\chapter{ نظریه‌ی اندازه } 
در هندسه‌ی مقدماتی، به زیر مجموعه‌های ساده‌ی هندسی خط، صفحه، و فضای سه بعدی، «اندازه‌هایی عددی» به نام طول، مساحت و حجم اختصاص داده می‌شود. ابتدا آنچه به طور شهودی بدیهی است این است که طول یک پاره خط، مساحت یک مستطیل و حجم یک مکعب، چطور باید تعریف شود. با عبور از این مرحله، با استفاده از روش‌های هندسه‌ی مقدماتی، طول، مساحت، و حجم مجموعه‌های پیچیده‌تری را می‌توانیم مشخص ‌کنیم در صورتی که قواعد محاسباتی مشخصی را برای کار با این اندازه‌های عددی بپذیریم. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{$\sigma$ -جبرها و مولدهای آن} 
فرض کنیم $\Omega$ یک مجموعه‌ی دلخواه باشد و ${\mathcal{P}}({\Omega})$ 
مجموعه‌ی توانی آن، یعنی، مجموعه‌ی همه‌ی زیرمجموعه‌های $\Omega$ را نشان دهد. در این صورت همراه با هر خانواده‌ی $(A_i)_{i\in I}$ از مجموعه‌های متعلق به ${\mathcal{P}}({\Omega})$، اجتماع $\cup_{i\in I}A_i$ و اشتراک $\cap_{i\in I}A_i$ نیز متعلق به ${\mathcal{P}}(\Omega)$ هستند. به علاوه ${\mathcal{P}}(\Omega)$ شامل مکمل
$\complement A $ از هر مجموعه‌ی $A$ در خودش است.

در ادامه به مطالعه‌ی زیرسامانه‌های $\mathcal{A}$ از ${\mathcal{P}}(\Omega)$ می‌پردازیم که خواصی مشابه با 
${\mathcal{P}}(\Omega)$
،حداقل برای مجموعه‌ی زیرنویس‌های شمارش پذیر $I$ دارند؛ طبق قراردادهای ذکر شده در مقدمه، مجموعه‌های شمارش پذیر، مجموعه‌هایی هستند که متناهی یا شمارش پذیر نامتناهی‌اند.
\bd\label{1.1}
یک سامانه‌ی $\mathcal{A}$ از زیرمجموعه‌های یک مجموعه‌ی $\Omega$، یک $\sigma$-جبر (در $\Omega$) نامیده می‌شود هرگاه دارای ویژگی‌های زیر باشد
\be\label{eq1.1}
\Omega\in{\mathcal{A}}
\ee
\be\label{eq1.2}
A\in{\mathcal{A}}\Rightarrow {\mathcal {A}}  \in{\mathcal{A}}
\ee
\be\label{eq1.3}
(A_n)_{n\in \Bbb {N}\subset{\mathcal{A}}}\Rightarrow\cup_{n\in \Bbb {N}}^ n\in{\mathcal{A}}
\ee

\ed
\noindent
{\bf مثال.}1. ${\mathcal{P}}(\Omega)$ همواره یک $\sigma$-جبر است.

2. برای هر مجموعه‌ی $\Omega$، سامانه‌ی همه‌ی زیرمجموعه‌های آن که شمارش‌پذیر یا هم‌شمارش‌پذیر هستند
(یعنی، زیرمجموعه‌های $A$ از $\Omega$ به طوری که $A$ یا $\complement A$ شمارش‌پذیر باشد) یک $\sigma$-جبر
 تشکیل مي‌دهد. ويژگي (\ref{eq1.3}) به صورت زیر ثابت می‌شود. اگر هر $A_n$ شمارش‌پذیر باشد، آن گاه اجتماع $\bigcup_{n\in?{N}} A_n$ نیز همین طور است. اگر $A_n$ وجود داشته باشد که شمارش‌پذیر نباشد، آن گاه مکمل آن شمارش‌پذیر است، و مجموعه‌ی $\complement C\bigcup_{n\in\Bbb{N}A_n}=\bigcap_{n\in\Bbb{N}}\complement A_n$ نیز به عنوان زیرمجموعه‌ی $\complement A_n$ شمارش‌پذیر است.

3. اگر ${\mathcal{A}}$ یک $\sigma$-جبر در یک مجموعه‌ی $\Omega$ و $\Omega'$ یک زیرمجموعه‌ی $\Omega$ باشد، آن‌گاه 
\be\label{eq1.4}
\Omega' \cap {\mathcal{A}}:=\{ \Omega' \cap A: A\in \mathcal{A} \}
\ee
معروف به اثر ${\mathcal{A}}$ در $\Omega'$، یک $\sigma$-جبر در $\Omega'$ است. در حالتی که $\Omega'\in\mathcal{A}$، نماد $\Omega'\cap\mathcal{A}$ به طور ساده، همه‌ی زیرمجموعه‌های $\Omega'$ متعلق به ${\mathcal{A}}$ را نشان می‌دهد.

4. فرض کنیم $\Omega$ و $\Omega'$ دو مجموعه، ${\mathcal{A}}'$ یک $\sigma$-جبر در $\Omega'$ و $T:\Omega\rightarrow\Omega'$ یک نگاشت باشد. در این صورت بنابر ویژگی‌های آشنای عمل‌های نظریه مجموعه‌ها، تحت تصویر وارون، سامانه‌ی متشکل از مجموعه‌های زیر یک $\sigma$-جبر است
\be\label{eq1.5}
T^{-1}({\mathcal{A}}):=\{T^{-1}(A'):A'\in\mathcal{A}\}.
\ee
هر $\sigma$-جبر ${\mathcal{A}}$ دارای ویژگی‌های «دوگان» برای (\ref{eq1.1}) و (\ref{eq1.3}) است؛ یعنی،
\be\label{eq1.6} \emptyset\in\mathcal{A}, \ee
\be\label{eq1.7} (a_n)_{n\in\Bbb{N}}\subset {\mathcal{A}}~~\Rightarrow~~\cap_{n\in\Bbb{N}}A_n\in\mathcal{A} \ee
که این ویژگی‌ها از (\ref{eq1.1})-(\ref{eq1.3}) و برابری‌های $\emptyset=\complement\Omega$ و $\cap A_n=\complement(\cup\complement A_n)$ به دست می‌آیند. به علاوه
$$A_1\cup ... \cup A_n=A_1\cup ...\cup A_n\cup \emptyset\cup\emptyset\cup ...$$
و
$$A_1\cap ...\cap A_n=A_1\cap ...\cap A_n\cap \Omega\cap\Omega\cap ...$$
بنابراین ${\mathcal{A}}$ شامل اجتماع و اشتراک هر تعداد متناهی از مجموعه‌های خودش نیز هست. همچنین از این مشاهدات و (\ref{eq1.2}) داریم
\be\label{eq1.8} A,B\in\mathcal{A}~~\Rightarrow~~A\backslash B=A\cap\complement B\in\mathcal{A}.\ee
برای ساختن $\sigma$-جبرها، قضیه‌ی زیر از اهمیت خاصی برخوردار است.
\bt\label{1.2}
اشتراک $\cap_{i\in I}{\mathcal{A}}_i$ از هر خانواده‌ی
$({\mathcal{A}}_i)_{i\in I}$
از $\sigma$-جبرها در یک مجموعه‌ی یکسان
$\Omega$، یک $\sigma$-جبر در $\Omega$ است.
\et
اثبات این قضیه تنها یک بررسی ساده‌ی ویژگی‌های (\ref{eq1.1})-(\ref{eq1.3}) می‌باشد. در نتیجه برای هر دستگاه $\xi$ از زیرمجموعه‌های $\Omega$ کوچکترین $\sigma$-جبر $\sigma({\cal E})$ شامل ${\cal E}$ وجود دارد؛ یعنی،
$\sigma({\cal E})$ یک $\sigma$-جبر در $\Omega$ با ویژگی‌های زیر است

(1) ${\cal E}\su\si({\cal E})$،

(2) برای هر $\sigma$-جبر ${\mathcal{A}}$ در $\Omega$ با شرط ${\cal E}\su\mathcal{A}$ داریم $\sigma({\cal E})\subseteq\mathcal{A}$.

برای اثبات فرض کنیم $\Sigma$ سامانه‌ی همه‌ی $\sigma$-جبرهای ${\mathcal{A}}$ در $\Omega$ با شرط ${\cal E}\su\mathcal{A}$ است؛ برای مثال، ${\mathcal{P}}(\Omega)$ یک عضو از $\Sigma$ است. در این صورت $\sigma({\cal E})$ اشتراک همه‌ی عناصر ${\mathcal{A}}\in \Sigma$ است که طبق \ref{1.2}، دارای همه ی ویژگی‌های مطلوب است.

$\sigma({\cal E})$،
{\it $\sigma$-جبر تولیدشده به وسیله‌ی}
${\cal E}$
(در $\Omega$) و ${\cal E}$ 
{\it مولد $\sigma({\cal E})$}
نامیده می‌شود.
\noindent{\bf مثال.}
5. اگر ${\cal E}$ یک $\sigma$-جبر در $\Omega$ باشد، آن گاه ${\cal E}=\sigma({\cal E})$.

6. اگر ${\cal E}$ تنها از یک زیرمجموعه‌ی $A$ از $\Omega$ تشکیل شده باشد، آن گاه $\sigma({\cal E})=\{\emptyset,A,\complement A,\Omega\}$.

7. جبر مثال 2 به وسیله‌ی سامانه‌ی همه‌ی زیرمجموعه‌های متناهی $\Omega$ تولید شده است.

سامانه‌های متعددی از مجموعه‌های دارای تنها برخی از خواص $\sigma$-جبرها، مکرراً به عنوان مولد درنظر گرفته می‌شوند. از نمونه‌های خاص جالب توجه، حلقه‌هایی از مجموعه‌ها هستند.

\bd\label{1.3}
یک سامانه ${\mathcal{R}}$ از زیرمجموعه‌های یک مجموعه‌ی $\Omega$ یک {\it حلقه} (در $\Omega$) نامیده می‌شود هرگاه دارای ویژگی‌های زیر باشد
\be\label{eq1.9} \emptyset\in\cR;\ee
\be\label{eq1.10}A,B\in\cR~~\Rightarrow~~A\backslash B\in\cR;\ee
\be\label{eq1.11} A,B\in\cR~~\Rightarrow~~A\cup B\in\cR.\ee
اگر، به علاوه
\be\label{eq1.12} \Omega\in\cR\ee
آن گاه ${\mathcal{R}}$ یک جبر (در $\Omega$)
نامیده می‌شود.
\ed 

یک حلقه، نه تنها اجتماع، بلکه اشتراک هر دو مجموعه‌ی خود (و لذا هر گردایه متناهی از مجموعه‌های خود) را نیز شامل می‌شود.
\bt\label{1.4}
یک سامانه ${\mathcal{R}}$ از زیرمجموعه‌های یک مجموعه‌ی $\Omega$ یک جبر است اگر و فقط اگر دارای ویژگی‌های (\ref{eq1.1})، (\ref{eq1.2}) و (\ref{eq1.11}) باشد.
\et
\bpr
با توجه به تعریف، یک جبر دارای ویژگی‌های (\ref{eq1.1})، (\ref{eq1.11}) و (\ref{eq1.10}) است که از ویژگی آخر، (\ref{eq1.2}) نتیجه می‌شود. گزاره‌ی عکس، از این واقعیت که $\emptyset=\complement\Omega$ همراه با برابری نظریه مجموعه‌ای 
$$A\backslash B=A\cap \complement B=\complement (B\cap\complement A)$$
نتیجه می‌شود.
\epr
\noindent{\bf مثال.}
8. هر $\sigma$-جبر یک جبر است.

9. برای هر مجموعه‌ی $\Omega$ سامانه‌ی همه‌ی زیرمجموعه‌های $A$ از $\Omega$ که متناهی یا هم متناهی (یعنی، دارای مکمل متناهی در $\Omega$) هستند یک جبر است، اما تنها وقتی یک $\sigma$-جبر است که $\Omega$ متناهی باشد.

10. دستگاه همه‌ی زیرمجموعه‌های متناهی از یک مجموعه‌ی $\Omega$ یک حلقه است، اما تنها وقتی یک جبر است که $\Omega$ متناهی باشد.

11. کوچکترین حلقه از زیرمجموعه‌های یک مجموعه‌ی $\Omega$، مجموعه‌ی تهی $\emptyset$ است.

\noindent{\bf تمرين.}1. برای هر دستگاه $\xi$ از زیرمجموعه‌های یک مجموعه‌ی $\Omega$، کوچکترین حلقه‌ی ${\mathcal{P}}(\xi)$ در $\Omega$ وجود دارد که شامل $\xi$ است. این حلقه،
{\it حلقه‌ی تولید شده به وسیله‌ی }
$\xi$ نامیده می‌شود. این ادعای وجودی را ثابت کنید. در حالتی که $\xi$ از دو زیرمجموعه‌ی $A$ و $B$ از $\Omega$ تشکیل شده است ${\mathcal{P}}(\xi)$ و $\sigma(\xi)$ را مشخص کنید؛ 
در این حالت چه وقتی برابری ${\mathcal{P}}(\xi)=\sigma(\xi)$ برقرار است؛ برای یک $\xi$ دلخواه، چه وقتی این برابری برقرار است؟

2. برای مجموعه‌های $A$ و $B$، مجموعه‌ی زیر 
{\it تفاضل متقارن}
آنها نامیده می‌شود
$$A\triangle B:=(A\bk B)\cup(B\bk A)$$
ثابت کنید که تفاضل متقارن از قواعد محاسباتی زیر (که در آن $A$، $B$ و $C$ مجموعه‌هایی دلخواه هستند) پیروی می‌کند\\
(الف)
$A\tr B=B\tr A;\hspace{5cm}$\\
(ب) 
$(A\tr B)\tr C=A\tr(B\tr C);\hspace{4.5cm}$\\
(ج)
$A\tr A=\emptyset;~~~~~A\tr\es=A;\hspace{4.5cm}$\\
(د)
$\complement A\tr \complement B=A\tr B;\hspace{5cm}$\\
(ه)
$(A\tr B)\cap C=(A\cap C)\triangle(B\cap C);\hspace{4cm}$\\
(و)
$(\bigcup_{n\in\Bbb{N}}A_n)\triangle(\bigcup_{n\in\Bbb{N}}B_n)\subseteq\bigcup_{n\in\Bbb{N}}(A_n\tr B_n)\hspace{3.5cm}$\\
(برای دنباله‌های دلخواه $(A_n)$ و $(B_n)$ از مجموعه‌ها).
3. از تمرین 2 نتیجه بگیرید که زیرمجموعه‌ی ${\mathcal{R}}$ از $\rho(\Omega)$ یک حلقه در مجموعه‌ی $\Omega$ است اگر و فقط اگر ${\mathcal{R}}$ نسبت به عمل $\triangle$ (به عنوان جمع) و $\cap$ (به عنوان ضرب) یک حلقه‌ی جابه جایی، به مفهوم مورد استفاده‌ی جبردانان، تشکیل بدهد.

4. یک زیرمجموعه‌ی ${\mathcal{N}}$ از حلقه‌ی ${\mathcal{R}}$ در مجموعه‌ی $\Omega$ یک
{\it ایدال}
نامیده می‌شود هرگاه شرایط زیر را برآورده کند:\\
(الف)
$\emptyset\in{\mathcal{N}};\hspace{6cm}$\\
(ب)
$N\in{\mathcal{N}},M\in{\mathcal{R}},M\subseteq N~~\Rightarrow~~M\in{\mathcal{N}};\hspace{3cm}$\\
(ج) 
$M,N\in{\mathcal{N}}~~\Rightarrow~~M\cup N\in{\mathcal{N}}.\hspace{3.7cm}$\\
در ادامه ی تمرین 3 نشان دهید زیرمجموعه‌ی ${\mathcal{N}}$ از ${\mathcal{R}}$ یک ایدال در ${\mathcal{R}}$ است اگر و فقط اگر یک ایدال به مفهوم جبردانان در حلقه‌ی جابجایی ${\mathcal{R}}$ باشد. هر ایدال در ${\mathcal{R}}$ یک حلقه در ${\mathcal{R}}$ است.

5. فرض کنیم $\Omega:=\mathbb{N}$ و برای هر $n\in\Bbb {N}$، ${\mathcal{A}}_n$ نشان دهنده‌ی $\sigma$-جبر در $\Omega$ تولید شده به وسیله‌ی سامانه‌ی $\sigma_n$ شامل تک عنصری‌های $\{n\},...,\{2\},\{1\}$ باشد. نشان دهید ${\mathcal{A}}_n$ از همه‌ی زیرمجموعه‌های $\Omega$ شامل $\{1,2,...,n\}$ و یا شامل مکمل این مجموعه، تشکیل می‌شود. واضح است که برای هر $n\in\Bbb{N}$ داریم ${\mathcal{A}}_n\subseteq\mathcal{A}_{n+1}$. چرا با این وجود، $\cup_{n\in\Bbb{N}}{\mathcal{A}}_n$ یک $\sigma$-جبر در $\Omega={\mathbb{N}}$ نیست؟

[{\it راهنمایی:}
در حالت کلی برای هر دنباله‌ی صعودی $({\mathcal{R}}_n)_{n\in\Bbb{N}}$ از حلقه‌ها در یک مجموعه‌ی $\Omega$، اجتماع ${\mathcal{R}}_{n}$ها شامل یک $\sigma$-جبر است اگر و تنها اگر از یک اندیس به بعد با هم برابر باشند. به
اوردیک، سیمونز و سیمن
[1979]
و برای حالت خاص $\sigma$-جبرها، به بروتن و هاف 
[1977]
رجوع کنید.]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{دستگاه‌های دینکین} 
بیشتر اوقات تشخیص مستقیم $\sigma$-جبر بودن یک سامانه ی داده شده از مجموعه‌ها، دشوار است. مفهوم زیر، که به دینکین [1961] و البته پیش از آن به سرپینسکی 
[1928]
برمی گردد، به عبور از برخی از این دشواری‌ها کمک می کند.
\bd\label{2.1}
یک سامانه ی $\D$ 
از زیرمجموعه‌های مجموعه ی $\Omega$
{\it سامانه دینکین } (در $\Omega$)
نامیده می شود هرگاه دارای ویژگی‌های زیر باشد
\be\label{eq2.1} \Omega\in\D;\ee
\be\label{eq2.2} D\in\D~~\Rightarrow~~\complement D\in\D;\ee
\be\label{eq2.3} n\in\Bbb{N}~\hbox{برای مجزا دوبه دو }~D_n \in\D~~\Rightarrow~~\bigcup_{n\in\Bbb{N}}D_n\in\D\ee
بنابراین هر سامانه ی دینکین ${\mathcal{D}}$ شامل مجموعه ی تهی $\emptyset=\complement\Omega$ است، و از آنجا (\ref{eq2.3}) تضمین می کند که $\D$ شامل اجتماع هر گردایه ی دو به دو مجزای متناهی از مجموعه‌های خود است.
\ed
\noindent{\bf مثال.}
1. هر $\sigma$-جبر بوضوح یک سامانه ی دینکین است.\\
2. فرض کنیم $\Omega$ یک مجموعه ی متناهی با تعداد زوج $2n$ عنصر باشد $(n\in\Bbb{N})$. در این صورت سامانه ی ${\mathcal{D}}$ از تمام زیرمجموعه‌های $D$ از $\Omega$ شامل تعدادی زوج عنصر یک سامانه ی دینکین است. در حالتی که $n>1$، ${\mathcal{D}}$ جبر نیست؛ بنابراین مشخصاً یک $\sigma$-جبر نیز نیست.

ارتباط دقیق بین مفاهیم $\sigma$-جبر و سامانه دینکین در ملاحظات زیر آشکار می شود.
\bl\label{2.2}
هر سامانه ی دینکن ${\mathcal{D}}$ نسبت به تشکیل مکمل سره بسته است؛ بدین معنی که
\be\label{eq2.2'} D,E\in\D,~D\subseteq E~~\Rightarrow~~E\backslash D\in {\mathcal{D}}.\ee
\el
\bpr
بنا بر آنچه بعد از تعریف \ref{2.1} خاظر نشان شد، مجموعه $D\cup\complement E$، به عنوان اجتماع مجموعه‌های مجزای $D$ و $\complement E$ از $\D$، در ${\mathcal{D}}$ قرار دارد. اما در این صورت مکمل این مجموعه نسبت به $\Omega$، یعنی $E\cap\complement D=E\backslash D$، در ${\mathcal{D}}$ قرار دارد.
\epr
نتیجه آنکه، سامانه‌های دینکین با ویژگی‌های (\ref{eq2.1})، (\ref{eq2.2'}) و (\ref{eq2.3}) نیز می توانند تعریف شوند.
\bt\label{2.3} 
یک سامانه ی دینکین، دقیقاً هنگامی $\sigma$-جبر است که شامل اشتراک هر دو مجموعه اش باشد.
\et 
\bpr
باید نشان دهیم که هر سامانه ی دینکین بسته تحت اشتراک متناهی مانند ${\mathcal{D}}$، یک $\sigma$-جبر است. از ویژگی‌های معرف یک $\sigma$-جبر، تنها (\ref{eq1.3}) باید تصدیق شود و لذا آن را انجام می دهیم طبق (\ref{eq2.2'}) و فرضیه پیوستار، $A\backslash B=A\backslash(A\cap B)$ در ${\mathcal{D}}$ قرار دارد هرگاه$A,B\in\D$. 
چون $(A\backslash B)\cap B=\emptyset$ و $A\cup B=(A\backslash B)\cup B$، ${\mathcal{D}}$ شامل اجتماع هر دو است؛ بنابراین اجتماع هر تعداد متناهی از عناصرش را نیز شامل می شود. برای هر دنباله $(D_n)_n\in\Bbb{N}$ در ${\mathcal{D}}$، داریم 
$$\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} D_n= \bigcup_{n=0}^{\infty} (D'_{n+1}\backslash D'_n)$$
که در آن $D'_0:=\emptyset$ و برای هر $n\in\Bbb{N}$، $D'_n:=D_1\cup ...\cup D_n$. مجموعه‌های
$D'_{n+1}\backslash D'_n$ 
دو به دو مجزایند و بنا به آنچه هم اکنون ثابت شده است، آنها در ${\mathcal{D}}$ قرار دارند. از اینرو بنا بر (\ref{eq2.3})، اجتماع مجموعه‌های $D_n$ در ${\mathcal{D}}$ قرار دارد.
\epr
همانند $\sigma$-جبرها، جبرها و حلقه‌ها، هر سامانه ی ${\cal E}$ از زیرمجموعه‌های $\Omega$ در یک کوچکترین سامانه ی دینکین قرار می گیرد که، البته، 
{\it سامانه دینکین تولیدشده توسط}
${\cal E}$ نامیده و با $\delta({\cal E})$ نشان داده می شود.\\
اهمیت سامانه‌های دینکین پیش از هر چیز در واقعیت زیر نهفته است.
\bt\label{2.4}
هر زیرمجموعه‌ی بسته تحت اشتراک متناهی ${\cal E}$ از ${\mathcal{P}}(\Omega)$ شرط زیر را برآورده می‌کند
\be\label{eq2.4} {\bf \delta}({\cal E})={\bf \sigma}({\cal E})\ee
\et
\bpr
چون هر $\sigma$-جبر یک سامانه‌ي دینکین است، $\sigma({\cal E})$ یک سامانه‌ی دینکین شامل ${\cal E}$ است و در نتیجه 
$\delta({\cal E})\subseteq\sigma\delta({\cal E})$.
اگر برعکس، می‌دانستیم $\delta({\cal E})$ یک $\sigma$-جبر است، رابطه‌ی دوگان $\delta({\cal E})\subseteq\sigma\delta({\cal E})$ نیز نتیجه می‌شد. لذا بنا بر \ref{2.3}، کافی است نشان دهیم که $\delta({\cal E})$ تحت اشتراک بسته است. برای اثبات این ویژگی، برای هر $D\in \delta({\cal E})$، سامانه‌ی زیر را معرفی می‌کنیم
$${\mathcal{D}}_D:=\{Q\in\cP(\Omega)~:~Q\cap D\in\delta({\cal E})\}.$$
بررسی ساده‌ای تصدیق می‌کند که ${\mathcal{D}}_D$ یک سامانه دینکین است. برای هر $E\in{\cal E}$، مفروضات روی ${\cal E}$
تضمین می‌کند که ${\cal E}\subseteq\D_E$ و از آنجا $\delta({\cal E})\subseteq\D_E$ .بنابراین برای هر $D\in\delta({\cal E})$ و هر $E\in{\cal E}$ داریم $E\cap D\in\delta({\cal E})$؛ یعنی، ${\cal E}\subseteq\D_D$، و در نتیجه $\delta({\cal E})\subseteq\D_D$.اما این دقیقا همان ویژگی $\delta({\cal E})$ است که باید تصدیق می‌شد.
\epr


از این پس، سامانه‌های زیرمجموعه‌هایی که تحت اشتراک (به ترتیب، اجتماع) دو، و لذا هر تعداد متناهی، از مجموعه‌های خود بسته هستند، با عنوان $\cap$-پایا (به ترتیب، $\cup$-پایا) توصیف خواهند شد.
\noindent
{\bf تمرين.}
سامانه‌ی دینکین تولید شده توسط سامانه‌ی متشکل از تنها دو زیرمجموعه‌ی $A$ و $B$ از $\Omega$ را مشخص کنید. نشان دهید که $\delta({\cal E})$ و $\sigma({\cal E})$ بر هم منطبق می‌شوند صرفاً در حالتی که یکی از مجموعه‌های $A\cap B$، $A\cap\complement B$، $\complement A\cap B$ یا $\complement A\cap\complement B$ تهی باشد.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{محتوا، پیش اندازه، اندازه}
ترکیب مفاهیم حلقه و $\sigma$-جبر با ویژگی‌های $(B)$ و $(C)$ طول، سطح و حجم که در مقدمه آشنا شدیم به مفاهیم پایه‌ای نظریه اعداد منجر می‌شود.
\bd\label{3.1}
فرض کنیم ${\mathcal{R}}$ یک حلقه در $\Omega$ و $\mu$ یک تابع روی ${\mathcal{R}}$ با مقادیر در $[0,+\infty]$ باشد. در این صورت $\mu$ یک 
{\it پیش اندازه}
روی ${\mathcal{R}}$ نامیده می‌شود هرگاه
\be\label{eq3.1} \mu(\emptyset)=0\ee
و برای هر دنباله‌ي $(A_i)$ از مجموعه‌های دو به دو مجزای ${\mathcal{R}}$ که اجتماع آنها در ${\mathcal{R}}$ قرار می‌گیرد،
\be\label{eq3.2} (\hbox{-جمعي$\sigma$})~~~~~~~\mu(\bigcup_{i=1}^\infty A_i)=\sum_{i=1}^\infty\mu(A_i)\ee
$\mu$ 
یک
{\it محتوا}
نامیده می‌شود اگر به جای (\ref{eq3.2}) تنها برای هر (دو و لذا) تعداد متناهی مجموعه‌ی دو به دو مجزای $A_n,...,A_1$ در ${\mathcal{R}}$ داشته باشیم
\be\label{eq3.3} \hbox{متناهي جمعي}~~~~~~~\mu(\bigcup_{i=1}^nA_i)=\sum_{i=1}^n\mu(A_i)\ee
بنا بر (\ref{eq3.1})، هر پیش اندازه بوضوح یک محتواست. برای مشاهده‌ی این گزاره، تنها کافی است در (\ref{eq3.2}) قرار دهیم $A_{n+1}=A_{n+2}=...=\emptyset$. 

\ed

\noindent{\bf مثال.}1. برای هر حلقه‌ی ${\mathcal{R}}$ در $\Omega$ و هر نقطه‌ی $\Omega$ در $\Omega$، تابع $\xi_\Omega$ تعریف شده روی ${\mathcal{R}}$ با دستور
\be\label{eq3.4} \xi_\Omega(A):=\left\{\begin{array}{ll}1&\Omega\in A\\
0&w\notin A\end{array}\right.\ee
یک پیش اندازه است؛ آن را پیش اندازه‌ي تعریف شده به وسیله‌ي {\it جرم یکه در} $\Omega$ می نامند.

2. فرض کنیم ${\mathcal{A}}$، $\sigma$-جبر تعریف شده در مثال 2 از بخش 1، به ازای یک مجموعه‌ي ناشمارای $\Omega$ مانند ${\mathbb{R}}$ باشد. بر اساس شمارایی $A$ یا $\complement A$، $\mu(A)$ را برابر 0 یا 1 تعریف می‌کنیم. چون از دو زیرمجموعه‌ی مجزای $\Omega$، حداکثر یکی از آنها می‌تواند مکمل شمارا داشته باشد، ویژگی (\ref{eq3.2}) به آسانی تصدیق می‌شود؛ بنابراین $\mu$ یک پیش اندازه روی ${\mathcal{A}}$ است.

3. فرض کنیم ${\mathcal{A}}$ یک جبر تعریف شده در مثال 9 از بخش 1 به ازای یک مجموعه‌ی شمارای نامتناهی $\Omega$ باشد. بر اساس متناهی بودن $A$ یا $\complement A$، $\mu(A)$ را برابر 0 یا 1 تعریف می‌کنیم. در این صورت $\mu$ یک محتواست اما پیش اندازه نیست. ادعای اول، اثباتی مشابه با مثال قبل دارد، ادعای دوم از این واقعیت نتیجه می‌شود که $\Omega$ اجتماع مجزای تعدادی شمارا مجموعه‌ی تک عنصری است.

4. فرض کنیم $\mu_1$، $\mu_2$،... دنباله‌ای از محتواها (اندازه)‌ها روی یک حلقه ${\mathcal{R}}$، و فرض کنیم $\alpha_1$، $\alpha_2$،... یک دنباله از اعداد حقیقی نامنفی باشد. در این صورت 
$$\mu:=\sum_{n=1}^{\infty}\alpha_n\mu_n$$
نیز یک محتوا (پیش اندازه) روی ${\mathcal{R}}$ است.\\
هر محتوای $\mu$ روی یک حلقه‌ی ${\mathcal{R}}$ (به ازای $A,B,A_1,B_1,...\in\cR$ )
از ویژگی‌های زیر برخوردار است
\be\label{eq3.5} ~~~~~~~~ \mu(A\cup B)+\mu(A\cap B)=\mu(A)+\mu(B);\ee
\be\label{eq3.6} \hbox{صعودي}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~A\s B~\Rightarrow~\mu(A)\leq \mu(B)\ee
\be\label{eq3.7} \hbox{تفریقی}~~~~~~~~ A\s B,\mu(A)<+{\infty}~\Rightarrow~\mu(B\bk A)=\mu(B)-\mu(A)\ee
\be\label{eq3.8} \hbox{زیرجمعی}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mu(\bigcup_{i=1}^nA_i)\leq\sum_{i=1}^n\mu(A_i)\ee
و برای هر دنباله‌ي دو به دو مجزای $(A_n)$ از عناصر ${\mathcal{R}}$ با اجتماع متعلق به ${\mathcal{R}}$،
\be\label{eq3.9} \sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)\leq\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n).\ee

\bpr
برای هر دو مجموعه‌ی دلخواه $A$ و $B$ در ${\mathcal{R}}$،
$$A\cup B=A\cup(B\bk A)~~~~\hbox{و}~~~~B=(A\cap B)\cup(B\bk A).$$
بنا بر جمعی متناهی بودن $\mu$، از این برابری‌ها نتیجه می‌شود که
$$\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B\bk A)~~~~\hbox{و}~~~~\mu(B)=\mu(A\cap B)+\mu(B\bk A),$$
و از جمع دو برابری اخیر،
$$\mu(A\cup B)+\mu(A\cap B)+\mu(B\bk A)=\mu(A)+\mu(B)+\mu(B\bk A).$$
در حالتی که $\mu(B\bk A)$ متناهی است، (\ref{eq3.5}) از این برابری نتیجه می‌شود. در حالتی که $\mu(B\bk A)=+\infty$، دستورهای $\mu(A\cup B)$ و $\mu(B)$ نشان می‌دهند که هر یک از این دو نیز باید برابر $+{\infty}$ باشند و لذا (\ref{eq5.3}) در این حالت نیز صدق می‌کند. اگر $A\su B$، دستور اخیر برای $\mu(B)$ بیان می‌کند که 
$$\mu(B)=\mu(A)+\mu(B\bk A),$$
که به واسطه‌ی $\mu\geq0$، هر دو ویژگی (\ref{eq3.6}) و (\ref{eq3.7}) را تحویل می‌دهد. اگر قرار دهیم $B_1:=A_1$، $B_2:=A_2\bk A_1$، ...، $B_n:=A_n\bk(A_1\cup ...A_{n-1})$، آن گاه $B_n,...,B_1$ مجموعه‌هایی دو به دو مجزا از ${\mathcal{R}}$ هستند که موجب می‌شود
$$\mu(\bigcup_{i=1}^nB_i)=\sum_{i=1}^n\mu(B_i).$$
حال از این واقعیت که $(i=1,...,n)~B_i\su A_i$، $\mu$ صعودي است و $\cup_{i=1}^nB_i=\cup_{i=1}^nA_i$، ویژگی (\ref{eq8.3}) به دست می‌آید. برای اثبات (\ref{eq3.9})، تنها باید ملاحظه کنیم که برای هر دنباله‌ي $(A_n)_{n\in\Bbb{N}}$ از مجموعه‌های دو به دو مجزای ${\mathcal{R}}$ با شرط $A:=\cup_{n\in\Bbb{N}} A_n\in\cR$،
$$\mu(A_1)+...+\mu(A_m)=\mu(A_1\cup ...\cup A_m)\leq\mu(A)~~~~~~(m\in\mathbb{N})$$
و $m$ را به سمت $\infty$ میل دهید.
\epr


بالاخره اگر $\mu$ یک پیش اندازه روی ${\mathcal{R}}$، آن گاه برای مجموعه‌های $A_0$، $A_1$، ... در ${\mathcal{R}}$ داریم
\be\label{eq3.10} A_0\s\bigcup_{n=1}^\infty A_n~~\Rightarrow~~\mu(A_0)\leq\sum_{n=1}^\infty\mu(A_n).\ee
بنا بر $A_0=\cup(A_0\cap A_n)$ و (\ref{eq3.6})، برای بررسی (\ref{eq3.10})، می‌توانیم فرض کنیم که $A_0=\cup A_n$. در این صورت قرار می‌دهیم $B_1:=A_1$، $B_2:=A_2\bk A_1$، ...، $B_n:=A_n\bk(A_1\cup...\cup A_{n-1})$ و همانند اثبات (\ref{eq3.8}) ادامه می‌دهیم. در حالت خاص، هرگاه همه‌ی مجموعه‌های $A_n$ و نیز اجتماع آنها در ${\mathcal{R}}$ باشند، داریم
\be\label{eq3.10'}\mu(\bigcup_{n=1}^\infty A_n)\leq\sum_{n=1}^\infty \mu(A_n)\ee
قضیه‌ی زیر، پیش اندازه‌ها را با ویژگی‌های دیگری مرتبط با ویژگی $\sigma$-جمعی مشخص می‌کند. بیان آن با استفاده از نمادهای زیر به ازای مجموعه‌های $E_1$، $E_2$، ... ساده‌تر می‌شود.
\be\label{eq3.11} E_n\uparrow E~~~~\hbox{و}~~~~E_n\downarrow E\ee
به ترتیب بدین معنی که $E_1\su E_2\su ...$ صادق در $E=\cup E_n$ و $E_1\supseteq E_2 \supseteq ...$ صادق در $E=\cap E_n$. به عبارت دیگر، دنباله‌ی $(E_n)$ یا به طور تکنوا به $E$ صعود می‌کند یا به طور پادنوا به $E$ نزول می‌کند.
\bt\label{3.2} 
برای یک محتوای $\mu$ روی حلقه‌ی ${\mathcal{R}}$ گزاره‌های زیر را درنظر بگیرید.\\
(الف) $\mu$ یک پیش اندازه است.\\
(ب) $A_n,A\in\cR$ با شرط $A_n\uparrow A$ ایجاب می‌کند که
$\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)=\mu(A)$
. (پیوستگی از پایین)\\
(ج) $A_n,A\in\cR$ با شرط $A_n\downarrow A$ و $\mu(A_n)<+\infty$ برای هر $n$ ایجاب می‌کند که $\lim_{n\rightarrow \infty}\mu(A_n)=\mu(A)$. (پیوستگی از بالا)\\
(د) $A_n\in\cR$ با شرط $A_n\uparrow\es$ و $\mu(A_n)<+\infty$ برای هر $n$ ایجاب می‌کند که $\lim_{n\rightarrow\ii}\mu(A_n)=0$. (پیوستگی در $\emptyset$ )
\\
در این صورت استلزام‌های زیر برقرارند
$$\hbox{(الف)}~\Leftrightarrow~\hbox{(ب)}~~\Rightarrow~~\hbox{(ج)}~\Leftrightarrow~\hbox{(د)}.$$
اگر $\mu$ روی ${\mathcal{R}}$ متناهی باشد، $\mu(A)<+\infty$ برای هر $A\in\cR$، آن گاه چهار گزاره (الف) تا (د) هم ارزند.
\et 
\bpr
(الف) $\Leftarrow$ (ب). با تعریف $A_0:=\emptyset$، مجموعه‌های $(n\in\Bbb{N})~B_n:=A_n\bk A_{n-1}$ كه دو به دو مجزایند، در ${\mathcal{R}}$ قرار دارند و شرایط زیر را برآورده می‌سازند
$$A=\bigcup_{n=1}^\infty B_n~,~A_n=B_1\cup ... \cup B_n.$$
از اینرو بنا بر $\sigma$-جمعی بودن $\mu$،
$$\mu(A)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(B_n)=\lim_{n\rightarrow\ii}\sum_{n=1}^{n}\mu(B_i)=
\lim_{n\rightarrow\ii}\mu(A_n).$$
(ب) $\Leftarrow$ (الف). فرض کنیم $(A_n)$ یک دنباله از مجموعه‌های دوبه دو مجزا در ${\mathcal{R}}$ باشد که اجتماع آنها $A:=\cup A_n$ نیز در ${\mathcal{R}}$ قرار دارد. اگر قرار دهیم $B_n:=A_1\cup ...\cup A_n$، آن گاه $B_n\in {\mathcal{R}}$ و $B_n\uparrow A$؛ بنابراین $\mu(A)=\lim\mu(B_n)$. به عنوان نتیجه‌ای از جمعی بودن $\mu$،
$$\mu(B_n)=\mu(A_1)+...+\mu(A_n)$$
و لذا $\mu(A)=\sum\mu(A_n)$.
پس $\mu$، $\sigma$-جمعی است و در نتیجه یک پیش اندازه است.\\
(ب) $\Leftarrow$ (ج). طبق (\ref{eq7.3})، برای هر $n\in\Bbb{N}$ داریم $\mu(A_1\bk A_n)=\mu(A_1)-\mu(A_n)$. از $A_n\downarrow A$ نتیجه می شود $A_1\bk A_n\uparrow A_1\bk A$ و همه‌ی مجموعه‌های ظاهر شده در اینجا در ${\mathcal{R}}$ هستند. بنابراین از (ب) داریم
$$\mu(A_1\bk A)=\lim_{n\rightarrow\ii}\mu(A_1\bk A_n)=\mu(A_1)-\lim_{n\rightarrow\ii}\mu(A_n).$$
از این برابری، (ج) نتیجه می شود زیرا $A\su A_n$ بدین معنی است که $\mu(A)<+\infty$ و لذا
$$\mu(A_1\bk A)=\mu(A_1)-\mu(A)$$
(ج)$\Leftarrow$ (د). در اینجا، چیزی برای اثبات وجود ندارد!\\
(د) $\Leftarrow$ (ج). از $A_n\downarrow A$ نتیجه می شود $A_n\bk A\downarrow \emptyset$. چون $A_n\bk A\su A_n$، یکنوایی $\mu$ ایجاد می کند که همراه با $\mu(A_n)$، $\mu(A_n\bk A)$ نیز متناهی است. از اینرو بنا بر (د) داریم $\lim\mu(A_n\bk A)=0$. اما در این صورت (ج) نتیجه می شود زیرا $\mu(A)\leq \mu(A_n)<+\infty$ برابری $\mu(A_n\bk A)$ با $\mu(A_n)-\mu(A)$ را موجب می شود.\\
برای اتمام اثبات، حالتی را درنظر می گیریم که $\mu$ متناهی است و نشان می دهیم که در این صورت (د) $\Leftarrow$ (ب). اگر $(A_n)$ یک دنباله از مجموعه‌های متعلق به ${\mathcal{R}}$ باشد و $A_n\uparrow A\in\cR$، آن گاه $A\bk A_n\downarrow\es$. بنابراین، توجه به متناهی بودن $\mu$، نتیجه می دهد که
$$0=\lim\mu(A\bk A_n)=\lim[\mu(A)-\mu(A_n)]$$
و از آنجا (ب) حاصل می شود.
\epr
{\bf ملاحظه.}
اگر کسی مثال 3 از این بخش را با اختیار $\mu(A):=0$ برای مجموعه‌های متناهی $A$ و $\mu(A):=+\infty$ برای مجموعه‌های هم متناهی $A$، تغییر دهد، آن گاه یک محتوا به دست می آورد که در $\emptyset$ پیوسته است ولی یک پیش اندازه نیست. پس بدون فرض متناهی بودن در قضیه ی قبل، گزاره‌های (الف) تا (د) در حالت کلی هم ارز نیستند. از طرف دیگر، در (ج) و (د)، کافی است به ازای یک $n\in\Bbb{N}$، صریحاً فرض کنیم $\mu(A_n)<+\infty$، زیرا در این صورت $\mu(A_m)<+\infty$ برای هر $m\geq n$ (صعودي بودن).\\ 
مفاهیم محتوا و پیش اندازه مقدمه ای برای مفهوم اصلی این کتاب یعنی اندازه هستند. 
\bd\label{3.3}
یک پیش اندازه تعریف شده روی یک $\sigma$-جبر ${\mathcal{A}}$ از زیرمجموعه‌های یک مجموعه ی $\Omega$ یک 
{\it اندازه}
(روی ${\mathcal{A}}$)
نامیده می شود. مقدار $\mu(A)$ از تابع $\mu$ در یک مجموعه ی $A$ در ${\mathcal{A}}$، $(-\mu)$ 
{\it اندازه ی}
یا $(-\mu)$ 
{\it جرم}
$A$ 
نامیده می شود. هرگاه $\mu(\Omega)<+\infty$ (و در نتیجه برای هر $A$ در ${\mathcal{A}}$ داشته باشیم $\mu(A)<+\infty$)، اندازه ی $\mu$،
{\it متناهی}
نامیده می شود.
\ed
پس یک اندازه یک تابع عددی نامنفی $\mu$ تعریف شده روی یک $\sigma$-جبر ${\mathcal{A}}$ و برخوردار از ویژگی‌های (\ref{eq3.1})% و (\ref{eq3.2}) 
زیر است. تابع ثابت $\mu=0$ یک اندازه روی هر $\sigma$-جبر، معروف به
{\it اندازه ی صفر}
است. مثال‌هایی که در ادامه می آیند باز هم از یک طبیعت نسبتاً صوری برخوردارند. \\
%اما ؟؟؟؟
\noindent{\bf مثال. }5. اگر برای حلقه ی ${\mathcal{R}}$ در مثال 1 یک $\sigma$-جبر در $\Omega$ اختیار شود، آن گاه $\xi_\Omega$ یک اندازه روی ${\mathcal{A}}$ است که اندازه ی تعریف شده توسط یک
{\it جرم نقطه ای یکه در $\omega$}،
یا مختصرتر
{\it جرم یکه در $\omega$}
و نیز 
{\it اندازه ی دیراک در $\omega$}
نامیده می شود. این اصطلاح از تعبیر یک اندازه $\mu$ روی یک $\sigma$-جبر در $\Omega$ به عنوان یک توزیع روی $\Omega$ ناشی می شود. مطابق آن، برای $A\in\mathcal {A}$، $\mu(A)$ به عنوان یک جرم
%جرمی که ؟؟؟؟ 
نگریسته می شود. اندازه ی دیراک در $\omega$، تا آنجا که مجموعه ی تک عنصری $\{\omega\}$ در ${\mathcal{A}}$ قرار دارد، همه ی جرم‌های یکه ی خود را در نقطه ی $\omega$ متمرکز دارد: $\xi_\omega(\{\omega\}):=1$ و $\xi_\omega(\complement\{\omega\})=0$.

6. فرض کنیم $\Omega$ یک مجموعه ی دلخواه باشد. برای هر $A$ در ${\mathcal{P}}(\Omega)$، فرض کنیم $|A|$، تعداد عناصر $A$ در حالتی که $A$ متناهی است و در غیر اینصورت $+\infty$ را نشان دهد. در این صورت $\xi(A):=|A|$ یک اندازه روی ${\mathcal{P}}(\Omega)$ تعریف می کند که
{\it اندازه ی شمارشی روی}
$\Omega$ 
(یا روی ${\mathcal{P}}(\Omega)$ ) نام دارد؛ تحدید آن به یک $\sigma$-جبر ${\mathcal{A}}$ در $\Omega$ 
{\it اندازه ی شمارشی روی}
${\mathcal{A}}$
نامیده می شود.\\
7. پیش اندازه تعریف شده در مثال 2 یک اندازه است.

در ادامه، یک پیامد نه چندان بدیهی از $\sigma$-جمعی بودن اندازه‌ها به دست می آوریم.
\bl\label{3.4} 
فرض کنیم $\mu$ یک اندازه روی یک $\sigma$-جبر ${\mathcal{A}}$ و $(A_n)_{n\in\Bbb{N}}$ یک دنباله از مجموعه‌های متعلق به ${\mathcal{A}}$ باشد. فرض کنیم عدد $k\in\Bbb{N}$ وجود دارد به طوری که مجموعه‌های $A_m$ و $A_n$ مجزایند هرگاه زیرنویس آنها در $|m-n|\geq k$ صدق کند. در این صورت 
\be\label{eq3.12} \sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)\leq k\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n).\ee
وقتی $k=1$، 
%بنا بر \ref{eq3.10'}، 
این دقیقاً ایجاب $\sigma$-جمعی بودن اندازه ی $\mu$ است.
\el 
\bpr
اجتماع همه ی $A_n$‌ها را با $C$ نمایش می دهیم. برای هر $r=1,...,k$، مجموعه‌های $(A_{r+mk})_{m\in\Bbb{N}_0}$ دو به دو مجزایند. لذا اگر قرار دهیم 
$$F_r:=\bigcup_{m=0}^{\infty}A_{r+mk},$$
آن گاه
$$\sum_{m=1}^{\infty}\mu(A_{r+mk})=\mu(F_r)\leq\mu(C)$$
زیرا $F_r\su C$. چون مجموع یک سری از جملات نامنفی، مستقل از ترتیب جملات آن است، نتیجه می گیریم که
$$\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)=\sum_{r=1}^k\mu(F_r).$$
از این برابری و نابرابری قبل، نابرابری مورد نظر را می توان استنتاج نمود.
\epr
\noindent{\bf تمرين.}1. فرض کنیم $\Omega$ یک مجموعه ی ناتهی متناهی باشد. نشان دهید که اندازه ی شمارشی $\zeta$ روی ${\mathcal{P}}(\Omega)$ بر $\sum_{\Omega\in\Omega}\xi_w$ منطبق است. به علاوه، نشان دهید که هر اندازه $\mu$ روی ${\mathcal{P}}(\Omega)$ به صورت $\mu=\sum_{\omega\in\omega}\alpha_\omega\xi_\omega$ با شرط $\alpha_\omega:=\mu(\{\omega\})$ است.

2. برای یک محتوای متناهی $\mu$ روی یک حلقه ی ${\mathcal{R}}$، 
{\it دستور ورودی-خروجی}
زیر، تعمیم دهنده ی برابری (\ref{eq3.5}) را ثابت کنید.
$$\begin{array}{lll}
\mu(\bigcup_{i=1}^n A_i)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\mu(A_i)&-&\displaystyle\sum_{1\leq i\leq j\leq n}\mu(A_i\cap A_j)+\displaystyle\sum_{1\leq i\leq j\leq k\leq n}\mu(A_i\cap A_j\cap A_k)\\\\
&-& ~+...+ (-1)^{n-1}\mu(A_1\cap ...\cap A_n).
\end{array}$$

3. برای یک پیش اندازه $\mu$ روی یک حلقه ${\mathcal{R}}$ در $\Omega$ تعریف کنید
$$\tilde{{\mathcal{R}}}:=\{A\in\cP(\Omega):A\cap R\in\cR~\hbox{هر براي }~R\in\cR\}$$
$$\tilde{\mu}(A):=\sup\{\mu(R):R\s A,R\in\cR,~~\hbox{هر براي }~A\in\tilde{{\mathcal{R}}}.$$
نشان دهید که $\tilde{{\mathcal{R}}}$ یک جبر در $\Omega$ است که ${\mathcal{R}}$ را شامل می شود و $\tilde{\mu}$ یک پیش اندازه روی $\tilde{{\mathcal{R}}}$ است که $\mu$ را توسیع می دهد.

4. فرض کنیم که $(\mu_n)_{n\in\Bbb{N}}$ یک دنباله‌ي صعودي از پیش اندازه‌های روی یک حلقه مشترک ${\mathcal{R}}$ باشد؛ یعنی، برای هر $A\in\cR$ و $n\in\Bbb{N}$، شرط $\mu_n(A)\leq \mu_{n+1}(A)$ برآورده می شود. نشان دهید که توسط $\mu(A)=\displaystyle\sup_{n\in\Bbb{N}}\mu_n(A)$ یک پیش اندازه ی $\mu$ روی ${\mathcal{R}}$ تعریف می شود.

5. فرض کنیم $\mu$ یک اندازه روی یک $\sigma$-جبر ${\mathcal{A}}$ باشد. با ${\mathcal{N}}_\mu$ مجموعه‌ی همه‌ی ی مجموعه‌های 
{\it$\mu$ پوچ-}
({\it $\mu$-فراموش شدنی })
را نمایش می دهیم؛ یعنی، عناصر $N$ از ${\mathcal{A}}$ که به ازای آن $\mu(N)=0$. نشان دهید ${\mathcal{N}}_\mu$ دارای ویژگی‌های زیر است\\
$$\begin{array}{lr}\emptyset\in\cN_\mu;&\hbox{(الف)}\\
N\in\cN_\mu, M\in\mathcal{A},M\subseteq N~~\Rightarrow~~M\in\cN_\mu;&\hbox{(ب)}\\
(N_n)_{n\in\Bbb{N}}\subseteq\cN_\mu~~\Rightarrow~~\bigcup_{n\in\Bbb{N}}N_n\in\cN_\mu.&\hbox{(ج)}\end{array}$$
زیر مجموعه‌های ${\mathcal{A}}$ با این ویژگی‌ها،
{\it ایدآل -$\sigma$}
در
${\mathcal{A}}$ 
نامیده می شوند. پس ${\mathcal{N}}_\mu$ یک $\sigma$-ایدآل است (به تمرین 4 از بخش 1 مراجعه کنید).


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%