%        نمونه پایان‌نامه آماده شده با استفاده از کلاس Tabriz_thesis، نگارش 0.4
%        وحید دامن‌افشان، دانشگاه تبریز،   http://forum.parsilatex.com,     http://damanafshan.tk
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------
%        اگر قصد نوشتن پروژه کارشناسی را دارید، در خط زیر به جای msc، کلمه bsc و اگر قصد نوشتن رساله دکتری
%        را دارید، کلمه phd را قرار دهید. کلیه تنظیمات لازم، به طور خودکار، اعمال می‌شود.
% !TEX TS-program = XeLaTeX
% Commands for running this example:
% 	 xelatex Tabriz_thesis
% 	 xindy -L persian -C utf8 -M texindy Tabriz_thesis.idx
% 	 xelatex Tabriz_thesis
% 	 xelatex Tabriz_thesis
% End of Commands
\documentclass[12pt,a4paper]{report}
%       فایل commands.tex را حتماً به دقت مطالعه کنید؛ چون دستورات مربوط به فراخوانی بسته زی‌پرشین 
%       و دیگر بسته‌ها و ... در این فایل قرار دارد و بهتر است که با نحوه استفاده از آنها آشنا شوید.

% در این فایل، دستورها و تنظیمات مورد نیاز، آورده شده است. 
%-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

% در ورژن جدید زی‌پرشین برای تایپ متن‌های ریاضی، این سه بسته، حتماً باید فراخوانی شود
\usepackage{amsthm,amssymb,amsmath}
% بسته‌ای برای تنطیم حاشیه‌های بالا، پایین، چپ و راست صفحه
\usepackage[top=40mm, bottom=40mm, left=25mm, right=35mm]{geometry}
% بسته‌‌ای برای ظاهر شدن شکل‌ها و تصاویر متن
\usepackage{graphicx}
% بسته‌ای برای رسم کادر
\usepackage{framed} 
% بسته‌‌ای برای چاپ شدن خودکار تعداد صفحات در صفحه «معرفی پایان‌نامه»
\usepackage{lastpage}
% بسته‌ و دستوراتی برای ایجاد لینک‌های رنگی با امکان جهش
\usepackage[pagebackref=false,colorlinks,linkcolor=blue,citecolor=magenta]{hyperref}
% چنانچه قصد پرینت گرفتن نوشته خود را دارید، خط بالا را غیرفعال و از دستور زیر استفاده کنید چون در صورت استفاده از دستور زیر‌‌، 
% لینک‌ها به رنگ سیاه ظاهر خواهند شد که برای پرینت گرفتن، مناسب‌تر است
%\usepackage[pagebackref=false]{hyperref}
% بسته‌ لازم برای تنظیم سربرگ‌ها
\usepackage{fancyhdr}
% بسته‌ای برای ظاهر شدن «مراجع» و «نمایه» در فهرست مطالب
\usepackage[nottoc]{tocbibind}
% دستورات مربوط به ایجاد نمایه
\usepackage{makeidx}
\makeindex
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% فراخوانی بسته زی‌پرشین و تعریف قلم فارسی و انگلیسی
\usepackage{xepersian}
\settextfont[Scale=1.1]{XB Niloofar}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% چنانچه می‌خواهید اعداد در فرمول‌ها، انگلیسی باشد، خط زیر را غیرفعال کنید
\setdigitfont[Scale=1.1]{Persian Modern}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% تعریف قلم‌های فارسی و انگلیسی اضافی برای استفاده در بعضی از قسمت‌های متن
\defpersianfont\nastaliq[Scale=2]{IranNastaliq}
\defpersianfont\chapternumber[Scale=3]{XB Niloofar}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% دستوری برای حذف کلمه «چکیده»
\renewcommand{\abstractname}{}
% دستوری برای حذف کلمه «abstract»
\renewcommand{\latinabstract}{}
% دستوری برای تغییر نام کلمه «اثبات» به «برهان»
\renewcommand\proofname{\textbf{برهان}}
% دستوری برای تغییر نام کلمه «کتاب‌نامه» به «مراجع»
\renewcommand{\bibname}{مراجع}
% دستوری برای تعریف واژه‌نامه انگلیسی به فارسی
\newcommand\persiangloss[2]{#1\dotfill\lr{#2}\\}
% دستوری برای تعریف واژه‌نامه فارسی به انگلیسی 
\newcommand\englishgloss[2]{#2\dotfill\lr{#1}\\}
% تعریف دستور جدید «\پ» برای خلاصه‌نویسی جهت نوشتن عبارت «پروژه/پایان‌نامه/رساله»
\newcommand{\پ}{پروژه/پایان‌نامه/رساله }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% تعریف و نحوه ظاهر شدن عنوان قضیه‌ها، تعریف‌ها، مثال‌ها و ...
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{تعریف}[section]
\theoremstyle{theorem}
\newtheorem{theorem}[definition]{قضیه}
\newtheorem{lemma}[definition]{لم}
\newtheorem{proposition}[definition]{گزاره}
\newtheorem{corollary}[definition]{نتیجه}
\newtheorem{remark}[definition]{ملاحظه}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{example}[definition]{مثال}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% دستورهایی برای سفارشی کردن سربرگ صفحات
\csname@twosidetrue\endcsname
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{} 
\fancyhead[OL,EL]{}
\cfoot{\thepage}
\fancyhead[OR]{\small\rightmark}
\fancyhead[ER]{\small\leftmark}
\renewcommand{\chaptermark}[1]{%
\markboth{\thechapter.\ #1}{}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% دستورهایی برای سفارشی کردن صفحات اول فصل‌ها
\makeatletter
\newcommand\mycustomraggedright{%
\if@RTL\raggedleft%
\else\raggedright%
\fi}
\def\@part[#1]#2{%
\ifnum \c@secnumdepth >-2\relax
\refstepcounter{part}%
\addcontentsline{toc}{part}{\thepart\hspace{1em}#1}%
\else
\addcontentsline{toc}{part}{#1}%
\fi
\markboth{}{}%
{\centering
\interlinepenalty \@M
\ifnum \c@secnumdepth >-2\relax
\huge\bfseries \partname\nobreakspace\thepart
\par
\vskip 20\p@
\fi
\Huge\bfseries #2\par}%
\@endpart}
\def\@makechapterhead#1{%
\vspace*{-30\p@}%
{\parindent \z@ \mycustomraggedright %\@mycustomfont
\ifnum \c@secnumdepth >\m@ne
\if@mainmatter

\huge\bfseries \@chapapp\space {\chapternumber\thechapter}
\par\nobreak
\vskip 20\p@
\fi
\fi
\interlinepenalty\@M 
\Huge \bfseries #1\par\nobreak
\vskip 120\p@
}}
\makeatother
\makeatletter \let\orig@chapter\@chapter
\def\@chapter[#1]#2{\ifnum \c@secnumdepth >\m@ne
                       \if@mainmatter
                         \refstepcounter{chapter}%
                         \typeout{\@chapapp\space\thechapter.}%
                         \addcontentsline{toc}{chapter}%
                                   {\@chapapp~\protect\numberline{\thechapter}#1}%
                       \else
                         \addcontentsline{toc}{chapter}{#1}%
                       \fi
                    \else
                      \addcontentsline{toc}{chapter}{#1}%
                    \fi
                    \chaptermark{#1}%
                    \addtocontents{lof}{\protect\addvspace{10\p@}}%
                    \addtocontents{lot}{\protect\addvspace{10\p@}}%
                    \if@twocolumn
                      \@topnewpage[\@makechapterhead{#2}]%
                    \else
                      \@makechapterhead{#2}%
                      \@afterheading
                    \fi}
\renewcommand*\l@section{\@dottedtocline{1}{3.5em}{2.3em}}
\renewcommand*\l@subsection{\@dottedtocline{2}{5.8em}{3.2em}} 
\makeatother
%\includeonly{chapter1}
\begin{document}
\baselineskip=.75cm
\pagenumbering{harfi}

\signature 
\newpage\clearpage
\tableofcontents
%\listoffigures
\newpage
\pagenumbering{arabic}

\chapter*{پیشگفتار}\markboth{پیشگفتار}{پیشگفتار}

یکی از مسایلی که در چند دهه اخیر مورد توجه ریاضی دانان قرار گرفته است، وارد کردن نظریه احتمال به نظریه گروه ها می باشد. آنها سعی کرده اند با تعریف یک احتمال مناسب در یک موضوع خاص،  نتایجی را به دست بیاورند که در اثبات قضایای مختلف موضوع مربوطه به کمک آنها بیاید. با آنکه قبل از دهه شصت قرن بیستم در مواردی برخی ریاضی دانان احتمال را در نظریه گروه ها به کار گرفته بودند اما از سال 1965 به بعد اردوش همراه با رنی [7]، تران[8]، [9]، [10]،  [11] و هال [5]، [6]، به طور جدی بحث نظریه احتمالی گروه ها را پیگیری کردند و توانستند مسایل آماری و احتمالی مختلفی را در ارتباط با نظریه گروه ها مطرح کنند. به عنوان مثال احتمال مربعی بودن یک گروه متناهی که حالت ایده آل آن وقتی است که توان 2 تمام عناصر دقیقا برابر با خود گروه باشد.

یکی از احتمالاتی که برای گروه ها توسط میلر [29]، در سال 1944 معرفی شد، احتمال جابجایی دو عنصر در یک گروه متناهی بود. او برای یک گروه متناهی مانند $G$،  تعداد جفت های مرتبی را در $G \times G$ را در نظر گرفت که با هم جابه جا می شوند،  سپس تعداد حاصل شده را بر توان دو مرتبه گروه $G$ تقسیم کرد و عدد حاصل را درجه جابجایی گروه $G$ نامید. در سال 1973 گاستافسون [17]،  با ارایه یک فرمول توانست ارتباطی بین احتمال معرفی شده و تعداد کلاس های تزویج گروه برقرار کند. او نشان داد که درجه جابجایی یک گروه برابر با حاصل تقسیم تعداد کلاس های تزویج آن گروه بر مرتبه گروه است. بنابراین هر اطلاعاتی که درباره تعداد کلاس های تزویج به دست آمده باشد می تواند در اینجا نیز به کار گرفته شود. به عنوان مثال، اردوش و تران در [11] و نیومن در [30]،  به طور مستقل نشان دادند که تعداد کلاس های تزویج $G$،  حداقل $log_{2}log_{2}|G|$ می باشد. حال با تقسیم این عدد بر مرتبه گروه، یک کران پایین برای درجه جابجایی گروه $G$ حاصل می شود. بنابراین نتایجی که درباره کلاس های تزویج در [2]،  [15]،  [16] و \ldots به دست آمده اند، قابل استفاده در درجه جابجایی می باشند.

یکی از قدیمی ترین نتایجی که برای درجه جابجایی گروه ها به دست آمده است، کران بالای $\dfrac{5}{8}$ برای درجه جابجایی گروه های غیر آبلی می باشد، که توسط گاستافسون [17]،  ارایه گردید و با توجه به اینکه یک گروه غیر آبلی از مرتبه 8، این کران را می گیرد بنابراین به نظر می رسد که این کران بالا یک کران دقیق است.

یکی از افرادی که بیشترین کار را روی درجه جابجایی انجام داده است، پائول لسکات می باشد [23]، [24]، [25]،[26] ،    [27] .  او با استفاده از مفهوم ایزوکلینیسم گروه ها و ارتباط آن با درجه جابجایی توانست گروه هایی که درجه جابجایی آنها حداقل $\dfrac{1}{2}$ بود را رده بندی کند. او نشان داد گروه هایی با احتمال بزرگتر از $\dfrac{1}{2}$،  گروه های پوچ توان از کلاس حداکثر 2 هستند.

در سال 2009 ماریوس [35]،  مفهوم درجه جابجایی زیرگروه گروه متناهی معرفی کردند. در این تعریف احتمال جابجا شدن زیرگروه های یک گروه مورد بررسی قرار گرفت. او برای یک گروه متناهی مانند $G$،  تعداد جفت های مرتبی را در $L(G) \times L(G)$ در نظر گرفت که با هم جابجا می شوند. سپس تعداد حاصل شده را بر توان دو مرتبه $L(G)$ تقسیم کرد و عدد حاصل را درجه جابجایی زیر گروه گروه $G$ نامید.

در سال 2007 عرفانیان، لسکات و رضائی [14]،  مفهوم درجه جابجایی نسبی را برای یک گروه متناهی و یک زیر گروه از آن معرفی کردند. در این تعریف درجه جابجایی یک گروه نسبت به یک زیر گروه از آن به دست می آید و با توجه به خواصی که زیرگروه می تواند داشته باشد این درجه با استفاده از آن خواص قابل محاسبه می باشند. ارایه کران بالا و تعمیم قضایای درجه جابجایی با استفاده از تعریف جدید، نتایجی بود که توسط آنها صورت گرفت. 

حالت کلی تر درجه جابجایی زیرگروه، درجه جابجایی زیرگروه نسبی گروه متناهی است که در سال 2010 توسط ماریوس[35]، معرفی شد. آنها برای محاسبه درجه جابجایی زیر گروه نسبی یک گروه متناهی مانند $G$  و یک زیر گروه از آن مانند $H$ ،  تعداد جفت های مرتبی را در $L(H) \times L(G)$،  در نظر گرفتند که با هم جا به جا می شوند.  سپس تعداد حاصل شده را بر مرتبه $L(H) \times L(G)$ تقسیم کردند و عدد حاصل را درجه جابجایی زیر گروه نسبی گروه $G$ نامیدند.

این پایان نامه مشتمل بر سه فصل می باشد. در فصل اول مفاهیم مقدماتی و پیشنیازهای مورد استفاده در فصل های بعد را بیان خواهیم کرد. فصل دوم اختصاص به معرفی درجه جابجایی گروه های متناهی و تعمیم  آن دارد که در دو بخش جداگانه ی درجه جابجایی و درجه جابجایی نسبی عنوان خواهیم کرد. در این فصل برخی نتایج به دست آمده درباره درجه جابجایی و درجه جابجایی نسبی که توسط لسکات[26] و عرفانیان و سایر مولفین[14]،  اثبات شده اند را ارایه خواهیم کرد.  در فصل سوم به معرفی درجه جابجایی زیرگروه گروه های متناهی و تعمیم آن دارد که در دو بخش جداگانه ی درجه جابجایی زیرگروه و درجه جابجایی زیر گروه نسبی که توسط ماریوس [35]،  اثبات شده اند را ارایه خواهیم کرد. 


\newpage
\newpage
\chapter{مقدمات و پیش نیازها}
در این فصل قصد داریم تعاریف و نتایج مقدماتی که مورد نیاز در فصل های بعدی 


%\addcontentsline{toc}{section}{نمایه}
%دستوری برای ظاهر شدن کلمه «نمایه» در فهرست مطالب(البته در صورتی که از بسته‌ای که در ابتدا گفته شد استفاده %نکنید)
%ایجاد «نمایه»
\printindex

\end{document}1\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[farsi]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
\end{document}