% !TEX TS-program = XeLaTeX
% Commands for running this example:
% 	 xelatex vahid-seminar
% 	 xelatex vahid-seminar
% End of Commands


%%%  نمونه یک سمینار کارشناسی ارشد، دانشگاه تبریز،  وحید دامن ‌افشان،     vdamanafshan@yahoo.com 


% توجه داشته باشید برای دیدن خروجی کامل شامل نمایه و فهرست مطالب در ویرایشگر Texmaker، ابتدا دو بار 
% کلید F1 و بعد کلید F12 و دوباره کلید F1 و در آخر کلید F7 را فشار دهید.
% توضیحات مربوط به هر بسته یا دستور را می‌توانید در خط بالای آن ببینید.

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
%در ورژن جدید زی‌پرشین برای تایپ متن‌های ریاضی، این سه بسته، حتماً باید فراخوانی شود
\usepackage{amsthm,amssymb,amsmath}
%بسته‌ای برای تنطیم حاشیه‌های بالا، پایین، چپ و راست صفحه
%\usepackage[top=50mm, bottom=50mm, left=50mm, right=50mm]{geometry}

\usepackage{graphicx}
% بسته‌ و دستوراتی برای ایجاد لینک‌های رنگی با امکان جهش 
\usepackage[pagebackref=true,colorlinks,linkcolor=blue,citecolor=magenta]{hyperref}
% چنانچه قصد پرینت گرفتن نوشته خود را دارید، خط بالا را غیرفعال و  از دستور زیر استفاده کنید چون در صورت استفاده از دستور زیر‌‌، 
% لینک‌ها به رنگ سیاه ظاهر خواهند شد و برای پرینت گرفتن، مناسب‌تر است
%\usepackage[pagebackref=false]{hyperref}
% بسته‌ای برای ظاهر شدن «مراجع» و« نمایه» در فهرست مطالب
\usepackage{tocbibind}
% دستورات مربوط به ایجاد نمایه
\usepackage{makeidx}
\makeindex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% فراخوانی بسته زی‌پرشین و دستورات مربوط به نوع فونت‌ها
\usepackage{xepersian}
\settextfont[Scale=1.1]{XB Niloofar}
%\setlatintextfont[Scale=2]{Linux Libertine}
%\setlatintextfont[Scale=1]{Times New Roman}
% از revision 118 زی‌پرشین به بعد، وارد کردن دستور زیر لازم نیست. توجه داشته باشید که در صورت  غیرفعال کردن این دستور،
% از فونت پیش‌فرض لاتک برای کلمات انگلیسی استفاده خواهد شد.
%\setlatintextfont[ExternalLocation,BoldFont={lmroman10-bold},BoldItalicFont={lmroman10-bolditalic},ItalicFont={lmroman10-italic}]{lmroman10-regular}
% چنانچه می‌خواهید اعداد در فرمول‌ها، فارسی باشد، خط زیر را نیز فعال کنید
%\setdigitfont[Scale=1.1]{XB Zar}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% تعریف قلم‌های فارسی و انگلیسی برای استفاده در بعضی از قسمت‌های متن
\defpersianfont\titr[Scale=1]{XB Titre}
\defpersianfont\nastaliq[Scale=1.5]{IranNastaliq}
%\defpersianfont\traffic[Scale=1]{B traffic}
% چنانچه فونت B Traffic را ندارید، دستور بالا را غیرفعال کرده و دستور زیر را فعال کنید
\defpersianfont\traffic[Scale=1]{XB Niloofar}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%تعریف و نحوه ظاهر شدن عنوان قضیه‌ها، تعریف‌ها، مثال‌ها و ...
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{تعریف}[section]
\theoremstyle{theorem}
\newtheorem{theorem}[definition]{قضیه}
\newtheorem{lemma}[definition]{لم}
\newtheorem{proposition}[definition]{گزاره}
\newtheorem{corollary}[definition]{نتیجه}
\newtheorem{remark}[definition]{ملاحظه}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}[definition]{مثال}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% تعریف دستورات جدید برای خلاصه نویسی و راحتی کار در هنگام تایپ فرمول‌های ریاضی
\newcommand{\bR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\ls}{\mathrm{LSC}_{+}(X)}
\newcommand{\ce}{\mathrm{C}^{*}(X)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% تغییر نام کلمه «اثبات» به «برهان»
\renewcommand\proofname{\textbf{برهان}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
% دستوری برای زدن شماره صفحه‌ها به صورت الف، ب، ج و ... (معمولاً در در هر نوشته‌ای، شماره صفحات تا شروع فصل 
% اول آن متن را به صورت الف، ب، ج و ... وارد می‌کنند)
\pagenumbering{harfi}
% دستوری جهت ظاهر نشدن شماره صفحه (فقط در صفحه جاری)
\thispagestyle{empty}
% دستوری برای کم کردن فاصله بین لوگو و لبه بالایی صفحه خروجی
\vspace*{-19mm}
% نحوه درج کردن لوگوی دانشگاه
\centerline{\includegraphics[height=4cm]{logo2.jpg}}

\begin{center}
% دستوری برای کم کردن فاصله بین لوگو و خط پایین آن
\vspace{-3mm}
دانشکده علوم ریاضی
% دستوری برای تعیین فاصله بین دو خط
\\[.2cm]

گروه ریاضی محض
\\[1.7cm]
{\Large 
\textbf{سمینار کارشناسی ارشد با عنوان}
}
\\[.8cm]
{\titr
\begin{Huge}
بعضی تاملات بر
\\[.4cm]
درجه های جابجایی
$n$
ام گروه های متناهی
\end{Huge}}
\\[1.3cm]
{\Large {\traffic 
استاد راهنما
}
\\[.7cm]
{\Large \nastaliq دکتر رضایی}
\\[.9cm]
{\Large\traffic  پژوهشگر
}}
\\[.7cm]
{\Large \nastaliq زهرااحمدوندشاهوردی}
\\[1.8cm]
 بهار  1392
\end{center}

% دستوری برای رفتن به صفحه جدید
\newpage
% دستوری برای تعیین فاصله بین خطوط (نه دو خط) و تا وقتی که مقدار آن تغییر نکند، فاصله بین خطوط، همین مقدار است
\baselineskip=1cm
% دستوری برای ظاهر شدن فهرست مطالب
\tableofcontents
\newpage
\baselineskip=.750cm
% دستوری برای اختصاص دادن یک عدد به شماره صفحه جاری
%\setcounter{page}{3}
% دستوری برای زدن شماره صفحه‌ها به صورت ۱، ۲، ۳ و ...
\pagenumbering{arabic}
\baselineskip=1cm
\defpersianfont\nastaliq[Scale=1.5]{IranNastaliq}
\section*{چکیده}

\begin{lemma}\label{b2}
فرض کنید
$H$
زیرگروه سره گروه 
$G$
باشد. دراین صورت
\[\forall n\geq 1, \frac{1}{[G:H]}P_n(H,G)\leq P_n(G)\]
\begin{proof}
\[P_n(G)=\frac{1}{\mid G\mid ^2}\sum \mid C_G(g^n)\mid=\frac{1}{\mid G\mid ^2}[\sum_{g \in H}\mid C_G(g^n)\mid +\sum_{g\in G-H}\mid C_G(g^n)\mid]\]
\[=\frac{1}{\mid G\mid ^2}[\mid H\mid\mid G\mid P_n(H,G)+\sum_{g\in G-H}\mid C_G(g^n)\mid]>\frac{\mid H\mid}{\mid G\mid}P_n(H,G)\]
\[\rightarrow P_n(G)>\frac{1}{[G:H]}P_n(H,G)\]
\end{proof}
\begin{lemma}\label{b2}
فرض کنید
$H$
و
$K$
زیرگروه های گروه
$G$
باشند، به طوری که 
$K$
مشمول در
$H$
است .در این صورت 
$\forall n\geq 1,  P_n(H,G)\geq \frac{1}{[H:K]}P_n(K,G)\geq \frac{1}{[G:K]}P_n(K,H)$
\begin{proof}
\[P_n(H,G)=\frac{1}{\mid H\mid\mid G\mid}\sum _{x\in G}\mid C_H(x^n)\mid=\frac{1}{\mid G\mid}\sum _{x\in G}\frac{\mid C_H(x^n)\mid}{\mid H\mid}\leq \frac{1}{\mid G\mid}\sum _{x\in G}\frac{\mid C_K(x^n)\mid}{\mid K\mid}\]
\[P_n(K,G)=\frac{1}{\mid K\mid\mid G\mid}\sum _{x\in K}\mid C_G(x^n)\mid \leq \frac{1}{\mid K\mid \mid G\mid}\sum _{x\in H}\mid C_G(x^n)\mid=\frac{\mid H\mid}{\mid K\mid}P_n(H,G)\]
\[\rightarrow P_n(H,G)\geq \frac{1}{[H:K]}P_n(K,G)\]
\[P_n(K,H)=\frac{1}{\mid K\mid\mid H\mid}\sum _{x\in H}\mid C_k(x^n)\mid\leq\frac{1}{\mid K\mid \mid H\mid}\sum _{x\in G}\C_K(x^n)\mid=\frac{\mid G\mid}{\mid H\mid}P_n(K,G)\]
\[=\frac{1}{[G:K]}P_n(K,H)\leq \frac{1}{[G:K]}\times \frac{\mid G\mid}{\mid  H\mid}P_n(K,G)=\frac{1}{[H:K]}P_n(K,G)\]
\end{proof}
\begin{remark}\label{b2}
یکی از تفاوت های مهم بین
$P_n(G)$
و
$d^n(G)$
و
$d_n(G)$
اینست که برای هر
$n\geq 1$
،همواره 
$ d^n(G)$
صعودی و
$d_n(G)$
همواره نزولی است،اما
$P_n(G)$
رشد یکسانی ندارد.
\begin{proof}
\[d^n(G)=\frac{\mid\{(x_1,\ldots,x_{n+1}0\in G^{n+1}|[x_1,\ldots ,x_{n+1}\}\mid}{\mid G\mid ^{n+1}}\]
\[=\frac{1}{\mid G\mid ^{n+1}\sum _{x_1}\in G\ldots \sum _{x_n\in G}\ldots C_G([x_1,\ldots ,x_{n}])\mid =\frac{1}{\mid G\mid^{n+1}}\sum _{x_1}\in G\ldots \sum _{x_n}\mid C_G([x_1,\ldots ,x_n])\mid \geq \frac{1}{\mid G\mid ^{n+1}}(\mid G\mid ^nd^{(n-1)}(G)\mid G\mid)=d^{(n-1})(G)\]
\end{proof}


%دستوراتی که برای تایپ تعاریف، قضایا، لم‌ها، مثال‌ها و ... به آنها نیاز دارید
%\begin{definition}
%\end{definition}
%\begin{theorem}
%\end{theorem}
%\begin{proposition}
%\end{proposition}
%\begin{example}
%\end{example}
%\begin{solution}
%\end{solution}
%\begin{remark}
%\end{remark}
%\begin{corollary}
%\end{corollary}


%%%%%%%%%%%%%%%%%    Referrences   %%%
%دستوراتی برای به حالت عادی در آمدن اندازه فونت‌ها و فاصله بین خطوط
\newpage
\normalsize
\small
%دستوری برای ظاهر شدن کلمه«مراجع» در فهرست مطالب
%\addcontentsline{toc}{section}{مراجع}
%ایجاد «مراجع»
\setLTRbibitems
\begin{thebibliography}{99}
\resetlatinfont
% چنانچه مرجع فارسی هم دارید باید یا از بسته Persian-bib استفاده کنید و یا راهنمای bidi را ملاحظه فرمایید. 

\bibitem{N.M.M.Ali}
N.M.M.Ali and N.H.Sarmin,{\em On some problems in group theory of probabilistic nature},Technical Report,Department of Mathematics,Universiti Tecnologi Malaysia,2006,Johor,Malaysia

\bibitem{J.C.Bioch}
J.C.Bioch,{\em On n-isoclinic groups,Indag.Math}.38(1976),400-407.
\bibitem{P.Erdos}
P.Erdos and P.Turan,{\em On some problems of statistical group theory,Acta Math.Acad.Sci.Hung.}19(1968),413-435.

\bibitem{A.Erfanian1}
A.Erfanian,P.Lescot and R.Rezaei,{\em On the relative commutativity degree of a sub group of a finite groups,Comm.Algebra}35(2007),4183-4197.
\bibitem{A.Erfanian2}
A.Erfanian and F.Russo,{\em Probability of the mutually commuting n-tuples in some classes of compact groups,Bull.Iran.Math.Soc.},34(2008)27-38.

\bibitem{GAP}
GAP,{\em GAP-groups,algorithm and programming}, 2002,Software available online at http://www.gap-system.org.

\bibitem{W.H.Gustafson}
W.H.Gustafson,{\em What is the probability that two  groups elements commute?,Amer.Math.Monthly},80(1973)1031-1304.

\bibitem{P.Hall}
P.Hall,{\em The classification of prime-power groups,J.reine ang.Math}, 182(1940),130-141.

\bibitem{N.H.Hekster}
N.H.Hekster,{\em On the structure of n-isoclinism classes of groups,J.Pure Appl. Algebra}.  40 (1986), 63-65

\bibitem{M.Isaacs}
M.Isaacs,{\em Character Theory of Finite Groups},Academic Press,New York, 1976.

\bibitem{P.Lescot}
P.Lescot,{\em Isoclinism classes and commutativity degrees of finite groups,J.Algebra} 177(1995),847-869.
\end{thebibliography}

%\addcontentsline{toc}{section}{نمایه}
%دستوری برای ظاهر شدن کلمه «نمایه» در فهرست مطالب(البته در صورتی که از بسته‌ای که در ابتدا گفته شد استفاده %نکنید)
%ایجاد «نمایه»
\printindex

\end{document}