% !TEX TS-program = XeLaTeX % Commands for running this example: % xelatex vahid-seminar % xelatex vahid-seminar % End of Commands %%% نمونه یک سمینار کارشناسی ارشد، دانشگاه تبریز، وحید دامن ‌افشان، vdamanafshan@yahoo.com % توجه داشته باشید برای دیدن خروجی کامل شامل نمایه و فهرست مطالب در ویرایشگر Texmaker، ابتدا دو بار % کلید F1 و بعد کلید F12 و دوباره کلید F1 و در آخر کلید F7 را فشار دهید. % توضیحات مربوط به هر بسته یا دستور را می‌توانید در خط بالای آن ببینید. \documentclass[12pt,a4paper]{article} %در ورژن جدید زی‌پرشین برای تایپ متن‌های ریاضی، این سه بسته، حتماً باید فراخوانی شود \usepackage{amsthm,amssymb,amsmath} %بسته‌ای برای تنطیم حاشیه‌های بالا، پایین، چپ و راست صفحه %\usepackage[top=50mm, bottom=50mm, left=50mm, right=50mm]{geometry} \usepackage{graphicx} % بسته‌ و دستوراتی برای ایجاد لینک‌های رنگی با امکان جهش \usepackage[pagebackref=true,colorlinks,linkcolor=blue,citecolor=magenta]{hyperref} % چنانچه قصد پرینت گرفتن نوشته خود را دارید، خط بالا را غیرفعال و از دستور زیر استفاده کنید چون در صورت استفاده از دستور زیر‌‌، % لینک‌ها به رنگ سیاه ظاهر خواهند شد و برای پرینت گرفتن، مناسب‌تر است %\usepackage[pagebackref=false]{hyperref} % بسته‌ای برای ظاهر شدن «مراجع» و« نمایه» در فهرست مطالب \usepackage{tocbibind} % دستورات مربوط به ایجاد نمایه \usepackage{makeidx} \makeindex %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % فراخوانی بسته زی‌پرشین و دستورات مربوط به نوع فونت‌ها \usepackage{xepersian} \settextfont[Scale=1.1]{XB Niloofar} %\setlatintextfont[Scale=2]{Linux Libertine} %\setlatintextfont[Scale=1]{Times New Roman} % از revision 118 زی‌پرشین به بعد، وارد کردن دستور زیر لازم نیست. توجه داشته باشید که در صورت غیرفعال کردن این دستور، % از فونت پیش‌فرض لاتک برای کلمات انگلیسی استفاده خواهد شد. %\setlatintextfont[ExternalLocation,BoldFont={lmroman10-bold},BoldItalicFont={lmroman10-bolditalic},ItalicFont={lmroman10-italic}]{lmroman10-regular} % چنانچه می‌خواهید اعداد در فرمول‌ها، فارسی باشد، خط زیر را نیز فعال کنید %\setdigitfont[Scale=1.1]{XB Zar} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % تعریف قلم‌های فارسی و انگلیسی برای استفاده در بعضی از قسمت‌های متن \defpersianfont\titr[Scale=1]{XB Titre} \defpersianfont\nastaliq[Scale=1.5]{IranNastaliq} %\defpersianfont\traffic[Scale=1]{B traffic} % چنانچه فونت B Traffic را ندارید، دستور بالا را غیرفعال کرده و دستور زیر را فعال کنید \defpersianfont\traffic[Scale=1]{XB Niloofar} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %تعریف و نحوه ظاهر شدن عنوان قضیه‌ها، تعریف‌ها، مثال‌ها و ... \theoremstyle{definition} \newtheorem{definition}{تعریف}[section] \theoremstyle{theorem} \newtheorem{theorem}[definition]{قضیه} \newtheorem{lemma}[definition]{لم} \newtheorem{proposition}[definition]{گزاره} \newtheorem{corollary}[definition]{نتیجه} \newtheorem{remark}[definition]{ملاحظه} \theoremstyle{definition} \newtheorem{example}[definition]{مثال} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % تعریف دستورات جدید برای خلاصه نویسی و راحتی کار در هنگام تایپ فرمول‌های ریاضی \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\ls}{\mathrm{LSC}_{+}(X)} \newcommand{\ce}{\mathrm{C}^{*}(X)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % تغییر نام کلمه «اثبات» به «برهان» \renewcommand\proofname{\textbf{برهان}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} % دستوری برای زدن شماره صفحه‌ها به صورت الف، ب، ج و ... (معمولاً در در هر نوشته‌ای، شماره صفحات تا شروع فصل % اول آن متن را به صورت الف، ب، ج و ... وارد می‌کنند) \pagenumbering{harfi} % دستوری جهت ظاهر نشدن شماره صفحه (فقط در صفحه جاری) \thispagestyle{empty} % دستوری برای کم کردن فاصله بین لوگو و لبه بالایی صفحه خروجی \vspace*{-19mm} % نحوه درج کردن لوگوی دانشگاه \centerline{\includegraphics[height=4cm]{logo2.jpg}} \begin{center} % دستوری برای کم کردن فاصله بین لوگو و خط پایین آن \vspace{-3mm} دانشکده علوم ریاضی % دستوری برای تعیین فاصله بین دو خط \\[.2cm] گروه ریاضی محض \\[1.7cm] {\Large \textbf{سمینار کارشناسی ارشد با عنوان} } \\[.8cm] {\titr \begin{Huge} بعضی تاملات بر \\[.4cm] درجه های جابجایی $n$ ام گروه های متناهی \end{Huge}} \\[1.3cm] {\Large {\traffic استاد راهنما } \\[.7cm] {\Large \nastaliq دکتر رضایی} \\[.9cm] {\Large\traffic پژوهشگر }} \\[.7cm] {\Large \nastaliq زهرااحمدوندشاهوردی} \\[1.8cm] بهار 1392 \end{center} % دستوری برای رفتن به صفحه جدید \newpage % دستوری برای تعیین فاصله بین خطوط (نه دو خط) و تا وقتی که مقدار آن تغییر نکند، فاصله بین خطوط، همین مقدار است \baselineskip=1cm % دستوری برای ظاهر شدن فهرست مطالب \tableofcontents \newpage \baselineskip=.750cm % دستوری برای اختصاص دادن یک عدد به شماره صفحه جاری %\setcounter{page}{3} % دستوری برای زدن شماره صفحه‌ها به صورت ۱، ۲، ۳ و ... \pagenumbering{arabic} \baselineskip=1cm \defpersianfont\nastaliq[Scale=1.5]{IranNastaliq} \section*{چکیده} فرض کنید $G$ یک گروه متناهی و $n$ یک عدد صحیح مثبت باشد.درجه جابجایی $n$ ام $P_n(G)$ از $G$ محتملا، $n$ امین توان ازعضوتصادفی $G$ که باعضو تصادفی دیگری از $G$ جابجامی شود.در1968،پائول اردوش وتوران حالت $n=1$ که تنها شامل روش های ترکیبی بود را بررسی کردند.اخیراچندین نویسنده مطالعاتشان راافزایش دادندویک رشدنوشتاری در10سال اخیروجوددارد.مارابطه درجه جابجایی $n$ ام $P_n(H,G)$ ازیک زیرگروه $H$ در $G$ رامعرفی می کنیم.محتملایک توان $n$ ام ازیک عضوتصادفی داخل $H$ هست که بایک عضودر $G$ جابجامی شود.تاثیر $P_n(G)$ و $P_n(H,G)$ روی ساختار $G$ ،هدف کارحاضراست. \newpage \section{ مقدمه} همه ی گروه هایی که درنظرمی گیریم متناهی هستند.برای هرگروه $G$ ، درجه جابجایی $n$ ام $P_n(G)$ از $G$ توان $n$ ام عضوتصادفی $G$ است که باعضوتصادفی دیگری از $G$ جابجامی شود.صریحا\\ $\frac{P_n(G)=\mid\{(x,y)\in G\times G:[x^n,y]=1\}\mid}{\mid G\mid^2}$\\ (1)اخیراتوسط علی ن.م.م \LTRfootnote{N.M.M.Ali} و ن.سارمین \LTRfootnote{N.Sarmin} در \cite{N.M.M.Ali} معرفی شده است.آنها(1)رابرای تعدادی مقدار $n$ وتعدادی 2-گروه2-مولدازکلاس پوچتوانی2محاسبه کردند.اهمیت $P_n(G)$ ناشی ازحقیقت اینست که $d(G)=P_1(G)$ که درجه جابجایی $G$ است،توسط اردوش وتوران در \cite{P.Erdos} معرفی می شود.این چنین یک کار یک منبع کلاسیک برای مطالعات چندین نویسنده میشود، همانطورکه برای مثال توسط \cite{A.Erfanian1, A.Erfanian2,W.H.Gustafson,P.Lescot} گواهی داده شد.تعمیم های $d(G)$ زیادی وجوددارد.درجه پوچتوانی $n$ ام $d^n(G)$ از $G$ در \cite{A.Erfanian1} و \cite{P.Lescot} مطالعه شد.درجه $n$ تایی جابجایی متقابل $d_n(G)$ از $G$ در \cite{A.Erfanian2} مطالعه شد.درمیان این دونوشتار،خواهیم دیدکه $P_n(G)$ می تواندقرارگرفته شودواین علاقه مارابه سروکارداشتن با آن تصدیق می کند.نتایج مهم ازبرگه حاضر درزیرمی آیند. \newpage \newtheorem{theorem}{قضیه$A$}.\\ فرض کنید $G$ گروه ناآبلی و $p$ کوچکترین عدداولی که مرتبه $G$ راعادمی کند.دراینصورت گزاره های زیرهم ارزند: \begin{LTR} \begin{description} \item{(i)} $\frac{G}{Z(G)}\simeq Z_P\times Z_P;$ \item{(ii)} \ \ \ \rl{$G$بایک ابر$p$گروه ازمرتبه $p^3$ایزوکلینیک است} \item{(iii)} $P_n(G)=\frac{p^2+p-1}{p^3}$\ \ \ \rl{به ازای هر$n$ هرگاه توسط $p$عادنشود} \end{description} \end{LTR} \newtheorem{theorem}{قضیه$B$}.\\ اگر $G$ و $H$ دوگروه ایزوکلینیک باشند،آنگاه برای هر $n\geq 1$، $P_n(G)=P_n(H)$. \section{چندنتیجه اساسی} دوتعریف زیرقبلادربالاذکرشده اند. \begin{definition}\label{b1} فرض کنید $G$ گروه باشد.برای هر $n\geq 1$\\ \label{clever} $d^n(G)=\frac{\mid\{(x_1,\ldots,x_{n+1})\in G^{n+1}:[x_1,\ldots x_{n+1}]=1\}\mid}{\mid G\mid^{n+1}}$ درجه پوچتوانی $n$ ام $G$ نامیده می شود و $d_n(G)=\frac{\mid\{(x_1,\ldots,x_{n+1})\in G^{n+1}:x_i x_j=x_j x_i\}\mid}{\mid G\mid^{n+1}}$ درجه $n$ -تایی جابجایی متقابل $G$ نامیده می شود. \end{definition} به طوربدیهی برای $n=1$ در(2)و(3)درجه جابجایی $d(G)$ رادر \cite{W.H.Gustafson,P.Lescot} پیدامی کنیم.نتایج مهمی روی $d^n(G)$ و $d_n(G)$ در \cite{A.Erfanian1, A.Erfanian2,P.Lescot} وجوددارد.دراین کارهامفهوم اصلی درجه پوچتوانی نسبی $d^n(H,G)$ ازیک زیرگروه $H$ در $G$ مطالعه می شود.بااستفاده ازایده داده شده در \cite{A.Erfanian1} ،مفهوم زیررامعرفی می کنیم. \begin{definition}\label{b2} فرض کنید $H$ یک زیرگروه از گروه $G$ باشد. $P_n(H,G)=\frac{\mid\{(h,g)\in H\times G:[h^n,g]=1\}\mid}{\mid H\mid\mid G\mid }$ درجه جابجایی $n$ -ام نسبی $G$ نامیده می شود.\\ به روشنی،اگر $H=G$ آنگاه $P_n(G)=P_n(H,G)$. ما $P_n(H,G)$ و $P_n(G)$ راگاهی اوقات برابر بایکدیگردرنظر می گیریم. \begin{example}\label{b2} برای مثال ،اگر $G$ آبلی یاتوانی داشته باشدکه $n$ راعادکند،آنگاه $P_n(G)=P_n(H,G)=1$. \begin{lemma}\label{b2} اگر $G$ یک گروه پوچتوان ازکلاس2که زیرگروه مشتق آن توانی داشته باشدکه $n$ راعادکند،آنگاه $P_n(G)=P_n(H,G)=1$. \begin{proof} \[[x^n,y]=[xx^{n-1},y]=[x,y]^{x^{n-1}}[x^{n-1},y]=(x^{n-1})^{-1}[x,y]x^{(n-1)}[x^{n-1},y]\] \[=[x,y][x,y]^{-1}(x^{n-1}))^{-1}[x,y]x^{n-1}[x^{n-1},y]=[x,y][x,y,x^{(n-1)}][x^{(n-1)},y]\] چون $[x,y,x^{(n-1)}]=1$ آنگاه داریم: $[x,y][x^{n-1},y]=\ldots =[x,y]^{n}=1$ \end{proof} البته برای گروه $G$ وزیرگروه $H$ از $G$ وعددصحیح مثبت $n$ داریم $P_n(H,G)=1$ و $P_n(G)<1$ (برای مثال،میگیریم $H\subseteq Z(G)$).\\ تعدادی لم برای اثبات قضایای اصلی ضروری هستند.بایک حقیقت ابتدایی شروع می کنیم که $P_n(H,G)$ و $P_n(H)$ راباهم مقایسه می کند. \begin{lemma}\label{b2} فرض کنید $H$ زیرگروهی از گروه $G$ باشد.آنگاه: \[\forall n\geq 1 , P_n(H,G)\leq P_n(H)\] برابری برقرار است اگر $G=HZ(G)$ \begin{proof} \[p_n(H,G)=\frac{1}{\mid H\mid \mid G\mid}\sum_{h\in H}\mid C_G(h^n)\mid =\frac{1}{\mid H\mid}\sum _{h\in H}\frac{\mid C_G(h^n)\mid }{\mid G\mid}\] \[\leq \frac{1}{\mid H\mid}\sum _{h\in H}\frac{\mid C_H(h^n)\mid}{\mid H\mid}=\frac{1}{\mid H\mid^2}\sum _{h\in H}\mid C_H(h^n)\mid=P_n(H)\] چون \[\forall x\in G, HC_G(x)\subseteq G \rightarrow \mid HC_G(x)\mid\leq \mid G\mid\] \[\rightarrow\frac{\mid H\mid\mid C_G(x)\mid}{\mid H\bigcap C_G(x)\mid}\leq \mid G\mid \rightarrow\frac{\mid H\mid}{\mid C_H(x)\mid}\leq \frac{\mid G\mid}{\mid C_G(x)\mid}\rightarrow [H:C_H(x)]\leq [G:C_G(x)]\] حال اگر $G=HZ(G)$ آنگاه به ازای هر $x\in G$ داریم $G=HC_G(x)$ پس:\\ $[H:C_H(x)]=[G:C_G(x)]$. بنابراین برای هر $n\geq 1$ داریم $P_n(H,G)=P_n(H)$. \end{proof} \begin{lemma}\label{b2} فرض کنید $H$ زیرگروه سره گروه $G$ باشد. دراین صورت \[\forall n\geq 1, \frac{1}{[G:H]}P_n(H,G)\leq P_n(G)\] \begin{proof} \[P_n(G)=\frac{1}{\mid G\mid ^2}\sum \mid C_G(g^n)\mid=\frac{1}{\mid G\mid ^2}[\sum_{g \in H}\mid C_G(g^n)\mid +\sum_{g\in G-H}\mid C_G(g^n)\mid]\] \[=\frac{1}{\mid G\mid ^2}[\mid H\mid\mid G\mid P_n(H,G)+\sum_{g\in G-H}\mid C_G(g^n)\mid]>\frac{\mid H\mid}{\mid G\mid}P_n(H,G)\] \[\rightarrow P_n(G)>\frac{1}{[G:H]}P_n(H,G)\] \end{proof} \begin{lemma}\label{b2} فرض کنید $H$ و $K$ زیرگروه های گروه $G$ باشند، به طوری که $K$ مشمول در $H$ است .در این صورت \[\forall n\geq 1, P_n(H,G)\geq \frac{1}{[H:K]}P_n(K,G)\geq \frac{1}{[G:K]}P_n(K,H)\] \begin{proof} \begin{equation} \[P_n(H,G)=\frac{1}{\mid H\mid\mid G\mid}\sum _{x\in G}\mid C_H(x^n)\mid=\frac{1}{\mid G\mid}\sum _{x\in G}\frac{\mid C_H(x^n)\mid}{\mid H\mid}\leq \frac{1}{\mid G\mid}\sum _{x\in G}\frac{\mid C_K(x^n)\mid}{\mid K\mid}\] \[P_n(K,G)=\frac{1}{\mid K\mid\mid G\mid}\sum _{x\in K}\mid C_G(x^n)\mid \leq \frac{1}{\mid K\mid \mid G\mid}\sum _{x\in H}\mid C_G(x^n)\mid=\frac{\mid H\mid}{\mid K\mid}P_n(H,G)\] \[\rightarrow P_n(H,G)\geq \frac{1}{[H:K]}P_n(K,G)\] \[P_n(K,H)=\frac{1}{\mid K\mid\mid H\mid}\sum _{x\in H}\mid C_k(x^n)\mid\leq\frac{1}{\mid K\mid \mid H\mid}\sum _{x\in G}\C_K(x^n)\mid=\frac{\mid G\mid}{\mid H\mid}P_n(K,G)\] \[=\frac{1}{[G:K]}P_n(K,H)\leq \frac{1}{[G:K]}\times \frac{\mid G\mid}{\mid H\mid}P_n(K,G)=\frac{1}{[H:K]}P_n(K,G)\] \end{equation} \end{proof} \begin{remark}\label{b2} یکی از تفاوت های مهم بین $P_n(G)$ و $d^n(G)$ و $d_n(G)$ اینست که برای هر $n\geq 1$ ،همواره $ d^n(G)$ صعودی و $d_n(G)$ همواره نزولی است،اما $P_n(G)$ رشد یکسانی ندارد. \begin{proof} \[d^n(G)=\frac{\mid\{(x_1,\ldots,x_{n+1}0\in G^{n+1}|[x_1,\ldots ,x_{n+1}\}\mid}{\mid G\mid ^{n+1}}\] \[=\frac{1}{\mid G\mid ^{n+1}\sum _{x_1}\in G\ldots \sum _{x_n\in G}\ldots C_G([x_1,\ldots ,x_{n}])\mid =\frac{1}{\mid G\mid^{n+1}}\sum _{x_1}\in G\ldots \sum _{x_n}\mid C_G([x_1,\ldots ,x_n])\mid \geq \frac{1}{\mid G\mid ^{n+1}}(\mid G\mid ^nd^{(n-1)}(G)\mid G\mid)=d^{(n-1})(G)\] \end{proof} %دستوراتی که برای تایپ تعاریف، قضایا، لم‌ها، مثال‌ها و ... به آنها نیاز دارید %\begin{definition} %\end{definition} %\begin{theorem} %\end{theorem} %\begin{proposition} %\end{proposition} %\begin{example} %\end{example} %\begin{solution} %\end{solution} %\begin{remark} %\end{remark} %\begin{corollary} %\end{corollary} %%%%%%%%%%%%%%%%% Referrences %%% %دستوراتی برای به حالت عادی در آمدن اندازه فونت‌ها و فاصله بین خطوط \newpage \normalsize \small %دستوری برای ظاهر شدن کلمه«مراجع» در فهرست مطالب %\addcontentsline{toc}{section}{مراجع} %ایجاد «مراجع» \setLTRbibitems \begin{thebibliography}{99} \resetlatinfont % چنانچه مرجع فارسی هم دارید باید یا از بسته Persian-bib استفاده کنید و یا راهنمای bidi را ملاحظه فرمایید. \bibitem{N.M.M.Ali} N.M.M.Ali and N.H.Sarmin,{\em On some problems in group theory of probabilistic nature},Technical Report,Department of Mathematics,Universiti Tecnologi Malaysia,2006,Johor,Malaysia \bibitem{J.C.Bioch} J.C.Bioch,{\em On n-isoclinic groups,Indag.Math}.38(1976),400-407. \bibitem{P.Erdos} P.Erdos and P.Turan,{\em On some problems of statistical group theory,Acta Math.Acad.Sci.Hung.}19(1968),413-435. \bibitem{A.Erfanian1} A.Erfanian,P.Lescot and R.Rezaei,{\em On the relative commutativity degree of a sub group of a finite groups,Comm.Algebra}35(2007),4183-4197. \bibitem{A.Erfanian2} A.Erfanian and F.Russo,{\em Probability of the mutually commuting n-tuples in some classes of compact groups,Bull.Iran.Math.Soc.},34(2008)27-38. \bibitem{GAP} GAP,{\em GAP-groups,algorithm and programming}, 2002,Software available online at http://www.gap-system.org. \bibitem{W.H.Gustafson} W.H.Gustafson,{\em What is the probability that two groups elements commute?,Amer.Math.Monthly},80(1973)1031-1304. \bibitem{P.Hall} P.Hall,{\em The classification of prime-power groups,J.reine ang.Math}, 182(1940),130-141. \bibitem{N.H.Hekster} N.H.Hekster,{\em On the structure of n-isoclinism classes of groups,J.Pure Appl. Algebra}. 40 (1986), 63-65 \bibitem{M.Isaacs} M.Isaacs,{\em Character Theory of Finite Groups},Academic Press,New York, 1976. \bibitem{P.Lescot} P.Lescot,{\em Isoclinism classes and commutativity degrees of finite groups,J.Algebra} 177(1995),847-869. \end{thebibliography} %\addcontentsline{toc}{section}{نمایه} %دستوری برای ظاهر شدن کلمه «نمایه» در فهرست مطالب(البته در صورتی که از بسته‌ای که در ابتدا گفته شد استفاده %نکنید) %ایجاد «نمایه» \printindex \end{document}