با سلام
\bd
فرض کنيم $ M $يک زيرخمينه$\overline{M} $ و$ R $ تانسورانحناي$ M $ و $ \overline{R}$تانسورانحناي
$ \overline{ M} $ \\باشددراينصورت معادلات کودازي عبارتنداز:
\begin{align}
\overline{R}(X,Y) Z=R(X,Y)Z-K(X,h(Y,Z))+K(Y,h(X,Z)~\\
~~~~~~~~~ +(\overline{\nabla}_{X}h) (Y,Z)-(\overline{\nabla}_{Y}h)(X,Z)\nonumber\\
\nonumber\\
\overline{R}(X,Y) \eta=R^{\perp}(X,Y)\eta - h(X,K(Y,\eta))+h(Y,K(X,\eta))~\\
~~~~~~~~~ - (\overline{\nabla}_{X}K)(Y,\eta)+(\overline{\nabla}_{Y}K(X,\eta))\nonumber
\end{align}
که در آن $ X, Y,Z\in TM $ و\eta \in TM^{\perp} $ $وعبارات و$ \overline{\nabla}_{X} K $و $\overline{\nabla}_{X} h $
وتانسور انحناي قائم$ R^{\perp} $بصورت زير تعريف مي شود
\begin{align*}
&(\overline{\nabla}_{X}h)(Y,Z)=\nabla_{X}^{\perp}(h(Y,Z))-h(\nabla_{X}Y,Z)-h(Y,\nabla_{X}Z)\\
&(\overline{\nabla}_{X}K)(Y,\eta)=\nabla_{X}(K(Y,\eta))-K(\nabla_{X}Y,\eta)-K(Y,\nabla_{X}^{\perp}\eta)\\
R^{\perp}(X,Y)\eta=\nabla_{X}^{\perp}\nabla_{Y}^{\perp}\eta-\nabla_{Y}^{\perp}\nabla_{X}^{\perp}\eta-\nabla_{\left[ X,Y\left]} ^{\perp}\eta\\
\end{align*}\\
\ed
من وقتي اين تعريف رو مينويسم فايل پي دي اف فقط سطر اولشو نشون ميده فرمولهامو نشون نميده و اگه دنباله اين تعريف هرچيزي باشه در پي دا اف نشون نميده ممنون اگه راهنمايي کنين
فرض کنيم $ M $يک زيرخمينه$\overline{M} $ و$ R $ تانسورانحناي$ M $ و $ \overline{R}$تانسورانحناي
$ \overline{ M} $ \\باشددراينصورت معادلات کودازي عبارتنداز:
\begin{align}
\overline{R}(X,Y) Z=R(X,Y)Z-K(X,h(Y,Z))+K(Y,h(X,Z)~\\
~~~~~~~~~ +(\overline{\nabla}_{X}h) (Y,Z)-(\overline{\nabla}_{Y}h)(X,Z)\nonumber\\
\nonumber\\
\overline{R}(X,Y) \eta=R^{\perp}(X,Y)\eta - h(X,K(Y,\eta))+h(Y,K(X,\eta))~\\
~~~~~~~~~ - (\overline{\nabla}_{X}K)(Y,\eta)+(\overline{\nabla}_{Y}K(X,\eta))\nonumber
\end{align}
که در آن $ X, Y,Z\in TM $ و\eta \in TM^{\perp} $ $وعبارات و$ \overline{\nabla}_{X} K $و $\overline{\nabla}_{X} h $
وتانسور انحناي قائم$ R^{\perp} $بصورت زير تعريف مي شود
\begin{align*}
&(\overline{\nabla}_{X}h)(Y,Z)=\nabla_{X}^{\perp}(h(Y,Z))-h(\nabla_{X}Y,Z)-h(Y,\nabla_{X}Z)\\
&(\overline{\nabla}_{X}K)(Y,\eta)=\nabla_{X}(K(Y,\eta))-K(\nabla_{X}Y,\eta)-K(Y,\nabla_{X}^{\perp}\eta)\\
R^{\perp}(X,Y)\eta=\nabla_{X}^{\perp}\nabla_{Y}^{\perp}\eta-\nabla_{Y}^{\perp}\nabla_{X}^{\perp}\eta-\nabla_{\left[ X,Y\left]} ^{\perp}\eta\\
\end{align*}\\
\ed