\documentclass[12pt,a4paper]{report}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{headings}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath, amsthm, amscd, amsfonts, amssymb}
\usepackage{xepersian}
\usepackage{tikz}
\usepackage{verbatim}

%\rightfootnoterule
%\settextfont[Scale=1.1]{Yas}
 %\setlatintextfont[Scale=1]{Junicode}
%\setdigitfont[Scale=1]{Yas}   %PGaramond
%\defpersianfont\nastaliq[Scale=2]{IranNastaliq}
%\defpersianfont\nastaliqq[Scale=1.7]{IranNastaliq}
%\defpersianfont\xyas[Scale=1.1]{yas}
%\defpersianfont\xyas[Scale=1.1]{Yas}    % XB Yas
%\defpersianfont\xtitre[Scale=1]{XB Titre}
\usepackage{fancybox}
%\usepackage{fancyhdr}
%\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{makeidx}

%\usepackage{color,xecolour,graphicx}
%\usepackage{titlesec}
\linespread{ 2.2}

\makeindex
%\RequirePackage[para*,perpage]{ednotes}
%SetFootnoteHook{\setLTR}%--> must appear immediately before \DeclareNewFootnote 
%\DeclareNewFootnote[para]{C}%[fnsymbol]
%\renewcommand{\extrafootnoterule}{}
%\SelectFootnoteRule[0]{extra}
%\newcommand\persiangloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\}
%\settextfont[Scale=1.5]{Arial}
%\settextfont[Scale=1.25]{XBNiloofar}
%\settextfont[Scale=0.93]{XB Roya}
\settextfont[Scale=1]{B Badr}
\setdigitfont[Scale=0.9]{Persian Modern}
%\setlatintextfont[Scale=1.5]{XBNiloofar}
%\settextfont[Scale=1.8]{B Nazanin}
%دستوری برای وارد کردن واژه‌نامه انگلیسی به فارسی
\newcommand\persiangloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\}
%بسته‌ای برای تنطیم حاشیه‌های بالا، پایین، چپ و راست صفحه
\usepackage[top=40mm, bottom=40mm, left=25mm, right=25mm]{geometry}
%\linespread{2.2} 

\begin{document}

\include{Title} 
%------------------------------------------------------------------------
\label{Title}

%\pagenumbering{arabic}
%\thispagestyle{plain}
\input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=3cm
\epsfysize=3.1cm
\centerline{\hspace{7cm}\epsffile{logo1.eps}}
\vspace{-11mm}
\begin{center}
 {\Huge دانشگاه حکیم سبزواری  }         \\[.5cm]
{ دانشکده ریاضی و علوم کامپیوتر - گروه ریاضی محض }         \\[.2cm] %دستوری برای تعیین فاصله بین دو خط
{\large پایان نامه جهت اخذ درجه کارشناسی ارشد در ریاضی محض    \\[.2cm]}
%ریاضی محض   \\[.4cm]}
{\large عنوان  \\[.4cm]}
{\Huge   تمامیت روی تکواره های جزئی مرتب}        \\[1cm]
{  استاد راهنما }     \\[.2cm]
{\large { دکتر غلامرضا مقدسی   }}    \\[.6cm]
{  استاد مشاور }     \\[.2cm]
{\large {  دکتر اعظم پورمیرزایی }}    \\[.6cm]
{  نگارش}       \\[.2cm]
{\large {محمد رحیمی}}     \\[.5cm]
{\large  زمستان1391}
\end{center}
%\newpage
%\vspace*{-20mm}
%\thispagestyle{plain}
%\baselineskip=1cm
%\pagebreak
\newpage 
%\centerline{\includegraphics[height=23cm]{defa}}
%\include{sepas}
%\thispagestyle{plain}


%\pagenumbering{arabic}
\newpage
\thispagestyle{plain}
\pagebreak
\setcounter{page}{5}  % ��މ���� ��ԉ��� �� 1 ����� �������.
\tableofcontents
\newpage
%\input {abstract}
\pagebreak

\usepackage{fancyhdr}
%\theoremstyle{definition}
\newtheorem{theorem}{{\bf قضیه}}[chapter]
\newtheorem{lemma}[theorem]{{\bf لم}}
\newtheorem{proposition}[theorem]{{\bf گزاره}}
\newtheorem{corollary}[theorem]{{\bf نتیجه}}
\newtheorem{remark}[theorem]{\bf ملاحظه}
\newtheorem{note}[theorem]{{\bf تذکر}} 
%\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}[theorem]{{\bf مثال}}
\newtheorem{dad}[theorem]{{\bf قرارداد}}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{تعریف}
\newenvironment{prof}{{\bf برهان. }}{\hfill{$\Box$}}
%\romantoday
%\maketitle$\
\renewcommand{\indexname}{\nastaliq{فهرست الفبایی }}
\renewcommand{\contentsname}{\nastaliq{فهرست مطالب }}
\renewcommand{\listfigurename}{\nastaliq{فهرست تصاویر}}
%\renewcommand{\bibname}{\nastaliq{مراجع }}  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textheight=23cm%تنظیم طول متن   
\textwidth=14.7cm%تنظیم عرض متن  
\topmargin=0cm%تنظیم حاشیه بالای صفحه 
\oddsidemargin=0cm%تنظیم حاشیه سمت چپ صفحه 
%\headsep=1cm%     فاصله متن از سر برگ   
%\footskip=1cm% فاصله شماره صفحه از انتهای متن 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% دستور ایجاد کادر رنگی %دستور ایجاد کادر رنگی 
%\newcommand{\clr}[1]{
%\vspace{.5cm}
%\colorbox[gray]{.9}{ 
%\begin{minipage}[pht]{5.5in}
%#1
%\end{minipage} 
%}
%\vspace{.1cm} %\\*  \vspace{-.4cm} %\linebreak[3] 
%\leavevmode}
%..............
%.... دستور ایجاد کادر سایه‌دار وسط چین \shc
%\newcommand{\shc}[1]{
%\vspace{.5cm}  
%\shadowbox{\vbox{
%\begin{center}
%#1
%\end{center} 
%}}
%\vspace{.5cm} 
%}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%..............
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% دستور ایجاد جعبه مرکز
\newcommand{\jabecenter}[1]{\begin{center}\fbox{#1}\end{center}\leavevmode}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% \titleformat{\chapter}[display]
 % {\normalfont\huge\bfseries\centering}{\chaptertitlename\ \thechapter}{20pt}{\Huge}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage
%\hspace{60mm}\textbf{\Huge پیشگفتار}
\chapter{تعاریف و مفاهیم اولیه}
\begin{theorem}
هرگاه $(P,\{\phi_i\})$   و $(Q,\{\psi_i\})$ دو حاصل ضرب برای خانواده ی $\{A_i|i\in I\}$ از اشیاء رسته ی $\mathcal{C}$ باشند آنگاه $P$ و $Q$ معادل اند.\\
\begin{prof}
به \cite{@tomas@} قضیه ی 7.3.1 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{%\siah\large{
در این فصل با مفاهیم رسته، تکواره و $-S$ سیستم آشنا می شویم و سپس به بیان تعاریف  و قضایایی می پردازیم که در فصل های بعدی مورد استفاده قرار می گیرند.
\section{مفاهیم رسته ای}
 {\hspace{8mm}یکی از ابزارهای سودمند در بررسی ساختار های جبری رسته \LTRfootnote{Category}می باشد. رسته زبانی مشترک است که زمینه ای عمومی برای پرداختن به حالات مختلف ریاضی را فراهم می کند. ایده ای شهودی در تعریف رسته این است که ساختمان های ریاضی، همراه با نگاشت های مناسبی بین اشیاء آنها از خواص مشترکی برخوردار هستند. باتوجه به اهمیت موضوع این فصل را به آن اختصاص داده ایم. 
\begin{definition}
هر  رسته رده ای است مانند $\mathcal{C}$ از اشیاء که معمولا با $A,B,C,...$ نشان داده می شود و به ترتیب شرایط زیر را دارا باشد:
\begin{enumerate}
\item
یک رده از مجموعه های از هم جدا، که با $hom(A,B)$ نمایش داده می شود(برای هر جفت از اشیاء در $\mathcal{C}$ یک عنصر $f$ از $hom(A,B)$ یک ریخت \LTRfootnote{Morphism}
از $A$ به $B$ نامیده و با $f:A\to B$ نمایش داده می شود)
\item
به ازای هر سه تائی $(A,B,C)$ از اشیاء در $\mathcal{C}$ ، تابعی مانند $$hom(B,C) \times hom(A,B) \to hom(A,C)$ (برای ریخت های $g:B\to C$ و $f:A\to B$، این تابع به صورت $(g,f)\to gof$ نوشته و $gof:A\to C$ ترکیب $f$ و $g$ خوانده می شود) که در دو اصل موضوع زیر صدق می کند:
\\الف)هرگاه $h:C\to D$ و $f:A\to B$ و $g:B\to C$ ریخت هایی از $\mathcal{C}$  باشند آنگاه $ho(gof)=(hog)of$ (شرکت پذیری).
\\ب)به ازای هر شئ $B$ از $\mathcal{C}$  ریختی $id_{B}:B\to B$ وجود دارد به طوری که به ازای هر $g:B\to C$ و $f:A\to B$، 
\begin{displaymath}
goid_{B}=g 
\end{displaymath}
و $$ id_{B}of=f$$
\end{enumerate}
\begin{definition}
در رسته ی $\mathcal{C}$  ریخت $f:A\to B$ را \siah\large} تعادل} \LTRfootnote{Equivalence}نامند اگر ریختی مانند $g:B\to A$  در $\mathcal{C}$ موجود باشد به طوری که $gof=id_{A}$ و $fog=id_{B}$.\\
ترکیب دو تعادل، وقتی تعریف شده باشند، یک تعادل است. اگر $f:A\to B$ تعادل باشد گوییم $A$ و $B$ \siah\large} معادل{ 
\LTRfootnote{Equivalent}می باشد و می نویسیم $A\simeq B$ . 
\begin{example}
فرض کنیم $\mathcal{S}$ رسته ی تمام مجموعه ها باشد. به ازای $A,B\in \mathcal{S}$، $hom(A,B)$ مجموعه تمام توابع $f:A\to B$ است. ریخت $f$ از $\mathcal{S}$  یک تعادل است اگر و تنها اگر $f$ دوسویی باشد.
\begin{example}
فرض کنیم $\mathcal{G}$ رسته ی تمام گروه ها باشد. به ازای $A,B\in \mathcal{G}$، $hom(A,B)$ مجموعه تمام همریختی های گروه $f:A\to B$ است. ریخت $f$ از $\mathcal{G}$  یک تعادل است اگر و تنها اگر $f$ یکریختی باشد.
\begin{definition}
فرض کنیم $\mathcal{C}$ یک رسته بوده و $\{A_i|i\in I\}$ خانواده ای از اشیاء $\mathcal{C}$  باشد. یک حاصل ضرب
\LTRfootnote{Product} برای خانواده $\{A_i|i\in I\}$ شیئی است مانند $P$ از $\mathcal{C}$  همراه با خانواده ای از ریخت ها مانند $\{\phi_i:P\to A_i|i\in I\}$ به طوری که به ازای هر شئ $B$ و خانواده $\{\varphi_i:B\to A_i|i\in I\}$ از ریخت ها، ریخت منحصر به فردی مانند $\varphi:B\to P$ وجود داشته باشد به طوری که به ازای هر $i\in I$ داشته باشیم $\phi_i\varphi=\varphi_i$ . به عبارت دیگر نمودار ذیل جابه جایی باشد.
 \input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=13.5cm
\epsfysize=12.5cm
\centerline{\hspace{17.5cm}\epsffile{d.1.eps}}
\vspace*{-8cm}
\begin{definition}
فرض کنیم $\mathcal{C}$  یک رسته بوده و $\{A_i|i\in I\}$ خانواده ای از اشیاء باشد. یک هم حاصل ضرب \LTRfootnote{Coproduct} برای خانواده $\{A_i|i\in I\}$ شیئی است مانند $S$ از $\mathcal{C}$  همراه با خانواده ای از ریخت ها مانند $\{\iota_i:A_i\to S|i\in I\}$ به طوری که به ازای هر شئ $B$ و خانواده $\{\psi_i:A_i\to B|i\in I\}$ از ریخت ها ، ریخت منحصر به فردی مانند  $\psi:S\to B$ وجود داشته باشد به طوری که برای هر $i\in I$ داشته باشیم $\psi o \iota_i=\psi_i$ .  به عبارت دیگر نمودار ذیل جابه جایی باشد.
 \input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=13.5cm
\epsfysize=12.5cm
\centerline{\hspace{17.5cm}\epsffile{d.2.eps}}
\vspace*{-8cm}
\begin{theorem}
هرگاه $(S,\{\iota_i\})$   و $(S^\prime,\{\lambda_i\})$ دو هم حاصل ضرب برای خانواده ی\\ $\{A_i|i\in I\}$  از اشیاء رسته ی $\mathcal{C}$ باشند آنگاه $S$ و $S^\prime$ معادل اند.\\
\begin{prof}

به  \cite{@tomas@} قضیه 7.5.1 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{definition}
رسته ی ملموس \LTRfootnote{Concrete category}رسته ای است مانند $\mathcal{C}$  همراه با تابعی چون $\sigma$ که به هر شئ $A$ از $\mathcal{C}$ مجموعه $\sigma(A)$ (به نام مجموعه زمینه ی $A$ )را نسبت می دهد به قسمی که شرایط زیر را داشته باشیم:
\begin{enumerate}
\item
هر ریخت $A\to B$ از $\mathcal{C}$ تابعی بر مجموعه های زمینه ی $\sigma(A)\to \sigma(B)$ است.
\item
ریخت همانی هر شئ $A$ از $\mathcal{C}$  تابع همانی بر مجموعه ی زمینه ی $\sigma(A)$ است.
\item
ترکیب ریخت ها در $\mathcal{C}$ با ترکیب توابع بر مجموعه های زمینه یکی است.

\end{enumerate}
\begin{definition}
فرض کنیم $F$ شیئی در رسته ملموس  $\mathcal{C}$، $X$ مجموعه ای ناتهی و\\ $i:X\to F$  یک نگاشت باشد. $F$ بر مجموعه ی $X$ آزاد \LTRfootnote{Free} است اگر به ازای هر شئ $A$ از $\mathcal{C}$ و نگاشت $f:X\to A$ ریخت منحصر به فردی از $\mathcal{C}$  مانند $\overline{f}:F\to A$ موجود باشد به طوری که، $\overline{f}i=f$ .  به عبارت دیگر نمودار ذیل جابه جایی باشد.
 \input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=13.5cm
\epsfysize=12.5cm
\centerline{\hspace{17.5cm}\epsffile{d.3.eps}}
\vspace*{-8cm}
\begin{definition}
ریخت $f:C\to D$ از رسته ی $\mathcal{C}$ تکین(یا تکریختی) \LTRfootnote{Monomorphism}است اگر به ازای جمیع اشیاء $B$ و ریخت های $g,h\in hom(B,C)$ از $fh=fg$ نتیجه شود که $h=g$.
\begin{definition}
ریخت $f:C\to D$ از رسته ی $\mathcal{C}$ برویی (یا بروریختی) \LTRfootnote{Epimorphism}است اگر به ازای جمیع اشیاء $E$ و ریخت های $k,t\in hom(D,E)$ از $kf=tf$ نتیجه می شود که $k=t$.
\begin{example}
یک ریخت در رسته ی مجموعه ها تکین (برویی) است اگر و تنها اگر یک به یک (پوشا) باشد.
\begin{theorem}
فرض کنیم $f:B\to C$ و $g:C\to D$ ریخت هایی از رسته ی $\mathcal{C}$  باشند در این صورت گزاره های زیر برقرار هستند.
\begin{enumerate}
\item
اگر $f$ و $g$ تکین باشند آنگاه $gf$ تکین است.
\item
اگر $gf$  تکین باشد آنگاه $f$ تکین است.
\item
اگر $f$ و $g$ برویی باشند آنگاه $gf$ برویی است.
\item
اگر $gf$ تکین باشد آنگاه $g$ برویی است.
\item
اگر $f$ یک تعادل باشد آنگاه $f$ تکین و برویی است.
\end{enumerate}

\begin{prof}
به  \cite{M.Kil} قضیه ی 13.6.1 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{definition}
فرض کنیم $f:A\to B$ ریختی از رسته $\mathcal{C}$ باشد.\\ $f$ را درون بری \LTRfootnote{Retract}گوییم اگر $f$  دارای معکوس راست باشد یعنی $g\in hom (B,A)$ وجود داشته باشد به طوری که $fg=id_{B}$ . به علاوه گوییم $B$ درون بر $A$ است.
\begin{definition}
فرض کنیم $f:A\to B$ ریختی از رسته $\mathcal{C}$ باشد. $f$ را هم درون بری \LTRfootnote{Coretract}گوییم اگر $f$ دارای معکوس چپ باشد یعنی $g\in hom (B,A)$ وجود داشته باشد به طوری که $gf=id_{A}$ . به علاوه گوییم $A$  هم درون بر $B$ است.
\begin{theorem}
اگر $\mathcal{C}$ یک رسته ی ملموس باشدآنگاه برای ریخت $f:A\to B$ نتایج زیر حاصل می شود:
\begin{center}
هم\mbox{}درون\mbox{}بری  $ \Leftarrow $ یک\mbox{}به\mbox{}یک بودن  $ \Leftarrow $ تکریختی \\
درون\mbox{}بری   $ \Leftarrow $ پوشا بودن  $ \Leftarrow $ بروریختی 
\end{center}

\\
\begin{prof}
 به  \cite{M.Kil} قضیه 14.6.1 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{definition}
شئ $P$ در رسته $\mathcal{A}$ تصویری می نامیم اگر برای هر $f\in hom(P,Y)$ و هر بروریختی $\pi\in hom(X,Y)$، ریخت $\overline{f}\in hom(P,X)$ وجود داشته باشد به طوری که $$\pi\overline{f}=f$$ به عبارت دیگر نمودار زیر جابه جایی باشد.
 \input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=13.5cm
\epsfysize=12.5cm
\centerline{\hspace{17.5cm}\epsffile{d.4.eps}}
\vspace*{-8cm}
\begin{theorem}
درون بر هر شئ تصویری، تصویری است.\\
\begin{prof}
به \cite{M.Kil}    گزاره 30.1.7 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{definition}
فرض کنیم $\mathcal{C}$ و $\mathcal{D}$ دو رسته باشند. تابعگر همورد \LTRfootnote{Covariant functor}
 $T$   از $\mathcal{C}$  به $\mathcal{D}$  که با $T:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$  نمایش داده می شود، تابعی است که به شئ $C$ از $\mathcal{C}$ 
 شیئی مانند  $T(C)$ از $\mathcal{D}$ را نسبت می دهد و به ریخت $f:C\to C^\prime$ از $\mathcal{C}$  ریختی مانند $T(f):T(C)\to T(C^\prime)$
 از $\mathcal{D}$  رانسبت می دهد به طوری که 
\begin{enumerate}
\item
به ازای هر ریخت همانی $id_{C}$ از $\mathcal{C}$، $T(id_{C})=id_{T(C)}$ 
\item
به ازای هر دو ریخت $f$ و $g$ از $\mathcal{C}$  که ترکیب $gof$ آن ها تعریف شده باشد\\ 
$T(gof)=T(g) oT(f)$ .
\end{enumerate}
\begin{example}
فرض کنیم $\mathcal{C}$  یک رسته ملموس باشد. تابعگر فراموشی همورد از $\mathcal{C}$ به رسته ی $\mathcal{S}$  از مجموعه ها به هر شئ $A$  مجموعه زمینه آن و به هر ریخت $f:A\to A^\prime$ تابع $f:A\to A^\prime$ را نسبت می دهد. 
\begin{definition}
فرض کنید $f,g:A\to B$ یک زوج از ریخت ها باشند. زوج $(E,e)$ که $E\to A$ برابر ساز \LTRfootnote{Equalizer} برای $f$ و $g$ نامیده می شود هرگاه در شرایط زیر صدق کند:
\begin{enumerate}
\item
$fe=ge$.
\item
برای هر ریخت $e^\prime:E^\prime\to A$ اگر $fe^\prime=ge^\prime$ ریختی منحصر به فرد مانند\\ $\overline{e}:E^\prime\to A$  به قسمی موجود باشد که $e^\prime=e\overline{e}$  یعنی مثلث دیاگرام زیر جابه جایی باشد.
\input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=13.5cm
\epsfysize=12.5cm
\centerline{\hspace{17.5cm}\epsffile{d.5.eps}}
\vspace*{-8cm}
\end{enumerate}
\begin{theorem}
گزاره های زیر برقرارند:
\begin{enumerate}
\item
برابر ساز در حد یکریختی منحصر به فرد است.
\item
اگر $(E,e)$ برابر ساز باشد $e$ تکریختی است.
\end{enumerate}
\begin{prof}
به  \cite{M.Kil}  گزاره 8.2.2 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{definition}
فرض کنیم $f,g:A\to B$  یک زوج از ریخت ها باشند. زوج $(c,C)$ که $\xymatrix{B \ar[r]^{c} & C}$ هم برابر ساز \LTRfootnote{Coequalizer} برای $f$ و $g$ نامیده می شود، هرگاه در شرایط زیر صدق کند:
\begin{enumerate}
\item
$cf=cg$.
\item
برای هر ریخت $c^\prime:B\to C^\prime$ اگر $c^\prime f=c^\prime g$ ریخت منحصر به فرد مانند\\ $\overline{c}:C\to C^\prime$  به قسمی موجود باشد که $c^\prime=c\overline{c}$  یعنی مثلث دیاگرام زیر جابه جایی باشد.
\input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=13.5cm
\epsfysize=12.5cm
\centerline{\hspace{17.5cm}\epsffile{d.6.eps}}
\vspace*{-8cm}
\end{enumerate}
\begin{definition}
فرض کنیم ریخت های $f_1$ و $f_2$ به صورت زیر در رسته $\mathcal{A}$  داده شده باشند:
\input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=13.5cm
\epsfysize=12.5cm
\centerline{\hspace{17.5cm}\epsffile{d.7.eps}}
\vspace*{-8cm}
جفت $(P,(p_1,p_2))$ با $p_i:P\to X_i$ که $i=1,2$ در $\mathcal{A}$  عقب بر \LTRfootnote{Pullback} جفت $(f_1,f_2)$ نامیده می شود اگر 
\begin{enumerate}
\item
$f_1p_1=f_2p_2$
\item
برای هر جفت $(P^\prime,(p^\prime_1,p^\prime_2))$ با $p^\prime_i:P^\prime\to X_i$ ، $i=1,2$ که $f_1p^\prime_1=f_2p^\prime_2$ ریخت منحصر به فرد $p:P^\prime \to P$ وجود داشته باشد که $p_ip=p^\prime_i$، $i=1,2$ . به عبارت دیگر دیاگرام زیر جابه جایی باشد.
\input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=13.5cm
\epsfysize=12.5cm
\centerline{\hspace{17.5cm}\epsffile{d.8.eps}}
\vspace*{-5.5cm}
\\عقب بر $(K,(p_1,p_2))$ از جفت $(f,f)$ برای ریخت $f:X\to Y$ ، هسته جفت  $f$ نامیده می شود.
\end{enumerate}
\begin{definition}
فرض کنیم $\mathcal{A}$  یک رسته و $f_1$ و $f_2$ به صورت زیر داده شده باشند:
\input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=13.5cm
\epsfysize=12.5cm
\centerline{\hspace{17.5cm}\epsffile{d.9.eps}}
\vspace*{-8cm}
جفت $((q_1,q_2),Q)$ با $q_i:Y_i\to Q$ ، $i=1,2$ در $\mathcal{A}$  جلو بر \LTRfootnote{Pushout} جفت $(f_1,f_2)$ نامیده می شود اگر 
\begin{enumerate}
\item
$q_1f_1=q_2f_2$.
\item
 برای هر جفت $((q^\prime_1,q^\prime_2),Q^\prime)$ ، $q^\prime_i:Y_i\to Q^\prime$  ، $i=1,2$ و $q^\prime_1f_1=q^\prime_2f_2$ ریخت منحصر به فرد $q:Q\to Q^\prime$ وجود داشته باشد به طوری که $qq_i=q^\prime_i$ ، $i=1,2$. به عبارت دیگر دیاگرام زیر جابه جایی باشد.
 \input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=13.5cm
\epsfysize=12.5cm
\centerline{\hspace{17.5cm}\epsffile{d.10.eps}}
\vspace*{-5.5cm}
 جلو بر $((q_1,q_2),Q)$ از جفت $(f,f)$ ، را هم هسته جفت $f$ می نامند.
\end{enumerate}
\section{مجموعه های مرتب جزئی}
از آن جایی که عمده کار صورت گرفته در فصل های آتی روی مجموعه های مرتب جزئی است این بخش را به این موضوع اختصاص داده ایم که با تعریف زیر آغاز می شود.
\begin{definition}
یک رابطه دوتایی یا به طور ساده یک رابطه $R$ از مجموعه $A$ به مجموعه $B$ زیر مجموعه ای از $A\times B$ است.  
فرض کنیم $R$ رابطه ای از $A$ به مجموعه $B$ باشد. اگر $(x,y)\in R$ می نویسیم $x R y$ یا $R(x)=y$ . اگر $x R y$ آنگاه می گوییم $x$ با $y$ نسبت به $R$ مرتبط است یا به طور ساده $x$ با $y$ رابطه دارد (یا $y$ در رابطه با $x$ است). اگر $A=B$ آنگاه صحبت از رابطه دوتایی روی $A$ می کنیم. مجموعه تمام روابط دوتایی روی $A$ را با $\mathcal{B}(A)$  نشان می دهیم.
\begin{example}
مجموعه اعداد صحیح $\mathbb{Z}$  را در نظر بگیرید. فرض کنید $R$ مجموعه ی تمام جفت های مرتب $(m,n)$ از اعداد صحیح باشد که $m<n$ یعنی $$R=\{(m,n)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}: m<n\}.$$  در این صورت $R$ رابطه دوتایی روی $\mathbb{Z}$  است.
\begin{definition}
یک ترتیب جزئی روی مجموعه $A$ یک رابطه دوتایی $\leq$ روی $A$ است که خواص زیر را داراست:
\begin{enumerate}
\item
خاصیت انعکاسی : برای هر $a\in A$ داشته باشیم $a\leq a$ .
\item
خاصیت پاد تقارنی: برای هر $a,b\in A$ اگر $a\leq b$ و $b\leq a$ آنگاه $a=b$ .
\item
خاصیت تعدی: برای هر $a,b,c\in A$ اگر $a\leq b$ و $b\leq c$ آنگاه $a\leq c$ . 
\end{enumerate}
زوج $(A,\leq)$ را یک مجموعه مرتب جزئی می گوییم. اگر علاوه بر شرایط فوق برای  هر $a$ و $b$ در $A$ داشته باشیم $a\leq b$ یا $b\leq a$ رابطه دوتایی $\leq$ یک ترتیب کلی نامیده می شود. مجموعه ناتهی $A$ با یک ترتیب کلی زنجیر نامیده می شود.
\begin{example}
فرض کنیم $Su(A)$ نشان دهنده مجموعه توانی $A$ یعنی مجموعه ی تمام زیر مجموعه های $A$ باشد. در این صورت $\subseteq$ یک ترتیب جزئی روی $Su(A)$ است.
\begin{definition}
یک رابطه دوتایی $\sim$ تعریف شده روی مجموعه ی $A$ رابطه هم ارزی نامیده می شود هرگاه انعکاسی ، تقارنی (برای هر $a,b\in A$ اگر $(a\sim b)$ آنگاه $(b\sim a)$) و تعدی باشد. مجموعه تمام روابط هم ارزی روی $A$ را با $\xi(A)$ نشان می دهیم.
\begin{definition}
اگر $\rho$ زیر مجموعه ای از $X\times Y=\{(x,y)| x\in X, y\in Y\}$ باشد آنگاه معکوس $\rho$ را با $\rho^{-1}$ نمایش می دهیم و برابر است با $$\rho^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X| (x,y)\in \rho\}.$$
\begin{definition}
اگر $\rho$ یک رابطه ی دوتایی روی $X$ باشد و $X^\prime\subseteq X$ آنگاه تحدید $\rho$ روی $X$ یعنی $\rho|_{X^\prime}$ برابر است با $$\rho|_{X^\prime}=\rho\cap(X^\prime\times X^\prime).$$

\begin{definition}
فرض کنید $I$ یک مجموعه مرتب جزئی و $\mathcal{C}$ نیز یک رسته باشد. یک سیستم مستقیم \LTRfootnote{Direct system} در $\mathcal{C}$ دوتایی مرتب $\big((M_i)_{i\in I}, (\varphi^i_j)_{i\preceq j}\big)$ می باشد که $(M_i)_{i\in I}$ یک خانواده اندیس دار از اشیاء $\mathcal{C}$ و برای هر $i\in I$، $(\varphi^i_j:M_j\to M_i)_{i\preceq j}$ یک خانواده اندیس دار از ریخت ها می باشد به طوری که برای هر $i\in I$، $\varphi^i_i=1_{M_i}$ و همچنین برای هر $i\preceq j\preceq k$ نمودار زیر جابه جایی باشد یعنی $\varphi^j_k\varphi^i_j=\varphi^i_k$.
\input{epsf}
\vspace*{1cm}
\epsfxsize=15.5cm
\epsfysize=15.5cm
\centerline{\hspace{19cm}\epsffile{direc.eps}}
\vspace*{-11cm}
\begin{example}
اگر $I=\{1,2,3\}$ یک مجموعه مرتب جزئی باشد به طوری که $1\preceq2$ و $1\preceq3$ آنگاه سیستم مستقیم روی $I$ نموداری به شکل زیر است
\begin{displaymath}
\xymatrix{M_1 \ar[dd]_{\varphi ^1_2}  \ar[rr]^{\varphi ^1_3} && M_3\\ \\M_2}
\end{displaymath}
%\input{epsf}
%\vspace*{1cm}
%\epsfxsize=13.5cm
%\epsfysize=11.5cm
%\centerline{\hspace{19cm}\epsffile{EX.eps}}
%\vspace*{-5cm}
\begin{definition}
فرض کنید $I$ یک مجموعه مرتب جزئی و $\mathcal{C}$ نیز یک رسته باشد و $\{M_i,\varphi^i_j\}$ یک سیستم مستقیم در $\mathcal{C}$ روی $I$ باشد. حدمستقیم \LTRfootnote{Direct limit} شئ، $\displaystyle\lim_{\longrightarrow}M_i$ همراه با ریخت های \\$(\alpha_i:M_i\to\displaystyle\lim_{\longrightarrow}M_i)$ به طوری که
\begin{enumerate}
\item
برای هر $i\preceq j$ داشته باشیم $\alpha_j\varphi^i_j=\alpha_i$ .
\item
اگر $X$ شئ دیگری در رسته $\mathcal{C}$ باشد و ریخت های $f_i:M_i\to X$ برای هر $i\preceq j$ در شرط $f_j\varphi^i_j=f_i$ صدق کنند آنگاه ریخت منحصر به فرد $\theta:\displaystyle\lim_{\longrightarrow}M_i\to X$ وجود داشته باشد که نمودار زیر را جابه جایی کند
\end{enumerate}
\input{epsf}
\vspace*{1cm}
\epsfxsize=14.5cm
\epsfysize=14.5cm
\centerline{\hspace{19cm}\epsffile{LIM.eps}}
\vspace*{-6cm}
\begin{example}
جلو بر و هم حاصلضرب در رسته $\mathcal{C}$ حد مستقیم است.
\section{نیم گروه}
نیم گروه \LTRfootnote{Semi group} یکی از ساده ترین ساختمان های جبری است که ساختاری ضعیف تر از گروه دارد.
\begin{definition}
مجموعه ناتهی $S$ با عمل دوتایی 
\begin{eqnarray*}
.\hspace{0.5mm}: S\times S &\to & S\\
(a,a^\prime)&\to & a.a^\prime
\end{eqnarray*}
که دارای خاصیت شرکت پذیر نیز باشد، نیم گروه نامیده می شود. از این به بعدچنان چه ابهامی پیش نیاید به جای $a.b$ از $ab$ استفاده می کنیم.
\begin{example}
$(\mathbb{N},+)$ یک نیم گروه است.
\begin{definition}
فرض کنیم $S$ یک نیم گروه  باشد در این صورت 
\begin{enumerate}
\item
عضو $e\in S$ را همانی چپ نامیم هرگاه برای هر $s\in S$ ، $es=s$ . 
\item
عضو $e\in S$ را همانی راست نامیم هرگاه برای هر $s\in S$ ، $se=s$ . 
\item
عضو $e\in S$ را همانی نامیم هرگاه برای هر $s\in S$ ، $es=se=s$ . 
\end{enumerate}
عضو همانی نیم گروه $S$ معمولا با $1_{S}$ نمایش داده می شود.
\begin{definition}
برای نیم گروه $S$ 
\begin{enumerate}
\item
عضو $z\in S$ را چپ صفر \LTRfootnote{Left zero} نامیم هرگاه برای هر $s\in S$ ، $zs=z$ . 
\item
عضو $z\in S$ را راست صفر \LTRfootnote{Right zero} نامیم هرگاه برای هر $s\in S$ ، $sz=z$ . 
\item
عضو $z\in S$ را صفر نامیم هرگاه برای هر $s\in S$ ، $zs=sz=z$ . 
\end{enumerate}
 عضو صفر در یک نیم گروه معمولا با $0$ نمایش داده می شود.
\begin{definition}
فرض کنیم $S$ یک نیم گروه باشد. در این صورت 
\begin{enumerate}
\item
زیر مجموعه غیر تهی $I$ از $S$ را  ایده آل چپ می گوییم هرگاه $SI\subseteq I$ .
\item
زیر مجموعه غیر تهی $I$ از $S$ را  ایده آل راست می گوییم هرگاه $IS\subseteq I$ .
\item
زیر مجموعه غیر تهی $I$ از $S$ را  ایده آل می گوییم هرگاه $SI\subseteq I$  و $IS\subseteq I$ .
\end{enumerate}
\begin{definition}
فرض کنیم $S$ یک نیم گروه باشد کوچکترین ایده آل از $S$ که شامل $a\in S$ باشد عبارت است از $Sa\cup \{a\}=S^1a$ و آن را ایده آل چپ اصلی تولید شده توسط $a$ می گوییم و ایده آل راست اصلی تولید شده توسط $a$ به روش مشابه تعریف می گردد. 
$SaS\cup aS\cup Sa\cup \{a\}=S^1a S^1$ ایده آل اصلی تولید شده توسط $a$ نامیده می شود.
\begin{definition}
نیم گروه $S$ تکواره \LTRfootnote{Monoid} نامیده می شود اگر دارای عضو همانی باشد.
\begin{example}
$(\mathbb{N},.)$ یک تکواره است.
\begin{definition}
فرض کنیم $S$  یک تکواره باشد. عنصر $e\in S$ را خودتوان \LTRfootnote{Idempotent} گوییم اگر $e^2=e$ و مجموعه ی تمام عناصر خودتوان $S$ را با $E(S)$ نمایش می دهیم.
\begin{definition}
فرض کنیم $\rho\subseteq S\times S$ یک رابطه هم ارزی روی $S$ باشد. در این صورت $\rho$ رابطه همنهشتی \LTRfootnote{Congruence} چپ روی $S$ است اگر برای هر $s,t,u\in S$ ، $s\rho t$ آنگاه $(us) \rho (ut)$ و $\rho$  رابطه همنهشتی راست روی $S$ است اگر  $s\rho t$  آنگاه $(su) \rho (tu)$  و $\rho$ رابطه همنهشتی  روی $S$ است اگر  $s\rho t$  آنگاه $(us) \rho (ut)$ و $(su) \rho (tu)$  .  توجه شود که رابطه هم ارزی $\rho$ روی نیم گروه $S$   همنهشتی است اگر و تنها اگر $u\rho v$ و $s\rho t$ آنگاه $(su)\rho(tv)$ برای هر $s,t,u,v\in S$ . همچنین کلاس $a\in S$ نسبت به این رابطه هم ارزی را با $\rho(a)$ یا $[a]_{\rho}$ یا $[a]$ نشان می دهیم . اگر $\rho$ یک رابطه همنهشتی روی $S$ باشد $S/\rho$ با تعریف ضرب $[s]_{\rho}[t]_{\rho}=[st]_{\rho}$ برای $s,t\in S$ یک نیم گروه است که نیم گروه خارج قسمتی نامیده می شود. 
\begin{definition}
فرض کنیم $S$    و $T$ دو نیم گروه باشند نگاشت $\varphi:S\to T$ همریختی نیم گروهی نامیده می شود اگر برای هر $s,s^\prime\in S$ ، $\varphi(ss^\prime)=\varphi(s)\varphi(s^\prime)$ . یک همریختی نیم گروهی بین تکواره های $S$ و $T$ همریختی تکواره ای است  اگر $\varphi(1_{S})=1_{T}$ . در هردو حالت $$ker\varphi=\{(s,s^\prime)\in S\times S|\varphi(s)=\varphi(s^\prime)\}$$ همنهشتی هسته برای همریختی $\varphi$ نامیده می شود.
\begin{definition}
اگر $\rho$  رابطه همنهشتی روی نیم گروه $S$ باشد  نگاشت کانونی $$\pi_{\rho}:S\to S/\rho$$ که به هر $x\in S$ ، $[x]_{\rho}$ را نسبت می دهد بروریختی کانونی نامیده می شود.
\begin{theorem}
(قضیه همریختی برای نیم گروه ها) فرض کنیم  $\varphi:S\to T$ همریختی نیم گروهی  و $\rho$ یک رابطه همنهشتی روی نیم گروه $S$ به قسمی باشد که اگر $a\rho a^\prime$ آنگاه $\varphi(a)=\varphi(a^\prime)$ یعنی $\rho\subseteq ker\varphi$ . در این صورت همریختی منحصر به فردی به صورت $\varphi^\prime:S/\rho\to T$ موجود است که دیاگرام زیر را جابه جا می کند
 \input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=13.5cm
\epsfysize=12.5cm
\centerline{\hspace{17.5cm}\epsffile{de.eps}}
\vspace*{-8cm}
اگر $\rho=ker\varphi$ در این صورت $\varphi^\prime$ یک به یک است، همچنین اگر $\varphi$ پوشا باشد $\varphi^\prime$ نیز پوشاست.\\
\begin{prof}
به \cite{M.Kil}  قضیه 26.2.1 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{corollary}
اگر $\varphi:S\to T$ همریختی نیم گروهی پوشا باشد در این صورت\\ $T\simeq S/ker \varphi$ .\\
\begin{prof}
به \cite{M.Kil}  نتیجه 27.2.1 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{corollary}
\begin{definition}
زیر تکواره $T$ از تکواره $S$ را یکانی \LTRfootnote{Unitary} راست گویند هرگاه $a,ba\in T$ آنگاه $.b\in T$   
\begin{lemma}
زیر تکواره $T$ از تکواره $S$ یکانی راست است اگر و تنها اگر $T=[e]_{\rho}$ که $e$ عنصر همانی و $\rho$ یک همنهشتی چپ روی $S$ می باشد.\\
\begin{prof}
به \cite{M.Kil}  نتیجه 39.4.1 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{lemma}
\begin{definition}
زیر تکواره $T$ از تکواره $S$ را متلاشی شده \LTRfootnote{Collapsible} راست می گویند هرگاه برای هر $a,b\in T$ به توان $c\in T$ پیدا کرد به طوری که $ac=bc$ .
\section{\rt{سیستم$-S$}}
از آن جایی که یکی از مفاهیم اساسی در فصل های آتی $-S$ سیستم ها می باشند در این بخش به معرفی $-S$ سیستم ها می پردازیم.
\begin{definition}
فرض کنیم $S$ یک تکواره و $A$ مجموعه ای ناتهی باشد اگر نگاشت 
\begin{eqnarray*}
\hspace{5mm}\mu :S\times A&\to &A\\
(s,a)&\to &sa:=\mu (s,a)
\end{eqnarray*}
به قسمی وجود داشته باشد که 
\begin{enumerate}
\item
$1a=a$.
\item
برای هر $a\in A$ و $s,t\in S$ ، $(st)a=s(ta)$
\end{enumerate}
در این صورت $A$ را $-S$ سیستم چپ \LTRfootnote{Left S-system} می گوییم. $-S$ سیستم راست به طور مشابه تعریف می گردد. در این مبحث منظور ما از $-S$ سیستم همان $-S$ سیستم چپ است مگر خلاف آن تصریح گردد. چنان چه $S$ نیم گروه باشد تنها شرط (2) بررسی می گردد که در این حالت برای تاکید به $A$، $-S$ سیستم نیم گروهی می گوییم.

\begin{definition}
فرض کنیم $A$  یک$-S$ سیستم باشد. یک عضو $v\in A$ را عضو صفر یا عضو ثابت \LTRfootnote{Fixed element} می نامیم اگر برای هر $s\in S$ داشته باشیم $sv=v$ .
\\یک سیستم می تواند بیش از یک عنصر ثابت داشته باشد. هر $-S$ سیستم  $A$  با اجتماع  مجزای $A\cup \Theta$ که $\Theta=\{v\}$ به یک $-S$ سیستم با عنصر ثابت تبدیل می شود.
\begin{definition}
زیر مجموعه غیر تهی $A^\prime$ از $-S$ سیستم $A$ را یک زیر سیستم از $A$ می گوییم اگر برای هر $s\in S$ و $a^\prime\in A^\prime$ داشته باشیم $sa^\prime\in A^\prime$ .
\begin{definition}
فرض کنیم $A$ و $B$ دو $-S$ سیستم باشند. نگاشت $f:A\to B$ را همریختی$-S$ سیستم های چپ یا $-S$ همریختی می گوییم اگر  برای هر $s\in S$ و $a\in A$ ،\\ $f(sa)=sf(a)$ . مجموعه تمام$-S$   همریختی ها از $A$ به $B$ را با $Hom_{S}(A,B)$ نمایش می دهیم. (به طور مشابه همریختی $-S$ سیستم های راست تعریف می گردد.) \\به عنوان نمونه برای $-S$ سیستم  $A$ ، $id_{A}:A\to A$ یک $-S$ همریختی است.\\
یک  $-S$ همریختی $f$ ، $-S$ یکریختی نامیده می شود اگر دوسویی باشد در این حالت می نویسیم $A\cong B$
\\همچنین اگر $f:A\to B$ ، $-S$ همریختی باشد $Im(f)=f(A)$ زیر سیستمی از $B$ است.
\begin{lemma}
برای $-S$ سیستم های $A,B$ و $C$ 
\begin{enumerate}
\item
اگر $f:A\to B$ و $g:B\to C$ دو $-S$ همریختی  باشند ترکیب آن ها یعنی $gf$ نیز یک $-S$ همریختی است.
\item
معکوس $-S$ همریختی دوسویی $f$ یعنی $f^{-1}$ نیز $-S$ همریختی است.
\end{enumerate}
\begin{prof}
به \cite{M.Kil}  لم 16.4.1 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{lemma}
\begin{definition}
 فرض کنیم $A$ یک $-S$ سیستم باشد. رابطه ی هم ارزی $\rho$ روی $A$ را همنهشتی $-S$ سیستم یا یک همنهشتی روی $A$ نامیم اگر $a\rho a^\prime$ آنگاه $sa\rho sa^\prime$ برای هر $a,a^\prime$ و $s\in S$ . اگر $X\subseteq A\times A$ باشد کوچکترین رابطه همنهشتی روی $A$ شامل $X$ را با $\rho(X)$ نمایش داده و همنهشتی $\rho$ را متناهیا تولید شده گوییم. 
 \\اگر زیر مجموعه ی متناهی $X\subseteq A\times A$  به قسمی وجود داشته باشد که $\rho=\rho(X)$ . اگر همنهشتی $\rho$ متناهیا تولید شده توسط تک عنصر $(x,y)\in A\times A$ باشد آن را دوری تکین \LTRfootnote{Mono cyclic} نامیده و با $\rho(x,y)$ نمایش می دهیم. اگر $\rho$ یک رابطه همنهشتی روی $A$ شامل $X$ و $A/\rho=\{[a]_{\rho} |a\in A\}$ مجموعه ی خارج قسمتی باشد  با تعریف  ضرب عناصر $S$ روی $A/\rho$ به صورت $s[a]_{\rho}=[sa]_{\rho}$ ، به سادگی می توان بررسی کردکه $A/\rho$ به یک $-S$ سیستم تبدیل می شودکه با آن $-S$ سیستم خارج قسمتی $A$ توسط $\rho$ گفته می شود.
\begin{lemma}
فرض کنیم $\rho$ همنهشتی روی $A$ باشد. نگاشت کانونی 
\begin{eqnarray*}
\pi_{\rho} :A&\to &A/\rho\\
a&\to &[a]_{\rh}
\end{eqnarray*}
یک همریختی است که بروریختی کانونی \LTRfootnote{Canonical epimorphism} نامیده می شود.\\
\begin{prof}
به  \cite{M.Kil}  19.4.1 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{lemma}
\begin{definition}
اگر $f:A\to B$ ، یک $-S$ همریختی باشد هم ارزی هسته ای $ker f$ یک همنهشتی $-S$ سیستمی روی $A$ است که همنهشتی هسته ای نامیده می شود.
\begin{theorem}
فرض کنیم $f:A\to B$ یک $-S$ همریختی باشد و همنهشتی $\rho$ روی $A$ به گونه باشد که اگر $a\rho a^\prime$ آنگاه $f(a)=f(a^\prime)$ یعنی $\rho\leq ker f$ . دراین صورت $-S$ همریختی یکتای $f^\prime:A/\rho\to B$ که برای هر $x\in A$، $f^\prime([x]_{\rho}):= f(x)$ به قسمی وجود دارد که دیاگرام زیر جابه جایی است.
\input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=13.5cm
\epsfysize=12.5cm
\centerline{\hspace{17.5cm}\epsffile{d.11.eps}}
\vspace*{-8cm}
اگر $\rho=ker f$  ، $f^\prime$ یک به یک و اگر $f$ پوشا باشد $f^\prime$ پوشاست.\\
\begin{prof}
به \cite{M.Kil}  گزاره 21.4.1 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{corollary}
اگر $f:A\to B$ بروریختی باشد آنگاه $B\cong A/ker f$ .
\end{corollary}
\begin{definition}
زیر مجموعه ی ناتهی $U$ از $-S$ سیستم $A$ مجموعه مولد برای $A$ نامیده می شود اگر هر $a\in A$ را به توان به صورت $a=su$ نوشت که $u\in U$ و $s\in S$. به عبارت دیگر $U$ مجموعه ی مولد برای $A$ است اگر $\langle U\rangle :=\bigcup_{u\in U}Su=A$ که $Su=\{su |s\in S\}$ . اگر برای مجموعه ی ناتهی $U$، $A=\langle U\rangle$ و $|U|<\infty$ می گوییم $A$ متناهیا تولید شده است. همچنین اگر عنصر $u\in A$ چنان موجود باشد که $A=\langle\{u\}\rangle$ آنگاه $A$ را $-S$ سیستم دوری می گوییم. هر $-S$ سیستم دارای یک مجموعه ی مولد است زیرا همواره $A=\langle A\rangle$ .
\begin{definition}
$-S$ سیستم $A$ را تجزیه پذیر گوییم اگر دو زیر $-S$ سیستم $B,C\subseteq A$ به گونه ای وجود داشته باشند که $A=B\cup C$ و $B\cap C=\emptyset$. (اگر $A$ شامل عنصر صفر باشد این شرط به $B\cap C=\{v\}$ تبدیل می گردد) در غیر اینصورت $A$ تجزیه ناپذیر نامیده می شود.
\begin{theorem}
هر $-S$ سیستم دوری $A=Sa$ تجزیه ناپذیر است.\\
\begin{prof}
به \cite{M.Kil}  قضیه 8.5.1 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{lemma}
فرض کنیم $A_i\subseteq A$ زیر $-S$ سیستم های تجزیه ناپذیر از $-S$ سیستم $A$ باشند که $\bigcap _{i\in I}A_i\neq\emptyset$ .  در این صورت $\bigcup_{i\in I}A_i$ زیر $-S$ سیستم تجزیه ناپذیر از $A$ است.\\
\begin{prof}
به  \cite{M.Kil} لم 9.5.1 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{lemma}
\begin{theorem}
هر $-S$ سیستم $A$ تجزیه یکتایی به زیر $-S$ سیستم های تجزیه ناپذیر خود دارد.\\
\begin{prof}
به \cite{M.Kil}  قضیه 10.5.1 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{definition}
مجموعه ی مولد $U$ از$-S$ سیستم $A$ را پایه برای $A$ می نامیم اگر هر $a\in A$ به صورت منحصر به فردی به شکل $a=su$ نوشته شود یعنی اگر $a=s_1u_1=s_2u_2$ آنگاه $u_1=u_2$ و $s_1=s_2$ .
\\به $-S$ سیستم $A$ که دارای پایه $U$ است $-S$ سیستم آزاد می گوییم.
\begin{theorem}
$-S$ سیستم $A$ آزاد است اگر و تنها اگر $A\cong \bigcup_{i\in I}S_i$ که برای هر $i\in I$، $S_i\cong S$.\\
\begin{prof}
به \cite{M.Kil}  قضیه 13.5.1 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
اگر $B$ پایه ای برای $-S$ سیستم آزاد $F$ باشد آنگاه به ازای هر نگاشت $\varphi$ از $B$ به $-S$ سیستم دلخواه $A$ همریختی منحصر به فرد $\psi:F\to A$ به گونه ای وجود دارد که $\psi|_{B}=\varphi$ .\\
\begin{prof}
به \cite{M.Kil}  قضیه 15.5.1 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
هر $-S$ سیستم $A$ نقش همریختی از یک $-S$ سیستم آزاد است.\\
\begin{prof}
به \cite{M.Kil}  گزاره 16.5.1 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
حاصل ضرب یک خانواده $(X_i)_{i\in I}$ از $-S$ سیستم ها ضرب دکارتی آن ها، با عمل $s(x_i)=(sx_i)$ است.\\
\begin{prof}
به \cite{M.Kil}  گزاره 1.1.2 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
هم حاصل ضرب یک خانواده $(X_i)_{i\in I}$ از $-S$ سیستم ها برابر با اجتماع مجزای $X_i$ ها است.\\
\begin{prof}
به \cite{M.Kil}  گزاره 8.1.2 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
$(P,(p_1,p_2))$  
عقب بر یک جفت $-S$ همریختی  $(f_1,f_2)$ 
\input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=13.5cm
\epsfysize=12.5cm
\centerline{\hspace{17.5cm}\epsffile{d.7.eps}}
\vspace*{-8.5cm}
است اگر و تنها اگر $$P:=\{(x_1,x_2)\in X_1\times X_2 |f_1(x_1)=f_2(x_2)\}\neq\emptyset$$ که $p_i$ ها $i=1,2$ توابع تصویر از $X_1\prod X_2$ هستند.\\
\begin{prof}
به \cite{M.Kil}  گزاره 5.2.2 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
برای دو $-S$ همریختی  $f_1,f_2:X\to Y$ برابر ساز $(E,e)$ وجود دارد اگر و تنها اگر $$E:=\{x\in X| f_1(x)=f_2(x)\}\neq\emptyset$$
که $e$ نگاشت شمول است.\\
\begin{prof}
به \cite{M.Kil}  گزاره 10.2.2 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{definition}
فرض کنید $A$ و $B$ دو $-S$ سیستم و $\beta:A\to B$، $-S$ همریختی پوشا باشد در این صورت $\beta$ را هم اساسی \LTRfootnote{Co essential} گویند هرگاه برای هر زیر $-S$ سیستم سره $A$ مانند $C$، $\beta|_{C}:C\to B$ پوشا نباشد.
\begin{definition}
$S$-
سیستم $A$ را برای $-S$ سیستم $B$ یک پوشش \LTRfootnote{Cover} گویند هرگاه $-S$ همریختی پوشای $\beta:A\to B$ موجود باشد به قسمی که $\beta$ هم اساسی باشد.
\begin{definition}
تکواره $S$ را کامل \LTRfootnote{Perfect} چپ گویند هرگاه هر $-S$ سیستم چپ دارای یک پوشش تصویری باشد.\\
شرط $A$: هر$-S$ سیستم چپ در شرط زنجیر افزایشی برای زیر $-S$ سیستم های دوری صدق می کند.\\
شرط $D$:  هر زیر تکواره یکانی راست از $S$ شامل یک ایده آل چپ مینیمال  است که توسط یک عنصر تولید می شود.\\
شرط $K$ : هر زیر تکواره متلاشی شده از $S$ شامل یک صفر راست است.\\
شرط $M_{R}$ : $S$ در شرط زنجیر کاهشی از ایده آل های راست اصلی صدق می کند.
\begin{definition}
برای $-S$ سیستم $A$ ، مجموعه مولد $X$ را مستقل گویند اگر برای هر $x,x^\prime\in X$ و $x\in Sx^\prime$ آنگاه $x=x^\prime$ .
\begin{definition}
عنصر $x\in X$ را اساسی گویند اگر $Sx\subseteq Sx^\prime$ که $x^\prime\in X$ آنگاه $Sx=Sx^\prime$ .
\begin{theorem}\label{T.71}
برای تکواره $S$ شرط های زیر معادل هستند:
\begin{enumerate}
\item
$S$  یک تکواره کامل چپ است.
\item
$S$  در شرط های $A$ و $D$ صدق می کند.
\item
$S$  در شرط های $A$ و $M_{R}$ صدق می کند.
\item
هر $-S$ سیستم چپ هموار قوی تصویری است.




 \item
$S$  در شرط های $A$ و $K$ صدق می کند.
\end{enumerate}
\begin{prof}
به \cite{M.Kil}  قضیه 26.17.3 و به \cite{perf} قضایای 1.1 و 1.2 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\pagebreak
\chapter{$-S$ سیستم های مرتب جزئی و بررسی بعضی از خواص آن}
\thispagestyle{empty}
\smallskip
در این فصل ضمن معرفی $-S$ سیستم های مرتب جزئی \LTRfootnote{S-poset} بعضی از ساختار های کلی این رسته را بیان می کنیم. شرط $(P)$ و شرط $(E)$ را معرفی کرده و خواص همواری $-S$ سیستم های مرتب جزئی را به کمک این دو شرط بررسی می کنیم.
\section{$-S$ سیستم های مرتب جزئی }
\hspace{8mm}دراین بخش $-S$ سیستم های مرتب جزئی را معرفی و همنهشتی های مرتب روی آنها را شرح می دهیم.
\begin{definition}
تکواره $S$ را تکواره مرتب جزئی \LTRfootnote{Pomonoid} می نامیم اگر یک مجموعه ی مرتب جزئی سازگار نسبت به عمل دوتایی باشد یعنی برای هر $s,s^\prime,u\in S$ اگر $s\leq s^\prime$ آنگاه $us\leq us^\prime$ و $su\leq s^\prime u$.
\begin{definition}
یک مجموعه مرتب جزئی $(A,\leq)$ همراه با نگاشت $\lambda:S\times A\to A$ ، $(s,a)\mapsto sa$ یک $-S$ سیستم مرتب جزئی چپ می نامیم اگر $A$ یک $-S$ سیستم چپ باشد و برای هر $a,b\in A$  و $s,t\in S$ داشته باشیم
\begin{enumerate}
\item
$a\leq b\Rightarrow sa\leq sb$
\item
$s\leq t\Rightarrow sa\leq ta$
\end{enumerate}
$S\times A$
با ترتیب مولفه ای در نظر گرفته شده و شرایط 1 و 2 معادل با یکنوایی نگاشت $\lambda:S\times A\to A$ می باشد. در طول این پایان نامه تنها $-S$ سیستم های مرتب جزئی چپ را در نظر گرفته و به اختصار $-S$ سیستم مرتب می گوییم مگر خلاف آن را تصریح کنیم. 
\begin{definition}
فرض کنیم $A$ یک $-S$ سیستم مرتب باشد. زیر مجموعه غیر تهی $B$ از $A$ را یک زیر $-S$ سیستم مرتب از $A$گوییم هرگاه برای هر $b\in B$ و $s\in S$، $sb\in B$ .
\\برای هر $a\in A$ ، $Sa$ یک زیر $-S$ سیستم مرتب از $A$ است که به آن زیر $-S$ سیستم مرتب دوری $A$ گفته می شود.
\begin{definition}
برای $-S$ سیستم های مرتب $A$ و $B$ نگاشت $\varphi:A\to B$ را یک $-S$ همریختی مرتب می گوییم هرگاه برای هر $a\in A$ ، $b\in B$ و $s\in S$

$\hspace{17mm}\varphi(sa)=s\varphi(a)\hspace{-5mm}\rl{(همریختی  $S$-سیستمی )}}$\\
\begin{displaymath}
 \hspace{-11mm} a \leq b\Rightarrow \varphi(a)\leq\varphi(b)\rl{(یکنوایی)}
 \end{displaymath}
% \vspace*{-15mm}
\begin{definition}
هرگاه $\varphi:A\to B$، $-S$ همریختی مرتب باشد هسته و زیر هسته \LTRfootnote{Subkernel} $\varphi$  را به ترتیب به صورت زیر تعریف می کنیم:
\begin{eqnarray*}
ker\varphi &=&\{(a,b)\in A\times A|\varphi(a)=\varphi(b)\}\\
\overrightarrow{ker}\varphi &=&\{(a,b)\in A\times A|\varphi(a)\leq\varphi(b) \}
\end{eqnarray*}
\begin{definition}
فرض کنیم $A$ یک $-S$ سیستم مرتب و $\vartheta$ یک رابطه ی هم ارزی روی $A$ باشد. $\vartheta$ را یک همنهشتی مرتب روی $A$ نامیده می شود هرگاه:
\begin{enumerate}
\item
برای هر $a,b\in A$ و $s\in S$ داشته باشیم : $a\vartheta b\Rightarrow sa\vartheta sb$ (همنهشتی $-S$ سیستمی باشد).
\item
ترتیب $\preceq$ روی $A/\vartheta$ طوری وجود داشته باشد که $A/\vartheta$ یک سیستم مرتب باشد.
\item
نگاشت کانونی $\varphi:A\to A/\vartheta$ که $\varphi(a)=[a]_{\vartheta}$ یک $-S$ همریختی  مرتب باشد.
\end{enumerate}
\begin{note}
توجه داریم که همنهشتی $-S$ سیستمی و همنهشتی $-S$ سیستمی مرتب در حالت کلی تفاوت دارند به عنوان مثال تکواره مرتب $(\mathbb{N},.)$ را در نظر بگیرید. (پیمانه 2)$\equiv$ یک همنهشتی $\mathbb{N}$-سیستمی می باشد اما این رابطه همنهشتی $\mathbb{N}$-سیستمی مرتب نیست، زیرا برای این منظور باید $\mathbb{N}/\equiv$  یک $\mathbb{N}$-سیستم مرتب باشد پس داریم $$[1]\leq[2]\leq[3]=[1]$$ بنابراین $[1]=[2]$ که یک تناقض است.
\begin{definition}
فرض کنید $A$ یک $-S$ سیستم مرتب باشد و $H\subseteq A\times A$ دراین صورت $a\leq_{H}b$ اگر و تنها اگر وجود داشته باشد $n\geq0$ و $(c_1,d_1),...,(c_n,d_n)\in H\cup H^{-1}$ و $s_1,...,s_n\in S$ به طوری که 
\begin{displaymath}
a\leq s_1c_1,\hspace{3mm}s_1d_1\leq s_2c_2,...,s_nd_n\leq b
\end{displaymath}
\begin{lemma}\label{L.H}
رابطه $\leq_{H}$ در تعریف بالا بازتابی، ترایایی و یکنوا با عمل ضرب روی $S$-سیستم مرتب $A$ است.\\
\begin{prof}
برای هر $a\in A$ ، $a\leq_{H}a$  . کافیست در تعریف $n=0$ انتخاب شود در نتیجه داریم $a\leq a$ که برقرار است. همچنین برای هر $a,b,c\in A$ داریم
\begin{equation*}
a\leq_{H} b\Rightarrow\exists\hspace{2mm}n\geq 0,(c_1,d_1),...,(c_n,d_n)\in H\cup H^{-1},s_1,...,s_n\in S:
\end{equation*}
\begin{equation}
a\leq s_1c_1,\hspace{3mm}s_1d_1\leq s_2c_2,...,s_nd_n\leq b.
\end{equation}
و همچنین
\begin{equation*}
b\leq_{H} c\Rightarrow\exists\hspace{2mm}m\geq 0,(e_1,f_1),...,(e_m,f_m)\in H\cup H^{-1},r_1,...,r_m\in S:
\end{equation*}
\begin{eqnarray}
b\leq r_1e_1,\hspace{3mm}r_1f_1\leq r_2f_2,...,r_nf_n\leq c.
\end{eqnarray}}
از (1.2) و  (2.2) نتیجه می شود که 
\begin{displaymath}
a\leq s_1c_1,\hspace{3mm}s_1d_1\leq s_2c_2,...,s_nd_n\leq b=1.b\leq r_1e_1,\hspace{3mm}r_1f_1\leq r_2f_2,...,r_nf_n\leq c
\end{displaymath}
پس $a\leq_{H}c$ یعنی $\leq_{H}$ روی $A$ ترایایی است. همچنین اگر $a\leq_{H} b$ برقرار باشد بنابر (1.2) داریم 
\begin{displaymath}
sa\leq ss_1c_1, ss_1d_1\leq ss_2c_2,...,ss_nd_n\leq sb\Rightarrow sa\leq_{H}sb.
\end{displaymath} 
\end{prof}
\end{lemma}
\begin{definition}
فرض کنید $A$ یک $-S$ سیستم مرتب باشد و $H\subseteq A\times A$ در این صورت برای هر $a,b\in A$، $a\equiv_{H}b$ اگر وتنها اگر $a\leq_{H}b\leq_{H}a$ .
\begin{lemma}\label{l.h}
رابطه $\equiv_{H}$ یک رابطه هم ارزی روی $A$ می باشد.\\
\begin{prof}
بنابر لم فوق برای هر $a\in A$ داریم $a\leq_{H}a\leq_{H}a$ بنابراین $a\equiv_{H}a$ یعنی $\equiv_{H}$ بازتابی است.\\ برای هر $a,b\in A$ اگر $a\equiv_{H}b$ آنگاه $a\leq_{H}b\leq_{H}a$ بنابراین $a\leq_{H}b\leq_{H}a\leq_{H}b$ یعنی $b\equiv_{H}a$ بنابراین $\equiv_{H}$ متقارن است. \\برای هر $a,b,c\in A$ اگر $a\equiv_{H}b$ و $b\equiv_{H}c$ آنگاه $a\leq_{H}b\leq_{H}a$ و $b\leq_{H}c\leq_{H}b$ بنابر لم فوق داریم $a\leq_{H}b\leq_{H}c\leq_{H}b\leq_{H}a$ بنابراین $a\leq_{H}c\leq_{H}a$ یعنی $a\equiv_{H}c$ بنابراین $\equiv_{H}$ ترایایی است. نتیجه آن که $\equiv_{H}$ روی $A$ یک رابطه ی هم ارزی است.
\end{prof}
\end{lemma}
\begin{lemma}\label{l.h.m}
فرض کنید $A$ یک $-S$ سیستم مرتب باشد ثابت کنید $\equiv_{H}$ یک همنهشتی مرتب روی $A$ می باشد.\\
\begin{prof}
بنابر لم \ref{L.H}  برای هر $a,b\in A$ و $s\in S$ داریم 
\begin{displaymath}
a\equiv_{H}b\Rightarrow a\leq_{H}b\leq_{H}a\Rightarrow sa\leq_{H}sb\leq_{H}sa\Rightarrow sa\equiv_{H}sb
\end{displaymath}
بنابر لم \ref{l.h} $\equiv_{H}$ یک همنهشتی $-S$ سیستمی می باشد. ترتیب $\preceq$ روی $\frac{A}{\equiv}$ را به صورت\\ $a\leq_{H}b\iff [a]\preceq_{H}[b]$ تعریف می کنیم.\\  با این تعریف $\preceq$ روی $\frac{A}{\equiv}$  یک ترتیب جزئی است زیرا برای هر $a\in A$،\\ $a\leq_{H}a\iff [a]\preceq_{H}[a]$ یعنی $\preceq$ خاصیت بازتابی دارد. همچنین اگر در $\frac{A}{\equiv}$  داشته باشیم $[a]\preceq[b]$ ، $[b]\preceq[a]$ آنگاه داریم $a\leq_{H}b$ و $b\leq_{H}a$ در نتیجه $a\leq_{H}b\leq_{H}a$ یعنی  $a\equiv_{H}b$ پس $[a]=[b]$ بنابراین $\preceq$ پاد متقارن است.\\ همچنین اگر در $\frac{A}{\equiv}$  داشته باشیم $[b]\preceq[c]$ و $[a]\preceq[b]$ داریم $b\leq_{H}c$ و $a\leq_{H}b$ بنابر لم فوق $a\leq_{H}c$ در نتیجه $[a]\preceq[b]$ پس $\preceq$ ترایایی است. اکنون نشان می دهیم $\lambda:S\times\frac{A}{\equiv}\to\frac{A}{\equiv}$  یکنواست. اگر در $\frac{A}{\equiv}$ داشته باشیم $[a]\preceq[b]$ برای هر $s\in S$ داریم
 \begin{displaymath}
 a\leq_{H}b\Rightarrow sa\leq_{H}sb\Rightarrow [sa]\preceq [sb]\Rightarrow s[a]\preceq s[b]
 \end{displaymath}
 همچنین اگر برای هر $a\in A$ و هر $s,t\in S$ رابطه  $s\leq t$ را داشته باشیم آنگاه
 \begin{displaymath}
 sa\leq ta\Rightarrow sa\leq_{H}ta\Rightarrow s[a]\preceq t[a].
 \end{displaymath}
 در پایان ادعا می کنیم که نگاشت کانونی $\varphi:A\to A/\equiv$ با ضابطه ی $\varphi(a)=[a]$ یک $-S$ همریختی  مرتب است.\\ برای این منظور فرض کنید $a_1,a_2\in A$ و $s\in S$ داریم
 \begin{displaymath}
 a_1\leq a_2\Rightarrow  a_1\leq_{H}a_2\Rightarrow[a_1]\preceq [a_2]\Rightarrow\varphi(a_1)\preceq\varphi (a_2),
 \end{displaymath}
 یعنی نگاشت $\varphi$ یکنواست. همچنین $\varphi$ یک $-S$ همریختی  است زیرا $$\varphi(sa)=[sa]=s[a]=s\varphi(a)$$ بنابراین $\equiv_H}$ یک همنهشتی مرتب روی $A$ می باشد.
\end{prof}
\end{lemma}
%\section{حاصل ضرب و هم حاصل ضرب}
%در این بخش بیان می کنیم که در رسته $-S$ سیستم های مرتب، حاصل ضرب $-S$ سیستم های مرتب ضرب دکارتی با ترتیب مولفه ای و هم حاصل ضرب $-S$ سیستم های مرتب اجتماع مجزای آنها است.
 \begin{note}
 حاصل ضرب یک خانواده ی $(X_i)_{i\in I}$   از $-S$ سیستم های  مرتب، ضرب دکارتی آن ها با ترتیب و عمل مولفه ای می باشد.
 \begin{note}
هم حاصل ضرب یک خانواده ی $(X_i)_{i\in I}$   از $-S$ سیستم های  مرتب، اجتماع مجزای آن ها با عمل طبیعی و ترتیب مولفه ای می باشد.

\begin{note}
فرض کنید $X$ یک مجموعه غیرتهی باشد $\dot{\bigcup}_{x\in X}Sx$ یک $-S$ سیستم مرتب است که ترتیب روی آن به صورت $$sx\leq sy\iff (x=y,s\leq t)$$ تعریف می شود.

 \section{$-S$ سیستم های مرتب آزاد، تجزیه ناپذیر و تصویری}
 \begin{definition}
 $-S$ سیستم
 مرتب $F$ را یک $-S$ سیستم  مرتب آزاد بر مجموعه مرتب $P$ می نامیم اگر نگاشت یکنوایی $g:P\to F$    دارای خاصیت جهانی زیر باشد،
 برای هر $-S$ سیستم مرتب $A$ و نگاشت مرتب $f:P\to A$ ، $-S$ همریختی مرتب یکتایی مانند $\overline{f}:F\to A$    موجود باشد به قسمی که $\overline{f}g=f$ .
 \begin{theorem}
 تکواره مرتب جزئی $S$ را در نظر می گیریم. $-S$ سیستم مرتب آزاد روی مجموعه مرتب $P$ ، $P\times S$ با ترتیب مولفه ای و عمل $t(x,s)=(x,ts)$ برای $s,t\in S$ و $x\in P$ می باشد.\\
 \begin{prof}
 با ترتیب و عمل تعریف شده $P\times S$ یک $-S$ سیستم مرتب است. $g:P\to P\times S$ را به صورت $g(x)=(x,1)$ تعریف می کنیم. در این صورت نگاشت $g$ یکنواست زیرا اگر $x\leq y$ برای هر $x,y\in P$ آنگاه $(x,1)\leq(y,1)$ یعنی $g(x)\leq g(y)$ .\\ همچنین  در خاصیت جهانی صدق می کند چون اگر $A$ یک $-S$ سیستم مرتب و\\ $f:P\to A$ یک نگاشت یکنوا باشد آنگاه قرار می دهیم $\overline{f}:P\times S\to A$   که $\overline{f}(x,s)=sf(x)$ .  بااستفاده از خوش تعریفی $f$ واضح است که $\overline{f}$   خوش تعریف است. $\overline{f}$  حافظ عمل است زیرا 
 \begin{displaymath}
 \overline{f}(t(x,s))=\overline{f}((x,ts))=(ts)f(x)=t(sf(x))=t\overline{f}(x,s).
 \end{displaymath}
 همچنین $ \overline{f}$  حافظ ترتیب است زیرا اگر $(x,s)\leq(y,t)$ آنگاه $s\leq t$ و $x\leq y$ است بنابراین $f(x)\leq f(y)$ و $s\leq t$ و در نتیجه $sf(x)\leq tf(y)$ پس $\overline{f}(x,s)\leq\overline{f}(y,t)$ .
 \end{prof}
 \end{theorem}
 \begin{theorem}\label{t.18}
 اگر $P$ یک مجموعه گسسته باشد یعنی اعضای $P$ مقایسه ناپذیر باشند آنگاه $-S$ سیستم مرتب آزاد روی $P$ را می توان به عنوان هم حاصل ضربی از $|P|$ کپی از $-S$ سیستم مرتب $S$ در نظر گرفت.\\
 \begin{prof}
 با توجه به قضیه ی فوق کافیست ثابت کنیم $\bigsqcup_{i\in P}S_i\cong P\times S$ که $S_i\cong S$ و $\bigsqcup_{i\in P}S_i=\{(i,s):i\in P,s\in S\}$ .   نگاشت یکنوایی \\  $\varphi:P\to \bigsqcup_{i\in P}S_i$  را به صورت $\varphi(i)=(i,1)$ در نظر می گیریم.\\ همچنین $\alpha:\bigsqcup _{i\in P}S_i\to P\times S$    را به صورت  $\alpha(i,s)=(i,s)$ تعریف می کنیم. $\alpha$ یک نگاشت $-S$ همریختی  مرتب است بنابراین $\alpha\varphi:P\to P\times S$ یک نگاشت یکنواست. با توجه به اینکه $P\times S$ آزاد است، $-S$ همریختی  مرتب یکتای $\beta:P\times S\to \bigsqcup_{i\in P}S_i$ چنان موجود است که $\beta\alpha\varphi=\varphi$ و لذا $\alpha\beta\alpha\varphi=\alpha\varphi$ . مجددا چون $P\times S$ آزاد است، $id:P\times S\to P\times S$ موجود است به طوری که $id\alpha\va
 =\alpha\varphi$ درنتیجه $\alpha\beta=id$ . لذا $\alpha$ یکریختی است و $\bigsqcup_{i\in P}S_i\cong P\times S$ .
 \end{prof}
 \end{theorem}
 \begin{definition}
 فرض کنیم $A$ یک $-S$ سیستم مرتب باشد. زیر $-S$ سیستم مرتب $B$ از $A$، محدب قوی \LTRfootnote{Strongly convex} نامیده می شود هرگاه برای $b\in B$ و $a\in A$ اگر $a\leq b$ آنگاه $a\in B$ یعنی $B$ از پایین بسته باشد.
 \begin{example}
 فرض کنید $A$ یک $-S$ سیستم مرتب و $a\in A$   در این صورت $-S$ سیستم مرتب 
 $$ (aS]=\{b\in A | b\leq as\hspace{4mm} \exists s\in S\}$$ 
 یک زیر $-S$ سیستم مرتب محدب قوی است.
 \begin{definition}
 $-S$ سیستم
 مرتب $A$ را تجزیه ناپذیر \LTRfootnote{Indecomposable} نامند اگر به صورت اجتماع مجزای دو زیر $-S$ سیستم مرتب سره و ناتهی قویا محدب  مجزای خود نوشته نشود.
 
  \begin{definition}
  $-S$ سیستم
  مرتب $A$ را دوری گویند هرگاه $a\in A$ موجود باشد به قسمی که $A=Sa$.
  \begin{lemma}\label{l.do}
  هر $-S$ سیستم مرتب دوری تجزیه ناپذیر است.\\
\begin{prof}
فرض کنیم $A=Sa$ و $A$ تجزیه پذیر باشد. پس دو زیر $-S$ سیستم مرتب قویا محدب و ناتهی از مانند $A_1$ و $A_2$ وجود دارند به طوری که $A=A_1\dot{\cup} A_2$ و $A_1\cap A_2=\emptyset$ .  چون $a\in A$ با فرض $a\in A_1$ داریم $A_1\subseteq A=Sa\subseteq A_1$ . لذا $A=A_1$ که با سره بودن $A_1$ در تضاد است.
\end{prof}
\end{lemma}
\begin{theorem}
فرض کنیم برای هر $i\in I$ ، $A_i$ ها زیر $-S$ سیستم های مرتب قویا محدب تجزیه ناپذیر از $-S$ سیستم مرتب $A$ به گونه ای باشند که $\bigcap_{i\in I}A_i\ne\emptyset$ . دراین صورت $\dot{\bigcup}_{i\in I}A_i$ نیز زیر سیستم مرتب قویا محدب تجزیه ناپذیر از $A$ است. \\
\begin{prof}
واضح است که $\dot{\bigcup}_{i\in I}A_i$  زیر سیستم مرتب قویا محدب است.\\
فرض کنیم $\bigcup_{i\in I}A_i=M\dot{\cup} N$ که $M$ و $N$ دو زیر $-S$ سیستم مرتب قویا محدب از $\dot{\bigcup}_{i\in I}A_i$ هستند. فرض کنیم $a\in\bigcap_{i\in I}A_i$ و $a\in M$ . دراین صورت برای هر $i\in I$ ، $a\in A_i\cap M$   از طرفی چون به ازای هر $i\in I$ ، $N\cap A_i$   و $M\cap A_i$ زیر $-S$ سیستم های قویا محدب از $A_i$ هستند و $A_i=(M\cap A_i)\cup(N\cap A_i)$ تجزیه ناپذیری $A_i$ ها ایجاب می کند که برای هر $i\in I$، $A_i\cap N=\emptyset$   در نتیجه $\dot{\bigcup}_{i\in I}A_i\cup N=\emptyset$ و لذا $N=\emptyset$.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{definition}
$S$-سیستم 
مرتب $P$ را تصویری گویند هرگاه برای هر $-S$ همریختی  مرتب پوشای $g:A\to B$ و $-S$ همریختی  مرتب $f:P\to B$، $-S$ همریختی  مرتب $h:P\to A$ به قسمی وجود داشته باشد که $gh=f$ .
\end{definition}
\begin{proposition}\label{p.mo}
فرض کنید $S$ یک تکواره مرتب جزئی باشد آنگاه گزاره های زیر برقرارند:
\begin{enumerate}
\item
 برای هر $e\in E(S)$ ، $Se$ تصویری است.
 \item
 برای هر $i\in I$، اجتماع مجزا از $-S$ سیستم های مرتب $P_i$ تصویری است اگر و تنها اگر هر کدام از $P_i$ ها تصویری باشند. 
 \item
  فرض کنیم $P$ یک $-S$ سیستم مرتب باشد. در این صورت $P$ تصویری است اگر و تنها اگر هر $-S$ همریختی  پوشا به $P$، درون بری باشد.
 \end{enumerate} 
 \begin{prof}
 1. فرض کنیم  $\psi:M\to N$ یک نگاشت $-S$ برو ریختی مرتب و $\varphi:Se\to N$ یک $-S$ همریختی مرتب باشد. برای  $\varphi(e)=b\in N$ وجود دارد $a\in M$ به طوری که $\psi(a)=b$. $\overline{\varphi}:Se\to M$ را به صورت $\overline{\varphi}(se)=sea$ تعریف می کنیم. واضح است که $\overline{\varphi}$   یک $-S$همریختی مرتب است و برای هر $s\in S$ داریم
 \begin{eqnarray*}
\psi\overline{\varphi}(se)&=&\psi(sea)\\
&=& se\psi(a)\\
 &=&seb\\
 &=&se\varphi(e)\\
 &=&\varphi(see)=\varphi(se),
\end{eqnarray*}
 یعنی $\psi\overline{\varphi}=\varphi$ .
\\2. فرض کنید $P=\bigsqcup_{i\in I}P_i$ تصویری باشد. نگاشت $-S$ همریختی مرتب پوشای\\ $\psi:M\to N$ و $-S$ همریختی مرتب $\varphi_{i}:P_i\to N$ را در نظر می گیریم. در این صورت فرض می کنیم $\psi^\prime:M\sqcup\theta\to N\sqcup\theta$ که $\theta=\{v\}$ به صورت $\psi^\prime|_{M}=\psi$ و $\psi^\prime(v)=v$ تعریف شده باشد. همچنین فرض کنیم $\varphi^\prime:\bigsqcup_{i\in I}P_i\to N\sqcup\theta$ به صورت $\varphi ^ \prime|_{P_i}=\varphi$ و $\varphi^\prime(p)=v$ برای هر $p\in P\setminus P_i$ تعریف شده باشد. دراین صورت واضح است که $\psi^\prime$ یک نگاشت $-S$ همریختی مرتب و پوشا و $\varphi^\prime$ یک نگاشت $-S$ همریختی  مرتب است. چون $P$ تصویری است لذا یک نگاشت $-S$ همریختی مرتب $\overline{\varphi^\prime}:P\to M\sqcup \theta$    وجود دارد به قسمی که $\varphi^\prime=\psi^\prime\overline{\varphi^\prime}$ .  از آنجا که $\overline{\varphi^\prime}(P_i)\subseteq M$  ، قرار می دهیم $\overline{\varphi_{i}}=\overline{\varphi^\prime}|_{p_i}}$  .  بنابراین برای هر $i\in I$ ، $\varphi=\psi\overline{\varphi_i}$ یعنی $P_i$ تصویری است.\\ برعکس فرض کنیم به ازای هر $i\in I$، $P_i$ ها تصویری باشند. نگاشت $-S$ همریختی مرتب پوشای $\psi:M\to N$ و $-S$ همریختی  مرتب $\varphi:\bigsqcup_{i\in I}P_i\to N$ را در نظر می گیریم. همچنین به ازای ریخت $u_i:P_i\to\bigsqcup_{i\in I}P_i$ که $i\in I$، با توجه به فرض $-S$ همریختی مرتب   $\overline{\varphi_{i}}:P_i\to M$  وجود دارد به قسمی که برای هر $i\in I$،  $\psi\overline{\varphi_i}=\varphi u_i$ . اکنون با توجه به خاصیت جهانی هم حاصل ضرب، نگاشت منحصر به فرد $\overline{\varphi}:\bigsqcup_{i\in I}P_i\to M$  وجود دارد به قسمی که $\overline{\varphi}u_i=\overline{\varphi}_i$  بنابراین  $$\psi\overline{\varphi}u_i=\psi\overline{\varphi_i}=\varphi u_i$$   یا $\psi\overline{\varphi}=\varphi$ .
\\3. فرض کنیم $-S$ سیستم مرتب $P$ تصویری بوده و $\psi:A\to P$ یک نگاشت $-S$ همریختی  مرتب پوشا باشد. نگاشت همانی $id_P:P\to P$ را در نظر می گیریم. با توجه به فرض یک $-S$ همریختی  مرتب $\varphi:P\to A$ موجود است به قسمی که $\psi\varphi=id_P$ . \\ برعکس نگاشت $-S$ همریختی  مرتب پوشای $\psi:A\to B$ و $-S$ همریختی  مرتب\\ $\varphi:P\to B$ را در نظر  می گیریم. واضح است که که نگاشت $\xymatrix{A \ar[rr]^\psi && \varphi(P) \ar[rr]^{\varphi^{-1}} && P}$ یک نگاشت $-S$ همریختی  مرتب پوشاست و بنا بر فرض $-S$ همریختی  مرتب $g:P\to A$ موجود است به قسمی که $\varphi^{-1}\psi g=id_P$ در نتیجه $\psi g=\varphi$ .
\end{prof}
\end{proposition}
\begin{theorem}\label{t.ts}
فرض کنید $A$ یک $-S$ سیستم مرتب باشد و $a\in A$ . در این صورت گزاره های زیر معادل اند:
\begin{enumerate}
\item
$Sa$ تصویری است.
\item
عنصر خودتوان $e\in S$ به قسمی وجود دارد که $a=ea$ و برای $s,t\in S$ اگر $sa\leq ta$ آنگاه $se\leq te$ .
\item
برای عنصر خودتوان $e\in S$ داریم $Sa\cong Se$ .
\end{enumerate}
\begin{prof}
$1\Rightarrow2$. 
$-S$ همریختی 
پوشای $\varphi:S\to Sa$ که $\varphi(s)=sa$ باشد را در نظر می گیریم. با توجه به گزاره فوق، $\varphi$ درون بری است. پس $-S$ همریختی  مرتب $g:Sa\to S$ به قسمی وجود دارد که $\varphi g=id_{Sa}$ . فرض کنیم $g(a)=e\in S$ در این صورت $$a=id_(a)=\varphi g(a)=\varphi(e)=ea$$ بنابراین $$e=g(a)=g(ea)=eg(a)=e.e=e$$ یعنی $e$ عنصری خودتوان در $S$ است. اگر برای $s,t\in S$ داشته باشیم $sa\leq ta$ آنگاه $$se=sg(a)=g(sa)\leq g(ta)=tg(a)=te.$$ 
$2\Rightarrow3$.
نگاشت $g:Sa\to Se$ را  برای هر $s\in S$ با $g(sa)=se$ در نظر می گیریم. واضح است که، $g$ ، $-S$ همریختی  پوشاست که با توجه به فرض حافظ ترتیب نیز می باشد. $g$  یک به یک است زیرا برای $s_1,s_2\in S$ اگر $g(s_1a)=g(s_2a)$ آنگاه $s_1e=s_2e$ پس $s_1ea=s_2ea$ .بنا بر فرض $ea=a$ بنابراین $s_1a=s_2a$ . از آنچه که بیان شد نتیجه می گیریم که وارون $g$ وجود دارد و به راحتی می توان دید که $g$ نیز یک $-S$ همریختی  یکنواست.\\
$3\Rightarrow1$.  با توجه به گزاره فوق بدیهی است.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
فرض کنید  $P$  یک $S$ -سیستم مرتب تجزیه ناپذیر باشد. در این صورت $P$ تصویری است اگر و تنها اگر $P\cong Se$ که $e\in E(S)$ .\\
\begin{prof}\\
$(\Rightarrow$.  باتوجه به گزاره \ref{p.mo} بدیهی است.\\
$\Leftarrow$. 
فرض کنیم $P$ یک $-S$ سیستم مرتب تجزیه ناپذیر و تصویری باشد. با توجه به قضایای 3.3.2 از \cite{M.Kil} و  \ref{t.18} یک $S$-همریختی مرتب پوشا $f:\bigsqcup_{i\in P}S_i\to P$ موجود است. چون $P$ تصویری است بنا بر گزاره \ref{p.mo}،  $f$ یک درون بری است. لذا وجود دارد $g:P\to \bigsqcup_{i\in P}S_i$ به قسمی که $fg=id_P$ . بنابراین $g$ تکریختی است و لذا $g:P\to g(P)$ یک نگاشت دوسویی یکنواست پس $g^{-1}=f|_{g(P)}$ نیز یکنواست. بنابراین $g(P)\cong P$ .
اکنون اگر $a,b\in g(P)\subseteq \bigsqcup_{i\in P}S_i$ و $a\leq b$ و $b\in g(P)\cap S_i$ آنگاه $b\in S_i$ و $a\in\bigsqcup_{i\in P}S_i$ . باتوجه به رابطه ترتیب $\bigsqcup_{i\in P}S_i$ ، $a\in g(P)\cap S_i$ . لذا $g(P)\cap S_i$ یک زیر سیستم مرتب قویا محدب از $g(P)$ است. اما با توجه به اینکه $g(P)\cong P$ تجزیه ناپذیر است و $g(P)=g(P)\cap(\bigsqcup_{i\in P}S_i)$، برای برخی از $i\in P$، داریم $g(P)=g(P)\cap S_i$ بنابراین $g(P)\subseteq S_i$ و $$P=fg(P)\subseteq f(S_i)\subseteq P$$  یعنی $f(S_i)=P$ . می توان نوشت $$P=f(S_i)=Sf(1_i)=Sa$$ که $1_i$ عنصر همانی $S_i$ و $a=f(1_i)$ است. اکنون بنابر قضیه قبل $P\cong Se$ که $e\in E(S)$.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{theorem}\label{T.29}
$S-$سیستم
مرتب $P$ تصویری است اگر وتنها اگر $P\cong\bigsqcup_{i\in I}Se_i$ که $e_i\in E(S)$ .\\
\begin{prof}\\
$(\Rightarrow$. با توجه با قسمت اول و دوم گزاره \ref{p.mo} بدیهی است.\\
$(\Leftarrow$. 
هر $-S$ سیستم مرتب مانند $P$ را می توان به صورت $P=\bigsqcup_{i\in I}P_i$ نوشت که $P_i$ زیر سیستم های قویا محدب تجزیه ناپذیر از $P$ است. اگر $P$ تصویری باشد بنابر گزاره \ref{p.mo}، $P_i$ ها یک $-S$ سیستم مرتب تصویری تجزیه ناپذیر است. از آنجا که هر $P_i$ تجزیه ناپذیر است لذا با توجه به قضیه ی بالا $P_i\cong Se_i$ که $e_i\in E(S)$ . بنابراین $P\cong\bigsqcup_{i\in I}Se_i$ .
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{theorem}\label{t.30}
$S-$سیستم 
مرتب $A$ یک $S$-سیستم مرتب دوری است اگر وتنها اگر همنهشتی مرتب $\lambda$ روی $S$ طوری وجود داشته باشد که $A\cong {S}/\lambda}$ .\\
\begin{prof}
$\Rightarrow$
 داریم $A\cong S/\lambda}=S[1]$    بنابراین $A$ دوری خواهد بود.\\
$\Leftarrow$
 برعکس، فرض کنید $A$ یک $-S$ سیستم مرتب دوری باشد پس وجود دارد $a\in A$ به قسمی که $A=Sa$ . رابطه $\sigma$ را روی $S$  به صورت\\ $\sigma=\{(s,t)\in S\times S |sa\leq ta\}$ تعریف می کنیم. به وضوح $\lambda=\sigma\cap\sigma^{-1}$ یک همنهشتی مرتب روی $S$ خواهد بود. اکنون نگاشت $f:Sa\to S/\lambda}$    را با ضابطه $f(sa)=[s]$ که $s\in S$ تعریف می کنیم. $f$ یک $-S$ همریختی  مرتب است زیرا برای هر $s,t\in S$ و $a\in A$ داریم
\begin{displaymath}
sa\leq ta\Rightarrow s\leq t\Rightarrow [s]\leq[t]\Rightarrow f(sa)\leq f(ta)
\end{displaymath}
 بنابراین $f$ ترتیب عمل را حفظ می کند و نیز خوش تعریف است و 
\begin{displaymath}
f(t(sa))=f((ts)a)=[ts]=t[s]=tf(sa)
\end{displaymath}
یعنی $f$ یک $-S$ همریختی  است. نگاشت $f$ پوشاست و همچنین 
\begin{displaymath}
f(sa)\leq f(ta)\Rightarrow[s]\leq[t]\Rightarrow s\leq t\Rightarrow sa\leq ta
\end{displaymath}
یعنی $f$ یک به یک نیز می باشد و بنابراین $Sa\cong S/\lambda}$ .
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{lemma}\label{l.tasv}
فرض کنید $\lambda$ یک همنهشتی مرتب روی $S$ باشد، $S/\lambda$ تصویری است اگر وتنها اگر وجود داشته باشد عنصر خودتوان $e\in S$ به طوری که $1\lambda e$ و $[s]\leq[t]$ نتیجه دهد $se\leq te$ .\\
\begin{prof}
$\Leftarrow$
فرض کنیم $S/\lambda=S[1]$ تصویری باشد با توجه به قضیه \ref{t.ts} عنصر خود توان $e\in S$ موجود است به طوری که $[1]=e[1]$ . بنابراین 
$$[1]=e[1]\Rightarrow[1]=[e]\Rightarrow 1\lambda e$$
برای هر $s,t\in S$ می توان نوشت:
$$[s]\leq[t]\Rightarrow s[1]\leq t[1]\Rightarrow se\leq te.$$
$\Rightarrow$
 $S/\lambda=S[1]_{\lambda}$ 
یک $-S$ سیستم دوری است. همچنین برای عضو خودتوان $e\in S$ داریم 
\begin{displaymath}
1\lambda e\Rightarrow[1]_{\lambda}=[e]_{\lambda}\Rightarrow[1]_{\lambda}=e[1]_{\lambda}.
\end{displaymath}
از طرفی برای هر $s,t\in S$ داریم 
\begin{displaymath}
s[1]_{\lambda}\leq t[1]_{\lambda}\Rightarrow[s]_{\lambda}\leq[t]_{\lambda}\Rightarrow se\leq te.
\end{displaymath}
بنابراین بنابر قضیه \ref{t.ts} ، $S/\lambda$ تصویری خواهد بود.
\end{prof}
\end{lemma}
\section{$-S$ سیستم های مرتب هموار قوی}
\begin{definition}
فرض کنیم $A$ یک $-S$ سیستم مرتب راست، $B$ یک $-S$ سیستم مرتب چپ و $A\times B$ ضرب دکارتی $A$ و $B$ باشد. آنگاه $A\times B$ یک مجموعه مرتب جزئی با ترتیب مولفه ای به شرح زیر است:
$$(a,b)\leq(c,d)\iff a\leq b,\hspace{3mm}c\leq d$$
$A\times B$ با ترتیب بالا و ضرب $s(a,b)=(a,sb)$ تبدیل به یک $-S$ سیستم مرتب می شود.
قرار می دهیم $H=\{((as,b),(a,sb)) |a\in A, b\in B, s\in S\}$ و فرض کنیم $\rho=\rho(H)$ همنهشتی تولید شده توسط $H$ روی $A\times B$ باشد به سادگی می توان بررسی کرد که $(A\times B)/\rho$ یک مجموعه مرتب جزئی است که ضرب تانسوری \LTRfootnote{Tensor product} $A$   و $B$ روی $S$ نامیده می شود و با $A\otimes B$ نشان می دهیم. همچنین برای هر $a\in A$ و $b\in B$ کلاس هم ارزی $(a,b)$ در $A\otimes B$ را با $a\otimes b$ نشان می دهیم.
\begin{definition}
فرض کنید $\psi,\varphi:A\to B$ دو $S$-همریختی مرتب باشند. در این صورت $\varphi\leq\psi$ اگر وتنها اگر برای هر $a\in A$، $\varphi(a)\leq\psi(a)$ .
\begin{definition}
فرض کنید $\psi,\varphi:M\to B$ یک زوج از ریخت ها در رسته $-S$ سیستم های مرتب باشند. زوج $(E,e)$ که $\xymatrix{E\ar[r]^{e} & M}$ زیر برابر ساز \LTRfootnote{Subequlizer} برای $\varphi$ و $\psi$ نامیده می شود هرگاه 
\begin{enumerate}
\item
$\varphi e\leq\psi e$.
\item
 برای هر ریخت $e^\prime:E^\prime\to M$ اگر $\varphi e^\prime\leq\psi e^\prime$ ریختی منحصر به فرد مانند $\overline{e}:E^\prime\to E$   به قسمی موجود باشد که $e^\prime=e\overline{e}$  یعنی مثلث دیاگرام زیر جابه جایی باشد.
\end{enumerate}

\input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=13.5cm
\epsfysize=12.5cm
\centerline{\hspace{17.5cm}\epsffile{d.12.eps}}
\vspace*{-8cm}
%\begin{theorem}
%زیر برابر ساز مورفیسم های $\varphi,\psi:M\to B$ در  رسته $-S$ سیستم های مرتب عبارت است از $E_{\varphi,\psi}=\{m\in M |\varphi(m)\leq\psi(m)\}$ به همراه شمول $i:E_{\varphi,\psi}\to A$ .
%\end{theorem}
\begin{definition}
فرض کنیم ریخت های $f_1$ و $f_2$ به صورت زیر در رسته $-S$ سیستم های مرتب داده شده باشند:
\input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=13.5cm
\epsfysize=12.5cm
\centerline{\hspace{17.5cm}\epsffile{d.7.eps}}
\vspace*{-8cm}
جفت $(P,(p_1,p_2))$ با $p_i=P\to X_i$ که $i=1,2$ در رسته $-S$ سیستم های مرتب ، زیر عقب بر \LTRfootnote{Subpullback} جفت $(f_1,f_2)$ نامیده می شود هرگاه 
\begin{enumerate}
\item
$f_1p_1\leq f_2p_2$
\item
برای هر جفت $(P^\prime,(p^\prime_1,p^\prime_2))$ با $p^\prime_i:P^\prime\to X_i$، $i=1,2$ که $f_1p^\prime_1\leq f_2p^\prime_2$ ریخت منحصر به فرد $p:P^\prime\to P$ به قسمی وجود داشته باشد که $p_ip=p^\prime_i$، $i=1,2$ . به عبارت دیگر دیاگرام زیر جابه جایی باشد.
\input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=13.5cm
\epsfysize=12.5cm
\centerline{\hspace{17.5cm}\epsffile{d.8.eps}}
\vspace*{-5.5cm}
\end{enumerate}
%\begin{theorem}
%زیر عقب بر همریختی های  $\varphi:M\to A$ و $\psi:N\to A$ در رسته $-S$ سیستم های مرتب عبارت است از $P_{\varphi,\psi}=\{(m,n)\in M\times N| \varphi(m)\leq\psi(n)\}$ به همراه نگاشت های تصویری $p_1:P_{\varphi,\psi}\to M$ و $p_2:P_{\varphi,\psi}\to N$ .
%\end{theorem}
\begin{definition}
$S$-سیستم
مرتب راست $B_S$ را زیر برابر ساز هموار گویند هرگاه در رسته ی $-S$ سیستم های مرتب چپ تابعگون $B_S\otimes -$ زیر برابر ساز ها را حفظ کند.
\begin{definition}
$S$-سیستم 
مرتب راست $B_S$ را زیر عقب بر هموار گویند هرگاه در رسته $-S$ سیستم های مرتب چپ تابعگون $B_S\otimes-$ زیر عقب بر ها را حفظ کند.
\begin{definition}
$-S$ سیستم 
مرتب راست $B_S$ را هموار قوی \LTRfootnote{Strongly flat} گویند هرگاه زیر برابر ساز هموار و زیر عقب بر هموار باشد.
\begin{note}
\\شرط $P$ : فرض کنید $B$ یک $-S$ سیستم مرتب چپ باشد و برای هر $b,b^\prime\in B$ و $s,s^\prime\in S$ ، اگر $sb\leq s^\prime b^\prime$ آنگاه وجود داشته باشد $c\in B$ و $u,u^\prime\in S$ به طوری که $b=uc$ و $b^\prime=u^\prime c$ و $su\leq s^\prime u^\prime$ .
\\شرط $E$ : فرض کنید $B$ یک $-S$ سیستم مرتب چپ باشد و برای هر $b\in B$ و $s,s^\prime\in S$، اگر $sb\leq s^\prime b$ آنگاه وجود داشته باشد $b^\prime\in B$ و $u\in S$ به طوری که $b=ub^\prime$ و $su\leq s^\prime u$ 
\\$\mathcal{SF}$ : منظور کلاس $-S$ سیستم های  مرتب هموار قوی می باشد.\\
$\mathcal{P}$ : منظور کلاس $-S$ سیستم های مرتب تصویری می باشد.

\begin{theorem}\label{t.ham}
فرض کنید $B$ یک $-S$ سیستم مرتب راست باشد. در این صورت شرط های زیر با هم معادل اند:
\begin{enumerate}
\item
$B$ هموار قوی است.
\item
$B$ حد مستقیمی از $-S$ سیستم های آزاد چپ متناهیا تولید شده می باشد.
\item
$B$ در شرط های $P$ و $E$ صدق می کند.

\end{enumerate}
\begin{prof}
به \cite{BU.S} قضیه 1.5 مراجعه شود.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{lemma}
گزاره های زیر برای $-S$ سیستم مرتب دوری $A=Sa$ معادل اند:
\begin{enumerate}
\item
$A$  هموار قوی است.
\item
$A$  در شرط $E$ صدق می کند.
\item
 برای هر $s,t\in S$ اگر $sa\leq ta$ آنگاه وجود دارد $u\in S$ به طوری که $a=ua$ و $su\leq tu$.
\end{enumerate}
\begin{porf}
$1\Rightarrow2$. 
اگر $A$ هموار قوی باشد بنا بر قضیه  \ref{t.ham} در شرط $E$ صدق می کند.\\
$2\Rightarrow3$.  برای
هر $s,t\in S$ اگر $sa\leq ta$ باشد چون $A$ در شرط $E$ صدق می کند پس وجود دارد $b\in B$ و $v\in S$ به طوری که $sv\leq tv$ و $a=vb$، اما چون $A=Sa$ دوری است پس داریم $b=ra$ که $r\in S$ بنابراین داریم $svr\leq tvr$ و $a=vra$ . کافیست قرار دهیم $u=vr$ .\\
$3\Rightarrow1$.  
برای اثبات هموار قوی بودن نشان می دهیم که شرط های $P$ و $E$ برقرارند.\\ ابتدا ثابت می کنیم شرط $E$ برقرار است. فرض کنیم $sb\leq tb$ که $s,t\in S$ و $b\in A=Sa$  بنابراین $b=ra$ که $r\in S$ پس داریم $sra\leq tra$  .      بنابر فرض  وجود دارد $u\in S$ به طوری که $sru\leq tru$ و $a=ua$ بنابراین داریم $sru\leq tru$ و $ra=rua$ . کافیست قرار دهیم $b^\prime=ra$ و $v=ru$ . در این صورت داریم $sv\leq tv$  و $b=vb^\prime$ . یعنی شرط $E$ برقرار است. اکنون ثابت می کنیم شرط $P$ برقرار است. فرض کنیم  $sa_1\leq ta_2$ که $s,t\in S$ و $a_1,a_2\in A$ بنابراین $a_1=ua$ و $a_2=va$ که $u,v\in S$ . بنابراین داریم $sua\leq tva$ بنابر فرض وجود دارد $x\in S$ به قسمی که $a=xa$ و $sux\leq svx$ درنتیجه داریم
$$
a_1=ua=uxa$$ 
و
$$a_2=va=vxa$$

پس داریم
$$sux\leq svx\Rightarrow (su)x\leq(sv)x.$$
کافیست $b=a$ انتخاب شود.
\end{prof}
\end{lemma}
\begin{corollary}\label{c.if}
فرض کنید $\rho$ یک همنهشتی مرتب روی تکواره مرتب $S$ باشد. $S/\rho$ هموار قوی است اگر و تنها اگر برای هر $s,t\ijn S$ ، اگر $[s]\leq[t]$ آنگاه وجود داشته باشد $u\in S$ به طوری که $su\leq tu$ و $1\rho u$ .\\
\begin{prof}
$\Leftarrow$
چون $S/\rho=S[1]_\rho$  دوری است بنابر لم فوق اگر $[s]\leq[t]$ یا $s[1]\leq t[1]$ آنگاه وجود دارد $u\in S$ به طوری که $su\leq tu$ و $[1]=u[1]$ یا $u \rho 1$ .
\\$\Rightarrow$
بنابر قسمت $3\Rightarrow1$ لم فوق بدیهی است.
\end{prof}
\end{corollary}
\begin{note}
اگر $A$ یک $-S$ سیستم باشد داریم : \\
شرط $P$ : اگر $x,y\in A$ و $s,t\in S$ و داشته باشیم $sx=ty$ آنگاه وجود دارد عنصر $z\in A$ و $s^\prime,t^\prime\in S$ به طوری که $x=s^\prime z$ و $y=t^\prime z$ و $ss^\prime=tt^\prime$ .\\
شرط $E$ : اگر $x\in A$ و $s,t\in S$ داشته باشیم $sx=tx$ آنگاه وجود دارد $z\in A$ و $s^\prime\in S$ به طوری که $x=s^\prime z$ و $ss^\prime=ts^\prime$ .
\begin{lemma}\label{T.H.GH}
فرض کنید $A$ یک $-S$ سیستم مرتب هموار قوی باشد آنگاه $A$ یک $-S$ سیستم هموار قوی نیز خواهد بود.\\
\begin{prof}
فرض کنید $A$  یک $-S$ سیستم مرتب  هموار قوی باشد بنابر قضیه \ref{t.ham} در شرط $P^<$ و $E^<$ صدق می کند. فرض کنید $A$ در $E^<$ صدق کند و $sa=ta$ که $s,t\in S$ و $a\in A$ . بنابراین وجود دارد $u_1\in S$ و $d\in A$ به طوری که $su_1\leq tu_1$ و $a=u_1d$ .  در نتیجه $su_1d=tu_1d$ . اکنون اگر مجددا شرط $E^<$ را به کار ببریم، $u_2\in S$ و $b\in A$ وجود دارد به طوری که $su_1u_2\geq tu_1u_2$ و $d=u_2b$ . اگر $u=u_1u_2$ آنگاه $su\leq tu$ و $su\geq tu$ ، به عبارت دیگر $su=tu$ و علاوه بر آن $a=u_1d=u_1u_2b=ub$ یعنی  $A$ در شرط $E$ صدق می کند.\\
حال فرض کنیم $A$ در شرط های $P^<$ و $E^<$ صدق کند و فرض کنید $sa=tb$ . چون $A$ در شرط $P^<$ صدق می کند، بنابراین وجود دارد $u_1,v_1\in S$ و $d\in A$ به طوری که $su_1\leq tv_1$ و $a=u_1d$ و $b=v_1d$ در نتیجه $su_1d=tv_1d$ . بنابر شرط $E^<$ از تساوی آخر نتیجه می گیریم که وجود دارد $w\in S$ و $c\in A$ به طوری که $su_1w=tv_1w$ و $d=wc$ . اگر $u=u_1w$ و $v=v_1w$ آنگاه $su=tv$ و $a=uc$ و $b=vc$ .
\end{prof}
\end{lemma}  
\begin{theorem}
در رسته $S$-سیستم های مرتب هر بروریختی $f:A\to B$ یک $-S$ همریختی  مرتب پوشاست.\\
\begin{prof}
فرض کنید $f$ پوشا نباشد در این صورت $f(A)\ne B$ . لذا $f(A)$ یک زیر $-S$ سیستم مرتب سره از $B$ است. اکنون اگر $g_1:B\to (\{1\}\times B\setminus f(A))\cup f(A)$ و\\ $g_2:B\to (\{2\}\times B\setminus f(A))\cup f(A)$ .  نشاننده های طبیعی از $B$ به توی \\$(\{1,2\}\times B\setminus f(A))\cup f(A)$ را به صورت زیر در نظر می گیریم 
\begin{equation*}
g_i(b)=\left\{\begin{array}{12}
(i,b)&b\in B\setminus f(A)\\
b&b\in f(A)\\
\end{array}\right
\end{equation*}
داریم $g_1f=g_2f$ . چون $f$ بروریختی است پس از راست حذف پذیر است لذا $g_1=g_2$ که تناقض است.
\end{prof}
\end{theorem}
\begin{theorem}
در رسته $-S$ سیستم های مرتب هر تکریختی یک $-S$ همریختی  مرتب یک به یک است.\\
\begin{prof}
فرض کنیم $h:A\to B$ یک تکریختی باشد و $h(a)=h(a^\prime)$ . $S$همریختی های مرتب $f,g:S\to A$ را برای هر $s\in S$ با ضابطه ی $f(s)=sa$ و $g(s)=sa^\prime$ درنظر می گیریم. داریم 
\begin{eqnarray*}
hf(s)&=&h(sa)\\
&=&sh(a)\\
&=&sh(a^\prime)\\
&=&h(sa^\prime)=hg(s).
\end{eqnarray*}
یعنی $hf=hg$ . از اینکه $h$ تکریختی است بنابراین برای هر $s\in S$، $f(s)=g(s)$ یعنی $sa=sa^\prime$ به ویژه برای $s=1$ داریم $a=a^\prime$ .
\end{prof}
\end{theorem}
\chapter{تکواره های مرتب جزئی که برای آنها $\mathcal{S}\mathcal{F}=\mathcal{P}$}
از آنجایی که هر $-S$ سیستم مرتب تصویری، هموار قوی نیز می باشد در این فصل بررسی می کنیم که تحت چه شرایطی یک $-S$ سیستم تصویری ، هموار قوی خواهد شد.
\begin{theorem}
اگر  $A$ یک $-S$ سیستم مرتب تصویری باشد آنگاه $A$  هموار قوی خواهد بود.\\
\begin{prof}
کافیست نشان دهیم که $A$ در شرط  $P$ و $E$ صدق می کند. چون $A$ یک $-S$ سیستم مرتب تصویری است بنابرقضیه،\ref{T.29} $A=\bigsqcup_{i\in I} Se_i}}$ که در آن $e_i\in E(S)$. فرض کنید $b\in A$ و $s,t\in S$. اگر $sb\leq tb$ باشد آنگاه وجود دارد $e_i\in E(S)$ و $p\in S$ به قسمی که $b=pe_i$.  
قراردهید $b^\prime =e_i$ و $u=pe_i$، در این صورت $ub^\prime =p e_ie_i=p e_i=b$ و 
\begin{equation*}
sb\leq tb\Rightarrow spe_i \leq tpe_i\Rightarrow su\leq tu
\end{equation*}
یعنی $A$ در شرط $E$ صدق می کند.\\ همچنین اگر $b_1,b_2\in A$ و $s,t\in S$ و داشته باشیم $sb_1\leq tb_2$ آنگاه $e_i \in E(S)$ و $p\in S$ به قسمی وجود دارند که $b_2=pe_i$ و این ایجاب می کند که $b_1\in Se_i$ و بنابراین به ازای $q\in S$،  $b_1=qe_i$. قرار دهید $b=e_i,u=qe_i$ و $v=pe_i$ در این صورت$ub=qe_ie_i=qe_i=b_1$  و $vb=pe_ie_i=pe_i=b_2$ و 
\begin{equation*}
sb_1\leq tb_2\Rightarrow sqe_i \leq tpe_i\Rightarrow su\leq tv
\end{equation*}
یعنی $A$ در شرط $P$ صدق می کند.
\end{prof}
\end{theorem}
باتوجه به قضیه قبل نتیجه می گیریم که $\mathcal{P}\subseteq \mathcal{S}\mathcal{F}$ .اکنون می خواهیم بررسی کنیم که یک تکواره مرتب جزئی مانند $S$ چه شرایطی باید داشته باشد تا $\mathcal{S}\mathcal{F}\subseteq \mathcal{P}$ . 
 \begin{lemma}\label{l.1}
 فرض کنید $S$ یک تکواره مرتب جزئی و $\underline{a}=(a_1,a_2,...)$ یک دنباله از عناصر $S$ و\\ $F=Sx_1\cup Sx_2\cup ...$ یک $-S$ سیستم مرتب آزاد روی مجموعه $\{x_i:i\in\mathbb{N}\}$ و $$H=\{(x_i,a_ix_{i+1}):i\in\mathbb{N}\}\subseteq F\times F$$ باشد.
 \begin{enumerate}
\item 
برای هر $sx_m,tx_n\in F$،  $sx_m\leq _{H}tx_n$ اگر و تنها اگر $$sa_ma_{m+1}...a_w\leq ta_na_{n+1}...a_w$$ به ازای $w\geq\max \{m,n\}$ ، همچنین $sx_m\equiv _{H} tx_n$ اگر و تنها اگر $$sa_ma_{m+1}...a_v=ta_na_{n+1}...a_v$$ به ازای$v\geq\max \{m,n\}$  . 
\item 
$S$ سیستم مرتب ، $F(\underline{a})=F/\equiv _{H}}$ حد مستقیمی از دنباله جهت دار $$Sx_1\to Sx_2\to ...$$  است که
$\alpha _i:Sx_i&\to & Sx_{i+1}$ 
به صورت $x_i\alpha _i=a_ix_{i+1}$ داده شده است.
\item
$S$- سیستم مرتب، $F(\underline{a})$ هموار قوی است.\\
 \begin{prof}\\1.
 فرض کنیم $sx_m\leq_{H}tx_n$ بنابراین وجود دارد $h\in\mathbb{N}^0$ و $s_i\in S$ و\\ $(y_i,z_i)\in H\cup H^{-1}$ که $1\leq i\leq h$ به طوری که $$sx_m\leq s_1y_1,s_1z_1\leq s_2y_2,...,s_hz_h\leq tx_n$$   برای ادامه برهان به استقرا بر روی $h$ عمل می کنیم.\\ اگر $h=0$ باشد در این صورت در $F$ داریم $sx_m\leq tx_n$  بنابراین $m=n$ و $s\leq t$ در $S$، در نتیجه $sa_m\leq ta_m=ta_n$ . فرض  استقرا را در نظر می گیریم: \\فرض کنیم $ux_i=s_1z_1\leq s_2y_2,...,s_hy_h\leq tx_n$ نتیجه  دهد $ua_i...a_0\leq ta_n...a_0$ که $o\geq\max\{i,n\}$   . دوحالت در نظر می گیریم: \\
 حالت 1)
 $(y_1,z_1)=(x_j,a_jx_{j+1})$. ازاین که $sx_m\leq s_1y_1=s_1x_j$\\ ، داریم $s\leq s_1,m=j$ ،\\ از $ux_i=s_1z_1=s_1a_jx_{j+1}$ نتیجه می شود که $i=j+1$ و $u=s_1a_j$ . بنابراین $$sa_m...a_0=sa_ja_{j+1}...a_0\leq s_1a_ja_{j+1}...a_0=ua_{j+1}...a_0=ua_i...a_0\leq ta_n...a_0$$ و $o\geq\max\{i,n\}\geq\max\{m,n\}$ .\\
حالت 2)
$(y_1,z_1)=(a_jx_{j+1},x_j)$ .از این که $sx_m\leq s_1y_1=s_1a_jx_{j+1}$ داریم $m=j+1$ و $s\leq s_1a_j$ و از اینکه $ux_i=s_1z_1=s_1x_j$ داریم $i=j$ و $u=s_1$ بنابراین $s\leq ua_i$  . اکنون اگر $i=o$ آنگاه $s\leq ua_i\leq ta_n...a_0$ بنابراین $sa_m\leq ta_n...a_0a_m$ که $m>i=o\geq n$. اگر $i<o$ باشد بنابراین $o\geq m$ و 
\begin{displaymath}
sa_m...a_0\leq ua_ia_m...a_n=ua_ia_{i+1}...a_0\leq ta_n...a_0,
\end{displaymath}
که $o\geq \max \{m,n\}$ .\\
برعکس، فرض کنید $sa_m...a_w\leq ta_n...a_w$ که $w\geq\max\{m,n\}$ ، بنابراین
 \begin{eqnarray*}
sx_m\leq_{H}sa_mx_{m+1}\leq_{H}...\leq_{H}sa_m...a_wx_{w+1}\leq 
\end{eqnarray*}
\vspace*{-9mm}
\begin{eqnarray*}
 ta_n...a_wx_{w+1}\leq _{H}ta_n...a_{w-1}x_w\leq _{H}...\leq _{H}tx_n.
\end{eqnarray*}
واضح است که اگر $sa_m...a_w=ta_n...a_w$ برای $w\geq\max\{m,n\}$ برقرار باشد آنگاه $sx_m\leq _{H}tx_n\leq _{H}sx_m$ بنابراین $sx_m\equiv_{H}tx_n$ . از طرفی اگر  $sx_m\equiv_{H}tx_n$ برقرارباشد داریم $sx_m\leq _{H}tx_n\leq _{H}sx_m$  در نتیجه $sa_m...a_w\leq ta_n...a_w$ و $ta_n...a_v\leq sa_m..a_v$ که $v,w\geq\max\{m,n\}$. بدون کم شدن از کلیت فرض کنیم $v\geq w$ بنابراین 
\begin{displaymath}
sa_m...a_wa_{w+1}...a_v\leq ta_n...a_wa_{w+1}...a_v\leq sa_m...a_v,
\end{displaymath}
یعنی $sa_m...a_v=ta_n...a_v$ .\\
2.
$\beta _i:Sx_i\to F(\underline{a})$
را به صورت $(x_i)\beta _i=[x_i]$ تعریف می کنیم. اگر $i<j$  آنگاه داریم 
\begin{displaymath}
(x_i)\alpha _i...\alpha _{j-1}\beta _j=(a_ia_{j+1}...a_{j-1}x_j)\beta _j=[a_ia_{i+1}...a_{j-1}x_j]=[x_i]=(x_i)\beta _i.
\end{displaymath} 
اکنون فرض کنیم $P$ یک $-S$ سیستم مرتب باشد و برای هر $\gamma _i:Sx_i\to P,\hspace{5mm}i\in\mathbb{N}$ یک مجموعه از $-S$ همریختی  های مرتب چنان باشد که برای هر $i<j$ داشته باشیم\\ $\gamma _i=\alpha _i...\alpha _{j-1}\gamma _j$ .
\\ $\delta: F(\underline{a})\to P$ را به صورت  
  $[ux_i]\delta =(ux_i)\gamma _i$ تعریف می کنیم .
 \\ اگر $[ux_i]\leq[vx_j]$ پس $ux_i\leq _{H} vx_j$ بنا بر قسمت (1) $k\geq\max\{i,j\}$ ای موجود
 \vspace{12mm}
  است که$ua_i...a_k\leq va_j...a_k$
   و  
\begin{eqnarray*}
[ux_i]\delta &=& (ux_i)\gamma _i\\
&=& ux_i\alpha _i...\alpha _{k-1}\gamma _k\\
&=& (ua_j...a_{k-1}x_k)\gamma _k\\
&\leq & (va_j...a_{k-1}x_{k})\gamma _k\\
&=&(vx_j\alpha _i...\alpha _{k-1})\gamma _k\\
&=& (vx_j)\gamma _j =[vx_j]\delta .
\end{eqnarray*}
بنابراین $\delta$ خوش تعریف است و ترتیب را حفظ می کند. همچنین 
\begin{displaymath}
(s[ux_i])\delta =(ux_i)\gamma _i=(ux_i)\alpha _i...\alpha _{k-1}\gamma _k
=(ua_i...a_{k-1}x_k)\gamma _k
\end{displaymath} 
پس $\delta$ یک $-S$ همریختی  های مرتب خواهد بود بدیهی است که برای هر $i\in\mathbb{N}$ ، $\beta _i\delta =\gamma _i$ و با توجه به تعریف ، $\delta$ منحصر به فرد است بنابراین $F(\underline{a})$  یک حد مستقیم خواهد بود.\\
3.بنابر قضیه \ref{t.ham}، $F(\underline{a})$  یک $-S$ سیستم مرتب هموار قوی خواهد بود.
\end{enumerate}
 \end{prof}
 \end{lemma}
 \begin{proposition}\label{p.1}
 فرض کنید $S$ یک تکواره مرتب جزئی و $\underline{a}=(a_1,a_2,...)$ یک دنباله از عناصر $S$ و $n\in\mathbb{N}$  باشد. در این صورت شرایط زیر معادل اند:
 \begin{enumerate}
 \item
 برای هر $S$-سیستم چپ مانند $A$ و هر دنباله از عناصر $b_1,b_2,...$ از $A$ به طوری که برای هر $i\in\mathbb{N}$ ، $b_i=a_ib_{i+1}$ داریم  
 \begin{displaymath}
 b_n=Sb_{n+1}=...
 \end{displaymath}
 \item  
 برای هر $-S$ سیستم مرتب چپ مانند $A$ و هر دنباله از عناصر $b_1,b_2,...$ از $A$ به طوری که برای هر $i\in\mathbb{N}$ ، $b_i=a+ib_{i+1}$ داریم $$Sb_n=Sb_{n+1}=...$$  
\item 
در $F(\underline{a})$ داریم $$S[x_n]=S[x_{n+1}]=...$$ 
\item 
برای هر $i\geq n$ وجود دارد $j_i\geq i+1$ به طوری که $Sa_ia_{i+1}...a_{j_{i}}=Sa_{i+1}...a_{j_{i}}$ .\\
 
 \end{enumerate}
 \begin{prof}\\
 $1\Rightarrow 2$ بدیهی است .\\
 $2\Rightarrow 3$.
 در $S$-سیستم مرتب چپ $F(\underline{a})$  برای هر $i\in\mathbb{N}$ داریم $[x_i]=a_i[x_{i+1}]$ که $\underline{a}=(a_1,a_2,...)$  دنباله ای از عناصر $S$ و $[x_1],[x_2],...$ دنباله ای در $F(\underline{a})$ می باشد. بنابر قسمت 2 داریم $$S[x_n]=S[x_{n+1}]=...$$  \\
 $3\Rightarrow 4$.
 فرض کنیم $i\geq n$ بنابرفرض  $S[x_i]=S[x_{i+1}]$ . بنابراین  $[x_{i+1}]=u[x_i]$ که $u\in S$  و این نتیجه می دهد $x_{i+1}\equiv__H}ux_i$. بنابرلم  \ref{l.1}وجود دارد $j_i\geq i+1$ به طوری که $$a_{i+1}a_{i+2}...a_{j_i}=ua_ia_{i+1}a_{i+2}...a_{j_i}$$
 بنابراین
 \begin{eqnarray*}
 Sa_i...a_{j_i}&\subseteq & Sa_{i+1}...a_{j_i}\\
 &=& Sua_ia_{i+1}...a_{j_i}\\
 &\subseteq & Sa_i...a_{j_i},
 \end{eqnarray*}
 در نتیجه $Sa_i...a_{j_i}=Sa_{i+1}...a_{j_i}$ .\\
 $4\Rightarrow 1$.
 فرض کنیم $A$ یک $-S$ سیستم باشد و برای هر $i\in\mathbb{N}$، $b_i\in A$  طوری باشند که $b_i=a_ib_{i+1}$  بنابراین برای هر $i\geq n$ داریم
 \begin{eqnarray*}
 Sb_i&\subseteq & S{b_{i+1}}\\
 & =& Sa_{i+1}...a_{j_i}b_{j_{i}+1}\\
 & =& S{a_ia__{i+1}...a_{j_i}}b_{{j_i}+1}\\
 &=&Sb_i,
 \end{eqnarray*}
 یعنی برای هر $i\geq n$ داریم $Sb_i=Sb_{i+1}$ در نتیجه $$Sb_n=Sb_{n+1}=...$$ 
 \end{prof}
 \end{proposition}
\begin{note}
شرط $A^0$ : هر $-S$ سیستم مرتب چپ در شرط زنجیر افزایشی از زیر $-S$ سیستم های مرتب دوری چپ صدق می کند.
\begin{corollary}\label{c.1}
تکواره مرتب جزئی $S$ در شرط $A$ صدق می کند اگر وتنها اگر در شرط $A^0$ صدق کند.\\
\begin{prof}
فرض کنیم تکواره مرتب جزئی $S$ در شرط $A$ صدق کند. اکنون اگر $B$ یک $-S$ سیستم مرتب باشد و $$Sb_1\subseteq Sb_2\subseteq...$$ که $b_i\in B$ ، بدیهی است که $B$ یک $-S$ سیستم نیز خواهد بود بنابراین وجود دارد $n$ ای که   $$Sb_n=Sb_{n+1}=...$$ ، یعنی $B$ در شرط زنجیر صعودی از $-S$ سیستم های مرتب چپ اصلی صدق می کند.\\ برعکس،  فرض کنیم که تکواره مرتب جزئی $S$ در شرط $A^0$ صدق کند و $B$ یک $-S$ سیستم باشد. روی $B$ برای هر $b_1,b_2\in B$ ترتیب بدیهی $b_1\leq b_2\Leftrightarrow b_1=b_2$ را تعریف می کنیم بنابراین $B$ تبدیل به یک $-S$ سیستم مرتب می شود.\\ اکنون اگر $$Sb_1\subseteq Sb_2\subseteq...$$ یک زنجیر از سیستم های چپ اصلی باشند داریم $b_i=a_ib_{i+1}$ که $a_i\in S, b_i\in B$ . پس این زنجیری از  $-S$ سیستم های مرتب چپ اصلی در $B$ خواهد بود پس بنابه فرض وجود دارد $n\in \mathbb{N}$ به قسمی که $$Sb_n=sb_{n+1}=...$$  بنابر گزاره قبل برای $-S$ سیستم $B$ نیز خواهیم داشت  $$Sb_n=Sb_{n+1}=...$$ 
\end{prof}
\end{corollary}
\begin{definition}
$-S$ سیستم 
مرتب چپ $A$ را موضعا دوری گویند هرگاه برای هر زیر $-S$ سیستم مرتب از $A$ که متناهیا تولید شده باشد زیر مجموعه یک $-S$ سیستم دوری باشد.

\begin{lemma}\label{5.2}
برای تکواره مرتب جزئی $S$ شرایط زیر معادل هستند:
\begin{enumerate}
\item
 برای هر دنباله $\underline{a}=(a_1,a_2,...)$ از عناصر $S$ ، $F(\underline{a})$ دوری است.
 \item
 هر حد مستقیمی از یک دنباله از کپی هایی از $-S$ سیستم های مرتب چپ $S$ دوری است.
 \item
 $S$ در شرایط $A^0$ صدق می کند.
 \item
 هر $-S$ سیستم مرتب چپ موضعا دوری، دوری خواهد بود.
\end{enumerate}
\begin{prof}\\
$1\Rightarrow 2$.
بنابر لم \ref{l.1} $F(\underline{a})$  حد مستقیمی از کپی های $S$ است ، هر حد مستقیم دیگری از کپی های $S$ در حد یکریختی منحصر به فرد است بنابراین چون $F(\underline{a})$ دوری است پس هر حد مستقیم دیگر نیز دوری خواهد بود. \\
$2\Rightarrow 1$.
بنابر لم \ref{l.1} $F(\underline{a})$ حد مستقیمی از کپی های $S$ است، بنابراین دوری خواهد شد.\\
$1\Rightarrow 3$.
فرض کنید $A$ یک $-S$ سیستم مرتب است و نیز فرض کنید $$Sb_1\subseteq Sb_2\subseteq ...$$ یک زنجیر افزایشی از زیر $-S$ سیستم های مرتب دوری از $A$ باشد، برای هر $i\in\mathbb{N}$ داریم $b_i=a_ib_{i+1}$ . بنابر گزاره \ref{p.1} در $F(\underline{a})$  داریم $$S[x_1]\subseteq S[x_2]\subseteq ...$$  
چون $F(\underline{a})$  دوری است پس $F(\underline{a})=\langle[ux_n]\rangle$  که $u\in S$ ، بنابراین 
\begin{displaymath}
S[x_1]\subseteq S[x_2]\subseteq ...\subseteq S[ux_n].
\end{displaymath}
اکنون برای هر $j\geq n$ داریم 
\begin{displaymath}
S[x_j]\subseteq Su[x_n]\subseteq S[x_n]\subseteq S[x_j],
\end{displaymath} 
یعنی $$S[x_n]=S[x_{n+1}]=...$$ بنابر گزاره \ref{p.1} داریم $$Sb_n=Sb_{n+1}=...$$ یعنی شرط $A^0$ برقرار است. \\
$3\Rightarrow 4$.
فرض کنید $S$ در شرط $A^0$ صدق کند و $B$ یک $-S$ سیستم مرتب موضعا دوری باشد و $b_1\in B$ . اگر $B$ دوری نباشد آنگاه $Sb_1\subset B$ بنابراین وجود دارد $b_1^{\prime}\notin Sb_1$ . چون $B$ موضعا دوری است بنابراین $Sb_1\cup Sb_1^{\prime}\subseteq Sb_2$ که $b_2\in B$ . بدیهی است که $Sb_1\subset Sb_2$ . با ادامه این روند یک زنجیر افزایشی نامتناهی از زیر $S$-سیستم های مرتب دوری از $B$ بدست می آوریم که متناقض با شرط $A^0$ خواهد بود، در نتیجه $B$ دوری است.\\
$ 4\Rightarrow 1$.
در $F(\underline{a})$ داریم $$S[x_1]\subseteq S[x_2]\subseteq ...$$ بنابراین $F(\underline{a})=\bigcup _{i\in\mathbb{N}}S[x_i]$  پس هر زیر $-S$ سیستم مرتب متناهیا تولید شده در $F(\underline{a})$ زیر مجموعه یک $S[x_n]$ خواهد بود که چون $S[x_n]$ دوری است پس بنابه فرض $F(\underline{a})$ دوری است. 
\end{prof}
\end{lemma}
\begin{lemma}\label{l.2}
فرض کنید $S$ یک تکواره مرتب  جزئی باشد به طوری که هر $-S$ سیستم مرتب چپ $F(\underline{a})$  تصویری باشد. دراین صورت $S$ در شرط $A^0$ صدق می کند.\\
\begin{prof}
داریم  $F(\underline{a})=\bigcup _{i\in\mathbb{N}}S[x_i]$ که $$S[x_1]\subseteq S[x_2]\subseteq ...$$ یک زنجیر افزایشی است. اکنون اگر $F(\underline{a})$ تصویری باشد آنگاه دوری خواهد بود در نتیجه بنابر لم قبل $S$ در شرط $A^0$ صدق خواهد کرد.  
\end{prof}
\end{lemma}
\begin{corollary}
فرض کنید $S$ یک تکواره مرتب باشد که هر $-S$ سیستم مرتب هموار قوی آن تصویری باشد. دراین صورت $S$ در شرط $A^0$ صدق می کند.\\
\begin{prof}
بنابر لم \ref{l.1} $F(\underline{a})$  هموار قوی است اکنون اگر $F(\underline{a})$  نیز تصویری باشد بنابرلم فوق $S$  در شرط $A^0$ صدق خواهد کرد.
\end{prof}
\end{corollary}
ادامه بحث به صورت اساسی در \cite{J.B.F} بحث شده است.
\begin{lemma}\label{l.3}
فرض کنید $S$ یک تکواره مرتب جزئی باشد به طوری که هر $-S$ سیستم مرتب چپ $F(\underline{a})$ تصویری باشد. دراین صورت $S$  در شرط $M_{R}$ صدق می کند.\\
\begin{prof}
فرض کنید $$a_1S\supseteq b_1S\supseteq b_2S\supseteq ...$$ یک دنباله کاهشی از ایده آل های راست اصلی $S$ باشد. پس برای هر $i\geq2$  وجود دارد $a_i\in S$ که  $b_i=b_{i-1}a_{i+1}$ و $b_0=a_1$ در این صورت داریم 
\begin{displaymath}
b_1=a_1a_2, b_2=b_1a_3=a_1a_2a_3,...
\end{displaymath}
فرض کنید  $\underline{a}=(a_1,a_2,...)$ و به علاوه فرض کنید $F(\underline{a})$ ، $-S$ سیستم مرتب چپی باشد که توسط لم \ref{l.1} تعریف می شود .  همچنین فرض کنید $I:F(\underline{a})\to F(\underline{a})$ نگاشت همانی و $\alpha :F\to F(\underline{a})$ ، $S$-همریختی مرتب کانونی باشد. چون $F(\underline{a})$ تصویری است، $-S$ همریختی  مرتب $\gamma :F(\underline{a})\to F$ وجود دارد که نمودار زیر را جابه جا می کند.
\input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=13.5cm
\epsfysize=12.5cm
\centerline{\hspace{17.5cm}\epsffile{diag1.eps}}
\vspace*{-8cm}
فرض کنید برای هر $i\in\mathbb{N}$  داشته باشیم $[x_i]\gamma =c_ix_{j_{(i)}}$ . در این صورت برای هر $i\geq 2$ داریم 
\begin{displaymath}
c_1x_{j_{(1)}}=[x_1]\gamma =(a_1...a_{i-1}[x_i])\gamma =a_1...a_{i-1}c_ix_{j_{(i)}},
\end{displaymath}
در نتیجه $j(i)=j(1)=j$ و برای هر $i$،     $c_1=a_1...a_{i-1}c_i$   
پس برای $i+2$  داریم $c_1=a_1...a_ia_{i+1}c_{i+2}$ بنابراین $c_1S\subseteq a_1...a_ia_{i+1}S$ پس $c_1S\subseteq b_iS$ برای هر $i\in\mathbb{N}$. حال داریم 
\begin{displaymath}
[x_1]=[x_1]I=[x_1]\gamma\alpha =(c_1x_j)\alpha =[c_1x_j].
\end{displaymath}
بنابر لم  \ref{l.1} 
داریم
\begin{displaymath}
a_1a_2...a_n=c_1a_ja_{j+1}...a_n
\end{displaymath} 
به ازای $n\geq j$ . بنابراین 
\begin{displaymath}
b_{n-1}S=a_1...a_nS\subseteq c_1S\subseteq b_nS \subseteq b_{n-1}S,
\end{displaymath}
پس $$b_{n-1}S=b_nS=...$$ و زنجیر کاهشی پایان می پذیرد یعنی $S$ در شرط $M_{R}$ صدق می کند.
\end{prof}
\end{lemma}
\begin{corollary}
فرض کنید $S$ تکواره مرتب جزئی باشد که هر $-S$ سیستم مرتب هموار قوی چپ تصویری باشد. در این صورت $S$ در شرط $M_{R}$ صدق می کند.\\
\begin{prof}
بنابر لم \ref{l.1}  $F(\underline{a})$ یک $-S$ سیستم مرتب چپ هموار قوی است پس $F(\underline{a})$  تصویری است بنابر لم فوق $S$ در شرط $M_{R}$ صدق می کند.
\end{corollary}
\begin{lemma}\label{lem}
فرض کنید $S$ یک تکواره مرتب جزئی و $\rho$ یک همنهشتی مرتب هموار قوی چپ روی $S$ باشد به طوری که برای $B=[1]_{\rho}$،  مجموعه ی $\pounds=\{dS :d\in B\}$  تحت رابطه زیر مجموعه بودن عنصر مینیمال داشته باشد. در این صورت $S/\rho$ تصویری خواهد بود.\\
\begin{prof}
بنابر لم \ref{T.H.GH} $S/\rho$ به عنوان $-S$ سیستم$-S$ سیستم چپ، هموار قوی است. فرض کنید $c\in B$ طوری باشد که $cS$ عنصر مینیمال $\pounds$  باشد. ابتدا نشان می دهیم که $c$ خودتوان خواهد بود. چون $c\in B$ بنابراین $c\rho c^2$ بنابر نتیجه 4 از \cite{J.B.F} داریم $cu=c^2u$ و $1puv$ که $u,v\in S$ . بنابراین $c^2uS\subseteq cS$ اما $cS$  عنصر مینیمال $\pounds$ است بنابراین $c^2uS=cS$ پس $c=c^2ux$ که $x\in S$ و نیز $$c^2=c.c=c.c^2ux=c.cux=c^2ux=c$ پس $c$ عنصر خودتوان است. اکنون $\theta :S/\rho \to Sc$  را به صورت $[u]\theta = uc$ تعریف می کنیم. اگر $[u]\leq[v]$ آنگاه بنابه نتیجه ی \ref{c.if} چون $S/\rho$ هموار قوی است پس $w\in S$ وجود دارد به طوری که  $uw\leq vw$ و $1\rho w$ .  چون $w\in B$ پس $cS\subseteq wS$ بنابراین $c=wt$ که $t\in S$ . درنتیجه $uwt\leq vwt$ یعنی $uc \leq vc$ بنابراین $\theta$ حافظ ترتیب است.\\ اگر $[u]=[v]$ آنگاه $[u]\leq [v]$ و $[v]\leq [u]$ .  باتوجه به مطالب بالا داریم  $vc\leq uc$ و $uc\leq vc$ پس $uc=vc$ یعنی $\theta$ خوش تعریف است. $\theta$ همچنین ضرب $-S$ سیستم را حفظ می کند زیرا 
\begin{displaymath}
(s[u])\theta = [su]\theta = (su)c=s(uc)=s([u]\theta)
\end{displaymath}

برای بررسی یک به یک بودن، فرض کنیم $sc\leq tc$ داریم
\begin{displaymath}
[s]=s[1]=s[c]=[sc]\leq [tc]=t[c]=t[1]=[t],
\end{displaymath} 
پس $[s]\leq[t]$ . مشابها اگر $tc\leq sc$ آنگاه $[t]\leq [s]$ . پس اگر $tc=sc$ آنگاه $[t]=[s]$ . برای هر $uc\in Sc$ داریم $[u]\in S/\rho$ که $[u]\theta =uc$ یعنی $\theta$ پوشاست.\\ همچنین $\theta ^{-1}:Sc \to S/\rho$ که $(uc)\theta ^{-1}=[u]$ حافظ ترتیب است زیرا اگر $uc\leq vc$ آنگاه $u\leq v$ پس $[u]\leq [v]$ . بنابراین $\theta$ یکریختی $-S$ سیستم مرتب است . چون $c$ خودتوان است بنابر گزاره \ref{p.mo}، $Sc$ و درنتیجه $S/\rho$ تصویری است.
\end{prof}
\end{lemma}
\begin{theorem}\label{T.1} 
اگر تکواره مرتب جزئی $S$ در شرط $M_{R}$ صدق کند آنگاه هر $-S$ سیستم مرتب هموار قوی دوری، تصویری است. \\
\begin{prof}
فرض کنید $C$ یک $-S$ سیستم مرتب هموار قوی دوری باشد بنابرقضیه \ref{t.30}،$C\cong S/\rho$ که $\rho$ یک همنهشتی هموار قوی روی $S$ است. فرض کنیم $B=[1]$ چون $S$ در شرط $M_{R}$ صدق می کند بنابراین مجموعه $\{dS :d\in B\}$ عنصر مینیمال مانند $cS$ خواهد داشت پس بنابر لم قبل $S/\rho$ و در نتیجه $C$ تصویری خواهد بود .
\end{prof}
\end{theorem}
 %\end{theorem}
 \begin{lemma}\label{l.4}
فرض کنید  $A$یک $-S$ سیستم مرتب چپ باشد که در شرط زنجیر افزایشی برای زیر $-S$ سیستم های مرتب دوری صدق می کند. اگر $X$ یک مجموعه مولد برای $A$ باشد آنگاه $X$ شامل مجموعه مولد مستقل برای $A$ خواهد بود.\\
\begin{prof}
فرض کنید $X^\prime$ عبارت از عناصر اساسی در $X$ باشد. اگر $x\in X$ آنگاه $Sx^{\prime}$ از زیر $-S$ سیستمهای مرتب دوری $A$ بوده و $x^\prime\in X^\prime$ موجود است که $Sx\subseteq Sx^\prime$ بنابراین $x=sx^\prime$ که $s\in S$ . بنابراین $X^\prime$ عناصرش اساسی است و $A$ را تولید می کند. اکنون اگر $x,x^\prime\in X^\prime$ و $x=sx^\prime$ آنگاه $Sx\subset Sx^\prime$ . با توجه به تعریف اساسی بودن $x$ داریم $Sx=Sx^\prime$ پس $x^\prime =tx$ که $t\in S$ .\\ روی $X^\prime$ رابطه $\sim$ را به صورت $x\sim x^\prime\iff x=sx^\prime$ که $s\in S$ تعریف می کنیم. به آسانی می توان دید که $\sim$ یک رابطه هم ارزی روی $X^\prime$ است. اینک فرض کنیم $X_1$ عبارت باشد از نماینده های این رابطه هم ارزی، بنابراین عناصر آن مستقل هستند از طرفی اگر $x\in X^\prime$ آنگاه $x\sim x^\prime$  که $x^\prime\in X_1$  یعنی $x=tx^\prime$ پس $X_1$ ، $A$ را تولید می کند و $X_1$ شرایط مورد نظر را دارد.
\end{prof}
\end{lemma}
\begin{lemma}
فرض کنید $A$ یک $S$-سیستم مرتب چپ هموار قوی باشد که در شرط زنجیر افزایشی برای زیر $-S$ سیستم های مرتب دوری صدق کند. اگر $A$ غیر قابل تجزیه باشد آنگاه دوری است.\\
\begin{prof}
بنابر لم قبل $A$ یک مجموعه مولد مستقل مانند $X$ دارد. فرض کنید $x\in X$ و $a\in A$ و $Sa$ زیر $-S$ سیستم دوری ماکزیمال از $A$ باشد که $Sx\subseteq Sa$ . قرار می دهیم $X^\prime =\{a\}\cup Y$ که $Y=X\setminus \{y\in X : y\in Sa\}$ .  $X^\prime$ مستقل است و $A$ را تولید می کند.\\ ادعا می کنیم $X^\prime =\{a\}$ . اگر $X^\prime$ شامل عنصر دیگری غیر از $a$ باشد آنگاه چون $A$  تجریه ناپذیر است داریم $Sa\cap SX_1\neq \emptyset$  که $X_1=X^\prime\setminus \{a\}$ . بنابراین وجود دارد $y\in X_1$ و $s,t\in S$ به طوری که  $sa=ty$ . $A$ هموار قوی است بنابر نتیجه 4 از \cite{J.B.F} وجود دارد $z\in A$ و $t^\prime,s^\prime \in S$ به طوری که $a=s^\prime z$ و $y=t^\prime z$ و $ss^\prime=tt^\prime$ و بنابراین $Sa\subseteq Sz$ . \\چون $Sa$ ماکسیمال است پس $Sa=Sz$ در نتیجه $z=s_1a$ که $s_1\in S$. پس $y=t^\prime s_1a$  که متناقض با مستقل بودن $X^\prime$ است بنابراین $X^\prime =\{a\}$ و $A=Sa$ یعنی $A$ دوری است.  
\end{prof}
\end{lemma}
\begin{corollary}\label{CO}
اگر $S$ در شرط $A^0$ صدق کند آنگاه هر $-S$ سیستم هموار قوی چپ اجتماع مجزایی از $-S$ سیستم های مرتب چپ هموار قوی دوری است.\\
\begin{prof}
اگر $A$ یک  $-S$سیستم مرتب چپ هموار قوی باشد آنگاه $A=\bigcup_{i\in I} A_i$ که $A_i$ ها غیر قابل تجزیه و هموار قوی هستند. بنابر لم فوق $A_i$ ها دوری می باشند پس $A=\bigcup_{i\in I} A_i$  که $A_i$ ها $-S$ سیستم های مرتب چپ هموار قوی دوری هستند.
\end{prof}
\end{corollary}
حال می توانیم مهمترین قضیه ی این فصل را بیان کنیم.
\begin{theorem}\label{te}
اگر $S$ تکواره مرتب جزئی باشد آنگاه شرایط زیر معادل اند:
\begin{enumerate}
\item
هر $-S$ سیستم مرتب چپ هموار قوی، تصویری است.
\item
هر $-S$ سیستم به شکل $F(\underline{a})$ تصویری است. 
\item
$S$ در شرط های $A^0$ و $M_{R}$ صدق می کند.
\item
$S$ در شرط های $A$ و $M_{R}$ صدق می کند.
\item
هر $-S$ سیستم چپ هموار قوی تصویری است.\\
\begin{prof}
$1\Rightarrow 2$ 
بنابرلم \ref{l.1}  $F(\underline{a})$  یک $-S$ سیستم مرتب چپ هموار قوی است پس $F(\underline{a})$  تصویری است.\\
$2\Rightarrow 3$.
$-S$ سیستم $F(\underline{a})$ تصویری است بنابراین بنابر لم های \ref{l.2}  و \ref{l.3}  در شرط های $A^0$  و $M_{R}$ صدق می کند.\\
$3\Rightarrow 1$.
اگر $S$ در شرط $A^0$ صدق کند بنابر نتیجه فوق هر $-S$ سیستم چپ هموار قوی را میتوان به صورت اجتماع مجزایی از $-S$ سیستمهای مرتب چپ هموار قوی دوری نوشت، بنابر قضیه \ref{T.1} چون $S$ در شرط $M_{R}$ صدق می کند پس هر $-S$ سیستم هموار قوی دوری ، تصویری خواهد بود در نتیجه $A=\bigcup_{i\in I} A_i$ که $A_i$ همگی تصویری هستند پس $A$ نیز تصویری خواهد بود.\\
$3\Rightarrow4$. 
باتوجه به نتیجه \ref{c.1} بدیهی است.\\
$4\Rightarrow 5$.
باتوجه به قضیه \ref{T.71} بدیهی است.
\end{enumerate}
\end{prof}
\end{theorem}

\chapter{تمامیت مرتب روی تکواره های مرتب جزئی}
\thispagestyle{empty}
در این فصل مفهوم تمامیت مرتب برای تکواره های مرتب جزئی بیان می شود و بررسی می کنیم که تحت چه شرایطی تکواره مرتب جزئی $S$ کامل می شود و در پایان شرایطی را که باعث معادل شدن مفاهیم تصویری بودن، هموار قوی بودن و تمامیت مرتب بودن می شود را بررسی می کنیم.
\begin{definition}
تکواره مرتب جزئی $S$ را تمامیت مرتب \LTRfootnote{Po perfect} چپ  گوییم هرگاه هر $-S$ سیستم$-S$ سیستم مرتب چپ یک پوشش تصویری داشته باشد.
\begin{lemma}\label{le.1}
هر پوشش از یک $-S$ سیستم مرتب دوری، دوری خواهد بود.\\
\begin{prof}
فرض کنید $A=Sa$ یک $-S$ سیستم مرتب دوری باشد و $\beta:B\to A$ یک $-S$ همریختی  مرتب پوشای هم اساسی باشد. چون $\beta$ پوشاست پس وجود دارد $b\in B$ به قسمی که $(b)\beta=a$ .\\ اکنون  $\beta|_{Sb}:Sb\to Sa$ که $(rb)\beta =ra$ یک $-S$ همریختی  مرتب پوشاست. چون $\beta$ \\هم اساسی است پس باید $B=Sb$ یعنی $B$ دوری خواهد بود.
\end{prof}
\end{lemma}
اکنون به دنبال پیدا کردن شرایطی هستیم که تحت آن ها $-S$ سیستم مرتب دوری دارای پوشش تصویری هستند.
\begin{definition}
زیر تکواره مرتب $P$  از تکواره مرتب $S$، را یکانی مرتب \LTRfootnote{Po unitary} راست گویند هرگاه برای هر\\ $p,a_1,b_1,...,a_n,b_n,q\in P$ و $s_1,...,s_n\in S$ ، اگر 
\begin{displaymath}
p\leq s_1a_1,\quad s_1b_1\leq s_2a_2,...,s_nb_n\leq q
\end{displaymath}
آنگاه $s_1,s_2,...,s_n\in P$.
\begin{lemma}\label{le.2}
فرض کنید که $S$ یک تکواره مرتب جزئی باشد اگر $P$ یک زیر تکواره یکانی مرتب راست باشد آنگاه $P$ زیر تکواره یکانی راست نیز خواهد بود.\\
\begin{prof}
فرض کنید که $a,ba\in P$  داریم 
\begin{displaymath}
ba\leq b.a,\quad b.a\leq ba ,\quad b\in S,\quad ba,a\in P,
\end{displaymath}
چون $P$ زیر تکواره یکانی مرتب راست از $S$ است پس $b\in P$.
\end{prof}
\end{lemma}
\begin{lemma}\label{le.3}
فرض کنید $P$ یک زیر تکواره یکانی راست از تکواره $S$ باشد، برای هر $a,b\in P$ داریم 
\begin{displaymath}
Pa\subseteq Pb\iff Sa\subseteq Sb
\end{displaymath}
\begin{prof}
برای هر $a,b\in P$ فرض کنید $Pa\subseteq Pb$ پس $a=rb$ که $r\in P$ . بنابراین $Sa=Srb\subseteq Sb$ .\\ برعکس، برای هر $a,b\in P$ فرض کنید $Sa\subseteq Sb$ بنابراین $a=sb$ که $s\in S$ اما چون $P$ یکانی راست است پس $s\in P$ و $Pa=Psb\subseteq Pb$ . 
\end{prof}
\end{lemma}
در مثال بعد نشان می دهیم هر زیر تکواره یکانی راست،  لزوما یکانی مرتب راست نیست.
\begin{example}
مجموعه ی $\mathbb{N}^0=\{0,1,2,...\}$  را تحت عمل + و با ترتیب معمولی در نظر بگیرید. در این صورت $E=\{2n :n\in\mathbb{N}^0\}$ یک زیر تکواره یکانی راست است چون اگر $a,b+a\in E$ آنگاه $b\in E$. اما $E$ زیر تکواره مرتب یکانی راست نیست زیرا $$0,0,0,2\in E,1\in\mathbb{N}^0,0\leq 1+0,1+0\leq 2$$ ولی $1\notin E$ .  
\end{example}
\begin{lemma}\label{le.4}
فرض کنید $S$ یک تکواره مرتب جزئی و $P \subseteq S$ باشد. در این صورت برای یک همنهشتی مرتب چپ روی $S$،  $P=[1]$  اگر و تنها اگر $P$ یک زیر تکواره یکانی مرتب روی $S$ باشد.\\
\begin{prof}
فرض کنید $\rho$ یک همنهشتی مرتب چپ روی $S$ باشد و $P=[1]$. در اینصورت  $P$ یک زیر تکواره مرتب از $S$ است زیرا اگر $p_1,p_2\in P$ آنگاه $$p_1\rho  1\Rightarrow p_1p_2\rho p_1\cdot 1\Rightarrow p_1p_2\rho p_1\cdot 1\rho p_1\rho 1\Rightarrow p_1p_2\in P.$$  
فرض کنید $p,a_1,b_1,...,a_n,b_n,q\in P$ و $s_1,...,s_n\in S$ طوری باشند که $$p\leq s_1a_1,s_1b_1\leq s_2a_2,...,s_nb_n\leq q.$$ چون $\rho$  یک همنهشتی مرتب چپ است بنابراین در $S/\rho$ داریم
\begin{eqnarray*}
[1]=[p]&\leq &[s_1a_1]=s_1[a_1]=[s_1]=s_1[b_1]=[s_1b_1]\\
&\leq & [s_2a_2]=....=[s_nb_n]\\
&\leq & [q]=[1],
\end{eqnarray*}
درنتیجه 
\begin{eqnarray*}
[1]\leq [s_1]\leq[s_2]\leq ...\leq[s_n]\leq[1]
\end{eqnarray*}
و بنابراین 
\begin{displaymath}
[1]=[s_1]=...=[s_n]=[1]
\end{displaymath} 
پس داریم
\begin{displaymath}
s_1,s_2,...,s_n\in P.
\end{displaymath}
برعکس، فرض کنیم $P$ یک زیر تکواره یکانی  مرتب از $S$ باشد . همنهشتی مرتب $\rho$ را به صورت $\equiv_{P\times P}$ تعریف می کنیم پس $P\times P\subseteq \rho$ . چون $1\in P$  بنابراین برای هر $x\in P$، 
\begin{equation*}
(x,1)\in P\times P\Rightarrow(x,1)\in\rho\Rightarrow x\rho 1\Rightarrow P\subseteq [1].
\end{equation*}
اکنون فرض کنیم $w\in [1]$ پس $w\equiv_{P\times P} 1$ یا $w\leq_{P\times P} 1$ و $1\leq_{P\times P}w$ . بنابراین 
\begin{displaymath}
(u_1,v_1),...(u_n,v_n),(x_1,y_1),...,(x_my_m)\in P\times P
\end{displaymath} 
 و $s_1,s_2,...,s_n,t_1,t_2,...,t_m\in S$ چنان موجودند که 
 \begin{displaymath}
 1\leq s_1u_1,s_1v_1\leq s_2u_2,..,s_nv_n\leq w=w\cdot 1 
 \end{displaymath}
 و
 \begin{displaymath}
 w\cdot 1=w\leq t_1x_1,t_1y_1\leq t_2x_2,...,t_my_m\leq 1.
 \end{displaymath}
 چون $P$ یکانی مرتب چپ است بنابراین داریم $w\in P$ و این یعنی $[1]\subseteq P$ در نتیجه $P=[1]$ و برهان کامل می شود.
\end{prof}
 \end{lemma}
 \begin{theorem}\label{th.1}
 فرض کنید $\rho$ یک همنهشتی مرتب چپ  روی تکواره مرتب جزئی $S$ باشد. $-S$ سیستم مرتب دوری $S/\rho$ پوشش تصویری دارد اگر و تنها اگر زیر تکواره مرتب $R=[1]$ شامل یک ایده آل چپ مینیمال تولید شده توسط یک عنصر خودتوان باشد.\\
 \begin{prof}
 فرض کنید که $-S$ سیستم دوری $S/\rho$ یک پوشش تصویری دارد بنابر لم \ref{le.1} این پوشش تصویری دوری است . فرض کنید $\alpha :Se\to S/\rho$  یک  $-S$ همریختی  مرتب هم اساسی باشد چون $[1]\in S/\rho $ بنابراین وجود دارد $u\in S$ به طوری که $(ue)\alpha =[1]=u(e)\alpha$ .  \\اکنون  $\alpha|_{Sue}:Sue\to S/\rho$ که $(rue)\alpha=[r]$ نیز پوشاست چون $\alpha$ هم اساسی است بنابراین $Sue=Se$. در نتیجه $e=que$ که $q\in S$ . فرض کنید $p=queq$ در این صورت داریم 
 \begin{displaymath}
 ep=equeq=e\cdot eq=eq=queq=p,
 \end{displaymath} 
 و 
 \begin{displaymath}
 pue=quequq=e\cdot e=e
 \end{displaymath}
 یعنی $p\in S$ موجود است که $p=ep$ . \\$up$ خودتوان است زیرا 
 \begin{displaymath}
 (up)^2=upup=upuep=uep=up.
 \end{displaymath}
  همچنین
 \begin{displaymath}
 [1]=(ue)\alpha =(upue)\alpha =up(ue)\alpha =up[1]=[up],
 \end{displaymath}
 بنابراین $up\in R$. \\ اکنون فرض کنید $Rw\subseteq Rup$ که $w\in R$ بنابراین $w=vup$ که $v\in R$ و $$(vue)\alpha=v(ue)\alpha =v[1]=[v].$$  بنابر هم اساسی بودن $\alpha$ داریم $Svue=Se$ . در نتیجه داریم $$Sw=Svup=Svuep=Sep=Sp$$ از طرفی $$Sp=Sw=Svup\subseteq Sup\subseteq Sp$$ 
 پس بنابراین $Sw=Sup$ . \\
 بنابرلم های \ref{le.2} و \ref{le.3} داریم $Rw=Rup$ یعنی $Rup$ یک ایده آل چپ مینیمال در $R$ می باشد که $up$ خودتوان است.\\ برعکس، فرض کنید  که $R=[1]$ شامل ایده آل چپ $Re$ می باشد که $e\in E(R)$ .\\ $\theta :Se\to S/\rho$ را به صورت $(se)\theta=[s]$ تعریف می کنیم. اگر $se\leq te$ آنگاه 
 \begin{displaymath}
 [s]=s[1]=s[e]=[se]\leq[te]=t[e]=t[1]=[t].
 \end{displaymath}
 بنابراین $\theta$ خوش تعریف است و ترتیب را حفظ می کند. پوشا بودن $\theta$ هم بدیهی است زیرا $(e)\theta=[1]$ و $$(rse)\theta=[rs]=r[s]=r(se)\theta.$$ 
 بنابراین $\theta$، $-S$ همریختی  مرتب و پوشاست. اگر $Spe\subseteq Se$ و $\theta|_{Spe} :Spe\to S/\rho$ پوشا باشد آنگاه $rpe\in Spe$ چنان موجود است که $(rpe)\theta=[1]$ . از طرفی $(rpe)\theta=[rp]$ پس
 \begin{displaymath}
 [rp]=[1]\Rightarrow Rrpe=Re\Rightarrow Srpe=Se\Rightarrow Se=Srpe\subseteq
 Spe\subseteq Se\Rightarrow Spe=Se
 \end{displaymath}
 یعنی $\theta$ هم اساسی است.
 \end{prof}
  \end{theorem}
  \begin{note}
شرط $D^0$ : هر زیر تکواره یکانی مرتب از تکواره مرتب $S$ شامل یک ایده آل چپ مینیمال تولید شده توسط یک عنصر خودتوان می باشد.
  \begin{corollary}\label{co.1}
  تکواره مرتب جزئی $S$ در شرط $D^0$ صدق می کند اگر و تنها اگر هر $-S$ سیستم مرتب چپ دوری پوشش تصویری داشته باشد.\\
 \begin{prof}
 باتوجه به لم \ref{le.4} و قضیه \ref{th.1} و تعریف $D^0$  بدیهی است.
\end{prof}
\end{corollary}
\begin{lemma}\label{le.5}
اگر $-S$ سیستم مرتب چپ $A$ اجتماعی از یک زنجیر اکیدا صعودی نامتناهی از زیر $-S$ سیستم های مرتب دوری از $A$ باشد آنگاه $A$ پوشش تصویری ندارد.\\
\begin{prof}
فرض کنید $A=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}Sa_n$  و $$Sa_1\subset Sa_2\subset ...\subset Sa_n\subset ...$$ یک زنجیر اکیدا صعودی از زیر $S$-سیستم های مرتب دوری از $A$ باشد. همچنین فرض کنید $A$ یک پوشش تصویری $P$ همراه با $-S$ همریختی  مرتب پوشا $\alpha :P\to A$باشد. $P$ تصویری است بنابراین $P=\bigcup_{i\in I}P_i$ که $P_i=Se_i$ و $e_i\in E(S)$ . \\
اگر $|I|=1$ ، بافرض $I=\{1\}$ آنگاه اگر $(e_1)\alpha\in Sa_m$ در نتیجه $Im \alpha\subseteq Sa_m$ بنابراین $\alpha$ پوشا نیست.\\ اگر $|I|>1$ ، با فرض $i\in I$ آنگاه اگر $(e_i)\alpha \in Sa_n$ درنتیجه  $p_i\alpha\subseteq Sa_n$ .  \\اکنون $\alpha|_{P\setminus P_i$ باز هم یک $S$-همریختی پوشا خواهد بود که متناقض با هم اساسی بودن $\alpha$ است بنابراین $A$ نمی تواند پوشش تصویری داشته باشد.
\end{prof}
\end{lemma}
\begin{theorem}\label{T.T}
فرض کنید $S$  یک تکواره مرتب جزئی باشد. $S$ تمامیت مرتب چپ است اگر و تنها اگر $S$ در شرط های $A^0$ و $D^0$ صدق کند.\\
\begin{prof}
فرض کنید $S$  تمامیت مرتب چپ باشد بنابر لم \ref{le.5} و  نتیجه \ref{co.1} ، $S$  در شرط های $A^0$ و $D^0$ صدق می کند.\\ برعکس فرض کنید $S$  در شرط های $A^0$ و $D^0$ صدق کند. بنابر نتیجه \ref{co.1} هر $S$-سیستم مرتب دوری پوشش تصویری دارد. \\اکنون فرض کنید $A$ یک $-S$ سیستم مرتب دلخواه باشد. بنابر لم \ref{l.4}، $A$ یک مجموعه مولد مستقل مانند $X$ دارد. همچنین برای هر  $x\in X$ ، $Sx$ یک پوشش تصویری دوری دارد. فرض کنیم $\alpha_{x} :Se_x\to Sx$  که $e_x\in E(S)$   یک $-S$ همریختی  مرتب پوشا و هم اساسی باشد. هچنین فرض کنیم $G=\bigcup_{\bar{x}\in X}Se_x\bar{x}$  یک $S$-سیستم مرتب چپ آزاد روی $\bar{X}=\{\bar{x} : x\in X\}$ باشد.\\ $\alpha :G\to A$ را به صورت $(se_x\bar{x})\alpha =(se_x)\alpha_x$  تعریف می کنیم. برای هر $a\in A$ داریم 
\begin{displaymath}
a=sx\Rightarrow a\in Sx\Rightarrow \exists\hspace{1mm} te_x\in Se_x ;\hspace{3mm}\alpha _x(te_x)=a,
\end{displaymath}
یعنی $\alpha$ پوشاست. بنابراین $\alpha$ یک $-S$ همریختی  پوشاست.\\ به برهان خلف فرض کنیم $\alpha$ هم اساسی نباشد در این صورت وجود دارد $y\in X$ و\\ ایده آل چپ محض $I$ از $Se_y$ به طوری که $\alpha :\bigcup _{x\in X\setminus \{y\}} Se_x\bar{x}\bigcup I\bar{y}\to A$  پوشا باشد. با فرض $y\in A$ دو حالت در نظر می گیریم:
\begin{enumerate}
\item
وجود دارد  $(ue_x\bar{x})\in Se_x\bar{x}$ به طوری که $y=(ue_x\bar{x})\alpha=(ue_x)\alpha_x\in Sx$ که متناقض با استقلال عناصر $X$ است.
\item
وجود دارد$(pe_y\bar{y})\in I\bar{y}$      به طوری که $y=(pe_y\bar{y})\alpha =(pe_y)\alpha_y$ بنابراین\\ $\alpha_y :I\to S
_y$ پوشا خواهد شد که با هم اساسی بودن $a_y$ در تضاد است. در نتیجه $\alpha$ هم اساسی است. 
\end{enumerate}
\end{prof}
\end{theorem}
در این قسمت شرط $K$ را برای تکواره مرتب $S$ در نظر می گیریم، کیلپ \LTRfootnote{Kilp} این شرط را در \cite{M.K.O} بررسی کرده است. در \cite{perf} ثابت می شود که تکواره مرتب $S$، کامل چپ است اگر و فقط اگر در شرط های $A$ و $K$ صدق کند.
\begin{lemma}\label{LE.5}
فرض کنید $\rho$ یک همنهشتی چپ روی $S$  و $S/\rho$ هموار قوی و $P=[1]$ باشد آنگاه $P$ زیر تکواره مرتب راست متلاشی شده خواهد بود.\\
\begin{prof}
به لم های 2.2 و 9.2 از \cite{M.K.O} مراجعه کنید.
\end{lemma}
\begin{lemma}
فرض کنید $P\subseteq S$ یک زیر تکواره مرتب متلاشی شده راست باشد و رابطه $\rho$ به صورت $\equiv_{P\times P}$ تعریف شود آنگاه 
\begin{enumerate}
\item
$\rho$ یک همنهشتی مرتب چپ است.
\item
$P\subseteq[1]$.
\item
$S/\rho$ هموار قوی است.\\
\begin{prof}\\
1. با توجه به لم \ref{l.h.m} بدیهی است.\\
2. برای هر $x\in P$ 
\begin{displaymath}
(x,1)\in P\times P\Rightarrow (x,1)\in\rho\Rightarrow x\in[1]\Rightarrow\rho\subseteq [1].
\end{displaymath}
3. فرض کنید $[s]\leq[t]$ بنابراین $s \leq_{P\times P} t$ . بنابر تعریف وجود دارد\\ $p_1,q_1,...p_n,q_n\in P$ و $u_1,...,u_n\in S$ به طوری که $$s\leq u_1p_1,\hspace{3mm}u_1q_1\leq u_2p_2,...,u_nq_n\leq t.$$ 
اگر $n=1$ آنگاه $s\leq u_1p_1$ و $u_1q_1\leq t$ . چون  $P$ متلاشی شده است بنابراین وجود دارد $z_1\in P$ به قسمی که $p_1z_1=q_1z_1$ در نتیجه 
\begin{displaymath}
sz_1\leq u_1p_1z_1=u_1q_1z_1\leq tz_1\Rightarrow sz_1\leq tz_1,
\end{displaymath}
و $z_1\in P=[1]\Rightarrow z_1\rho 1$ . 
\\اگر  $n=2$ آنگاه 
\begin{displaymath}
s\leq u_1p_1,\hspace{3mm}u_1q_1\leq u_2p_2,\hspace{3mm}u_2q_2\leq t.
\end{displaymath}
چون $P$ متلاشی شده است بنابراین وجود دارد $z_2\in P$ به قسمی که $p
_2z_1z_2=q_2z_1z_2$ در نتیجه $$sz_1\leq u_1p_1z_1=u_1q_1z_1\leq u_2p_2z_1$$ پس 
\begin{displaymath}
sz_1z_2\leq u_2p_2z_1z_2=u_2q_2z_1z_2\leq tz_1z_2,
\end{displaymath}
بنابراین $z_1z_2\in P=[1]\Rightarrow z_1z_2\rho 1$ . 
 \\این روند می تواند تا مرحله $n$ ام ادامه پیدا کند که در مرحله $n$ ام داریم $sz_1...z_n\leq tz_1...z_n$ که $z_1z_2...z_n\in P$ یعنی $z_1z_2...z_n\rho 1$ . 
 \\اکنون نتیجه \ref{c.if} هموار قوی بودن $S/\rho$ را نتیجه می دهد.
\end{prof}
\end{lemma} 
\begin{lemma}
فرض کنید $S$ یک تکواره مرتب جزئی باشد، هر $-S$ سیستم مرتب دوری هموار قوی، تصویری است اگر و تنها اگر $S$ در شرط $K$ صدق کند.\\
\begin{prof}
فرض کنید $P\subseteq S$ یک زیر تکواره مرتب متلاشی شده راست است. به کمک لم قبل ما میتوانیم همنهشتی مرتب $\rho$ را چنا ن تعریف کنیم که $S/\rho$ هموار قوی باشد و $P\subseteq [1]$ . بنابر فرض $S/\rho$ تصویری است .\\ بنابر لم \ref{l.tasv} عضو $e\in E(S)$ چنان موجود است که $e\rho 1$ و اگر $[s]\leq [t]$ آنگاه\\ $se\leq te$ . 
بنابر لم قبل اگر $s\rho t$  آنگاه وجو دارد $z\in P$ به قسمی که $s z\leq tz$ . داریم 
\begin{displaymath}
1\rho e\Rightarrow\exists\hspace{1mm}z\in P;\hspace{5mm}z\leq ez.
\end{displaymath} 
$$ez \rho z\Rightarrow\exists\hspace{1mm}w\in P;\hspace{5mm}ezw\leq zw.$$
بنابراین $ezw\leq zw\leq ezw$ پس $ezw=zw$ . بنابر لم \ref{l.tasv}  $$\forall x\in P\Rightarrow x\rho 1\Rightarrow e=xe.$$  فرض کنیم $l=zw$  پس برای هر $x\in P$ داریم 
$$xl=xel=el=l$$
یعنی $l$ یک صفر راست برای $P$ می باشد.\\ برعکس فرض کنیم شرط $K$ برقرار باشد و $\rho$ یک همنهشتی مرتب روی $S$ بوده به طوری که $S/\rho$ هموار قوی باشد و نیز فرض کنیم $P=[1]$ . بنابر لم  \ref{LE.5} ،  $P$  متلاشی شده است. بنابر فرض $P$ یک صفر راست مانند $e$ دارد که $e\in E(S)$ و $e \rho 1$ . فرض کنید $[s]\leq [t]$ که $s,t\in S$ . چون $S/\rho$ هموار قوی است بنا بر نتیجه \ref{c.if} وجود دارد $u\in S$ به طوری که $u \rho 1$ و $su\leq tu$ .  اکنون داریم $$se=s(ue)\leq t(ue)=te.$$
بنابر لم \ref{l.tasv}  $S/\rho$ تصویری است.

\end{enumerate}
\end{prof}
\end{lemma}
هدف اصلی در ادامه این کار این است که نشان دهیم تکواره مرتب $S$ تمامیت مرتب چپ است اگر و فقط اگر $\mathcal{S}\mathcal{F}=\mathcal{P}$ . مشابه نتایجی که در\cite{M.A.P} آورده شده است.
\begin{lemma}\label{LE}
اگرتکواره مرتب  $S$ در شرط $D^0$ صدق کند آنگاه هر $-S$ سیستم مرتب چپ دوری هموار قوی تصویری خواهد بود.\\
\begin{prof}
هر $-S$ سیستم مرتب چپ دوری هموار قوی یکریخت است با $S/\rho$ که $\rho$ یک همنهشتی مرتب چپ هموار قوی است و بنابر لم \ref{le.4}، $B=[1]$ یک زیر تکواره یکانی مرتب از $S$ است. چون $S$ در شرط $D^0$ صدق می کند بنابراین $B$ یک ایده آل چپ مینیمال به صورت $Be$ که $e\in E(S)$ خواهد داشت. به کمک لم 12.8از \cite{A.H.C} $eB$ یک ایده آل مینیمال راست در $B$ می باشد.\\ اکنون فرض کنید $dS\subseteq eS$ که $d\in B$ ، در نتیجه $d=ef$ که $f\in S$ . بنابراین $dB=efB\subseteq eB$   و  $eB$ مینیمال است در نتیجه $dB=eB$ . بنابر لم \ref{le.3} ، داریم $eS=dS$ .  بنابراین $eS$ عضو مینیمال مجموعه $\pounds=\{dS :d\in B\}$ می باشد. بنابر لم \ref{lem}، $S/\rho$ تصویری است.
\end{prof}
\end{lemma}
\begin{theorem}\label{T.16}
فرض کنید $S$  یک تکواره مرتب جزئی باشد به طوری که در شرط $M_{R}$ و $A^0$ صدق کند در این صورت $S$ نیز در شرط $D^0$ صدق خواهد کرد.\\
\begin{prof}
اگر $S$ در شرط های $M_{R}$ و $A^0$ صدق کند آنگاه بنابر قضیه \ref{te} هر $-S$ سیستم هموار قوی، تصویری است. همچنین بنابر قضیه   \ref{t.ham} هر حد مستقیمی از  کپی های $S$، هموار قوی است بنابراین تصویری خواهد بود.\\ فرض کنید $S/\rho$ یک $S$-سیستم مرتب دوری باشد و $B=[1]_{\rho}$ . و نیز فرض کنید $v\in E(S)\cap B$ و $t\in B$ طوری باشد که $St\subseteq Sv$ . \\چون $t\in B$ و $B$ یک زیر تکواره مرتب از $S$ است بنابراین برای هر $n\in\mathbb{N}$ ، $t^n\in B$ . 
فرض کنید $$Sx_1\to Sx_2\to ...$$ یک دنباله مستقیم از کپی های $S$ باشد که $(x_i)\alpha_i=tx_{i+1}$ برای هر $i\in \mathbb{N}$ .  
\\قرار دهید $\underline{t}=(t,t,...) $ و فرض کنید $F(\underline{a})$  همان حد مستقیمی باشد که در لم \ref{l.1} معرفی شد، بنابراین $F(\underline{t})$ تصویری است. چون $S$ در شرط $A^0$ صدق می کند بنابر لم \ref{5.2} ، $F(\underline{t})$  دوری خواهد بود یعنی $F(\underline{t})=S[px_i]$ . بنابر لم \ref{l.tasv} وجود دارد $e\in E(S)$ به طوری که $[px_i]$ ، $-e$ حذف پذیر راست مرتب باشد.
فرض کنید $v_i :Sx_i\to S/\rho$ به صورت $(x_i)v_i=[1]_{\rho}$ تعریف شود. واضح است که $v_i$ یک $-S$ همریختی  مرتب می باشد.
\input{epsf}
%\vspace*{-1cm}
\epsfxsize=13cm
\epsfysize=13.5cm
\centerline{\hspace{22.5cm}\epsffile{dig2.eps}}
%\vspace*{-8cm}
داریم $$(x_i)\alpha_iv_{i+1}=(tx_{i+1})v_{i+1}=t[1]_{\rho}=[t]_{\rho}=[1]_{\rho}=(x_i)v_{i+1}.$$ به کمک تعریف حد مستقیم وجود دارد $-S$ همریختی  مرتب $\gamma:S[px_i]\to S/\rho$ به طوری که برای هر $i\in\mathbb{N}$  ، $\beta_i\gamma =v_i$. $\tau :S[px_i]\to Sx_i$ را به صورت $(u[px_i])\tau =uepx_i$ تعریف می کنیم. داریم
$$u[px_i]\leq w[px_i]\Rightarrow ue\leq we\Rightarrow uepx_i\leq wepx_i,$$
بنابراین $\tau$ ترتیب را حفظ می کند و خوش تعریف است بنابراین $\tau$ یک $-S$ همریختی $-S$ همریختی  مرتب می باشد. اکنون داریم
$$[px_i]\tau \beta_i=(epx_i)\beta_i=[epx_i]=e[px_i]=[px_i],$$
در نتیجه $\tau\beta_i=I$ . 
قرار می دهیم $\psi=\beta_{i+1}\tau \alpha_i :Sx_{i+1}\to Sx_{i+1}$ .  داریم
\begin{eqnarray*}
\psi ^2&=&(\beta _{i+1}\tau\alpha _i)(\beta _{i+1}\tau\alpha _i)\\
&=&\beta _{i+1}\tau (\alpha _i\beta _{i+1})\tau\alpha _i\\
&=&\beta _{i+1}\tau\beta _i\tau\alpha _{i}\\
&=&\beta _{i+1}I\tau\alpha _i\\
&=&\beta _{i+1}\tau\alpha _{i}=\psi .
\end{eqnarray*}
همچنین داریم
\begin{eqnarray*}
(x_{i+1})\psi &=&(x_{i+1})\beta _{i+1}\tau\alpha _i\\
&=&(u[px_i])\tau\alpha _i\\
&=&(uepx_i)\alpha _i=ueptx_{i+1}.
\end{eqnarray*}
قرار می دهیم $h=uept$ بنابراین $h\in E(S)$ و $(x_{i+1})\psi =hx_{i+1}$ .  از طرفی $$hx_{i+1}=(x_{i+1})\psi=ueptx_{i+1}.$$   اگر قرار دهیم $w=uep$ آنگاه $hx_{i+1}=(x_{i+1})\psi=wtx_{i+1}$
 بنابراین $h=wt$ در نتیجه $Sh\subseteq St$ . همچنین داریم 
 \begin{eqnarray*}
 \beta _{i+1}\tau\alpha _iv_{i+1}&=&\beta _{i+1}\tau\alpha _i\beta _{i+1}\gamma\\
 &=&\beta _{i+1}\tau\beta _i\gamma\\
 &=&\beta _{i+1} I\gamma =v_{i+1}.
 \end{eqnarray*}
  در نتیجه داریم
 \begin{eqnarray*}
 [h]_{\rho}&=&(hx_{i+1})v_{i+1}\\
 &=&(x_{i+1})\psi v_{i+1}\\
 &=&(x_{i+1})v_{i+1}=[1]_{\rho}.
 \end{eqnarray*}
 پس $h\in B$ .
 \\فرض کنید $$Se_1\supseteq Se_2\supset...$$ یک زنجیر کاهشی از ایده آل های چپ اصلی باشند که $e_i\in E(S)$ برای هر $i\in\mathbb{N}$ .  به کمک لم  1.2.10 از \cite{P.M.H} عناصر خودتوان $g_1,g_2,...$ موجودند به قسمی که $Sg_i=Se_i$ و $$g_1\geq g_2\geq ...$$ .  بنابراین $$g_1S\supseteq g_2S\supseteq ..$$ و چون $S$ در شرط $M_{R}$ صدق می کند پس وجود دارد $n\in\mathbb{N}$  به قسمی که $$g_nS=g_{n+1}S=...$$ پس $$g_n=g_{n+1}=...$$ و در نتیجه $$Se_n=Se_{n+1}=...$$ .
\\ نشان دادیم که هر ایده آل اصلی چپ $St$ که $t\in B$ شامل یک ایده آل اصلی چپ $Sh$ می باشد که $h\in E(S)\cap B$. 
 \\بنابه مطلب بالا عنصر خودتوان $e^\prime\in B$ موجود است به قسمی که $Se^\prime$ مینیمال باشد. بنابر لم \ref{le.3}، $Be^\prime$ نیز ایده آل مینیمال چپ در $B$ خواهد بود در نتیجه $S$ در شرط $D^0$ صدق خواهد کرد.
 \end{prof}
 \end{theorem}
 \begin{theorem}
  اگر $S$ یک تکواره مرتب جزئی باشد انگاه شرایط زیر باهم معادل اند:
  \begin{enumerate}
  \item
  هر $-S$ سیستم مرتب چپ هموار قوی تصویری است.
  \item
  $S$ در شرط های $A^0$ و $M_{R}$ صدق می کند.
  \item
  $S$ در شرط های $A^0$ و $D^0$ صدق می کند.
  \item
  $S$ تمامیت مرتب چپ است.
  \item
  $S$ در شرط های $A^0$ و $K$ صدق می کند.
  \item
  هر $-S$ سیستم چپ هموار قوی، تصویری است.
  \item
  $S$ در شرط های $A$ و $M_{R}$ صدق می کند.
  \item
  $S$ در شرط های $A$ و $D$ صدق می کند.
  \item
  $S$ تمامیت  چپ است.
  \item
  $S$ در شرط های $A$ و $K$ صدق می کند.
    
  \end{enumerate}
  \begin{prof}
  
   به کمک قضایای \ref{T.71}، \ref{te}، \ref{T.T}، \ref{T.16} و  نتیجه \ref{c.1} کافیست قسمت $3\Rightarrow2$ را ثابت کنیم.\\
  فرض کنیم 3 برقرار باشد به کمک نتیجه \ref{CO} هر $S$-سیستم مرتب چپ هموار قوی را می توان به صورت اجتماعی مجزا از $-S$ سیستم های مرتب هموار قوی دوری نوشت. چون $S$ در شرط $D^0$ صدق می کند بنابر لم \ref{LE}هر $-S$ سیستم$-S$ سیستم مرتب هموار قوی تصویری است. از قضیه \ref{te} نتیجه می شود که $S$ در شرط های $A^0$ و $M_{R}$ صدق می کند یعنی 2 برقرار است.
 
  \end{prof} 
 \end{theorem} 


























\pagebreak
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\pagenumbering{farsifoo}
\addcontentsline{toc}{chapter}{ کتاب نامه}
\markright{{  كتاب نامه  \hspace{14cm} }}}}
\begin{thebibliography}{99}
\farsi
\small
 \bibitem{@tomas@} 

 جبر، توماس دبلیو.هانگرفورد، ترجمه علی اکبر عالم زاده، حسین ذاکری. تهران: انتشارات پژوهش، .1375
\begin{LTRbibitems}
\engilsh
\resetlatinfont
%\small
\begin{latin}
\bibitem{BU.S}
S. Bulman-Fleming and V. Laan, Lazard’s theorem for S-posets. Math. Nachr. 278 (2005) 1743–1755.
\bibitem{S.B}
S.Bulman-Fleming and M.Mahmoudi, The category of S-posets. Semigroup Forum71 (2005), 443–461.
\bibitem{S.Ch}
S.Chase, Direct products of modules. Trans. Am. Math. Soc 97 (1960), 457–473.
\bibitem{A.H.C}
A.H. Clifford and G. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Vol. II. Math. Surveys, vol. 7.
Amer. Math. Soc., Providence (1967) 
\bibitem{J.B.F}
J.B. Fountain, Perfect Semigroups, proc. Edinburgh Math. Soc. 20 (1976), 87-93.
\bibitem{V.G}
V. Gould and L. Shaheen, Perfection for pomonoids. Semigroup 81 (2010), 102-127
\bibitem{P.M.H}
P.M. Higgins, Techniques of Semigroup Theory. Oxford Science Publications, Oxford (1992)
\bibitem{J.R}
J.R. Isbell,  Perfect monoids. Semigroup Forum 2 (1971), 95–118.
\bibitem{M.K.O}
M. Kilp, On monoids over which all strongly flat cyclic right acts are projective, semigroup Forum 52 (1996), 241-245.
\bibitem{M.Kil}
M. Kilp, U. Knauer, A. V. Mikhalev, Monoids, Acts, and Categories, de Gruyter, Berlin (2000).
\bibitem{perf}
M. Kilp, Perfect monoids revisited, Semigroup Forum 53 (1996), 225-229.
\bibitem{v.laan}
V. Laan and X. Zhang, On homological classification of pomonoids by regular weak injectivity proper-
ties of S-posets. Cent. Eur. J. Math 5 (2007), 181–200.
\bibitem{M.A.P}
M.A. Pervukhin and A.A. Stepanova, Axiomatisability and completeness of some classes of partially ordered polygons, Algebra and Logic 48 (2002), 54-71
\bibitem{X.Shi}
X. Shi, On flatness properties of cyclic S-posets. Semigroup Forum 77 (2007), 248–266.
\bibitem{x.z}
X. Shi, Z. Liu, F. Wang, S. Bulman-Fleming, Indecomposable, projective, and flat S-posets. Com-
mun. Algebra 33 (2005) 235–251.
\end{latin}
\end{LTRbibitems}
\end{thebibliography}
%\end{document}
\newpage
\pagestyle{88}
\include{dictionary} 
\chapter*{واژه نامه فارسی به انگلیسی}
\label{dictionary}
\addcontentsline{toc}{chapter}{واژه نامه فارسی به انگلیسی}
\thispagestyle{empty}
\baselineskip=1.2cm
\markright{{{  واژه نامه فارسی به انگلیسی   \hspace{10.5cm} }}}}
%الف \\
%{اثبات نمودن} \dotfill {$ prove $}\\
%{اجتماع} \dotfill {$ union $}\\
%{ادعا} \dotfill {$ claim $}\\
%{اشتراک} \dotfill {$ intersection $}\\
%{اندیس} \dotfill {$ index $}\\
%{انژکتیو} \dotfill {$ injective $}\\
%{انژکتیو منظم} \dotfill {$ regular\: injective $}\\
{انعکاسی} \dotfill {$ reflexive $}\\
{ایده آل} \dotfill {$ ideal $}\\
{ایده آل اصلی} \dotfill {$ principal\: ideal $}\\
%{ایده آل-توزیع پذیر} \dotfill {$ ideal-distributive $}\\
{ایده آل دوطرفه} \dotfill {$ two-sided\: ideal $}\\
{اینفیمم} \dotfill {$ infimum $}\\
%ب\\
{بدیهی } \dotfill {$ trivial $}\\
{بروریختی} \dotfill {$ epimorphism $}\\
{برون بری} \dotfill {$ coretract $}\\
%پ\\
{پایه} \dotfill {$ base $}\\
{پیشگفتار} \dotfill {$ introduction $}\\
%ت\\
{تابعگر} \dotfill {$ functor $}\\
{تحدید} \dotfill {$ restriction $}\\
{ترتیب} \dotfill {$ order $}\\
{ترتیب جزئی} \dotfill {$ partial\: order $}\\
{ترتیب کلی} \dotfill {$ total \:order $}\\
{ترکیب} \dotfill {$ composition $}\\
{تصویر} \dotfill {$ image $}\\
%{تعریف} \dotfill {$ definition $}\\
{تکواره} \dotfill {$ monoid $}\\
%{تناقض} \dotfill {$ contradiction $}\\
{توزیع پذیر} \dotfill {$ distributive $}\\
{تولید شده با} \dotfill {$ generated\: by $}\\
%ث\\
{ثابت} \dotfill {$ constant $}\\
%ج\\
{جابجایی} \dotfill {$ commutative $}\\
%{جبر} \dotfill {$ algebra $}\\
%چ\\
{چپ صفر} \dotfill {$ left \:zero $}\\
%ح\\
{حاصل ضرب} \dotfill {$ product $}\\
{%حکم} \dotfill {$ statement $}\\
%خ\\
%{خود انژکتیوی} \dotfill {$ self-injective $}\\
{خودتوان} \dotfill {$ idempotent $}\\
{خوش تعریف} \dotfill {$ well\: defin $}\\
%د\\
{درون بر} \dotfill {$ retract $}\\
{درون بری} \dotfill {$ retraction $}\\
{ دوسویی} \dotfill {$ bijection $}\\
{دوری} \dotfill {$ cyclic $}\\
%ر\\
{%رابطه} \dotfill {$ relation $}\\
{رسته} \dotfill {$category  $}\\
{رسته ملموس} \dotfill {$ concrete\: category $}\\
{ریخت همانی} \dotfill {$ identity\: morphism $}\\
%ز\\
{زنجیر} \dotfill {$ chain $}\\
{زیر تکواره } \dotfill {$ submonoid $}\\
{زیر سیستم} \dotfill {$ subact $}\\
{زیر مجموعه} \dotfill {$ subset $}\\
%س\\
{سره} \dotfill {$ proper $}\\
{سیستم } \dotfill {$ act $}\\
%{سیستم انژکتیوی} \dotfill {$ injective\: act $}\\
{سیستم دوری} \dotfill {$ cyclic\: act $}\\
{سیستم راست} \dotfill {$ right\: act $}\\
%ش\\
{%شرط} \dotfill {$ condition $}\\
{شمول} \dotfill {$ inclusion $}\\
%{شیئ اولیه} \dotfill {$ initial\: object $}\\
%{شیئ نهایی} \dotfill {$ terminal \:object $}\\
%ص\\
{صفر} \dotfill {$ zero $}\\
%ع\\
{عمل} \dotfill {$ operation $}\\
{عنصر ثابت} \dotfill {$ constant\: element $}\\
%ف\\
%{فرض} \dotfill {$ hypothesis $}\\
%ک\\
{کامل} \dotfill {$ complete $}\\
%{کوچکترین کران بالا} \dotfill {$ last\: upper\: bound $}\\
%ل\\
{%لم} \dotfill {$lemma  $}\\
%{ لم زرن} \dotfill {$ Zorns\: Lemma $}\\
%م\\
{متمایز} \dotfill {$ disjoint $}\\
{متناهیاً تولید شده} \dotfill {$ finitely\: generated $}\\
%{مجموع} \dotfill {$ sum $}\\
%{مرکز} \dotfill {$ center $}\\
%{مرکز ساز} \dotfill {$ centralizer $}\\
%{مشبکه} \dotfill {$ lattice $}\\
{معادل} \dotfill {$ equivalent $}\\
{معکوس} \dotfill {$ inverse $}\\
%{منظم} \dotfill {$ regular $}\\
%ن\\
{%نامتناهی} \dotfill {$ infinite $}\\
{نتیجه} \dotfill {$ corollary $}\\
{نشاندن} \dotfill {$ embeding $}\\
{نگاشت} \dotfill {$ mapping $}\\
{نگاشت پوشا} \dotfill {$ surjective\: mapping $}\\
{ نگاشت دو سویی} \dotfill {$ bijective\: mapping $}\\
%{نمودار} \dotfill {$diagram  $}\\
{نیم گروه} \dotfill {$ semigroup $}\\
%{نیم گروه کلیفورد} \dotfill {$ Clifford\: semigroup $}\\
%{نیم مشبکه} \dotfill {$semilattice  $}\\
%{نیم مشبکه قوی از گروه ها} \dotfill {$ strongly \: semilattice \: of\: groups $}\\
%و\\
{وارون} \dotfill {$ inverse $}\\
%ه \\
{همانی} \dotfill {$ identity $}\\
{هم ارزی } \dotfill {$ equivalence $}\\
%{هم ارزی ریس} \dotfill {$ Ress\: equivalence $}\\
{هم درون بر} \dotfill {$ coretract $}\\
{ هم درون بری} \dotfill {$ coretraction $}\\
{همریختی تکواره ای} \dotfill {$ monoid \: homomorphism $}\\
{همریختی $ S $-سیستمی} \dotfill {$ homomorphism\: of \:S-act $}\\
{همریختی $S$-سیستم مرتب جزئی} \dotfill {$ homomorphism \: o\: S-poset $}\\
%ی\\
{%یکتا} \dotfill {$ uniqe $}\\
{یکریخت} \dotfill {$ isomorphic $}\\
%{یکریختی} \dotfill {$ isomorphism $}\\%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
\pagebreak
\newpage
\thispagestyle{plain}
\input{epsf}
\vspace*{-22mm}
\epsfxsize=21cm
\epsfysize=25cm
\centerline{\hspace{38.55cm}\epsffile{f3.eps}}
%\pagestyle{88}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\pagebreak
\newpage
\thispagestyle{plain}
\vspace*{-33mm}
\input{epsf}
\epsfxsize=16.2cm
\epsfysize=28cm
\centerline{\hspace{32cm}\epsffile{ch.l.eps}}
\include{Title} 
\baselineskip=1cm

 
\include{Title} 
%------------------------------------------------------------------------
\label{Title}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-15mm}
% نحوه درج کردن لوگوی دانشگاه
%\centerline{\includegraphics[height=2cm]{arm sttu.jpg}}
\begin{figure}[ht]
\special{psfile=arm.eps hscale=80 vscale=10 hoffset=164 voffset=-28}
\special{psfile=arm.eps hscale=50 vscale=40 hoffset=135 voffset=-170}
\end{figure}
\input{epsf}
\vspace{1cm}
\epsfxsize=2.9cm
\epsfysize=3.1cm
\centerline{\hspace{6.5cm}\epsffile{logo1.eps}}
\begin{center}
 \textbf{\large  University  Sabzevari Hakim    }         \\[.5cm]
{ Sciences Computer and Mathematics of Faculty}         \\[.2cm] %دستوری برای تعیین فاصله بین دو خط
{\large of Degree the for Requirements the of Fulfillment partial in Submitted Thesis Mathematics Pure in (M.Sc.) Science of master     \\[.2cm]}
%ریاضی محض   \\[.4cm]}
{\large Title:  \\[.4cm]}
 \textbf{\Huge    
 frames wavelet of dual The On }        \\[1cm]
 \textbf{ \large Supervisor: }     \\[.2cm]
 \textbf{\large {   Arefijamaal   Akbar Ali Dr.   }}    \\[.6cm]
 \textbf{\large  Advisor: }     \\[.2cm]
 \textbf{\large {    Shateri Lale Tayebe Dr.  }}    \\[.6cm]
 \textbf{\large  By:}       \\[.2cm]
 \textbf{\large { Haghighatjo Ehsan }}     \\[.5cm]
 \textbf{\large \textbf{\lr{2012} Summer } }
\end{center}


%\addcontentsline{toc}{chapter}{ واژه نامه فارسی به انگلیسی}
%------------------------- واژه‌نامه  ------------------------%
%\include{dictionary} 
 
%\hspace{45mm} \textbf{واژه نامه فارسی به انگلیسی}
%\markright{\underline{\underline{{ واژه نامه فارسی به انگليسی    \hspace{9.8cm}~ }}}}
%\begin{figure}[ht]
%\special{psfile=arm.eps hscale=80 vscale=10 hoffset=164 voffset=-28}
%\special{psfile=arm.eps hscale=50 vscale=40 hoffset=135 voffset=-170}
%\end{figure}

%\baselineskip=1.3cm

%\markboth{$\hrulefill${\xyas فهرست الفبایی }}{{\xyas  فهرست الفبایی }  $\hrulefill$} 
%\xyas
%\printindex
%\baselineskip=.85cm
%\usepackage[top=40mm, bottom=40mm, left=25mm, right=30mm]{geometry}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\baselineskip=.6cm
%%%%\latinsubject{Pure Mathematics}
%%\latintitle{Writing projects, theses and dissertations using Tabriz\_thesis Class}
%\firstlatinsupervisor{First Supervisor}
%\secondlatinsupervisor{Second Supervisor}
%\firstlatinadvisor{First Advisor}
%\secondlatinadvisor{Second Advisor}
%\latinname{Vahid}
%\latinsurname{Damanafshan}
%\latinthesisdate{2011}
%\latinkeywords{Probabilistic powerdomain; Stably compact space; Valuation}
%\en-abstract{
%This thesis studies on writing projects, theses and dissertations using Tabriz\_thesis Class. It ...
}
%\latinvtitle
%\end{latin}