%        نمونه پایان‌نامه آماده شده با استفاده از کلاس Tabriz_thesis، نگارش 0.4
%        وحید دامن‌افشان، دانشگاه تبریز،   http://forum.parsilatex.com,     http://damanafshan.tk
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
%        اگر قصد نوشتن پروژه کارشناسی را دارید، در خط زیر به جای msc، کلمه bsc و اگر قصد نوشتن رساله دکتری
%        را دارید، کلمه phd را قرار دهید. کلیه تنظیمات لازم، به طور خودکار، اعمال می‌شود.
% !TEX TS-program = XeLaTeX
% Commands for running this example:
% 	 xelatex Tabriz_thesis
% 	 xindy -L persian -C utf8 -M texindy Tabriz_thesis.idx
% 	 xelatex Tabriz_thesis
% 	 xelatex Tabriz_thesis
% End of Commands
\documentclass[12pt,a4paper]{report}
%       فایل commands.tex را حتماً به دقت مطالعه کنید؛ چون دستورات مربوط به فراخوانی بسته زی‌پرشین 
%       و دیگر بسته‌ها و ... در این فایل قرار دارد و بهتر است که با نحوه استفاده از آنها آشنا شوید.

% در این فایل، دستورها و تنظیمات مورد نیاز، آورده شده است. 
%-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

% در ورژن جدید زی‌پرشین برای تایپ متن‌های ریاضی، این سه بسته، حتماً باید فراخوانی شود
\usepackage{amsthm,amssymb,amsmath}
% بسته‌ای برای تنطیم حاشیه‌های بالا، پایین، چپ و راست صفحه
\usepackage[top=40mm, bottom=40mm, left=25mm, right=35mm]{geometry}
% بسته‌‌ای برای ظاهر شدن شکل‌ها و تصاویر متن
\usepackage{graphicx}
% بسته‌ای برای رسم کادر
\usepackage{framed} 
% بسته‌‌ای برای چاپ شدن خودکار تعداد صفحات در صفحه «معرفی پایان‌نامه»
\usepackage{lastpage}
% بسته‌ و دستوراتی برای ایجاد لینک‌های رنگی با امکان جهش
\usepackage[pagebackref=false,colorlinks,linkcolor=blue,citecolor=magenta]{hyperref}
% چنانچه قصد پرینت گرفتن نوشته خود را دارید، خط بالا را غیرفعال و از دستور زیر استفاده کنید چون در صورت استفاده از دستور زیر‌‌، 
% لینک‌ها به رنگ سیاه ظاهر خواهند شد که برای پرینت گرفتن، مناسب‌تر است
%\usepackage[pagebackref=false]{hyperref}
% بسته‌ لازم برای تنظیم سربرگ‌ها
\usepackage{fancyhdr}
% بسته‌ای برای ظاهر شدن «مراجع» و «نمایه» در فهرست مطالب
\usepackage[nottoc]{tocbibind}
% دستورات مربوط به ایجاد نمایه
\usepackage{makeidx}
\makeindex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% فراخوانی بسته زی‌پرشین و تعریف قلم فارسی و انگلیسی
\usepackage{xepersian}
\settextfont[Scale=1.1]{XB Niloofar}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% چنانچه می‌خواهید اعداد در فرمول‌ها، انگلیسی باشد، خط زیر را غیرفعال کنید
\setdigitfont[Scale=1.1]{Persian Modern}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% تعریف قلم‌های فارسی و انگلیسی اضافی برای استفاده در بعضی از قسمت‌های متن
\defpersianfont\nastaliq[Scale=2]{IranNastaliq}
\defpersianfont\chapternumber[Scale=3]{XB Niloofar}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% دستوری برای حذف کلمه «چکیده»
\renewcommand{\abstractname}{}
% دستوری برای حذف کلمه «abstract»
\renewcommand{\latinabstract}{}
% دستوری برای تغییر نام کلمه «اثبات» به «برهان»
\renewcommand\proofname{\textbf{برهان}}
% دستوری برای تغییر نام کلمه «کتاب‌نامه» به «مراجع»
\renewcommand{\bibname}{مراجع}
% دستوری برای تعریف واژه‌نامه انگلیسی به فارسی
\newcommand\persiangloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\}
% دستوری برای تعریف واژه‌نامه فارسی به انگلیسی 
\newcommand\englishgloss[2]{#2\dotfill\lr{#1}\\}
% تعریف دستور جدید «\پ» برای خلاصه‌نویسی جهت نوشتن عبارت «پروژه/پایان‌نامه/رساله»
\newcommand{\پ}{پروژه/پایان‌نامه/رساله }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% تعریف و نحوه ظاهر شدن عنوان قضیه‌ها، تعریف‌ها، مثال‌ها و ...
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{تعریف}[section]
\theoremstyle{theorem}
\newtheorem{theorem}[definition]{قضیه}
\newtheorem{lemma}[definition]{لم}
\newtheorem{proposition}[definition]{گزاره}
\newtheorem{corollary}[definition]{نتیجه}
\newtheorem{remark}[definition]{ملاحظه}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}[definition]{مثال}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% دستورهایی برای سفارشی کردن سربرگ صفحات
\csname@twosidetrue\endcsname
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{} 
\fancyhead[OL,EL]{}
\cfoot{\thepage}
\fancyhead[OR]{\small\rightmark}
\fancyhead[ER]{\small\leftmark}
\renewcommand{\chaptermark}[1]{%
\markboth{\thechapter.\ #1}{}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% دستورهایی برای سفارشی کردن صفحات اول فصل‌ها
\makeatletter
\newcommand\mycustomraggedright{%
\if@RTL\raggedleft%
\else\raggedright%
\fi}
\def\@part[#1]#2{%
\ifnum \c@secnumdepth >-2\relax
\refstepcounter{part}%
\addcontentsline{toc}{part}{\thepart\hspace{1em}#1}%
\else
\addcontentsline{toc}{part}{#1}%
\fi
\markboth{}{}%
{\centering
\interlinepenalty \@M
\ifnum \c@secnumdepth >-2\relax
\huge\bfseries \partname\nobreakspace\thepart
\par
\vskip 20\p@
\fi
\Huge\bfseries #2\par}%
\@endpart}
\def\@makechapterhead#1{%
\vspace*{-30\p@}%
{\parindent \z@ \mycustomraggedright %\@mycustomfont
\ifnum \c@secnumdepth >\m@ne
\if@mainmatter

\huge\bfseries \@chapapp\space {\chapternumber\thechapter}
\par\nobreak
\vskip 20\p@
\fi
\fi
\interlinepenalty\@M 
\Huge \bfseries #1\par\nobreak
\vskip 120\p@
}}
\makeatother
\makeatletter \let\orig@chapter\@chapter
\def\@chapter[#1]#2{\ifnum \c@secnumdepth >\m@ne
                       \if@mainmatter
                         \refstepcounter{chapter}%
                         \typeout{\@chapapp\space\thechapter.}%
                         \addcontentsline{toc}{chapter}%
                                   {\@chapapp~\protect\numberline{\thechapter}#1}%
                       \else
                         \addcontentsline{toc}{chapter}{#1}%
                       \fi
                    \else
                      \addcontentsline{toc}{chapter}{#1}%
                    \fi
                    \chaptermark{#1}%
                    \addtocontents{lof}{\protect\addvspace{10\p@}}%
                    \addtocontents{lot}{\protect\addvspace{10\p@}}%
                    \if@twocolumn
                      \@topnewpage[\@makechapterhead{#2}]%
                    \else
                      \@makechapterhead{#2}%
                      \@afterheading
                    \fi}
\renewcommand*\l@section{\@dottedtocline{1}{3.5em}{2.3em}}
\renewcommand*\l@subsection{\@dottedtocline{2}{5.8em}{3.2em}} 
\makeatother
%\includeonly{chapter1}
\begin{document}
\baselineskip=.75cm
\pagenumbering{harfi}

% در این فایل، عنوان پایان‌نامه، مشخصات خود، متن تقدیمی‌، ستایش، سپاس‌گزاری و چکیده پایان‌نامه را به فارسی، وارد کنید.
% توجه داشته باشید که جدول حاوی مشخصات پروژه/پایان‌نامه/رساله و همچنین، مشخصات داخل آن، به طور خودکار، درج می‌شود.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% دانشگاه خود را وارد کنید
%\university{ملایر}
% دانشکده، آموزشکده و یا پژوهشکده  خود را وارد کنید
%\faculty{دانشکده علوم ریاضی}
% گروه آموزشی خود را وارد کنید
%\department{گروه ریاضی محض}
% گروه آموزشی خود را وارد کنید
%\subject{ریاضی محض}
% گرایش خود را وارد کنید
%\field{جبر}
% عنوان پایان‌نامه را وارد کنید
%\title{درجه جابجایی زیر گروههای گروه های متناهی 
}
% نام استاد(ان) راهنما را وارد کنید
%\firstsupervisor{دکتر رشید رضائی}
%\secondsupervisor{استاد راهنمای دوم}
% نام استاد(دان) مشاور را وارد کنید. چنانچه استاد مشاور ندارید، دستور پایین را غیرفعال کنید.
%\firstadvisor{دکتر سعید باقری}
%\secondadvisor{استاد مشاور دوم}
% نام پژوهشگر را وارد کنید
%\name{نرگس}
% نام خانوادگی پژوهشگر را وارد کنید
%\surname{نصیری زاده}
% تاریخ پایان‌نامه را وارد کنید
%\thesisdate{۱۳۹1}
% کلمات کلیدی پایان‌نامه را وارد کنید
%\keywords{درجه جابجایی، درجه جابجایی زیرگروه، درجه جابجایی زیرگروه نسبی، مشبکه زیر گروه، مشبکه زیرگروه نرمال     }
% چکیده پایان‌نامه را وارد کنید
\fa-{abstract
درجه جابجایی یک گروه یکی از مفاهیم تعریف شده در نظریه احتمالی گروه هاست، که می تواند نقش مهمی در معرفی خواص و برخی ساختار آن گروه داشته باشد. این درجه برای اولین بار در سال 1944 توسط میلر معرفی شد. که با استفاده از آن توانست احتمال جابجا شدن دو عنصر دلخواه در یک گروه متناهی را به دست آورد. با توجه به نقش مستقیمی که کلاس های تزویج و سرشت های تحویل نا پذیر یک گروه در محاسبه درجه جابجایی آن دارند، با به کارگیری نتایج و خواص این مفاهیم در محاسبات، می توان نتایج جدید تری را برای درجه جابجایی به دست آورد. همچنین ارتباط بین این احتمال و مفهوم ایزوکلینیسم گروه ها می تواند نقش اساسی در رده بندی گروه ها داشته باشد.
احتمال اینکه دو زیرگروه دلخواه در یک گروه متناهی باهم جابجا شوند چیست؟  در سال 2009 ماریوس مفهوم درجه جابجایی زیرگروه گروه متناهی $G$ که با نماد $sd(G)$ نمایش داده می شود را معرفی کرد. با استفاده از این مفهوم احتمال اینکه زیر گروه های گروه متناهی $G$ با هم جابجا شوند، اندازه گیری می شود. همچنین فرمول های صریح برای برخی کلاس های خاص گروه متناهی بدست آمده است. در سال 2010 ماریوس با تعریف مفهوم درجه جابجایی زیر گروه نسبی زیرگروه $G$ و زیر گروه $H$ از آن که با نماد $sd(H,G)$ نمایش داده می شود این مفهوم را تعمیم داد. که با استفاده از این مفهوم می توان احتمال اینکه زیرگروه $H$ با زیر گروه $G$ باهم جابجا شوند را اندازه گیری کرد.
 در این پایان نامه به معرفی درجه جابجایی یک گروه متناهی و تعمیم های حاصل از آن پرداخته شده است. این تعمیم ها عبارت است از، درجه جابجایی نسبی، درجه جابجایی زیر گروه، درجه جابجایی زیر گروه نسبی گروه های متناهی می باشد.
هر کدام از این تعاریف را می توان به طور کامل معرفی کرده و کران های مختلفی را برای درجات معرفی شده ارایه می دهیم.}


% چنانچه مایل به چاپ صفحات «تقدیم»، «نیایش» و «سپاس‌گزاری» در خروجی نیستید، خط‌های زیر را با گذاشتن ٪  در ابتدای آنها غیرفعال کنید.
 % پایان‌نامه خود را تقدیم کنید!
%\begin{acknowledgementpage}

%\vspace{4cm}

%{\nastaliq
%{\Huge
 %تقدیم به همه آنهایی که 
%\vspace{1.5cm}

%\hspace{3cm}
%می خواهند بیشتر بدانند
%}}
%\end{acknowledgementpage}
%\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% نیایش
%\baselineskip=.750cm
%\\thispagestyle{empty}
 
%{\nastaliq
%خدایا...%
%\RTLfootnote{مناجاتی از دکتر علی شریعتی.}
%}\\
%\vspace{.5cm}\\
%به من زیستنی عطا کن که در لحظه مرگ، بر بی‌ثمری لحظه‌ای که برای زیستن گذشته است، حسرت نخورم   و مُردنی عطا کن که بر بیهودگیش، سوگوار نباشم. بگذار تا آن را، خود انتخاب کنم، اما آنچنان که تو دوست می‌داری.

%تو می‌دانی و همه می‌دانند که شکنجه دیدن بخاطر تو، زندانی کشیدن بخاطر تو و رنج بردن به پای تو تنها لذت بزرگ زندگی من است، از شادی توست که من در دل می‌خندم، از امید رهایی توست که برق امید در چشمان خسته‌ام می‌درخشد و از خوشبختی توست که هوای پاک سعادت را در ریه‌هایم احساس می‌کنم. نمی‌توانم خوب حرف بزنم. نیروی شگفتی را که در زیر کلمات ساده و جمله‌های ضعیف و افتاده، پنهان کرده‌ام دریاب، دریاب.

%تو می‌دانی و همه می‌دانند که زندگی از تحمیل لبخندی بر لبان من، از آوردن برق امیدی در نگاه من، از برانگیختن موج شعفی در دل من، عاجز است.

%تو، چگونه زیستن را به من بیاموز، چگونه مردن را خود خواهم آموخت.

%به من توفیق تلاش در شکست، صبر در نومیدی، رفتن بی‌همراه، جهاد بی‌سلاح، کار بی‌پاداش، فداکاری در سکوت، دین بی‌دنیا، مذهب بی‌عوام، عظمت بی‌نام، خدمت بی‌نان، ایمان بی‌ریا، خوبی بی‌نمود، گستاخی بی‌خامی، قناعت بی‌غرور، عشق بی‌هوس، تنهایی در انبوه جمعیت، و دوست داشتن بی‌آنکه دوست بداند،  روزی کن. 

%\vspace{1.5cm}
%{\nastaliq
%\hspace{1cm}
%اگر تنها‌ترین تنها شوم، باز خدا هست
%\vspace{.8cm}

%\hspace{4.7cm}
%او جانشین همه نداشتن‌هاست...
%}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage\thispagestyle{empty}
% سپاس‌گزاری
%{\nastaliq
%سپاس‌گزاری...
%}
%\\[2cm]
%سپاس خداوندگار حکیم را که با لطف بی‌کران خود، آدمی را زیور عقل آراست.


%در آغاز وظیفه‌  خود  می‌دانم از زحمات بی‌دریغ استاد  راهنمای خود،  جناب آقای دکتر  رشید رضایی، صمیمانه تشکر
%و  قدردانی کنم  که قطعاً بدون 
%راهنمایی‌های ارزنده‌  ایشان، این مجموعه  به انجام  نمی‌رسید.

%از جناب  آقای  دکتر سعید باقری ، که زحمت  مطالعه و مشاوره‌  این رساله
%را تقبل  فرمودند و
%در آماده سازی  این رساله، به نحو احسن اینجانب را مورد راهنمایی قرار دادند، کمال امتنان را دارم.

 %در پایان، بوسه می‌زنم بر دستان خداوندگاران مهر و مهربانی، پدر و مادر عزیزم و بعد از خدا، ستایش می‌کنم وجود مقدس‌شان را و تشکر می‌کنم از همسر و فرزند عزیزم به پاس عاطفه سرشار و گرمای امیدبخش وجودشان، که در این سردترین روزگاران، بهترین پشتیبان من بودند.
% با استفاده از دستور زیر، امضای شما، به طور خودکار، درج می‌شود.
\signature 
\newpage\clearpage
\tableofcontents
%\listoffigures
\newpage
\pagenumbering{arabic}

\chapter*{پیشگفتار}\markboth{پیشگفتار}{پیشگفتار}

یکی از مسایلی که در چند دهه اخیر مورد توجه ریاضی دانان قرار گرفته است، وارد کردن نظریه احتمال به نظریه گروه ها می باشد. آنها سعی کرده اند با تعریف یک احتمال مناسب در یک موضوع خاص،  نتایجی را به دست بیاورند که در اثبات قضایای مختلف موضوع مربوطه به کمک آنها بیاید. با آنکه قبل از دهه شصت قرن بیستم در مواردی برخی ریاضی دانان احتمال را در نظریه گروه ها به کار گرفته بودند اما از سال 1965 به بعد اردوش همراه با رنی [7]، تران[8]، [9]، [10]،  [11] و هال [5]، [6]، به طور جدی بحث نظریه احتمالی گروه ها را پیگیری کردند و توانستند مسایل آماری و احتمالی مختلفی را در ارتباط با نظریه گروه ها مطرح کنند. به عنوان مثال احتمال مربعی بودن یک گروه متناهی که حالت ایده آل آن وقتی است که توان 2 تمام عناصر دقیقا برابر با خود گروه باشد.

یکی از احتمالاتی که برای گروه ها توسط میلر [29]، در سال 1944 معرفی شد، احتمال جابجایی دو عنصر در یک گروه متناهی بود. او برای یک گروه متناهی مانند $G$،  تعداد جفت های مرتبی را در $G \times G$ را در نظر گرفت که با هم جابه جا می شوند،  سپس تعداد حاصل شده را بر توان دو مرتبه گروه $G$ تقسیم کرد و عدد حاصل را درجه جابجایی گروه $G$ نامید. در سال 1973 گاستافسون [17]،  با ارایه یک فرمول توانست ارتباطی بین احتمال معرفی شده و تعداد کلاس های تزویج گروه برقرار کند. او نشان داد که درجه جابجایی یک گروه برابر با حاصل تقسیم تعداد کلاس های تزویج آن گروه بر مرتبه گروه است. بنابراین هر اطلاعاتی که درباره تعداد کلاس های تزویج به دست آمده باشد می تواند در اینجا نیز به کار گرفته شود. به عنوان مثال، اردوش و تران در [11] و نیومن در [30]،  به طور مستقل نشان دادند که تعداد کلاس های تزویج $G$،  حداقل $log_{2}log_{2}|G|$ می باشد. حال با تقسیم این عدد بر مرتبه گروه، یک کران پایین برای درجه جابجایی گروه $G$ حاصل می شود. بنابراین نتایجی که درباره کلاس های تزویج در [2]،  [15]،  [16] و \ldots به دست آمده اند، قابل استفاده در درجه جابجایی می باشند.

یکی از قدیمی ترین نتایجی که برای درجه جابجایی گروه ها به دست آمده است، کران بالای $\dfrac{5}{8}$ برای درجه جابجایی گروه های غیر آبلی می باشد، که توسط گاستافسون [17]،  ارایه گردید و با توجه به اینکه یک گروه غیر آبلی از مرتبه 8، این کران را می گیرد بنابراین به نظر می رسد که این کران بالا یک کران دقیق است.

یکی از افرادی که بیشترین کار را روی درجه جابجایی انجام داده است، پائول لسکات می باشد [23]، [24]، [25]،[26] ،    [27] .  او با استفاده از مفهوم ایزوکلینیسم گروه ها و ارتباط آن با درجه جابجایی توانست گروه هایی که درجه جابجایی آنها حداقل $\dfrac{1}{2}$ بود را رده بندی کند. او نشان داد گروه هایی با احتمال بزرگتر از $\dfrac{1}{2}$،  گروه های پوچ توان از کلاس حداکثر 2 هستند.

در سال 2009 ماریوس [35]،  مفهوم درجه جابجایی زیرگروه گروه متناهی معرفی کردند. در این تعریف احتمال جابجا شدن زیرگروه های یک گروه مورد بررسی قرار گرفت. او برای یک گروه متناهی مانند $G$،  تعداد جفت های مرتبی را در $L(G) \times L(G)$ در نظر گرفت که با هم جابجا می شوند. سپس تعداد حاصل شده را بر توان دو مرتبه $L(G)$ تقسیم کرد و عدد حاصل را درجه جابجایی زیر گروه گروه $G$ نامید.

در سال 2007 عرفانیان، لسکات و رضائی [14]،  مفهوم درجه جابجایی نسبی را برای یک گروه متناهی و یک زیر گروه از آن معرفی کردند. در این تعریف درجه جابجایی یک گروه نسبت به یک زیر گروه از آن به دست می آید و با توجه به خواصی که زیرگروه می تواند داشته باشد این درجه با استفاده از آن خواص قابل محاسبه می باشند. ارایه کران بالا و تعمیم قضایای درجه جابجایی با استفاده از تعریف جدید، نتایجی بود که توسط آنها صورت گرفت. 

حالت کلی تر درجه جابجایی زیرگروه، درجه جابجایی زیرگروه نسبی گروه متناهی است که در سال 2010 توسط ماریوس[35]، معرفی شد. آنها برای محاسبه درجه جابجایی زیر گروه نسبی یک گروه متناهی مانند $G$  و یک زیر گروه از آن مانند $H$ ،  تعداد جفت های مرتبی را در $L(H) \times L(G)$،  در نظر گرفتند که با هم جا به جا می شوند.  سپس تعداد حاصل شده را بر مرتبه $L(H) \times L(G)$ تقسیم کردند و عدد حاصل را درجه جابجایی زیر گروه نسبی گروه $G$ نامیدند.

این پایان نامه مشتمل بر سه فصل می باشد. در فصل اول مفاهیم مقدماتی و پیشنیازهای مورد استفاده در فصل های بعد را بیان خواهیم کرد. فصل دوم اختصاص به معرفی درجه جابجایی گروه های متناهی و تعمیم  آن دارد که در دو بخش جداگانه ی درجه جابجایی و درجه جابجایی نسبی عنوان خواهیم کرد. در این فصل برخی نتایج به دست آمده درباره درجه جابجایی و درجه جابجایی نسبی که توسط لسکات[26] و عرفانیان و سایر مولفین[14]،  اثبات شده اند را ارایه خواهیم کرد.  در فصل سوم به معرفی درجه جابجایی زیرگروه گروه های متناهی و تعمیم آن دارد که در دو بخش جداگانه ی درجه جابجایی زیرگروه و درجه جابجایی زیر گروه نسبی که توسط ماریوس [35]،  اثبات شده اند را ارایه خواهیم کرد. 


\newpage
\newpage
\chapter{مقدمات و پیش نیازها}
در این فصل قصد داریم تعاریف و نتایج مقدماتی که مورد نیاز در فصل های بعدی می باشد را بیان کنیم. در بخش اول چند مفهوم مقدماتی را بیان کرده و بعضی از خواص آنها را که مورد نیاز در این پایان نامه می باشد،عنوان می کنیم. در بخش دوم مختصری از درجه جابجایی و درجه جابجایی نسبی گروه ارایه خواهیم داد و در بخش سوم مفهوم گراف و گراف ناجابجایی و خواص آن را ارایه خواهیم کرد. 
\thispagestyle{empty}
\newpage
\section{تعاریف و نتایج مقدماتی}
\begin{definition}
فرض کنیم $G$ یک گروه و $X$ مجموعه ای غیر تهی باشد و به ازای هر $g$ از $G$ و هر $x$ از $X$، عضو یکتایی از $X$ که آن را با علامت $x*g$ نشان می دهیم وجود داشته باشد به طوری که

(الف) به ازای هر $x$ از $X$،$x*1=x$  و

(ب) به ازای هر $g_1$،$g_2$ از $G$ و هر $x$ از $X$،
$x*(g_1*g_2)=(x*g_1)*g_2$.

در این صورت گوییم $G$ بر $X$ عمل می کند و $*$ را عمل $G$ بر $X$ گویند. برای سهولت در نوشتن، به جای $x*g$ معمولا خواهیم نوشت $xg$ یا $x^g$. عمل $G$ بر $X$ را با نماد $(G|X)$ نشان می دهیم.
\end{definition}
\begin{definition}
فرض کنیم $G$ گروهی دلخواه باشد. در این صورت برای هر $x\in G$،
$C_x=\{x^g|g\in G\}$ را
رده تزویج $x$ در $G$ گوییم. تعداد $G$ را با نماد $k(G)$ نمایش \\می دهیم.
\begin{theorem}
اگر $G$ یک گروه متناهی و 
$\{x_i\}_{1\leq i\leq n}$
نماینده های رده های تزویج گروه $G$ باشند، آنگاه $[G:C_G(x_i)]=|C_{x_i}|$
و

\[|G|=|Z(G)|+\sum_{x_i\notin Z(G)}\frac{|G|}{|C_G(x_i)|}\]
که آن را معادله رده ای گروه $G$ گوییم.
\end{theorem}
\begin{proof}
به رجب زاده قضیه 2-1-7 صفحه251و نتیجه 4-1-7 صفحه 252 مراجعه شود.
\end{proof}
\begin{definition}
فرض کنیم $G$ یک گروه و $H$ زیرگروهی از آن باشد. در این صورت مرکزساز $H$ در $G$ را با نماد $C_G(H)$ نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم
\[C_G(H)=\{g\in G|gx=xg,\forall x\in H\}.\]
\begin{definition}
فرض کنیم $G$ یک گروه باشد. در این صورت مرکز $G$ را با نماد $Z(G)$ نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم
\[Z(G)=C_G(G)=\{g\in G|gx=xg,\forall x\in G\}.\]

به سادگی می توان نشان داد
\[Z(G)=\bigcap_{x\in G}C_G(x)\]
\end{definition}
\begin{definition}
فرض کنیم $G$ یک گروه و $H$ زیر گروهی از آن باشد. در این صورت نرمالساز $H$ در $G$ را با نماد$N_G(H)$ نشان داده و به صورت زیر تعریف می کنیم
\[N_G(H)=\{g\in G|gHg^{-1}=H\}.\]
که در آن
$gHg^{-1}=\{ghg^{-1}|h\in H\}$
مزدوج $H$ در $G$ نامیده می شود.
\end{definition}
\begin{definition}
گروه $G$ را پوچ توان گوییم، هرگاه دارای یک سری به صورت زیر باشد
\[1=G_0\leq G_1\leq \ldots \leq G_n=G\]
که در آن به ازای هر $0\leq i\leq n$، $G_i\trianglelefteq G$ و $\dfrac{G_{i+1}}{G_i}\subseteq Z(\dfrac{G}{G_i})$
.

یک چنین سری را سری مرکزی گوییم و طول کوتاه ترین سری مرکزی $G$
را رده پوچ توانی $G$ گوییم.
\end{definition}
\begin{example}
گروه $D_8$ پوچ توان است.
\end{example}
\begin{definition}
فرض کنیم $G$ گروهی دلخواه باشد.
تعریف میکنیم 
$\gamma_1(G)=G$
 و به ازای هر $i\geq 1$،
 $\gamma_{i+1}(G)=\gamma_i(G),G]$.
یک سری به صورت زیر می توان داشت

\[G=\gamma_1(G)\supseteq \gamma_2(G)\supseteq \ldots\supseteq\gamma_i(G)\supseteq \ldots\] 
که آن را سری مرکزی پایینی گروه $G$ می گوییم.

همچنین برای گروه $G$ تعریف می کنیم$Z_0(G)=1$
و$Z_1(G)=Z(G)$ و به ازای هر $i\geq 1$،

\[\dfrac{Z_{i+1}(G)}{Z_i(G)}=Z\big(\dfrac{G}{Z_i(G)}\big).\]
به سادگی دیده می شود

\[1=Z_0(G)\subseteq Z_1(G)\subseteq \ldots\subseteq Z_i(G)\subseteq \ldots\]
که آن را سری مرکزی بالایی گروه $G$ می نامیم.
\end{definition}
\begin{definition}
فرض کنیم $p$ عددی اول باشد. در این صورت گروه $G$ را یک $p$-گروه می نامیم، اگر مرتبه هر عنصر $G$ توانی از $p$ باشد. زیرگروه $H$ از گروه دلخواه $G$ را یک $p$-زیرگروه می نامیم، هرگاه $H$ یک $p$-گروه باشد.
\end{definition}
\begin{definition}
گروه آبلی $G$ را یک $p$-گروه آبلی مقدماتی گوییم هرگاه مرتبه هر عنصر حداکثر $p$ باشد.همچنین گروه متناهی $G$ را یک $p$-گروه بسیار ویژه گوییم هرگاه
$G'=Z(G)\cong Z_p$
و $\dfrac{G}{Z(G)}$ یک $p$-گروه آبلی مقدماتی باشد.
\end{definition}
\begin{lemma}



%%%%%%%%%%%%%%%%%    end of page 235   %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%دستوراتی که برای تایپ تعاریف، قضایا، لم‌ها، مثال‌ها و ... به آنها نیاز دارید
%\begin{definition}
%\end{definition}
%\begin{theorem}
%\end{theorem}
%\begin{proposition}
%\end{proposition}
%\begin{example}
%\end{example}
%\begin{solution}
%\end{solution}
%\begin{remark}
%\end{remark}
%\begin{corollary}
%\end{corollary}


%%%%%%%%%%%%%%%%%    Referrences   %%%
%دستوراتی برای به حالت عادی در آمدن اندازه فونت‌ها و فاصله بین خطوط
\newpage
\normalsize
\small
%دستوری برای ظاهر شدن کلمه«مراجع» در فهرست مطالب
%\addcontentsline{toc}{section}{مراجع}
%ایجاد «مراجع»
\begin{thebibliography}{99}
%چنانچه مرجع فارسی نیز داشته باشید باید دستور فوق را فعال کنید و مراجع فارسی خود را بعد از این دستور وارد کنید
\begin{LTRitems}

\resetlatinfont

\bibitem{A.Abdollahi 1}
A.Abdollahi,Engle graphassociated with a group,{\em J.Algebra} 318(2007)680-691.

\bibitem{A.Abdollahi 2}
A.Abdollahi ,S.Akbari and H.R.Maimani,Non-commuting graph of a group,{\em J.Algebra}.298(2006) 468-492.

\bibitem{A.Abdollahi and A.Mohammadi Hassanabadi}
{A.Abdollahi and A.Mohammadi Hassanabadi,Non-cyclic graph  of  a group ,{\em Comm.Algebra} 35 (2007) 2057-2081.

\bibitem{E.A.Bertram,M.Herzog}
E.A.Bertram,M.Herzog and A.Mann,On a graph related to conjugacy classes of  groups{\em Bull.London Math.Soc.},22 (6) (1990) 569-575.

\bibitem{P.Erdos and P.Turan}
P.Erdos and P.Turan,On  some problems of statistical group theory, {\em Acta Math.Acad.Sci.Hung.} 19 (1968) 413-435.

\bibitem{A.Erfanian}
A.Erfanian,B.Tolue and N.H.Sarmin,Some consideration on the n-th commutativity degrees of finite groups,to appear in Ars combin.


\bibitem{F.Grunewald}
F.Grunewald,B.Kunyavskii,D.Nikolova and E.Plotkin,Two-variable identities in groups and Lie algebras,{\em J.Math.Sci.(N.Y.) }116(1) (2003) 2972-2981.

\bibitem{W.H.Gustafson}
W.H.Gustafson,{\em What is the probability that two  groups elements commute?,Amer.Math.Monthly},80(1973)1031-1304.

\bibitem{P.Hall}
P.Hall,{\em The classification of prime-power groups,J.reine ang.Math}, 182(1940),130-141.

\bibitem{N.S.Hekster}
N.H.Hekster,{\em On the structure of n-isoclinism classes of groups,J.Pure Appl. Algebra}.  40 (1986), 63-85.

\bibitem{A.R.Moghaddamfar}
A.R.Moghaddamfar,W.J.Shi,W.Zhou and A.R.Zokayi,On noncommuting graph associated with a finite group,{\em Siberian Math.J.}, 46(2) (2005) 325-332.

\bibitem{N.M.Mohd Ali and N.H.Sarmin}
N.M.Mohd Ali and N.H.Sarmin, On some problems in group theory of probabilistic nature,{\em Tecnical Report,Department of Mathematics,Univercity Teknologi Malaysia,johor,Malaysia,}(2006).

\bibitem{B.H.Neumann}
B.H.Neumann,A problem of Paul Erdos on groups,  {\em J.Aust.Math.Soc.Ser.}A 21 (4) (1976) 467-472.
\bibitem{Jung}
A. Jung,  {\em Cartesian Closed Categories of Domains}, volume 66 of CWI Tracts. Centrum voor
Wiskunde en Informatica, Amsterdam, 1989, 107 pp.

\bibitem{J.S.Williams}
J.S.Williams,Prime graph  components of finite groups,{\em J.Algebra} 69 (2) (1981) 487-513.

\end{LTRitems}

\end{thebibliography}

%\addcontentsline{toc}{section}{نمایه}
%دستوری برای ظاهر شدن کلمه «نمایه» در فهرست مطالب(البته در صورتی که از بسته‌ای که در ابتدا گفته شد استفاده %نکنید)
%ایجاد «نمایه»
\printindex

\end{document}1\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[farsi]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\end{document}