\chapter{مطالبی از جبر همولوژی}\label{chp:chap1} \section{حلقه ها ومدول ها} \subsection{حلقه ها} \begin{dfn} \begin{enumerate} \item[الف.] فرض کنیم $M$ یک $R$-مدول باشد. $M$ را نوتری (نوتری راست) گوییم هرگاه، هر زنجیر صعودی از زیر مدول‌های(راست) آن ایستا باشد. حلقه $R$ را نوتری راست گوییم هرگاه به عنوان $R$-مدول نوتری باشد. \item[ب.] فرض کنیم $M$ یک $R$-مدول باشد. $M$ را آرتینی (آرتینی راست) گوییم هرگاه، هر زنجیر نزولی از زیر مدول‌های(راست) آن ایستا باشد. حلقه $R$ را آرتینی راست گوییم هرگاه به عنوان $R$-مدول آرتینی باشد. \end{enumerate} \end{dfn} \begin{prop} \begin{flushright} $R$-مدول $M$ نوتری (راست) است اگر وتنها اگر، هر زیر مدول (راست) $M$ با تولید متناهی باشد. به ویژه حلقه $R$ نوتری راست است اگر وتنها اگر هر ایدهآل رراست آن با تولید متناهی باشد. \end{flushright} \end{prop} \begin{proof} به قضیه~\ref{2.12{ از ? رجوع شود. \end{proof} \begin{prop} فرض کنیم $M$،$N$ و $L$، سه $R$-مدول راست باشند و $0\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow L\rightarrow 0$ دنباله دقیق کوتاهی از $R$-هم‌ریختی‌ها باشد. در این صورت $N$ نوتری راست(آرتینی راست) است، اگر وتنها اگر $M$ و$L$ نوتری راست(آرتینی راست) باشد. \end{prop} \begin{proof} به قضیه ~\ref{2.13} از? رجوع شود. \end{proof} \begin{dfn} فرض کنیم $\Lambd$ یک حلقه‌ی دلخواه باشد.$\Lambda$-مدول $A$را نیم ساده گوییم، هرگاه $A$ جمع مستقیم (نه لزوماً تعداد متناهی) $\Lambda$ -مدول‌های ساده باشد. بنابر این $\Lambda$ را حلقه نیم ساده گوییم اگر به عنوان $\Lambda$-مدول، نیم ساده باشد. \end{dfn} \begin{dfn} فرض کنیم $\Lambda$ یک حلقه‌ی یکدار باشد. مقطع تمام ایده‌آل‌های چپ ماکسیمال $\Lambda$ که آن‌را با نماد $r_{\Lambda}$ و یا$rad \Lambda$ نشان می‌دهیم، را رادیکال \footnote{radical} حلقه‌ی$ \Lambda$ می‌نامیم. بنابر قضیه‌ی ~\ref{3.11} از ؟؟ $rad\Lambda$ با اشتراک تمام ایده‌آل‌های راست ماکسیمال $\Lambda$یکسان است.بنابراین $rad\Lambda$ یک ایده‌آل دو طرفه است. \end{dfn} \begin{thm} اگر $\Lambda$ یک حلقه‌ی آرتینی راست باشد، آنگاه موارد زیر برقرارند: \begin{enumerate} \item[1.] رادیکال $r_{\Lambda}$ پوچ توان باشد. \item[2.] حلقه‌ی $\Lambda/r$ نیم ساده است. \item[3.] $\Lambda$-مدول $A$نیم ساده است اگر و تنها اگر $Ar=0$. \item[4.] تعداد $\Lambda$-مدول‌های ساده غیر یک‌ریخت متناهی است. \item[5.] $\Lambda$ یک حلقه نوتری راست است. \end{enumerate} \end{thm} \begin{proof} به قضیه‌ی~\ref{3.1} از فصل اول از ? رجوع شود. \end{proof} \subsection{مدول ها} برای هم‌ریختی $f: A\rightarrow B$ تعریف می‌کنیم $Im(f)=f(A)$ که آن را تصویر$f$ می‌گوییم به طوریکه شامل همه $f(x)$ های است که $x\in A$. هم‌چنین هسته $f$ را که شامل همه اعضای $A$ است که به صفر $B$ برده می‌شوند را با $ker(f)$ نمایش می‌دهیم. به علاوه هم تصوبر \footnote{coimage} و هم هسته\footnote{cokernel} $f$ را به صورت زیر تعریف می‌کنیم: \begin{equation} coimg(f)=A/ker(f) \end{equation} \begin{equation} coker(f)=B/Im(f) \end{equation} به راحتی می‌توان نشان داد که $f$ تکریختی است اگر و تنها اگر $ker(f)=0$، و $f$ بروریختی است اگر و تنها اگر $coker(f)=0$. \begin{prop} اگر $f:A\rightarrow B$ پوشا باشد، نگاشت القایی $f^*: A/ker(f) \to B$ یک ریختی است. \end{prop} \begin{proof} به قضیه‌ی 1.7 از فصل چهارم از[26]رجوع شود. \end{proof} فرض کنیم $A$ یک $R$-مدول و $F={a_{i}}_i\in I$ خانواده‌ای از اعضای $A$ باشد که توسط مجموعه دلخواه $I$ اندیس گذاری شده است. زیر مجموعه‌ای از $A$ که شامل همه عضوهای به صورت \begin{equation} \sum_{i\in I}(r_{i}a_{i}) \end{equation} (که در آن هر$r_{i}$ عضوی از $R$ است و $r_{i}$ جز برای تعداد متناهی از $i$ها) است، تشکیل یک زیر مدول از $A$ می‌دهد. این زیر مدول را زیر مدول تولید شده توسط $F$ می‌گوییم. اگر این زیر مدول با $A$ برابر باشد $F$ را یک مولد برای $A$ می‌گوییم. اگر ${a_i}_i\in I$ یک مجموعه مولد برای $A$ باشد و برای هر $x\in A$، $r_i$هایی که $x=\sum( r_i)(a_i)$ به طور یکتا مشخص شوند، ${a_i}_i\in I$ را یک پایه برای $A$ می‌گوییم.مدولی که دارای یک پایه \footnote{Basis}باشد را مدول آزاد \footnote{module Free} می‌گوییم. \begin{prop} برای هر $R$-مدول $A$، مدول آزاد $F$ با یک بروریختی $F \longrightarrow A$ موجود است. اگر $A$ تولید شده توسط $n$ عضو باشد $(0 < n < \infty )$ و $F$ را می‌توان با یک پایه $n$ عضوی انتخاب کرد. \end{prop} \begin{proof} به قضیه 2.1 از فصل چهارم [26] رجوع کنید. \end{proof} \begin{prop} هرگاه $F$ یک $R$-مدول آزاد باشد و $p:F \longrightarrow A$ یک $R$-همریختی و $q:B \longrightarrow A$ یک $R$-بروریختی باشد، آن‌گاه $R$-هم‌ریختی $\Phi :F \to B$ موجود است که نمودار \begin{displaymath} \xymatrix{ F \ar[r]^p \ar[d]_{\Phi} & A\\ B \ar[ur]_q} \end{displaymath} را جابجا می‌کند. \end{prop} \begin{proof} به قضیه‌ی 3.2 از فصل چهارم [26] رجوع کنید. \end{proof} \begin{dfn} دنباله دقیق کوتاه \begin{center} $0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$ \end{center} \end{dfn} را شکافته شده \footnote{Spliting} میگوییم اگر نگاشت $j:C \rightarrow B$ موجود باشد که $pj=id_{c}$. \begin{prop} اگر دنباله\begin{center} $0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$ \end{center} شکافته شود، آنگاه $B \simeq A \oplus C$. \end{prop} \begin{proof} نشان می‌دهیم که $B\simeq imi \oplus im j$. اگر $b \in B$ باشد $pb \in c$ و $b-jpb \in ker p$ چون $p(b-jpb)=pb-pj(pb)=0$ چون $pj=id_c$. از دقیق بودن داریم $a \in A$ وجود دارد که $ia=b-jbp$ یعنی $b=ia+jpb$ پس $B=Im i+Imj$. حال کافی است نشان دهیم که $Im i \cap Im j={0}$. اگر $ia=x=jc$ برای $a \in A$ و $c \in C$، آن‌گاه $px=pia=0$ چون $pi=0$ از طرفی $px=pjc=c$ چون $pj=id_{C}$ پس $x=jc=0$. \end{proof} \begin{dfn} زیر رسته‌ی $\mathcal{C}$ از $Mod \Lambda$ را تحت توسیع بسته \footnote{extension under Closed} گوییم، اگر برای هر دنباله‌ی دقیق $0 \to A \to B \to C \to 0$، وقتی $A,C \in \mathcal{C}$، داشته باشیم: $B \in \mathcal{C}$. مدول تصویری تعمیمی از مدول آزاد است. \begin{dfn} مدول $P$ را تصویری \footnote{projective} گوییم هرگاه برای برورختی $f$، همریختی $\phi$ موجود باشد گه دیاگرام \begin{displaymath} \xymatrix{ & p \ar@ {.>} [dl]_ {\phi} \ar[d] & \\ A \ar[r]_f & B \ar[r] & 0 } \end{displaymath} را جابجا کند. \end{dfn} \begin{thm} مدول $P$ تصویری است اگر و فقط برای هر نمودار \begin{displaymath} \xymatrix{ & p \ar@ {.>} [dl]_ {\phi} \ar[d]_h & \\ A \ar[r]_f & B \ar[r]_g & C } \end{displaymath} \end{thm} که در آن سطر $A \in B \in C$ دقیق است و $gh=0$، همریختی $\phi : P\to A$ موجود باشد که نمودار را جابجا کند. \begin{proof} قرار می‌دهیم $X=Im(f)=Ker(f)$. چون $gh=0$ پس $h$، $P$ را به $X$ می‌نگارد و نمودار زیر بدست می‌آید \begin{displaymath} \xymatrix{ & p \ar[d]_h & \\ A \ar[r] & B \ar[r] & 0 } \end{displaymath} که درآن سطر $A \rightarrow X \rightarrow 0$ دقیق است. به وضوح هر همریختی $P \rightarrow A$ که این نمودار را جابجا می‌کند، نمودار اولی را هم جابجا کند، نمودار اولی را هم جابجا می‌کند و بالعکس. \end{proof} \begin{prop} مدول $P$ تصویری است اگر و فقط اگر هر دنباله دقیق کوتاه $0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0$ شکافته شود. \end{prop} \begin{proof} اگر $P$ تصویری باشد، نگاشت $j: P\rightarrow B$ موجود است که $id_{P}=pj$. \begin{displaymath} \xymatrix{ & p \ar@ {.>} [dl]_ j \ar[d]_id_{P} & \\ B \ar[r]_f & P \ar[r] & 0 } \end{displaymath} برعکس، فرض کنید هر دنباله دقیق کوتاهی که به $P$ ختم می‌شود، شکافته شود. دیاگرام \begin{displaymath} \xymatrix{ & P \ar[d]_f & \\ B \ar[r]_p & C \ar[r] & 0 } \end{displaymath} را در نظر بگیرید که در آن $P$ پوشاست. فرض کنیم $F$ مدولی آزاد باشد که بنابر قضیه [?] بروریختی $h :F \to P$ وجو دارد. با توجه دنباله‌‌ی \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & ker h \ar@{^{(}->}[r] & F \ar[r] ^ h & P \ar[r] & 0 } \end{displaymath} و فرض، نگاشت $j : P \rightarrow F$ موجود است که $hj = id_p$. \end{proof} \begin{displaymath} \xymatrix{ F \ar@<1ex>[r] ^ h \ar[d] ^ {g'} & P \ar@<1ex>[l] _ j \ar[d] ^ f & \\ B \ar[r] _ p & C \ar[r] & 0 } \end{displaymath} چون $F$ آزاد است، نگاشت $ g' : F \rightarrow B$ موجود است که $pg' = fh$. تعریف می‌کنیم $g = g'j$، در این‌صورت $pg = pg'j =fhj = f$ پس $P$ تصویری است. بنابر ؟؟، هر مدول تصویر همریخت یک مدول آزاد است و بنابر آنچه در ؟؟، اثبات شد، هر مدول آزاد تصویری است. اگر $M$ یک $R$-مدول دلخواه باشد، مدول تصویری (آزاد) $p_{0}$ و همریختی پوشا $d_{0}: P_{0} \rightarrow M$ موجوداند و دنباله دقیق است. برای $ker (d_{0})$ نیز به همین صورت مدول $P_1$ و بروریختی $\pi_{1} : P_{1} \rightarrow ker(d_{0})$ موجوداند و دنباله‌ی \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & ker (\pi_1) \ar@{^{(}->}[r] ^ {i_1} & P_1 \ar[r] ^ {\pi} & ker(d_0) \ar[r] & 0 } \end{displaymath} دقیق است. اگر قرار دهیم $d_1= i_{0} \pi_{1}$ داریم $Im(d_1)=Im(\pi)=ker(d_0)$ و دنباله \begin{displaymath} \xymatrix{ P_{1} \ar[r]^{d_{1}} & P_{0} \ar[r]^{d_{0}} & M \ar[r] & 0 } \end{displaymath} دقیق خواهد بود. حال می‌توان این عملیات را برای $ker(d_1) = ker(\pi_1)$ تکرار کرد تا مدول $P_2$ و همریختی‌های $\pi_2 : P_2 \rightarrow ker(d_1)$ و $d_2: P_2 \rightarrow P_1$ بدست آیند واین روند را ادامه داده. \begin{displaymath} \xymatrix{ \cdots\ar[r] & P_2 \ar[dr]^{\pi_{2}} \ar@{->}[rr]^{d_{2}=i_{1}\pi_{2}} && P_{1} \ar[dr]^{\pi_{1}} \ar@{->}[rr]^{d_{1}=i_{0}\pi_{1}} && P_{0} \ar[r]^{d_{0}} & M \ar[r] & 0\\ && ker(d_{1}) \ar[dr] \ar@{^{(}->}[ur]^{i_{1}} && ker(d_{0}) \ar[dr] \ar@{^{(}->}[ur]^{i_{0}}\\ & 0\ar[ur] && 0 \ar[ur] && 0} \end{displaymath} در نتیجه دنباله دقیق زیر بدست می آوریم که در آن $P_i$ ها تصویری هستند. \begin{center} $\cdots \rightarrow P_3 \rightarrow P_2 \rightarrow P_1 \rightarrow P_0 \rightarrow M \rightarrow 0$ \end{center} این دنباله را یک تحلیل تصویری \footnote{resolusion Projective} برای $M$ می گوییم. اگر $M$ را از دنباله حذف کنیم دنباله \begin{displaymath} \xymatrix{ \cdots \ar[r] ^ {h_4} & p_3 \ar[r] ^ {h_3} & P_2 \ar[r] ^ {h_2} & P_1 \ar[r] ^ {h_1} & P_0 \ar[r] ^ {h_0} \ar[r] & 0} \end{displaymath} حاصل می شود که به جز در $P_0$ دقیق است و آنرا تحلیل تصویری محذوف $M$ می گوییم. \begin{dfn} \begin{enumerate} \item[الف.] $A$- زیر مدول $L$ از $M$ را زائد \footnote{fluous Super} گوییم، اگر برای هر زیر مدول $X$ از $M$، تساوی$L + X = M$، عبارت $X=M$ را نتیجه دهد. \item[ب.]یک $A$- بروریختی $h : M \rightarrow N $ در $mod A$ را کمین\footnote{Minimal} گوییم، اگر $Ker h$ یک زیر مدول زائد از $M$ باشد. همچنین بروریختی $h : P \rightarrow M$ در$mod A$ را یک پوش تصویری \footnote{cover Projective} برای $M$ گوییم، اگر $P$ تصویری باشد،و $h$ یک بروریختی کمین باشد. \end{enumerate} \end{dfn} \begin{lem} بروریختی $h : P \rightarrow M$ یک پوش تصویری از $A$-مدول $M$ است، اگر و تنها اگر$P$ تصویری باشد و برای هر $A$- همریختی $g : N \rightarrow P$، پوشایی $hg$ پوشایی $g$ را نتیجه دهد. \end{lem} \begin{proof} به لم 6.5 از فصل اول از [2] رجوع کنید. \end{proof} \begin{dfn} \begin{enumerate} \item[الف.] دقیق دنباله‌ی \begin{displaymath} \xymatrix{ P_1 \ar[r] ^ p_{1} & P_0 \ar[r] ^ p_{0} & M \ar[r] & 0 } \end{displaymath} در $mod A$ را یک \textbf{ کمین نمایش تصویری} \footnote{presentation projective Minimal} برای $A$-مدول $M$ گوییم، اگر $A$-همریختی‌های $p_0 : P_0 \rightarrow M$ و $p_1: P_1 \rightarrow ker p_0$ پوش تصویری باشند. \item[.ب] دنباله ی دقیق(1.1) را یک \textbf{تحلیل تصویری کمین} \footnote{resolution projective Minimal} برای $A$-مدول $M$ گوییم، اگر برای$j\geq 1$داشته باشیم: $h_j : P_j \rightarrow Imh_j$، پوش تصویری باشند و همچنین $h_0 : P_0 \rightarrow M$ پوش تصویری باشد. \end{enumerate} \begin{dfn} مدول $Q$ را \textbf{تزریقی}\footnote{Injective} گوییم هرگاه برای تکریختی $f$، همریختی$\varphi$ موجود باشد که دیاگرام \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & A \ar[r] ^{f} \ar[d] & B \ar@{.>}[dl] ^{\varphi}\\ & Q } \end{displaymath} را جابجا کند. یا به عبارت دیگر، مدول $Q$ را تزریقی گوییم اگر برای هر زیر مدول $A$ از $B$، هر همریختی $A \rightarrow Q$ قابل گسترش به همریختی $B \rightarrow Q$ باشد. \end{dfn} \begin{thm} مدول $Q$ تزریقی است اگر و فقط اگر برای هر نمودار \begin{displaymath} \xymatrix{ A \ar[r]^{g} & B \ar[r]^{f} \ar[d]^{h} & C \ar@{.>}[dl]^{\varphi}\\ & Q } \end{displaymath} که در آن سطر $A \rightarrow B \rightarrow C$ دقیق است و $hg = 0$، همریختی$\varphi:C \rightarrow Q$موجود باشد که نمودار را جابجا کند. \end{thm} \begin{proof} قرار دهید $X = Im(g) = Ker(f)$. چون $hg = 0$ پس$h(X)=0$ و همریختی $h* : B/X \rightarrow Q$ القا می شود که $h*(b+X) = h(x)$. چون $X = Ker(f)$، دنباله $0 \rightarrow B/X \rightarrow C$ دقیق است. هر $\varphi$ که نمودار \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & B/X \ar[r] ^{f^{\ast}} \ar[d]^{h^{\ast}} & C \ar@{.>}[dl] ^{\varphi}\\ & Q } \end{displaymath} راجابجا کند نمودار اول را هم جابجا می کند و بلعکس. \end{proof} \begin{prop} مدول $E$ تزریقی است اگر و فقط اگر هر دنباله دقیق کوتاه شکافته شود. \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & E \ar[r]^{i} & B \ar[r]^{p} & C \ar[r] & 0} \end{displaymath} \end{prop} \begin{proof} رجوع به گزاره 26.3 از مرجع [34] رجوع کنید. \end{proof} \begin{cor} اگر مدول تزریقی $E$، زیر مدولی از مدول $M$ باشد، آن${}$گاه $E$جمعوندی از $M$ است. \end{cor} \begin{thm} هر $R$-مدول را می${}$توان در $R$-مدول تزریقی نشاند. \end{thm} \begin{proof} به قضیه 10 درفصل 9 از مرجع40] ]رجوع کنید \end{proof} \begin{dfn} فرض کنید $N$، $R$-مدول باشد و $M$ توسیعی از آن. گوییم $M$ توسیع اساسی $N$ است اگر به ازای هر زیر مدول غیر صفر مثل $K$ از $M$، $N\cap K\neq 0$. \end{dfn} هر مدول ، توسیع اساسی از خودش هست. \begin{dfn} فرض کنیم $M$، $R$-مدول باشد. $R$-مدولی مثل $E$را \textbf{توسیع اساسی ماکسیمال}$M$ می${}$نامیم اگر $E$توسیع اساسی $M$ باشد و اگر $M\leq E\lvertneqq K$، آن${}$گاه $K$ توسیع اساسی $M$ نباشد. هم چنین، $R$-مدول تزریقی مثل $E$ را \textbf{توسیع تزریقی}$M$ میگوییم اگر $E$ توسیع $M$ باشد. \end{dfn} \begin{thm} فرض کنید $M$، $R$-مدول باشد و $E$ توسیعی از آن. در این صورت، $E$ توسیع اساسی و تزریقی $M$ است اگر وتنها اگر ، $E$ توسیع اساسی ماکسیمال $M$ است \end{thm} \begin{thm} به قضیه 14 از فصل 9 در مرجع [40] رجوع کنید. \end{thm} \begin{dfn} فرض کنید $M$، $R$-مدول باشد. $R$-مدولی مثل $E$ را، که در شرایط قضیه قبل صدق کند، \textbf{پوشش تزریقی}\footnote{evelope Injective} $M$ می${}$نامیم. \end{dfn} این پوشش تزریقی را با$E(M)$ نشان می دهیم. \begin{thm} هر $R$-مدولی مثل $M$ پوشش تزریقی دارد و هر دو پوشش تزریقی $M$ یکریخت هستند. \end{thm} \begin{proof} ? \end{proof} \begin{dfn} الف) دنباله ی دقیق \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r]^{u^{0}} & I^{0} \ar[r]^{u^{1}} & I^{1}} \end{displaymath} را یک \textbf{نمایش تزریقی کمین}\footnote{presentation injective Minimal} $A$- مدول $N$ گوییم، اگر تکریختی های$u^{0}: N \rightarrow I^{0}$ و$Im u^{1} \hookrightarrow I^{1}$ ، \textbf{پوش تزریقی} \footnote{envelope Injective} باشند. ب)تحلیل تزریقی \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & M \ar[r]^{d^{0}} & I^{0} \ar[r]^{d^{1}} & I^{1} \ar[r] & \ldots \ar[r] & I^{m} \ar[r]^{d^{m+1}} & I^{m+1} \ar[r] &\ldots } \end{displaymath} از $IA$- مدول $M$ را \textbf{کمین}\footnote{Minimal} گوییم، اگر برای$ m\geq 1$،$Im d ^m \rightarrow I ^ m$ و$d ^ 0 : M \rightarrow I ^ 0$ پوش تزریقی باشند. \end{dfn} \begin{thm} اگر $R$ و $S$ دو حلقه ی جابجایی باشند؛ و $P$، یک $S$- مدول چپ، $N$، $(S-R)$- دو مدول و $M$ ، $R$-مدول راست باشد ،آنگاه $R$- همریختی های ($S$- همریختی های) زیر را داریم: \begin{enumerate} \item[الف.] \begin{center} $w:Hom_{S}(P,N) \otimes_{R} M \rightarrow Hom_{S}(P,N\otimes_{R}M)$\\ $( \psi\otimes m)(p) \mapsto \psi(p)\otimes m.$ \end{center} که در آن $\psi\in Hom_{R}(P\otimes_{S}, N)$ و $p\in P$ و $n\in N$. همچنین $W$ یکریختی است اگر یکی از دو شرط زیر بر قرار باشد: مدول $P$ با تو لید متناهی و (به عنوان $S$-مدول ) تصویری باشد. مدول $P$ با تولید متناهی و $M$ (به عنوان $R$- مدول ) یکدست و $S$ نوتری باشد. \item[ب.] \begin{center} $\theta: P\otimes_{S} Hom_{R}(N,M) \rightarrow Hom_{R}(Hom_{S}(P,N),M)$\\ $(p\otimes\psi)(\varphi) \mapsto(\psi\circ\varphi)(p).$ \end{center} که در آن $\psi\in Hom_{R}(N,M)$و$\varphi\in Hom_{S}(P,N)$و$p\in P$. همچنین $\theta$یکریختی است اگر یکی از دو شرط زیر برقرار باشد: 1-مدول $P$ با تولید متناهی و (به عنوان $S$- مدول ) تصویری باشد. 2-مدول $P$ با تولید متناهی و $M$ (به عنوان $R$-مدول)تزریقی و $S$ نوتری باشد. \item[ج)] فرض کنیم $\psi\in Hom_{R}(P\otimes_{S}, N)$ و $p\in P$ و $n\in N$، در این صورت: \begin{displaymath} \xymatrix{ \rho : Hom_{R}(P\otimes_{S} N,M) \ar[r]^{\simeq} & Hom_{S}(P,Hom_{R}(N,M))} \end{displaymath} به طوری که $\rho(\psi)(p)(n) = \psi(p\otimes n)$ \end{thm} \begin{proof} به فصل دهم [17] و فصل ابتدایی [18] رجوع کنید. \end{proof} \begin{prop} فرض کنیم: \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & A^{\prime} \ar[r]^{\varphi} & A \ar[r]^{\psi} \ar[d]^{d} & A^{\prime\prime} \ar[d]^{h}\\ 0 \ar[r] & B^{\prime} \ar[r]^{\varphi^{\prime}} & B \ar[r]^{\psi^{\prime}} & B^{\prime\prime}} \end{displaymath} یک نمودار جابجایی از $R$- مدول ها و $R$- همریختی ها باشد، به طوری که هر دو سطر آن دقیق باشند. در اینصورت $R$- همریختی یکتای $f:A^{\prime} \rightarrow B^{\prime}$ موجود است که بلوک چپ نیز جابجا می شود. در ضمن اگر $h$ و $g$ یکرختی باشند، $f$ نیز $R$- یکرختی است. \end{prop} \begin{proof} به قضیه ی 3.32 از \cite{35} رجوع شود. \end{proof} \begin{dfn}$\Lambda$- مدول $P$ یک را مولد \footnote{Generator} برای $mod\Lambda$ گوییم، اگر هر$\Lambda$- مدول $M$، خارج قسمتی از یک جمع مستقیم از کپی های $P$ باشد. \end{dfn} \section{رسته ها} نکته . در این بخش $R$ همواره حلقه یکداری است که لزومأ جابجایی نیست. در بررسی ساختارهای جبری، با اشیاء خاصی (مثل مدول ها ) و نگاشت های بین آن ها ( همریختی ها ) سروکار داریم. به بیان بسیار ساده به مجموعه ای از اشیاء به همراه نگاشت های بین آنها یک رسته \footnote{Category} می گوییم. حال فرض کنید که هر شيء از یک رسته به شيء از رسته دیگری مرتبط شده باشد، به گونه ای که نگاشتی از اشیاء وابسطه در رسته دوم تبدیل شود. باز به بیان نادقیق این تبدیل از رسته ها را یک تابعگون \footnote{Functor} می گوییم. \begin{dfn} یک رسته، عبارت است از یک سه تایی چون $C = (Ob C , Hom C,0)$، به طوری که $Ob C$ را رده ی شيء \footnote{Object} های $C$ ، و $Hom C$ را ریختار \footnote{Morphism} های $C$ می نامیم، و 0یک عمل دوتایی روی ریخت هاست، به طوری که شرایط زیر برآورده شوند: \begin{enumerate} \item[الف.] برای هر دو جفت شیء $X$ و $Y$ در $C$ مجموعه ای چون $Hom _ \mathcal{C} (X,Y)$ بانام مجموعه ی ریختارها از $X$ به $Y$ نظیر شود که اگر $(Z , U)\neq(X , Y)$، آنگاه اشتراک$Hom _ \mathcal{C} (X , Y)$ و $Hom _ \mathcal{C} (z , U)$ تهی باشد. و ب) برای هر سه تایی $X$ و $Y$ و $Z$ از اشیاء در $C$، عمل \begin{center} $\circ: Hom_{\mathcal{C}}(Y,Z)\times Hom_{\mathcal{C}}(X,Y) \rightarrow Hom_{\mathcal{C}}(X,Z)$\\ $ (g,f) \to g\circ f $ \end{center} (که ترکیب $f$ و$g$ خوانده می شود )، تعریف شده باشد و دارای دو ویژگی زیر باشد: \item[1.] برای هر $f \in Hom _ \mathcal{C} (X , Y)$ و $g \in Hom _ \mathcal{C} (Y , Z)$ و$h \in Hom _ \mathcal{C} (Z , U)$ ، داشته باشیم: $h\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f$ \item[2.] برای هر شيء $X$ در $\mathcal{C}$،عضوی به نام $1_{X}\in Hom_{\mathcal{C}}(X,X)$به نام ریخت همانی وجود دارد که اگر$f \in Hom _ \mathcal{C} (X , Y)$ و $g \in Hom _ \mathcal{C}(Z , X)$، آنگاه $1_{X}\circ g= g$ و $f= f\circ 1_{X}$ \end{enumerate} \end{dfn} \begin{dfn} فرض کنیم $\mathcal{C}$ یک رسته باشد. رسته ی$\mathcal{C}'$ را نیز رسته ی $\mathcal{C}$ گوییم، هرگاه چهار شرط زیر برقرار باشد. \begin{enumerate} \item[.الف] رده اشیاء $\mathcal{C}'$ زیر رده ای رده ی اشیاء $\mathcal{C}$ باشد. \item[ب.] اگر $X$ و $Y$ دو شيء از $\mathcal{C}$ باشند، آنگاه $Hom _{ \mathcal{C}'} (X, Y) \subseteq Hom _{\mathcal{C}} (X , Y)$ \item[ج.] برای هر شيء $X$ در $\mathcal{C}'$ ریختاری همانی$ 1_{X}^{\prime}$ در $Hom_{\mathcal{C}^{\prime}}(X,X)$همان ریختار همانی $1_{X}^{\prime}$در$Hom _{\mathcal{C}}(X , Y)$ باشد. \item[د.] ترکیب ریختار ها در $\mathcal{C}^{\prime}$، دقیقا همان ترکیب ریختار ها در $\mathcal{C}$ باشد. \end{enumerate} \begin{exm} رسته مجموعه ها Sets. اشیاء این رسته همه مجموعه ها هستند، ریختار های آن توابع و ترکیب همان ترکیب معمول توابع است. اگر $B$ و $A$ دو مجموعه باشند،$Hom (A,B)$ تمام توابع از $A$ به $B$ یک مجموعه است. طبق تعریف، توابع دارای دامنه و برد یکتا هستند . (دو تابع با هم برابرند هرگاه دارای دامنه های یکسان بوده و روی دامنه مقادیر یکسان بگیرند.) تابع همانی نیز به عنوان ریخت همانی عمل می کند. \end{exm} 2-رسته گروه ها$ Groups$، اشیاء گروه ها، ریختار ها همریختی ها و ترکیب، ترکیب توابع است. به طور مشابه رسته های گروه های آبلی $Ab$، رسته های حلقه ها $Rings$ ورسته حلقه های جابجایی $ComRings$ تعریف می شوند. \begin{dfn} رسته Mod R$ $ رسته ای است که به عنوان اشیاء شامل همه ی $R$- مدول ها است، ریختارهای آن $R$- همریختی ها هستند و ترکیب در آن ترکیب معمول توابع است. در این رسته $Hom (A , B)$ رابا$Hom _ R (A , B)$ نمایش می دهیم. اگر $R = Z$ چون گروه های آبلی $Z$- مدول هستند و همریختی ها $Z$- همریختی اند، پس Ab = mod R \end{dfn} \begin{dfn} زیر رسته ی $\mathcal{C}^{\prime}$ از $\mathcal{C}$ را کامل \footnote{Full} گوییم، هرگاه برای هر دو عضو دلخواه $X$ و $Y$ در $\mathcal{C}^{\prime}$، داشته باشیم: $Hom _ { \mathcal{C}^{\prime}} (X , Y) = Hom _ {\mathcal{C}} (X , Y)$ \end{dfn} \begin{dfn} \begin{enumerate} \item[الف.] فرض کنیم $X$ و $Y$ دو شیء در رسته ی $\mathcal{C}$ باشد. ریختار $h : X \longrightarrow X$ در$\mathcal{C}$ را \textbf{درون ریختی} \footnote{Endomorphism} $X$ می نامیم. \item[ب.] ریختار $u : X \rightarrow Y$ در $\mathcal{C}$ را \textbf{تک ریختی} \footnote{Monomorphism} می نامیم، هرگاه برای هر شیء $Z$ در$Ob \mathcal{C}$ و هر زوج ریختار $f\in Hom_{\mathcal{C}}(Z , X)$، $g$که$u \circ f =u \circ g$ آنگاه . $f = g$ \item[ج.] ریختار $p : X \rightarrow Y$ در $\mathcal{C}$ را \textbf{بروریختی} \footnote{Epimorphism} می نامیم، هرگاه برای هر شیء $Z$ در$Ob \mathcal{C}$ و هر زوج ریختار $f,g \in Hom _ {\mathcal{C}} (Y , Z)$ که $f \circ p = g\circ p$، آنگاه $f = g$ . \item[د.] ریختار $u : X \longrightarrow Y$ در $\mathcal{C}$ را \textbf{یکریختی} \footnote{Isomorphism} می نامیم، هرگاه ریختار $v : Y \longrightarrow X$ در $\mathcal{C}$ باشدکه $uv=1_{Y}$ و$vu=1_{X}$. \end{enumerate} \end{dfn} در این حالت ریختار $v $به طور یکتا به کمک $u$ بدست می آید و آنرا معکوس \footnote{Inverse} برای $u$ می نامیم، و آنرابا $u ^{-1}$ نمایش می دهیم، همچنین وقتی $u : X \longrightarrow Y$، یکریختی باشد، گوییم $X$ و $Y$ یکریختند و می نویسیم: $X \cong Y$ \begin{prop} هر یکریختی، یک تک ریختی و بروریختی است، ولی بر عکس آن لزوما برقرار نیست. \end{prop} \begin{dfn} جمع مستقیم \footnote{Coproduct or Sum Direct} اشیاء $X _ n ,...,X _ 1$ در $\mathcal{C}$، عبارت است از شیء$X_{1}\oplus X_{2}\oplus \ldots \oplus X_{n}$ همراه با ریختارهای $u _ j : X _ j \longrightarrow X _ 1 \oplus ... \oplus X _ n ; j = 1,2,...,n$ که برای هر شیء $Z \in Ob \mathcal{C}$، و هر مجموعه از ریختار های $f_{1} : X_{1} \longrightarrow Z$ و...و$f_{n} : X_{n} \longrightarrow Z$ ، در $\mathcal{C}$، ریختار یکتای $f : X _1 \oplus X _2 ... \oplus X_{n} \longrightarrow Z$ باشد که $f_{j} = f \circ u_{j} $ (برای هر $j = 1,..., n$ ). \end{dfn} \begin{dfn} رسته ی $\mathcal{C}$ را جمعی \footnote{Additive} گوییم، هرگاه شرایط زیر برقرار باشند: \begin{enumerate} \item[الف.] برای هر مجموعه ی متناهی از اشیاء $X _ 1,...,X _ n$ در $\mathcal{C}$جمع مستقیم $X _ 1 \oplus X _ 2 \oplus ... \oplus X _ n$ در $\mathcal{C}$ وجود داشته باشد. \item[ب.] برای هر دو شیء $Y \in Ob \mathcal{C}$و $X$، مجموعه ی $Hom _{ \mathcal{C}} (X , Y)$دارای ساختار گروه آبلی شود. \item[ج.] برای هر سه شیء $X,Y,Z \in Ob \mathcal{C}$، ترکیب \begin{center} $\circ : Hom_{\mathcal{C}}(Y,Z)\times Hom_{\mathcal{C}} (X,Y) \rightarrow Hom_{\mathcal{C}}(X,Z)$ \end{center} در $\mathcal{C}$، دو خط باشد. یعنی $(f+f^{\prime})\circ g =f \circ g +f^{\prime}\circ g$ و $f\circ(g+g^{\prime})=f \circ g +f^{\prime}\circ g^{\prime}$؛وقتی که $f , f'\in Hom _{ \mathcal{C}} (Y, Z)$ و $g , g'\in Hom _{\mathcal{C}} (X , Y)$ . \item[د.] شیء $O \in Ob \mathcal{C}$ با نام شیء صفر \footnote{Object Zero} برای $\mathcal{C}$ باشد که ریختار همانی $1_{0}$ ، صفر گروه آبلی $Hom _ \mathcal{C}(0 , 0)$ باشد. \end{enumerate} \end{dfn} \begin{dfn} برای هر رسته ی جمعی $\mathcal{C}$ ، رسته ی مخالف \footnote{Category Opposite} برای $\mathcal{C}$، با نمایش $\mathcal{C} ^ {op}$ رسته ای جمعیست که اشیاء آن همان اشیاء $\mathcal{C}$ است و برای هر دو شیء $X,Y \in Ob \mathcal{C}$ داشته باشیم: $Hom _ {\mathcal{C} ^ {op}} (X , Y) = Hom _ \mathcal{C} (X , Y)$. همچنین جمع در $Hom _ {\mathcal{C}^ {op}} (X ,Y)$ همان جمع در $Hom _\mathcal{C} (X , Y)$ خواهد بودو ترکیب $o'$ در $Hom _ {\mathcal{C}^ {op}} $ ، وقتی که $o$، عمل ترکیب در $Hom _ \mathcal{C}$ می باشد، با فرمول $g o' f = f o g$ بدست می آید. \end{dfn} نکته: از تعریف فوق واضح است که $(\mathcal{C} ^ {op}) ^{op} = \mathcal{C}$ \begin{dfn} فرض کنید $K$ یک میدان باشد. رسته ی $\mathcal{C}$ را یک $K$- رسته \footnote{K-Category} می نامیم، هرگاه برای هر دو شیء $X$ و $Y$ در رسته ی $\mathcal{C}$، $Hom _ c (X , Y) $ دارای ساختار $K$- فضای برداری شود و عمل ترکیب $o$در $\mathcal{C}$، یک نگاشت $K$- خطی باشد. \end{dfn} \begin{dfn} (؟) فرض کنید $\mathcal{C}$ یک رسته ی جمعی باشدو $f : X \longrightarrow Y$ یک ریختار در $\mathcal{C}$باشد. یک هسته برای $f$، عبارت است از یک شیء چون $Ker f$، همراه با ریختار $u : Ker f \longrightarrow X$ به طوری که شرایط زیر برقرار باشد: \end{dfn} \begin{enumerate} \item[الف.] $f o u = 0$ \item[ب.] برای هر شیء $Z$ در $\mathcal{C}$ و هر ریختار $h : Z \longrightarrow X$، در $\mathcal{C}$ که $f o h = 0$، ریختار یکتا $h': Z \longrightarrow Ker f$ باشد که $h = u o h'$. \end{enumerate} \begin{dfn} فرض کنیم $\mathcal{C}$ یک رسته جمعی باشد و $f : X \longrightarrow Y$ یک ریختار در $C$ باشد. یک همهسته برای $f$، عبارت است از یک شیء چون $Coker f$، همراه با ریختار $p : Y \longrightarrow Coker f$ به طوری که شرایط زیر برقرار باشد: \begin{enumerate} \item[الف.] $p o f = 0$ \item[ب.] برای هر شیء $Z$ در $\mathcal{C}$ و هر ریختار $g : Y \longrightarrow Z$، در $\mathcal{C}$ که $h o f =0$، ریختار یکتای $g' : Coker f \longrightarrow Z$ باشد که $g = g' o p$. \end{enumerate} \end{dfn} \begin{prop} در تعاریف 1.2.13 و1.2.12 ، $u$ یکریختی و $p$ بروریختی است. \end{prop} \begin{prop} فرض کنیم در رسته $\mathcal{C}$ هر ریختار دارای هسته و همهسته باشد. در این صورت برای هر ریختار $f : X \longrightarrow Y$ در $\mathcal{C}$، ریختار یکتای$f^{-}$ در $\mathcal{C}$ وجود دارد که دیاگرام جابجایی است. \begin{displaymath} \xymatrix{ Ker f \ar[r]^{u} & X \ar[d]^{p'} \ar[r]^{f} & Y \ar[r]^{p} & Coker f\\ & Coker u \ar[r]^{\overline{f}} & Ker p \ar[u]^{u'} } \end{displaymath} \end{prop} \begin{proof} به صفحات 407و 408از [2] رجوع کنید. \end{proof} \begin{dfn} در دیاگرام فوق، شیء $Ker p$ را تصویر $f$ می نامیم وبا $Im f$ نمایش می دهیم. \end{dfn} \begin{dfn} رسته $\mathcal{C}$ را یک \textbf{رسته آبلی} \footnote{category Abelion} می نامیم هرگاه: \begin{enumerate} \item[الف.] $\mathcal{C}$ جمعی باشد \item[ب.] هر ریختار $f : X \longrightarrow Y$ در $\mathcal{C}$، دارای هسته ی $u : Ker f \longrightarrow X$و همهسته ی $p : Y \longrightarrow coker f$ باشد و ریختار القا شده ی، $\overline{f}$ ، در فوق یکریختی باشد. \end{enumerate} \end{dfn} \begin{dfn} فرض کنی$\mathcal{C}$ یک رسته ی آبلی باشد. دنباله${}$ی \begin{displaymath} \xymatrix{\ldots \ar[r] & X_{n+1} \ar[r]^{f_{n}} & X_{n} \ar[r]^{f_{n-1}} & X_{n-1} \ar[r] & \ldots} \end{displaymath} را در $\mathcal{C}$ دقیق \footnote{Exact} گوییم، هرگاه برای تمام $n$ ها: همچنین هر دنباله ی دقیق در $\mathcal{C}$به شکل : \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & X \ar[r]^{f} & Y \ar[r]^{g} & Z \ar[r] & 0} \end{displaymath} را\textbf{ دنباله ی دقیق کوتاه} \footnote{sequence exact Short} می نامیم. \end{dfn} \section{تابعگون ها} فرض کنیم $\mathcal{C}$و $\mathcal{D}$دو رسته باشند. \textbf{تابعگون همورد} \footnote{functor Covariant} از $\mathcal{C}$به $\mathcal{D}$، زوجی متشکل از دو تابع است: یکی تابع شیء که به هر شیء از $\mathcal{C}$ مثل $A$، شیء $T(A)$ از $\mathcal{D}$ را نطیر میکند: و دیگری تابع ریختار، که به هر ریختار از $\mathcal{C}$ مثل $f: A \rightarrow B$ ، ریختاری از $\mathcal{D}$ مثل$T(f): T(A) \rightarrow T(B)$ نظیر می${}$کند، با این ویژگی که: \begin{enumerate} \item[1.] به ازای هر شیء از $\mathcal{C}$ مثل $A$، $T(1_{A}) =1 _{T_{A}} $ \item[2.] به ازای هر دو ریختار از $\mathcal{C}$ مثل $f : A \longrightarrow B$ و $g : B \longrightarrow C$،داریم: $T(gf) = T(g)T(f)$ \end{enumerate} \end{dfn} \begin{dfn} فرض کنیم $\mathcal{C}$ و $\mathcal{D}$ دو رسته باشند.\textbf{ تابعگون پادورد} \footnote{functor Contravariant} از $\mathcal{C}$ به $\mathcal{D}$، زوجی متشکل از دو تابع است: یکی تابع شیء که به هر شیء از $\mathcal{C}$ مثل $A$، شیء $T(A)$ از $\mathcal{D}$ را نظیر می کند؛ ودیگری تابع ریختار، که به هر ریختار از $\mathcal{C}$ مثل $f : A \longrightarrow B$ ، ریختاری از $\mathcal{D}$ مثل $T(f) : T(B) \longrightarrow T(A)$ نظیر می کند، با این ویژگی که : \begin{enumerate} \item[1.] به ازای هر شیء از $\mathcal{C}$ مثل $A$،$T(1_{A}) = 1_{T_{A}}$ . \item[2.] به ازای هردو ریختار از $\mathcal{C}$ مثل $f : A \longrightarrow B$ و مثل $g : B \longrightarrow C$ ، داریم : $T(gf)=T(f)T(g)$. \end{enumerate} \end{dfn} \begin{exm} اگر $\mathcal{C}$ یک رسته باشد، \begin{enumerate} \item[1.] تابعگون همانی$\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}$ $1_{\mathcal{C}}:به صورت $1_{\mathcal{C}}(A) =(A)$ برای اشیاء و $1_{\mathcal{C}}(f)= f$ برای ریختار ها تعریف می شود. \item[2.] اگر$A\in obj(\mathcal{C})$ آنگاه تابعگون Hom، $Hom(A, \Box) : C \longrightarrow Ab$. هر شیء $B$ از$ obj(\mathcal{C})$ را به $Hom (A , B)$ می نگارد و اگر $f : B \longrightarrow C$ آنگاه $Hom(A , f) : Hom (A , B) \longrightarrow (A , C)$ به صورت $Hom(A,f): h\mapsto fh$ تعریف می شود. $Hom(A , f)$ را نگاشت القایی می گوییم و آن را با $f_{\ast}$ نشان می دهیم. پس داریم: $f_{\ast}:h\mapsto fh$ همانطور که قبلا گفتیم $Hom(A , B)$ برای هر $B$ یک گروه آبلی است. \end{enumerate} \end{exm} .ترکیب$fh$ با معنی است: \begin{displaymath} \xymatrix{ A \ar[r]_{h} & B \ar[r]_{f} & C } \end{displaymath} اگر $g : C \longrightarrow D$ باشد و$h\in Hom(A,B)$ داریم که \begin{center} $(gf)_{\ast}(h)=(gf)h=gfh$\\ $g_{\ast}f_{\ast}(h) = g_{\ast}(fh) = ghf$ \end{center} \begin{displaymath} \xymatrix{ &A \ar[dl]^{h} \ar[d]|{f_{\ast}(h)} \ar @{->} @< 2pt> [drr]^{g_{\ast}f_{\ast}(h)} \ar @{->} @< -2pt>[drr]_{(gf)_{\ast}(h)}& \\ B \ar[r]_{f} & C \ar@{->}[rr]_{g} && D} \end{displaymath} و در پایان برای$1_{B}: B \rightarrow B$ و برای هر $h\in Hom(A,B)$ داریم: \begin{center} $(1_{B})_{\ast}:h\mapsto 1_{B}h =h$ \end{center} پس $(1_{B})_{\ast} = 1_{_{Hom(A,B)}}$ \begin{lem} اگر $f : B \longrightarrow C$ یک به یک باشد، $f_{\ast} = Hom(A , f) : Hom(A, B) \longrightarrow Hom(A , C)$ یک به یک است. \end{lem} \begin{proof} . فرض کنید $h\in Hom(A,B)$ طوری باشد که $f _ \ast (h) = 0$ ، می خواهیم نشان دهیم که $h = 0$. اگر $a\in A$ باشد داریم که $fh(a) = f _ \ast (h)(a) = 0$ اما چون $f$ یک به یک است نتیجه می شود$h(a) = 0$ و اثبات تمام است. \end{proof} دنباله های دقیق دارای اهمیت زیادی هستندو یک سوال بدیهی در مورد تابعگون ها، این است که آیا دقیق بودن را حفظ می کند یا نه: \begin{dfn} تابعگون همورد$T$ را دقیق گوییم هرگاه دقیق بودن \begin{displaymath} \xymatrix{0 \ar[r] & B^{\prime} \ar[r]^{f} & B \ar[r]^{g} & B^{\prime\prime} \ar[r] & 0} \end{displaymath} دقیق بودن \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & T(B^{\prime}) \ar[r]^{f} & T(B) \ar[r]^{g} & T(B^{\prime\prime}) \ar[r] & 0} \end{displaymath} رابدست دهد. همچنین $T$ را دقیق چپ گوییم هرگاه دقیق بودن \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & B^{\prime} \ar[r]^{f} & B \ar[r]^{g} & B^{\prime\prime} \ar[r] & 0} \end{displaymath} دقیق بودن \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & T(B^{\prime}) \ar[r]^{f} & T(B) \ar[r]^{g} & T(B^{\prime\prime})} \end{displaymath} را نتیجه دهدو آنرا دقیق راست گوییم، هرگاه از دقیق بودن \begin{displaymath} \xymatrix{ B^{\prime} \ar[r]^{f} & B \ar[r]^{g} & B^{\prime\prime} \ar[r] & 0} \end{displaymath} دقیق بودن \begin{displaymath} \xymatrix{ T(B^{\prime}) \ar[r]^{f} & T(B) \ar[r]^{g} & T(B^{\prime\prime}) \ar[r] & 0} \end{displaymath} نتیجه شود. \end{dfn} تابعگون$Hom$ یک عملگر دقیق چپ است: \begin{thm} اگر \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & B^{\prime} \ar[r]^{f} & B \ar[r]^{g} & B^{\prime\prime}} \end{displaymath} دنباله دقیق باشد، دنباله القایی \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & Hom(A,B^{\prime}) \ar[r]^{f_{\ast}} & Hom(A,B) \ar[r]^{g_{\ast}} & Hom(A,B^{\prime\prime}) } \end{displaymath} نیز دقیق است. \end{thm} \begin{proof} بنابر لم(1.3.3) از یک به یک بودن $f$ یک به یک بودن $f _ \ast$ بدست می آید. چون$fg = 0$ پس $f_{\ast}g_{\ast} = (fg)_{\ast} = 0$ و $Im(g_{\ast})\subseteq Ker(f_{\ast})$ .فرض کنید $p : A \longrightarrow B$ چنان باشد که $p \in Ker(g _ \ast)$، در این صورت $gp = g _ \ast (p) = 0$ و $Im(p)\subseteq Ker(g)$ پس محدود کردن برد $p$ همریختی $B \longrightarrow Im(f)$ را بدست می دهد. چون $f$ یک به یک است داریم که $Im(f) \simeq B'$. اگر $q$ نگاشت ترکیبی $A \longrightarrow Im(f) \longrightarrow B'$ باشد، داریم $fg = p$ پس $ p = fq = f _ \ast (q) \in Im(f _ \ast)$ لذا $Ker(g_{\ast})\subseteq$ \end{proof} \begin{thm} اگر \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & B^{\prime} \ar[r]^{f} & B \ar[r]^{g} & B^{\prime\prime}} \end{displaymath} دنباله دقیق باشد، دنباله القایی \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & Hom(B^{\prime\prime},L) \ar[r]^{g_{\ast}} & Hom(B,L) \ar[r]^{f_{\ast}} & Hom(B^{\prime},L) } \end{displaymath} نیز دقیق است. \end{thm} \begin{proof} رجوع به 40.2 از مرجع [34] کنید. \end{proof} \begin{thm} $R$- مدول $P$ تصویری است اگر و فقط اگر $Hom _ R (P , \Box)$ دقیق باشد. \end{thm} \begin{proof} فرض کنید $Hom _ R (P , \Box)$ دقیق باشد و در نمودار \begin{displaymath} \xymatrix{ &P \ar[d] & \\ A \ar[r]^{f} & B \ar[r] & 0} \end{displaymath} سطر $A \longrightarrow B \longrightarrow 0$ دقیق باشد، در نتیجه \begin{displaymath} \xymatrix{ Hom_{R}(P,A) \ar[r]^{f_{\ast}} & Hom_{R}(P,B) \ar[r] & 0} \end{displaymath} دقیق است یعنی $f _ \ast$ پوشا است. پس برای هر $h : P \longrightarrow B$ همریختی $\phi : P \longrightarrow A$ موجود است که $f _ \ast (\phi) = f \varnothing = h$ و $P$ تصویری است. برعکس، اگر $P$ تصویری و \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r]^{g} & B'' \ar[r] & 0} \end{displaymath} دقیق باشد، می دانیم که \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & Hom_{R}(P,B') \ar[r] & Hom_{R}(P,B) \ar[r]^{g_{\ast}} & Hom_{R}(P,B'') } \end{displaymath} یک دنباله دقیق است و کافی است نشان دهیم که $g _ \ast$ پوشا است. اما چون $P$ تصویری است برای هر $h \in Hom _ R ( P , B")$ ، $\phi Hom _ R (P , B)$ موجود است که $g \ast (\phi) = g \phi= h$ و $g _ \ast$ پوشا است. \end{proof} \begin{thm} - مدول $E$ تزریقی است اگر و فقط اگر $Hom _ R (\Box , E)$ دقیق باشد. \end{thm} \begin{proof} رجوع به 25.3 از مرجع [34] کنید. \end{proof} \begin{dfn} فرض کنیم $T' :\mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{C} '$ ، $T$ دوتابعگون باشد.$\psi = \lbrace \psi_{X}\rbrace_{X\in Ob\mathcal{C}}: T\to T^{\prime}$ را تبدیل طبیعی \footnote{formation trans Natural} تابعگون ها گوییم، هرگاه $\psi _ X : T(X) \longrightarrow T'(X)$ ، به گونه ای باشد که برای هر ریختار $f : X \longrightarrow Y$ در $\mathcal{C}$ ، دیاگرام \begin{displaymath} \xymatrix{ T(X) \ar[r]^{\psi_{X}} \ar[d]^{T(f)} & T^{\prime}(X)\ar[d]^{T^{\prime}} \\ T(Y) \ar[r]^{\psi_{Y}} & T^{\prime}(Y)} \end{displaymath} در $\mathcal{C}'$ جابجایی شود. همچنین گوییم $\psi$ \textbf{یکریختی طبیعی} \footnote{isomorphism Natural} تابعگون ها است، هرگاه برای هر $X \in Ob \mathcal{C}$، ریختار $\psi _ X : T(X) \longrightarrow T'(X)$، در $\mathcal{C}'$ یکریختی باشد. \end{dfn} \begin{dfn} \begin{enumerate} \item[الف] تابعگون همورد $T : \mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{C}'$ را \textbf{هم ارزی رسته ای }\footnote{categories of Equiualence} گوییم، اگر تابعگون $F : \mathcal{C}' \longrightarrow \mathcal{C}$ و یکریختی های طبیعی \begin{displaymath} \xymatrix{ \psi : 1_{\mathcal{C}} \ar[r]^{\simeq} & FT} \end{displaymath} و \begin{displaymath} \xymatrix{ \psi : 1_{\mathcal{C}'} \ar[r]^{\simeq} &TF} \end{displaymath} موجود باشند.( $1_{\mathcal{C}}$ و $1_{\mathcal{C}^{\prime}}$، تابعگون های همانی روی $\mathcal{C}$ و $\mathcal{C}'$ می باشند). تابعگون $F$ ، با شرایط ذکر شده را \textbf{شبه معکوس} \footnote{inuerse - Quasi} می خوانیم. در این حالت رسته های $\mathcal{C}$ و $\mathcal{C}'$ را \textbf{هم ارز} \footnote{Equiualent} می نامیم و می نویسیم: $\mathcal{C} \cong \mathcal{C}'$ . \item[ب] تابعگون پادورد $D : \mathcal{C}\longrightarrow D$ را هم ارز گوییم، اگر $D : \mathcal{C} ^ {op} \longrightarrow D$ به عنوان یک تابعگون، همورد هم ارز باشد. \end{enumerate} \end{dfn} \begin{dfn} (؟) تابعگون پادورد $D : C \longrightarrow D$ که هم ارز رسته ای نیز باشد، یک \textbf{دوگانی}\footnote{Duality} می گوییم. \end{dfn} \begin{exm} (؟) اگر $K$ میدان و$\Lambda$ یک $K$- جبر با بعد متناهی باشد و $\Lambda^{op}$ جبر مخالف $\Lambda$ باشد،$D : Hom _ K ( -, K) : mod\Lambda \rightarrow mod \Lambda^{op}$، یک مثال مهم از دوگانی است. \end{exm} \begin{dfn} تابعگون همورد $T :\mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{C}'$ را \begin{enumerate} \item[الف)] \textbf{چگال}\footnote{Dense} گوییم، اگر برای هر شیء در $\mathcal{C}'$ شیء $C$ $\mathcal{C}$ و یکریختی $T(C)\cong A$ برقرار باشد در \item[ب)] \textbf{کامل}\footnote{Full} گوییم، اگر نگاشت \begin{center} $T_{XY} : Hom_{\mathcal{C}}(X,Y) \longrightarrow Hom_{\mathcal{C}'}(T(X),T(Y))$\\ $f \longmapsto T(f)$ \end{center} برای تمام اشیاء $X$و $Y$ در $\mathcal{C}$، پوشا باشد. \item[ج)] \textbf{وفادار}\footnote{Faithfull}گوییم، اگر در فوق $T_{XY}$برای تمام اشیاء $X$و $Y$ در $\mathcal{C}$،یک نگاشت یک به یک باشد. \end{enumerate} \end{dfn} \begin{thm} تایعگون پادورد $T :\mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{C}'$، دوگانی است، اگر وتنها اگر $T$ کامل، وفادار و چگال باشد. \end{thm} \begin{proof} به قضیه 1.4 از مرجع ؟؟، رجوع شود \end{proof} \begin{prop} فرض کنیم $T :\mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{C}'$، یک تابعگون که دوگانی است، \begin{enumerate} \item[الف)] همریختی $f : A\rightarrow B$ در $\mathcal{C}$ یک به یک(پوشا) است، اگر وتنها اگر $F(f) :F(B) \rightarrow F(A)$ پوشا(یک به یک) است. \item[ب)] شیء $C$در $\mathcal{C}$ تصویری(تزریقی) است، اگر وتنها اگر شیء $F(C)$در $\mathcal{C}'$ تزریقی(تصویری) است. \end{enumerate} \end{prop} \begin{proof} به گزاره 1.4 از مرجع ؟؟، رجوع شود \end{proof} \begin{dfn} فرض کنیم $T :\mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{C}'$ یک تابعگون همورد بین رسته های جمعی $\mathcal{C}$ و $\mathcal{C}'$ باشد. گوییم $T$ \textbf{حافظ جمع مستقیم} \footnote{sum direct Preserves} است، اگر برای هر دو شیء $X _ 1 , X _ 2 \in Ob \mathcal{C}$، ریختار های \begin{displaymath} \xymatrix{ T(X_{1}) \ar[r]^{T(u_{1})} & T(X_{1}\oplus X_{2}) & T(X_{2}) \ar[l] _{T(u_{2})}} \end{displaymath} که توسط \begin{displaymath} \xymatrix{ X_{1} \ar[r]^{u_{1}} & X_{1}\oplus X_{2} & X_{2} \ar[l] _{u_{2}}} \end{displaymath} القا می شود ، یکریختی \begin{displaymath} \xymatrix{ T(X_{1}) \oplus T(X_{2}) \ar[r]^{\simeq} & T(X_{1}\oplus X_{2}) } \end{displaymath} را نتیجه دهد. \end{dfn} \section{همولوژی} \begin{dfn} یک \textbf{هم بافت} \footnote{complex Chain} در رسته $\mathcal{C}$، یک $\circ$- دنباله نامتناهی از اشیاء و ریخت های $\mathcal{C}$ است. هم بافت \begin{displaymath} \xymatrix{ \cdots \ar[r] & X_{n+1} \ar[r]^{d_{n}+1} & X_{n} \ar[r]^{d_{n}} & X_{n-1} \ar[r]^{d_{n}-1} &\cdots} \end{displaymath} را با $(X_{\bullet},d_{\bullet})$ یا گاهی برای ساده شدن نمادگذاری با $X_{\bullet}$ نشان می دهیم. \end{dfn} \begin{dfn} اگر$(X_{\bullet},d_{\bullet})$ و $Y_{\bullet},p_{\bullet})$ دو هم بافت باشند، یک \textbf{نگاشت زنجیری} \footnote{map Chain} بین آنها $f_{\bullet} :(X_{\bullet},d_{\bullet}) \rightarrow (Y_{\bullet},p_{\bullet})$ دنباله ای است از ریخت های $F _ n : X _ n \longrightarrow Y _ n$ برای هر $n \in Z$ که نمودار \begin{displaymath} \xymatrix{ X_{\bullet}\ar[d]^{f_{\bullet}} & \cdots \ar[r] & X_{n+1} \ar[d]^{f_{n+1}} \ar[r]^{d_{n}+1} & X_{n} \ar[d]^{f_{n}} \ar[r]^{d_{n}} & X_{n-1} \ar[d]^{f_{n-1}} \ar[r]^{d_{n}-1} &\cdots\\ Y_{\bullet} &\cdots \ar[r] & Y_{n+1} \ar[r]^{p_{n+1}} & Y_{n} \ar[r]^{p_{n}} & Y_{n-1} \ar[r] &\cdots} \end{displaymath} را جابجا کند. \end{dfn} اگر $f _ \bullet : X _ \bullet \longrightarrow Y _ \bullet$ و $g _ \bullet : Y _ \bullet \longrightarrow Z _{\bullet}$ نگاشت های زنجیره ای باشندو ترکیب$g _ \bullet f _ \bullet$ را با $(gf) _ n = g _ n f _ n$ تعریف کنیم، اولا" این ترکیب خوش تعریف است چون $g _ n : Y _ n \longrightarrow Z _ n$ و $f _ n : X _ N \longrightarrow Y _ n$ و حاصل ترکیب دنباله ای از ریخت ها برای هر $n \in Z$ است و خود یک نگاشت زنجیره ای است. به علاوه نگاشت زنجیری $1_{X_{\bullet}} : X_{\bullet} \longrightarrow X_{\bullet}$ که دنباله ریخت${}$های همانی $1_{X_{n}} : X_{n} \longrightarrow X_{n}$ است به عنوان نگاشت زنجیری همانی عمل می کند. رسته ی همه ی نگاشت های زنجیری روی $\mathcal{C}$ را با $Comp (\mathcal{C})$ یا به اختصار با $C(\mathcal{C})$ نشان می دهیم. \begin{dfn} اگر $X$ و$Y$ دو هم بافت باشندو $d \in Z$ ، یک نگاشت $s : X \in Y$ از درجه $d$، دنباله ی$s = (s _ n)$ است که برای هر $n$ ، $s_{n}: X_{n} \longrightarrow Y_{n+d}$. \end{dfn} برای مثال نگاشت های زنجیری نگاشت های از درجه $0$ هستند وبرای نگاشت زنجیری $(X _ \bullet , d _ \bullet)$، $d = (d _ n)$ یک نگاشت از درجه $-1$ است. \begin{dfn} نگاشت های زنجیری $f _ \bullet , g _ \bullet : (X _ \bullet , d _ \bullet \longrightarrow Y _ \bullet$ را \textbf{هموتوپ} \footnote{Homopic} گوییم و با $f _ \bullet \sim g _ \bullet$ نشان می دهیم هرگاه، برای هر$n \in Z$ نگاشت $s = (s _ n) : X _ \bullet \longrightarrow Y _ \bullet$ از درجه $+1$ موجود باشد که$ f_{n}- g_{n} = p_{n+1}s_{n}+ s_{n-1}d_{n}$ \begin{displaymath} \xymatrix{ \cdots \ar[r] & X_{n+1} \ar @{->} @< 2pt> [d]_g_{n+1} \ar @{->} @<- 2pt> [d]^f_{n+1} \ar[r]^{d_{n}+1} & X_{n} \ar[dl]_{s_{n}} \ar @{->} @< 2pt>[d]_{g_{n}} \ar @{->} @< -2pt>[d]^{f_{n}} \ar[r]^{d_{n}} & X_{n-1} \ar[dl]_{s_{n-1}} \ar @{->} @< 2pt>[d]_g_{n-1} \ar @{->} @< -2pt>[d]^f_{n-1} \ar[r]^{d_{n}-1} &\cdots \\ \cdots \ar[r] & Y_{n+1} \ar[r]^{p_{n+1}}& Y_{n} \ar[r]^{p_{n}} & Y_{n-1} \ar[r] & \cdots} \end{displaymath} \end{dfn} نگاشت زنجیری $f _ \bullet : (X _ \bullet , d _ \bullet) \longrightarrow (Y _ \bullet , p _ \bullet)$ را \textbf{پوچ هموتوپ} \footnote{Nullhomotopic} گوییم هرگاه$f _ \bullet \simeq \circ$ که $\circ$ نگاشت زنجیری صفر است. \begin{dfn} یک تحلیل برای مدول $M$ ، دنباله ای دقیق از $R$- مدول هاست (که می تواند نامتناهی باشد.) . تحلیل \begin{displaymath} \xymatrix{ \cdots \ar[r]^{d_{n+1}} & A_{n} \ar[r]^{d_{n}} & \cdots \ar[r] & A_{1} \ar[r]^{d_{1}} & A_{0} \ar[r] ^{ d_{0}} & M \ar[r] & \circ} \end{displaymath} را با $(A _ \bullet , d _ \bullet)$ نشان می دهیم. \end{dfn} \begin{dfn} فرض کنیم $(X _ \bullet , d _ \bullet)$ یک همبافت از مدول ها باشد. به ازای هر $n \in Z$، $n$ \textbf{امین مدول همولوژی} این همبافت را به صورت زیر تعریف می کنیم:\begin{center} $ H_{n}(X_{\bullet}) = \dfrac{Ker (d_{n})}{Im(d_{n+1})}$ \end{center} اگر $f _ \bullet : (X _ \bullet , d _ \bullet) \longrightarrow (Y _ \bullet , p _ \bullet)$ یک نگاشت زنجیری باشد، در این صورت به ازای هر $n \in Z$، $f _ \bullet$ نگاشت $H _ n (f _ \bullet) : H _ n (X _ \bullet) \longrightarrow H _ (Y _ \bullet)$ از مدول های همولوژی القا می کند: \begin{center} $ x + Im(d_{n+1}) \mapsto f_{n}(x) + Im(p_{n+1})$ \end{center} اگر $ x + Im(d_{n+1}) \mapsto y + Im(p_{n+1})$ یعنی $x-y \in Im(d_{n+1})$ باشد. برای $c\in X_{n+1}$ داریم:\begin{center} $f_{n}x -f_{n}y =f_{n}d_{n+1}c = p_{n+1} f_{n+1}c \in Im(p_{n+1})$ \end{center} پس $f_{n}x+ Im(p_{n+1}) =f_{n}y+ Im(p_{n+1})$ . بنابراین $H_{n}(X_{\bullet}$ خوش تعریف است. \end{dfn} گاهی $H _ n (f _ \bullet)$ را با $f _ \ast$ نشان می دهیم. \begin{lem} اگر $(X , d) , (Y , p) , (z , q)$ همبافت و $g : Y \longrightarrow Z$،$f : X \longrightarrow Y$ نگاشت های زنجیری باشند، آنگاه $H_{n}(fg) =H_{n}(g)\circ H_{n}(f)$ \end{lem} \begin{proof} برای هر $n$ و $x \in X _ n$ داریم: \begin{align} H_{n}(g)H_{n}(f)(x) & = H_{n}(g)(f_{n}(x) + Im(p_{n+1})) \nonumber\\ & = g_{n}f_{n}(x + Im(p_{n+1}))\nonumber\\ & = (gf)_{n}(x+ Im(p_{n+1}))\nonumber\\ & = H_{n}(gf)(x) \end{align} \end{proof} \begin{thm} اگر $f _ \bullet , g _ \bullet : (X _ \bullet , d _ \bullet) \longrightarrow (Y _ \bullet , p _ \bullet)$ دو نگاشت زنجیری هموتوپ باشند، برای هر $n \in Z$ $H _ n (f _ \bullet) = H _ n (g _ \bullet)$ \end{thm} \begin{proof} . اگر $s : X _ \bullet \longrightarrow Y _ \bullet$ هموتوپی $X$ و $Y$ باشد، داریم$f_{n}- g_{n}= p_{n+1}s_{n} + s_{n-1}d_{n}$. برای $x\in Ker(d_{n})$، $s_{n-1}d_{n}(x) = \circ$ پس $(f_{n}- g_{n})(x)= p_{n+1}s_{n}(x) \in Im(p_{n+1})$ پس برای$x+ Im(d_{n+1})\in H_{n}(X_{\bullet})$ داریم $g_{n}(x) + Im(p_{n+1}= f_{n}(x) + Im(p_{n+1}$ . \end{proof} اگر $f _ \bullet : X _ \bullet \longrightarrow Y _ \bullet$ یک نگاشت پوچ هموتوپ باشد: $\forall n \in H _ n (f _ \bullet) =\circ$ \begin{thm} اگر $\mathcal{C}$ یک رسته جمعی باشد و \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & A \ar[r]^{i} & B \ar[r]^{p} & C \ar[r] & 0} \end{displaymath} یک دنباله دقیق در رسته ی $Comp(\mathcal{C})$ باشد، برای هر $n \in Z$، ریخت \[ \partial_{n} : H_{n}(C) \rightarrow H_{n-1}(A) \] در $\mathcal{C}$ موجود است که \[ \partial_{n} :c+ Im(d_{n+1}^{C}) \rightarrow i^{-1}_{n-1}d_{n}^{B}p_{n}^{-1}(c) + Im d_{n}^{A} \] ریخت $\partial _ n$ را همریختی اتصال می گوییم. \end{thm} \begin{proof} - به قضیه 2.6 از [35] رجوع کنید. \end{proof} \begin{thm} اگر $\mathcal{C}$ یک رسته ی جمعی باشد و \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & A \ar[r]^{i} & B \ar[r]^{p} & C \ar[r] & 0} \end{displaymath} دنباله ای دقیق در $Comp(\mathcal{C})$، دنباله زیر در $\mathcal{C}$ دقیق است.\begin{displaymath} \xymatrix{ \cdots \ar[r] & H_{n+1}(C) \ar[r]^{\partial_{n+1}} & H_{n}(A) \ar[r]^{i_{\ast}} & H_{n}(B) \ar[r]^{p_{\ast}} & H_{n}(C) \ar[r]^{\partial_{n}} & H_{n-1}(A) \ar[r] &\cdots } \end{displaymath} \begin{proof} به قضیه6.3 از [35] رجوع کنید. \end{proof} قضیه 1.4.10 را قضیه دنباله دقیق بلند یا گاهی به دلیل نمودار زیر قضیه مثلث دقیق می گویند. \begin{displaymath} \xymatrix{H_{\bullet}(A) \ar@{->}[rr]^{i_{\ast}} && H_{\bullet}(B) \ar[dl]^{p_{\ast}} &\\ & H_{\bullet}(C) \ar[ul]^{\partial}} \end{displaymath} \begin{proof} به تمرین6.16 از[35] ر جوع کنید. \end{proof} \begin{lem} برای دیاگرام \begin{displaymath} \xymatrix{ & \vdots \ar[d] && \vdots \ar[d]\\ & P_{1}' \ar[d]^{d_{1}'} && P_{1}'' \ar[d]^{d_{1}''}\\ & P_{0}' \ar[d]^{\epsilon} & & P_{0}'' \ar[d]^{\epsilon''}\\ 0 \ar[r] & A' \ar[r]^{i} & A \ar[r]^{p} & A'' \ar[r] & 0} \end{displaymath} در رسته ی مدول ها که ستون ها تحلیل های تصویری اند و سطر دقیق است، تحلیل تصویری $Q$ برای $A$ و نگاشت های زنجیری موجوداند که ستون های تشکیل یک دنباله دقیق از همبافت ها بدهند. \end{lem} \begin{proof} به لم6.20 از [35] رجوع کنید. \end{proof} \begin{lem} اگر نگاشت های زنجیری $f , g : X \longrightarrow Y$ هموتوپ باشند و $F$ یک عملگر جمعی باشد، $F(f)$ و $F(g)$ نیز هموتوپ هستند. \end{lem} \begin{proof} اگر $F$ عملگر همورد باشد، حکم بدیهی است. فرض کنید $F$ پادورد بوده و $s$ هموتوپی بین $f$ و $g$ باشد: \begin{displaymath} \xymatrix{ \cdots \ar[r] & X_{n+1} \ar[d]^{f_{n+1}} \ar[r]^{d_{n}+1} & X_{n} \ar[dl]^{s_{n}} \ar[d]^{f_{n}} \ar[r]^{d_{n}} & X_{n-1} \ar[dl]^{s_{n-1}} \ar[d]^{f_{n-1}} \ar[r] &\cdots \\ \cdots \ar[r] & Y_{n+1} \ar[r]^{p_{n+1}}& Y_{n} \ar[r]^{p_{n}} & Y_{n-1} \ar[r] & \cdots} \end{displaymath} بعد از اثر دادن $F$ داریم: \begin{displaymath} \xymatrix{ \cdots \ar[r] & F( Y_{n-1}) \ar[d]^{F(f_{n-1})} \ar[r]^{F(p_{n})} & F(Y_{n}) \ar[dl]^{F(s_{n-1})} \ar[d]^{F(f_{n})} \ar[r]^{F(p_{n+1})} & F(Y_{n+1}) \ar[dl]^{F(s_{n})} \ar[d]^{F(f_{n+1})} \ar[r] &\cdots \\ \cdots \ar[r] & F(X_{n-1}) \ar[r]^{F(d_{n})}& F(X_{n}) \ar[r]^{F(d_{n+1})} & F(Y_{n+1}) \ar[r] & \cdots} \end{displaymath} و \begin{align} F(s_{n})F(p_{n+1}) + F(d_{n})F(s_{n-1}) &= F(p_{n+1}s_{n}) + F(s_{n-1}d_{n})\nonumber\\ & = F(p_{n+1}s_{n}) + s_{n-1}d_{n})\nonumber\\ & = F(f_{n}- g_{n}) = F(f_{n}) - F(g_{n}) \end{align} پس $F(s)$ هموتوپی بین $F(Y)$ و $F(X)$ است. \end{proof} \begin{thm} اگر $M$ و $N$ دو $R$- مدول بوده و $P _ \bullet$ و $Q _ \bullet$ تحلیل های تصویری از $M$ و $N$ باشند و $f : M \longrightarrow N $ یک $R$- همریختی باشد. $f$ به یک نگاشت زنجیری $f _ \bullet$ بالا برده می شود. و هر دو بالا بر $f$ باهم هموتوپ هستند. \end{thm} \begin{proof} وجود بالابر از تعریف مدول تصویری، قضیه 1.1.10 و نتیجه بعد از آن بدست می آید. اگر $f _ \bullet$ و $g _ \bullet$ دوبالابر $f$ باشند، از جابجایی بودن دیاگرام \begin{displaymath} \xymatrix{ \cdots \ar[r] &P_{2} \ar @{->} @< 2pt> [d]_g_{2} \ar @{->} @<- 2pt> [d]^f_{2} \ar[r]^{p_{2}} & P_{1} \ar[dl]_{s_{1}} \ar @{->} @< 2pt>[d]_{g_{1}} \ar @{->} @< -2pt>[d]^{f_{1}} \ar[r]^{p_{1}} & P_{0} \ar[dl]_{s_{0}} \ar @{->} @< 2pt>[d]_g_{0} \ar @{->} @< -2pt>[d]^f_{0} \ar[r]^{p_{0}} & M \ar[d]^{f} \ar[r] & 0 \\ \cdots \ar[r] & Q_{2} \ar[r]^{p_{n+1}}& Q_{1} \ar[r]^{p_{n}} & Q_{0} \ar[r]^{q_{0}} & N \ar[r] & 0} \end{displaymath} داریم $q_{0}(f_{0}-g_{0}) = q_{0}f_{0}-q_{0}g_{0} = fp_{0}- fp_{0}=0$، وچون $P$ تصویری است بنابر نتیجه فضیه (؟) همریختی $ s_{0}: P_{0} \to Q_{1}$ موجود است که$q_{1}s_{0} = f_{0}-g_{0}$ . به طور مشابه برای هر $n$ داریم.$q_{n}(f_{n}-g_{n}) = q_{n}f_{n}-q_{n}g_{n} = fp_{n} - fp_{n} =0$ برای $n = 1$ داریم $q_{1}(f_{1}-g_{1})- q_{1}s_{0}p_{1} = q_{1}(f_{1}-g_{1}) - (f_{0}-g_{0})d_{1} = \circ$ پس $s _ 1 : P _ 1 \longrightarrow Q _2$ موجود است که $q_{2}s_{1} =(f_{1}-g_{1}) - s_{0}d_{1}$ \begin{displaymath} \xymatrix{ & p \ar@ {.>} [dl]^{s_{1}} \ar[d]^{f_{1}-g_{1}) - s_{0}p_{1}} & \\ Q_{2} \ar[r]^{q_{2}} & Q_{1} \ar[r]^{q_{1}} & Q_{\circ}} \end{displaymath} به همین ترتیب سایر $s _ n$ ها بدست آمده، هموتوپ بودن $f \bullet$ و $g _ \bullet$ حاصل می شود. \end{proof} \begin{dfn} فرض کنید $M$ یک $R$- مدول و $P _ \bullet$ تحلیل تصویری محذوف $M$ باشد. یعنی \begin{displaymath} \xymatrix{ P_{\bullet}: & \cdots \ar[r]^{d_{n+1}} & P_{n} \ar[r]^{d_{n}} & P_{n-1} \ar[r] & \cdots \ar[r] & P_{1} \ar[r]^{d_{1}} & P_{0} \ar[r] ^{ d_{0}} & \circ} \end{displaymath} و همبافت \begin{displaymath} \xymatrix{ \cdots \ar[r] & P_{n} \ar[r]^{d_{n}} & P_{n-1} \ar[r] & \cdots \ar[r] & P_{1} \ar[r]^{d_{1}} & P_{0} \ar[r] ^{ \epsilon} & M \ar[r] & \circ} \end{displaymath} دقیق باشد. برای هر $R$- مدول $N$، عملگر پادورد$Hom _ R (\box , N)$ را روی تحلیل $P _ \bullet$ اثر می دهیم تا همبافت زیر بدست آید: \begin{displaymath} \xymatrix{ \circ \ar[r]^{\overline{d_{0}}} & Hom_{R}(P_{\circ},N) \ar[r]^{\overline{d_{1}}} & Hom _{R}(P_{1},N) \ar[r]^{\overline{d_{2}}} & Hom_{R}(P_{2},N) \ar[r] & \cdots} \end{displaymath} برای هر $n \geq 0$، $n$ امین گروه کوهمولوژی $M$ و $N$ را با $Ext^{n}_{R}(M,N)$ نمایش داده وبه صورت زیر تعریف می کنیم: \begin{center} $Ext^{n}_{R}(M,N) = H_{n}(Hom_{R}(P_{\bullet},N)) =\dfrac{Ker\overline{(d_{n+1})}}{Im(\overline{d_{n}})}$ \end{center} \end{dfn} \begin{thm} $Ext^{n}_{R}(M,N)$خوش تعریف است. اگر $P _ \bullet$ و $Q _ \bullet$ دو تحلیل تصویری محذوف $M$ باشند،\\ $H _ n (Hom _ R (P _ \bullet , N)) \simeq H _ n (Hom _ R (Q _ \bullet , N))$ \end{thm} \begin{proof} اگر قرار دهیم $f = id _ M$، بنابه قضیه1.89، $f$ به نگاشت زنجیری $f _{\bullet} : P _ \bullet \longrightarrow Q _ \bullet$ بالا برده می شود. همین طور $g = id _ M$ به $g _ \bullet : Q _ \bullet \longrightarrow P _ \bullet$ بالا برده می شود. اما $g _ \bullet f _ \bullet : P _ \bullet \longrightarrow P _ \bullet$ یک بالا بر $id _ M$ است و $g _ \bullet f_ \bullet \sim id _ P _ \bullet$. \begin{displaymath} \xymatrix{ \cdots \ar[r] & P_{2} \ar[d]^{f_{2}} \ar[r] & P_{1} \ar[d]^{f_{1}} \ar[r] & P_{0} \ar[d]^{f_{0}} \ar[r] & M \ar@{=+}[d]^{id} \ar[r] & 0 \\ \cdots \ar[r] & Q_{2} \ar[d]^{g_{2}} \ar[r] & Q_{1} \ar[d]^{g_{1}} \ar[r] & Q_{0} \ar[d]^{g_{0}} \ar[r] & M \ar@{=+}[d]^{id} & 0\\ \cdots \ar[r] & P_{2}\ar[r] & P_{1} \ar[r] & P_{0} \ar[r] & M \ar[r] & 0 } \end{displaymath} در نتیجه بنابر لم1.88 $Hom _ R (g _ \bullet f _ \bullet , N) \sim Hom _ R (id _ p _ \bullet , N) = id$ اما $Hom _ R (g _ \bullet f _ \bullet , N) = Hom (f _ \bullet , N) \circ Hom (g _ \bullet , N)$ پس $H _ n (Hom _ R (f _ \bullet , N) \circ Hom _ R (g _ \bullet , N)) = id$ وبنابر لم1.82 $H _ n (Hom _R (f _ \bullet , N) \circ Hom _ R (g _ \bullet)) = H _ n (Hom _ R (f _\bullet , N)) \circ H _ n (Hom _ R (g _ \bullet)) = id$ به طریق مشابه داریم $H _ n (Hom _ R (g _ \bullet , N)) \circ H _ n (Hom _ R (f _ \bullet , N)) = id$ و یکریختی بودن$H _ n (Hom _ R (f _ \bullet , N) (: H _ n (Hom _ R (P _ \bullet , N)) \longrightarrow H _ n (Hom _R (Q _ \bullet , N))$ بدست می آید. \end{proof} \begin{thm} برای هر دو $R$- مدول $M$ و $N$، $Ext^{\circ}_{R}(M,N)\simeq Hom_{R}(M,N)$ \end{thm} \begin{proof} فرض کنید $P _ \bullet$ یک تحلیل تصویری برای $M$ باشد، پس دنباله \begin{displaymath} \xymatrix{ P_{1} \ar[r]^{d_{1}} & P_{\circ} \ar[r]^{\epsilon} & M \ar[r] & \circ} \end{displaymath} دقیق است. بنابر قضیه ???? اثبات ناقص \end{proof} \begin{thm} اگر \begin{displaymath} \xymatrix{\circ \ar[r] & A' \ar[r]^{i} & A \ar[r]^{p} & A'' \ar[r] & \circ} \end{displaymath} دنباله دقیقی از مدول ها باشد، دنباله بلند \begin{displaymath} \xymatrix{\circ \ar[r] & Ext^{0}(A'',N) \ar[r] & Ext^{0}(A,N) \ar[r] & Ext^{0}(A',N) \ar[r]^{\partial_{0}} \ar[r] &\cdots\\ \cdots \ar[r] & Ext^{n}(A'',N) \ar[r] & Ext^{n}(A,N) \ar[r] & Ext^{n} (A',N) \ar[r]^{\partial_{n}} &\\ & Ext^{n+1}(A'',N) \ar[r] & Ext^{n+1}(A,N) \ar[r] & Ext^{n+1}(A',N) \ar[r]^{\partial_{n+1}} &\cdots} \end{displaymath} برای هر مدول $N$ دقیق است. \end{thm} \begin{proof} فرض کنید $P'$ و $P^{\prime\prime}$ تحلیل های تصویری برای $A'$ و $A^{\prime\prime}$ باشند، باتوجه به لم (؟) تحلیل تصویری $P$ برای $A$ و نگاشت های زنجیری $j$ و $q$ موجودند که \begin{displaymath} \xymatrix{\circ \ar[r] & P' \ar[r]^{j} & P \ar[r]^{q} & P'' \ar[r] & \circ} \end{displaymath} دنباله ای دقیق از همبافت ها باشد. با توجه به این عملگر $Hom _ R (\square , N)$ دنباله های شکافته شده را حفظ می کند و هر سطر \begin{displaymath} \xymatrix{\circ \ar[r] & P_{n}' \ar[r]^{j_{n}} & P_{n} \ar[r]^{q_{n}} & P_{n}'' \ar[r] & \circ} \end{displaymath} به دلیل تصویری بودن $P^{\prime\prime} _ n$ شکافته شده است، پس دنباله \begin{displaymath} \xymatrix{ \circ \ar[r] & Hom_{R}(P^{''},N) \ar[r]^{\overline{q}} & Hom _{R}(P,N) \ar[r]^{\overline{j}} & Hom_{R}(P',N) \ar[r] & \circ} \end{displaymath} دقیق است. با استفاده از قضیه (؟) و تعریف $Ext$ نتیجه بدست می آید. \end{proof} \begin{thm} اگر $R$- مدول $M$ چنان باشد که برای هر $R$- مدول $N$، $Ext^{1}_{R}(M,N) =0$باشد، $M$ تصویری است. \end{thm} \begin{proof} با توجه به قضیه قبل برای هر دنباله دقیق \begin{displaymath} \xymatrix{\circ \ar[r] & A \ar[r]^{i} & B \ar[r]^{p} & M \ar[r] & \circ} \end{displaymath} دنباله \begin{displaymath} \xymatrix{ Ext^{0}(B,A) \ar[r]^{i_{\ast}} & Ext^{0}(A,A) \ar[r] & Ext^{1}(M,A) \ar[r] & \circ} \end{displaymath} دقیق است. از آن جایی که $Ext^{0}\simeq Hom$ پس $i _ \ast : Hom (B , A) \longrightarrow Hom (A , A)$ پوشاست و همریختی $h \in Hom (B , A)$ موجود است که $i _ \ast (h) = hi = id _ A$. پس هر دنباله دقیق مختوم به $M$ می شکافد و $M$ تصویری است. \end{proof} \begin{thm} اگر $(P , d)$ یک تحلیل تصویری برای $M$ باشد وبرای هر $n$ قرار داریم $K_{n} = Ker d_{n-1}$ آن${}$گاه برای هر $n$ داریم $Ext^{n+1}_{R}(M,N) = Ext^{1}_{R}(K_{n},N)$ \end{thm} \begin{proof} اگر $Q$ تحلیلی تصویری برای $K _ n$ باشد، دنباله \begin{displaymath} \xymatrix{ \cdots \ar[r] & Q_{1} \ar[r] & Q_{0} \ar[r] & K_{n} \ar@{^{(}->}[rr] && P_{n-1} \ar[r]^{d_{n-1}} & \cdots \ar[r] & P_{0} \ar[r] & M \ar[r] & 0} \end{displaymath} تحلیلی تصویری برای $M$ است و چون $Ext$ مستقل از انتخاب تحلیل تصویری است، با توجه به این تحلیل نتیجه بدست می آید. \end{proof} \begin{thm} اگر $R$- مدول $M$ دارای تحلیل تصویری از طول متناهی $n$ باشد، \begin{center} $\forall N \qquad \forall i>n \qquad Ext^{i}_{R}(M,N)=0$ \end{center} برعکس، اگر برای هر $R$- مدول $N$،$Ext^{n+1}_{R}(M,N)=0$ آنگاه $M$ دارای یک تحلیل تصویری از طول حداکثر $n$ است. \end{thm} \begin{proof} فرض کند$(P _ \bullet , d _ \bullet)$ تحلیل تصویری $M$ از طول $n$ باشد، \begin{displaymath} \xymatrix{ \ar[r] & P_{n} \ar[r] & \cdots \ar[r] & P_{1} \ar[r] & P_{0} \ar[r] & M \ar[r] & \circ} \end{displaymath} \end{proof} بنابر قضیه 52.1.2 با عوض شدن تحلیل تصویری$Ext^{i}_{R}(M,N)$ تغییر نمی کند و برای تحلیل$P \bullet$ داریم،$Ext^{n}_{R}(M,N) = H_{n}(Hom_{R}(P_{\bullet},N)) = \dfrac{\overline{Ker (d_{n+1})}}{\overline{Im(d_{n})}$ که برای $i >n$ برابر $0$ است. برعکس، فرض کنید برای هر مدول $N$، $Ext^{n+1}_{R}(M,N)=0$ و $(p , d)$ یک تحلیل تصویری برای $M$ باشد. در این صورت$Ext^{1}_{R}(Ker d_{n-1} ,N)=0$ و در نتیجه $Ker d_{n-1}$ تصویری است. در نتیجه اگر $K_{n} = Ker d_{n-1}$ دنباله \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & K_{n} \ar@{^{(}->}[rr] && P_{n-1} \ar[r]^{d_{n-1}} & \cdots \ar[r] & P_{1} \ar[r]^{d_{1}} & P_{0} \ar[r] & M \ar[r] & 0} \end{displaymath} دقیق است و یک تحلیل تصویری برای $M$ از طول $n$. \begin{thm} \begin{enumerate} \item[1.] $R$- مدول $A$ تصویری است اگر و فقط اگر به ازای هر $R$- مدول $B$، $Ext^{1}_{R}(A,B)=0$ \item[2.]$R$- مدول $B$ تزریقی است اگر و فقط اگر به ازای هر $R$- مدول $A$،$Ext^{1}_{R}(A,B)=0$ . \end{enumerate} \end{thm} \begin{proof} به قضیه 7.12 از[35] رجوع کنید. \end{proof} \begin{dfn} فرض کنید $M$ یک $R$- مدول ناصفر باشد. گوییم مدول $M$ بعد تصویری حداکثر $n$ دارد و می‌‌‌‌ نویسیم $pd_{R} M \leq n$ ، هرگاه دارای تحلیل تصویری به صورت \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & P_{n} \ar[r] & \cdots \ar[r] & P_{1} \ar[r] & P_{0} \ar[r] & M \ar[r] & 0} \end{displaymath} باشد. اگر $n$ کوچکترین عدد با خاصیت فوق باشد، آنگاه گوییم \textbf{بعد تصویری} \footnote{dimension Projective} مدول $M$، دقیقا $n$ است. همچنین اگر $R$- مدول $M$، هیچ تحلیل تصویری متناهی نداشته باشد، می گوییم بعد تصویری مدول $M$ نامتناهی است و می نویسیم$pd_{R} M = \infty$. اگر $M$، مدول صفر باشد، در این صورت تعریف می کنیم$pd_{R} M = -\infty$ \end{dfn} \begin{thm} فرض کنید$R$ یک حلقه و $M$ یک $R$- مدول و $n \geq 0$ باشد. شرایط زیر معادل اند: \begin{enumerate} \item[1.] بعد تصویری مدول $M$ روی حلقه $R$ حداکثر $n$ است. \item[2.] برای هر $R$- مدول $N$ و هر $K \geq 1$، $Ext^{n+k}_{R}(M,N)=0$ \item[3.] برای هر $R$- مدول $N$، $Ext^{n+1}_{R}(M,N)=0$ \end{enumerate} \end{thm} \begin{proof} به قضیه 9.5 از[35] رجوع کنید. \end{proof} \begin{dfn} فرض کنید $N$ یک $R$- مدول ناصفر باشد. گوییم مدول $N$ \textbf{بعد تزریقی حداکثر} $n$ دارد و می نویسیم$id _ R N \leq n$، هرگاه دارای تحلیل تزریقی به صورت زیر باشد. \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & E^{0} \ar[r] & E^{1} \ar[r] &\cdots \ar[r] & E^{n} \ar[r] & 0} \end{displaymath} \end{dfn} اگر $n$ کوچکترین عدد با خاصیت فوق باشد، آنگاه گوییم بعد تزریقی \footnote{dimension Injective} مدول $N$، دقیقا $n$ است. همچنین اگر $R$- مدول $N$، هیچ تحلیل تزریقی متناهی نداشته باشد، می گوییم بعد تزریقی مدول $N$ متناهی است ومی نویسیم $id_{R} N = \infty$ . اگر $N$، مدول صفر باشد، در این صورت تعریف می کنیم$id_{R} N = -\infty$. \begin{thm} فرض کنید $R$ یک حلقه و $N$ یک $R$- مدول و $n \geq$ باشد. شرایط زیر معادل اند: \begin{enumerate} \item[1.] بعد تزریقی مدول $N$ روی حلقه $R$ حداکثر $n$ است. \item[2.] برای هر $R$- مدول $M$ و هر $K \geq$، $Ext^{n+k}_{R}(M,N)=0$ \item[3.] برای هر $R$- مدول $M$ ، $Ext^{n+1}_{R}(M,N)=0$ \end{enumerate} \end{thm} \begin{proof} به قضیه 9.8 از [35] رجوع کنید. \end{proof} \begin{dfn} دنباله دقیق $ \xi : 0 \longrightarrow B \longrightarrow C \longrightarrow A \longrightarrow 0$ از $R$- مدول ها را یک توسیع $B$ به وسیله $A$ نامیم. در این صورت گوییم (؟) یک توسیع $B$ به وسیله $A$ است. \end{dfn} \begin{dfn} توسیع $\xi : 0 \longrightarrow B \longrightarrow C \longrightarrow A \longrightarrow 0$ را\textbf{شکافتی} گوییم اگر به عنوان دنباله دقیق کوتاه شکافتی باشد. \end{dfn} \begin{dfn} فرض کنید $\xi$ و $\xi^{'}$ دو توسیع $B$ به وسیله ی $A$ باشند. این دو توسیع را هم ارز نامیم؛ هرگاه نگاشت $\varphi : C \longrightarrow C'$ موجود باشد به طوری که دیاگرام زیر جابجایی گردد. \begin{displaymath} \xymatrix{\xi : 0 \ar[r] & B \ar[d]^{1_{B}} \ar[r] & C \ar[d]^{\varphi} \ar[r] & A \ar[d]^{1_{A}} \ar[r] & 0 \\ \xi^{\prime} : 0 \ar[r] & B \ar[r] & C^{\prime} \ar[r] & A \ar[r] & 0} \end{displaymath} توجه می کنیم که نگاشت $\varphi$ در نمودار فوق یکریختی است. به راحتی دیده می شود که هم ارز بودن یک رابطه هم ارزی روی رده ی همه توسیع های $B$ به وسیله $A$ است. کلاس هم ارزی توسیع $\xi$ را با نماد $[\xi]$ نشان داده و مجموعه ی $e(A,B)$ را به صورت زیر تعریف می کنیم: \begin{center} $e(A,B) = \lbrace [\xi] : \xi یک توسیع B به وسیله A است\rbrace$ \end{center} \end{dfn} \begin{thm} یک تناظر یک به یک بین مجموعه های $e(A,B)$ و $Ext^{1}_{R}(A,B)$ وجود دارد. که صفر در $Ext^{1}_{R}(A,B)$ با کلاس هم ارزی دنباله های دقیق شکافتی متناظر است. \end{thm} \begin{proof} به قضیه ی7.20 از [35] رجوع کنید. \end{proof} هم اینک بر مجموعه ی $e(A,B)$ یک عمل جمع که به \textbf{جمع بئر} \footnote{sum Baer} موسوم است، مجموعه ی $e(A,B)$ را به یک گروه آبلی تبدیل می کند. برای این منظور فرض کنید$\xi : 0 \longrightarrow B \longrightarrow X \longrightarrow A \longrightarrow 0$ و $\xi' : 0 \longrightarrow B \longrightarrow Y \longrightarrow A \longrightarrow 0$ توسیع هایی از $B$ به وسیله ی $A$ باشند. قرار می دهیم $[\xi] + [\xi^{\prime}] = [(\nabla (\xi\oplus\xi^{\prime}))\triangle]$ که در آن $\xi\oplus\xi^{\prime}$ دنباله دقیق \begin{center} $\xi \oplus\xi^{\prime} : 0 \longrightarrow B \oplus B \longrightarrow X \oplus Y \longrightarrow A \oplus A\longrightarrow 0$ \end{center} بوده، $\bigtriangleup : A \longrightarrowA \oplus A$ نگاشت قطری $(\bigtriangleup(a)=(a , a))$ و $\bigtriangleup : B \oplus B \longrightarrow B$ نیز نگاشت هم قطری$(\nabla(b_{1},b_{2}) = b_{1}+b_{2})$ است. \begin{thm} یکریختی $e(A,B) \cong ext^{1}_{R}(A,B)$ از گروه های آبلی موجود است. \end{thm} \begin{proof} به قضیه7.21 از [35] رجوع کنید. \end{proof} \begin{cor} هر توسیع از $B$ به وسیله‌‌‌‌‌ی $A$ شکافتی است اگر و فقط اگر $Ext^{1}_{R}(A,B)=\circ$$ \end{cor} \begin{cor} بحث فوق نشان می دهد که می توان $ ext^{1}_{R}(A,B)$ را در هر رسته تعریف کرد، حتی اگر آن رسته شامل عناصر تصویری و تزریقی نباشد. به طور مشابه می توان گروه های $ ext^{n}_{R}(A,B)$ را برای هر $n \geq 1$، بدون استفاده از عناصر تصویری و تزریقی تعریف کرد.در این روش که توسط یوندا \footnote{Yoneda} انجام شده هر عنصر $ ext^{n}_{R}(A,B)$ متناظر با کلاس هم ارزی دنباله های دقیق \begin{center} $0 \longrightarrow B \longrightarrow X_{n} \longrightarrow \cdots \longrightarrow X_{1} \longrightarrow A\longrightarrow 0$ \end{center} بوده و عمل جمع نیز همان تعمیم جمع بئر است. در این رابطه می توان به [33] را رجوع کرد. \end{cor} \begin{thm} \begin{enumerate} \item[الف.] اگر $(A_{k})_{k\in K}$ خانواده‌ای از $R$- مدول ها باشد، در اینصورت برای هر $n \geq 0$، یکریختی طبیعی \begin{center} $Ext^{n}_{R}(\bigoplus_{k\in K} A_{k}, B)\cong \prod_{k\in K} Ext^{n}_{R}(A_{k}, B)$ \end{center} برقرار است. \item[ب.] اگر $(B_{k})_{k\in K}$خانواده‌ای از $R$- مدول ها باشد، در اینصورت برای هر $n \geq 0$، یکریختی طبیعی \begin{center} $Ext^{n}_{R}( A,\prod_{k\in K} B_{k})\cong \prod_{k\in K} Ext^{n}_{R}(A, B_{k})$ \end{center} برقرار است. \end{enumerate} \end{thm} \begin{proof} به قصیه‌ی7.21از [34] رجوع کنید. \end{proof} \begin{dfn} اگر \begin{displaymath} \xymatrix{P= \ar[r] & P_{2} \ar[r]^{d_{2}} & P_{1} \ar[r]^{d_{1}} & P_{0} \ar[r]^{\varepsilon} & A \ar[r] & 0} \end{displaymath} تحلیل تصویری از $R$-مدول راست، $A$ باشد، آن${}$گاه \begin{center} $Tor^{n}_{R}(A,B)=H_{n}(P_{A}\otimes_{R}B)=\dfrac{ker(d_{n}\otimes 1_{B})}{im(d_{n+1}\otimes 1_{B})}$ \end{center} \end{dfn} \begin{thm} مدول های $Tor^{n}_{R}(A,B)$ ، مستقل از انتخاب تحلیل تصویری از $A$ است \end{thm} \begin{proof} رجوع به ؟ نتیجه 6.21 \end{proof} \begin{thm} اگر $B$ یک $R$-مدول چپ باشد و\begin{displaymath} \xymatrix{P= \ar[r] & P_{2} \ar[r]^{d_{2}} & P_{1} \ar[r]^{d_{1}} & P_{0} \ar[r]^{\varepsilon} & A \ar[r] & 0} \end{displaymath} یک تحلیل تصویری از $B$ باشد. تعریف می${}$کنیم $K_{0}=ker\varepsilon$ وبرای $n\geq 1$،. $K_{n}=ker d_{n}$ آن${}$گاه \begin{center} $Tor^{n+1}_{R}(A,B)\cong Tor^{n}_{R}(K_{0},B)\cong\ldots\cong Tor^{1}_{R}(K_{n-1},B).$ \end{center} \end{thm} \begin{proof} نتیجه 6.23 از مرجع[34] \end{proof} \begin{thm} \begin{enumerate} \item[الف)] برای هر $R$-مدول راست $A$ ، $Tor^{0}_{R}(A,B)\cong A\otimes_{R}B$ \item[ب)] اگر $0\rightarrow A^{\prime} \rightarrow A\rightarrow A^{\prime\prime}\rightarrow $ دنباله دقیقی از $R$-مدول های راست باشد، آن${}$گاه دنباله بلند \begin{center} $\rightarrow Tor^{2}_{R}(A^{\prime},B) \rightarrow Tor^{2}_{R}(A,B) \rightarrow Tor^{2}_{R}(A^{\prime\prime},B) \rightarrow Tor^{1}_{R}(A^{\prime},B) \rightarrow Tor^{1}_{R}(A,B) \rightarrow Tor^{1}_{R}(A^{\prime\prime},B) \rightarrow A^{\prime}\otimes_{R} B\rightarrow A\otimes_{R}B\rightarrow A^{\prime\prime}\otimes_{R} B\rightarrow 0$ \end{center} برای هر $R$-مدول چپ $B$، دقیق است. \end{enumerate} \end{thm} \begin{proof} قضیه 6.29 و نتیجه 6.30از مرجع [34] \end{proof} \begin{prop} اگر $(B_{k})_{k\in K}$ خانواده${}$ای از $R$-مدول${}$های چپ باشند، در اینصورت برای هر $n\geq 0$ یکریختی طبیعی زیر را داریم: \begin{center} $Tor^{n}_{R}(A,\bigoplus_{k\in K}B_{k})\cong \bigoplus_{k\in K}Tor_{R}^{n}(A,B_{k})$. \end{center} \end{prop} \begin{proof} گزاره 6.7 از مرجع [34] \end{proof} \begin{thm} \begin{enumerate} \item[الف)] اگر $A$ یک $R$-مدول راست و $B$ یک $R$-مدول چپ باشند ، آن${}$گاه \begin{center} $Tor^{n}_{R}(A,B)\cong Tor^{n}_{R^{op}}(B,A)$ \end{center}برای همه $n\geq 0$ . \item[ب)] اگر $R$، حلقه جابجایی و $A$ و $B$، $R$-مدول باشند، آن${}$گاه برای همه $n\geq \circ$ \begin{center} $Tor^{n}_{R}(A,B)\cong Tor^{n}_{R}(B,A)$. \end{center} \end{enumerate} \end{thm} \begin{proof} قضیه 7.1 از مرجع [34] رجوع کنید. \end{proof} \begin{thm} اگر$F$یک $R$-مدول راست باشد، آن${}$گاه برای همه $n\geq 1$ و هر $R$-مدول چپ $M$ ، $Tor^{n}_{R}(F,M)={\circ}$.معادلش هم برقرار است یعنی اگر ، برای هر $R$-مدول چپ $M$ ،$Tor^{1}_{R}(F,A)={\circ}$ ، آن${}$گاهF$ $ یکدست است. \end{thm} \begin{proof} قضیه 2.7 از؟ \end{proof} \begin{dfn} فرض کنیم $A$ یک $R$-مدول باشد. گوییم مدول $A$ \textbf{بعد یکدستی حداکثر} $n$ دارد و می نویسیم $fd_{R}(A)\leq n$، هرگاه داری تحلیل یکدستی \begin{center} $0\rightarrow F_{n}\rightarrow\ldots\rightarrow F_{1}\rightarrow F_{\circ}\rightarrow A\rightarrow 0$. \end{center} داشته باشد، به طوریکه $F_{i}$، مدول${}$های یکدست هستند. اگر $n$ کوچکترین عدد با خاصیت فوق باشد، آن${}$گاه گوییم \textbf{بعد یکدستی}\footnote{Flat dimension} مدول $A$، دقیقاً $n$ است. همچنین اگر $R$-مدول $A$، هیچ تحلیل یکدست متناهی نداشته باشد، گوییم بعد یکدستی مدول $A$ نامتناهی است و می${}$نویسیم $fd_{R}A=\infty$. یک $R$ -مدول $A$ یکدست است اگر وتنها اگر $fd_{R}A=\circ$ \end{dfn} \begin{dfn} اگر \begin{displaymath} \xymatrix{ & \ar[r] & F_{n} \ar[r]^{d_{n}} & F_{n-1} \ar[r] & \cdots \ar[r] & F_{1} \ar[r]^{d_{1}} & F_{0} \ar[r]^{\varepsilon} & A \ar[r] & 0 } \end{displaymath} یک تحلیل یکدستی از $A$ باشد،برای $n\geq 1$ تعریف میکنیم $n$امین $syzygy$ با $Y_{0} =Ker\varepsilon$ و $Y_{n}= Ker d_{n}$ . \end{dfn} \begin{prop} فرض کنید $R$ یک حلقه و $A$ یک $R$-مدول راست و $n\geq \circ$ باشد. شرایط زیر معادلند: \begin{enumerate} \item[(1)] $fd(A)\leq n$. \item[(2)] برای هر $R$-مدول چپ $B$ و $k\geq n+1$، $Tor^{k}_{R}(A,B)=\lbrace \circ\rbrace$. \item[(3)] برای هر $R$ -مدول چپ $B$، $Tor^{n+1}_{R}(A,B)=\lbrace \circ\rbrace$. \item[(4)] $n$امین $syzygy$ از یک تحلیل یکدست $A$، یکدست است \end{prop} \begin{proof} ?? \end{proof} \begin{prop} فرض کنیم $R$ یک حلقه باشد، آن${}$گاه برای هر $R$-مدول راست $A$ داریم، $fd(A) \leq fd(A)$ \end{prop} اگر $R$ نوتری راست باشد و $A$ متناهی مولد باشد،آن ${}$گاه $fd(A) = pd(A)$. \begin{prop} اگر $R$ یک حلقه نوتری چپ باشد و $R$-مدول $A$،متناهی مولد و $C$ یک $S$-مدول تزربقی باشد، آن${}$گاه برای همه $n\geq 0$ \begin{center} $ \rho_{n} :Hom_{R}( Ext^{n}_{R}(A,B),C)\cong Tor^{R}_{n}(Hom_{R}(B,C),A)$ \end{center} \end{prop} \begin{proof} به گزاره 5.3 از مرجع ؟، رجوع شود. \end{proof} \subsection{حد مستقیم} \begin{dfn} فرض کنیم $I$ یک مجموعه مستقیم\footnote{Directed set} باشد، بعبارت دیگر، $I$ یک مجموعه پاره مرتب به طوری که برای هر $i,j\in I$ وجود دارد $k\in I$ با $i.j\leq k$. فرض کنیم $\lbrace M_{i}\rbrace_{i\in I}$ ، خانواده${}$ای از $R$-مدول${}$ها باشد و برای هر جفت $i,j\in I$ با $i\leq j$ وجود دارد یک $R$-همریختی $f_{ji}: M_{i} \to M_{j}$ به طوری${}$که \begin{enumerate} \item[(1)] برای هر $i\in I$،$f_{ii}=id_{M_{i}}$ \item[(2)] اگر $i\leq j \leq k$، آن${}$گاه $f_{kj}\circ f_{ji}=f_{ki}$ \end{enumerate} آن${}$گاه می${}$گوییم که $R$-مدول $M_{i}$ با همریختی $f_{ji}$ یک دستگاه مستقیم\footnote{Directed system} است که می${}$نویسیم، $(M_{i},f_{ij})$ . \end{dfn} \begin{dfn} فرض کنیم $(M_{i},f_{ij})$، دستگاه مستقیم از $R$-مدول${}$ها و $M$ یک $R$-مدول باشد. یک دستگاه مستقیم از همریختی $\lbrace f_{i}:M_{i} \rightarrow M \rbrace$را \textbf {حد مستقیم}\footnote{limit Directe } از $M_{i},f_{ij})$ گوییم اگر، برای هر دستگاه مستقیم از همریختی $\lbrace u_{i}:M_{i} \rightarrow L\rbrace$ و $R$-مدول $L$ با $f_{ij}u_{j}=u_{i}$ $i\leq j$ و ، همریختی یکتای $u:M \rightarrow L$ وجود دارد به طوریکه نمودار زیر را برای هر $i\in I$ جابجا کند. \begin{displaymath} \xymatrix{ M_{i} \ar[dr]^{u_{i}} \ar@{->}[rr]^{f_{i}} && M \ar[dl]^{u} & \\ & L} \end{displaymath} \end{dfn} اگر $\lbrace f^{\prime}_{i}:M_{i} \rightarrow M^{\prime}\rbrace$ حد مستقیم دیگری برای $(M_{i},f_{ij})$ باشد آن${}$گاه با توجه به تعریف ، برای $i\in I$وجود دارد یکریختی $h:M \rightarrow M^{\prime}$ $f_{i}h=f_{i}^{\prime}$ .بنابراین $M$ ???// برای حد مستقیم می${}$نویسیم $M=\underrightarrow{lim}M_{i}$ و $(f_{i},\underrightarrow{lim}M_{i})$ \begin{prop} فرض کنیم $(M_{i},f_{ij})$، دستگاه مستقیم از مدول${}$ها با حد مستقیم $(f_{i},\underrightarrow{lim}M_{i})$داریم: \begin{enumerate} \item[(1)] برای $m_{j}\in M_{j} , j\in I$، ما داشتیم $f_{j}(m_{j})=0$ اگر وتنها اگربرای برخی $k\geq j$، $f_{jk}(m_{j})=0$ \item[(2)] برای $m,n\in \underrightarrow{lim}M_{i})$، وجود دارد $k\in I$ و $m_{k},n_{k}\in M_{k}$ با $f_{k}(m_{k})=m$ و $f_{k}(n_{k})=n$. \item[(3)] اگر $N$ زیر مدول متناهی مولد از $\underrightarrow{lim}M_{i}$، آن${}$گاه وجود دارد $k\in I$ با $N\subset (M_{k})f_{k}(=Im f_{k})$. \end{enumerate} \end{prop} \begin{proof} اثبات رجوع به 24.3 از ؟/ \end{proof} \textbf{حد مستقیم از همریختی} فرض کنیم $(M_{i},f_{ij})$ و $(N_{i},g_{ij})$ دو دستگاه مستقیم از $R$-مدول${}$ها روی $I$ و $(f_{i},\underrightarrow{lim}M_{i})$ و $(g_{i},\underrightarrow{lim}N_{i})$ به ترتیب حد مستقیم آنها باشد.\\ برای $i\leq j$هر خانواده از همریختی های $\lbrace u_{i}:M_{i} \rightarrow L\rbrace$ و $R$-مدول $L$ با $f_{ij}u_{j}=u_{i}$ وجود دارد همریختی یکتای \begin{center} $u:\underrightarrow{lim}M_{i} \rightarrow \underrightarrow{lim}N_{i}$ \end{center} به طوری که برای هر $i\in I$، نمودار زیر \begin{displaymath} \xymatrix{ M_{i} \ar[r]^u_{i} \ar[d]_f_{i} & N_{i} \ar[d]^{g_{i}} \\ \underrightarrow{lim}M_{i} \ar[r]_{u} & \underrightarrow{lim}N_{i}} \end{displaymath} جابجا می${}$شود. اگر همه $u_{i}$ها یک به یک (پوشا) باشند، آن${}$گاه $u$ یک به یک (پوشا) است. \begin{proof} نگاشت $\lbrace u_{i}g_{i}: M_{i} \rightarrow \underrightarrow{lim}N_{i}\rbrace$ از یک دستگاه مستقیم از همریختی است چون برای $i\leq j$ ما داریم : $f_{ij}u_{j}g_{j}=u_{i}g_{ij}g_{j}=u_{i}g_{i}$ . بنابراین وجود $u$ با ویژگی های تعریف شده از حد مستقیم نتیجه می${}$شود.\\ برای $m\in\underrightarrow{lim}M_{i}$ با $u(m)=0$ باتوجه به ؟، وجود دارد $k\in I$ و $m_{k}\in M_{k}$ با $f_{k}(m_{k})=m$ پس از این رو $$uf_{k}(m_{k})=g_{k}u_{k}(m_{k})=0$ . پس وجود دارد $l\geq k$ با $0=g_{kl}(u_{k}m_{k})=u_{l}(f_{kl}m_{k})$ . اگر $u_{l}$ یک به یک باشد، آن${}$گاه $f_{kl}(m_{k})=0$ و همچنین $m=f_{k}(m_{k})=0$ .. در نتیجه اگر همه $u_{i}$ها یک به یک باشند، آن${}$گاه $u$ یک به یک است.\\ برای، $n\in\underrightarrow{lim} N_{i}$ ، وجود دارد $k\in I$ و $n_{k}\in N_{k}$ با $g_{k}(n_{k})=n$ . اگر $u_{k}$ پوشا باشد، آن${}$گاه برای $m_{k}\in M_{k}$ ، $m_{k}=u_{k}(m_{k})$ و $u(f_{k}m_{k})=g_{k}(u_{k}m_{k})=n$. اگر همه $u_{i}$ها پوشا باشند، آن${}$گاه $u$ پوشا است. \end{proof} \begin{prop} فرض کنیم $I$، دستگاه مستقیم باشد و $(L_{i},f_{ij})$، $(M_{i},g_{ij})$و$(N_{i},h_{ij})$دستگاه های مستقیم از $R$-مدول ها روی $I$ با حدهای مستقیم $( f_{i},\underrightarrow{lim}L_{i}),(g_{i},\underrightarrow{lim}M_{i})$ و $(h_{i},\underrightarrow{lim}N_{i})$ باشند و $\lbrace u_{i}\rbrace , \lbrace v_{i} \rbrace$ خانواده${}$ای از همریختی های به طوری دیاگرام \begin{displaymath} \xymatrix{ \circ \ar[r] & L_{i} \ar[d]_{f_{ij}} \ar[r]^{u_{i}} & M_{i} \ar[d]_{g_{ij}} \ar[r]^{v_{i}} & N_{i} \ar[d]^{h_{ij}} \ar[r] &\circ\\ \circ \ar[r] & L_{j} \ar[r]^{u_{j}} & M_{j} \ar[r]^{v_{j}} & N_{j} \ar[r] &\circ} \end{displaymath} با ردیف های دقیق جابجایی است. آن${}$گاه ، با $u=\underrightarrow{lim}u_{i}$ و $v=\underrightarrow{lim}v_{i}$ دنباله زیر \begin{displaymath} \xymatrix{ \circ \ar[r] & \underrightarrow{lim}L_{i} \ar[r]^{u} & \underrightarrow{lim} M_{j} \ar[r]^{v} & \underrightarrow{lim}N_{i} \ar[r] &\circ} \end{displaymath} دقیق است. \end{prop} \begin{proof} ?/ \end{proof} \begin{thm} \begin{enumerate} \item[(1)] حد مستقیمی از مدول${}$های یکدست ، یکدست است. \item[(2)] هر $R$-مدول یکدست به صورت حد مستقیمی از $R$-مدول${}$های آزاد متناهی مولد است \end{enumerate} \end{thm} قسمت (2) این قضیه به قضیه\textbf{ لازارد} \footnote{Lazard} معروف است. \begin{proof} اثبات این قضیه را میتوانید در (1) گزاره 5.34 و 5.40 ببینید. \end{proof} فرض کنیم $(M_{i},f_{ij})$، دستگاه مستقیم از مدول${}$ها با حد مستقیم $(f_{i},\underrightarrow{lim}M_{i})$ و $K$ یک $R$-مدول باشد. برای $i\leq j$با تخصیص ،\begin{center} $h_{ij}:=Hom(K,f_{ij}): Hom(K, M_{i})\longrightarrow Hom(K,M_{j}) , \alpha_{i}\mapsto \alpha_{i}f_{i}$ \end{center} ما یک دستگاه مستقیم از $Z$-مدولهای $(Hom(K, M_{i}),h_{ij})$ با حد مستقیم $(h_{i},\underrightarrow{lim} Hom(K, M_{i}))$ و تخصیص \begin{center} $u_{i}:=Hom(K,f_{i}): Hom(K, M_{i})\longrightarrow Hom(K,\underrightarrow{lim}M_{i}) , \alpha_{i}\mapsto \alpha_{i}f_{i}$ \end{center} یک دستگاه مستقیم از $Z$-همریختی ها را تعریف می${}$کند و از این رو $Z$-همریختی \begin{center} $\Phi_{k}:=\underrightarrow{lim}u_{i}:=\underrightarrow{lim}Hom(K, M_{i})\longrightarrow Hom(K,\underrightarrow{lim}M_{i})$ \end{center} در ادامه ما به این سوال ، که چه موقع $\Phi_{k}$ یکریختی است . بعبارت دیگر برای چه $K$ ای حد مستقیم با تابعگون $Hom(K,-)$ جابجا می${}$شود. \begin{prop} اگر $K$ ، $R$-مدول متناهی مولد باشد، آن${}$گاه $\Phi_{k}$ یک به یک است. \end{prop} \begin{proof} $\alpha\in Ker\Phi_{k}$میگیریم. وجود دارد $i\in I$ و $\alpha_{i}\in Hom(K, M_{i})$ به طوری که $(\alpha_{i})h_{i}=\alpha$ و $\alpha_{i}f_{i}=0$ . چون $K\alpha_{i}\subset Ker f_{i}$ ، بنابراین این زیر مدول متناهی مولد از $M_{i}$ است. وجود دارد $i\leq j\in I$ با $K\alpha_{i}f_{ij}=0$ (گزاره؟) . این را دلالت میکند $(\alpha_{i})h_{ij}=\alpha_{i}f_{ij}=0$ و $(\alpha_{i})h_{i} = 0$ در $\underrightarrow{lim}Hom(K, M_{i})$. \end{proof} \begin{prop} $R$-مدول $K$ متناهی مولد است اگر \begin{center} $\Phi_{k}:\underrightarrow{lim}Hom(K, M_{i})\longrightarrow Hom(K,\underrightarrow{lim}M_{i})$ \end{center} برای هر دستگاه مستقیم $(M_{i},f_{ij})_{I}$ از مدول${}$های با $f_{ij}$ تکریختی ، $\Phi_{k}$ یکریختی است. \end{prop} \begin{proof} فرض کنیم $K$ متناهی مولد باشد. با توجه به گزاره قبل، $\Phi_{k}$ یک به یک است . $f_{ij}$ تکریختی هستند پس $f_{i}$ یک به یک هستند .برای هر $\alpha\in Hom(K,\underrightarrow{lim}M_{i})$، تصویر $k\alpha$ ، متناهی مولد است و (گزاره؟) برای برخی $k\in I$، $K\alpha\subset M_{k}f_{k}\simeq M_{k}$ با $f_{k}^{-1}:M_{k}f_{_{k}} \rightarrow M_{k}$ ما داریم :$\alpha f_{k}\in Hom(K, M_{i})$ و\begin{center} $(\alpha f^{-1}_{k})h_{k}\Phi_{k} = (\alpha f_{k}^{-1}) f_{k} = \alpha$ \end{center} بعبارت دیگر ،$\Phi_{k}$ پوشا است. \end{proof} \begin{prop} اگر $R$-مدول راست $M$ متناهی مولد و $(M_{i},f_{ij})_{I}$ ، دستگاه مستقیم از $R$-مدول${}$های چپ باشند، آن${}$گاه برای هر $n$ مثبت ، \begin{center} $\Psi^{M}_{(M_{i},f_{ij})} : \underrightarrow{lim} Ext^{n}(M,M_{i}) \cong Ext^{n}(M,\underrightarrow{lim}M_{i})$ \end{center} \end{prop} \begin{proof} با توجه به گزاره قبل برای $n=0$ یکریختی بالا را داریم. حال برای $n=1$ ثابت میکنیم. چون $M$ متناهی مولد است ، دنباله دقیق \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & K \ar[r]^\beta & P \ar[r]^{\alpha} & M \ar[r] & 0} \end{displaymath} داریم که $P$، شیء تصویری است آن${}$گاه برای هر دستگاه مستقیم از شـي های ، $(M_{i},f_{ij})_{I}$ ، دیاگرام \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] &\underrightarrow{lim}Hom_{R}(M, M_{i}) \ar[r] \ar[d]^{\Phi^{M}} & \underrightarrow{lim}Hom_{R}(P, M_{i}) \ar[r] \ar[d]^{\Phi^{P}} & \underrightarrow{lim}Hom_{R}(K, M_{i}) \ar[r]^{\lim\xi_{i}} \ar[d]^{\Phi^{K}} & \underrightarrow{lim}Ext^{1}_{R}(M, M_{i}) \ar[r] \ar[d]^{\Psi^{M}} & 0 \\ 0 \ar[r] & Hom(M,\underrightarrow{lim}M_{i}) \ar[r] & Hom(P,\underrightarrow{lim}M_{i}) \ar[r]^{\beta^{\ast}} & Hom(K,\underrightarrow{lim}M_{i}) \ar[r]^{\xi} & Ext^{1}_{R}(M,\underrightarrow{lim}M_{i}) \ar[r] & 0} \end{displaymath} جابجای است. نگاشت های $\Phi$ یکریخت هستند(گزاره قبل) . طبق لم ؟ ، $\Psi^{M}$ یکریخت هستند.\\ فرض می کنیم برای $n-1$ برقرار باشد نشان می دهیم یکریختی بالا برای $n$ نیز برقرار است. چون $P$ تصویری است طبق لم (؟) برای هر$j\geq 0$ ، $Ext^{j}(P,-)=0$ است . بنابراین \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 \ar[r] & \underrightarrow{lim}Ext^{n-1}_{R}(K, M_{i}) \ar[d]_{\sigma} \ar[r] & \underrightarrow{lim}Ext^{n}_{R}(M, M_{i}) \ar[d]^{\tau} \ar[r] & 0\\ 0 \ar[r] & Ext^{n-1}_{R}(K, \underrightarrow{lim}M_{i}) \ar[r] & Ext^{n}_{R}(M, \underrightarrow{lim}M_{i}) \ar[r] & 0} \end{displaymath} با توجه به فرض ، $\tau$ یکریختی است. \end{proof} در این‌جا منظور از $A$-مدول، $A$ مدول چپ می‌باشد. رسته‌ی همه‌ی $A$-مدول‌ها را با نماد$A-\Mod$ نشان می‌دهیم و رسته ی همه‌ی $A$ مدول‌های متناهی نمایش را با نماد$A-\mod$ نشان می‌دهیم. $\Proj A$زیر رسته‌ی همه مدول‌‌های تصویری متناهی مولد می‌باشد. \begin{dfn} فرض کنیم $X$، یک $A$-مدول باشد اگر $f:p\toX$ یک پوشش تصویری از $X$ به $p$ باشد آنگاه هسته$f$ را سیزیجی\footnote{Syzygy} از $X$ می‌نامیم که با $\omega(x)$ نشان می‌دهیم. به همین ترتیب، اگر $g:X\to I$ یک توسیع تزریقی باشد آن‌گاه هم‌هسته‌ی $g$ را هم سیزیجی از $A$-مدول $x$ گوییم که تحت یکریختی برای $x$،یکتاست. بنابر این می‌توانیم از سیزیجی و هم سیزیجی از یک مدول سخن گوییم.