\documentclass[A4,ffancyhe]{report} \setlength{\textwidth}{15cm} \setlength{\textheight}{23.6cm} \usepackage{graphicx} ‎\usepackage{geometry}\geometry{left=40mm,right=40mm‎, ‎top=30mm,bottom=30mm} \usepackage{xepersian} \pagestyle{fancyhdr} \pagenumbering{harfi} \makeatletter \renewcommand \thesection {\@arabic\c@section} \renewcommand \thechapter {\@tartibi\c@chapter} \renewcommand*\l@chapter[2]{% \ifnum \c@tocdepth >\m@ne \addpenalty{-\@highpenalty}% \vskip 1.0em \@plus\p@ \setlength\@tempdima{1.5em}% \begingroup \parindent \z@ \rightskip \@pnumwidth \parfillskip -\@pnumwidth \leavevmode \bfseries \advance\leftskip\@tempdima \hskip -\leftskip فصل #1 \nobreak\hfil \nobreak\hb@xt@\@pnumwidth{\hss #2}\par \penalty\@highpenalty \endgroup \fi} \rhead[\fancyplain{}{\bf\leftmark}]{\fancyplain{}{\bf\thepage}} \addtolength{\hoffset}{-9mm} \addtolength{\voffset}{-9mm} \renewcommand{\baselinestretch}{2.2} \settextfont[Scale=1.1]{XB Zar} \setlatintextfont{Linux Libertine} %\setdigitfont[Scale=1]{XB Zar} \renewcommand{\thechapter}{\tartibi{chapter}} \renewcommand{\theequation}{\beginL\arabic{equation}-\arabic{chapter}\endL} \renewcommand{\thefigure}{(\arabic{figure}-\arabic{chapter})} \renewcommand{\thesection}{\arabic{section}-\arabic{chapter}} \begin{center} \title{تأثیر پلاسمون‌ها بر ویژگی‌‌های اپتیک کوانتومی نقطه‌‌های کوانتومی} \end{center} \begin{center} \auther{\\استاد راهنما:\\دکتر مالک باقری هارونی\vspace{5cm}\\پژوهشگر:\\مهدی رفیعیان نجف آبادی} \end{center} ‎\usepackage{geometry}\geometry{left=35mm,right=35mm‎, ‎top=35mm,bottom=35mm} \begin{document} %\romantoday \maketitle \begin{abstract} دراین پایان نامه به بررسی برهم کنش میدان نزدیک با برخی گسیلنده‌‌‌های نور مانند نقطه‌‌ی کوانتومی می‌پردازیم. همان‌گونه که توضیح داده خواهد شد میدان نزدیک در سطوح اجسام رسانا تشکیل خواهد شد. از این رو سامانه مورد بررسی نقطه کوانتومی نیم‌رسانا در حضور سطوح رسانا مانند صفحات یا نانو ذرات رسانا است. در اثر تابش میدان الکترومغناطیسی بر این اجسام رسانا در ابعاد نانو، در اطراف آن‌ها میدانی به نام میدان نزدیک ایجاد می‌شود، که این میدان موجب خواهد شد این سامانه‌‌‌های رسانا در ابعاد نانو با گسیلنده‌‌‌های نور در اطراف آن‌ها جفت شوند و برهم کنش انجام دهند. این جفت شدگی منجر به تغییر برخی ویژگی‌‌‌های اپتیکی گسیلنده در حضور اجسام رسانا خواهد شد. بررسی و چگونگی این تغییرات از جمله اهداف مورد نظر در این پایان نامه است. لازم به ذکر است که سامانه مورد بررسی متشکل از یک گسیلنده (نقطه کوانتومی) و سطوح رسانا با اشکال و ابعاد مختلف است. این سامانه‌ها معمولا با عنوان سامانه‌‌‌های هیبریدی شناخته می‌شوند. از طرف دیگر، انتظار آن است که تغییر ویژگی‌‌‌های اپتیکی سامانه‌ها در حضور اجسام رسانا به ابعاد جسم رسانا و فاصله سامانه تا جسم رسانا بستگی داشته باشد. در این بررسی به دنبال این وابستگی‌ها و برخی کاربرد‌‌های آن هستیم. \end{abstract} \tableofcontents \chapter[فصل اول: پیوست]{پیوست} \listoffigures \thispagestyle{plain} \newpage \setcounter{secnumdepth}{3} \setcounter{tocdepth}{3} \pagenumbering{arabic} \chapter{پیوست} \section{محاسبه‌ی آهنگ گسیل خودبه‌خود اتم دوترازی در تصویرکوانتومی} ابتدا فرض می‌کنیم یک اتم یا مولکول در مکان $ r_{A} $ و با انرژی $ E_{n}=\hbar\omega_{n} $ قراردارد. هامیلتونی کل برهمکنش اتم با میدان الکترومغناطیسی در محیط دی‌الکتریک خطی به ‌صورت زیراست: \begin{equation}\label{eq56} \hat{H}=\hat{H}_{c}+\hat{H}_{F}+\hat{H}_{int}, \end{equation} که هامیلتونی اتم و میدان به صورت زیر است: \begin{equation}\label{eq57} \hat{H}_{c}=\sum_{n}\hbar\omega_{n}\hspace{.1cm}\hat{A}_{nn}, \end{equation} \begin{equation}\label{eq58} \hat{H}_{F}=\sum_{n}\intd^{3}r\int_{0}^{\infty}d\omega\hspace{.1cm}\hbar\omega\hspace{.1cm}\hat{f}^{\dagger}(r,\omega)\hat{f}(r,\omega), \end{equation} در معادله‌ی بالا $ \hat{f}(r,\omega) $ عملگر نابودی مربوط ‌به میدان است. هامیلتونی برهمکنش اتم و میدان در تقریب دوقطبی الکتریکی به صورت زیر نوشته ‌خواهد شد\cite{ref31}: \begin{eqnarray}\label{eq59} \hat{H}_{int}&=&-\sum d_{nm}\hspace{.1cm}\hat{E}^{(+)}(r_{A})\hspace{.1cm}\hat{A}_{nm}+H.c.\nonumber\\&=&-i\sqrt{\frac{\hbar}{\pi\varepsilon_{0}}}\hspace{.1cm}\sum_{nm}\int_{0}^{\infty}d\omega\hspace{.1cm}\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\int d^{3}(r')\hspace{.1cm}d_{nm}\overline{G}(r_{A},r';\omega)\hat{f}(r',\omega)\hat{A}_{nm}+H.c.. \end{eqnarray} در معادله‌های بالا $ \hat{A}_{nm}=|n\rangle\langle m|,\hspace{.1cm}\hat{H}_{c}|n\rangle=\hbar\omega_{n}|n\rangle $ و $ d_{nm} $ عنصر ماتریسی گشتاور دوقطبی روی حالت‌های اتمی است. با فرض دو ترازی بودن اتم: \begin{equation}\label{60} \hat{H}_{c}=\hbar(\omega_{1}\hat{A}_{11}+\omega\hat{A}_{22})=\hbar\omega_{1}+\hbar\omega_{21}\hat{A}_{22}\rightarrow\hat{H}_{c}\simeq\hbar\omega_{21}\hat{A}_{22}, \end{equation} که \begin{equation}\label{eq61} \omega_{21}=\omega_{2}-\omega_{1}=\frac{E_{2}-E_{1}}{\hbar},\hspace{.5cm}\hat{A}_{11}+\hat{A}_{22}=1. \end{equation} توجه ‌شود که از جمله‌ی $ \hbar\omega_{1} $ در هامیلتونی اتم به‌دلیل اینکه در دینامیک مساله تاثیری ندارد، چشمپوشی شده ‌است. با استفاده ‌از تقریب امواج چرخان هامیلتونی برهمکنش به صورت زیر بازنویسی می‌شود: \begin{equation}\label{eq62} \hat{H}_{int}=-i\sqrt{\frac{\hbar}{\pi\varepsilon_{0}}}\hspace{.1cm}\int_{0}^{\infty}d\omega\hspace{.1cm}\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\int d^{3}r'\hspace{.1cm}d_{21}\overline{G}(r_{A},r';\omega)\hat{f}(r',\omega)\hat{A}_{21}+H.c.. \end{equation} هنگامی ‌که اتم در تراز برانگیخته باشد ($ |2\rangle $)، میدان هیچ فوتونی ندارد . بنابراین میدان در حالت خلأ ($ |\lbrace0\rbrace\rangle $) قرار دارد: \begin{equation}\label{eq63} \hat{f}(r,\omega)|\lbrace0\rbrace\rangle=0,\hspace{.5cm}\hat{f}^{\dagger}(r,\omega)|\lbrace0\rbrace\rangle=|\lbrace1(r,\omega)\rbrace\rangle, \end{equation} که $ |\lbrace1(r,\omega)\rbrace\rangle $ حالت میدان است وقتی که یک فوتون دارد. در واقع هنگامی ‌که اتم در حالت پایه ($ |1\rangle $) قرار داشته باشد، میدان در حالت تک ‌فوتون $ |\lbrace1(r,\omega)\rbrace\rangle $ است. با توجه به هامیلتونی کل مربوط ‌به اتم و میدان، حالت کل سامانه در لحظه‌ی $ t $ به صورت زیر است: \begin{equation}\label{eq64} |\psi(t)\rangle=C_{2}(t)\hspace{.1cm}\exp(-i\omega_{21}t)|\lbrace0\rbrace\rangle|2\rangle+\int d^{3}r\int_{0}^{\infty}\exp(-i\omega t)\hspace{.1cm} C_{1}(r,\omega,t)\hspace{.1cm}|1(r,\omega)\hspace{.1cm}\rangle|1\rangle \end{equation} که $ C_{1} $ و $ C_{2} $ ضرایب بسط هستند. با قرار دادن $ |\psi(t)\rangle $ در معادله‌ی شرودینگر تحول زمانی ضرایب بسط به صورت زیر بدست می‌آیند: \begin{eqnarray}\label{eq65} \dot{C}_{2}(t)&=&-\frac{1}{\sqrt{\pi\varepsilon_{0}\hbar}}\hspace{.1cm}\int_{0}^{\infty}d\omega\hspace{.1cm}\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\hspace{.1cm}e^{-i(\omega-\omega_{21})t}\nonumber\\&\times &\int d^{3}r\hspace{.1cm}\sqrt{Im\lbrace\varepsilon(r,\omega)\rbrace}\hspace{.1cm}d_{21}\overline{G}(r_{A},r;\omega)\hspace{.1cm}C_{1}(r,\omega,t) \vspace{5mm}\\\dot{C}_{1}(r,\omega,t)&=&\frac{1}{\sqrt{\pi\varepsilon_{0}\hbar}}\hspace{.1cm}\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\hspace{.1cm}\sqrt{Im\lbrace\varepsilon(r,\omega)\rbrace}\hspace{.1cm}e^{i(\omega-\omega_{21})t}\hspace{.1cm}d_{12}\overline{G}^{\ast}(r_{A},r;\omega)\hspace{.1cm}C_{2}(t). \end{eqnarray} دو معادله‌ی بالا معادلات جفت‌شده هستند. شرایط اولیه مربوط به ضرایب بسط به صورت زیر فرض می‌شود: \begin{equation}\label{eq66} C_{2}(t)|_{t=0}=1,\hspace{1cm}C_{1}(r,\omega,t)|_{t=0}=0. \end{equation} با انتگرال‌گیری از معادلات بالا و قرار دادن جواب در معادله‌ی دیگر، نتایج زیر بدست می‌آید: \begin{eqnarray}\label{eq67} \dot{C}_{2}(t)&=&\int_{0}^{t}dt'\hspace{.1cm}K(t-t')\hspace{.1cm}C_{2}(t'),\nonumber\\K(t)&=&-\frac{1}{\hbar\pi\varepsilon_{0}c^{2}}\int_{0}^{\infty}d\omega\hspace{.1cm}\omega^{2}\hspace{.1cm}e^{-i(\omega-\omega_{21})t}\hspace{.1cm}d_{21}Im\lbrace\overline{G}(r_{A},r_{A},\omega)\rbrace\hspace{.1cm}d_{12}. \end{eqnarray} با استفاده ‌از شرایط اولیه‌ی بالا: \begin{eqnarray}\label{eq68} C_{2}(t)&=&\int_{0}^{t}dt'\hspace{.1cm}K'(t-t')\hspace{.1cm}+1\\ K'(t)&=&\frac{1}{\hbar\pi\varepsilon_{0}c^{2}}\hspace{.1cm}\int_{0}^{\infty}d\omega\hspace{.1cm}\omega^{2}\frac{e^{-i(\omega-\omega_{21})t}-1}{i(\omega-\omega_{21})}\hspace{.1cm}d_{21}Im\lbrace\overline{G}(r_{A},r_{A};\omega)\rbrace\hspace{.1cm}d_{12} \end{eqnarray} ضریب بسط $ C_{2} $، احتمال ‌اینکه در لحظه‌ی $ t $ اتم در تراز برانگیخته و میدان تابش در حالت خلأ باشد را نشان می‌دهد. برای بدست ‌آوردن آهنگ گسیل خود‌به‌خود اتم، نیاز ‌به حل معادله‌ی (\ref{eq67}) است. برای حل این معادله می‌توان از تقریب برهمکنش ضعیف اتم و میدان تابشی استفاده کرد. قبل از آن، ابتدا برای ساده ‌کردن شکل معادلات از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم: \begin{equation}\label{eq69} C_{2}(t)=\tilde{C}_{2}(t)\hspace{.1cm}e^{-i\delta\omega_{21}t},\hspace{.5cm}\delta\omega_{21}=\tilde{\omega}_{21}-\omega_{21}. \end{equation} بنابراین معادله‌ی (\ref{eq67}) به صورت زیر بازنویسی می‌شود: \begin{eqnarray}\label{eq70} \dot{\tilde{C}}_{2}(t)=i\delta\omega_{21}\hspace{.1cm}\tilde{C}_{2}(t)+\int_{0}^{t}dt'\hspace{.1cm}\tilde{K}(t-t')\hspace{.1cm}\tilde{C}_{2}(t'),\nonumber\\\tilde{K}(t)=K(t)\hspace{.1cm}e^{i\delta\omega_{21}t}. \end{eqnarray} برهمکنش ضعیف اتم و میدان به مقدار بسامد رابی وابسته است. تقریب دیگری که در این مساله از آن استفاده می‌شود، تقریب مارکوف\LTRfootnote{Markov approximation} است. این تقریب منجر ‌به تغیرات آهسته $ \tilde{C}_{2}(t) $ در طول زمان می‌شود. بنابراین $ \tilde{C}_{2}(t') $ در معادله‌ی (\ref{eq70}) تقریبا برابر $ \tilde{C}_{2}(t) $ می‌شود و حد بالای انتگرال به سمت $ \infty $ میل داده می‌شود. در واقع در این تقریب فرض می‌شود که سامانه بدون حافظه است و تغیرات در ضریب $ \tilde{C}_{2}(t') $ فقط مربوط به همان زمان است و به زمان‌های قبل ‌از آن وابسته نیست. بنابراین معادله‌ی (\ref{eq70}) به صورت زیر بازنویسی خواهد شد: \begin{equation}\label{eq71} \dot{\tilde{C}}(t)=i\delta\omega_{21}\hspace{.1cm}\tilde{C}_{2}(t)+\tilde{C}_{2}(t)\lim_{t\rightarrow\infty}\int dt'\hspace{.1cm}\tilde{K}(t-t')=-\frac{\Gamma}{2}\hspace{.1cm}\tilde{C}_{2}(t), \end{equation} که: \begin{equation}\label{eq72} -\frac{\Gamma}{2}=\lim_{t\rightarrow\infty}\int_{0}^{t}d\tau\hspace{.1cm}\tilde{K}(\tau)+i\delta\omega_{21}, \end{equation} است. $ \Gamma $ در رابطه‌ی بالا آهنگ گسیل خودبه‌خود اتم تعریف می‌شود. برای حل معادله‌ی بالا به رابطه‌ی زیر رجوع می‌کنیم: \begin{equation} \zeta(x)=\int_{0}^{\infty}dy\hspace{.1cm}e^{ixy}=\pi\delta(x)+i\frac{P}{x}. \end{equation} بنابراین آهنگ گسیل خودبه‌خود به صورت تابعی از قسمت موهومی تابع گرین میدان بدست می‌‌آید: \begin{equation}\label{eq73} \gamma=\frac{2\tilde{\omega}_{21}^{2}}{\hbar\varepsilon_{0}c^{2}}\hspace{.1cm}d_{21}\hspace{.1cm}Im\lbrace\overline{G}(r_{A},r_{A};\omega)\rbrace\hspace{.1cm}d_{12}. \end{equation} \chapter{مقدمه} نانواپتیک شاخه‌ای از فیزیک است که به مطالعه‌ی ویژگی‌های اپتیکی اجسام در ابعاد نانو می‌پردازد. در این شاخه غالبا گسیلنده‌ها نیز مواد نانوساختارها هستند\cite{ref1}. علاوه‌بر گسیلنده‌ها می‌توان از نانوذرات فلزی برای کنترل و تغییر ویژگی‌های اپتیکی سامانه‌ها استفاده کرد\cite{ref2}. در این پایان‌نامه به برهمکنش گسیلنده‌ها (که غالبا به عنوان اتم‌های دوترازی در نظر گرفته می‌شوند ) می‌پردازیم. در ابتدا به معرفی مفاهیم میدان نزدیک، پلاسمون سطحی، نقطه‌ی کوانتومی و ... می‌پردازیم. \section{میدان نزدیک} میدان نزدیک یک میدان الکترومغناطیسی ناهمگن است که در اطراف اشیاء که تحت تابش نور قرار گرفته‌اند تشکیل می‌شود\cite{ref3}. این میدان به صورت ذاتی یک میدان ناپایدار است که شدت آن به صورت نمائی در جهت عمود بر صفحه‌ی جسم تابیده شده کاهش می‌یابد. این میدان معمولا در محدوده ای در ابعاد 100 نانومتر ایجاد می‌شود. یکی از موارد بااهمیت کاربرد میدان نزدیک، استفاده از آن برای اندازه گیری‌های حد پراش است. \chapter{حد پراش} تفکیک اجسام در ابعاد کمتر از طول موج(مانند سامانه‌ها با ابعاد نانومتر) به دلیل وجود پدیده‌ی پراش از اهمیت زیادی برخوردار است. اگر بر همکنش نوری که در فضای آزاد انتشار پیدا می‌کند را با یک ماده در نظر بگیریم، با استفاده از اصل عدم قطعیت هایزنبرگ داریم: \begin{equation} \label{heisenberg uncertainty} \Delta x\hspace{.1cm}p_{x}=\hbar ,\hspace{1cm}p_{x}=\hbar k_{x}\longrightarrow\Delta x=\frac{\hbar}{p_{x}}=\frac{1}{k_{x}}, \end{equation} که $ \delta x $، $ p_{x} $ و $ k_{x} $ به ترتیب مؤلفه‌ی $ x $ عدم قطعیت مکان، تکانه و بردار موج هستند. از طرفی دیگر اگر بردار موج را بر حسب مؤلفه‌هایش بنویسیم: \begin{eqnarray}\label{eq3} k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}&=&\vert k_{i}\vert^{2},\hspace{1cm}\vert k_{x}\vert ,\vert k_{y}\vert ,\vert k_{z}\vert<\vert k_{i}\vert \nonumber \\ \vert k_{x} \vert \ll \vert k_{i} \vert \longrightarrow \Delta x&\gg & \frac{1}{\vert k_{i} \vert} =\frac{\lambda_{i}}{2\pi}. \end{eqnarray} که $ k_{i} $ بردار موج در محیط $i$ام است. این معادله حد پراش را نشان می‌دهد\cite{ref4}. به این معنی که اگر بخواهیم در ابعاد $ \Delta_{x} $تفکیک انجام دهیم، به دلیل پراش زیاد در این محدوده تفکیک صورت نمی‌گیرد(عدم قطعیت در مکان خیلی زیاد است). بنابراین اگر ابعاد جسم مورد آزمایش کمتر از $ \frac{\lambda_{i}}{2\pi} $ باشد، نمی‌توان آن جسم را توسط یک میدان الکترومغناطیس که در فضای آزاد منتشر می‌شود مورد بررسی قرار داد. حال اگر میدان اعمال‌شده از نوع میدان نزدیک باشد، مؤلفه‌ی عمود بر سطح بردار موج موهومی می‌شود(مؤلفه‌ی عمود بر سطح را $ z $ در نظر می‌گیریم): \begin{equation}\label{eq4} k_{z}^{2}<0 \longrightarrow \vert k_{x}\vert \gg\vert k_{i} \vert \longrightarrow \Delta x \ll\frac{1}{\vert k_{i}\vert}=\frac{\lambda_{i}}{2\pi}. \end{equation} بنابراین با استفاده از یک میدان ناپایدار مثل میدان نزدیک می‌توانیم ابعاد خیلی کوچک‌تر از $ \frac{\lambda_{i}}{2\pi} $را تفکیک کنیم. از این رو می‌توان با استفاده از این میدان به بررسی سامانه‌های نانو پرداخت. این اندازه گیری‌ها معمولا توسط میکروسکوپ های روبشی سطح\LTRfootnote{Photon Scaning Tunneling Microscoppy} ($ PSTM $ ) انجام می‌شود. این مهمترین ارتباط بین میدان نزدیک و نانو اپتیک است. \section{پلاسمون های سطحی} در برهمکنش نور با یک گاز الکترونی مثل فلزات قلیایی، امکان نوسان‌های دسته جمعی الکترون ها، هم در حجم و هم روی سطح، وجود خواهند داشت. به این امواج، امواج پلاسمای حجمی و سطحی گفته می‌شود و به مد ارتعاشات آن پلاسمون حجمی و سطحی می‌گویند. امواج پلاسمای حجمی، امواج طولی هستند به گونه‌ای که امکان تشدید و ایجاد آن فقط به وسیله‌ی یک موج طولی صورت می‌گیرد. منظوراز موج طولی، موجی است که $ \vec{\nabla}\cdot\vec{E}\neq0 $ باشد. علاوه بر امکان تحریک پلاسمون‌های حجمی، وجود یک صفحه یا فصل مشترک بین مواد با ثابت دی‌الکتریک مختلف نیز ممکن است به فرآیندهای تحریک ویژه‌ی سطحی منجر شوند\cite{ref5}. برای مثال، فصل مشترک میان ماده‌ای با ثابت دی‌الکتریک مثبت و ماده‌ای با ثابت دی‌الکتریک منفی مثل فلزات می تواند باعث ایجاد امواج الکترومغناطیسی ویژه‌ای شود که امواج پلاسمای سطحی خوانده می‌شود و در محدوده‌ی سطح باقی می‌ماند. یک چنین امواجی دارای مولفه‌ی میدان الکتریکی است که با افزایش فاصله از فصل مشترک در جهت $ \pm z $ به صورت نمایی کاهش می‌یابد. برای توصیف پاشندگی این امواج لازم به توضیح الگوی درود-سامرفلد\LTRfootnote{Drud–Sommerfeld model} است. \subsection{الگوی درود-سامرفلد برای الکترون‌های آزاد} در برهمکنش نور با الکترون‌های آزاد، دو نوع نیرو ظاهر می‌شود:1-نیروی موج الکترومغناطیسی، 2-نیروی اتلافی که ناشی از برخورد الکترون‌ها با یکدیگر است. حال اگر اگر نور با بسامد $ \omega $ به الکترون‌های آزاد با جرم موثر $ m_{e} $ برخورد کند، طبق قانون دوم نیوتن معادله‌ی حرکت آن به صورت زیر نوشته می‌شود\cite{ref6}: \begin{equation}\label{eq5} m_{e}\frac{\partial^{2}r}{\partial t^{2}}+m_{e}\Gamma\frac{\partial r}{\partial t}=eE_{0}e^{-i\omega t}, \end{equation} که $ \Gamma $ ثابت اتلاف ناشی از برخورد الکترون‌ها است که به صورت پدیده شناختی وارد می‌شود. با توجه به اصل علیت، اگر میدان به صورت $ E_{0}e^{-i\omega t}$ تغییر کند، مکان الکترون نیز به صورت $ r=r_{0}e^{-i\omega t} $ تغییر خواهد کرد. با جایگذاری $ r $ در معادله‌ی (\ref{eq5}) و با ضرب طرفین معادله در $ n_{e} $(چگالی الکترون‌های آزاد در واحد حجم) می‌توان ثابت دی‌الکتریک را به صورت تابعی از بسامد بدست آورد: \begin{equation}\label{eq6} \varepsilon_{Drude}(\omega)=1-\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega^{2}+\Gamma^{2}}+i\Gamma\frac{\omega_{p}^{2}}{\omega(\omega^{2}+\Gamma^{2})}, \end{equation} که $ \omega_{p}=\sqrt{\frac{n_{e}^{2}}{m_{e}\varepsilon_{0}}} $ بسامد پلاسما است. بسامد پلاسما، یک بسامد ذاتی است که برای هر گاز الکترونی متفاوت است. در این بسامد، الکترون‌های گاز الکترونی به صورت دسته جمعی نوسان می‌کنند. همان‌گونه که نشان داده شد ثابت دی‌الکتریک یک تابع مختلط از $ \omega $ است. به عنوان مثال برای فلز طلا $ \omega_{p}=13.8\times10^{15}s^{-1} $ و $ \Gamma=1.075\times10^{15}s^{-1} $ است. قسمت حقیقی و موهومی $ \varepsilon $ بر حسب طول موج نور فرودی در شکل \ref{sumerfeild-drude} نشان داده شده است\cite{ref5}. در شکل (۱-۱) قسمت حقیقی و موهومی تابع دی‌الکتریک بر حسب طول موج‌های مختلف رسم شده است. همان‌طور که مشاهده می‌شود، با افزایش طول موج هر دو قسمت حقیقی و موهومی افزایش پیدا می کنند. در حالت کلی به دلیل کوچک بودن قسمت موهومی تابع دی‌الکتریک نسبت به قسمت حقیقی آن، در بیشتر مسائل، تابع دی‌الکتریک را فقط با قسمت حقیقی آن نمایش می‌دهند. \begin{figure}[h] \centerline{\includegraphics[width=9cm]{fig1}} \vspace{-.5cm} \caption{\label{sumerfeild-drude}\small نمودار قسمت حقیقی و موهومی تابع دی‌الکتریک برحسب طول موج‌های مختلف طبق مدل درود-سامرفلد برای الکترون آزاد فلز طلا} \end{figure} \subsection{برهمکنش نور با الکترون‌های مقید} برهمکنش نور با الکترون‌های آزاد در بخش قبلی مورد بررسی قرار گرفت. اگر الکترون‌های سامانه کاملا آزاد نباشند، فرض می‌کنیم که قید آن‌ها به صورت فنری باشد که آن‌ها را به مکان تعادل باز می‌گرداند و با بسامد ذاتی $ \omega_{0} $ حول نقطه‌ی تعادل نوسان می‌کند. بسته به طول موج نور فرودی این‌گونه الکترون‌ها می‌توانند از این قید خارج شده و به عبارتی گذاری از نوار ظرفیت به نوار رسانش انجام دهند. این مدل به واقعیت تابع دی‌الکتریک برای فلزات نزدیک تر است. معادله‌ی حرکت الکترون‌های مقید بیان شده در برهمکنش نور به صورت زیر است\cite{ref6} : \begin{equation}\label{eq7} m_{e}\frac{\partial^{2}r}{\partial t^{2}}+m_{e}\gamma\frac{\partial r}{\partial t}+\alpha r=eE_{0}e^{-i\omega t}. \end{equation} در معادله‌ی بالا $ \gamma $ ثابت اتلاف برای الکترون‌های مقید، $ m_{e} $، جرم موثر الکترون و $ \alpha $ ثابت فنری است که باعث نوسان الکترون‌ها با بسامد ذاتی $ \omega_{0} $ می‌شود. بنابراین می‌توان رابطه‌ی $ \alpha $ و $ \omega_{0} $ را به صورت زیر نوشت: \begin{equation}\label{eq8} \omega_{0}=\sqrt{\frac{\alpha}{m_{e}}}. \end{equation} مانند بخش قبل، جوابی را به صورت $ r=r_{0}e^{-i\omega t} $ در نظر می‌گیریم. در این شرایط می‌توان قطبش را بدست آورد. در نهایت ثابت دی‌الکتریک که دراین مورد نیز کمیتی مختلط خواهد شد را می‌توان به صورت تابعی از $ \omega $ بدست آورد: \begin{equation}\label{eq9} \varepsilon_{interbound}(\omega)=1+\frac{\varpi_{p}^{2}}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})-i\gamma\omega}. \end{equation} در معادله‌ی بالا $ \varpi_{p}=\sqrt{\frac{\tilde{n}_{e}^{2}}{m_{e}\varepsilon_{0}}} $ بسامد پلاسما برای الکترون‌های مقید با چگالی حجمی $ \tilde{n}_{e} $ است. شکل \ref{dielectric} نمودار قسمت موهومی و حقیقی تابع دی‌الکتریک را بر حسب $ \lambda $ برای طلا با $ \varpi_{p}=45\times 10^{14}s^{-1} $ ، $ \gamma=9\times 10^{14}s^{-1} $ و $ \omega_{0}=4.18\times10^{15} s^{-1}$ رسم شده‌است. در شکل (۲-۱) قسمت حقیقی و موهومی تابع دی‌الکتریک برای الکترون‌های مقید سامانه رسم شده است. با توجه به قسمت حقیقی نمودار، در محدوده‌ای از طول موج‌هاشیب نمودار منفی می‌شود. منفی شدن شیب نمودار بیان‌گر این است که سرعت گروه از سرعت فاز موج بیشتر شده است. توجیح این مساله با توجه به اینکه جذب در این محدوده بیشینه است، قابل قبول است. به عبارتی اگر موجی بخواهد چنین شرایطی را داشته باشد، سریع جذب می‌شود. \begin{figure}[ht] \centerline{\includegraphics[width=9cm]{fig2}} \vspace{-1cm} \caption{\label{dielectric}\small نمودار قسمت حقیقی و موهومی تابع دی‌الکتریک برای طلا طبق مدل الکترون‌های مقید.} \end{figure} \section{پلاسمون -پلاریتون سطحی\LTRfootnote{Surface plasmon-polariton}} در برهمکنش نور با یک گاز الکترونی در شرایط خاص، نوسانات چگالی بارهای سطحی به طور طبیعی با موج الکترومغناطیس جفت می‌شوند. به شبه ذره‌ی ایجاد شده که هم خواص نور فرودی و هم خواص پلاسمون‌های سطحی را دارد، پلاریتون می‌گویند\cite{ref7}. در ادامه به توصیف پاشندگی پلاسمون-پلاریتون سطحی می‌پردازیم. \subsection{پاشندگی پلاسمون-پلاریتون سطحی} به منظور حصول شرایط لازم برای وجود امواج سطحی پلاسما و پاشیدگی، فصل مشترک بین دو ماده‌ی نیمه‌متناهی همسانگرد با توابع دی‌الکتریک $ \varepsilon_{1} $ و $ \varepsilon_{2} $ همان طور که در شکل \ref{polarization} نشان داده شده ‌است را در نظر می گیریم. محور $ z $ بر فصل مشترک ( صفحه‌ی $ z=0 $ است) عمود است. محیط $ 1 $ نیم‌فضای $ z>0 $ را اشغال کرده است. با توجه به شرایط مرزی فقط مد $ TM $ (میدان مغناطیسی عرضی) با قطبش $ P $ همراه با شرایط حدی می‌تواند در معادلات ماکسول صدق کند. یک مد $ TE $ با قطبش $ S $ که در هر دو طرف فصل مشترک کاهشی است، نمی‌تواند شرایط حدی را به ازای هیچ بردار موجی برآورده کند\cite{ref7}. \begin{figure}[ht] \centerline{\includegraphics[width=9cm]{fig3}} \vspace{-1cm} \caption{\label{polarization}\small طرحواره‌ی نور با قطبش $ P $. در این نوع قطبش بردار میدان‌الکتریکی و بردار موج در صفحه‌ی تابش و بردار میدان مغناطیسی در صفحه‌ی مرز قرار می‌گیرد. } \end{figure} برای امواج عرضی، میدان مغناطیسی $ مد TM $ بر صفحه‌ی تابش و جهت انتشار عمود است. به گونه‌ای که $ H $ در جهت محور $ y $‌ها و $ E $ در صفحه‌ی $ xz $ قرار می‌گیرند. در نتیجه : \begin{eqnarray}\label{eq10} \vec{E_{i}} = \left( {\begin{array}{*{40}c} E_{j,x} \\ 0 \\ E_{j,z} \end{array}} \right) e^{i(k_{x}x+k_{j,z}z-\omega t)}\hspace{5cm}j=1,2. \nonimber \\\vec{H_{i}} = \left( {\begin{array}{*{40}c} 0 \\ H_{j,y} \\ 0 \end{array}} \right) e^{i(k_{x}x+k_{j,z}z-\omega t)}\hspace{5cm}j=1,2. \end{eqnarray} برای هر محیط مؤلفه‌ی بردار موج را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد: \begin{equation}\label{eq11} k_{x}^{2}+k_{j,z}^{2}=\varepsilon_{j}k^{2}, \end{equation} که در آن $ k $ بردار موج در خلاء است. با توجه به‌اینکه چشمه‌ی میدان فرودی در هیچ کدام از دو محیط قرار ندارد ($ \vec{\nabla}\cdot\vec{D}=0 $). بنابراین: \begin{equation}\label{eq12} k_{x}E_{j,x}+k_{j,z}E_{j,z}=0\hspace{1cm} j=1,2. \end{equation} با توجه به شرایط مرزی خواهیم داشت: 1-مؤلفه‌ی مماسی میدان‌الکتریکی باید روی مرز پیوسته باشد: \begin{equation}\label{eq13} E_{\Vert}\vert_{z=0}=E_{x}\vert_{z=0}\longrightarrow E_{1x}\vert_{z=0}=E_{2x}\vert_{z=0}. \end{equation} 2-مؤلفه‌ی عمودی بردار جابجایی دی‌الکتریک نیز باید روی مرز پیوسته باشد: \begin{equation}\label{eq14} D_{\bot}\vert_{z=0}=D_{z}\vert_{z=0}\longrightarrow \varepsilon_{1}D_{1z}\vert_{z=0}=\varepsilon_{2}D_{2z}\vert_{z=0}. \end{equation} بااستفاده شرایط مرزی و همچنین معادلات (\ref{eq11}) و (\ref{eq12}) می‌توان $ k_{x} $ و $ k_{j,z} $ را بر حسب $ \varepsilon_{1} $ و $ \varepsilon_{2} $ بدست آورد: \begin{equation}\label{eq15} k_{x}^{2}=\frac{\varepsilon_{1}\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}k^{2}=\frac{\varepsilon_{1}\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}\frac{\omega^{2}}{c^{2}}, \end{equation} \begin{equation}\label{eq16} k_{j,z}^{2}=\frac{\varepsilon_{j}^{2}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}k^{2}=\frac{\varepsilon_{j}^{2}}{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}}\frac{\omega^{2}}{c^{2}}. \end{equation} فرض اساسی که در ابتدا کردیم این بود که امواج پلاسمای سطحی را به گونه‌ای در نظر گرفتیم که در امتداد محور $ x $ انتشار پیداکنند و در راستای محور $ z $ به طرف هر دو محیط فروافت داشته باشند. این بدان معنی است که $ k_{j,z} $ برای هر دو محیط، موهومی می‌شود. بنابراین معادله (16-1) در حالت کلی منفی و معادله‌ی (15-1) مثبت می‌شود. در نتیجه : \begin{equation}\label{eq16} \varepsilon_{1}.\varepsilon_{2}<0,\hspace{.5cm}\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}<0. \end{equation} بنابراین یکی از دو محیط باید ثابت دی‌الکتریک منفی داشته باشد و به عبارتی دیگر فلز باشد. استفاده از نور فرودی با قطبش $ S $ باعث تناقض $ \varepsilon_{1}=\varepsilon_{2} $ می‌شود. شکل \ref{surface plasmon dsipersion 1} پاشندگی پلاسمون-پلاریتون را هم برای تابع دی‌الکتریک با اگوی الکترون آزاد و هم الگوی الکترون مقید نشان می‌دهد. بنابراین امواج پلاسمای سطحی و یا پلاسمون –پلاریتون سطحی در سطح مشترک دو محیطی اجاد می‌شوند که یکی از آن‌ها فلز، و محیط دیگر غیر فلز باشد. \usepackage{float} \begin{figure}[H] \centerline{\includegraphics[width=9cm]{fig4}} \vspace{-.5cm} \caption{\label{surface plasmon dsipersion 1}\small طرحواره‌ی پاشندگی پلاسمون-پلاریتون سطحی در مرز بین طلا و هوا. خطوط پیوسته ، پاشندگی را برای تابع دی‌الکتریک الکترون‌های مقید وخطوط خط‌چین، پاشندگی را برای تابع دی‌الکتریک الکترون‌های آزاد نشان می‌دهد. خط پاشندگی فوتون با$ \omega = c k_{x} $ نشان داده شده ‌است. } \end{figure} پاشندگی پلاسمون -پلاریتون سطخی در شکل فوق نمایش داده شده است. در این شکل در $ \varepsilon_{2}=1 $ در مقادیر پایین $ k_{x} $ ویژگی پلاسمون سطحی و در مقادیر زیاد $ k_{x} $ پاشندگی به سمت ویژگی فوتونی میل می‌کند. پاشندگی پلاسمون -پلاریتون سطحی در فرکانس‌های خیلی زیاد و کم نیز نمایش داده شده است. \subsection{ویژگی های پلاسمون-پلاریتون سطحی} با توجه به نتایج بخش قبل، اگر ثابت دی الکتریک به صورت موهومی شود،$ k_{x} $ نیز موهومی خواهد شد. با فرض اینکه محیط اول فلز و محیط دوم غیرفلز(ترجیحا خلاء) باشد: \begin{equation}\label{eq17} \varepsilon_{1}=\varepsilon_{1}^{'}+i \varepsilon_{2}^{''},\hspace{.5cm}k_{x}=k_{x}^{'}+k_{x}^{''} \end{equation} که $ \varepsilon_{1}^{'} $ و $\varepsilon_{2}^{''} $ به ترتیب قسمت حقیقی و موهومی تابع دی الکتریک را نشان می دهند که کمیت های حقیقی هستند. اگر $ \vert\varepsilon_{1}^{'}\vert>>\vert\varepsilon_{1}^{''}\vert $ باشد: \begin{equation}\label{eq18} k_{x}^{'}\simeq\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}^{'}\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}^{'}+\varepsilon_{2}}\frac{\omega}{c}},\hspace{.5cm}k_{x}^{''}\simeq\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}^{'}\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}^{'}+\varepsilon_{2}}\frac{\varepsilon_{1}^{''}\varepsilon_{2}}{2\varepsilon_{1}^{'}(\varepsilon_{1}^{'}+\varepsilon_{2})}\frac{\omega}{c}}. \end{equation} که $ k_{x}^{'} $ و$ k_{x}^{''} $ به ترتیب قسمت حقیقی( انتشار موج) و موهومی(اتلاف موج) بردار موج را در راستای $ x $ نشان می دهند. بنابراین طول موج پلاسمون-پلاریتون سطحی$ (SPPs) $ به صورت زیر تعریف می شود: \begin{equation}\label{eq19} \lambda_{SPPs}=\frac{2\pi}{k_{x}^{'}}\simeq\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}^{'}\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}^{'}+\varepsilon_{2}}\lambda} \end{equation} با توجه به معادله ی \ref{eq16} مولفه ی $ z $ بردار موج را برای هر دو محیط تا تقریب مرتبه ی اول $ \frac{\vert\varepsilon_{2}^{''}\vert}{\vert\varepsilon_{1}^{'}\vert} $ صورت زیر می توان نوشت: \begin{equation}\label{eq20} k_{1z}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}^{'2}}{\varepsilon_{1}^{'}+\varepsilon_{2}}} [1+i\frac{\varepsilon_{1}^{''}}{\varepsilon_{1}^{'}}] \end{equation} \begin{equation}\label{eq21} k_{2z}=\frac{\omega}{c}\sqrt{\frac{\varepsilon_{1}^{'2}}{\varepsilon_{1}^{'}+\varepsilon_{2}}} [1+i\frac{\varepsilon_{1}^{''}}{\varepsilon_{1}^{'}}] \end{equation} معمولا تابع دی الکتریک طلا و نقره به گونه ای است که $ \vert\varepsilon_{1}^{'}\vert\gg\vert\varepsilon_{1}^{''}\vert $ است و در نتیجه $ k_{x}^{''} $ که نشان دهنده ی اتلاف موج پلاسمای سطحی در راستای $ x $ است،تقریبا ناچیزمی شود. با توجه به معادلات \ref{eq20} و \ref{eq21} عمق نفوذ برای هر دو محیط در راستای $ z $ را می توان بدست آورد. عمق نفوذ،عمقی است که دامنه ی موج به $ \frac{1}{e} $ مقدار اولیه خود برسد. برای نقره و طلا،$ (\frac{1}{k_{1z}},\frac{1}{k_{2z}}) $ به ترتیب برابر $( 23nm,421nm) $ و $ (28nm,328nm) $ است. همان طور که مشاهده می شود عمق نفوذ برای محیط1(محیط فلزی) خیلی کمتر از محیط2 است و در کل امواج روی مرز مشترک دو محیط انتشار پیدا می کنند. \subsection{تحریک نوری پلاسمون های سطحی} با توجه به شکل \ref{surface plasmon dispersion}،روابط پاشیدگی فوتون با بسامد $ \omega$ و بردار موج $ k_{x} $ در محیط1و2 رسم شده است. منحنی پلاسمون های سطحی و پاشیدگی فوتون در هیچ نقطه یکدیگر را قطع نمی کنند. به عبارت دیگر عدد موج $ k_{x} $ مربوط به پلاسمون سطحی از عدد موج مربوط به فوتون در یک فرکانس ثابت بزرگتر است\cite{ref7}. \begin{figure}[h] \centerline{\includegraphics[width=9cm]{fig5}} \vspace{-.5cm} \caption{\label{surface plasmon dispersion}\small طرحواره ی پاشندگی پلاسمون-پلاریتون سطحی در فرکانس های پایین.منحنی پاشیدگی فوتون در غیاب جفتیدگی در هیچ نقطه ای منحنی پاشیدگی پلاسمون-پلاریتون سطحی را قطع نمی کند. } \end{figure} امواج پلاسمای سطحی که تاکنون در نظر گرفتیم غیر تابش هستد. به معنی اینکه بقای اندازه حرکت و(بردار موج) که باید برای هر فرایند جذب و یا تابش فوتون صادق باشد،مصداق نمی یابد و این امواج نمی توانند با فوتون جفت شوند. بقای انرژی و اندازه حرکت وقتی که منحنی های پاشندگی فوتون ها و برانگیختگی های سطحی که یکدیگر را قطع می کنند وجود خواهد داشت. با این همه امکان جفت کردن نور با پلاسمون ها ی سطحی وجود دارد. برای داشتن جفت شدگی و برانگیختگی همزمان موج سطحی عرضی که در جهت محور $ x $ها حرکت می کند،احتیاج به این است که مولفه ی طولی میدان الکتریکی موج فرودی همسو با محور $ x $ها باشد. بنابراین از نور قطبیدگی $ P $ باید استفاده شود که میدان الکتریکی آن در صفحه ای که به وسیله ی بردار انتشار نور و جهت عمود بر فصل مشترک معین می شود،قرار گیرد. دوروش جفت شدگی معروف، \textbf{جفت شدن توری\LTRfootnote{Grating Coupling}} و \textbf{جفت شدن منشوری\LTRfootnote{Prism Coupling}} هستند. در این دو روش بردار موج نور به علت وجود توری یا منشورکه باید منطبق بر بردار موج پلاسمون سطحی باشد،افزایش می یابد. شکل \ref{grating coupling} روش جفت شدن توری را که در آن یک توری روی سطح حکاکی شده است را نشان می دهد. وقتی که مولفه ی موازی بردار موج پلاسمون سطحی $ k_{x} $ باشد،نور جفت شده و پلاسمون سطحی تحریک می شود. این حالت وقتی رخ می دهد که زاویه ی فرود به توری شرط زیر را دارا باشد: \begin{figure}[ht] \centerline{\includegraphics[width=9cm]{fig6}} \vspace{-1cm} \caption{\label{grating coupling}\small طرحواره ی جفت شدن نور با پلاسمون های سطحی به روش توری } \end{figure} \begin{equation}\label{eq22} \frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon_{2}}\sin \theta +\frac{2\pi m}{a}=k_{x} \end{equation} در اینجا $ a $ تناوب توری و $ m $ یک عدد صحیح است. در این روش بردار موج به وسیله ی مولفه ی فوریه تناوب توری،افزایش می یابد. روش \textbf{جفت شدن منشوری} که در شکل \ref{prism coupling} نشان داه شده است،به منشوری نیاز دارد باضریب شکست $ n>1 $ که خیلی نزدیک به سطح فلز قرار داده شود. نوری که از میان منشور با زاویه ی $ \theta $،که از زاویه ی بحرانی منشور برای انعکاس کامل بزرگتر باشد بگذرد،دارای بردار موجی موازی با فصل مشترک و به بزرگی $ \frac{\omega n \sin \theta}{c} $ خواهد بود. وقتی که عدد موج این فوتون ها با عدد موج پلاسمون ($ k_{x} $) در زاویه ای مثل $ \theta $ یکی شد،آنگاه پلاسمون سطحی می تواند تحریک شود. \begin{figure}[ht] \centerline{\includegraphics[width=9cm]{fig7}} \vspace{-.5cm} \caption{\label{prism coupling}\small طرحواره ی برانگیخته کردن پلاسمون های سطحی به وسیله ی منشوری. } \end{figure} عدد موج $ k_{x} $ الزاما باید در رابطه ی زیر صادق باشد: \begin{equation}\label{ref22} k_{x}=\frac{\omega}{c}n \end{equation} بنابراین به وسیله ی تنظیم تابش موج فرودی،جفت شدگی،که به منزله ی تقاطع منحنی های پاشندگی فوتون و پلاسمون سطحی است،بدست می آید. شکل \ref{prism coupling2} تقاطع را برای مورد جفت شدن منشوری و عدم وجود تقاطع را برای وقتی که منشور استفاده نمی شود را نشان می دهد. \begin{figure}[ht] \centerline{\includegraphics[width=9cm]{fig8}} \vspace{-.5cm} \caption{\label{prism coupling2}\small طرحواره ی جفت شدن (تقاطع دو منحنی) وعدم جفت شدن (عدم تقاطع دو منحنی) نور با پلاسمون-پلاریتون سطحی} \end{figure} در زاویه ی جفت شدگی که به ازای آن پلاسمون سطحی تحریک می شود،به محض اینکه انرژی نور فرودی مد سطحی را تغذیه می کند پرتوهای بازتاب کلی ضعیف تر می شوند. در عمل شدت موج انعکاسی به صورت تابعی از زاویه ی فرودی اندازه گیری می شود. فرو رفتگی در شدت موج انعکاسی دلالت بر جفت شدن نور با پلاسمون سطحی می کند. شکل \ref{reflaction} نمودار بازتابندگی را بر حسب زاویه ی نور فرودی برای فلز نقره نشان می دهد. \begin{figure}[ht] \centerline{\includegraphics[width=9cm]{fig9}} \vspace{-.5cm} \caption{\label{reflaction}\small طرحواره بازتابندگی بر حسب زاویه نورفرودی ،برای فواصل مختلف فیلم نقره تا سطح منشور.} \end{figure} \subsection{کاربرد های پلاسمون سطحی} \subsubsection{تصویربرداری از سطوح فلزی توسط میکروسکوپ های روبشی سطح STM و PSTM} در تقسیم بندی میکروسکوپ های روبشی،اولین میکروسکوپی که مورد بحث قرار خواهد گرفت میکروسکوپ تونلی روبشی \LTRfootnote{Scaning tunneling microscopy}$ (STM) $ می باشد\cite{ref8}. در میکروسکوپ های تونلی روبشی، سطح نمونه به وسیله ی سوزن نوک تیز به نام تیپ یا پروب \LTRfootnote{Probe} روبش داده می شود. نوک یک پروب سالم و ایده آل بسیار تیز بوده به طوری که در نوک آن تنها یک اتم جای می گیرد. بنابراین از حساسیت بسیار بالایی برخوردار است و به دلیل ابعاد بسیار کوچک خود در حد نانومتر،می تواند کوچکترین پستی و بلندی ها را در سطح نمونه که حاوی پلاسمون های سطحی است،آنالیز نماید و با استفاده از تجهیزات و نرم افزار های موجود در دستگاه،داده های بدست آمده را به صورت تصویر بر نمایشگر نشان دهد. در این گونه میکروسکوپ ها یک ولتاژ بایاس مناسب (10 میلی ولت تا 1 ولت) بین سوزن (به عنوان قسمتی از مدار الکتریکی) و سطح نمونه تحریک شده(قسمت دیگر مدار الکتریکی) اعمال می شود. وقتی که سوزن به فاصله ی 10 آنگستروم از سطح نمونه قرار داده شد،الکترون ها بر اساس پدیده ی تونل زنی کوانتومی از سطح نمونه به اتم های سوزن یا بالعکس(بسته به جهت ولتاژ بایاس) جریان می یابند. به طوریکه بیش از $90در صد $ جریان تونلی از انتها ترین اتم سوزن به سطح نمونه یا بالعکس جاری می شود. این جریان به عنوان سیگنال از تصویر برداری $ STM $ استفاده می شود. یکی دیگر از تکنیک های تصویر برداری از سطوح و ثبت پلاسمون های ایجاد شده در مرز بین فیلم فلزی و هوا با تفکیک زیر طول موج،\textbf{میکروسکوپ های تونلی روبشی میدان نزدیک\LTRfootnote{Photon scaning tunneling micriscopy}(PSTM)} است\cite{ref8}. در این میکروسکوپ ها سطح نمونه (که غالبا یک فیلم فلزی است که به وسیله ی جفت شدگی منشوری حاوی پلاسمون های سطحی است) توسط یک سوزن نوک تیز مخروطی شکل توخالی(پروب) روبش داده می شود. پروب های این میکروسکوپ ها با نزدیک تر شدن به سطح در فواصل تقریبی $ 50nm $ باعث می شود که میدان نزدیک ایجاد شده روی سطح به داخل کاواک مخروطی شکل وارد شود. این میدان نزدیک باعث برانگیختگی اتم های داخل پروب شده و به دنبال آن این اتم ها با واانگیختگی،موجب گسیل فوتون می شوند. این فوتون ها که به صورت مدهای انتشاری یا به سمت داخل کاواک هدایت می شوند و یا به سمت خارج کاواک به عنوان امواج بازتابنده انتشار پیدا می کنند. در نهایت با جمع اوری فوتون های روی سطح،تصویری از سطح با استفاده از تجهیزات و نرم افزار های موجود در دستگاه بر روی نمایشگر ایجاد می شود. \subsubsection{تقویت امواج ناپایدار به وسیله ی تشدید های پلاسمونی\LTRfootnote{Amplification of evanescent wave}} همان طور که قبلا گفته شد امواج ناپایدار،امواجی هستند که یکی از مولفه های بردار موج آن موهومی می شود. این نوع امواج در راستایی که بردار موج موهومی است،میرا می شوند و در آن راستا فروافت پیدا می کنند. تقویت این نوع امواج به وسیله ی لنز های کامل یا سوپر لنز\LTRfootnote{Negetive permittivity material}\cite{ref8} $ (NPM) $ صورت می گیرد\cite{ref8}. ساختار این لنزها به گونه ای است که یک طرف ماده با $ \varepsilon $ مثبت و یک طرف آن یک فیلم فلزی با $ \varepsilon $ منفی قرار می گیرد. هنگامی که یک موج میرا به صفحه ی فلزی برخورد می کند باعث بر انگیختگی امواج پلاسمای سطحی می شود. این امواج پلاسمای سطحی در محیط با ضریب شکست مثبت در هر راستا انتشار می یابند و در نتیجه موج ورودی که یک موج میرا در راستای محور $ z $ بود،تقویت می شود. \section{نیمرسانا و سامانه های نقطه کوانتومی\LTRfootnote{Quantum dots} } \subsection{نیمرساناها} نیم رساناها عموما موادی هستند که به دلیل ناخالصی های وارد شده به یک عایق،خاصیت گرمایی و رسانش پیدا می کنند. این مواد به دلیل خاصیت شبکه ای بودن آن به جای تراز انرژی،نوار انرژی دارند. هنگامی که یک نیمرسانا بر انگیخته می شود،الکترون از نوار ظرفیت(حالت پایه) به نوار رسانش (حالت برانگیخته) منتقل می شود. به جای خالی الکترون در نوار ظرفیت \textbf{حفره} می گویند که از لحاظ الکتریکی بار مثبت دارد. در نتیجه ی یک برانگیختگی زوج الکترون-حفره ایجاد شده به دلیل نیروی کولنی نسبت به هم مقید می شوند. به این زوج الکترون-حفره مقید، \textbf{اکسیتون} و به فاصله ی بین الکترون-حفره \textbf{شعاع بوهر اکسیتونی} می گویند. \subsection{نقطه کوانتومی} نقاط کوانتومی نیمرساناهایی در ابعاد شعاع بوهر اکسیتون هستند که در 3 بعد محصور شده اند\cite{ref9}. منظور از محصور سازی این است که این نوع نیمرساناها در هر 3 بعد از فضا به وسیله ی نیمرسانایی با گاف انرژی بیشتر محدود شده اند. این محصور سازی باعث محدودیت حامل های بار(الکترون و حفره) در هر 3راستا می شود و توابع موج الکترون و حفره در هر 3 راستا کوانتیزه می شود. ساختار نقاط کوانتومی معمولا به صورت هسته(ماده با گاف انرژی کمتر) و پوسته(ماده با گاف انرژی بیشتر) است. نقاط کوانتومی با اندازه های متفاوت گاف انرژی (فاصله ی بین نوار انرژی و نوار ظرفیت) متفاوتی دارند. هر چه اندازه ی آن ها کوچکتر شود گاف انرژی آن ها بزرگتر می شود و برای برانگیخته کردن آن ها نور با طول موج کوچکتر مورد نیاز است. در این پایان نامه نقاط کوانتومی بیشتر نقش گسیلنده\LTRfootnote{Emitter} را دارند. \begin{eqnarray}\label{eq67} E_{r}&=&\frac{|\vec{\mu}|\cos\vartheta}{4\pi \varepsilon_{0}\varepsilon}\hspace{.1cm}\frac{\exp(ikr)}{r}k^{2}\hspace{.1cm}[\frac{2}{k^{2}r^{2}}-\frac{2i}{kr}],\nonumber\\[.2cm] E_{\vartheta}&=&\frac{|\vec{\mu}|\sin\vartheta}{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon}\hspace{.1cm}\frac{\exp(ikr)}{r}k^{2}\hspace{.1cm}[\frac{1}{k^{2}r^{2}}-\frac{i}{kr}-1],\nonumber \\[.2cm] H_{\varphi}&=&\frac{|\vec{\mu}|\sin\vartheta}{4\pi\varepsilon_{0}\varepsilon}\hspace{.1cm}\frac{\exp(ikr)}{r}k^{2}\hspace{.1cm}[\frac{-i}{kr}-1]\hspace{.1cm}\sqrt{\frac{\varepsilon_{0}\varepsilon}{\mu_{0}\mu}}. \end{eqnarray} \begin{equation}\label{u1} \vec{u} = \left( {\begin{array}{*{40}c} n_{a} \\ n_{b} \\ n_{ab} \\ n_{ba} \end{array}} \right) , \;\;\;\vec{P_{0}} = \left( {\begin{array}{*{40}c} P_{a} \\ P_{b} \\ 0 \\ 0 \end{array}} \right). \end{equation} \begin{equation}\label{u2} M_{0} = \left( {\begin{array}{*{40}c} \Gamma _{a} & 0 & ig & -ig \\ 0 & \Gamma _{b} & -ig & ig \\ ig & -ig & 0 & -i\Delta +2\Gamma _{+} \\ -ig & ig & -i\Delta +2\Gamma _{+} &0 \end{array}} \right). \end{equation} \newpage %‎\begin{LTRbibitems}‎ %\begin{thebibliography} %\resetlatinfont %\Persian \begin{thebibliography}{99} % assumes less than 100 references \resetlatinfont %\latin \begin{LTRitems} %\Latin \bibitem{ref1} T. S. Theuerholz, A. Carmele, M. Richter, and A. Knorr,“ \textit{Influence of Förster interaction on light emission statistics in hybrid systems}," Phys, Rev.B \textbf{87}, 245313 (2013). \bibitem{ref2} J. F. Martin , C. Girard, and A. Dereux ,“ \textit{Generalized Field Propagator for Electromagnetic Scattering and Light Confinement},"Phys. Rev. Lett \textbf{74}, 526 .(1995) \bibitem{ref3} J. Tominaga, and T. Nanokano, “\textit{Basic Theory of Optical Near Field}," .(Springer, Berlin Heidelberg) \bibitem{ref4} D. W. Pohl, “\textit{Optics at the nanometer scale}," R. Soc. Lond.A \textbf{363}, 701-717 .(2004) \bibitem{ref5} S. A. Marier, “\textit{Plasmonic: Fundementals and applications}," (Springer, New York 2007). \bibitem{ref6} N. peyghambarian, S. W. Koch, and A. Mysyrowicz, “ \textit{Introduction to semiconductor optic}," (1993). \bibitem{ref7} L. Novotny, and B. Hecht, “\textit{Principles of Nano-Optics}," (CambridgeUniversityPress, 2006). \bibitem{ref8} R. J. Moerland, “\textit{Controling Light Emission WIth Plasmonic Nanostructures}," (2008). \bibitem{ref9} H. Hartmut, and S. W. Koch, “\textit{Quantum Theory Of The Optical AND Electronic Peroperties Of Semiconductors}," (2004). \bibitem{ref10} J. D. Jackson,“\textit{Classical Electrodynamics}," New York: Wiley, 2nd edn. (1975). \bibitem{ref11} G.B.Arfken, “\textit{Mathematical Methods For Physics}" (Miami University Oxford, OH). \bibitem{ref12} E. Wolf and M. Nieto-Vesperinas, “\textit{Analyticity of the angular spectrum amplitude of scattered fields and some of its consequences},"J. Opt. Soc. Am. A \textbf{2}, 886–889 (1985). \bibitem{ref13} C.T.Tai,“\textit{Dyadic Green’s Functions in Electromagnetic Theory}." New York: IEEE Press, 2nd edn. (1993). \bibitem{ref14} D. P. Craig and T. Thirunamachandran,“\textit{Molecular Quantum Electrodynamics}," Mineola, NY: Dover Publications, Inc. (1998). \bibitem{ref15} J. A. Stratton,“\textit{Electromagnetic Theory}," New York: McGraw-Hill, 1st edn. (1941). \bibitem{ref16} A. D. Yaghjian, “\textit{Electric dyadic Green’s functions in the source region}," Proc. IEEE \textbf{68}, 248-263 (1980). \bibitem{ref17} J. V. Bladel, “\textit{Some remarks on Green’s dyadic for infinite space},"IRE Trans. Antennas Propag.\textbf{9}, 563-566 (1961). \bibitem{ref18} H.C.vandeHulst,“\textit{Light Scattering by Small Particles, Mineola}," NY: Dover Publications, Inc. (1981). \bibitem{ref19} E. M. Purcell,Phys. Rev\textbf{69}, 681 (1946). \bibitem{ref20} P. W. Milonni,“\textit{The Quantum Vacuum, San Diego}": Academic Press (1994). \bibitem{ref21} W. R. Holland and D. G. Hall, “\textit{ Frequency shifts of an electric-dipole resonance near a conducting surface},''Phys. Rev. Lett\textbf{52}, 1041-1044 (1984). \bibitem{ref22} C. R. Kagan, C. B. Murray, M. Nirmal, and M. G. Bawendi, “Electronic energy transfer in CdSe quantum dot solids,"Phys. Rev. Lett\textbf{76},1517-1520 (1996). \bibitem{ref23} S. Weiss, "Fluorescence spectroscopy of single biomolecules," Science 283, 1676-1683 (1999). \bibitem{ref24} Th. F¨ orster, “ \textit{Energiewanderung und Fluoreszenz},"Naturwissenschaften33, 166–175 (1946). \bibitem{ref25} L. Novotny, “\textit{Allowed and forbidden light in near-field optics},"J. Opt. Soc. Am. A\textbf{14}, 91–104 and 105–113 (1997), and references therein. \bibitem{ref26} L. Wei Li, P. Shyan Kooi, M. Seng Leong, and T. Soon Yee, “ \textit{Electromagnetic dyadic Green's function in spherically multilayered media}," (1994). \bibitem{ref27} J. A. Kong,“\textit{ Electromagnetic Wave Theory}," (Wiley, New York, 1990). \bibitem{ref28} L. Tsang, E. Njoku, and J. A. Kong, “ \textit{Microwave thermal emission from a stratified medium with nonuniform temperature distribution}," J. Appl. Phys \textbf{46}, 5127-5133 (1975). \bibitem{ref29} S. M. Ali, T. M. Habashy, and J. A. Kong, “ \textit{Spectral-domain dyadic Green’s function in layered chiral media}," J. Opt. Soc. Am. A \textbf{9}, 413-423 (1992). \bibitem{ref30} V. Vlack.C, P. T. Kristensen, and Hughes.S, “\textit{Spontaneous emission spectra and quantum light-matter interactions from a strongly coupled quantum dot metal-nanoparticle system}," Phys. Rev. B \textbf{85} (2012). \bibitem{ref31} W. Vogel, and G. D. Welsch, \textit{ “Quantum Optics,"Third revised and extended edition} (March 2006). \bibitem{ref32} M. O. Scully, and M. S. Zubairy, “\textit{Quantum Optics}," (Cambridge University Press, 1997). \bibitem{ref33} P. M. Morse, and H. Feshbach, “\texit{Method of Theoretical Physics}," McGraw-Hill Book Compony, (1953). \bibitem{ref34}V. V. Klimov, and D. V. Guzatov, “\textit{Strongly localized plasmon oscillations in a cluster of two metallic nanospheres and their influence on spontaneous emission of an atom}," Phys. Rev.B \textbf{75}, 024303 (2007). \bibitem{ref35} V. V. Klimov, and D. V. Guzatov, “\textit{Optical properties of an atom in the presence of a two-nanosphere cluster},"Quantum Electronics \textbf{37}, 209-230 (2007). \bibitem{ref36} V. V. Klimov, M.Ducloy,Phys.Rev.A, \textbf{69}, 013812(2004). \end{LTRitems}‎ \end{thebibliography} %\end{thebibliography} ‎%\end{LTRbibitems}‎ \end{document} \end{document} %\end{thebibliography} ‎%\end{LTRbibitems}‎ %\end{document} \newpage %‎\begin{LTRbibitems}‎ %\begin{thebibliography} %\resetlatinfont %\Persian \begin{thebibliography}{99} % assumes less than 100 references %\latin \begin{LTRitems} %\Latin \bibitem{ref1} T. S. Theuerholz, A. Carmele, M. Richter, and A. Knorr,“ \textit{Influence of Förster interaction on light emission statistics in hybrid systems}," Phys, Rev.B \textbf{87}, 245313 (2013). \bibitem{ref2} J. F. Martin , C. Girard, and A. Dereux ,“ \textit{Generalized Field Propagator for Electromagnetic Scattering and Light Confinement},"Phys. Rev. Lett \textbf{74}, 526 .(1995) \bibitem{ref3} J. Tominaga, and T. Nanokano, “\textit{Basic Theory of Optical Near Field}," .(Springer, Berlin Heidelberg) \bibitem{ref4} D. W. Pohl, “\textit{Optics at the nanometer scale}," R. Soc. Lond.A \textbf{363}, 701-717 .(2004) \bibitem{ref5} S. A. Marier, “\textit{Plasmonic: Fundementals and applications}," (Springer, New York 2007). \bibitem{ref6} N. peyghambarian, S. W. Koch, and A. Mysyrowicz, “ \textit{Introduction to semiconductor optic}," (1993). \bibitem{ref7} L. Novotny, and B. Hecht, “\textit{Principles of Nano-Optics}," (CambridgeUniversityPress, 2006). \bibitem{ref8} R. J. Moerland, “\textit{Controling Light Emission WIth Plasmonic Nanostructures}," (2008). \bibitem{ref9} H. Hartmut, and S. W. Koch, “\textit{Quantum Theory Of The Optical AND Electronic Peroperties Of Semiconductors}," (2004). \bibitem{ref10} J. D. Jackson,“\textit{Classical Electrodynamics}," New York: Wiley, 2nd edn. (1975). \bibitem{ref11} G.B.Arfken, “\textit{Mathematical Methods For Physics}" (Miami University Oxford, OH). \bibitem{ref12} E. Wolf and M. Nieto-Vesperinas, “\textit{Analyticity of the angular spectrum amplitude of scattered fields and some of its consequences},"J. Opt. Soc. Am. A \textbf{2}, 886–889 (1985). \bibitem{ref13} C.T.Tai,“\textit{Dyadic Green’s Functions in Electromagnetic Theory}." New York: IEEE Press, 2nd edn. (1993). \bibitem{ref14} D. P. Craig and T. Thirunamachandran,“\textit{Molecular Quantum Electrodynamics}," Mineola, NY: Dover Publications, Inc. (1998). \bibitem{ref15} J. A. Stratton,“\textit{Electromagnetic Theory}," New York: McGraw-Hill, 1st edn. (1941). \bibitem{ref16} A. D. Yaghjian, “\textit{Electric dyadic Green’s functions in the source region}," Proc. IEEE \textbf{68}, 248-263 (1980). \bibitem{ref17} J. V. Bladel, “\textit{Some remarks on Green’s dyadic for infinite space},"IRE Trans. Antennas Propag.\textbf{9}, 563-566 (1961). \bibitem{ref18} H.C.vandeHulst,“\textit{Light Scattering by Small Particles, Mineola}," NY: Dover Publications, Inc. (1981). \bibitem{ref19} E. M. Purcell,Phys. Rev\textbf{69}, 681 (1946). \bibitem{ref20} P. W. Milonni,“\textit{The Quantum Vacuum, San Diego}": Academic Press (1994). \bibitem{ref21} W. R. Holland and D. G. Hall, “\textit{ Frequency shifts of an electric-dipole resonance near a conducting surface},''Phys. Rev. Lett\textbf{52}, 1041-1044 (1984). \bibitem{ref22} C. R. Kagan, C. B. Murray, M. Nirmal, and M. G. Bawendi, “Electronic energy transfer in CdSe quantum dot solids,"Phys. Rev. Lett\textbf{76},1517-1520 (1996). \bibitem{ref23} S. Weiss, "Fluorescence spectroscopy of single biomolecules," Science 283, 1676-1683 (1999). \bibitem{ref24} Th. F¨ orster, “ \textit{Energiewanderung und Fluoreszenz},"Naturwissenschaften33, 166–175 (1946). \bibitem{ref25} L. Novotny, “\textit{Allowed and forbidden light in near-field optics},"J. Opt. Soc. Am. A\textbf{14}, 91–104 and 105–113 (1997), and references therein. \bibitem{ref26} L. Wei Li, P. Shyan Kooi, M. Seng Leong, and T. Soon Yee, “ \textit{Electromagnetic dyadic Green's function in spherically multilayered media}," (1994). \bibitem{ref27} J. A. Kong,“\textit{ Electromagnetic Wave Theory}," (Wiley, New York, 1990). \bibitem{ref28} L. Tsang, E. Njoku, and J. A. Kong, “ \textit{Microwave thermal emission from a stratified medium with nonuniform temperature distribution}," J. Appl. Phys \textbf{46}, 5127-5133 (1975). \bibitem{ref29} S. M. Ali, T. M. Habashy, and J. A. Kong, “ \textit{Spectral-domain dyadic Green’s function in layered chiral media}," J. Opt. Soc. Am. A \textbf{9}, 413-423 (1992). \bibitem{ref30} V. Vlack.C, P. T. Kristensen, and Hughes.S, “\textit{Spontaneous emission spectra and quantum light-matter interactions from a strongly coupled quantum dot metal-nanoparticle system}," Phys. Rev. B \textbf{85} (2012). \bibitem{ref31} W. Vogel, and G. D. Welsch, \textit{ “Quantum Optics,"Third revised and extended edition} (March 2006). \bibitem{ref32} M. O. Scully, and M. S. Zubairy, “\textit{Quantum Optics}," (Cambridge University Press, 1997). \bibitem{ref33} P. M. Morse, and H. Feshbach, “\texit{Method of Theoretical Physics}," McGraw-Hill Book Compony, (1953). \bibitem{ref34}V. V. Klimov, and D. V. Guzatov, “\textit{Strongly localized plasmon oscillations in a cluster of two metallic nanospheres and their influence on spontaneous emission of an atom}," Phys. Rev.B \textbf{75}, 024303 (2007). \bibitem{ref35} V. V. Klimov, and D. V. Guzatov, “\textit{Optical properties of an atom in the presence of a two-nanosphere cluster},"Quantum Electronics \textbf{37}, 209-230 (2007). \bibitem{ref36} V. V. Klimov, M.Ducloy,Phys.Rev.A, \textbf{69}, 013812(2004). \end{LTRitems}‎ \end{thebibliography} \section{پیوست} \subsection{محاسبه‌ی آهنگ گسیل خودبه‌خود اتم دوترازی در تصویرکوانتومی} ابتدا فرض می‌کنیم یک اتم یا مولکول در مکان $ r_{A} $ و با انرژی $ E_{n}=\hbar\omega_{n} $ قراردارد. هامیلتونی کل برهمکنش اتم با میدان الکترومغناطیسی در محیط دی‌الکتریک خطی به ‌صورت زیراست: \begin{equation}\label{eq56} \hat{H}=\hat{H}_{c}+\hat{H}_{F}+\hat{H}_{int}, \end{equation} که هامیلتونی اتم و میدان به صورت زیر است: \begin{equation}\label{eq57} \hat{H}_{c}=\sum_{n}\hbar\omega_{n}\hspace{.1cm}\hat{A}_{nn}, \end{equation} \begin{equation}\label{eq58} \hat{H}_{F}=\sum_{n}\intd^{3}r\int_{0}^{\infty}d\omega\hspace{.1cm}\hbar\omega\hspace{.1cm}\hat{f}^{\dagger}(r,\omega)\hat{f}(r,\omega), \end{equation} در معادله‌ی بالا $ \hat{f}(r,\omega) $ عملگر نابودی مربوط ‌به میدان است. هامیلتونی برهمکنش اتم و میدان در تقریب دوقطبی الکتریکی به صورت زیر نوشته ‌خواهد شد\cite{ref31}: \begin{eqnarray}\label{eq59} \hat{H}_{int}&=&-\sum d_{nm}\hspace{.1cm}\hat{E}^{(+)}(r_{A})\hspace{.1cm}\hat{A}_{nm}+H.c.\nonumber\\&=&-i\sqrt{\frac{\hbar}{\pi\varepsilon_{0}}}\hspace{.1cm}\sum_{nm}\int_{0}^{\infty}d\omega\hspace{.1cm}\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\int d^{3}(r')\hspace{.1cm}d_{nm}\overline{G}(r_{A},r';\omega)\hat{f}(r',\omega)\hat{A}_{nm}+H.c.. \end{eqnarray} در معادله‌های بالا $ \hat{A}_{nm}=|n\rangle\langle m|,\hspace{.1cm}\hat{H}_{c}|n\rangle=\hbar\omega_{n}|n\rangle $ و $ d_{nm} $ عنصر ماتریسی گشتاور دوقطبی روی حالت‌های اتمی است. با فرض دو ترازی بودن اتم: \begin{equation}\label{60} \hat{H}_{c}=\hbar(\omega_{1}\hat{A}_{11}+\omega\hat{A}_{22})=\hbar\omega_{1}+\hbar\omega_{21}\hat{A}_{22}\rightarrow\hat{H}_{c}\simeq\hbar\omega_{21}\hat{A}_{22}, \end{equation} که \begin{equation}\label{eq61} \omega_{21}=\omega_{2}-\omega_{1}=\frac{E_{2}-E_{1}}{\hbar},\hspace{.5cm}\hat{A}_{11}+\hat{A}_{22}=1. \end{equation} توجه ‌شود که از جمله‌ی $ \hbar\omega_{1} $ در هامیلتونی اتم به‌دلیل اینکه در دینامیک مساله تاثیری ندارد، چشمپوشی شده ‌است. با استفاده ‌از تقریب امواج چرخان هامیلتونی برهمکنش به صورت زیر بازنویسی می‌شود: \begin{equation}\label{eq62} \hat{H}_{int}=-i\sqrt{\frac{\hbar}{\pi\varepsilon_{0}}}\hspace{.1cm}\int_{0}^{\infty}d\omega\hspace{.1cm}\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\int d^{3}r'\hspace{.1cm}d_{21}\overline{G}(r_{A},r';\omega)\hat{f}(r',\omega)\hat{A}_{21}+H.c.. \end{equation} هنگامی ‌که اتم در تراز برانگیخته باشد ($ |2\rangle $)، میدان هیچ فوتونی ندارد . بنابراین میدان در حالت خلأ ($ |\lbrace0\rbrace\rangle $) قرار دارد: \begin{equation}\label{eq63} \hat{f}(r,\omega)|\lbrace0\rbrace\rangle=0,\hspace{.5cm}\hat{f}^{\dagger}(r,\omega)|\lbrace0\rbrace\rangle=|\lbrace1(r,\omega)\rbrace\rangle, \end{equation} که $ |\lbrace1(r,\omega)\rbrace\rangle $ حالت میدان است وقتی که یک فوتون دارد. در واقع هنگامی ‌که اتم در حالت پایه ($ |1\rangle $) قرار داشته باشد، میدان در حالت تک ‌فوتون $ |\lbrace1(r,\omega)\rbrace\rangle $ است. با توجه به هامیلتونی کل مربوط ‌به اتم و میدان، حالت کل سامانه در لحظه‌ی $ t $ به صورت زیر است: \begin{equation}\label{eq64} |\psi(t)\rangle=C_{2}(t)\hspace{.1cm}\exp(-i\omega_{21}t)|\lbrace0\rbrace\rangle|2\rangle+\int d^{3}r\int_{0}^{\infty}\exp(-i\omega t)\hspace{.1cm} C_{1}(r,\omega,t)\hspace{.1cm}|1(r,\omega)\hspace{.1cm}\rangle|1\rangle \end{equation} که $ C_{1} $ و $ C_{2} $ ضرایب بسط هستند. با قرار دادن $ |\psi(t)\rangle $ در معادله‌ی شرودینگر تحول زمانی ضرایب بسط به صورت زیر بدست می‌آیند: \begin{eqnarray}\label{eq65} \dot{C}_{2}(t)&=&-\frac{1}{\sqrt{\pi\varepsilon_{0}\hbar}}\hspace{.1cm}\int_{0}^{\infty}d\omega\hspace{.1cm}\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\hspace{.1cm}e^{-i(\omega-\omega_{21})t}\nonumber\\&\times &\int d^{3}r\hspace{.1cm}\sqrt{Im\lbrace\varepsilon(r,\omega)\rbrace}\hspace{.1cm}d_{21}\overline{G}(r_{A},r;\omega)\hspace{.1cm}C_{1}(r,\omega,t) \vspace{5mm}\\\dot{C}_{1}(r,\omega,t)&=&\frac{1}{\sqrt{\pi\varepsilon_{0}\hbar}}\hspace{.1cm}\frac{\omega^{2}}{c^{2}}\hspace{.1cm}\sqrt{Im\lbrace\varepsilon(r,\omega)\rbrace}\hspace{.1cm}e^{i(\omega-\omega_{21})t}\hspace{.1cm}d_{12}\overline{G}^{\ast}(r_{A},r;\omega)\hspace{.1cm}C_{2}(t). \end{eqnarray} دو معادله‌ی بالا معادلات جفت‌شده هستند. شرایط اولیه مربوط به ضرایب بسط به صورت زیر فرض می‌شود: \begin{equation}\label{eq66} C_{2}(t)|_{t=0}=1,\hspace{1cm}C_{1}(r,\omega,t)|_{t=0}=0. \end{equation} با انتگرال‌گیری از معادلات بالا و قرار دادن جواب در معادله‌ی دیگر، نتایج زیر بدست می‌آید: \begin{eqnarray}\label{eq67} \dot{C}_{2}(t)&=&\int_{0}^{t}dt'\hspace{.1cm}K(t-t')\hspace{.1cm}C_{2}(t'),\nonumber\\K(t)&=&-\frac{1}{\hbar\pi\varepsilon_{0}c^{2}}\int_{0}^{\infty}d\omega\hspace{.1cm}\omega^{2}\hspace{.1cm}e^{-i(\omega-\omega_{21})t}\hspace{.1cm}d_{21}Im\lbrace\overline{G}(r_{A},r_{A},\omega)\rbrace\hspace{.1cm}d_{12}. \end{eqnarray} با استفاده ‌از شرایط اولیه‌ی بالا: \begin{eqnarray}\label{eq68} C_{2}(t)&=&\int_{0}^{t}dt'\hspace{.1cm}K'(t-t')\hspace{.1cm}+1\\ K'(t)&=&\frac{1}{\hbar\pi\varepsilon_{0}c^{2}}\hspace{.1cm}\int_{0}^{\infty}d\omega\hspace{.1cm}\omega^{2}\frac{e^{-i(\omega-\omega_{21})t}-1}{i(\omega-\omega_{21})}\hspace{.1cm}d_{21}Im\lbrace\overline{G}(r_{A},r_{A};\omega)\rbrace\hspace{.1cm}d_{12} \end{eqnarray} ضریب بسط $ C_{2} $، احتمال ‌اینکه در لحظه‌ی $ t $ اتم در تراز برانگیخته و میدان تابش در حالت خلأ باشد را نشان می‌دهد. برای بدست ‌آوردن آهنگ گسیل خود‌به‌خود اتم، نیاز ‌به حل معادله‌ی (\ref{eq67}) است. برای حل این معادله می‌توان از تقریب برهمکنش ضعیف اتم و میدان تابشی استفاده کرد. قبل از آن، ابتدا برای ساده ‌کردن شکل معادلات از تغییر متغیر زیر استفاده می‌کنیم: \begin{equation}\label{eq69} C_{2}(t)=\tilde{C}_{2}(t)\hspace{.1cm}e^{-i\delta\omega_{21}t},\hspace{.5cm}\delta\omega_{21}=\tilde{\omega}_{21}-\omega_{21}. \end{equation} بنابراین معادله‌ی (\ref{eq67}) به صورت زیر بازنویسی می‌شود: \begin{eqnarray}\label{eq70} \dot{\tilde{C}}_{2}(t)=i\delta\omega_{21}\hspace{.1cm}\tilde{C}_{2}(t)+\int_{0}^{t}dt'\hspace{.1cm}\tilde{K}(t-t')\hspace{.1cm}\tilde{C}_{2}(t'),\nonumber\\\tilde{K}(t)=K(t)\hspace{.1cm}e^{i\delta\omega_{21}t}. \end{eqnarray} برهمکنش ضعیف اتم و میدان به مقدار بسامد رابی وابسته است. تقریب دیگری که در این مساله از آن استفاده می‌شود، تقریب مارکوف\LTRfootnote{Markov approximation} است. این تقریب منجر ‌به تغیرات آهسته $ \tilde{C}_{2}(t) $ در طول زمان می‌شود. بنابراین $ \tilde{C}_{2}(t') $ در معادله‌ی (\ref{eq70}) تقریبا برابر $ \tilde{C}_{2}(t) $ می‌شود و حد بالای انتگرال به سمت $ \infty $ میل داده می‌شود. در واقع در این تقریب فرض می‌شود که سامانه بدون حافظه است و تغیرات در ضریب $ \tilde{C}_{2}(t') $ فقط مربوط به همان زمان است و به زمان‌های قبل ‌از آن وابسته نیست. بنابراین معادله‌ی (\ref{eq70}) به صورت زیر بازنویسی خواهد شد: \begin{equation}\label{eq71} \dot{\tilde{C}}(t)=i\delta\omega_{21}\hspace{.1cm}\tilde{C}_{2}(t)+\tilde{C}_{2}(t)\lim_{t\rightarrow\infty}\int dt'\hspace{.1cm}\tilde{K}(t-t')=-\frac{\Gamma}{2}\hspace{.1cm}\tilde{C}_{2}(t), \end{equation} که: \begin{equation}\label{eq72} -\frac{\Gamma}{2}=\lim_{t\rightarrow\infty}\int_{0}^{t}d\tau\hspace{.1cm}\tilde{K}(\tau)+i\delta\omega_{21}, \end{equation} است. $ \Gamma $ در رابطه‌ی بالا آهنگ گسیل خودبه‌خود اتم تعریف می‌شود. برای حل معادله‌ی بالا به رابطه‌ی زیر رجوع می‌کنیم: \begin{equation} \zeta(x)=\int_{0}^{\infty}dy\hspace{.1cm}e^{ixy}=\pi\delta(x)+i\frac{P}{x}. \end{equation} بنابراین آهنگ گسیل خودبه‌خود به صورت تابعی از قسمت موهومی تابع گرین میدان بدست می‌‌آید: \begin{equation}\label{eq73} \gamma=\frac{2\tilde{\omega}_{21}^{2}}{\hbar\varepsilon_{0}c^{2}}\hspace{.1cm}d_{21}\hspace{.1cm}Im\lbrace\overline{G}(r_{A},r_{A};\omega)\rbrace\hspace{.1cm}d_{12}. \end{equation}