\documentclass[slidestop,compress,structureitalicserif]{beamer}
[extensions]
\usepackage[bars]{beamerthemetree} % Beamer theme v 2.2
\usetheme{AnnArbor}
\usecolortheme{lily}
\usepackage{xepersian}
\colorlet{mystruct}{structure} % Save current structure
\colorlet{structure}{magenta} % New structure
\usestructuretemplate{\color{structure}}{} % \structure{..}
\beamertemplateshadingbackground{gray!30}{lightgray!10} % New background
\setbeamercolor{itemize item}{fg=orange}
\setbeamercolor{normal text}{bg=orange!6}
\setbeamercolor{date}{fg=orange!80!black}
\setbeamercolor{author}{fg=red!80!yellow}
\setbeamercolor{institute}{fg=red!80!black}
\setbeamercolor{title}{fg=orange!80!red}
\settextfont[Scale=.8]{XB Niloofar}
\setromantextfont[Scale=.8]{Times New Roman}
\setromantextfont[Scale=.8]{Times New Roman}
\newtheorem{نکته}
\AtBeginDocument{\setdigitfont[Scale=.8]{Times New Roman}}
\title{بردعددي ماتریس های  
3$\times$ 3}
\author{ فاطمه اسماعیلی طاهری}
\institute{دانشگاه شاهد}
\date{فروردین ۹۰}
\subtitle{مقدمه}
\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{فهرست مطالب}
    \tableofcontents[currentsection]
  \end{frame}
}
\begin{document}
\begin{frame}
\begin{figure}[!htp]
\begin{picture}(0.,0.)
\put(210,-226){\special{psfile=omid-jafari.eps hscale=92 vscale=90}}
\end{picture}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{center}
\vspace{2cm}
\begin{columns}
\column{0.8\textwidth}
\vspace{-10mm}
\begin{بلوک}{}
{\begin{center}
\vspace{5mm}
\color{purple}
{\textbf{\huge قطعه تخت روی \\
\vspace{1mm}
مرز بردعددی ماتریس های 3 $\times $3}}
\color{purple}
\vspace{5mm}
\end{center}}
\end{بلوک}
\end{columns}
\vspace{1cm}
{\large فاطمه اسماعیلی طاهری }\\
{\large استاد راهنما: جناب آقای دکتر اسدی }\\
{\large دانشگاه شاهد }\\
{\large فروردین ۹۰ }
\end{center}
\end{frame}
\settextfont[Scale=.8]{XB Zar}
\section{نمای کلی}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\section{نمای کلی}
\frametitle{نمای کلی}
\begin{itemize}
\item <+-| alert@+>
آشنایی با مفهوم بردعددی 
\vspace{2mm}
\item <+-| alert@+>
تاریخچه
\vspace{2mm}
\item <+-| alert@+>
خواص بردعددی
\vspace{2mm}
\item <+-| alert@+>
چگونگی ترسیم بردعددی
\vspace{2mm}
\item <+-| alert@+>
معرفی طبقه بندی اشکال بردعددی ماتریس های
3$ \times $3
\vspace{2mm}
\item <+-| alert@+>
بررسی قطعه تخت روی مرز بردعددی ماتریس های  
3$ \times $3
\end{itemize}
\end{frame}
\section{تاریخچه}
\begin{frame}
\color{black}
فرض کنید 
$ A $
یک ماتریس 
$ n\times n $
 با درایه های مختلط باشد، از جبرخطی می دانیم که معادله 
\begin{align*}
 \det(\lambda I-A)=0  
 \end{align*}
  معادله مشخصه ماتریس 
$ A $
  و طیف
$ A $
  برابر با
\begin{align*}
 \sigma(A)=\lbrace \lambda_{1} ,..., \lambda_{m} \rbrace 
\end{align*}
\vspace{-4mm}
حال فرض کنید
\begin{align*}
M_{R}=\max \sigma(Re(A)) , m_{R}=\min\sigma(Re(A))\\
M_{J}=\max\sigma(Im(A)) , m_{J}=\min\sigma(Im(A))
\end{align*}
 درسال 1900 بندیکسون  نشان داد
\begin{align*}
\sigma(A)\subset \lbrace x+iy \vert (x,y)\in \mathbb{R}^{2} : m_{R}\leq x \leq M_{R} , m_{J}\leq y \leq M_{J}\rbrace
\end{align*}
 و یک کران بالا و پایین برای قسمت حقیقی و موهومی مقادیر ویژه ماتریس ها تعیین کرد. در سال 1902 هیرش این نتایج را توسعه داد.
 \color{black} 
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\frametitle{تاریخچه}
در سال 1918 تؤپلیتز از یافته های این دو استفاده کرده و فرم جبری زیر را معرفی نمود: 
\begin{columns}
\column{0.3\textwidth}
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[height=2in]{car.eps}
\end{center}
\end{figure}
\column{0.7\textwidth}
%\color{purple}
\begin{تعریف} 
فرض کنید 
$ A $
یک ماتریس 
$ n \times n $
با درایه های مختلط باشد، برد عددی ماتریس 
 $ A $
مجموعه همه اعدادمختلط
  $ x^{\ast}Ax $ 
  است که 
   $ x^{\ast}x=1 $
    می باشد و آن را با     
     $w(A)$
     نمایش می دهیم :   
\begin{align*}
 w(A)=\lbrace x^*Ax:x \in \mathbb{C}^{n} ,x^*x=1 \rbrace
 \end{align*}
\end{تعریف}
درتئوری ماتریس ها همان طور که دترمینان را تابعی تعبیر و تفسیر می کنیم که به هر ماتریس، عددی را که دترمینان آن ماتریس نامیده می شود را تخصیص می دهد، بردعددی هم تابعی است که به هر ماتریس مجموعه ای فشرده و محدب را که بردعددی آن ماتریس نامیده می شود، اختصاص می دهد.
 \end{columns}
 \end{frame}
 \vspace{1cm}
\begin{frame} [<+-|alert@+>]
\textbf{مثال}
\vspace{10mm}
\begin{itemize}  
\color{purple}
\item[1)]
  \begin{align*}
 w(I)=\lbrace x^{\ast} I x : x \in \mathbb{C}^{n} , x^{\ast}x=1 \rbrace=\lbrace 1 \rbrace
 \end{align*} 
  \item[2)]
\begin{align*}
W(\begin {bmatrix}
1 &0\\
0 &0\\
\end{bmatrix})&=\lbrace x^{\ast}\begin {bmatrix}
1 &0\\
0 &0\\
\end{bmatrix}x : x=(x_{1} , x_{2} )\in \mathbb{C}^{n} , x^{\ast}x=1 \rbrace\\
&=\lbrace : x_{1}\bar{x_{1}}: \vert x_{1}\vert^{2}+\vert x_{2}\vert^{2}\rbrace=[0,1] 
\end{align*}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}  
\large{پرسش}
\color{purple}
\vspace{2cm}
\begin{columns}
\column{0.7\textwidth}
\begin{بلوک}
{\begin{center}
\vspace{3mm}
\color{purple}
{\textbf{\huge بردعددی چه ویژگی هایی دارد؟}}
\color{purple}
\vspace{3mm}
\end{center}}
\end{بلوک}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
تئوپلیتز نشان داد بردعددی دارای خواص زیر است:
\def\hilite<#1>{%
\temporal<#1>{\color{gray}}{\color{blue}}%
{\color{blue!25}}}
\begin{قضیه}
اگر 
$A,B\in M_{n}$ 
و
 $ \alpha , \beta \in C $
دلخواه باشدآنگاه
\begin{itemize}  
\hilite<3>\item[1)]
$w(A+\alpha I_{n})=w(A)+\alpha , w(\beta A)= \beta w(A) $
\hilite<4>\item[2)] 
$\sigma (A) \subseteq w(A)$ 
\hilite<5>\item[3)]
$w(A+B)\subseteq w(A)+w(B)$
\hilite<6>\item[4)]
اگر 
$ A\in M_{n_{1}} , B\in M_{n_{2}}$
باشد، آنگاه
$w(A\oplus B)= co\lbrace w(A) \cup w(B)\rbrace$
\hilite<7>\item[5)]
اگر
$U,A\in M_{n} $
و
$U$
ماتریسی یکانی باشد آنگاه داریم
$w(U^{\ast} A U)=w(A)$
\hilite<8>\item[6)]
$Re(w(A))=w(H(A))$
\hilite<9>\item[7)]
$w(A)$
زیرمجموعه فشرده ای از
$ C$
است.
\hilite<10>\item[8)]
$w(A)$
همبند است.
\hilite<11>\item[9)]
$w(A)$
محدب است.
\end{itemize}
\end{قضیه}
\end{frame}
\section{چگونگی ترسيم بردعددی}
\begin{frame}
{\begin{titlepage}
چگونگی ترسيم بردعددی
\end{titlepage} }
\frametitle{چگونگی ترسيم بردعددی}
\large{پرسش}
\vspace{1cm}
\begin{columns}
\column{0.8\textwidth}
\begin{بلوک}
{\begin{center}
\vspace{3mm}
\color{purple}
{\textbf{\huge شکل بردعددی را چگونه می توان رسم کرد؟}}
\color{purple}
\vspace{3mm}
\end{center}}
\end{بلوک}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\color{black}
هدف ما کشف ناحیه ای از صفحه مختلط است که به وسیله مقادیربردعددی پوشیده شده باشد. 
  از زمان ظهور بردعددی بسیاری از محققان چگونگی ترسیم بردعددی را در جهات مختلف توسعه دادند، یکی از این جهات در زمینه هندسه جبری است که نقطه شروع آن منحنی جبری زیر است:
\begin{align*}
P_{A}(x,y,z)=det(xReA+yImA+zI_{n})
\end{align*}
در اینجا 
$ A $
ماتریسی 
$ n\times n $
است که برای حالت های 
$ n=2 $
و
$ n=3 $
بردعددی ایجاد شده را می توان توصیف کرد. در ادامه ارتباط این منحنی با بردعددی را به طور کامل بررسی می کنیم و طبقه بندی کیپین هان را برای حالت
$ n=3 $
بیان خواهیم نمود.
\begin{columns}
\column{0.8\textwidth}
{\begin{flushright}
\vspace{3mm}
\color{purple}
{\textbf{\huge پرسش: منحنی جبری چیست؟}}
\color{purple}
\vspace{3mm}
\end{flushright}}
\end{columns}
برای پاسخ به این سوال ابتدا به معرفی اصطلاحات و ارائه تصاویری در جهت کمک به درک مفاهیمی در مورد منحنی های جبری در صفحه تصویری می پردازیم.
\color{black}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]

\begin{تعریف}
یک نقطه در مختصات ناهمگن، یک زوج مرتب از اعداد مختلط 
$(u,v)$
است. اگر 
$u,v$
حقیقی باشند آنگاه
$(u,v)$ 
را نقطه حقیقی گوییم.
\end{تعریف}
\begin{تعریف}
یک نقطه درمختصات همگن سه تایی مرتب
$[x,y,z]$
است که
$x,y,z$
اعداد مختلط و ناصفرند.
\end{تعریف}
\begin{columns}
\column{0.5\textwidth}
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[height=1.5in]{p3.eps}
\end{center}
\end{figure}
\column{0.5\textwidth}

\begin{تعریف}
دو نقطه
$[x,y.z]$
و
$[x',y',z']$
را با هم یکی می گیریم (هم ارز هستند) اگر مضربی از همدیگر باشند یعنی وجود داشته باشد
$\lambda\neq0$
بطوریکه
\begin{flushleft}
 $   [x,y,z]=\lambda[x',y',z']$
\end{flushleft}
\end{تعریف}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{تعریف}
اگر
$V$ 
فضای برداری مختلط با بعد متناهی باشد آنگاه
$\mathbb{P} (V)$ 
 را فضای تصویری
$ V $
 با یک بعد کمتر می نامیم در نتیجه
   $\mathbb{P}^{n}  $
    فضای تصویری مختلط استاندارد با بعد
     $ n $
   است یعنی 
   $\mathbb{P}^{n}=\mathbb{P}(\mathbb{C}^{n+1}) $ 
   و هرنقطه در
     $\mathbb{P}^{n} $  
     یک
$ n+1 $     
      تایی مرتب در مختصات همگن می باشد. 
\end{تعریف}
ما به وسیله این ابزارشکل های فضایی را روی صفحه تصویرمی کنیم.
\begin{columns}
\column{0.5\textwidth}
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[height=1.5in]{Untitled20.eps}
\end{center}
\end{figure}
\column{0.5\textwidth}
 \begin{تعریف}
صفحه تصویری مختلط
$ \mathbb{CP}^2$
به صورت
\begin{flushleft}
$\mathbb{CP}^2\equiv\frac{\mathbb{C}^{3}-\lbrace{0}\rbrace}{\backsim}$
\end{flushleft}
یا مجموعه
\begin{flushleft}
$ \mathbb{CP}^2=\lbrace[x,y,z]\vert{(x,y,z)\in{\mathbb{C}^{3}-\lbrace{0}\rbrace}\rbrace}$
\end{flushleft}
است.
\end{تعریف}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{تعریف}
هرنقطه درصفحه تصویری به وسیله سه تایی 
$ [x,y,z]  $
نمایش داده می شود که به آن مختصات همگن نقطه گوییم.
\end{تعریف}
\begin{تعریف}
هرنقطه
$[x,y,z]$
 در
$ \mathbb{CP}^2 $
 با 
 $z\neq{0}$ 
 را می توان به صورت
 $(\frac{x}{z},\frac{y}{z})$
 در مختصات ناهمگن نشان داد. از طرف دیگر هر نقطه 
 $ (u,v)$ 
 را نیز می توان به صورت 
 $ [u,v,1]$ 
 در مختصات همگن نشان داد.
\end{تعریف}
\begin{تعریف}
اگر
$P(x,y,z)$
 یک چندجمله ای همگن از درجه دو به صورت
\begin{align*}
P(x,y,z)=ax^{2}+bx^{2}+cz^{2}+dxy+eyz+fzx
\end{align*}
 با ضرایب ناصفر باشد آنگاه
 $P(x,y,z)$ 
 یک مقطع مخروطی است. به صورت کلی تر اگر
 $P(x,y,z)$
 یک چندجمله ای همگن از درجه
$d$
 با متغیرهای
$x,y,z$
باشد آنگاه مجموعه نقاط
$[x,y,z]$
در
 $ \mathbb{C} \mathbb{P}^2$
 که در معادله
 $P(x,y,z)=0$
 صدق می کنند یک منحنی جبری از مرتبه
$d$
 است.
\end{تعریف}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{flushright}
\vspace{3mm}
\color{purple}
{\textbf{\huge پرسش: منحنی جبری چیست؟}}
\color{purple}
\vspace{3mm}
\end{flushright}
\begin{تعریف}
فرض کنید 
$ A=H+iK $
 ماتریسی مختلط 
 $ n\times n $
  باشد بطوریکه 
$ H $
 و
 $ K $
 هرمیتی هستند، چند جمله ای مشخصه 
$ xH+yK $
 به صورت زیر تعریف می شود:
 \begin{align*}
 f(x,y,z)=det(zI-xH-yK)
 \end{align*}
 و به منحنی حاصل منحنی مشخصه می گوئیم. در حالت خاص اگر 
 $ x=1 , y=i $
 در نظر بگیریم می توانیم چندجمله ای بالا را به صورت زیر بنویسیم:
  \begin{align*}
P(x,y,z)=det(zI-(H+iK) )=det(zI-A)
 \end{align*}
\end{تعریف}
\end{frame}
\begin{frame}

\end{frame}
\begin{frame}
\large{پرسش}
\vspace{1cm}
\begin{columns}
\column{0.8\textwidth}
\begin{بلوک}
{\begin{center}
\vspace{3mm}
\color{purple}
{\textbf{\huge شکل بردعددی را چگونه می توان رسم کرد؟}}
\color{purple}
\vspace{3mm}
\end{center}}
\end{بلوک}
\end{columns}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
از آنجایی که بردعددی محدب و فشرده است برای بدست آوردن شکل بردعددی تنها کافی است که مرز آن را مشخص کنیم. با استفاده از دو لم زیر می توان نقاط مرزی و خطوط تکیه گاه را بدست آورد.
\begin{تعریف}
خط  تکیه گاه مجموعه محدب
  $ K $
، خطی است که با مجموعه 
 $ K $
  حداقل در یک نقطه اشتراک داشته باشد و همینطور صفحه ای که مجموعه 
  $ K $
  در آن واقع است را به دو بخش تقسیم کند بطوریکه یکی از آن دو بخش هیچ اشتراکی با 
  $ K $
   نداشته باشد.
\end{تعریف}
\begin{قضیه}
 فرض کنید
$A$
ماتریسی
$n\times n$
باشد اگر
$ax+by+c=0$
(که 
$ a , b , c $
 اعداد مختلط  مخالف صفر هستند) خط تکیه گاه    
$w(A)$
باشد آنگاه
 \begin{align*}
det(a ReA+b ImA+c I_{n})=0
 \end{align*}
\end{قضیه}
 \begin{لم}
 برای هر ماتريس 
 $A\in{M_{n}}$
 که
 $\lambda_{max}$
 بزرگترين مقدار ويژه
 $H(A)$
است داريم
 \begin{align*}
Max\hspace {2mm} {Re(w(A))}=Max\hspace{2mm} {w(H(A))}=\lambda_{max}
 \end{align*}
\end{لم}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{figure*}
\centerline{\includegraphics[height=25mm]{33}}
\caption{           چگونگی ترسیم بردعددی  }
\label{34}
\end{figure*}
فرض کنید 
$ A $
ماتریسی 
$ n\times n $
و 
$ \lambda_{A}$
بزرگترین مقدار ویژه قسمت حقیقی ماتریس 
$ A $
باشد، آنگاه با توجه به لم قبل خط 
$x=\lambda_{A}$
 خط تکیه گاه
$w(A)$
خواهد بود. حال اگر 
$w(A)$
را به اندازه
$-\theta$
دوران می دهيم  (جهت مثبت
$ \theta $
 را در جهت حرکت عقربه های ساعت در نظر می گیریم )در حالی که ماتریس 
$ A $
را با 
$ e^{-i\theta}A $
جایگزین می کنیم، آنگاه برای هر مقدار
$\theta$
خط
 $x=\lambda_{ e^{-i\theta}A}$
 خط تکیه گاه
  $w(e^{-i\theta}A)$
است. می دانيم که
 \begin{align*}
e^{-i\theta}A=(cos\theta{H}+sin\theta{K})+i(cos\theta{K}-sin\theta{H})
\end{align*}
بنابراين بزرگترين مقدار ويژه
$cos\theta{H}+sin\theta{K}$
از معادله زير بدست می آيد
 \begin{align*}
det( cos\theta{H}+sin\theta{K}-\lambda{I_{n}})=0
\end{align*}
حال اگر
$w(e^{-i\theta}A)$
را با زاويه
$+\theta$
دوباره به عقب برگردانيم آنگاه خط تکیه گاه
$x=\lambda_{ e^{-i\theta}A}$
به صورت زير تغيير می کند
 \begin{align*}
xcos\theta+ysin\theta-\lambda_{ e^{-i\theta}A}=0
 \end{align*}
  در این صورت اگر خط 
$ ax+by+c=0 $
 را خط تکیه گاه بردعددی فرض کنیم به ترتيب
$a=cos\theta$,$b=sin\theta$,$c=-\lambda_{ e^{-i\theta}A}$
می باشد و با تغییر 
$ \theta $
 از صفر تا 
$ 2\pi $
خطوط تکیه گاه را می یابیم.
\end{frame}
\begin{frame}
 به ازای زاویه $\theta \in [0,2 \pi)$ تعریف می کنیم: \\
\begin{flushleft}
 $ \lambda_{\theta} \equiv \lambda_{\text{max}}(H(e^{i \theta}A))$ \\
 \end{flushleft}
 و فرض کنیم $x_{\theta} \in \mathbf{C}^n $ بردار ویژه یکه وابسته به $\lambda_{\theta}$ باشد.\\
\begin{flushleft}
 $H(e^{i \theta A})x_{\theta} = \lambda_{\theta} x_{\theta} \qquad x^*_{\theta}x_{\theta} =1 $\\
\end{flushleft}
 و همچنین خط \\
\begin{flushleft}
 $L_{\theta} =\{e^{-i \theta}(\lambda_{\theta}+ti):t \in \mathbf{R}\}$\\
\end{flushleft}
خط مماس برمرز W(A) می باشد.\\
  اين موضوع بسيار جذاب است که بتوانيم تقريبي از $W(A)$ را (که شامل $\sigma(A)$ است)به وسيله يک سري از مقادير ويژه و بردارهاي  ويژه يک ماتريس هرميتي به دست آوريم  .\\
\end{frame}
\begin{frame}
اماسوال این است که چه خطی واقعا خط حائل بردعددی ماتریسهای
$n\times n$
است؟
 \begin{قضیه}
فرض کنیدAماتریسی

$n\times n$
باشداگر
$ax+by+c=0$
خط حائل    
$W(A)$
باشدآنگاه
\\
$det(a ReA+b ImA+c I_{n})=0$
\\
\end{قضیه}
\end{frame}
\begin{frame}
\begin{نکته}\textbf{خلاصه ای ازاثبات}\\
ازآنجایی که هرماتریس مختلط$A$را می توان به صورت$A=H+iK$که $H,K$ هرميتي هستند نشان داد داریم
\\
\begin{flushleft}
 $W(A)=\lbrace{\langle{H+iK,x}\rangle|\hspace{1mm}  \Vert{x}\Vert=1}\rbrace=\lbrace{\langle{Hx,x}\rangle+\langle{Kx,x}\rangle\Vert{x}\Vert=1}\rbrace$
\end{flushleft}
\\
که 
$(Hx,x)$
و
$ (Kx,x)$
حقیقی هستندچونH ماتریسی هرمیتی است و$W(H(A))$تصویر$W(A)$روی محور$X$هااست, برد عددي ما تريسهاي هرميتي روي محور اعداد حقيقي قرار مي گيردبه عبارت دیگربردعددي$H$پاره خطي است به صورت
\begin{flushleft}
$W(H)=\lceil{\lambda_{min},\lambda_{max}}\rceil$
\end{flushleft}
که
$\lambda_{min}$
و
$\lambda_{max}$
به ترتيب بزرگترين وکوچکترين مقاديرويژه$ H$هستندآنگاه
$x-\lambda_{max}=0$
معادله خط حائل$W(A)$موازی با محور$Y$هااست.درحقیقت این معادله حالت خاصی ازلم بالا است که درآن به ترتیب
$(a=1,b=0,c=\lambda{max})$
می باشدوداریم
$det(H-\lambda_{max}I_{n})=0$
\end{نکته}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{نکته}
حال اگرخط دلخواهي در نظربگيريم که حائل
$W(A)$
باشدوبامحور $X$ها زاويه
$\theta$
بسازد,بردعددي
$W(A)$
رابه اندازه
$-\theta$
دوران مي دهيم آنگاه براي هرمقدار
$\theta$
خط
\begin{flushleft}
$x=\lambda_{max}^{\theta}$
\end{flushleft}
که شامل یک نقطه ازمرزناحیه مجهول $R$است (اگربیشترازیک نقطه باشدآنگاه این خط تکه ای ازمرز$R$است)خط حائل$W(e^{i\theta }A)$
است مي دانيم که
\begin{flushleft}
$e^{-i\theta}A=(cos\theta{H}+isin\theta{K})+i(cos\theta{H}-sin\theta{K})$
\end{flushleft}
بنا براين بزرگترين مقدارويژه
$cos\theta{H}+isin\theta{K}$
ازمعادله زير بدست مي آيد
\begin{flushleft}
$\vert{cos\theta{H}+sin\theta{K}-\lambda{I_{n}}}\vert=0$
\end{flushleft}
حال اگر
$W(e^{-i\theta}A)$
رابازاويه
$+\theta$
دوباره به عقب برگردانيم آنگاه خط حائل
$x=\lambda_{max}^{\theta}$
به صورت زيرتغييرمي کند
$xcos\theta+ysin\theta-\lambda_{n}=0$
که
$\lambda_{n}$
بزرگترين مقدارويژه ماتريس
$e^{-i\theta}A$
و$y$بزرگترین مقدارويژه ماتریس $K$است که دراين حالت به ترتيب
$a=cos\theta$,$b=sin\theta$,$c=-\lambda_{n}$
می باشد.
\end{نکته}
\end{frame}
\section{منحنیkippenhahn}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\frametitle{منحنیkippenhahn}
برای بدست آوردن بردعددی ماتریس های متناهی می توان ازروش های خاصی بااستفاده ازویژگی های کلی ماتریس ها بهره بردکه این ابزاربرای همه عملگرها قابل دسترسی نیستندبه طورمثال ازجمله این روش ها پیداکردن چندجمله ای مشخصه خانوادهxReA+yImA   مربوط به ماتریسAاست که می تواندبرای به دست آوردن W(A) یامرزآن مورد استفاده قرارگیرد
\\
برای یافتن این چندجمله ای می توان از یافته های(kippenhahn) که می گویدبردعددی ماتریس $A$  برابراست باغلاف محدب قسمت حقیقی دوگان منحنی زیر
\begin{flushleft}
$P_{A}(x,y,z)\equiv{det(xReA+yImA+zI_{n})}$
\end{flushleft}
استفاده کرد. 
\frametitle{منحنیkippenhahn}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{تعریف}
اگر $a,b,c$داراي مختصات خطي همگن باشنددوگان معادله
\begin{flushleft}
$P_{A}(a,b,c) = det(aReA + bImA + cI)=0$
\end{flushleft}
يک منحني جبري از کلاس $n$ راتعريف مي کندکه قسمت حقيقي اين منحني رابا
$C(A)$
نشان مي دهيم وآن رامنحني وابسته$A$ یامنحنی $(kippenhanh)$مي ناميم.
\end{تعریف}
در این بخش به معرفی منحنی وابسته برای هر ماتریس متناهیAورابطه آن بابردعددی این ماتریس می پردازیم .\\
برای توصیف دقیق این منحنی ابتدا احتیاج به تعریف چنداصطلاح داریم:
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{figure}[!htp]
\begin{picture}(0.,0.)
\put(120,-200){\special{psfile=p3.eps hscale=50 vscale=50}}
\end{picture}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{تعریف}
هرنقطه درصفحه با مختصات دکارتی (u,v) برابراست باسه تایی [x,y,z] درمختصات همگن که  $ u=\frac{x}{z} , v=\frac{y}{z} $است.
\\
معمولا فرمول ها در مختصات همگن ساده تر ازمعادلشان درمختصات دکارتی است.
\end{تعریف}
\begin{تعریف}
اگر V فضای برداری مختلط بابعد متناهی باشدآنگاه P(V) رافضای تصویری V بایک بعدکمتر می نامیم درنتیجه  $ P^{n} $ فضای تصویری مختلط استاندارد بابعد n است یعنی $ P^{n}=P(C^{n+1}) $ وهرنقطه در  $ P^{n} $  یک n+1 تایی مرتب درمختصات همگن می باشد. 
\end{تعریف}
\begin{نتیجه}
هرنقطه درصفحه تصویری به وسیله سه تایی [x,y,z] نمایش داده می شود که به آن مختصات همگن نقطه می گوییم.
\end{نتیجه}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{تعریف}
صفحه تصویری مختلط
$ \mathbf{C} \mathbf{P}^2$
به صورت
\begin{flushleft}
$\mathbf{C} \mathbf{P}^2\equiv\frac{\textbf{C}^3-\lbrace{0}\rbrace}{\backsim}$
\end{flushleft}
یامجموعه
\begin{flushleft}
$ \mathbf{C} \mathbf{P}^2=\lbrace[x,y,z]\vert{(x,y,z)\in{\textbf{C}^3-\lbrace{0}\rbrace}\rbrace}$
\end{flushleft}
است.
\end{تعریف}
ما به وسیله این ابزارشکل های فضایی را روی صفحه تصویرمی کنیم.
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{figure}[!htp]
\begin{picture}(0.,0.)
\put(120,-200){\special{psfile=21.eps hscale=50 vscale=50}}
\end{picture}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{تعریف}
هرنقطه$[x,y,z]$در$ \mathbf{C} \mathbf{P}^2 $با$z\neq{0}$رامی توان به صورت$(\frac{x}{z},\frac{y}{z})$درمختصات ناهمگن نشان داد.ازطرف دیگرهر نقطه$ (u,v)$رانیزمی توان به صورت$ [u,v,1]$درمختصات همگن نشان داد.
\end{تعریف}
\begin{تعریف}
مجموعه نقاط$[x,y,z]$در  $\mathbf{C} \mathbf{P}^2$
که درمعادله همگن ازدرجه یک
\begin{flushleft}
$ax+by+cz=0$     
\end{flushleft}
$a,b,c\neq{0}\in{\textbf{C}}$
صدق می کندیک خط هستند.
\end{تعریف}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{تعریف}
اگر$P(x,y,z)$یک چندجمله ای همگن ازدرجه$2$به صورت
\begin{flushleft}
$P(x,y,z)=ax^{2}+bx^{2}+cz^{2}+dxy+eyz+fzx$
\end{flushleft}
باضرایب ناصفر باشدآنگاه$P(x,y,z)$یک مقطع مخروطی است.به صورت کلی تراگر$P(x,y,z)$یک چندجمله ای همگن از درجه$d$بامتغیرهای$x,y,z$باشدآنگاه مجموعه نقاط$[x,y,z]$در $ \mathbf{C} \mathbf{P}^2$که درمعادله$P(x,y,z)=0$صدق می کنندیک منحنی جبری ازمرتبه$d$است.

\end{تعریف}
\begin{نتیجه}
هرمنحنی$P(x,y,z)=0$در$ \mathbf{C} \mathbf{P}^2$رامی توان باقراردادن $z=1$تبدیل به منحنی$P(x,y,1)=0$در

$\textbf{C}^{2}$
کرده وناهمگن کنیم وبرعکس هرمنحنی جبری$P(x,y)=0$در$\textbf{C}^{2}$رامی توان با منحنی$P(\frac{x}{z},\frac{y}{z})=0$  که به وسیله ساده کردن معادله$P(x,y,z)=0$در$ \mathbf{C} \mathbf{P}^2$
بدست آمده یکی درنظرگرفته وهمگن کنیم.
\end{نتیجه}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{نکته}\texbf{نکته}\\
فرض کنید$ ax+by+cz=0$خطی ثابت و$P(x,y,z)=0$یک منحنی جبری ازمرتبه$ d $  باشدقراردهید$z=1$آنگاه داریم
\begin{flushleft}
$P(x,y,1)=0,ax+by+c=0$
\end{flushleft}
فرض کنید$b\neq{0}$آنگاه$y=\frac{-c-ax}{b}$وریشه های
\begin{flushleft}
$ P(x,\frac{-c-ax}{b},1)=0$	
\end{flushleft}
نقاط اشتراک خط ومنحنی هستندازآنجایی که$ P $  ازدرجه$d$است ودقیقا$d$ریشه دارددرنتیجه خط بامنحنی در$d$نقطه اشتراک دارند
\end{نکته}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{نکته}\texbf{نکته}\\
طبق تعریف بالا خط$ax+by+cz=o$ باسه تایی$[a,b,c]$مشخص می شودمی گوییم نقطه$Q=(x_{0},y_{0},z_{0})$ روی خط$[a,b,c]$است اگر$ax_{0}+by_{0}+cz_{0}=0$شودوخط$[a,b,c]$درمعادله نقطه$ Q$صدق می کنداگروتنهااگرخط$ [a,b,c]$ازمیان$Q$بگذرد.
\end{نکته}
\begin{تعریف}
مفهوم دوگان در صفحه تصویری مفهوم ساده ای است به این صورت که هراصلی درست می ماند اگر درآن نقطه را با خط جا به جا کنیم؛به طور مثال عبارت "هردو نقطه یک خط یکتا می سازند." با دوگان عبارت "هردوخط یک نقطه یکتامی سازند." برابراست.
\end{تعریف}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{نکته}\texbf{نکته}\\
باتوجه به نکته بالا اگر منحنی مسطح   $C: f(x_{0};x_{1};x_{2})=0 $را درفضای تصویری درنظر بگیریم برای محاسبه دوگان منحنی  $ C^{\ast}:F(u_{0};u_{1};u_{2})=0 $به روش بالا این طور عمل می کنیم که هرمکان C$ $ دارای مماس یکتا به معادله 
\begin{flushleft}
$ L:a_{0} x_{0}+a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}=0 $
\end{flushleft}
است پس دوگان C یعنی   $ C^{\ast} $ یک منحنی شامل همه نقاط $ P=(a_{0};a_{1};a_{2}) $ متناظربا مماسL  است  .
\end{نکته}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]

\begin{figure}[!htp]
\begin{picture}(0.,0.)
\put(110,-200){\special{psfile=e.eps hscale=50 vscale=50}}
\end{picture}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{تعریف}
اگر$C$یک منحنی جبری ازمرتبه$d$بامعادله$P(\frac{x}{z},\frac{y}{z})=0$ باشدآنگاه دوگان$C$یعنی$C^{\ast}$به صورت زیرتعریف می شود
\begin{flushleft}
$C^{\ast}=\{ [a,b,c]\in{\mathbf{C} \mathbf{P}^2} : ax+by+cz=0 \hspace{1mm} \text{ که بر $C$ مماس است} \}$  
\end{flushleft}
دراین حالت$d$راکلاس$C^{\ast}$می نامیم.
توجه کنیدکه$C^{\ast}$نیزیک منحنی جبری است که به وسیله معادله چندجمله ای همگن باضرایب حقیقی معین شده است.
\end{تعریف}
\begin{نکته}\texbf{نکته}\\
ازآن جایی که دوگان دوم منحنی خودش می شودویژگی های یک منحنی ودوگانش دوگان یکدیگرندیعنی کلاس$C$مرتبه$C^{\ast}$ومرتبه$ C^{\ast} $کلاس$ C $است.
\end{نکته}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{تعریف}
اگر $a,b,c$داراي مختصات خطي همگن باشنددوگان معادله
\begin{flushleft}
$P_{A}(a,b,c) = det(aReA + bImA + cI_{n})=0$
\end{flushleft}
يک منحني جبري از کلاس $n$ راتعريف مي کندکه قسمت حقيقي اين منحني رابا
$C(A)$
نشان مي دهيم وآن رامنحني وابسته$A$ یامنحنی $(kippenhanh)$مي ناميم.
\end{تعریف}
\begin{نکته} \texbf{نکته}\\
باتوجه به دومین قضیه ومبحث دوگان نتیجه می شودکه هرخط حائل  
 $W(A)$
 بر
 $C(A)$مماس است.\\ 
\end{نکته}
\begin{قضیه}
فرمول پلوکر (plucker)
\\
اگر    $ C\subset P^{2} $ یک منحنی مسطح ازدرجه d باشدآنگاه منحنی دوگان از درجه d(d-1) است.
\end{قضیه}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
درسال    (kippenhahn)۱۹۵۱  نشان دادکه:
\begin{قضیه}
غلاف محدب منحنی وابسته$ A $ بابردعددی ماتریس$ A $برابراست
\begin{flushleft}
$ W(A)=co(C(A)) $
\end{flushleft}
به عبارت دیگر W(A) غلاف محدب مجموعه زیراست:
\begin{flushleft}
$\lbrace a+ib\in C : a,b\in R,  \hspace{1mm} \text{  بر $P_{A}(x,y,z)=0$ مماس است} \  ax+by+z=o \rbrace $
\end{flushleft}
\end{قضیه}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
به دست آوردن دوگان یک منحنی آسان نیست اما اگربتوانیم نمایش پارامتری منحنی را بنویسیم کارراساده کرده ایم
\begin{تعریف}
دوگان منحنی هایی که پارامتری تعریف می شوندیعنی  x=x(t),y=y(t)  به صورت معادله های پارامتری زیرهستند:
\begin{flushleft}
$ X(t)=\frac{y(t)^{'}}{y(t)x(t)^{'}-x(t)y(t)^{'}} $
\\
$ Y(t)=\frac{x(t)^{'}}{x(t)y(t)^{'}-y(t)x(t)^{'}} $
\end{flushleft}
\end{تعریف}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{مثال}
اگربیضی C به معادله
\begin{flushleft}
$ f(x,y)= (\frac{x^{2}}{a^{2}})+(\frac{y^{2}}{b^{2}})=1 $
\end{flushleft}
در $ {C^{2}} $ که $(a\geq b\geq 0  )$   
  معین شده باشد;برای به دست آوردن دوگان منحنی ابتدا منحنی را به صورت پارامتری می نویسیم 
\begin{flushleft}
$ x(t)=a cos(t) , y(t)=b sin(t) $
\end{flushleft}
 باتوجه به معادله های دوگان داریم
\begin{flushleft}
$ X(t)=\frac{cos(t)}{a} , Y(t)=\frac{sin(t)}{b}   \Longrightarrow   a^{2}X^{2}+b^{2}Y^{2}=1 $
\end{flushleft}
حال با قراردادن    
  $ \frac{X}{Z} , \frac{Y}{Z} $
  به جای X,Y  معادله را همگن می کنیم ودرنتیجه دوگان بیضی یعنی   $C^{\ast} $در$ CP^{2} $ به شکل زیراست\\
\begin{flushleft}
$ a^{2}X^{2}+b^{2}Y^{2}=Z^{2} $
\end{flushleft}
\end{مثال}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{figure}[!htp]
\begin{picture}(0.,0.)
\put(70,-180){\special{psfile=image.eps hscale=50 vscale=50}}
\end{picture}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{تعریف}
فرض کنید   $ C\subset PC^{2} $ منحنی مسطح از درجه سه با معادله همگن $ f(x_{0},x_{1},x_{2})=0$  باشد.دوگان C ; $C^{\ast}: F(p_{0},p_{1},p_{2})=0 $  
$(  \hspace{1mm} \text {مختصات دوگان در $  P^{2}C^{\ast}$ است } ( p_{0},p_{1},p_{2})  ) $      
به روش زیر به دست می آید. ابتدا چندجمله ای   $ V(p,x)$ رامحاسبه می کنیم:
\begin{flushleft} 
$V(p,x)=\begin{vmatrix}
0 &       p_{0} &   p_{1} &   p_{2}\\
p_{o} & f_{00}(x)&   f_{01}(x)&   f_{02}(x)\\
p_{1}& f_{10}(x)  &  f_{11}(x) &   f_{12}(x)\\
p_{2}& f_{20}(x) &    f_{21}(x) &    f_{22}(x)
\end{vmatrix}$
\end{flushleft}
\\وطبق فرمول شلفلی(Schlafli) داریم:
\begin{flushleft}
$  F(p_{0},p_{1},p_{2})=\begin{vmatrix}
0&  p_{0}&   p_{1}&    p_{2}\\
p_{o}& \frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}(p)&  \frac{\partial^{2}V}{\partial x_{0}\partial x_{1}}(p) & \frac{\partial^{2}V}{\partial x_{0}\partial x_{2}}(p)\\
p_{1}&  \frac{\partial^{2}V}{\partial x_{1}\partial x_{0}}(p)& \frac{\partial^{2}V}{\partial x_{1}^{2}}(p)& \frac{\partial^{2}V}{\partial x_{1}\partial x_{2}}(p)\\
p_{2}&  \frac{\partial^{2}V}{\partial x_{2}\partial x_{0}}(p)&  \frac{\partial^{2}V}{\partial x_{2}\partial x_{1}}(p)& \frac{\partial^{2}V}{\partial x_{2}^{2}}(p)
\end{vmatrix}$ 
\end{flushleft}
\end{تعریف}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{مثال}
ماتریس 
\begin{flushleft}
$A=\begin{bmatrix}
\hspace{2mm} 0&    0& 1&\\
\hspace{2mm} 0& 1& i&\\
\hspace{2mm} 1& i& 0& 
\end{bmatrix}$
\end{flushleft}
مفروض است ابتدا معادله منحنی وابسته به ماتریس A رابه دست می آوریم
\begin{flushleft}
$f(x_{0},x_{1},x_{2})= det(x_{0} Re A+x_{1} Im A+x_{2} I_{3})=
x_{0}^{3}+x_{0}x_{1}^{2}+2 x_{0} ^{2}x_{1}-2x_{0}x_{1}^{2}-x_{1}x_{0}^{2}-x_{1}^{3}$
\end{flushleft}
حال برای محاسبه منحنی (kippenhahn)  با استفاده ازفرمول شلفلی از معادله بالا دوگان می گیریم
\begin{flushleft}
$ F(p_{0},p_{1},p_{2})=4p_{1}^{4}+32p_{2}^{4}+13p_{1}^{2}p_{2}^{2}-18 p_{0}p_{1}p_{2}^{2}+4p_{0}p_{1}^{3}-27p_{0}^{2}p_{2}^{2}$
\end{flushleft}
\end{مثال}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]

\begin{figure}[!htp]
\begin{picture}(0.,0.)
\put(175,-180){\special{psfile=m.eps hscale=50 vscale=50}}
\end{picture}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\section{دسته بندی kippenhanh}
براي ماتریس های 
$3\times 3$
دسته بندي زيربراساس تجزيه
$P_{A}$
توسطkippenhanhارائه شده است:\\
\\
\textbf{حالت اول}
\begin{نکته}
اگر  $P_{A}$ به سه عامل خطی تجزیه شودآنگاه
\begin{itemize}
\item
 $ C(A) $
 شامل سه نقطه   $ \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3} $     است که مقادیرویژه A می باشند.\\ 
و
\item
 $ W(A) $ یک ناحیه مثلثی شکل است که به وسیله متصل کردن این نقاط به دست آمده است.\\
\end{itemize}
(دراین حالت A نرمال است)
\end{نکته}
تصویرزیربردعددی ماتریس
\begin{bmatrix}
1& 0& 0; 0& i& 0; 0& 0& -i 
\end{bmatrix}
است.
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{figure}[!htp]
\begin{picture}(0.,0.)
\put(110,-200){\special{psfile=2.eps hscale=50 vscale=50}}
\end{picture}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\textbf{حالت دوم}
\begin{نکته}
گر  $P_{A}$به یک عامل خطی ویک عامل درجه دوم تجزیه شودآنگاه
\begin{itemize}
\item
 $ C(A) $
 شامل نقطه $ \lambda $ وبیضی E است.\\
و
\item
 W(A) یایک بیضی است اگر $ \lambda $ داخل E باشد درغیراین صورت شبیه به یک مخروط است.\\
\end{itemize}
(دراین حالت بااینکه  $ P_{A} $ تجزیه پذیر است ولی A نرمال نیست.)
\end{نکته}
تصویرزیربردعددی ماتریس
\begin{bmatrix}
1+i& 0& 0; 0& 1/2& i; 0& 0& -1/2
\end{bmatrix}
است.
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]

\begin{figure}[!htp]
\begin{picture}(0.,0.)
\put(110,-200){\special{psfile=1.eps hscale=50 vscale=50}}
\end{picture}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]

\begin{figure}[!htp]
\begin{picture}(0.,0.)
\put(110,-200){\special{psfile=3.eps hscale=50 vscale=50}}
\end{picture}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
دردوحالت بعدی $ P_{A} $ تجزیه ناپذیر می باشد\\
\textbf{حالت سوم}
\begin{نکته}
اگر   $ C(A)$ازدرجه 4 باشدآنگاه
\begin{itemize}
\item
$ C(A)$
دارای یک مماس دوگانه ویک نقطه تیزی می باشد.\\
و
\item
مرز W(A) شامل یک قطعه هموار flatportion) ) است ونقطه تیزی ندارد.\\
\end{itemize}
\end{نکته}
تصویرزیربردعددی ماتریس
\begin{bmatrix}
1& 0& 0; i/3& i/2& 0; -1/9& -1/3& -1/4
\end{bmatrix}
\\وماتریس
\begin{bmatrix}
0& 1& 1; 0& 0& 1; 0& 0& 0
\end{bmatrix}
است.
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]

\begin{figure}[!htp]
\begin{picture}(0.,0.)
\put(110,-200){\special{psfile=5.eps hscale=50 vscale=50}}
\end{picture}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{figure}[!htp]
\begin{picture}(0.,0.)
\put(135,-200){\special{psfile=algoritm.eps hscale=50 vscale=50}}
\end{picture}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\textbf{حالت چهارم}
\begin{نکته}
اگر   $ C(A)$ازدرجه 6 باشدآنگاه
\begin{itemize}
\item
$ C(A) $
شامل دوقسمت است یکی داخل دیگری; قسمت درونی سه نقطه تیزی داردوقسمت بیرونی تخم مرغی شکل است.\\
و
\item
$  W(A)$ همان قسمت تخم مرغی شکل است.\\
\end{itemize}
\end{نکته}
تصویرزیربردعددی ماتریس
\begin{bmatrix}
1& 0& 0; 0& i& 0; 0& 0& -i

\end{bmatrix}
است.
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{figure}[!htp]
\begin{picture}(0.,0.)
\put(110,-200){\special{psfile=9.eps hscale=50 vscale=50}}
\end{picture}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{figure}[!htp]
\begin{picture}(0.,0.)
\put(110,-200){\special{psfile=8.eps hscale=50 vscale=50}}
\end{picture}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
هدف اصلی در مطالعه هندسه بردعددی معرفی کردن ارتباط شکل بردعددی ماتریس A وویژگی های ماتریس A است اماهندسه بردعددی هنوز به درستی شناخته نشده است وهم اکنون هم سوالات بسیاری دراین زمینه بدون جواب مانده است زیرا ماتقریبا تنها می دانیم که W(A) محدب است ومقادیرویژه A رادربردارد.
\begin{نکته}
\begin{itemize}
\item
برای نمونه سوال این است که آیا می توان به هر منحنی بسته وکراندار یک ماتریس نسبت داد؟
\\
(به طورمثال کپلر نشان داد که مدار دور سیارات به شکل بیضی است آیا می توان به هرکدام از این مدارها یک ماتریس نسبت داد؟)
\item
\\
با دانستن این نکته که W(A)=CO(C(A)) پرسش اینگونه می شود که آیاباداشتن W(A) می توان به ماتریس A رسید؟
\item
\\
 ویا به طورکلی تر آیا می توان به هر شکل محدب بردعددی یک ماتریس رانظیر کرد؟ 
\end{itemize}
\end{نکته}
\end{frame}
\textbf{مراجع}
\persian
\Roman
\bibliographystyle{unsrt}
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{r2}D. Keeler, L. Rodman, I.M. Spitkovsky,, \textit{The numerical range of 3 × 3 matrices}, Linear Algebra Appl.
252 (1997) 115–139. 
\bibitem{r3}R. A. Horn and C. R. Johnson, \textit{Matrix Analysis}, Cambridge Univ. Press,
Cambridge, 1985.
\bibitem{r8} R. Kippenhahn, \textit{fiber den Wertevorrat einer Matrix}, Math. Nachr. 6:193-228
(1951).
\bibitem{r12}F. D. Mumaghan,    \textit{On the field of values of a square matrix}, Proc. Nat. Acad.
Sci. USA 18:246-248 (1932).
\bibitem{r20} I. M. Gelfand, M. M. Kapranov, A. V. Zelevinsky, \textit{ Discriminants, resultants and
multidimensional determinants}. Birkh¨auser, 1994.
\bibitem{r21}H. Shapiro, \textit{A conjecture of Kippenhahn about the characteristic polynomial of a
pencil generated by two Hermitian matrices, II}, Linear Algebra AppZ. 45:97-108
(1982).

\end{thebibliography}
\end{frame}
\begin{frame}[<+-|alert@+>]
\begin{figure}[!htp]
\begin{picture}(0.,0.)
\put(140,-200){\special{psfile=18.eps hscale=50 vscale=50}}
\end{picture}
\end{figure}
\end{frame}
\end{document}		
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%			                                                      \[•\]