\documentclass[a4paper,12pt]{xepersian-thesis}
\usepackage{amsthm,amssymb,amsmath}
%بسته‌ای برای تنطیم حاشیه‌های بالا، پایین، چپ و راست صفحه
\usepackage[top=45mm, bottom=31mm, left=28mm, right=35mm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[arc,all]{xy}
\usepackage[pagebackref=true,colorlinks,linkcolor=blue,citecolor=magenta]{hyperref}
%اگر بخواهیم شماره صفحات را در رفرنس چاپ نکنیم true را fals می‌کنیم 
% بسته‌ و دستوراتی برای ایجاد لینک‌های رنگی با امکان جهش 
% چنانچه قصد پرینت گرفتن نوشته خود را دارید، خط بالا را غیرفعال و  از دستور زیر استفاده کنید چون در صورت استفاده از دستور زیر‌‌، 
% لینک‌ها به رنگ سیاه ظاهر خواهند شد و برای پرینت گرفتن، مناسب‌تر است
%\usepackage[pagebackref=false]{hyperref}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage{lastpage}
% بسته‌ای برای ظاهر شدن «مراجع» و« نمایه» در فهرست مطالب
%\usepackage{tocbibind}
%برای درست کردن مراجع باید باید دستور بالا را حذف کرد 
% دستورات مربوط به ایجاد نمایه
%\usepackage{makeidx}
%\makeindex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% فراخوانی بسته زی‌پرشین و دستورات مربوط به نوع فونت‌ها
\usepackage{xepersian}
\settextfont[Scale=1.2]{XB Zar}
\setlatintextfont[ExternalLocation,BoldFont={lmroman10-bold},BoldItalicFont={lmroman10-bolditalic},ItalicFont={lmroman10-italic}]{lmroman10-regular}
\setdigitfont[Scale=1.1]{XB Zar}
\defpersianfont\titr[Scale=1]{XB Titre}
\defpersianfont\nastaliq[Scale=1.5]{IranNastaliq}
\newfontinstance\arabicfont[Script=Arabic,Scale=1.2,WordSpace=2]{Nazli}
%\defpersianfont\traffic[Scale=1]{B Traffic}
% چنانچه فونت B Traffic را ندارید، دستور بالا را غیرفعال کرده و دستور زیر را فعال کنید
\defpersianfont\traffic[Scale=1]{XB Niloofar}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\abstractname}{}
% دستوری برای حذف کلمه «abstract»
%\renewcommand{\latinabstract}{}
% دستوری برای تغییر نام کلمه «اثبات» به «برهان»
\renewcommand\proofname{\textbf{برهان}}
% دستوری برای تغییر نام کلمه «کتاب‌نامه» به «مراجع»
\renewcommand{\bibname}{مراجع}
% دستوری برای تعریف واژه‌نامه انگلیسی به فارسی
\newcommand\persiangloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\}
% دستوری برای تعریف واژه‌نامه فارسی به انگلیسی 
\newcommand\englishgloss[2]{#2\dotfill\lr{#1}\\}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%تعریف و نحوه ظاهر شدن عنوان قضیه‌ها، تعریف‌ها، مثال‌ها و ...
\usepackage{mathrsfs}

% تغییر نام کلمه «اثبات» به «برهان»
\renewcommand\proofname{\textbf{اثبات}.}
\theoremstyle{definition}                                                                                                             \newtheorem{definition}{تعریف}[section]
\theoremstyle{theorem}                                                                                                             \newtheorem{theorem}[definition]{قضیه}
\newtheorem{lemma}[definition]{لم}
\newtheorem{proposition}[definition]{گزاره}
\newtheorem{corollary}[definition]{نتیجه}
\newtheorem{remark}[definition]{تذکر}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}[definition]{مثال}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% تعریف دستورات جدید برای خلاصه نویسی و راحتی کار در هنگام تایپ فرمول‌های ریاضی
\newcommand{\so}{{\frac{G}{\x \cap \ker(f)}}}
\newcommand{\sd}{{\dfrac{G}{\ker(f) \cap \x }}}
\newcommand{\s}{{\x \cap \ker(f)}}
\newcommand{\g}{\dfrac{G}{W^{*}(G)}}
\newcommand{\gd}{\frac{G}{W^{*}(G)}}
\newcommand{\z}{{\dfrac{G}{W(G)} }}
\newcommand{\wz}{{\dfrac{G}{W(G)Z(G)} }}
\newcommand{\w}{{Hom({\dfrac{G}{W(G)} },W^*(G))}}
\newcommand{\hw}{{Hom({\dfrac{G}{W(G)Z(G)} },W^*(G))}}
\newcommand{\q}{{Hom(G,W^{*}(G))}}
\newcommand{\n}{ W^{*}(G)\cap Z(G)}
\newcommand{\nn}{ Aut_{N}(G) }
\newcommand{\y}{ W(G)}
\newcommand{\m}{\frac{G}{G'W(G)}}
\newcommand{\x}{ W^{*}(G) }
\newcommand{\p}{ Aut_{W^{*}}(G) }
\newcommand{\ww}{ Aut_{\Phi}(G)}
\newcommand{\wc}{ C_{Aut_{\Phi}}(Z(\pp))}
\newcommand{\cc}{ Aut_{c}(G) }
\newcommand{\cw}{ C_{\p}(Z(G)) }
\newcommand{\cp}{ C_{\cc}(\pp) }
\newcommand{\zz}{ Z(G) }
\newcommand{\pp}{\Phi(G) }
\newcommand{\bt}{\begin{theorem}}
\newcommand{\et}{\end{theorem}}
\newcommand{\bl}{\begin{lemma}}
\newcommand{\el}{\end{lemma}}
\newcommand{\bc}{\begin{corollary}}
\newcommand{\ec}{\end{corollary}}
\newcommand{\bp}{\begin{proof}}
\newcommand{\ep}{\end{proof}}
\newcommand{\be}{\begin{example}}
\newcommand{\ee}{\end{example}}
\newcommand{\bd}{\begin{definition}}
\newcommand{\ed}{\end{definition}}
\newcommand{\ba}{\begin{align*}}
\newcommand{\kkk}{\end{align*}}
\newcommand{\bpp}{\begin{proposition}}
\newcommand{\epp}{\end{proposition}}
\newcommand{\no}{\nonumber}
\renewcommand\headrule{{\color{red} \hrule height 0.5pt width\headwidth}
                       \vspace{2pt}%
                    {\color{green}\hrule height 2pt width\headwidth} 
                  \vspace{2pt}
              {\color{blue} \hrule height 0.5pt width\headwidth 
          \vspace{-4 pt}}}
                       
%\renewcommand\headrule{\hrule height 0.5pt width\headwidth
   %                 \vspace{1pt}%
      %          \hrule height 0.5pt width\headwidth
         %     \vspace{-4pt}}
                       
 \pagestyle{fancy}
\cfoot{}
\lhead{\thepage}
\newenvironment{fminipage}%
{\begin{Sbox}\begin{minipage}}%
{\end{minipage}\end{Sbox}\fbox{\TheSbox}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%}
\begin{document}
% دستوری برای ظاهر شدن فهرست مطالب
\baselineskip=1.2cm
\tableofcontents
\thispagestyle{empty}
\chapter{یک حدس روی خودریختی‌های $-p$گروه‌های متناهی}
\thispagestyle{empty}
\section{زیرگروههای فراتینی}
\bd
یک زیرگروه سره $M$ از $G$ یک زیرگروه ماکسیمال از $G$ نامیده می‌شود، اگر زیرگروهی مانند $L$ وجود نداشته باشد به طوری که  $M<L<G$.
\ed
\bd
فرض کنیم $G$ یک گروه باشد. اشتراک همه‌ی زیرگروه‌های ماکسیمال و زیر گروه فراتینی $G$ گویند و آن را با علامت $\pp$ نشان می‌دهند. 
\ed
اگر $G=\{e\}$، آن‌گاه $\pp=\{e\}$. \\
به سادگی دیده می‌شود که $\pp$ یک زیرگروه مشخصه از $G$ است.
\bt \label{max aval}
اگر $K\lhd G$ باشد، آن‌گاه $K$ یک زیرگروه ماکسیمال از $G$ است اگر و تنها اگر $\dfrac{G}{K}$ یک گروه از مرتبه‌ی یک عدد اول باشد.
\et 
\bp
$[$رجوع کنید به لم 2.11 از \cite{Rose}].
\ep 
\bd
یک گروه آبلی $A$ یک $-p$گروه آبلی مقدماتی گفته می‌شود اگر عدد اول  $p$ وجود داشته باشد به طوری که برای هر $x\in A$ داشته باشیم $x^{p}=1$.
\ed
\be 
\ee
\bt{{\bf (کوشی)}}
اگر $G$ یک گروه متناهی باشد به طوری که $p\Big | |G|$، آن‌گاه $G$ یک عنصر از مرتبه‌ی $p$ دارد.
\et 
\bp 
رجوع کنید به [قضیه‌ی 11.5 از \cite{Rose}].
\ep 
فرض کنیم $\mathbb{F}$ یک میدان، و $n$ عددی طبیعی باشد. مجموعه‌ی همه‌ی ماتریس‌های معکوس‌پذیر $n\times n$ را که درایه‌های هریک از آن‌ها در  $\mathbb{F}$اند، با $GL(n,\mathbb{F})$ نشان می‌دهیم. به سادگی می‌توان دید که $GL(n,\mathbb{Z}_{p})$ با عمل ضرب ماتریس‌ها تشکیل یک گروه می‌دهد.\\
فرض کنیم $V$ یک فضای برداری با بعد $n$ روی میدان $\mathbb{F}$ باشد، مجموعه‌ی همه‌ی تبدیلات خطی معکوس‌پذیر $V$ را با $GL(V)$ نشان می‌دهیم. $GL(V)$ با عمل ترکیب توابع تشکیل یک گروه می‌دهد. 
\bl \label{vector}
فرض کنیم $G$ یک $-p$گروه آبلی مقدماتی از مرتبه‌ی $p^{n}$ باشد. در این صورت یک فضای برداری روی میدان $\mathbb{Z}_{p}$ از بعد $n$ وجود دارد به طوری که $G\simeq V^{+}$، که در آن $V^{+}$ گروه جمعی فضای برداری $V$ است. به علاوه، $Aut(G)\simeq GL(V)$.
\el
\bp
رجوع کنید به [لم 3.2.5 از \cite{Jam}].
\ep 
\bt
اگر $G$ یک $-p$گروه متناهی باشد، آنگاه $G$ پوچ‌توان است.
\et 
\bp
رجوع کنید به قضیه 22.4 از \cite{Rose}.
\ep 
\bt \label{poochtavn Z & normal 1}
فرض کنیم $G$ یک گروه پوچ‌توان باشد و $N\unlhd G$. در این صورت اگر $N\neq 1$، آن‌گاه $N\cap Z(G)\neq1$.
\et 
\bp
رجوع کنید به قضیه 5.2.10 از \cite{Jam}
\ep 
\bt \label{max nor}
اگر گروه پوچ‌توان $G$ زیرگروه ماکسیمالی مانند $M$ داشته باشد، آن‌گاه $M\lhd G$.
\et 
\bp
[رجوع کنید به نتیجه 7.1.10 از \cite{Jam}].
\ep 
\bt \label{poochtan G'< frattini}
فرض کنیم $G$ یک گروه متناهی باشد. در این صورت $G$ پوچ‌توان است اگر و تنها اگر $G'\leq \pp$. 
\et 
\bp
رجوع کنید به قضیه 5.3.10 از \cite{Jam}
\ep 
\bt \label{fratt G'Gn}
اگر  $G$ یک $-p$گروه متناهی باشد، آن‌گاه $\pp=G'G^{p}$.
\et 
\bp
رجوع کنید به قضیه  6.3.10 از  \cite{Jam}.
\ep 
\bc \label{frat abel mogh}
اگر $G$ یک $-p$گروه متناهی باشد، آن‌گاه $\dfrac{G}{\pp}$ آبلی مقدماتی است.
\ec
\bp
رجوع کنید به 7.3.10 از \cite{Jam}.
\ep 
\bt \label{frattini 1 G abelian elementary}
فرض کنیم $G$ یک $-p$گروه باشد. در این صورت $\pp=1$ اگر و تنها اگر $G$ یک $-p$گروه آبلی مقدماتی باشد.
\et 
\bp
با استفاده از قضیه \eqref{fratt G'Gn} و \eqref{frat abel mogh}، به راحتی اثبات می‌شود.
\ep 
گروه همه‌ی خودریختی‌های مرکزی  که عناصر $\pp$ را ثابت نگه می‌دارند، را با $\cp$ نشان می‌دهیم. به وضوح $\cp$ یک زیرگروه از $\cc$ است.
\begin{proposition}\label{2.1}
فرض کنیم $G$ یک گروه باشد. در این صورت 
\begin{enumerate}
\item
$\cp \cap Inn(G)\simeq \dfrac{Z_{2}(G)\cap C_{G}(\pp)}{Z(G)}$
\item
اگر $\cp \leq Inn(G)$ باشد، آن‌گاه  $$\cp \simeq \dfrac{Z_{2}(G)\cap C_{G}(\pp)}{Z(G)}.$$
\end{enumerate}
\end{proposition}
\bp
 ‌
\begin{enumerate}
\item
فرض کنیم $x\in Z_{2}(G)\cap C_{G}(\pp)$ باشد. در این صورت $xZ(G)\in Z(\dfrac{G}{Z(G)})$. یعنی  برای هر $g\in G$ داریم $x^{-1}g^{-1}xg\in Z(G)$. حال اگر $\theta _{x}$ خودریختی القا شده توسط $x$ باشد، آنگاه برای هر $g\in G$ داریم $g^{-1}\theta_{x}(g)=g^{-1}xgx^{-1}\in Z(G)$. در نتیجه $\theta_{x}\in \cc$. حال برای هر $g\in \pp$ داریم $\theta_{x}(g)=xgx^{-1}=g$.  در نتیجه $\theta_{x}\in \cp$. پس $\cp \cap Inn(G)$. حال  نگاشت $\varphi: Z_{2}(G)\cap C_{G}(\pp) \longrightarrow \cp\cap Inn(G)$ را به صورت $x\longmapsto \theta_{x^{-1}}$ تعریف می‌کنیم. به وضوح $\varphi$ خوش تعریف است. حال ثابت می‌کنیم  $\varphi$ یک همریختی است. برای هر $x,y\in Z_{2}(G)\cap C_{G}(\pp)$ و $g\in G$   داریم
  $$\theta_{y^{-1}x^{-1}}(g)=y^{-1}x^{-1}gxy=\theta_{y^{-1}}(x^{-1}gx)=\theta_{y^{-1}}(\theta_{x^{-1}}(g)).$$
پس می‌توان نوشت $\varphi(xy)=\theta_{(xy)^{-1}}=\theta_{y^{-1}x^{-1}}=\theta_{y^{-1}}\theta_{x^{-1}}$؟؟؟؟؟؟؟؟؟
به سادگی می‌توان دید که $\varphi$ پوشا است. اگر $x\in \ker( \varphi)$ باشد آن‌گاه $\varphi(x)=\theta_{x^{-1}}=1_{G}$. پس برای هر $g\in G $ داریم $x^{-1}gx=\theta_{x^{-1}}(g)=1_{G}(g)=g$. در نتیجه $x\in Z(G)$. بنابراین $\ker(\varphi)\leq Z(G)$. حال اگر $x\in Z(G)$ باشد، آن‌گاه برای هر $g\in G $ داریم $[g,x]=1$. پس $\theta_{x^{-1}}(g)=x^{-1}gx=g=1_{G}(g)$. بنابراین $Z(G)\leq \ker(\varphi)$. پس $\ker(\varphi)=Z(G)$. با استفاده از قضیه اول یکریختی $$ \dfrac{Z_{2}(G)\cap C_{G}(\pp)}{Z(G)} \simeq \cp.$$
\item 
با استفاده از قسمت اول، قسمت دوم به راحتی اثبات می‌شود. 
\end{enumerate}
\ep 
\bpp \label{2.2}
اگر   $G$ یک  $-p$گروه غیر آبلی باشد و $\cp \leq Inn(G)$.  آن‌گاه  $\dfrac{Z_{2}(G)\cap C_{G}(\pp)}{Z(G)}\simeq Hom(\dfrac{G}{\pp},G'\cap Z(G))$،  $rank(G'\cap Z(G))=rank(Z(G))$ و $Z(G)\leq \pp$.
\epp
\bp
اگر $Z(G)\nleq \pp$، آن‌گاه وجود دارد $g\in Z(G)$ و یک زیرگروه ماکسیمالی مثل $M$ به طوری که $g\notin M$. در نتیجه $G=M\langle g\rangle$.
بر طبق قضیه کوشی و قضیه \eqref{poochtavn Z & normal 1}، عنصر $z$ از مرتبه‌ی $p$ در $Z(G)\cap \pp$ وجود دارد. حال نگاشت $\alpha:G\longrightarrow G$ را به صورت $mg^{k}\longmapsto mg^{k}z^{k}$ تعریف می‌کنیم که در آن $k\in \{0,1,\cdots,p-1\}$. اگر $g_{1},g_{2}\in G$ و $g_{1}=g_{2}$ باشد، آن‌گاه $m_{1},m_{2}\in M $ و $k_{1},k_{2}\in \{0,1,\cdots,p-1\}$ وجود دارند به طوری که  $m_{1}g^{k_{1}}=m_{2}g^{k_{2}}$. پس $m_{2}^{-1}m_{1}=g^{k_{2}}g^{-k_{1}}$. بنابراین $g^{k_{2}-k_{1}}\in M$ که نتیجه می‌گیریم که$g^{k_{2}}g^{-k_{1}}=1$. که به دست می‌آید $k_{1}=k_{2}$ و $m_{1}=m_{2}$. یعنی $\alpha(g_{1})=\alpha(g_{2})$. پس $\alpha$ خوش تعریف است. هم‌چنین اگر $g_{1},g_{2}\in G$ باشد، در این صورت داریم 
\begin{center}
$\alpha(g_{1}g_{2})=\alpha(m_{1}g^{k_{1}}m_{2}g^{k_{2}})=\alpha(m_{1}m_{2}g^{k_{1}+k_{2}})
=m_{1}m_{2}g^{k_{1}+k_{2}}z^{k_{1}+k_{2}}=m_{1}g^{k_{1}}z^{k_{1}}m_{2}g^{k_{2}}z^{k_{2}}
=\alpha(g_{1})\alpha(g_{2}).$
\end{center}
پس $\alpha$ یک همریختی است. حال اگر برای $g_{1},g_{2}\in G$ داشته باشیم $\alpha(g_{1})=\alpha(g_{2})$، آن‌گاه $m_{1}g^{k_{1}}z^{k_{1}}=m_{2}g^{k_{2}}z^{k_{2}}$. پس $g^{k_{1}}z^{k_{1}}=m_{1}^{-1}m_{2}g^{k_{2}}z^{k_{2}}=g^{k_{2}}m_{1}^{-1}m_{2}z^{k_{2}}$. در نتیجه $g^{k_{1}-k_{2}}=m_{1}^{-1}m_{2}z^{k_{2}-k_{1}}$.  بنابراین $k_{1}=k_{2}$ و $m_{1}=m_{2}$.  یعنی $g_{1}=g_{2}$.  پس $\alpha$ یک به یک است و از متناهی بودن $G$ نتیجه می‌شود $\alpha \in Aut(G)$. حال برای هر $g\in G$ داریم $g^{-1}\alpha(g)=g^{-k}m^{-1}mg^{k}z^{k}=z^{k}\in Z(G)$.  اگر $x\in \pp $ باشد، آن‌گاه $\alpha(x)=x$.  در نتیجه $\alpha \in \cp$. اما $\alpha$ یک خودریختی داخلی نیست. زیرا اگر وجود داشته باشد $a\in G$ به طوری که $\alpha=\theta_{a}$، آن‌گاه از  $g\in Z(G)$ و $g\notin M$ داریم $g=aga^{-1}=\theta_{a}(g)=\alpha(g)=gz\neq g$. پس $\alpha \in Inn(G) $ که این تناقض با فرض گزاره است. بنابراین $Z(G)\leq \pp$.  حال برای هر $f\in \cp $ نگاشت $\sigma_{f}:\dfrac{G}{\pp	}\longrightarrow G'\cap \zz$ را به صورت $x\pp \longmapsto x^{-1}f(x)$ تعریف می‌کنیم. به وضوح برای هر $x\in G $ داریم $ \sigma_{f}(x\pp)\in \zz $. حال چون $f\in \cp \leq Inn(G)$، پس وجود دارد $a\in G$ به  طوری که $f=\theta_{a}$. پس $$\sigma_{f}(x\pp)=x^{-1}f(x)=x^{-1}\theta_{a}(x)=x^{-1}axa^{-1}\in G'.$$ به وضوح $\sigma_{f}$ خوش تعریف است. حال برای هر $x,y\in G$ داریم 
\begin{center}
$\sigma_{f}(xy\pp)=(xy)^{-1}f(xy)=y^{-1}x^{-1}f(x)f(y)=x^{-1}f(x)y^{-1}f(y)=\sigma_{f}(x\pp)\sigma_{f}(y\pp).$
\end{center}
پس $\sigma_{f}\in Hom(\dfrac{G}{\pp},G'\cap\zz$. 
\newline
 حال  نگاشت $\alpha:\cp \longrightarrow Hom(\dfrac{G}{\pp},G'\cap\zz$ را به صورت $f\longmapsto  \sigma_{f}$ تعریف می‌کنیم. به وضوح $\alpha$ خوش تعریف است. برای هر $f,h\in \cp$ و $x\in G $ داریم 
 \begin{center}
$\sigma_{fh}(x \pp)=x^{-1}(fh)(x)=x^{-1}f(h(x))=x^{-1}f(xx^{-1}h(x))=x^{-1}f(x)f(x^{-1}h(x))=x^{-1}f(x)x^{-1}h(x)=\sigma_{f}(x\pp)\sigma_{h}(x\pp).$
\end{center}
پس $\alpha$ یک همریختی است. \newline
 اگر $f\in \ker(\alpha)$، آن‌گاه $\sigma(f)=\sigma_{f}=I$. برای هر $x\in G$ داریم $$1=I(x\pp)=\sigma_{f}(x\pp)=x^{-1}f(x).$$  یعنی $f(x)=x$.  پس $f$ یک خودریختی همانی است. در نتیجه $\alpha$ یک به یک است.  برای هر $h\in Hom(\dfrac{G}{\pp},G'\cap \zz) $ نگاشت $f:G\longrightarrow G$ را به صورت $x\longmapsto xh(x\pp)$ تعریف می‌کنیم. برای هر $x,y \in G$ داریم 
\begin{center}
$ f(xy)=xyh(xy\pp)=xyh(x\pp)h(y\pp)=xh(x\pp)yh(y\pp)=f(x)f(y). $
\end{center}
پس $f$ یک همریختی است. $f$ نیز یک به یک است. زیرا اگر $x\in \ker(f)$ باشد، آن‌گاه $1=f(x)=xh(x\pp)$. در نتیجه $x^{-1}=h(x\pp)\in G'\leq \pp$. پس $x\in \pp$ یعنی $x^{-1}=h(x\pp)=h(\pp)=1$. در نتیجه $f$ یک به یک است و چون $G$ متناهی است، پس $f$ یک خودریختی است. حال برای هر $x\in G$ داریم $x^{-1}f(x)=x^{-1}xh(x\pp)=h(x\pp)\in \zz$ و هم‌چنین برای هر $x\in \pp$ داریم $f(x)=xh(x\pp)\in \pp$. زیرا $G$ پوچ‌توان است و بنابر قضیه \eqref{poochtan G'< frattini}، $G'\leq \pp$. در نتیجه $f\in \cp$.  در این صورت داریم $$\sigma_{f}(x\pp)=x^{-1}f(x)=x^{-1}xh(x\pp)=h(x\pp).$$ یعنی $\sigma_{f}=h$. پس $\alpha(f)=\sigma_{f}=h$. بنابراین $\alpha$ پوشا می‌شود. در این صورت  $\cp \simeq  Hom(\dfrac{G}{\pp},G'\cap Z(G))$.  در نتیجه با استفاده از گزاره‌ی \eqref{2.1}،
 $$\dfrac{Z_{2}(G)\cap C_{G}(\pp)}{Z(G)}\simeq Hom(\dfrac{G}{\pp},G'\cap Z(G)).$$
\ep 
\bc \label{2.3}
 فرض کنیم $G$ یک $-p$گروه متناهی از رده‌ی پوچ‌توانی 2 باشد به طوری که $G'$ دوری است. در این صورت $\cp \leq Inn(G)$ اگر و تنها اگر $Z(G)$ دوری باشد  و $\zz \leq \pp$.
\ec
\bp‌
\begin{enumerate}
\item[$ ( \Longleftarrow$]
چون $G$ یک گروه پوچ‌توان از رده‌ی 2 است، پس $G$ غیرآبلی است و $G'\leq Z(G)$.  از گزاره‌ی \eqref{2.2}، داریم
 $rank(G')=rank(G'\cap Z(G))=rank(Z(G))$
 و  $\pp \leq Z(G)$.
 چون $G'$ دوری است، پس $rank(\zz)=1$.  در نتیجه $\zz$ دوری می‌شود.
 \item[$  (\Longrightarrow$]
 چون $G$ یک $-p$گروه پوچ‌توان از رده‌ی 2  و $\zz$ دوری است، پس از قضیه \eqref{elementwise shabani}، $\wc=Inn(G)$. چون $\zz \leq \pp$، به سادگی دیده می‌شود $\cp \leq C_{\cc}(\zz)=Inn(G)$.
\end{enumerate}
\ep  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\bc \label{2.3}
اگر $G$ یک $-p$گروه متناهی از رده‌ی پوچ‌توانی 2 باشد به طوری که $G'$ دوری است، آن‌گاه $\cp \leq Inn(G)$ اگر و تنها اگر $\zz \leq \pp$.
\ec
\bp‌
\begin{enumerate}
\item[$  (\Longrightarrow$]
اگر $\cp \leq Inn(G)$ باشد، آن‌گاه  با استفاده از گزاره \eqref{2.2}، داریم $\zz \leq \pp$.
\item[$  (\Longleftarrow$]
اگر $\zz \leq \pp$ باشد، آن‌گاه $\cp \leq C_{\cc}(\zz)$.  با استفاده از قضیه \eqref{elementwise shabani}، داریم $C_{\cc}(\zz)=Inn(G)$.  در نتیجه به دست می‌آوریم $\cp \leq Inn(G)$.
\end{enumerate}
\ep 
%%%$ۀ$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%g%%%%%%%%%%%%
\bpp \label{2.5}
فرض کنیم  $G$ یک  $-p$گروه متناهی غیرآبلی باشد. در این صورت $\cp \leq Inn(G)$ اگر و تنها اگر $\dfrac{Z_{2}(G)\cap C_{G}(\pp)}{\zz}\simeq Hom(\dfrac{G}{\pp},\zz)$.
\epp 
\bp‌
\begin{enumerate}
\item[$  (\Longrightarrow$]
\item[$  (\Longleftarrow$]
\end{enumerate}
\ep 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bpp \label{2.6}
اگر $G$ یک $-p$گروه متناهی باشد، آن‌گاه $\cp=Inn(G)$ اگر و تنها اگر $G\simeq C_{2}$ یا $\pp=\zz$ و $\zz$ دوری باشد.
\epp
\bp‌
\begin{enumerate}
\item[$  (\Longrightarrow$]
اگر $G=C_{2}$ باشد، آن‌گاه به وضوح $\cp=Inn(G)=1$. اگر $\zz=\pp$  و $\zz$ دوری باشد، آن‌گاه  از قضیه \eqref{poochtan G'< frattini}، $G'\leq \zz$. بنابراین $G$ یک گروه پوچ‌توان از رده‌ی 2 است. پس از قضیه‌ی \eqref{elementwise shabani}، داریم $\cp=C_{\cc}(\zz)=Inn(G)$.
\item[$  (\Longleftarrow$]
حال اگر $\cp=Inn(G)$ و $G$ یک $-p$گروه آبلی باشد، آن‌گاه $G$ یک $-p$گروه آبلی مقدماتی است. یعنی $exp(G)=p$.  زیرا اگر $exp(G)=p^{k}$ و $k>1$ باشد، آن‌گاه نگاشت $\theta:G\longrightarrow G$ را به صورت $x\longmapsto x^{1+p^{k-1}}$ تعریف می‌کنیم.  $\theta$ غیربدیهی است. زیرا اگر برای هر $x\in G$ داریم .$\theta(x)=x^{1+p^{k-1}}=x$ یعنی برای هر $x\in G$ داریم $x^{k-1}=1$، که با $exp(G)=p^{k}$ در تناقض است. به وضوح $\theta$ خوش تعریف است. هم‌چنین با توجه به آبلی بودن $G$، تکریختی نیز است و با توجه به متناهی بودن $G$،  $\theta$ یک خودریختی است.  حال برای هر $x\in G$ داریم $$x^{-1}\theta(x)=x^{-1}x^{1+p^{k-1}}=x^{p^{k-1}}\in G=Z(G).$$ چون $G$ آبلی است، پس $G'=1$. با توجه به قضیه‌ی \eqref{fratt G'Gn}، $\pp=G^{p}$.    پس  برای هر $x\in \pp$  وجود دارد $y\in G$    به طوری که $x=y^{p}$.  در نتیجه داریم $$\theta(x)=\theta(y^{p})=y^{p+p^{k}}=y^{p}=x.$$    بنابراین $\theta$ یک خودریختی مرکزی غیربدیهی است که عناصر فراتینی را ثابت نگه می‌دارد.  با توجه به فرض، $\theta$ یک خودریختی القایی است. اما چون $G$ یک گروه آبلی است، پس $Inn(G)=1$ است که این با غیربدیهی بودن $\theta$ در تناقض است.   در نتیجه $k=1$. \\
  چون $G$ آبلی است، پس هر $\alpha \in Aut(G)$ یک خودریختی مرکزی است. یعنی $\cc=Aut(G)$. از طرفی چون $G$ یک $-p$گروه آبلی مقدماتی است، پس از قضیه \eqref{frattini 1 G abelian elementary}، $\pp=1$. در نتیجه هر عضو $Aut(G)$ یک عضو از $C_{\cc}(\pp)$ است. یعنی $C_{\cc}(\pp)=Aut(G)$.  از طرفی چون داریم  $C_{\cc}(\pp)=Inn(G)=1$، پس $Aut(G)=1$.  \\
  نگاشت $f:G\longrightarrow G$ که به صورت $g\longmapsto g^{-1}$ تعریف می‌شود یک خودریختی است. زیرا $G$ یک گروه آبلی است. با  توجه به این‌که ثابت کردیم، $Aut(G)=1$ باید $x=x^{-1}$.  بنابراین $p=2$. حال اگر $|G|>2$ باشد، آن‌گاه یک تبدیل خطی معکوس‌پذیر غیربدیهی وجود دارد که با لم \eqref{vector}، در تناقض است. در نتیجه $G\simeq C_{2}$. \\
  فرض کنیم $C_{\cc}(\pp)=Inn(G)$ و $G$ یک $-p$گروه غیرآبلی باشد. در این صورت داریم $Inn(G)\leq C_{\cc}(\pp)$. بنابراین  برای هر $g\in G$ و هر $x\in \pp$ داریم $gxg^{-1}=\theta_{g}(x)=x$.   بنابراین   $gx=xg$.  در نتیجه $\pp\leq\zz$. هم‌چنین از $C_{\cc}(\pp)\leq Inn(G)$ و گزاره \eqref{2.2}،   داریم $\zz \leq \pp$. در نتیجه $\zz=\pp$.  بنابراین $C_{\cc}(\zz)=\cp=Inn(G)$.  با استفاده از قضیه‌ی \eqref{elementwise shabani}، $\zz$ دوری می‌شود.
 \end{enumerate}
\ep
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bt
فرض کنیم $G$ یک $-p$گروه غیرآبلی متناهی باشد که در یکی از شرایط زیر صدق کند
\begin{enumerate}
\item[الف)]
$rank(G'\cap \zz)\neq rank(\zz)$
\item[ب)]
$\dfrac{Z_{2}(G)}{Z(G)}$ دوری است
\item[ج)]
$C_{G}(Z(\pp))=\pp$ و $\dfrac{Z_{2}(G)\cap Z(\pp)}{\zz} $ یک گروه آبلی مقدماتی از رتبه‌ی $rs$ نباشد که $r=d(G)$ و $s=rank(\zz)$.
\end{enumerate} 
در این صورت $G$ دارای یک خودریختی مرکزی غیرداخلی از مرتبه‌ی $p$ است که عناصر $\pp$ را ثابت نگه می‌دارد.
\et  
\bp
فرض کنیم $\zz\nsubseteq \pp$.  در این  صورت از گزاره‌ی \eqref{2.2}، داریم $\cp \nleq Inn(G)$.  پس  $G$ دارای یک خودریختی مرکزی غیرداخلی مانند $\alpha$  است که عناصر $\pp$ را ثابت نگه می‌دارد. که این خودریختی از مرتبه‌ی $p$ است. زیرا برای هر $x\in G$  داریم
$$\alpha^{p}(x)$$
در ابتدا برای هر $f\in \cp$ نگاشت $\sigma_{f}:\dfrac{G}{\pp}\longrightarrow \zz$ را با ضابطه $x\pp \longmapsto x^{-1}f(x)$ تعریف می‌کنیم.  فرض کنیم  برای  $x_{1},x_{2}\in G$ داشته باشیم $x_{1}\pp=x_{2}\pp$. در این صورت $x_{1}x_{2}^{-1}\in \pp$. در نتیجه   $$f(x_{1})f(x_{2})^{-1}=f(x_{1}x_{2}^{-1})=x_{1}x_{2}^{-1}.$$ پس بنابراین $\sigma_{f}(x_{1}\pp)=x_{1}^{-1}f(x_{1})=x_{2}^{-1}f(x_{2})=\sigma_{f}(x\pp)$.  پس $\sigma_{f}$ خوش تعریف است. حال برای هر $x_{1},x_{2}\in G$ داریم $\sigma_{f}((x_{1}\pp)(x_{2}\pp))=\sigma_{f}(x_{1}x_{2}\pp)=$
\ep 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bt
اگر $G$ یک  $-p$گروه متناهی باشد، آن‌گاه $C_{\ww}(Z(\pp)) \leq Inn(G)$ اگر و تنها اگر $G$ یک گروه آبلی مقدماتی باشد یا $\pp=\zz$ و $\zz$ دوری باشد.
\et 
\bp ‌
\begin{enumerate}
\item[$(\Longrightarrow$]
اگر $G$ یک گروه آبلی مقدماتی باشد، آن‌گاه با استفاده  از قضیه \eqref{frattini 1 G abelian elementary}، $\pp=1$. حال برای هر $\alpha \in   \ww$ و برای هر $x \in G$ داریم، $x^{-1}\alpha(x)\in \pp$ یعنی $x^{-1} \alpha(x)=1$. در نتیجه $\alpha(x)=x$. بنابراین  $\ww=1$. از طرفی چون $G$ آبلی است، پس $Inn(G)=1$. در نتیجه $\wc =Inn(G)=1$. اگر $\pp=\zz$ و $\zz$ دوری باشد، آن‌گاه $G'\leq \zz$. پس $G$ یک گروه پوچ‌توان از رده‌ی 2 است. پس از قضیه \eqref{elementwise shabani}، $\wc=Inn(G)=1$.
\item[$  (\Longleftarrow$]
فرض کنیم $\wc \leq Inn(G)$. اگر $G$  یک گروه آبلی باشد، ثابت می‌کنیم $exp(G)=p$. فرض کنیم $exp(G)=p^{k}$  که در آن $k>1$ است.
حال تابع $\theta:G\longrightarrow G$ را به صورت $x\longmapsto x^{1+p^{k-1}}$ تعریف می‌کنیم. چون $exp(G)=p^{k}$، پس $\theta$ غیربدیهی است.  به وضوح $\theta$ خوش تعریف است. حال برای هر $x_{1},x_{2}\in G$ داریم $$\theta(x_{1}x_{2})=(x_{1}x_{2})^{1+p^{k-1}}=x_{1}^{1+p^{k-1}}x_{2}^{1+p^{k-1}}.$$ پس $\theta$ همریختی است. حال اگر $\theta(x_{1})=\theta(x_{2})$ باشد، آن‌گاه $x_{1}^{1+p^{k-1}}=x_{2}^{1+p^{k-1}}$. در نتیجه $\theta$ یک به یک است. چون $G$ متناهی است، پس $\theta$ یک خودریختی غیربدیهی است. حال با استفاده از قضیه \eqref{frat abel mogh}، برای هر $g\in G$ داریم $g^{p}\pp=(g\pp)^{p}=\pp$. در این صورت $g^{p}\in \pp$.
در نتیجه برای هر $x\in G$ داریم $x^{-1}\theta(x)=x^{-1}x^{1+p^{k-1}}=x^{p^{k-1}}=(x^{p})^{p^{k-2}}$. چون $G$ آبلی است، پس $G'=1$. با استفاده از قضیه \eqref{fratt G'Gn}، $\pp=G^{p}$. بنابراین برای هر $x\in \pp$ عضو مانند $y$ در $G$ وجود دارد به طوری که $x=y^{p}$. از طرفی چون $exp(G)=p^{k}$، پس $\theta(y^{p})=y^{p+p^{k}}=y^{p}$. در نتیجه $\theta \in \wc \leq Inn(G)=1$ که تناقض است. پس  $G$ یک $-p$گروه آبلی مقدماتی است.\\
حال فرض کنیم $G$ یک $-p$گروه غیرآبلی باشد. ابتدا ثابت می‌کنیم $\zz  \leq \pp$. فرض کنیم $\zz \nleq \pp$. در این صورت وجود دارد زیرگروه ماکسیمال $M$ از $G$  به طوری که $\zz \nleq M$.  حال عضو $g\in \zz / M$ را در نظر می‌گیریم. بنابراین $G=M\langle g\rangle$. یک عضو مانند $z$ از مرتبه‌ی $p$ در $\zz \cap \pp$ انتخاب می‌کنیم. نگاشت را $\alpha:G\longrightarrow G$ برای هر $m\in M$ و $k\in \{0,1,\cdots,p-1\}$ به صورت $mg^{k}\longmapsto mg^{k}z^{k}$ تعریف می‌کنیم. اگر $g_{1},g_{2}\in G$ و $g_{1}=g_{2}$ باشد، آن‌گاه  وجود دارند $m_{1},m_{2}\in M$ و $k_{1},k_{2}\in \{0,1,\cdots,p-1\}$ به طوری که $m_{1}g^{k_{1}}=m_{2}g^{k_{2}}$.  پس $m_{2}^{-1}m_{1}= g^{k_{2}-k_{1}}$. بنابراین $g^{k_{2}-k_{1}}\in M$. در نتیجه $k_{1}=k_{2}$. پس $\alpha(g_{1})=\alpha(g_{2})$. بنابراین $\alpha$ خوش تعریف است. هم‌چنین برای هر $g_{1},g_{2}\in G$  داریم 
\begin{center}
$\alpha(g_{1}g_{2})=\alpha(m_{1}g^{k_{1}}m_{2}g^{k_{2}})=\alpha(m_{1}m_{2}g^{k_{1}+k_{2}})=m_{1}m_{2}g^{k_{1}+k_{2}}z^{k_{1}+k_{2}}=m_{1}g^{k_{1}}z^{k_{1}}m_{2}g^{k_{2}}z^{k_{2}}=\alpha(g_{1})\alpha(g_{2}).$
\end{center}
یعنی $\alpha$ یک همریختی است. \\ حال اگر $g_{1},g_{2}\in G$ و  $\alpha(g_{1})=\alpha(g_{2})$، آن‌گاه  عناصر $k_{1},k_{2}\in \{0,1,\cdots,p-1\}$ و $m_{1},m_{2}\in M$ وجود دارند به طوری که $g_{1}=m_{1}g^{k_{1}}$ و $g_{2}=m_{2}g^{k_{2}}$. پس داریم $m_{1}g^{k_{1}}z^{k_{1}}=\alpha(m_{1}g^{k_{1}})=\alpha(m_{2}g^{k_{2}})=m_{2}g^{k_{2}}z^{k_{2}}$. آن‌گاه مانند قبل داریم $g^{k_{1}-k_{2}}=m_{1}^{-1}m_{2}z^{k_{2}-k_{1}}$. پس $g^{k_{1}-k_{2}}\in M$.
\end{enumerate}
\ep 
\begin{thebibliography}{99}
% چنانچه مرجع فارسی هم دارید باید دستور زیر را فعال کرده و مراجع فارسی خود را بعد از این دستور وارد کنید

\addcontentsline{toc}{chapter}{مراجع}
\Latin
 
\bibitem{Yen}
J. E. Adney, Yen, T.  Automorphisms of a p-group. Illinois J. Math. {\lr{\bf 9}}(1965), 137-143.

%\bibitem{Ati}

\bibitem{bray}
M. J. Curran and D. J. McCaughan, Central automorphisms that are almost
inner. Comm. Algebra, 29(5), 2081–2087 (2001).

\bibitem{Feit}
Franciosi, S.,  Giovanni, F. D., Newell, M. L. (1994). on  central automorphims of infinite groups. {\em Comm Algebra} 22(7):2559-2578.

\bibitem{Gorenstein}
D. Gorenstein, {\em Finite Groups}, second ed., Chelsea, New York, 1980.

\bibitem{Hun} 
T. W. Hungerford, Algebra, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1974.

\bibitem{Huppert1}
B. Huppert, {\em Character Theory of Finite Groups}, 

%\bibitem{Huppert2}
%B. Huppert, N. Blackburn, {\em Finite Groups I}, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1982.  

%\bibitem{Huppert3}
%B. Huppert, N. Blackburn, {\em Finite Groups III}, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1982.  

%\bibitem{Isaacs}
%I. M. Isaacs, {\em Character Theory of Finite Groups}, Dover, 1994.

\bibitem{jamali}
A.  Jamali., Mousavi, H. (2002). On the central automorphisms group of finite p-groups.  {\em Algebra Colloquium} 9(11):7-14 

\bibitem{Jam}
A. R. Jamali. {\em Topics in the Theory of finite groups} Mobtakeran Press (2002) (in persian).

%\bibitem{Li}
%S. Li, X. Guo, Finite p-groups whose abelian subgroups have a trivial intersection, {\em Acta Math}. Sin. (Engl. Ser.), in press.

\bibitem{Mori}
M. Morigi, On the minimal number of generators of finite non-abelian p-groups having an abelian automorphism group, {\em Comm Algebra}  {\lr{\bf 23(6)}}, 1995, 2045-2065.

\bibitem{Rob}
D. J. S. Robinson,  {\em A Course in the Theory of Groups}, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1982.

\bibitem{Rose}
J. S. Rose, {\em A course on group theory}, Cambridge University Press, 1978.

\bibitem{Rat}
 J.J. Rotman, {\em An Introduction to the Theory of Groups}, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1995.                 

\bibitem{Qian}
M. Shabani Attar, ‘On central automorphisms that fix the centre elementwise’, Arch. Math. (Basel)
89 (2007), 296–297.

\bibitem{Suzuki}
Attar, M. Shabani(2009) 'On the Marginal Automorphisms of a Group', Communications in Algebra,
37: 7, 2300 — 2308

\bibitem{Scott}
W. R. Scott, {\em Group Theory}. Englewood Cliffs 1964.

%\bibitem{Suzuki}
%M. Suzuki, {\em Group Theory I}, Springer-Verlag, Berlin/New York, 1986.

%\bibitem{Suzukii}
%M. Suzuki, {\em Group Theory II}, Springer-Verlag, Berlin/New York, 1986.

\Persian
\bibitem{Moh}
علی اکبر محمدی حسن آبادی ، جبر، انتشارات دانشگاه اصفهان، ۱۳۸۷. 

\bibitem{yas}
سیامک یاسمی، محمدرضا پورنکی، {\it مقدمه‌ای بر نظریه‌ی مدول‌ها}، مؤسسه‌ی انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف، سال .۱۳۸۴

\end{thebibliography}


\end{document}