\documentclass[ucs,ams]{beamer}


% Setup appearance:

\usetheme{Marburg}
%{CambridgeUS}
%{AnnArbor}
%{Berkeley}%warsaw}%



%\usetheme{Warsaw}
%\usetheme{jltree}
%\usetheme{split}
%%\usetheme{sidebar}
%\usetheme{shadow}
%\usetheme{lined}
%\usetheme{classic}
%\usetheme{bars}
%\usetheme{Warsaw}
%\usetheme{Szeged}
%\usetheme{Singapore}
%\usetheme{Rochester}
%\usetheme{Pittsburgh}
%\usetheme{PaloAlto}
%\usetheme{Montpellier}
%\usetheme{Marburg}
%\usetheme{Malmoe}
%\usetheme{Madrid}
%\usetheme{Luebeck}
%\usetheme{JuanLesPins}
%\usetheme{Ilmenau}
%\usetheme{Hannover}
%\usetheme{Goettingen}
%\usetheme{Frankfurt}
%\usetheme{Dresden}
%\usetheme{default}
%\usetheme{Darmstadt}
%\usetheme{Copenhagen}
%\usetheme{CambridgeUS}
%\usetheme{boxes}
%\usetheme{Boadilla}
%\usetheme{Berlin}
%\usetheme{Berkeley}
%\usetheme{Bergen}
%\usetheme{Antibes}
%\usetheme{AnnArbor}
\useoutertheme{infolines}%{sidebar}%[subsection=false]
\useoutertheme{smoothbars}
% Standard packages
\usepackage{graphicx}
%\usepackage{subfigure}
\usepackage{verbatim}
\usepackage{pgf,pgfarrows,pgfnodes,pgfautomata,pgfheaps,pgfshade}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows}
\tikzstyle{block}=[draw opacity=0.7,line width=1.4cm]

\usepackage{luapersian}

\setsansfont[Script=Parsi,Language=Parsi,Numbers=Parsi]{Yas}
%\settextfont{Yas}
%\setdigitfont{XB Zar}

\newcounter{mycun}[section]
\makeatletter
%\renewenvironment{theorem}[1][]{\stepcounter{mycun} \par\noindent {\normalfont \bfseries 
%{قضیه\thesection.\arabic{mycun}.\hfill{}}  }} {\par}
\makeatother
\renewenvironment{proof}[1]{\stepcounter{proof} \par\noindent {\normalfont \bfseries
{\thesection\@SepMark\arabic{proof}  برهان  #1:}  }} {\par} 
\makeatother

%\newtheorem{thrm}{قضیه}[section]

%\newtheorem{treaty}[theorem]{قرارداد}
%\newtheorem{defin}[theorem]{تعریف}
%\newtheorem{hint}[theorem]{تذکر}
%\newtheorem{lem}[theorem]{لم}
%\newtheorem{exam}[theorem]{مثال}
%\newtheorem{proposition}[theorem]{گزاره}
%\newtheorem{corollary}[theorem]{نتیجه}
%%\renewenvironment{theorem}{\begin{thrm}}{\end{thrm}}
%\renewenvironment{definition}{\begin{defin}}{\end{defin}}
%\renewenvironment{lemma}{\begin{lem}}{\end{lem}}
%\renewenvironment{example}{\begin{exam}}{\end{exam}}

%\renewcommand{\familydefault}{\rmdefault}
%\def\mathfamilydefault{\rmdefault}

\setbeamercovered{transparent=10}


\newcommand\persiangloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\}
\newcommand\englishgloss[2]{#2\dotfill\lr{#1}\\}

\newcommand{\Lr}[1]{L^#1(\mathbb{R}^n)}
\newcommand{\Cr}[1]{C_#1(\mathbb{R}^n)}
\newcommand{\hx}[1]{{(#1)}^{\hat{ }}(\zeta)}
\newcommand{\lrg}[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand{\no}[2]{{#1\not\in#2}}
\newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\f}[4]{\begin{array}{rcl}{#1}&\longrightarrow &{#2}\\{#3}&\longmapsto &{#4}\end{array}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\WW}{\mathbb{W}}
\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}
\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
\DeclareMathOperator{\spa}{span}

% Author, Title, etc.

\title[موجک‌های قاب پارسوال با اتساعات ${\bold E_{\bf n}^2}$] 
{%سلام
موجک‌های قاب (پارسوال) با اتساعات ${\bold E_{\bf n}^2}$
}

\author[طاهره عرفانی گلکار]{طاهره عرفانی گلکار}

%استاد راهنما:
%{\bf
%جناب آقای دکتر رجبعلی کامیابی گل}\\
%استاد مشاور:\\
%{\bf
%جناب آقای دکتر محمود حسنی}\\
%نگارنده:\\
%{\bf


\institute[دانشگاه آزاد اسلامی-واحد مشهد]
{
دانشگاه آزاد اسلامی
}

\date{شهریور 1390}
% برای تغییر زمینه عنوان
\setbeamercolor{title}{fg=red!100!black,bg=yellow!20!white}
% برای تغییر رنگ زمینه
%\usecolortheme{seahorse}
%\usecolortheme{rose}
%\usecolortheme{albatross}
%\usecolortheme{beetle}
%\usecolortheme{crane}
\usecolortheme{wolverine}


\begin{document}

\begin{frame}
\begin{center}
بسم الله الرحمن الرحیم
\end{center}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}{فهرست}
  \tableofcontents
\end{frame}
%\section*{پیش‌گفتار}

\begin{frame}{چکیده}
به طور خلاصه هدف نظریه موجک‌ها بازسازی مجدد هر تابع  دلخواه $f$ با استفاده از توابع ساده‌تر، در یک بازه $T$ می‌باشد، به طوری‌که هرگاه بخواهیم $f$ را در مقیاس‌ها یا انتقال‌های مختلف بازه $T$ بازسازی کنیم، مجددا همان توابع ساده اولیه جوابگوی نیاز ما باشند. همین مسأله باعث کاربرد زیاد موجک‌ها در شاخه‌های مختلف مهندسی، فیزیک و ریاضیات کاربردی شده است. به عنوان مثال از موجک‌ها در پردازش سیگنال‌ها، فشرده‌سازی تصاویر، مکانیک کوانتوم، کنترل بهینه، آنالیز عددی و ... استفاده می‌شود. 

در ریاضیات محض، مبنا و پایه نظریه موجک‌ها به بحث سری‌های فوریه و تبدیلات فوریه برمی‌گردد.
\end{frame}

\begin{frame}{پیش‌گفتار}
در این پایان‌نامه به طور گذرا به نوع خاصی از موجک‌ها، موجک‌های قاب پارسوال با اتساعات $E_n^2-$ می‌پردازیم.
و موجک‌های-دوتایی قاب پارسوال $A$-چندریزگی را معرفی نموده و نشان می‌دهیم که همه $A$-چندریزگی‌ها موجک-دوتایی قاب پارسوال می‌پذیرند و کلاس جدیدی از موجک‌های )دوتایی( قاب پارسوال را معرفی می‌کنیم و نشان می‌دهیم که مجموعه همه موجک‌های قاب پارسوال چندریزگی‌ مشمول در مجموعه موجک‌های قاب پارسوال القاء شده توسط پالایه است و با استفاده از یک پالایه پایی‌گذر تعمیم یافته دلخواه، یک $-A$چندریزگی $(V_j)$ پیدا می‌کنیم و در انتها، روش ساخت موجک‌های )دوتایی( قاب پارسوال القاء شده توسط پالایه است.
\end{frame}

\section{آنالیز فوریه}
\subsection{تبدیل فوریه}
\begin{frame}{آنالیز فوریه}
\framesubtitle{تبدیل فوریه}
\begin{definition}%[تبدیل فوریه در $\Lr{1}$]
فرض کنید $f\in \Lr{1}$ آن‌گاه تابع $\hat{f}$ به صورت زیر تعریف می‌شود.
\begin{equation}
\hat{f}(w)=\int_{\mathbb{R}^n}e^{-2\pi i\langle x,w\rangle}f(x)dx
\end{equation}
که به آن تبدیل فوریه تابع $f$ گوییم و در آن $<x,w>$ نمایانگر ضرب داخلی در $\RR^n$ است.
\end{definition}
\begin{theorem}
اگر $f\in\Lr{1}$‌ آن‌گاه $\lim\limits_{|w|\to\infty}|\hat{f}(w)|=0$.
\end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{theorem}
فرض کنید $f,g,\hat{f},\hat{g}\in\Lr{1}$ در این صورت
\begin{enumerate}[a.]
\item
فرمول پلانچرال $\langle f,g\rangle=\langle \hat{f},\hat{g}\rangle$.
\item
فرمول پارسوال $\|\hat{f}\|_2=\|f\|_2$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
بنابراین تبدیل فوریه از $\Lr{1}$ به $\Lr{2}$ توسیع می‌یابد.
\end{frame}

\subsection{خواص تبدیل فوریه در $\Lr{2}$}
\begin{frame}{آنالیز فوریه}
\framesubtitle{خواص تبدیل فوریه در $\Lr{2}$}
در این پایان‌نامه منظور از $\mathbb{T}^n$ یک چنبره $n$- بعدی است. که $L^p(\mathbb{T}^n)$ فضای تمام توابع $\mathbb{Z}^n$- تناوبی است)یعنی $f$ در هر متغیر، ۱- تناوبی است( که $\int_{\mathbb{T}^n}|f(x)|^pdx<\infty$. و مکعب واحد استاندارد $[\frac{-1}{2},\frac{1}{2})^n$ در $\mathbb{R}^n$ را با $C$ نمایش می‌دهیم.
\begin{definition}%[نمادگذاری]
اگر $f,g\in \Lr{2}$، تابع $[f,g]$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم.
\[
[f,g]_{(x)}=\sum_{k\in \mathbb{Z}^n}f(x+k)\overline{g(x+k)},
\]
که اگر $f\in\Lr{2}$ آن‌گاه  $[\hat{f},\hat{f}]$ را با نماد $\sigma_f$ نمایش می‌دهیم.
\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{lemma}
اگر $f,g\in\Lr{2}$ آن‌گاه $[f,g]\in L^1(\mathbb{T}^n)$.
\end{lemma}

\begin{lemma}
برای هر $f,g\in\Lr{2}$ داریم
\begin{equation}
\langle f,g\rangle =\langle \hat{f},\hat{g}\rangle=\int_{\mathbb{T}^n}[\hat{f},\hat{g}]_{(x)}dx
\end{equation}
\end{lemma}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{definition}%[نمادگذاری]
اگر $\varphi\in\Lr{2}$، فضای انتقال پایای اساسی که به وسیله $\varphi$ تولید می‌شود را با $\langle \varphi\rangle$ نمایش می‌دهیم که $\langle \varphi\rangle=\overline{\spa}\{T_k\varphi;k\in\mathbb{Z}^n\}$ و $\Omega_\varphi$ یک زیرمجموعه $\ZZ^n$-انتقال پایا از $\RR^n$ است که 
\[
\Omega_\varphi=supp\sigma_\varphi=\{x\in\mathbb{R}^n;\hat{\varphi}(x+k)\neq 0\text{به قسمی که}k\in \mathbb{Z}^n\;\text{وجود دارد}\}
\]
\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
در این پایان‌نامه $A$ را عضوی از $E_n^2$ در نظر می‌گیریم یعنی $A$ یک ماتریس توسیع )ماتریسی که قدرمطلق مقدار ویژه آن بزرگتر از یک است( با درایه‌های صحیح و $|detA|=2$ است. $B=A^t$ که $B$ ترانهاده $A$ است و واضح است که $B\in E_n^2$ و $\alpha\in \mathbb{Z}^n/B\mathbb{Z}^n,\beta=B^{-1}\alpha$ و ماتریس $Q=\begin{bmatrix}1&-1\\1&1\end{bmatrix}$ ماتریس خاصی است که در $\RR^2$ واقع شده و به صورت دوران $\frac{\pi}{4}$ و اتساعات $\sqrt{2}$ است. 
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{lemma}
فرض کنید $B\in M_n(\mathbb{Z})$ یک ماتریس توسیع باشد آن‌گاه 
\begin{enumerate}[a.]
\item
$j_0\in\mathbb{N}$ وجود دارد به قسمی که برای هر $j\geq j_0$، $B^{-j}C\subseteq C$.
\item
برای هر مجموعه کراندار $K\subset \mathbb{R}^n$ ،$j_k\in\mathbb{N}$ وجود دارد به طوری که برای هر $j\geq j_k$، $K\subset B^jC$.
\item
یک همسایگی کراندار باز از صفر وجود دارد که $F\subset BF$.
\end{enumerate}
\end{lemma}
\begin{definition}
هر تابع اندازه‌پذیر $f$ که $|f(x)|=1\quad a.e.$ را تابع تک‌مدولی گوییم.
\end{definition}
\end{frame}

\section{آنالیز چندریزگی}
\begin{frame}{آنالیز چندریزگی}
این فصل به ساختار چندریزگی‌ها، موجک‌های قاب پارسوال چندریزگی و موجک‌های-دوتایی قاب پارسوال برای $A$ دلخواه که $A$ عضو   $E^2_n$ اختصاص داده شده است.
\end{frame}

\subsection{موجک‌های قاب پاسوال}
\begin{frame}{آنالیز چندریزگی}
\framesubtitle{موجک‌های قاب پاسوال}
عملگر انتقال $T_k: L^2(\mathbb{R}^n)\longrightarrow L^2(\mathbb{R})^n$ با ضابطه $Tkf=f(x-k)$ و عملگر اتساع $D=D_A : L^2(\mathbb{R}^n)\longrightarrow L^2(\mathbb{R}^n)$  که $A\in E^2_n$ با ضابطه؛ $(D_A f)(x)=\sqrt2f(Ax)$ تعریف می‌شوند به سادگی می‌توان دید که $T_k$ و $D_A$ عملگرهای یکانی هستند. حال برای $\Psi\in L^2(\mathbb{R}^n)$ دستگاه آفین $\Psi=\{\psi_{j,k} =D^j T_k \psi=2^{\frac{j}{2}}\psi(A^j. -k) : j\in \mathbb{Z} , k\in \mathbb{Z}^n\}$ را در نظر بگیرید.
 \end{frame}
 \end{document}}