\documentclass[10pt]{book}
\input{cmd}

\begin{document}
\baselineskip=.8cm

\setcounter{page}{1}
\pagestyle{fancy}
%fancyhf{}
\fancyhead[LO]{\mbox{بخش} \rightmark/ \thepage}
\fancyhead[RE]{\thepage/\leftmark }
\chapter{معادلات دیفرانسیل مرتبه اول}
\addcontentsline{toc}{section}{مقدمه }
\section{مقدمه}

\bme
 در کشت معینی آهنگ رشد باکتری متناسب با تعداد باکتری موجود است. اگر در ابتدا $500$ باکتری موجود باشد و 
تعداد باکتری‌ها در هر $6$ دقیقه $2$ برابر شود، پس از چه مدت تعداد باکتری‌ها به $500000$ می‌رسد؟
\eme
\bha
 چون در زمان $t=0$ تعداد باکتری‌ها $500$ می‌باشد. بنابراین $y(0)=y_{0}=500$ و 
 تعداد در زمان $t$ برابر است با $y=y_{0}e^{kt}=500e^{kt}$.
\par
ابتدا باید نرخ رشد یعنی $k$ را محاسبه کنیم. با توجه به فرض مسأله داریم
\begin{align*}
y(6)=2\times 500 &\nat 500e^{6k}=1000 \nat e^{6k}=2\\
&\nat 6k=\ln2 \nat k=\frac{1}{6}\ln2=\ln\sqrt[6]{2}
\end{align*}  
اکنون باید زمانی را بیابیم که $y(t)=500000$ باشد. بنابراین داریم 
\begin{align*}
500e^{(\ln\sqrt[6]{2})t}=500000
 &\nat e^{\ln(\sqrt[6]{2})t}=1000 \nat \ln\sqrt[6]{2}t=\ln 1000 \\
&\nat t=\frac{\ln 1000}{\ln\sqrt[6]{2}}=\frac{18\ln10}{\ln2}\approx 59/8\
\end{align*} 
یعنی در زمان کمتر از $1$ ساعت تعداد باکتری‌ها به $500000$ می‌رسد.
\eha
\subsection{قانون سرمایش نیوتن }
هنگامی ‌که جسم داغی را در محیط سرد قرار می‌دهیم، گرمای جسم به محیط منتقل می‌شود و طبیعتاً نرخ انتقال گرما متناسب با اختلاف دمای جسم با محیط است. یعنی در ابتدا جسم داغ با سرعت بیشتری خنک می‌شود و هر چقدر که اختلاف دمای جسم و محیط کمتر شود، آهنگ تغییر دمای جسم  
و محیط کمتر شود، آهنگ تغییر دمای جسم نیز کمتر می‌شود و به طریق مشابه اگر جسمی با دمای پایین در محیطی گرم قرار داده شود، دمای جسم بالا می‌رود و میزان تغییرات دمای جسم در هر لحظه متناسب با اختلاف دمای جسم و محیط است.\

 اگر دمای جسم در لحظه اول $T_{0}$ و دمای محیط که ثابت در نظر گرفته می‌شود، برابر $T_{s}$ باشد که $T_{0}>T_{s}$ (در حالت $T_{0}<T_{s}$ نیز اثبات مشابه است) و اگر $T$ دمای جسم در لحظه $t$ باشد، از مطالب اخیر برمی‌آید که 
\section{تعاریف مقدماتی}
بسیاری از مسائل فیزیکی به صورت تابعی از زمان و متغیرهای مستقل دیگر بیان می‌شوند. رابطه بین مقادیر تابع و متغیر زمان در یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی صدق می‌کند.
\subsection*{ دسته منحنی‌ها و مسیرهای متعامد}\label{moteamed}
%\vspace*{-.4cm}
گاهی اوقات یافتن معادله دیفرانسیلی که یک دسته منحنی در آن صدق کند، مورد نیاز است، به عبارتی دیگر اگر بخواهیم برای دسته منحنی، پارامتر (ثابت) را حذف کنیم می‌توان از معادله مشتق گرفت و 
سپس با توجه به معادله اصلی و معادله دیفرانسیل، پارامتر را حذف کرد.

\bha
 چون دو پارامتر موجود است بنابراین از معادله $y=c_1\cos 3x+c_2\sin 3x$ دو بار مشتق می‌گیریم. داریم%\vspace*{-.3cm}
\begin{align*}
y'&=-3c_1\sin 3x+3c_2\cos 3x\\%\hspace*{80mm}\\
y''&=-9c_1\cos 3x-9c_2\sin 3x\\
%y''&+9y=0%\hspace*{100mm}\blacksquare
\end{align*}
\eha\end{document}