\chapter{ نظریه‌ی انتگرال‌گیری }\setcounter{section}{8}
فضای اندازه‌ی 
$ (\Omega,\cal{A}, \mu) $
داده شده است. در اینجا مساله‌ی اختصاص یک انتگرال به هر تابع روی $\Omega$ از یک رده‌ی در حد امکان بزرگ را مطرح می‌کنیم؛ یعنی، اختصاص یک «مقدار میانگین» ساخته شده نسبت به $ \mu $. بعد از مقدمه‌ی بخش 9 درباره‌ی ویژگی اساسی اندازه‌پذیری، این مساله، گام به گام در بخش‌های 10 تا 12 حل خواهد شد. بخش‌های آخر این فصل به بنای این نظریه و کشف کاربردهای فرآیند انتگرال‌گیری بدینسان تعریف شده، اختصاص یافته است.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{توابع عددی اندازه‌پذیر}
روی خط حقیقی $ {\Bbb{R}} $، $ \si $- جبر $ {\mathcal{B}}^1 $ از مجموعه‌های بورل را تعریف کرده‌ایم. هرگاه $ {\Bbb{R}} $ را به روش معمولی با اضافه کردن نقاط «ایدال» $ -\ii $ و $ +\ii $ به $ \overline{\Bbb {R}} $ فشرده کنیم، زیرمجموعه‌های $ A $ از 
$ \overline{\Bbb R} $
با شرط $ A\cap {\Bbb R} \in {\mathcal{B}}^1 $، بورل در $ \overline{\Bbb R} $ نامیده می‌شوند. در حقیقت، مجموعه‌های بورل در $ \overline{\Bbb R} $ دقیقا همه‌ی مجموعه‌های $ B $، $ B\cup \{-\ii\} $، $ B\cup\{+\ii\} $ و $ B\cup \{-\ii, +\ii\} $ با شرط $ B\in {\mathcal{B}}^1 $ هستند. سامانه‌ی $ \overline{{\mathcal{B}}}^1 $ متشکل از این مجموعه‌ها بوضوح یک $ \si $- جبر در $ \overline{\Bbb R}$ است که رد (اثر) آن در $ {\Bbb R} $ همان $ {\mathcal{B}}^1 $ است؛ یعنی،
\be\label{eq9.1} {\Bbb R} \cap \overline{{\mathcal{B}}}^1= {\mathcal{B}}^1 .\ee
حال اگر $ (\Omega, {\mathcal{A}}) $ یک فضای اندازه باشد،  $  {\mathcal{A}} $- $ \overline{{\mathcal{B}}}^1 $- اندازه پذیری توابع
$ f:\Omega\rightarrow\overline{{\Bbb R}} $
تعریف می‌شود. از این پس چنین توابعی، توابع عددی $ ( {\mathcal{A}}) $- اندازه‌پذیر روی $ \Omega $ نامیده خواهند شد. به خصوص توابع 
حقیقی $ f:\Omega\rightarrow{\Bbb R}$، توابع عددی خاصی هستند؛ با توجه به (\ref{eq9.1})، 
 $  {\mathcal{A}} $- $ \overline{{\mathcal{B}}}^1 $- اندازه‌پذیری این تابع دقیقا همان  $ {\mathcal{A}}$- ${\mathcal{B}}^1 $- اندازه پذیری است.\\
{\bf مثال.}
1. فرض کنیم $ (\Omega,  {\mathcal{A}}) $ یک فضای اندازه‌پذیر و $ {\mathcal{A}} $ یک زیرمجموعه‌ی $ \Omega $ باشد. تابع
%\be\label{eq9.2}
%$$1_{A}(\omega)=\left\{\begin{array}{ll}1~~~\omega\in {\mathcal{A}}&\hbox{هرگاه}\\
%0~~~\omega\in\omega\bk A&\hbox{هرگاه}\end{array}\}\right$$
%\ee
\textit{تابع شاخص}
(همچنین گاهی \textit{تابع مشخصه‌ی}) $ A $ نامیده می‌شود.