\documentclass[12pt]{report} %,fleqn \usepackage{setspace} \usepackage{verbatim} \usepackage{amsthm,amssymb,amsmath} \usepackage[driver]{graphicx} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[top=30mm, bottom=30mm, left=25mm, right=35mm]{geometry} \doublespacing \usepackage{xepersian} \usepackage{bidiftnxtra} \settextfont{XB Niloofar} \setdigitfont{XB Niloofar} \newfontinstance\nastaliq[Script=Arabic,Scale=1]{IranNastaliq} %\setromantextfont{XB Niloofar} \setlength{\textheight}{600pt} \numberwithin{table}{chapter} \numberwithin{figure}{chapter} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mr}[1]{\mathrm{#1}} \DeclareMathOperator{\supp}{supp} \DeclareMathOperator{\limit}{limit} \DeclareMathOperator{\diam}{diam} \DeclareMathOperator{\sspan}{span} \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \DeclareMathOperator{\sech}{sech} \DeclareMathOperator{\csch}{csch} \DeclareMathOperator{\Arc}{Arc} \DeclareMathOperator{\Arcsin}{Arcsin} \DeclareMathOperator{\Arccos}{Arccos} \DeclareMathOperator{\Arctan}{Arctan} \DeclareMathOperator{\Arccot}{Arccot} \DeclareMathOperator{\Arcsec}{Arcsec} \DeclareMathOperator{\Arccsc}{Arccsc} \newtheorem{تعریف}{تعریف}[section] \newtheorem{تذکر}[تعریف]{تذکر} \newtheorem{مثال}[تعریف]{مثال} \newtheorem{گزاره}[تعریف]{گزاره} \newtheorem{مسئله}[تعریف]{مسئله} \newtheorem{لم}[تعریف]{لم} \newtheorem{قضیه}[تعریف]{قضیه} \newtheorem{نتیجه}[تعریف]{نتیجه} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{}} \renewcommand{\sectionmark}[1]{\markright{\thesection\ #1}} \fancyhf{} \fancyhead[RE,LO]{\bfseries\thepage} \fancyhead[RO]{\bfseries\rightmark} \fancyhead[LE]{\bfseries\leftmark} \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0pt} \addtolength{\headheight}{0.5pt} \fancypagestyle{plain}{\fancyhead{} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt}} \begin{document} \thispagestyle{empty} \newpage \thispagestyle{empty} \tableofcontents % نمایش فهرست مطالب \chapter*{پیشگفتار} \addcontentsline{toc}{chapter}{{\bf پیشگفتار}} \markright{پیشگفتار} بلاتدسسب تافقافصفا پپ\\ فنقغنهققنفففففففففففففففففعععععععععععععععععع لااببببببباتبییییییییییییییییییییییییییییییی \chapter{مروری بر تحلیل پوششی داده‌ها} \section{مقدمه} انسان موجودی است با نیازهای نامتاهی و منابع متناهی. کمبود منابع در دسترس بشر، مدیران تصمیم‌گیرنده را به فکر استفاده بیشتر و هرچه بهتر از این منابع و افزایش دسترسی انسان به نیازهایش انداخته است. استفاده بهتر از منابع موجود که اصطلاحا بهره‌وری\LTRfootnote{Productivity} نامیده می‌شود؛ از دو عامل اثر بخشی\LTRfootnote{Effectiveness} و کارایی\LTRfootnote{Efficiency} تشکیل شده است که اثر بخشی یا کار خوب کردن، حاصل تعاملات عوامل برون سازمانی و کارایی یا خوب کار کردن، حاصل تعاملات درون سازمانی است.\\ مدیران تصمیم‌گیرنده که در حقیقت نقش رهبر و هدایت کننده واحدهای تحت نظارت خود را دارند؛ بدون اطلاع از عملکرد واحدهای تحت نظارتشان نمی‌توانند تصمیمات مناسبی بگیرند.\\ پیچیدگی اطلاعات، حجم بسیار زیاد عملکرد\ اثرات عوامل بیرونی اثرات واحدهای رقیب بر عملکرد، محدود بودن واحدها در رابطه با تصمیم گیری های مناسب (مثلا به دلیل دولتی بودن واحدها)، تغییرات ناگهانی خط مشی به علت برخوردهای انفعالی، مشکلات حاد (مانند بیکاری، تورم و ...) از عواملی است که مدیر بدون برخورد علمی نمی‌تواند از مشکلات واحدها به طور دقیق مطلع شود. لذا باید از ابزارهای مناسب علمی برای سنجش \LTRfootnote{Evaluate}و عملکرد واحدهای تحت نظارت خود استفاده نماید.\\ بهره‌وری که در حقیقت حصول بهترین نتیجه با حداکثر استفاده از منابع موجود است تابعی از کارایی و اثر بخشی است لذا برای بهره‌وری یک واحد، کارایی و اثربخشی آن تواما مدنظر است. \section{تابع تولید\LTRfootnote{Production Function}} سوال اساسی که پاسخ به آن مد نظر می‌باشد، چگونگی استفاده از روشهای علمی برای سنجش کارایی و در نتیجه بهره‌وری واحدهاست. ذیلا به شرح این قسمت از سوال پرداخته می‌شود. \\ رابطه بین عملکرد یک واحد با عوامل تاثیرگذار بر آن را می‌توان به صورت تابعی که به تابع تولید معروف است و به صورت زیر نشان داده می‌شود، بیان کرد: \[y=f(U,V)\] که در آن بردار ورودی $(U,V)$ خروجی $y$ را تولید می‌نماید. بردار ورودی از دو قسمت تشکیل شده $U$ عوامل قابل کنترل و $V$ عوامل غیر قابل کنترل می‌باشد. وقتی که از یک ترکیب ورودی‌ها، ماکزیمم خروجی عاید گردد، یعنی $y$ ماکزیمم خروجی‌باشد که از به کاربردن بردار ورودی $(U,V)$ عاید می‌گردد، در این صورت می گوییم $f$ تابع تولید می‌باشد و به صورت زیر تعریف می‌کنیم. تابع تولید، تابعی است که برای هر ترکیب از ورودی‌ها، ماکزیمم خروجی را بدهد.\\ این تابع در اقتصاد خرد بسیار مورد توجه است. زیرا با داشتن آن می‌توان قضاوت نمود که یک واحد تصمیم‌گیرنده، خوب عمل می‌کند(کارا است) یا نه. هدف از معرفی و بررسی تابع تولید، مشخص کردن آن به صورتی است که بتوانیم بیشترین خروجی ممکن را از ترکیب حداقل ورودی فراهم نماییم و یا در صورت عدم تحقق چنین هدفی، عوامل عدم تحقق آن را شناخته، برای رفع مشکلات اقدامات لازم را معرفی نماییم.\\ در اغلب موارد تابع تولید در دست نیست، و این به دلیل پیچیدگی فرایند تولید؛ تغییر در تکنولوژی تولید و چند مقداره بودن تابع تولید می‌باشد. یعنی در اغلب موارد یک ترکیب از ورودی‌ها مانند$(x_{1}^o,...,x_{m}^o)$ یک بردار خروجی مانند$(y_{1}^o,...,y_{s}^o)$ را تولید می‌نماید. از این رو ناچاریم تقریبی از تابع تولید را در دست داشته باشیم. تقریب تابع تولید به دو صورت امکان‌پذیر می‌باشد.\\ 1- روش پارامتری \hspace{2cm} 2- روش‌های غیر پارامتری. \section{روش‌های پارامتری برای تقریب تابع تولید} همان گونه که از نام این روش‌ها پیداست؛ در این روش، شکلی خاص از یک تابع را برای تخمین تابع تولید در نظر می گیرند و با استفاده از روش‌های ریاضی، پارامترهای تابع را مشخص می کنند. ایرادهایی بر روش فوق وارد است که مهمترین آنها عبارت است از: \begin{itemize} \item [1])\ چرا شکل تابع تولید به صورت آنچه پیشنهاد می‌گردد، است. \item [2])\ منحنی برازش داده شده، تمایل مرکزی دارد به این معنی که اکثریت غالب مشخص کننده تکلیف پارامتر و در نتیجه شکل منحنی می‌باشند؛ و داده\LTRfootnote{Data} های استثنایی که الگو یا شاخص\LTRfootnote{Bench Mark} مورد نظر می‌باشند؛ نقشی ندارند و در حقیقت به صورتی نادیده گرفته می‌شوند و این از ایراد قبلی مهم تر می‌باشد؛ زیرا در یک جامعه اکثریت باستی پیرو یا دنباله رو برجستگان باشند، تا جامعه به پیش رود که این مطلب در هر موردی صادق است. \item[3])\ روش‌های پارامتری فقط برای توابع یک مقداری است و این روش‌ها را برای توابع چند مقداری نمی‌توان به کار برد. به عبارت دیگر برای توابع چند مقداری، روش‌های پارامتری به کار نمی‌روند و این درحالی است که بیشتر مسائل واقعی و حقیقی ‌با توابع چند مقداره سروکار دارند. \end{itemize} \section{روش‌های غیر پارامتری برای تقریب تابع تولید} تقریب تابع تولید به روش غیر پارمتری برای اولین بار در سال 1957م. توسط فارل\LTRfootnote{Farell} صورت گرفت. فارل با استفاده از مشاهدات و اصول انکار ناپذیر حاکم بر علم مورد نظر، مجموعه‌ای به نام مجموعه امکان تولید\LTRfootnote{Production Possibility Set} ساخت و قسمتی از مرز آن را تابع تولید نامید. هر واحد تصمیم‌گیرنده\LTRfootnote{Decision Making Unit(DMU)} (هر شعبه بانک، واحد آموزشی و ...می‌توانند یک واحد تصمیم‌گیرنده باشند) که روی مرز قرار گیرد، واحد کارا می‌باشد و در غیر این صورت ناکارا تلقی می‌گردد. مجموعه امکان تولید، به صورت زیر تعریف می‌شود: \begin{تعریف} فرض کنید $X$ بردار ورودی برای یک واحد تصمیم‌گیرنده و $Y$ بردار خروجی آن باشد؛ در این صورت مجموعه امکان تولید به صورت زیر معرفی می‌گردد: \begin{equation}\nonumber T=\{(X,Y): \text{X نامنفی به تواند Y نامنفی را تولید کند}\} \end{equation} هدف اصلی تحقیق، همواره مشخص کردن $T$ می‌باشد. \end{تعریف} شاهکار فارل در این بود که بدون در نظر گرفتن شکل تابع تولید، تعداد ورودی‌ها و خروجی‌ها، با ملحوظ داشتن مشاهدات، تابعی ساخت که تا به امروز مورد توجه خاص محققین بوده و هر روز این نظریه تکمیل و گسترش می‌یابد. \section{تحلیل پوششی داده‌ها} کار فارل در سال 1978م. مورد توجه کوپر، چارنز و رودز\LTRfootnote{Cooper, Charnes and Rhodes} قرار گرفت و اولین کاربرد تعمیم کار فارل به نام تحلیل پوششی داده‌ها در ارزیابی یک موسسه آموزشی به چاپ رسید که به مقاله CCR معروف گردید. این مقاله در حقیقت پایه تمام مطالعات بعدی در تحلیل پوششی داده‌ها است.\\ تحلیل پوششی داده‌ها تکنیکی برای محاسبه کارایی نسبی مجموعه‌ای از واحدهای تصمیم‌گیرنده است که با استفاده از برنامه‌ریزی ریاضی انجام می‌گیرد. عبارت نسبی به این علت است که کارایی حاصل نتیجه مقایسه واحدها با یکدیگر است.\\ دلیل نامگذاری این علم این نکته است که داده‌های مورد بررسی در مجموعه امکان تولید گرد هم آمده‌اند که این مجموعه توسط مرز کارایی\LTRfootnote{Efficient Frontier} همه‌ی واحدهای تصمیم‌گیرنده را تحت پوشش قرار داده است.\\ تحلیل پوششی داده‌ها به دلیل استفاده از برنامه‌ریزی ریاضی توانایی دارد تا تعداد زیادی از متغیرها و روابط را در محاسبه‌ی کارایی مورد بررسی قرار دهد و هیچ محدودیتی از جهت تعداد ورودی‌ها و خروجی‌ها ندارد. همچنین DEA علاوه بر محاسبه کارایی، راه حل نفع ناکارایی را با تعیین منابع ایجاد ناکارایی و مقدار تاثیر هر یک بیان می‌نماید. و اعضای الگوی مجموعه $DMU$ های کارا را برای سنجش و تعیین منابع و میزان ناکارایی معرفی می‌نماید. \section{کارایی} کارایی یک واحد تصمیم‌گیرنده حاصل مقایسه ورودی‌ها و خروجی‌ها می‌باشد. در ساده ترین حالت فرض کنید واحد تصمیم‌گیرنده $j$ام با صرف $x_j$، خروجی $y_j$ را تولید نموده است. کارایی نسبی برای واحد $k$ ام که آن را با $RE_k$ نشان می‌دهیم چنین تعریف می‌شود. \begin{equation}\nonumber RE_k=\frac{\frac{y_k}{x_k}}{\text{Max} \big\{\frac{y_j}{x_j}:j=1,\ldots,n\big\}} \end{equation} حال واحد تصمیم‌گیرنده را به صورت زیر در نظر بگیرید که با مصرف بردار ورودی $(x_1,\ldots,x_m)$ بردار خروجی $(y_1,\ldots,y_s)$ را تولید می‌نماید.(مطابق شکل(\ref{fig1} \begin{figure}[h] \centerline{\includegraphics[height=4 cm]{fig1}} \caption{نمایش یک واحد تصمیم‌گیرنده} \label{fig1} \end{figure}\\ اگر برای واحد تصمیم‌گیرنده فوق قیمت همه خروجی‌ها مشخص و هزینه همه ورودی‌های واحد معلوم باشد کارایی آن از رابطه \[\text{کارایی}=\frac{u_1y_1+\cdots+u_sy_s}{v_1x_1+\cdots+v_mx_m}\] محاسبه می‌گردد که در آن $u_r$ قیمت خروجی $r$ ام یعنی $y_r\,\,(r=1,\cdots,s)$ و $v_i$ هزینه ورودی $i$ ام یعنی $x_i\,\,(i=1,\cdots,m)$ می‌باشد و کارایی فوق به کارایی اقتصادی\LTRfootnote{Economic Efficiency} معروف است. ولی وقتی قیمت‌ها و هزینه‌ها در دسترس نباشند، تعیین کارایی اغلب مشکل خواهد بود که در این صورت کارایی به روش مغلوب کردن\LTRfootnote{Dominate} بررسی می‌شود.\\ \begin{تعریف} بردار $Z_1$ غالب بر بردار $Z_2$ است اگر و فقط اگر $Z_1 \ge Z_2$ و $Z_1 \neq Z_2$ در این صورت گوییم بردار $Z_2$ بوسیله بردار $Z_1$ مغلوب گردیده است.\\ به عبارت دیگر بردار $Z_1$ غالب بر بردار $Z_2$ است اگر $Z_{1j} \ge Z_{2j}\,\,\ (j=1,2,\cdots n)$ و نامساوی حداقل برای یک مولفه به طور اکید برقرار باشد. \end{تعریف} \begin{تعریف} فرض کنید $n$ تا $DMU$ با بردارهای ورودی $X_j=(x_{1j},x_{2j},\ldots,x_{mj})\quad$ $j=1,2,\cdots,n$ و بردارهای خروجی $Y_j=(y_{1j},y_{2j},\ldots,y_{sj})\quad j=1,2,\ldots,n$ موجود است و $\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ بردار نامنفی‌باشد، در این صورت ورودی و خروجی مجازی به صورت زیر تعریف می‌شود: \[\text{ورودی مجازی}=\lambda_1X_1+\lambda_2X_2+\ldots+\lambda_nX_n\] \vspace{-1cm} \[\text{خروجی مجازی}=\lambda_1Y_1+\lambda_2Y_2+\ldots+\lambda_nY_n\] یک $DMU$ مجازی، واحدی است که ورودی و یا خروجی آن مجازی ‌باشد. \end{تعریف} معین بودن وزنها برای ورودی‌ها و خروجی‌ها مهمترین کاری است که باید انجام گیرد تا کارایی تمام واحدهای تصمیم‌گیرنده به دست آید. در این راستا مجموعه$DMU$های مجازی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم: \[\Big\{(X,Y)| X=\sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_j \quad \& \quad Y=\sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_j \quad \& \quad \lambda_j\ge0, j=1,2\ldots,n.\Big\}\] \begin{تعریف} فرض کنید $o\in \{1,2,\ldots,n\}$، $DMU_o$ را کارای نسبی می‌نامیم؛اگر و فقط اگر هیچ $DMU$ مجازی یافت نشود که غالب بر $DMU_o$ باشد. \end{تعریف} \section{ روشهای ساخت مدل‌های اساسی DEA} \subsection{روش اصل موضوعی (ساختن مدل CCR با استفاده از مجموعه امکان تولید)} در این مرحله سوالی که مطرح می‌شود که چگونه می‌توان تمام $DMU$های مجازی را عملا ساخت تا $DMU$مورد نظر با آنها مقایسه گردد. برای پاسخ دادن به این سوال، همان طور که قبلا گفته‌ایم مجموعه امکان تولید را به صورت زیر در نظر می‌گیریم: \[T=\{(X,Y): \text{X نامنفی به تواند Y نامنفی را تولید کند}\} \] برای ساختن این مجموعه، اصولی را می‌پذیریم که اصول اساسی تئوری و ساخت مدل‌های مختلف DEA می‌باشد.\\ \textbf{اصل اول}: شمول مشاهدات \LTRfootnote{Non-Empty}\\ این اصل به ما می‌گوید که $(j=1,\cdots,n) (X_j,Y_j)\in T$ یعنی تمام مشاهدات به مجموعه امکان تولید تعلق دارند.و این امر بدیهی به نظر می‌رسد؛ زیرا مشاهده گردیده است که بردار ورودی $(j=1,\cdots,n) X_j$ بردار خروجی$(j=1,\ldots,n) Y_j$ را توانسته تولید نماید.این اصل تنها اصلی است که در مدل‌های ساخته شده مشکلی ایجاد نمی‌نماید و قابل قبول همگان است.\\ \textbf{اصل دوم}:امکان‌پذیری\LTRfootnote{Plossibility} (اختیاری بودن\LTRfootnote{Free disposal})\\ این اصل به ما می‌گوید اگر $(\bar{X},\bar{Y})\in T$ آنگاه بازای هر $X$ ،$Y$ که در آن $X\ge \bar{X}$ و$Y\leq\bar{Y}$ آنگاه $(X,Y)\in T$ . \\ \textbf{اصل سوم}:بازده به مقیاس ثابت \LTRfootnote{Constant Return to Scale} (بی کرانی اشعه \LTRfootnote{Unbounded Ray})\\ با پذیرفتن اصل بازده به مقیاس ثابت، این مطلب را می‌پذیریم که اگر ورودی $X$ خروجی $Y$ را تولید می‌کند، آنگاه$\lambda X$ ، $\lambda Y$ را$(\lambda>0)$ تولید می‌نماید. و کارایی نسبی $(X,Y)$ با$(\lambda X,\lambda Y)$ یکسان است.به عبارت دیگر هر نوع تغییر در ورودی‌ها نه باعث صرفه جویی می‌گردد و نه باعث بالا رفتن هزینه، یعنی در یک ورودی و یک خروجی شکل تابع تولید نیم‌خطی از مبدا مختصات است و بعلاوه تعریف فوق مستلزم آن است که هزینه ثابت در تولید نیز وجود ندارد. یعنی ورودی صفر، خروجی صفر را تولید می‌کند.\\ \textbf{اصل چهارم}:تحدب\LTRfootnote{Canvenexity}\\ این اصل به ما می‌گوید که اگر $(X,Y)\in T$ و $(\bar{X},\bar{Y}) \in T$ آنگاه خواهیم داشت: \[[\lambda (X,Y)+(1-\lambda)(\bar{X},\bar{Y})]\in T,\hspace{2cm} 0\leq\lambda\leq 1\] \textbf {اصل پنجم }:کمینه برون‌یابی\LTRfootnote{Miniality}\\ $T$ را کوچکترین مجموعه‌ای می گیریم که در اصول اول تا چهارم صدق می‌کند.\\ مجموعه امکان تولید $T$ که در اصول 1 تا 5 صدق می‌کند را با $T_c$یا$T_{CCR}$ نشان می‌دهیم.اندیس $c$ برای تاکید بر آن است که در این تکنولوژی ‌بازده به مقیاس ثابت پذیرفته شده است. \\ می‌توان ثابت کرد مجموعه $T_c$ به صورت زیر می‌باشد. \begin{equation}\label{a} T=\Big\{(X,Y)| X\geq\sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_j \quad \& \quad Y\leq\sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_j \quad \& \quad \lambda_j\ge0, j=1,2\cdots,n.\Big\} \end{equation} به عبارت دیگر تنها مجموعه‌ای که در اصول پنجگانه فوق صدق می‌کند به صورت\eqref{a} می‌باشد.\\ مرز مجموعه $T_c$ که یک سطح قطعه‌ای خطی است، مرز کارا می‌باشد. هر $DMU$ که روی مرز قرار داشته باشد، کارای نسبی می‌باشد. در غیر این صورت،ناکارا است.\\ حال با داشتن مجموعه امکان تولید $T_c$، می‌خواهیم بدانیم که $DMU_o$ روی مرز قرار دارد یا خیر. اگر $DMU$روی مرز قرار نداشته باشد، به روش‌های مختلف می‌توان آن را به سوی مرز سوق داد که مهمترین این روش‌ها عبارتند از:\\ الف) کاهش ورودی‌ها\\ ب) افزایش خروجی‌ها\\ در حقیقت در قسمت (الف) می‌خواهیم $DMU_o$ با ورودی$X_o$ و خروجی $Y_o$ را به طرف مرز ببریم. پس انقباض ورودی $X_o$ به $\theta X_o$ می‌باشد.به طوری که با حداکثر انقباض $\theta X_o$ روی مرز قرار گیرد.یعنی حل مساله زیر: \begin{eqnarray} \nonumber &Min& \theta \nonumber \\ &s.t& (\theta X_o,Y_o)\in T_c \label{b} \end{eqnarray} اما شرط عضویت در $T_c$ آن است که $\theta X_o\geq \sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_j$ و $Y_o\leq\sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_j$ پس مساله \eqref{b} به صورت زیر خواهد بود: \begin{eqnarray} \nonumber\label{c} & Min & \theta \\\nonumber & s.t & \sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_j \leq \theta X_o,\\ && \sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_j\geq Y_o, \\\nonumber &&\lambda_j \geq 0, \quad j=1,\cdots ,n.\nonumber \end{eqnarray} مساله \eqref{c} یک مساله برنامه‌ریزی خطی است که در آن مجهولات عبارتند از:$.\theta, \lambda_n, \ldots , \lambda_1$ اگر درجواب بهینه $\theta^*=1$ در این صورت $DMU_o$ روی مرز $T_c$ قرار دارد و کارا می‌باشد. این مساله همواره شدنی است زیرا $(j\neq0 \& (j=1, \ldots ,n)) \lambda_j=0 , \lambda_o=1, \theta=1, $ یک جواب شدنی است و در هر جواب شدنی $0<\theta\leq1$ می‌باشد. این مساله معروف به مدل پوششی\LTRfootnote{Envelopment Model} CCR با ماهیت ورودی\LTRfootnote{Input Oriented} است. \\ در حالت (ب)، افزایش خروجی به این معنی است که با انبساط خروجی از $Y_o$ به $\phi Y_o$ ، نقطه $(X_o,\phi Y_o)$ روی مرز قرار می‌گیرد. یعنی حل مساله زیر: \begin{eqnarray}\nonumber &Max& \phi \\ \nonumber &s.t& \sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_j \leq X_o,\\ && \sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_j\geq \phi Y_o, \\\nonumber && \lambda_j \geq 0, \quad j=1,\cdots ,n.\nonumber \end{eqnarray} مدل (1.6) را، مدل CCR در ماهیت خروجی\LTRfootnote{Output Oriented CCR Model} می‌نامند. \\ در این مدل، $j\neq0, \lambda_o=1, \lambda_j=0, \phi=1 $ یک جواب شدنی می‌باشد. پس $1\leq Max \phi $ .مساله فوق یک مساله‌ی برنامه‌ریزی خطی است. فرض کنید $\phi^*$ جواب بهینه مساله باشد. اگر $\phi^*>1$ در این صورت $(X_o,\phi^* Y_o)$ در $T_c$ وجود دارد که $\phi Y_o>Y_o$ و این بدان معنی است که $(X_o,\phi Y_o)$ بر $(X_o,Y_o) $ غالب می‌باشد.پس $DMU$ روی مرز قرار ندارد، یعنی $DMU_o$ نا کارا است. \\ در شکل \ref{fig3})) برای یک ورودی و یک خروجی هر دو حالت قبل توضیح داده شده است. \begin{figure}[h] \centerline{\includegraphics[height=9cm]{fig3}} \caption{ روش‌های تصویر یک واحد ناکارا} \label{fig3} \end{figure}\\ در حالت (الف) کارایی نسبی$DMU_o$ در مقایسه با واحد مجازی $A$ که روی مرز قرار دارد محاسبه می‌شود و در حالت (ب) با واحد مجازی $B$ .\\ باید توجه داشت که تنها کاهش توام ورودی‌ها یا افزایش توام خروجی‌ها، یک $DMU$ را به طرف مرز نمی‌برد. مثلا در شکل () به هر صورت می‌توان ورودی را کاهش و خروجی را افزایش داد تا روی پاره خط $AB$ قرار گیرد. \\ ممکن است $DMU_o$ در راستای برداری مانند d با کاهش ورودی‌ها یا افزایش خروجی‌ها به طرف مرز انتقال داده شود که در این صورت با حداکثر کاهش در ورودی و حداکثر افزایش در خروجی $DMU_o$ روی مرز قرار می‌گیرد. به عبارت دیگر مساله عبارت از حل مدل زیر است. \begin{eqnarray} \nonumber & Max &\theta \\ & s.t& ( X_o-\theta d_1,Y_o+\theta d_2)\in T_c \end{eqnarray} که در آن $0\leq(d_1,d_2)$ که با توجه به ساختار $T_c$ داریم: \begin{eqnarray}\nonumber &Max& \theta \\\nonumber &s.t& \sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_j \leq X_o-\theta d_1,\\ && \sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_j\geq Y_o+\theta d_2, \\\nonumber && \lambda_j \geq 0, \quad j=1,\cdots ,n.\nonumber \end{eqnarray} در حالتی که $d=(X_o,Y_o)$، مساله به صورت زیر در می آید که به مدل ترکیبی\LTRfootnote{Combined Model} معروف است. \begin{eqnarray}\nonumber &Max& \theta \\\nonumber &s.t& \sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_j \leq X_o(1-\theta) ,\\ && \sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_j\geq Y_o(1+\theta) , \\\nonumber && \lambda_j \geq 0, \quad j=1,\cdots ,n.\nonumber \end{eqnarray} بدیهی است که اگر $\theta^*$ جواب بهینه (1.9) باشد و $\theta^*>0$ ($\theta^*>1$ نمی‌تواند باشد.) در این صورت نقطه ای مانند $(X_o(1-\theta^*), Y_o(1+\theta^*))$ در $T_c$ موجود است که بر $(X_o,Y_o)$ غالب است، زیرا $(1-\theta)X_oY_o$ .که این مطلب نشان دهنده ناکارای نسبی بودن $DMU_o$ می‌باشد. اگر $\theta^*=0$ آنگاه $DMU_o$ کارا خواهد بود. \\ دوال مدل CCR در ماهیت ورودی (1.5) که معروف به صورت مضربی است چنین می‌باشد: \begin{eqnarray} \nonumber &Max& U^t Y_o \\ \nonumber &s.t& U^t Y_j - V^t X_j \leq 0 , \quad j=1, \cdots , n, \\ && V^t X_o =1, \\ \nonumber && U\geq 0 , \quad V\geq 0 . \\ \nonumber \end{eqnarray} در این مدل مجهولات عبارتند از $U=(u_1, \cdots ,u_s)$ و $V=(v_1, \cdots,v_m)$ . تعداد مجهولات $(m+s)$ و تعداد قیود$(n+1)$ است. به تجربه ثابت شده که برای به دست آوردن کارایی قابل استفاده و قابل تحلیل بایستی $n\geq3(m+s)$ باشد و با توجه به این که فاکتور بحرانی در مسائل برنامه‌ریزی خطی تعداد قیدهای مستقل است، از این رو حل صورت پوششی که دارای قیدهای کمتری است بیشتر مورد توجه بوده است. به علاوه با معرفی متغیرهای کمکی \mbox{ $s_i^+ (i=1, \cdots, m)$ ، $s_r^-(r=1,\cdots, s)$ }صورت پوششی CCR به صورت زیر نوشته می‌شود که در جواب بهینه اطلاعات زیادی عاید می‌گردد. \begin{eqnarray}\nonumber &Min& \theta \\ \nonumber &s.t& \sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_{ij} +s_i^-=\theta x_{io}, \quad i=1, \cdots , m, \\ \nonumber && \sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_{rj} -s_r^+= y_{ro}, \quad r=1, \cdots , s,\\ && \lambda_j\geq0 , \qquad \qquad \qquad \quad j=1, \cdots , n,\\ \nonumber && s_i^-\geq 0 , \qquad \qquad \qquad \quad i=1, \cdots , m, \\ \nonumber && s_r^+\geq 0 , \qquad \qquad \qquad \quad r=1, \cdots , s. \nonumber \end{eqnarray} در مدل () اگر $\theta^*<1$ آنگاه $DMU_o$ ناکارا می‌باشد ولی اگر $\theta^*=1$ دو حالت اتفاق می‌افتد که بر مبنای آن دو تعریف زیر را می‌اوریم. \begin{تعریف} اگر در مدل پوششی CCR با ماهیت ورودی $\theta^*=1$ و در تمامی جواب‌های بهینه مقادیر متغرهای کمکی برابر صفر باشند، آنگاه $DMU_o$ کارای قوی\LTRfootnote{Strongly Effieient} یا کارای پاراتو می‌باشد. \end{تعریف} \begin{تعریف} اگر در مدل پوششی CCR با ماهیت ورودی $\theta^*=1$ ولی در بعضی جواب‌های بهینه حداقل یکی از متغیرهای کمکی مخالف صفر باشد، آنگاه $DMU_o$ کارای ضعیف می‌باشد. \end{تعریف} \begin{تعریف} در مدل‌های فوق وقتی $\theta^*=1$ گویند $DMU$ مربوطه به مفهوم شعاعی، کارا است که ممکن است این کارایی ضعیف یا قوی ‌باشد. وجه تسمیه کارایی شعایی آن است که در امتداد شعاعی، ورودی‌ها را به یک نسبت منقبض و یا خروجی‌ها در امتداد شعاعی، به یک نسبت منبسط می‌گردند. \end{تعریف} \begin{تعریف} مقدار $\theta^*$ در مدل پوششی CCR در ارزیابی $DMU_o$ را کارایی تکنیکی آن واحد تصمیم‌گیرنده و $(1-\theta^*)$را ناکارایی تکنیکی آن می‌نامند. \end{تعریف} صورت پوششی به صورت برداری چنین می‌باشد: \begin{eqnarray} \nonumber & Min & \theta \\\nonumber & s.t & \sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_j +S^-= \theta X_o,\\ && \sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_j -S^+= Y_o, \\\nonumber && S^-\geq 0 , S^+\geq 0 , \lambda_j \geq 0 \quad j=1,\cdots ,n.\nonumber \end{eqnarray} فرض کنید $(\theta^*, {S^-}^*, {S^+}^*, \lambda^*)$ جواب بهینه () باشد. در حالتی که در جواب بهینه $\theta^*=1$ و ${S^-}^*\neq 0$ ،در این صورت هدر رفتن ورودی به اندازه بردار${S^-}^*=({s_1^-}^*, \cdots ,{s_m^-}^*)$ می‌باشد و در حالتی که ${S^+}^*\neq 0$ در این صورت کمبود خروجی\LTRfootnote{Shortfall in output} به اندازه بردار ${S^+}^*=({s_1^+}^*, \cdots ,{s_m^+}^*)$ می‌باشد.\\ برای مشخص نمودن بردار ورودی هدر رفته و بردار خروجی کم تولید شده (بردار کمبود خروجی) دو مدل زیر را در دو فاز حل می‌نماییم.\vspace{.4 cm} \\ \textbf{فاز اول:} \\ ابتدا مساله زیر را حل می‌کنیم: \begin{eqnarray} \nonumber & Min & \theta \\\nonumber & s.t & \sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_j \leq \theta X_o,\\ && \sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_j\geq Y_o, \\\nonumber &&\lambda_j \geq 0, \quad j=1,\cdots ,n.\nonumber \end{eqnarray} فرض کنیم $\theta^*$ مقدار بهینه تابع مقصود باشد $\theta^*$ را کارایی شعاعی فارل $DMU_o$ می‌نامیم. \vspace{.4cm} \\ \textbf{فاز دوم:} \\ با به کار بردن $\theta^*$ به دست آمده در فاز اول مدل زیر را حل می‌کنیم. \begin{eqnarray} \nonumber & Min & 1_s\, S^+ + 1_m\, S^- \\\nonumber & s.t & \sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_j +S^-= \theta^* X_o,\\ && \sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_j -S^+= Y_o, \\\nonumber && S^-\geq 0 , S^+\geq 0 , \lambda_j \geq 0, \quad j=1,\cdots ,n.\nonumber \end{eqnarray} که در آن $1_s = (1,\cdots ,1) \in R^s $و $1_m = (1,\cdots ,1) \in R^m $و $1_m\, S^- =\sum_ {i=1}^{m} s_i^-$ و$1_s\, S^+ =\sum_{r=1}^{s} s^+_r$ .\\ هدف در فاز دوم پیدا نمودن جوابی است که مجموع ورودی‌های هدر رفته و مجموع خروجی‌های تولید نشده را ماکزیمم کند. البته در رابطه با تابع هدف () می‌توان وزن‌هایی را اعمال نمود و تابع مقصود را به صورت $W_xS^- + W_y S^+$ در نظر گرفت. \begin{تعریف} $DMU_o$ کارای نسبی پاراتو است اگر در مدل مضربی مورد ارزیابی آن $U^ *$ ای و $V^*$ ای در جواب بهینه یافت شود که $U^{*t} Y_o=1$ و $V^*>0$ , $U^*>0$ . \end{تعریف} مطلب فوق به این معنی است که در ارزیابی $DMU_o$ با مدل مضربی قید $U^t Y_o -V^t X_o \leq 0$ نافذ است.\\ به راحتی می‌توان ثابت کرد که تعاریف ارائه شده برای کارایی در حالت های مختلف یعنی تعاریف () و () و() با هم معادلند و به کار بردن یکی از آنها به معنای بقیه نیز می‌باشد.[] \subsection{ساختن مدل CCR با استفاده از تعریف کارایی نسبی } n واحد تصمیم‌گیرنده $(j=1, \cdots ,n)DMU_j$ که $DMU_j$ با مصرف بردار خروجی $X_j =(x_{1j},\cdots ,x_{mj})$ ، بردار خروجی $Y_j =(y_{1j},\cdots,y_{sj})$ را تولید می‌کند، را در نظر بگیرید. فرض کنید وزن‌هایی به صورت شکل () به ورودی‌ها و خروجی‌ها نسبت داده‌ایم. \begin{figure}[h] \centerline{\includegraphics[height=4 cm]{fig2}} \caption{ واحد تصمیم‌گیرنده و وزن‌ها} \label{fig2} \end{figure}\\ پس کارایی $DMU$ ها با وزن‌های مورد نظر عبارت خواهد بود از : \[E_j =\frac{\displaystyle{\sum_{r=1}^{s}u_r y_{rj}}}{\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}v_i x_{ij}}}. \qquad \qquad j=1,\cdots,n.\] یعنی نسبت مجموع خروجی‌های وزن دار شده به مجموع ورودی‌های وزن دار شده و کارایی نسبی $(o\in\{1,2,\cdots,n\}) DMU_o$ به صورت زیر خواهد بود. \[RE_{DMU_o} =\frac{E_o}{Max\left\{E_j\vert j=1,\ldots,n\right\}}\] \[\qquad \qquad=\frac{\frac{U^t Y_o}{V^t X_o}}{Max\left\{\frac{U^t Y_j}{V^t X_j}\vert j=1,\ldots,n\right\}}\] حال وزن‌ها را به صورتی تعیین می‌کنیم که کارایی نسبی $DMU_o$ ماکزیمم گردد و ان را با $RE_o$ نشان می‌دهیم. \begin{eqnarray} RE_o = &Max& \frac{\frac{U^t Y_o}{V^t X_o}}{Max\left\{\frac{U^t Y_j}{V^t X_j}\vert j=1,\ldots,n\right\}} \nonumber \\\ \\ &s.t& \; U\geq 0, \quad V\geq 0. \nonumber \end{eqnarray} اگر قرار دهیم: \[Max\left\{\frac{U^t Y_j}{V^t X_j}\vert j=1,\ldots,n\right\}=\frac{1}{t}\] مساله () به صورت زیر در می آید. \begin{eqnarray} RE_o = &Max& \frac{t U^t Y_o}{V^t X_o} \nonumber \\ &s.t& {\frac{t U^t Y_j}{V^t X_j} \leq 1, \qquad j=1,\ldots,n , \\ && U\geq 0, \; V\geq 0, \; t\geq 0. \nonumber \end{eqnarray} اگر قرار دهیم جدید$tu=u$ داریم: \begin{eqnarray} RE_o = &Max& \frac{ U^t Y_o}{V^t X_o} \nonumber \\ &s.t& {\frac{ U^t Y_j}{V^t X_j} \leq 1, \qquad j=1,\ldots,n , \\ && U\geq 0, \; V\geq 0. \; \nonumber \end{eqnarray} مدل() را مدل کسری CCR می‌نامند که به صورت زیر قابل تبدیل به یک مساله برنامه‌ریزی خطی می‌باشد. قرار می‌دهیم \[V^t X_o=\frac{1}{d}\] در نتیجه مدل () به صورت زیر تبدیل می‌گردد: \begin{eqnarray} \nonumber &Max& dU^t Y_o \\ \nonumber &s.t&dU^t Y_j - dV^t X_j \leq 0 , \quad j=1, \cdots , n, \\ && d V^t X_o =1, \\ \nonumber && U\geq 0 , \quad V\geq 0. \nonumber \end{eqnarray} قرار می‌دهیم $dv=v$و$du=u$ داریم : \begin{eqnarray} \nonumber &\text{Max}& U^t Y_o \\ \nonumber &s.t& U^t Y_j - V^t X_j \leq 0 , \quad j=1, \cdots , n, \\ && V^t X_o =1, \\ \nonumber && U\geq 0 , \quad V\geq 0. \\ \nonumber \end{eqnarray} که همان فرم مضربی CCR می‌باشد که با استفاده از تعریف کارایی نسبی حاصل گردید. با همین روش اگر عکس کارایی را نسبت ورودی‌های وزن دار شده به خروجی‌های وزن دار شده تعریف کنیم فرم مضربی CCR در ماهیت خروجی به دست می اید. \subsection{به دست اوردن مدل CCR با روش$MaxMin$ یا با روش $MinMax$} تا به حال مدل CCR را با دو روش، یکی ‌با استفاده از مجموعه امکان تولید و دیگری ‌با استفاده از تعریف کارایی نسبی وزن‌ها به دست آوردیم. اینک روش دیگری که در درک این مدل بسیار سودمند است بیان می‌کنیم. \\ می‌خواهیم یک $DMU$ مجازی‌با ورودی $\sum_{i=1}^{n} \lambda_j X_j$ که در شرط $\sum_{i=1}^{n} \lambda_j Y_j$ صدق نماید و \[\theta=max \left(\frac{\sum_{j=1}^{n}\lambda_j x_{ij}}{x_{io}}\vert 1\leq i \leq m \right)\] به ازای این $\lambda$ ها می‌نیمم باشد، پیدا کنیم. به عبارت دیگر برای DMU مجازی $\lambda_n ,\cdots ,\lambda_n$را چنان بیابیم که $\theta$ می‌نیمم گردد و $\sum_{j=1}^{n} \lambda_j Y_j\geq Y_o$ . یعنی مساله عبارت خواهد بود از \begin{eqnarray} &Min& max \left (\frac{\sum_{j=1}^{n}\lambda_j x_{ij}}{x_{io}}\vert 1\leq i \leq m \right) \nonumber \\ &s.t& \sum_{j=1}^{n} \lambda_j y_{rj}\geq y_{ro} \quad r=1,\ldots ,s, \nonumber \\ && \lambda_j\geq 0, \quad j=1,\ldots ,n.\nonumber \end{eqnarray} یعنی مساله چنین خواهد بود. \begin{eqnarray} \nonumber & Min & \theta \\\nonumber & s.t & \sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_{ij} \leq \theta X_{io},\\ && \sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_{rj}\geq Y_{ro}, \\\nonumber &&\lambda_j \geq 0, \quad j=1,\cdots ,n.\nonumber \end{eqnarray} که همان صورت پوششی CCR می‌باشد که در ماهیت ورودی حاصل گردید.عینا می‌توان صورت پوششی CCR درماهیت خروجی را به دست آورد. \subsection{مدل $CCR_{\varepsilon}$} پس از انتشار مقاله CCR توسط مولفان آن، نکته بسیار مهمی در رابطه با وزن‌های بدست آمده از مدل مضربی مشخص گردید. و آن را به صورت یک یادداشت به چاپ رساندند که اینک به شرح آن می‌پردازیم. \begin{مثال} سه واحد تصمیم‌گیرنده را که دارای دو ورودی و یک خروجی می‌باشند به صورت زیر در نظر بگیرید: \begin{table}[htb!] \begin{center} \begin {tabular}{ccc|c} $DMU_3$ & $DMU_2$ & $DMU_1$ & \\ \hline 3 & 2 & 2 & $I_1$ \\ 5 & 5 & 3 & $I_2$ \\ 6 & 4 & 4 & $o$ \\ \end{tabular} \caption{مقادیر ورودی‌ها و خروجی‌ها} \end{center} \end{table} برای ارزیابی $DMU_1$ مدل مضربی CCR به صورت زیر است: \begin{eqnarray}\nonumber &Max& 4u \nonumber \\ &s.t& 2v_1 + 3v_2=1, \nonumber \\ &&4u-(2v_1 + 3v_2)\leq 0, \nonumber \\ &&4u-(2v_1 + 5v_2)\leq 0, \nonumber \\ &&6u -(3v_1 + 5v_2)\leq 0, \nonumber \\ &&v_1 ,v_2 ,u \geq 0 .\nonumber \end{eqnarray} جواب بهینه مساله فوق عبارت است از : \[u^*=\frac{1}{4},\quad v_1^*=\frac{1}{2}, \quad v_2^*=0, \quad 4u^*=\theta^*=1 \] پس $DMU_1$ کارا می‌باشد.\\ حال $DMU_2$ را در نظر بگیرید. مدل مضربی ارزیابی آن چنین می‌باشد. \begin{eqnarray}\nonumber &Max& 4u \nonumber \\ &s.t& 2v_1 + 5v_2=1, \nonumber \\ &&4u-(2v_1 + 3v_2)\leq 0, \nonumber \\ &&4u-(2v_1 + 5v_2)\leq 0, \nonumber \\ &&6u -(3v_1 + 5v_2)\leq 0, \nonumber \\ &&v_1 ,v_2 ,u \geq 0. \nonumber \end{eqnarray} که جواب بهینه مساله‌ی فوق عبارت است از: \[u^*=\frac{1}{4},\quad v_1^*= \frac{1}{2} , \quad v_2^*=0, \quad 4u^*=\theta^*=1\] یعنی $DMU_2$ نیز کارا است. \end{مثال} با توجه به داده‌ها مشاهده می‌گردد که $DMU_1$ غالب بر $DMU_2$ می‌باشد زیرا $DMU_1$ با ورودی کمتر از ورودی‌های $DMU_2$ (در مؤلفه دوم ورودی‌ها) همان خروجی 4 را تولید نموده است. در حالی که مدل مضربی هر دو واحد تصمیم‌گیرنده را کارا تشخیص داده است. علت اینکه مدل، $DMU_2$ را نادرست ارزیابی می‌نماید، این است که در هر دو مدل ورودی دوم هر دو واحد ورن صفر گرفته و در ارزیابی دخیل نشده‌اند.برای رفع این مشکل قیدی را روی تمام وزن‌ها تحمیل نمودند تا از صفر شدن آنها جلوگیری نماید.آنها ابتدا پیشنهادی به صورت زیر ارائه نمودند: \begin{eqnarray} \nonumber &Max& U^t Y_o \\ \nonumber &s.t& U^t Y_j - V^t X_j \leq 0 , \quad j=1, \cdots , n, \\ && V^t X_o =1, \\ \nonumber && U> 0 , \quad V> 0. \nonumber \end{eqnarray} با معرفی محدودیت‌هایی روی متغیرها به صورت $0<(v_1,\cdots,v_m)$ و $0<(u_1,\cdots,u_s)$مساله() ممکن است بهینه نداشته باشد.برای رفع مشکل جدید قیدها را به صورت زیر اصلاح نمودند. \begin{eqnarray} \nonumber &Max& U^t Y_o \\ \nonumber &s.t& U^t Y_j - V^t X_j \leq 0 , \quad j=1, \cdots , n, \\ && V^t X_o =1, \\ \nonumber && u_r\geq \varepsilon ,\qquad \qquad \qquad r=1,\ldots,s \\ \nonumber && v_i\geq\varepsilon ,\qquad \qquad \qquad \; i=1,\ldots,m. \nonumber \end{eqnarray} که در آن $\varepsilon$ عدد غیر ارشمیدسی مثبت بسیار کوچک است. دوال مدل() به صورت زیر خواهد بود. \begin{eqnarray}\nonumber &Min& \theta -\varepsilon\left(\sum_{i=1}^{m}s_i^- + \sum_{r=1}^{s}s_r^+ \right) \\ \nonumber &s.t& \sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_{ij} +s_i^-=\theta x_{io}, \quad i=1, \cdots , m, \\ \nonumber && \sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_{rj} -s_r^+= y_{ro}, \quad r=1, \cdots , s,\\ && \lambda_j\geq0 , \qquad \qquad \qquad \quad j=1, \cdots , n,\\ \nonumber && s_i^-\geq 0, \qquad \qquad \qquad \quad i=1, \cdots , m, \\ \nonumber && s_r^+\geq 0, \qquad \qquad \qquad \quad r=1, \cdots , s. \nonumber \end{eqnarray} با توجه به مطالب فوق، تعریف دیگری از کارایی پاراتو می‌آوریم که معادل تعاریف قبل است. \begin{تعریف} $DMU_o$ کارای نسبی پاراتو است اگر مقدار بهینه مدل () برابر با یک باشد. \end{تعریف} \section{مدل‌های دیگر تحلیل پوششی داده‌ها} \subsection{مدل BCC} برای ساختن این مدل بازده به مقاس متغیر برای تکنولوژی تولید در نظر گرفته می‌شود. که در بسیاری از موارد برای مسائل حقیقی به واقعیت نزدیک تر می‌باشد. اگر اصل بی کرانی اشعه (بازده به مقیاس ثابت) را در تعریف مجموعه امکان تولید در نظر نگیریم ، مجموعه‌ای که در اصول باقیمانده صدق می‌کند به صورت زیر است: \begin{equation}\nonumber T_V=\Big\{(X,Y) \big\vert X\geq\sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_j \quad \& \quad Y\leq\sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_j \quad \& \quad \sum_{j=1}^{n} \lambda_j=1 \quad \lambda\ge0\Big\} \end{equation} نماد$T_V$ به معنای تکنولوژی تولیدی است که با قبول سه اصل شمول مشاهدات، تحدب و امکان‌پذیری ساخته می‌شود یا مجموعه‌ای است که در چهار اصل شمول مشاهدات، تحدب، امکان‌پذیری و کمینه درون یابی صدق می‌نماید.\\ برای اندازه گیری کارایی $DMU_o$ بایستی مدل زیر حل گردد.\\ (در ماهیت ورودی). \begin{eqnarray} \nonumber &Min& \theta \nonumber \\ &s.t& (\theta X_o,Y_o)\in T_V \end{eqnarray} با توجه به ساختار $T_V$،() به صورت مساله زیر در می آید. \begin{eqnarray} \nonumber & Min & \theta \\\nonumber & s.t & \sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_j \leq \theta X_o,\\ && \sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_j\geq Y_o, \\\nonumber && \sum_{j=1}^{n}\lambda_j =1,\nonumber \\ &&\lambda_j \geq 0, \quad j=1,\cdots ,n.\nonumber \end{eqnarray} این مدل همان مدل صورت پوششی CCR است که قید $ \sum_{j=1}^{n}\lambda_j =1$ به آن افزوده شده است. مساله() همواره شدنی است و اگر $\theta^*$ مقدار بهینه ان باشد همواره داریم $0<\theta^*\leq1$ . دوآل مدل () به صورت زیر است: \begin{eqnarray} \nonumber &Max& U^t Y_o + u_o\\ \nonumber &s.t& U^t Y_j - V^t X_j +u_o\leq 0 , \quad j=1, \cdots , n, \\ && V^t X_o =1, \\ \nonumber && U\geq 0 , \quad V\geq 0. \nonumber \end{eqnarray} مدل() را صورت مضربی CCR در ماهیت ورودی می‌نامند.\\ فرم پوششی مدل BCC در ماهیت خروجی به صورت زیر است. \begin{eqnarray}\nonumber &Max& \phi \\\nonumber &s.t& \sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_j \leq X_o,\\ && \sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_j\geq \phi Y_o, \\\nonumber && \sum_{j=1}^{n}\lambda_j =1,\nonumber \\ && \lambda_j \geq 0, \quad j=1,\cdots ,n.\nonumber \end{eqnarray} دوآل مساله فوق به صورت زیر خواهد بود. \begin{eqnarray} \nonumber &Max& V^t X_o + v_o\\ \nonumber &s.t& -U^t Y_j + V^t X_j +v_o\leq 0 , \quad j=1, \cdots , n, \\ && U^t Y_o =1, \\ \nonumber && U\geq 0 , \quad V\geq 0 .\nonumber \end{eqnarray} \subsection{مدل BCC - CCR} تکنولوژی تولیدی را در نظر بگیرید که در آن اگر $X_o$ ،$Y_o$ را تولید نماید آنگاه اگر $\lambda \geq 1$ ،$\lambda X_o$ ، $\lambda X_o$ را تولید کند و مجموعه امکان تولیدی می‌سازیم که شامل مشاهدات بوده و در اصول تحدب و امکان‌پذیری صدق نماید و دارای خاصیت فوق باشد، این مجموعه امکان تولید به صورت زیر خواهد بود: \begin{equation}\nonumber T_{ND}=\Big\{(X,Y) \big\vert X\geq\sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_j \; \& \; Y\leq\sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_j \; \& \; \sum_{j=1}^{n} \lambda_j\geq1 \; \lambda\ge0\Big\} \end{equation} فرض کنید هدف ارزیابی $DMU_o$ در رابطه با تکنولوژی فوق باشد که $T_{ND}\LTRfootnote{Non-Decreasing Return to Scale}$ به عنوان مجموعه امکان تولید تعریف شده باشد. بنابراین داریم: \begin{eqnarray} \nonumber &Min& \theta \nonumber \\ &s.t& (\theta X_o,Y_o)\in T_{ND} \end{eqnarray} با توجه به ساختار $T_{ND}$، () به صورت زیر خواهد بود: \begin{eqnarray} \nonumber & Min & \theta \\\nonumber & s.t & \sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_j \leq \theta X_o,\\ && \sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_j\geq Y_o, \\\nonumber && \sum_{j=1}^{n}\lambda_j \geq 1,\nonumber \\ &&\lambda_j \geq 0, \quad j=1,\cdots ,n.\nonumber \end{eqnarray} دوآل مدل () چنین خواهد بود: \begin{eqnarray} \nonumber &Max& U^t Y_o + u_o\\ \nonumber &s.t& U^t Y_j - V^t X_j +u_o\leq 0 , \quad j=1, \cdots , n, \\ && V^t X_o =1, \\ \nonumber && U\geq 0 , \quad V\geq 0, \quad u_o\geq 0. \nonumber \end{eqnarray} \subsection{مدل CCR-BCC} تکنولوژی تولیدی را در نظر بگیرید که در آن اگر $X_o$ ،$Y_o$ را تولید نماید آنگاه اگر $\lambda \leq 1$ ،$\lambda X_o$ ، $\lambda X_o$ را تولید کند و مجموعه امکان تولیدی می سازیم که شامل مشاهدات بوده و در اصول تحدب و امکان‌پذیری صدق نماید و دارای خاصیت فوق باشد، این مجموعه امکان تولید به صورت زیر خواهد بود: \begin{equation}\nonumber T_{NI}=\Big\{(X,Y) \big\vert X\geq\sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_j \; \& \; Y\leq\sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_j \; \& \; \sum_{j=1}^{n} \lambda_j\leq1 \; \lambda\ge0\Big\} \end{equation} مانند آنچه گذشت مدل CCR-BCC به صورت زیر خواهد بود. \begin{eqnarray} \nonumber & Min & \theta \\\nonumber & s.t & \sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_j \leq \theta X_o,\\ && \sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_j\geq Y_o, \\\nonumber && \sum_{j=1}^{n}\lambda_j \leq 1,\nonumber \\ &&\lambda_j \geq 0, \quad j=1,\cdots ,n.\nonumber \end{eqnarray} که مدل مضربی آن چنین خواهد بود. \begin{eqnarray} \nonumber &Max& U^t Y_o - u_o\\ \nonumber &s.t& U^t Y_j - V^t X_j - u_o\leq 0 , \quad j=1, \cdots , n, \\ && V^t X_o =1, \\ \nonumber && U\geq 0, \quad V\geq 0, \quad u_o\geq 0. \nonumber \end{eqnarray} مدل‌های CCR-BCC و BCC-CCR در رابطه با تعیین بازده به مقیاس مورد استفاده قرار می‌گیرد. \subsection{مدل جمعی\LTRfootnote{The Additive Model}} در مدل‌هایی که تا به حال عرضه شد چه در ماهیت ورودی و چه در ماهیت خروجی، انقباض ورودی‌ها و انبساط همه ورودی‌ها به یک نسبت صورت می‌گرفت، که آنها را مدل‌های شعاعی می‌نامیدیم. اینک مدل جمعی را بیان می‌کنیم که هم ماهیت ورودی دارد و هم ماهیت خروجی، و شعاعی نمی‌باشد.این مدل به صورت زیر است: \begin{eqnarray}\nonumber &Min&\sum_{i=1}^{m}s_i^- + \sum_{r=1}^{s}s_r^+ \\ \nonumber &s.t& \sum_{j=1}^{n}\lambda_jX_{ij} +s_i^-= x_{io}, \quad i=1, \cdots , m, \\ \nonumber && \sum_{j=1}^{n}\lambda_jY_{rj} -s_r^+= y_{ro}, \quad r=1, \cdots , s,\\ && \sum_{j=1}^{n}\lambda_j = 1,\nonumber \\ && \lambda_j\geq0 , \qquad \qquad \qquad \quad j=1, \cdots , n,\\ \nonumber && s_i^-\geq 0, \qquad \qquad \qquad \quad i=1, \cdots , m, \\ \nonumber && s_r^+\geq 0, \qquad \qquad \qquad \quad r=1, \cdots , s. \nonumber \end{eqnarray} مدل فوق، مدل جمعی ‌با بازده به مقیاس متغیر می‌باشد که با حذف قید $\sum_{j=1}^{n}\lambda_j = 1$ مدل جمعی‌با بازده به مقیاس ثابت حاصل می‌شود.\\ فرم مضربی () که دوآل آن می‌باشد چنین است: \begin{eqnarray} \nonumber &Min& V^t X_o - U^t Y_o + u_o\\ \nonumber &s.t& V^t X_j - U^t Y_j + u_o\leq 0, \quad j=1, \cdots , n, \\ && U\geq 1_s , \quad V\geq 1_m. \nonumber \end{eqnarray} که در آن 1 برداری است که همه مولفه های آن عدد یک می‌باشد. \begin{تعریف} $DMU_o$ در مدل جمعی کارای پاراتو است،اگر و فقط اگر $${S^+}^* =0 , {S^-}^* =0$$ \end{تعریف} \vspace{-.75cm} می‌توان نشان داد که این تعریف با تعاریف قبلی از پاراتو کارا معادل است. ملاحضه می‌گردد که در مدل جمعی، مقدار کارایی محاسبه نمی‌شود. فقط کارا یا ناکارا بودن واحدهای تصمیم‌گیرنده مشخص می‌گردد، که این ضعف مدل جمعی است. \[\mbox{\max_4}\] \end{document}