% !TEX TS-program = LuaLaTeX
\documentclass[xcolor=dvipsnames]{beamer}
\usecolortheme[named=OliveGreen]{structure}
\usetheme[hieght=7mm]{berkeley}
%\useoutertheme{infolines}
%\setfootline{\insertframenumber/\inserttotalframenumber}
%\setbeamertemplate{items}[triangles]
%\setbeamertemplate{blocks}[rounded][shadow=true]
\usepackage{amsmath,amsthm}

%فونت ریاضی دستور زیر
\usefonttheme[stillsansserifmath]{Serif}
\hypersetup{unicode=true}
\definecolor{MathCol}{rgb}{0,0.64,0}\setbeamercolor{math text displayed}{fg=MathCol}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}

\usepackage{tikz}
\newsavebox\logobox
\savebox\logobox{\color{white}
\begin{tikzpicture}\node[opacity=0.6]{\includegraphics[width=1cm]{logo}};
\end{tikzpicture}}
\logo{\usebox\logobox}
\newcommand\گیومه%
[1]{»#1«}
\newcommand\پرانتز%
[1]{)#1(}
\newcommand\تفسیر%
[1]{\hbox{\lr{\scriptsize\sffamily[#1]}}}

\title{\textbf{یافتن الگوریتمی برای محاسبه‌ی هال بازه‌ای مجموعه جواب دستگاه معادلات خطی بازه‌ای}}
\author{\textbf{رعنا فرهادصفت \,\,\,\\استاد راهنما: طاهر لطفی\,\,\,\\ استاد مشاور: فریبا فتاح‌زاده}}
\institute{دانشگاه آزاد اسلامی واحد همدان}
%\date{بهمن \lr{\setpersianfont 1390}}

%تاریخ امروز را خودکار وارد میکند
\date{\today}

\usepackage{luapersian}
\def\mathfamilydefault{\rmdefault}
\settextfont{XB Niloofar}
%\setdigitfont[Scale=1.1]{Times New Roman}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{قضیه}{قضیه}
\newtheorem{گزاره}{گزاره}
\newtheorem{تعریف}{تعریف}
\newtheorem{نتیجه}{نتیجه}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\Rzn}{{\mathbb{R}}_z^n}
\newcommand{\Rmn}{{\mathbb{R}}^{m\times n}}
\newcommand{\Rnm}{{\mathbb{R}}^{n\times m}}
\newcommand{\Rmm}{{\mathbb{R}}^{m\times m}}
\newcommand{\Rnn}{{\mathbb{R}}^{n\times n}}
\newcommand{\Rm}{{\mathbb{R}}^m}
\newcommand{\Rn}{{\mathbb{R}}^n}
\newcommand{\IR}{\mbox{{\rm $\mathbb{I}\hspace{-0.07em}\mathbb{R}$}}} % real mxn matrix
\newcommand{\IRmn}{\mbox{{\rm $\mathbb{I}\hspace{-0.07em}\mathbb{R}^{m\times n}$}}} % interval mxn matrix
\newcommand{\IRnn}{\mbox{{\rm $\mathbb{I}\hspace{-0.07em}\mathbb{R}^{n\times n}$}}} % interval nxn matrix

\newcommand{\sgn}{{\rm sgn \,}}
\newcommand{\ty}{T_y}
\newcommand{\tz}{T_z}
\newcommand{\xz}{x_z}
\newcommand{\byy}{b_y}
\newcommand{\yy}{y\in Y}
\newcommand{\yzy}{y,z\in Y_n}
\newcommand{\zy}{z\in Y}
\newcommand{\ux}{\underline x}
\newcommand{\ox}{\overline x}
\newcommand{\uux}{\underline{\underline x}}
\newcommand{\oox}{\overline{\overline x}}
\newcommand{\uy}{\underline y}
\newcommand{\oy}{\overline y}
\newcommand{\dtd}{{\Delta}^T\Delta}
\newcommand{\nn}{n\times n}
\newcommand{\xii}{{\textbf {\lr{X}}}}
\newcommand{\x}{{\textbf {\lr{x}}}}


%\newcommand{\bi}{b^I}
\newcommand{\bcd}{[b_c-\delta,b_c+\delta]}
\newcommand{\bc}{b_c}
\newcommand{\bi}{{\textbf {\lr{b}}}}
\newcommand{\ub}{\underline b}
\newcommand{\ob}{\overline b}
\newcommand{\ubob}{[\underline b,\overline b]}

%\newcommand{\ai}{A^I}
\newcommand{\ai}{{\textbf {\lr{A}}}}
\newcommand{\ua}{\underline A}
\newcommand{\oa}{\overline A}
\newcommand{\uaoa}{[\underline A,\overline A]}
\newcommand{\ac}{A_c}
\newcommand{\acd}{[A_c-\Delta,A_c+\Delta]}
\newcommand{\ayz}{A_{yz}}
\newcommand{\azz}{A_{zz}}
\newcommand{\actac}{A_c^TA_c^{}}

\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\bI}{\mathbb{I}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}



\baselineskip1.3\baselineskip

\begin{frame}
\frametitle{\begin{center}به نام او، برای او\end{center}}
\titlepage
\end{frame}

%صفحه فهرست ابتدای هر اسلاید از دستور سکشن استفاده شود تا لینک شود
\begin{frame}
\frametitle{رؤوس مطالب}
\tableofcontents
\end{frame}

\section{\normalsize{محاسبات بازه‌ای}}


\frame{\frametitle{{\LARGE \textbf{محاسبات بازه‌ای}}}  
\begin{center} 
  \includegraphics[width=1\textwidth]{r1.JPG} 
\end{center} 
 
} 

\frame{\frametitle{{\LARGE \textbf{قضیه‌ی مقدار میانگین}}}
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{
\begin{Large}
اگر $f$ تابعی بصورت پیوسته مشتق‌پذیر باشد آنگاه به ازای هر $x \neq y$ و $\xi \in [x,y]$ داریم
$$\frac{f \, (x)- f \, (y)}{x-y}=f^{\,\, \prime} (\xi)$$ 
و همچنین 
$$\int _a^b f \, (x) dx = (b-a) f \, (\xi),$$
که در آن، $\xi \in [a,b]$. 
\end{Large}}
}
\frame{\frametitle{{\LARGE \textbf{قضیه‌ی مقدار میانگین}}}
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{
\begin{Large}
اگر $f$ تابعی بصورت پیوسته مشتق‌پذیر باشد آنگاه تقریب این تابع با استفاده از سری تیلور بصورت
$$f\,(x) = \sum _{i=0}^n \frac{f^{\,\,(i)}(x_0)}{i!} (x - x_0)^i + \frac {f^{\,\,(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{n+1}$$
می‌باشد که 
$$\frac {f^{\,\,(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x - x_0)^{\, n+1}$$
جمله‌ی خطا است و $\xi \in [x_0 , x]$.   
\end{Large}}
}
%\setfootline
\frame{\frametitle{{\LARGE \textbf{پیشینه‌ی خارجی تحقیق}}}
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{\Large{
نمونه‌ای از برجسته‌ترین تحقیقات انجام شده در زمینه‌ی محاسبات بازه‌ای به شرح زیر است:
}}
\begin{itemize}
\item
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{\Large{
مور در سال ۲۶۹۱، برای اولین بار محاسبات بازه‌ای را معرفی نمود.   
}}
\pause
\item
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{\Large{
اوتلی و پراگر در سال ۴۶۹۱، برای اولین بار معادلات خطی بازه‌ای را بررسی کردند.
}}
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{{\LARGE \textbf{پیشینه‌ی خارجی تحقیق}}}
\begin{itemize}
\item
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{\Large{
جانسون در سال ۷۹۹۱، برای اولین بار نظریه‌ی بررسی مجموعه جواب با استفاده از ویژگی ناتهی بودن اشتراک را مطرح کرد.
}}
\pause
\item
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{\Large{
رون در سال ۱۱۰۲، برای اولین بار کران‌های بسیار دقیقی برای مجموعه جواب دستگاه معادلات خطی بازه‌ای بدست آورد.
}}

\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{{\LARGE \textbf{پیشینه‌ی داخلی تحقیق}}}
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{\Large{
جدیدترین پژوهش‌های داخلی در زمینه‌ی محاسبات بازه‌ای، طی سال‌های ۱۱۰۲ تا ۲۱۰۲، عبارتند از:
}}
\begin{itemize}
\item
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{\Large{
معکوس ماتریس‌های بازه‌ای؛   
}}
\pause
\item
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{\Large{
نرم ماتریس‌های بازه‌ای؛
}}
\pause
\item
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{\Large{
شرط کافی نامنفرد بودن ماتریس‌های بازه‌ای؛
}}
\end{itemize}
}

\frame{\frametitle{{\LARGE \textbf{پیشینه‌ی داخلی تحقیق}}}
\begin{itemize}
\item
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{\Large{
نامنفرد بودن و معین مثبت بودن ماتریس‌های بازه‌ای؛   
}}
\pause
\item
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{\Large{
روش تکراری حل معادلات قدرمطلقی؛
}}
\pause
\item
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{\Large{
شرط لازم تکراری و کافی نامنفرد بودن ماتریس‌های بازه‌ای؛
}}
\end{itemize}
}

\section{\normalsize{چکیده}}

\frame{\frametitle{{\LARGE \textbf{چکیده}}}  
\begin{center} 
  \includegraphics[width=1\textwidth]{r2.JPG} 
\end{center} 
 
} 

\frame{\frametitle{{\LARGE \textbf{اهمیت تحقیق}}}  
\begin{center} 
  \includegraphics[width=1\textwidth]{r3.JPG} 
\end{center} 
 
} 

\section{\normalsize{قضایای اصلی}}
\frame{\frametitle{{\LARGE \textbf{قضیه ۱}}}
\begin{قضیه}
\begin{Large}
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{
اگر $\ai\in\IRmn$ و $\bi\in\IR^m$، آنگاه $x\in\Rn$ یک جواب ضعیف دستگاه $\ai x=\bi$ می‌باشد اگر وتنها اگر در شرط
$$|\ac x-\bc|\leq\Delta |x|+\delta $$
صدق کند. }
\end{Large} \end{قضیه}
}

\frame{\frametitle{{\LARGE \textbf{قضیه ۲}}}
\begin{قضیه}
\begin{Large}
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{
دستگاه $\ai x = \bi$ حل‌پذیر قوی است اگر و تنها اگر برای هر $y \in Y_m$، دستگاه 
$$ A_{ye} x^1 - A_{-ye} x^2 = \byy, $$
$$ x^1 \geq 0, x^2 \geq 0 $$
دارای یک جواب $\, x_y^1$، $x_y^2$ باشد. بعلاوه، در این حالت، به ازای هر $A \in \ai$ و $b \in \bi$، دستگاه $A x = b$، یک جواب در 
$\text{\lr{Conv}} \{\,\, x_y^1 - x_y^2 \,\, | \,\, y \in Y_m \,\, \}$
 دارد. } 
\end{Large} \end{قضیه}
}

\frame{\frametitle{{\LARGE \textbf{قضیه ۳}}}
\begin{قضیه}
\begin{Large}
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{
فرض کنید که $\ai$ یک ماتریس بازه‌ای نامنفرد و $\bi$ یک بردار بازه‌ای $n$‌تایی باشد. آنگاه به ازای هر $y \in Y_n$، معادله‌ی 
\begin{equation} \label{1} \ac x - \ty \Delta |x| = b_y \end{equation}
دارای یک جواب یکتای $x_y$، متعلق به $\xii$ می‌باشد و داریم
\begin{equation} \label{2} \text{\lr{Conv}} \, \xii = \text{\lr{Conv}} \{\, x_y\,\, | \,\, y \in Y_n \,\}. \end{equation}
} 
\end{Large} \end{قضیه}
}

\frame{\frametitle{{\LARGE \textbf{نتیجه‌ی قضیه‌ی ۲}}}
\begin{نتیجه}
\begin{Large}
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{
دستگاه معادلات خطی بازه‌ای $\ai x = \bi$ با ماتریس مربعی $\ai$ را در نظر بگیرید. آنگاه برای محاسبه‌ی هال بازه‌ای مجموعه‌ی $\xii$ داریم
$$ \underline{x} =\min _{y\in Y_n}x_y $$
و همچنین
$$ \overline{x} =\max _{y\in Y_n} x_y, $$
که در آن به ازای هر $y \in Y_n$، $\, x_y \in \xii(\ai , \bi)$ از معادله‌ی \پرانتز{\ref{1}} بدست می‌آید و در رابطه‌ی \پرانتز{\ref{2}} صدق می‌کند.
} 
\end{Large} \end{نتیجه}
}
 
\frame{\frametitle{{\LARGE \textbf{ویژگی‌های توپولوژیکی $\xii$}}}
\begin{قضیه}
\begin{Large}
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{
اگر $\ai \in \IRnn$ نامنفرد باشد، آنگاه به ازای هر $\bi \in \IR ^ n$، مجموعه جواب دستگاه معادلات خطی بازه‌ای $ \ai x = \bi$ یعنی، $ \xii (\ai , \bi)$، فشرده، بسته و کراندار، و همبند است؛ همچنین اگر  $\ai$منفرد باشد $\xii (\ai , \bi)$ بی‌کران می‌شود.
} 
\end{Large} \end{قضیه}

\begin{قضیه}
\begin{Large}
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{
دستگاه معادلات خطی بازه‌ای $\, \ai x = \bi$، با $\ai \in \IRnn$ و $\bi \in \IR^n$ را در نظر بگیرید. اگر $\ai$ منفرد باشد،  آنگاه مجموعه جواب دستگاه $\xii (\ai , \bi)$ بی‌کران می‌باشد و در حالت کلی نامحدب است.
} 
\end{Large} \end{قضیه}
}

\frame{\frametitle{{\LARGE \textbf{ویژگی‌های توپولوژیکی $\xii$}}}
\begin{قضیه}
\begin{Large}
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{
فرض کنید که $\ai = \acd$ یک ماتریس بازه‌ای $\, \nn$، $\bi$ یک بردار بازه‌ای $n$‌تایی و $Z$ زیر مجموعه‌ای از $Y_n$ باشد که دارای ویژگی‌های زیر است: }
\begin{itemize}
\pause
\item
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{
برای برخی $x_0 \in \xii (\ai , \bi)$ داشته باشیم $$\sgn (x_0) \in Z$$ }
\end{itemize}
\end{Large} \end{قضیه}
}

\frame{\frametitle{{\LARGE \textbf{ویژگی‌های توپولوژیکی $\xii$}}}
\begin{قضیه}
\begin{Large}
\begin{itemize}
\pause
\item
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{
به ازای هر $\, z \in Z$، معادلات
$$Q \ac - |Q| \Delta \tz = I , \,\,\, Q \ac - |Q| \Delta T_{-z} = I$$
به ترتیب دارای جواب‌های ماتریسی $Q_z$ و $Q_{-z}$ باشند و داشته باشیم
$$ \ox _z = Q _z \bc + |Q _z| \delta , \,\,\, \ux _{\, z} = Q _{-z} \bc - |Q _{-z}| \delta,$$
}
\end{itemize}
\end{Large}\end{قضیه}}

\frame{\frametitle{{\LARGE \textbf{ویژگی‌های توپولوژیکی $\xii$}}}
\begin{قضیه}
\begin{Large}
\begin{itemize}
\pause
\item
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{
اگر $\, z\in Z$، $\ux _{\, z} \leq \ox _z$ و برای برخی از $j$‌ها داشته باشیم که $(\ux _{\, z})_j(\ox _z)_j \leq 0$، آنگاه $\, z - 2 z_j e_j \in Z$.}
\end{itemize}
\textcolor[rgb]{0.00, 0.22, 0.00}{
آنگاه $\ai$ نامنفرد است و داریم
$$ \x (\ai , \bi) = [\, \min_{z \in Z_1} \ux _{\, z}, \max_{z \in Z_1} \ox _z] $$
که در آن 
$$ Z_1 = \{\, z \in Z \,\, | \,\, \ux _{\, z} \leq \ox _z \, \} .$$
}\end{Large} \end{قضیه}
}


\end{document}