\documentclass[12pt]{report} \usepackage{url} %\usepackage{fancyvrb} \usepackage{setspace}\doublespacing \usepackage{graphicx} \usepackage{amssymb} %\usepackage{a4} \usepackage{makeidx} \usepackage{xepersian} \usepackage{bidiftnxtra} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \settextfont[Scale=1.2]{XB Zar} \setlatintextfont[Scale=1.1]{Times New Roman} \setdigitfont{XB Zar} %\setpookfont{XB Kayhan Pook} %\setsayehfont{XB Kayhan Sayeh} \defpersianfont\lotoos[Scale=1.2]{XB Roya} \defpersianfont\elmi[Scale=1.2]{XB Roya} \def\nazok{\normalfont\normalsize} \let\iranic\it \let\siah\bf \let\khabide\sl \def\siahir{\siah\iranic} \def\siahkh{\siah\khabide} \let\tookhali\pookfamily \let\sayedar\sayehfamily \let\farsi\Persian \let\english\Latin \let\farmbox\mbox \newcommand{\ftxepmatrix}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\ftxematrix}[1]{\begin{matrix}#1\end{matrix}} \def\FarsiTeX{\lr{FarsiTeX}} \def\فارسی‌تک{\rl{فارسی‌‌تک}} \def\InE{\begingroup\beginL\latinfont} \def\EnE{\endL\endgroup} \def\InF{\begingroup\beginR\persianfont} \def\EnF{\endR\endgroup} \newcommand{\IE}[1]{\lr{#1}} \newcommand{\IP}[1]{\rl{#1}} \newcommand{\IF}[1]{\rl{#1}} \def\persiandash{\rl{-}} \def\DeclareRobustBiCommand#1#2#3#4{\DeclareRobustCommand#1{\if@rl{}#4\else{}#3\fi}\let#2=#1} \catcode`\﷼=3 \catcode`‌=11 \newcommand\dotsectionseparator{\SepMark{.}} \newcommand\dashsectionseparator{\SepMark{-}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\documentstyle[farsi,11pt]{report} \setlength{\textwidth}{15cm} \setlength{\textheight}{22cm} \setlength{\oddsidemargin}{1mm} \usepackage{amssymb} \newtheorem{thm}{{\bf قضیه }}[section] \newtheorem{lem}[thm]{{\bf لم }} \newtheorem{prp}[thm]{{\bf ویژگی }} \newtheorem{exam}[thm]{{\bf مثال }} \newtheorem{alg}[thm]{{\bf الگوریتم }} \newtheorem{defi}[thm]{{\bf تعریف }} \newtheorem{cor}[thm]{{\bf نتیجه }} \newtheorem{prop}[thm]{{\bf گزاره }} \newtheorem{rema}[thm]{{\bf تذکر }} \newtheorem{rem}[thm]{{\bf توجه }} \newtheorem{fun}[thm]{{\bf تابع }} \newtheorem{preproof}{{\bf اثبات }} \newtheorem{note}[thm]{{\bf نکته }} \renewcommand{\thepreproof}{} \newenvironment{proof}{\begin{preproof}{\hspace{-0.5em}{\bf:}}} {$\Box\hfill$\end{preproof}} %\newenvironment{proof}{{\bf اثبات.} \rm }{\hfill{$\blacksquare$}} \renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}.\arabic{section}.\arabic{chapter}} %\english \pagestyle{empty} %------------------------------------------------------------------------------------------------------- \newcounter{fnote}[section] \newcommand{\fnote}[1]{\setcounter{footnote}{\value{fnote}}\footnote{#1}\addtocounter{fnote}{1}} \newcommand{\fnotemark}{\setcounter{footnote}{\value{fnote}}\footnotemark\addtocounter{fnote}{1}} \newcommand{\fnotetext}[1]{\setcounter{footnote}{\value{fnote}}\footnotetext{#1}} \renewcommand{\baselinestretch}{1.3} \newcommand{\shekl}{\rl{شکل }} \newcommand{\capt}[1]{\addtocounter{figure}{1}\centering\shekl\ \arabic{chapter}.\arabic{figure}:\ #1} %\pagestyle{headings} % % می‌باشد. TeX در متن فایل Encapsulated PostScript یا PostScript دو دستور زیر برای وارد کردن شکل % - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - % هم عرض و هم ارتفاع تصویر را می گیرد و شکل را با آن ابعاد رسم می کند. graphicsدستور % - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - % فقط‍ عرض شکل را می گیرد و ارتفاع را با توجه به عرض شکل محاسبه می کند به طوری graphicxدستور %که تناسب واقعی عرض و ارتفاع شکل به هم نخورد. % \newcommand{\graphics}[4]{ #1 #2 \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics[width=,height=]{#3}} \farsi \capt{\lr{#4}} \english \end{figure} } %----------------------------------------------------------------------------------------------- %----------------------------------------------------------------------------------------------- \newcommand{\graphicx}[3]{ #1 \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics[width=]{#2}} \farsi \capt{\lr{#3}} \english \end{figure} } %_______________________________________________________________________________________________ %----------------------------------------------------------------------------------------------- \newcommand{\graphic}[2]{ #1 \begin{figure}[htb] \centerline{\includegraphics[width=]{#2}} \end{figure} } %_______________________________________________________________________________________________ %_______________________________________________________________________________________________ \newenvironment{acknow}{ \newpage \vspace*{3cm} \centerline{\huge \rl{ قدردانی }} \vspace*{1.2cm} }{} %_______________________________________________________________________________________________ %_______________________________________________________________________________________________ \newenvironment{abstracte}{ \newpage \vspace*{3cm} \centerline{\huge \rl{ چکیده }} \vspace*{1.2cm} }{} %_______________________________________________________________________________________________ %_______________________________________________________________________________________________ \newenvironment{dibache}{ \newpage \vspace*{3cm} \centerline{\huge \rl{ مقدمه }} \vspace*{1.2cm} \markright{\rl{ مقدمه }} }{} %_______________________________________________________________________________________________ %_______________________________________________________________________________________________ \newenvironment{deduction}{ \newpage \vspace*{3cm} \centerline{\huge \rl{نتیجه‌گیری}} \vspace*{1.2cm} \markright{\rl{ نتیجه‌گیری }} }{} %_______________________________________________________________________________________________ %_______________________________________________________________________________________________ \newenvironment{appendix A}{ \newpage \vspace*{3cm} \centerline{\huge \rl{پیوست الف }} \vspace*{1.2cm} \markright{\rl{ پیوست الف }} }{} %_______________________________________________________________________________________________ %_______________________________________________________________________________________________ \newenvironment{appendix B}{ \newpage \vspace*{3cm} \centerline{\huge \rl{پیوست ب }} \vspace*{1.2cm} \markright{\rl{ پیوست ب }} }{} %_______________________________________________________________________________________________ %_______________________________________________________________________________________________ \newenvironment{appendix C}{ \newpage \vspace*{3cm} \centerline{\huge \rl{پیوست پ }} \vspace*{1.2cm} \markright{\rl{ پیوست پ }} }{} %- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - % >>>> برای ارجاع دادن به یک معادله - ارجاع و محل ارجاع می‌توانند حتی در فصل‌های متفاوت باشند. <<<< \newcommand{\selabel}[1]{ \newcounter{#1} \setcounter{#1}{\value{equation}} } \newcommand{\seref}[1]{)\arabic{chapter}.\arabic{section}.\arabic{#1}(} %- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - %- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - % >>>> برای ارجاع دادن به یک معادله - ارجاع و محل ارجاع می‌توانند حتی در فصل‌های متفاوت باشند. <<<< \newcommand{\elabel}[1]{ \newcounter{#1} \newcounter{c#1} \newcounter{s#1} \setcounter{#1}{\value{equation}}\setcounter{c#1}{\value{chapter}}\setcounter{s#1}{\value{section}} } \newcommand{\eref}[1]{)\arabic{c#1}.\arabic{s#1}.\arabic{#1}(} \newcommand{\reals}{I\!\!R} \newcommand{\naturals}{I\!\!N} \font\mathbb=msbm10 scaled \magstep1 \font\mathbbl=msbm10 scaled \magstep2 \font\mathbbL=msbm10 scaled \magstep3 \newcommand{\bb}[1]{\mbox{\mathbb{#1}}} \newcommand{\bbl}[1]{\mbox{\mathbbl{#1}}} \newcommand{\bl}[1]{\mbox{\mathbbL{#1}}} %- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - %\farsi \makeindex %[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] %[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] ختم Preamble [][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] %[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] %--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- %[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] \begin{document} %\VerbatimFootnotes%[][][][][][][][][][][][][][][][][] شروع نوشتار پایان نامه [][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] %[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] %--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- %[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] %[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] صفحه های ابتدایی [][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] %\english %_________________________________________________________________________ %______________________________ به عنوان فارسی پایان نامه  قسمت مربو___________________________ \begin{center} %----------------------------------------------------------------------------------------------- \vspace*{-3.5cm} %\graphic{3cm}{AmirkabirArm.eps} {\Large\bf \rl{دانشگاه صنعتی امیرکبیر}} \vspace{1mm}\\ {\large\rl{ (پلی تکنیک تهران) }} \vspace{10mm}\\ {\Large\bf \rl{دانشکده ریاضی و علوم کامپیوتر}}\\ \rl{پایان‌نامه کارشناسی ارشد}\\ {\small\rl{ رشته آمار }} \vspace{1cm}\\ \rl{عنوان:} \vspace{2mm}\\ {\huge\rl{ برآورد پارامترهای توزیع نمایی تعمیم‌یافته }} \vspace{1cm}\\ \rl{نگارش:}\\ {\Large\rl{ سید علی رکابدار }} \vspace{1cm}\\ \rl{اساتید راهنما:}\\ {\Large\rl{ دکتر مینا امین غفاری }} \vspace{1cm}\\ \rl{استاد مشاور:}\\ {\Large\rl{ دکتر اسماعیل خرم }} \vfill \vspace{.5cm} {\large\rl{زمستان ۱۳۸۹ }} \end{center} \newpage %__________________________________________________________________________________________________________ %\farsi %[+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+] % [][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] تقدیم [][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] %[+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+] %================================================================================================ %================================================================================================ \vspace{3mm} %\hrule height 1mm \vspace{3mm} \vspace*{2.8cm} %{\large\siah تقدیم به:}\\ \hspace*{2.4cm}{\huge تقدیم به پدر و مادر عزیزم } \newpage %[+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+] % [][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] قدردانی [][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] %[+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+] %================================================================================================ \begin{acknow} نگارنده برخود لازم می‌داند که از زحمات ارزشمند استاد گرامی خانم دکتر مینا امین غفاری و راهنمایی‌های بی دریغ جناب آقای دکتر عادل محمد پور در راستای انجام این پروژه و همچنین استاد مشاور جناب آقای دکتر اسماعیل خرم، تشکر و قدردانی نماید. \end{acknow} %[+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+] % [][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] چکیده [][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] %[+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+] %================================================================================================ \newpage \begin{abstracte} توزیع نمایی دو پارامتری یا توزیع نمایی تعمیم‌یافته از خانواده توزیع وایبل نمایی می‌باشد. توزیع نمایی تعمیم‌یافته مانند توزیع گاما و وایبل، تابع چگالی تک‌مدی چوله به راست و تابع مخاطره یکنوا دارد. به طور مؤثر از این توزیع به‌جای توزیع گاما و وایبل برای بررسی داده‌های وابسته به زمان یا داده‌های چوله می‌توان استفاده کرد. در این پایان‌نامه ابتدا چگونگی پیدایش و ویژگی‌های توزیع نمایی تعمیم‌یافته بیان شده است. سپس روش‌های کلاسیک برای برآورد پارامترهای این توزیع بررسی شده است. در آخر برآوردگر بیز پارامترهای نامعلوم معرفی شده‌است. به دلیل این‌که برآوردگر بیز به صورت تحلیلی محاسبه نمی‌شود، از تقریب لیندلی و نمونه‌گیری گیبس برای تقریب آن استفاده شده‌است. برآوردگر بیزی که به‌دست آمده است، با برآوردگر ماکزیمم درستنمایی مقایسه شده است. \vspace{.75cm}\\ {\siah کلمات کلیدی: توزیع نمایی تعمیم یافته، روش برآوردگر گشتاوری، برآوردگر کمترین مربعات، برآوردگر کمترین مربعات وزن‌دار، برآوردگر صدکی، برآوردگر \lr{-L}گشتاوری، برآوردگر بیز، تابع زیان مربع خطا، برآوردگر ماکزیمم درستنمایی.} \end{abstracte} %================================================================================================ \newpage %\english \setcounter{page}{1} \pagestyle{headings} \pagenumbering{farsifoo} %\farsi \pagestyle{plain} \tableofcontents %\listoftables %\listoffigures %[+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+] % [][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] مقدمه [][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] %[+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+] %================================================================================================ %\farsi %\newpage \begin{dibache} تابع توزیع تجمعی در نیمه اول قرن نوزدهم توسط گومپرتز\footnote{\lr{Gompertz}}\cite{5}، و ورهالست\footnote{\lr{Verhoulst}} $[29,28,27]$، برای مقایسه‌ی جداول مرگ و میر استفاده شد که یکی از این توابع توزیع بصورت زیر می‌باشد: $$G(t)=(1-\rho e^{-t\lambda})^\alpha \quad t>\frac{1}{\lambda}\ln \rho$$ که $\rho$، $\lambda$ و $\alpha$ اعداد حقیقی و مثبت می‌باشند. در قرن بیستم آهوجا\footnote{\lr{Ahuja}} و ناش\footnote{\lr{Nash}}\cite{1}، از مدل بالا استفاده کردند و آن را بیشتر تعمیم دادند. توزیع نمایی تعمیم یافته\footnote{\lr{Generalized Exponential Distribution}} یا توزیع نمایی توانی\footnote{\lr{Exponentiated Exponential}} به‌عنوان حالت خاصی از تابع توزیع گومپرتز و ورهالست با $\rho=1$ می‌باشد. بنابراین $X$ یک متغیر تصادفی نمایی تعمیم یافته دو پارامتری است اگر دارای تابع توزیع زیر باشد: $$GE(\alpha,\lambda)=F_X(x;\alpha,\lambda)=(1- e^{-\lambda x})^\alpha \quad x>0 ,\ \alpha,\lambda>0$$ که $\alpha$ و $\lambda$ به‌ترتیب پارامترهای شکل\footnote{\lr{Shape}} و مقیاس\footnote{\lr{Scale}} می‌باشند. توزیع نمایی تعمیم یافته دو پارامتری متعلق به خانواده توزیع وایبل توانی سه پارامتری است،که توسط مدهلکار\footnote{\lr{Mudholkar}} و سرویستاوا\footnote{\lr{Sirvastava}}\cite{20}، مطرح شده است. همچنین توزیع وایبل توانی نمونه‌ی خاصی از کلاس توزیع‌های توانی است که بوسیله گوپتا\footnote{\lr{Gupta}} و سایرین \cite{6}، بصورت $F(t)=[G(t)]^\alpha$، بدست آمده است که $G(t)$ تابع توزیع پایه است. همچنین نشان داده شده است که از توزیع نمایی تعمیم یافته دو پارامتری بطور کاملاً مؤثر برای تحلیل داده‌های مثبت وابسته به زمان (عمر) بجای توزیع گامای دوپارامتری یا توزیع وایبل دو پارامتری استفاده می‌شود\cite{7}. زمانی‌که پارامتر شکل در توزیع نمایی تعمیم یافته یعنی $\alpha$ برابر یک باشد، این توزیع با توزیع نمایی یک پارامتری منطبق می‌باشد. توزیع گاما و توزیع وایبل بسط‌ها یا تعمیم‌های توزیع نمایی یک پارامتری به روش‌های مختلف می‌باشند. توزیع نمایی تعمیم یافته تعبیر فیزیکی خوبی دارد. یک سیستم موازی\footnote{\lr{Parallel}} شامل $n$ مؤلفه در نظر بگیرید، سیستم کار می‌کند تا زمانی که یک مولفه از این $n$ مؤلفه کار کند. اگر عمر این $n$ مؤلفه متغیرهای تصادفی نمایی مستقل و هم‌توزیع باشد، در این صورت تابع توزیع عمر سیستم بصورت زیر می‌باشد: $$ F(x;n,\lambda)=(1- e^{-\lambda x})^n \quad x>0 $$ که $\lambda>0$ می‌باشد. بوضوح تابع بالا تابع توزیع نمایی تعیم یافته با پارامتر شکل $\alpha=n$ می‌باشد. متغیر تصادفی نمایی تعمیم یافته به آسانی از یک تابع توزیع یکنواخت بدست می‌آیند. برای مثال، اگر$U$ یک متغیر تصادفی یکنواخت از $[0,1]$ باشد، در این صورت $X=-\frac{1}{\lambda}\ln (1-U^{\frac{1}{\alpha}})$ دارای توزیع نمایی تعمیم‌یافته می‌باشد. اخیراً همه ماشین‌حساب‌های علمی یا کامپیوترها قادر به تولید اعداد تصادفی یکنواخت از بازه $[0,1]$ می‌باشند، بنابراین اعداد تصادفی نمایی تعمیم یافته به آسانی از یک رشته اعداد تصادفی یکنواخت قابل تولید می‌باشند. این توزیع خاص چندین مزیت دارد که برای تحلیل داده‌های عمر و چوله از آن استفاده می‌شود. در فصل اول ویژگی‌های مختلف این توزیع توضیح داده شده است و در فصل دوم برآوردگرهای کلاسیکی برای پارامترهای آن مطرح شده است. در فصل ۳ برآوردگرهای بیز پارامترهای آن و تقریب این برآوردگرها آورده شده است. \addcontentsline{toc}{section}{\rl{مقدمه}} \end{dibache} %================================================================================================ %[+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+] %[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] صفحه های ابتدایی [][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] %[][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][][] %--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- %[-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][-+-][+] %--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- %[+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+] %\input{Chapter1} %--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- %[+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+] \chapter{ توزیع نمایی تعمیم‌یافته } %>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> شروع فصل <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< \markboth{}{فصل ۱. توزیع نمایی تعمیم‌یافته ~~\hrulefill ~~} %[+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+][+] %--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- \english \pagestyle{headings} \farsi %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%۵ \section{تابع چگالی و ویژگی‌های گشتاوری} اگر متغیر تصادفی $X$ دارای تابع توزیع نمایی تعمیم‌یافته باشد، در این صورت تابع چگالی آن به صورت \begin{equation} f(x;\alpha,\lambda)=\alpha \lambda(1- e^{-\lambda x})^{\alpha-1} e^{-\lambda x} \quad x>0 \end{equation} می‌باشد که $\alpha,\lambda>0$ می‌باشند. درشکل ۱-۱ نمودار تابع چگالی نمایی تعمیم یافته برای مقادیر مختلف $\alpha$ و$\lambda=1$ رسم شده است. \begin{figure} \begin{center}{ $\includegraphics[height=8.5cm]{11}$ شکل ۱.۱ تابع چگالی نمایی تعمیم‌یافته دو پارامتری برای $\alpha$های مختلف. } \end{center} \end{figure} %\newpage تابع چگالی نمایی تعمیم یافته شکل‌های مختلفی دارد. برای $\alpha\leq 1$، یک تابع نزولی و برای $\alpha>1$ تک مدی، چوله و مانند تابع چگالی گاما و وایبل دم آن به راست کشیده شده است. مشاهده می‌شود که برای مقادیر خیلی بزرگ پارامتر شکل همیشه غیر متقارن می‌باشد. اگر $\lambda=1$ باشد برای $\alpha>1$ مد آن در $\ln \alpha $، و برای $\alpha\leq 1$ مد آن در صفر می‌باشد. و میانه برابر $-\ln (1-(0/5)^{\frac{1}{\alpha}})$ می‌باشد. میانگین، میانه و مد توابع غیرخطی از پارامتر شکل می‌باشند و زمانی که پارامتر شکل به بینهایت میل می‌کند همه آنها به یک مقدار نامتناهی میل می‌کنند. برای مقادیر بزرگ $\alpha$، میانگین، میانه و مد تقریباً برابر $\ln \alpha $ هستند. گشتاورهای مختلف توزیع نمایی تعمیم یافته از تابع مولد گشتاور بدست می‌آیند. اگر $X$ دارای توزیع $GE(\alpha,\lambda)$ باشد، در این‌صورت تابع مولد گشتاور یعنی $M_X(t)$ به‌ازای $t<\lambda$، بصورت زیر است: \begin{equation} M_X(t)=Ee^{tX}=\frac{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(1-\frac{t}{\lambda})}{\Gamma(\alpha-\frac{t}{\lambda}+1)} \end{equation} برای $t>\lambda$ صفر و در $t=\lambda$ برابر $\frac{\Gamma(\alpha+1)}{\Gamma(\alpha)}$ می باشد. بنابراین نتیجه می‌شود که \begin{eqnarray} E(X)&=&\frac{1}{\lambda}[\psi (\alpha+1)-\psi(1)]\\ V(X)&=&\frac{1}{\lambda^2}[\psi'(1)-\psi'(\alpha+1)] \end{eqnarray} که $\psi(.)=\frac{\acute{\Gamma}(.)}{\Gamma(.)}$ و مشتق‌های آن توابع دایگاما\footnote{\lr{Diagamma}} و پلی‌گاما\footnote{\lr{Polygamma}} هستند. میانگین این توزیع برای $\lambda$ ثابت و $\alpha$ بزرگ به بینهایت میل می‌کند. زمانی‌که $\alpha$ خیلی افزایش می‌یابد، برای $\lambda$ ثابت واریانس هم زیاد می‌شود و به‌سمت $\frac{\pi^2}{6\lambda}$ افزایش می‌یابد. این ویژگی در توزیع گاما و وایبل کاملاً متفاوت است. در توزیع گاما، زمانی‌که پارامتر شکل افزایش می‌یابد واریانس به بینهایت میل می‌کند، درحالیکه در توزیع وایبل برای مقادیر بزرگ پارامتر شکل $\alpha$، واریانس تقریباً برابر $\frac{\pi^2}{6\lambda\alpha^2}$ می‌باشد. چولگی و کشیدگی این توزیع بصورت زیر محاسبه می‌شوند: \begin{equation} \beta_2=\frac{\mu_4}{\mu_2^2}\ \ ,\ \ \sqrt{\beta_1}=\frac{\mu_3}{\mu_2^{\frac{3}{2}}} \end{equation} که $\mu_2$، $\mu_3$ و$\mu_4$ بترتیب گشتاورهای دوم، سوم و چهارم هستند که برحسب توابع یا چند جمله‌ای‌های دایگاما و پلی‌گاما بدست می‌آیند$[10]$. \begin{eqnarray*} \mu_2&=&\frac{1}{\lambda^2}[\psi'(1)-\psi'(\alpha+1)+(\psi(\alpha+1)-\psi(1))^2]\\ \mu_3&=&\frac{1}{\lambda^3}[\psi''(\alpha+1)-\psi''(1)+3(\psi(\alpha+1)-\psi(1))(\psi'(1)-\psi'(\alpha+1))+(\psi(\alpha+1)-\psi(1))^3)]\\ \mu_4&=&\frac{1}{\lambda^4}[\psi'''(1)-\psi'''(\alpha+1)+3(\psi'(1)-\psi'(\alpha+1))^2+4(\psi(\alpha+1)-\psi(1))\\ &&\times(\psi''(\alpha+1)-\psi''(1))+6(\psi(\alpha+1)-\psi(1))^2\\ &&\times(\psi'(1)-\psi'(\alpha+1))+(\psi'''(1)-\psi'''(\alpha+1))^4] \end{eqnarray*} چولگی و کشیدگی هر دو مستقل از پارامتر مقیاس می‌باشند. بصورت عددی نشان داده شده است که چولگی و کشیدگی توابعی کاهشی از $\alpha$ می‌باشند و مقدار حدی چولگی تقریباً ۱۳۹۵۴۷/۱ می‌باشد. \section{تابع مخاطره و عکس تابع مخاطره} تابع مخاطره توزیع نمایی تعمیم یافته بصورت زیر تعریف می‌شود \begin{equation} h(x;\alpha,\lambda)=\frac{f(x;\alpha,\lambda)}{1-F(x;\alpha,\lambda)}=\frac{\alpha \lambda e^{-\lambda x}(1-e^{-\lambda x})^{\alpha-1}}{1-(1-e^{-\lambda x})^\alpha} \end{equation} از آنجایی که $\lambda$ پارامتر مقیاس می‌باشد، شکل تابع مخاطره به $\lambda$ وابسته نیست و فقط به $\alpha$ وابسته است. برای مقادیر ثابت $\lambda$ و $\alpha>1$، توزیع نمایی تعمیم یافته تابع مخاطره صعودی دارد و برای مقادیر ثابت $\lambda$ و $\alpha<1$، تابع مخاطره نزولی دارد. برای $\alpha=1$، تابع مخاطره آن ثابت می‌باشد. \begin{figure} \begin{center}{ $\includegraphics[height=8.5cm]{21}$ شکل ۲.۱: تابع مخاطره توزیع نمایی تعمیم‌یافته دو پارامتری برای $\alpha$های مختلف. } \end{center} \end{figure} تابع عکس مخاطره برای توزیع نمایی تعمیم یافته بصورت زیر است: \begin{equation} \gamma(x;\alpha,\lambda)=\frac{f(x;\alpha,\lambda)}{F(x;\alpha,\lambda)}=\frac{\alpha \lambda e^{-\lambda x}}{1-e^{-\lambda x}} \end{equation} برای همه مقادیر $\alpha$،تابع معکوس مخاطره یک تابع نزولی از $x$ می‌باشد. \begin{figure} \begin{center}{ %$\includegraphics[height=8.5cm]{31}$\rl{.} شکل ۳.۱: تابع عکس مخاطره توزیع نمایی تعمیم‌یافته دو پارامتری برای $\alpha$های مختلف } \end{center} \end{figure} تابع مخاطره و عکس آن برای محاسبه ماتریس اطلاعات فیشر پارامترهای نامعلوم استفاده می‌شوند. در توزیع \lr{GE}، $\gamma(x;\alpha,\lambda)$ شکل مناسبی دارد بنابراین محاسبه ماتریس اطلاعات فیشر راحت می‌باشد. \section{آماره‌های ترتیبی } فرض کنید $X_1,\ldots,X_n$ متغیرهای تصادفی مستقل نمایی تعمیم یافته با پارامتر شکل $\alpha$ و پارامتر مقیاس ۱ باشند. بنابراین $X_{(1)}<\cdots0$، $\alpha_2>0$، $\alpha_3>0$ و $\lambda>0$ باشد. همچنین $U_1\sim GE(\alpha_1,\lambda)$، $U_2\sim GE(\alpha_2,\lambda)$ و $U_3\sim GE(\alpha_3,\lambda)$ و مستقل از هم باشند. حال اگر تعریف کنیم $X_1=\max\{U_1,U_3\}$ و $X_2=\max\{U_2,U_3\}$ آنگاه دو متغیر $(X_1,X_2)$ دارای توزیع نمایی تعمیم یافته دومتغیره با پارامترهای شکل $\alpha_1$، $\alpha_2$ و $\alpha_3$ و پارامتر مقیاس $\lambda$ می‌باشند و بصورت $BVGE(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\lambda)$\footnote{ \lr{Bivariate Generalized Exponential}} نشان داده می‌شود. \begin{thm} اگر $(X_1,X_2)\sim BVGE(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$ باشند توزیع توأم $(X_1,X_2)$ برای $x_1>0$ و $x_2>0$ بصورت زیر می‌باشد: \begin{equation} F_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=(1-e^{-x_1})^{\alpha_1}(1-e^{-x_2})^{\alpha_2}(1-e^{-z})^{\alpha_3} \end{equation} \end{thm} که $z=\min \{x_1,x_2\}$ می‌باشد. \begin{preproof} : به\cite{16}، مراجعه کنید. \end{preproof} رابطه بالا به صورت زیر نوشته می‌شود: $$F_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=F_{GE}(x_1;\alpha_1)F_{GE}(x_2;\alpha_2)F_{GE}(z;\alpha_3)$$ \begin{displaymath} =\left\{ \begin{array}{ccc} F_{GE}(x_1;\alpha_1+\alpha_3)F_{GE}(x_2;\alpha_2)\quad if \ x_10$ و $x_2>0$ بصورت زیر است \begin{displaymath} f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)=\left\{ \begin{array}{ccc} f_1(x_1,x_2) & if \ 0\end{eqnarray*} اینجا $F_s(x_1,x_2)$ و $F_a(x_1,x_2)$ منفرد و کاملاً پیوسته می‌باشند. \end{thm} \begin{preproof}: برای بدست آوردن $F_a(x_1,x_2)$ از $$F_{X_1,X_2}(x_1,x_2)= F_a(x_1,x_2)+(1-p)F_s(x_1,x_2)$$ $0\leq p\leq 1$، عبارت زیر را محاسبه می‌کنیم \begin{displaymath} \frac{\partial^2 F_{X_1,X_2}(x_1,x_2)}{\partial x_1 \partial x_2}=pF_a(x_1,x_2)=\left\{ \begin{array}{cc} f_1(x_1,x_2) & if \ x_1\leq x_2\\ f_2(x_1,x_2) & if \ x_1>x_2 \end{array} \right. \end{displaymath} مقداری که برای $p$ بدست می‌آید به‌صورت زیر است با نوشتن حقایق زیر که: \begin{eqnarray*} p&=&\int_0^\infty \int_0^{x_2}f_1(x_1,x_2)dx_1dx_2\\ &&+\int_0^\infty \int_0^{x_1}f_2(x_1,x_2)dx_2dx_1=\frac{a_1+a_2}{a_1+a_2+a_3}\\ F_a(x_1,x_2)&=&\int_0^{x_1} \int_0^{x_2} f_a(u,v)du dv \end{eqnarray*} وقتی $p$ و $F_a(x_1,x_2)$ تعریف شوند، $F_s(x_1,x_2)$ از رابطه بالا بدست می‌آید. فرض کنید $A$ پیشامدی بصورت زیر باشد: $$A=\{U_1