\documentclass{report} \usepackage{amsthm,amssymb,amsmath} % بسته‌ای برای تنطیم حاشیه‌های بالا، پایین، چپ و راست صفحه \usepackage[top=40mm, bottom=40mm, left=25mm, right=35mm]{geometry} % بسته‌‌ای برای ظاهر شدن شکل‌ها و تصاویر متن \usepackage{graphicx} % بسته‌ای برای رسم کادر \usepackage{framed} % بسته‌‌ای برای چاپ شدن خودکار تعداد صفحات در صفحه «معرفی پایان‌نامه» \usepackage{lastpage} % بسته‌‌ای برای ایجاد دیاگرام‌های مختلف \usepackage[all]{xy} % بسته‌ و دستوراتی برای ایجاد لینک‌های رنگی با امکان جهش \usepackage[pagebackref=false,colorlinks,linkcolor=blue,citecolor=magenta]{hyperref} % چنانچه قصد پرینت گرفتن نوشته خود را دارید، خط بالا را غیرفعال و از دستور زیر استفاده کنید چون در صورت استفاده از دستور زیر‌‌، % لینک‌ها به رنگ سیاه ظاهر خواهند شد که برای پرینت گرفتن، مناسب‌تر است %\usepackage[pagebackref=false]{hyperref} % بسته‌ لازم برای تنظیم سربرگ‌ها \usepackage{fancyhdr} % بسته‌ای برای ظاهر شدن «مراجع» و «نمایه» در فهرست مطالب \usepackage[nottoc]{tocbibind} % دستورات مربوط به ایجاد نمایه \usepackage{makeidx} \makeindex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % فراخوانی بسته زی‌پرشین و تعریف قلم فارسی و انگلیسی \usepackage{xepersian} \settextfont[Scale=1.3]{B Zar} % از revision 118 زی‌پرشین به بعد، وارد کردن دستور زیر لازم نیست. توجه داشته باشید که در صورت غیرفعال کردن این دستور، % از فونت پیش‌فرض لاتک برای کلمات انگلیسی استفاده خواهد شد. \setlatintextfont[ExternalLocation,BoldFont={lmroman10-bold},BoldItalicFont={lmroman10-bolditalic},ItalicFont={lmroman10-italic}]{lmroman10-regular} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % چنانچه می‌خواهید اعداد در فرمول‌ها، انگلیسی باشد، خط زیر را غیرفعال کنید \setdigitfont[Scale=1.3]{XB Zar} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % تعریف قلم‌های فارسی و انگلیسی اضافی برای استفاده در بعضی از قسمت‌های متن \defpersianfont\nastaliq[Scale=2]{IranNastaliq} \defpersianfont\chapternumber[Scale=3]{B Zar} %\defpersianfont\titr[Scale=1]{Arial } %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % دستوری برای حذف کلمه «چکیده» \renewcommand{\baselinestretch}{1.8} \renewcommand{\abstractname}{} % دستوری برای حذف کلمه «abstract» %\renewcommand{\latinabstract}{} % دستوری برای تغییر نام کلمه «اثبات» به «برهان» \renewcommand\proofname{\textbf{برهان}} % دستوری برای تغییر نام کلمه «کتاب‌نامه» به «مراجع» \renewcommand{\bibname}{منابع} % دستوری برای تعریف واژه‌نامه انگلیسی به فارسی \newcommand\persiangloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\} % دستوری برای تعریف واژه‌نامه فارسی به انگلیسی \newcommand\englishgloss[2]{#2\dotfill\lr{#1}\\} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % تعریف و نحوه ظاهر شدن عنوان قضیه‌ها، تعریف‌ها، مثال‌ها و ... \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}{تعریف}[section] \theoremstyle{theorem} \newtheorem{theorem}[definition]{قضیه} \newtheorem{lemma}[definition]{لم} \newtheorem{proposition}[definition]{گزاره} \newtheorem{corollary}[definition]{نتیجه} \newtheorem{remark}[definition]{ملاحظه} \theoremstyle{definition} \newtheorem{example}[definition]{مثال} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % تعریف دستورات جدید برای خلاصه نویسی و راحتی کار در هنگام تایپ فرمول‌های ریاضی \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\ls}{\mathrm{LSC}_{+}(X)} \newcommand{\ce}{\mathrm{C}^{*}(X)} \newcommand{\lsc}{\mathrm{LSC}} \newcommand{\fB}{\mathfrak{B}} \newcommand{\fM}{\mathfrak{M}} \newcommand{\bt}{\begin{theorem}} \newcommand{\et}{\end{theorem}} \newcommand{\bl}{\begin{lemma}} \newcommand{\el}{\end{lemma}} \newcommand{\bc}{\begin{corollary}} \newcommand{\ec}{\end{corollary}} \newcommand{\bp}{\begin{proof}} \newcommand{\ep}{\end{proof}} \newcommand{\be}{\begin{example}} \newcommand{\ee}{\end{example}} \newcommand{\bd}{\begin{definition}} \newcommand{\ed}{\end{definition}} \newcommand{\ba}{\begin{align}} \newcommand{\ea}{\end{align}} \newcommand{\no}{\nonumber} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % دستورهایی برای سفارشی کردن سربرگ صفحات \csname@twosidetrue\endcsname \pagestyle{fancy} \fancyhf{} \fancyhead[OL,EL]{\thepage} \fancyhead[OR]{\small\rightmark} \fancyhead[ER]{\small\leftmark} \renewcommand{\chaptermark}[1]{% \markboth{\thechapter.\ #1}{}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % دستورهایی برای سفارشی کردن صفحات اول فصل‌ها \makeatletter \newcommand\mycustomraggedright{% \if@RTL\raggedleft% \else\raggedright% \fi} \def\@part[#1]#2{% \ifnum \c@secnumdepth >-2\relax \refstepcounter{part}% \addcontentsline{toc}{part}{\thepart\hspace{1em}#1}% \else \addcontentsline{toc}{part}{#1}% \fi \markboth{}{}% {\centering \interlinepenalty \@M \ifnum \c@secnumdepth >-2\relax \huge\bfseries \partname\nobreakspace\thepart \par \vskip 20\p@ \fi \Huge\bfseries #2\par}% \@endpart} \def\@makechapterhead#1{% \vspace*{-30\p@}% {\parindent \z@ \mycustomraggedright %\@mycustomfont \ifnum \c@secnumdepth >\m@ne \if@mainmatter \huge\bfseries \@chapapp\space {\chapternumber\thechapter} \par\nobreak \vskip 20\p@ \fi \fi \interlinepenalty\@M \Huge \bfseries #1\par\nobreak \vskip 120\p@ }} \makeatother \begin{document} \thispagestyle{empty} \noindent \centerline{\textbf{\large{چکیده}}} \\ این پایان نامه مشتمل برموضوعات زیر می باشد. در بخشی از این پایان نامه به سئوالی که بی.اچ. نیومن\LTRfootnote{Bernhard H.Neumann{}}در سال$ 2000 $\\مطرح کرده است جواب داده می شود. فر ض می کنیم $ n,m $ دو عدد طبیعی باشد.گوییم گروه $ G $ در شرط $ Comm(m,n) $ صدق می کند در صورتی که برای دو زیر مجموعه $ N,M $ از$ G $ که به ترتیب از$ m $ و$ n $ عنصراند عضوی از$ M $ با عضوی از$ N $ جابجاشود. چه رابطه ای بین $ \mid G\mid $ ،$ m $ و$ n $ موجود باشد تا آبلی بودن $ G $ را تضمین کند. \\ در بخشی دیگر از پایان نامه زیر مجموعه ای از اعضای دوبه دو غیر جابجاشونده با اندازه ماکزیمم\\(اعداد خوشه ای) ازخانواده گروه های ساده مینیمال را مشخص می کنیم. و ساختار تمام گروه های حل ناپذیر با شرط $ \omega(\mathcal{A}_{G})\leqslant 57 $ رامورد بررسی قرار می دهیم. \\ ودر بخش پایانی عضوهای مولد سینگر، شبه مولد سینگرو$ p $ - عضوها از گروه های خطی عمومی$ GL(3,q) $ را معرفی کرده واعداد خوشه ای آنها را بدست می آوریم ودرآخر اعداد خوشه ای $ GL(3,q) $ که رابطه ای برحسب$ q $ می باشد را بدست می آوریم. همچنین کران پایینی برای عدد خو شه ای$ GL(3,q)$ حدس می زنیم. \textbf{کلمات کلیدی:} \textit{گروه ساده- گروه حل پذیر- اعداد خوشه ای- زیر گروه دوری سینگر-عضوهای مولد سینگر وشبه مولد سینگر- عضو تک توان.} \thispagestyle{empty}\newpage \noindent \centerline{\textbf{\large{مقدمه}}} \\ مفهوم گروه نخستین بار در اوایل سده ی$ 19 $ معرفی شد. ولی ریشه های آن را می توان در دوران بسیار گذشته جستجو کرد. در واقع مفهوم گروه به نوعی درموضوع حرکت یا تبدیل که در هندسه قدیم به کار می رفت نهفته بود. از اواخر سده ی $ 19 $ که این مفهوم صورت روشنی به خود گرفت، نقش مهمی را در همه شاخه های ریاضیات ایفا کردسپس درسال$ 1802-29 $ هنریک آبل\LTRfootnote[1]{Henrik Abel{}} گروه های آبلی را معرفی نمود.\\ درسال$ 2000 $ بی.اچ. نیومن سئوالی به صورت زیر مطرح کرد که تا حدودی در این پایان نامه به این سئوال جواب \\می دهیم:\\ فر ض کنیم $ n,m $ دو عدد طبیعی باشد، گوییم گروه $ G $ در شرط $ Comm(m,n) $ صدق می کند در صورتی که برای دو زیر مجموعه $ N,M $ از$ G $ که به ترتیب از$ m $ و$ n $ عنصراند عضوی از$ M $ با عضوی از$ N $ جابجا شود. چه رابطه ای بین $ \mid G\mid $ ،$ m $ و$ n $ موجود باشد تا آبلی بودن $ G $ را تضمین کند. \\همچنین$ C(m,n) $ -گروه ها را به تفصیل مورد بررسی قرار می دهیم. در ادامه زیرمجموعه ها از اعضای دوبه دو غیر جابجا شونده با اندازه ماکزیمم از یک گروه$ G $ را مورد بررسی قرار می دهیم که تعدادآنها را با$\omega(G) $ نمایش داده وآن راعدد خوشه ای می نامیم.\\ درسال$ 1975 $ سئوالی توسط پی. اردیش \LTRfootnote[2]{Paul Erdos} مطرح شد. در چه صورت اعداد خوشه ای یک گروه متناهی است .بی. اچ.نیومن در پاسخ به این سئوال گفت:اعداد خوشه ای یک گروه متناهی است اگر وفقط اگر شاخص مرکز گروه به گروه متناهی باشد. \\سپس بی.اچ.نیومن برای یافتن اعداد خوشه ای ارتباط یک گروه با یک گراف رابه صورت زیرمورد بررسی قرار داد:\\ فرض کنیم$ G $ یک گروه و$ \Gamma=\Gamma(G)$ گراف متناظر با این گروه باشد به طوری که رئوس از گراف$ \Gamma $ عضوهایی از گروه$ G $ هستند و دورأس$ b,a $ از گراف$ \Gamma $ مجاورند اگروفقط اگرعضوهای$ b,a $ از گروه$ G $ جابجا نشوندیعنی $ [a,b]\neq 1$که علاقمندیم زیر گرافهای کامل از گراف$ \Gamma $ یامعادلاًزیر مجموعه هایی از اعضای دوبه دو غیر جابجاشونده ازگروه$ G $ را بیابیم.\\ در این پایان نامه مجموعه رئوس از هر زیر گراف کامل از$ \Gamma $ را یک خوشه از گراف$ \Gamma $ گوییم. و اندازه ماکزیمم از زیر گرافهای کامل گراف$ \Gamma $ را عدد خوشه ای از گراف$ \Gamma $ گوییم وبا$ \omega(\Gamma) $ نمایش می دهیم.\\ درمرجع$ \cite{abdollahi 1} $ توسط نویسنده$ \omega(\Gamma_{PSL(2,q)}) $ محاسبه شد. بنابر مرجع$ \cite{abdollahi 3} $ می دانیم $ \omega(A_{5})=21 $که$ A_{5} $ اولین گروه ساده مینیمال از نظر مرتبه است. همچنین ساختار تمام گروه های حل ناپذیر با شرط $ \omega(\mathcal{A}_{G})\leqslant 21 $ رامشخص کردیم. همچنین در این پایان نامه $\omega(PSL(2,7))=57 $ که$ PSL(2,7) $ دومین گروه های ساده مینیمال از نظر مرتبه \\است .همچنین ساختار تمام گروه های حل ناپذیر که در شرط$ \omega(\mathcal{A}_{G})\leqslant 57 $ صدق می کنند مشخص می کنیم گروه های ساده مینیمال شامل گروه$ A_{5} $(گروه متناوب از درجه$ 5 $)، گروه های خطی خاص تصویری ازدرجه$ 2 $ روی میدان متناهی، گروه های سوزوکی $ Sz(2^{p}) $ وگروه خطی خاص تصویری$ PSL(3,3) $ می باشند که ما عدد خوشه ای آنها را بدست می آوریم.\\ در مرجع$ \cite{abdollahi 1} $ ،$ \omega(GL(2,q))=q^{2}+q+1 $ محاسبه شده دراین پایان نامه عدد خوشه ای از $ GL(3,q) $ را برای$ q $ دلخواه که رابطه ای برحسب $ q $ است پیدا می کنیم. برای این منظور عضوهای مولد سینگر،مولد شبه سینگر\\ و$ p $ -عضوها از گروه$ GL(3,q) $ را تعریف می کنیم سپس عدد خوشه ای ازهریک را بد ست می آوریم که عدد خوشه ای از$ GL(3,q) $ برابراست با مجموع اعداد خوشه ای از مولد سینگرها ومولد شبه سینگرها و$ p $ -عضوها می باشد.همچنین در بعضی موارد از آزمایشگاه کامپیوتر به زبان برنامه نویسی $ GAP $ استفاده شده تامطالب ملموس تر شود.\\ این پایان نامه مشتمل بر$ 4 $ فصل است.\\ فصل اول به مطالب مقدماتی اختصاص داده شده است که در فصل های بعدی از آنها استفاده می کنیم.\\ در فصل دوم به سئوالی که بی.اچ. نیومن در سال $ 2000 $ به عنوان سئوال باز مطرح کرد پاسخ می دهیم.\\ در فصل سوم ساختار تمام گروه های حل ناپذیر که در شرط$ \omega(\mathcal{A}_{G})\leqslant 57 $ صدق می کنند رامشخص می کنیم وهمچنین اعداد خوشه ای از گروه سوزوکی وگروه$ PSL(3,3) $ را بدست می آوریم.\\ ودر فصل پایانی عدد خوشه ای از گروه خطی عمومی$ GL(3,q) $ را برای $ q $ دلخواه پیدا می کنیم.\\ فصل های دوم،سوم وچهارم شرح تفصیلی منابع $[9],[8],[7] $ می باشد. \baselineskip=.75cm \pagenumbering{harfi} %\input{fa_title} \tableofcontents\newpage\cleardoublepage %\listoffiguresT \pagenumbering{arabic} \large \chapter{مقدمات وپیش نیازها} در این فصل تعاریف وقضایایی مقدماتی از نظریه گروه ها،گروه های خطی، نظریه گراف وقسمتی از جبر خطی که نقش مهمی در فهم بهتر مطالب دارندرا متذکر می شویم. فرض براین است که خواننده با مفاهیم مقدماتی نظریه گروه هاآشنایی دارد. کلیه قضایا این فصل بدون اثبات ارائه\\ می شودو برهان آنها در منابع$ [4],[3],[2],[1] $ موجود است. \section{ تعاریف وقضایای اولیه در نظریه گروه ها} \begin{definition} فرض کنیم$ X $ یک مجموعه غیر تهی باشد. هر تناظر یک به یک مانند$ f:X \longrightarrow X $ را یک جایگشت روی $ X $ گوییم. \\ مجموعه همه ی جایگشت ها روی مجموعه$ X $ باعمل ترکیب تو ابع تشکیل گروه می دهد. این گروه را گروه متقارن بر$ X $ می گوییم وآن را با$ S_{X} $ نما یش می دهیم. \\ هر گاه $ X=\lbrace 1,...,n\rbrace $آن گاه گروه متقارن روی$ X $ را با$ S_{n} $ نمایش می دهیم. بدیهی است که\\$ \mid S_{n} \mid =n! $ . \end{definition} \begin{definition} مجموعه ی همه جایگشت های زوج در$ S_{n} $ را گروه متناوب از درجه ی$ n $ گو ییم و با نماد $ A_{n} $ نمایش می دهیم. به سادگی دیده می شودکه$ \mid A_{n} \mid =\dfrac{n!}{2} $ . \begin{definition} فرض کنیم$ Y,X $ دو کلاس از گروه $ G $ باشند$ G $ را یک$ X $ بوسیله$ Y $ -گروه گوییم، \\هرگاه$ H\unlhd G $ موجود باشد به طوری که$ H $ یک$ X $ -گروه و$ \dfrac{G}{H} $ یک$ Y $ -گروه باشد. \end{definition} \begin{definition} گروه$ G $ را ساده گوییم هرگاه $ 1 $ و$ G $ تنها زیر گروه های نرمال آن باشند. \end{definition} \begin{theorem} گروه$ A_{n} $ به ازای هر عددطبیعی $ n\geqslant 5 $ ساده است.\\ \textbf{برهان} :به $ \cite{john} $ مراجعه کنید. \end{theorem} \begin{definition} فرض کنیم$ n $ یک عدد طبیعی باشد. به طوری که$ n\geqslant 3 $ . در این صورت زیر گروهی از$ S_{n} $ که توسط دو عضو زیر تولید می شود را گروه دووجهی از مرتبه$ 2n $ گوییم وآن رابا$ D_{2n} $ نمایش می دهیم: \begin{flushleft} $ a=(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & ... & n & \end{array} ) $ ، $ b=\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & ... & n-1 & n \\ 1 & n & n-1 & ... & 3 & 2 \end{array} \right) $ \end{flushleft} این گروه دارای نمایش$ D_{2n}=\langle a,b:a^{n}=b^{2}=1,bab^{-1}=a^{-1}\rangle $ می باشد. \end{definition} \begin{definition} اگر$ a=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) $ ، $ b =\left( \begin{array}{cc} 0 & i \\ i & 0 \end{array} \right) $ $ Q_{8} $ گروه را به صورت زیر تعریف\\ می کنیم: \begin{flushleft} $ Q_{8}=\langle a,b:a^{4}=b^{4}=1,a^{2}=b^{2},bab^{-1}=a^{-1}\rangle $ \end{flushleft} گروه$ Q_{8} $ را گروه کواتر نیون از مرتبه $ 8 $ گوییم. عناصر این گروه به صورت زیر می باشد: \begin{flushleft} $ Q_{8}=\lbrace \pm i ,\pm j,\pm k ,\pm 1 \rbrace ,i^{2}=j^{2}=k^{2}=1, ij=k, jk=-k,...,ik=-j,i^{4}=j^{4}=k^{4}=1$ \end{flushleft} \end{definition} \begin{definition} فرض کنیم $ G $یک گروه $ x,y \in G $ ، $ x $ مزدوج $ y $ است اگر به ازای عضوی چون\\$ g \in G $ داشته باشیم$ y=gxg^{-1} $ . مجموعه ی تمام عناصری که با$ x $ در$ G $ مزدوجند را کلاس مزدوجی $ x $ در$ G $ گوییم وآن را با نماد$ cl_{G}(x)=\lbrace g^{-1}xg:g\in G\rbrace $ . \end{definition} \begin{lemma} فرض کنیم$ G $ گروهی متناهی باشد. در این صورت \begin{flushleft} $ \mid G \mid=\mid Z(G) \mid+\sum_{x \not\in Z(G)} [ G:C_{G}(x) ] $ \end{flushleft} که$ \sum $ جمع روی عناصر از کلاس های مزدوجی متمایز می باشد.\\ \textbf{برهان} :به$ \cite{john} $ مراجعه کنید. \end{lemma} \begin{definition} فرض کنیم $ G $ یک گروه باشد و$ x,y \in G $ . جابجاگر $ y,x $ را به صورت زیر تعریف می کنیم: \begin{flushleft} $ [x,y]=x^{-1}y^{-1}xy $ \end{flushleft} وزیرگروه تولید شده توسط جابجا گرها را زیرگروه مشتق $ G $ گوییم وبا$ G^{\prime} $ نمایش می دهیم یعنی \begin{flushleft} $ G^{\prime}=\left\langle[x,y]:x,y \in G \right\rangle $ \end{flushleft} \end{definition} \begin{theorem} برای هر گروه$ G $، گروه مشتق$ G^{\prime} $ کوچکترین زیر گروه نرمال یکتای$ N $ از$ G $ است، به طوری که$ G/N $ آبلی است.\\ \textbf{برهان} :به$ \cite{john} $ مراجعه کنید. \end{theorem} \begin{definition} فرض کنیم$ G $ یک گروه باشد و$ x \in G $ .مرکزساز$ x $ در $ G $ را که با$ C_{G}(x) $ نمایش می دهیم مجموعه ی تمام اعضای $ G $ است که با$ x $ جابجا می شوند.\\لذا$ C_{G}(x)=\lbrace g \in G:\forall x \in G,gx=xg \rbrace $. همچنین مرکز گروه$ G $ که با$ Z(G) $ نمایش می دهیم برابر است با$ Z(G)=\bigcap_{x \in G}C_{G}(x) $ . \end{definition} \begin{lemma} به ازای هر$ H\leqslant G $ ، $ C_{G}(H)\unlhd N_{G}(H) $ ،$ N_{G}(H)/C_{G}(H) $ را می توان در$ Aut H $ نشانید.\\$ N_{G}(H)=\lbrace g\in G\mid g^{-1}Hg=H \rbrace )$) \textbf{برهان} :به $\cite{john} $ مراجعه کنید. \end{lemma} \begin{lemma} فرض می کنیم$ G $ یک گروه باشدو$ H,K\leq G $. اگر$ H\unlhd G $ و$ K $ زیر گروه مشخصه$ H $ باشدآنگاه$ K\unlhd G $.\\ \textbf{برهان} :به $ \cite{john} $ مراجعه کنید. \end{lemma} \begin{definition} گروه$ G $ را$ p $ -گروه($ p $عدد اول) گوییم هرگاه مرتبه ی هر عضو$ G $ توانی از$ p $ باشد.\\ \end{definition} \begin{theorem} هر گاه$ \mid G \mid=p^{n} $ ، که$ n $ عدد صحیح مثبت است در این صورت$ Z(G)\neq 1 $.\\ \textbf{برهان} :به $\cite{john} $ مراجعه کنید. \end{theorem} \begin{lemma} اگر$ G $ یک گروه باشد، به طوری که به ازای هر$ a \in G $ ،$ a^{2} =e$ باشد در این صورت $ G $ آبلی است.\\ \textbf{برهان} :به$ \cite{john} $ مراجعه کنید. \end{lemma} \begin{definition} گروه$ C_{n}=\lbrace z \in \mathbb{C}:z^{n}=1 \rbrace $ را گروه دوری از مرتبه$ n $ گوییم. \end{definition} \begin{definition} زیر گروه$ M $ ازگروه$ G $ را ماکزیمال گوییم، هر گاه$ M\neq G $ وزیرگروهی مانند$ N $ موجود نباشد به طوری که$ M \lvertneqq N \lvertneqq G $ یا به عبارت دیگر$ M=G $ یا $ M \leq N \leq G\Longrightarrow M=N $. \\اشتراک تمام زیر گروه های ماکزیمال$ G $ که با$\Phi(G) $ نمایش می دهیم را زیر گروه فراتینی\LTRfootnote[1]{Frattini Subgroup} $ G $ گوییم . \end{definition} \begin{definition} برای یک عدد اول $ p $ ،$ p $ -گروه متناهی$ G $ راخیلی خاص گوییم .\\هر گاه$. Z(G)=G^{\prime}=\Phi(G) \cong C_{p}$ \\مثا لی برای این گروه،گروه غیر آبلی از مرتبه$ p^{3} $ است . \end{definition} \begin{definition} فرض کنیم$ G $ یک گروه و$ 1\ < K \unlhd G$ در این صورت،زیر گروه$ K $ را نرمال مینیمال از$ G $ گوییم هرگاه زیرگروه نرمالی از$ G $، مانند$ H $ موجود نباشد به طوری که$ 1\lneqq H \lneqq K $\\ یا به عبارت دیگر $ H=K $یا$ .H\unlhd G,H\leqslant K\Longrightarrow H=1 $ \end{definition} \begin{definition} اگر$ H $ و$ K $ گروه های دلخواه باشند مجموعه$ H\times K $ باعمل \begin{center} $ (h,k)(h^{\prime},k^{\prime})=(hh^{\prime},kk^{\prime})$ \end{center} که$ h,h^{\prime}\in H $ و$ k,k^{\prime}\in K $ تشکیل یک گروه می دهد. این گروه را حا صلضرب مستقیم$ K$ و $H $ \\می نامیم. \end{definition} \begin{lemma} فرض کنیم$ G $ زیر گروه هایی چون$ H $ و$ K $ داردبه طوری که هر عضو $ G $ به صورت حاصل ضرب$ hk $ قابل بیان است. وهرعضو$ H $ با هر عضو$ K $ جابجایی پذیر استو$ H\cap K=1 $ . در این صورت$ G\cong H\times K $ .\\ \textbf{برهان} :به $ \cite{john} $ مراجعه کنید. \end{lemma} \begin{theorem} (سیلو\LTRfootnote[1]{Sylow Subgroup}). فرض کنیم$ G $ گروهی متناهی ،$ \mid G \mid =p^{m}r $ که$ m $ عدد صحیح نامنفی ،$ r $ عدد صحیح مثبت و$ p $ یک عدد اول، به طوری که$ p\nmid r $ دراین صورت\\ الف)$ G $ دارای زیر گروهی از مرتبه$ p^{m} $ است.(چنین زیر گروهی را یک$ p$ -زیر گروه سیلو از $ G $ گوییم)\\ ب) اگر$ H $ یک$ p $ -زیرگروه سیلو از$ G $ و$ J $ یک $ p $ -زیر گروه دلخواه از$ G $ باشد. آن گاه به ازای\\ یک$ g\in G $ ، $ J\leqslant gHg^{-1} $،(به ویژه تمام $ p $ -زیر گروه های سیلو از$ G $ مزدوجند).\\ ج)اگر$ n_{p} $ تعداد $ p $ -زیر گروه های سیلو از $ G $ باشد. در این صورت$ n_{p}=[ G:N_{G}(H)] $،که\\($ H $ ،$ p $ -زیر گروه سیلوی دلخواهی از$ G $ است ) و$ n_{p} \equiv 1 \pmod{\ p} $ و$ n_{p} \mid r $.\\ \textbf{برهان} :به $ \cite{john}$ مراجعه کنید. \end{theorem} \begin{lemma} فرض کنیم($ p $ عدداول فرد ) $ G $ یک گروه از مرتبه$ 2p $ باشددر این صورت یا $ G\cong C_{2p} $ (گروه دوری از مرتبه $ 2p $ ) یا$ G\cong D_{2p} $ ،(گروه دو وجهی از مرتبه$ 2p $).\\ \textbf{برهان} :به$ \cite{hasan} $ مراجعه کنید. \end{lemma} \begin{theorem} پنج دسته گروه(تا حد یکریختی) از مرتبه$ 8 $ وجود دارد که عبارتند از:\\$ C_{2}\times C_{2}\times C_{2},C_{4}\times C_{2},C_{8} $ که آبلی هستند. و$ D_{8},Q_{8} $ گروه های غیرآبلی اند.\\ \textbf{برهان} :به $\cite{hasan} $ مراجعه کنید. \end{theorem} \begin{example} انواع همه ی زیرگروه های حقیقی $ A_{5} $ را مشخص می کنیم که مرتبه شان دست کم بردو عدد اول متمایز بخش پذیر باشند.\\ برهان$ (1) $: فرض کنیم$ G=A_{5} $ چون $ G $ ساده وغیر آبلی به ازای هر$ H \ < G$ ، پس$ [G:H] \geqslant 5 $ بنابراین$ \mid H \mid \leqslant 12 $. چون زیر گروه های حقیقی$ G $ مرتبه شان دست کم بر دو عدد اول متمایز بخش پذیر است پس$ \mid H \mid =6,10,12 $ ، \\$ (2) $ حال نشان می دهیم $ G $ دارای زیر گروه هائی از مرتبه ی$ 12 $ است. عمل طبیعی$ G $ را برمجموعه ی$ X=\lbrace 1,2,3,4,5\rbrace $ را درنظر می گیریم\\$ G\times X\longrightarrow X $ که $(\alpha, x)\longmapsto \alpha \cdot x=\alpha(x) $ ونیز \begin{flushleft} $ \mid Stab_{G}(5)\mid=\mid \lbrace \alpha \in G :\alpha(5)=5\rbrace \mid =\dfrac{4!}{2}=12 \Longrightarrow Stab_{G}(5)\cong A_{4} $ \end{flushleft} حال فرض کنیم $ H\ ,D_{12},A_{4} $\\ \textbf{برهان} :فرض کنیم$ P $ یک$ 3 $ -زیرگروه سیلو از$ G $ باشد.آن گاه یک همریختی$ f:G\longrightarrow S_{4} $ موجود است به طوری که$ K=Ker f\leqslant P $ چون$ \mid P \mid =3 $ نتیجه می شود$ K=P $ یا$ K=1 $.\\ اگر$ K=1 $ باشد $ f $ تکریختی است و$ G $ با زیر گروهی از $ S_{4} $ از مرتبه$ 12 $که $ A_{4} $ می باشد یکریخت است.\\ اگر $ K=P $ آن گاه $ P\unlhd G $ و$ P $ تنها$ 3 $ -زیر گروه سیلوی$ G $ می باشد. لذا $ G $ شامل دقیقاً دو عنصر از مرتبه ی $ 3 $ است.\\ اگر $ c $ یکی از این دو عنصر باشد، آن گاه$ [G:C_{G}(c)] $ که تعداد مزدوجهای$ c $ می باشد برابر$ 1 $ یا$ 2 $ است درنتیجه$ C_{G}(c) $ زیر گروهی از$ G $ از مرتبه$ 12 $ یا$ 6 $ است. در هر دو صورت بنابر قضیه کوشی عنصری مانند$ d\in C_{G}(c) $ با مرتبه ی$ 2 $ وجود دارد دراین صورت$ O(cd)=O(c)O(d)=3\times 2=6 $\\ فرض کنیم$ a=cd $ در این صورت$ [G:]=2 $ ولذا$ \unlhd G $ \\و$ G/=\langle b\mid b\not\in,b^{2}\in \rangle $ .در نتیجه$ G=\langle a,b\rangle $ به قسمی که$ \unlhd G $ لذا$ bab^{-1}\in $. ازآنجا که$ G $ غیر آبلی است و$ o(a)=6 $ ،نتیجه می شود که$ bab^{-1}=a^{5}=a^{-1} $ \\برای $ b^{2}\in $ ،شش امکان وجود دارد.$ b^{2}=a^{2} $ و$ b^{2}=a^{4} $ به تنافض می رسند.$ b^{2}=a $ و$ b^{2}=a^{5} $ نتیجه می دهند که$ o(b)=12 $ و$ G $ آبلی است. بنابر این$ b^{2}=1 $ یا$ b^{2}=a^{3} $ ولذا \begin{center} $ G=\langle a,b\mid a^{6}=b^{2}=1,bab^{-1}=a^{-1}\rangle\cong D_{12}$\\ $ G=\langle a,b\mid a^{6}=1,b^{2}=a^{3},bab^{-1}=a^{-1}\rangle=T$ \end{center} هیچ دوتا از$ D_{12},A_{4} $ و$ T $ یکریخت نیستند. \end{theorem} \begin{theorem} فرض کنیم$ p $ و$ q $ دو عدداول باشند به طور ی که.$ p\ > q$ هرگاه$ p \not\equiv 1 \pmod {\ q} $ آن گاه هر گروه از مرتبه $ pq $ دوری است . اگر $ p \equiv 1 \pmod {\ q} $ ، آن گاه از لحاظ یکریختی دقیقاً دو گروه از مرتبه$ pq $ وجود دارد.که یکی گروه دوری از مرتبه$ pq $ ودیگری گروه غیرآبلی با نمایش زیر است: \begin{center} $ \langle a,b:a^{p}=b^{q}=1,b^{-1}ab=a^{r},1\ $ آن گاه$ Q $ مولدی مانند$ y $ دارد به طوری که$ H= $ ،و$ y^{-1}xy=x^{2} $ .\\ فرض کنیم $ t $ عضوی ازمرتبه ی$ 2 $ در$ R $ باشد.\\ ز)$ H^{t}\cap P=1 $.\\ ح)مجموعه ی$ A=\lbrace H,Ht,Htx^{2},...,Htx^{6}\rbrace $ ،مجموعه ی همه ی هم دسته های$ H $ در$ G $ است.\\ ط)$ G= $.\\ ی)$ y^{t}=y^{-1} $.\\ \end{flushright} \textbf{برهان} :به $ \cite{reza} $ مراجعه کنید. \end{lemma} \begin{theorem} فرض کنیم$ G $ یک گروه ساده از مرتبه ی$ 168 $ باشد. در این صورت$ G\cong<\alpha,\beta,\gamma> $ که درآن \begin{center} $ \alpha=(\,2 \,3\, 4\, 5\, 6\, 7\, 8),\beta=(3\,4\,6)(5\,8\,7),\gamma=(1\,2)(3\,5)(4\,7)(6\,8) $ \end{center} \textbf{برهان} :به $\cite{reza} $ مراجعه کنید. \end{theorem} \begin{corollary} هر گروه ساده از مرتبه ی$ 168 $ با$ PSL(2,7) $ یکر یخت است. \end{corollary} \begin{lemma} یکریختی های زیر برقرارند:\\ \begin{flushleft} $ PSL(2,2)\cong S_{3}, PSL(2,3)\cong A_{4} $\\ $ PSL(2,4)\cong PSL(2,5)\cong A_{5},PSL(2,7)\cong PSL(3,2) $\\ $ PSL(4,2)\cong A_{8},PSL(2,9)\cong A_{6} $ \end{flushleft} \textbf{برهان} به$ \cite{linear} $ مراجعه کنید. \end{lemma} \begin{lemma} یکر یختی های زیر برقرارند:\\ \begin{flushright} الف)$ PGL(2,3)\cong S_{4} $\\ ب)$ PGL(2,5)\cong S_{5} $\\ \end{flushright} \textbf{برهان} :الف)فرض کنیم $ G=GL(2,3) $. در این صورت بنابر قضیه$ 6\cdot2\cdot1 $ ،$ \mid G \mid=48 $ و\\فرض کنیم$ \mid K \mid=2,K=Z(G) $ . فرض کنیم \begin{flushleft} $ H=\left\lbrace \left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0& c \end{array}\right) :a,b,c \in Z_{3},ac\neq 0\right\rbrace $ \end{flushleft} واضح است که$ K\leqslant H\leqslant G $ $ \mid H \mid=12 $. ثابت می کنیم$ H_{G}=K $ ($ H_{G} $مغز $ H $ در$ G $ ) \begin{flushleft} $ K\leqslant H \Longrightarrow gKg^{-1}\leqslant gHg^{-1},K\unlhd G\Longrightarrow K\leqslant H^{g}\Longrightarrow \forall g:K\leqslant gHg^{-1}\Longrightarrow K \subseteq H_{G} $\\ $ a\in H_{G}\Longrightarrow \forall g\in G:a\in gH g^{-1}\Longrightarrow \forall g\in G:g^{-1}ag\in H$ \end{flushleft} چون اعضای$ H_{G} $ درون $ H $ می افتند پس به شکل $ a=\left( \begin{array}{cc} x & y \\ 0 & z \end{array} \right) $ می باشند. کافی است با انتخاب$ g_{2},g_{1} $ مناسب در$ G $ نشان دهیم که، $ a=\left( \begin{array}{cc} x & y \\ 0 & z \end{array} \right) \in K$ حال قرار می دهیم\\ $ g_{1}=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right) $\quad$ g_{2}=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}\right) $ در این صورت$g_{2}ag_{2}^{-1} ,g_{1}ag_{1}^{-1} $ را محاسبه می کنیم. \\ \begin{center} پس$ x=z=1,y=0 $ یا$ x=z=2,y=0 $ ،ودرنتیجه$ a \in K $ \end{center} \begin{flushleft} $ H_{G}=\left\lbrace \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] ,\left[ \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}\right] \right\rbrace =Z(G) $ \end{flushleft} حال باید نشان دهیم$ G/K\cong S_{4} $ بنابر قضیه ای$ \dfrac{G}{H_{G}}\hookrightarrow S_{[G:H]} $ پس$ \dfrac{G}{H_{G}} \hookrightarrow S_{4}$ پس$ \dfrac{G}{H_{G}} $ با یک زیر گروه$ 24 $ عضوی$ S_{4} $ یکریخت است که$ \dfrac{G}{H_{G}}\cong S_{4} $ است.\\ برهان:ب)روند اثبا ت مانند (الف) است ولی چون$ \mid H \mid =80,\mid G \mid =480$ لذا$ \dfrac{G}{Z(G)}\hookrightarrow S_{6} $،\\$ PSL(2,5)\hookrightarrow S_{6} $ بنابر مسئله $ 292 $ درمرجع $\cite{john} $ داریم$ [S_{6}:PSL(2,5)]=6 $\\ پس$ PSL(2,5)\cong S_{5} $ \end{lemma} \begin{definition} گروه$ G=GL(3,q) $ بر روی فضای برداری$ V=V(3,q) $ عمل می کند. هرگاه یک تابع$ G\times V\longrightarrow V $ با ضابطه$ (g,v)\mapsto v^{g}\in V $ موجود باشد.به طوری که در شرایط زیر صدق کند.\\ \begin{flushleft} $ v^{1}=v\quad,(v^{g_{1}})^{g_{2}}=v^{g_{1}g_{2}}\quad,(v_{1}v_{2})^{g}=v_{1}^{g}v_{2}^{g} $ \end{flushleft} که یک همریختی از$ \varphi: G\longrightarrow GL(V) $ وجود دارد. \end{definition} \begin{definition} میدان منحصر بفرد$ q=p^{n} $ عضوی را میدان گالوا\LTRfootnote[1]{Galois} نامیده و با$ GF(q) $ نمایش \\می دهیم. هر مولد گروه ضربی$ GF(q)^{\times} $ یک عنصر اولیه$ GF(q) $ نامیده می شود. \end{definition} \begin{theorem} اگر$ F $ یک میدان متناهی باشد. آن گاه$ F-\lbrace 0\rbrace =F^{\times} $ گروهی دوری است وهر مولد$ F^{\times} $ یک عنصر اولیه است.\\ \textbf{برهان} :به$ \cite{hasan} $ مراجعه کنید \end{theorem} \begin{lemma} تعداد زیر فضاهای یک بعدی$ V(n,q) $ برابر است$ \dfrac{q^{n}-1}{q-1} $ ومساوی است با تعداد ابر صفحه های$ V(n,q) $ .\\ \textbf{برهان} :به $ \cite{reza} $ مراجعه کنید. \end{lemma} \begin{theorem} تعداد زیر فضا های$ r $ بعدی$ V(n,q) $،$ 1\leqslant r\leqslant n $ ،برابراست با \begin{center} $ \dfrac{(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)\cdot\cdot\cdot(q^{n-r+1}-1)}{(q^{r}-1)(q^{r-1}-1)\cdot\cdot\cdot(q-1)}$ \end{center} \textbf{برهان} :به $ \cite{reza} $ مراجعه کنید. \end{theorem} \section{\large سریها} \begin{definition} فر ض می کنیم$ G $ یک گروه$ H\leqslant G $. همچنین فرض کنیم یک دنباله متناهی$ \lbrace H_{i}\rbrace_{i=1}^{n} $ از زیرگروه های$ G $ موجودند به طوری که \begin{flushleft} $ H=H_{0}\unlhd H_{1}\unlhd ...\unlhd H_{n-1}\unlhd H_{n}=G$ \end{flushleft} یک سری به طول$ n $ از$ H $ به$ G $ نامیم زیر گروه های$ H_{n},...,H_{1},H_{0} $ را جملات این سری وگروه های خارج قسمتی$(i=1,...,n) H_{i}/H_{i-1} $ راعاملهای سری گوییم و اگربه ازای هر$ i $ ،$ H_{i}\unlhd G $ باشد سری را نرمال گوییم. \end{definition} \begin{definition} الف)اگر$K\unlhd G $عامل$ H/K $ از یک سری$ G $ را عامل مرکزی$ G $ نامیم \\هر گاه$ H/K\leqslant Z(G/K)$ . \\ب)$ G $ را پوچ توان گوییم اگر یک سری داشته باشد که تمام عاملهایش، عاملهای مرکزی$ G $ باشند. یک چنین سری را یک سری مرکزی می نامیم.\\ ج)$ G $ را حل پذیر گوییم، اگر یک سری داشته باشد که همه ی عاملهایش آبلی باشند. یک چنین سری را سری آبلی می نامیم .گروه هائی را که حل پذیر نیستند،حل ناپذیر گوییم .\\ \end{definition} \begin{remark} هر گروه آبلی،پوچ توان است ولی عکس این مطلب لزوماً برقرارنیست.\\ هر گروه پوچ توان ،حل پذیر است ولی عکس این مطلب لزوماً برقرار نیست. \end{remark} \begin{lemma} اگر$ G/Z(G) $ پوچ توان باشد دراین صورت$ G $ پوچ توان است.\\ \textbf{برهان} :به $ \cite{john} $ مراجعه کنید. \end{lemma} \begin{theorem} فر ض می کنیم$ K\unlhd G $. هر گاه$ K $ و$ G/K $ حل پذیر باشند. در این صورت $ G $ حل پذیر است.\\ \textbf{برهان} :به $\cite{john} $ مراجعه کنید. \end{theorem} \begin{definition} زیر گروه های$ G^{(n)} $ از$ G $ را به ازای هر عدد صحیح نامنفی$ n $ به طور بازگشتی به صورت زیر تعریف می کنیم: \begin{flushleft} $ G^{0}=G,G^{1}=G^{\prime}=[G,G],G^{(2)}=G^{\prime\prime},...,G^{(n)}=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]=(G^{(n-1)})^{\prime} $ \end{flushleft} سری نزولی زیر از$ G $ را سری مشتق$ G $ می نامیم. \begin{flushleft} $ G=G^{(0)}\geqslant G^{(1)}\geqslant ...\geqslant G^{(n-1)}\geqslant G^{(n)}\geqslant ...$ \end{flushleft} \end{definition} \begin{theorem} گروه$ G $ حل پذیر است اگر و فقط اگر به ازای حد اقل یک عدد طبیعی$ n $،$ G^{(n)}=1 $.\\کوچکترین $ n $ ای که$ G^{(n)} =1$ را طول حل پذیری $ G $ گوییم.\\ \textbf{برهان} :به $ \cite{john} $ مراجعه کنید. \end{theorem} \begin{definition} اگر$ G $ یک گروه$ N\unlhd G $ در این صورت$ [G/N,G/N]=[G,G]N/N $ \\یعنی \begin{flushleft} $ (G/N)^{\prime}=G^{\prime}N/N,(G/N)^{\prime\prime}=G^{\prime\prime}N/N,...,(G/N)^{n}=G^{(n)}N/N $ \end{flushleft} \end{definition} \begin{definition} زیر گروه های$\Gamma_{n}(G) $ و$ Z_{n}(G) $ را به طور بازگشتی به صورت زیر تعریف می کنیم\\ \begin{flushleft} $ \Gamma_{1}(G)=G,\Gamma_{2}(G)=[G,G]=G^{\prime},\Gamma_{3}(G)=[\Gamma_{2}(G),G],...\Gamma_{n}(G)=[\Gamma_{n-1}(G),G]$ \end{flushleft} در این صورت دنباله نزولی زیر را سری مرکزی پایینی$ G $ می گوییم \begin{flushleft} $ G=\Gamma_{1}(G)\geqslant \Gamma_{2}(G)\geqslant...\geqslant\Gamma_{n-1}(G)\geqslant \Gamma_{n}(G)\geqslant...$ \end{flushleft} همچنین فرض می کنیم. \begin{flushleft} $ Z_{0}(G)=1,Z_{1}(G)=Z(G),Z_{n}(G)/Z_{n-1}(G)=Z(G/Z_{n-1}(G))$ \end{flushleft} در این صورت دنباله صعودی زیر را سری مرکزی بالایی$ G $ می گوییم \begin{flushleft} $ 1=Z_{0}(G)\leqslant Z_{1}(G)\leqslant ...\leqslant Z_{n-1}(G)\leqslant Z_{n}(G)\leqslant ... $ \end{flushleft} \end{definition} \begin{theorem} سه حکم زیر هم ارزند: \begin{flushright} $ (1) $ $ G $ پوچ توان است\\ $ (2) $برای یک عدد صحیح$ n $،$\Gamma_{n}(G) =1 $.\\ $ (3) $ برای یک عدد صحیح $ n $،$ Z_{n}(G)=G $. \end{flushright} \textbf{برهان} :به $ \cite{john} $ مراجعه کنید. \end{theorem} \begin{theorem} فرض کنیم$ G $ یک گروه ساده ی متناهی از مرتبه حدا کثر$ 100 $ باشد. در این صورت$ G\cong A_{5} $. همچنین اگر$ G $ حل ناپذیرو$ \mid G \mid \leqslant 100 $ باشدآن گاه$ G\cong A_{5} $.\\ \textbf{برهان} :به $ \cite{john} $ مراجعه کنید. \end{theorem} \begin{lemma} احکام زیر هم ارزند:\\ الف)$ G $ پوچ توان است.\\ ب)هر زیر گروه$ G $، در$ G $ نرمال است.\\ ج)هر گاه$ H\ 2 $ وحکم برای $ d-1$ برقرارباشد. طبق قضیه $7 \cdot3 \cdot 1$،$ G/G^{d-1} $ طول حل پذیری، $ d-1 $ دارد زیرا:\\ \begin{flushleft} $(G/G^{d-1})^{d-1}=G^{d-1}G^{d-1}/G^{d-1}=G^{d-1}/G^{d-1}=1$ \end{flushleft} فرض کنیم$ l $ و$ k $ اعداد صحیح مثبتی باشند به طوری که $ 2^{l}\ $ پوچ توان باشد،آن گاه گوییم$ G\in (N,n) $ . \end{definition} \begin{definition} . فرض کنیم $ G $یک گروه متناهی باشد. در این صورت برای هر مقسوم علیه اول از$ \mid G\mid $ تعداد$ p $- زیر گروه های سیلوی $ G $ را با$ \nu_{p}(G) $ نمایش می دهیم. \end{definition} \begin{lemma} فرض کنیم $ G $ یک گروه متناهی و$ p $ عدد اولی باشد که مرتبه$ G $ را می شمارد وهر \\دو$ p $- زیرگروه سیلوی$ G $ اشتراک بدیهی داشته باشند. اگر $ G\in (N,n) $،آن گاه \begin{center} $ \nu_{p}(G)\leq n $ \end{center} \textbf{برهان} :به مرجع $ \cite{Endimioni} $ مراجعه کنید. \end{lemma} \begin{lemma} فرض کنیم$ G $ یک$ C(m,n) $-گروه و$ p $ عدد اولی باشد. که مرتبه$ G $ را می شمرد به قسمی که هردو$ P $- زیرگروه سیلوی متمایز $ G$ اشتراک بدیهی داشته باشند. دراینصورت \begin{center} $\nu_{p}(G) \leq m+n-1 $ \end{center} \textbf{برهان} :بنابر لم های$ 2\cdot2\cdot2 $ و$9\cdot3\cdot2 $ داریم: \begin{flushleft} $ \omega (G)\ 5 $ یک عدد اول و$ p\equiv 2 \pmod {\ 5 } $\\ $ PSL(3,3) ,Sz(2^{p})$ : که$ p $ یک عدد اول فرد \end{flushright} ابتدا نشان می دهیم که $ A_{5} $ یک$ C(m,n) $-گروه نیست که$ m+n\leqslant 58 $ . فر ض می کنیم $P_{1},...,P_{5} $ و $Q_{1},...,Q_{10} $ و$ R_{1},...,R_{6}$ ،$ p $-زیر گروه های سیلوی$ A_{5} $ به ترتیب برای $ p=2,3,5 $ باشند با توجه لم قبل$ A_{5} $ اجتماع این زیرگروه های سیلو است، همچنین بنابر قسمت دوم این لم به ازای هر$ a_{i},a_{j} $ در$ A_{5} $، $ $ پوچ توان نیست پس$ $آبلی نیست. پس هیچ جفت از عناصر$ A_{5} $ با هم جابجا نمی شوند. \\ چون هر عضو غیر بدیهی از$ \bigcup_{i=1}^{6} R_{i}\cup Q_{1}\cup Q_{2}$با یک عضو غیر بدیهی از$ (\bigcup _{i=1}^{5} P_{i}\cup \bigcup_{i=3}^{10}Q_{i})\setminus \lbrace a\rbrace $جابجا نمی شود($ a $یک عضو غیر بدیهی از$ Q_{10} $ است.)بنابر این$ A_{5} $یک$ C(28,30) $گروه نیست.\\ وچون هر عضو غیر بدیهی از $(\bigcup_{i=1}^{6}R_{i}\cup Q_{1}\cup Q_{2}\cup Q_{3})\setminus \lbrace b\rbrace $ با یک عضو غیر بدیهی \\از$ \bigcup_{i=1}^{5}P_{i}\cup \bigcup_{i=4}^{10}Q_{i} $ جابجا نمی شود($ b $یک عضو غیر بدیهی از$ Q_{1} $است)بنابر این$ A_{5} $ \\یک$ C(29,29) $-گروه نیست. مرکز یسازها در$ A_{5} $ دورهایی به طول$ 2,3,5 $ است \\وبه صورت$ A_{1}=\lbrace 1,\alpha\rbrace,A_{2}=\lbrace 1,\beta,\beta^{2}\rbrace,A_{3}=\lbrace 1,\gamma,\gamma^{2},\gamma^{3}\rbrace $ می باشند که اعضای مجموعه های $ A_{3},A_{2},A_{1} $ جابجا نمی شوند. \\حال فرض کنیم$ n\leqslant 27 $، برای اعداد صحیح$ k,l $که$ n=4k+l,0\leqslant l\leqslant 3,0\leqslant k \leqslant 6 $ داریم فرض کنیم $ a $ یک عضو غیر بدیهی دلخواه از$ Q_{10} $ باشد. تعریف می کنیم: \begin{equation*} \ A_{n}=\left\{\begin{array}{cc} \bigcup_{i=1}^{k}R_{i} \qquad l=0 \qquad \;\; \text{اگر}\\ \left ( \bigcup_{i=1}^{k}R_{i}\cup Q_{10}\right) \setminus \lbrace a \rbrace l=1 \:\, \text{اگر} \\ \bigcup_{i=1}^{k}R_{i}\cup Q_{1}\qquad l=2 \qquad \: \text{اگر}\\ \bigcup_{i=1}^{k}R_{i}\cup P_{1}\qquad l=3 \qquad \: \text{اگر} \end{array}\right. \end{equation*} \begin{equation*} \ B_{n}=\left\{\begin{array}{cc} \left( \bigcup_{i=k+1}^{6}R_{i} \cup \bigcup_{i=1}^{5}P_{i}\cup \bigcup_{i=1}^{10}Q_{i}\right )\setminus \lbrace a\rbrace \qquad l=0 \text{اگر}\\ \bigcup_{i=k+1}^{6}R_{i}\cup \bigcup_{i=1}^{5}P_{i}\cup\bigcup_{i=1}^{9}Q_{i}\qquad \quad\quad l=1 \text{اگر}\\ \left( \bigcup_{i=k+1}^{6}R_{i}\cup \bigcup_{i=2}^{5} P_{i}\cup\bigcup_{i=2}^{10}Q_{i}\right) \setminus\lbrace a \rbrace\qquad l=2 \text{اگر}\\ \left( \bigcup_{i=k+1}^{6}R_{i}\cup \bigcup_{i=2}^{5}P_{i}\cup\bigcup_{i=1}^{10}Q_{i}\left)\setminus \lbrace a \rbrace\qquad l=3 \text{اگر} \end{array}\right. \end{equation*}\\ در این صورت هیچ عضو غیر بدیهی از $ A_{n} $ با هیچ عضو غیر بدیهی از$ B_{n} $ جابجا نمی شود. در این صورت$ A_{5} $ یک$ C(m,n) $-گروه جایی که$ m+n\leqslant 58 $ نمی باشد.\\ اگر$ PSL(2,3^{p}) $ یا$ G\cong PSL(2,2^{p}) $ که$ p $ یک عدد اول است. آن گاه بنا بر لم $ 1\cdot2\cdot2 $\\، $ \omega(P SL(2,2^{p}))\ > 64 $ و$ \omega(PSL(2,3^{p}))\ > 757 $ که تناقض است.\\ اگر$ G\cong PSL(3,3) $ آن گاه$ \mid G \mid=2^{4}\times 3^{3}\times13 $بنابراین$\nu_{13}(H)=144\ > 57 $ که طبق لم$ 10\cdot3\cdot2 $ غیر ممکن است.\\ اگر$ G\cong PSL(2,p) $ که$ p\ > 7 $ و$ p $ اول باشد در این صورت بنابر لم$ 1\cdot2\cdot2 $،\\ $ \omega (PSL(2,p))\geqslant 133 $که یک تناقض است.\\اگر$ G\cong PSL(2,7) $ طبق قضیه در مرجع$\cite{abdollahi 1} $ بنابر قضیه$ 3\cdot21 $ مشابه$ A_{5} $ نتیجه می گیریم که$ G $ \\یک$ C(m,n) $-گروه نیست.\\ اگر$ G\cong Sz(2^{p}) $ آن گاه طبق قضیه $ 3\cdot10 $ از فصل $ 11 $در کتاب گروه های متناهی هوپرت \LTRfootnote[1]{Huppert}و برهانش در مرجع $ \cite{Huppert} $ داریم$ \mid G \mid=2^{2p}\times(2^{p}-1)\times(2^{2p}+1) $ و$ \ \nu_{2}(G)=2^{2p}+1\geqslant65 $که متناقض بالم$ 10\cdot3\cdot2 $ است. \end{theorem} \begin{lemma} برای اعداد صحیح مثبت$ m,n $که$. m+n=59 $ گروه متناوب$ A_{5} $تنها $ C(m,n) $-گروه ساده متناهی ناآبلی است.\\ \textbf{برهان} :چون هرمرکز ساز$ A_{5} $ حداقل از مرتبه $ 3 $ است، بنابر این$ A_{5} $ یک $ C(1,58) $- گروه است. زیرا اگر$ \mid X \mid=1 $ و$ \mid Y\mid=58 $ ونیز $ a\neq 1 $ ، $ X=\lbrace a \rbrace $ و $ \mid C_{G}(a) \mid \geqslant 3 $ دو حالت در نظر \\می گیریم:\\ حالت اول) اگر $ Y\cap C_{G}(a)= \emptyset $ آن گاه $ \mid Y\cap C_{G}(a) \mid \ > 60 $ که این تناقض است.\\ حالت دوم )اگر$ Y\cap C_{G}(a) \neq \emptyset $ آن گاه عضو$ b $ در$ Y\cap C_{G}(a) $ موجود است که $ b\in Y ,ab=ba $\\ برای اثبات یکتایی خلاف حکم را در نظر می گیریم یک گروه ساده متناهی ناآبلی ، غیر یکریخت با$ A_{5} $ از کمترین مرتبه ممکن موجوداست. برای اعداد صحیح مثبت$ n,m $،که$ m+n=59 $ یک\\$ C(m,n) $گروه است.\\بنابر این طبق قضیه $ 3 $ در مرجع $\cite{Robioson} $، $ G $یکریخت با یکی از گروه های زیر است. \begin{center} $ PSL(2,2^{p})$:که$ p $یک عدد اول یا$ p=4 $\\$ PSL(2,3^{p}),PSL(2,5^{p}) $:که$ p $ یک عدد اول\\$ PSL(2,p) $:که$ p $ عدد اول و$ p \geqslant 7 $\\$ PSL(3,3),PSL(2,5) $\\$ PSU(3,4) $:گروه یکانی خاص تصویری از درجه$ 3 $ روی میدان متناهی از مرتبه$ 2^{2} $\\$ Sz(2^{p}) $:که $ p $ یک عدد اول است. \end{center} اکنون مشابه بابرهان قضیه قبل درهرحالت به تناقض می رسیم. \end{lemma} \section{\large ساختار$ C(m,n) $-گروه ها برای$ m$ و $n $کوچک } در این بخش ساختارگروه هایی که در شرط $ Comm(m,n) $ صدق کرده و $ m+n \leqslant 10 $ را موردبررسی قرارمی دهیم. برای این منظور رده بندی های زیر را مورد بررسی قرار می دهیم: \begin{flushright} $ 1$-ساختار گروه هایی که$ C(1,n) $-گروه هستند که$ 5\leqslant n\leqslant9$. \\$ 2 $ -ساختار گروه هایی که$ C(2,n) $-گروه هستند که$ 4\leqslant n\leqslant8$. \\$3 $ -ساختار گروه هایی که$ C(3,n) $-گروه هستند که$ 3\leqslant n\leqslant7$.\\ $ 4 $ -ساختار گروه هایی که$ C(4,n) $-گروه هستند که$ 5\leqslant n\leqslant6 $.\\ $ 5 $-ساختار$ C(5,5) $-گروه ها. \end{flushright} قبل از بررسی ساختار گروه هایی که در بالا به آنها اشاره شد به چند لم مقدماتی نیاز داریم: \begin{lemma} فرض کنیم$ G $ یک$ C(m,n) $-گروه و$ x $ یک عضو غیر مرکزی از مرتبه متناهی باشد.\\اگر$\phi (\mid x \mid ) \geqslant n $ که$ \phi $ تابع فی اویلر\LTRfootnote[1]{Euler} است، آن گاه \begin{center} $ \mid G\setminus C_{G}(x) \mid \ < m $ \end{center} \textbf{برهان} :فرض کنیم \begin{center} $ \lbrace k \in N: 1\leqslant k \leqslant \mid x \mid ,\:gcd(k, \mid x \mid )=1\rbrace=\lbrace d_{1},d_{2},...,d_{\phi( \mid x \mid)}\rbrace$ \end{center} چون به ازای$ i\neq j $ ،اگر$ d_{i}\neq d_{j} $ در این صورت$ x^{d_{i}}\neq x^{d_{j}} $ پس مجموعه$ \lbrace x^{d_{1}},x^{d_{2}},...,x^{d_{\phi( \mid x \mid)}}\rbrace $ دارای $ \phi(\mid x \mid) $ عضو می باشد. حال از این که$ G $ یک $ C(m,n) $ -گروه است. بنابر لم $ 1\cdot3\cdot2 $داریم: \begin{center} $ \mid G\setminus \bigcup _{i=1}^{\phi(\mid x \mid)}C_{G}(x^{d_{i}})\mid \ < m $ \end{center} از طرفی اگر$ (t,\mid x \mid )=1 $ آن گاه نشان می دهیم$ C_{G}(x)=C_{G}(x^{t}) $ . زیرا بدیهی است که $C_{G}(x)\subseteq C_{G}(x^{t}) $ از طرف دیگر،فرض کنیم$ y\in C_{G}(x^{t}) $ پس $ yx^{t}=x^{t}y $ . از این که بنابر فرض $ (t,\mid x \mid ) =1 $پس اعداد صحیح $ r$ و $s $ موجودند به طوری که$ tr+s \mid x \mid =1 $. بنابر این\\ \begin{flushleft} $ yx=yx^{tr+s \mid x \mid}=yx^{tr}=y(x^{t})^{r}=x^{tr}y=xy $ \end{flushleft} یعنی$ y\in C_{G}(x) $ .پس$ C_{G}(x^{t})\subseteq C_{G}(x) $. از این رو برای هر$ 1\leqslant i \leqslant d_{\phi (\mid x \mid)} $ داریم\\$ C_{G}(x)=C_{G}(x^{d_{i}}) $ بنابر این\\ \end{lemma} \begin{center} $ \mid G\setminus C_{G}(x) \mid \ < m $ \end{center} بدین ترتیب اثبات کامل شد. \begin{lemma} اگر$ G $ یک$ C(m,n) $-گروه پوچ توان متناهی باشد. در این صورت \begin{center} $ \prod _{{\atop{p\vert \mid G \mid}}} p =,(p,j)=1\Longrightarrow xa=ax \Longrightarrow $ \\ $ [ x,a] =1 \Longrightarrow a\in Z(G)\Longrightarrow p= \mid a \mid \big| \mid Z(G) \mid $ \end{flushleft} بنابر برهان قضیه $ 4\cdot2\cdot2 $ ، $ \mid Z(G)\mid \leqslant max \lbrace m,n\rbrace $ لذا $ p \leqslant max \lbrace m,n\rbrace $ که برهان کامل می شود. \end{lemma} \begin{lemma} فرض کنیم$ G $ یک گروه متناهی ناآبلی باشد. به طوری که$ \mid G/Z(G)\mid =4 $ در این صورت اگر$ \mid Z(G) \mid =z $ آن گاه $ G $ یک$ C(z,2z) $-گروه نیست.\\ \textbf{برهان} :چون $ G $ ناآبلی است پس$ G/Z(G) $ دوری نیست. درنتیجه$ G/Z(G)\cong C_{2}\times C_{2} $ بنابر این عناصر $ a,b\in G $ موجودند به طوری که هم دسته های $ G/Z(G) $ در$ G $ ، تشکیل یک افراز برای $ G $\\ می دهند. \begin{center} $ G=Z(G)\cup aZ(G)\cup bZ(G)\cup abZ(G) $ \end{center} بنابراین$ $ یک$ 2 $- گروه آبلی مقدماتی از مرتبه$ 4 $ است. پس$ G=Z(G) $ چون $ G $ ناآبلی است لذا$ ab\neq ba $. حال زیر مجموعه های$ M=aZ(G)\cup bZ(G) $ و$ N=abZ(G) $ را در نظر می گیریم. برای هر$ x\in M $ و $ y \in N $ داریم$ xy \neq yx $ زیرا$ ab \neq ba $ این نشان می دهد که$ G $ یک$ C(z,2z) $-گروه نیست. \end{lemma} \begin{remark} $(1) $ اگر$ G $ یک$ C(m,n) $-گروه باشد. آن گاه برای هر دو عددطبیعی $ m^{\prime},n^{\prime} $ به طوری که$ m \leqslant m^{\prime},n \leqslant n \prime $ ، $ G $ یک $ C(m^{\prime},n^{\prime} )$-گروه است.\\$ (2) $\;فرض کنیم $ G $ یک$ C(m,n) $- گروه باشد، اگر$ t,a $ دوعدد طبیعی باشند. به طوری که \\$ t \leqslant \mid C_{G}(a)\setminus Z(G) \mid $ ، آن گاه$ G $ یک$ C(t,\mid G\setminus C_{G}(a)\mid )$ گروه نیست. \end{remark} \begin{corollary}\ فرض کنیم$ G $ یک$ C(1,n) $ گروه، که$ 5\leqslant n \leqslant 9 $ است. در این صورت \\$ G\cong S_{3},D_{8},Q_{8},D_{10},T,D_{12} $ یا$ G $ یک گروه ناآبلی ازمرتبه $ 16 $ که مرکزش از مرتبه ی$ 4 $ می باشد.\\ \textbf{برهان} :طبق تذکر$ 5\cdot4\cdot2 $ قسمت $ (i) $ ، $C(1,5),C(1,6),C(1,7),C(1,8)\subseteq C(1,9) $ بنابراین فقط حالت$ n=9 $ را در نظر می گیریم. \\ فرض کنیم$ a $ یک عضو غیرمرکزی از$ G $ باشد. بنابر لم$ 1\cdot3\cdot2 $ داریم$ \mid G\setminus C_{G}(a) \mid \leqslant 8 $ وبنابر تذکر$ 2\cdot3\cdot2 $، $ \mid C_{G}(a) \mid \leqslant\dfrac{\mid G \mid}{2} $ پس \begin{flushleft} $ \mid G \mid \leqslant 8+\dfrac{\mid G \mid}{2}\Longrightarrow \dfrac{\mid G \mid}{2} \leqslant 8 \Longrightarrow \mid G \mid \leqslant 16\Longrightarrow \mid G \mid =6,8,10,12,14,16 $ \end{flushleft} اگر$ \mid G \mid =12 $ در این صورت بنابر لم$ (26\cdot1\cdot1) $ ،$ T $ یا $ G\cong A_{4},D_{12} $ گروه متناوب$ A_{4} $ عضوی دارد که مرکز ساز آن از مرتبه $ 3 $ است . بنا بر تذکر$ (2)5\cdot4\cdot2 $،$ A_{4} $ یک$ C(1,9) $- گروه نیست. زیرا \begin{flushleft} $ G=A_{4},a=(1,2,3),C_{G}(a)=\Longrightarrow \mid C_{G}(a) \mid =3 ,Z(A_{4})=1\Longrightarrow$\\$ t=1 \leqslant \mid C_{G}(a)-Z(G) \mid =2 ,\mid G\setminus C_{ G}(a) \mid =9 \Longrightarrow $ \end{flushleft} پس$ A_{4} $ یک$ C(1,9) $-گروه نیست. به همین ترتیب اگر$ T $ یا$ G \cong D_{12} $ در این صورت مرتبه مرکز ساز از هر عنصر در$ G $ حداقل $ 4 $ است. پس$ G $ یک$ C(1,9) $-گروه است.\\ اگر$ \mid G \mid =14 $ در این صورت بنابر قضیه$ 23\cdot1\cdot1 $،$ G \cong D_{14} $ می دانیم عضوی مانند$ x \in D_{14} $\\ وجود دارد به قسمی که$ \mid C_{G}(x) \mid =2 $ بنابر قسمت$( 2) $ از تذکر$ 5\cdot4\cdot2 $، $ D_{14} $ یک$ C(1,9) $-گروه نیست.\\ در نهایت اگر$ \mid G \mid =16 $ در این صورت$ Z(G) \leq C_{G}(a) \leq G$. اگر $ Z(G)=C_{G}(a) $\\$ a\in Z(G) $ ،$ G $ آبلی است که تناقض است. لذا$ Z(G)\lneqq C_{G}(a) \leq G$ \\ برای هر$ a\in G-Z(G) $ بنابر قضیه لاگرانژ داریم:\\ \begin{flushleft} $ \mid Z(G) \mid \big| \mid G \mid\Longrightarrow \mid Z(G) \mid =1,2,4,8,16$ \end{flushleft} می دانیم$ \mid Z(G) \mid \neq 1 $ زیرا مرکز هر $ p $-گروه غیر بدیهی است. $ \mid Z(G) \mid \neq 16 $ زیرا$\mid \dfrac{G}{Z(G)}\mid=1 $ بنابراین $ G $آبلی است که تناقض است. $ \mid Z(G) \mid \neq 8 $ زیرا در غیر این صورت$\mid \dfrac{G}{Z(G)}\mid=2 $ در نتیجه$ \dfrac{G}{Z(G)} $ از مرتبه عددی اول است لذا$ G $ آبلی است که تناقض است.\\اگر $ \mid Z(G) \mid=2 $ آن گاه عنصر$ a\in G $ موجود است به طوری که$ \mid C_{G}(a) \mid=8 $ است زیرا اگر: \begin{flushleft} $ \forall a \in G:\mid C_{G}(a) \mid \neq 8,Z(G) \lneqq C_{G}(a)\Longrightarrow \mid C_{G}(a) \mid \geqslant 4 \Longrightarrow $ \\$ 16 $یا $\forall a \in G :\mid C_{G}(a) \mid =4$ \end{flushleft} اگر به ازای هر$ a \in G $ ،$ \mid C_{G}(a) \mid=16 $ باشد پس $ G $آبلی است که تناقض است.\\ حال اگر به ازای $ a \in G $ ، $ \mid C_{G}(a) \mid=4$ بنابر معادله کلاسی\\$ \mid G \mid =\mid Z(G) \mid +\sum_{a \not \in Z(G)}^{\prime} \mid G: C_{G}(a) \mid $ داریم$ 16=2+4k $ ولذا $ 8=2k+1 $ که تناقض است. پس بنابر قسمت$ (2) $از تذکر$ 5\cdot4\cdot2$ ، $ G $یک$ C(1,9) $-گروه نیست.\\ اگر$ \mid Z(G) \mid =4 $ در این صورت برای هر $ a \in G $ ، $ \mid C_{G}(a) \mid \geqslant 8 $ در نتیجه $ G $ یک$ C(1,9) $-گروه است. \end{corollary} \begin{corollary} فرض کنیم $ G $ یک$ C(2,n) $-گروه و$ 4\leqslant n \leqslant 8 $ باشد. در این صورت \begin{center} $ D_{10} $ یا $ G\cong S_{3},D_{8},Q_{8}, $ \end{center} \textbf{برهان} : بنابر قسمت$ (1) $\;ازتذکر$ 5\cdot4\cdot2$، کافی است فقط حالت$ n=8 $ را بررسی کنیم. چون$ G $ یک گروه ناآبلی است عنصر$ a \in G\setminus Z(G) $ موجود است به طوری که$ a^{2} \neq 1$ زیرا اگربه ازای هر$a \in G\setminus Z(G) $ ، $ a^{2}=1 $ باشد داریم: \begin{flushleft} $ \exists \:a,b \in G : ab \neq ba \Longrightarrow a \not\in Z(G) , b \not\in Z(G), ab \not\in Z(G)$ \end{flushleft} زیرا اگر$ ab\in Z(G) $ باشد. پس \begin{flushleft} $ aba^{-1}=a^{-1}ab\Longrightarrow ab=ba \Longrightarrow $ \end{flushleft} که تناقض است. حال اگر$(ab)^{2}=1,b^{2}=1, a^{2}=1 $ پس$ b=b^{-1},a=a^{-1} $ و لذا \begin{flushleft} $ ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba\Longrightarrow $ \end{flushleft} که تناقض است. بنابر لم$ 1\cdot3\cdot2 $ ، $ \mid G\setminus C_{G}(a) \mid \leqslant 7 $ ونیز $ \mid C_{G}(a) \mid \leqslant \dfrac{\mid G \mid}{2} $ پس$ \mid G \mid \leqslant 14 $. \\ اگر$ \mid G \mid =12$ در این صورت$ G $ شامل مرکز ساز از مرتبه$ 4 $ است. بنابر قسمت$ (2) $ از تذکر$ 5\cdot4\cdot2$ $ G $ یک $ C(2,8) $-گروه نیست.\\ اگر $ \mid G \mid=14 $ باشد$ G\cong D_{14} $ دراین صورت$C_{G}(ab)=\lbrace 1,ab \rbrace, C_{G}(b)=\lbrace 1,b \rbrace $ حال اگر مجموعه های$ N=\lbrace a,a^{2},...,a^{6},a^{2}b,a^{3}b \rbrace, M=\lbrace b ,ab \rbrace $ را در نظر می گیریم که در این صورت\\ یک$ C(2,8) $-گروه نیست. \end{corollary} \begin{lemma} فرض کنیم$ G $ یک$ C(3,n) $-گروه و$ 3\leqslant n \leqslant7 $ . دراین صورت \begin{center} $ D_{10} $یا$ G\cong S_{3},D_{8},Q_{8} $ \end{center} \textbf{برهان} : بنابر قسمت$ (1) $ از تذکر$ 5\cdot4\cdot2$، کافی است فقط حالت$ n=7 $ را بررسی کنیم. چون$ G $ یک گروه ناآبلی است عنصرغیرمرکزی$ a \in G $ موجود است به قسمی که$ a^{2}\neq 1 $ ، فرض \\می کنیم$ b \in G\setminus Z(G) $ به طوری که$ b \neq a,a^{-1} $ . حال طبق لم$ 1\cdot3\cdot2 $داریم:\\ \begin{center} $ \mid G \setminus C_{G}(a) \cup C_{G}(a^{-1}) \cup C_{G}(b) \mid \leqslant 6 $ \end{center} چون$ C_{G}(a)=C_{G}(a^{-1}) $ پس $ \mid G \setminus C_{G}(a) \cup C_{G}(b) \mid \leqslant 6 $ در این صورت نشان می دهیم\\$ \mid G \mid \in \lbrace 8,10,12,14,16,20,22,24 \rbrace $ زیرا:\\ \begin{equation} \mid G \mid \leqslant 6+ \mid C_{G}(a) \mid +\mid C_{G}(b) \mid - \mid C_{G}(a)\cap C_{G}(b) \mid \tag{ * } \end{equation} حالات زیررا در نظر می گیریم: $ 1 $.اگر$ \mid G: C_{G}(b) \mid =2$ و $ \mid G:C_{G}(a) \mid =2 $ باشد. پس \begin{flushleft} $ C_{G}(a) C_{G}(b) \subseteq G \Longrightarrow\dfrac{\mid C_{G}(a) \mid \mid C_{ G}(b) \mid}{\mid C_{G}(a) \cap C_{ G}(b) \mid} \leqslant \mid G \mid\Longrightarrow \dfrac{\dfrac{\mid G \mid}{2}\dfrac{\mid G \mid}{2}}{\mid C_{G}(a) \cap C_{ G}(b) \mid} \leqslant \mid G \mid\Longrightarrow $ \\ $\mid C_{G}(a)\cap C_{G}(b) \mid \geqslant \dfrac{\mid G \mid}{4}$ \end{flushleft} حال بنابر $ (*) $ داریم: \begin{flushleft} $ \mid G \mid \leqslant 6+ \dfrac{\mid G \mid}{2}+\dfrac{\mid G \mid}{2}-\dfrac{\mid G \mid}{4}\Longrightarrow \dfrac{\mid G \mid}{4} \leqslant 6\Longrightarrow \mid G \mid \leqslant 24$ \end{flushleft} $ 2 $. اگر $ \mid G: C_{G}(b) \mid =3$ و $ \mid G:C_{G}(a) \mid =2$ باشد. مانند روند بالا$ \mid C_{G}(a)\cap C_{G}(b) \mid \geqslant \dfrac{\mid G \mid}{6} $پس بنابر$ (*) $داریم: \begin{flushleft} $ \mid G \mid \leqslant 6+ \dfrac{\mid G \mid}{2}+\dfrac{\mid G \mid}{3}-\dfrac{\mid G \mid}{6}\Longrightarrow \dfrac{\mid G \mid}{3} \leqslant 6\Longrightarrow \mid G \mid \leqslant 18$ \end{flushleft} $ 3 $. اگر$ \mid G: C_{G}(b) \mid \geqslant 3$ و $ \mid G:C_{G}(a) \mid \geqslant 3 $در این صورت بنابر$ (*) $ داریم:\\ \begin{flushleft} $ \mid G \mid \leqslant 6+ \dfrac{\mid G \mid}{3}+\dfrac{\mid G \mid}{3}-1\Longrightarrow \dfrac{\mid G \mid}{3} \leqslant 5\Longrightarrow \mid G \mid \leqslant 15$ \end{flushleft} اگر$ \mid G \mid =12 $ آن گاه$ T $ یا$ G\cong A_{4},D_{12} $، مانند لم قبل$ A_{4} $ یک$ C(3,7) $ -گروه نیست. برای$ D_{12} $ زیر مجموعه های$ N=\lbrace a,a^{2},a^{3},a^{4},ab,a^{2}b,a^{4}b \rbrace$ $M=\lbrace b, a^{3}b,a^{5}b \rbrace $ مشخص می کنند که$ D_{12} $یک$ C(3,7) $-گروه نیست. \\به همین ترتیب زیر مجموعه های$ N=\lbrace x,x^{2},x^{4},x^{5},yx,xy,yx^{3} \rbrace$ $ M=\lbrace y,yx^{3},x^{2}y \rbrace$\\ مشخص می کنند که $T$یک$ C(3,7) $ -گروه نیست.\\ اگر$ \mid G \mid =14 $ باشد. بنابر قضیه$ 24\cdot1\cdot 1$،$ G\cong D_{14} $ در این صورت یک عضو $ a\in D_{14} $ موجود است به طوری که$ \mid C_{D_{14}}(a) \mid =7 $ ، زیر مجموعه های$ N=\lbrace a,a^{2},a_{3},...,a^{6},ab\rbrace$ \\ و$M=\lbrace b,a^{2}b,a^{3}b \rbrace $ نشان می دهند که$ D_{14} $،یک$ C(3,7) $ -گروه نیست.\\ اگر$ \mid G \mid =16$ ،در این صورت یک عضو$ a\in G $ موجود است به طوری که$ \mid C_{G}(a) \mid=8$ ونیز\\$ 4 $یا$ \mid Z(G)\mid=2 $که بنابر قسمت$ (2) $ از تذکر$ 5\cdot4\cdot2$، $ G $ یک$ C(3,7) $-گروه نیست.\\ و یک گروه غیر آبلی از مرتبه$ 20 $ مرکز یسازهایی از مرتبه$ 5,4 $ دارد وچون گروه غیر آبلی است پس$ 2 $ یا$ \mid Z(G) \mid =1 $، که بنابر قسمت$ (2) $از تذکر$ 5\cdot4\cdot2$، $G $ یک$ C(3,7) $-گروه نیست.\\ اگر$ \mid G \mid \leqslant 24 $ دراین صورت$24 $ یا$ \mid G \mid =22 $ است. بنابرقضیه $23 \cdot1\cdot1 $ برابر است با$ G=D_{22} $ ولذا$ C_{G}(a)= $،$ N=\lbrace b,ab,...,a^{6}b \rbrace ,M=\lbrace a, a^{2},a^{3} \rbrace $ نشان می دهند که$ G $ \\یک$ C(3,7) $-گروه نیست.\\اگر$ \mid G \mid=24 $ آن گاه عضو$ a\in G $ موجود است به طوری که \begin{flushleft} $ \mid C_{G}(a) \mid =\dfrac{\mid G \mid}{2}=12,Z(G)\lneqq C_{G}(a)\Longrightarrow $ \\ $\mid Z(G) \mid \leqslant 6\Longrightarrow \mid C_{G}(a)-Z(G) \mid \geqslant 6 , 3\leqslant \mid C_{G}(a) -Z(G)\mid$ \end{flushleft} که بنابر قسمت$ (2) $ از تذکر$ 5\cdot4\cdot2$، $ G $ یک$ C(3,12) $گروه نیست. پس$ G $ یک$ C(3,7)$ -گروه نیست. \end{lemma} \begin{lemma} اگر$ G $ یک$ C(4,6) $-گروه باشد و$ Z(G)\neq 1 $ .آن گاه$ D_{8} $یا$ G\cong Q_{8} $.\\ \textbf{برهان} :بنابر لم$ (5\cdot3\cdot2) $،$ \dfrac{G}{Z(G)} $ آبلی است.زیرا اگر$ \dfrac{G}{Z(G)} $ ناآبلی باشد چون$ Z(G) \neq1 $ پس برای اعداد صحیح مثبت $ r,t $ به طوری که$ 2r\leqslant 4 ,2t\leqslant 6 $ گروه$ \dfrac{G}{Z(G)} $ یک$ C(4-r,6-t) $گروه است. که در این صورت حالت$ C(2,3) $-گروه رخ می دهد که با لم$ (3\cdot3\cdot2) $در تناقض است. \\ در این صورت$ \dfrac{G}{Z(G)} $ پوچ توان متناهی است بنا بر لم$ 2\cdot4\cdot2 $،$ \prod_{p \big| \mid G \mid}p \leqslant 5 $ . بنابر این برای هرعدد اول $ p \in \lbrace 2,3,5 \rbrace $ ، $ G $یک $ p $-گروه است.\\ اگر$ G $ یک$ 5 $-گروه باشد عنصر $ a\in G\setminus Z(G) $ از مرتبه $ 5 $ موجود است. در این صورت عناصر متمایز $ a^{4},a^{3},a^{2},a $ موجودند.\\ پس$ \mid G\setminus C_{G}(a)\cup C_{G}(a^{2}) \cup C_{G}(a^{3}) \cup C_{G}(a^{4} )\mid \leqslant 5 $ ،$ \mid G- C_{G}(a^{2}) \mid \leqslant 5 $\\در نتیجه$ \mid G \mid \leqslant10 $ لذا$ \mid G \mid =5 $ چون $ G $یک $ 5 $-گروه است پس آبلی است که تناقض است.\\ اگر$ G $ یک$ 3 $-گروه باشد. در این صورت بنابر برهان قضیه$ (4\cdot2\cdot2) $،$ Z(G)= $ و\\عنصر$ a\in G\setminus Z(G) $ از مرتبه $ 3 $ موجود است که عناصر$ az^{2},az,a^{2},a $ از$ G $ متمایز ند پس \begin{center} $ \mid G\setminus C_{G}(a)\cup C_{G}(a^{2}) \cup C_{G}(az ) \cup C_{G}(az^{2}) \mid \leqslant 5 $ \end{center} ونیز$ C_{G}(az)= C_{G}(a)=C_{G}(a^{2}) $ پس$ \mid G\setminus C_{G}(a) \mid \leqslant 5$ درنتیجه$ \mid G\mid \leqslant 10$ چون \\$ G $یک $ 3 $-گروه است .پس$ \mid G \mid =3,9 $ که این متناقض با ناآبلی بودن$ G $ است.\\ در نتیجه$ G $ یک$ 2 $-گروه است. بنابر برهان قضیه$ (4 \cdot 2\cdot 2) $، $ \mid Z(G)\mid \ < max\lbrace 4,6\rbrace=6 $ با توجه به غیر بدیهی بودن مرکز هر $ p $-گروه$ 4 $ یا $ \mid Z(G)\mid=2 $، اگر$ \mid Z(G) \mid =2 $ ، $ Z(G)= $ ، دراین صورت عنصر$ a\in G\setminus Z(G) $ از مرتبه$ 4 $، موجود است. دو حالت متفاوت درنظر می گیریم:\\ حالت$ 1 $)$ a^{2}\not\in Z(G) $ : \begin{center} $ \mid G\setminus C_{G}(a)\cup C_{G}(a^{2}) \cup C_{G}(a^{3}) \cup C_{G}(az )\mid \leqslant 5 $ \end{center} بنابراین$ \mid G \setminus C_{G}(a^{2})\mid \leqslant 5 $ درنتیجه$ \mid G \mid \leqslant 10 $ چون$ G $ یک$ 2 $ -گروه است. \\لذا$ \mid G \mid =2,2^{2},2^{3} $که با نا آبلی بودن $ G $ در تناقض است.\\ حالت$ 2 $ ) $ a^{2}\in Z(G) $ . در این حالت عنصر$ b\in G\setminus $ موجود است به قسمی که \begin{center} و$ \mid G\setminus C_{G}(a)\cup C_{G}(a^{-1}) \cup C_{G}(b) \cup C_{G}(ba^{2})\mid \leqslant 5 $\\ $ \mid G\setminus C_{G}(a)\cup C_{G}(b) \mid \leqslant 5 $ \end{center} ونیز$ C_{G}(a)=C_{G}(a^{-1}) $ ،$ C_{G}(ba^{2})=C_{G}(b) $، پس \begin{flushleft} \begin{equation} \mid G \mid \leqslant 5+ \mid C_{G}(a) \mid +\mid C_{G}(b) \mid - \mid C_{G}(a)\cap C_{G}(b) \mid \tag{ * } \end{equation} \end{flushleft} حالات زیر را در نظر می گیریم: $ 1 $)اگر$ \mid G: C_{G}(b) \mid =2$ و $ \mid G:C_{G}(a) \mid =2 $ باشد. پس \begin{flushleft} $ C_{G}(a) C_{G}(b) \subseteq G \Longrightarrow\dfrac{\mid C_{G}(a) \mid \mid C_{ G}(b) \mid}{\mid C_{G}(a) \cap C_{ G}(b) \mid} \leqslant \mid G \mid\Longrightarrow \dfrac{\dfrac{\mid G \mid}{2}\dfrac{\mid G \mid}{2}}{\mid C_{G}(a) \cap C_{ G}(b) \mid} \leqslant \mid G \mid\Longrightarrow $ \\ $\mid C_{G}(a)\cap C_{G}(b) \mid \geqslant \dfrac{\mid G \mid}{4}$ \end{flushleft} حال بنابر $ (*) $ داریم: \begin{flushleft} $ \mid G \mid \leqslant 5+ \dfrac{\mid G \mid}{2}+\dfrac{\mid G \mid}{2}-\dfrac{\mid G \mid}{4}\Longrightarrow \dfrac{\mid G \mid}{4} \leqslant 5\Longrightarrow \mid G \mid \leqslant 20$ \end{flushleft} چون$ G $ یک$ 2 $-گروه است. پس$ 16 $ یا$ \mid G \mid=8 $.\\ اگر$ \mid G \mid =8 $ حکم برقرار است.\\ اگر$ \mid G\mid =16 $باشد. لذا$ \mid C_{G}(a) \mid= \mid C_{G}(b) \mid =8 $ و$ \mid C_{G}(a)\cap C_{G}(b)\mid =4 $ ،$ \mid Z(G) \mid =2 $ ونیز$ t\leqslant \mid C_{G}(a)-Z(G)\mid =6 $ ولذا بنابر قسمت$ (2) $از تذکر$ 5\cdot4\cdot2$ یک$ C(6,8) $-گروه نیست. وبنابر این یک$ C(4,6) $ -گروه نیست\\ $ 2 $) اگر$ \mid G: C_{G}(b) \mid \geqslant 3$ و $ \mid G:C_{G}(a) \mid \geqslant 3 $ در این صورت بنابر$ (*) $داریم: \begin{center} $ \mid G \mid \leqslant 5+ \dfrac{\mid G \mid}{3}+\dfrac{\mid G \mid}{3}-1\Longrightarrow \dfrac{\mid G \mid}{3} \leqslant 4\Longrightarrow \mid G \mid \leqslant 12$ \end{center} چون$ G $ یک$ 2 $-گروه است. لذا $ \mid G \mid =8 $ وحکم برقرار است.\\ $ 3 $)اگر $ \mid G: C_{G}(b) \mid = 2$ و $\mid G:C_{G}(a) \mid = 3$ باشد. در این صورت$\mid G \mid =3 \mid C_{G}(a)\mid $ که متناقض با$ 2 $ -گروه بودن است.\\ حال اگر$ \mid Z(G) \mid =4 $ و$ Z(G)=\lbrace 1, z_{1},z_{2},z_{3} \rbrace $ بنابر این عنصر$ a\in G\setminus Z(G) $ از مرتبه$ 4 $ موجود است به طوری که$ a^{2}\neq z_{1} $ \begin{center} $ \mid G\setminus C_{G}(a)\cup C_{G}(a^{2}) \cup C_{G}(a^{3}) \cup C_{G}(az_{1})\mid \leqslant 5 $ \end{center} پس$ \mid G\setminus C_{G}(a^{2})\mid \leqslant 5 $ ولذا$ \mid G \mid \leqslant 10 $ ونیز چون$ 2 $-گروه است پس$ \mid G \mid =2,2^{2},2^{3} $که با ناآبلی بودن $ G $ در تناقض است . \end{lemma} \begin{lemma} فرض کنیم$ G $ یک$ C(4,n) $-گروه و$ 4 \leqslant n \leqslant 6 $ . دراین صورت \begin{center} $ D_{10} $یا$ G\cong S_{3},D_{8},Q_{8} $\\ \end{center} \textbf{برهان} : بنابر قسمت$ (1) $ از تذکر$ 5\cdot4\cdot2$، کافی است فقط حالت$ n=6 $ را بررسی کنیم . بنابر لم$ 1\cdot4\cdot2 $ فرض کنیم$ a\in G\setminus Z(G) $ باشد به طوری که$ \phi (\mid a \mid ) \geqslant 6 $\\ در این صورت$ \mid G \setminus C_{ G}(a)\mid \ <4 $ لذا$ \mid G \mid \leqslant 6 $ وبنابراین $ G\cong S_{3} $، که این تناقض است.\\ (زیرا برای هر$ a $ از$ S_{3} $ داریم$ \mid a \mid \leqslant 3 $و لذا$\phi( \mid a \mid) \leqslant 2 $ ).\\ پس برای هر عضو غیر مرکزی$ a $ از$ G $ داریم $ \phi (\mid a \mid ) \ < 6 $ یا به عبارت دیگر داریم$ \phi (\mid a \mid ) \leqslant 5 $ و$ \mid a \mid =k $ باشد در این صورت \begin{flushleft} $ \phi(k) =p_{1}^{\alpha_{1}-1}p_{2}^{\alpha_{2}-1}...p_{r}^{\alpha_{r}-1}(p_{1}-1)...(p_{r}-1) \leqslant 5\Longrightarrow p_{i} \in\lbrace 2,3,5 \rbrace$ \\ $\alpha_{1} \leqslant 3,\alpha_{2},\alpha_{3} \leqslant 2$ \end{flushleft} ولذا$ \alpha\leqslant 3 ,\beta,\gamma\leqslant1,k=2^{\alpha}\times 3^{\beta}\times5^{\gamma} $که با توجه به حالات متفاوت که برای$ \gamma,\beta,\alpha $ در نظر بگیریم$ k \in \lbrace 2,3,4,5,6,8,10,12\rbrace $ فرض کنیم$ Z(G)=1 $ ما سه حالت در نظرمی گیریم:\\ حالت$ (1) $:$ \mid a \mid \geqslant 5 $ لذا عناصر$ a^{4},a^{3},a^{2},a $ از$ G $ متمایزند. در این صورت \begin{center} $ \mid G\setminus C_{G}(a)\cup C_{G}(a^{2}) \cup C_{G}(a^{3} ) \cup C_{G}(a^{4}) \mid \leqslant 5 $ \end{center} ولذا$ \mid G\setminus C_{G}(a^{4}) \mid \leqslant 5 $ پس$ \mid G \mid \leqslant 10 $ که حکم برقرار است.\\ حالت$ (2) $:$ \mid a \mid =4 $ .برای$ b\in G\setminus $ داریم: \begin{center} $ \mid G\setminus C_{G}(a)\cup C_{G}(a^{2}) \cup C_{G}(a^{3} ) \cup C_{G}(b) \mid \leqslant 5 $ \end{center} پس $ \mid G\setminus C_{G}(a^{2}) \cup C_{G}(b) \mid \leqslant 5 $ مانند روند دو لم قبل$ \mid G \mid \in \lbrace 8,10,12\rbrace $ اگر$ \mid G \mid=12 $ \\آن گاه$ G\cong A_{4} $ اما زیر مجموعه های \begin{center} و$ M=\lbrace (1 2)(3 4),(1 3)(2 4),(1 4)(2 3),(1 2 3) \rbrace$ $ N=\lbrace (1 2 4),(1 4 2),(1 3 4),(1 4 3),(2 3 4),(2 4 3) \rbrace $ \end{center} نشان می دهند که$ A_{4} $ یک$ C(4,6) $ -گروه نیست.\\ حالت$ (3) $ اگر$ \mid a \mid \in \lbrace 2,3\rbrace $ آن گاه عناصر$ b,a $ در$ G $ بترتیب از مرتبه$ 3,2 $ موجود است.\\ حالت$ (3 ) $ الف: فر ض کنیم$ c $ عنصری از مرتبه$ 3 $ در$ G \setminus $ باشد. در این صورت \begin{center} $ \mid G\setminus C_{G}(b)\cup C_{G}(b^{-1}) \cup C_{G}(c ) \cup C_{G}(c^{-1}) \mid \leqslant 5 $ \end{center} دراین صورت$ \mid G\setminus C_{G}(b) \cup C_{G}(c) \mid \leqslant 5$ که نتیجه می شود\\ $ \mid G \mid =10,12,14 $،$ D_{14} $ یا$ G\cong D_{10},A_{4} $ اگر$ \mid G \mid =14 $ در این صورت$ G \cong D_{14} $ که\\$ \mid C_{G}(x) \mid =7 $ لذا بنابر قسمت$ (2) $ از تذکر$ 5\cdot4\cdot2$ یک$ C(4,6) $-گروه نیست.\\ حالت$( 3) $ ب:هر عنصر$ c $ در$ G\setminus $ از مرتبه $ 2 $ است وچون$ o(b) =3 $،$ b\neq b^{-1} $،\\عناصر$ a_{4},a_{3},a_{2},a_{1} $ از مرتبه $ 2 $را در نظر می گیریم. \begin{flushleft} $ \mid G\setminus C_{G}(b)\cup C_{G}(b^{-1}) \cup C_{G}(a_{1} ) \cup C_{G}(a_{2})\cup C_{G}(a_{3})\cup C_{G}(a_{4}) \mid \leqslant 3 $ \end{flushleft} باتوجه به اینکه$ a_{6},a_{5},e $ متعلق به مجموعه سمت چپ رابطه قبلی نیست پس داریم: \begin{center} $ G = C_{G}(b) \cup C_{G}(a_{1} ) \cup C_{G}(a_{2})\cup C_{G}(a_{3})\cup C_{G}(a_{4}) \cup C_{G}(a_{5}) \cup C_{G}(a_{6})$ \end{center} ودر نتیجه$ G $یک گروه$ 7 $ -پوششی است طبق قضیه $ B $ صفحه $ 292 $از مرجع$ \cite{abdollahi 2} $ ، $ \mid G \mid\leqslant 81 $ بنابر نتیجه قضیه کوشی $ \mid G\mid =2^{m}\times 3^{n} $ چون فقط یک زیر گروه از مرتبه$ 3 $ وجود دارد\\داریم$ \unlhd G $ وبا توجه به اینکه هر عضو غیر بدیهی$ \dfrac{G}{} $ از مرتبه دو است.\\ لذا گروه$ \dfrac{G}{} $ یک$ 2 $ -گروه آبلی مقدماتی است. \begin{flushleft} $ \mid \dfrac{G}{} \mid =2^{k}\Longrightarrow\mid G \mid =2^{k}\times \mid\mid =2^{k}\times 3\Longrightarrow \mid G \mid \in \lbrace 6,12,24,48 \rbrace $ \end{flushleft} چون تنها گروه های بدون مرکز به ترتیب از مرتبه$ 24,12 $ ،گروه های$ S_{4},A_{4} $ می باشند که\\$ C(4,6) $ -گروه نیستند .ولذا$ \mid G\mid \neq 12,24 $ و بنابر مرجع$ \cite{gap} $ هرگروه بدون مرکز از مرتبه$ 48 $بیش از دو عضو از مرتبه$ 3 $ دارد. حال اگر$ \mid Z(G) \mid \neq 1 $ باشد دراین صورت بنا بر لم$ 9\cdot4\cdot2 $ ،\\$ D_{8} $ یا$ G\cong Q_{8} $ بدین ترتیب برهان کامل می شود. \end{lemma} \begin{lemma} فرض کنیم$ G $ یک$ C(5,5) $ -گروه باشد، دراین صورت \begin{center} $ D_{10} $یا$ G\cong S_{3},D_{8},Q_{8} $ \end{center} \textbf{برهان} :با یک برهان مشابه لم های $ 10\cdot 4\cdot2 $ و $9\cdot4\cdot2$ نتیجه به دست می آید. \end{lemma} \begin{theorem} فرض کنیم $ G $ یک$ C(m,n) $ -گروه باشد که$ m+n\leqslant 10 $ . در این صورت$ G $ یکریخت با گروه های$ D_{2n},S_{3} $ که$ n\in \lbrace 3,4,5,6\rbrace $ ،$ T,Q_{8} $ یا یک گروه ناآبلی ازمرتبه$ 16 $که مرکزش از مرتبه$ 4 $ است.\\ \textbf{برهان} .به آسانی با استفاده از لم های$ 6\cdot4\cdot2 $ تا$ 11\cdot4\cdot2 $ حکم حاصل می شود. \end{theorem} \chapter{ اعداد خوشه ای روی گراف غیرجابجاشونده از گروه های خاص} \section{\large مقدمه } بنابر مرجع$ \cite{abdollahi 3} $ می دانیم $ \omega(A_{5})=21 $که$ A_{5} $ اولین گروه ساده مینیمال از نظر مرتبه است. همچنین ساختار تمام گروه های حلناپذیرباشرط $ \omega(\mathcal{A}_{G})\leqslant 21 $ رامشخص کردیم . همچنین در این فصل $\omega(PSL(2,7))=57 $ که$ PSL(2,7) $ دومین گروه های ساده مینیمال از نظر مرتبه است . ماساختار تمام گروه های حل ناپذیر راکه درشرط$ \omega(\mathcal{A}_{G})\leqslant 57 $ صدق می کنند رامشخص می کنیم .\\ که بنابر لم$ 1\cdot2\cdot2 $ ،$ \omega(\mathcal{A}_{PSL(2,7)})=7^{2}+7+1=57 $ است اما بنابر نتیجه ای مشهوراز تامپسون از مرجع$ \cite{Thompson} $ گروه های ساده مینیمال رده بندی شده بااین شرط،گروه های خطی خاص تصویری ازدرجه$ 2 $ روی میدان متناهی،گروه های سوزوکی\LTRfootnote[1]{Suzuki}، گروه خطی خاص تصویری$ PSL(3,3) $ روی میدانی با$ 3 $ عنصر می باشند. رده بندی تامپسون از گروه های ساده مینیمال ابزار مفیدی برای \\حل پذیری کلاس گروه های متناهی است. \begin{definition} فرض کنیم$ G $ یک گروه ناآبلی و$ Z(G) $ مرکز آن باشد. گراف$ \mathcal{A}_{G} $ متناظرباگروه$ G $ غیرجابجاشونده نامیده می شود، مجموعه رئوس گراف عضو هایی از$ G\setminus Z(G) $ باشد و درآن دورأ س متمایز $ b,a $ ازگراف مجاورند، $ ab\neq ba $ باشد. \end{definition} \begin{definition} فرض کنیم$ \Gamma $ یک گراف ساده متناهی باشد. مجموعه رئوس از هر زیر گراف کامل از$ \Gamma $ یک خوشه از$ \Gamma $ نامیده می شود واندازه ماکزیمم از این خوشه ها را عدد خوشه ای گوییم و با $ \omega(\Gamma) $ نمایش می دهیم. به عبارت ساده تر بزرگترین زیر مجموعه از$ G $ که تمام عناصر آن دوبه دو جابجا نشوند. \end{definition} \begin{remark} یک خوشه ازگراف $ \mathcal{A}_{G} $ بیشتر از تعداد عضوهای دو به دو غیر جابجا از گروه$ G $ \\نمی باشد. \end{remark} \begin{definition} یک خوشه از گراف$ \Gamma $ یک خوشه ماکزیمم نامیده می شود هرگاه اندازه آن$ \omega(\Gamma) $ باشد. \end{definition} \begin{example} درگروه های$ A_{5},A_{4},S_{3} $ ،$ \omega(\mathcal{A}_{G}) $ به ترتیب برابر$ 21,5,4 $ می باشد. \end{example} \begin{definition} یک افراز از گروه$ G $ ، یک خانواده$ \lbrace G_{1},...,G_{k}\rbrace $ از زیر گروه های سره از$ G $ است \\و هر عضو غیر بدیهی از$ G $ دقیقاً متعلق به یکی از$ G_{i} $ ها باشد. \end{definition} \begin{lemma} فرض کنیم$ G $ یک گروه ناآبلی متناهی باشد.\\ $ (1) $ \:برای هرزیرگروه ناآبلی$ H $ از$ G $ :$ \omega(\mathcal{A}_{H} )\leqslant \omega(\mathcal{A}_{G}) $ .\\ \:$( 2) $برای هرگروه عاملی ناآبلی$ G/N $ از$ G $ :$ \omega(\mathcal{A}_{G/N} )\leqslant \omega(\mathcal{A}_{G}) $ . \\ \textbf{برهان} $ (1) $:فرض کنیم$ \omega(\mathcal{A}_{H})=k $ لذا$ \lbrace x_{1},...x_{k}\rbrace \subseteq H $ موجود است به طوری که، \begin{flushleft} $ \forall i,j : x_{i}x_{j}\neq x_{j}x_{i}\Longrightarrow \lbrace x_{1},...,x_{k}\rbrace \subseteq G,x_{i}x_{j}\neq x_{j}x_{i}\Longrightarrow \omega (\mathcal{A}_{G})\geqslant k \Longrightarrow $ \\. $ \omega(\mathcal{A}_{H} )\leqslant \omega(\mathcal{A}_{G}) $ \end{flushleft} برهان$ (2) $ $ \omega(\mathcal{A}_{G/N})=k $ لذا$ \lbrace x_{1}N,...x_{k}N\rbrace \subseteq G/N $ موجود است به طوری که، \begin{flushleft} $ \forall i,j : x_{i}N x_{j}N\neq x_{j}Nx_{i}N\Longrightarrow x_{i}x_{j}N\neq x_{j}x_{i} N \Longrightarrow x_{i}x_{j} \neq x_{j}x_{i}\Longrightarrow$ \\. $\lbrace x_{1},...,x_{k}\rbrace \subseteq G,x_{i}x_{j}\neq x_{j}x_{i}\Longrightarrow \omega (\mathcal{A}_{G})\geqslant k \Longrightarrow \omega(\mathcal{A}_{G/N} )\leqslant \omega(\mathcal{A}_{G}) $ \end{flushleft} \end{lemma} \begin{lemma} اگر$ G=GL(2,q) $ و$ q\ >2 $ باشددراین صورت$ \omega(\Gamma_{G})=\chi(\Gamma_{G})=q^{2}+q+1 $ . همچنین برای گروه$ H $ اگر$ \Gamma_{G}\cong\Gamma_{H} $ در این صورت$ \mid G\mid =\mid H \mid $\\ \textbf{برهان} :به گزاره$ 4\cdot3 $ از مرجع $\cite{abdollahi 1}$ مراجعه کنید. \end{lemma} \begin{lemma} $ \omega(\mathcal{A}_{PGL(2,3)})=10, \omega(\mathcal{A}_{PGL(2,2)})=4 $ و برای $ q\ >3 $ ,\\$ \omega(\mathcal{A}_{PGL(2,q)})=q^{2}+q+1 $ .\\ \textbf{برهان} :بنابر لم$ 1\cdot7\cdot3 $ ما داریم$ \omega(\mathcal{A}_{PSL(2,q)})\leq \omega(\mathcal{A}_{PGL(2,q)})\leq\omega( \mathcal{A}_{GL(2,q)}) $ . \\اگر$q=4 $ یا$ q\ >5 $ در این صورت بنابرلم های$ 1\cdot2\cdot2 $ و$ 8\cdot1\cdot3 $ داریم: \begin{flushleft} $q^{2}+q+1= \omega(\mathcal{A}_{PSL(2,q)})\leq \omega(\mathcal{A}_{PGL(2,q)})\leq\omega(\mathcal{A}_{GL(2,q)})=q^{2}+q+1$ \end{flushleft} بنابراین برای$ q\ >5$ یا $q=4 $ ،$ \omega(\mathcal{A}_{PGL(2,q)})=q^{2}+q+1 $ .همچنین بنا بر$ 12\cdot2\cdot1 $،\\$ PGL(2,5)\cong S_{5},PGL(2,3)\cong S_{4} $ که از$ \cite{brown} $ نتیجه می گیریم$ \omega(\mathcal{A}_{PGL(2,5)})=31$ و $\omega(\mathcal{A}_{PGL(2,3)})=10 $ وهمچنین$ PGL(2,2)\cong PSL(2,2) $ وبنا بر لم$1\cdot2\cdot2 $ ما داریم\\$ \omega(\mathcal{A}_{PGL(2,2)})=4 $ که بدین ترتیب برهان کامل می شود. \end{lemma} \begin{lemma} اگر$ G $یک گروه ساده ناآبلی و$ p $ یک مقسوم علیه اول از $ \mid G\mid $ و$ \nu_{p}(G) $ \\تعداد$ p $ -زیرگروه های سیلوی$ G $واشتراک هر دو$ p $ -زیرگروه سیلوی$ G $ بدیهی باشد. در این صورت \begin{center} $ \nu_{p}(G)\leqslant 57 $ \end{center} \textbf{برهان} : به لم$ 3 $ از مرجع $\cite{Endimioni}$ مراجعه کنید. \end{lemma} \section{\large اعدادخوشه ای ازگراف غیرجابجایی ازگروه های حل ناپذیر متناهی که $ \omega(\mathcal{A}_{G})\leqslant 57 $ } \begin{theorem} فرض کنیم$ G $ یک گروه ساده ناآبلی باشد. به طوری که $ \omega(\mathcal{A}_{G})\leqslant 57$ . \\در این صورت$ PSL(2,7) $ یا$ G\cong A_{5} $ .\\ \textbf{برهان} :بنابرنیومن$ \cite{neumann} $،$ G/Z(G) $ متناهی وچو ن$ G $ گروه ساده ناآبلی است داریم$ Z(G) =1$ . و\\ بنابراین $ G $ متناهی است. \\فرض می کنبم نتیجه نادرست باشد و$ M $ مثال نقض مینیمال باشد. بنا براین هرگروه ساده ناآبلی سره از$ M $ یکر یخت با $ A_{5} $ یا$ PSL(2,7) $ است بنابر گزاره$ 4 $ ،از مرجع$ \cite{blyth} $ ، $ M $ با یکی ازگروه های زیر یکریخت است. \begin{center} $ PSL(2,2^{m})$:$m=4$یا اول\\ $ PSL(2,3^{p}),PSL(2,5^{p}),PSL(2,7^{p}) $:$ p $یک عدد اول\\ $ PSL(2,p) $:$ P\ >7 $\\ $ PSL(3,3),PSL(3,5),PSL(3,7) $\\ $ PSU(3,3),PSU(3,4),PSU(3,7)$\\ $ Sz(2^{p}) $:$ p $یک عدد اول فرد \end{center} برای هر عدد اول$ p $ وهر عدد صحیح$ n\geqslant0 $ بنابر لم$ 1\cdot2\cdot2 $ داریم\\$ \omega(\mathcal{A}_{PSL(2,p^{n})})=p^{2n}+p^{n}+1 $که متناقض به$ \omega(\mathcal{A}_{G})\leqslant 57$ است. \\که در بین گروه های خطی خاص تصویری$ PSL(2,2^{2})\cong A_{5} $ پس ما فقط باید $ PSL(3,7)$ \\ $PSL(3,5),PSL(3,3) $ را مورد بررسی قرار دهیم.\\ اگر$ A $ یک $ p $ -زیر گروه سیلو از $ G $ باشدآن گاه $ \nu_{p}(G)=[ G :N_{G}(A) ] $ با استفاده از مرجع$ \cite{gap} $ داریم: \begin{flushleft} $G=PSL(3,3) ,\mid G \mid=\dfrac{(3^{3}-1)(3^{3}-3)(3^{3}-3^{2})}{2\times (3,2)}=5616\Longrightarrow$ \\ $\nu_{13}(G)=\dfrac{5616}{39}=144\ >57 $\\ $ G=PSL(3,5),\mid G \mid =372000\Longrightarrow\nu_{31}(G)=\dfrac{372000}{92}=4000\ >57 $\\ $ G=PSL(3,7),\mid G \mid =1876896\Longrightarrow\nu_{19}(G)=\dfrac{1876896}{57}=32928\ >57 $\\ $ G=PSU(3,3),\mid G \mid=\dfrac{1}{(3,4)}3^{3 \choose 2} (3^{2}-1)(3^{3}+1)=6048\Longrightarrow$ \\ $\nu_{7}(PSU (3,3))=\dfrac{6048}{7}=288\ >57 $\\ $ G=PSU(3,4),\mid G \mid =624000\Longrightarrow\nu_{13}(G)=\dfrac{624000}{39}=1600\ >57 $\\ $ G=PSU(3,7),\mid G \mid =5663616\Longrightarrow\nu_{43}(G)=\dfrac{5663616}{129}=43904\ >57 $\\ \end{flushleft} که متناقض با لم$ 10\cdot1\cdot3 $ است. برای عدد اول فرد $ p $ بنابرقضیه$ 3\cdot10 $ ازفصل $ 11 $ مرجع $ \cite{Huppert 1} $داریم \begin{flushleft} $ \mid Sz(2^{p})\mid =2^{2p}\times (2^{2p}-1)\times(2^{2p}+1)\Longrightarrow\nu_{2}(Sz(2^{p}))=2^{2p}+1\geqslant 65 $ \end{flushleft} که متنا قض با لم$ 10\cdot1\cdot3 $است. به این ترتیب برهان کامل می شود. \end{theorem} \begin{proposition} اگر$ G=PGL(2,q) $ ، جائی که$ q $ توانی ازعدد اول$ p $ است. ونیز\\ فرض کنیم$ k=(q-1,2) $ . دراین صورت:\\ $ (1) $ یک$ p $ -زیر گروه سیلو ی$ P $ از$ G $ یک گروه آبلی مقدماتی از مرتبه $ q $ است. تعداد$ p $ -زیرگروه های سیلو از$ G $ برابر$ q+1 $ است.\\ $ (2) $گروه$ G $ شامل یک زیرگروه دوری $ D $ از مرتبه$ q-1 $ است به طوری که تعداد مزدوجهای$ D $ برابر $ \dfrac{q(q+1)}{2} $است.\\ $ (3) $گروه$ G $ شامل یک زیرگروه دوری $ I $ از مرتبه$ q+1 $ است به طوری که تعداد مزدوجهای$ I $ برابر $ \dfrac{q(q-1)}{2} $است.\\ $ (4) $ مجموعه$ \lbrace P^{x},D^{x},I^{x}\mid x\in G\rbrace $ یک افراز برای$ G $ است. فرض کنیم$ q $ یک عدد فرد$ b\in P$ و $a \in D $ عضوهای غیر بدیهی هستند. در این صورت \begin{flushleft} $ o(a)\neq 2\Longrightarrow C_{G}(a)=D,\; o(a)=2\Longrightarrow C_{G}(a)\cong D_{2(q-1)},\; C_{G}(b)=P $ \end{flushleft} $ (5) $ اگر$ q \equiv 0 \pmod {\ 4} $ در این صورت$ G=PGL(2,q)\cong PSL(2,q) $ و برای هرعضو غیربدیهی $ a $ از $ G $ داریم: \begin{equation*} \ C_{G}(a)=\left\{\begin{array}{cc} P^{x}& a\in P^{x} $اگر$\\ D^{x}& a\in D^{x} $اگر$ \\ I& a \in I^{x}$اگر$ \end{array}\right. \end{equation*} \textbf{برهان} :اثبات از نتایج فصل$ 2 $ از مرجع$\cite{Huppert 1} $ وگزاره$ 3\cdot21 $ از مرجع$ \cite{abdollahi 1} $ حاصل می شود. \end{proposition} \begin{definition} مرکز ساز هر عضو غیربدیهی ازگروه $ G $ آبلی باشدگروه$ G $ رایک$ AC $ -گروه گو ئیم. \end{definition} \begin{lemma} احکام زیر روی گروه$ G $ هم ارزند:\\ $G ( 1) $ یک$ AC $- گروه است. \\ $ (2) $اگر $[ x,y ] =1 $ و$ x,y\in G \setminus Z(G) $آن گاه $ C_{G}(x)=C_{G}(y) $ . \\ $ (3) $اگر$ [x,y]=[x,z]=1 $ و$ x \in G \setminus Z(G) $ آن گاه $ [y,z]=1 $ . \\ $ (4) $ اگر$ B,A $ زیر گروه هائی از$ G $ باشند و$ Z(G) \lvertneqq C_{G}(A)\leqslant C_{G}(B) \lvertneqq G $ دراین صورت\\،$ C_{G}(A)=C_{G}(B) $ . \end{lemma} \begin{lemma} اگر$ G $ یک$ AC $ -گروه ناآبلی، به طوری که$ \omega(\mathcal{A}_{G}) $ متناهی باشد. دراین صورت هر خوشه غیر تهی از$ \mathcal{A}_{G} $ را می توان به یک خوشه ماکزیمم از$ G $ گسترش داد.\\ \textbf{برهان} :فرض کنیم $ \omega(\mathcal{A}_{G})=n $ باشد دراین صورت عناصر$ a_{1},...,a_{n} $ از$ G $ موجودندکه به ازای هر$ i\neq j $ ،$ \lceil a_{i},a_{j}\rceil \neq 1 $ بنابر این$ G=C_{G}(a_{1})\cup ...\cup C_{G}(a_{n}) $ زیرا اگر \begin{flushleft} $ C_{G}(a_{1})\cup ...\cup C_{G}(a_{n})\subsetneqq G\Longrightarrow \exists\: b \in G\setminus C_{G}(a_{1})\cup ...\cup C_{G}(a_{n})\Longrightarrow $ \\ $1\leqslant i \leqslant n : b \not\in C_{G}(a_{i}) \Longrightarrow 1\leqslant i \leqslant n :a_{i}b\neq b_{i}a $ \end{flushleft} لذا عناصر$ \lbrace a_{1},...,a_{n},b \rbrace $ از$ G $ دو به دو جابجاشونده نمی باشند یعنی $ \omega(\mathcal{A}_{G})\geqslant n+1 $ که تناقض است. ونیز چون$ G $ ،$ AC $ -گروه است و بنا بر لم$ 14\cdot1\cdot3 $قسمت$ 3 $ به ازای هر$ i\neq j $ ،\\$ C_{G}(a_{i})\cap C_{G}(a_{j})=Z(G) $ بنابراین \begin{center} $ G\setminus Z(G)=(C_{G}(a_{1})\cup ...\cup C_{G}(a_{n}))\setminus Z(G) =(C_{G}(a_{1})\setminus Z(G) \cup ... \cup C_{G}(a_{n})\setminus Z(G))$ \end{center} یک افراز برای$ G\setminus Z(G) $ می باشد. فرض کنیم$ X $ یک خوشه از$ \mathcal{A}_{G} $ باشد در این صورت به ازای هر$ i $ ،$ 1\leqslant i \leqslant n $ ،$ \mid X \cap C_{G}(a_{i}) \mid \leqslant 1 $ و$ C_{G}(a_{i}) $ آبلی است. زیرا اگر\\ \begin{flushleft} $x,y \in X\cap C_{G}(a_{i}) \Longrightarrow x,y \in X \ x,y \in C_{G}(a_{i}) \Rightarrow xy \neq yx, xy=yx$ \end{flushleft} که تناقض است. پس داریم: \begin{flushleft} $ X=(C_{G}(a_{1}) \cap X) \cup ...\cup (C_{G}(a_{n}) \cap X) $ $ C_{G}(a_{i}) \cap X=\varnothing ,\ 1\leqslant i \leqslant n : \ \exists b_{i} \in C_{G}(a_{i})-Z(G) $ \end{flushleft} پس اگر $ X \cap C_{G}(a_{i}) \neq\varnothing $ طبق تساوی بالا یک عضو از مجموعه$ \lbrace a_{1},...,a_{n} \rbrace $ وجود دارد در غیر این صورت یک $ b_{i} $ موجود است ولذا$ X \cup \lbrace b_{i} \mid 1\leqslant i \leqslant n \rbrace$ یک خوشه ماکزیمم برای$ G $ است. \end{lemma} \begin{proposition} فرض کنیم$ PGL(2,q) $ یا$ G=PSL(2,q) $، که$ q $ توانی از یک عدداول $ p $ است. در این صورت هر تک عضوی شامل عضو غیر مرکزی از$ G $ را می توان با یک خوشه ماکزیمم از$ \mathcal{A}_{G} $ توسعه داد.\\ \textbf{برهان} :مافقط برهان رابرای$ G=PSL(2,q) $ اثبات می کنیم زیرا برهان برای گروه دیگر مشابه است و لم $ 2\cdot2\cdot3 $رادربرهان بکارمی بریم.\\ بنا بر گزاره$ (21\cdot3 )$ از مرجع $\cite{abdollahi 1} $ ،$ \mathcal{P}=\lbrace P^{x},A^{x},B^{x} \mid x\in G \rbrace $ یک افراز برای$ G $ باشدو$ P $\\یک $ p $ -زیر گروه سیلو از مرتبه$ q+1 $ و$ A $ یک زیر گروه دوری از مرتبه$ \dfrac{q-1}{k} $ و$ B $ یک زیر گروه دوری از مرتبه$ \dfrac{q+1}{k} $ است که$ k=(q-1,2) $ . ونیز اگر$ A\leq G $ تعداد مزدوجها ی$ A $ در$ G $ برابر است با \begin{flushleft} $ \alpha = [G:N_{G}(A)]= \dfrac{\mid G \mid}{\mid N_{G}(A) \mid} = \dfrac{\mid G \mid}{2t}= \dfrac{q(q+1)(q-1)/2}{2(q-1)/k}=\dfrac{q(q+1)}{2} $ \end{flushleft} که اگر$ q=2 $ در این صورت$ k=1 $ و اگر$ q\neq 2 $ دراین صورت $ k=2 $ به همین ترتیب\\$ \beta =\dfrac{q(q-1)}{2} $ پس داریم: \begin{flushleft} $ \mathcal{P}=\lbrace P_{1},...,P_{q+1},A_{1},...,A_{\alpha},B_{1},...,B_{\beta}\rbrace $ \end{flushleft} فر ض می کنیم$ a $ یک عضو غیر بدیهی از$ G $ باشد. در این صورت برای بعضی$ M\in \mathcal{P} $ ،$ a\in M $ باشد. یک عضو دلخواه غیر بدیهی$ b_{N} $ درهر $ N\in \mathcal{P} $ انتخاب می کنیم بطوری که متفاوت از$ M $ باشد حال فرض کنیم $ X $ مجموعه ای از این$ b_{N} $ ها باشد یعنی \begin{flushleft} $ X=\lbrace b_{P_{1}},...,b_{P_{q+1}},b_{A_{1}},...,b_{A_{\alpha}},b_{B_{1}},...,b_{B_{\beta}}\rbrace $ \end{flushleft} برای$ q\ >5 $ ،چون$ Z(PSL(2,q))=1 $ بنابر برها ن لم قبل$ \mid X\cap N_{i}\mid \leqslant 1 $ و \begin{flushleft} $ 1\neq a \in G =P_{1}\cup...\cup P_{q+1}\cup A_{1}\cup ...\cup A_{\alpha}\cup B_{1} \cup ... \cup B_{\beta} $ \end{flushleft} پس مجموعه $ \lbrace a \rbrace \cup X $ یک خوشه ماکزیمم برای$ \mathcal{A}_{G} $ است.\\ حال برای$ q\leqslant 5 $ بررسی می کنیم بنا بر قضیه$ (11\cdot2\cdot1) $ داریم: \begin{flushleft} $ PSL(2,2)\cong S_{3},PSL(2,3)\cong A_{4},PSL(2,4)\cong PSL(2,5) \cong A_{5} $ \end{flushleft} اگر عضو غیر بدیهی$ b $ از$ PSL(2,2) $ را در نظر بگیریم، \\و$ G=C_{G}(a)\cup C_{G}(b)\cup C_{G}(ab) \cup C_{G}(a^{2}b) $ ولذا$ \lbrace b \rbrace \cup \lbrace a,ab,a^{2}b \rbrace $ یک خوشه ما کزیمم برای$ \mathcal{A}_{G} $ است. یعنی$ \omega (\mathcal{A}_{G})=4 $ است\\ به همین ترتیب اگر$G=PSL(2,3)=\lbrace 1,a,b,c,d,d^{2},e,e^{2},f,f^{2},g,g^{2}\rbrace$ باشد\\$ \lbrace a \rbrace \cup \lbrace d,e.f,g \rbrace $یک خوشه ماکزیمم برای$ \mathcal{A}_{G} $ است یعنی$ \omega(\mathcal{A}_{G})=5 $ . \\ واگر$ A_{5}=P_{1}\cup ...\cup P_{5}\cup Q_{1}\cup ...\cup Q_{10}\cup R_{1}\cup ...\cup R_{6} $ در این صورت مجموعه\\$ \lbrace a \rbrace \cup \lbrace b_{1},...,b_{20} \rbrace $ یک خوشه ماکزیمم برای $ \mathcal{A}_{G} $ است یعنی$ \omega(\mathcal{A}_{G})=21$ . \end{proposition} \begin{definition} گروه$ G $ را نیم ساده گوییم هر گاه زیرگروه آبلی نرمال غیر بدیهی نداشته باشد. \end{definition} \begin{definition} گرو ه متناهی$ G $ را کاملاًتحویل پذیرگوییم هرگاه $ G=1 $ یا$ G $ به حاصل ضرب مستقیم تعدادی متناهی از زیرگروه های ساده اش تجزیه شود. که آن را$ CR $ -گروه می گوییم به ویژه هر گروه ساده کاملاً تحویل پذیر است. \end{definition} \begin{theorem} فرض کنیم$ G $ یک گروه کاملاً تحویل پذیر متناهی غیر بدیهی باشد.\\و$ G=H_{1}\times...\times H_{n} $ ،که$ H_{i} $ ها زیرگروه های نرمال غیر بدیهی وساده از$ G $ اند. اگر$ Z(G)=1 $ آن گاه$ H_{n},...,H_{1} $ تنها زیر گروه های نرمال مینیمال$ G $ است وهر زیر گروه نرمال غیر بدیهی$ G $ به \\حا صل ضرب مستقیم بعضی از$ H_{i} $ها تجزیه می شود.\\ \textbf{برهان} :به صفحه$ 105 $از مرجع $ \cite{reza} $ مراجعه شود. \end{theorem} \begin{definition} بزرگترین زیر گروه نرمال کاملاً تحویل پذیربدون مرکزاز گروه$ G $ را$ CR $ -رادیکال بدون مرکز $ G $گوییم. \end{definition} \begin{lemma} اگر$ G $ یک گروه،که در شرط$ (\mathcal{A},n) $ صدق کندآن گاه$ \omega(\mathcal{A}_{G})\leqslant n $ .\\ \textbf{برهان} فرض کنیم$ \omega(\mathcal{A}_{G})\geqslant n $ باشد. در این صورت یک مجموعه،با حداقل$ n+1 $ عنصر موجود است به طوری که عناصر آن دوبه دو جابجا نمی شوند. که این تناقض با$ (\mathcal{A},n) $دارد. \end{lemma} \begin{lemma} فرض کنیم$ G $ یک گروه نیم ساده باشد. به طوری که$ \omega(\mathcal{A}_{G} )\leqslant 57$ .در این صورت$ PGL(2,7) $ یا$ G \cong A_{5},S_{5},PSL(2,7) $ .\\ \textbf{برهان} :بنا بر نیو من $ \cite{neumann}$ ،$ G $ متناهی است. مرکز از یک گروه نیم ساده بدیهی است .زیرا $ Z(G)\unlhd G $ و$ G $ نیم ساده پس$ Z(G)=1 $یا$ Z(G)=G $ .\\ اگر$ Z(G)=G $ در این صورت$ G $ آبلی است که تناقض با نا آبلی بودن$ G $ دارد. \\ فرض کنیم$ R $ ،$ CR $ رادیکال بدون مرکز باشد. بنابر قضیه$ 9\cdot 2 \cdot3 $ در این صورت$ R $ حاصل ضرب مستقیمی از تعداد متناهی گروه های ساده ناآبلی متناهی است. یعنی$ R \cong S_{1}\times ...\times S_{m} $\\ بنابرلم$ 7 \cdot 1\cdot 3 $به ازای هر$ i\in \lbrace 1,...,m \rbrace $،$ \omega(S_{i})\leqslant 57 $ بنابر قضیه$ 1\cdot2\cdot 3 $ به ازای هر$ i\in \lbrace 1,...,m \rbrace $ ،$ PSL(2,7) $ یا$ S_{i}\cong A_{5} $. چون$ \omega(S_{i})\leqslant 21 $ از آن بنا بر لم$ 2\cdot2 $ ازمرجع$ \cite{abdollahi 3} $ نتیجه می گیریم که$ m=1 $\\ زیرا اگر$ m=2 $ باشد در این صورت$ (21+1)(21+1)-1 \ > 57 $که تناقض است.\\ بنا بر این$ PSL(2,7) $ یا$ R\cong A_{5} $ .ما فرض کنیم که$ C_{G}(R)=1 $ است زیرا اگر$ C_{G}(R) \neq 1 $ باشد. \\درا ین صورت \begin{flushleft} $ \exists\; N\unlhd G,N \leqslant C_{G}(R) $ \end{flushleft} ونیز$ N $ نرمال مینیمال از$ G $ و$ G $ متناهی دراین صورت بنابر قضیه $ 13\cdot3\cdot1 $ ،$ N $ مشخصاً ساده است\\.$Z(N) \unlhd_{char} N \unlhd\ G $ ولذا بنا بر قضیه$ 13\cdot1\cdot1 $ ،$ Z(N) \unlhd G $ وآبلی و$ G $ نیم ساده پس $ N $ بدون مرکز و مشخصاً ساده دراین صورت$ N $ یک$ CR $-گروه بدون مرکز است. \begin{center} $ N \leqslant R \cap C_{G}(R)=Z(R)=1 \Longrightarrow N=1 \Longrightarrow C_{G}(R)=1 $ \end{center} که تناقض است. بنابر قضیه$ 12\cdot1\cdot1 $ داریم: \begin{center} $ \dfrac{N_{G}(R)}{C_{G}(R)} \hookrightarrow Aut(R) \Longrightarrow \dfrac{G}{1} \hookrightarrow Aut(R) ,R \cong A_{5},PSL(2,7)$ \end{center} وبنابر قضیه ای از مرجع $\cite{Robioson}$ صفحه$ 122 $ اگر$ n\neq 6, n\ > 2 $ آن گاه$ Aut(A_{n}) \cong S_{n} $ پس اگر \begin{flushleft} $ R \cong A_{5} \Longrightarrow G \hookrightarrow S_{5}\Longrightarrow A_{5}=R \leq G \leq S_{5} \Longrightarrow$ \\ $ 2=[S_{5}:A_{5}]=[S_{5}:G][G:A_{5}] \Longrightarrow G\cong A_{5} ,S_{5} $ \end{flushleft} \begin{flushleft} $ R \cong PSL(2,7) \Longrightarrow Aut(R) \cong PGL(2,7) \Longrightarrow $اگر $ PSL(2,7)=R \leq G \leq PGL(2,7) \Longrightarrow $ $ 2=[PGL(2,7):PSL(2,7) ]=[PGL(2,7):G][G:PSL(2,7)] $ $\Longrightarrow G \cong PSL(2,7), PGL(2,7) $ \end{flushleft} که بدین ترتیب برهان کامل می شود. \end{lemma} \begin{definition} اگر$ G $ یک گروه متناهی باشد. بزرگترین زیرگروه حل پذیر نرمال ازگروه $ G $ را رادیکال حل پذیر از$ G $ گوییم و با $ Sol(G) $ نمایش می دهیم . \end{definition} \begin{corollary} فرض کنیم $ G $ یک گروه متناهی باشد به طوری که$ \omega (\mathcal{A }_{\dfrac{G}{Sol(G)}})=57 $ .در این صورت$ PGL(2,7) $ یا$\dfrac{G}{Sol(G)} \cong PSL(2,7) $\\ \textbf{برهان} : چون برای هر گروه متناهی$ M $ ،$ \dfrac{M}{Sol(M)} $ هیچ زیر گروه آبلی نرمال سره غیر بدیهی ندارد پس $ \dfrac{G}{Sol(G)}$ گروه نیم ساده است ؛\\ پس بنابر لم$ 12\cdot 2\cdot 3 $ ، $ PGL(2,7) $ یا$ \dfrac{G}{Sol(G)} \cong A_{5},S_{5},PSL(2,7) $ ، از طرفی$ \omega (\mathcal{A}_{A_{5}})=21$ \\, $\omega(\mathcal{A}_{S_{5}} )=31 $ که متناقض با فرض است. لذا$ PGL(2,7) $ یا $ \dfrac{G}{Sol(G)}\cong PSL(2,7) $. \end{corollary} \begin{theorem} (تامکینسون)\LTRfootnote{Tomkinson}اگر$ \lbrace a_{1},...,a_{n}\rbrace $ یک مجموعه باسایزماکزیمال باشد که اعضای آن دوبه دو جابجا نشوند. در این صورت، \begin{center} $ G=C_{G}(a_{1})\cup ...\cup C_{G}(a_{n}) $ \end{center} :می دانیم که \begin{flushleft} $ \forall\; 1\leqslant i \leqslant n:\;C_{G}(a_{i})\subseteq G \Longrightarrow C_{G}(a_{1})\cup ...\cup C_{G}(a_{n})\subseteq G$ \end{flushleft} فرض کنیم$ g\in G $ باشد ولی$ g\not\in C_{G}(a_{1}) \cup ...\cup C_{G}(a_{n}) $ دراین صورت به ازای هر$ i $ ،\\$ g\not\in C_{ G}(a_{i}) $ یعنی برای هر$ i $ ،$ ga_{i}\neq a_{i}g $ پس$ \lbrace a_{1},...,a_{n},g \rbrace $ یک مجموعه از عناصر دوبه دو جابجا نشونده اند. که این متناقض با سایز ماکزیمال بودن$ \lbrace a_{1},...,a_{n}\rbrace $ است.\\ ولذا$ G \subseteq C _{G}(a_{1})\cup...\cup C_{G}(a_{n})$ است.پس$ G=C _{G}(a_{1})\cup...\cup C_{G}(a_{n}) $ . \end{theorem} \begin{remark} اگر$ G $ یک گروه آبلی بدیهی باشد. در این صورت$ \omega(\mathcal{A}_{G})=1 $ است. \end{remark} \begin{lemma} اگر$ G $یک گروه غیرآبلی باشد. در این صورت$ \omega(\mathcal{A}_{G} )$ عدد$ 2 $ نمی تواند باشد.\\ \textbf{برهان} :اگر$ \omega(\mathcal{A}_{G})=2 $ باشد. در این صورت مجموعه$ \lbrace a,b\rbrace $ از سایز ماکزیمال که اعضای آن دوبه دو جابجا نمی شوند موجود است. پس بنا بر قضیه تامکینسون $G=C_{G}(a)\cup C_{G}(b) $،\\$ C_{G}(a)\subseteq C_{G}(b),C_{G}(b)\subseteq C_{G}(a)$ که اعضای$ b,a $ با هم جابجا می شوندکه تناقض با فرض دارد. \end{lemma} \begin{remark} اگر$ G $ یک گروه غیرآبلی باشد. در این صورت$ \omega(\mathcal{A}_{G})\geqslant 3 $ است. \end{remark} \begin{lemma} فرض کنیم$ G $ یک گروه حل ناپذیر متناهی باشد به طوری که$ \omega(\mathcal{A}_{G}) \leqslant 57 $ \\و$ \dfrac{G}{Sol(G)}\cong A_{5} $ . در این صورت$ G=Z(G) SL(2,5) $ یا$ G \cong Z(G) \times A_{5} $ .\\ \textbf{برهان} :فرض کنیم$ S=Sol(G) $ . فر ض می کنیم$ C_{G}(S)\leq G $ دو حالت در نظر می گیریم:\\ حالت اول) اگر$ C_{G}(S)=G $ باشد. در این صورت$ S\leqslant Z(G) $ ازطرفی داریم:\\ \begin{flushleft} $ Z(G)\unlhd G \; , S \unlhd G\Longrightarrow Z(G)\leq S $ \end{flushleft} درنتیجه$ S=Z(G) $ حال توسیع مرکزی$ Z(G)\longrightarrow G\longrightarrow \dfrac{G}{Z(G)} $ که$ a\mapsto aS $ را در نظر\\ می گیریم. بنابر بحث عنوان شده درلم$ 4\cdot2 $ مرجع $ \cite{abdollahi 3} $ زیر گروه مرکزی$ K=G^{\prime} \cap Z(G)\:(**)$ از مرتبه نابیشتر از$ 2 $ موجود است. به طوری که$ \dfrac{G^{\prime}}{K}\cong A_{5},G=G^{\prime}Z(G) $ زیرا: \begin{flushleft} $ Z(G)\unlhd G,G^{\prime}\leq G\Longrightarrow Z(G)G^{\prime} \leq G\Longrightarrow G=Z(G)G^{\prime} $\\ $ \dfrac{G^{\prime}}{K}=\dfrac{G^{\prime}}{G^{\prime}\cap Z(G)} \cong\dfrac{G^{\prime}Z(G)}{Z(G)}=\dfrac{G}{Z(G)}=\dfrac{G}{S}=\dfrac{G}{Sol(G)}\cong A_{5}$ \end{flushleft} بنابر این $ G^{\prime}\cong K\times A_{5} (*) $ بنابرلم$ 4\cdot2 $ ازمرجع$ \cite{abdollahi 3} $ زیرگروه مرکزی$ L $ از$ G^{\prime} $ موجود است به طوری که$ G^{\prime}=K \times L $ .\\ حال اگر$ \mid K \mid \leqslant 2 $ دو حالت در نظر می گیریم: \begin{flushleft} $ \mid K \mid =1\Longrightarrow G^{\prime}=1\times L \Longrightarrow G^{\prime}=L\cong A_{5} \;(1) $\\ $ \mid K \mid=2\Longrightarrow G^{\prime}=2\times L $ \end{flushleft} که تنها گروه تام از مرتبه$ 120 $ بنابر مرجع$ \cite{gap} $ گروه$ SL(2,5) $ است. که در زیر محاسبه شده است. \begin{flushleft} $ gap>a:=AllSmallGroups(120);; $\\$ gap>Size(a); $\\$ 47 $\\$ gap>b:=[\:]; $\\$[\:] $\\$gap> for\: i\: in\: [1\cdot\cdot47]\: do\:if\: DerivedSubgroup(a[i])=a[i]\: then \:Add (b,a[i]);fi;od; $\\$ gap>Size(b); $\\$ 1 $ \end{flushleft} و لذا$ G^{\prime}\cong SL(2,5),(2) $ و بنا براین چون$ K\leqslant L \leqslant G^{\prime}\leqslant Z(G) $ پس داریم: \begin{flushleft} $ G=G^{\prime}Z(G)=KLZ(G)=LZ(G),(3) $ \end{flushleft} حال مانند روند بالا دو حالت در نظر می گیریم:\\ اگر$ \mid K \mid=1 $ باشد بنابر $(**) $ ،$ L\cap Z(G)=1 $ بنابر تعریف حاصل ضرب مستقیم و$ (1) $،\\$ G=L\times Z(G)=A_{5}\times Z(G) $ \\اگر$ \mid K \mid=2 $ بنابر$ (3),(2) $ نتیجه می گیریم$ G=G^{\prime} Z(G)=Z(G)SL(2,5) $ . \\حالت دوم)حال فرض کنیم$ C_{G}(S) $ یک زیر گروه نرمال سره از$ G $ باشد. دو حالت در نظر می گیریم:\\$ (i) $ اگر $ C_{G}(S) $ حل پذیر باشد در این صورت $ C_{G}(S)\leqslant S $ . (زیرا$ S $ رادیکال حل پذیر است)پس بنابر لم$ 11\cdot 3\cdot 2 $ داریم:\\ \begin{flushleft} $ \dfrac{G}{S }\cong A_{5}= \bigcup_{i=1}^{21}P_{i}=(P_{1}\cup ... \cup P_{10})\cup(P_{11}\cup ... \cup P_{16})\cup(P_{16}\cup ... \cup P_{21})$ \end{flushleft} که$ P_{10},...,P_{1} $ ،$ 3 $-زیرگروه های سیلو $ P_{16},...,P_{11} $،$ 5 $-زیر گروه های سیلو و\\$ P_{21},...,P_{17} $،$ 2 $-زیر گروه های سیلو از$ \dfrac{G}{S} $ می باشند.\\ که به ازای هر $( i=1,...,21) $،$ a_{i}S \in P_{i} \setminus \lbrace 1 \rbrace$ یعنی$ a_{i}S\neq S\Longleftrightarrow a_{i} \not\in S $ که هیچ جفت از اعضای دو به دو متمایز آن زیر گروه آبلی تولید نمی کنند.\\ در این صورت مجموعه $ \lbrace a_{1}S,...,a_{21}S \rbrace$ یک خوشه ماکزیمم برای$ \dfrac{G}{S} $ است و $ P_{i} =C_{\dfrac{G}{S}} (a_{i} S) $ .\\زیرا اگر، \begin{flushleft} $a_{i}Sa_{j}S=a_{j}Sa_{i}S\Longrightarrow a_{i}S\in C_{\dfrac{G}{S}}(a_{j}S)=P_{j} $ \end{flushleft} چون$ p $ -زیر گروه های سیلو افرازی از$ \dfrac{G}{S} $ می باشند پس \begin{flushleft} که تناقض است.$ a_{i}S\in P_{i}\cap P_{j}=1 \Longrightarrow a_{i}S=S \Longrightarrow a_{i} \in S \Longrightarrow$ \end{flushleft} به ازای هر$ i \in \lbrace 1,...,10\rbrace $ ،$ \mid a_{i}S \mid=3 $ زیرا بنابر قضیه لاگرانژ داریم:\\ \begin{flushleft} $ a_{i}S \in P_{i}\Longrightarrow o(a_{i}S) \mid 3 \Longrightarrow o(a_{i}S)=3 $ \end{flushleft} به همین ترتیب برای $ i \in \lbrace11 ,...,16\rbrace $ ،$ o(a_{i}S)=5 $ است. بنابراین:\\ \begin{flushleft} $ \forall \;1 \leqslant i \leqslant 16 : \mid P_{i} \mid =3,5 \; \mid a_{i}S \mid =3,5 \quad a_{i}S \in P_{i},\; \subseteq P_{i}$ \\ $,\; \mid a_{i}S \mid=\mid P_{i}\mid\Longrightarrow =P_{i}\Longrightarrow =P_{i}=C_{\dfrac{G}{S}}(a_{i}S)$ \end{flushleft} حال ثابت می کنیم $ \dfrac{S}{S} =C_{\dfrac{G}{S}}(a_{i}S) $.\\ \begin{flushleft} $ xS \in \dfrac{S}{S} \Longrightarrow x \in S \Longrightarrow x=a_{i}^{k} S,s \in S \Longrightarrow xS = a_{i}^{k} SS=a_{i}^{k}S\Longrightarrow a_{i}^{k}SaiS=a_{i}^{k}S=a_{i}^{k}aiS=a_{i}a_{i}^{k}S=a_{i}Sa_{i}^{k}S\Longrightarrow a_{i}^{k}S \in C_{\dfrac{G}{S}}(a_{i}S) \Longrightarrow$ \\ $ 1 \neq \dfrac{}{S} \subseteq C_{\dfrac{G}{S}} (a_{i}S),o (C_{\dfrac{G}{S}}( a_{i}))=3,5\Longrightarrow \dfrac{S}{S}=C_{\dfrac{G}{S}}(a_{i}S) $\\ \end{flushleft} پس $ C_{\dfrac{G}{S}}(a_{i}S)=\dfrac{S}{S}= $ .\\ چون$ a_{i} \not\in S $ ، وبرای هر$ i \in \lbrace 1,...,16 \rbrace $ ، $ 5 $ یا$\mid a_{i}S \mid =3$ پس برای هر $ i \in \lbrace 1,...,16\rbrace $ ما\\ داریم$ a_{i} \not\in C_{G}(S) $ . در این صورت\\ \begin{flushleft} $ \forall i \in \lbrace 1,...,16\rbrace , \exists s_{i} \in S:a_{i}s_{i} \neq s_{i}a_{i} $ \end{flushleft} پس مجموعه زیر یک خوشه برای$ \mathcal{A}_{G}$ است.\\ \begin{flushleft} $ \lbrace a_{i},a_{i}s_{i},a_{i}^{2}s_{i} \mid i=1,...,10\rbrace \cup \lbrace a_{j},a_{j}s_{j},a_{j}^{2}s_{j},a_{j}^{3}s_{j},a_{j}^{4}s_{j} \mid j=11,...,16\rbrace $\\ \end{flushleft} زیرا اگر خوشه نباشد\\ \begin{flushleft} $a_{i}a_{i}S=a_{i}Sa_{i}\Longrightarrow a_{i}S=Sa_{i}$ \end{flushleft} که تناقض است. بنابر این نتیجه می گیریم$ \omega (\mathcal{A}_{G})=3\times 10 +5 \times 6=60 \geqslant 57\:$ که تناقض است.\\ $ (ii) $ اگر$ C_{G}(S) $ حل ناپذیر باشد در این صورت $ \dfrac{C_{G}(S)S}{S} $ حل ناپذیر است زیرا اگر $ \dfrac{C_{G}(S)S}{S} $ حل پذیر باشد.\\ \begin{flushleft} $ \exists n:(\dfrac{C_{G}(S)}{S})^{n}=\dfrac{S}{S}=1 \Longrightarrow \dfrac{(C_{G}(S))^{n}}{S}= \dfrac{S}{S}\Longrightarrow (C_{G}(S))^{n}=S $ \end{flushleft} که در این صورت$ C_{G}(S) $ حل پذیر است که این خلاف حل ناپذیر بودن$ C_{G}(S) $ است.\\ بنابر قضیه$ 11\cdot3 \cdot 1$ هرگروه ازمرتبه حداکثر $ 100 $ به جز$ A_{5} $ حل پذیراست چون $ \dfrac{C_{G}(S)}{S} $ حل ناپذیراست پس\\ \begin{flushleft} $ \dfrac{C_{G}(S)S}{S}\leqslant \dfrac{G}{S}\cong A_{5}\Longrightarrow \dfrac{C_{G}(S)S}{S}=\dfrac{G}{S}\Longrightarrow C_{G}(S)S=G $ \end{flushleft} فرض کنیم $ N $ یک زیر گروه حل ناپذیر از$ C_{G}(S) $ از کمترین مرتبه باشد. در این صورت\\ \begin{flushleft} $ N \leqslant C_{G}(S) \leqslant S \unlhd G \Longrightarrow S \leqslant NS \leqslant G\Longrightarrow \dfrac{NS}{S} \cong \dfrac{N}{N \cap S} \unlhd \dfrac{G}{S} \cong A_{5}$ \end{flushleft} چون$ \dfrac{NS}{S} $ حل ناپذیر است $ \dfrac{NS}{S}=\dfrac{G}{S} $ پس $ G=NS $ \begin{flushleft} $ \dfrac{N}{N \cap S}\cong A_{5} \Longrightarrow N \cap S \subseteq S\Longrightarrow N \cap S \unlhd N \Longrightarrow N \cap S \unlhd Sol(N) \Longrightarrow$ \\ $ 1\neq \dfrac{Sol(N)}{N \cap S} \unlhd \dfrac{N}{N \cap S}\cong A_{5} $ \end{flushleft} چون$ A_{5} $ ساده است پس$ \dfrac{Sol(N)}{N \cap S} = \dfrac{N}{N \cap S}$ یا$ \dfrac{Sol(N)}{N \cap S}=1 $ که$ Sol(N)=N $ تناقض است پس $ Sol(N)=N \cap S $ وهر زیر گروه سره از$ N $ حل پذیر است. \\ اگر$ C_{N}(Sol(N)) =N$ آن گاه $ Z(N)=Sol(N) $ پس بنابر برهان قسمت اول \begin{flushright} $ N\cong Z(N) \times A_{5} $یا$ N=Z(N)SL(2,5) $ \end{flushright} \begin{flushleft} $ G=SN,N=Z(N)\times A_{5} $\\ $ Z(N)=Sol(N)=N \cap S \subseteq N,S \quad Z(N) \unlhd N \unlhd C_{G}(S)\Longrightarrow $\\ $ G=(Z(N)\times A_{5}) S\cong Z(N)\cdot A_{5}S=A_{5}SZ(N)=A_{5}\cdot S\Longrightarrow $\\ $ G= A_{5}\cdot S,A_{5}\cong \dfrac{G}{S}=\dfrac{A_{5}S}{S}\cong \dfrac{A_{5}}{A_{5}\cap S}\Longrightarrow A_{5}\cap S=1\Longrightarrow G=A_{5}\times S $\\ \end{flushleft} یا \begin{flushleft} $ G=NS,G=Z(N)SL(2,5)\Longrightarrow G=Z(N)SL(2,5)S,Z(N)\unlhd S\Longrightarrow $\\ $ G=SSL(2,5) $ \end{flushleft} اگر$ G=S\times A_{5} $ باشد. در این صورت $ A_{5} \not\in (\mathcal{A},20 )$ بنابر لم$ 2\cdot 2 $ از مرجع $ \cite{abdollahi 3} $،$ S $ آبلی است. زیرا اگر $ S $ غیر آبلی باشد داریم $ \omega (S)\geqslant 3 $ پس $ S \not\in (\mathcal{A},2) $، در این صورت$ A_{5}\times\ S \not\in (\mathcal{A},m) $\\که$ m=(20+1)(2+1)-1=62 $، $ \omega (A_{5}\times S)=62\geqslant 57 $که تناقض است پس$ S $آبلی است.\\ نتیجه می گیریم$ G=SC_{G}(S)=C_{G}(S),S \subseteq C_{G}(S) $ که یک تناقض است زیرا ما فرض کرده بودیم $ G\neq C_{G}(S) $ . \\ پس بنابر این$ G=SSL(2,5) $ فرض کنیم که $ S $ غیرآبلی باشددر این صورت$ \omega(\mathcal{A}_{G})\geqslant 3 $ پس $ \lbrace s_{1},s_{2},s_{3}\rbrace $ یک خوشه از$ \mathcal{A}_{S}\: $ است. و$ \lbrace b_{1}Z,b_{2}Z,...,b_{21}Z \rbrace$ یک خوشه ماکزیمم از\\$ PSL(2,5)=\dfrac{SL(2,5)}{Z}\cong A_{5} $ است جائی که $ Z=Z(SL(2,5)) $ . در این صورت هر گاه $ i,j \in \lbrace 1,2,...,21\rbrace $و $ i\neq j $ در این صورت داریم:\\ \begin{flushleft} $ b_{i}Zb_{j}Z \neq b_{j}Zb_{i}Z \Longleftrightarrow b_{i}b_{j}Z \neq b_{j}b_{i}Z \Longleftrightarrow [b_{i},b_{j}] \not\in Z $ \end{flushleft} حال اگر $ i,j \in \lbrace 1,2,...,21\rbrace $و$ r,k \in \lbrace 1,2,3 \rbrace $،$ \lbrace s_{1},s_{2},s_{3}\rbrace \subseteq S ,$\\ $ , \lbrace b_{1}Z,...,b_{21}Z\rbrace \subseteq \dfrac{SL(2,5)}{Z} $ داریم:\\ \begin{flushleft} $ (b_{i}s_{r})(b_{j}s_{k})=(b_{j}s_{k})(b_{i}s_{r})\Longleftrightarrow [b_{i},b_{j}] =[s_{k}^{-1} , s_{r}^{-1}] \in S^{\prime} \cap SL(2,5) \subseteq Z\qquad (*)$ \end{flushleft} زیرا می دانیم که \begin{flushleft} $SL(2,5),S \leqslant G,S\unlhd G\Longrightarrow \forall b \in SL(2,5)\; \exists \:s^{\prime}\, \in S:bs=s^{\prime} b$ \end{flushleft} پس برای $ (*) $داریم: \begin{flushleft} $ b_{i}s_{r}b_{j}s_{k}=b_{j}s_{k}b_{i}s_{r}\Longrightarrow b_{i}b_{j}s_{r}^{\prime}s_{k}=b_{j}b_{i}s_{k}^{\prime}s_{r}\Longrightarrow b_{j}^{-1}b_{i}b_{j}s_{r}^{\prime}s_{k}=b_{i}s_{k}^{\prime}s_{r}\Longrightarrow b_{i}^{-1}b_{j}^{-1}b_{i}b_{j}=s_{k}^{\prime}s_{r}s_{k}^{-1}s_{r}^{\prime -1}\Longrightarrow [b_{i}, b_{j}]=[s_{k}^{\prime -1}, s_{r}^{\prime -1}] \in S^{\prime} \cap SL(2,5)$\\ $A_{5} \cong \dfrac{G}{S}\cong \dfrac{SSL(2,5)}{S}\cong \dfrac{SL(2,5)}{S \cap SL (2,5)}\cong A_{5},\dfrac{SL(2,5)}{Z}\cong A_{5}\Longrightarrow$ \\ $ S\cap SL(2,5)=Z \Longrightarrow S^{\prime}\cap SL(2,5)^{\prime}\subseteq S\cap SL(2,5)\subseteq Z$ \end{flushleft} نتیجه می گیریم که$ \lbrace b_{1}S_{1},b_{1}S_{2},b_{1}S_{3},...,b_{21}S_{1},b_{21}S_{2},b_{21}S_{3}\rbrace $یک خوشه برای $ \mathcal{A}_{G} $ است که در این صورت $ \omega (\mathcal{A}_{G})=21\times 3=63 $ که تناقض است.\\ بنا بر این$ C_{N}(Sol(N)) $ یک زیر گروه سره از$ N $ است. بنابر این$ C_{N}(Sol(N)) $ حل پذیر است. وهمچنین$ C_{N}(Sol(N))\leq Sol(N) $ . در این صورت مشابه بحث عنوان شده در قسمت$ (i) $ در بالا$ \omega(\mathcal{A}_{N})\geq 60 $ که تناقض است.که بدین ترتیب برهان کامل می شود. \end{lemma} \begin{lemma} اگر$ G $ یک گروه حل ناپذیر متناهی باشد به طوری که$ \omega(\mathcal{A}_{G})\leqslant 57 $ و$ \dfrac{G}{Sol(G)}\cong S_{5} $ .در این صورت$ G=G^{\prime\prime}Sol(G) $ جایی که$ a^{2}\in Z(G) $ و$ SL(2,5) $ یا$ G^{\prime\prime}\cong A_{5} $ .\\ \textbf{برهان} فرض کنیم$ S=Sol(G) $ باشد. \begin{flushleft} $\dfrac{G}{S}\cong S_{5}\Longrightarrow \dfrac{G^{\prime}S}{S}\cong A_{5},[G:G^{\prime}S]=2 $ \end{flushleft} توجه کنید که$ Sol(G^{\prime}S) $ یک زیر گروه نرمال از$ G $ است. \begin{flushleft} $ S=Sol(G)\unlhd G, S\subseteq G^{\prime}S,S\unlhd G^{\prime}S\Longrightarrow S \subseteq Sol(G^{\prime}S)$\\ $ Sol(G^{\prime}S)\unlhd_{char}G^{\prime}S\unlhd G\Longrightarrow Sol(G^{\prime}S)\unlhd G\Longrightarrow Sol(G^{\prime}S)\subseteq Sol(G)=S $ \end{flushleft} پس$ Sol(G^{\prime}S)=S $ بنا بر برهان لم$ 19\cdot2\cdot3 $ ،$ S=Z(G^{\prime}S) $ و$ G^{\prime}S=S \times A_{5} $ یا$ G^{\prime}S=S SL(2,5) $ \begin{flushleft} $ G^{\prime}S=S\times A_{5}\Longrightarrow(G^{\prime}S)^{\prime}=(S\times A_{5})^{\prime}\Longrightarrow [G^{\prime}S,G^{\prime}S]=S^{\prime}\times A_{5}\Longrightarrow[G^{\prime},G^{\prime}][G^{\prime},S][S,G^{\prime}][S,S]=1\times A_{5}\;(*)$ \\ $(S=Z(G^{\prime}S)\Longrightarrow [S,S]=1,[G^{\prime},S]=1) ,(*)\Longrightarrow G^{\prime\prime}=A_{5}$ \end{flushleft} یا \begin{flushleft} $ G^{\prime}S=SSL(2,5)\Longrightarrow (G^{\prime}S)^{\prime}=(SSL(2,5))^{\prime}\Longrightarrow G^{\prime\prime}=[SSL(2,5),SSL(2,5)]\Longrightarrow G^{\prime\prime}=[S,S][S,SL(2,5)][SL(2,5),S][SL(2,5),SL(2,5)]\;(*)$\\ $ [S.SL(2,5)]=1,(SL(2,5)\subseteq G^{\prime}S),[S,G^{\prime}S]=1,[SL(2,5),SL(2,5)]=SL(2,5)\;(**) $\\ $ (*),(**)\Longrightarrow G^{\prime\prime}=SL(2,5) $ \end{flushleft} ونیز$ G^{\prime\prime} $ یک زیر گروه حل ناپذیر از $ G^{\prime} $ است زیرا اگر$ G^{\prime\prime} $ حل پذیر باشد. \begin{flushleft} $ \exists n:\quad (G^{\prime\prime})^{(n)}=1\Longrightarrow G^{(n+2)}=1$ \end{flushleft} لذا$ G $ حل پذیر است که تناقض است. وهمچنین$ \dfrac{G^{\prime\prime}S}{S} $یک زیر گروه حل ناپذیراز$ \dfrac{G^{\prime}S}{S} $ است. زیرا اگر حل پذیر باشد. \begin{flushleft} $ \exists n:\quad (\dfrac{G^{\prime\prime}S}{S})^{(n)}=1\Longrightarrow\dfrac{(G^{\prime\prime}S)^{(n)}}{S}=\dfrac{S}{S}\Longrightarrow\dfrac{G^{(n+2)}}{S}=\dfrac{S}{S}\Longrightarrow G^{(n+2)}=S$ \end{flushleft} لذا$ G^{(n+2)} $ حل پذیر است پس$ G $ حل پذیر است که تناقض است. و نیزچون$ \dfrac{G^{\prime\prime}S}{S} $ حل ناپذیر است بنابر قضیه$ 11\cdot3\cdot1 $ داریم: \begin{flushleft} $ \dfrac{G^{\prime\prime}S}{S}\leq \dfrac{G^{\prime}S}{S}\cong A_{5}\Longrightarrow \dfrac{G^{\prime\prime}S}{S}=\dfrac{G^{\prime}S}{S}\Longrightarrow G^{\prime\prime}S=G^{\prime}S$ \end{flushleft} چون$ \dfrac{\dfrac{G}{S}}{\dfrac{G^{\prime\prime}S}{S}}\cong C_{2} $ پس \begin{flushleft} $ \exists aS:\quad aS\not\in\dfrac{G^{\prime\prime}S}{S},o(aS)=2\Longrightarrow a^{2}\in S,a\not\in G^{\prime\prime}S=G^{\prime}S $\\ $ \forall x\in G:\quad x\in S\Longrightarrow x\in G^{\prime\prime}S $\\ $ \forall x\in G:\quad x\not\in S\Longrightarrow xS=aS\Longrightarrow a^{-1}xS=S\Longrightarrow a^{-1}x\in S \Longrightarrow$ \\ $ x\inS\subseteq G^{\prime\prime}S$ \end{flushleft} و$ a^{2}\in S=Z(G^{\prime}S) $ که $ a^{2} $ با عناصر$G^{\prime}S $ جابجا می شود پس $ a^{2} $ با عناصر$ G^{\prime\prime}S $ جابجا می شوند. در نتیجه$ a^{2}\in Z(G) $ در این صورت$ G=G^{\prime\prime}S $ جایی که$ a^{2}\in Z(G) $،\\و$ SL(2,5) $ یا$ G^{\prime\prime}\cong A_{5} $ .که بدین ترتیب برهان کامل می شود. \end{lemma} \begin{lemma} فرض کنیم$ G $ یک گروه متناهی و$ \omega(\mathcal{A}_{G})=\omega(\mathcal{A}_{\dfrac{G}{Sol(G)}})=57 $ باشد.در این صورت$ Z(G)=Sol(G) $ .\\ \textbf{برهان} :بنا بر مرجع$ \cite{abdollahi 3} $ لم$ 4\cdot3 $ ،$ S=Sol(G) $ آبلی است. زیرا اگر غیر آبلی باشد آن گاه$ \dfrac{G}{Sol(G)} $ در شرط$ (\mathcal{A},56) $ صدق می کند.\\ ولذا$ \omega(\mathcal{A}_{\dfrac{G}{Sol(G)}})\leqslant 56 $ که$ 57\leqslant56 $ تناقض است. بنا برنتیجه$ 14\cdot2\cdot3 $ ،\\$PGL(2,7) $ یا$ \dfrac{G}{S}\cong PSL(2,7) $ . فرض کنیم به ازای هر$ a\in S $ ،$ x\in G \setminus S $ ،\\$ [a,x] \neq1 $ وبنابر فرض $ \omega(\mathcal{A}_{G})=57 $ بنابر گزاره$ 6\cdot2\cdot3 $ ،$ x_{1}S,...,x_{56}S \in \dfrac{G}{S} $ موجودند به طوری که$ T=\lbrace xS,x_{1}S,...,x_{56}S \rbrace $ یک خوشه از$ \mathcal{A}_{\dfrac{G}{S}} $ است. و مجموعه$ R=\lbrace x,x_{1},...,x_{56}\rbrace $ یک خوشه ماکزیمم از$ \mathcal{A}_{G} $ است. بنابر این$ x_{i}\in R $ موجود است به طوری که$ [x_{i},ax]=1 $ \\زیرا اگر$ [x_{i},ax]\neq1 $ \begin{flushleft} $ \forall i,\; x_{i }\in R:[x,ax]=[x,a]\neq1$ \end{flushleft} پس مجموعه$ \lbrace ax,x,x_{1},...,x_{56}\rbrace $ یک مجموعه خوشه ای است که خلاف ماکزیمال بودن $ R $ است. \begin{flushleft} $ [x_{i},ax]=1\Longrightarrow[x_{i},x][x_{i},a]^{x}=1\Longrightarrow$ \\ $[x_{i},x]=([x_{i},a]^{x})^{-1}=((x_{i}^{-1}a^{-1}x_{i}a)^{x})^{-1} \in S\Longrightarrow$ \\ $[x_{i},x]\in S\Longrightarrow[x_{i},x]S=S\Longrightarrow x_{i}^{-1}SxSx_{i}SxS=S\Longrightarrow x_{i}SxS=xSx_{i}S$ \end{flushleft} که متناقض با خوشه ای بودن$ T $ است.بنابر این: \begin{flushleft} $ \forall a \in S,\; \forall x\in G\setminus S:[a,x]=1$ \end{flushleft} عناصر$ S $ با عناصر$ G \setminus S $ جابجا می شوند وچون $ S $ آبلی است عناصر$ S $ با عناصر$ G $ جابجا می شوند. یعنی$ S\subseteq Z(G) $ \begin{flushleft} $ Z(G)\unlhd G,S=Sol(G) \Longrightarrow Z(G)\subseteq S$ \end{flushleft} لذا$ S=Z(G) $ که برهان کامل می شود. \end{lemma} \begin{lemma} اگر $ G $ یک گروه متناهی به طوری که$ \omega(\mathcal{A}_{G})\leqslant 57 $ باشد. واگر زیرگروه مرکزی$ B $ از$ G $ ، از مرتبه نابیشتر از$ 2 $ موجود باشد. به طوری که$ \dfrac{G}{B}\cong PSL(2,7) $ ،\\در این صورت$ SL(2,7) $ یا$ G\cong B \times PSL(2,7)$ .\\ \textbf{برهان} :چون$ \dfrac{G}{B}\cong PSL(2,7) $ پس \begin{flushleft} $ (\dfrac{G}{B})^{\prime}=(PSL(2,7))^{\prime}\Longrightarrow\dfrac{G^{\prime}B}{B}\cong \dfrac{G^{\prime}}{B\cap G^{\prime}}\cong PSL(2,7)=\dfrac{G}{B}\; ,G=G^{\prime}B$ \end{flushleft} بنابراین چون \begin{flushleft} $ G^{\prime}\cap B \subseteq B \Longrightarrow \mid G^{\prime}\cap B \mid \leqslant 2$ \end{flushleft} دو حالت در نظر می گیریم. حالت اول)$ G^{\prime}\cap B=1 $ \\ \begin{flushleft} $ G^{\prime}\cap B=1,\dfrac{G^{\prime}}{1}\cong PSL(2,7),G=G^{\prime}B\Longrightarrow G\cong B \times PSL(2,7)$. \end{flushleft} حالت دیگر$ G^{\prime}\cap B\neq 1 $ همچنین$ \mid B \mid=2 $ مطابق قضیه ضریب جهانی(قضیه$ 11\cdot4\cdot8 $ ) از مرجع$ \cite{Robioson} $ توسیع مرکزی $ B \longrightarrow G \longrightarrow \dfrac{G}{B} $ مشخص کننده همریختی$ \delta :M(\dfrac{G}{B})\longrightarrow B $ به طوری که$ Im\delta=G^{\prime}\cap B $، جایی که$ M(\dfrac{G}{B}) $ ضریب شور از $ \dfrac{G}{B} $ است.\\ (تمرین$ 10 $ صفحه$ 354 $ از مرجع$\cite{Robioson} $ را مشاهده کنید.)به عبارت دیگر ما می دانیم که ضریب شور\LTRfootnote{Schur} از$ PSL(2,7) $ ،$\mathbb{Z}_{2} $ است.\\ بنابراین$ G^{\prime}\cap B=B $ پس$ B\leq G^{\prime} $ . در نتیجه$ G $ یک گروه تام ازمرتبه$ 336 $ است که بنابر مرجع$ \cite{gap} $ تنها گروه تام از مرتبه$ 336 $ گروه$ SL(2,7) $ است .که مانند روندمحاسبه درلم $ 19\cdot2\cdot3 $ است.که بدین ترتیب برهان کامل می شود . \end{lemma} \begin{lemma} فرض کنیم$ G $ یک گروه حل نا پذیرمتناهی باشد به طوری که$ \omega(\mathcal{A}_{G})\leqslant 57 $\\ و$ \dfrac{G}{S}\cong PSL(2,7) $ است. در این صورت$ Z(G)SL(2,7) $ یا$ G\cong Z(G)\times PSL(2,7) $ .\\ \textbf{برهان} :چون$ 57=\omega(\mathcal{A}_{\dfrac{G}{S}}) \leqslant \omega(\mathcal{A}_{G})\leqslant57 $ پس$ \omega(\mathcal{A}_{\dfrac{G}{S}})=\omega(\mathcal{A}_{G})=57 $ .بنابرلم$ 21\cdot2\cdot3 $ ،$ S=Sol (G)=Z(G) $ حال مشابه برهان بحث شده درلم$ 22\cdot2\cdot3 $ توسیع مرکزی \\$ Z(G)\longrightarrow G\longrightarrow \dfrac{G}{Z(G)} $ را در نظر می گیریم که$ K=G^{\prime}\cap Z(G) $ ومرتبه$ K $ نابیشتراز$ 2 $ است. \begin{flushleft} $ \dfrac{G}{S}\cong PSL(2,7)\Longrightarrow \dfrac{G^{\prime}S}{S}\cong PSL(2,7)\cong \dfrac{G}{S},S=Z(G)\Longrightarrow G=G^{\prime}Z(G)$\\$ \dfrac{G^{\prime}}{K}=\dfrac{G^{\prime}}{G^{\prime}\cap Z(G)}\cong \dfrac{G^{\prime}Z(G)}{Z(G)}=\dfrac{G}{Z(G)}\cong PSL(2,7) $ \end{flushleft} بنابرلم$ 22\cdot2\cdot3 $ یک زیر گروه$ L $ از$ G^{\prime} $ موجود است به طوری که: \begin{flushleft} $ \dfrac{G^{\prime}}{K}\cong PSL(2,7)\Longrightarrow G^{\prime}\cong K\times PSL(2,7)\vee\;SL(2,7) $\\ $ \mid K \mid =1\Longrightarrow \dfrac{G^{\prime}}{1}\cong PSL(2,7),\;G^{\prime}=1\times L\Longrightarrow L\cong PSL(2,7)$\\ $ G^{\prime}=K \times L\;\vee G^{\prime} \cong SL(2,7) $\\ \end{flushleft} اگر$ G^{\prime}=K \times L $ در این صورت \begin{flushleft} $ G=G^{\prime}Z(G)=K L Z(G)=L(G^{\prime}\cap Z(G)) Z(G)=L Z(G),\mid K \mid=1,L\cap Z(G)=1 \Longrightarrow G=L\times Z(G)\cong PSL(2,7)\times Z(G)$ \end{flushleft} اگر$ G^{\prime}\cong SL(2,7)$ در این صورت \begin{flushleft} . $ G=G^{\prime}Z(G)\cong Z(G)SL(2,7)$ \end{flushleft} \end{lemma} \begin{lemma} اگر$ G $ یک گروه حل ناپذیر متناهی به طوری که$ \omega(\mathcal{A}_{G})\leqslant 57 $ و$ \dfrac{G}{S}\cong PGL(2,7) $ باشد. در این صورت $ G=G^{\prime \prime}Z(G) $ جایی که$ a^{2} \in Z(G) $\\ و$ SL(2,7) $ یا$ G^{\prime \prime}\cong PSL(2,7) $ .\\ \textbf{برهان} :چون$ 57=\omega (\mathcal{A}_{\dfrac{G}{S}})\leqslant \omega (\mathcal{A}_{G})\leqslant 57 $ ، \\و$ \omega (\mathcal{A}_{\dfrac{G}{S}})=7^{2}+7+1=57 $ پس$ \omega(\mathcal{A}_{\dfrac{G}{S}}) = \omega (\mathcal{A}_{G})=57 $ .\\ در این صورت بنابر لم$21 \cdot2 \cdot3 $،$ S=Sol(G)=Z(G) $ و $ \dfrac{G}{Z(G)}\cong PGL(2,7) $ است.\\ پس$ \dfrac{G^{\prime}Z(G)}{Z(G)}\cong PSL(2,7) $ و $ G^{\prime}Z(G) $ حل ناپذیر است.\\ (زیرا$PSL\,(2,7) $ حل ناپذیر است ولی زیر گروه های سره آن حل پذیرند) زیرا اگر$ G^{\prime}Z(G) $ حل پذیر باشد چون $ Z(G) \leqslant G^{\prime}Z(G) $ پس$ \dfrac{G^{\prime}Z(G)}{Z(G)} $ حل پذیر است که با حل ناپذیر بودن$ PSL(2,7) $ درتناقض است.\\ و نیز$ Sol(G^{\prime}Z(G))=Z(G) $ است. زیرا : \begin{flushleft} $(G^{\prime}Z(G) \unlhd G \Longrightarrow Sol(G^{\prime}Z(G)) \subseteq Sol(G) =Z(G))$\\ $ (Z(G) \unlhd G^{\prime}Z(G) \Longrightarrow Z(G) \subseteq Sol(G^{\prime} Z(G))) $و\\ $ \Longrightarrow Z(G) = Sol(G^{\prime}Z(G)) $ \end{flushleft} بنابرلم$ 23\cdot 2\cdot 3$ نتیجه می گیریم:\\ $ G^{\prime}Z(G)=Z(G) \times PSL(2,7) $ یا$ G^{\prime}Z(G)=Z(G) SL(2,7) $ و$ [\dfrac{G}{Z(G)}:\dfrac{G^{\prime}Z(G)}{Z(G)}]=2 $\\ \begin{flushleft} $ G^{\prime}Z(G)=Z(G) \times PSL(2,7)\Longrightarrow (G^{\prime}Z(G))^{\prime}=(Z(G)\times PSL(2,7))^{\prime}\Longrightarrow [G^{\prime}Z(G),G^{\prime}Z(G)]=[Z(G) \times PSL(2,7),Z(G) \times PSL (2,7)]\Longrightarrow [G^{\prime},G^{\prime}] [G^{\prime},Z(G)] [Z(G),G^{\prime}] [Z(G),Z(G)] = [Z(G),Z(G)] [PSL(2,7),PSL(2,7)]\Longrightarrow G^{\prime \prime}=PSL(2,7) $\\ \end{flushleft} یا \begin{center} $ G^{\prime}Z(G)=Z(G) SL(2,7) \Longrightarrow G^{\prime \prime}=[Z(G) SL(2,7),Z(G) SL(2,7)]=[Z(G),Z(G)] [Z(G), SL(2,7)] [SL(2,7),SL(2,7)] \Longrightarrow G^{\prime \prime}=SL(2,7) $ \end{center} \begin{flushleft} $ \dfrac{\dfrac{G}{Z(G)}}{\dfrac{G^{\prime}Z(G)}{Z(G)}}\cong C_{2}\Longrightarrow \exists aZ(G):o(aZ(G))=2,aZ(G) \in \dfrac{G}{Z(G)}-\dfrac{G^{\prime}Z(G)}{Z(G)} $\\ $ aZ(G) \in \dfrac{G}{Z(G)},aZ(G) \not\in \dfrac{G^{\prime}Z(G)}{Z(G)}$\\ $ o(aZ(G))=2\Longrightarrow aZ(G) aZ(G)=Z(G)\Longrightarrow a^{2}Z(G)=Z(G)\Longrightarrow a^{2} \in Z(G) $\\ $ x \in G \Longrightarrow x \in Z(G)\Longrightarrow x \in G^{\prime \prime}Z(G) $\\ $ [G:G^{\prime}Z(G)]=2,o(aZ(G))=2\Longrightarrow $\\ $ \dfrac{G}{G^{\prime}Z(G)}=\Longrightarrow G=G^{\prime}Z(G)\qquad (*) $ \end{flushleft} ونیز$ G^{\prime\prime} $ یک زیر گروه حل ناپذیر از$ G^{\prime}$ است. زیرا اگر$ G^{\prime\prime} $ حل پذیر باشد. در این صورت:\\ \begin{flushleft} $ \exists n :\; (G^{\prime\prime})^{n}=1\Longrightarrow G^{(n+2)}=1 $ \end{flushleft} که با حل نا پذیر بودن $ G$ در تناقض است ولذا$ G^{\prime\prime} $ حل نا پذیر است.\\ ونیز همچنین$ \dfrac{G^{\prime\prime}Z(G)}{Z(G)} $ یک زیر گروه حل ناپذیر از$ \dfrac{G^{\prime}Z(G)}{Z(G)} $ است. زیرا اگر حل پذیر باشد. در این صورت: \begin{flushleft} $ \exists n:\;(\dfrac{G^{\prime\prime}Z(G)}{Z(G)})^{n}=1\Longrightarrow \dfrac{G^{(n+2)}}{Z(G)}=\dfrac{Z(G)}{Z(G)}\Longrightarrow G^{(n+2)}=Z(G)$ \end{flushleft} که با حل نا پذیر بودن$ G $ درتناقض است.ولذا$ \dfrac{G^{\prime\prime}Z(G)}{Z(G)} $ حل ناپذیر است.\\ پس$ \dfrac{G^{\prime\prime}Z(G)}{Z(G)}\leq\dfrac{G^{\prime}Z(G)}{Z(G)}\cong PSL(2,7) $ وچون زیر گروه های سره$ PSL(2,7) $ حل پذیرندپس\\$ \dfrac{G^{\prime\prime}Z(G)}{Z(G)}=\dfrac{G^{\prime}Z(G)}{Z(G)} $ در این صورت$ G^{\prime\prime}Z(G)=G^{\prime}Z(G) $ولذا بنابر$ (*) $ ،$ G=G^{\prime\prime}Z(G) $ \\و$ a^{2}\in Z(G) $ و$ SL(2,7) $ یا$ G^{\prime\prime}\cong PSL(2,7) $ که برهان کامل می شود. \end{lemma} \begin{theorem} فرض کنیم$ G $ یک گروه حل ناپذیر متناهی باشدبه طوری که$ \omega(\mathcal{A}_{G})\leqslant 57 $ .در این صورت $ G $ یکی از ساختارهای زیر را دارد:\\ الف)$ G\cong Z(G)\times PSL(2,p) $ جایی که$ p\in\lbrace 5,7\rbrace $ .\\ ب)$ G=Z(G)K $ جایی که$ K $ یک زیر گروه از$ G $ یکریخت با$ SL(2,p) $ و$ p\in\lbrace5,7\rbrace $ است.\\ ج)$ G=G^{\prime\prime}S $ جایی که$ a^{2}\in Z(G) $ و$ SL(2,7) $ یا$ G^{\prime\prime}\cong A_{5} $ و$ S $ رادیکال حل پذیر از$ G $ است.\\ د)$ G=G^{\prime\prime}Z(G) $ جایی که$ a^{2}\in Z(G) $ و$ SL(2,7) $ یا$ G^{\prime\prime}\cong PSL(2,7) $ .\\ \textbf{برهان} :از لم های$24\cdot2\cdot3,\:23\cdot2\cdot3,\:20\cdot2\cdot3 ,\:19\cdot2\cdot3$ برهان حاصل می شود. \end{theorem} \section{\large اعداد خوشه ای گراف غیرجابجا یی درگروه های سوزوکی وگروه$ PSL(3,3) $ } \begin{lemma} فرض کنیم$ G=\bigcup_{i=1}^{n}A_{i} $ یک گروه باشد. جایی که$ A_{n},...,A_{1} $ زیر گروه های غیر بدیهی از$ G $ است به طوری که برای$ i\neq j $ ،$ A_{i}\cap A _{j}=Z(G) $ است.\\ الف)اگر برای هر$ g\in A_{i}\setminus Z(G) $ ، $ C_{G}(g)\leq A_{i} $ باشد. در این صورت$ \omega(\mathcal{A}_{G})=\sum_{i=1}^{n}\omega(\mathcal{A}_{A_{i}}) $ .\\ ب)اگر برای هر$ i\in\lbrace1,...,n\rbrace $ هر خوشه از$ \mathcal{A}_{A_{i}} $ را بتوان به یک خوشه ماکزیمم از$ \mathcal{A}_{A_{i}} $ توسیع داد. در این صورت همان ویژگی برای$ \mathcal{A}_{G} $ نیز برقرار است.بخصوص اگرهمه$ A_{i} $ هاآبلی یا$ AC $ -گروه باشند ویژگی اشاره شده برای$ \mathcal{A}_{G} $ نیز برقرار است.\\ \textbf{برهان} الف)اگر$ X $ هر خوشه از$ \mathcal{A}_{G} $ باشد. در این صورت برای هر$ i\in\lbrace1,...,n\rbrace $ ،$ X=\bigcup_{i=1}^{n}X_{i} $ جایی که$ X_{i}\subset A_{i}\setminus Z(G) $ . بنا برفرضیات \begin{flushleft} $ \mid X\mid= \sum_{i=1}^{n}\mid X_{i} \mid,\mid X_{i} \mid \leqslant \omega( \mathcal{A}_{A_{i}})\Longrightarrow \mid X\mid \leqslant \sum_{i=1}^{n}\omega(\mathcal{A}_{A_{i}}) $ \end{flushleft} حال فرض کنیم برای هر$ i\in\lbrace 1,...,n\rbrace $ ،$ W_{i} $ یک خوشه ماکزیمم برای$ \mathcal{A}_{A_{i}} $ باشد. ادعا \\می کنیم$ W=\bigcup_{i=1}^{n}W_{i} $ یک خوشه ماکزیمم برای$ \mathcal{A}_{G} $ است. نقیض حکم رادر نظر می گیریم که دو عنصر متمایز$ b,a $ از$ \bigcup_{i=1}^{n}W_{i} $ با هم جابجا شوند. در این صورت: \begin{flushleft} $ \exists\; i\neq j:\;a\in A_{i},b\in A_{j},ab=ba\Longrightarrow a\in C_{G}(b)\leq A_{j},a\in A_{i}\cap A_{j}=Z(G)$ \end{flushleft} که غیر ممکن است. پس$ \mid W \mid=\sum _{i=1}^{n}(\omega(\mathcal{A}_{A_{i}}) $. بدین ترتیب برهان کامل می شود.\\ برهان ب)چون بنا بر فرض به ازای هر$ i \in\lbrace 1,...,n \rbrace $ هر خوشه از$ \mathcal{A}_{A_{i}} $ را می توان به یک خوشه ماکزیمم از$ \mathcal{A}_{A_{i}} $ توسیع دادو$ G=\bigcup_{i=1}^{n}A_{i} $ پس هر خوشه از$ \mathcal{A}_{G}\ $ را می توان به یک خوشه ماکزیمم از$ \mathcal{A}_{G}\ $ توسیع داد بخصوص اگر$ G $ یک$ AC $ -گروه باشد.حکم بنا بر لم$ 5\cdot2\cdot3 $ برقرار است. \end{lemma} \begin{theorem} فرض کنیم$ G=Sz(q) $ گروه سوزوکی روی میدانی با$ q $ عنصر جایی که\\$ q=2^{2m+1} $ و $ m\ > 0 $ باشد. دراین صورت:\\ الف)$ \omega(Sz(q))=(q^{2}+1)(q-1)+\dfrac{q^{2}(q^{2}+1)}{2}+\dfrac{q^{2}(q^{2}+1)(q-1)}{4(q+2r+1)}+\dfrac{q^{2}(q^{2}+1)(q-1)}{4(q-2r+1)} $ جایی که$ r=2^{m} $ است.\\ ب)هر خوشه از$ \mathrm{A}_{G} $ را می توان به یک خوشه ماکزیمم از$ \mathcal{A}_{G} $توسیع داد.\\ \textbf{برهان} :گروه سوزوکی$ G $ شامل زیرگروه های$ B,A,F $ و$ C $ است. به طوری که$ \mid B \mid =q-2r+1$ $,\mid A \mid=q-1$ $,\mid F \mid=q^{2} $ و$ \mid C \mid=q+2r+1 $ . (مشاهده کنید قضیه های$ 3\cdot10 $ و$ 3\cdot11 $ از فصل $ 11 $ از مرجع$ \cite{Huppert} $ )همچنین مزدوجهایی از$ C,B,A $ و$ F $ در$ G $ تشکیل یک افراز برای$ G $ \\می دهندو$ C,B,A $ زیرگروه های دوری ولذا آبلی اند. که این زیرگروه ها مرکزی ساز برخی عضوها در $ G $ هستند. و$ F $ یک $ 2 $ -زیرگروه سیلو از$ G $ است. \begin{flushleft} $ G=(\bigcup_{x\in G}F^{x})\cup (\bigcup_{x\in G}A^{x})\cup (\bigcup_{x\in G}B^{x})\cup (\bigcup_{x\in G}C^{x})=$\\ $ (F_{1}\cup...\cup F_{\alpha_{1}})\cup (A_{1}\cup...\cup A_{\alpha_{2}})\cup(B_{1} \cup...\cup B_{\alpha_{3}})\cup (C_{1}\cup ...\cup C_{\alpha_{4}})= $\\ $(F_{1}\cup...\cup F_{\alpha_{1}})\cup (C_{G}(a_{1})\cup...\cup C_{G}(a_{\alpha_{2}}))\cup (C_{G}(b_{1})\cup...\cup C_{G}(b_{\alpha_{3}}))\cup (C_{G}(c_{1})\cup...\cup C_{G}(c_{\alpha_{4}})) $ \end{flushleft} چون آبلی اند. پس مرتبه هر عضو $ 2 $ است که یکی از این عضوها بدیهی اند لذا هر مجموعه که آبلی است یک عضودارد.\\ حال قضیه های$ 3\cdot10 $ و$ 3\cdot11 $ از فصل$ 11 $ازمرجع$ \cite{Huppert} $ نتیجه می دهد که تعداد مزدوجها از$ A,B,C $ و$ F $ در$ G $ به ترتیب به صورت زیر می باشند. \begin{flushleft} $ \alpha_{1}=\dfrac{q^{2}(q-1)(q^{2}+1)}{4(q+2r+1)},\alpha_{2}=\dfrac{q^{2}(q-1)(q^{2}+1)}{4(q-2r+1)},\alpha_{3}=\dfrac{q^{2}(q^{2}+1)}{2},\alpha_{4}=q^{2}+1$ \end{flushleft} وهمچنین \begin{flushleft} $ G=\bigcup_{i=1}^{\alpha_{1}}C_{G}(f_{i})\cup \bigcup_{i=1}^{\alpha_{2}}C_{G}(b_{i})\cup \bigcup_{i=1}^{\alpha_{3}}C_{G}(a_{i})\cup\bigcup_{i=1}^{\alpha_{4}}C_{G}(c_{i})$ \end{flushleft} بنابر برهان از لم$ 5\cdot9 $ از فصل$ 11 $ از مرجع$ \cite{Huppert} $: \begin{flushleft} $ \forall g \in F\setminus Z(F):Z(F)\subseteq C_{F}(g)\Longrightarrow[C_{F}(g):Z(F)]=2,\mid F \mid=q^{2}=2^{4m+2}$ \end{flushleft} اگر$ C_{F}(g)=H $ در این صورت$ \mid\dfrac{H}{Z(H)}\mid =2 $ که نتیجه می دهد$ H $ آبلی است.\\ حال نشان می دهیم$ Z(F)=Z(H) $ و$ H $ آبلی است .$ Z(F)\subseteq C_{g}(F)=H\subseteq F $ و$ Z(F)\subseteq Z(H) $ پس$ Z(F)=Z(H) $ \\ \begin{flushleft} $ Z(F)\subseteq Z(H)\subseteq H\Longrightarrow 2= [H:Z(F)]=[H:Z(H)][Z(H):Z(F)]$ \end{flushleft} اگر$ [H:Z(H)]=1 $ در این صورت$ H=Z(H) $ که$ H $ آبلی است.\\ اگر$ \mid\dfrac{H}{Z(H)}\mid=2 $ دراین صورت$ \dfrac{H}{Z(H)} $ دوری است ولذا$ H=C_{F}(g) $ آبلی است. که در این صورت$ F $ یک $ AC $ -گروه است.\\ فرض کنیم$ \lbrace a_{1},a_{2},...,a_{n}\rbrace $ یک خوشه ماکزیمم برای $ \mathcal{A}_{F} $ باشد. و$ C_{F}(a_{i})\cap C_{F}(a_{j})=Z(F) $ .در این صورت بنا برقضیه تامکینسون$ F=C_{F}(a_{1})\cup ...\cup C_{F}(a_{n}) $ و مجموعه\\$ \lbrace \dfrac{C_{F}(a_{i})}{Z(F)}\mid i=1,2,...,n\rbrace $ تشکیل یک افراز برای$ \dfrac{F}{Z(F)} $ می دهد. \begin{flushleft} $ \dfrac{F}{Z(F)}=\dfrac{C_{F}(a_{1}}{Z(F)}\cup \cdot \cdot \cdot \cup \dfrac{C_{F}(a_{n})}{Z(F)},\dfrac{C_{F}(a_{i})}{Z(F)}\cap \dfrac{C_{F}(a_{j})}{Z(F)}=\lbrace Z(F) \rbrace \Longrightarrow$\\ $ \mid \dfrac{F}{Z(F)}\mid=n+1\Longrightarrow \dfrac{q^{2}}{q}=n+1\Longrightarrow n+1=q\Longrightarrow n=q-1 $\\ \end{flushleft} و بنابر این $ \omega(\mathcal{A}_{F})=q-1 $ است. حال بنابر لم$1 \cdot 3\cdot 3 $ داریم:\\ \begin{flushleft} $ \omega (G)=\omega (F_{1})+\cdot \cdot \cdot +\omega(F_{\alpha _{1}})+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\alpha _{4}=(q-1)+...+(q-1)+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\alpha _{4}=\alpha _{1}(q-1)+\alpha _{2}1+\alpha _{3}1+\alpha _{4}1 $\\ $ \omega (S_{z}(q))=(q^{2}+1)(q-1)+\dfrac{q^{2}(q^{2}+1)}{2}+\dfrac{q^{2}(q^{2}+1)(q-1)}{4(q+2r+1)}+\dfrac{q^{2}(q^{2}+1)(q-1)}{4(q-2r+1)} $\\ \end{flushleft} برهان ب)از لم $1 \cdot3 \cdot 3$ قسمت (الف)حکم حاصل می شود \end{theorem} \begin{theorem} $ \omega(\mathcal{A}_{PSL(3,3)})=1067 $\\ \textbf{برهان} :فر ض می کنیم$ G=PSL(3,3) $ باشد. در این صورت بنابر مرجع$ \cite{gap} $که در انتهای قضیه محاسبه شده مرتبه عناصر$ G $ مجموعه$ \lbrace 1,2,3,4,6,8,13\rbrace $ است.\\ فرض کنیم \begin{flushleft} $ A=\lbrace C_{G}(g) \mid g\in G,\mid C_{G}(g) \mid=6\rbrace $\\ $ B=\lbrace C_{G}(g) \mid g\in G,\mid C_{G}(g) \mid=8\rbrace $\\ $ C=\lbrace C_{G}(g) \mid g\in G,\mid C_{G}(g) \mid=9\rbrace $\\ $ D=\lbrace C_{G}(g) \mid g\in G,\mid C_{G}(g) \mid=13\rbrace $\\ \end{flushleft} بنابر این$ \mid C \mid=104, \mid B\mid=351,\mid A \mid=468 $ و$ \mid D \mid=144 $ .\\ اگر $ \mid C_{G}(g) \mid \in \lbrace 6,8\rbrace $ در این صورت بنا برمرجع$ \cite{gap} $ که در انتهای قضیه محاسبه شده$ C_{G}(g) $ زیر گروه دوری از $ G $ است وهمچنین$ a \in G $ موجود است به طوری که$ C_{G}(g)= $ .که نتیجه \\می دهد$ =C_{G}(a)=C_{G}(g) $ .\\ بنابراین عناصر$ a_{i},b_{j},c_{k},d_{k}\in G $ موجودند به طوری که$ \mid C_{G}(a_{i}) \mid=6 $ برای$ 1\leqslant i\leqslant 468 $ ،$ \mid C_{G}(b_{j}) \mid=8$ برای$ 1\leqslant j\leqslant 351 $،$ \mid C_{G}(c_{k}) \mid=9 $ برای$ 1\leqslant k\leqslant 104 $و$ \mid C_{G}d_{l}) \mid=13$ برای$ 1\leqslant l\leqslant144$ .\\ حال بنابر مرجع$ \cite{gap} $ که در انتهای قضیه محاسبه شده داریم$ G=\cup _{x \in X}C_{G}(x) $ جایی که\\ $ X=\lbrace a_{1},...,a_{468},b_{1},...,b_{351},c_{1},...,c_{104},d_{1},...,d_{144}\rbrace $ است.\\ چون مجموعه مرتبه عناصر از $ G $، $ \lbrace 1,2,3,4,6,8,13\rbrace $است.نتیجه می دهد که $ X $یک خوشه برای $\mathcal{A}_{G} $ است.همچنین چون برای هر$ x \in X $،$ C_{G}(x) $ آبلی است.بنابر لم قبل داریم \begin{flushleft} $ \omega (\mathcal{A}_{G})=468+351+104+144 $ \end{flushleft} که بدین ترتیب برهان کامل می شود.\\ \begin{flushleft} $ gap>G:=PSL(3,3);$\\$ Group([(5,8,11)(6,9,12)(7,10,13),(1,2,5)(3,8,7)(4,11,6)(9,10,13)]) $\\$ gap>Size(G); $\\$ 5616 $\\$ gap>o:=Elements(G);; $\\$ a:=[\:]; $\\$ [\:] $\\$ gap>for\: i\: in[1\cdot\cdot5616] do Add(a,Order(o[i]));od; $\\$ gap>Elements(a); $\\$ [1,2,3,4,6,8,13] $\\$ b:=[\:]; $\\$ for\: i\, in[1\cdot\cdot5616] do\: Add(Centralizer(G,o[i]));od; $\\$ gap>Size(b); $\\$5616 $\\$ Size(Set(b)); $\\$ 1237 $\\$ gap>A:=[\:]; $\\$ [\:] $\\$ for\:i\:in[1\cdot\cdot5616]do\:if\:Size(b[i])=6\:then\:Add(A,b[i]);fi;od; $\\$ gao>Size(A); $\\$ 936 $\\$ Size(Set(A)); $\\$ 468 $\\$ gap>B:=[\:]; $\\$ [\:] $\\$ for\:i\:in[1\cdot\cdot5616]do\:if\:Size(b[i])=8\:then\:Add(B,b[i]);fi;od; $\\$ gap>Size(B); $\\$ 2106$\\$ Size(Set(B)); $\\$ 351 $\\$ gap>C:=[\:]; $\\$ [\:] $\\$ for\:i\:in[1\cdot\cdot5616]do\:if\:Size(b[i])=9\:then\:Add(C,b[i]);fi;od; $\\$ gao>Size(C); $\\$ 624 $\\$ Size(Set(C)); $\\$ 104$\\$ gap>D:=[\:]; $\\$ [\:] $\\$ for\:i\:in[1\cdot\cdot5616]do\:if\:Size(b[i])=13\:then\:Add(D,b[i]);fi;od; $\\$ gap>Size(D); $\\$ 1728 $\\$ Size(Set(D)); $\\$144 $\\$ A1:=[\:]; $\\$ [\:] $\\$gap>for\: i\:in[1\cdot\cdot936]do\:if\:IsCyclic(A[i])=true\: then\:Add(A1,A[i]);fi;od; $\\$ gap>A=A1; $\\$true $\\$B 1:=[\:]; $\\$ [\:] $\\$gap>for\: i\:in[1\cdot\cdot2106]do\:if\:IsCyclic(B[i])=true\: then\:Add(B1,B[i]);fi;od; $\\$ gap>B=B1; $\\$true $\\$ C1:=[\:]; $\\$ [\:] $\\$gap>for\: i\:in[1\cdot\cdot624]do\:if\:IsCyclic(C[i])=true\: then\:Add(C1,C[i]);fi;od; $\\$ gap>C=C1; $\\$false $\\$ D1:=[\:]; $\\$ [\:] $\\$gap>for\: i\:in[1\cdot\cdot1728]do\:if\:IsCyclic(D[i])=true\: then\:Add(D1,D[i]);fi;od; $\\$ gap>D=D1; $\\$true $\\$ gap>A2:=Union(A);; $\\$ gap>B2:=Union(B);; $\\$ gap>C2:=Union(C);; $\\$ gap>D2:=Union(D);; $\\$ gap>H:=Union(A2,B2,C2,D2);; $\\$ gap>H=G; $\\$ true $ \end{flushleft} \end{theorem} \begin{remark} اگر$ G=PSL(3,3) $ باشد.هر خوشه از گراف غیر جابجا از$ G $ را نمی توان به یک خوشه ماکزیمم توسعه داد.زیرا دو عنصر متمایز $ x_{1},x_{2} \in X $ موجودند. \\به طوری که$ C_{G}(x_{1}) \cap C_{G}(x_{2}) $ شامل عضو غیر بدیهی $ a $ است.حال $ \lbrace a \rbrace $ را نمی توان به یک خوشه ماکزیمم توسعه داد. به عبارت دیگر به آسانی قابل مشاهده است که هر خوشه شامل عناصری از مرتبه های$ \lbrace 6,8,13\rbrace $ را می توان به یک خوشه ماکزیمم توسعه داد. \end{remark} \chapter{ زیر مجموعه های ماکزیمال در گروه های خطی عمومی از درجه $ 3 $که عناصر آن دوبه دو جابجا نمی شوند } \\ در مرجع $ \cite{abdollahi 1} $ نشان داده شد که $ \omega(GL(2,q))=q^{2}+q+1 $ است . پس هدف اصلی این فصل، تعداد عناصر از زیر مجموعه های ماکزیمال از اعضای دو به دو غیر جابجا شونده درگروه های خطی عمومی از درجه $ 3 $ یعنی$ \omega(GL(3,q)) $ رابرای$ q $ دلخواه تعیین می کنیم. برای این منظور ما ابتدا عضوهای مولد سینگر،مولد شبه سینگرو$ p $ -عضوها از گروه$ GL(3,q) $ را معرفی کرده سپس عددخوشه ای آنها را بدست می آوریم ودر نهایت عدد خوشه ای $ GL(3,q) $ راکه تابعی بر حسب$ q $ است را بدست می آوریم. همچنین کران پایینی برای عدد خوشه ای$ GL(n,q) $ حدس می زنیم. \section{\large اعضای دوبه دو غیر جابجا از$ GL(3,q) $ } در این بخش ما بزرگترین زیرمجموعه ازعضو های دو به دو غیرجابجاشونده در$ GL(3,q) $ رامشخص می کنیم. برای این هدف عضوهای مولدسینگرومولدشبه سینگررا معرفی می کنیم. \begin{lemma} اگر $ N $ یک زیر مجموعه از اعضای دو به دو غیر جابجاشونده ازگروه$ G $ باشد. \\فرض کنیم$ g\in G $ به طوری که$ C_{G}(g) $ آبلی است. در این صورت $ N\cup \lbrace g\rbrace $ یک مجموعه از اعضای دو به دو غیر جابجاشونده است یا $ x \in N\cap C_{G}(g) $ مو جود است به طوری که$( N\setminus \lbrace x\rbrace)\cup \lbrace g\rbrace$ یک مجموعه از اعضای دو به دو غیرجابجاشونده است.\\ \textbf{برهان} :چون$ C_{G}(g) $ آبلی است. پس$ \mid N\cap C_{G}(g) \mid \leqslant 1 $. اگر$ N\cap C_{G}(g)=\varnothing $ باشددر این صورت برای هر$ x \in N $ ، $ xg\neq gx $ .بنابراین $ N\cup \lbrace g\rbrace $ یک مجموعه از اعضای دو به دو غیرجابجاشونده است. همچنین فرض کنیم$x\in N\cap C_{G}(g) $ باشد نشان می دهیم که $( N\setminus \lbrace x\rbrace)\cup \lbrace g\rbrace$ یک مجموعه از اعضای دو به دو غیر جابجاشونده است. فرض کنیم$ b,a $ اعضای متمایزی از$( N\setminus \lbrace x\rbrace)\cup \lbrace g\rbrace$ است به طوری که$ ab=ba $ باشد.\\ $ N\setminus \lbrace x\rbrace $ شامل یک مجموعه از اعضای دوبه دو غیر جابجا است.پس فرض کنیم$ a\in N\setminus \lbrace x \rbrace $ و$ b=g $ .که نتیجه می گیریم$ ag=ga\Longrightarrow a\in C_{G}(g) $ .که در این صورت$ N\cap C_{G}(g) $ شامل$ a $ و$ x $ است . که یک تناقض است. \end{lemma} \begin{lemma} \begin{equation*} \omega (GL(3,q))=\left\{\begin{array}{cc} 57&q=2\text{ اگر}\\ 1067&q=3\text{ اگر} \end{array}\right. \end{equation*} \textbf{برهان} :ما داریم$ GL(3,2)\cong PSL(2,7) $ .زیرا : \begin{flushleft} $\mid GL(3,2)\mid=(2^{3}-1)(2^{3}-2)(2^{3}-2^{2})=168,GL(3,2)=SL(3,2)$ \\ $,Z(SL(3,2))=\lbrace \alpha I: \alpha\neq 0,\alpha^{3}=1\rbrace =\lbrace I\rbrace \Longrightarrow GL(3,2)=SL(3,2)\cong PSL(3,2) $ \end{flushleft} وبنابر نتیجه$ 10\cdot2\cdot1 $ هر گروه ساده از مرتبه$ 168 $ با$ PSL(2,7) $ یکریخت است. یعنی\\$ GL(3,2)\cong PSL(3,2)\cong PSL(2,7) $ و بنا بر لم$ 1\cdot 2\cdot 2 $ ،\\$ \omega(PSL(2,7))=7^{2}+7+1=57 $ .\\ فرض کنیم$ G=GL(3,3) $ باشد. با بکار بردن محاسبا ت در مرجع$ \cite{gap} $ ومشابه قضیه$ 3\cdot3\cdot3 $در فصل قبل داریم که مجموعه ی مرتبه های عناصر از$ G $ ،$ \lbrace 1,2,3,4,6,8,13,26 \rbrace $ است. واگر \begin{flushleft} $ A=\lbrace C_{G}(g)\mid g\in G, \mid C_{G}(g)\mid=12\rbrace ,B =\lbrace C_{G}(g)\mid g\in G, \mid C_{G}(g)\mid=16\rbrace$\\ $ C=\lbrace C_{G}(g)\mid g\in G, \mid C_{G}(g)\mid=18\rbrace, D=\lbrace C_{G}(g)\mid g\in G, \mid C_{G}(g)\mid=26\rbrace $ \end{flushleft} در این صورت$ \mid C \mid=104 ,\mid B \mid=351 ,\mid A \mid=468 $ و$ \mid D\mid=144 $ . ازآن نتیجه می گیریم که عناصر$ a_{i},b_{j},c_{k},d_{l} \in G $ موجودند به طوری که برای$ 1\leqslant i \leqslant 468 $ ،$\mid C_{G}(a_{i}) \mid=12 $ ،$ \\ $ برای$ 1\leqslant j \leqslant 351$ ،$\mid C_{G}(b_{j}) \mid=16 $ ، برای$ 1\leqslant k \leqslant 104 $ ،$\mid C_{G}(c_{k}) \mid=18 $ ،$ \\ $و برای$ 1\leqslant l \leqslant 144 $ ،$\mid C_{G}(d_{l}) \mid=26$.\\ ومجموعه\\$ X=\lbrace a_{i},b_{j},c_{k},d_{l}:1\leqslant i \leqslant 468,1\leqslant j \leqslant 351,1\leqslant k \leqslant 104,1\leqslant l \leqslant 144 \rbrace $ را در نظر می گیریم. حال هر زیر گروه در$ A\cup B \cup C \cup D $ آبلی است و$ G=\bigcup _{x\in X}C_{G}(x) $ .\\ نشان می دهیم$ X $ یک زیر مجموعه از اعضای دو به دو غیر جابجاشونده و$ \omega(G)=\mid X \mid $ است.\\ فرض کنیم$ x,y \in X $ و$ x\neq y $ به طوری که$ xy=yx $ است. دراین صورت$a, x\in C_{G}(y) $ چون$ C_{G}(y) $ آبلی است پس \begin{flushleft} $ax=xa\Longrightarrow a\in C_{G}(x)\Longrightarrow C_{G}(y)\subseteq C_{G}(x) $ \end{flushleft} است و بطو ر مشابه$ C_{G}(x)\subseteq C_{G}(y) $ است وبنا براین $ C_{G}(x)=C_{G}(y) $ که یک تناقض است. بنا بر این$ X $ یک زیر مجموعه از اعضای دو به دو غیر جابجا است ودر نتیجه$\mid X\mid \leqslant \omega(G) $ . \\ از طرف دیگر فر ض می کنیم$ N $ یک مجموعه ازاعضای دوبه دوغیرجابجاشونده از$ G $ و$ \omega(G) $ اندازه آن باشد. در این صورت$ N\subseteq G=\bigcup_{x\in X}C_{G}(x) $ .برای هر$ a \in X $ ،$ C_{G}(a) $ آبلی است. \\وبنا بر این$ \mid N\cap C_{G}(a) \mid \leqslant 1 $ زیرا اگر$ \mid N\cap C_{G}(a)\mid \geqslant 2 $ آن گاه حداقل دو عضو$ c,b $ وجود دارند که $ b,c\in N\cap C_{G}(a) $ ، حال داریم : \begin{flushleft} $ b,c\in N\Longrightarrow bc\neq cb\;(*) $ \end{flushleft} و$ b,c\in C_{G}(a) $ و$ C_{G}(a) $ آبلی پس$ bc=cb $ که تناقض با$ (*) $ دارد. \begin{flushleft} $N=N\cap G=N\cap (\bigcup_{x\in X}C_{G}(x))=\bigcup_{x\in X}(N\cap C_{G}(x)),\mid N\cap C_{G}(a)\mid \leqslant 1\Longrightarrow$ \\ $\mid N\mid\leqslant \mid X \mid\Longrightarrow \omega(G) \leqslant \mid X \mid $ \end{flushleft} که نتیجه می گیریم$ \omega(G)= \mid X\mid $. بنابراین برهان کامل می شود. \end{lemma} \begin{remark} اعضای$ GL(3,q) $ را برای$ q=3 $ موردبررسی قرارداده ایم. حال برای $q $ دلخواه مورد بررسی قرار می دهیم. مشاهده می کنیم که پنج کلاس مزدوجی از عضوآبلی مرکز سازها در$ GL(3,q) $ و جود دارد.\\ فرض کنیم$ g\in GL(3,q) $ و$ V=\oplus_{f}V_{f} $ یک تجزیه اولیه از$ V $ بعنوان$ F $ -مدول باشد. جایی که مجموع روی همه چندجمله ایهای تحویل ناپذیر تکین$ f\in F[t] $ است. (لم$ 8\cdot10 $ وقضیه$ 7\cdot1 $ ازمرجع$ \cite{Hartely} $ را مشاهده کنید).\\ بنابر این هر$ V_{f} $ ،$ g $ -پایاست واگر$ V_{f}\neq0 $ در این صورت تحدید$ g\mid _{V_{f}} $ بتوی$ V_{f} $ برای برخی$ a_{f}\geqslant1 $ چند جمله ای مشخصه$ f^{a_{f}} $ دارد. حال ما حالات ممکن را بر می شمریم:\\ $ (i) $ \;چند جمله ای مینیمال $ g $ تحویل ناپذیراست و $ V=V_{f} $یعنی \begin{flushleft} $ p(x)\mid f_{g}(x),deg\: f_{g}(x)=3\Longrightarrow p(x)=f_{g}(x)=(x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0})^{1}\Longrightarrow a_{f}=1 .$ \end{flushleft} \\$ (ii) $ \;$ V=V_{f_{1}}\oplus V_{f_{2}} $ یعنی \begin{flushleft} $ p=f_{1}f_{2},deg\: f_{1}=1,deg \:f_{2}=2\Longrightarrow deg\: f_{g}(x)=3\Longrightarrow p(x)=f_{g}(x)=(x-a_{0})(x^{2}+b_{1}x+b_{0}) .$ \end{flushleft} .\\$ (iii) $ \;$ V=V_{f_{1}}\oplus V_{f_{2}} \oplus V_{f_{3}} $ یعنی \begin{flushleft} $ p=f_{1}f_{2}f_{3},deg\:f_{1}=deg\:f_{2}=deg\:f_{3}=1\Longrightarrow deg\:f_{g}(x)=3\Longrightarrow a_{f_{1}}=a_{f_{2}}=a_{f_{3}}=1\Longrightarrow p(x)=f_{g}(x)=(x-a_{1})(x-a_{2})(x-a_{3})\; i=1,2,3 ,\:a_{i}\neq 0 . $ \end{flushleft} \\$ (iv) $\;$ V=V_{f_{1}}\oplus V_{f_{2}} $ یعنی \begin{flushleft} $ p=f_{1}f_{2},deg\:f_{1}=deg\:f_{2}=1\Longrightarrow deg\:f_{g}(x)=3\Longrightarrow a_{f_{1}}=1,a_{f_{2}}=2,f_{g}(x)=f_{1}f_{2}$ \end{flushleft} بنابراین$ f_{1}(t)=t-\mu $ و$ f_{2}(t)=t-\lambda $ جایی که$ \lambda \neq \mu $ .دو عمل ممکن از$ g $ روی$ V $ وجود دارد. در نتیجهً$ g $ متشابه بایکی ازماتریس های زیراست. \begin{center} $ A_{2}=\left( \begin{array}{ccc} \lambda&0 & 0 \\ 0& \lambda& 0 \\ 0& 0 &\mu \end{array}\right)$\qquad$ A_{1}=\left( \begin{array}{ccc} \lambda & 1 &0 \\ 0& \lambda & 0\\ 0 & 0 & \mu \end{array}\right) $ \end{center} جا یی که$ \lambda\neq0,\lambda\neq \mu $ و$ \mu\neq 0 $ .\\$ (a) $\;$ g $ متشابه با$ A_{1} $ یعنی \begin{flushleft} $ g=A^{-1}A_{1}A\Longrightarrow C_{G}(g)=A^{-1}C_{G}(A_{1})A\Longrightarrow C_{G}(g)\cong C_{G}(A_{1})\Longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ h&i & l \end{array}\right) \left( \begin{array}{ccc} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 &\mu \end{array}\right) =\left( \begin{array}{ccc} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda &0 \\ 0 & 0 & \mu \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ h & i & l \end{array}\right) \Longleftrightarrow\left( \begin{array}{ccc} a\lambda &a+b\lambda &c\mu \\ d\lambda &d+e\lambda &f\mu \\ h\lambda &h+i\lambda &l\mu \end{array}\right) =\left( \begin{array}{ccc} a\lambda+d& b\lambda+e & c\lambda+f\\ \lambda d &\lambda e &\lambda f \\ \mu h & \mu i & \mu l \end{array} \right)\Longleftrightarrow $ \\ $d=f=c=h=i=0,a=e\Longrightarrow\left( \begin{array}{ccc} a & b &c \\ d & e & f\\ h & i & l \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} a & b& 0 \\ 0 & a & 0\\ 0& 0 & l \end{array}\right) $ \end{flushleft} از مرتبه$ q(q-1)^{2} $ زیرا برای هر$ l\neq 0,a\neq 0 $ ،$q-1 $ انتخاب وبرای$ b $ دقیقاً$ q $ انتخاب وجود داردودر نتیجه$ \mid C_{G}(A_{1})\mid = q(q-1)^{2} $ و$ C_{G}(A_{1}) $ آبلی است زیرا: \begin{flushleft} $ \left( \begin{array}{ccc} a & b &0 \\ 0 &a & 0 \\ 0 & 0 &l \end{array}\right) \left( \begin{array}{ccc} a_{1} &b_{1} &0 \\ 0 &a_{1} &0 \\ 0 &0 & l_{1} \end{array}\right) =\left( \begin{array}{ccc} a_{1} & b_{1} & 0 \\ 0 & a_{1} & 0 \\ 0 & 0 & l_{1} \end{array}\right) \left( \begin{array}{ccc} a& b & 0 \\ 0 &a &0 \\ 0 & 0 &l \end{array}\right) \Longleftrightarrow\left( \begin{array}{ccc} aa_{1} &ab_{1}+ba_{1} & 0 \\ 0 & aa_{1} & 0 \\ 0 & 0 & ll_{1} \end{array}\right) =\left( \begin{array}{ccc} a_{1}a &a_{1}b+b_{1}a & 0 \\ 0 &a_{1}a & 0 \\ 0 &0 & ll_{1} \end{array} \right) $ \end{flushleft} پس$ g $ متشابه با$ A_{1} $ و $ C_{GL(3,q)}(g) $ آبلی از مرتبه $ q(q-1)^{2} $ و شامل ماتریس هایی به شکل زیر است. \begin{center} $ A=\left( \begin{array}{ccc} \alpha & \beta & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 0 & \gamma \end{array}\right) $ \end{center} با$ \alpha\neq 0 $ و$ \gamma\neq 0 $ .\\$ (b) $\;$ g $ متشابه با$ A_{2} $ و$ C_{GL(3,q)}(g)\cong GL(2,q)\times GL(1,q) $ غیر آبلی از مرتبه$ q(q^{2}-1)(q-1)^{2} $ است.بعلاوه هرعضو از این مرکز سازهای$ g $ یک عضو از نوع$ (ii) $ است.\\$ (v) $ \;$ a_{f}=3,deg f=1 $ وبرای هر$ \lambda \neq 0 $ ،$ f(t)=t-\lambda $ .سه عمل ممکن از$ g $ روی $ V $ وجود دارد.که درنتیجه $ g $ متشابه با یکی از ماتریس های زیر است. \begin{center} $ B_{3}=\left( \begin{array}{ccc} \lambda & 0 &0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{array}\right) $\quad$ B_{2}=\left( \begin{array}{ccc} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 &\lambda \end{array}\right) $\quad$ B_{1}=\left( \begin{array}{ccc} \lambda &1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{array}\right) $ \end{center} $ (a) $\;$ g $ متشابه با$ B_{1} $ ،و$ C_{GL(3,q)} (g)$ آبلی از مرتبه$ q^{2}(q-1) $ است. زیرا :\\ \begin{flushleft} $ g=B^{-1}B_{1}B\Longrightarrow C_{G}(g)=B^{-1}C_{G}(B_{1})B\Longrightarrow C_{G}(g)\cong C_{G}(B_{1}) \Longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e &f \\ h & i &l \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \lambda & 1 & 0 \\ 0 &\lambda &1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} \lambda & 1 & 0\\ 0 &\lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a& b &c \\ d & e & f \\ h &i & l \end{array}\right) \Longleftrightarrow \left( \begin{array}{ccc} a\lambda &a+b\lambda & b+c\lambda \\ d\lambda & d+c\lambda & e+f\lambda \\ h\lambda &h+i\lambda &i+l\lambda \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} a\lambda+d & b\lambda+e &c\lambda+f \\ d\lambda+h & e\lambda+i &f\lambda+l \\ h\lambda & i\lambda & l\lambda \end{array} \right) \Longrightarrow$ \\ $ d=h=i=0,a=e=l,b=f\Longrightarrow\left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d& e & f \\ h &i & l \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ 0& a & b \\ 0 & 0 & a \end{array}\right) $ \end{flushleft} پس$ g $ متشابه با$ B_{1} $ واز مرتبه$ q^{2}(q-1) $ است.حال نشان می دهیم$ C_{GL(3,q)}(g) $ آبلی است. \begin{flushleft} $ \left( \begin{array}{ccc} a_{1} &b_{1} &c_{1} \\ 0 &a_{1} & b_{1} \\ 0 & 0 &a_{1} \end{array}\right) \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ 0 &a &b \\ 0 & 0 & a \end{array}\right)= \left( \begin{array}{ccc} a &b &c \\ 0& a &b \\ 0 & 0 & b \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{1} &b_{1} & c_{1} \\ 0 & a_{1} & b_{1} \\ 0 &0 &a_{1} \end{array}\right) \Longrightarrow\left( \begin{array}{ccc} a_{1}a&a_{1}b+b_{1}a &a_{1}c+b_{1}b+c_{1}a \\ 0 &aa_{1} &a_{1}b+b_{1}a \\ 0 & 0 & a_{1}a \end{array}\right) =\left( \begin{array}{ccc} aa_{1} & ab_{1}+ba_{1} &ac_{1}+bb_{1}+ca_{1} \\ 0 &aa_{1} &ab_{1}+ba_{1} \\ 0 &0 &aa_{1} \end{array}\right) $ \end{flushleft} $ (b) $\;$ g $ متشابه با$ B_{2} $ و$ C_{GL(3, q)}(g) $ غیر آبلی از مرتبه$ q^{3}(q-1)^{2} $ است.بعلاوه هر عضو از این مرکز سازها ازنوع$ iv(a) $ است.برای مثال$ B_{2} $ مرکز ساز ماتریس$ A_{2} $ است.\\ $ (c) $\;$ g $ متشابه با$ B_{3} $ با مرکز یساز غیر آبلی$ GL(3,q) $ است بخصوص$ g $ مر کزیساز هر عضو از$ GL(3,q) $ است. \end{remark} \begin{lemma} فر ض می کنیم$ G=GL(3,q) $ و$ I=\lbrace i,ii,iii,iv(a),v(a)\rbrace $ برای $ k\in I $\\ $ S(k)=\lbrace C_{GL(3,q)}(g):g \in k\rbrace $ است. در این صورت\\ $ (a) $\;$ G=\bigcup_{k\in I}(\bigcup_{X \in S (k)}X $ .\\ $ (b) $\;$ \omega(G)\leqslant \sum_{k\in I}\mid S(k)\mid $ .\\ \textbf{برهان} :قسمت$ (a) $ از بحث تذکربالا حاصل می شود. فرض کنیم$ N $ یک زیر مجموعه ماکزیمال از اعضای دوبه دو غیر جابجا از$ G $ ،$ \omega(G)=\mid N\mid$ باشد. فرض کنیم$ X\in \bigcup_{k\in I}S(k) $ .چون$ X $ آبلی است$ \mid N\cap X\mid\leqslant 1 $ وبنابر این$ \omega(G)=\mid N \mid \leqslant\sum _{k \in I}\mid S(k)\mid $ . \end{lemma} هر عضودر$ GL(3,q) $ یکی از اشکال لیست شده در تذکر$ 3\cdot1\cdot4 $ را دارد. در زیر مامولد سینگرها وشبه مولد سینگرها راتعریف می کنیم سپس ثابت می کنیم مرکز سازها آبلی هستند.\\ \begin{definition} الف)فرض کنیم$ g\in GL(n,q) $ جایی که$ q=p^{k} $ و$ p $ عدداول و$ \mid g \mid=q^{n}-1 $ باشد. دراین صورت$ $ رایک زیرگروه دوری سینگر از$ GL(n,q) $ گوییم.\\ ب)فرض کنیم$ V $ یک فضای برداری روی میدان متناهی$ F $ از بعد $ 3 $ باشد.\\و فرض کنیم$ \underline{n}=(n_{1},...,n_{k}) $ ،$ (1,2),(3)$ یا$ (1,1,1) $ باشد.$ V=V_{n_{1}}\oplus...\oplus V_{n_{k}} $ را یک\\ $ \underline{n} $ -تجزیه گوییم که برای $ i=1,2,...,k $ ،$ V_{n_{i}} $ یک زیر فضا از$ V $ از بعد$ n_{i} $ است.\\ ج)یک عضو$ g $ از$ GL(3,q) $ را یک مولد$ \underline{n} $ -سینگرگوییم اگر$ \underline{n} $ تجزیه $ V=V_{n_{1}}\oplus...\oplus V_{n_{k}} $ از$V $ موجود باشد به طوری که$ g=g_{n_{1}}g_{n_{2}}...g_{n_{k}} $ جایی که$ (i) $ برای هر$ i $ ،$ $ یک زیر گروه دوری سینگر از$ GL(V_{n_{i}}) $ است یا$ \underline{n}=(1,1,1) $ و$ g_{n_{1}} $ مقدار ویژه$ 1 $ داردو$ (ii) $ اگر$ n_{i}=n_{j} $ با$ i\neq j $ در این صورت$ c_{g_{n_{i}}}(t)\neq c_{g_{n_{j}}}(t) $ جایی که$ c_{g_{n_{i}}}(t) $ یک چند جمله ای مشخصه برای$ g_{n_{i}} $ روی $ V_{n_{i}} $ است. و$ \prod_{i=1}^{k} $ را چنبره$ \underline{n} $ -ماکزیمال متناظر با$ g $ می گوییم.یعنی:\\ ج$ 1 $ :\;$ g=g_{3},V=V_{3} $ ،و$ $ یک زیر گروه دوری سینگر از$ GL(V_{n_{3}}) $ و$ o(g_{3})=q^{3}-1 $ است.\\ ج$ 2 $ : \;$ g=g_{1}g_{2},V=V_{1}\oplus V_{2} $ ،$ g_{1} $ مقدار ویژه یک داردو$ , $ زیر گروه های دوری سینگر از$ GL(V_{n_{2}}),GL(V_{n_{1}}) $ و $ o(g_{2})=q^{2}-1,o(g_{1})=q-1 $است.\\ ج$ 3 $ :\;$ g=g_{1}g_{2}g_{3},V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus V_{3} $ و$ o(g_{1})=o(g_{2})=o(g_{3})=q-1 $چند جمله ایهای مشخصه$ g_{3},g_{2},g_{1} $ دو به دو متمایزندو$ g_{1} $ مقدار ویژه یک دارد.\\ د)یک عضو$ g $ از$ GL(3,q) $ را یک مولد$ (1,2) $ -شبه سینگر گوییم هرگاه یک\\$ (1,2) $ -تجزیه$ V=V_{1}\oplus V_{2} $ وعناصر متمایز اولیه$ \alpha,\beta \in F $ موجود باشند به طوری که$ g=g_{1}g_{2} $ جایی که$ g_{1}\in GL(V_{1}) $ با ضابطه$ v\mapsto \beta v $ و $ g_{2}\in GL(V_{2}) $ که متشابه با ماتریس$ \left( \begin{array}{cc} \alpha& 1 \\ 0 & \alpha \end{array} \right) $است. ما$ \times C_{GL(V_{2}})(g_{2}) $ را یک چنبره $ (1,2) $ -شبه ماکزیمال متناظر با$ g $ می گوییم. \end{definition} \begin{remark} توجه کنید$ GL(3,q) $ هیچ مولد$ (1,1,1) $ -سینگر ندارد مگر اینکه$ q\geqslant 4 $ باشد. وهیچ مولد $ (1,2) $ شبه سینگر ندارد مگر اینکه$ q\geqslant3 $ باشد. \end{remark} \begin{lemma} فرض کنیم$ G=GL(3,q) $ جایی که$ q=p^{k}\geqslant 4 $ .\\ الف)فرض کنیم$ g \in G $ یک مولد $ \underline{n} $ -سینگر،جایی که$ \underline{n}=(n_{1},...,n_{k}) $ ،$ (1,2),(3) $ یا$ (1,1,1) $ است. در این صورت$ C_{G}(g)=\prod_{i=1}^{k} \in S(k)$ که برای$ k=(i),(ii),(iii) $ یک زیر گروه از مرتبه$ \prod_{i=1}^{k}(q^{n_{i}}-1) $ است. بخصوص$ p $ ، $ \mid C_{G}(g) \mid $ را نمی شمرد.\\ ب)فرض کنیم$ g=g_{1}g_{2}\in G $ یک مولد$ (1,2) $ -شبه سینگر مربوط به$ V=V_{1}\oplus V_{2} $ باشد. در این صورت$ C_{G}(g)=\times B $ جایی که$ B=C_{GL(V_{2})}(g_{2})=Z_{q}.Z_{q-1}\in S(iv(a)) $ ومتشابه با$ \left\lbrace \left( \begin{array}{cc} \alpha& \beta \\ 0 & \alpha \end{array} \right) \mid \alpha ,\beta \in F ,\alpha \neq 0\right\rbrace $ است. بعلاوه$ C_{G}(g) $ مرتبه$ q(q-1)^{2}$ دارد. وبرای هر$ \underline{n} $ ، یک مولد$ \underline{n} $ -سینگر را شامل نمی شود.\\ \textbf{برهان} :الف فرض کنیم$ V $ یک فضای برداری$ 3 $ -بعدی روی یک میدان متناهی $ F $ با اندازه$ q $ باشد. همچنین بنا برتعریف$ 5\cdot1\cdot4 $ ما یکی از حالات زیررا داریم:\\ ($ 1 $) اگر$ g $ یک مولد$ (3) $ -سینگر از$ G $ باشد در این صورت$ g=g_{3} $ . همچنین بنابر$ 7\cdot3 $ از مرجع$ \cite{Huppert 1} $ $ C_{G}(g)=\in S (i) $ از مرتبه$ q^{3}-1 $ است.\\ ( $ 2 $) اگر$ g $ یک مولد$ (1,2) $ -سینگر از$ G $ باشددر این صورت بنابر تعریف$ 5\cdot1\cdot4 $ یک$ g $ -پایا،\\$ (1,2) $ -تجزیه$ V=V_{1}\oplus V_{2} $ موجود است به طوری که برای هر$ i=1,2 $،$ g\mid _{V_{i}}=g_{i} $ یعنی \begin{flushleft} $ g=g_{1}g_{2}:V_{1}\oplus V_{2}\longrightarrow V_{1}\oplus V_{2}\;,g_{1}\in GL(1,q)\;,o(g_{1})=q-1\;$ \\ $g_{2}\in GL(2,q)\;o(g_{2})=q^{2}-1\;,g_{1}=g\mid_{V_{1}}:V_{1}\longrightarrow V_{1}\;,g_{1}\mid _{V_{2}}=i\; $ \\$g_{2}=g\mid _{V_{2}}:V_{2}\longrightarrow V_{2}\;,g_{2}\mid V_{1}=i\; ,g(V_{1})=V_{1}\;,g(V_{2})=V_{2}$\\$ g_{1}=g\mid V_{2}=\left( \begin{array}{ccc} \alpha &0 &0 \\ 0& 1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{array}\right) ,g_{2}=g\mid V_{1}=\left( \begin{array}{ccc} 1 &0 &0 \\ 0 & \alpha &\beta \\ 0 & \gamma& \delta \end{array} \right),$ \\ $ [g]_{B}=\left( \begin{array}{cc} [g_{1}]_{B_{1}} &0 \\ 0&[g_{2}]_{B_{2}} \end{array} \right) $ \end{flushleft} و $ Z_{q-1}\times Z_{q^{2}-1}\cong \times\subseteq C_{G}(g)$ ،$ g_{1}g_{2}=g_{2}g_{1} $ زیرا : \begin{flushleft} $g_{1}g_{2}(V_{1}+V_{2})=g_{1}g_{2}(V_{1})+g_{1}g_{2}(V_{2})=g_{1}(V_{1})+g_{1}(V_{2}) $\\ $g_{2}g_{1}(V_{1}+V_{2})=g_{2}(g_{1}(V_{1}))+g_{2}g_{1}(V_{2})=g_{1}(V_{1})+g_{1}(V_{2})\Longrightarrow g_{1}g_{2}=g_{2}g_{1} $\\$ x=(g_{1}^{k_{1}},g_{2}^{k_{2}})\in \times\;,g=g_{1}g_{2}\Longrightarrow xg=gx $ \end{flushleft} زیرا : \begin{flushleft} $ xg=(g_{1}^{k_{1}},g_{2}^{k_{2}})(g_{1}g_{2})=(g_{1}^{k_{1}}g_{1}g_{2},g_{2}^{k_{2}}g_{1}g_{2})=(g_{1}^{k_{1}+1}g_{2},g_{2}^{k_{2}+1}g_{1}) $\\ $ gx=((g_{1}g_{2})(g_{1}^{k_{1}},g_{2}^{k_{2}})=(g_{1}g_{2}g_{1}^{k_{1}},g_{1}g_{2}g_{2}^{k_{2}})=(g_{2}g_{1}^{k_{1}+1},g_{1}g_{2}^{k_{2}+1}),g_{1}g_{2}=g_{2}g_{1}\Longrightarrow xg=gx\Longrightarrow x\in C_{G}(g)\Longrightarrow \times\subseteq C_{G}(g_{1})\times C_{G}(g_{2})=C_{G}(g)$ \end{flushleft} فر ض می کنیم $ h\in C_{G}(g) $ پس$ hg=gh $ و$ g $ پایاو تجزیه$ V=V_{1}\oplus V_{2} $ با $ dim\:V_{2}=2,dim\:V_{1}=1 $ یکتا است و \begin{flushleft} $ V^{h}=h(V)=h(V_{1}\oplus V_{2})=h(V_{1})\oplus h(V_{2})$\\ $( V_{i}^{h})^{g}=V_{i}^{hgh^{-1}h}=(V_{i}^{hgh^{-1}})^{h}=(V_{i}^{g})^{h}=V_{i}^{h}\;,i=1,2\quad V=V_{1}\oplus V_{2}=V_{1}^{h}\oplus V_{2}^{h}\Longrightarrow i=1,2\quad V_{i}^{h}=V_{i}\Longrightarrow \exists\;h_{1}\in GL(V_{1})\;,h_{2}\in GL(V_{2}):h=h_{1}h_{2} $ \end{flushleft} حال برای$ i=1,2 $ ،$ gh=hg $ اگر وفقط اگر$ g_{i}h_{i}=h_{i}g_{i} $ زیرا: \begin{flushleft} $ g_{1},h_{1}:V_{1}\longrightarrow V_{1}\quad V_{1}^{h}=V_{1}\quad g_{1},h_{1}\mid_{V_{2}} =i\quad g_{2},h_{2}:V_{2}\longrightarrow V_{2}\quad $ \\ $V_{2}^{h}=V_{2}\quad g_{2},h_{2}\mid_{V_{1}} =i$\\ $ g=g_{1}g_{2},h=h_{1}h_{2},gh=hg\Longrightarrow g_{1}g_{2}h_{1}h_{2}=h_{1}h_{2}g_{1}g_{2}\Longrightarrow g_{1}g_{2}h_{1}h_{2}(V_{1})=h_{1}h_{2}g_{1}g_{2}(V_{1})\Longrightarrow g_{1}g_{2}h_{1}(V_{1})=h_{1}h_{2}g_{1}(V_{1})\Longrightarrow g_{1}(g_{2}(h_{1}(V_{1})))=h_{1}(h_{2}(g_{1}(V_{1})))\Longrightarrow g_{1}h_{1}(V_{1})=h_{1}g_{1}(V_{1})\Longrightarrow g_{1}h_{1}=h_{1}g_{1}$ \end{flushleft} برای $ i=2 $ نیز به همین صورت می باشد. وبرای بالعکس ثابت می کنیم \begin{flushleft} $ g_{1}h_{1}=h_{1}g_{1},g_{2}h_{2}=h_{2}g_{2}\Longrightarrow gh=hg$\\ $ gh=(g_{1}g_{2})(h_{1}h_{2})=g_{1}(g_{2}h_{1})h_{2}=g_{1}(h_{1}g_{2})h_{2}=(h_{1}g_{1})(g_{2}h_{2})=( h_{1}g_{1})(h_{2}g_{2})=h_{1}(g_{1}h_{2})g_{2}=(h_{1}(h_{2})(g_{1})g_{2})=hg$\\ \end{flushleft} ونیز \begin{flushleft} $( h_{1}g_{1}=g_{1}h_{1}\Longrightarrow h_{1}\in C_{G}(g_{1}) )\quad ( h_{2}g_{2}=g_{2}h_{2}\Longrightarrow h_{2}\in C_{G}(g_{2}) )\Longrightarrow (h_{1},h_{2})\in C_{G}(g_{1})\times C_{G}(g_{2})=\times$ \end{flushleft} برای$ i=1,2 $ داریم: \begin{flushleft} $ h_{i}g_{i}=h_{i}g_{i}\Longrightarrow h_{i}\in C_{GL(V_{i}})(g_{i})=\Longrightarrow h\in \times $ \end{flushleft} بنابر این$ C_{G}(g)=\prod_{i=1}^{2}\in S(ii) $ که از مرتبه$ (q-1)(q^{2}-1) $ است.\\$ (3) $ اگر$ g=g_{1}g_{2}g_{3} $ یک مولد$ (1,1,1) $ -سینگر از$ G $ باشد در این صورت بنابر تعریف$ 5\cdot1\cdot4 $ ،یک$ g $ پایا و$ (1,1,1) $ -تجزیه$ V_{1}\oplus V_{2}\oplus V_{3}$ موجود است به طوری که$ g\mid _{V_{i}}=g_{i} $ ، $ =Z_{q-1} $ وچند جمله ایهای مشخصه از$ g_{2},g_{1} $ و$ g_{3} $ دو به دو متمایز هستند. همچنین$ g $ در$ GL(3,q) $ با یک ماتریس قطری که درایه های قطری آن دوبه دو متمایزند متشابه است. همانند روند قسمت دوم $ C_{G}(g)=\prod_{i=1}^{3}\in S(iii) $ واز مرتبه$ (q-1)^{3} $ است.\\ ب:فر ض می کنیم$ g=g_{1}g_{2} $ و$ V=V_{1}\oplus V_{2} $ عنوان شده در تعریف$ 5\cdot1\cdot4 $ قسمت (د) باشد . در این صورت$ C_{G}(g) $ وهر دو$ V_{2},V_{1} $ را پایا باقی گذاشته وبنایر این$ C_{G}(g)=\times B \in S(iv(a)) $ جایی که$ B=C_{GL(V_{2})}(g_{2}) $ است و$ B $ با،$ \left\lbrace \left( \begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ 0 &\alpha \end{array}\right) :\alpha,\beta \in F,\alpha \neq 0\right\rbrace $ متشابه است . زیرا : \begin{flushleft} $C_{G}(g_{2})= \left\lbrace A=\left( \begin{array}{cc} x & y \\ z & t \end{array}\right) \in GL(2, q):Ag_{2}=g_{2}A\right\rbrace $ \end{flushleft} پس داریم : \begin{flushleft} $ \left( \begin{array}{cc} x&y \\ z & t \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \alpha &1 \\ 0& \alpha \end{array}\right) =\left( \begin{array}{cc} \alpha& 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} x & y\\ z &t \end{array}\right) \Longrightarrow\left( \begin{array}{cc} \alpha x & x+\alpha y \\ z\alpha& z+t\alpha \end{array}\right) =\left( \begin{array}{cc} \alpha x+z &\alpha y+t \\ \alpha z&\alpha t \end{array} \right) \Longrightarrow z=0,x=t\Longrightarrow \left( \begin{array}{cc} x&y \\ z & t \end{array}\right) =\left( \begin{array}{cc} x& y \\ 0 & x \end{array} \right) $ \end{flushleft} ونیز$ C_{G}(g)=C_{G}(g_{1})\times C_{G}(g_{2})=\times B $ پس$ \mid C_{G}(g) \mid= q(q-1)^{2} $ وبخصوص$ q(q-1)^{2} $ بر$ q^{3}-1 $ یا$ q^{2}-1 $ بخش پذیر نیست. ولذا $ C_{G}(g) $ یک مولد$ \underline{n} $ -سینگر برای$ (1,2) $ یا$ \underline{n}=(3) $ را شامل نمی شود.ونیز چون هر عضو از$ C_{G}(g) $ حداکثر دو مقدار ویژه متمایز دارد پس $ C_{G}(g) $ یک مولد$ (1,1,1) $ سینگر را شامل نمی شود. وبدین ترتیب برهان کامل می شود. \end{lemma} \begin{lemma} فرض می کنیم$ G=GL(3,q) $ جایی که$ q=p^{k}\geqslant 4 $ است. ونیز فر ض می کنیم$ u,z,y,x $ یک مولد $ (3) $ - سینگر،مولد$ (1,2) $ - سینگر،مولد$ (1,1,1) $ -سینگرو ومولد$ (1,2) $ شبه سینگر از$ G $ باشند. در این صورت$ \lbrace x,y,z,u\rbrace $ دو به دو غیر جابجا شونده است.\\ \textbf{برهان} : فر ض می کنیم$ xw=wx$ جایی که $w\in \lbrace y,z,u\rbrace $ است در این صورت$x\in C_{G}(w) $ \\. بنابراین $ q^{3}-1=\mid x \mid $ عاد می کند$ \mid C_{G}(g) \mid $ که یک تناقض است. زیرا بنا بر لم$ 7\cdot1\cdot4 $ داریم : \begin{flushleft} $ q^{3}-1\nmid (q-1)(q^{2}-1),(q-1)^{3},q(q-1)^{2}$ \end{flushleft} اگر$ yw=wy $ جایی که$ w\in \lbrace z,u\rbrace $ در این صورت$ y\in C_{G}(w) $ .بنابر این $ q^{2}-1=\mid y \mid $ عاد \\می کند $ \mid C_{G}(g) \mid $ که دو باره بنابر لم$ 7\cdot1\cdot4 $ یک تناقض است. وسر انجام اگر$ zu=uz $ در این صورت$ u\in C_{G}(Z) $ که$ \mid u \mid=p(q-1) $ و$ \mid C_{G}(Z) \mid =(q-1)^{2}$ که دو باره تناقض است. \end{lemma} \begin{lemma} فرض می کنیم$ N $ یک زیر مجموعه ماکزیمال از اعضای دوبه دو \\غیرجابجا$ G=GL(3,q) $ ، جایی که$ q\geqslant 4 $ باشد. و فرض کنیم$ \underline{n}=(n_{1},...,n_{k}) $ ،$ (3) $ ،$ (1,2) $ یا$ (1,1,1) $ و$ g $ یک مولد$ \underline{n} $ -سینگر یا یک مولد$ \underline{n} $ -شبه سینگر(اگر$ \underline{n}=(1,2) $ ) مربوط \\به$ \underline{n} $ -تجزیه$ V=V_{n_{1}}\oplus \cdot\cdot\cdot\oplus V_{n_{k}} $ جایی که$ dim\;V_{n_{i}}=n_{i} $ باشد . در این صورت$ N $ شامل یک عضو $ x\in C_{G}(g) $ است به طور ی که:\\ الف)$ (N\setminus \lbrace x \rbrace )\cup \lbrace g \rbrace $ یک زیر مجموعه ماکزیمال از اعضای دوبه دو غیر جابجا$ G $ است.\\ ب) اگر$ g $ یک مولد$ \underline{n} $ -سینگر است دراین صورت برای هر$ i $ ، $ x $ اعمال تحو یل ناپذیر روی$ V_{n_{i}} $ است.\\ ج)اگر$ g $ یک مولد$ (1,2) $ شبه سینگر است در این صورت$ p $ ،$ \mid x \mid $ را عاد می کند.\\ \textbf{برهان} :الف) بنا بر لم$ 7\cdot1\cdot4 $ ،$ C_{G}(g) $ آبلی است. زیرا حاصل ضرب مستقیم گروه های آبلی است. بنابر لم$ 1\cdot1\cdot4 $ از ماکزیمال بودن$ N $ نتیجه می گیریم که وجود دارد$ x\in N\cap C_{G}(g) $ بطوری که $N^{\prime}:=(N\setminus \lbrace x \rbrace )\cup \lbrace g \rbrace $ یک زیر مجموعه ماکزیمال از اعضا دو به دو غیر جابجا است (ممکن است$ b=g $ ) .\\ ب) فر ض می کنیم$ g=g_{1}\cdot\cdot\cdot g_{k} $ باشدو $ x $ در$ C_{G}(g)=\prod_{i=1}^{k} $ باشد. پس $ x=g_{1}^{a_{1}}\cdot\cdot\cdot g_{k}^{a_{k}} $ است. بدون از دست دادن کلیت فرض کنیم که$ g_{1}^{a_{1}} $ اعمال تحویل ناپذیر روی$ V_{n_{1}} $ باشد.چون بنابر لم بر$ 7\cdot1\cdot4 $ مرتبه از$ g_{1}^{a_{1}} $ بر$ p $ بخش پذیر نیست بنابر قضیه مشکه نتیجه می گیریم \\که$ V_{n_{1}}=U_{1}\oplus \cdot\cdot\cdot \oplus U_{t} $ جایی که$ t\geqslant 2 $ ،$ U_{i}\neq 0 $ و$ U_{i} $ ،$ g_{1}^{a_{1}} $ -پایا است.\\ فرض کنیم$ dim\; U_{i}=m_{i} $ است. در این صورت یک مولد $ (m_{1},\cdot\cdot\cdot,m_{t},n_{2},\cdot\cdot\cdot,n_{k}) $ - سینگر$ h $ برای یک چنبره ماکزیمال $ T=\times\cdot\cdot\cdot\times\times(\prod_{i=2}^{k}) $ شامل$ x $ مربوط به$( m_{1},\cdot\cdot\cdot,m_{t},n_{2},\cdot\cdot\cdot,n_{k}) $ -تجزیه زیر موجود است. \begin{center} $ V=(U_{1}\oplus\cdot\cdot\cdot\oplus U_{t})\oplus(V_{n_{2}}\oplus\cdot\cdot\cdot\oplus V_{n_{k}}) .$ \end{center} توجه کنید که$ x\in C_{G}(h)=T $ بنابر این$ T $ آبلی است. بنابر لم$ 1\cdot1\cdot4 $ ،$ y\in N^{\prime} $ موجود است به طوری که$ y\in C_{G}(h) $ و$( N^{\prime}\setminus \lbrace y\rbrace)\cup \lbrace h\rbrace $ یک مجموعه ماکزیمال دو به دو غیر جابجاشونده است.\\ اگر$ y=g $ در این صورت$ g_{1} $ (از مرتبه$ q^{n_{1}}-1 $ ) در$ C_{GL(V_{n_{1}}})(h\mid_{V_{n_{1}}})=\prod_{i=1}^{t} $ قرار \\می گیردکه یک تناقض است. زیرا :\\ \begin{flushleft} $ o(g_{1})=q^{n_{1}}-1\nmid (q^{m_{1}}-1)(q^{m_{2}}-1)...(q^{m_{t}}-1),n_{1}=m_{1}+m_{2}+...+m_{t}$ \end{flushleft} برای حالت$ n=m_{1}+m_{2} $ به برهان خلف ثابت می کنیم. \begin{flushleft} $ q^{m_{1}+m_{2}}-1\mid (q^{m_{1}}-1)(q^{m_{2}}-1)\Longrightarrow $ \\ $q^{m_{1}+m_{2}}-1 \mid q^{m_{1}+m_{2}}-q^{m_{1}}-q^{m_{2}}+1 ,q^{m_{1}+m_{2}}-1\mid q^{m_{1}+m_{2}}-1\Longrightarrow$ \\ $ q^{m_{1}+m_{2}}-1\mid q^{m_{1}}+q^{m_{2}}-2\Longrightarrow$ \\ $ q^{m_{1}+m_{2}}-1\leqslant q^{m_{1}}+q^{m_{2}}-2\leqslant q^{m_{1}}q^{m_{2}}-2=q^{m_{1}+m_{2}}-2\Longrightarrow -1\leqslant-2$ \end{flushleft} بنابر این$ y\neq g $ چون$ N $ غیر جابجا است پس \begin{flushleft} $ y\in N^{\prime}=(N-\lbrace x \rbrace)\cup \lbrace g\rbrace ,y\neq g\Longrightarrow y\in N-\lbrace x\rbrace \Longrightarrow$ \\ $ y\in N,x\in N ,x\neq y\Longrightarrow xy\neq yx \; (1)$ \end{flushleft} از طرفی$ x,y\in C_{G}(h) $ و$ C_{G}(h) $ آبلی است پس$ xy=yx $ که ای متناقض با$ (1) $ است.\\ ج) فرض کنیم$ g $ یک مولد$ (1,2) $- شبه سینگرباشد . و فرض کنیم که$ p $ ،$ \mid x\mid $ را عاد نکند. بنابرلم$ 7\cdot1\cdot4 $ نتیجه می گیریم که$ x=x_{1}x_{2} $ ،$ x_{1}\in GL(V_{1}) $ و $ x_{2}\in Z (GL(V_{2}) $ ا ست.\\ فرض می کنیم$ y^{\prime}_{2},y_{2} $ مولدهای سینگر در$ GL(V_{2}) $ باشند به طوری که$ \neq $ و فرض کنیم$ y=x_{1}y_{2} $ و$ y^{\prime}=x_{1}y^{\prime}_{2} $ . در این صورت$ y,y^{\prime}\in C_{G}(x) $ زیرا : \\$ x_{1} $ با$ x_{1} $ و$ x_{2} $ جابجا می شود پس$ x_{1} $ با$ x $ جابجا می شود.همچنین چون$ x_{2}\in Z(GL(V_{2})) $ ،پس $ y_{2} $ با$ x_{2} $ جابجا می شود و$ x_{1} $ روی$ V_{1} $ یک عملگر اسکالر است پس $ y_{2} $ با$ x_{1} $ نیز جابجا می شود. از اینرو$ y_{2} $ با$ x $ جابجا می شود. بنابر این$ x $ با$ y=x_{1}y_{2} $ جابجا می شود یعنی $ y\in C_{G}(x) $ . \\و$ yy^{\prime}\neq y^{\prime}y $ ،(چون$ \neq $) .\\ بنابر لم$ 1\cdot1\cdot4 $ و ماکزیمال بودن از$ N $ ،$ \mid N\cap C_{G}(x) \mid \leqslant 1$ پس$ x\in N\cap C_{G}(x) $ در این صورت$ N\cap C_{G}(x)=\lbrace x\rbrace $ وهمچنین$ y,y^{\prime}\notin N $ زیرا :\\ \begin{flushleft} $ y,y^{\prime}\in N \;,(y,y^{\prime}\in C_{G}(x))\Longrightarrow y,y^{\prime}\in N\cap C_{G}(x)\Longrightarrow y=y^{\prime}$ \end{flushleft} که تناقض است.دوباره لم$ 1\cdot1\cdot4 $ را بکار می بریم که ما بدست می آوریم که$ (N\setminus \lbrace x\rbrace )\cup\lbrace y\rbrace $ و $ (N\setminus \lbrace x\rbrace )\cup\lbrace y^{\prime}\rbrace $ هر دو دوبه دو غیر جابجا هستند پس نتیجه می گیریم که $ (N\setminus \lbrace x\rbrace )\cup\lbrace y,y^{\prime}\rbrace $ مجموعه دوبه دو غیر جابجا است که با ماکزیمال بودن$ N $ در تناقض است. بنابر این$ p $ ،$ \mid x \mid $ را عاد می کند. \end{lemma} \begin{lemma} فرض می کنیم$ G=GL(3,q) $ ،جایی که$ q=p^{k}\ > 2 $ و$ N_{3} $ شامل یک \\مولد$ (3) $ - سینگراز$ G $ متناظرباهرچنبره $ (3) $ - ماکزیمال از $ G $ باشد. دراین صورت$ N_{3} $ یک زیرمجموعه دوبه دو غیرجابجا، ازاندازه$ \mid S(i) \mid =\mid G \mid/(3(q^{3}-1)) $ است.\\ \textbf{برهان} :فرض می کنیم$ g,g^{\prime}\in N_{3} $ به طوری که$ gg^{\prime}=g^{\prime}g $ است. بنابرلم$ 7\cdot1\cdot4 $ ،$ C_{G}(g)= $ در این صورت \begin{flushleft} $ g^{\prime}\in C_{G}(g) ,C_{G}(g)=\Longrightarrow g^{\prime}\in ,g\in \Longrightarrow$ \\ $ \subseteq ,\subseteq \Longrightarrow =$ \end{flushleft} چون ازهر زیرگروه دوری سینگر یک نماینده انتخاب کرده ودر$ N_{3} $ می ریزیم حال اگرمتمایزباشند. بنابرتعریف از$ N_{3} $ جابجا می شوند که تناقض است پس$ g=g^{\prime} $ است. پس$ N_{3} $ یک زیر مجموعه از اعضای دوبه دو غیرجابجا است. وبنابر$ 7\cdot3 $ از مرجع$ \cite{Huppert 1} $ ،$ \mid N_{G}()\mid=3\mid g \mid=3(q^{3}-1) $ و بنابراین تعداد مزدوجهای$ $ برابر است با $ . \mid N_{3}\mid =\mid G:N_{G}()\mid =\mid G \mid /3(q^{3}-1) $ \end{lemma} \begin{lemma} فرض کنیم$ G=GL(3,q) $ جایی که$ q=p^{k}\ >2 $ و$ N_{12} $ شامل یک \\مولد$ (1,2) $ -سینگر از$ G $ متناظر باهر چنبره$ (1,2) $ -ماکزیمال از$ G $ باشد. در این صورت$ N_{12} $ یک زیر مجموعه از اعضای دوبه دو غیر جابجا از اندازه$ \mid S(ii) \mid=\mid G \mid /(2(q^{2}-1)(q-1)) $ است.\\ \textbf{برهان} :فر ض می کنیم$ V $ یک فضای برداری روی میدان متناهی$ F $ با بعد$ 3 $ ،$ \mid F \mid=q $ باشد. فرض می کنیم$ g $ و$ g^{\prime} $ مولدهای$ (1,2) $ -سینگر از$ G $ باشد به طوری که$ gg^{\prime}=g^{\prime}g $ . بنا بر تعریف$ 5\cdot1\cdot4 $ یک زیر فضای یک بعدی$ V_{1} $ ویک زیر فضای دو بعدی $ V_{2} $ از$ V $ موجود است به طوری که$ V=V_{1}\oplus V_{2} $ ،هر$ V_{i} $ ،$ g $ -پایا است و$ g=g_{1}g_{2} $ جایی که برای هر $ i=1,2 $ ،$ $ یک زیر گروه دوری سینگر از$ GL(V_{i}) $ است.\\ بطور مشابه برای$ g^{\prime} $ یک زیر فضای یک بعدی$ V^{\prime}_{1} $ ویک زیر فضای دو بعدی$ V^{\prime}_{2}$ از$ V $ موجود است به طوری که$ V=V^{\prime}_{1}\oplus V^{\prime}_{2}$ ،هر$ V^{\prime}_{i} $ ،$ g^{\prime} $ -پایاست و$ g^{\prime}=g^{\prime}_{1}g^{\prime}_{2} $ جایی که برای$ i=1,2 $ ،$ $ یک زیر گروه دوری سینگر از$ GL(V^{\prime}_{i}) $ است.\\ چون$gg^{\prime}=g^{\prime}g $ ،$a, g^{\prime}\in C_{G}(g) $ . بنا بر لم$ 7\cdot1\cdot4 $ ،$ C_{G}(g) $ و$ C_{G}(g^{\prime}) $ هر دو آبلی هستند. پس \begin{flushleft} $ ag^{\prime}=g^{\prime}a\Longrightarrow a\in C_{G}(g^{\prime})\Longrightarrow C_{G}(g)\subseteq C_{G}(g^{\prime})\Longrightarrow C_{G}(g)= C_{G}(g^{\prime}) $ \end{flushleft} نتیجه می گیریم که$ \times=\times $ یک چنبره $ (1,2) $ -ماکزیمال است. وبرای$ i=1,2 $ ،$ V_{i}=V^{\prime}_{i} $ است.\\ به هر حال$ N_{12} $ فقط شامل یک مولد از هر چنبره$ (1,2) $ -ماکزیمال از$ V $ است. بنابر این$ g=g^{\prime} $ . پس $ N_{12} $ یک زیر مجموعه از اعضای دوبه دو غیر جابجا است.\\ تعداد زیر فضا های یک بعدی از$ V $ که $ V_{2} $ را شامل نشودبنابر قضیه $16\cdot2\cdot1 $برابراست \\با$ (q^{3}-1)/(q-1)- (q^{2}-1)/(q-1) $ و تعداد زیر فضاهای دو بعدی از$ V $ برابر است \\با$ (q^{3}-1)/(q-1) $ همچنین تعداد زیر گروه های دوری سینگر از$ GL(V_{2}) $ \\$ \mid GL(2,q)\mid /(2(q^{2}-1)) $ است.زیرا : \begin{flushleft} $ o(g)=q^{2}-1,N()=2\mid g\mid=2(q^{2}-1)\Longrightarrow [G:N()]=\dfrac{\mid GL(2,q)\mid}{2(q^{2}-1)}$ \end{flushleft} در نتیجه چون \begin{flushleft} $ \mid N_{13}\mid=\left( \dfrac{q^{3}-1}{q-1}-\dfrac{q^{2}-1}{q-1}\right) \times\dfrac{\mid GL(2,q) \mid}{2(q^{2}-1)}\times\dfrac{q^{3}-1}{q-1}=\dfrac{\mid G \mid}{2(q^{2}-1)(q-1)} .$ \end{flushleft} \end{lemma} \begin{lemma} فرض می کنیم$ G=GL(3,q) $ جایی که$ q=p^{k}\geqslant 4$ و$ N_{111} $ شامل یک مولد $ (1,1,1) $ - سینگراز$ G $ متناظرباهر چنبره$ (1,1,1) $ - ماکزیمال از$ G $ باشد. دراین صورت$ N_{111} $ یک زیر مجموعه ازاعضای دوبه دو غیرجابجا، ازاندازه$ \mid S(iii) \mid=\mid G \mid/(6(q-1)^{3}) $است .\\ \textbf{برهان} :فرض کنیم$ g,g^{\prime}\in N_{111} $ به طوری که$ gg^{\prime}=g^{\prime} g$ باشد. بنا برتعریف$ 5\cdot1\cdot4 $ ،\\$ g_{1},g_{2},g_{3} \in G $ موجود است به طور ی که$ g=g_{1}g_{2}g_{3} $ جایی که برای$ i=1,2,3 $ ،$ g_{i} $ یک زیر گروه دوری سینگر از$ GL(V_{i}) $ و$ V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus V_{3}$ است. فرض می کنیم برای هر$ i=1,2,3 $ ،$ t-\lambda_{i} $ چندجمله ای مشخصه از$ g_{i} $ باشد. بنابر تعریف$ \lambda_{3},\lambda_{2},\lambda_{1} $ مقادیر ویژه دوبه دو متمایز از$ g $ هستند.\\ بطور مشابه$ g^{\prime}_{1},g^{\prime}_{2},g^{\prime}_{3} $ از$ G $ موجود است به طوری که$ g^{\prime}=g^{\prime}_{1}g^{\prime}_{2}g^{\prime}_{3} $ و$ g^{\prime} $ مقادیر ویژه متمایز $ \lambda^{\prime}_{3},\lambda^{\prime}_{2},\lambda^{\prime}_{1} $ دارد. مطابق با لم$ 7\cdot1\cdot4 $ ،$ C_{G}(g) $ و$ C_{G}(g^{\prime} $ هر دو آبلی اند وچون$ gg^{\prime}=g^{\prime}g $ در\\ این صورت$ C_{G}(g)=C_{G}(g^{\prime}) $ است. همچنین$ \prod_{i=1}^{3}=\prod_{i=1}^{3} $ است. بنا بر تعریف از$ N_{111} $ نتیجه می گیریم$ g=g^{\prime} $ . بنابر این$ N_{111} $ یک زیر مجموعه از اعضای دو به دو غیر جابجا است. \\ حال ما$ \mid N_{111} \mid $ را مشخص می کنیم که تعداد تجزیه های$ V_{1}\oplus V_{2}\oplus V_{3}$ است. ماسه تایی های مرتب$ (V_{1},V_{2},V_{3}) $ از زیر فضاهای یک بعدی بطوری که$ V=V_{1}\oplus V_{2}\oplus V_{3} $ است را می شمریم. تعداد زیر فضاهای یک بعدی $ V_{1} $ از$ V $ ،$ (q^{3}-1)/(q-1) $ است. و تعداد زیر فضاهای یک بعدی$ V_{2} $ از $ V $ که$ V_{2}\neq V_{1} $ ،$ ((q^{3} -1)/(q-1))-1 $ است. همچنین تعداد زیر فضاهای یک بعدی$ V_{3} $ از$ V $ که$ V_{1}\oplus V_{2} $ را شامل نشود$ (q^{3}-1)/(q-1) -(q^{2}-1)/(q-1) $ است. بنابر این تعداد سه تایی های مرتب$ (V_{1},V_{2},V_{3}) $ برابر است با:\\ \begin{flushleft} $ \left( \dfrac{q^{3}-1}{q-1}\right) \cdot \left( \dfrac{q^{3}-1}{q-1}-1\right) \cdot \left( \dfrac{q^{3}-1}{q-1}-\dfrac{q^{2}-1}{q-1}\right) =\dfrac{\mid G \mid}{(q-1)^{3}}$ \end{flushleft} ونیز هر تجزیه $ 6 $ بار شمرده می شود پس$ \mid N_{111} \mid =\mid G \mid /(6(q-1)^{3}) $ . \end{lemma} \begin{lemma} فرض کنیم$ G=GL(3,q) $ جایی که$ q=p^{k}\geqslant 4 $ و$ N^{*}_{12} $ شامل یک \\مولد $ (1,2) $ -شبه سینگر از$ G $ متناظر با هر چنبره$ (1,2) $ -شبه ماکزیمال از$ G $ باشد. در این صورت$ N^{*}_{12} $ یک زیر مجموعه دوبه دو غیر جابجا، از اندازه$ \mid S(iv(a)) \mid=\mid G \mid /(q(q-1)^{3}) $ است.\\ بعلاوه$ N_{3}\cup N_{12}\cup N_{111}\cup N^{*}_{12} $ یک زیر مجموعه از اعضای دوبه دو غیر جابجا است. که به ترتیب\\$ N_{111},N_{12},N_{3} $ عنوان شده در لم های$ 12\cdot1\cdot4,11\cdot1\cdot4,10\cdot1\cdot4 $ است.\\ \textbf{برهان} :فرض می کنیم$ V $ یک فضای برداری روی میدان متناهی$ F $ با بعد$ 3 $ و$ \mid F \mid=q $ باشد. فرض \\می کنیم$ g $ و$ g^{\prime} $ مولدهای$ (1,2) $ -شبه سینگر از $ G $، به طوری که$ gg^{\prime}=g^{\prime}g $ باشند. بنا بر تعریف$ 5\cdot1\cdot4 $ زیر فضای یک بعدی$ V_{1} $ وزیر فضای دو بعدی$ V_{2} $ از$ V $ موجود است به طوری که$ V=V_{1}\oplus V_{2} $ و$ g=g_{1}g_{2} $ جایی که$ $ یک زیر گروه دوری سینگر از$ GL(V_{1}) $ و$ g_{2} $ متشابه با \\ماتریس$ b=\left( \begin{array}{cc} \alpha& 1 \\ 0 & \alpha \end{array}\right) $ جایی که$ \alpha $ عضو اولیه از$ F $ است.\\ ما ممکن است فرض کنیم$ g_{2}=b $ . بطور مشابه برای$ g^{\prime} $ زیر فضای یک بعدی$ V^{\prime}_{1} $ و زیر فضای دو بعدی$ V^{\prime}_{2} $ از$ V $ موجود است به طوری که$ V=V^{\prime}_{1}\oplus V^{\prime}_{2} $ و$ g^{\prime}=g^{\prime}_{1}g^{\prime}_{2} $ جایی که$ $ یک زیر گروه دوری سینگر از$ GL(V^{\prime}_{1}) $ و$ g^{\prime}_{2} $ متشابه با ماتریس$ b^{\prime}=\left( \begin{array}{cc} \alpha^{\prime} & 1 \\ 0 & \alpha^{\prime} \end{array}\right) $ که$ \alpha^{\prime} $ یک عضو اولیه از$ F $ است.\\ چون$ gg^{\prime}=g^{\prime}g $ ،$ g^{\prime}\in C_{G}(g) $ بنابر لم$ 7\cdot1\cdot4 $ ،$ C_{G}(g) $ و$ C_{G}(g^{\prime}) $ هر دو آبلی هستند\\ پس$ C_{G}(g)=C_{G}(g^{\prime}) $ است. بنا بر این$ g $ و$ g^{\prime} $ همان چنبره $ (1,2) $ -شبه ماکزیمال را مشخص می کنند. به هر حال$ N^{*}_{12} $ شامل فقط یک عضو ازهر چنبره $ (1,2) $ ماکزیمال از$ V $ است. بنابراین$ g=g^{\prime} $ . پس $ N^{*}_{12} $ یک زیر مجموعه از اعضای دوبه دو غیر جابجا است.\\ تعداد زیر فضاهای یک بعدی از$ V $ که$ V_{2} $ را شامل نشود$ (q^{3}-1)/(q-1)-(q^{2}-1)(q-1) $ است.و تعداد زیر فضاهای دوبعدی از$ V $ ،$ (q^{3}-1)/(q-1) $ است.یک محاسبه آسان نشان می دهد که تعداد مزدوجهای از$ C_{GL(V_{2})}(g_{2}) $ در$ GL(V_{2}) $ ،$ \mid GL(2,q) \mid /(q(q-1)^{2}) $ است.ودر نتیجه \begin{flushleft} $ \mid S(iv(a)) \mid =\mid N^{*}_{12}\mid=\left( \dfrac{q^{3}-1}{q-1}-\dfrac{q^{2}-1}{q-1}\right) \times\dfrac{\mid GL(2,q) \mid}{q(q-1)^{2}}\times\dfrac{q^{3}-1}{q-1}=\dfrac{\mid G \mid}{q(q-1)^{3}}\; .$ \end{flushleft} ودر نهایت مطابق با لم های$ 12\cdot1\cdot4,11\cdot1\cdot4,10\cdot1\cdot4,8\cdot1\cdot4 $ ، $ N_{3}\cup N_{12}\cup N_{111}\cup N^{*}_{12} $ یک زیر مجموعه از اعضای دوبه دو غیر جابجا است. \end{lemma} \begin{corollary} فرض کنیم$ G=GL(3,q) $ جایی که$ q=p^{k}\geqslant 4$ باشد. در این صورت \begin{flushleft} $ \omega(G)\geqslant \mid S(i) \mid +\mid S (ii) \mid +\mid S(iii) \mid +\mid S(iv(a)) \mid =q^{6}+q^{5}+2q^{4}+2q^{3}+q^{2} .$\\ \end{flushleft} \textbf{برهان} :بنا بر لم های$ 12\cdot1\cdot4,11\cdot1\cdot4,10\cdot1\cdot4 $ و $ 13\cdot1\cdot4 $ ،$ N_{3}\cup N_{12}\cup N_{111}\cup N^{*}_{12} $ یک زیراعضای مجموعه دوبه دو غیر جابجا است. واندازه آن به صورت زیر است. \begin{flushleft} $ \mid S(i) \mid +\mid S (ii) \mid +\mid S(iii) \mid +\mid S(iv(a)) \mid=\dfrac{\mid G \mid}{3(q^{3}-1)}+\dfrac{\mid G \mid}{2(q^{2}-1)(q-1)}+\dfrac{\mid G \mid}{6(q-1)^{3}}+\dfrac{\mid G \mid}{q(q-1)^{3}} =q^{6}+q^{5}+2q^{4}+2q^{3}+q^{2} .$ \end{flushleft} \end{corollary} \section{\large زیر مجموعه های غیر جابجا از$ p $-عضوها در گروه های متناهی } دراین بخش مایک نتیجه کلی در باره زیر مجموعه هایی ازاعضای دوبه دو غیر جابجا \\شامل$ p $ -عضوها($ p $ یک عدداول)در گروه های متناهی دلخواه را ثابت می کنیم. سپس ساختار یک زیر مجموعه از اعضای دوبه دو غیر جابجا از$ GL(n,q) $ که شامل عضوهای تک توان است را مورد بررسی قرار می دهیم. \begin{lemma} فرض کنیم$ G $ یک گروه متناهی و$ p $ یک عدد اول است ،که$ \mid G \mid $ را عاد می کند. فرض کنیم$ P=P_{1},P_{2},\cdot\cdot\cdot,P_{\nu_{p}}(G) $ ،$ p $ -زیر گروه های سیلو باشندوبرای هر$ i $ انتخاب می کنیم$ x_{i}\in G $ به طور ی که$ P^{x_{i}}=P_{i} $ . اگر$ S $ یک زیر مجموعه از اعضای دوبه دو غیر جابجا از$ P\setminus \bigcup_{i=2}^{\nu_{p}(G)}P_{i} $ باشد در این صورت$ \nu_{p}(G)\times \mid S \mid \leqslant \omega(G) $ .\\ \textbf{برهان} :فرض کنیم$ S=\lbrace a_{1},\cdot\cdot\cdot,a_{k}\rbrace $ یک زیر مجموعه از اعضای دوبه دو غیر جابجا از $ P\setminus \bigcup_{i=2}^{\nu_{p}(G)}P_{i} $ باشد. برای هر$ a_{i}\in S $ ،$ P $ ،$ p $ -زیر گروه سیلو یکتا شامل$ a_{i} $ است. در این صورت به آسانی مشاهده می شود که برای هر$ i $ ،$ S^{x_{i}}=\lbrace a_{1}^{x_{i}},\cdot\cdot\cdot,a_{k}^{x_{i}}\rbrace $ یک زیر مجموعه از اعضای دوبه دو غیر جابجا از$ P_{i}\setminus (P_{1}\cup \cdot\cdot\cdot \cup P_{i-1}\cup P_{i+1}\cup \cdot\cdot\cdot \cup P_{\nu_{p}(G)}) $ است.مجموعه \begin{center} $ X=\bigcup_{i=1}^{\nu_{p}(G)}S^{x_{i}}=\bigcup_{i=1}^{\nu_{p}(G)}\lbrace a_{1}^{x_{i}},a_{2}^{x_{i}},\cdot\cdot\cdot,a_{k}^{x_{i}}\rbrace$ \end{center} است. حال ادعا می کنیم که$ X $ یک زیر مجموعه از اعضای دوبه دو غیر جابجا$ G $ است. خلاف این ادعا را فرض کنیم که$ a_{i}^{x_{l}}a_{j}^{x_{k}}=a_{j}^{x_{l}}a_{i}^{x_{k}} $ با$ a_{i}^{x_{k}}\neq a_{j}^{x_{l}} $ . اگر$ k=l $ این غیر ممکن است چون$ S^{x_{k}} $ غیر جابجا است. آن نتیجه می دهدکه$ $ یک$ p $ -گروه آبلی از $ G $ است وهمچنین یک $ p $ -زیر گروه سیلو $ P^{x_{t}} $ از$ G $ موجود است به طوری که$ \subseteq P^{x_{t}} $ . بنابر تذکر بالا ابتدای برهان$ P^{x_{t}} $ ،$ p $ -زیر گروه سیلوی یکتا شامل$ a_{i}^{x_{k}} $ است وهمچنین$ t=k $ بطور مشابه$ t=l $ واین یک تناقض است. بنابراین $ \nu_{p}(G)\times \mid S \mid \leqslant \omega(G) $ . \end{lemma} \begin{corollary} فرض کنیم$ G $ یک گروه متناهی و$ p $ یک عدد اول است که$ \mid G \mid $ را عاد \\می کند. ونیز فرض کنیم $ P_{j},P_{i} $ ،$ p $ -زیر گروه های سیلوی متمایزی از$ G $ و$ P_{i}\cap P_{j}=1 $ باشد. در این صورت$ \nu_{p}(G)\leqslant \omega(G) $ .\\ \textbf{برهان} :بنابرلم$ 1\cdot2\cdot4 $ برهان به آسانی قابل فهمیدن است. \end{corollary} یک کاربرد از لم$ 2\cdot2\cdot4 $ که نتیجه زیر را بیان می کندکه این نتیجه با یک روش متفاوت درمرجع$ \cite{brown} $ صفحه$ 294 $ قضیه$ 1 $ برای هر$ n $ دلخواه برای گروه متقارن$ S_{n} $ ثابت شده است. \begin{corollary} فرض می کنیم$ p $ یک عدد اول باشد . در این صورت$ \omega(S_{p})\geqslant (p-2)! $ .\\ \textbf{برهان} : هر عضو از$ S_{p} $که از مرتبه$ p $ باشدیک دور به طول $ p $ است. لذا تعداد عناصری از$ S_{p} $ که از مرتبه $ p $ اندبرابر است با تعداد دورهایی به طول$ p $ است. از طرفی $ S_{p} $ ، $ p! $ عضودارد که هر عضو دارای $ p $ نمایش است پس تعداد عناصر از مرتبه $ p $ برابر است با$ (p-1)! $. از طرفی $ \mid S_{p}\mid =p! $ ونیز هر زیر گروه سیلو$ S_{p} $ از مرتبه $ p $ است. لذا در هرزیر گروه $ p $-سیلو$ p-1 $ عضو از مرتبه $ p $ قراردارد. لذا$ \nu_{p}(S_{p})=\dfrac{(p-1)!}{p-1}=(p-2)! $ . \end{corollary} \begin{definition} فرض می کنیم$ V $ یک فضای برداری با بعد متناهی روی میدان$ F $ باشد. یک درونریختی$ x $ از$ V $ را نیم ساده گوییم هرگاه چند جمله ای مینیمال از$ x $ ریشه های متمایز داشته باشد. و یک درونریختی$ x $ از$ V $ را تک توان گوییم هر گاه به صورت مجموع همانی وپوچ توان باشد. \end{definition} \begin{remark} اگر$ char\;F=p\ >0 $ ،و$ V $ یک فضای برداری با بعد متناهی روی میدان$ F $ باشد. در این صورت$ x\in GL(V) $ تک توان است اگر وفقط اگر برای هر$ t\geqslant 0 $ ،$ x^{p^{t}}=1 $ باشد. همچنین $ x $ نیم ساده است هرگاه$ p $ مرتبه$ x $ را عاد نکند. \end{remark} \begin{proposition} فرض کنیم$ x\in GL(V) $ .\\ الف)$ x_{s},x_{u}\in GL(V) $ منحصر بفرد موجودندکه در شرایط$ x=x_{s}x_{u} $ و$ x_{s}x_{u}=x_{u}x_{s} $ که$ x_{s} $ نیم ساده،$ x_{u} $ تک توان صدق می کنند.\\ ب)$ x_{u},x_{s} $ باهر درونریختی از$ V $ جابجا می شود که با$ x $ جابجا می شوند.\\ ج)اگر$ A $ ،یک زیر فضای$ x $ -پایا از$ V $ است در این صورت$ A $ تحت$ x_{s} $ و $ x_{u} $ پایا است. \\ د)اگر$ xy=yx $ و$ y\in GL(V) $ در این صورت$(xy)_{u}=x_{u}y_{u} ,(xy)_{s}=x_{s}y_{s} $ .\\ \textbf{برهان} :مرجع $ \cite{Hartely} $ فصل$ 6 $ لم$ B $ مراجعه کنید. \end{proposition} \begin{remark} ما$ x_{s} $ رایک بخش نیم ساده و$ x_{u} $ رابخش تک توان از$ x $می نامیم.ونیز اگر$ x $ نیم ساده وتک توان باشد در این صورت$ x=1 $ است. \end{remark} \begin{definition} فرض می کنیم$ G=GL(n,q) $ جایی که$ q=p^{k}\ >2 $ و$ n\geqslant 3 $ باشد. فرض \\می کنیم$ P $ یک زیر گروه از$ G $ از ماتریس تک(بالا) مثلثی باشد. یعنی ماتریسی با درایه های$ 1 $ روی قطر اصلی و$ 0 $ زیر آن است. بنا بر مرجع$ \cite{Huppert 1} $ ،$ P $ یک$ p $-زیر گروه سیلو از $ G $ است. فرض $ \\ $می کنیم$ F^{*}=<\alpha> $ ،وبرای$ j=2,...,n-1 $ ،$ i_{j}\in \lbrace 1,...,q-1 \rbrace $ باشد.و \begin{center} \begin{equation*}A_{(i_{2},...,i_{n-1})}= \begin{bmatrix} 1&1&0&...&0\\ 0&1&\alpha^{i_{2}}&...&0\\ 0&0&1&...&0\\ .&.&.&...&.\\ 0&0&...&1&\alpha^{i_{n-1}}\\ 0&0&...&0&1 \end{bmatrix} \end{equation*} \end{center} فرض می کنیم$ S=\lbrace A_{(i_{2},...,i_{n-1})} \mid i_{j}\in \lbrace 1,...,q-1\rbrace $ و $ N_{U}=\bigcup_{g\in G}S^{g} $ باشد.\\ ما توجه می کنیم که در حالت $ n=3 $ ،$ S $یک زیر مجموعه از اعضای$ GL(3,q) $ از نوع$ v(a) $ است که در بخش قبل بحث شده . \end{definition} \begin{lemma} فر ض می کنیم$ G=GL(n,q) $ جایی که$ q=p^{k}\ > 2$ باشد. در این صورت$ N_{U} $ یک زیر مجموعه از اعضای تک توان دو به دو غیر جابجا از اندازه$ \mid G \mid/(q^{n\choose 2}(q-1)^{2}) $ .\\ \textbf{برهان} :مجموعه$ B=A_{(i_{2},...,i_{n-1})} - I $ را جایی که$ I $ ماتریس همانی است در نظر می گیریم. ما نشان خواهیم داد که$A_{(i_{2},...,i_{n-1})}\in P \setminus \bigcup_{g}P^{g} $ جایی که$ g\in G \setminus N_{G}(P) $ است.فرض می کنیم یک تناقض که $ g\in G \setminus N_{G}(P) $ موجود است به طوری که\\ $A= A_{(i_{2},...,i_{n-1})}\in P^{g}\Longrightarrow A\in g^{-1}Pg\Longrightarrow gA\in Pg\Longrightarrow \exists\: C\in P:gA=gC $ . \\ فر ض می کنیم\\ \begin{center} \begin{equation*}C= \begin{bmatrix} 1&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\ 0&1&a_{23}&...&a_{2n}\\ .&.&.&...&.\\ 0&0&.&...&a_{n-1n}\\ 0&0&0&...&1 \end{bmatrix} \end{equation*} \end{center} ومجموعه$ D=C-I $ . بنا بر این$ g(I+B)=(I+D)g \Longrightarrow gB=Dg$ . چون ردیف گذشته از$ D $ صفر است ردیف گذشته از$ Dg $ صفر است یعنی برای$ 1\leqslant i\leqslant n $ ،$ (Dg)_{ni}=0 $ \\به عبارت دیگر برای$ 1\leqslant k\leqslant n $ ،$ (gB)_{nk}=\sum_{j=1}^{n}g_{nj}(B)_{jk} $ . ازآن نتیجه می گیریم که$ g_{n1}=0 $ و برای$ 2\leqslant k \leqslant n-1 $ ،$ g_{nk}\alpha^{i_{k}}=0 $ .بنابر این برای$ 1 \leqslant k \leqslant n-1 $ ،$ g_{nk}=0 $ ،بطور مشابه برای$ j\ < i$ ،$ g_{ij}=0 $.\\ بنا بر این$ g $ یک ماتریس بالا مثلثی است بنابر این در$ N_{G}(P) $ قرار دارد که یک تناقض است.بنابر این$ A_{(i_{2},...,i_{n-1}) $ در$P\setminus \bigcup_{g}P^{g} $ قرار دارد.\\ همچنین به آسانی مشاهده می شودکه$ A_{(i_{2},...,i_{n-1})}\times A_{(j_{2},...,j_{n-1})}= A_{(j_{2},...,j_{n-1})}\times A_{(i_{2},...,i_{n-1})} $ اگر وفقط اگر برای$ k=2,...,n-1 $ ،$ i_{k}=j_{k} $ .\\ بنابر این $ S=\lbrace A_{(i_{2},...,i_{n-1})} \mid i_{j}\in \lbrace 1,...,q-1\rbrace $ یک زیر مجموعه از اعضای دوبه دو غیر جابجا از$ P\setminus \bigcup_{g}P^{g} $ است و$ \mid S \mid =(q-1)^{n-2}$ .چون تعداد$ p $ -زیرگروه های سیلو برابر است با \begin{center} $ \nu_{p}(G)=\dfrac{(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)...(q-1)}{(q-1)^{n}}$ \end{center} بنابر لم$ 1\cdot2\cdot4 $ یک زیر مجموعه ازاعضای دوبه دو غیر جابجا از اندازه زیر بدست می آید. \begin{center} $ \nu_{p}(G). \mid S \mid=\dfrac{\mid G \mid}{q^{n \choose 2}(q-1)^{2}} .$ \end{center} \end{lemma} \begin{lemma} فرض کنیم$ G=GL(3,q) $ جایی که$ q^{k}\geqslant 4 $ .اگر$ u\in N_{U} $ آن گاه$ C_{G}(u) $ آبلی از مرتبه$ q^{2}(q-1) $ و$ \mid N_{U} \mid=\mid S(v(a))\mid$ است. بعلاوه اگر$ g\in G $ یک مولد$ (n_{1},...,n_{k}) $ -سینگر،جایی که$ \sum n_{i}=3 $،و$ x $ یک مولد$ (1,2) $ -شبه سینگر است آن گاه$ ug\neq gu $ و$ xu\neq ux $ است. \\ \textbf{برهان} :فرض کنیم$ u $ عنوان شده در گزاره باشد. همچنین$ g\in G $ موجود است \\به طوری که $ u=S^{g} $.بنا بر این $ s\in S $ به طوریکه$ u=s^{g} $ فرض می کنیم \begin{center} $ s=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 &0 \\ 0&1 &\alpha^{i} \\ 0&0 &1 \end{array}\right) $ \end{center} جایی که$ F^{*}=<\alpha> $ و$ i\in \lbrace 1,2,...,q-1\rbrace $ . به آسانی می توان نتیجه گرفت که \begin{center} $ C_{G}(s)=\left\lbrace \left( \begin{array}{ccc} a& b & c \\ 0 & a &b\alpha^{i} \\ 0 & 0 & a \end{array} \right) :a,b,c\in F,a\neq 0\right\rbrace .$ \end{center} به طور وضوح$ C_{G}(s) $ آبلی واز مرتبه$ q(q-1)^{2} $ است. چون$ C_{G}(u) $ با$ C_{G}(s) $ در$ G $ متشابه است، $ C_{G}(u) $ آبلی واز مرتبه$ q^{2}(q-1) $ است.\\ بنابر این هر عضو$ u $ از$ N_{U} $ از نوع$ v(a) $ تعریف شده در بخش$ 3\cdot 1\cdot4 $ است. و$ C_{G}(u) $ آبلی است. در این صورت چون$ N_{U} $ دو به دو غیر جابجا است نتیجه می گیریم$ \mid N_{U}\mid\leqslant \mid S(v(a))\mid $ .\\ بر عکس اگر$ X=C_{G}(g)\in S(v(a)) $ با$ g $ از نوع$ v(a) $ در این صورت$ g=B ^{h}_{1}$ برای هر$ h\in G $ وهر$ \lambda $ با$ B_{1} $ عنوان شده در تعریف$ 3\cdot1\cdot4 $ .حال$ C_{G}(B_{1})=C_{G}(A_{(q-1)} $ و\\ بنابراین$ X=C_{G}(B_{1})^{h}=C_{G}(A^{h}_{(q-1)}) $ که$ A^{h}_{(q-1)}\in N_{U} $. چون$ X $ آبلی است و $ N_{U} $ زیر گروه های متمایز غیر جابجادر$ S(v(a)) $ است مر کزیسازها عناصر متمایز از$ N_{U} $ هستند\\. وبنابر این$ \mid S(v(a)) \mid \leqslant \mid N_{U} \mid $ .پس نتیجه می گیریم که$ \mid S(v(a))\mid=\mid N_{U}\mid $ .\\ فرض می کنیم$ g\in G $ یک مولد$ (n_{1},...,n_{k}) $ -سینگر باشد جایی که$ \sum n_{i}=3 $ و فرض \\می کنیم$ ug=gu $ و$ u\in C_{G}(u) $ . بنا بر تذکر$ 5\cdot4\cdot2 $، $ p $ مرتبه$ u $ را عاد می کندپس$ p $ ،$ \mid C_{G}(g) \mid $ را عاد می کند که تناقض با لم$ 7\cdot1\cdot4 $ دارد.\\ فرض می کنیم$ x $ یک مولد$ (1,2) $- شبه سینگر باشد به طوری که$ ux=xu $ . همچنین$ x\in C_{G}(u) $ چون$ C_{G}(u) $ آبلی است$ C_{G}(u)\subseteq C_{G}(x) $. وبه طور مشابه بنابر لم$ 7\cdot1\cdot4 $ ، $ C_{G}(x) $ آبلی و از مرتبه$ q(q-1)^{2} $ است. پس نتیجه می گیریم که$ C_{G}(u)=C_{G}(x) $ که یک تناقض است. که بدین ترتیب برهان کامل می شود.\\ \begin{theorem} اگر$ G=GL(3,q) $ جایی که$ q=p^{k}\geqslant 4 $ باشد.آن گاه\\ \begin{center} \begin{equation*} \omega (GL(3,q))=\left\{\begin{array}{ccc} q^{6}+q^{5}+3q^{4}+3q^{3}+q^{2}-q+1&q\geqslant 4\text{اگر}\\ 1067&q=3\text{ اگر}\\ 57&q=2\text{ اگر}. \end{array}\right. \end{equation*} \end{center} \textbf{برهان} :فر ض می کنیم$N=N_{3}\cup N_{12}\cup N_{111}\cup N^{*}_{12}\cup N_{U} $. اگر$ q\geqslant 4 $ آن گاه بنابر نتیجه$ 14\cdot1\cdot4 $ ولم$ 10\cdot2\cdot4 $ ، $ N $ یک زیر مجموعه از اعضای دو به دو غیر جابجا از$ G $ است و \begin{center} $ \mid N\mid =\sum_{k}\mid S(k) \mid=q^{6}+q^{5}+2q^{4}+2q^{3}+q^{2}+\dfrac{\mid G \mid}{q^{3}(q-1)^{2}}$ \\ $=q^{6}+q^{5}+3q^{4}+3q^{3}+q^{2}-q-1$ \end{lemma} \end{center} بعلاوه$ \omega(G)\geqslant \mid N \mid=\sum_{k\in I}\mid S(k)\mid $ .از طرفی بنابر لم$ 4\cdot1\cdot4 $ داریم$ \omega(G)\leqslant \sum_{k\in I}\mid S(k) \mid $ پس تساوی برقرار است.اگر$ 3 $ یا$ q=2 $ حکم از لم$ 2\cdot1\cdot4 $ حاصل می شود. \end{theorem} \begin{conjecture} فر ض می کنیم$ G=GL(n,q) $ جایی که$ q=p^{k}\geqslant 4 $ و$ q\geqslant n+1 $ باشد. در این صورت \begin{center} $ \omega(G)\geqslant q^{2{ n \choose 2}}+\dfrac{\mid G \mid}{q(q-1)^{n}}+\dfrac{\mid G \mid}{q^{n \choose 2}(q-1)^{2}} .$ \end{center} \end{conjecture} \normalsize \small % چنانچه از نسخه‌های قدیمی زی‌پرشین استفاده می‌کنید، هنگام استفاده از دستورهای \setLTRbibitems \begin{thebibliography}{99} \resetlatinfont % با خطا مواجه می‌شوید. به همین خاطر، باید از دستورهای زیر استفاده کنید. % چنانچه مرجع فارسی هم دارید باید دستور Persian را فعال کرده و مراجع فارسی خود را بعد از این دستور وارد کنید \Persian \Persian \bibitem{john} $ [1] $رز،جان اس.درسی در نظریه گروه ها.مقدم فر.علیرضا،حسنی.اکبروزکایی.علیرضا،تهران:مرکز نشر دانشگاهی،اول،$ (1385) $. \bibitem{hasan} $ [2] $محمدی حسن آبادی،علی اکبر.جبر. اصفهان:دانشگاه اصفهان،پنجم،$ (1385) $. \bibitem{linear} $ [3] $درفشه،محمدرضا.گروه های خطی،تهران:دانشگاه تهران،اول،$ (1377) $. \bibitem{reza} $ [4] $جمالی،علیرضا.نظریه گروه ها.تهران:مبتکران،اول،$ (1380) $. \bibitem{hoffman} $ [5] $کنت هافمن،ری کنز.جبر خطی.فرشیدی. جمشید.تهران:مرکز نشر دانشگاهی،سوم$ (1370) $ . \bibitem{group} $ [6] $گوردن جیمز.مارتین لیبک .نمایش و سرشت گروه ها.درفشه. محمدرضا.تهران:مرکز نشر دانشگاهی،اول$ 1381 $ . \Latin \bibitem{azad 1} Alireza Abdollahi, A. Azad, A. Mohammadi Hassanabadi and M. Zarrin, B. H. Neumann's question on ensuring commutativity of finite groups, Bulletin of the Australian Mathematical Society, 74 (2006) 121-132. \bibitem{azad 2} Alireza Abdollahi, A. Azad, A. Mohammadi Hassanabadi and M. Zarrin, On the clique number of non-commuting graphs of certain groups, Algebra Colloquium 17 No. 4 (2010) 611-620. \bibitem{azad 3} Azizollah Azad,Cheryl.E.Praeger,Maximal subset pairwise noncommuting elements of three-dimensional general linear groups,Bulletin of the Australian Mathematical Society,80(2009)91-104. \bibitem{abdollahi 1} A. Abdollahi, S. Akbari and H.R. Maimani, 'Non-commuting graph of a group', J. Algebra 298 (2006),468-492. \bibitem{abdollahi 2} A. Abdollahi and S.M. Jafarian Amiri, 'On groups with an irredundant 7-cover', J. Pure Appl. Algebra (to appear). \bibitem{abdollahi 3} A. Abdollahi and A. Mohammadi Hassanabadi, 'Finite groups with certain number of elements pairwise generating a non-nilpotent subgroup', Bull. Iranian Math. Soc.\textbf{30} (2004), 1-20. \bibitem{blyth} R.D. Blyth, D.J.S. Robinson, Semisimple groups with the rewriting property Q5, Comm. Algebra 23 (6) (1995) 2171-2180. \bibitem{brown} R. Brown, Minimal covers of Sn by abelian subgroups and maximal subsets of pairwise noncommuting elements, J. Combin. Theory (Ser. A) 49 (1988) 294{307. \bibitem{Endimioni} G. Endimioni, 'Groupes finis satisfaisant la condition (N, n)', C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 319 (1994), 1245-1247. \bibitem{gap} The GAP Group, GAP | Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.4, 2005 (http://www.gap-system.org). \bibitem{Hartely} B.Hartely and T .O.Hawkes,Ring,modules and Linear Algebra (Printed in Great Britian at the University Press Cambridge,1970) \bibitem{Huppert} B. Huppert, N. Blackburn, Finite Groups III, Springer-Verlag, Berlin, 1982. \bibitem{Huppert 1} B. Huppert, Endliche Gruppen I, Springer-Verlag, Berlin, 1967. \bibitem{neumann} B.H. Neumann, 'A problem of Paul ErdOs on groups',\textit{ J. Austral. Math. Soc. Ser. A}\textbf{ 21} (1976), 467-472. \bibitem{pyber} L. Pyber, 'The number of pairwise non-commuting elements and the index of the centre in a finite group', J. London Math. Soc. (2) 35 (1987), 287-295. \bibitem{segal} D. Segal and A. Shalev, 'On groups with bounded conjugacy classes', Quart. J. Math. Oxford Ser. (2) 50 (1999), 505-516. \bibitem{Robioson} D.J.S. Robioson, A Course in the Theory of Groups, 2nd Ed.,( Springer-Verlag, Berlin, 1995). \bibitem{Thompson} J.G. Thompson, Nonsolvable ¯nite groups all of whose local subgroups are solvable, Bull. Amer. Math. Soc. 74 (1968) 383-437. %\bibitem{horn} %A. Horn, A. Tarski, {\em Measures on Boolean algebras}, Trans. Amer. Math. Soc. 64 (1948) 467–497. %\bibitem{jones1} %C. Jones, {\em Probabilistic non-determinism}, Ph.D. thesis, University of Edinburgh, Edinburgh, 1990. Also %publishedas Technical Report No. CST-63-90. %\bibitem{jones2} %C. Jones, G. Plotkin, {\em A probabilistic powerdomain of evaluations}, in: Proc. 4th Annu. Symp. on Logic in %Computer Science, IEEE Computer Society Press, 1989, pp. 186–195. %\bibitem{jung1} %A. Jung, {\em Cartesian Closed Categories of Domains}, CWI Tracts, Vol. 66, Centrum voor Wiskunde en %Informatica, Amsterdam, 1989. 107 pp. %\bibitem{jung2} %A. Jung, {\em The classification of continuous domains}, in: Proc. 5th Annu. IEEE Symp. Logic in Computer %Science, IEEE Computer Society Press, Silverspring, MD, 1990, pp. 35–40. %\bibitem{jung3} %A. Jung, {\em Stably compact spaces and the probabilistic powerspace construction}, in: J. Desharnais, P. %Panangaden (Eds.), Proc. Workshop on Domain-theoretic Methods in Probabilistic Processes, Electronic %Notes in Theoretical Computer Science, Vol. 87, Elsevier Science Publishers B.V., Amsterdam, 2004. %\bibitem{jung4} %A. Jung, R. Tix, {\em The troublesome probabilistic powerdomain}, in: A. Edalat, A. Jung, K. Keimel, M. %Kwiatkowska (Eds.), Proc. 3rd Workshop on Computation and Approximation, Electronic Notes in %Theoretical Computer Science, Vol. 13, Elsevier Science Publishers B.V., Amsterdam, 1998, p. 23 pages. %\bibitem{kegelmann} %M. Kegelmann, {\em Continuous domains in logical form}, Ph.D. thesis, School of Computer Science, The %University of Birmingham, 1999. % %\bibitem{keimel} %K. Keimel, {\em The probabilistic powerdomain for the upwards topology of compact ordered spaces}, %J. Desharnais, P. Panangaden (Eds.), Proc. Workshop on Domain-theoretic Methods in Probabilistic %Processes, Electronic Notes in Theoretical Computer Science, Vol. 87, Elsevier Science Publishers B.V., %Amsterdam, 2004. %\bibitem{kirch} %O. Kirch, {\em Bereiche und Bewertungen}. Master’s thesis, Technische Hochschule Darmstadt, June 1993, 77pp. %\bibitem{Konig} %H. Konig, {\em Measure and Integration}, Springer–Verlag, 1997, xxi+260 pp. %\bibitem{kozen} %D. Kozen, {\em Semantics of probabilistic programs}, J. Comput. System Sci. 22 (1981) 328–350. %\bibitem{lawson1} %J.D. Lawson, {\em Valuations on continuous lattices}, in: R.E. Hoffmann (Ed.), Continuous Lattices and Related %Topics, Mathematik Arbeitspapiere, Vol. 27, Universität Bremen, 1982, pp. 204–225. %\bibitem{lawson2} %J.D. Lawson, {\em The versatile continuous order}, in: M. Main, A. Melton, M. Mislove, D. Schmidt (Eds.), %Mathematical Foundations of Programming Language Semantics, Lecture Notes in Computer Science, %Vol. 298, Springer, Berlin, 1988, pp. 134–160. %\bibitem{lawson3} %J.D. Lawson, {\em Domains, Integration, and Positive Analysis}. Mathematical Structures in %Computer Science, 14 , 2004, 815-832. %\bibitem{moshier} %M.A. Moshier, A. Jung, {\em A logic for probabilities in semantics}, in: J. Bradfield (Ed.), Computer Science Logic, %Lecture Notes in Computer Science, Vol. 2471, Springer, Berlin, 2002, pp. 216–231. %\bibitem{mun} %J.R. Munkres, {\em Topology: A First Course}, Prentice-Hall, 1975. %\bibitem{rudin} %W. Rudin, {\em Real and Complex Analysis}. Mc Graw-Hill Book Comp. 1966. %\bibitem{functional} %W. Rudin, {\em Functional Analysis}, 2nd Edition, Mc Graw-Hill Book Comp. 1991. \end{thebibliography} \baselineskip=.75cm \chapter*{واژه‌نامه انگلیسی به فارسی}\markboth{‌واژه نامه انگلیسی به فارسی}{واژه‌نامه انگلیسی به فارسی} \addcontentsline{toc}{chapter}{واژه‌نامه انگلیسی به فارسی} \thispagestyle{empty} \persiangloss{عمل}{Action} \persiangloss{هدف}{Attempt} \persiangloss{بحث کردن}{Argue} \persiangloss{گروه متناوب}{Alternating group} \persiangloss{پوشاندن}{Cover} \persiangloss{منطبق}{Coincide} \persiangloss{حدس}{Conjecture} \persiangloss{ساختار}{Construct} \persiangloss{محاسبه}{Computation} \persiangloss{درنتیجه}{Conseqently} \persiangloss{مرکزی}{Central} \persiangloss{کلاس}{Class} \persiangloss{جابجا شدن}{Commute} \persiangloss{کامل}{Complete} \persiangloss{برعکس}{Converse} \persiangloss{نتیجه}{Corollary} \persiangloss{متناظر}{Correspondent} \persiangloss{دوری}{Cyclic} \persiangloss{مرکزی ساز}{Centralizer} \persiangloss{ضابطه}{Criterion} \persiangloss{ویژگی}{Characterisation} \persiangloss{تناقض}{Contradiction} \persiangloss{خلاف}{Contrary} \persiangloss{طبقه بندی}{Classification} \persiangloss{متباین}{Coprime} \persiangloss{خوشه}{Clique} \persiangloss{مثال نقض}{Counterexample} \persiangloss{بدون مرکز}{Centerless} \persiangloss{ادعا کردن}{Claim} \persiangloss{مزدوجی}{Conjugasy} \persiangloss{تجزیه}{Decomposition} \persiangloss{قطر}{Diagonal} \persiangloss{عاد کردن}{Divide} \persiangloss{بخش پذیری}{Divisible} \persiangloss{حاصل ضرب مستقیم}{Direct product} \persiangloss{نشان دادن}{Denote} \persiangloss{تمیز گذاشتن}{Distinguish} \persiangloss{مشتق}{Derived} \persiangloss{گروه دو وجهی}{Dihedral group} \persiangloss{نمایی}{Exponential} \persiangloss{خیلی خاص}{Extra-special} \persiangloss{توسعه دادن}{Extend} \persiangloss{نشاندن}{Embed} \persiangloss{شمردن}{Enumerate} \persiangloss{مقدار ویژه}{Eigenvalue} \persiangloss{درون ریختی}{Endomorphism} \persiangloss{زیرگروه فراتینی}{Frattini subgroup} \persiangloss{متناهی بودن}{Finiteness} \persiangloss{گروه عاملی}{Factor group} \persiangloss{گراف خطی عمومی}{General linear group} \persiangloss{مولد}{Generating} \persiangloss{بررسی کردن}{Generalize} \persiangloss{تضمین کردن}{Guarantee} \persiangloss{اتفاق افتادن}{Happen} \persiangloss{هم ریختی}{Homomorphism} \persiangloss{اشتراک}{Intersection} \persiangloss{استقرا}{Induction} \persiangloss{اثر گذاشتن }{Influence} \persiangloss{پایا}{Invariant} \persiangloss{درواقع}{Indeed} \persiangloss{تحول ناپذیر}{Irreducible} \persiangloss{تحقیق کردن}{Investigate} \persiangloss{یکریختی}{Isomorphic} \persiangloss{مشترک}{Joint} \persiangloss{باقی گذاردن،واگذارکردن}{Leave} \persiangloss{ماکزیمال}{Maximal} \persiangloss{مینیمال}{Minimal} \persiangloss{تغییر دادن}{Modify} \persiangloss{اشاره کردن}{Mention} \persiangloss{تکین،منفرد}{Monic} \persiangloss{مدول}{Module} \persiangloss{پوچ توان}{Nilpotent} \persiangloss{نرمالساز}{Normalizer} \persiangloss{$ n $ -چنبره ماکزیمال}{n - Maximal torus} \persiangloss{سه تایی مرتب}{Order triples} \persiangloss{ویژه }{particular} \persiangloss{مقسوم علیه}{Prime divisor} \persiangloss{مقدماتی}{Preliminary} \persiangloss{گروه خطی خاص تصویری}{Projective special linear group} \persiangloss{گروه خطی عمومی تصویری}{Projective general linear group} \persiangloss{گروه یکانی خاص تصویری}{Projective special unitary group} \persiangloss{افراز}{Partition} \persiangloss{گروه تام }{Perfect group} \persiangloss{$ p $-تکین}{p-singular} \persiangloss{مولد شبه سینگر}{Pseudo singer generator} \persiangloss{گزاره}{Proposition} \persiangloss{$ p $-زیر گروه}{P-subgroup} \persiangloss{گروه کواترنیون}{Quaternion} \persiangloss{تحدید}{Restriction} \persiangloss{تحویل پذیر}{Reducibly} \persiangloss{حل پذیر }{Soluble} \persiangloss{ساختار}{Structure} \persiangloss{گروه سوزوکی}{Suzuki group} \persiangloss{معنی داشتن}{Stand} \persiangloss{گروه متقارن}{Symmetric group} \persiangloss{حل پذیری}{Solubility} \persiangloss{گراف ساده}{Simple graph} \persiangloss{رادیکال حل پذیر}{Solvable radical} \persiangloss{گروه خطی خاص}{Special linear group} \persiangloss{ضریب شور}{Scher multiplier} \persiangloss{گروه نیم ساده}{Semi-simple group} \persiangloss{تک عضوی}{Singleton} \persiangloss{به آسانی قابل فهمیدن}{Straight forward} \persiangloss{مولد سینگر}{Singer generator} \persiangloss{زیرگروه دوری سینگر}{Singer cycle subgroup} \persiangloss{سیلو}{Sylow} \persiangloss{به طورکلی}{Throughout} \persiangloss{دوبار}{Twice} \persiangloss{مثلثی}{Triangular} \persiangloss{چنبره}{Torus} \persiangloss{اجتماع}{Union} \persiangloss{ضریب جهانی}{Univeasal coeffcient} \persiangloss{تک توان}{Unipotent} \persiangloss{تک مثلثی}{Unitriangular} \printindex \singlespacing \thispagestyle{empty} \begin{latin}\newpage \begin{center} {{\textbf{\large{Abstract}}}} \end{center} \vskip 1cm This proposal consists of the following subjects:\\ The question posed by B.H. neumann in 2000 is answered in the first part of this proposal.\\ Supposing that m,n are two natural numbers.We can say.Group G in the condition of comm(m,n) satisfies if for every subset of M,N from G(which are elements of m,n respectively) at least one element of M should commute with at least one element of N.\\ "What relationship should be existed between G ,m,n in order to guarentee that G is abelian"\\ In the second part of this proposal.The characterization of elements with the size of maximum(clique numbers)of family of simple minimal group will be determined and also the structure of all non-solvable groups in the condition of $ \omega (\mathcal{A}_{G})\leqslant 57 $will be investigated.\\ In the final part،we will introduce singer generator elements, pseudo singer generator and p-elements of linear groups GL(3,q).\\ Then we will obtain clique numbers GL(3,q)with a relation in accordance with q and at last we will guess \\conjectured lower bounded for clique numbers GL(n,q).\\ \\ \textbf{Keywords:} \\ \textit{simple group,solvable group,clique number, singer cycle subgroup,singer generator and pseudo singer generator elements,unipotent element.} \end{latin} \end{document}