\documentclass[11pt]{article}
%\usepackage{url}
%\usepackage{fancyvrb}
\usepackage{setspace}\doublespacing
%\usepackage{graphicx} 
\usepackage{amssymb}
\usepackage{xepersian}
\settextfont[Scale=1.2]{XB Zar}
\setlatintextfont[Scale=1.1]{Times New Roman}
%\setdigitfont{XB Zar}
\setpookfont{XB Kayhan Pook}
\setsayehfont{XB Kayhan Sayeh}
\defpersianfont\lotoos[Scale=1.2]{XB Roya}
\defpersianfont\elmi[Scale=1.2]{XB Roya} 
\def\nazok{\normalfont\normalsize}
\let\iranic\it
\let\siah\bf
\let\khabide\sl
\def\siahir{\siah\iranic} 
\def\siahkh{\siah\khabide}
\let\tookhali\pookfamily
\let\sayedar\sayehfamily
\let\farsi\Persian
\let\english\Latin 
\let\farmbox\mbox
\newcommand{\ftxepmatrix}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}
\newcommand{\ftxematrix}[1]{\begin{matrix}#1\end{matrix}} 

\topmargin=0cm
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\textheight}{22cm}
\oddsidemargin=0cm
\evensidemargin=0cm
\addtolength{\voffset}{0in}
\addtolength{\hoffset}{0mm}
\footskip=1cm
\parskip=0cm
\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}
\usepackage{amssymb}

\newcommand{\sue}{\leqslant}
\newcommand{\nsub}{\nleqslant}
\newcommand{\neqs}{\lvertneqq}
\newcommand{\C}{{\cal C}}
\newcommand{\Syl}{{\rm Syl}}
\newcommand{\pres}[2]{\langle #1\,| #2\rangle}
\newcommand{\cyc}[1]{\langle #1\rangle}
\newcommand{\sug}[2]{\langle #1, #2\rangle}
\newcommand{\no}{\trianglelefteq}
\newcommand{\nno}{\ntrianglelefteq}
\newcommand{\bk}{\backslash}

\def\maketitle{\noindent{\rl{ مرکز تحصیلات تکمیلی در علوم پایه - زنجان }}\hfill {\rl{۲۳ آذر ۱۳۸۲}}\par\vspace*{3pt}\hrule height1.0pt
                \medskip\noindent {\rl{ آزمون  نظریه نمایش آزاد گروهها ۱ }}\hfill{\rl{مدرس: موسوی }}\vskip0.3in}
\begin{document}
%\VerbatimFootnotes
\thispagestyle{empty}
\maketitle

{\bf قضایا:}

\vspace{0.2cm}\noindent ۱) به ازای هر $w\in F\setminus \{e\}$، $\C_F(w)$ یک گروه دوری نامتناهی 
است.\hfill (۲ نمره)

\vspace{0.2cm}\noindent ۲) فرض کنید $H$ یک زیرگروه از $F$ و $U$ یک مجموعه تراگرد $H$ در $F$ 
باشد. در این صورت مجموعه $A=\{ux{\overline{ux}}^{^{\!-1}} | u\in U, x\in X^{\pm}\}$، $H$ را تولید می‌کند.
\hfill (۲ نمره)

\vspace{0.2cm}\noindent ۳) نمایش $G=\pres{X}{R}$، گروه $H$ و نگاشت $\theta: X\to H$ را درنظر 
بگیرید. در اینصورت $\theta$ به یک همومرفیسم $\theta": G\to H$ توسیعپذیز است اگر و فقط اگر برای 
هر $x\in X$ و هر $r\in R$ نتیجه جایگذاری $\theta(x)$ با $x$ در $r$، همانی بودن را حفظ کند.
\hfill (۲ نمره)

\vspace{0.2cm}\noindent ۴) ({\bf ددکیند}). اگر $A=A(X)$ گروه آبلی آزاد از رتبه $r$ و $B$ 
زیرگروه $A$ باشد، آنگاه $B$ آبلی آزاد از رتبه حداکثر $r$ است.\hfill (۴ نمره)

{\bf مسائل:} بارم هر مسئله ۲ است.

\vspace{0.2cm}\noindent ۱) نشان دهید مرکز یک گروه آزاد غیر دوری، بدیهی است.

\vspace{0.2cm}\noindent ۲) نشان دهید یک گروه آزاد از رتبه ۲ شامل یک زیرگروه نرمال از هر رتبه 
دلخواه متناهی است.

\vspace{0.2cm}\noindent ۳) فرض کنید $F=F(X)$ یک گروه آزاد و $H\sue F$، زیرگروه شامل همهً کلمات 
از طول زوج باشد. با استفاده از روش {\it شرایر} یک پایه برای $H$ بیابید.

\vspace{0.2cm}\noindent ۴) فرض کنید 
$G=\pres{x,y,z}{x^y=y^{b-2}x^{-1}y^{b+2}, y^z=z^{c-2}y^{-1}z^{c+2}, z^x=x^{a-2}z^{-1}x^{a+2}}$ 
باشد. ساختار $G_{ab}$ را بیابید.

\vspace{0.2cm}\noindent ۵) با استفاده از اتحاد \lr{Witt}، $$[[x,y],z^x]\:[[z,x],y^z]\:[[y,z],x^y]=e$$ 
نشان دهید گروه $G=\pres{x,y,z}{[x,y]=z, [y,z]=x, [z,x]=y}$ بدیهی است.

\vspace{0.5cm}\hspace{13cm} موفق باشید
\end{document}