\documentclass[openany]{book}

\usepackage{geometry}
\geometry{textheight=25cm,left=2cm, right=1.5cm,headheight=7mm,headsep=7mm,footskip=1cm,marginparsep=5mm,
marginparwidth=5cm}
\usepackage{amssymb,amsmath}
\usepackage[thmmarks,framed]{ntheorem}

\usepackage[Kashida]{xepersian}
\newtheorem{tari}{تعریف}[chapter]
\newtheorem{ghaz}{قضیه}[chapter]
\theoremstyle{nonumberplain}
\newtheorem{esba}{اثبات}



\newcommand{\ov}[1]{\overline{#1}}
\newcommand{\no}[1]{|\!\!\,|#1|\,\!\!|}
\newcommand{\paye}[2]{\{{#1}_1,{#1}_2,\ldots,{#1}_{#2}\}}
\newcommand{\jam}[2]{\sum_{#1}^{#2}}







\begin{document}

\baselineskip=.7cm

\abovedisplayshortskip=10pt plus 3pt
\belowdisplayshortskip=8pt plus 3pt minus 4pt

\setcounter{page}{1}  
\chapter{مقدمات}

فرض کنید $V$ یک فضای برداری روی میدان $\Bbb{C}$ باشد.  که نقش آن را با 
\begin{enumerate}\itemsep=0mm
\item 
$\langle v +u,w\rangle =\langle v,w\rangle +\langle u,w\rangle $~.
\item $\langle av,w\rangle =a\langle v,w\rangle $~.
\item $\overline{\langle v,w\rangle }=\langle w,v\rangle $~.
\item  $\langle v,v\rangle \ge0$ و تساوی برقرار است اگر و فقط اگر $v=0$~.
\end{enumerate} 

تابع  $\Bbb{C}^n\times\Bbb{C}^n\to\Bbb{C}$  با تعریف 
$$\langle (z_1,z_2,...z_n),(t_1,t_2,...,t_n)\rangle =\jam{i=1}nz_i\overline{t_i}$$
 یک حاصل‌ضرب داخلی روی $\Bbb{C}^n$ است. این ضرب را ضرب داخلی متعارف یا اسکالر می‌نامیم. ضرب داخلی متعارف یا 
استاندارد روی $\Bbb{R}^n$ 
را نیز بصورت زیر تعریف می‌کنیم:
$$\langle (x_1,x_2,...x_n),(y_1,y_2,...,y_n)\rangle =\jam{i=1}nx_iy_i$$
فضای $\Bbb{R}^n$ با این حاصل‌ضرب را فضای $n$~بعدی  اقلیدسی می‌نامیم.روشن است که این ضرب تحدید ضرب متعارف روی $\Bbb C^n$  به $\Bbb R^n$‌است.
\begin{ghaz} 
فرض کنید $V$ یک فضای ضرب داخلی باشد. در این صورت به ازای هر $v,u,w\in V$ و $a\in \Bbb{C}$ داریم 
\begin{enumerate} \itemsep=0mm
\item  $\langle v,u+w\rangle =\langle v,u\rangle +\langle v,w\rangle $~.
\item $\langle v,aw\rangle =\overline{a}\langle v,w\rangle $~.
\item $\langle v,v\rangle \in\Bbb{R}$~.
\item  $\langle v,0\rangle =\langle 0,v\rangle =0$~.
\end{enumerate} 
\end{ghaz}\leavevmode 
\begin{esba}
تمام قسمت‌ها اثبات ساده‌ای دارند. برای نمونه 
\begin{align*}
\langle v,u+w\rangle 
&=\overline{\langle u+w,v\rangle }=\overline{\langle u,v\rangle +\langle w,v\rangle }\\
&=\overline{\langle u,v\rangle }+\overline{\langle w,v\rangle }=\langle v,u\rangle +\langle v,w\rangle 
\end{align*}
 و یا 
\begin{align*}
\langle v,aw\rangle =\overline{\langle aw,v\rangle }=\overline{a\langle w,v\rangle }
=\overline{a}\overline{\langle w,v\rangle }=\overline{a}\langle v,w\rangle 
\end{align*}
\item 
به روشنی نیز داریم 
$
\langle v,v\rangle =\overline{\langle v,v\rangle }\Rightarrow\langle v,v\rangle \in\Bbb{R}
$

و 
$$
\langle 0,v\rangle =\langle v-v,v\rangle =\langle v,v\rangle +\langle -v,v\rangle =\langle v,v\rangle -\langle v,v\rangle =0
$$
 و بدیهی است که  $\langle v,0\rangle =0$~.
\end{esba}
 \begin{tari}
  فرض کنید $V$ یک فضای ضرب داخلی باشد.  به ازای هر $v\in V$ نرم $v$ را که  با $\no v$ نمایش   می‌دهیم
   بصورت $\no v=\sqrt{\langle v,v\rangle }$ تعریف می‌کنیم.
\end{tari} 
\begin{ghaz} 
فرض کنید $V$ یک فضای ضرب داخلی باشد و $v,u\in V$~. در این صورت 
\begin{enumerate} 
\item $\no v=0$ اگر و فقط اگر $v=0$~.
\item $\no{av}=|a|\no v$ که در آن $a\in \Bbb{C}$~.
\item $|\langle v,u\rangle |\le\no v\no u$ (نامساوی کوشی-شوارتز) و تساوی برقرار است اگر و فقط اگر به ازای اسکالر ناصفری  چون 
$a$ داشته باشیم $u=av$~.
\item $\no{v+u}\le\no v+\no u$ (نامساوی مثلثی)
\end{enumerate}
\end{ghaz}













\newpage
\begin{ghaz}
فرض کنید $V$ یک فضای ضرب داخلی و  $W$ زیرفضایی با بعد متناهی از آن باشد. در این صورت 
$V=W\oplus W^\bot$~.
\end{ghaz}
\begin{esba}
فرض کنید $B=\paye un$ یک پایه متعامد یکه برای $W$ باشد. اگر $v\in V$ آنگاه 
$w=\jam{i=1}n\langle v,u_i\rangle u_i$ متعلق به $W$ است زیرا ترکیب خطی از $u_i$~هاست. نشان می‌دهیم $v-w\in W^\bot$~. برای این منظور 
فرض کنید $u=\jam{i=1}n a_iu_i$ بردار دلخواهی در $W$ باشد. داریم 
\begin{align*}
\langle v-w,u\rangle 
&=\langle v-w,\jam{i=1}n a_iu_i\rangle =\\
&=\langle v,\jam{i=1}n a_iu_i\rangle -\langle w,\jam{i=1}n a_iu_i\rangle= % \\
\langle v,\jam{i=1}n a_iu_i\rangle - \jam{i=1}n \overline{a_i}\langle w,u_i\rangle \\
&=\langle v,\jam{i=1}n a_iu_i\rangle - \jam{i=1}n \overline{a_i}\langle \jam{j=1}n\langle v,u_j\rangle u_j,u_i\rangle \\
&=\langle v,\jam{i=1}n a_iu_i\rangle -\bigg(\overline{a_1}\langle \jam{j=1}n\langle v,u_j\rangle u_j,u_1\rangle \\
&\ \ \ +\overline{a_2}\langle \jam{j=1}n\langle v,u_j\rangle u_j,u_2\rangle + 
\cdots+\overline{a_n}\langle \jam{j=1}n\langle v,u_j\rangle u_j,u_n\rangle\bigg) \\
&=\langle v,\jam{i=1}n a_iu_i\rangle -\bigg(\overline{a_1}\overbrace{\jam{j=1}n\langle v,u_j\rangle \langle u_j,u_1\rangle }^{\langle v,u_1\rangle}\\
&\ \ \ -\overline{a_2}\overbrace{\jam{j=1}n\langle v,u_j\rangle \langle u_j,u_2\rangle }^{\langle v,u_2\rangle }+\cdots+\overline{a_n}
\overbrace{\jam{j=1}n\langle v,u_j\rangle \langle u_j,u_n\rangle }^{\langle v,u_n\rangle }\bigg)\\
&=\langle v,\jam{i=1}n a_iu_i\rangle -\bigg(\overline{a_1}\langle v,u_1\rangle +
 \overline{a_2}\langle v,u_2\rangle +\cdots+\overline{a_n}\langle v,u_n\rangle\bigg) \\
&=\langle v,\jam{i=1}n a_iu_i\rangle - \jam{i=1}n \overline{a_i}\langle v,u_i\rangle =0\\
\end{align*}
پس $v-w\bot u$ و لذا $v-w$ متعلق به $W^\bot$ است. اکنون داریم 
$$v=w+(v-w)\in W+W^\bot\\Rightarrow V=W+W^\bot$$
از طرفی اگر $x\in W\cap W^\bot$ آنگاه $x\in W$ و $x\in W^\bot$~. پس $x$ بر هر عنصر $W$ از جمله بر 
$x$ عمود است. بنابراین 
$$\langle x,x\rangle =0\Rightarrow x=0\Rightarrow W\cap W^\bot=\{0\}$$
با توجه به قضایای جبر خطی داریم  $V=W\oplus W^\bot$~.
\end{esba}

\begin{ghaz}
هر ماتریس مربعی (عملگر خطی روی فضای متناهی بعد) حداقل یک مقدار ویژه دارد.
\end{ghaz}
\begin{esba}
فرض کنید $A$ یک ماتریس $n\times n$ مختلط باشد.
بردار ناصفر $v\in\Bbb C^n$ ار  را در نظر می‌گیریم. مجموعه 
$\{v,Av,A^2v,\ldots, A^nv\}$
 وابسته خطی است زیرا بیش از $n$ عنصر دارد. پس اسکالر‌های $a_n,\ldots,a_1,a_0$ وجود دارند که همگی باهم صفر نیستند و 
 $a_0v+a_1Av+\cdots+a_nA^nv=0$.
 فرض کنید $m\le n$ بزرگترین عددی باشد که $a_m\neq0$. (بدیهی است که $m\ge1$) می‌توان فرض کرد که $a_m=1$ زیرا در غیر این صورت با ضرب اسکالرها در $a_m^{-1}$  نتیجه دلخواه  بدست می‌آید.
  اکنون چندجمله‌ای $p(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_mx^m$ را در نظر می‌گیریم. داریم 
  $$p(A)v=(a_0I+a_1A+\cdots+a_nA^n)v=a_0v+a_1Av+\cdots+a_nA^nv=0$$
   از آنجاییکه $p$ در $\Bbb C$ به عوامل خطی تجزیه می‌شود می‌توان نوشت
$P(x)=(x-b_m)\cdots (x-b_1)(x-b_0)$.
   بنابراین داریم 
$$P(A)v=0\\Rightarrow(A-b_mI)\cdots (A-b_1I)(A-b_0I)v=0$$
 فرض کنید $k\le m$ کوچکترین عددی باشد که 
$(A-b_kI)\cdots (A-b_1I)(A-b_0I)v=0$.
 پس   بردار
  $w=(A-b_{k-1}I)\cdots (A-b_1I)(A-b_0I)v$
  ناصفر است و داریم $(A-b_kI)w=0$. یعنی  $b_k$ مقدار ویژه و $w$ بردار ویژه متناظر با آن است.
 
\end{esba}
\begin{ghaz}
اگر  $\lambda=0$
مقدار ویژه ماتریس $A$ باشد آنگاه $|A|=0$.
\end{ghaz}
\begin{esba} داریم 
$|A|=|0I-A|=\chi_A(0)=0$.
\end{esba}
\begin{ghaz}
مقادیر ویژه ماتریس‌های $A$ و $A^t$ یکی هستند.
\end{ghaz}
\begin{esba}
فرض  کنید $\lambda$ یک مقدار ویژه $A$ باشد. در این صورت داریم 
\begin{align*}
\chi_{A^t}(\lambda)=|(\lambda I-A)^t|=|\lambda I -A|=\chi_A(\lambda)=0
\end{align*}
\end{esba}
\end{document}
پس $\lambda$ مقدار ویژه ماتریس $A^t$ است.