% این یک پرونده نمونه فارسی‌تک است.  (نسخهٔ اردی‌بهشت ۱۳۷۷)
%
% یک نویسه «%» سبب می‌شود TeX از تمام متن باقیمانده در خط صرف‌نظر کند،
% و نیز برای توضیحهایی مثل این کاربرد دارد.

\documentclass[twocolumn,twosided]{article}  % سبک متن را مشخص می‌کند.
\usepackage{url}
%\usepackage{fancyvrb}
\usepackage[landscape]{geometry}
\usepackage{setspace}\doublespacing
\usepackage{graphicx} 
\usepackage{amssymb}
\usepackage{makeidx}
%\usepackage{breqn}
\usepackage{xepersian}
\input{16bahman.ftx_farsitex_cmds_xepersian.tex}


% دیباچه اینجا آغاز می‌شود.

\title{{\huge\sayedar روش‌های مقداری نوین در علوم مالی}}       % عنوان متن را مشخص می‌کند.
\author{{\large آرش فهیم}}
\date{{\large ۱۳۸۸}}         % حذف کردن این دستور تاریخ فعلی را تولید می‌کند.
\usepackage{amssymb}
\input{symbols}

\begin{document}
%\VerbatimFootnotes           % پایان دیباچه و شروع متن.

\maketitle

\begin{itemize}
\item تاریخ‌چه‌ی روش‌های مقداری
\item مفاهیم اصلی بازارهای مالی
\begin{itemize}
\item اصل عدم آربیتراژ
\item سبد خود--تأمین
\item قراردادهای مشتق
\item قضایای فارغ از مدل
\end{itemize}
\item ابزار ریاضی: نظریه‌ی احتمال و فرایندهای تصادفی
\begin{itemize}
\item قدم زدن تصادفی
\item حرکت براونی
\item خاصیت مارکفی
\item خاصیت مارتینگلی
\item معادلات دیفرانسیل تصادفی
\item فرمول ایتو
\end{itemize}
\item مدل‌های تصادفی برای قیمت
\begin{itemize}
\item مدل دوجمله‌ای
\item مدل بلک--شولز
\end{itemize}
\item قیمت‌گذاری قراردادهای مشتق
\begin{itemize}
\item مطلوبیت طرفین قرارداد
\item سبد معادل‌ساز و ریسک‌زدایی
\item اندازه‌ی مارتینگلی و تنزیل تصادفی
\item خاصیت مارکفی و تفاوت روش قیمت‌گذاری قراردادهای اروپایی، آمریکایی و آسیایی
\end{itemize}
\item کامل بودن بازار
\begin{itemize}
\item قضیه‌ی اساسی قیمت‌گذاری
\item بازارهای ناکامل و ابرحفت‌سازی
\end{itemize}
\item اوراق درامد--ثابت
\begin{itemize}
\item مدل‌های نرخ بهره
\item قیمت‌گذاری اوراق قرضه
\item ساختار دوره‌ای
\end{itemize}
\item فرضیه‌ی بازار کارا و ایرادات بر مهندسی مالی
\end{itemize}



%\section{تاریخ‌چه‌ی روش‌های مقداری}
%\subsection{ لوی بشولیه (\lr{Louis Bachelier})}
%\begin{itemize}
%\item پایان‌نامه‌ی دکتری، ۱۹۰۰ زیر نظر هانری پوانکاره (\lr{Henry Poincar\'e}) «نظریه‌ی سفته‌بازی» (\lr{Theory of speculation})
%\item نکات برجسته‌ی کار بشولیه 
%\begin{itemize}
%\item ظهور فرایندهای تصادفی پیوسته
%\item نظریه‌ی قیمت‌گذاری مشتقات مالی 
%\item ارائه‌ی مفهوم ابتدایی بازار کارا
%\end{itemize}
%\begin{center}
%\centerline{\includegraphics[scale=0.5]{Bachelier.jpeg}\includegraphics[scale=0.5]{bachelier.jpg}}
%{\scriptsize
%بشولیه در لباس استاد دانشگاه - بشولیه ۱۲ ساله}
%\end{center} 
%\item کسی کار بشولیه را تا ۷۰ سال بعد دنبال نکرد!
%\item تقریباً هم‌زمان اقتصاددانان نظریه‌ی تعادل عمومی را برای بازارهای کامل بیان کردند. 
%\item وینر (\lr{Wiener}) تعریف دقیقی از حرکت براونی ارائه داد که به فرایند وینر مشهور شد.
%\item ایتو (\lr{It\^o}) کار بزرگی در فرایندهای تصادفی کرد (فرایند ایتو).
%\item پال ساموئلسون (\lr{Paul Samuelson}) و اویگن فاما(\lr{Eugene Fama}) نظریه‌ی بازار کارا را مطرح کردند. به طور خلاصه 
%فرضیات قوی، نیمه‌قوی و ضعیف با قائل شدن تاثیر سریع اطلاعات بر قیمت‌ها، امکان هر گونه پیشبینی را منتفی دانستند.
%\item فیشر بلک، مایرون شولز و رابرت مرتون مدلی برای تغییرات قیمت ارائه دادند که به سنت بشولیه وفادار بود.
%\begin{center}
%\centerline{\includegraphics[scale=0.5]{black.jpg}\includegraphics[scale=0.5]{scholes.jpg}\includegraphics[scale=0.5]{merton.jpg}}
%{\scriptsize
%مرتون، بلک و شولز}
%\end{center} 
%این مدل با نظریه‌ی بازار کارا سازگاری دارد ولی عدم سازگاری بازار آن را نفی نمی‌کند.
%\item بحران‌های اقتصادی دهه‌ی ۷۰ باعث شد افراد درگیر در بازار به فکر استفاده از تکنیک‌هایی بیفتند که تا کنون تنها در 
%دانشگاه وجود داشت.
%\end{itemize}
%\section{مفاهیم اصلی بازارهای مالی}
%در طول این درس فرض می‌کنیم که $\P(A)$ احتمال رخداد $A$ و $\E$ میانگین باشند. زمان را با $t$ نشان می‌دهیم.
%منظور از $t=0$ زمان اولیه یا زمان شروع یک قرارداد است. منظور از $t=T$ زمان نهایی یا سررسید است. در این جا
%ارزش یک سبد و قیمت یک سهم را در زمان $t$ به ترتیب  با $X_t$ و $S_t$ نمایش می‌دهیم. تغییرات آنی ارزش یک سبد و قیمت
%یک سهم را در زمان $t$ به ترتیب  با $dX_t$ و $dS_t$ نشان می‌دهیم.
%\subsection{اصل عدم آربیتراژ}
%آربیتراژ در بازار مالی به معنی وجود سبدی است که:
%\begin{itemize}
%\item ارزش آن در زمان اولیه برابر صفر باشد. ($X_0=0$)
%\item ارزش آن در زمان سررسید یا زمانی مشخص در آینده نامنفی باشد. ($X_T\ge0$)
%\item احتمال این که سود به دست بیاید مثبت باشد.($\P(X_T>0)>0$)
%\end{itemize}
%آربیتراژ معمولاً با سود آوری بی‌حد وحصر اشتباه گرفته می‌شود. وجود کسانی که با سرمایه‌ی تقریبا کم به ثروت زیادی
%رسیده‌اند، آربیتراژ نیست. وجود کسانی که با دریافت اطلاعات مخفی و رانت به ثروت می‌رسند نیز آربیتراژ نمی‌آفریند.
%واضح است که در بازار کارا آربیتراژ وجود ندارد. زیرا در صورت وجود خبر آن به سرعت پخش می‌شود و موقعیت آربیتراژ
%در اثر تقاضای زیاد محو می‌شود. آربیتراژ بیشتر یک مفهوم انتزاعی است تا یک پدیده‌ی مالی.
%\begin{Principle}
%در بازار مالی، آربیتراژ وجود ندارد.
%\end{Principle}
%
%
%مثالی از یک آربیتراژ این است که شخصی مقداری پول قرض کند، 
%کالایی را به قیمت کمتر خریداری کند و به قیمت بیشتر بفروشد بدون این که 
%ریسک از دست دادن کالا و یا فروش نرفتن آن تا موعد سررسید قرضش را داشته باشد.
%\subsection{سبد خود--تأمین}
%سبد خودتأمین از مقداری سهام (کالای ریسکی) و یک حساب بانکی (یا مقداری ورق قرضه) تشکیل شده است که خواص 
%زیر را دارد:
%\begin{itemize}
%\item از هیچ منبع خارجی ارزشی به آن افزوده نمی‌شود.
%\item هیچ ارزشی در اثر مصرف یا مقاصد دیگر از آن کم نمی‌شود.
%\item اگر پولی به حساب بانکی اضافه کنیم باید این مبلغ را با فروش هم‌ارز آن از کالای ریسکی تأمین کنیم.
%\item اگر پولی از حساب بانکی کم می‌کنیم باید آن را روی کالای ریسکی سرمایه‌گذاری کنیم.
%\item اگر مقداری کالای ریسکی به سبد اضافه کنیم باید پول آن را از حساب بانکی تأمین کنیم.
%\item اگر مقداری از کالای ریسکی سبد را بفروشیم باید پول آن را به حساب بانکی واریز کنیم.
%\end{itemize}
%مدل ریاضی برای سبد خود تأمین به صورت زیر است.\\
%زمانی که تنها یک کالای ریسکی داریم:
%\b*
%dX_t=\theta_tdS_t+(X_t-\theta_tS_t)rdt
%\e*
%که در آن $r$ و $\theta$ به ترتیب نرخ بهره‌ی بانکی و تعداد کالای ریسکی موجود در سبد است.
%زمانی که $d$ کالای ریسکی داریم:
%\b*
%dX_t&=&\theta_{t,1}dS_{t,1}+\cdots+\theta_{t,d}dS_{t,d}\\
%&&+(X_t-\theta_{t,1}S_{t,1}-\cdots-\theta_{t,d}dS_{t,d})rdt.
%\e*
%\subsection{نرخ بازده سرمایه و ارزش فعلی سبد}
%نرخ بازده سرمایه‌ی حساب بانکی نرخی ثابت $r$ است. \\
%اگر به شما وعده‌ی ۱ میلیون تومان در زمان $T$ بدهند و نرخ بهره 
%بانکی  ۱۰ درصد باشد، ارزش فعلی آن $NPV$ برابر ۹۰۴۸۳۷ تومان است.\\
% اگر نرخ بهره‌ی آنی برابر $r$ باشد، نرخ تنزیل در دوره‌ی زمانی $0$ تا $T$ برابر $e^{rT}$ است. اگر نرخ بهره در دوره مذکور 
%برابر $R$ باشد نرخ تنزیل $1+R$  خواهد بود.\\
%نرخ بازده سرمایه در دوره‌ی $0$ الی $T$ کالاهای ریسکی نیز به صورت زیر تعریف می‌شود. 
%\b*\frac{S_T-S_0}{S_0}\e*
%از آن جا که قیمت $S_1$ برای ما یک متغیر تصادفی است، نرخ متوسط بازده $\mu$، برای ما قابل محاسبه است.
%\b*\mu=\E\left[\frac{S_T-S_0}{S_0}\right]\e*
%این باور وجود دارد که نرخ بازده سرمایه‌ی کالاهای ریسکی باید بالاتر از کالاهای بدون ریسک باشد. اما گاهی هم در بازار
%مالی عکس آن اتفاق می‌افتد.
%\begin{Example}
%فرض کنید که قیمت یک سهام در لحظه‌ی فعلی برابر $S_0=4$ است. درانتهای  دوره قیمت سهام با احتمال برابر $8$ یا $2$ خواهد بود. بازده‌ی متوسط سهام 
%در این دوره برابر $25\%$ است.\\
%\end{Example}
%برای یافتن ارزش یک سبد وهم‌چنین بازده یک سبد بایستی به هدف دارنده‌ی سبد از تشکیل آن دقت شود. اگر در مسائل سبد بهینه معمولا دارنده 
%سعی می‌کند که متوسط مطلوبیت خود را از ارزش سبد در آینده بیشینه کند. اما اگر سبدی برای زدودن ریسک ناشی از یک تعهد مالی تشکیل شده 
%است، نگاه به آن کاملاً فرق می‌کند.
%\begin{Example} فرض کنید که  شما متعهد می‌شود که یک ماه دیگر ۱۰۰۰ سهم به شخص اول و ۱ میلیون تومان به شخص دوم بپردازید.
%قیمت هر سهم اکنون ۵۰۰ تومان است. نرخ بهره‌ی بانکی ۲ درصد در ماه است.
%استراتژی شما برای گریز از ریسک ناشی از تعهد چیست؟ اکنون چه میزان پول نیاز دارید تا بتوانید 
%با ایجاد یک سبد از این ریسک دور شوید؟
%\begin{itemize}
%\item حالت غیر تصادفی:\\
%برای این که ببینیم آیا ارزش سبد ما افزایش یافته یا کاهش باید نرخ تنزیل را حساب کنیم. اگر نرخ بازده سرمایه در سهام
%با نرخ بهره‌ی بانکی برابر نباشد، آربیتراژ به وجود می‌آید. 
%با فرض عدم آربیتراژ، نرخ بهره‌ی بانک و نرخ بازده سرمایه در سهم یکسان است. بنابراین قیمت سهام به طور 
%قطعی در آخر دوره برابر ۵۱۰ تومان خواهد بود و به  ۱۵/۱۴۸۰۳۹۲ تومان نیاز دارید.
%فرقی ندارد که این پول در ابتدا روی سهام سرمایه گذاری شود یا در بانک.
%برای 
%\item حالت تصادفی:\\
%از آن جا که مبلغ دقیق قیمت در آینده معلوم نیست، این حالت واقعی‌تر است.
%فرض کنید متوسط نرخ بازده سرمایه‌ی کالای ریسکی برابر $\mu$ باشد. در این صورت قیمت کالای ریسکی در ماه آینده برابر 
%\b*S_T=S_0+S_0(\mu+\eps)\e*
%خواهد بود که در آن $\eps$ یک متغیر تصادفی با میانگین صفر است. سبدی متشکل از ۱۰۰۰ سهم ریسکی و ۱۵/۴۸۰۳۹۲ 
%تومان در حساب بانکی تشکیل دهید. در این صورت هزینه‌ی تشکیل این سبد همان ۱۵/۱۴۸۰۳۹۲ خواهد بود و
% یک ماه بعد شما از پس تعهد خود بر خواهید آمد. حالا فرض کنید که شخصی از تعهد خود میانگین بگیرد و روشی که در حالت 
%غیر تصادفی معرفی شد را به کار برد. اگر میانگین قیمت کالای ریسکی در آینده برابر ۵۳۰ باشد، آن‌گاه به طور متوسط باید 
%۱۵۳۰۰۰۰ تومان برای تعهد خود خرج کند. اگر این مبلغ را نسبت به نرخ $2\%$ تنزیل کند، مبلغ ۱۵۰۰۰۰۰ بدست می‌آورد. 
%یعنی مبلغی بیش از مبلغ قبلی. اما با گذاشتن این مبلغ در بانک تنها می‌توان به طور متوسط از پس تعهد بر آمد. 
%بنابراین ارزش فعلی یک تعهد را نباید با روش معمولی  تنزیل کرد.
%\end{itemize}
%\end{Example}
%\subsection{قراردادهای مشتق}
%قراردادهای مشتق ابزار مدیریت ریسک هستند. قراردادهای مشتق بر حسب پرداخت، زمان اجرا و اختیار رده‌بندی می‌شوند. 
%انواع قراردادهای مشتق عبارتند از:
%\begin{itemize}
%\item سلف 
%\item آتی 
%\item اختیار اروپایی 
%\begin{itemize}
%\item اختیار خرید
%\item اختیار فروش
%\end{itemize}
%\item اختیار آمریکایی 
%\begin{itemize}
%\item اختیار خرید
%\item اختیار فروش
%\end{itemize}
%\item اختیار منع‌دار
%\begin{itemize}
%\item \lr{up-and-out}
%\item \lr{up-and-in}
%\item \lr{down-and-out}
%\item \lr{down-and-in}
%\item مخلوط 
%\end{itemize}
%\item اختیار آسیایی
%\item اختیار عجیب و غریب
%\end{itemize}
%\subsection{قضایای فارغ از مدل}
%\begin{Principle}اصل تسلطی در بازار: 
%فرض کنید که یک سبد با ارزش فعلی $x$، در آینده در هر شرایطی ارزش نا منفی دارد؛ $X_T\ge0$. آن گاه 
%ارزش فعلی آن $x$ هم باید نامنفی باشد.
%\end{Principle}
%این اصل از عدم آربیتراژ نتیجه می‌شود اما استدلال با استفاده از آن راحت‌تر خواهد بود.\\
%با قبول اصل عدم آربیتراژ، در هر بازار مالی صرف نظر از محاسبات ریاضی این قضایا درست هستند.
%\begin{itemize}
%\item قیمت اختیار آمریکایی از اختیار اروپایی مشابه کمتر نیست.
%\item با افزایش پرداخت در زمان اجرا قیمت اختیار افزایش پیدا می‌کند.
%\item زوجیت اختیار خرید--فروش: 
%\b*
%p_t+S_t=c_t+Ke^{-r(T-t)} 
%\e*
%\item قیمت اختیار آمریکایی با افزایش زان سررسید آن افزایش پیدا می‌کند.
%\item تساوی‌های اختیارات منع‌دار
%\b*
%\mbox{UO}+\mbox{UI}=\mbox{option without barrier}\\
%\mbox{DO}+\mbox{DI}=\mbox{option without barrier} 
%\e*
%\item استدلالات آربیتراژ برای قیمت تعیین شده توسط سبد جفت‌سازی و ابر معادل‌سازی
%\end{itemize}
%\section{ابزار ریاضی: نظریه‌ی احتمال و فرایندهای تصادفی}
%در این بخش به شکل صوری و به دور از جزئیات دقیق، ابزار ریاضی مورد نیاز برای مهندسی مالی
%را ارائه می‌دهیم. 
%\subsection{قدم زدن تصادفی}
%\subsection{حرکت براونی}
%\subsection{خاصیت مارکفی}
%\subsection{خاصیت مارتینگلی}
%\subsection{معادلات دیفرانسیل تصادفی}
%\subsection{فرمول ایتو}
%
%\section{مدل‌های تصادفی برای قیمت}
%\subsection{مدل دوجمله‌ای}
%فرض کنید که قیمت سهم در زمان فعلی $S$ باشد. در مدل دوجمله‌ای قیمت در لحظه‌ی بعدی با احتمال $p$ برابر $Su$ و با احتمال $1-p$ برابر $Sd$ خواهد بود. 
%طبیعی است که این مدل فقط در یک لحظه‌ی بسیار کوتاه اعتبار دارد. برای زمان‌های طولانی‌تر باید این مدل را چند دوره‌ای کرد.
%اگر نرخ تنزیل آنی  $r$ باشد، برای پایداری اصل عدم آربیتراژ در مدل دوجمله‌ای باید $d<1+r<u$ برقرار باشد.\\
%\begin{center}
%\centerline{\includegraphics{binomialoneperiod.png}}
%مدل دوجمله‌ای در یک دوره
%\end{center} 
%
%
%
%\begin{center}
%\centerline{\includegraphics{binomialmulti.jpg}}
%مدل دوجمله‌ای در چند دوره
%\end{center} 
%
%اگر نرخ تنزیل آنی  $r$ باشد، برای برقراری  اصل عدم آربیتراژ در مدل دوجمله‌ای باید $d<1+r<u$ برقرار باشد.\\
% نرخ متوسط بازده 
%در این مدل برابر 
%$$\mu=\E\left[\frac{S_1-S_0}{S_0}\right]=pu+(1-p)d-1.$$
%ضریب متوسط نوسان برابر است با
%$$\sigma=\E\left[\left(\frac{S_1-S_0}{S_0}-\mu\right)^2\right]=p(u-1)^2+(1-p)(d-1)^2-\mu^2.$$
%
%\subsection{مدل بلک--شولز}
%در مدل بلک--شولز قیمت توسط تغییراتش مدل می‌شود.
%\b*
%dS_t&=&S_t\left(\mu dt+\sigma dW_t\right)\\
%S_0&=&S. 
%\e*
%$\mu$ متوسط نرخ بازده سرمایه برای کالای ریسکی است و $\sigma$ ضریب نوسان آن. ضریب نوسان با واریانس متفاوت است.\\
%
%باور بر این است که نرخ بازده سرمایه برای یک کالای ریسکی باید از نرخ بازده‌ی کالای بدون ریسک بیشتر باشد تا 
%سرمایه‌گذاران میل به خرید آن داشته باشد. اما گاهی در بازار غیر از این هم رخ می‌دهد. روش‌های مارکویتز برای بهینه‌سازی
%سبد سهام بر این فرض استوارند. با ارائه‌ی مدل بلک--شولز یا دوجمله‌ای می‌توان روش‌های بهینه‌سازی ارائه داد که
% از این فرض فارغ‌اند.
%
%\subsection{چرا مدل‌های تصادفی بر پایه‌ی حرکت براونی هستند؟}
%\begin{center}
%\centerline{\includegraphics{bs.jpg}}
%نمودار یک مسیر احتمالی از حرکت براونی هندسی (مدل بلک--شولز)
%\end{center} 
%
%\begin{center}
%\centerline{\includegraphics{daw.png}}
%شاخص صنعت داو جونز در سال ۲۰۰۱
%\end{center} 
%\section{قیمت‌گذاری قراردادهای مشتق}
%در این درس هر کس که تعهدی را عهده‌دار شود موقعیت کوتاه نامیده می‌شود و هر کس که در وضعیت مقابل قرار دارد، موقعیت 
% بلند نامیده می‌شود. مثلا کسی 
%که پولی را قرض می‌کند کوتاه است و طرف مقابل آن بلند. خریدار یک اختیار بلند است، حال آن که فروشنده خود را در موقعیت کوتاه قرار می‌دهد. 
%\subsection{مطلوبیت طرفین قرارداد}
%در یک قرارداد مشتق مطلوبیت طرفین قرارداد این است که اگر در وضعیت بلند قرار گرفتند، بیشترین استفاده را بکنند و اگر در 
%وضعیت کوتاه قرار گرفتند ریسک حاصل از تعهد را از خود بزدایند. جا دارد که به تفاوت نگاه بیمه به ریسک
%و مدیریت ریسک در بازارهای مالی با قراردادهای مشتق اشاره شود. مثلا در مورد یک اختیار اروپایی، موقعیت کوتاه سعی
% می‌کند که با استفاده از 
%کالاهای موجود در بازار و مبلغی که در برابر قیمت قرارداد اخذ کرده است، از پس تعهد قرارداد بر آید. موقعیت بلند
% تا زمان سررسید صبر می‌کند.
%در مورد آمریکایی نیز موقعیت کوتاه همان کار را انجام می‌دهد. اما موقعیت بلند سعی می‌کند تا با انتخاب
% مناسب‌ترین زمان برای اجرای قرارداد، بیشترین 
%بهره را کسب کند. 
%\subsection{سبد معادل‌ساز و ریسک‌زدایی}
%معادل‌سازی (\lr{exact replication}) به معنای ایجاد سبدی است که ارزش آن دقیقاً برابر با تعهد باشد.
% اگر کسی موفق شود چنین سبدی ایجاد کند، ریسک حاصل از تعهد را زدوده (\lr{Hedging}) است.
%\subsection{قیمت‌گذاری در مدل دوجمله‌ای}
% قیمت‌گذاری در مدل دوجمله‌ای با استفاده از اصل عدم آربیتراژ و ساختن سبد معادل‌ساز ممکن می‌شود.
%در این حالت می‌توان به طور کامل ریسک‌زدایی کرد. برای اطلاعات بیشتر به اسلایدها مراجعه کنید.
%\subsection{اندازه‌ی مارتینگلی و تنزیل تصادفی}
%با اندازه‌ی مارتینگل می‌توان تمام چیزها را به طور خودکار قیمت‌گذاری کرد. در عمل در بسیاری از مدل‌ها اندازه‌ی مارتینگلی وجود ندارد. برای مدل 
%دو جمله‌ای اندازه‌ی مارتینگلی با استفاده از سبد معادل‌ساز بدست می‌آید. اما در مدل بلک--شولز، اندازه‌ی مارتینگلی اندازه‌ای است که نرخ بازده سرمایه در 
%مدل بلک--شولز را دست کاری می‌کند. به بیان دقیق‌تر اگر دینامیک قیمت تحت اندازه‌ی احتمال حاکم بر بازار به صورت 
%\b*
%dS_t&=&S_t\left(\mu dt+\sigma dW_t\right)
%\e*
%باشد،  دینامیک قیمت تحت اندازه‌ی احتمال مارتینگلی (اندازه‌ی احتمال خنثی از ریسک) به صورت
%\b*
%dS_t&=&S_t\left(r dt+\sigma dW_t\right)
%\e*
%
%خواهد بود که در آن $r$ نرخ بازده‌ی آنی کالای بدون ریسک (ورق قرضه یا حساب بانکی) است. 
%با نگاهی دقیق‌تر به معادله، می‌توان در یافت که تحت اندازه‌ی مارتینگلی $\frac{\mu-r}{\sigma}t+W_t$ یک
%حرکت براونی است.
%\subsection{تغییر واحد(\lr{Num\'eraire})}
%برای این که در محاسبات از گرفتاری‌های تنزیل قیمت‌ها خلاص شویم، واحد سنجش ارزش را از واحد پولی به مقدار پولی موجود در حساب بانکی که در زمان شروع
%با یک واحد پول افتتاح شده است، تغییر می‌دهیم. مثلا در واحد جدید قیمت کالای ریسکی $\St_t:=\frac{S_t}{e^{rt}}$  است. بنا به فرمول ایتو
%\b*
%d\St_t&=&\St_t\left((\mu-r)dt+\sigma dW_t\right)
%\e*
%و تحت اندازه‌ی احتمال مارتینگلی دینامیک قیمت جدید
%\b*
%d\St_t&=&\St_t\sigma dW_t
%\e*
%است. نرخ بازده تحت واحد جدید برابر صفر است. یعنی تغییر واحد همان تنزیل غیر تصادفی است.\\
%معادله‌ی سبد خود--تأمین بعد از تغییر واحد نیز ساده‌تر می‌شود.
%\b*
%d\Xt_t&=&\theta_td\St_t.
%\e* 
%\subsection{قیمت‌گذاری در مدل بلک--شولز}
%قیمت‌گذاری در مدل بلک--شولز با استفاده از فرمول ایتو و خاصیت مارکفی امکان‌پذیر است.  کلید قیمت‌گذاری هر قراردادی در 
%مدل بلک--شولز، استفاده از اصل عدم آربیتراژ است. در این میان قضیه‌ی اساسی قیمت‌گذاری کلید استفاده از اصل عدم آربیتراژ است.
%\begin{Theorem}
%در مدل بلک--شولز(یا هر مدل مارتینگلی دیگر) اصل عدم آربیتراژ معادل وجود یک اندازه‌ی احتمال مارتینگلی است.
% به‌علاوه هر قرارداد مشتق 
%را می‌توان به وسیله‌ی میانگین‌گیری از اندازه‌ی احتمال مارتینگلی قیمت‌گذاری کرد.
%\end{Theorem}
%اثبات این قضیه بسیار سخت است و ریاضیات بسیار پیچیده‌ای نیاز دارد. صورت ساده‌ی این قضیه اولین بار توسط \lr{Circa}(۱۹۷۹)
% ارائه شد و سپس توسط \lr{Kreps}(۱۹۸۱) 
%تعمیم داده شد. اما صورت کلی آن توسط \lr{Delbaen} و \lr{Schachermayer} (۱۹۹۴) اثبات شد.
% برای قیمت‌گذاری قراردادهای مشتق ابتدا باید اندازه‌ی احتمال
%مارتینگلی را بیابیم. سپس از پرداخت نهایی قرارداد مشتق نسبت به اندازه‌ی مارتینگل میانگین می‌گیریم.
%\begin{Example}فرض کنید که می‌خواهیم قرارداد اختیار خرید اروپایی روی یک کالا بادینامیک  قیمت
%\b*
%dS_t&=&S_t\left(\mu dt+\sigma dW_t\right)\\
%S_0&=&s
%\e*
% 
%را قیمت‌گذاری کنیم. می‌دانیم که جواب معادله‌ی فوق یک فرایند تصادفی لوگ--نرمال است.
%\b*
%S_t=se^{\left(\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)t+\sigma W_t\right)}
%\e*
%پرداخت نهایی قرارداد برابر $\max{\{0,S_T-K\}}$ است. تحت اندازه‌ی مارتینگلی  و بعد از تغییر واحد، به معادله‌ی زیر می‌رسیم.
%\b*
%\St_t=se^{\left(-\frac{\sigma^2}{2}t+\sigma W_t\right)}.
%\e*
%
%بنابراین قیمت قرارداد اختیار خرید اروپایی برابر
%\b*
%\E\left[\max{{\{0,\St_T-\Kt\}}}\right] 
%\e*
%که در آن $\Kt$ تنزیل $K$ است.
%\end{Example}
%\subsection{روش مونت کارلو}
%روش مونت کارلو برای قیمت‌گذاری عبارتست از تخمین مقدار قیمت که در قسمت قبل به دست آمد. 
%برای تخمین $\E\left[\max\{0,\St_T-\Kt\}\right]$ باید نمونه‌های شبیه‌سازی شده از $\St_T$ را تولید کنیم.
%فرض کنید این نمونه‌ها را با 
%\b*
%\left\{\St^i_T\right\}
%\e*
%نشان دهیم. در این صورت مقدار تخمینی برابر
%\b*\frac{1}{N}\left(\max{{\{0,\St^1_T-\Kt\}}}+\cdots+\max{{\{0,\St^N_T-\Kt\}}}\right)\e*
%خواهد بود. برای تولید نمونه‌های تصادفی هم کافی است نمونه‌های تصادفی از $W_T$ که یک متغیر نرمال با میانگین صفر و واریانس
%$T$ است تولید کنیم. سپس 
%\b*\St^i_t=se^{\left(-\frac{\sigma^2}{2}t+\sigma W^i_t\right)}.\e*
%\subsection{خاصیت مارکفی، \pde، ریسک‌زدایی  و تفاوت روش قیمت‌گذاری قراردادهای اروپایی، آمریکایی و آسیایی}
%خاصیت مارکفی یک راه مناسب دیگر برای قیمت‌گذاری قراردادهای مشتق در اختیار می‌گذارد. این راه وقتی که یافتن اندازه‌ی مارتینگل
%آسان نیست یا این که مدلی پیچیده‌تر از بلک--شولز در اختیار داریم بهتر کار می‌کند. اساس این کار استفاده از \pde است.
%تابع $v(t,s)$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
%\b*
%v(t,s)&=&\E\left[g(\St_T)|\St_t=s\right]. 
%\e* 
%می‌دانیم که امید شرطی همیشه یک مارتینگل تحویل می‌دهد. پس $v(t,\St_t)$ یک مارتینگل است.
%تعبیر $v(t,s)$ قیمت قرارداد مشتق در زمان $t$ است به شرط این که قیمت تنزیل یافته‌با تغییر واحد برابر $s$ باشد.
%در این صورت بنا به فرمول ایتو برای $Y_t=v(t,\St_t)$ دینامیک زیر را داریم.
%\b*
%dY_t&=&\left(\partial_tv+\frac{\sigma^2}{2}\partial_{ss}v\right)dt+\sigma\partial_svdW_t
%\e* 
%برای مارتینگل بودن $Y_t$ باید ضریب $dt$ صفر باشد. یعنی:
%\b*
%\partial_tv+\frac{\sigma^2}{2}\partial_{ss}v&=&0\\
%v(T,s)&=&g(s).
%\e*
%مزیت این روش نسبت به روش مونت کارلو این است که علاوه بر قیمت، سبد معادل ساز جهت ریسک‌زدایی را نیز به ما
%می‌دهد. یعنی 
%\b*dY_t=\sigma\partial_svdW_t=\partial_svd\St_t\e*.
%با مقایسه‌ی این معادله با معادله‌ی سبد خود--تأمین بعد از تغییر واحد، $\theta_t=\partial_sv(t,\St_t)$ به دست می‌آید.
%به این کار $\Delta$--ریسک‌زدایی می‌گوییم.\\
%برای قراردادهای آمریکایی نیز تا قبل از زمان اجرا می‌توان این معادله را نوشت.
%\b*
%\partial_tv+\frac{\sigma^2}{2}\partial_{ss}v&=&0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~v(t,s)<g(s)~\mbox{\rl{اگر}}\\
%v(t,s)&=&g(s),~~~~~v=g~\mbox{\rl{بعد از اولین باری که}}
%\e*
%در مورد قراردادهای آسیایی و تمام قراردادهایی که به مسیر تحول قیمت در گذشته مربوطند (مارکف نیستند) 
%انجام این کار بسیار سخت است و گاهاً اصلا امکان‌پذیر نیست. قیمت‌گذاری این گونه قراردادها با استفاده از
%\bsde امکان‌پذیر است.
%\section{کامل بودن بازار}
%قضیه‌ی اساسی قیمت‌گذاری، اصل عدم آربیتراژ معادل وجود یک اندازه‌ی مارتینگلی دانست. سپس گفتیم که قیمت یک 
%کالای مشتق توسط میانگین‌گیری نسبت به اندازه‌ی مارتینگلی بدست می‌آید. اما اگر چند اندازه‌ی مارتینگلی
%داشتیم از کدام استفاده کنیم؟\\
%با این مقدمه بازار کامل را تعریف می‌کنیم. بازار کامل بازاری است که در آن هر تعهد نامعلومی 
%در آینده را بتوان با استفاده از یک سبد خود--تأمین معادل‌ساز، ریسک‌زدایی کرد.\\
%قضیه‌ی اساسی قیمت‌گذاری در ادامه می‌گوید که بازار کامل است اگر و تنها اگر تنها یک اندازه‌ی مارتینگلی موجود باشد.
%در مدل دوجمله‌ای و مدل بلک--شولز بازارها کامل هستند.\\
%اما هیچ بازاری کامل نیست. نمی‌توان ریسک ناشی از تعهدات مالی را در آینده زدود. بنابراین باید به فکر مدل‌هایی باشیم که
%در آن‌ها بازارها ناکامل گنجانده شوند.\\
%برخی عواملی که باعث ناکامل شدن بازار می‌شوند:
%\begin{itemize}
%\item هزینه‌های انتقال.
%\item هزینه‌های شناوری.
%\item زیاد بودن منابع عدم قطعیت.
%\end{itemize}
%\subsection{بازارهای ناکامل و ابرمعادل‌سازی}
%در بازار کامل هر تعهد مالی را می‌توان با تشکیل سبد معادل‌ساز مناسب ریسک‌زدایی کرد. اما هر گونه
%اصطکاکی، باعث ناکامل شدن بازار می‌شود و دیگر معادل‌سازی دقیق امکان‌پذیر نیست. در نتیجه نیاز به روش‌هایی
%داریم که در بازار کامل ریسک را از بین ببرند. یک مسیر رایج برای  ریسک‌زدایی در بازارهای ناکامل، 
%استفاده از ابرمعادل‌سازی است. می‌توان ابرمعادل‌سازی را با استفاده از مدلی که در آن بازار کامل نیست، به 
%خوبی توضیح داد. برای این کار مدل سه جمله‌ای در نظر گرفته شده است.
%\section{اوراق درامد--ثابت}
%اوراق درامد--ثابت اموالی هستند که در آن‌ها پرداخت نهایی و سود منقسم  دوره‌ای ثابت هستند. به عنوان مثال
%می‌توان به اوراق قرضه اشاره کرد. حساب بانکی نیز از این نوع اوراق به حساب می‌آید. موقعیت کوتاه
%(منتشر کننده) در این اوراق سود ثابتی را به مشتری متعهد می‌شود. اما سودی که از جذب سرمایه‌ی مشتریان کسب می‌کند،
%متغیر است. بنابراین در معرض ریسک قرار می‌گیرد. به همین دلیل قیمت‌گذاری اوراق  درامد--ثابت و روش‌هایی برای 
%ریسک‌زدایی تعهد ناشی از آن‌ها در این بخش مورد بررسی قرار می‌گیرد.
%\subsection{مدل‌های نرخ بهره}
%همان‌طور که گفته شد، بهره پاشنه‌ی آشیل منتشر کننده‌ی اوراق است. اگر اوراق قرضه با قیمت غلط ارائه شود، 
%موقعیت کوتاه قادر نخواهد بود که ریسک خود را دفع کند. مدل‌های معروف برای نرخ بهره اکثراً فرایندهای تصادفی
%بازگشت به میانگین هستند.\\
%مدل واسیچک\footnote{\lr{Vasicek}} نرخ بهره را به صورت زیر مدل می‌کند:
%\b*
%dr_t&=&\kappa(m-r_t)dt+\sigma r_tdW_t.
%\e*
%مدل واسیچک دارای این نقص است که نرخ بهره‌ی منفی تولید می‌کند.
%مدل بعدی کاتس--انگرسال--راس\footnote{\lr{Cox-Ingersol-Ross}} مدل بعدی است که امکان منفی بودن نرخ بهره را از  بین می‌برد.
%\b*
%dr_t&=&\kappa(m-r_t)dt+\sigma\sqrt r_tdW_t.
%\e*
%\subsection{قیمت‌گذاری اوراق قرضه}
%ورق قرضه قراردادی است که به  دارنده‌ی آن یک درامد ثابت را در زمان سررسید و سود معین دوره‌ای در زمان‌های مشخص تا سررسید
%تعلق می‌گیرد.
%با فرض عدم آربیتراژ، اندازه‌ی مارتینگلی وجود دارد و می‌توان قیمت اوراق قرضه را با میانگین‌گیری نسبت به 
%آن اندازه به دست آورد.
%به بیان دقیق‌تر اگر قیمت ورق قرضه بدون سود، با زمان سررسید $T$ و پرداخت نهایی $1$ را با $B_t$ نشان دهیم:
%\b*
%B_t&=&\E^\Q[e^{-\mathop{\int}\limits_t^Tr_sds}]
%\e*
%بر خلاف قیمت‌گذاری قراردادهای مشتق، یافتن اندازه‌ی مارتینگل کار ساده‌ای نیست. به همین دلیل بدون کاستن از کلیت فرض 
%می‌کنیم که برای نرخ بهره‌ی آنی بازار، مدل واسیچک یا کاکس--انگرسال--راس تحت اندازه‌ی مارتینگلی 
%برقرار است.
%اگر بتوان پارامترهای این مدل‌ها را از روی داده‌های بازار تخمین زد، میتوان با استفاده از روش مونت کارلو مقدار $B_t$
%را نیز تخمین زد. اما روش دیگر نیز غیر از روش مونت کارلو برای این کار وجود دارد. این روش مبتنی بر \pde است. فرض می‌کنیم
%که قیمت ورق قرضه تابعی از $r_t$ و $t$ است. در این صورت برای مدل کاکس--انگرسال--راس بنا به فرمول ایتو:
%\b*
%B_t&=&v(t,r_t)\\
%dB_t&=&\left(\partial_tv+\kappa(m-r_t)\partial_rv+\frac{\sigma^2}{2}r_t\right)dt+\partial_rv\sigma\sqrt r_tdW_t. 
%\e*
%بنا به اصل عدم آربیتراژ،
%\b*
%\frac{dB_t}{B_t}&=&r_tdt+\Sigma(T,t)dW_t. 
%\e*
%بنابراین؛
%\b*
%\partial_tv+\kappa(m-r)\partial_rv+\frac{\sigma^2}{2}r-rv&=&0\\ 
%v(T,\cdot)&=&1. 
%\e*
%
%با حل این معادله می‌توان قیمت را پیدا کرد.
%\subsection{ساختار دوره‌ای}
%ساختار دوره‌ای یافتن جواب معادله‌ای را که در قسمت قبل معرفی شد، آسان می‌کند. ساختار دوره‌ای می‌گوید که 
%قیمت یک ورق قرضه تابعی از زمان تا سررسید؛ $T-t$ و سود آنی؛ $r_t$ به صورت زیر است:
%\b*
%B_t&=&A(T-t)e^{r_tC(T-t)}. 
%\e*
%با قراردادن این تابع در \pde بخش قبل، $A$ و $C$ به دست می‌آید.

\end{document}         % پایان متن.