\lecture[1]{تجزیهٔ غیریکتا در دامنه‌های صحیح}{lecture-text}

\subtitle{درجهٔ \lr{tame} و \lr{catenery}}

\date{۱۶ دی ۱۳۸۷}
\newcommand\NN{\mathbb N}

\begin{document}

\begin{frame}
  \maketitle
\end{frame}

\begin{frame}\frametitle<presentation>{چشم‌انداز}
  \tableofcontents
\end{frame}


\section{پیشگفتار}
\subsection{چکیده}
\begin{frame}{چکیده}
مطالعهٔ ویژگی‌های ترکیبیاتی خاصی از تجزیه‌های غیریکتا موضوع اصلی دسته‌ای از تحقیقات کنونی است. دانسته‌های حال حاضر در مورد دو ناوردای ترکیبیاتی، درجهٔ \lr{catenary} و \lr{tame}، حتی در حالت مونوئیدهای عددی بسیار کم است. در این گزارش تحقیقاتی کارهای انجام شدهٔ بر روی این دو ناوردا برای مونوئیدهای عددی تولید شده توسط مجموعه‌های تصاعدی تعمیم‌یافته را مورد بررسی قرار می‌دهیم. در این راستا به محاسبهٔ این دو ناوردا در این حالت می‌پردازیم و با بررسی مقادیر بدست آمده خواهیم دید که تفاضل این دو ناوردا می‌تواند به اندازهٔ دلخواه بزرگ باشد حتی اگر کاردینال مجموعهٔ مولد مینیمال پایا باقی بماند.
\end{frame}
\section{مقدمات}
\subsection{مونوئیدهای عددی}
\begin{frame}{مونوئیدهای عددی}
منظور از یک مونوئید عددی $S$ عبارت است از یک زیرمونوئید از $(\NN_0,+)$، که $0\in S$ و $\NN\setminus S$ متناهی باشد. 
  \begin{itemize}
  \item هر مونوئید عددی دارای یک مجموعهٔ مولد مینیمال یکتا است. 
  \item $\max(\NN_0\setminus S)$ را عدد فرابنیوس $S$ می‌نامند و با $g(S)$ نمایش می‌دهیم.
  \item 
اگر 
$0<n_0<\ldots<n_p$ 
اعداد صحیح مثبت باشند و 
$\gcd\{n_i\}=1$
آنگاه مونوئید عددی تولید شده توسط این اعداد را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
$$\langle n_0,\ldots,n_p\rangle=\NN_0 n_0+\ldots+\NN_0 n_p=\left\{\sum z_i n_i\big |z_i\in\NN_0\right\}$$
  \item 
بر روی $S$ یک ترتیب جزئی $\leq_S$ به این صورت تعریف می‌شود که $a\leq_S b$ اگر و تنها اگر $b-a\in S$.
  \end{itemize}
\end{frame}
\subsection{مقدمه}
\begin{frame}{مقدمه}
چندین ناوردای عددی وجود دارد که رفتار تجزیه‌های غیریکتا را در یک دامنهٔ صحیح مشخص می‌کنند. کارهای اولیهٔ انجام شده در این راستا بر مطالعهٔ طول تجزیه‌های مختلف برحسب عناصر تحویل‌ناپذیر متمرکز بود. مجموعه‌های دلتا و انعطاف (\lr{elasticity}) دو نمونه از این ناورداها بودند که نشان می‌دادند یک دامنهٔ صحیح چقدر از دامنهٔ تجزیهٔ یکتا یا نیمه‌یکتا (یعنی دامنه‌هایی که طول تجزیه‌های مختلف هر عنصر به عناصر تحویل‌ناپذیر یکسان باشند) دور هستند. در سال‌های اخیر ناورداهای دیگری در مقالات پدیدار شده‌اند. درجهٔ \lr{catenary} و درجهٔ \lr{tame} دو نمونه از این ناورداها هستند. 
\end{frame}

\end{document}