}$G$\EnE{} ��� ����� ��ȉ¢� ���܉� ������. �� ���� ����� ��̉�� ���� \InE{}$(1<p<\infty) \hspace{.2cm}L_{p}(G)$\EnE{} ��� \InE{}$-L_{1}(G)$\EnE{}����� ������󉁦��� ��� ����. �� ���� ��Ɖމ� \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ����� \InE{}$L_{p}(G)$\EnE{}  �� ��¤��� ��� ����.  
\begin {exam}
��­ ���� \InE{}$G$\EnE{} ��� ����� ��ȉ¢� ���܉�,  \InE{}$\varphi:L_{1}(G)\rightarrow L_{p}(G)$\EnE{}
��� \InE{}$-L_{1}(G)$\EnE{}����� ��މ��ꉃ�Ɖ� �  \InE{}$T:L_{p}(G)\rightarrow L_{p}(G)$\EnE{} ��� \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ� ������. �� ���� �����  ��� ������ ��؉���� \InE{}$H_{T}\in L_{p}(G)$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� \InE{}$$.T(\varphi(f))=f*H_{T},\hspace{.2cm}(f\in L_{1}(G))$$\EnE{}
\end {exam}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
��­ ���� \InE{}$\{e_{\beta}\}_{\beta}$\EnE{} ��� ��։������ ��މ���� ������ �� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} ������. �� ���� �����  \InE{}$.\{T(\varphi(e_{\beta}))\}_{\beta}\subseteq Ball(L_{q}(G))^{*}$\EnE{}
��� �����ԉ��� �� ��̉��� ����܉�,  ������ \InE{}$H_{T}\in L_{p}(G)$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� \InE{}$.T(\varphi(e_{\beta}))\rightarrow H_{T}$\EnE{} ���ډ�� ������ ��� \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{} \InE{}$$.f*T(\varphi(e_{\beta}))\rightarrow^{weak^{*}} f*H_{T}$$\EnE{}
�� ω�� ���ډ� ����  \InE{}$T$\EnE{} ��� \InE{}$-\varphi_{m}$\EnE{}���ډ� ����, ������ ��� \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{}  ������ \InE{}$$f*T(\varphi(e_{\beta}))=T(\varphi(f*e_{\beta}))\rightarrow T(\varphi(f))$$ \EnE{}
�� ��؉������ ��� ��������� �����  \InE{}$.T(\varphi(f))=f*H_{t}$\EnE{}\\
�� ������ ��ȉ�� ��� ������ ������ \InE{}$H_{T}$\EnE{} ��؉��� ����. ��­ ���� \InE{}$\psi $\EnE{}  �������� �� \InE{}$L_{p}(G)$\EnE{} ������ ��Ή����؉� \InE{}$.T(\varphi(f))=f*\psi$\EnE{} �� ���� �����  ������ ��� \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{} � \InE{}$\gamma\in \hat{G}$\EnE{}
\InE{}$$.\widehat{f}(\gamma)\widehat{(\psi-H_{T})}(\gamma)=0$$\EnE{} �� ��ȉ¢��� \InE{}$G$\EnE{} ��� ����� ������ ���ꉴ   ������ ��� \InE{}$\gamma\in \hat{G}$\EnE{}, ������ \InE{}$f\in L_{1}(G)$\EnE{} ����� ����  \InE{}$.\hat{f}(\gamma)\neq 0$\EnE{} ���� �� ����� ����� ����� \InE{}$L_{p}(G)$\EnE{}, \InE{}$.H_{T}=\psi$\EnE{}
%*****************************
%*************************************************************************************************************************************************************
\newpage
%\section{����� ���ډ�����  ������ ��� ����� ����  }
\chapter{����� ���ډ�����  ������ ��� ����� ���� }
%����� ����� ��� *****************************************************************************************************************
%\newpage
\markright{\underline{4.1 ��։����  \InE{}\hspace*{4cm}\EnE{} }}
\section{��։����   }
��ԉ���� ����� ���ډ����, ���������� �� ��ԉ���� ���ډ���� ��� ��������� ���� ����   �\tashdid �󉃉� ���� ������ ������� � ������ \protected\cite{AP} ��� \InE{}$-C^{*}$\EnE{}�������� �������� ���.
 ��� ��� \protected\cite{M} �� ���� 7791, ���� �������� �� ��� ��������� ������  ������ ��� ��։������ ��މ���� ������ ��������  �������� ���. \\
����� �� ��։���� ������� ��� ���, ������� ����� ���ډ���� ��� ��������� ���� ������  �������� � ���� \protected\cite{VG}, ҉� � ������\protected\cite{KR},  󉃉� \protected\cite{L}
,���¢��� \protected\cite{D}, ������ � ������\protected\cite{AR}, ����� \protected\cite{G} � ����܉މ�� � ������ \protected\cite{YR} �������� ����� ��¢.\\
������\nasb � ������� ����� ���ډ���� �� ��̉�� ��މ܉ډ���� ������ �� \protected\cite{Ka} � �� �  �����Ɖ� \protected\cite{KP} �� ��Ή���㉂ ��� ���ꉵ�� ����. \\
%����� % ��� �� ���� �����  ������� ����� ���ډ���� �� ��� ������ ��� ����� ����   �� ���������� ��㉃�ԉ��� �� ����� �щ� ����� ��� ��� ��,  �������� ��� ������.  
%���� ��% ���� ����� ������ ����� �� 
��� �� ���� ��ʉ�   ��ԉ���� ����� ���ډ���� �� ��� ������  ��� ����� ����   ������ �\tashdid �� ��  ������  ��� 䉀�ʉ� ��މ���� ���܉� ����, �������� ��� ������. ��������� �� ��щ� ���ꉵ�� 
���� �� ���� ��ʉ�  �� ���������� ��㉃�ԉ��� �� �щ� ����� ����� ���� ��� ����.\\
 ���� ��ʉ�  ��ȉ��މ� ��� 3 �����  ����. �� �����  �\tashdid ��,  ���������  �щ� ����� ��㉃�� �� �������� ��¢� � ����� ������ ����� ���ډ����
�� ��� ���� ��\hamze � ���\tashdid �  �������� �� ��Ή���㉂ ��� ��� ������.  \\
�� �����  �\tashdid ��,  ������󉁦������  ��� � ����� ��� �� ��� ��̉��  ����� ���ډ����� ������ ��� ����� ���� �������� ��¢� � ����� ������󉁦��؉� ������ �� ��¤��� ��� ����.\\
�� �����  ��\tashdid ��,  ����� ����� ����� �� �� ������ ���\tashdid �  ����� ���ډ����� ������  ����� ������� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{}   ��؉�� ��� ������. 
\newpage    
% ���� ��ʉ� ��ԉ���� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ���� ��  ���������� �� ��ԉ���� ���ډ���� ����, ��� ����� ���� �ꉑ��� �� ��Ή���㉂ ��� ��� ������. \\
%��މ���Ή��  �� ���������� ���� ��ȉ����� ��� ����, ��������� ���� �ꉑ��� �� ��܉� ������ ��� ��������� ���� ���������� ���� ��� 
%������ ���  ����� ����� ����� �� ��Ή���㉂ ���ډ���� ��� ���� ��� ����  쉑��� ����މ��� ��� ������  �������� ����. \\
%���� ��ʉ� ��ȉ��މ� ��� 3 ����� ����. �� ����� ��� ����� \InE{}$M_{\varphi}(A)$\EnE{} \InE{}$)$\EnE{} ��̉�� ��މ� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ����� ��� ����� ���� \InE{}$(A$\EnE{}  ��  �� ��¤��� ��� ���� � ����� ����� ������ 
% ������ ��� ����  
% ��� ����� ����������� � �ꉑ��� ����. ��މ������� ������ ��� ���� �� ���󉵉�  ��¢ \InE{}$\varphi$\EnE{} ��ډ�� ������, ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ��¢� ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ����.\\
%�� ����� ��� ����Ή� �� ��¤��� ��� ����  ��¢ ��� \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ� ������ ��� ��։������ ��މ���� ������ ������\\
%�� ����� ����, \InE{}$-\varphi$\EnE{}���ډ����� ����� ������� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{}  �� �� ��Ή���㉂ ��� ���� � ������ ��� ���� ���� ��̉� ��� ��̉�� \InE{}$\varphi(M_{a}((G))$\EnE{}  ��؉������ ����. 
 
% ����� ����� ���  :��������� ���� �щ� ������󉁦��� � *******************************************************************************************************
\markright{\underline{4.2 ����� ���� ����  �щ� ����� ��㉃�� � ����� ���ډ����   \InE{}\hspace*{4.5cm}\EnE{} }}
\section{  ����� ���� ����  �щ� ����� ��㉃�� � ����� ���ډ����  }
%\newpage
%�� ���� ����� ��ԉ���� ����� ��� ��ډ���� �� ��� ������ ��� ����� ����   ������ ��� �� ������ ��� 䉀�ʉ� ��؉���� ���܉� ������ �������� ��� ������. 
%����������� �� �� ��щ� ��� �����  �� ���������� ��㉃�ԉ��� �� �������� �щ� ����� ����� ���� ��� ����.
%����� ��� �� ���� ����� ��� �� ���� ��� ������:\\
% ��� ��������� ������  ������ ��։������ ��މ���� ������ �������� � �� �������� �щ� ����� ���� ����, \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{}  ������ ��މ� ����� ���ډ����� �� ��Ή� � ���������� ��� \InE{}$A^{*}$\EnE{} 
%��� ��̉�� \InE{}$A^{**}$\EnE{} ��Ή�� ������ ������� ����.  ��� ��މ������� ������󉁦� ��� �� ��� ��̉��   \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{} �������� ��¢� �  
%����� ����� ����� �� �� �� \InE{}$-C^{*}$\EnE{} �������� � ����� ������� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} �� ��� ����� ��ȉ¢� ��؉�� ��� ������. 
 \begin {defn} 
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� ������. ����� \InE{}$A$\EnE{}  �щ� �����  ��㉃�� \fnote{\InE{}weak Arens regular\EnE{}}���� 
 ������� ������ ��� \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{} � \InE{}$F,G\in A^{**}$\EnE{} ������� ��������  \InE{}$$.(F\cdot f)\cdot G=F\cdot (f\cdot G)$$\EnE{}
\end {defn}
\begin{prop}\InE{}\label{propa}\EnE{}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� ������ ��Ή����؉� \InE{}$A \unlhd A^{**}$\EnE{} ������.  �� ���� �����  \InE{}$A$\EnE{}, �щ� �����  ��㉃�� ����. 
\end{prop}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} 
��­ ���� \InE{}$F,G\in A^{**}$\EnE{}, \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{} � \InE{}$.a\in A$\EnE{} �� ���� ����� 
\begin{eqnarray*}
<(F\cdot f)\cdot G,a>&=&<\pi(a),(F\cdot f)\cdot G>=<G\circ' \pi(a),F\cdot f>\\
&=&<(G\circ' \pi(a))\circ F,f>=<G\circ' (\pi(a)\circ F),f>\\
&=&<\pi(a)\circ F,f\cdot G>=<F\cdot (f\cdot G),a>\\
\end{eqnarray*}
� �� ������ \InE{}$A$\EnE{}, �щ� ����� ��㉃�� ����. 
\begin {prop}\InE{}\label{propc}\EnE{}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� ������. ���� \InE{}$A$\EnE{}  �щ� ����� ������ ���ډ�� \InE{}$A$\EnE{} �щ� ����� ��㉃�� ����. 
\end{prop}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} 
��­ ���� \InE{}$F,G\in A^{**}$\EnE{}, \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{} � \InE{}$.a\in A$\EnE{} ������ 
\begin{eqnarray*}
<(F\cdot f)\cdot G,a>&=&<G,a\cdot (F\cdot f)>=<G, (a\cdot F)\cdot f>\\
&=&<G\circ (\pi(a)\circ F),f>=<G\circ' (\pi(a)\circ F),f>\\
&=&<\pi(a)\circ F,f\cdot G>=<\pi(a),F\cdot (f\cdot G)>\\
&=&<F\cdot (f\cdot G),a>\\
\end{eqnarray*}
� ��� \InE{}$A$\EnE{}, �щ� ����� ��㉃�� ����.
\begin{rmark}
��؉� ��Ð�� ꉁ� ������\nasb � ������ �Ɖ�. ��� 䉀���� ��� ��� ����� �� ����� ������� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} �� ��� ����� ��ȉ¢� �  ���������� \InE{}$G$\EnE{} ���� ��¢.
\InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} ��������� �� \InE{}$(L_{1}(G))^{**}$\EnE{} ���� )����� ���� ���  \protected\cite{WA}(.  ��� ω��� ��Ð�� \InE{}\ref{propa}\EnE{},  �щ� ����� ��㉃�� ����.   ����  ��� ������ ��� ��� \InE{}\ref{exama}\EnE{}, \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} �щ� ����� �Ɖ�.  
\end {rmark} 
\begin {prop}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ����  ��؉�� ������.  �� ���� ����� \InE{}$A$\EnE{} �щ� ����� ����  ���� � ������� ���� �щ� ����� ��㉃��  ������.
\end{prop}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} 
��� ������ ��� ��Ð�� \InE{}\ref{propc}\EnE{}, ��� �����  �щ� �����, �щ� ����� ��㉃�� ����. ����  ��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} �щ�  ����� ��㉃��  � \InE{}$e$\EnE{}  䉀�ʉ� ��؉���� �� \InE{}$A$\EnE{} ������.  �� ���� �����  \InE{}$\pi(e)$\EnE{} 䉀�ʉ� ��؉���� ��  \InE{}$(A^{**},\circ)$\EnE{} � \InE{}$(A^{**},\circ ')$\EnE{} ����. 
������ ��� \InE{}$F,G\in A^{**}$\EnE{} � \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{} ������ 

\begin{eqnarray*}
<F\circ G,f>&=&<F,G\cdot f>=<F\circ ' \pi(e),G\cdot f>=<\pi(e),(G\cdot f)\cdot F>\\
&=&<\pi(e),G\cdot (f\cdot F)>=<\pi(e)\circ G,f\cdot F>=<G,f\cdot F>\\
&=&<F\circ' G,f>\\
\end{eqnarray*}
� ��� \InE{}$A$\EnE{} �щ� ����� ����.
\begin  {exam}
��� �����ԉ��� �� ��Ð�� ꉁ�, ��������� ���� ��؉���  �щ� ����� �������, �щ� ����� ��㉃�� �Ɖ�����. ��㉀���� ���  ��� ����� �� ����� �������  \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{}  �� ��� ����� ��ƉƉ��� ����������  �  ��� ����� ������ \InE{}$M(G)$\EnE{}  �� ��� ����� ����\nasb � 
��ȉ¢� ���������� ���� ��¢  ��މډ� ��؉�� ��Ɖ����� ���� �� ��¯ �щ� ����� ���� ��މ� ����. ��� �щ� ����� ��㉃�� �Ɖ�����.   
%���������� � ��������� ������  �� ��¯ \InE{}$(K)$\EnE{} ���� ��� ���� ���\nasb � ��ä�� �� � ��������� �щ� ����� ����.
\end {exam}
 \begin{defn} \InE{}\label{a}\EnE{}
��� ��ډ���� �� ��Ή� \InE{}$m:A^{*}\times A^{**}\rightarrow A^{*}$\EnE{} ��� ����� ���ډ�\fnote{\InE{}quasi multiplier \EnE{}} �����  �� \InE{}$A^{*}$\EnE{} ������ ��� ���� ������� ������ ��� \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{} � \InE{}$F,G\in A^{**}$\EnE{} ����Ή� ���� ������ ������.

\begin{equation}\label{els}
m(F\cdot f,G)=F\cdot m(f,G)\hspace{1cm}, \hspace{1cm}m(f,G\circ F)=m(f,G)\cdot F
\end{equation}
��ȉ�����\nasb � ��� ��ډ���� �� ��Ή� \InE{}$m':A^{**}\times A^{*}\rightarrow A^{*}$\EnE{} ��� ����� ���ډ� ���  �� \InE{}$A^{*}$\EnE{}  ������ ��� ���� ������� ������ ��� \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{} � \InE{}$F,G\in A^{**}$\EnE{} ����Ή� ���� ������ ������.
 \InE{}$$m'(F\circ G,f)=F\cdot m'(G,f)\hspace{1cm}, \hspace{1cm}m'(G,f\cdot F)=m'(G,f)\cdot  F$$\EnE{} 
\end{defn}
\begin{prop}
 ��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� �����  �щ�  ����� ��㉃��  � ������ �\tashdid �� ��  ������ ���  䉀�ʉ� ��މ���� ���܉� ������. �� ���� �����  ��ډ���� \InE{}$m:A^{*}\times A^{**}\rightarrow A^{*}$\EnE{}
 ��� ����� ���ډ� �����  �� \InE{}$A^{*}$\EnE{} ���� ���� � ������� ���� ������ ��� \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{} � \InE{}$F,G,H\in A^{**}$\EnE{} ������� ��������: 

\begin{equation}\label{ele}
.m(F\cdot f,G\circ H)=F\cdot m(f,G)\cdot H
\end{equation}
\end{prop}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} 
�������  ��� ��ډ���� �� ��Ή�  �� ��¯ \InE{}(\ref{els})\EnE{} ���� ��, �� ��¯ \InE{}(\ref{ele})\EnE{} �� ���� ������� ��¢. ���� ��­ ����  \InE{}$m$\EnE{} �� ��¯  \InE{}(\ref{ele})\EnE{} ����  ��¢� � \InE{}$E$\EnE{} 䉀�ʉ� ��މ���� ���܉� �� \InE{}$A^{**}$\EnE{} 
������.  �� ���� �����  \InE{}$$.m(F\cdot f,G)=m(F\cdot f,G\circ E)=F\cdot m(f,G)\cdot E=F\cdot m(f,G)$$\EnE{}  
��ȉ�����\nasb �  \InE{}$.m(f,G\circ H)=m(f,G)\cdot H$\EnE{} �� ������ \InE{}$m$\EnE{} ��� ����� ���ډ� ����� �� \InE{}$A^{*}$\EnE{} ����. 
\begin{rmark}
��­ ���� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{} �މ�䉂 ��މ� ����� ���ډ����� ����� �� ��Ή� � ��Ή�� ��\hamze ���ԉ� ��   ���������� �� \InE{}$A^{*}$\EnE{} ������. ������� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{}  ��� ��̉�� ��Ή� ����.
 ��㉅��  ��� ���� ���� ��� ��̉�� ���� ��� ����.
\InE{}$$||m||=\sup \{||m(f,F)||;\hspace{.2cm}f\in A^{*},\hspace{.1cm}F\in A^{**},\hspace{.1cm}||f||\leq 1, \hspace{.1cm}||F||\leq 1\}$$\EnE{} 
��Ή�� ��ȉ����, \InE{}$QM_{l}(A^{*})$\EnE{} �މ�䉂 ��މ� ����� ���ډ�����  ��� �� ��Ή� � ��Ή�� ��\hamze ���ԉ� ��   ���������� �� \InE{}$A^{*}$\EnE{} ����      ��� ���� ���� ��� ��̉�� ���� ��� ����.
\InE{}$$||m||=\sup \{||m(F,f)||;\hspace{.2cm}f\in A^{*},\hspace{.1cm}F\in A^{**},\hspace{.1cm}||f||\leq 1, \hspace{.1cm}||F||\leq 1\}$$\EnE{}
\end {rmark}
\begin{prop}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� �����  �щ� ����� ��㉃��  ������. ������  \InE{}$H\in A^{**}$\EnE{} � \InE{}$m\in QM_{r}(A^{*})$\EnE{}, ��ډ��������� ���� �� �� ��щ� ��ډ������. 
 \InE{}$$.(m* H)(f,G)=m(f,H\circ G),\hspace{1cm}(H*m)(f,G)=m(f\cdot H,G),\hspace{.7cm}f\in A^{*},G\in A^{**}$$\EnE{} �� ���� ����� \InE{}$.m*H,H*m\in QM_{r}(A^{*})$\EnE{}
\end{prop}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} ��­ ���� \InE{}$F,G\in A^{**}$\EnE{} �  \InE{}$.f\in A^{*}$\EnE{}
\begin{eqnarray*}
(H* m)(F\cdot f,G)=m((F\cdot f)\cdot H,G)=m(F\cdot (f\cdot H),G)\\
=F\cdot m(f\cdot H,G)=F\cdot (H* m)(f,G)
\end{eqnarray*}
�

\begin{eqnarray*}
(H* m)(f,G\circ F)=m(f\cdot H,G\circ F)=(H* m)(f,G)\cdot F
\end{eqnarray*}
��މ�������  ���� \InE{}$m$\EnE{} ��Ή� � ������ ����,    \InE{}$H* m$\EnE{}  �� ��ډ������  ��Ή� �  ������ ����  � �� ������ \InE{}$.H* m\in QM_{r}(A^{*})$\EnE{} ������� 
��ȉ������ ��ȉ�� ��� ����  \InE{}$.m* H\in QM_{r}(A^{*})$\EnE{}
\begin {defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� ������. ��ډ���� \InE{}$T:A^{*}\rightarrow A^{*}$\EnE{}  ��� ���ډ� ����� )��� ( �� \InE{}$A^{*}$\EnE{} ������ ��� ����  ���� ������ ��� \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{} � \InE{}$F\in A^{**}$\EnE{}  
\InE{}$$.(T(f\cdot F)=Tf\cdot F)\hspace{.7cm}T(F\cdot f)=F\cdot T(f)$$\EnE{}
��̉�� ��މ� ���ډ����� ��Ή� � ������ ����� )��� ( �� \InE{}$A^{*}$\EnE{} �� ��� ��މ�� \InE{}$(M_{l}(A^{*}))\hspace{.1cm}M_{r}(A^{*})$\EnE{} ��މ���� ��� ������.\\
���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� �щ� ����� ��㉃�� ������ ���ډ�� ��މ܉ډ� ��։��  ����� )��� ( \InE{}$(L_{F}f=F\cdot f)\hspace{.1cm}R_{F}f=f\cdot F $\EnE{}  ��� ���ډ� ����� )���( �� \InE{}$A^{*}$\EnE{}
����.
\end {defn}
\begin {prop}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� ������ ��Ή����؉� \InE{}$A^{**}$\EnE{} ������ ��� 䉀�ʉ� ��މ���� ���܉�  ����. �� ���� �����  ��� ���ډ� ����� ��Ή�  � ������ �� \InE{}$A^{*}$\EnE{}  ��� ����  ��� ��މ܉ډ� ��։��   ����� ����.
\par \noindent {\siah \Large ������� :}  
��­ ���� \InE{}$E$\EnE{} 䉀�ʉ� ��މ���� ���܉� �� \InE{}$A^{**}$\EnE{} �  \InE{}$.T\in M_{r}(A^{*})$\EnE{}  ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{} � \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{} ������  \InE{}$$<Tf,a>=<E\circ a, Tf>=<E,T(a\cdot f)>=<R_{T^{*}(E)}f,a>$$\EnE{}
� �� ������ \InE{}$.T=R_{T^{*}(E)}$\EnE{}
\end {prop}
\begin {theo} \InE{}\label{main}\EnE{}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� �����  �щ� ����� ��㉃�� ������ ��Ή����؉� \InE{}$A^{**}$\EnE{} ������ ��� 䉀�ʉ� ��މ���� ���܉�  ����. �� ���� ����� �����Ή� 
 \InE{}$$\rho_{T}(f,F)=(Tf)\cdot F\hspace {1cm} (T\in M_{r}(A^{*}),f\in A^{*},F\in A^{**})$$\EnE{}
��� ��ډ���� ��Ή� � ��� ��� ���  \InE{}$\rho:M_{r}(A^{*})\rightarrow QM_{r}(A^{*})$\EnE{}   ��� ���� \InE{}$||\rho||\leq 1$\EnE{} �������� ��� �� .\\
��㉅�� ���� \InE{}$A^{**}$\EnE{} ������ ���  䉀�ʉ� ��މ���� ���܉� ���  ���� �����  ������. ���ډ�� ��ډ����  \InE{}$\rho$\EnE{} ω�󉳉� ����.\\ ���� \InE{}$A^{**}$\EnE{}  ��؉�� ������ ���ډ�� ��ډ����  \InE{}$\rho$\EnE{}  ������ ���� .  
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} 
��­ ���� \InE{}$.T\in M_{r}(A^{*})$\EnE{}  �������  \InE{}$\rho_{T}$\EnE{} ��� ��ډ���� ��Ή� � ������ �� \InE{}$A^{*}\times A^{**}$\EnE{} ��� \InE{}$A^{*}$\EnE{} ����.  ��­ ���� \InE{}$F,G\in A^{**}$\EnE{}, \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{}  � \InE{}$.a\in A$\EnE{}  ������ 
\InE{}$$\rho_{T}(F\cdot f,G)=T(F\cdot f)\cdot G=(F\cdot Tf)\cdot G=F\cdot (Tf\cdot G)=F\cdot \rho_{T}(f,G)$$\EnE{}
� \InE{}$$.\rho_{T}(f,G\circ F)=(Tf)\cdot (G\circ F)=(Tf\cdot G)\cdot F=\rho_{T}(f,G)\cdot F$$\EnE{}
���������� \InE{}$.\rho_{T}\in QM_{r}(A^{*})$\EnE{}  ��� �����ԉ��� �� �������� , \InE{}$\rho$\EnE{} ��Ή� ���� � \InE{}$.||\rho_{T}||\leq  ||T||$\EnE{}  ��� \InE{}$.||\rho||\leq 1$\EnE{}
��­ ����  \InE{}$\rho_{T}=0$\EnE{} � \InE{}$E$\EnE{}  䉀�ʉ� ��މ���� ���܉� �� \InE{}$A^{**}$\EnE{} ������. �� ���� �����  ������ ��� \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{}, ������  \InE{}$(Tf)\cdot E=0$\EnE{} � �� ������ \InE{}$.T=0$\EnE{}
���� ��­ ���� \InE{}$E$\EnE{} 䉀�ʉ� ��މ���� ���܉�  �� ���� ����� �� \InE{}$A^{**}$\EnE{} �  \InE{}$\epsilon>0$\EnE{}  �󉿉��� ������. ���  \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{} ����� ���� ��Ή���  
 \InE{}$||f||\leq 1$\EnE{} � \InE{}$.||T||-\epsilon<||Tf||$\EnE{}  �� ���� �����  \InE{}$$||\rho_{T}||\geq ||\rho_{T}(f,E)||=||Tf||>||T||-\epsilon$$\EnE{}
�  �� ������ \InE{}$\rho$\EnE{} ω�󉳉� ����.\\ 
�� ������  ��ȉ�� ��� ������  ���� \InE{}$A^{**}$\EnE{} ��؉�� ������ ���ډ��  \InE{}$\rho$\EnE{} ���������. ��­ ���� \InE{}$E$\EnE{} 䉀�ʉ� ��މ���� �� \InE{}$A^{**}$\EnE{} 
 � \InE{}$m\in QM_{r}(A^{*})$\EnE{} �󉿉��� ������.  ��ډ���� \InE{}$T:A^{*}\rightarrow A^{*}$\EnE{} ��� �����Ή� \InE{}$Tf=m(f,E )$\EnE{}  ��� ���ډ� ����� ������ �� \InE{}$A^{*}$\EnE{} �� �������� ��� ��. 
�� ���  ������ ��� \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{} � \InE{}$F\in A^{**}$\EnE{} ��Ɖ���  \InE{}$$\rho_{T}(f,F)=(Tf)\cdot F=m(f,E)\cdot F=m(f,E\circ F)=m(f,F)$$\EnE{}  
������ ����, ��ډ����  \InE{}$\rho$\EnE{} ������ ���� .
\begin {conseq}
���� \InE{}$A$\EnE{} ��� \InE{}$-C^{*}$\EnE{}����� ������ ���ډ�� \InE{}$\rho$\EnE{} ��� ������ꉃ�Ɖ� ω�󉳉� �� \InE{}$M_{r}(A^{*})$\EnE{} ��� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{} ����. 
\end {conseq}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} 
ω��� ���  \InE{}(\ref{examf})\EnE{}, ��� \InE{}$-C^{*}$\EnE{} �����, �щ� ����� ����. ��މ������� ������ �\tashdid ��  ��� \InE{}$-C^{*}$\EnE{}�����  ��؉�� ����. ��� �� ����� ��̉��� ꉁ� ���� ��� ��. 
\begin{defn}
��­ ���� \InE{}$A $\EnE{} ��� ����� ����  �щ� ����� ��㉃��  ������ ��Ή���  ������ �\tashdid �� �� ��؉�� ����.  ��­ ����  \InE{}$m_{1},m_{2}\in QM_{r}(A)$\EnE{}. ��� �����ԉ��� �� ��̉���  \InE{}(\ref{main})\EnE{}, ��ډ���� ����   \InE{}$T_{1},T_{2}\in M_{r}(A^{*})$\EnE{}  ����� ������ ��Ή����؉�
\InE{}$m_{1}=\rho_{T_{1}}$\EnE{} � \InE{}$.m_{2}=\rho_{T_{2}}$\EnE{}   ��މ܉ډ� �� \InE{}$\circ_{\rho}$\EnE{} �� ��� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{} ��ʉ��� ���� �������� ��� ����: \InE{}$$m_{1}\circ_{\rho}m_{2}=\rho_{T_{1}}\circ _{\rho}\rho_{T_{2}}:=\rho_{T_{2}T_{1}}$$\EnE{}  
������� �������� ꉁ�,  ���� ��������  � \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{} ��� ����� ���� ��؉�� ���� .
\end{defn}
\begin {rmark}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� �����  �щ� ����� ��㉃�� ������ ��Ή���  ������ �\tashdid �� �� ��؉�� ����.  ��������� ��ȉ���� ��̉���  \InE{}\ref{main}\EnE{} 
��ȉ�� ��� ����   ��ډ���� \InE{}$\lambda:M_{l}(A^{*})\rightarrow QM_{l}(A^{*})$\EnE{} ��� �����Ή� 
\InE{}$$\lambda_{S}(F,f)=F\cdot Sf      \hspace{1cm}(S\in M_{l}(A^{*}),f\in A^{*},F\in A^{**})$$\EnE{}  ��Ή� � �� ������ ���� . ���������� ��� ����� ��މ܉ډ�  �� \InE{}$\circ_{\lambda}$\EnE{}  ����� ��̉�� \InE{}$QM_{l}(A^{*})$\EnE{} 
�� ��ʉ���  \InE{}$\lambda_{S_{1}}\circ _{\lambda} \lambda_{S_{2}}:=\lambda_{S_{1}S_{2}}$\EnE{} �������� ��¢.
\end {rmark}
\begin {theo}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� �щ� ����� ��㉃�� ������. ��­ ���� \InE{}$A^{**}$\EnE{} ��؉�� � \InE{}$E$\EnE{} 䉀�ʉ� ��މ���� �� ������.  ���� \InE{}$A^{*}$\EnE{}  �� ��� �������� ������ ������ ���ډ�� ��ډ���� ����
��� ������ꉃ�Ɖ� �� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{}  ���  \InE{}$QM_{l}(A^{*})$\EnE{} ����.  
\InE{}$$\xi:QM_{r}(A^{*})\rightarrow QM_{l}(A^{*})\vspace{-1cm}$$\EnE{} \InE{}$$\xi(m):=\lambda(L_{T^{*}(E)})$$\EnE{} 
 �� �� \InE{}$m\in QM_{r}(A^{*})$\EnE{} � \InE{}$T\in M_{r}(A^{*})$\EnE{} ��Ή����؉� \InE{}$.\rho(T)=m$\EnE{}
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
������� \InE{}$\xi$\EnE{} ��Ή� � ���������� ����.  ��ȉ�� ��� ������ ��ډ����  \InE{}$\xi$\EnE{}, ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ����. ��­ ���� \InE{}$.m_{1},m_{2}\in QM_{r}(A^{*})$\EnE{} 
���  \InE{}$T_{1},T_{2}\in M_{r}(A^{*})$\EnE{} ��Ή���  \InE{}$m_{1}=\rho(T_{1})$\EnE{}, \InE{}$.m_{2}=\rho(T_{2})$\EnE{}  ��� �� ��������  \InE{}$.m_{1}\circ_{\rho} m_{2}=\rho(T_{2}T_{1})$\EnE{}
\begin{eqnarray*}
.\xi(m_{1}\circ_{\rho}m_{2})(F,f)&=&(\lambda(L_{{(T_{2}T_{1})}^{*}(E)}))(F,f)=F\cdot ((T_{2}T_{1})^{*}(E)\cdot f)\\
&=&F\cdot(T^{*}_{1}(T_{2}^{*}(E))\cdot f)\\
\end{eqnarray*}
����  \InE{}$T_{1}$\EnE{} ��� ���ډ� ����� �� \InE{}$A^{*}$\EnE{} ����, \InE{}$T_{1}^{*}$\EnE{} ��� ���ډ� ��� ��� \InE{}$A^{**}$\EnE{} ������� ���� � �� ������ 
\begin{eqnarray*}
.(\xi(m_{1})\circ _{\lambda} \xi(m_{2}))(F,f)&=&(\lambda(L_{T_{1}^{*}(E)})\circ_{\lambda }\lambda(L_{T_{2}^{*}(E)}))(F,f)=\lambda(L_{T_{1}^{*}(E)}L_{T_{2}^{*}(E)})(F,f)\\
&=&F\cdot ((T_{1}^{*}(E)\circ T_{2}^{*}(E))\cdot f)=F\cdot (T_{1}^{*}(E\circ T_{2}^{*}(E))\cdot f)\\
&=&F\cdot (T_{1}^{*}(T_{2}^{*}(E))\cdot f)\\
\end{eqnarray*}
�� ������ \InE{}$\xi$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ����.\\
���� ��ȉ�� ��� ������ \InE{}$\xi$\EnE{} ��� ��� ��� ����. ��­ ���� \InE{}$m\in QM_{r}(A^{*})$\EnE{}  ��Ή����؉� \InE{}$\xi(m)=0$\EnE{}. ω���  ��������,  \InE{}$T\in M_{r}(A^{*})$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� \InE{}$.\lambda(L_{T^{*}(E)})=0$\EnE{}
���� �� ��� ��� ��� �����  \InE{}$\lambda$\EnE{} ������ ��� ����  ������ ��� \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{}, \InE{}$.T^{*}(E)\cdot f=0$\EnE{}  ����  \InE{}$A^{*}$\EnE{} ��  ��� �������� ������ ����, ��� \InE{}$.T^{*}(E)=0$\EnE{} ���������� 
������ ��� \InE{}$F\in A^{**}$\EnE{},  \InE{}$T^{*}(F)=T^{*}(E\circ F)=T^{*}(E)\circ F=0$\EnE{}  � ��� \InE{}$.m=\rho(T)=0$\EnE{} \\
�� ������  ��ȉ�� ��� ������  \InE{}$\xi $\EnE{}  ������ ���� . ��­ ���� \InE{}$.m'\in QM_{r}(A^{*})$\EnE{} �� ������ ����� \InE{}$\lambda$\EnE{}, \InE{}$S\in M_{l}(A^{*})$\EnE{}  ����� ���� ��Ή���  \InE{}$m=\lambda(S)$\EnE{}. �������� ��� ���� 
\InE{}$T=R_{S^{*}(E)}\in M_{r}(A^{*})$\EnE{} ������� \InE{}$S=L_{T^{*}(E)}$\EnE{} � \InE{}$.m'=\lambda(S)=\lambda(L_{T^{*}(E)})$\EnE{} 
\begin {theo} \InE{}\label{si}\EnE{}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� �����  �щ� ����� ��㉃�� ������ ��Ή���  ������ �\tashdid �� �� ��؉�� ����.  ���� \InE{}$A^{*}$\EnE{}  �� ��� �������� ������ ������. ���ډ�� �� ��̉�� \InE{}$A^{**}$\EnE{} � \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{} ������� ��Ɖ�����.
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
��ډ���� \InE{}$\psi:A^{**}\rightarrow QM_{r}(A^{*})$\EnE{} �� ��� �����Ή� ���� �������� ��� ����  \InE{}$$\psi(H)=\rho_{R_{H}}, \hspace{.3cm}(H\in A^{**})$$\EnE{}   �� �� \InE{}$R_{H}$\EnE{} ��މ܉ډ� ��։��  ����� ��� \InE{}$A^{*}$\EnE{} ����.
��� ��� �����ԉ��� �� �������� \InE{}$\rho$\EnE{},  ������ ��� \InE{}$F\in A^{**}$\EnE{} � \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{} ������ 
\InE{}$$.\psi(H)(f,F)=(f\cdot H)\cdot F$$\EnE{}
�������   \InE{}$\psi$\EnE{} ��Ή� � ���������ډ� ����. ��ȉ�� ��� ������ \InE{}$\psi$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ����. 
 ��­ ���� \InE{}$.H_{1}, H_{2}\in A^{**}$\EnE{} �� ��̉���  \InE{}\ref{main}\EnE{},  \InE{}$T_{1},T_{2}\in M_{r}(A^{*})$\EnE{}   ������� ��Ή����؉� \InE{}$\psi(H_{1})=\rho_{T_{1}}$\EnE{} � \InE{}$.\psi(H_{2})=\rho_{T_{2}}$\EnE{} ��� ������ ��� \InE{}$f\in A^{*},F\in A^{**}$\EnE{}
������ \InE{}$$T_{1}(f)\cdot F=(f\cdot H_{1})\cdot F, \hspace{2 cm}   T_{2}(f)\cdot F=(f\cdot H_{2})\cdot F$$\EnE{} � �� ������ 
\begin{eqnarray*}
(\psi(H_{1})\circ _{\rho}\psi(H_{2}))(f,F)&=&\rho_{T_{2}T_{1}}(f,F)=T_{2}(T_{1}(f))\circ F=T_{1}f\cdot (H_{2}\circ F)\\
&=&f\cdot (H_{1}\circ H_{2}\circ F)=\psi(H_{1}\circ H_{2})(f,F)\\
\end{eqnarray*}
��� \InE{}$\psi$\EnE{} ��� ��މ��ꉃ�Ɖ� ����. ����  ��­ ���� ������  \InE{}$H\in A^{**}$\EnE{}, \InE{}$.\psi(H)=0$\EnE{} �� ��� ��� ��� ����� ��ډ���� \InE{}$\rho$\EnE{},  \InE{}$.R_{H}=0$\EnE{} ��� ������ ��� \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{},  \InE{}$.f\cdot H=0$\EnE{} ����  \InE{}$A^{*}$\EnE{}
�� ω�� ����� �������� ������ ����  \InE{}$H=0$\EnE{} � �� ������ \InE{}$\psi$\EnE{} ��� ��� ��� ����. ��� ������� ������ ����� ��­ ���� \InE{}$.m\in QM_{r}(A^{*})$\EnE{}  \InE{}$T\in M_{r}(A^{*})$\EnE{} ����� ����
 ��Ή����؉� \InE{}$$m=\rho_{T}=\rho_{R_{T^{*}(E)}}=\psi(T^{*}(E))$$\EnE{} � ���������� \InE{}$\pdi$\EnE{} ������ ����. 
\begin {conseq}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� �����  �щ� ����� � ������ ��� ��։������ ��މ���� ������ ������.  �� ���� �����  \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{} ��� \InE{}$A^{**}$\EnE{}  ������� ����. 
\end {conseq}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
��� �����ԉ��� ��  ��̉���  \InE{}\ref{T}\EnE{}, \InE{}$A^{*}$\EnE{} �� ��� �������� ������ ����.\\
\begin {conseq}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ���  \InE{}$-C^{*}$\EnE{}����� ������. �� ���� �����  \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{} ��� \InE{}$A^{**}$\EnE{}  ������� ����.
\end {conseq}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
��� \InE{}$-C^{*}$\EnE{}�����, ��� ����� �щ� ����� ����  ������ ��� �� ��؉�� ����.
  
��­ ����  \InE{}$H$\EnE{}  ��� ��̉�� ����܉�� � \InE{}$A=K(H)$\EnE{} ����� ��މ� ��މ܉ډ����� ��ȉ¢� ��� \InE{}$H$\EnE{} ������. ������ ��  \InE{}$C_{1}(H)$\EnE{} \InE{}$)$\EnE{}����� ��މ� ��މ܉ډ����� ������ \fnote{\InE{}trace class operators\EnE{}}(  � ������ �\tashdid �� �� \InE{}$B(H)$\EnE{} \InE{}$)$\EnE{} ����� ��މ� ��މ܉ډ����� ��Ή� � ���������� ��� \InE{}$(H$\EnE{} ������� ���� .
\begin {exam}
��­ ���� \InE{}$H$\EnE{} ��� ��̉�� ����܉�� ������. �� ���� �����  \InE{}$.QM_{r}(C_{1}(H))\cong B(H)$\EnE{} 
\end {exam}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
\InE{}$K(H)$\EnE{} ��� \InE{}$-C^{*}$\EnE{} ����� ���� � ��� \InE{}$-C^{*}$\EnE{}�����, �щ� ����� � ������ ��� ��։������ ��މ���� ������ ����. ��� ��� �����ԉ��� �� ������ ꉁ�, \InE{}$.QM_{r}(C_{1}(H))\cong B(H)$\EnE{} 
\begin {theo}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� �����  �щ� ����� ��㉃�� ������ ��Ή����؉� ������ ��� �� ��؉�� ����. ���� \InE{}$A^{**}$\EnE{} �щ� ����� ������ ���ډ�� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{} �� �щ� ����� ����. 
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
��­ ���� \InE{}$E$\EnE{} 䉀�ʉ� ��؉����  �� \InE{}$A^{**}$\EnE{} � \InE{}$\psi$\EnE{} ��ډ���� �������� ���� �� ��̉���  \InE{}\ref{si}\EnE{}  ������.
����   \InE{}$\psi $\EnE{} ������ ����,  ��ډ����  \InE{}$\psi^{**}:(A^{**})^{**}\rightarrow (QM_{r}(A^{*}))^{**}$\EnE{} �� ������ ����.
 ��­ ���� \InE{}$.\tilde{F},\tilde{G}\in (QM_{r}(A^{*}))^{**}$\EnE{}   
��� \InE{}$F,G\in (A^{**})^{**}$\EnE{} ����� ������ ��Ή����؉� \InE{}$.\psi^{**}(F)=\tilde{F},\psi^{**}(G)=\tilde{G}$\EnE{} �� ���� ����� 
 \InE{}$$\tilde{F}\circ \tilde{G}=\psi^{**}(F)\circ \psi^{**}(G)=\psi^{**}(F\circ G)=\psi^{**}(F\circ 'G)=\tilde{F}\circ' \tilde{G}$$\EnE{}
 � ���������� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{}, �щ� ����� ����.
%*********************************************************************************************************************************************************************
%*%***************************************************************************************************************************************************************** 
\newpage
\markright{\underline{ 4.3 ������󉁦� ��� � ����� ��� ��� ��̉�� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{}    \InE{}\hspace*{4.5cm}\EnE{} }}
\section{ ������󉁦� ��� � ����� ��� ��� ��̉�� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{}   }
�� ���� ����� �� ������󉁦� ��� � ����� ��� �� ��� ��̉�� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{} �������� ��¢� � ����\tashdid � ������󉁦��؉� �� ��� �� �� ��Ή���㉂ ��� ��� ������.
\begin {defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� ������. ������󉁦� ��� \InE{}$(\beta)$\EnE{} ��� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{}, ������󉁦� ����    ������ ����� ��������� \InE{}$$m\rightarrow ||m*F||\hspace{1.5cm} (F\in A^{**},m\in QM_{r}(A^{*}))$$\EnE{} 
� ������󉁦� ����� ��� \InE{}$(\gamma)$\EnE{} ��� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{}, ������󉁦� ����   ������  ����� ��������� \InE{}$$m\rightarrow ||m(f,F)||\hspace{1.5cm} (f\in A^{*}, F\in A^{**},m\in QM_{r}(A^{*}))$$\EnE{} ���󉃉� ��� ����.\\
��މ������� ��­ ���� \InE{}$(\tau)$\EnE{} ������󉁦� ���󉃉� ���� ������ ���� ��� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{} ������. 
\end{defn}
\begin {theo}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� ������ ��Ή���  ������ �\tashdid �� �� ������ ��� 䉀�ʉ� ��މ���� ���܉� ����.  �� ���� �����  \InE{}$.\gamma\subseteq \beta\subseteq \tau$\EnE{}
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
������� \InE{}$.\beta\subseteq \tau$\EnE{} ��� ꉃ�Ɖ� ��ȉ�� ������ \InE{}$.\gamma\subseteq \beta$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$\{m_{\alpha}\}_{\alpha}$\EnE{} ����� �� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{}  ������ ��Ή���   �� ������󉁦� \InE{}$\beta$\EnE{} ��މډ ��� \InE{}$m\in QM_{r}(A^{})$\EnE{} ����.
 ��­ ���� \InE{}$.f\in A^{*},F\in A^{**}$\EnE{} 
�� ���  \InE{}$A^{**}$\EnE{}  䉀�ʉ� ��މ���� ���܉� ����, \InE{}$A^{**}$\EnE{} �������� ������ ����.  ���  䉀����� \InE{}$G,H\in A^{**}$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� \InE{}$.F=G\circ H$\EnE{} �� �������� ������󉁦�  \InE{}$\beta$\EnE{} ������ ��� ���� 
\InE{}$||m_{\alpha}*G-m*G||\rightarrow 0$\EnE{} � �� ������

\begin{eqnarray*}
||m_{\alpha}(f,F)-m(f,F)||&=&||m_{\alpha}(f,G\circ H)-m(f,G\circ H)||\\
&=&||(m_{\alpha}*G)(f,H)-(m*G)(f,H)||\rightarrow 0\\
\end{eqnarray*}
�� ������  \InE{}$\{m_{\alpha}\}$\EnE{} �� ������󉁦� \InE{}$\gamma$\EnE{} ��� \InE{}$m$\EnE{} ��މډ ����. ���������� \InE{}$.\gamma\subseteq \beta$\EnE{} 
\begin {theo}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� �����  �щ� ����� ��㉃�� ������. �� ���� �����  
\begin{enumerate}
\item{��̉�� \InE{}$(QM_{r}(A^{*}),\gamma)$\EnE{} ��� ����.}
 \item{���� \InE{}$A^{**}$\EnE{} ��� 䉀�ʉ� ��މ���� ���܉� ������� ������, ���ډ�� \InE{}$(QM_{r}(A^{*}),\beta)$\EnE{}  ��� ����. }
\end{enumerate}
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
\InE{}$(1)$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$\{m_{\alpha}\}_{\alpha\in I}$\EnE{} ��� ���� \InE{}$-\gamma$\EnE{}��� �� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{} ������. �� �������� ������󉁦� \InE{}$\gamma$\EnE{},
 ������ ��� \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{} � \InE{}$F\in A^{**}$\EnE{} , ���� \InE{}$\{m_{\alpha}(f,F)\}_{\alpha\in I}$\EnE{}   �� ���� ������󉁦� \InE{}$A^{*}$\EnE{}, ��� ����. 
 �������� ��� ���� \InE{}$$.m(f,F)=\lim_{\alpha}m_{\alpha}(f,F),\hspace{.1cm}f\in A^{*},F\in A^{**}$$\EnE{}  ������� \InE{}$m:A^{*}\times A^{**}\rightarrow A^{*}$\EnE{} ��� ��ډ���� ����Ή�
 ���� � �� ��¯  \InE{}(\ref{els})\EnE{}  ��������  \InE{}\ref{a}\EnE{} ���� ��� ��. ��މ������� 
��� �����ԉ��� �� ��̉���  \InE{}\ref{3}\EnE{} ��Ɖމ�  \InE{}$(1)$\EnE{}, \InE{}$m$\EnE{} ��Ή�� ��\hamze ���ԉ� ��  ���������� ���� � �� ������ \InE{}$.m\in QM_{r}(A^{*})$\EnE{} \\
\InE{}$(2)$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$\{m_{\alpha}\}_{\alpha\in I}$\EnE{} ��� ���� \InE{}$-\beta$\EnE{}��� �� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{} ������. ������ ��� \InE{}$F\in A^{**}$\EnE{}
 ��ډ���� \InE{}$T_{F}^{\alpha}:A^{*}\rightarrow A^{*}$\EnE{} ��� �����Ή� \InE{}$T_{F}^{\alpha}(f)=m_{\alpha}(f,F)$\EnE{} ��̉�� �� \InE{}$M_{r}(A^{*})$\EnE{}
����.  ������� ����� �� ��ȉ�� ��� ����  \InE{}$.\rho_{T_{F}^{\alpha}}=m_{\alpha}* F$\EnE{} �� �������� ������󉁦� \InE{}$\beta$\EnE{} ������ ��� ����   ����
  \InE{}$\{\rho_{T_{F}^{\alpha}}\}_{\alpha \in I}$\EnE{}
�� ���� ������󉁦� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{} ��� ���� . ��� ������ ���  ��̉���  \InE{}\ref{main}\EnE{}, \InE{}$\rho$\EnE{} ω�󉳉� ����. ��� \InE{}$\{T_{F}^{\alpha}\}$\EnE{} ��� ����  ���  �� ���� ������󉁦� \InE{}$M_{r}(A^{*})$\EnE{} ����.
 ���� \InE{}$M_{r}(A^{* } ) $\EnE{} ��� ����,  \InE{}$T_{F}\in M_{r}(A^{*})$\EnE{}  ����� ���� ��Ή����؉� 
\begin{equation}\label{el88}
.||T_{F}^{\alpha}-T_{F}||\rightarrow 0
\end{equation}
���� ����  \InE{}$\gamma\subseteq \beta$\EnE{}, ���� \InE{}$\{m_{\alpha}\}$\EnE{}
�� ������󉁦�  \InE{}$\gamma$\EnE{}, ���  ���� . ��� ������ ��� ��Ɖމ� \InE{}$(1)$\EnE{} , \InE{}$(QM_{r}(A^{*}),\gamma)$\EnE{}  ��� ���� � �� ������ \InE{}$m\in QM_{r}(A^{*})$\EnE{}  ����� ���� ��Ή����؉�
%\begin{equation}
%
%\end{equation}
\InE{}$$\EnE{} \InE{}$$\lim _{\alpha}m_{\alpha}(f,F)=m(f,F) ,\hspace{.2cm} f\in A^{*},F\in A^{**}\EnE{}

������ ��� \InE{}$G\in A^{**}$\EnE{} ������ 
\begin{eqnarray*}\label{el77}
\rho_{T_{F}}(f,G)&=&\lim _{\alpha}\rho_{T_{F}^{\alpha}}(f,G)=\lim_{\alpha}(m_{\alpha}* F)(f,G)=\lim _{\alpha}m_{\alpha}(f,F\circ G)\\
&=&m(f,F\circ G)=(m* F)(f,G)\\
\end{eqnarray}

� �� ������  ��� �����ԉ��� �� \InE{}(\ref{el88})\EnE{} � \InE{}(\ref{el77})\EnE{} \InE{}$$.||m_{\alpha}* F-m*F||=||\rho_{T_{F}^{\alpha}}-\rho_{T_{F}}||=||T_{F}^{\alpha}-T_{F}||\rightarrow 0$$\EnE{}
��� \InE{}$m_{\alpha}\rightarrow ^{\beta}m$\EnE{} � ���������� \InE{}$(QM_{r}(A^{*}),\beta)$\EnE{}  ��� ����.
\begin {theo}
 \begin{enumerate}
\item{\InE{}$(QM_{r}(A^{*}),\gamma)$\EnE{} � \InE{}$(QM_{r}(A^{*}),\tau)$\EnE{} �މ�䉂 ���� ������ ��؉Ɖ���� ������.  }
 \item{ ��­ ����  \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� ������ ��Ή����؉� ������ �\tashdid �� �� ������ ��� 䉀�ʉ� ��މ���� ���܉�  ������. �� ���� �����  \InE{}$(QM_{r}(A^{*}),\gamma)$\EnE{}, \InE{}$(QM_{r}(A^{*}),\tau)$\EnE{} �  \InE{}$(QM_{r}(A^{*}),\beta)$\EnE{} �މ�䉂 ���� ������ ��؉Ɖ���� ������.  }
\end{enumerate}
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
\InE{}$(1)$\EnE{} �� ����  \InE{}$\gamma\subseteq \tau$ \EnE{}, ���  �މ�䉂 \InE{}$-\tau$\EnE{}������ ��� �މ�䉂 \InE{}$-\gamma$\EnE{}������ ����. ���  �����؉�,  ��­ ���� \InE{}$H$\EnE{} 
 ��� �މ�䉂 \InE{}$-\gamma$\EnE{}������ �� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{} ������. �� ����  �����  ������
��� \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{} � \InE{}$F\in A^{**}$\EnE{}, ���  ������ \InE{}$r=r(f,F)>0$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$m\in H$\EnE{} 
\begin{equation}\label{els1}
. ||m(f,F)||\leq r
\end{equation}
%
������ ��� \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{} � \InE{}$m\in H$\EnE{}, ��ډ���� ���� \InE{}$M_{f}:A^{**}\rightarrow A^{*}$\EnE{} �� ��� �����Ή� ���� �������� ��� ����  \InE{}$$M_{f}(F):=m(f,F), \hspace{.5cm}F\in A^{**}$$\EnE{}
��� ������  \InE{}$.\cal{H}$$=\{M_{f}:  m\in H\}\subseteq CL(A^{**},A^{*})$\EnE{} ��� �����ԉ���  �� \InE{}(\ref{els1})\EnE{}, ������ ��� \InE{}$G\in A^{**}$\EnE{} \InE{}$$||M_{f}(G)||=||m(f,G)||\leq r(f,G),\hspace{.5cm}m\in H$$\EnE{}
��� \InE{}$\cal{H}$\EnE{} ��։Ή� ��� ��։Ή� ������ ����. �� ��̉��� ������� ��؉�������,  \InE{}$c=c(F)>0$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉�
%
\begin{equation}\label{els2}
||M_{f}||\leq c,\hspace{.5cm}m\in H
\end{equation}
��­ ����  \InE{}$P=\{p_{m}:m\in H\}$\EnE{}, ������ ��  �� ����� ��������� \InE{}$p_{m}$\EnE{} ��� \InE{}$A^{*}$\EnE{} ������ ��Ή����؉� 
\InE{}$$.p_{m}(f)=||M_{f}||=\sup _{||F||\leq 1}||M_{f}(F)||=\sup _{||F||\leq 1}||m(f,F)||,\hspace{.2cm}f\in A^{*}$$\EnE{} 
�� ������  ������ ��� ���� ������ ��� \InE{}$m$\EnE{}, \InE{}$p_{m}$\EnE{} ��� ��� \InE{}$A^{*}$\EnE{} ���������� ����. ��­ ���� \InE{}$\{f_{n}\}\subseteq A^{*}$\EnE{} ��Ή����؉� \InE{}$f_{n}\rightarrow f_{0}\in A^{*}$\EnE{}
���ډ�� 


\begin{eqnarray*}
|p_{m}(f_{n})-p_{m}(f_{0})|\leq p_{m}(f_{n}-f_{0})&=&\sup _{||F||\leq 1}||M_{f_{n}-f_{0}}(F)||\\
&=&\sup _{||F||\leq 1}||m(f_{n}-f,F)||\rightarrow 0\\
\end{eqnarray*}
� �� ������ \InE{}$p_{m}$\EnE{} ��� ���������� ����.
���� �� ����Ή� \InE{}(\ref{els2})\EnE{},  ������ \InE{}$P$\EnE{} ��Ή�� ��։Ή� ��� ��։Ή�  ������ ����.  ��� �����ԉ��� ��  ��̉���  \InE{}\ref{1}\EnE{},  ��� ������ \InE{}$K_{0}\geq 0$\EnE{} � \InE{}$ball B=B(f_{0},r)=\{f\in A^{*}:||f-f_{0}||\leq r\}$\EnE{}  ����� ���� ��Ή����؉� 
\InE{}$.p_{m}(f)\leq K_{0}$\EnE{} ���� ��­ ���� \InE{}$f\in A^{*}$\EnE{} ��Ή����؉� \InE{}$.||f||\leq 1$\EnE{} �� ���� ����� 
\InE{}$$p_{m}(f)=\frac{p_{m}(rf+f_{0}-f_{0})}{r}\leq \frac{1}{r}(p_{m}(rf+f_{0})+p_{m}(f_{0}))\leq\frac { 2K_{0}}{r}$$\EnE{}
���������� 
\InE{}$$||m||=\sup _{||f||\leq 1,||F||\leq 1}||m(f,F)||=\sup _{||f||\leq 1}p_{m}(f)\leq \frac{2K_{0}}{r}$$\EnE{} � �� ������ \InE{}$H$\EnE{}, \InE{}$-\tau$\EnE{}������ ����.\\  
\InE{}$(2)$\EnE{} ��� �����ԉ��� �� \InE{}$(1)$\EnE{} � ����Ή� \InE{}$\gamma\subseteq \beta\subseteq \tau$\EnE{}, ��؉� ������ ����.
%******************************************************************************************************************************************************************
%********************************************************************************************************************************************************
\newpage
\markright{\underline{4.4 ����� ���ډ�����   ������ \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{}    \InE{}\hspace*{4.5cm}\EnE{} }}
\section{ ����� ���ډ�����   ������ \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{}  }
�� ��Ɖމ� ���� �� ���� ����� ����� ���ډ�����  ������  ����� ������� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{}  �� ��� ����� ��ȉ¢� �� �� ��¤��� ��� ��� ������.
% ������ \InE{}\protected\EnE{}\cite{YO} �� ���� 3791 ������ ��¢  ����� ������� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} �щ� ����� ���� ���� � ������� ���� ����� \InE{}$G$\EnE{} ������� ������. 
��� �����ԉ��� �� ���� \InE{}\protected\EnE{}\cite{WA}, \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} ��� ������� ��ω�ꉂ �� ������ �\tashdid �� \InE{}$(L_{1}(G))^{**}$\EnE{}  ����.  ��� 
��� ������ ��� ��Ð�� \InE{}\ref{propa}\EnE{}, \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} ��� ����� �щ� ����� ��㉃�� ����. �� ��̉��� ���� ��ȉ�� ��� ������ �� ���󉵉�  \InE{}$G$\EnE{} ��� ����� ��ȉ¢� ������,
 \InE{}$M(G)$\EnE{}  ��� ���� ��̉���� �� \InE{}$QM_{r}(A^{*})$\EnE{} ������� ������� ����. \\
����� ��� ��¢� �� ��\tashdid ܉���, �� ������ ��� ��܉��� ���މ�� �������  �� ��މ�� \InE{}$\circ$\EnE{} �����ԉ��� ��� ����. 
\begin {theo}
��­ ���� \InE{}$G$\EnE{} ��� ����� ��ȉ¢� � \InE{}$.A=L_{1}(G)$\EnE{} ���ډ�� 䉱���� \InE{}$$\theta_{\mu}(f,F):=(f\circ \mu)\circ F\hspace{1cm}  (\mu\in M(G),f\in L_{\infty}(G),F\in L_{1}(G)^{**})$$\EnE{} ��� ������ꉃ�Ɖ� ����� \InE{}$M(G)$\EnE{} � ���� ��̉���� �� \InE{}$QM_{r}(A^{* })$\EnE{} �������� ��� ��.
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
% ��­ ����  \InE{}$\mu\in M(G),\xi\in L_{\infty}(G),F\in L_{1}(G)^{**}$\EnE{} ������ � �󉿉��� ��������.
 ����    \InE{}$L_{\infty}(G)$\EnE{}  ��� \InE{}$-M(G)$\EnE{}����� ����, \InE{}$L_{1}(G)^{**}=L_{\infty }(G)^{*}$\EnE{} �� ��� \InE{}$-M(G)$\EnE{}����� ������� ����. ��މ������� �� �����؉� \InE{}$L_{\infty}(G)\subseteq M(G)$\EnE{}, ��� 䉀�ʉ�  \InE{}$f\in L_{\infty}(G)$\EnE{} ��
 ��� ����� ��̉�� ��  \InE{}$M(G)$\EnE{} �� ��щ� ���ꉴ. 
���� �� �������� ��މ܉ډ� �������,  ������ ��� \InE{}$F\in (L_{1}(G))^{**}$\EnE{} � \InE{}$\mu\in M(G)$\EnE{} ������   \InE{}$$.(f\circ \mu)\circ F=f\circ (\mu\circ F)$$\EnE{} \\
�� ������ ��ȉ�� ��� ������ \InE{}$.\theta_{\mu}\in QM_{r}(L_{1}(G)^{*})$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$f\in L_{\infty}(G)$\EnE{},  \InE{}$F,G\in (L_{\infty}(G))^{*}$\EnE{} � \InE{}$.\mu\in M(G)$\EnE{} ���� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{} �щ� ����� ��㉃�� ����, ������ 
 
\begin{eqnarray*}
(\theta_{\mu})(G\circ f,F)&=&(G\circ f)\circ (\mu\circ F)=G\circ(f\circ(\mu\circ F))\\
&=&G\circ [(\theta_{\mu})(f,F)]\\
\end{eqnarray*}
�� ω�� ���ډ� ����  \InE{}$L_{\infty}(G)$\EnE{} ��� \InE{}$-M(G)$\EnE{}����� ����, \InE{}$.f\circ\mu\in L_{\infty}(G)$\EnE{}  ���� ��� �����ԉ��� �� �������� ��މ� ������� ��������� �����
 \InE{}$$\theta_{\mu}(f,F\circ G)=(f\circ\mu)\circ (F\circ G)=((f\circ \mu)\circ F)\circ G=[\theta_{\mu}(f,F)]\circ G$$\EnE{}
� �� ������ \InE{}$.\theta_{\mu}\in QM_{r}(L_{1}(G)^{*})$\EnE{}\\
���� ������ ��� ���� \InE{}$\theta$\EnE{} ��� ��� ��� ����. ��­ ���� \InE{}$.\theta_{\mu}=0$\EnE{}  ������ ��� \InE{}$f\in L_{\infty}(G)$\EnE{} � \InE{}$F\in (L_{\infty}(G))^{*}$\EnE{}, ������  \InE{}$.(f\circ \mu)\circ F=0$\EnE{} 
 ���� \InE{}$L_{1}(G)$\EnE{}  ������ ��� ��։������ ��މ���� ������ ���� , ������ ��� \InE{}$f\in L_{\infty}(G)$\EnE{} \InE{}$$f\circ \mu=0$$\EnE{} ��� �� ������ ����,  ������ ��� \InE{}$f\in C_{0}(G)$\EnE{} , \InE{}$$.f\circ \mu=0$$\EnE{}  ����  �� ����   \InE{}$M(G)$\EnE{} ������ \InE{}$C_{0}(G)$\EnE{}  �
 \InE{}$C_{0}(G)$\EnE{} ������ ��� ��։������ ��މ���� ������ ����, \InE{}$.\mu=0$\EnE{}
%\begin {lemm}
%��­ ���� \InE{}$X$\EnE{} ��� ��̉�� �����  ��� � \InE{}$\cal{F}=\{f_{\alpha}:\alpha\in I\}$\EnE{} �������� �� ������� ��։�� ��։��։� � ���������� ��� \InE{}$X$\EnE{} ��������. ���� \InE{}$\cal{F}$\EnE{} ��Ή�� ��։Ή� ��� ��։Ή� 
%�� ���� ������ ������ ���ډ�� ��� ��� ��� ���� ��Ɖ��� �� ���� ��Ή�� ��؉������� ������ ������� ���� ��� ���� ��㉀��  ��� ������ \InE{}$K_{0}$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� \InE{}$$f_{\alpha}(x)\leq K_{0}\hspace{1cm}\alpha\in I, x\in B$$\EnE{}
%\end {lemm}
%\par \noindent {\siah \Large ������� :}
%\InE{}$[23]$%\EnE{}
%***********************************************************************************************************************************************************************
%****************************************************************************************************************************************************************
%\newpage
%\section{����� ���ډ���� ��� \InE{}$-F$\EnE{}�������� }
% ��ʉ� 2 : ***************************************************************************************************************
\newpage
\chapter{ ����� ���ډ���� ��� \InE{}$-F$\EnE{}�������� }
%����� ����� ��� *****************************************************************************************************************
\markright{\underline{2.1 ��։����  \InE{}\hspace*{4cm}\EnE{} }}
\section{��։����   }
�� ���� ��ʉ� ��ԉ���� ����� ���ډ���� ���  ��������� ���� �� ��� � \InE{}$-F$\EnE{}�������� � �� ������ ���� \InE{}$-k$\EnE{}�������� ��������  ����,  ��Ή�  � ���������� �����  ������ ��  �� ��Ή���㉂ ���
��� ������. �������� ����� ��̉�� ����� ���ډ���� ��� ��̉�� ���ډ���� �� ����� ��ډ���� ����  ���\tashdid ���  ������ ��¢�, ����\tashdid � ������ �� ��¤��� ��� ����. \\ 
\InE{}$-q$\EnE{}���� ������󉁦�,  ������󉁦� ��� � ����� ��� �� ���  ��̉�� �����  ���ډ����� ����� \InE{}$A$\EnE{} \InE{}$(QM(A))$\EnE{}, �������� ��¢� � ����� ������󉁦��؉� ������ �� ��Ή���㉂ ��� ����.         


% ����� ����� ���  :��������� ���� �щ� ������󉁦��� � *******************************************************************************************************
\markright{\underline{5.2 ��̉�� ����� ���ډ���� � �������� ��  ��� ��̉�� ���ډ���� \InE{}\hspace*{4.5cm}\EnE{} }}
\section{ ��̉�� ����� ���ډ���� � �������� ��  ��� ��̉�� ���ډ���� }
�� �������� ��� �������� ����� ���ډ���� ��¢������ � ���� ��������� ��¢ ��� ��މ� ��ډ���� ���� ���\tashdid ���, �������ω�  �����   ��̉�� ����� ���ډ���� � ��̉�� ���ډ����  ������ ����.  
%\newpage
\begin {defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������.  ��ډ���� \InE{}$m:A\times A\rightarrow A$\EnE{} ��� ����� ���ډ� ��� \InE{}$A$\EnE{} ������ ��� ���� ������� ������ ���
 \InE{}$a,b,c\in A$\EnE{}, ������� ��������  \InE{}$$.m(ab,c)=am(b,c), \hspace{1cm}m(a,bc)=m(a,b)c$$\EnE{} 
\end {defn}
\begin {defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦��� ������.  ��­ ���� \InE{}$QM(A)$\EnE{} ��̉�� ��މ� ����� ���ډ����� ����Ή� � ���������� ���\hamze ��   ��� ����� \InE{}$A$\EnE{} ������. ������� \InE{}$QM(A)$\EnE{} ��� ��̉�� ��Ή� ����. 
��㉅��,  \InE{}$QM(A)$\EnE{}  ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ��ω�ꉂ ����.\\
������ ��� \InE{}$m\in QM(A)$\EnE{} � \InE{}$a\in A$\EnE{}, ��މ܉ډ� �������  \InE{}$a\circ m$\EnE{} � \InE{}$m\circ a$\EnE{}  �� ��ʉ��� ���� �� ��щ� ��� �����: \InE{}$$(a\circ m)(x,y)=m(xa,y), \hspace{.2cm}(m\circ a)(x,y)=m(x,ay),\hspace{.2cm}x,y\in A$$\EnE{}
�������  \InE{}$a\circ  m, m\circ a\in QM(A)$\EnE{} �  \InE{}$QM(A)$\EnE{} ��� \InE{}$-A$\EnE{}����� ��ω�ꉂ ����. 
\end {defn}
 ��� ���� ��������  ����� ��̉��  \InE{}$QM(A)$\EnE{}  ��� ��̉����� \InE{}$M_{l}(A),M_{r}(A),M_{d}(A)$\EnE{} �  \InE{}$M(A)$\EnE{} �� ��ȉ�� ���� � ������ ��� ��  ��� ���ډ�, ���ډ� ���, ���ډ� ����� � ���ډ� �������� �� ��� ����� ���  䉀���� ��� ����� ���ډ� ��މ���� ���.
 \begin {lemm}\InE{}\label{b}\EnE{}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� �ꉑ��� ������. 
\begin{enumerate}
\item{������ ��� \InE{}$c\in A$\EnE{},  ��ډ����  \InE{}$m=m_{c}:A\times A\rightarrow A$\EnE{} �� ��� �����Ή� \InE{}$m_{c}(a,b)=acb$\EnE{} �������� ��� ����. }
\item{ ������ ��� \InE{}$T\in M_{l}(A)$\EnE{}, ��ډ����  \InE{}$m=m_{T}:A\times A\rightarrow A$\EnE{} �� ��� �����Ή�  \InE{}$m_{T}(a,b)=aT(b)$\EnE{} �������� ��� ����.}                                                            }
\item{ ������ ��� \InE{}$T\in M_{r}(A)$\EnE{}, ��ډ����  \InE{}$m=m_{T}:A\times A\rightarrow A$\EnE{} �� ��� �����Ή� \InE{}$m_{T}(a,b)=T(a)b$\EnE{} �������� ��� ����.}
\item{ ������ ��� \InE{}$T\in M(A)$\EnE{}, ��ډ����  \InE{}$m=m_{T}:A\times A\rightarrow A$\EnE{} �� ��� �����Ή� \InE{}$m_{T}(a,b)=aT(b)$\EnE{} �������� ��� ����.}
\item{ ������ ��� \InE{}$(S,T)\in M_{d}(A)$\EnE{}, ��ډ����  \InE{}$m=m_{(S,T)}:A\times A\rightarrow A$\EnE{} �� ��� �����Ή� \InE{}$m_{(S,T)}(a,b)=aS(b)$\EnE{} �������� ��� ����.}
\end{enumerate}
�� ���� �����  ��� ��� �� ��ډ��������� \InE{}$m:A\times A\rightarrow A$\EnE{}  �������� ���� �� ꉁ� ��� ����� ���ډ� ����.   
\end {lemm}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
\InE{}$(5)$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$.(S,T)\in M_{d}(A)$\EnE{} ������ ��� \InE{}$a,b,c\in A$\EnE{} ������  

\begin{eqnarray*}
m(ab,c)&=&m_{(S,T)}(ab,c)=(ab)S(c)=a[bS(c)]\\
&=&a[m_{(S,T)}(b,c)]=am(b,c).\\
\end{eqnarray*}
��ȉ�����\nasb � \InE{}$.m(a,bc)=m(a,b)c$\EnE{} ��� \InE{}$m$\EnE{}  ��� ����� ���ډ� ����. ������� ��։��� ��Ɖމ� ��� ��ȉ���� ����.  ��މ������� �� �ꉑ���� ����� \InE{}$A$\EnE{}, ������ �� ��ډ���� ���� ꉁ�  ��� ��� ��� ��Ɖ�����.
\begin {defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� �ꉑ��� ������. ��ډ���� ���� ���� �� �� ��щ� ��ډ������. 
\InE{}$$\phi_{A}:A\rightarrow QM(A),\hspace{.2cm}\phi_{l}:M_{l}(A)\rightarrow QM(A)\vspace{-.8cm}$$\EnE{}
\InE{}$$\phi_{r}:M_{r}(A)\rightarrow QM(A),\hspace{.2cm}\phi_{d}:M_{d}(A)\rightarrow QM(A)$$\EnE{}
������ ��� \InE{}$(x,y)\in A\times A$\EnE{}  �������� ��� ���� 
\InE{}$$(\phi_{A}(a))(x,y)=xay, \hspace{.2cm}a\in A\vspace{-1cm}$$\EnE{}
\InE{}$$(\phi_{l}(T))(x,y)=xT(y),\hspace{.2cm}T\in M_{l}(A)\vspace{-1cm}$$\EnE{}
\InE{}$$(\phi_{r}(T))(x,y)=T(x)y,\hspace{.2cm}T\in M_{r}(A)\vspace{-1cm}$$\EnE{}
\InE{}$$(\phi_{d}(S,T)(x,y)=xS(y),\hspace{.2cm}(S,T)\in M_{d}(A)$$\EnE{}
��� �����ԉ��� �� ��� \InE{}\ref{b}\EnE{}, ������ �� ��ډ���� ���� ꉁ� ���� �������� ��Ɖ�����.  
\end {defn}
\begin {rmark}
���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ���� ��؉�� ������.  ���ډ�� \InE{}$A$\EnE{}  �  \InE{}$QM(A)$\EnE{} ��؉������ ��Ɖ�����. 
\end {rmark}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} ������ ��� ���� \InE{}$\phi_{A}:A\rightarrow QM(A)$\EnE{} ��� �������� ����. ������� \InE{}$\phi_{A}$\EnE{}   ��Ή� ����.  
 ��� ��� ��� ����� \InE{}$\phi_{A}$\EnE{}, �� �ꉑ���� ����� \InE{}$A$\EnE{}  ������ ��� ����. ��ȉ�� ��� ������ ������ ����.  ��­ ���� \InE{}$m\in QM(A)$\EnE{} �  \InE{}$e$\EnE{} 䉀�ʉ� ��މ���� �� \InE{}$A$\EnE{} ������. �� ���� �����  \InE{}$m(e,e)\in A$\EnE{} � ������ ��� \InE{}$x,y\in A$\EnE{} \InE{}$$.\phi_{A}(m(e,e))(x,y)=xm(e,e)y=m(xe,ey)=m(x,y)$$\EnE{}
��� \InE{}$\phi_{A}$\EnE{} ��� ��ډ���� ������ ����.
 
\begin{defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������. ����� \InE{}$m:A\times A\rightarrow A$\EnE{} ��� ����� ���ډ� ��¢� ���� ������� ������ ��� \InE{}$a,b\in A$\EnE{} ������� �������� 
\begin{equation}\label{elF1}
.m(a^{2},b)=am(a,b),\hspace{1cm} m(a,b^{2})=m(a,b)b
\end{equation}
\end{defn}
\begin {theo}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ����������� ������. ���ډ��:
\begin{enumerate}
\item{������ ��� ����� ���ډ� ��� \InE{}$A$\EnE{} � \InE{}$a,b,c\in A$\EnE{}, ������ \InE{}$$.am(b,c)=m(b,a)c$$\EnE{} }
\item{���� \InE{}$A$\EnE{} ���  ����� �ꉑ��� ������. ���ډ�� ��� ��ډ���� �� ��Ή� \InE{}$m:A\times A\rightarrow A$\EnE{} ��� ����� ���ډ� ���� ���� � ������� ���� ����� ���ډ� ��¢� ������.
 %������ ��� \InE{}$a,b\in A$\EnE{} ������� �������� 
 }
%\item{ ��� ����� ���ډ� ��� \InE{}$A$\EnE{} ���������� ����. }
\end{enumerate}
 \end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
\InE{}$(1)$\EnE{} �� �������� ����������� ����� \InE{}$A$\EnE{} ������   \InE{}$$.am(b,c)=m(b,c)a=m(b,ca)=m(b,ac)=m(b,a)c$$\EnE{}
\InE{}$(2)$\EnE{} ������� ��� ����� ���ډ� ��� ����� ���ډ� ��¢� ����. ����  ��­ ���� \InE{}$m$\EnE{} ��� ����� ���ډ� ��¢� ����.  
 ������ ��� \InE{}$a,b,c\in A$\EnE{} � ��� �����ԉ��� �� ����Ή� \InE{}(\ref{elF1})\EnE{}  �� ��������  쉱�� 

\begin{eqnarray*}\label{elF2}
.m((a+b)^{2},c)&=&(a+b)m(a+b,c)\\
&=&am(a,c)+am(b,c)+bm(a,c)+bm(b,c)\\
\end{eqnarray}
�� ω�� ���ډ� 



\begin{eqnarray*}\label{elF3}
.m((a+b)^{2},c)&=&m(a^{2}+b^{2}+2ab,c)\\
&=&m(a^{2},c)+m(b^{2},c)+2m(ab,c)\\
&=&am(a,c)+bm(b,c)+2m(ab,c)\\
\end{eqnarray}
��� ��։���Ɖ� \InE{}(\ref{elF2})\EnE{} � \InE{}(\ref{elF3})\EnE{} ������ 

\begin{equation}\label{elF4}
2m(ab,c)=am(b,c)+bm(a,c)
\end{equation}
��� ������ �����ԉ��� �� \InE{}(\ref{elF4})\EnE{} , ������ ���  \InE{}$a,b,c,d\in A$\EnE{} ��������� �����  

\begin{eqnarray*}\label{elF5}
2m(abd,c)&=&abm(d,c)+dm(ab,c)\\
&=&abm(d,c)+\frac{1}{2} d[2m(ab,c)]\\
&=&abm(d,c)+\frac{1}{2} dam(b,c)+\frac {1}{2} dbm(a,c)\\
\end{eqnarray}
���� �� �������� ����������� \InE{}$A$\EnE{} � �� ���� �����ԉ��� �� \InE{}(\ref{elF4})\EnE{} ����� ��� ������ 



\begin{eqnarray*}\label{elF6}
2m(abd,c)&=&2m(adb,c)=adm(b,c)+bm(ad,c)\\
&=&adm(b,c)+\frac{1}{2}[bam(d,c)+bdm(a,c)]\\
&=&adm(b,c)+\frac {1}{2} abm(d,c)+\frac{1}{2} dbm(a,c)]\\
\end{eqnarray}
��� ��։���Ɖ�\InE{}(\ref{elF5})\EnE{}  � \InE{}(\ref{elF6})\EnE{} ������ \InE{}$$.abm(d,c)=ad m(b,c)$$\EnE{} ���� \InE{}$A$\EnE{} �ꉑ��� ����,  ���  \InE{}$.bm(d,c)=dm(b,c)$\EnE{} ���������� ������ ��� \InE{}$d\in A$\EnE{} \InE{}$$dm(ab,c)=abm(d,c)=a[bm(d,c)]=adm(b,c)=dam(b,c)$$\EnE{}
� �� ������  \InE{}$.m(ab,c)=am(b,c)$\EnE{} �������  ��ȉ������ ��ȉ�� ��� ����  \InE{}$.m(a,bc)=m(a,b)c$\EnE{}
\begin {theo}\InE{}\label{k}\EnE{}
��­ ���� \InE{}$(A,\tau)$\EnE{} ��� \InE{}$-F$\EnE{}����� 쉁��\nasb � �������� ������ ������. ���ډ�� 
\begin{enumerate}
\item{��ډ���� \InE{}$m:A\times A\rightarrow A$\EnE{} ��� ����� ���ډ� ���� ���� � ������� ���� ������ ��� \InE{}$a,b,c,d\in A$\EnE{} ��Ɖ��� ���� ������ ������.

\begin{equation}\label{elF7}
m(ab,cd)=am(b,c)d
\end{equation}
  }
\item{��� ����� ���ډ� ��� \InE{}$A$\EnE{} �� ��Ή� ����. }
\item{ ��� ����� ���ډ� ��� \InE{}$A$\EnE{} ���������� ���\hamze ��  ����. }
\end{enumerate}
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
\InE{}$(1)$\EnE{} ���� \InE{}$m$\EnE{} ��� ����� ���ډ� ��� \InE{}$A$\EnE{} ������ ���ډ�� ������ ��� \InE{}$a,b,c,d\in A$\EnE{} \InE{}$$.m(ab,cd)=am(b,cd)=am(b,c)d$$\EnE{}
��� �����؉� ��­ ���� \InE{}$.a,b,c\in A$\EnE{}  ��� ������ \InE{}$a_{n}=\{b,c,0,0,...\}\rightarrow 0$\EnE{} ���� \InE{}$A$\EnE{} 쉁��\nasb � �������� ������ ����,  \InE{}$y,z,w\in A $\EnE{} ����� ������ ��Ή����؉� 
\InE{}$.b=wy,c=wz$\EnE{} ��� ��� �����ԉ��� �� \InE{}(\ref{elF7})\EnE{}, \InE{}$$.m(ab,c)=m(awy,wz)=(aw)[m(y,w)]z=am(wy,wz)=am(b,c)$$\EnE{} ��Ή�� ��ȉ����  \InE{}$.m(a,bc)=m(a,b)c$\EnE{} ���������� \InE{}$m$\EnE{} ��� ����� ���ډ� ����.\\ 
\InE{}$(2)$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$m$\EnE{} ��� ����� ���ډ�, \InE{}$a,b,c\in A$\EnE{} � \InE{}$.\alpha\in K$\EnE{} ��ȉ���� ������� ���� \InE{}$x,y,w\in A$\EnE{}  ����� ������ ��Ή����؉� \InE{}$.a=wx,b=wy$\EnE{}  



\begin{eqnarray*}
m(a+b,c)&=&m(wx+wy,c)=(x+y)m(w,c)=xm(w,c)+ym(w,c)\\
&=&m(wx,c)+m(wy,c)=m(a,c)+m(b,c)\\
\end{eqnarray*}
��ȉ�����\nasb � \InE{}$.m(c,a+b)=m(c,a)+m(c,b)$\EnE{}  
��މ������� \InE{}$$m(\alpha a,c)=m(\alpha wx,c)=(\alpha w)m(x,bc)=\alpha m(wx,c)=\alpha m(a,c)$$\EnE{} � �� ������ \InE{}$m$\EnE{} ����Ή� ����.\\ 
\InE{}$(3)$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$m$\EnE{} ��� ����� ���ډ� ������. ������ ��ȉ�� ��� ������ \InE{}$m$\EnE{} ��Ή�� ��\hamze ���ԉ� ��  ���������� ����. ��­ ���� \InE{}$a\in A$\EnE{}  � \InE{}$\{x_{n}\}\subseteq A$\EnE{} ������ �� ��މډ ��� \InE{}$x$\EnE{} ������. ���ډ�� \InE{}$\{x_{n}-x\}$\EnE{} ������ �� 
��މډ ��� ��ԉ� ����. ���� \InE{}$A$\EnE{}  쉁��\nasb � �������� ������ ����,  ������ \InE{}$\{z_{n}\}$\EnE{} � 䉀�ʉ� \InE{}$z$\EnE{} �� \InE{}$A$\EnE{} ������� ��Ή����؉� \InE{}$z_{n}\rightarrow 0$\EnE{} � \InE{}$.x_{n}-x=zz_{n}$\EnE{}
���������� \InE{}$$.m(a,x_{n})-m(a,x)=m(a,x_{n}-x)=m(a,zz_{n})=m(a,z)z_{n}\rightarrow 0$$\EnE{}
�� ������ ��ȉ�� ��� ������ \InE{}$m$\EnE{} ��Ή�� ���\hamze ��   ���������� ����. ��­ ���� \InE{}$\{x_{n }\}\in A$\EnE{}  � \InE{}$\{y_{n}\}\in A$\EnE{} ������ ������  ��މډ ���  \InE{}$x$\EnE{} � \InE{}$y$\EnE{} ��������. ��­ ���� \InE{}$W$\EnE{}  ��މƉ���ډ� �� ��ԉ� ������.
��މƉ���ډ� ��� \InE{}$U$\EnE{} �� ��ԉ� �� ������ ������ ����  \InE{}$.U+U\subseteq W$\EnE{} �� ����Ή� ����� \InE{}$m$\EnE{} ������ 



\begin{eqnarray*}\label{elF8}
.m(x_{n},y_{n})-m(x,y)&=&m(x_{n}-x,y_{n})+m(x,y_{n})-m(x,y)\\
&=&m(x_{n}-x,y_{n})+m(x,y_{n}-y)\\
\end{eqnarray}
������ ��� \InE{}$n$\EnE{}, ��ډ���� \InE{}$T_{n}:A\rightarrow A$\EnE{} �� ��� �����Ή� \InE{}$$T_{n}(a)=m(a,y_{n}),\hspace{1cm}a\in A$$\EnE{} �������� ��� ����. ����  \InE{}$m$\EnE{} ��Ή�� ��\hamze ���ԉ� ��  ���������� ����, ��ډ���� \InE{}$T_{n}$\EnE{} 
���� �������� � ���������� ����. ���  ������  \InE{}$\{T_{n}(x)\}=\{m(x,y_{n})\}$\EnE{}  ��މډ � �� ������ ������ ����.   �� ��̉��� ������� ��؉�������  \InE{}\ref{2}\EnE{}, ������ \InE{}$\{T_{n}\}$\EnE{} 
��މ���������� ������� ����.  ��� ��މƉ���ډ� \InE{}$V$\EnE{} �� ��ԉ� ����� ���� ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$n\geq 1$\EnE{}, \InE{}$$.T_{n}(V)\subseteq U,\hspace{1cm} $$\EnE{}
�� ��މډ��� \InE{}$\{x_{n}\}$\EnE{} ��� \InE{}$x$\EnE{} ��� ω������� \InE{}$n_{1}$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$n\geq n_{1}$\EnE{}, \InE{}$.x_{n}-x\in V$\EnE{}  ��� ������ ��� \InE{}$n\geq n_{1}$\EnE{} \InE{}$$.m(x_{n}-x,y_{n})=T_{n}(x_{n}-x)\in U$$\EnE{}
��މ������� �� �����؉� \InE{}$m$\EnE{} ��Ή�� ��\hamze ���ԉ� �� ���������� ����, \InE{}$n_{2}\in N$\EnE{} ����� ����
 ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$n\geq n_{2}$\EnE{},  \InE{}$.m(x,y_{n}-y)\in U$\EnE{}  ��� �����ԉ��� �� \InE{}(\ref{elF8})\EnE{} ������ ��� \InE{}$n\geq max\{n_{1},n_{2}\}$\EnE{}
\InE{}$$.m(x_{n},y_{n})-m(x,y)\in U+U\subseteq W$$\EnE{}
\begin{defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦��� ������.
\begin{enumerate}
\item{ ��։������ ��މ���� ������ \InE{}$\{e_{\lambda}:\lambda\in I\}$\EnE{} �� \InE{}$A$\EnE{} ��� �� ��։������ ��މ���� \fnote {\InE{}Ultra approximate  identity\EnE{}}  ������ ��� ���� ������� ������ ��� \InE{}$m\in QM(A)$\EnE{} � \InE{}$a\in A$\EnE{}, 
�������� \InE{}$\{m(a,e_{\lambda}):\lambda\in I\}$\EnE{} � \InE{}$\{m(e_{\lambda},a):\lambda\in I\}$\EnE{} �� \InE{}$A$\EnE{} ��� ��������.}
\item{����� ������󉁦��� \InE{}$A$\EnE{}  �։���\fnote {\InE{}Symmetric\EnE{}} ������ ��� ���� ������� ������ ��� \InE{}$S\in M_{l}(A)\cup M_{r}(A)$\EnE{},  \InE{}$T\in M_{l}(A)\cup M_{r}(A)$\EnE{} ����� ������� ������  ��Ή����؉� \InE{}$(S,T)\in M_{d}(A)$\EnE{} � ��� \InE{}$.(T,S)\in M_{d}(A)$\EnE{}}
\end{enumerate}
\end {defn}
\begin {theo}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� \InE{}$-F$\EnE{}����� ������ ��� ��։������ ��މ���� ������ \InE{}$\{e_{\lambda}:\lambda\in I\}$\EnE{} ������. 䉱����� ���� �� �� ��щ� ��ډ������. 
\begin{enumerate}
\item{\InE{}$\{e_{\lambda}:\lambda\in I\}$\EnE{} ��� �� ��։������  ��މ���� ����.} 
\item{ ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{}, \InE{}$S\in M_{l}(A)$\EnE{} � \InE{}$T\in M_{r}(A)$\EnE{}, �������� \InE{}$\{aS(e_{\lambda})\}$\EnE{} � \InE{}$\{T(e_{\lambda})a\}$\EnE{} �� \InE{}$A$\EnE{} ��� ��Ɖ�����.}
\item{\InE{}$A$\EnE{} �։��� ����.} 
\end{enumerate}
���ډ�� \InE{}$.(1)\Rightarrow (2)\Leftrightarrow (3)$\EnE{} ���� \InE{}$A$\EnE{} �������� ������ ������ ���ډ�� \InE{}$(3)\Rightarrow (1)$\EnE{} � �� ������ \InE{}$(1),(2),(3)$\EnE{} ��㉑�󉀉�.
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
\InE{}$:(1)\Rightarrow (2)$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$\{e_{\lambda}:\lambda\in I\}$\EnE{} ��� �� ��։������ ��މ����  �� \InE{}$A$\EnE{} ������. ��­ ���� \InE{}$S\in M_{l}(A)$\EnE{} � \InE{}$.T\in M_{r}(A)$\EnE{} ��� ������ \InE{}$m_{1}=\phi_{l}(S)$\EnE{} � \InE{}$.m_{2}=\phi_{r}(T)$\EnE{} 
���������� \InE{}$m_{1},m_{2}\in QM(A)$\EnE{} � ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{},
  \InE{}$$\{m_{2}(e_{\lambda},a)\}=\{T(e_{\lambda})a\},\hspace{1cm}\{m_{1}(a,e_{\lambda})\}=\{aS(e_{\lambda})\}$$\EnE{} ��� ω��� ��������  �� ��։������ ��މ����, ��؉� ������ ����.\\
\InE{}$(2)\Rightarrow (3)$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$(2)$\EnE{} ������ ������ � \InE{}$.S\in M_{l}(A)\cup M_{r}(A)$\EnE{} ����� ��� ��¢� �� ��܉��� ��� ����� ��­ ��¢ \InE{}$.S\in M_{l}(A)$\EnE{} �� ���  \InE{}$A$\EnE{} ��� ����,  
��ډ���� \InE{}$T:A\rightarrow A$\EnE{} ��� �����Ή�
 \InE{}$$T(a)=\lim_{\lambda}aS(e_{\lambda}),\hspace{.5cm} a\in A$$\EnE{} ���� �������� � ��� ���ډ� ����� �� \InE{}$A$\EnE{} ����. �� ���������ډ� \InE{}$S$\EnE{} ������ ��� \InE{}$a,b\in A$\EnE{}  ������ \InE{}$$aS(b)=a\lim _{\lambda}S(e_{\lambda}b)=a\lim_{\lambda}S(e_{\lambda})b=[\lim_{\lambda}aS(e_{\lambda})]b=T(a)b$$\EnE{}
���  \InE{}$(S,T)\in M_{d}(A)$\EnE{} � �� ������ \InE{}$A$\EnE{} �։��� ����.\\
\InE{}$(3)\Rightarrow (2)$\EnE{} ��­ ����  \InE{}$S\in M_{l}(A)$\EnE{} � \InE{}$.T\in M_{r}(A)$\EnE{} ��� �����ԉ��� �� ��­,  \InE{}$T_{1}\in M_{r}(A)$\EnE{} � \InE{}$S_{1}\in M_{l}(A)$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� 
 \InE{}$.(S,T_{1}), (S_{1},T)\in M_{d}(A)$\EnE{}  ��� ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{} \InE{}$$aS(e_{\lambda})=T_{1}(a)e_{\lambda}\rightarrow T_{1}(a)\vspace{-1cm}$$\EnE{}
\InE{}$$T(e_{\lambda})a=e_{\lambda}S_{1}(a)\rightarrow S_{1}(a)$$ \EnE{}
���������� ��� �� ���� \InE{}$\{aS(e_{\lambda})\}$\EnE{} � \InE{}$\{T(e_{\lambda})a\}$\EnE{}  �� \InE{}$A$\EnE{} ��މډ � �� ������ ��� ��Ɖ�����.\\
���� ��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} �������� ������ ������. ������ ��� ���� \InE{}$.(3)\Rightarrow (1)$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$m\in QM(A)$\EnE{} � \InE{}$.a\in A$\EnE{} �� �������� ������� \InE{}$A$\EnE{}, \InE{}$b,c\in A$\EnE{} ����� ������ ��Ή����؉� \InE{}$.a=bc$\EnE{} ��ډ��������� 
\InE{}$S,T:A\rightarrow A$\EnE{} �� ��� �����Ή� ���� �������� ��� ���� 
\InE{}$$S(x)=m(c,x), \hspace{.2cm}T(x)=m(x,b),\hspace{.5cm}x\in A$$ \EnE{} ���ډ�� ������ ��� \InE{}$x,y\in A$\EnE{} \InE{}$$S(xy)=m(c,xy)=m(c,x)y=S(x)y\vspace{-1cm}$$\EnE{} \InE{}$$T(xy)=m(xy,b)=xm(y,b)=xT(y)$$\EnE{} �
  �� ������ \InE{}$S\in M_{l}(A)$\EnE{} � \InE{}$.T\in M_{r}(A)$\EnE{} ��� �����ԉ��� �� \InE{}$(3)$\EnE{}, \InE{}$T_{1}\in M_{r}(A)$\EnE{} �
 \InE{}$S_{1}\in M_{l}(A)$\EnE{} ����� ������ ��Ή����؉� \InE{}$.(S,T_{1}),(S_{1},T)\in M_{d}(A)$\EnE{}  �� ���� ����� ��������� �����  
\InE{}$$m(a,e_{\lambda})=m(bc,e_{\lambda})=bm(c,e_{\lambda})=bS(e_{\lambda})=T_{1}(b)e_{\lambda}\rightarrow T_{1}(b)\vspace{-1cm}$$\EnE{}
\InE{}$$m(e_{\lambda},a)=m(e_{\lambda},bc)=m(e_{\lambda},b)c=T(e_{\lambda})c=e_{\lambda}S_{1}(c)\rightarrow S_{1}(c)$$\EnE{}
��� ��������  \InE{}$\{m(a,e_{\lambda}):\lambda\in I\}$\EnE{} � \InE{}$\{m(e_{\lambda},a):\lambda\in I\}$\EnE{} �� \InE{}$A$\EnE{} ��� ��Ɖ����� . 
����������  \InE{}$\{e_{\lambda}:\lambda\in I\}$\EnE{} ��� �� ��։������ ��މ���� ����.
%*************************************************************************************************************************************************************
%**********************************************************************************************************************************************************
\newpage
\markright{\underline{  5.3 ����� ���ډ���� ��� \InE{}$-F$\EnE{}�������� � \InE{}$-k$\EnE{}��������   \InE{}\hspace*{4.5cm}\EnE{} }}
\section{ ����� ���ډ���� ��� \InE{}$-F$\EnE{}�������� � \InE{}$-k$\EnE{}��������  }
\begin {defn}
��­ ���� \InE{}$E$\EnE{} ��� ��̉�� ��Ή� ��� ��� \InE{}$\mathds{K}$\EnE{} ������. ������ \InE{}$q:E\rightarrow R$\EnE{} �� ��� \InE{}$-F$\EnE{}����� ���� \fnote {\InE{}F-seminorm\EnE{}} �����, ����     
\begin{enumerate} 
\item{������ ��� \InE{}$x\in E$\EnE{} ������� ��������  \InE{}$.q(x)\geq 0$\EnE{}  }
 \item{���� \InE{}$x=0$\EnE{} ���ډ�� \InE{}$.q(x)=0$\EnE{}   }
\item{������ ��� \InE{}$x\in E$\EnE{} � \InE{}$\alpha\in K$\EnE{}  \InE{}$|\alpha|\leq 1$\EnE{} ������� ��������   \InE{}$.q(\alpha x)\leq q(x)$\EnE{}}
\item {������ ��� \InE{}$x,y\in E$\EnE{} ������� ��������  \InE{}$.q(x+y)\leq q(x)+q(y)$\EnE{}}
\item {����  \InE{}$\{\alpha_{n}\}_{n}\in K$\EnE{} � \InE{}$\alpha_{n}\rightarrow 0$\EnE{}, ���ډ�� ������ ��� \InE{}$x\in E$\EnE{} ������� ��������  \InE{}$$.q(\alpha_{n}x)\rightarrow 0$$\EnE{} }
\item  {����  \InE{}$\{x_{n}\}_{n}\in E$\EnE{} �  \InE{}$x_{n}\rightarrow 0$\EnE{}, ���ډ�� ������ ��� \InE{}$\alpha\in K$\EnE{} ������� ��������  \InE{}$$.q(\alpha x_{n})\rightarrow 0$$\EnE{}  }                       
\end{enumerate}
\end {defn}
\begin {defn} 
��­ ���� \InE{}$q$\EnE{} ��� \InE{}$-F$\EnE{}����� ���� ��� ��̉�� ��Ή� \InE{}$E $\EnE{} ������. \InE{}$q$\EnE{} �� ��� \InE{}$-F$\EnE{}���� \fnote {\InE{}F-norm\EnE{}} �����,  �������  \InE{}$q(x)=0$\EnE{}  �������  ��   \InE{}$.x=0$\EnE{}
\end {defn}
\begin {defn}
��� \InE{}$-F$\EnE{}����� ���� )\InE{}$-F$\EnE{}����( \InE{}$q$\EnE{} ��� \InE{}$E$\EnE{}, \InE{}$-k$\EnE{}��މډ�  \fnote {\InE{}k-homogeneous\EnE{}} ������ ��� ���� ������� ������ ��� \InE{}$x\in E$\EnE{}  � \InE{}$\alpha\in K$\EnE{}  ������� �������� 
   \InE{}$$.q(\alpha x)=|\alpha|^{k}q(x)$$\EnE{} 
��� \InE{}$-F$\EnE{}����� ���� \InE{}$-F)$\EnE{}����\InE{}$($\EnE{}  \InE{}$-k$\EnE{}��މډ� �������ʉ�� \InE{}$-k$\EnE{}����� ���� \InE{}$-k)$\EnE{}����\InE{}$($\EnE{} ������ ��� ����.\\
��� \InE{}$-F$\EnE{}����� ���� \InE{}$-F)$\EnE{}����\InE{}$($\EnE{} \InE{}$q$\EnE{} ��� ����� \InE{}$A$\EnE{} ���� ���� ������ ��� ���� �������  ������ ��� \InE{}$x,y\in E$\EnE{} ������� ��������  \InE{}$$.q(xy)\leq q(x)q(y)$$\EnE{}
\end{defn}
\begin {defn}
%\begin{enumerate}
��­ ���� \InE{}$E$\EnE{} ��� ��̉�� ��Ή� � \InE{}$q$\EnE{} ��� \InE{}$-F$\EnE{}���� ��� �� ������. ��ԉ� \InE{}$(E,q)$\EnE{} ��� ��̉�� \InE{}$-F$\EnE{}����  \fnote {\InE{}F-normed space\EnE{}} ������ ��� ����.\\
���  ��̉�� \InE{}$-F$\EnE{}���� ���  �� ��� \InE{}$-F$\EnE{}��̉�\fnote  {\InE{}F-space\EnE{}} �����. ������� ��� ��̉�� \InE{}$-F$\EnE{}���� 
\InE{}$(E,q)$\EnE{} ��� ��̉�� ��Ή� �� ������ ����  �� �� ��ʉ��� \InE{}$d(x,y)=q(x-y)$\EnE{}  �������� ��� ����.
\end{defn}
\begin {defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� �����  � \InE{}$q$\EnE{} ��� \InE{}$-F$\EnE{}���� ���� ���� ��� �� ������. ��ԉ� \InE{}$(A,q)$\EnE{} ��� �����  \InE{}$-F$\EnE{}����\fnote  {\InE{}F-normed algebra\EnE{}}������ ��� ����.\\
\InE{}$(A,q)$\EnE{} �� ���  ����� \InE{}$-k$\EnE{}���� \fnote {\InE{}k-normed algebra\EnE{}}����� ������� \InE{}$q$\EnE{} ��� \InE{}$-k$\EnE{}���� ���� ���� ������.\\
��� ����� \InE{}$-k$\EnE{}���� ���  �������ʉ�� ��� \InE{}$-k$\EnE{}����� \fnote {\InE{}k-algebra\EnE{}} ������ ��� ����.
\end {defn}
\begin {defn} \InE{}$)$\EnE{}\protected\cite{MA} ��ԉ��� \InE{}$(41$\EnE{}
%��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� � \InE{}$q$\EnE{} ��� \InE{}$-F$\EnE{}���� ��� �� ������. ��ԉ� \InE{}$(E,q)$\EnE{} ��� ��̉�� \InE{}$-F$\EnE{}���� ������ ��� ����
%��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ��� ��� \InE{}$\mathbb{K}$ \EnE{} � \InE{}$\tau$\EnE{} ������󉁦� ��� \InE{}$A$\EnE{} ������ ��Ή����؉� \InE{}$(A,\tau)$\EnE{} ��� ��̉�� ������󉁦��� ��Ή� ������. ��ԉ� \InE{}$(A,\tau)$\EnE{} ����� ������󉁦��� ������ ��� ����
 %���� ��މ� �� �� �� ��Ή�� ��������� ���������� ������.\\  
����� ������󉁦��� \InE{}$(A,\tau)$\EnE{} ����\nasb � ������\fnote {\InE{}locally bounded\EnE{}} ������ ��� ���� ���� ������ ���  ��މƉ���ډ� ������ �� ��ԉ� ������. ��މ������� ���� \InE{}$(A,\tau)$\EnE{} ��� ����� ������󉁦��� ����\nasb � ������, ��������� � ��� ������ 
���ډ�� ������󉁦� ��  ������ ��� \InE{}$-k$\EnE{}���� \InE{}$(0<k<1)$\EnE{} ���� ���� \InE{}$q$\EnE{} ��������  ��� ����.
\end{defn}
\begin {defn}
��­ ���� \InE{}$(A,q)$\EnE{} ��� ��̉�� \InE{}$-F$\EnE{}���� )�� ������ ����, ��� ����� \InE{}$-F$\EnE{}����(  ������. ������ ��� \InE{}$T\in CL(A)$\EnE{} �������� ��� ���� 

\begin{equation}\label{elF9}
||T||_{q}=\sup \{\frac{q(T(x))}{ q(x)}:x\in A,x\neq 0\}
\end{equation}
�� ���� ����� ������:  
\begin {enumerate}
\item { ���� \InE{}$q$\EnE{} ��� \InE{}$-k$\EnE{}���� \InE{}$(0<k<1)$\EnE{} ��� \InE{}$A$\EnE{} ������ ���ډ�� \InE{}$||.||_{q}$\EnE{} �� ��� \InE{}$-k$\EnE{}����   ��� \InE{}$CL(A)$\EnE{} ������� ����.}
\item {���� \InE{}$q$\EnE{} ��� ����� ���� ��� \InE{}$A$\EnE{} ������ ���ډ�� \InE{}$||.||_{q}$\EnE{} �� ��� ����� ���� ��� \InE{}$CL(A)$\EnE{} ������� ����.}
\end{enumerate}
�� ��� ��� �� ���� ����� ꉁ� \InE{}$||.||_{q}$\EnE{}  ����� ������� � ������� ���� � ��� �����  �������  ���ډ��  �� �� ��� \InE{}$||T||_{q}$\EnE{}  ��ʉ��� ���� �� ��щ� ���ꉴ  

\begin{eqnarray*}
||T||_{q}&=&\sup \{q(T(x)):x\in A, q(x)=1\}\\
&=&\sup\{q(T(x)):x\in A,q(x)\leq 1\}\\
\end{eqnarray*}
\end {defn}
\begin {rmark}
����� ��� ������  �������  �������� ���� �� \InE{}(\ref{elF9})\EnE{},  �� ��� ��� �� ����� ��� \InE{}$-k$\EnE{}���� ���� ��� ����� ����, ����� ������� � ������� ����. 
�� ��� ����  ��ȉ�� ��� ������  ��������  \InE{}(\ref{elF9})\EnE{} �� ������ 
��܉� ��� ��̉��  \InE{}$-F$\EnE{}����, �����  ��މ� ������.\\

 ��­ ���� \InE{}$A=R^{2}$\EnE{}, \InE{}$q(x_{1},x_{2})=|x_{1}|+|x_{2}|^{1/2}$\EnE{} � \InE{}$.T(x_{1},x_{2})=(x_{2},x_{1})$\EnE{} ������� \InE{}$(A,q)$\EnE{} ��� ��̉�� \InE{}$-F$\EnE{}���� ����. ���� 
 \InE{}$$||T||_{q}\geq \frac{q[T(n,n^{2})]}{q(n,n^{2})}=\frac{q(n^{2},n)}{q(n,n^{2})}=\frac{n^{2}+n^{1/2}}{2n}\rightarrow \infty$$\EnE{}
��� ���� \InE{}$T$\EnE{} �� ������ ��\tashdid ܉�  ���  ��̉�� \InE{}$-F$\EnE{}����, ������� �Ɖ�.
%\item { �� ���󉵉�  \InE{}$(A,q)$\EnE{} ��� ��̉�� \InE{}$-F$\EnE{}���� ������, �����  ��މ� ����� ���� ��̉����  �� \InE{}$A$\EnE{} �� �� ��щ� ���ꉴ  ��� ��މ܉ډ� ��Ή� � ������ �� �� ����� ���� ������� ������.  ��㉀���� ��� 
%������ ������ \InE{}$\{p_{n}\}$\EnE{}  \InE{}$0<p_{n}<1$\EnE{} � \InE{}$p_{n}\rightarrow 0$\EnE{} �� �� ��щ� ��ډ������. ��­ ���� \InE{}$-F$\EnE{}����� \InE{}$A$\EnE{} ��ȉ؉��� ���� �� ��މ� ������ ���� \InE{}$\{x_{n}\}\subseteq R$\EnE{} ������ ��Ή����؉�
%\InE{}$|x_{n}|^{p_{n}}\rightarrow 0$%\EnE{} � \InE{}$.q(x_{n})=sup _{n\geq 1}|x_{n}|^{p_{n}}$\EnE{}  ���ډ�� ������ ��� ��މ܉ډ� ��Ή� � ������  \InE{}$||T||<\infty$\EnE{} ���� \InE{}$||.||_{q}$\EnE{}  ��� \InE{}$-F$\EnE{}���� �Ɖ�}     
%\end {rmark}
%\begin {defn}
%��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����� ������󉁦��� ������.
\begin {theo}\InE{}\label{p}\EnE{}
��­ ���� \InE{}$(A,q)$\EnE{} ��� \InE{}$-F$\EnE{}����� ������ ��� �� ��։������  ��މ����  \InE{}$\{e_{\lambda}:\lambda\in I\}$\EnE{}  ������. ���ډ��
\begin{enumerate}
\item{��� ��� �� ��ډ��������� \InE{}$\phi_{A},\phi_{l},\phi_{r},\phi_{d}$\EnE{} �������� ��Ɖ�����.}
\item{\InE{}$.\phi_{d}|M(A)=\phi_{l}|M(A)=\phi_{r}|M(A)$\EnE{}                    }  
\item{      \InE{}$.\phi_{d}|\mu_{d}(A)=\phi_{A}$\EnE{}         }
\end{enumerate}
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
\InE{}$(1)$\EnE{}  ������ ��� ���� \InE{}$\varphi_{d}:M_{d}(A)\rightarrow QM(A)$\EnE{} �� ������ ����. ������� ��։��� ��ȉ���� ����.   ��­ ���� \InE{}$.m\in QM(A)$\EnE{}  ����  \InE{}$\{e_{\lambda}:\lambda\in I\}$\EnE{} ��� �� ��։������ ��މ���� ����,  
 ������ ��� \InE{}$x\in A$\EnE{},  �������� \InE{}$\{m(x,e_{\lambda}):\lambda\in I\}$\EnE{} � \InE{}$\{m(e_{\lambda},x):\lambda\in I\}$\EnE{} ��މډ ��Ɖ�����.
��ډ��������� \InE{}$S,T:A\rightarrow A$\EnE{}  ��  ��� �����Ή� ���� �������� ��� ���� 
\InE{}$$S(x)=\lim_{\lambda}m(e_{\lambda},x),\hspace{.2cm}T(x)=\lim_{\lambda}m(x,e_{\lambda}),\hspace{.1cm}x\in A$$\EnE{}
������ ��� \InE{}$x,y\in A$\EnE{},

\begin{eqnarray*}
xS(y)&=&x\lim_{\lambda}m(e_{\lambda},y)=\lim _{\lambda} m(xe_{\lambda},y)=m(x,y)\\
&=&\lim_{\lambda}m(x,e_{\lambda}y)=\lim_{\lambda}m(x,e_{\lambda})y=T(x)y\\
\end{eqnarray*}
 ����������  \InE{}$.(S,T)\in M_{d}(A)$\EnE{}
��㉅�� ������ ��� \InE{}$(a,b)\in A\times A$\EnE{}  ������  \InE{}$$[\varphi_{d}(S,T)](a,b)=aS(b)=a\lim_{\lambda} m(e_{\lambda},b)=\lim_{\lambda} m(ae_{\lambda},b)=m(a,b)$$\EnE{}
���  \InE{}$\phi_{d}(S,T)=m$\EnE{}  � �� ������ \InE{}$\varphi_{d}$\EnE{} ������ ����.\\ 
��ȉ�� ��� ������ \InE{}$\varphi_{d}$\EnE{} ��� ��� ��� ����. ��­ ���� \InE{}$(S_{1},T_{1}),(S_{2},T_{2})\in M_{d}(A)$\EnE{}  � \InE{}$.\phi_{d}(S_{1},T_{1})=\phi_{d}(S_{2},T_{2})$\EnE{}
��� ������ ��� \InE{}$a,b\in A$\EnE{}
 \InE{}$$\phi_{d}(S_{1},T_{1})(a,b)=\phi_{d}(S_{2},T_{2})(a,b)$$\EnE{} � �� ������ \InE{}$.aS_{1}(b)=aS_{2}(b)$\EnE{}
����� \InE{}$A$\EnE{} �ꉑ��� ����  ��� ������ ��� \InE{}$b\in A$\EnE{}, \InE{}$S_{1}(b)=S_{2}(b)$\EnE{}  � �� ������ \InE{}$.S_{1}=S_{2}$\EnE{}  ���� ��� �����ԉ��� ��  ��̉��� \InE{}\ref{3.3}\EnE{} ��Ɖމ� \InE{}$(3)$\EnE{},  \InE{}$.T_{1}=T_{2}$\EnE{}  ���������� \InE{}$.(S_{1},T_{1})=(S_{2},T_{2})$\EnE{}\\
\InE{}$(2)$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$T\in M(A)$\EnE{} � \InE{}$.x,y\in A$\EnE{} ��� �����ԉ��� �� ��̉��� \InE{}\ref{3.2}\EnE{} ��Ɖމ� \InE{}$(2)$\EnE{}, \InE{}$T\in M_{l}(A)\cap M_{r}(A)$\EnE{} � �� ������  \InE{}$(T,T)\in M_{d}(A)$\EnE{}
\InE{}$$\phi_{d}(T)(x,y)=\phi_{d}(T,T)(x,y)=xT(y)=T(xy)$$\EnE{}
��މ������� \InE{}$$\phi_{l}(T)(x,y)=xT(y)=T(xy); \hspace{.3cm}\phi_{r}(T)(x,y)=T(x)y=T(xy)$$\EnE{}
\InE{}$(3)$\EnE{} ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{}  � \InE{}$(x,y)\in A\times A$\EnE{} ������ \InE{}$$\phi_{d}(\mu_{d}(a))(x,y)=\phi_{d}(L_{a},R_{a})(x,y)=xL_{a}(y)=xay=\phi_{A}(a)(x,y)$$\EnE{}
� �� ������ \InE{}$.\phi_{d}|\mu_{d}(A)=\phi_{A}$\EnE{}
\begin {lemm}\InE{}\label{4.8}\EnE{}
\begin{enumerate}
\item {���� \InE{}$(A,q)$\EnE{} ��� ����� \InE{}$-F$\EnE{}���� �������� ������ ������ ��� ��։������ ��މ����  \InE{}$\{e_{\lambda}:\lambda\in I\}$\EnE{} ������.
 ���ډ�� ������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{} \InE{}$$\lim_{\lambda}q(e_{\lambda} ae_{\lambda}-a)=0$$\EnE{} }
\item {���� \InE{}$(A,q)$\EnE{} ��� \InE{}$-F$\EnE{}����� ������ ��� �� ��։������  ��މ����  �����މ��  \InE{}$\{e_{\lambda}:\lambda\in I\}$\EnE{} ������. ���ډ�� ������ ���
 \InE{}$m\in QM(A)$\EnE{}  � \InE{}$x\in A$\EnE{} \InE{}$$.\lim _{\lambda}e_{\lambda}m(e_{\lambda},x)=\lim_{\lambda}m(e_{\lambda},x)$$\EnE{}}
\end {enumerate}
\end {lemm}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} \InE{}$(1)$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$.a\in A$\EnE{} �� ���  \InE{}$A$\EnE{} �������� ������ ���� \InE{}$x,y\in A$\EnE{}  ����� ���� ��Ή����؉� \InE{}$.a=xy$\EnE{} ���ډ�� 


\begin{eqnarray*}
\lim _{\lambda}q(e_{\lambda}ae_{\lambda}-a)&=&\lim_{\lambda}q[(e_{\lambda}xye_{\lambda}-e_{\lambda}xy)+(e_{\lambda}xy+xy)]\\
&\leq & \lim _{\lambda} q(e_{\lambda}x).q(ye_{\lambda}-y)+\lim_{\lambda} q(e_{\lambda}xy-xy)\\
&=&q(x).q(0)+q(0)=0.\\ 
\end{eqnarray*}
\InE{}$(2)$\EnE{}  �����  \InE{}$A$\EnE{} ���  � \InE{}$\{e_{\lambda}:\lambda\in I\}$\EnE{} ��� �� ��։������  ��މ���� �� \InE{}$A$\EnE{} ����.  ���  ������ ��� \InE{}$x\in A$\EnE{}, \InE{}$y\in A$\EnE{} ����� ���� ��Ή���  
  \InE{}$\lim_{\lambda} m(e_{\lambda},x)=y$\EnE{}. ���� �� �������� �����މ�� �����, \InE{}$q(e_{\lambda})\leq 1$\EnE{} � �� ������ 



\begin{eqnarray*}
q[y-e_{\lambda}m(e_{\lambda},x)]&\leq & q(y-e_{\lambda }y)+q[e_{\lambda} y-e_{\lambda}m(e_{\lambda},x)]\\
&\leq & q(y-e_{\lambda}y)+q(e_{\lambda})q(y-m(e_{\lambda},x))\\
&\leq & q(y-e_{\lambda}y)+q(y-m(e_{\lambda},x))\rightarrow 0.\\
\end{eqnarray*}
\begin {defn}
��­ ���� \InE{}$(A,q)$\EnE{} ��� ����� \InE{}$-k$\EnE{}����  � \InE{}$m\in QM(A)$\EnE{}  ������.  �������� ��� ���� \InE{}$$||m||_{q}=\sup \{\frac{q[m(x,y)]}{q(x)q(y)}:x,y\in A, x,y\neq 0\}$$\EnE{}
������� ������ ��� \InE{}$x,y\in A$\EnE{}  ������  \InE{}$$.q[m(x,y)]\leq ||m||_{q}q(x)q(y)$$\EnE{}
\end {defn}
\begin {theo}
��­ ���� \InE{}$(A,q)$\EnE{} ��� ����� \InE{}$-k$\EnE{}���� ������. ���ډ�� 
\begin {enumerate}
\item { \InE{}$||.||_{q}$\EnE{} ��� \InE{}$-k$\EnE{}���� ��� \InE{}$QM(A)$\EnE{} ����.} 
\item { ���� \InE{}$(A,q)$\EnE{} ��� ������ ���ډ�� \InE{}$(QM(A),||.||_{q})$\EnE{} �� ��� ����. } 
\end {enumerate} 
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
\InE{}$(1)$\EnE{} ������ ��� \InE{}$m\in QM(A)$\EnE{}  



\begin{eqnarray*}
||m||_{q}&=&0\Leftrightarrow \sup _{x\neq 0,y\neq 0} \frac{q[m(x,y)]}{q(x)q(y)}=0\\ 
&\Leftrightarrow & q[m(x,y)]=0, \hspace{.1cm}x,y\in A,x,y\neq 0\\
&\Leftrightarrow & q[m(x,y)]=0 ,\hspace{.1cm}x,y\in A\\
&\Leftrightarrow & m=0\\
\end{eqnarray*}

��މ������� ������ ��� \InE{}$\alpha\in K$\EnE{},  \InE{}$q(\alpha x)=|\alpha|^{k}q(x)$\EnE{}  � �� ������ \InE{}$.||\alpha m||_{q}=|\alpha|^{k}||m||_{q}$\EnE{}\\
��­ ���� \InE{}$m,u\in QM(A)$\EnE{} � \InE{}$\epsilon>0$\EnE{} �󉿉��� ������. \InE{}$x,y\in A$\EnE{}  ����� ����  ���  ω����؉� \InE{}$$||m+u||_{q}\leq \frac{q[(m+u)(x,y)]}{q(x)q(y)} -\epsilon$$\EnE{}
�� ���� ����� 
\begin{eqnarray*}
||m+u||_{q}&\leq & \frac{q[m(x,y)+u(x,y)]}{q(x)q(y)}-\epsilon\\
&\leq & \frac{q[m(x,y)]}{q(x)q(y)}+\frac{q[u(x,y)]}{q(x)q(y)}-\epsilon\\
&\leq &||m||_{q}+||u||_{q}-\epsilon.\\
\end{eqnarray*}
%���ډ�� \InE{}\end{eqnarray*}\EnE{}
���  \InE{}$||m+u||_{q}\leq ||m||_{q}+||u||_{q}$\EnE{} � ���������� \InE{}$||.||_{q}$\EnE{} ��� \InE{}$-k$\EnE{}���� ��� \InE{}$QM(A)$\EnE{} ����.\\
\InE{}$(2)$\EnE{}  ��­ ���� \InE{}$\{m_{i}:i\in N\}$\EnE{} ��� ������ \InE{}$-||.||_{q}$\EnE{}��� �� \InE{}$QM(A)$\EnE{} ������. ���ډ�� ������ ��� \InE{}$x,y\in A$\EnE{} 
\begin{eqnarray*}
\lim _{i,j}q[m_{i}(x,y)-m_{j}(x,y)]&=&\lim_{i,j} q[(m_{i}-m_{j})(x,y)]\\
&\leq & \lim _{i,j} ||m_{i}-m_{j}||_{q}.q(x)q(y)=0\\
\end{eqnarray*}
���������� ������ ��� \InE{}$x,y\in A$\EnE{}, ������ \InE{}$\{m_{i}(x,y)\}$\EnE{}  ��� ������ ��� �� \InE{}$A$\EnE{} ����.  ��� �����ԉ��� �� �������� ��� ����� \InE{}$A$\EnE{}  ��ډ����  \InE{}$m$\EnE{} ��� �����Ή� \InE{}$$m(x,y)=\lim_{i}m_{i}(x,y), \hspace{.2cm}x,y\in A$$\EnE{}   ���� �������� ����.
������� \InE{}$m$\EnE{}  ����Ή�  � ��� �����ԉ��� �� ��̉��� \InE{}\ref{3}\EnE{} ��Ɖމ� \InE{}$(2)$\EnE{}, ���������� ����.
 ��㉅�� ������ ��� \InE{}$a,b,x,y\in A$\EnE{}  \InE{}$$m(ax,yb)=\lim_{i}m_{i}(ax,yb)=\lim_{i}[am_{i}(x,y)b]=a[\lim_{i}m_{i}(x,y)]b=am(x,y)b$$\EnE{}
� �� ������ \InE{}$.m\in QM(A)$\EnE{}  ��ȉ�� ��� ������ \InE{}$.||m_{i}-m||_{q}\rightarrow 0$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$.\epsilon>0$\EnE{} 
�� ����   \InE{}$\{m_{i}:i\in N\}$\EnE{} ��� ������ \InE{}$-||.||_{q}$\EnE{}��� ����, ��� \InE{}$N\geq 1$\EnE{} 
����� ���� ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$i,j\geq N$\EnE{} ������  \InE{}$$.||m_{i}-m_{j}||_{q}<\frac {\epsilon}{2}$$\EnE{}  ��㉀�� 
\InE{}$$\frac{q[(m_{i}-m_{j})(x,y)]}{q(x)q(y)}<\frac{\epsilon}{2},\hspace{.5cm}i,j\geq N, x,y\in A, x,y\neq 0\hspace{2cm}(*)$$\EnE{}
��­ ���� \InE{}$i_{0}\geq N$\EnE{}  ������ � \InE{}$.j\rightarrow \infty$\EnE{}  ����  \InE{}$m_{i}(x,y)\rightarrow m(x,y)$\EnE{}, ������ ���  \InE{}$x,y\in A$\EnE{}   \InE{}$x,y\neq 0$\EnE{}  ������
 \InE{} $$\frac{q[m_{i_{0}}(x,y)-m(x,y)]}{q(x)q(y)}<\frac {\epsilon}{2}\hspace{7cm}(**)$$\EnE{}
 ���  ��� �����ԉ��� �� \InE{}$(*)$\EnE{} � \InE{}$(**)$\EnE{}  � ������ ��� \InE{}$i\geq N$\EnE{} ������ 


\begin{eqnarray*}
\frac{q[m_{i}(x,y)-m(x,y)]}{q(x)q(y)&}&\leq  \frac {q[m_{i}(x,y)-m_{i_{0}}(x,y)]}{q(x)q(y)}+ \frac {q[m_{i_{0}}(x,y)-m(x,y)]}{q(x)q(y)}\\
&< &\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon\\
\end{eqnarray*}
� �� ������ \InE{}$.m_{i}\rightarrow^{||.||_{q}} m$\EnE{}

\begin {theo}\InE{}\label{10}\EnE{}
��­ ���� \InE{}$(A,q)$\EnE{} ��� ����� \InE{}$-k$\EnE{}���� �������� ������ ������ ��� ��։������ ��މ���� �����މ�� \InE{}$\{e_{\lambda}:\lambda\in I\}$\EnE{} ������. ���ډ��:
\begin{enumerate}
\item{ ��� ��� �� ��ډ���� ���� \InE{}$\phi_{A},\phi_{l},\phi_{r},\phi_{d}$\EnE{}, ��Ή� � ω�󉳉� ����.}
\item{ ������ ��� \InE{}$a,b\in A$\EnE{} � \InE{}$m\in QM(A)$\EnE{}, \InE{}$$.||a\circ m\circ b||_{q}=q(m(a,b))$$\EnE{}         } 
\end{enumerate}
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
\InE{}$(1)$\EnE{} ������� \InE{}$\phi_{d}:M_{d}(A)\rightarrow QM(A)$\EnE{}  ��Ή� ����. ��­ ���� \InE{}$.(S,T)\in M_{d}(A)$\EnE{}  �� ���� �����  

\begin{eqnarray*}
||\phi_{d}(S,T)||_{q}&=&\sup _{x\neq 0,y\neq 0} \frac{q[\phi_{d}(S,T)(x,y)]}{q(x)q(y)}=\sup _{x\neq 0,y\neq 0} \frac{q[xS(y)]}{q(x)q(y)}\\
&\leq &\sup _{x\neq 0,y\neq 0} \frac{q(x)q(S(y))}{q(x)q(y)}=\sup _{y\neq 0} \frac{q(S(y))}{q(y)}=||S||_{q}\\
\end{eqnarray*}
����  ��­ ���� \InE{}$\epsilon>0$\EnE{} �󉿉��� ������. \InE{}$(y\neq 0)\in A$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� \InE{}$.||S||_{q}<\frac{q(S(y))}{q(y)}+\epsilon$\EnE{}  �� �������� ���� ���� ����� \InE{}$q$\EnE{},
\InE{}$.0<q(ye_{\lambda})\leq q(y)q(e_{\lambda})\leq q(y)$\EnE{}  �� ������  ������ ��� \InE{}$\lambda\in I$\EnE{} ������
\InE{}$$||\phi_{d}(S,T)||_{q}\geq  \frac{q[\phi_{d}(S,T)(e_{\lambda},ye_{\lambda})]}{q(e_{\lambda})q(ye_{\lambda})}\geq \frac{q[e_{\lambda }S(ye_{\lambda})]}{q(ye_{\lambda})}\geq \frac{q[e_{\lambda} S(y)e_{\lambda}]}{q(y)}$$\EnE{}
��� �����ԉ��� �� ��� \InE{}\ref{4.8}\EnE{} ��Ɖމ� \InE{}$(1)$\EnE{},  \InE{}$$||\phi_{d}(S,T)||_{q}\geq \lim_{\lambda}\frac{q[e_{\lambda}S(y)e_{\lambda}]}{q(y)}=\frac{q(S(y))}{q(y)}>||S||_{q}-\epsilon$$\EnE{}
� �� ������ \InE{}$.||\phi_{d}(S,T)||_{q}=||S||_{q}=||(S,T)||_{q}$\EnE{}  ��� \InE{}$\phi_{d}$\EnE{} ��� ��ډ���� ω�󉳉� ����.\\
\InE{}$(2)$\EnE{} �� ω�󉳉� �����  ��ډ���� \InE{}$\phi_{A}$\EnE{} ��������� �����  

\begin{eqnarray*}
||a\circ m\circ b||_{q}&=&\sup _{x\neq 0,y\neq 0}\frac{q[(a\circ m\circ b)(x,y)]}{q(x)q(y)}=\sup _{x\neq 0,y\neq 0} \frac{q[m(xa,by)]}{q(x)q(y)}\\
&=&\sup _{x\neq 0,y\neq 0} \frac{q[x.m(a,b)y]}{q(x)q(y)}=\sup _{x\neq 0,y\neq 0} \frac{q[\phi_{A}(m(a,b))(x,y)]}{q(x)q(y)}\\
&=&||\phi_{A}(m(a,b))||_{q}=q(m(a,b))\\
\end{eqnarray*}
\begin {defn}
��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ��� \InE{}$-F$\EnE{}����� ������ ��� �� ��։������  ��މ����  � \InE{}$m_{1},m_{2}\in QM(A)$\EnE{}  ������. �� ��̉��� \InE{}\ref{p}\EnE{} ��Ɖމ� \InE{}$(1)$\EnE{},  \InE{}$\phi_{d}$\EnE{}  ������ ����. ���
 \InE{}$(S_{1},T_{1}),(S_{2},T_{2})\in M_{d}(A)$\EnE{} ����� ���� 
��Ή����؉� \InE{}$$\phi_{d}(S_{1},T_{1})=m_{1},\hspace{.2cm}\phi_{d}(S_{2},T_{2})=m_{2}$$\EnE{}
�� �������� ��ډ��������� \InE{}$\phi_{l}$\EnE{} � \InE{}$\phi_{r}$\EnE{} ������  \InE{}$$.\phi_{l}(S_{1})=m_{1}=\phi_{r}(T_{1}), \hspace{.2cm}\phi_{l}(S_{2})=m_{2}=\phi_{r}(T_{2})$$\EnE{}
���� ���މ��  �� \InE{}$\circ_{\varphi_{d}},\circ_{\varphi_{l}},\circ_{\varphi_{r}}$\EnE{} �� ��� \InE{}$QM(A)$\EnE{} ��� ����� ���� �������� ��� ����: 
\begin{enumerate} 
\item{\InE{}$.m_{1}\circ _{\phi_{d}} m_{2}=\phi_{d}(S_{1},T_{1})\circ _{\phi_{d}} \phi_{d}(S_{2},T_{2})=\phi_{d}[(S_{1},T_{1})(S_{2},T_{2})]=\phi_{d}(S_{1}S_{2},T_{2}T_{1})$\EnE{}                        }
\item{                   \InE{}$.m_{1}\circ _{\phi_{l}}m_{2}=\phi_{l}(S_{1})\circ_{\phi_{l}}\phi_{l}(S_{2})=\phi_{l}(S_{1}S_{2})$\EnE{}   } 
\item{ \InE{}$.m_{1}\circ _{\phi_{r}}m_{2}=\phi_{r}(T_{1})\circ_{\phi_{r}}\phi_{l}(T_{2})=\phi_{r}(T_{2}T_{1})$\EnE{}}
\end{enumerate}
��މ������� ������ ��� \InE{}$(x,y)\in A\times A$\EnE{}
\InE{}$$[\phi_{d}(S_{1}S_{2},T_{2}T_{1})](x,y)=x(S_{1}S_{2})(y)=[\phi_{l}(S_{1}S_{2})](x,y);\vspace{-1cm}$$\EnE{}
\InE{}$$x(S_{1}S_{2})(y)=(T_{2}T_{1})(x)y=[\phi_{r}(T_{2}T_{1})](x,y)$$\EnE{}
����������  \InE{}$.m_{1}\circ _{\phi_{d}}m_{2}=m_{1}\circ_{\phi_{l}} m_{2}=m_{1}\circ _{\phi_{r}} m_{2}$\EnE{}
\end {defn}
\begin {rmark}
\begin{enumerate}
\item {��­ ���� \InE{}$m=\phi_{l}(S)$\EnE{}  �� �� \InE{}$.S\in M_{l}(A)$\EnE{}  ��� ������
 ��� ��̉��� \InE{}\ref{3.6}\EnE{} ��Ɖމ� \InE{}$(1)$\EnE{},  ������ \InE{}$a\in A$\EnE{}} \InE{}$$m\circ _{\phi_{l}}\phi_{A}(a)=\phi_{l}(S)\circ _{\phi_{l}}\phi_{l}(L_{a})=\phi_{l}(SL_{a})=\phi_{l}(L_{S(a)})=\phi_{A}(S(a))\in \phi_{A}(A)$$\EnE{}
\item{��­ ���� \InE{}$m=\phi_{r}(T)$\EnE{}  �� �� \InE{}$.T\in M_{r}(A)$\EnE{}  ��� ������
 ��� ��̉��� \InE{}\ref{3.6}\EnE{} ��Ɖމ� \InE{}$(2)$\EnE{},  ������ \InE{}$a\in A$\EnE{}} \InE{}$$\phi_{A}(a)\circ _{\phi_{r}} m=\phi_{r}(R_{a})\circ _{\phi_{r}}\phi_{r}(T)=\phi_{r}(TR_{a})=\phi_{r}(R_{T(a)})=\phi_{A}(T(a))\in \phi_{A}(A)$$\EnE{}
 }
\item {  ��­ ���� \InE{}$m=\phi_{l}(S,T)$\EnE{}  �� �� \InE{}$.(S,T)\in M_{d}(A)$\EnE{}  ��� ������
 ��� ��̉��� \InE{}\ref{3.6}\EnE{} ��Ɖމ� \InE{}$(3)$\EnE{},  ������ \InE{}$a\in A$\EnE{}  



\begin{eqnarray*}
m\circ_{\phi_{d}}\phi_{A}(a)&=&\phi_{d}[(S,T)(L_{a},R_{a})]=\phi_{d}(SL_{a},R_{a}T)\\
&=&\phi_{d}(L_{S(a)},R_{S(a)})=\phi_{A}(S(a))\in \phi_{A}(A)\\
\end{eqnarray*}


          }
            
\end {rmark}
�� ������  ��މ�� \InE{}$\odot$\EnE{} �� ��� ��� ��� �� ���މ�� �� �������� ���� �� ꉁ� ��؉�� ��� ������. 
\begin {theo}��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} ���  \InE{}$-k$\EnE{}�����  �������� ������ � ������ ��� �� ��։������  ��މ���� �����މ�� \InE{}$\{e_{\lambda}:\lambda\in I\}$\EnE{} ������. �� ���� �����:
\begin{enumerate}
\item{ ������ ��� \InE{}$m_{1},m_{2}\in QM(A)$\EnE{} \InE{}$$(m_{1}\odot m_{2})(x,y)=m_{1}(x,\lim_{\lambda}m_{2}(e_{\lambda},y)) ,\hspace{.2cm} (x,y)\in A\times A$$\EnE{} 
 ��� �� ��� \InE{}$QM(A)$\EnE{}  �������� ��� �� � �� ������ \InE{}$(QM(A),||.||_{q})$\EnE{} ���   \InE{}$-k$\EnE{}����� �  ������ 䉀�ʉ� 
 ��މ���� \InE{}$m_{0}=\phi_{d}(I,I)$\EnE{} ������� ����.             }
\item{ ������ ��� \InE{}$m\in QM(A)$\EnE{}  � \InE{}$a\in A$\EnE{}     \InE{}$$.\phi_{A}(a)\odot m=a\circ m,\hspace{.3cm}m\odot\phi_{A}(a)=m\circ a$$\EnE{}               } 
\item{   \InE{}$\phi_{A}(A)$\EnE{}  ��� ����� �� �� ω�ꉂ �� \InE{}$QM(A)$\EnE{}   ����.                        }
\item{ ���� \InE{}$A$\EnE{} �������� ������ ������ ���ډ�� ���������  \InE{}$M_{l}(A)$\EnE{} � \InE{}$M_{d}(A)$\EnE{}  ��� \InE{}$QM(A)$\EnE{} ��Ή�� ω�󉳉�  ������� ���� �� ������  \InE{}$M_{r}(A)$\EnE{}   ��� \InE{}$QM(A)$\EnE{} ��Ή�� ω�󉳉� ���� ������� \fnote {\InE{}anti-isomorphic\EnE{}} ����.                       }
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
\InE{}$(1)$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$m_{1},m_{2}\in QM(A)$\EnE{} � \InE{}$.(x,y)\in A\times A$\EnE{} �� ������ ����� \InE{}$\varphi_{d}$\EnE{}, ��ԉ� ����  \InE{}$(S_{1},T_{1}),(S_{2},T_{2})\in M_{d}(A)$\EnE{} 
����� ������ ��Ή����؉� \InE{}$$\phi_{d}(S_{1},T_{1})=m_{1},\hspace{.2cm}\phi_{d}(S_{2},T_{2})=m_{2}\vspace{-1cm}$$\EnE{} 
 ��㉀��  \InE{}$$xS_{1}(y)=m_{1}(x,y),\hspace{.2cm} xS_{2}(y)=m_{2}(x,y)$$\EnE{} ���ډ�� 
\begin{eqnarray*}
(m_{1} \odot m_{2})(x,y)&=&[\phi_{d}(S_{1}S_{2},T_{2}T_{1})](x,y)=x(S_{1}S_{2})(y)\\
&=&x[S_{1}(S_{2}(y))]=x[S_{1}(\lim_{\lambda}e_{\lambda} S_{2}(y))]\\
&=&m_{1}(x,\lim_{\lambda}e_{\lambda}S_{2}(y))=m_{1}(x,\lim_{\lambda}m_{2}(e_{\lambda},y))\\
\end{eqnarray*}
�������  \InE{}$||m_{1}\odot m_{2}||_{q}\leq ||m_{1}||_{q}||m_{2}||_{q}$\EnE{} � �� ������ \InE{}$(QM(A)),||.||_{q})$\EnE{} ��� �����  \InE{}$-F$\EnE{}���� ����.
��� �����ԉ��� �� ��̉��� \InE{}\ref{3.9}\EnE{}, \InE{}$M_{l}(A),M_{r}(A),M_{d}(A)$\EnE{}  ��܉��� � �� ������  \InE{}$(QM(A),||.||_{q})$\EnE{} ��� ����.\\ 
\InE{}$(2)$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$m\in QM(A)$\EnE{} � \InE{}$.a\in A$\EnE{}  ��� �����ԉ��� ��  \InE{}$(1)$\EnE{},  ������ ��� \InE{}$(x,y)\in A\times A$\EnE{} 
\begin{eqnarray*}
[m\odot \phi_{A}(a)](x,y)&=&m(x,\lim_{\lambda} \phi_{A}(a)(e_{\lambda},y))=m(x,\lim_{\lambda}e_{\lambda}ay)\\
&=&m(x,ay)=(m\circ a)(x,y)\\
\end{eqnarray*}
��Ή�� ��ȉ����  \InE{}$.[\phi_{A}(a)\odot m](x,y)=(a\circ m)(x,y)$\EnE{}\\
\InE{}$(3)$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$m\in QM(A)$\EnE{} � \InE{}$.a\in A$\EnE{}  �� ������ ����� \InE{}$\varphi_{d}$\EnE{},  \InE{}$(S,T)\in M_{d}(A)$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� \InE{}$.\phi_{d}(S,T)=m$\EnE{} 
��� ������ ��� \InE{}$(2)$\EnE{},
\begin{eqnarray*}
[m\odot \phi_{A}(a)](x,y)&=&(m\circ a)(x,y)=m(x,ay)=\phi_{d}(S,T)(x,ay)\\
&=&xS(ay)=xS(a)y=\phi_{A}(S(a))(x,y)\\
\end{eqnarray*}
� �� ������ \InE{}$.m\odot \phi_{A}(a)=\phi_{A}(S(a))\in \phi_{A}(A)$\EnE{} ��Ή��  ��ȉ����  \InE{}$\phi_{A}(a)\odot m=\phi_{A}(T(a))\in \phi_{A}(A)$\EnE{}\\
\InE{}$(4)$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$A$\EnE{} �������� ������ ����.  ��� �����ԉ��� �� ��̉��� \InE{}\ref{10}\EnE{},  ��� ��� �� ��ډ���� ���� \InE{}$\phi_{d},\phi_{l},\phi_{r},\phi_{A}$\EnE{} ��Ή�, ������  � ω�󉳉� ��Ɖ�����.\\
��­ ����   \InE{}$.(S_{1},T_{1}),(S_{2},T_{2})\in M_{d}(A)$\EnE{} ���ډ�� ��� �����ԉ��� �� �������� 
\InE{}$$\phi_{d}(S_{1},T_{1})\circ _{\phi_{d}} \phi_{d}(S_{2},T_{2})=\phi_{d}[(S_{1},T_{1})(S_{2},T_{2})]$$\EnE{} 
���� \InE{}$S_{1},S_{2}\in M_{l}(A)$\EnE{} ���ډ�� �� �������� \InE{}$$\phi_{l}(S_{1})\circ_{\phi_{l}}\phi_{l}(S_{2})=\phi_{l}(S_{1}S_{2})$$\EnE{}
���� \InE{}$T_{1},T_{2}\in M_{r}(A)$\EnE{} ���ډ�� �� �������� \InE{}$$\phi_{r}(T_{1})\circ _{\phi_{r}}\phi_{r}(T_{2})=\phi_{r}(T_{2}T_{1})$$\EnE{}
�� ������ \InE{}$\phi_{d}:M_{d}(A)\rightarrow QM(A)$\EnE{} � \InE{}$\phi_{l}:M_{l}(A)\rightarrow QM(A)$\EnE{} ���  ��މ��ꉃ�Ɖ�  � \InE{}$\phi_{r}:M_{r}(A)\rightarrow QM(A)$\EnE{} ��� ���� ��މ��ꉃ�Ɖ� ����. 
%*********************************************************************************************************************************************************************
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 
\newpage
\markright{\underline{ 5.4 ������󉁦� ���� ��� � ����� ��� ��� ��̉�� ����� ���ډ����   \InE{}\hspace*{4.5cm}\EnE{} }}
\section{ ������󉁦� ���� ��� � ����� ��� ��� ��̉�� ����� ���ډ����  }
�� ���� ����� ������󉁦� ���� ��� � ����� ��� �� ��� ��̉�� ����� ���ډ���� �������� ��¢� � ����� ������󉁦��؉� �� ��� �� �� ��Ή���㉂ ��� ��� ������. \\
�� ����� ���� �����  \InE{}$(A,q)$\EnE{}  ��� \InE{}$-k$\EnE{}����� �������� ������ � ������ ��� �� ��։������ ��މ���� �����މ�� ����. 
\begin {defn}
������ ��� \InE{}$m\in QM(A)$\EnE{} � \InE{}$a,b\in A$\EnE{}, ��ډ��������� \InE{}$$a\circ m,\hspace{.1cm}m\circ a,\hspace{.1cm}a\circ m\circ b:A\times A\rightarrow A$$\EnE{} �� ��� �����Ή� ����  �������� ��� ����:
\InE{}$$(a\circ m)(x,y)=m(xa,y),\hspace{.2cm}(m\circ a)(x,y)=m(x,ay)\vspace{-1cm}$$\EnE{}  \InE{}$$(a\circ m\circ b)(x,y)=m(xa,by),\hspace{.1cm}(x,y)\in A\times A$$\EnE{}
\end {defn}
\begin {lemm}
��­ ���� \InE{}$m\in QM(A)$\EnE{} � \InE{}$.a,b\in A$\EnE{} �� ���� �����  
\begin{enumerate}
\item {    \InE{}$.||a\circ m||_{q}\leq ||m||_{q}q(a),\hspace{.2cm}||m\circ a||_{q}\leq ||m||_{q}q(a)$\EnE{}          }
\item {           \InE{}$.||a\circ m\circ b||_{q}=q(m(a,b))\leq ||m||_{q}q(a)q(b)$\EnE{}     }
\end{enumerate}
\end {lemm}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} \InE{}$(1)$\EnE{} �� �������� 


\begin{eqnarray*}
||a\circ m||_{q}&=&\sup _{x\neq 0,y\neq 0} \frac{q[(a\circ m)(x,y)]}{q(x)q(y)}=\sup_{x\neq 0,y\neq 0}  \frac{q[xm(a,y)]}{q(x)q(y)}\\
&\leq & \sup_{x\neq 0,y\neq 0} \frac{q(x)q(m(a,y))}{q(x)q(y)}=\sup_{x\neq 0,y\neq 0} \frac{q(m(a,y))}{q(y)}\\
&=&\sup_{x\neq 0,y\neq 0} \frac{||m||_{q}q(a)q(y)}{q(y)}=||m||_{q}q(a)\\
\end{eqnarray*}
  ��Ή�� ��ȉ����  \InE{}$.||m\circ a||_{q}\leq ||m||_{q}q(a)$\EnE{}\\
\InE{}$(2)$\EnE{} ��� �����ԉ��� �� ��̉��� \InE{}\ref{10}\EnE{},  \InE{}$.q(m(a,b))=||a\circ m\circ b||_{q}$\EnE{} ��� 䉅�� ��� �����ԉ��� �� \InE{}$(1)$\EnE{},  \InE{}$$.||a\circ m\circ b||_{q}\leq ||a\circ m||_{q}q(b)\leq ||m||_{q}q(a)q(b)$$\EnE{}
\begin {defn}
\begin{enumerate}
\item { ������󉁦� ����� ���\fnote{\InE{}quasi-strict topology\EnE{}} \InE{}$\gamma$\EnE{} ��� \InE{}$QM(A)$\EnE{}, ������󉁦� ����  ������ ������ �� �� \InE{}$-k$\EnE{}����� ���������
  \InE{}$\{\xi_{a,b}(m):a,b\in A\}$\EnE{}  ���󉃉� ��� ����  ��Ή����؉�  \InE{}$$.\xi_{a,b}(m)=||a\circ m\circ b||_{q}=q(m(a,b)),\hspace{.2cm}m\in QM(A)$$\EnE{}}
\item {  ������󉁦� ���\fnote{\InE{}strict topology\EnE{}}  \InE{}$\beta$\EnE{}  ���  \InE{}$QM(A)$\EnE{}, ������󉁦� ����  ������ ������ �� �� \InE{}$-k$\EnE{}����� ��������� \InE{}$\{\eta_{a}(m):a\in A\}$\EnE{} ���󉃉� ��� ����
��Ή����؉� 
 \InE{}$$.\eta_{a}(m)=\max\{||a\circ m||_{q},||m\circ a||_{q}\},\hspace{.2cm}m\in QM(A)$$\EnE{}   }
\end{enumerate}
��މ������� ��­ ���� \InE{}$\tau$\EnE{} ������󉁦� ���󉃉� ���� ������ \InE{}$-k$\EnE{}���� \InE{}$||.||_{q}$\EnE{} ������.
\end {defn}
\begin {lemm}\InE{}\label{0}\EnE{}
��� \InE{}$QM(A)$\EnE{}, ������  \InE{}$.\gamma\subseteq \beta\subseteq \tau$\EnE{}
\end {lemm}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} 
������ ��ȉ�� ��� ������ \InE{}$:\gamma \subseteq \beta$\EnE{}  ��­ ���� \InE{}$m\in QM(A)$\EnE{} � \InE{}$.a,b\in A$\EnE{}  �� ���� ����� 
 \InE{}$$\xi_{a,b}(m)=||a\circ m\circ b||_{q}\leq ||a\circ m||_{q}q(b)\leq \eta_{a}(m)q(b)$$\EnE{}
��މ������� \InE{}$$\xi_{a,b}(m)=||a\circ m\circ b||_{q}\leq ||m\circ b||_{q}q(a)\leq \eta_{b}(m)q(a)$$\EnE{}
� �� ������ \InE{}$$.\xi_{a,b}(m)\leq \max\{\eta_{a}(m),\eta_{b}(m)\}q(a)q(b)$$\EnE{}
��­ ���� \InE{}$\{m_{\alpha}:\alpha\in J\}$\EnE{} ����� �� \InE{}$QM(A)$\EnE{} ������ ��Ή����؉� \InE{}$.m_{\alpha}\rightarrow^{\beta} m\in QM(A)$\EnE{} �� ���� �����  ������ 
��� \InE{}$a,b\in A$\EnE{}, ������  \InE{}$\eta_{a}(m_{\alpha}-m)\rightarrow 0$\EnE{} � \InE{}$.\eta_{b}(m_{\alpha}-m)\rightarrow 0$\EnE{}  ����������  \InE{}$$\xi_{a,b}(m_{\alpha}-m)\leq \max\{\eta_{a}(m_{\alpha}-m),\eta_{b}(m_{\alpha}-m)\}q(a)q(b)\rightarrow 0$$\EnE{}
��� \InE{}$m_{\alpha}\rightarrow ^{\gamma} m$\EnE{} � �� ������ \InE{}$.\gamma\subseteq \beta$\EnE{}\\
���� ��ȉ�� ��� ������ \InE{}$\beta\subseteq \tau$\EnE{} : ��­ ���� \InE{}$.a\in A$\EnE{} ������ ��� \InE{}$m\in QM(A)$\EnE{} �  \InE{}$x,y\in A$\EnE{}
\InE{}$$(a\circ m)(x,y)=m(xa,y)=xm(a,y)\vspace{-1cm}$$\EnE{}
\InE{}$$(m\circ a)(x,y)=m(x,ay)=m(x,a)y$$\EnE{}
��� �����ԉ��� �� ��� \InE{}\ref{0}\EnE{}, \InE{}$||a\circ m||_{q}\leq ||m||_{q}q(a)$\EnE{} � \InE{}$.||m\circ a||_{q}\leq ||m||_{q}q(a)$\EnE{}   �� ������ 
\InE{}$$\eta_{a}(m)=\max\{||a\circ m||_{q},||m\circ a||_{q}\}\leq ||m||_{q}q(a)$$\EnE{}
����������  ���� \InE{}$\{m_{\alpha}\}$\EnE{} ����� �� \InE{}$QM(A)$\EnE{} ������ ��Ή����؉� \InE{}$m_{\alpha}\rightarrow^{\tau} m\in QM(A)$\EnE{} ���ډ�� \InE{}$||m_{\alpha}-m||_{q}\rightarrow 0$\EnE{}
� ��� ������ ��� \InE{}$a,b\in A$\EnE{} \InE{}$$\eta_{a}(m_{\alpha}-m)\leq ||m_{\alpha}-m||_{q}q(a)\rightarrow 0$$\EnE{} � ����  ��㉀�� 
\InE{}$.m_{\alpha}\rightarrow^{\beta} m$\EnE{} �� ������ \InE{}$.\beta\subseteq \tau$\EnE{}\\
\begin {theo}
\begin{enumerate}
\item{ \InE{}$\phi_{A}(A)$\EnE{} �� \InE{}$QM(A)$\EnE{}, ��� ������󉁦� \InE{}$\beta$\EnE{}   ��ډ�� ����. }
 \item{  \InE{}$\phi_{A}(A)$\EnE{} �� \InE{}$QM(A)$\EnE{}, ��� ������󉁦� \InE{}$\gamma$\EnE{}  ��ډ�� ����.     }
\end {enumerate}
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
\InE{}$(1)$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$.m\in QM(A)$\EnE{} ������� \InE{}$.\{m(e_{\lambda},e_{\lambda})\}_{\lambda\in I}\subseteq A$\EnE{}  ��䉑 ��� ���� \InE{}$.\phi_{A}(m(e_{\lambda},e_{\lambda}))\rightarrow ^{\beta}m$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$.a\in A$\EnE{} ꉃ�Ɖ� 
��ȉ�� ������  \InE{}$$.\eta_{a}[\phi_{A}(m(e_{\lambda},e_{\lambda}))-m]\rightarrow 0$$\EnE{} 
%������  \InE{}$$\lim_{\lambda}q(ae_{\lambda}-a)=0=\lim_{\lambda}q(e_{\lambda}a-a)$$\EnE{}
��� �����ԉ��� �� �������� ���������ډ� ���\hamze ��   \InE{}$m$\EnE{}, ������ ��� \InE{}$x,y\in A$\EnE{} ��������� ����� 
\InE{}$$q[\{a\circ \phi_{A}(e_{\lambda}\circ m\circ e_{\lambda})-a\circ m\}(x,y)]\vspace{-1cm}$$\EnE{}
\InE{}$$\hspace{3.5cm}=q[(\phi_{A}(m(e_{\lambda},e_{\lambda}))-m)(xa,y)]=q[xam(e_{\lambda},e_{\lambda})y-m(xa,y)]\vspace{-1cm}$$\EnE{}
\InE{}$$\hspace{3.4cm}=q[m(xae_{\lambda},e_{\lambda}y)-m(xa,y)]\rightarrow q[m(xa,y)-m(xa,y)]=0$$\EnE{}
��� \InE{}$.||a\circ \phi_{A}(e_{\lambda}\circ m\circ e_{\lambda})-a\circ m||_{q}\rightarrow 0$\EnE{}
��Ή��  ��ȉ����  \InE{}$|| \phi_{A}(e_{\lambda}\circ m\circ e_{\lambda})\circ a-m\circ a ||_{q}\rightarrow 0$\EnE{}
� ���������� \InE{}$$.\eta_{a}[\phi_{A}(m(e_{\lambda},e_{\lambda}))-m]\rightarrow 0$$\EnE{}
�� ������  \InE{}$\phi_{A}(A)$\EnE{} �� \InE{}$QM(A)$\EnE{}  ��� ������󉁦� \InE{}$\beta$\EnE{} ��ډ�� ����.\\
\InE{}$(2)$\EnE{}  �� �����؉� \InE{}$\gamma\subseteq \beta$\EnE{}, \InE{}$\phi_{A}(A)$\EnE{} �� \InE{}$QM(A)$\EnE{} ��� ������󉁦� \InE{}$\gamma$\EnE{} �� ��ډ�� ����.  
\begin {theo}
\begin{enumerate}
\item { \InE{}$(QM(A),\gamma)$\EnE{} � \InE{}$(QM(A),\beta)$\EnE{}  ��Ή�� ������ �� ��܉���. }
\item {  ���� \InE{}$(A,q)$\EnE{} 쉁��\nasb � �������� ������ ������ ���ډ��  \InE{}$(QM(A),\gamma)$\EnE{} � \InE{}$(QM(A),\beta)$\EnE{}  ��܉���.                           }
\end{enumerate}
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :}
��­ ���� \InE{}$\{m_{i}:i\in N\}$\EnE{}��� ���� \InE{}$-\gamma$\EnE{}��� �� \InE{}$QM(A)$\EnE{} ������. ��� �����ԉ��� ��  ��̉��� \InE{}\ref{10}\EnE{} ��Ɖމ� \InE{}$(2)$\EnE{}, ������ ��� \InE{}$x,y\in A$\EnE{} 

\begin{eqnarray*}
q[m_{i}(x,y)-m_{j}(x,y)]&=&q[(m_{i}-m_{j})(x,y)]\\
&=&||x\circ (m_{i}-m_{j})\circ y||_{q}=\xi_{x,y}(m_{i}-m_{j})\\
\end{eqnarray*}
�� ������ ������ \InE{}$\{m_{i}(x,y)\}$\EnE{} �� \InE{}$A$\EnE{} ��� ����. ��ډ���� \InE{}$m:A\times A\rightarrow A$\EnE{}  �� ��� �����Ή� \InE{}$m(x,y)=\lim_{i}m_{i}(x,y)$\EnE{} �������� ��� ����. ������� \InE{}$m$\EnE{}  
����Ή� � ��� ������ ��� ��̉��� \InE{}\ref{3}\EnE{} ��Ɖމ� \InE{}$(2)$\EnE{}, ���������� ���\hamze ��  ����. ��㉅�� ������ ��� \InE{}$a,b,x,y\in A$\EnE{}  \InE{}$$m(ax,yb)=\lim_{i}m_{i}(ax,yb)=a[\lim_{i}m_{i}(x,y)]b=am(x,y)b$$\EnE{}
�� ������ \InE{}$.m\in QM(A)$\EnE{} ��މ������� ������ ��� \InE{}$a,b\in A$\EnE{} \InE{}$$\xi_{a,b}(m_{i}-m)=||a\circ m_{i}\circ b-a\circ m\circ b||_{q}=q[(m_{i}-m)(a,b)]\rightarrow 0$$\EnE{}
���������� \InE{}$m_{i}\rightarrow^{\gamma} m$\EnE{} � �� ������ \InE{}$(QM(A),\gamma)$\EnE{} ��Ή�� ������ �� ��� ����.\\
���� ��ȉ��  ��� ������ \InE{}$(QM(A),\beta)$\EnE{} ��Ή�� ������ �� ��� ����. ��­ ���� \InE{}$.m\in QM(A)$\EnE{}  �� ���� �����  ������ ��� \InE{}$c\in A$\EnE{}, ��ډ��������� 
\InE{}$S_{c},T_{c}:A\rightarrow A$\EnE{} ��� �����Ή� 
\InE{}$$S_{c}(x)=m(c,x),\hspace{.2cm}T_{c}(x)=m(x,c),\hspace{.1cm}x\in A$$\EnE{} ��ډ����������� �� \InE{}$M_{l}(A),M_{r}(A)$\EnE{} �������� ��� ����.
 ��㉅�� \InE{}$$.\phi_{l}(S_{c})=c\circ m, \hspace{.2cm}\phi_{r}(T_{c})=m\circ c$$\EnE{}  
��­ ���� \InE{}$c\in A$\EnE{} � \InE{}$\{m_{i}:i\in N\}$\EnE{} ��� ������ \InE{}$-\beta$\EnE{}���  �� \InE{}$QM(A)$\EnE{}  ������. �� �������� \InE{}$-\beta$\EnE{}������󉁦�,
 ������ ����  \InE{}$\{\phi_{l}(S_{c})_{i}\}$\EnE{}  � \InE{}$\{\phi_{r}(T_{c})_{i}\}$\EnE{} ������ ���� \InE{}$-\tau$\EnE{}��� �� \InE{}$QM(A)$\EnE{} ��Ɖ�����  �� ��  \InE{}$$.(T_{c})_{i}(x)=m_{i}(x,c),\hspace{.2cm}(S_{c})_{i}(x)=m_{i}(c,x)$$\EnE{}   ���� ��ډ���� ����  \InE{}$\phi_{l},\phi_{r}$\EnE{} 
 ω�󉳉� ��Ɖ����� , ������ ��� ����  
������ ���� \InE{}$\{(S_{c})_{i}\}$\EnE{} � \InE{}$\{(T_{c})_{i}\}$\EnE{}, \InE{}$-||.||_{q}$\EnE{}��� �� \InE{}$M_{l}(A)$\EnE{} � \InE{}$M_{r}(A)$\EnE{} ��Ɖ�����. ���� ��� �����ԉ��� �� ��̉��� \InE{}\ref{3.9}\EnE{}, \InE{}$M_{l}(A)$\EnE{}  � \InE{}$M_{r}(A)$\EnE{} ��� ��Ɖ����� ��� 
\InE{}$S^{(c)}$\EnE{} �� \InE{}$M_{l}(A)$\EnE{} � \InE{}$T^{(c)}$\EnE{} �� \InE{}$M_{r}(A)$\EnE{} ������� ��Ή����؉�\InE{}$$||(S_{c})_{i}-S^{(c)}||_{q}\rightarrow 0, \hspace{.2cm} ||(T_{c})_{i}-T^{(c)}||_{q}\rightarrow 0\hspace{1cm}(*)$$\EnE{}

�� �����؉� \InE{}$\gamma\subseteq \beta$\EnE{}, ���� \InE{}$\{m_{i}\}$\EnE{}, �� ������󉁦�  \InE{}$\gamma$\EnE{} ��� ����. �� \InE{}$(1)$\EnE{} ��ȉ�� ������  \InE{}$QM(A)$\EnE{} �� ������󉁦�  \InE{}$\gamma$\EnE{} ���  ����.  �� ������ \InE{}$m_{0}\in QM(A)$\EnE{}  ����� ���� 
��Ή����؉� \InE{}$$\lim_{i}m_{i}(x,y)=m_{0}(x,y)$$\EnE{}
��� ������ ��� \InE{}$a,b\in A$\EnE{}
\InE{}$$[\phi_{l}(S^{(c)})](a,b)=\lim_{i}[\phi_{l}(S^{(c)})_{i}](a,b)=\lim_{i}am_{i}(c,b)=(c\circ m_{0})(a,b)$$\EnE{}
 � �� ������  \InE{}$.\phi_{l}(S^{(c)})=c\circ m_{0}$\EnE{}
��Ή�� ��ȉ����  ������ ��� ����  \InE{}$.\phi_{r}(T^{(c)})=m_{0}\circ c$\EnE{}\\
��� �����ԉ��� �� ����Ή� \InE{}$(*)$\EnE{}
\InE{}$$||c\circ m_{i}-c\circ m_{0}||_{q}=||\phi_{l}(S^{(c)})_{i}-\phi_{l}(S^{(c)})||_{q}\leq ||(S^{(c)})_{i}-S^{(c)}||_{q}\rightarrow 0$$\EnE{}
�
\InE{}$$.|| m_{i}\circ c-m_{0}\circ c||_{q}=||\phi_{r}(T^{(c)})_{i}-\phi_{r}(T^{(c)})||_{q}\leq ||(T^{(c)})_{i}-T^{(c)}||_{q}\rightarrow 0$$\EnE{}
���  \InE{}$m_{i}\rightarrow^{\beta} m_{0}$\EnE{} � �� ������ \InE{}$QM(A)$\EnE{},  \InE{}$-\beta$\EnE{}��� ����.\\ 
\InE{}$(2)$\EnE{} ��­ ���� \InE{}$\{m_{\alpha}:\alpha\in J\}$\EnE{} ��� ���� \InE{}$-\gamma$\EnE{}��� �� \InE{}$QM(A)$\EnE{} ������.  ��� �����ډ������  ������ \InE{}$\{m_{i}:i\in N\}$\EnE{}
 ��� ���� \InE{}$\{m_{\alpha}:\alpha\in J\}$\EnE{}  �� ��Ɖމ� \InE{}$(1)$\EnE{},  ��ډ���� \InE{}$m:A\times A\rightarrow A$\EnE{} ��� �����Ή� \InE{}$$m(x,y)=\lim _{\alpha}m_{\alpha}(x,y)$$\EnE{}  ��Ή� ����.  ��㉅�� ������ ��� \InE{}$a,b,x,y\in A$\EnE{}
\InE{}$$.m(ax,yb)=\lim_{\alpha}m_{\alpha}(ax,yb)=a[\lim_{\alpha} m_{\alpha}(x,y)]b=am(x,y)b$$\EnE{}
����  �� �����؉� \InE{}$A$\EnE{} 쉁��\nasb � �������� ������ ���� ��� �����ԉ��� �� ��̉��� \InE{}\ref{k}\EnE{} ��Ɖމ� \InE{}$(3)$\EnE{},  \InE{}$m$\EnE{} ���������� ���\hamze ��   � �� ������ \InE{}$.m\in QM(A)$\EnE{}\\
��� ��������� ��ȉ���� �� \InE{}$(1)$\EnE{}, \InE{}$m_{\alpha}\rightarrow^{\gamma} m$\EnE{} � �� ������ \InE{}$(QM(A),\gamma)$\EnE{} ��� ����. 
\begin {theo}
\begin{enumerate}
\item {\InE{}$(QM(A),\gamma)$\EnE{} � \InE{}$(QM(A),\tau)$\EnE{} �މ�䉂 ���� ������ ��؉Ɖ���� ������.}
\item {\InE{}$(QM(A),\gamma),(QM(A),\beta)$\EnE{} � \InE{}$(QM(A),\tau)$\EnE{} �މ�䉂 ���� ������ ��؉Ɖ���� ������.}
\end{enumerate}
\end {theo}
\par \noindent {\siah \Large ������� :} \InE{}$(1)$\EnE{} �� �����؉� \InE{}$\gamma\subseteq \tau$\EnE{}, ��� �މ�䉂 \InE{}$-\tau$\EnE{}������ \InE{}$-\gamma$\EnE{}������ ����. ��� �����؉�,  ��­ ���� \InE{}$H$\EnE{} ��� �މ�䉂 \InE{}$-\gamma$\EnE{}������ �� \InE{}$QM(A)$\EnE{} ������. ���ډ�� ������ 
��� \InE{}$a,b\in A$\EnE{}, ���  ������ \InE{}$r=r(a,b)>0$\EnE{}  ����� ����  ��Ή����؉�  ������  ��� \InE{}$m\in H$\EnE{},  \InE{}$$||a\circ m\circ b||_{q}\leq r$$\EnE{} � ��� ��� �����ԉ��� �� ��̉��� \InE{}\ref{10}\EnE{} ��Ɖމ� \InE{}$(2)$\EnE{},
\InE{}$$q[m(a,b)]\leq r\hspace{4cm}(1)$$\EnE{}
������ ��� \InE{}$a\in A$\EnE{} � \InE{}$m\in H$\EnE{}, ��ډ���� \InE{}$M_{a}:A\rightarrow A$\EnE{} �� ��� �����Ή� ����  �������� ��� ����  \InE{}$$.M_{a}(x)=m(a,x),\hspace{.2cm}x\in A$$\EnE{}  
��� ������  \InE{}$.\cal{F}$$=\{M_{a}:m\in H\}\subseteq CL(A)$\EnE{} ��� �����ԉ��� �� \InE{}$(1)$\EnE{}, ������ ��� \InE{}$x\in A$\EnE{} � \InE{}$m\in H$\EnE{}
\InE{}$$q[M_{a}(x)]=q[m(a,x)]\leq r(a,x)$$\EnE{}
� �� ������   \InE{}$\cal{F}$\EnE{}   ��։Ή� ��� ��։Ή� ������ ����. �� ��̉��� \InE{}\ref{2}\EnE{},  \InE{}$c=c(a)>0$\EnE{}  ����� ���� ��Ή����؉�\InE{}$$||M_{a}||_{q}\leq c\hspace{4cm}(2)$$\EnE{}
��­ ���� \InE{}$P=\{p_{m}:m\in H\}$\EnE{}  ������ �� ��  \InE{}$-k$\EnE{}����� ���������  \InE{}$p_{m}$\EnE{} ��� \InE{}$A$\EnE{} ������ ��Ή���  
  \InE{}$$.p_{m}(a)=||M_{a}||_{q}=\sup_{b\neq 0}\frac {q[M_{a}(b)]}{q(b)}=\sup _{b\neq 0}\frac{q[m(a,b)]}{q(b)},\hspace{.5cm}a\in A$$\EnE{}
�� ������  ��ȉ�� ��� ������ ������ ��� \InE{}$m\in H$\EnE{}, \InE{}$p_{m}$\EnE{}  ��� \InE{}$A$\EnE{} ���������� ����. ��­ ���� \InE{}$\{a_{n}\}\subseteq A$\EnE{}  �  \InE{}$.a_{n}\rightarrow a_{0}\in A$\EnE{}  ���ډ�� 

\begin{eqnarray*}
|p_{m}(a_{n})-p_{m}(a_{0})|&\leq & p_{m}(a_{n}-a_{0})=\sup _{b\neq 0} \frac{q[M_{a_{n}-a_{0}}(b)]}{q(b)}\\
&=&\sup_{b\neq 0}\frac{q[m(a_{n}-a_{0},b)]}{q(b)}\leq \sup_{b\neq 0}\frac{||m||_{q}q(a_{n}-a_{0})q(b)}{q(b)}\\
&=&||m||_{q}q(a_{n}-a_{0})\rightarrow 0\\
\end{eqnarray*}
� �� ������ \InE{}$p_{m}$\EnE{} ���������� ����. ���� ��  ����Ή� \InE{}$(2)$\EnE{},  ������ \InE{}$P$\EnE{}  ��։Ή� ��� ��։Ή� ������ ����. ��� �����ԉ���  �� ��̉��� \InE{}\ref{1}\EnE{}, ��� ������ \InE{}$C>0$\EnE{} �
 \InE{}$ball B=B(x_{0},r)=\{x\in A:q(x-x_{0})\leq r\}$\EnE{} ����� ���� ��Ή����؉� ������ ��� \InE{}$m\in H$\EnE{} � \InE{}$x\in B(x_{0},r)$\EnE{} \InE{}$$p_{m}(x)\leq C\hspace{4cm}(3)$$\EnE{}
��­ ���� \InE{}$.a\in A$\EnE{}  ��䉑 ��� ����  \InE{}$$p_{m}(a)\leq \frac{2C.q(a)}{r}\hspace{3cm}(4)$$\EnE{}
���� \InE{}$a=0$\EnE{}  �����Ɖ��� ������� ������ ����.  ��­ ���� \InE{}$.a\neq 0$\EnE{}  ��� ������� ��� ��� ������ \InE{}$t=(\frac{r}{q(a)})^{\frac{1}{k}}$\EnE{}
����  \InE{}$q$\EnE{}, \InE{}$-k$\EnE{}��މډ� ���� � \InE{}$ta+x_{0},x_{0}\in B(x_{0},r)$\EnE{} ������  \InE{}$$q(ta+x_{0}-x_{0})=q(ta)=t^{k}.q(a)\leq \frac{r}{q(a)}q(a)=r,\vspace{-1cm}$$\EnE{}
\InE{}$$q(x_{0}-x_{0})=q(0)=0<r$$\EnE{}
��� �����ԉ��� �� \InE{}$(3)$\EnE{} \InE{}$$.p_{m}(ta+x_{0})\leq C,\hspace{1cm}p_{m}(x_{0})\leq C\hspace{4cm}(5)$$\EnE{}
��� �����ԉ��� �� \InE{}$(5)$\EnE{} � �������� \InE{}$-k$\EnE{}���� \InE{}$q$\EnE{}, ��������� ����� 
\begin{eqnarray*}
p_{m}(a)&=&p_{m}(\frac{1}{t}ta)=(\frac{1}{t})^{k}p_{m}(ta)\leq \frac{q(a)}{r}p_{m}[ta+x_{0}-x_{0}]\\
&\leq & \frac{q(a)}{r}[p_{m}(ta+x_{0})+p_{m}(x_{0})]\\
&\leq & \frac{q(a)}{r}[C+C]=\frac{2C.q(a)}{r}\\
\end{eqnarray*}
� ��䉑 ������� ���.  ����  ��� �����ԉ��� �� \InE{}$(4)$\EnE{}, ������ ��� \InE{}$m\in H$\EnE{}

\begin{eqnarray*}
||m||_{q}&=&\sup_{a,b\neq 0}\frac{q[m(a,b)]}{q(a)q(b)}=\sup_{a,b\neq 0} \frac {1}{q(a)}\sup_{a,b\neq 0}\frac{q[m(a,b)]}{q(b)}\\
&=&\sup_{a\neq 0} \frac{1}{q(a)}p_{m}(a)\leq \sup_{a\neq 0}\frac {1}{q(a)}.\frac{2C.q(a)}{r}\leq \frac{2C}{r}\\
\end{eqnarray*}
� �� ������ \InE{}$H$\EnE{}, \InE{}$-\tau$\EnE{}������ ����.\\
\InE{}$(2)$\EnE{} ��� �����ԉ��� ��  \InE{}$(1)$\EnE{} � ����Ή� \InE{}$\gamma\subseteq \beta\subseteq \tau$\EnE{}, ��؉� ������ ����. 
%********************************************************************************************************************************************************************
%****************************************************************************************************************************************************************
%************************************************************************************************************************************************************
% ��ʉ� 2 : ***************************************************************************************************************
%**********************************************************************************************************************
%**************************************************************************************************************************\\

\appendix%\InF{} %�������� ��� \EnF{}
\begin{thebibliography}{05}
\vspace{-1cm}
\markright{\underline{�����      \InE{}\hspace*{14cm}\EnE{} }} 
\english
 
%\bibitem{}
\bibitem {AI} P. Aiena, B. K. Laursen, {\em Multipliers with closed range on regular commutative Banach algebras},
Proc. Amer. Math. Soc, 121 (1994) 1039-1408.
% S. K. Berberian, {\em Baer $*-$Rings}, Springer: Berlin, 1972.
\bibitem{AP}  C. A. Akemann and G. K. Pedersen, {\em Complications of semicontinuity in $C^{*}-$ algebra theory}, Duke Math. J, 40 (1973)  785-795.
%\item [{[1]}] C. A. Akemann and G.K.Pedersen ,{\it 
\bibitem{AR} R. E. Arens,  {\em The adjoint of a bilinear operation}, Amer. Math. Soc, 2 (1951)  839-848.
\bibitem{AR} Z. Argun and K. Rowlands, {\em On quasi-multipliers}, Studia Math, 108 (1994)  217-245.

\bibitem {BA} V. A. Babalola, {\em Endomorphic elements in Banach algebras}, 
Nigerian. J. Sci, (2004).
\bibitem{RB} A. Bagheri salec and A. Riazi, {\em Weighted multipliers on Banach algebras}, 17th Seminar of analysis, Yazd university, Yazd, (2002). 
\bibitem {BI}
 F. T. Birtal, {\em Isomorphism and isometric multipliers}, Proc. Amer. Math. Soc, 13 (1962) 204-210. 

\bibitem {BD}F. F. Bonsall and Duncan, {\em Complete normed algebras}, Berlin, Hieidelberg, New york: Springer-Verlage, (1973).

\bibitem {BU} T. R. C. Busby, {\em Double centralizers and extension of  $C^{*}-$algebras },
 Trans. Amer. Math. Soc, 132 (1968) 79-99.

\bibitem {CY} Civin and B. Yood,{\em The second conjugate space of a Banach algebra  as an algebra}, Pacific J. Math. 11 (1961) 847-870.
%
\bibitem{} M. A. Chaudhry and M. S. Samman, {\em Generalized inverses of centralizers of semiprime rings}, Aequationes Math, 71 (2006) 246-252.
\bibitem {CO} J. B. Conwey, {\em A Cours in Functional Analysis}, Springer-Verlag, New York., (1990).  
\bibitem {DA}  H. G. Dales, {\em Banach algebras and automatic continuity}, London Math. Soc. Monographs, Clarendon press, (2000).

\bibitem {D} B. Deardan, {\em Quasi-multipliers of Pederson's ideal}, Rocky Mountain J. Math, 22 (1992) 157-163.
\bibitem {DS} N. Dunford and J. T. Schwarts, {\em Linear operators, I, Interscience publisher }, (1958).
\bibitem {ED}R. E. Edwards, {\em Functional Analysis}, Theory and application, Holt, Rinehart and Winston, 1965.

\bibitem {GA} G. I. Gaudry, {\em Topics in harmonic analysis. Lecture notes} Department of Mathematics, Yale unoversity, New Haven, Ct, (1969)  
\bibitem {} R. A. Fontenot, {\em The double centralizer algebra as a linear space}, Proc. Amer. Math. Soc, 53 (1975)  99-103
\bibitem{G} M. Grosser, {\em Quasi-multipliers of the algebra of approximable operators and its duals}, Studia Math. 124 (1997) 291-300.

\bibitem {}  F. Ghahramani, A. T. M. Lau, {\em Multipliers and ideals in second conjugate algebras related to locally compact
 groups}, J. Funct. Anal, 132 (1995) 170-191.
\bibitem{} H. G. Heuser, {\em Functional analysis}, John Wiley and Sons, Ltd, Chichester, (1982).
\bibitem {}  S. Helgason, {\em  Multipliers of Banach algebras}, Ann. of Math, (1956) 240-254.
%
\bibitem {HR} E. Hewitt and  K. A. Ross , {\em Abstract Harmonic Analysis I }, Springer$-$Verlag, (1963).
%\bibitem {}    B. Host, F. Parreau, Sur un probleme de I. Glisksberg, {\it Les ideaux  fermes de type fini de M(G)}, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 28 (1978) 143-164.


\bibitem {} T. Husain, {\em Multipliers of topological algebras}, Dissertationes Math, 285 (1989) 1-36.
\bibitem {JO}  B. E. Johnson, {\em An introduction to the theory of centralizers}, Proc. London Math Soc, 14 (1964) 299-320.
\bibitem{J} B. E. Johnson, {\em Cohomology in Banach algebra}, Amer. Math. Soc, 127, (1972).
\bibitem {KR}M. S. Kassem and K. Rowlands, {\em The quasi-strict topology on the space of quasi-multipliers of a $B^{*}-$algebra}, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 101 (1987)  555-566.

\bibitem {Ka}M. Kaneda, {\em Quasi-multipliers and algebrizations of an operator space}, J. Funct. Anal. 251 (2007)  346-359.

\bibitem {KP}M. Kaneda and V. I. Paulsen , {\em Quasi-multipliers of operator space}s, J. Funct. Anal. 217 (2004)  347-365.

\bibitem {K} L. A. Khan, {\em Topoogical modules of continuous homomorphisms}, J. Math. Anal. Appl,  (2008) 141-150.

\bibitem{}  L. A. Khan, {\em The Strict topology on topological modules}, Contemp. Math. Amer. Math. Soc, 435 (2007). 

\bibitem{KMT}   L. A. Khan and N. Mohammad and A. B. Thaheem, {\em Double multipliers on topological algebras}, Internat. J. Math \& Math. Sci
 , 22 (1999) 629-636.
\bibitem{KO} G. Kothe, {\em Topological Vector Space I}, New York-Heidelberg-Berlin: Springer, (1969).

\bibitem {}R. Larsen  , {\em An introduction to theory of multipliers }, New York, Springer-Verlag, (1970).

\bibitem {LM} K. B. Laursen and M. Mbekhta,  {\em Closed range multipliers and generalized inverse }, Studia Math, (1993) 127-135. 

\bibitem{L}H. Lin, {\em The structure of quasi-multipliers of $C^{*}-$algebras}, Trans. Amer. Math. Soc. 315  (1987) 147-172.

\bibitem {M} M. Mckennon, {\em Quasi-multipliers}, Trans. Amer. Math. Soc. 233 (1977) 105-123.

\bibitem{MA} A. Mallios, {\em Topological algebras-selected topics}, North-Holland Math. Stud, 124 (1986).
\bibitem {} L. Molnar, {\em On centralizers of $H^{*}-$algebra}, Publ. Math. Debrecen, 46 (1995) 89-95.

\bibitem {} M. A. Rieffel, {\em Multipliers and tensor product on $L_{p}-$spaces of locally compact groups}, Studia Math,  33, (1969) 71-82.
%
\bibitem {} M. A. Rieffel, {\em On the continuity of certain interwing operators, centralizera and positive linear functionals}, Proc.
 Amer. Math. Soc, 20, (1969). 
\bibitem {} M. A. Rieffel, {\em Induced Banach representations of Banach algebras and locally compact groups}, J. Funct. Anal, 1 (1967) 443-491.
\bibitem{RO} S. Rolewicz, {\em Metric Linear Spaces} (D. Reidel Publishing Company, (1985).
\bibitem {} W. Rudin, {\em Fourier analysis on groups }, New York, N. Y: Interscience Publishers, Inc, (1962).
\bibitem{RU} A. Runde, {\em Lectures on Amenability} , Berlin, New york, Springer-Verlag, (2002).
\bibitem {} F. D. Sentilles and D. C. Taylor, {\em Factorization in Banach algebras and the general strict topology}, Trans. Amer. Math. Soc, 142 (1969) 141-152.


 %
\bibitem {} K. V. Shantha, {\em The general strict topology in locally convex modules over locally convex algebras }, Ital. J. Pure Appl.
 Math, 16 (2004) 211-226. 
\bibitem{SW} C. Swartz, {\em continuity and hypocontinuity for bilinear maps}, Math. Z, 186 (1984) 321-329.
\bibitem {} D. C. Taylor, {\em The strict topology for double centralizer algebras}, Trans. Amer. Math. Soc, 150 (1970)  633-643.

\bibitem {}  B. J. Tomiuk, {\em Arens regularity and the algebra of double multipliers}, Proc. Amer. Math. Soc, 81 (1981) 293-298. 
\bibitem {UL} A. Ulger, {\em Arens regularity some times implies the RNP}, Pacific. J. Math 143 (1990)  377-399.
\bibitem {U} A. Ulger , {\em A characterization of the closed unital ideals of the Fourier-Stieltjes algebra B(G) of a locally 
compact amenable group }.,G. J. Funct. Anal, 205, (2003)  90-106.
%
\bibitem {ULW} A. Ulger, {\em When is the range of a multiplier on a algebra closed? },  Math. Z, (2006) 715-728.

\bibitem {VG}R. Vasudevan and S. Goel, {\em Embedding of quasi-multipliers of a Banach algebra into its second dual}, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc . 95 (1984) 457-466.
\bibitem {} J. Vukman, {\em A identity related to centralizers in semiprime rings}, Comment. Math. Univ. Carolinae, 40 (1999)   447-456. 

\bibitem {WA}S. Watanabe, {\em A Banach algebra which is an deal in the second dual space}, Sci. Rep. Niigata Univ. Ser. A 11 (1974)  95-101.
\bibitem {}  J. K. Wang, {\em Multipliers of commutative Banach algebras},  Pacific J. Math, (1961) 1131-1149.

\bibitem {}  P. Wang, {\em Arens product and the algebra of double multipliers }, Proc. Amer. Math. Soc, 94 (1985).

\bibitem {WE}  J. G. Wendel, {\em Left centralizers and isomorphisms of group algebras}, Pacific J. Math, (1952) 251-261.

\bibitem {YR}R. Yilmaz and K. Rowlands, {\em On orthomorphisms, quasi-orthomorphisms and quasi-multiplier}s, J. Math. Anal. Appl. 313 (2006)  120-131. 

\bibitem {YO} N. Young, {\em  The irregularity of multiplication in group algebras}, Quart. J. Math. Oxford 24 (1973) 59-62.

\bibitem {} B. Zalar, {\em On centralizers of semiprime rings}, Comment. Math. Univ. Carolinae, 32 (1991)  609-614.

% \end{enumerate}






\end{thebibliography}
\farsi
\newpage
\english
\pagestyle{plain}
\addcontentsline{toc}{section}{\InF{}󉃉Ɖ� ��މ�����\EnF{}}
\farsi
\markright{���� ������ }

\vspace*{1.4cm}
\centerline{{\siah\Huge ���� ������ }}

\vspace*{1.4cm}
%*************************************************************************************************************************
\InE{}$\hspace{-.7cm}$\EnE{} ������ ���� \dotfill \InE{}Haar measure \EnE{}\\
��Ή�� ��\hamze ���ԉ��� ����������      \dotfill \InE{}Separately continuous\EnE{}\\
���� ��މ��ꉃ�Ɖ� \dotfill \InE{}Anti homorphism \EnE{}\\
������\nasb � ����������   \dotfill \InE{}Jointly continuous  \EnE{}\\
������󉁦� ���  }{\dotfill \InE{}Strict topology \EnE{}\\
������󉁦� ����� ���   \dotfill \InE{}Quasi-strict topology\EnE{}\\
������󉁦� ��؉�������   \dotfill \InE{}Uniform topology \EnE{}\\
������󉁦� 쉁�  \dotfill \InE{}Strong topology \EnE{}\\
����� ������   \dotfill \InE{}Nice algebra\EnE{}\\
����� ��Ɖ���� ������   \dotfill \InE{}Very nice algebra \EnE{}\\
����� ������󉁦���-�����    \dotfill \InE{}Topological algebra-module  \EnE{}\\
���������   \dotfill \InE{}Idempotent  \EnE{}\\
����܉�  \dotfill \InE{}Inner \EnE{}\\
������ �\tashdid ��  \dotfill \InE{}Second dual\EnE{}\\
����� �\tashdid ��  \dotfill \InE{}Semi prime  \EnE{}\\
����� �����  \dotfill \InE{}Semi simple \EnE{}\\
����� ���ډ�  \dotfill \InE{}Quasi-multiplier\EnE{}\\
���ډ�  \dotfill \InE{}Multiplier \EnE{}\\
���ډ� ��������    \dotfill \InE{}Double multiplier  \EnE{}\\
ω��� ��ډ���� \dotfill \InE{}Spectrum preserving   \EnE{}\\
�� ��։������ ��މ����  \dotfill \InE{}Ultra approximate identity  \EnE{}\\
\InE{}$-F$\EnE{}��̉� \dotfill \InE{}F-space\EnE{}\\
\InE{}$-F$\EnE{}�����  \dotfill \InE{}F-algebra\EnE{}\\
\InE{}$-F$\EnE{}����� ����   \dotfill \InE{}F-seminorm\EnE{}\\
\InE{}$-k$\EnE{}����� \dotfill \InE{}k-algebra\EnE{}\\
��̉�� \InE{}$-F$\EnE{}����  \dotfill \InE{}F-normed space\EnE{}\\
쉁��\nasb � �������� ������   \dotfill \InE{}Strongly factorable\EnE{}\\
��̉��� �������� ���    \dotfill \InE{}Cohen factorization Theorem\EnE{}\\
��̉��� ������� ��؉�������    \dotfill \InE{}Uniform boundedness principle\EnE{}\\
����� ��ω�ꉂ   \dotfill \InE{}Bimodule  \EnE{}\\
����� ��މ��ꉃ�Ɖ� \dotfill \InE{}Module homomorphism  \EnE{}\\
��ȉ��ʉ�  \dotfill \InE{}Character \EnE{}\\
��ȉ���   \dotfill \InE{}Derivation \EnE{}\\
�щ� �����  \dotfill \InE{}Arens regular \EnE{}\\
�щ� ����� ��㉃��   \dotfill \InE{}Weak Arens regular  \EnE{}\\
����ډ��� ������ \dotfill \InE{}Amenable \EnE{}\\
�։���  \dotfill \InE{}Symmetric\EnE{}\\
����\nasb � ������   \dotfill \InE{}Locally bounded \EnE{}\\
��ډ���� ������    \dotfill \InE{}Natural embedding \EnE{}\\
�ꉑ���  \dotfill \InE{}Faithful \EnE{}\\
��މ���� ���܉�  \dotfill \InE{}Mixed identity  \EnE{}\\
��މ����������  \dotfill \InE{}Equicontinuous  \EnE{}\\
������� ���������� \dotfill \InE{}Hypocontinuous  \EnE{}\\
��މډ�  \dotfill \InE{}Homogeneous \EnE{}\\
\english
\pagestyle{headings}
\newpage
\addcontentsline{toc}{section}{\InF{}����¨�� ���ԉ������\EnF{}}
%\setcounter{page}{107}
\farsi
\printindex
\english
\pagestyle{headings}



\farsi
%\include{MySymbols}
\english
\newpage
\begin{abstract}
\begin{quote}
%\vs{-4}
\centerline{\Large\bf Abstract}
In this thesis we studied the multipliers and quasi-multipliers on Banach algebras and topological algebras. First we extend the 
concept of multipliers on Banach algebras to $\varphi-$multipliers on faithful Banach algebras and $\varphi_{m}-$multipliers on topological algebra-modules
and investigate their properties. We prove results concerning Arens regularity, amenability and faithfulness of the  algebra $M_{\varphi}(A).$

$\hspace{.3cm}$ In the next chapter we introduced  quasi-multipliers on the dual of a Banach algebra and quasi-multipliers on $F-$algebras. That is 
 a generalization of the concept of multipliers on Banach algebras. In the first part we consider algebra A whose dual has a mixed identity.
 Among others we prove that for an Arens regular Banach algebra which has a bounded approximate identity the space $QM_{r}(A^{*})$ of all bilinear and separately continuous right
quasi-multipliers of $A^{*}$ is isometrically isomorphic to $A^{**}.$

$\hspace{.3cm}$Also we consider the notion of quasi-multipliers on  a $F-$algebra A. we study their bilinearity and joint continuity under some suitable conditions.
 we also  define the strict and quasi-strict topologies on the algebra $QM(A)$ and investigate their properties.\\

 
$\hspace{.3cm}$\vsp{\bf Keywords: } Quasi-multiplier, Multiplier, Faithful Banach algebra, Arens regular Banach algebra, F-algebra, K-algebra, Strict topology.
\end{quote}
\end{abstract}
\pagestyle{empty}
\newpage
%\MakeEnglishTitle{Pure Mathematics (Geometry)}{Generalized Einstein manifolds}{Ataabak Baagherzadeh Hushmandi}
%{Dr. Behrooz Bidabad}{Dr. Naser Boroujerdian}{Winter 2005}
%----------------------------------------------------------------------------------------------------
%______________________________\InF{} ��Ɖމ� ����� ��� 䉀���� ���ډ܉��Ɖ� ������� ������ \EnF{}_________________________
\begin{center}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------
\vspace*{-20mm}
{\Large{\cal Amirkabir University of Technology}}
\vspace*{10mm}\\
%{\Large\bf Amirkabir}\\{\large\bf University of Technology}
\vspace*{1mm}\\
{\large (Tehran Polytechnic)}
\vspace*{10mm}\\
Department of Mathematics and Computer Science
%\vspace*{-3mm}\\
% and 
%\vspace*{-3mm}\\
% Computer Sciences
\vspace*{10mm}\\
{\Large Ph.D Desis in Pure Mathematics(Analysis)}\\
%{\large Pure Mathematics (Geometry) }
\vspace*{1.2cm}\\
Subject:
\vspace*{4mm}\\
{\huge $\varphi-$multipliers on without order Banach algebras and $\varphi_{m}-$multipliers on topological algebra-modules }
\vspace*{2cm}\\
{\large Student:}\\
{\Large Marjan Adib }
\vspace*{1cm}\\
{\large Supervisor:}\\
{\Large Dr. Abdolhamid Riazi}
\vspace*{1cm}\\
{\large Advisor:}\\
{\Large Dr. Alireza Bagheri salec }
\vfill
 February  2011  
\end{center}
\newpage






%  \newpage 
%\centerline {\bf \Large �����}

%\english
%\begin{enumerate}
%
\end{document}
