\chapter{ نظریه‌ی اندازه } 
در هندسه‌ی مقدماتی، به زیرمجموعه‌های ساده‌ی هندسی خط، صفحه، و فضای سه‌بعدی، «اندازه‌هایی عددی» به نام طول، مساحت و حجم اختصاص داده می‌شود.  آنچه در ابتدا به طور شهودی بدیهی است این است که طول یک پاره خط، مساحت یک مستطیل و حجم یک مکعب، چطور باید تعریف شود. با عبور از این مرحله، با استفاده از روش‌های هندسه‌ی مقدماتی، طول، مساحت، و حجم مجموعه‌های پیچیده‌تری را می‌توانیم مشخص ‌کنیم در صورتی که قواعد محاسباتی مشخصی را برای کار با این اندازه‌های عددی بپذیریم. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{$\sigma$ - جبرها و مولدهای آنها} 
~فرض کنیم $\Omega$ یک مجموعه‌ی دلخواه باشد و ${\mathcal{P}}({\Omega})$ 
مجموعه‌ی توانی آن، یعنی مجموعه‌ی همه‌ی زیرمجموعه‌های $\Omega$، را نشان دهد. در این صورت همراه با هر خانواده‌ی $(A_i)_{i\in I}$ از مجموعه‌های متعلق به ${\mathcal{P}}({\Omega})$، اجتماع $\bigcup_{i\in I}A_i$ و اشتراک $\bigcap_{i\in I}A_i$ نیز متعلق به ${\mathcal{P}}(\Omega)$ هستند. به علاوه ${\mathcal{P}}(\Omega)$ شامل مکمل
$\complement A $ از هر مجموعه‌ی $A$ در خودش است.

در ادامه به مطالعه‌ی زیرسامانه‌های $\mathcal{A}$ از ${\mathcal{P}}(\Omega)$ می‌پردازیم که خواصی مشابه با 
${\mathcal{P}}(\Omega)$،
حداقل برای مجموعه‌ی 
زیرنویس‌های شمارای $I$ دارند؛ طبق قراردادهای ذکر شده در مقدمه، مجموعه‌های 
شمارا، مجموعه‌هایی هستند که متناهی یا شمارا‌ی نامتناهی‌اند.
\bd\label{1.1}
یک سامانه‌ی $\mathcal{A}$ از زیرمجموعه‌های یک مجموعه‌ی $\Omega$، یک $\sigma$- جبر (در $\Omega$) نامیده می‌شود هرگاه دارای ویژگی‌های زیر باشد
\be\label{eq1.1}
\Omega\in{\mathcal{A}},
\ee
\be\label{eq1.2}
A\in{\mathcal{A}}\Rightarrow \complement A\in{\mathcal{A}},
\ee
\be\label{eq1.3}
(A_n)_{n\in \Bbb {N}}\subseteq{\mathcal{A}}\Rightarrow\bigcup_{n\in \Bbb {N}}A_n\in{\mathcal{A}}.
\ee

\ed 
\noindent
{\bf مثال.1.} ${\mathcal{P}}(\Omega)$ 
همواره یک $\sigma$- جبر است.

{\bf 2.} 
برای هر مجموعه‌ی $\Omega$، سامانه‌ی همه‌ی زیرمجموعه‌های آن که شمارا یا هم‌شمارا هستند
(یعنی، زیرمجموعه‌های $A$ از $\Omega$ به طوری که $A$ یا $\complement A$ شمارا باشد) یک $\sigma$-جبر
 تشکیل مي‌دهد. ويژگي (\ref{eq1.3}) به صورت زیر ثابت می‌شود. اگر هر $A_n$ شمارا باشد، آن گاه اجتماع $\bigcup_{n\in\Bbb{N}} A_n$ نیز همین طور است. اگر $A_n$ وجود داشته باشد که شمارا نباشد، آن گاه مکمل آن شمارا است، و مجموعه‌ی $\complement\bigcup_{n\in\Bbb{N}}A_n=\bigcap_{n\in\Bbb{N}}\complement A_n$ نیز به عنوان زیرمجموعه‌ی $\complement A_n$ شمارا است.

{\bf 3.} 
اگر ${\mathcal{A}}$ یک $\sigma$- جبر در  مجموعه‌ا‌ی مانند $\Omega$ و $\Omega'$  زیرمجموعه‌ا‌ی از $\Omega$ باشد، آن‌گاه 
\be\label{eq1.4}
 {\mathcal{A}}_{\Omega'}:=\{ A \cap \Omega': A\in \mathcal{A} \}
\ee
معروف به اثر ${\mathcal{A}}$ در $\Omega'$، یک $\sigma$-جبر در $\Omega'$ است. در حالتی که $\Omega'\in\mathcal{A}$، نماد ${\mathcal{A}}_{\Omega'}$ به طور ساده، همه‌ی زیرمجموعه‌های $\Omega'$ متعلق به ${\mathcal{A}}$ را نشان می‌دهد.

{\bf 4.} فرض کنیم $\Omega$ و $\Omega'$ دو مجموعه، ${\mathcal{A}}'$ یک $\sigma$-جبر در $\Omega'$ و $T:\Omega\rightarrow\Omega'$ یک نگاشت باشد. در این صورت بنابر ویژگی‌های آشنای عمل‌های نظریه‌ی‌ مجموعه‌ها، تحت تصویر وارون، سامانه‌ی متشکل از مجموعه‌های زیر یک $\sigma$-   جبر است
\be\label{eq1.5}
T^{-1}({\mathcal{A}}):=\{T^{-1}(A'):A'\in\mathcal{A}\}.
\ee
هر $\sigma$- جبر ${\mathcal{A}}$ دارای ویژگی‌های «دوگان» برای (\ref{eq1.1}) و (\ref{eq1.3}) است؛ یعنی،
\be\label{eq1.6} \emptyset\in\mathcal{A}, \ee
\be\label{eq1.7} (A_n)_{n\in\Bbb{N}}\subseteq {\mathcal{A}}~~\Rightarrow~~\bigcap_{n\in\Bbb{N}}A_n\in\mathcal{A} \ee
که این ویژگی‌ها از (\ref{eq1.1})-(\ref{eq1.3}) و برابری‌های $\emptyset=\complement\Omega$ و $\bigcap A_n=\complement(\bigcup\complement A_n)$ به دست می‌آیند. به علاوه
$$A_1\cup ... \cup A_n=A_1\cup ...\cup A_n\cup \emptyset\cup\emptyset\cup ...$$
$$A_1\cap ...\cap A_n=A_1\cap ...\cap A_n\cap \Omega\cap\Omega\cap ...$$
بنابراین ${\mathcal{A}}$ شامل اجتماع و اشتراک هر تعداد متناهی از مجموعه‌های متعلق به خودش نیز هست. همچنین از این مشاهدات و (\ref{eq1.2}) داریم
\be\label{eq1.8} A,B\in\mathcal{A}~~\Rightarrow~~A\backslash B=A\cap\complement B\in\mathcal{A}.\ee
برای ساخت $\sigma$-جبرها، قضیه‌ی زیر از اهمیت خاصی برخوردار است.
\bt\label{1.2}

اشتراک $\bigcap_{i\in I}{\mathcal{A}}_i$ از هر خانواده‌ی
$({\mathcal{A}}_i)_{i\in I}$
از $\sigma$- جبرها در یک مجموعه‌ی یکسان
$\Omega$، 
یک $\sigma$-جبر در $\Omega$ است.
\et
اثبات. این قضیه، تنها یک بررسی ساده‌ی ویژگی‌های (\ref{eq1.1})-(\ref{eq1.3}) می‌باشد. در نتیجه، برای هر دستگاه $\cal E$ از زیرمجموعه‌های $\Omega$ کوچکترین $\sigma$-جبر $\sigma({\cal E})$ شامل ${\cal E}$ وجود دارد؛ یعنی،
$\sigma({\cal E})$ یک $\sigma$-جبر در $\Omega$ با ویژگی‌های زیر است

(1) ${\cal E}\su\si({\cal E})$،

(2) برای هر $\sigma$-جبر ${\mathcal{A}}$ در $\Omega$ با شرط ${\cal E}\su\mathcal{A}$ داریم $\sigma({\cal E})\subseteq\mathcal{A}$.

برای اثبات این واقعیت، فرض کنیم $\Sigma$ سامانه‌ی همه‌ی $\sigma$-جبرهای ${\mathcal{A}}$ در $\Omega$ با شرط ${\cal E}\su\mathcal{A}$ باشد؛ برای مثال، ${\mathcal{P}}(\Omega)$ یک عضو از $\Sigma$ است. در این صورت $\sigma({\cal E})$ اشتراک همه‌ی عناصر ${\mathcal{A}}\in \Sigma$ است که طبق \ref{1.2}، دارای همه ی ویژگی‌های مطلوب است.

$\sigma({\cal E})$،
{\it $\sigma$-جبر تولید شده به وسیله‌ی}
${\cal E}$
(در $\Omega$) و ${\cal E}$ 
{\it مولد $\sigma({\cal E})$}
نامیده می‌شود.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{سامانه‌های دینکین} 
بیشتر اوقات تشخیص مستقیم $\sigma$-جبر بودن یک سامانه‌ی داده شده از مجموعه‌ها، دشوار است. مفهوم زیر، که به دینکین [1961] و البته پیش از آن به سرپینسکی 
[1928]
برمی‌گردد، به عبور از برخی از این دشواری‌ها کمک می‌کند.
\bd\label{2.1}
یک سامانه‌ی $\D$ 
از زیرمجموعه‌های مجموعه‌ی $\Omega$
{\it سامانه‌ی دینکین } (در $\Omega$)
نامیده می‌شود هرگاه دارای ویژگی‌های زیر باشد
\be\label{eq2.1} \Omega\in\D,\ee
\be\label{eq2.2} D\in\D~~\Rightarrow~~\complement D\in\D,\ee
\be\label{eq2.3} n\in\Bbb{N}~\hbox{برای مجزا دو به دو }~D_n \in\D~~\Rightarrow~~\bigcup_{n\in\Bbb{N}}D_n\in\D.\ee
بنابراین هر سامانه‌ی دینکین ${\mathcal{D}}$ شامل مجموعه‌ی تهی $\emptyset=\complement\Omega$ است، و از آنجا (\ref{eq2.3}) تضمین می‌کند که $\D$ شامل اجتماع هر گردایه‌ی دو به دو مجزای متناهی از مجموعه‌های خود است.
\ed
\noindent{\bf مثال.}
{\bf 1.} هر $\sigma$-جبر بوضوح یک سامانه‌ی دینکین است.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5%